مستوى الدخول

نظرية الاحتمالية. حل المشكلات (2019)

ما هو الاحتمال؟

في المرة الأولى التي واجهت فيها هذا المصطلح، لم أكن لأفهم ما هو. لذلك، سأحاول أن أشرح بوضوح.

الاحتمال هو احتمال وقوع الحدث الذي نريده.

على سبيل المثال، قررت الذهاب إلى منزل أحد الأصدقاء، وتتذكر المدخل وحتى الأرضية التي يعيش عليها. لكني نسيت رقم الشقة وموقعها. والآن أنت واقف على الدرج، وأمامك أبواب يمكنك الاختيار من بينها.

ما هو احتمال (احتمال) أنك إذا قمت بقرع جرس الباب الأول، فإن صديقك سيجيب على الباب نيابة عنك؟ لا يوجد سوى شقق، وصديق يعيش خلف واحدة منها فقط. مع فرصة متساوية يمكننا اختيار أي باب.

ولكن ما هي هذه الفرصة؟

الباب، الباب الأيمن. احتمالية التخمين من خلال قرع جرس الباب الأول: . أي أنك ستخمن بدقة مرة واحدة من كل ثلاثة.

نريد أن نعرف، بعد أن اتصلنا مرة واحدة، كم مرة سنخمن الباب؟ دعونا نلقي نظرة على جميع الخيارات:

1. لقد اتصلت الأولباب
2. لقد اتصلت الثانيباب
3. لقد اتصلت الثالثباب

الآن دعونا نلقي نظرة على جميع الخيارات التي يمكن أن يكون فيها الصديق:

أ. ل الأولباب
ب. ل الثانيباب
V. ل الثالثباب

دعونا نقارن جميع الخيارات في شكل جدول. تشير علامة الاختيار إلى الخيارات عندما يتزامن اختيارك مع موقع صديق، وعلامة تقاطع - عندما لا يتطابق.

كيف ترى كل شيء ربما خياراتموقع صديقك واختيارك للباب الذي تريد الاتصال به.

أ نتائج إيجابية للجميع . أي أنك ستخمن مرة واحدة من خلال قرع جرس الباب مرة واحدة، أي. .

هذا هو الاحتمال - نسبة النتيجة الإيجابية (عندما يتزامن اختيارك مع موقع صديقك) إلى عدد الأحداث المحتملة.

التعريف هو الصيغة. يُشار إلى الاحتمال عادةً بالرمز p، وبالتالي:

ليس من المناسب جدًا كتابة مثل هذه الصيغة، لذلك سنحسب - عدد النتائج الإيجابية، و - العدد الإجمالي للنتائج.

يمكن كتابة الاحتمال كنسبة مئوية؛ للقيام بذلك، تحتاج إلى ضرب النتيجة الناتجة عن طريق:

ربما لفتت انتباهك كلمة "النتائج". نظرًا لأن علماء الرياضيات يطلقون على الإجراءات المختلفة (في حالتنا، مثل هذا الإجراء هو جرس الباب)، فإن نتيجة هذه التجارب تسمى عادةً النتيجة.

حسنًا، هناك نتائج إيجابية وأخرى سلبية.

دعنا نعود إلى مثالنا. لنفترض أننا قرعنا أحد الأبواب، لكن شخصًا غريبًا فتحه لنا. لم نخمن بشكل صحيح. ما احتمال أن يفتح لنا صديقنا أحد الأبواب المتبقية إذا قرعنا؟

إذا كنت تعتقد ذلك، فهذا خطأ. دعونا معرفة ذلك.

لدينا بابان متبقيان. لذلك لدينا الخطوات الممكنة:

1) اتصل الأولباب
2) اتصل الثانيباب

الصديق، رغم كل هذا، هو بالتأكيد وراء أحدهم (بعد كل شيء، لم يكن وراء من اتصلنا به):

أ) صديق ل الأولباب
ب) صديق ل الثانيباب

لنرسم الجدول مرة أخرى:

كما ترون، هناك خيارات فقط، منها مواتية. أي أن الاحتمال متساوي.

ولم لا؟

الوضع الذي نظرنا فيه هو مثال على الأحداث التابعةالحدث الأول هو جرس الباب الأول، والحدث الثاني هو جرس الباب الثاني.

وسميت تابعة لأنها تؤثر على الأفعال التالية. بعد كل شيء، إذا رد أحد الأصدقاء على جرس الباب بعد الرنة الأولى، فما هو احتمال أن يكون خلف أحد الصديقين الآخرين؟ يمين، .

ولكن إذا كانت هناك أحداث تابعة، فلا بد أن تكون هناك أيضًا مستقل؟ هذا صحيح، يحدث ذلك.

مثال الكتاب المدرسي هو رمي عملة معدنية.

1. إرم عملة معدنية مرة واحدة. ما هو احتمال الحصول على الرؤوس، على سبيل المثال؟ هذا صحيح - لأن هناك كل الخيارات (إما الصورة أو الكتابة، سنهمل احتمالية هبوط العملة على حافتها)، لكنه يناسبنا فقط.
2. لكنها جاءت رؤساء. حسنا، دعونا رميها مرة أخرى. ما هو احتمال الحصول على الرؤوس الآن؟ لم يتغير شيء، كل شيء هو نفسه. كم عدد الخيارات؟ اثنين. كم نحن سعداء؟ واحد.

ودعها تأتي على الأقل ألف مرة على التوالي. احتمال الحصول على الرؤوس مرة واحدة سيكون هو نفسه. هناك دائما خيارات، وأخرى مواتية.

من السهل التمييز بين الأحداث التابعة والأحداث المستقلة:

1. إذا تم تنفيذ التجربة مرة واحدة (رمي عملة معدنية مرة واحدة، قرع جرس الباب مرة واحدة، وما إلى ذلك)، فإن الأحداث تكون دائمًا مستقلة.
2. إذا تم إجراء تجربة عدة مرات (رمي عملة معدنية مرة واحدة، وقرع جرس الباب عدة مرات)، فإن الحدث الأول يكون دائمًا مستقلاً. وبعد ذلك، إذا تغير عدد النتائج المواتية أو عدد جميع النتائج، فإن الأحداث مستقلة، وإذا لم تكن كذلك، فهي مستقلة.

دعونا نتدرب على تحديد الاحتمالية قليلًا.

مثال 1.

يتم رمي العملة مرتين. ما هو احتمال الحصول على الرأس مرتين على التوالي؟

حل:

دعونا نفكر في جميع الخيارات الممكنة:

1. النسر النسر
2. رؤساء ذيول
3. ذيول رؤساء
4. ذيول ذيول

كما ترون، هناك خيارات فقط. ومن هؤلاء لا نرضى إلا. أي أن الاحتمال:

إذا كان الشرط يطلب منك ببساطة إيجاد الاحتمال، فيجب أن تكون الإجابة في شكل كسر عشري. ولو تم تحديد أن الإجابة يجب أن تعطى كنسبة مئوية، لضربنا في.

إجابة:

مثال 2.

في علبة الشوكولاتة، يتم تعبئة جميع الشوكولاتة في نفس الغلاف. ومع ذلك، من الحلويات - مع المكسرات، مع براندي، مع الكرز، مع الكراميل والنوجا.

ما هو احتمال أن تأخذ قطعة حلوى واحدة وتحصل على قطعة حلوى تحتوي على المكسرات؟ أعط إجابتك كنسبة مئوية.

حل:

كم عدد النتائج المحتملة هناك؟ .

أي أنك إذا أخذت حلوى واحدة، فستكون واحدة من تلك المتوفرة في الصندوق.

كم عدد النتائج الإيجابية؟

لأن العلبة تحتوي فقط على الشوكولاتة بالمكسرات.

إجابة:

مثال 3.

في علبة بالونات. منها الأبيض والأسود.

1. ما هو احتمال سحب كرة بيضاء؟
2. أضفنا المزيد من الكرات السوداء إلى الصندوق. ما هو احتمال سحب كرة بيضاء الآن؟

حل:

أ) لا يوجد سوى كرات في الصندوق. منهم الأبيض.

الاحتمال هو:

ب) يوجد الآن المزيد من الكرات في الصندوق. وهناك عدد مماثل من البيض المتبقين - .

إجابة:

الاحتمال الإجمالي

احتمال جميع الأحداث الممكنة يساوي ().

لنفترض أن هناك كرات حمراء وخضراء في صندوق. ما هو احتمال سحب كرة حمراء؟ الكرة الخضراء؟ الكرة الحمراء أم الخضراء؟

احتمال سحب كرة حمراء

الكرة الخضراء:

الكرة الحمراء أو الخضراء:

كما ترون، فإن مجموع كل الأحداث المحتملة يساوي (). إن فهم هذه النقطة سيساعدك على حل العديد من المشاكل.

مثال 4.

توجد علامات في الصندوق: الأخضر، الأحمر، الأزرق، الأصفر، الأسود.

ما هو احتمال عدم رسم علامة حمراء؟

حل:

دعونا نحسب الرقم نتائج مواتية.

ليست علامة حمراء، وهذا يعني الأخضر أو ​​الأزرق أو الأصفر أو الأسود.

احتمال كل الأحداث. واحتمال الأحداث التي نعتبرها غير مواتية (عندما نخرج علامة حمراء) هو .

ومن ثم، فإن احتمال سحب قلم فلوماستر غير أحمر هو .

إجابة:

احتمال عدم وقوع حدث يساوي مطروحًا منه احتمال وقوع الحدث.

قاعدة ضرب احتمالات الأحداث المستقلة

أنت تعرف بالفعل ما هي الأحداث المستقلة.

ماذا لو كنت بحاجة إلى إيجاد احتمال وقوع حدثين مستقلين (أو أكثر) على التوالي؟

لنفترض أننا نريد أن نعرف ما هو احتمال أننا إذا رمينا عملة معدنية مرة واحدة، سنرى الصورة مرتين؟

لقد نظرنا بالفعل - .

ماذا لو ألقينا قطعة نقود مرة واحدة؟ ما هو احتمال رؤية النسر مرتين على التوالي؟

إجمالي الخيارات الممكنة:

1. النسر النسر النسر
2. رؤوس-رؤوس-ذيول
3. رؤوس-ذيول-رؤوس
4. رؤساء ذيول ذيول
5. ذيول-رؤوس-رؤوس
6. ذيول-رؤوس-ذيول
7. ذيول-ذيول-رؤوس
8. ذيول ذيول ذيول

لا أعرف عنك، لكنني ارتكبت أخطاء عدة مرات عند تجميع هذه القائمة. رائع! والخيار الوحيد (الأول) يناسبنا.

بالنسبة لخمس رميات، يمكنك عمل قائمة بالنتائج المحتملة بنفسك. لكن علماء الرياضيات ليسوا مجتهدين مثلك.

لذلك، لاحظوا أولاً ثم أثبتوا أن احتمالية حدوث تسلسل معين من الأحداث المستقلة تتناقص في كل مرة بمقدار احتمال وقوع حدث واحد.

بعبارة أخرى،

دعونا نلقي نظرة على مثال نفس العملة المشؤومة.

احتمال الحصول على رؤوس في التحدي؟ . الآن نقوم بقلب العملة مرة واحدة.

ما هو احتمال الحصول على رؤوس متتالية؟

لا تعمل هذه القاعدة فقط إذا طُلب منا إيجاد احتمال وقوع نفس الحدث عدة مرات متتالية.

إذا أردنا إيجاد تسلسل الذيل-الرأس-الذيل للرميات المتتالية، فسنفعل الشيء نفسه.

احتمال الحصول على ذيول هو , رؤوس - .

احتمال الحصول على تسلسل TAILS-HEADS-TAILS-TAILS:

يمكنك التحقق من ذلك بنفسك عن طريق عمل جدول.

قاعدة إضافة احتمالات الأحداث غير المتوافقة.

لذا توقف! تعريف جديد.

دعونا معرفة ذلك. دعونا نأخذ عملتنا المعدنية البالية ونرميها مرة واحدة.
الخيارات الممكنة:

1. النسر النسر النسر
2. رؤوس-رؤوس-ذيول
3. رؤوس-ذيول-رؤوس
4. رؤساء ذيول ذيول
5. ذيول-رؤوس-رؤوس
6. ذيول-رؤوس-ذيول
7. ذيول-ذيول-رؤوس
8. ذيول ذيول ذيول

لذا، فإن الأحداث غير المتوافقة هي تسلسل معين للأحداث. - هذه أحداث غير متوافقة.

إذا أردنا تحديد احتمال وقوع حدثين (أو أكثر) غير متوافقين، فإننا نضيف احتمالات هذه الأحداث.

عليك أن تفهم أن الرؤوس أو الذيول هما حدثان مستقلان.

إذا أردنا تحديد احتمال حدوث تسلسل (أو أي تسلسل آخر)، فإننا نستخدم قاعدة ضرب الاحتمالات.
ما هو احتمال الحصول على رأس في الرمية الأولى وكتابة في الرمية الثانية والثالثة؟

ولكن إذا أردنا أن نعرف ما هو احتمال الحصول على واحدة من عدة تسلسلات، على سبيل المثال، عندما تظهر الرؤوس مرة واحدة بالضبط، أي. الخيارات، ثم يجب علينا جمع احتمالات هذه التسلسلات.

مجموع الخيارات تناسبنا.

يمكننا الحصول على نفس الشيء عن طريق جمع احتمالات حدوث كل تسلسل:

ومن ثم، فإننا نضيف الاحتمالات عندما نريد تحديد احتمالية حدوث تسلسلات معينة وغير متسقة من الأحداث.

هناك قاعدة رائعة تساعدك على تجنب الخلط بين متى تضرب ومتى تضيف:

لنعد إلى المثال الذي قمنا فيه بإلقاء عملة معدنية مرة واحدة وأردنا معرفة احتمال رؤية الصورة مرة واحدة.
ماذا يجب أن يحدث؟

يجب أن تسقط:
(رؤوس وذيول وذيول) أو (ذيول ورؤوس وذيول) أو (ذيول وذيول ورؤوس).
هكذا اتضح:

دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة.

مثال 5.

هناك أقلام رصاص في الصندوق. الأحمر والأخضر والبرتقالي والأصفر والأسود. ما هو احتمال رسم أقلام الرصاص الحمراء أو الخضراء؟

حل:

ماذا يجب أن يحدث؟ علينا أن نسحب (أحمر أو أخضر).

الآن أصبح الأمر واضحًا، فلنجمع احتمالات هذه الأحداث:

إجابة:

مثال 6.

إذا ألقي حجر النرد مرتين، فما احتمال الحصول على العدد الإجمالي 8؟

حل.

كيف يمكننا الحصول على النقاط؟

(و) أو (و) أو (و) أو (و) أو (و).

احتمال الحصول على وجه واحد (أي) هو .

نحسب الاحتمال:

إجابة:

تمرين.

أعتقد أنك الآن تفهم متى تحتاج إلى حساب الاحتمالات، ومتى تضيفها، ومتى تضربها. أليس كذلك؟ دعونا نتدرب قليلا.

المهام:

لنأخذ مجموعة بطاقات تحتوي على بطاقات تتضمن البستوني والقلوب و13 مضربًا و13 ماسة. من إلى الآس من كل دعوى.

1. ما هو احتمال سحب الأندية على التوالي (نضع البطاقة الأولى التي تم سحبها مرة أخرى في المجموعة ونقوم بخلطها)؟
2. ما هو احتمال سحب البطاقة السوداء (البستوني أو الهراوات)؟
3. ما هو احتمال رسم صورة (جاك، الملكة، الملك أو الآس)؟
4. ما هو احتمال رسم صورتين متتاليتين (نزيل البطاقة الأولى المسحوبة من المجموعة)؟
5. ما هو احتمال الحصول على ورقتين لجمع مجموعة - (جاك أو ملكة أو ملك) وآس؟ لا يهم التسلسل الذي يتم فيه سحب البطاقات.

الإجابات:

1. في مجموعة البطاقات لكل قيمة، يعني ذلك:
2. تعتمد الأحداث على بعضها البعض، لأنه بعد سحب البطاقة الأولى، انخفض عدد البطاقات الموجودة في المجموعة (كما انخفض عدد "الصور"). يوجد إجمالي الرافعات والملكات والملوك والآص في المجموعة في البداية، مما يعني احتمال رسم "صورة" بالبطاقة الأولى:

   نظرًا لأننا قمنا بإزالة البطاقة الأولى من المجموعة، فهذا يعني أن هناك بالفعل بطاقات متبقية في المجموعة، بما في ذلك الصور. احتمالية رسم صورة بالبطاقة الثانية:

   نظرًا لأننا مهتمون بالموقف عندما نخرج "صورة" و"صورة" من سطح السفينة، فنحن بحاجة إلى مضاعفة الاحتمالات:

   إجابة:

3. بعد سحب البطاقة الأولى، سيقل عدد البطاقات الموجودة في المجموعة، وبالتالي، لدينا خياران:
   1) البطاقة الأولى هي الآس، والثانية هي جاك أو الملكة أو الملك
   2) نخرج جاك أو ملكة أو ملكًا بالبطاقة الأولى وآصًا بالبطاقة الثانية. (الآس و (جاك أو الملكة أو الملك)) أو ((جاك أو الملكة أو الملك) و الآس). لا تنس تقليل عدد البطاقات الموجودة في المجموعة!

إذا تمكنت من حل جميع المشاكل بنفسك، فأنت عظيم! الآن سوف تتمكن من حل مسائل نظرية الاحتمالات في امتحان الدولة الموحدة مثل المكسرات!

نظرية الاحتمالية. المستوى المتوسط

دعونا نلقي نظرة على مثال. لنفترض أننا رمينا حجر النرد. أي نوع من العظام هذا، هل تعلم؟ وهذا ما يسمونه المكعب الذي به أرقام على وجوهه. كم عدد الوجوه، العديد من الأرقام: من إلى كم؟ ل.

لذلك نحن نرمي النرد ونريد أن يأتي أو. ونحن نحصل عليه.

في نظرية الاحتمالات يقولون ما حدث الحدث الميمون(يجب عدم الخلط بينه وبين الازدهار).

إذا حدث ذلك، فإن الحدث سيكون مناسبا أيضا. في المجمل، يمكن أن يحدث حدثان إيجابيان فقط.

كم منهم غير مواتية؟ نظرًا لوجود إجمالي الأحداث المحتملة، فهذا يعني أن الأحداث غير المواتية هي أحداث (هذا إذا أو سقط).

تعريف:

الاحتمال هو نسبة عدد الأحداث المواتية إلى عدد جميع الأحداث المحتملة. وهذا يعني أن الاحتمال يوضح نسبة جميع الأحداث الممكنة التي تكون مواتية.

يُشار إلى الاحتمالية بحرف لاتيني (على ما يبدو من الكلمة الإنجليزية احتمالية - احتمالية).

من المعتاد قياس الاحتمال كنسبة مئوية (انظر الموضوع). للقيام بذلك، يجب ضرب قيمة الاحتمال. في مثال النرد، الاحتمال.

وبالنسبة : .

أمثلة (قرر بنفسك):

1. ما هو احتمال ظهور الصورة عند رمي قطعة نقود؟ ما هو احتمال هبوط الرؤوس؟
2. ما هو احتمال الحصول على عدد زوجي عند رمي حجر النرد؟ أيهما غريب؟
3. في علبة أقلام رصاص بسيطة باللونين الأزرق والأحمر. نرسم قلم رصاص واحد بشكل عشوائي. ما هو احتمال الحصول على واحدة بسيطة؟

الحلول:

1. كم عدد الخيارات الموجودة؟ الرؤوس والذيول - اثنان فقط. كم منهم مواتية؟ واحد فقط هو النسر. لذلك الاحتمال

   إنه نفس الشيء مع ذيول: .

2. إجمالي الخيارات: (كم عدد جوانب المكعب، والعديد من الخيارات المختلفة). المفضلة: (هذه كلها أرقام زوجية:).
   احتمال. وبطبيعة الحال، نفس الشيء مع الأرقام الفردية.
3. المجموع: . صالح : . الاحتمال : .

الاحتمال الإجمالي

جميع أقلام الرصاص الموجودة في الصندوق باللون الأخضر. ما هو احتمال رسم قلم رصاص أحمر؟ لا توجد فرص: احتمال (بعد كل شيء، أحداث مواتية -).

مثل هذا الحدث يسمى مستحيل.

ما هو احتمال رسم قلم رصاص أخضر؟ يوجد بالضبط نفس عدد الأحداث المواتية مثل إجمالي الأحداث (جميع الأحداث مواتية). وبالتالي فإن الاحتمال يساوي أو.

مثل هذا الحدث يسمى موثوق.

إذا كان الصندوق يحتوي على أقلام رصاص باللونين الأخضر والأحمر، فما احتمال الرسم باللون الأخضر أو ​​الأحمر؟ مرة أخرى. لنلاحظ ما يلي: احتمال سحب اللون الأخضر متساوٍ، والأحمر متساوٍ.

باختصار، هذه الاحتمالات متساوية تمامًا. إنه، مجموع احتمالات كل الأحداث الممكنة يساوي أو.

مثال:

في علبة أقلام رصاص منها الأزرق والأحمر والأخضر والسادة والأصفر والباقي برتقالي. ما هو احتمال عدم الرسم باللون الأخضر؟

حل:

نتذكر أن كل الاحتمالات تضيف ما يصل. واحتمال الحصول على اللون الأخضر متساوي. وهذا يعني أن احتمال عدم رسم اللون الأخضر متساوي.

تذكر هذه الخدعة:احتمال عدم وقوع حدث يساوي مطروحًا منه احتمال وقوع الحدث.

الأحداث المستقلة وقاعدة الضرب

تقلب عملة معدنية مرة واحدة وتريد أن تظهر لك الصورة في المرتين. ما هو احتمال هذا؟

دعنا نستعرض جميع الخيارات الممكنة ونحدد عددها:

رؤوس - رؤوس، رؤوس - ذيول، رؤوس - ذيول، ذيول - ذيول. ماذا الآخرين؟

إجمالي الخيارات. من بين هؤلاء، واحد فقط يناسبنا: النسر النسر. في المجمل، الاحتمال متساوي.

بخير. الآن دعونا نقلب عملة معدنية مرة واحدة. قم بالحسابات بنفسك. هل نجحت؟ (إجابة).

ربما لاحظت أنه مع إضافة كل رمية لاحقة، ينخفض ​​الاحتمال بمقدار النصف. القاعدة العامة تسمى قاعدة الضرب:

تتغير احتمالات الأحداث المستقلة.

ما هي الأحداث المستقلة؟ كل شيء منطقي: هؤلاء هم الذين لا يعتمدون على بعضهم البعض. على سبيل المثال، عندما نرمي عملة معدنية عدة مرات، في كل مرة يتم إجراء رمية جديدة، لا تعتمد نتيجتها على جميع الرميات السابقة. يمكننا بسهولة رمي عملتين مختلفتين في نفس الوقت.

المزيد من الأمثلة:

1. يتم رمي النرد مرتين. ما هو احتمال الحصول عليه في المرتين؟
2. يتم رمي العملة مرة واحدة. ما هو احتمال ظهور الصورة على الوجه في المرة الأولى، ثم على الكتابة مرتين؟
3. يرمي اللاعب قطعتين من النرد. ما هو احتمال أن يكون مجموع الأرقام الموجودة عليها متساويا؟

الإجابات:

1. الأحداث مستقلة، مما يعني أن قاعدة الضرب تعمل: .
2. احتمال الرؤوس متساوي. احتمال ذيول هو نفسه. ضاعف:
3. لا يمكن الحصول على 12 إلا إذا تم دحرجة اثنين -ki: .

الأحداث غير المتوافقة وقاعدة الإضافة

الأحداث التي تكمل بعضها البعض إلى حد الاحتمال الكامل تسمى غير متوافقة. وكما يوحي الاسم، لا يمكن أن يحدثا في وقت واحد. على سبيل المثال، إذا قمنا بقلب عملة معدنية، فمن الممكن أن تظهر الصورة أو الكتابة.

مثال.

في علبة أقلام رصاص منها الأزرق والأحمر والأخضر والسادة والأصفر والباقي برتقالي. ما هو احتمال الرسم باللون الأخضر أو ​​الأحمر؟

حل .

احتمال الرسم بقلم رصاص أخضر متساوي. أحمر - .

الأحداث المواتية للجميع: أخضر + أحمر. وهذا يعني أن احتمال الرسم باللون الأخضر أو ​​الأحمر متساوي.

يمكن تمثيل نفس الاحتمال في هذا النموذج: .

هذه هي قاعدة الإضافة:احتمالات الأحداث غير المتوافقة تضيف ما يصل.

مشاكل من النوع المختلط

مثال.

يتم رمي العملة مرتين. ما هو احتمال أن تكون نتائج اللفات مختلفة؟

حل .

وهذا يعني أنه إذا كانت النتيجة الأولى هي الرؤوس، فيجب أن تكون النتيجة الثانية الذيل، والعكس صحيح. اتضح أن هناك زوجين من الأحداث المستقلة، وهذه الأزواج غير متوافقة مع بعضها البعض. كيف لا تحتار بشأن مكان الضرب ومكان الإضافة.

هناك قاعدة بسيطة لمثل هذه المواقف. حاول وصف ما سيحدث باستخدام أدوات العطف "AND" أو "OR". على سبيل المثال، في هذه الحالة:

يجب أن يأتي (الرؤوس والذيول) أو (الذيول والرؤوس).

حيثما يوجد حرف العطف "و" يكون الضرب، وحيثما يكون "أو" يكون الجمع:

جربه بنفسك:

1. ما هو احتمال أنه إذا ألقيت قطعة نقد مرتين، فإن العملة ستستقر على نفس الجانب في المرتين؟
2. يتم رمي النرد مرتين. ما هو احتمال الحصول على مجموع النقاط؟

الحلول:

1. (سقطت الرؤوس وسقط الذيل) أو (سقطت الرؤوس وسقط الذيول): .
2. ما هي الخيارات؟ و. ثم:
   أسقطت (و) أو (و) أو (و): .

مثال آخر:

إرم عملة معدنية مرة واحدة. ما هو احتمال ظهور الرؤوس مرة واحدة على الأقل؟

حل:

أوه، كيف لا أريد أن أخوض في الخيارات... الرؤوس-أذيل-أذيل، رؤوس-أذيل-أذيل،...ولكن ليس هناك حاجة! دعونا نتذكر حول الاحتمال الكلي. هل تذكر؟ ما هو احتمال أن النسر لن تسقط أبدا؟ الأمر بسيط: الرؤوس تطير طوال الوقت، وهذا هو السبب.

نظرية الاحتمالية. باختصار عن الأشياء الرئيسية

الاحتمال هو نسبة عدد الأحداث المواتية إلى عدد جميع الأحداث المحتملة.

أحداث مستقلة

يكون الحدثان مستقلين إذا كان وقوع أحدهما لا يغير من احتمال وقوع الآخر.

الاحتمال الإجمالي

احتمال جميع الأحداث الممكنة يساوي ().

احتمال عدم وقوع حدث يساوي مطروحًا منه احتمال وقوع الحدث.

قاعدة ضرب احتمالات الأحداث المستقلة

احتمال تسلسل معين من الأحداث المستقلة يساوي حاصل ضرب احتمالات كل حدث

أحداث غير متوافقة

الأحداث غير المتوافقة هي تلك التي لا يمكن أن تحدث في وقت واحد نتيجة للتجربة. يشكل عدد من الأحداث غير المتوافقة مجموعة كاملة من الأحداث.

احتمالات الأحداث غير المتوافقة تضيف ما يصل.

بعد وصف ما يجب أن يحدث، باستخدام أدوات العطف "AND" أو "OR"، بدلاً من "AND" نضع علامة الضرب، وبدلاً من "OR" نضع علامة الجمع.

حسنا، انتهى الموضوع. إذا كنت تقرأ هذه السطور، فهذا يعني أنك رائع جداً.

لأن 5% فقط من الناس قادرون على إتقان شيء ما بأنفسهم. وإذا قرأت حتى النهاية فأنت في هذه الـ 5٪!

الآن الشيء الأكثر أهمية.

لقد فهمت النظرية حول هذا الموضوع. وأكرر، هذا... هذا رائع! أنت بالفعل أفضل من الغالبية العظمى من زملائك.

المشكلة هي أن هذا قد لا يكون كافيا..

لماذا؟

لاجتياز امتحان الدولة الموحدة بنجاح، والالتحاق بالجامعة بميزانية محدودة، والأهم من ذلك، مدى الحياة.

لن أقنعك بشيء، سأقول شيئًا واحدًا فقط..

الأشخاص الذين تلقوا تعليمًا جيدًا يكسبون أكثر بكثير من أولئك الذين لم يتلقوه. هذه إحصائيات.

لكن هذا ليس الشيء الرئيسي.

الشيء الرئيسي هو أنهم أكثر سعادة (هناك مثل هذه الدراسات). ربما لأن العديد من الفرص تنفتح أمامهم وتصبح الحياة أكثر إشراقًا؟ لا أعرف...

لكن فكر بنفسك..

ما الذي يتطلبه الأمر للتأكد من أنك أفضل من الآخرين في امتحان الدولة الموحدة وأن تكون في النهاية... أكثر سعادة؟

احصل على يدك من خلال حل المشكلات المتعلقة بهذا الموضوع.

لن يطلب منك أي نظرية أثناء الامتحان.

سوف تحتاج حل المشاكل مع الزمن.

وإذا لم تقم بحلها (كثيرًا!)، فمن المؤكد أنك سترتكب خطأً غبيًا في مكان ما أو ببساطة لن يكون لديك الوقت.

يبدو الأمر كما هو الحال في الرياضة - تحتاج إلى تكرار ذلك عدة مرات حتى تفوز بالتأكيد.

ابحث عن المجموعة أينما تريد، بالضرورة مع الحلول والتحليل التفصيليوتقرر، تقرر، تقرر!

يمكنك استخدام مهامنا (اختياري) ونحن بالطبع نوصي بها.

لكي تتحسن في استخدام مهامنا، تحتاج إلى المساعدة في إطالة عمر كتاب YouClever المدرسي الذي تقرأه حاليًا.

كيف؟ هناك خياران:

1. فتح جميع المهام المخفية في هذه المقالة - 299 فرك.
2. فتح الوصول إلى جميع المهام المخفية في جميع مقالات الكتاب المدرسي البالغ عددها 99 مقالة - 999 فرك.

نعم، لدينا 99 مقالة من هذا القبيل في كتابنا المدرسي ويمكن فتح الوصول إلى جميع المهام وجميع النصوص المخفية فيها على الفور.

في الحالة الثانية سوف نقدم لكمحاكي “6000 مسألة مع الحلول والأجوبة، لكل موضوع، بجميع مستويات التعقيد”. سيكون بالتأكيد كافيًا لوضع يديك على حل المشكلات المتعلقة بأي موضوع.

في الواقع، هذا أكثر بكثير من مجرد محاكاة - برنامج تدريبي كامل. إذا لزم الأمر، يمكنك أيضًا استخدامه مجانًا.

يتم توفير الوصول إلى جميع النصوص والبرامج طوال فترة وجود الموقع.

و في الختام...

إذا لم تعجبك مهامنا، ابحث عن مهام أخرى. فقط لا تتوقف عند النظرية.

إن "الفهم" و"أستطيع الحل" هما مهارتان مختلفتان تمامًا. أنت بحاجة إلى كليهما.

البحث عن المشاكل وحلها!

في الاقتصاد، كما هو الحال في مجالات أخرى من النشاط البشري أو في الطبيعة، يتعين علينا دائمًا التعامل مع الأحداث التي لا يمكن التنبؤ بها بدقة. وبالتالي، يعتمد حجم مبيعات المنتج على الطلب، والذي يمكن أن يختلف بشكل كبير، وعلى عدد من العوامل الأخرى التي يكاد يكون من المستحيل أخذها بعين الاعتبار. لذلك، عند تنظيم الإنتاج وتنفيذ المبيعات، عليك التنبؤ بنتائج هذه الأنشطة على أساس تجربتك السابقة، أو تجربة مماثلة لأشخاص آخرين، أو الحدس، الذي يعتمد أيضًا إلى حد كبير على البيانات التجريبية.

من أجل تقييم الحدث المعني بطريقة أو بأخرى، من الضروري مراعاة الظروف التي يتم تسجيل هذا الحدث فيها أو تنظيمها بشكل خاص.

يسمى تنفيذ شروط أو إجراءات معينة لتحديد الحدث المعني خبرةأو تجربة.

الحدث يسمى عشوائي، إذا كان نتيجة للتجربة قد يحدث أو لا يحدث.

الحدث يسمى موثوق، إذا ظهر بالضرورة نتيجة لتجربة معينة، و مستحيل، إذا لم يتمكن من الظهور في هذه التجربة.

على سبيل المثال، يعد تساقط الثلوج في موسكو يوم 30 نوفمبر حدثًا عشوائيًا. يمكن اعتبار شروق الشمس اليومي حدثًا موثوقًا به. يمكن اعتبار تساقط الثلوج عند خط الاستواء حدثا مستحيلا.

إحدى المهام الرئيسية في نظرية الاحتمالات هي مهمة تحديد مقياس كمي لاحتمال وقوع حدث ما.

جبر الأحداث

تسمى الأحداث غير متوافقة إذا لم يكن من الممكن ملاحظتها معًا في نفس التجربة. وبالتالي فإن وجود سيارتين وثلاث سيارات في متجر واحد للبيع في نفس الوقت يعد حدثين غير متوافقين.

كميةالأحداث هي حدث يتكون من وقوع حدث واحد على الأقل من هذه الأحداث

مثال على مجموع الأحداث هو وجود منتج واحد على الأقل من منتجين في المتجر.

العملالأحداث هي حدث يتكون من حدوث كل هذه الأحداث في وقت واحد

الحدث الذي يتكون من ظهور سلعتين في المتجر في نفس الوقت هو نتاج أحداث: - ظهور منتج واحد، - ظهور منتج آخر.

تشكل الأحداث مجموعة كاملة من الأحداث إذا كان من المؤكد حدوث واحد منها على الأقل في التجربة.

مثال.يحتوي الميناء على رصيفين لاستقبال السفن. ويمكن اعتبار ثلاثة أحداث: - غياب السفن على الأرصفة، - وجود سفينة واحدة على أحد الأرصفة، - وجود سفينتين على الرصيفين. تشكل هذه الأحداث الثلاثة مجموعة كاملة من الأحداث.

عكسيتم استدعاء حدثين محتملين فريدين يشكلان مجموعة كاملة.

إذا كان أحد الأحداث المعاكسة يُشار إليه بالرمز، فعادةً ما يُشار إلى الحدث المعاكس بالرمز .

التعريفات الكلاسيكية والإحصائية لاحتمال الحدث

تسمى كل نتيجة من نتائج الاختبارات (التجارب) المحتملة بالتساوي بالنتيجة الأولية. وعادة ما يتم تحديدها بالحروف. على سبيل المثال، تم رمي حجر النرد. يمكن أن يكون هناك إجمالي ستة نتائج أولية بناءً على عدد النقاط الموجودة على الجانبين.

من النتائج الأولية، يمكنك إنشاء حدث أكثر تعقيدا. وبالتالي، فإن حدث عدد زوجي من النقاط يتحدد بثلاث نتائج: 2، 4، 6.

المقياس الكمي لاحتمال وقوع الحدث المعني هو الاحتمال.

التعريفات الأكثر استخدامًا لاحتمال وقوع حدث هي: كلاسيكيو إحصائية.

يرتبط التعريف الكلاسيكي للاحتمال بمفهوم النتيجة الإيجابية.

تسمى النتيجة مواتيةلحدث معين إذا كان وقوعه يستلزم وقوع هذا الحدث.

في المثال أعلاه، الحدث المعني - عدد زوجي من النقاط على الجانب المتدحرج - له ثلاث نتائج إيجابية. في هذه الحالة الجنرال
عدد النتائج المحتملة وهذا يعني أنه يمكن هنا استخدام التعريف الكلاسيكي لاحتمال وقوع حدث ما.

التعريف الكلاسيكييساوي نسبة عدد النتائج الإيجابية إلى العدد الإجمالي للنتائج المحتملة

حيث احتمال الحدث، هو عدد النتائج المفضلة للحدث، هو العدد الإجمالي للنتائج المحتملة.

في المثال المعتبر

يرتبط التعريف الإحصائي للاحتمال بمفهوم التكرار النسبي لحدوث حدث ما في التجارب.

يتم حساب التكرار النسبي لحدوث حدث ما باستخدام الصيغة

أين هو عدد مرات حدوث حدث ما في سلسلة من التجارب (الاختبارات).

التعريف الإحصائي. احتمال وقوع حدث ما هو الرقم الذي يستقر حوله التردد النسبي (مجموعات) مع زيادة غير محدودة في عدد التجارب.

في المسائل العملية، يعتبر احتمال وقوع حدث ما هو التكرار النسبي لعدد كبير بما فيه الكفاية من المحاولات.

من هذه التعريفات لاحتمال وقوع حدث ما، من الواضح أن عدم المساواة يتم تلبيتها دائمًا

لتحديد احتمالية حدث ما بناءً على الصيغة (1.1)، غالبًا ما يتم استخدام الصيغ التوافقية، والتي تُستخدم للعثور على عدد النتائج المفضلة والعدد الإجمالي للنتائج المحتملة.

في البداية، باعتبارها مجرد مجموعة من المعلومات والملاحظات التجريبية حول لعبة النرد، أصبحت نظرية الاحتمال علمًا شاملاً. أول من أعطاها إطارًا رياضيًا هما فيرما وباسكال.

من التفكير في الأبدية إلى نظرية الاحتمال

الشخصان اللذان تدين لهما نظرية الاحتمالات بالعديد من صيغها الأساسية، بليز باسكال وتوماس بايز، معروفان بأنهما شخصان متدينان للغاية، والأخير هو وزير مشيخي. على ما يبدو، فإن رغبة هذين العالمين في إثبات مغالطة الرأي حول ثروة معينة، والتي تمنح حظا سعيدا لمفضلاتها، أعطت زخما للبحث في هذا المجال. ففي الواقع، أي لعبة قمار بمكاسبها وخسائرها هي مجرد سيمفونية من المبادئ الرياضية.

بفضل شغف شوفالييه دي مير، الذي كان مقامرًا ورجلًا غير مبالٍ بالعلم، اضطر باسكال إلى إيجاد طريقة لحساب الاحتمالات. كان De Mere مهتمًا بالسؤال التالي: "كم مرة تحتاج إلى رمي نردتين في أزواج بحيث يتجاوز احتمال الحصول على 12 نقطة 50٪؟" السؤال الثاني الذي كان محل اهتمام السيد الكبير: "كيف يتم تقسيم الرهان بين المشاركين في اللعبة غير المكتملة؟" بالطبع، أجاب باسكال بنجاح على سؤالي دي مير، الذي أصبح البادئ غير المقصود لتطوير نظرية الاحتمالات. ومن المثير للاهتمام أن شخصية دي مير ظلت معروفة في هذا المجال، وليس في الأدب.

في السابق، لم يحاول أي عالم رياضيات حساب احتمالات الأحداث، حيث كان يعتقد أن هذا كان مجرد حل تخميني. أعطى بليز باسكال التعريف الأول لاحتمال وقوع حدث ما وأظهر أنه رقم محدد يمكن تبريره رياضياً. أصبحت نظرية الاحتمالية أساس الإحصاء وتستخدم على نطاق واسع في العلوم الحديثة.

ما هي العشوائية

إذا أخذنا في الاعتبار اختبارًا يمكن تكراره لعدد لا نهائي من المرات، فيمكننا تحديد حدث عشوائي. وهذه إحدى النتائج المحتملة للتجربة.

الخبرة هي تنفيذ إجراءات محددة في ظل ظروف ثابتة.

لكي تتمكن من التعامل مع نتائج التجربة، عادة ما يتم تحديد الأحداث بالحروف A، B، C، D، E...

احتمال وقوع حدث عشوائي

من أجل البدء بالجزء الرياضي من الاحتمال، من الضروري تحديد جميع مكوناته.

احتمال وقوع حدث ما هو مقياس عددي لاحتمال وقوع حدث ما (أ أو ب) نتيجة للتجربة. يُشار إلى الاحتمال بالرمز P(A) أو P(B).

في نظرية الاحتمالات يميزون:

• موثوقالحدث مضمون الحدوث نتيجة للتجربة P(Ω) = 1؛
• مستحيللا يمكن أن يحدث هذا الحدث أبدًا P(Ø) = 0;
• عشوائييقع الحدث بين الموثوق به والمستحيل، أي أن احتمال حدوثه ممكن، لكنه غير مضمون (احتمال وقوع حدث عشوائي يكون دائمًا ضمن النطاق 0≥Р(А)≥ 1).

العلاقات بين الأحداث

يتم أخذ كل من الحدث واحد ومجموع الأحداث A+B في الاعتبار، عندما يتم حساب الحدث عند تحقيق واحد على الأقل من المكونات، A أو B، أو كليهما، A وB.

بالنسبة لبعضها البعض، يمكن أن تكون الأحداث:

• ممكن بنفس القدر.
• متناسق.
• غير متوافق.
• مقابل (متنافي).
• متكل.

إذا كان من الممكن حدوث حدثين باحتمال متساوي، فإنهما ممكن على قدم المساواة.

إذا كان وقوع الحدث (أ) لا يقلل من احتمال وقوع الحدث (ب) إلى الصفر، فإنهم متناسق.

إذا لم يحدث الحدثان A وB في نفس الوقت في نفس التجربة، فسيتم استدعاؤهما غير متوافق. ورمي العملة المعدنية مثال جيد: ظهور الرؤوس هو تلقائيًا عدم ظهور الرؤوس.

يتكون احتمال مجموع هذه الأحداث غير المتوافقة من مجموع احتمالات كل حدث من الأحداث:

ف(أ+ب)=ف(أ)+ف(ب)

وإذا كان وقوع حدث يجعل وقوع حدث آخر مستحيلا، فإنهما يطلق عليهما اسم مضاد. ثم يتم تعيين أحدهما على أنه A، والآخر - Ā (اقرأ كـ "ليس A"). وقوع الحدث A يعني أن Ā لم يحدث. يشكل هذان الحدثان مجموعة كاملة مجموع احتمالاتها يساوي 1.

الأحداث التابعة لها تأثير متبادل، مما يقلل أو يزيد من احتمال حدوث بعضها البعض.

العلاقات بين الأحداث. أمثلة

باستخدام الأمثلة، يكون من الأسهل بكثير فهم مبادئ نظرية الاحتمالات ومجموعات الأحداث.

التجربة التي سيتم تنفيذها هي إخراج الكرات من الصندوق، ونتيجة كل تجربة هي نتيجة أولية.

الحدث هو إحدى النتائج المحتملة للتجربة - كرة حمراء، وكرة زرقاء، وكرة ذات رقم ستة، وما إلى ذلك.

الاختبار رقم 1. هناك 6 كرات، ثلاث منها زرقاء وعليها أرقام فردية، والثلاث الأخرى حمراء وعليها أرقام زوجية.

الاختبار رقم 2. هناك 6 كرات زرقاء بأرقام من واحد إلى ستة.

بناءً على هذا المثال، يمكننا تسمية المجموعات:

• حدث موثوق.باللغة الاسبانية رقم 2، حدث "الحصول على الكرة الزرقاء" موثوق به، حيث أن احتمال حدوثه يساوي 1، نظرًا لأن جميع الكرات زرقاء ولا يمكن أن يكون هناك خطأ. في حين أن حدث "احصل على الكرة ذات الرقم 1" هو حدث عشوائي.
• حدث مستحيل.باللغة الاسبانية رقم 1 مع الكرات الزرقاء والحمراء، فإن حدث "الحصول على الكرة الأرجوانية" مستحيل، لأن احتمال حدوثه هو 0.
• الأحداث الممكنة على قدم المساواة.باللغة الاسبانية رقم 1، حدثا "الحصول على الكرة ذات الرقم 2" و"الحصول على الكرة ذات الرقم 3" ممكنان بالتساوي، وحدثا "الحصول على الكرة ذات الرقم الزوجي" و"الحصول على الكرة ذات الرقم 2" "لديها احتمالات مختلفة.
• الأحداث المتوافقة.يعد الحصول على ستة مرتين متتاليتين أثناء رمي حجر النرد حدثًا متوافقًا.
• أحداث غير متوافقةبنفس اللغة الإسبانية رقم 1، لا يمكن الجمع بين حدثي "الحصول على كرة حمراء" و"الحصول على كرة ذات رقم فردي" في نفس التجربة.
• الأحداث المعاكسة.وأبرز مثال على ذلك هو رمي العملة، حيث إن رسم الوجه يعادل عدم رسم الكتابة، ويكون مجموع احتمالاتها دائمًا 1 (المجموعة الكاملة).
• الأحداث التابعة. لذلك، باللغة الاسبانية رقم 1، يمكنك تحديد هدف سحب الكرة الحمراء مرتين على التوالي. سواء تم استرجاعه في المرة الأولى أم لا، فإنه يؤثر على احتمالية استرجاعه في المرة الثانية.

ويمكن ملاحظة أن الحدث الأول يؤثر بشكل كبير على احتمالية الحدث الثاني (40% و60%).

صيغة احتمال الحدث

يحدث الانتقال من الكهانة إلى البيانات الدقيقة من خلال ترجمة الموضوع إلى مستوى رياضي. أي أن الأحكام المتعلقة بحدث عشوائي مثل "الاحتمال الكبير" أو "الاحتمال الأدنى" يمكن ترجمتها إلى بيانات عددية محددة. يجوز بالفعل تقييم هذه المواد ومقارنتها وإدخالها في حسابات أكثر تعقيدًا.

من وجهة نظر حسابية، تحديد احتمالية حدث ما هو نسبة عدد النتائج الإيجابية الأولية إلى عدد جميع النتائج المحتملة للتجربة المتعلقة بحدث معين. يُشار إلى الاحتمالية بالرمز P(A)، حيث تشير P إلى كلمة "probabilite"، والتي تُترجم من الفرنسية إلى "probability".

لذا فإن صيغة احتمال وقوع حدث ما هي:

حيث m هو عدد النتائج الإيجابية للحدث A، وn هو مجموع كل النتائج الممكنة لهذه التجربة. في هذه الحالة، يكون احتمال وقوع الحدث دائمًا بين 0 و1:

0 ≥ ف (أ) ≥ 1.

حساب احتمال وقوع حدث. مثال

لنأخذ الإسبانية. رقم 1 بالكرات التي تم وصفها سابقاً: 3 كرات زرقاء بالأرقام 1/3/5 و 3 كرات حمراء بالأرقام 2/4/6.

بناءً على هذا الاختبار، يمكن النظر في عدة مشاكل مختلفة:

• أ- سقوط الكرة الحمراء. هناك 3 كرات حمراء، وهناك 6 خيارات في المجمل. هذا هو أبسط مثال يكون فيه احتمال وقوع حدث P(A)=3/6=0.5.
• ب- رمي عدد زوجي. هناك 3 أرقام زوجية (2،4،6)، والعدد الإجمالي للخيارات الرقمية الممكنة هو 6. احتمال هذا الحدث هو P(B)=3/6=0.5.
• C - حدوث رقم أكبر من 2. هناك 4 خيارات من هذا القبيل (3،4،5،6) من إجمالي عدد النتائج المحتملة لـ 6. احتمال الحدث C يساوي P(C)=4 /6=0.67.

كما يتبين من الحسابات، فإن الحدث C لديه احتمالية أعلى، لأن عدد النتائج الإيجابية المحتملة أعلى مما هو عليه في A وB.

أحداث غير متوافقة

ولا يمكن أن تظهر مثل هذه الأحداث في نفس الوقت في نفس التجربة. كما هو الحال في الإسبانية رقم 1: من المستحيل الحصول على كرة زرقاء وكرة حمراء في نفس الوقت. أي أنه يمكنك الحصول على كرة زرقاء أو حمراء. وبنفس الطريقة، لا يمكن أن يظهر رقم زوجي ورقم فردي في حجر النرد في نفس الوقت.

يعتبر احتمال وقوع حدثين بمثابة احتمال مجموعهما أو منتجهما. مجموع هذه الأحداث A+B يعتبر حدثًا يتكون من وقوع الحدث A أو B، وحاصل ضربهما AB هو حدوث كليهما. على سبيل المثال، ظهور ستين مرة واحدة على وجوه حجري النرد في رمية واحدة.

مجموع عدة أحداث هو حدث يفترض حدوث واحد منهم على الأقل. إن إنتاج العديد من الأحداث هو حدوثها جميعًا بشكل مشترك.

في نظرية الاحتمالات، كقاعدة عامة، يشير استخدام الاقتران "و" إلى المبلغ، والاقتران "أو" - الضرب. ستساعدك الصيغ مع الأمثلة على فهم منطق الجمع والضرب في نظرية الاحتمالات.

احتمال مجموع الأحداث غير المتوافقة

إذا أخذ في الاعتبار احتمال الأحداث غير المتوافقة، فإن احتمال مجموع الأحداث يساوي جمع احتمالاتها:

ف(أ+ب)=ف(أ)+ف(ب)

على سبيل المثال: دعونا نحسب الاحتمالية باللغة الإسبانية. رقم 1 بالكرات الزرقاء والحمراء، سيظهر رقم بين 1 و4، ولن نقوم بالحساب في إجراء واحد، ولكن من خلال مجموع احتمالات المكونات الأولية. لذلك، في مثل هذه التجربة لا يوجد سوى 6 كرات أو 6 من جميع النتائج المحتملة. الأرقام التي تحقق الشرط هي 2 و 3. احتمال الحصول على الرقم 2 هو 1/6، واحتمال الحصول على الرقم 3 هو أيضًا 1/6. احتمال الحصول على رقم بين 1 و 4 هو:

احتمال مجموع الأحداث غير المتوافقة للمجموعة الكاملة هو 1.

لذا، إذا قمنا في تجربة على المكعب بجمع احتمالات ظهور جميع الأرقام، فستكون النتيجة واحدة.

وهذا ينطبق أيضًا على الأحداث المعاكسة، على سبيل المثال في تجربة العملة المعدنية، حيث يكون أحد وجهيها هو الحدث A، والآخر هو الحدث المعاكس Ā، كما هو معروف،

ف(أ) + ف(Ā) = 1

احتمال وقوع أحداث غير متوافقة

يتم استخدام ضرب الاحتمال عند النظر في وقوع حدثين أو أكثر غير متوافقين في ملاحظة واحدة. احتمال ظهور الحدثين A وB في وقت واحد يساوي حاصل ضرب احتمالاتهما، أو:

ف(أ*ب)=ف(أ)*ف(ب)

على سبيل المثال، احتمال أن باللغة الإسبانية رقم 1 نتيجة محاولتين ستظهر كرة زرقاء مرتين تساوي

وهذا يعني أن احتمال وقوع حدث عندما يتم استخراج الكرات الزرقاء فقط، نتيجة لمحاولتين لاستخراج الكرات، هو 25%. من السهل جدًا إجراء تجارب عملية على هذه المشكلة ومعرفة ما إذا كان هذا هو الحال بالفعل.

الأحداث المشتركة

تعتبر الأحداث مشتركة عندما يتزامن وقوع إحداها مع وقوع أخرى. وعلى الرغم من كونها مشتركة، إلا أنه يتم أخذ احتمالية الأحداث المستقلة بعين الاعتبار. على سبيل المثال، يمكن أن يعطي رمي نردتين نتيجة عندما يظهر الرقم 6 على كليهما، على الرغم من أن الأحداث تزامنت وظهرت في نفس الوقت، إلا أنها مستقلة عن بعضها البعض - يمكن أن يسقط واحد فقط ستة، أما النرد الثاني فلا يوجد به. التأثير عليه.

يعتبر احتمال الأحداث المشتركة بمثابة احتمال مجموعها.

احتمال مجموع الأحداث المشتركة. مثال

احتمال مجموع الأحداث A و B، المشتركة فيما يتعلق ببعضها البعض، يساوي مجموع احتمالات الحدث مطروحًا منه احتمال حدوثها (أي حدوثها المشترك):

R مشترك (أ+ب)=ف(أ)+ف(ب)- ف(AB)

لنفترض أن احتمال إصابة الهدف برصاصة واحدة هو 0.4. ثم الحدث أ يصيب الهدف في المحاولة الأولى، والحدث ب - في الثانية. هذه الأحداث مشتركة، لأنه من الممكن أن تتمكن من إصابة الهدف بالطلقتين الأولى والثانية. لكن الأحداث لا تعتمد. ما هو احتمال وقوع حدث إصابة الهدف بطلقتين (واحدة على الأقل)؟ وفقا للصيغة:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

الجواب على السؤال هو: "احتمال إصابة الهدف برصاصتين هو 64%".

يمكن أيضًا تطبيق هذه الصيغة الخاصة باحتمال وقوع حدث ما على الأحداث غير المتوافقة، حيث احتمال الحدوث المشترك لحدث ما P(AB) = 0. وهذا يعني أن احتمال مجموع الأحداث غير المتوافقة يمكن اعتباره حالة خاصة من الصيغة المقترحة.

هندسة الاحتمالية للوضوح

ومن المثير للاهتمام أنه يمكن تمثيل احتمال مجموع الأحداث المشتركة كمنطقتين A وB، تتقاطعان مع بعضهما البعض. وكما يتبين من الصورة فإن مساحة اتحادهما تساوي المساحة الكلية ناقص مساحة تقاطعهما. هذا التفسير الهندسي يجعل الصيغة التي تبدو غير منطقية أكثر قابلية للفهم. لاحظ أن الحلول الهندسية ليست غير شائعة في نظرية الاحتمالات.

إن تحديد احتمالية مجموع العديد من الأحداث المشتركة (أكثر من حدثين) أمر مرهق للغاية. لحساب ذلك، تحتاج إلى استخدام الصيغ المتوفرة لهذه الحالات.

الأحداث التابعة

تسمى الأحداث تابعة إذا كان وقوع أحدها (أ) يؤثر على احتمال وقوع حدث آخر (ب). علاوة على ذلك، يؤخذ في الاعتبار تأثير كل من وقوع الحدث أ وعدم وقوعه. على الرغم من أن الأحداث تسمى تابعة حسب التعريف، إلا أن واحدًا منها فقط هو تابع (B). تمت الإشارة إلى الاحتمال العادي على أنه P (B) أو احتمال الأحداث المستقلة. في حالة الأحداث التابعة، يتم تقديم مفهوم جديد - الاحتمال الشرطي P A (B)، وهو احتمال الحدث التابع B، بشرط حدوث الحدث A (الفرضية)، والذي يعتمد عليه.

لكن الحدث A عشوائي أيضًا، لذا فهو يحتوي أيضًا على احتمالية يمكن أخذها بعين الاعتبار في الحسابات التي يتم إجراؤها. سيوضح المثال التالي كيفية التعامل مع الأحداث التابعة والفرضية.

مثال لحساب احتمالية الأحداث التابعة

من الأمثلة الجيدة لحساب الأحداث التابعة مجموعة البطاقات القياسية.

باستخدام مجموعة من 36 بطاقة كمثال، دعونا نلقي نظرة على الأحداث التابعة. نحتاج إلى تحديد احتمال أن تكون البطاقة الثانية المسحوبة من المجموعة من الماس إذا كانت البطاقة الأولى المسحوبة هي:

1. بوبنوفايا.
2. لون مختلف.

من الواضح أن احتمال الحدث الثاني B يعتمد على الأول A. لذلك، إذا كان الخيار الأول صحيحًا، حيث يوجد بطاقة واحدة (35) وماسة واحدة (8) أقل في المجموعة، فإن احتمال الحدث B:

ر أ (ب) = 8/35=0.23

إذا كان الخيار الثاني صحيحًا، فإن المجموعة بها 35 بطاقة، ولا يزال العدد الكامل للماسات (9) محتفظًا به، عندها يكون احتمال الحدث التالي B:

ر أ (ب) = 9/35 = 0.26.

يمكن ملاحظة أنه إذا كان الحدث A مشروطًا بحقيقة أن البطاقة الأولى عبارة عن ألماسة، فإن احتمالية الحدث B تقل، والعكس صحيح.

ضرب الأحداث التابعة

مسترشدين بالفصل السابق، فإننا نقبل الحدث الأول (أ) كحقيقة، لكنه في جوهره ذو طبيعة عشوائية. احتمال هذا الحدث، وهو سحب الماسة من مجموعة أوراق اللعب، يساوي:

ف(أ) = 9/36=1/4

وبما أن النظرية لا توجد من تلقاء نفسها، ولكن المقصود منها أن تخدم لأغراض عملية، فمن العدل أن نلاحظ أن ما نحتاجه في أغلب الأحيان هو احتمال إنتاج أحداث تابعة.

وفقًا لنظرية حاصل ضرب احتمالات الأحداث التابعة، فإن احتمال وقوع الأحداث المعتمدة بشكل مشترك A و B يساوي احتمال وقوع حدث واحد A، مضروبًا في الاحتمال الشرطي للحدث B (يعتمد على A):

ف(AB) = ف(أ) *ف أ(ب)

بعد ذلك، في مثال المجموعة، احتمال سحب ورقتين ببدلة الماس هو:

9/36*8/35=0.0571 أو 5.7%

واحتمال استخراج ليس الماس أولاً ثم الماس يساوي:

27/36*9/35=0.19 أو 19%

يمكن ملاحظة أن احتمال وقوع الحدث B يكون أكبر بشرط أن تكون البطاقة الأولى المسحوبة من نوع آخر غير الماس. هذه النتيجة منطقية ومفهومة تماما.

الاحتمال الإجمالي لحدث ما

عندما تصبح مشكلة الاحتمالات الشرطية متعددة الأوجه، لا يمكن حسابها باستخدام الطرق التقليدية. عندما يكون هناك أكثر من فرضيتين وهما A1، A2،…، A n، .. تشكل مجموعة كاملة من الأحداث المقدمة:

• ف(أ ط)>0، ط=1،2،…
• أ أنا ∩ أ ي = Ø,i≠j.
• Σ ك ك =Ω.

لذا، فإن صيغة الاحتمال الإجمالي للحدث B مع مجموعة كاملة من الأحداث العشوائية A1، A2،...، A n تساوي:

التطلع إلى المستقبل

يعد احتمال وقوع حدث عشوائي ضروريًا للغاية في العديد من مجالات العلوم: الاقتصاد القياسي، والإحصاء، والفيزياء، وما إلى ذلك. نظرًا لأنه لا يمكن وصف بعض العمليات بشكل حتمي، نظرًا لأنها هي نفسها احتمالية بطبيعتها، فإن هناك حاجة إلى أساليب عمل خاصة. يمكن استخدام نظرية احتمال الحدث في أي مجال تكنولوجي كوسيلة لتحديد احتمال حدوث خطأ أو عطل.

يمكننا القول أنه من خلال التعرف على الاحتمالية، فإننا بطريقة ما نتخذ خطوة نظرية نحو المستقبل، وننظر إليه من خلال منظور الصيغ.

في مدونتي، ترجمة للمحاضرة القادمة من دورة "مبادئ توازن اللعبة" لمصمم الألعاب جان شرايبر، الذي عمل في مشاريع مثل Marvel Trading Card Game وPlayboy: the Mansion.

حتى الآن، كل ما تحدثنا عنه تقريبًا كان حتميًا، وفي الأسبوع الماضي ألقينا نظرة فاحصة على الميكانيكا المتعدية، ودخلنا في أكبر قدر ممكن من التفاصيل التي يمكنني شرحها. لكن حتى الآن لم ننتبه إلى جانب آخر في العديد من الألعاب، وهو الجوانب غير الحتمية - وبعبارة أخرى، العشوائية.

إن فهم طبيعة العشوائية مهم جدًا لمصممي الألعاب. نقوم بإنشاء أنظمة تؤثر على تجربة المستخدم في لعبة معينة، لذلك نحتاج إلى معرفة كيفية عمل تلك الأنظمة. إذا كانت هناك عشوائية في نظام ما، فيجب علينا أن نفهم طبيعة هذه العشوائية ونعرف كيفية تغييرها حتى نحصل على النتائج التي نحتاجها.

النرد

لنبدأ بشيء بسيط - رمي النرد. عندما يفكر معظم الناس في النرد، فإنهم يفكرون في حجر النرد ذو الستة جوانب المعروف باسم d6. لكن معظم اللاعبين شاهدوا العديد من أحجار النرد الأخرى: رباعي السطوح (d4)، مثمن (d8)، اثني عشر ضلعًا (d12)، عشرين ضلعًا (d20). إذا كنت مهووسًا حقيقيًا، فقد يكون لديك نرد ذو 30 أو 100 جانب في مكان ما.

إذا لم تكن على دراية بالمصطلحات، فإن d يرمز إلى die، والرقم الذي يليه هو عدد أضلاعه. إذا ظهر الرقم قبل d، فإنه يشير إلى عدد النرد المطلوب رميه. على سبيل المثال، في لعبة المونوبولي، تقوم بتدوير 2d6.

لذلك، في هذه الحالة، عبارة "النرد" هي رمز. هناك عدد كبير من مولدات الأرقام العشوائية الأخرى التي لا تشبه الأشكال البلاستيكية، ولكنها تؤدي نفس الوظيفة - توليد رقم عشوائي من 1 إلى n. يمكن أيضًا تمثيل العملة العادية على شكل نرد ثنائي السطوح d2.

رأيت تصميمين لنرد ذي سبعة جوانب: أحدهما يشبه النرد، والآخر يشبه قلم رصاص خشبي ذي سبعة جوانب. يشبه دريديل رباعي السطوح، المعروف أيضًا باسم تيتوتوم، عظم رباعي السطوح. لوحة الأسهم الدوارة في Chutes & Ladders، حيث يمكن أن تتراوح النتائج من 1 إلى 6، تتوافق مع حجر نرد ذي ستة جوانب.

يمكن لمولد الأرقام العشوائية للكمبيوتر إنشاء أي رقم من 1 إلى 19 إذا حدده المصمم، على الرغم من أن الكمبيوتر لا يحتوي على قالب ذو 19 وجهًا (بشكل عام، سأتحدث أكثر عن احتمالية ظهور الأرقام على الكمبيوتر الأسبوع المقبل). تبدو كل هذه العناصر مختلفة، لكنها في الواقع متكافئة: لديك فرصة متساوية لكل من النتائج المحتملة العديدة.

يحتوي النرد على بعض الخصائص المثيرة للاهتمام التي نحتاج إلى معرفتها. أولاً، احتمال الهبوط على كلا الوجهين هو نفسه (أفترض أنك تدحرج نردًا منتظم الشكل). إذا كنت تريد معرفة متوسط ​​قيمة اللفة (يُعرف هذا بالقيمة المتوقعة لأولئك المهتمين بالاحتمالات)، فاجمع القيم الموجودة على جميع الحواف واقسم هذا الرقم على عدد الحواف.

مجموع قيم جميع جوانب القالب القياسي ذو الستة جوانب هو 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21. اقسم 21 على عدد الجوانب واحصل على متوسط ​​قيمة اللفة: 21 / 6 = 3.5. هذه حالة خاصة لأننا نفترض أن جميع النتائج متساوية في الاحتمال.

ماذا لو كان لديك نرد خاص؟ على سبيل المثال، رأيت لعبة نرد ذات ستة جوانب مع ملصقات خاصة على الجوانب: 1، 1، 1، 2، 2، 3، لذا فهي تتصرف مثل نرد غريب ثلاثي الجوانب من المرجح أن يلقي الرقم 1 بدلاً من النرد. 2. ومن الأرجح أن يحصل على 2 بدلاً من 3. ما هو متوسط ​​لفة هذا النرد؟ لذلك، 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 3 = 10، مقسوما على 6 - اتضح 5 / 3، أو حوالي 1.66. لذا، إذا كان لديك حجر نرد خاص وقام اللاعبون برمي ثلاثة أحجار نرد ثم جمعوا النتائج - فأنت تعلم أن مجموع رزمهم سيصل إلى حوالي 5، ويمكنك موازنة اللعبة بناءً على هذا الافتراض.

النرد والاستقلال

وكما قلت من قبل، فإننا ننطلق من افتراض أن احتمالات سقوط كل جانب متساوية. لا يهم عدد النرد الذي تدحرجه. كل رمية نرد مستقلة، مما يعني أن الرميات السابقة لا تؤثر على نتائج الرميات اللاحقة. مع وجود تجارب كافية، لا بد أن تلاحظ سلسلة من الأرقام - مثل الحصول على أرقام أعلى أو أقل في الغالب - أو ميزات أخرى، ولكن هذا لا يعني أن النرد "ساخن" أو "بارد". سنتحدث عن هذا لاحقا.

إذا قمت برمي نرد قياسي ذي ستة جوانب وظهر الرقم 6 مرتين على التوالي، فإن احتمال أن تؤدي الرمية التالية إلى الرقم 6 هو بالضبط 1/6. ولا يزيد الاحتمال لأن النرد قد "سخن". . في الوقت نفسه، لا ينخفض ​​\u200b\u200bالاحتمال: من غير الصحيح أن نسبب أن الرقم 6 قد ظهر بالفعل مرتين على التوالي، مما يعني أن الجانب الآخر يجب أن يظهر الآن.

بالطبع، إذا رميت حجر النرد عشرين مرة وحصلت على 6 في كل مرة، فإن احتمال أن تحصل على 6 في المرة الحادية والعشرين يكون مرتفعًا جدًا: ربما يكون لديك حجر النرد الخطأ. ولكن إذا كان حجر النرد عادلاً، فإن كل جانب لديه نفس احتمالية الهبوط، بغض النظر عن نتائج الرميات الأخرى. يمكنك أيضًا أن تتخيل أننا نستبدل النرد في كل مرة: إذا تم رمي الرقم 6 مرتين على التوالي، فقم بإزالة النرد "الساخن" من اللعبة واستبدله بآخر جديد. أعتذر إذا كان أي منكم يعرف هذا الأمر بالفعل، لكني كنت بحاجة إلى توضيح هذا الأمر قبل المضي قدمًا.

كيفية جعل النرد يتدحرج بشكل عشوائي أكثر أو أقل

دعونا نتحدث عن كيفية الحصول على نتائج مختلفة على أحجار النرد المختلفة. سواء قمت برمي حجر النرد مرة واحدة فقط أو عدة مرات، ستشعر باللعبة بشكل أكثر عشوائية عندما يكون للنرد جوانب أكثر. كلما زاد عدد مرات رمي ​​النرد، وكلما زاد عدد النرد، كلما اقتربت النتائج من المتوسط.

على سبيل المثال، في حالة 1d6 + 4 (أي إذا ألقيت حجر نرد قياسي ذي ستة جوانب مرة واحدة وأضفت 4 إلى النتيجة)، سيكون المتوسط ​​رقمًا بين 5 و10. إذا رميت 5d2، فإن المتوسط سيكون أيضًا رقمًا بين 5 و10. وستكون نتائج التدوير 5d2 هي بشكل أساسي الأرقام 7 و8، وفي كثير من الأحيان قيم أخرى. نفس السلسلة، وحتى نفس القيمة المتوسطة (في كلتا الحالتين 7.5)، ولكن طبيعة العشوائية مختلفة.

انتظر دقيقة. ألم أقل أن النرد لا "يسخن" أو "يبرد"؟ الآن أقول: إذا ألقيت الكثير من النرد، فإن نتائج اللفات ستقترب من المتوسط. لماذا؟

اسمحوا لي أن أشرح. إذا قمت برمي حجر نرد واحد، فإن كل جانب لديه نفس احتمالية الهبوط. هذا يعني أنه إذا قمت برمي الكثير من النرد بمرور الوقت، فسيظهر كل جانب بنفس عدد المرات تقريبًا. كلما زاد عدد النرد الذي رميته، كلما اقتربت النتيجة الإجمالية من المتوسط.

وهذا ليس لأن الرقم المرسوم "يجبر" رقمًا آخر لم يتم سحبه بعد. ولكن لأن سلسلة صغيرة من طرح الرقم 6 (أو 20، أو رقم آخر) في النهاية لن تؤثر على النتيجة كثيرًا إذا قمت برمي النرد عشرة آلاف مرة أخرى وسيظهر الرقم المتوسط ​​في الغالب. الآن سوف تحصل على عدد قليل من الأرقام الكبيرة، وبعد ذلك عدد قليل من الأرقام الصغيرة - ومع مرور الوقت سوف تقترب من المتوسط.

هذا ليس لأن الرميات السابقة تؤثر على النرد (على محمل الجد، النرد مصنوع من البلاستيك، وليس لديه العقل ليفكر، "أوه، لقد مر وقت طويل منذ أن رميت 2")، ولكن لأن هذا هو ما عادة يحدث عندما تقوم برمي عدد كبير من لفات النرد

وبالتالي، فمن السهل جدًا إجراء العمليات الحسابية لرمية نرد عشوائية واحدة - على الأقل لحساب متوسط ​​قيمة اللفة. هناك أيضًا طرق لحساب "مدى عشوائية" شيء ما والقول إن نتائج التدوير 1d6 + 4 ستكون "أكثر عشوائية" من 5d2. بالنسبة إلى 5d2، سيتم توزيع اللفات بشكل متساوٍ. للقيام بذلك، تحتاج إلى حساب الانحراف المعياري: كلما كانت القيمة أكبر، كلما كانت النتائج أكثر عشوائية. لا أود أن أقدم الكثير من الحسابات اليوم، وسأشرح هذا الموضوع لاحقًا.

الشيء الوحيد الذي سأطلب منك أن تتذكره هو أنه، كقاعدة عامة، كلما قل عدد النرد الذي رميته، زادت العشوائية. وكلما زاد عدد جوانب النرد، زادت العشوائية، نظرًا لوجود المزيد من خيارات القيمة الممكنة.

كيفية حساب الاحتمالية باستخدام العد

قد يكون لديك سؤال: كيف يمكننا حساب الاحتمالية الدقيقة للحصول على نتيجة معينة؟ في الواقع، هذا مهم جدًا للعديد من الألعاب: إذا قمت برمي النرد في البداية - فمن المرجح أن يكون هناك نوع من النتيجة المثالية. جوابي هو: نحن بحاجة لحساب قيمتين. أولاً، إجمالي عدد النتائج عند رمي حجر النرد، وثانيًا، عدد النتائج الإيجابية. قسمة القيمة الثانية على الأولى سيعطيك الاحتمال المطلوب. للحصول على النسبة المئوية، اضرب النتيجة في 100.

أمثلة

وهنا مثال بسيط جدا. تريد أن يرمي الرقم 4 أو أعلى حجر النرد ذي الجوانب الستة مرة واحدة. الحد الأقصى لعدد النتائج هو 6 (1، 2، 3، 4، 5، 6). ومن بين هذه النتائج، هناك 3 نتائج (4، 5، 6) مواتية. هذا يعني أنه لحساب الاحتمال، نقسم 3 على 6 ونحصل على 0.5 أو 50%.

إليك مثالًا أكثر تعقيدًا بعض الشيء. تريد رقمًا زوجيًا عند تدوير 2d6. الحد الأقصى لعدد النتائج هو 36 (6 خيارات لكل حجر نرد، لن يؤثر حجر النرد على الآخر، لذا اضرب 6 في 6 واحصل على 36). تكمن صعوبة هذا النوع من الأسئلة في سهولة العد مرتين. على سبيل المثال، عند تدوير 2d6، هناك نتيجتان محتملتان للرقم 3: 1+2 و2+1. تبدو متشابهة، لكن الاختلاف هو الرقم الذي يتم عرضه على النرد الأول والرقم الذي يتم عرضه على القالب الثاني.

يمكنك أيضًا أن تتخيل أن النرد له ألوان مختلفة: على سبيل المثال، في هذه الحالة، يكون أحد النردين أحمر والآخر أزرق. ثم قم بحساب عدد الخيارات للحصول على رقم زوجي:

• 2 (1+1);
• 4 (1+3);
• 4 (2+2);
• 4 (3+1);
• 6 (1+5);
• 6 (2+4);
• 6 (3+3);
• 6 (4+2);
• 6 (5+1);
• 8 (2+6);
• 8 (3+5);
• 8 (4+4);
• 8 (5+3);
• 8 (6+2);
• 10 (4+6);
• 10 (5+5);
• 10 (6+4);
• 12 (6+6).

اتضح أن هناك 18 خيارًا للحصول على نتيجة إيجابية من أصل 36 - كما في الحالة السابقة يكون الاحتمال 0.5 أو 50٪. ربما غير متوقع، ولكنه دقيق للغاية.

محاكاة مونت كارلو

ماذا لو كان لديك الكثير من النرد لإجراء هذه العملية الحسابية؟ على سبيل المثال، تريد أن تعرف ما هو احتمال الحصول على إجمالي 15 أو أكثر عند تدوير 8d6. هناك عدد كبير من النتائج المختلفة لثمانية أحجار نرد، وقد يستغرق عدها يدويًا وقتًا طويلاً للغاية - حتى لو تمكنا من إيجاد حل جيد لتجميع مجموعات مختلفة من لفات النرد.

في هذه الحالة، أسهل طريقة ليست العد يدويًا، بل استخدام الكمبيوتر. هناك طريقتان لحساب الاحتمالية على الكمبيوتر. يمكن أن تعطيك الطريقة الأولى إجابة دقيقة، ولكنها تتضمن القليل من البرمجة أو البرمجة النصية. سوف ينظر الكمبيوتر في كل احتمال، ويقيم ويحصي العدد الإجمالي للتكرارات وعدد التكرارات التي تطابق النتيجة المطلوبة، ثم يقدم الإجابات. قد يبدو الرمز الخاص بك كما يلي:

إذا كنت لا تفهم البرمجة وتحتاج إلى إجابة تقريبية بدلاً من إجابة محددة، فيمكنك محاكاة هذا الموقف في Excel، حيث تقوم بتدوير 8d6 عدة آلاف من المرات وتحصل على الإجابة. لتدوير 1d6 في Excel، استخدم الصيغة =FLOOR(RAND()*6)+1.

هناك اسم للموقف عندما لا تعرف الإجابة وحاول فقط مرارًا وتكرارًا - محاكاة مونت كارلو. يعد هذا حلاً رائعًا لاستخدامه عندما يكون حساب الاحتمالية صعبًا للغاية. الشيء العظيم هو أننا في هذه الحالة لا نحتاج إلى فهم كيفية إجراء العمليات الحسابية، ونعلم أن الإجابة ستكون "جيدة جدًا" لأنه، كما نعلم بالفعل، كلما زاد عدد اللفات، كلما اقتربت النتيجة من النتيجة متوسط.

كيفية الجمع بين التجارب المستقلة

إذا سألت عن تجارب متعددة متكررة ولكن مستقلة، فإن نتيجة إحدى اللفات لا تؤثر على نتائج اللفات الأخرى. هناك تفسير آخر أبسط لهذا الموقف.

كيفية التمييز بين شيء تابع ومستقل؟ في الأساس، إذا كان بإمكانك عزل كل رمية (أو سلسلة رميات) لنرد كحدث منفصل، فهو مستقل. على سبيل المثال، نرمي 8d6 ونريد إجمالي 15. لا يمكن تقسيم هذا الحدث إلى عدة رميات نرد مستقلة. للحصول على النتيجة، عليك حساب مجموع كل القيم، وبالتالي فإن النتيجة التي تظهر على قالب واحد تؤثر على النتائج التي يجب أن تظهر على القوالب الأخرى.

فيما يلي مثال على الرميات المستقلة: أنت تلعب لعبة النرد، وتقوم برمي النرد ذي الجوانب الستة عدة مرات. يجب أن تكون اللفة الأولى 2 أو أعلى للبقاء في اللعبة. للرمية الثانية - 3 أو أعلى. الثالثة تتطلب 4 أو أعلى، والرابع يتطلب 5 أو أعلى، والخامس يتطلب 6. إذا نجحت جميع اللفات الخمس، فستفوز. في هذه الحالة، جميع الرميات مستقلة. نعم، إذا لم تنجح رمية واحدة، فسوف تؤثر على نتيجة المباراة بأكملها، لكن رمية واحدة لا تؤثر على الأخرى. على سبيل المثال، إذا كانت رمية النرد الثانية ناجحة جدًا، فهذا لا يعني أن الرميات التالية ستكون بنفس الجودة. لذلك، يمكننا أن نفكر في احتمال رمية كل حجر نرد على حدة.

إذا كان لديك احتمالات مستقلة وتريد أن تعرف ما هو احتمال وقوع جميع الأحداث، فعليك تحديد كل احتمال على حدة وضربهم معًا. طريقة أخرى: إذا كنت تستخدم حرف العطف "و" لوصف عدة شروط (على سبيل المثال، ما هو احتمال حدوث بعض الأحداث العشوائية وبعض الأحداث العشوائية المستقلة الأخرى؟) - احسب الاحتمالات الفردية واضربها.

بغض النظر عما تعتقده، لا تضيف أبدًا احتمالات مستقلة. وهذا خطأ شائع. لفهم سبب خطأ ذلك، تخيل موقفًا تقوم فيه برمي عملة معدنية وتريد أن تعرف ما هو احتمال ظهور الصورة مرتين على التوالي. احتمال سقوط كل جانب هو 50٪. إذا قمت بجمع هذين الاحتمالين، فستحصل على فرصة بنسبة 100% للحصول على صورة، لكننا نعلم أن هذا ليس صحيحًا لأنه من الممكن أن تكون الصورة مرتين متتاليتين. إذا قمت بدلاً من ذلك بضرب الاحتمالين، فستحصل على 50% * 50% = 25% - وهي الإجابة الصحيحة لحساب احتمال الحصول على صورة مرتين على التوالي.

مثال

دعنا نعود إلى لعبة النرد ذات الجوانب الستة، حيث تحتاج أولاً إلى رمي رقم أكبر من 2، ثم أكبر من 3 - وهكذا حتى الرقم 6. ما هي احتمالات أن تكون جميع النتائج في سلسلة معينة من خمس لفات مواتية؟ ؟

كما هو مذكور أعلاه، هذه تجارب مستقلة، لذلك نحسب احتمالية كل لفة فردية ثم نضربها معًا. احتمال أن تكون نتيجة اللفة الأولى مواتية هو 5/6. الثاني - 4/6. الثالث - 3/6. الرابع - 2/6، الخامس - 1/6. نضرب جميع النتائج ببعضنا البعض ونحصل على 1.5٪ تقريبًا. الانتصارات في هذه اللعبة نادرة جدًا، لذا إذا أضفت هذا العنصر إلى لعبتك، فستحتاج إلى الفوز بالجائزة الكبرى إلى حد ما.

النفي

إليك نصيحة أخرى مفيدة: في بعض الأحيان يكون من الصعب حساب احتمالية وقوع حدث ما، ولكن من الأسهل تحديد احتمالات عدم وقوع الحدث. على سبيل المثال، لنفترض أن لدينا لعبة أخرى: تحصل على 6d6 وتفوز إذا حصلت على 6 مرة واحدة على الأقل. ما هو احتمال الفوز؟

في هذه الحالة، هناك العديد من الخيارات للنظر فيها. من الممكن أن يتم رمي رقم واحد 6، أي أن أحد النرد سيظهر الرقم 6، والآخر سيظهر الأرقام من 1 إلى 5، ثم هناك 6 خيارات لأي من النرد سيظهر 6. يمكنك الحصول على الرقم 6 على نردتين، أو ثلاثة، أو حتى أكثر، وفي كل مرة ستحتاج إلى إجراء عملية حسابية منفصلة، ​​لذلك من السهل الخلط هنا.

لكن دعونا ننظر إلى المشكلة من الجانب الآخر. سوف تخسر إذا لم يصل أي من حجر النرد إلى 6. في هذه الحالة لدينا 6 تجارب مستقلة. احتمال أن يرمي كل حجر نرد رقمًا غير 6 هو 5/6. اضربهم وستحصل على حوالي 33٪. وبالتالي فإن احتمال الخسارة هو واحد من كل ثلاثة. ولذلك فإن احتمال الفوز هو 67% (أو اثنين إلى ثلاثة).

من هذا المثال، من الواضح: إذا قمت بحساب احتمال عدم حدوث حدث ما، فأنت بحاجة إلى طرح النتيجة من 100٪. إذا كان احتمال الفوز 67%، فإن احتمال الخسارة هو 100% ناقص 67%، أو 33%، والعكس صحيح. إذا كان من الصعب حساب احتمال واحد ولكن من السهل حساب العكس، فاحسب العكس ثم اطرح هذا الرقم من 100%.

نحن نجمع الشروط لاختبار واحد مستقل

لقد قلت أعلاه أنه لا ينبغي عليك أبدًا إضافة الاحتمالات عبر التجارب المستقلة. هل هناك أي حالات يمكن فيها جمع الاحتمالات؟ نعم، في حالة واحدة خاصة.

إذا كنت تريد حساب احتمالية عدة نتائج إيجابية غير مرتبطة في تجربة واحدة، فاجمع احتمالات كل نتيجة إيجابية. على سبيل المثال، احتمال ظهور الأرقام 4 أو 5 أو 6 في 1d6 يساوي مجموع احتمال ظهور الرقم 4، واحتمال الرقم 5، واحتمال الرقم 6. ويمكن تمثيل هذا الموقف على النحو التالي: ما يلي: إذا استخدمت الارتباط "أو" في سؤال حول الاحتمالية (على سبيل المثال، ما هو احتمال نتيجة واحدة أو أخرى لحدث عشوائي واحد؟) - احسب الاحتمالات الفردية وقم بتلخيصها.

يرجى ملاحظة: عند قيامك بحساب جميع النتائج المحتملة للعبة ما، يجب أن يكون مجموع احتمالات حدوثها مساويًا لـ 100%، وإلا فإن حسابك قد تم بشكل غير صحيح. هذه طريقة جيدة للتحقق مرة أخرى من حساباتك. على سبيل المثال، قمت بتحليل احتمالية جميع المجموعات في لعبة البوكر. إذا قمت بجمع جميع النتائج، فيجب أن تحصل على 100% بالضبط (أو على الأقل قريبة إلى حد ما من 100%: إذا كنت تستخدم الآلة الحاسبة، فقد يكون هناك خطأ تقريب بسيط، ولكن إذا قمت بجمع الأرقام الدقيقة يدويًا، فسيختفي كل شيء). يجب أن تضيف). إذا لم يتقارب المجموع، فهذا يعني أنك على الأرجح لم تأخذ في الاعتبار بعض المجموعات أو قمت بحساب احتمالات بعض المجموعات بشكل غير صحيح، ويجب إعادة التحقق من الحسابات مرة أخرى.

احتمالات غير متكافئة

لقد افترضنا حتى الآن أن كل جانب من جوانب حجر النرد يتم رميه بنفس التردد، لأن هذه هي الطريقة التي يبدو بها حجر النرد. لكن في بعض الأحيان قد تواجه موقفًا حيث تكون النتائج مختلفة وتكون فرص ظهورها مختلفة.

على سبيل المثال، في إحدى التوسعات في لعبة بطاقة الحرب النووية، يوجد ملعب به سهم تعتمد عليه نتيجة إطلاق الصاروخ. في أغلب الأحيان يتسبب في ضرر عادي، أقوى أو أضعف، ولكن في بعض الأحيان يتضاعف الضرر أو يتضاعف ثلاث مرات، أو ينفجر الصاروخ على منصة الإطلاق ويؤذيك، أو يحدث حدث آخر. على عكس لوحة الأسهم في المزالق والسلالم أو لعبة الحياة، فإن نتائج لوحة اللعبة في الحرب النووية متفاوتة. تكون بعض أقسام الملعب أكبر حجمًا ويتوقف السهم عليها كثيرًا، بينما تكون الأقسام الأخرى صغيرة جدًا ونادرًا ما يتوقف السهم عليها.

لذا، للوهلة الأولى، يبدو القالب كالتالي: 1، 1، 1، 2، 2، 3 - لقد تحدثنا عنه بالفعل، فهو يشبه 1d3 مرجح. لذلك، نحن بحاجة إلى تقسيم كل هذه الأقسام إلى أجزاء متساوية، والعثور على أصغر وحدة قياس، والمقسوم عليها كل شيء مضاعف، ثم تمثيل الوضع في شكل d522 (أو أي شيء آخر)، حيث مجموعة النرد الوجوه سوف تمثل نفس الوضع، ولكن مع المزيد من النتائج. هذه إحدى الطرق لحل المشكلة، وهي مجدية من الناحية الفنية، ولكن هناك خيار أبسط.

لنعد إلى حجر النرد القياسي ذي الجوانب الستة. لقد قلنا أنه لحساب متوسط ​​رمية النرد العادي، فإنك تحتاج إلى جمع القيم على جميع الأوجه وتقسيمها على عدد الأوجه، ولكن كيف تتم عملية الحساب بالضبط؟ هناك طريقة أخرى للتعبير عن هذا. بالنسبة لحجر النرد ذو الستة جوانب، فإن احتمال رمي كل جانب هو بالضبط 1/6. الآن نضرب نتيجة كل حافة في احتمالية تلك النتيجة (في هذه الحالة، 1/6 لكل حافة)، ثم نضيف القيم الناتجة. وبذلك نجمع (1*1/6) + (2*1/6) + (3*1/6) + (4*1/6) + (5*1/6) + (6*1/6) )، نحصل على نفس النتيجة (3.5) كما في الحساب أعلاه. في الواقع، نحن نحسب بهذه الطريقة في كل مرة: نضرب كل نتيجة في احتمال تلك النتيجة.

هل يمكننا إجراء نفس الحساب للسهم الموجود في الملعب في الحرب النووية؟ بالطبع نستطيع. وإذا قمنا بجمع كل النتائج التي تم العثور عليها، فسنحصل على القيمة المتوسطة. كل ما يتعين علينا القيام به هو حساب احتمالية كل نتيجة للسهم الموجود في الملعب وضربها في قيمة النتيجة.

مثال آخر

تعتبر هذه الطريقة لحساب المتوسط ​​مناسبة أيضًا إذا كانت النتائج متساوية في الاحتمال ولكن لها مزايا مختلفة - على سبيل المثال، إذا قمت برمي حجر النرد وربحت في بعض الجوانب أكثر من غيرها. على سبيل المثال، لنأخذ لعبة كازينو: تضع رهانًا وترمي 2d6. إذا تم رمي ثلاثة أرقام ذات قيمة منخفضة (2، 3، 4) أو أربعة أرقام ذات قيمة عالية (9، 10، 11، 12)، فسوف تفوز بمبلغ يساوي رهانك. الأرقام ذات القيم الدنيا والأعلى هي أرقام خاصة: إذا حصلت على 2 أو 12، فستفوز بضعف رهانك. إذا ظهر أي رقم آخر (5، 6، 7، 8)، فسوف تفقد رهانك. هذه هي لعبة بسيطة جدا. ولكن ما هو احتمال الفوز؟

لنبدأ بإحصاء عدد المرات التي يمكنك الفوز فيها. الحد الأقصى لعدد النتائج عند تدوير 2d6 هو 36. ما هو عدد النتائج الإيجابية؟

• هناك خيار واحد لرمي الرقم 2، وخيار واحد لرمي الرقم 12.
• هناك خياران سيتم لفهما 3 وخياران سيتم لفهما 11.
• هناك 3 خيارات سيتم طرحها بالرقم 4، و3 خيارات سيتم طرحها بالرقم 10.
• هناك 4 خيارات لتدوير 9.

بتلخيص جميع الخيارات، نحصل على 16 نتيجة إيجابية من أصل 36. وبالتالي، في ظل الظروف العادية، ستفوز 16 مرة من أصل 36 محتملة - احتمال الفوز أقل بقليل من 50٪.

لكن في حالتين من بين هؤلاء الستة عشر، ستفوز بضعف المبلغ - إنه مثل الفوز مرتين. إذا لعبت هذه اللعبة 36 مرة، وراهنت بدولار واحد في كل مرة، وظهرت كل النتائج المحتملة مرة واحدة، فسوف تفوز بما مجموعه 18 دولارًا (ستفوز فعليًا 16 مرة، لكن اثنتين منها ستحسب بمثابة فوزين). إذا لعبت 36 مرة وربحت 18 دولارًا، ألا يعني ذلك أن الاحتمالات متساوية؟

خذ وقتك. إذا قمت بحساب عدد المرات التي يمكن أن تخسر فيها، فسوف ينتهي بك الأمر إلى 20، وليس 18. إذا لعبت 36 مرة، وراهنت بدولار واحد في كل مرة، فسوف تربح إجمالي 18 دولارًا إذا قمت باختيار جميع الاختيارات الفائزة. لكنك ستخسر إجمالي 20 دولارًا إذا حصلت على جميع النتائج العشرين غير المواتية. ونتيجة لذلك، سوف تتخلف قليلاً عن الركب: ستخسر ما متوسطه 2 دولار صافي لكل 36 مباراة (يمكنك أيضًا القول أنك تخسر ما متوسطه 1/18 دولارًا يوميًا). الآن ترى مدى سهولة ارتكاب خطأ في هذه الحالة وحساب الاحتمال بشكل غير صحيح.

إعادة الترتيب

لقد افترضنا حتى الآن أن ترتيب الأرقام عند رمي النرد لا يهم. التدحرج 2 + 4 هو نفس التدحرج 4 + 2. في معظم الحالات، نحسب يدويًا عدد النتائج الإيجابية، لكن في بعض الأحيان تكون هذه الطريقة غير عملية ومن الأفضل استخدام صيغة رياضية.

مثال على هذا الموقف هو من لعبة النرد Farkle. لكل جولة جديدة، تحصل على 6d6. إذا كنت محظوظًا وحصلت على جميع النتائج الممكنة 1-2-3-4-5-6 (مباشرة)، فستحصل على مكافأة كبيرة. ما هو احتمال حدوث ذلك؟ في هذه الحالة، هناك العديد من الخيارات للحصول على هذه المجموعة.

الحل هو كما يلي: يجب أن يحمل الرقم 1 إحدى قطع النرد (واحدة فقط). بكم طريقة يمكن أن يظهر الرقم 1 على نرد واحد؟ هناك 6 خيارات، حيث أن هناك 6 أحجار نرد، وأي منها يمكن أن يقع على الرقم 1. وعليه، خذ نردًا واحدًا وضعه جانبًا. الآن يجب أن يرمي أحد النرد المتبقي الرقم 2. هناك 5 خيارات لهذا. خذ نردًا آخر وضعه جانبًا. ثم 4 من النرد المتبقي قد تصل إلى الرقم 3، و 3 من النرد المتبقي قد تصل إلى الرقم 4، و 2 من النرد المتبقي قد تصل إلى الرقم 5. ونتيجة لذلك، يتبقى لديك نرد واحد، والذي يجب أن يوصل إلى الرقم 5. رقم 6 (في الحالة الأخيرة، يوجد في النرد عظمة واحدة فقط، ولا يوجد خيار).

لحساب عدد النتائج المفضلة للوصول إلى خط مستقيم، نقوم بضرب جميع الاحتمالات المستقلة المختلفة: 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720 - يبدو أن هناك عددًا كبيرًا من الاحتمالات لظهور هذا المزيج .

لحساب احتمال الحصول على خط مستقيم، نحتاج إلى قسمة 720 على عدد جميع النتائج الممكنة للتدحرج 6d6. ما هو عدد جميع النتائج الممكنة؟ يمكن أن يكون لكل قالب 6 جوانب، لذلك نضرب 6 × 6 × 6 × 6 × 6 = 46656 (رقم أكبر بكثير من الرقم السابق). اقسم 720 على 46656 ونحصل على احتمال 1.5% تقريبًا. إذا كنت تصمم هذه اللعبة، فسيكون من المفيد لك معرفة ذلك حتى تتمكن من إنشاء نظام تسجيل وفقًا لذلك. الآن نحن نفهم لماذا تحصل في Farkle على مثل هذه المكافأة الكبيرة إذا حصلت على بطاقة مستقيمة: هذا موقف نادر إلى حد ما.

والنتيجة مثيرة للاهتمام أيضًا لسبب آخر. يوضح المثال مدى ندرة حدوث نتيجة تتوافق مع الاحتمال خلال فترة قصيرة. وبطبيعة الحال، إذا كنا نرمي عدة آلاف من أحجار النرد، فسوف تظهر جوانب مختلفة من النرد في كثير من الأحيان. لكن عندما نرمي ستة نرد فقط، لا يحدث أبدًا أن يظهر كل وجه. يصبح من الواضح أنه من الغباء توقع ظهور خط لم يحدث بعد، لأننا "لم نقم بتدوير الرقم 6 لفترة طويلة". استمع، مولد الأرقام العشوائي الخاص بك معطل.

وهذا يقودنا إلى الاعتقاد الخاطئ الشائع بأن جميع النتائج تحدث بنفس التردد خلال فترة زمنية قصيرة. إذا رمينا النرد عدة مرات، فلن يكون تكرار سقوط كل جانب هو نفسه.

إذا كنت قد عملت من قبل على لعبة عبر الإنترنت باستخدام أحد أنواع مولدات الأرقام العشوائية، فمن المرجح أنك واجهت موقفًا حيث يكتب أحد اللاعبين إلى الدعم الفني يشكو من أن مولد الأرقام العشوائية لا يعرض أرقامًا عشوائية. لقد توصل إلى هذا الاستنتاج لأنه قتل 4 وحوش على التوالي وحصل على 4 نفس المكافآت تمامًا، ويجب أن تظهر هذه المكافآت بنسبة 10% فقط من الوقت، لذلك من الواضح أن هذا لا ينبغي أن يحدث أبدًا.

أنت تقوم بعملية حسابية رياضية. الاحتمال هو 1/10 * 1/10 * 1/10 * 1/10، أي نتيجة واحدة من 10 آلاف هي حالة نادرة إلى حد ما. هذا ما يحاول اللاعب أن يخبرك به. هل هناك مشكلة في هذه الحالة؟

كل هذا يتوقف على الظروف. كم عدد اللاعبين الموجودين حاليا على الخادم الخاص بك؟ لنفترض أن لديك لعبة مشهورة إلى حد ما وأن 100 ألف شخص يلعبونها يوميًا. كم عدد اللاعبين الذين يمكنهم قتل أربعة وحوش على التوالي؟ ربما كل ذلك، عدة مرات في اليوم، ولكن لنفترض أن نصفهم ببساطة يتبادلون عناصر مختلفة في المزادات، أو يتحدثون على خوادم RP، أو يقومون بأنشطة أخرى داخل اللعبة - لذا فإن نصفهم فقط يصطادون الوحوش. ما هو احتمال أن يحصل شخص ما على نفس المكافأة؟ في هذه الحالة، يمكنك توقع حدوث ذلك عدة مرات على الأقل في اليوم.

بالمناسبة، لهذا السبب يبدو أنه كل بضعة أسابيع يفوز شخص ما باليانصيب، حتى لو لم يكن هذا الشخص أنت أو أي شخص تعرفه. إذا لعب عدد كافٍ من الأشخاص بانتظام، فمن المحتمل أن يكون هناك لاعب محظوظ واحد على الأقل في مكان ما. ولكن إذا لعبت اليانصيب بنفسك، فمن غير المرجح أن تفوز، بل ستتم دعوتك للعمل في Infinity Ward.

البطاقات والإدمان

لقد ناقشنا الأحداث المستقلة، مثل رمي حجر النرد، ونعرف الآن العديد من الأدوات القوية لتحليل العشوائية في العديد من الألعاب. يعد حساب الاحتمالية أكثر تعقيدًا بعض الشيء عندما يتعلق الأمر بسحب البطاقات من المجموعة، لأن كل بطاقة نسحبها تؤثر على البطاقات المتبقية في المجموعة.

إذا كان لديك مجموعة بطاقات قياسية مكونة من 52 بطاقة، فقمت بإزالة 10 قلوب منها وتريد معرفة احتمال أن تكون البطاقة التالية من نفس النوع - لقد تغير الاحتمال عن الأصل لأنك قمت بالفعل بإزالة بطاقة واحدة من نفس النوع من القلوب من سطح السفينة. كل بطاقة تقوم بإزالتها تغير احتمالية ظهور البطاقة التالية في المجموعة. في هذه الحالة، يؤثر الحدث السابق على الحدث التالي، لذلك نسمي هذا الاحتمال معتمدًا.

يرجى ملاحظة أنني عندما أقول "بطاقات" فأنا أتحدث عن أي آلية لعبة حيث يكون لديك مجموعة من العناصر وتقوم بإزالة أحد الكائنات دون استبدالها. إن "مجموعة أوراق اللعب" في هذه الحالة تشبه كيسًا من الرقائق التي تأخذ منها شريحة واحدة، أو جرة يتم أخذ الكرات الملونة منها (لم يسبق لي أن رأيت ألعابًا بها جرة يتم أخذ الكرات الملونة منها، لكن المعلمين نظرية الاحتمالات حول سبب تفضيل هذا المثال).

خصائص التبعية

أود أن أوضح أنه عندما يتعلق الأمر بالبطاقات، أفترض أنك تسحب البطاقات وتنظر إليها وتزيلها من المجموعة. كل من هذه الإجراءات هي خاصية مهمة. إذا كان لدي، على سبيل المثال، مجموعة من ستة أوراق تحمل الأرقام من 1 إلى 6، فسوف أقوم بخلطها وسحب بطاقة واحدة، ثم خلط جميع البطاقات الستة مرة أخرى - سيكون هذا مشابهًا لرمي حجر نرد ذي ستة جوانب، لأن نتيجة واحدة لها لا تأثير للقادمين. وإذا قمت بإخراج بطاقات ولم أستبدلها، فعند إخراج البطاقة رقم 1، أقوم بزيادة احتمالية أن أسحب بطاقة تحمل الرقم 6 في المرة القادمة. وسيزداد الاحتمال حتى أقوم في النهاية بإزالة تلك البطاقة أو خلط سطح السفينة.

حقيقة أننا ننظر إلى البطاقات مهمة أيضًا. إذا أخذت بطاقة من المجموعة ولم أنظر إليها، فلن يكون لدي أي معلومات إضافية ولن يتغير الاحتمال فعليًا. قد يبدو هذا غير بديهي. كيف يمكن لقلب البطاقة ببساطة أن يغير الاحتمالات بطريقة سحرية؟ ولكن هذا ممكن لأنه يمكنك حساب احتمالية العناصر غير المعروفة فقط مما تعرفه.

على سبيل المثال، إذا قمت بخلط مجموعة أوراق قياسية وكشفت عن 51 بطاقة ولم تكن أي منها ملكة الأندية، فيمكنك التأكد بنسبة 100% من أن البطاقة المتبقية هي ملكة الأندية. إذا قمت بخلط مجموعة أوراق قياسية وأخرجت 51 بطاقة دون النظر إليها، فإن احتمال أن تكون البطاقة المتبقية هي ملكة النوادي لا يزال 1/52. عند فتح كل بطاقة، تحصل على المزيد من المعلومات.

يتبع حساب احتمال الأحداث التابعة نفس المبادئ المتبعة في الأحداث المستقلة، إلا أنها أكثر تعقيدًا بعض الشيء لأن الاحتمالات تتغير عندما تكشف عن البطاقات. لذلك تحتاج إلى مضاعفة العديد من القيم المختلفة بدلاً من مضاعفة نفس القيمة. ما يعنيه هذا حقًا هو أننا بحاجة إلى دمج كل الحسابات التي قمنا بها في مجموعة واحدة.

مثال

يمكنك خلط مجموعة بطاقات قياسية مكونة من 52 بطاقة وسحب ورقتين. ما هو احتمال أن ترسم زوجًا؟ هناك عدة طرق لحساب هذا الاحتمال، ولكن ربما تكون أبسطها هي: ما هو احتمال أنك إذا سحبت بطاقة واحدة، فلن تتمكن من سحب زوج؟ هذا الاحتمال هو صفر، لذلك لا يهم البطاقة الأولى التي تسحبها، طالما أنها تطابق البطاقة الثانية. لا يهم البطاقة التي نسحبها أولاً، لا تزال لدينا فرصة لسحب زوج. ولذلك، فإن احتمال سحب زوج بعد سحب البطاقة الأولى هو 100%.

ما هو احتمال أن تتطابق البطاقة الثانية مع الأولى؟ هناك 51 بطاقة متبقية في المجموعة، 3 منها تتطابق مع البطاقة الأولى (في الواقع سيكون هناك 4 من أصل 52، لكنك قمت بالفعل بإزالة إحدى البطاقات المطابقة عندما قمت بسحب البطاقة الأولى)، لذا فإن الاحتمال هو 1/ 17. لذلك في المرة القادمة التي تلعب فيها لعبة تكساس هولديم، يقول لك الشخص الذي على الطاولة: "رائع، زوج آخر؟ "أشعر أنني محظوظ اليوم،" ستعرف أن هناك احتمال كبير أنه يخادع.

ماذا لو أضفنا اثنين من الجوكر بحيث يكون لدينا 54 بطاقة في المجموعة ونريد أن نعرف ما هو احتمال سحب زوج؟ قد تكون البطاقة الأولى عبارة عن جوكر، وبعد ذلك لن يكون هناك سوى بطاقة واحدة متطابقة في المجموعة، وليس ثلاثة. كيفية العثور على الاحتمال في هذه الحالة؟ سنقوم بتقسيم الاحتمالات وضرب كل احتمال.

يمكن أن تكون بطاقتنا الأولى عبارة عن بطاقة جوكر أو بطاقة أخرى. احتمال سحب الجوكر هو 2/54، واحتمال سحب بطاقة أخرى هو 52/54. إذا كانت البطاقة الأولى عبارة عن جوكر (2/54)، فإن احتمال تطابق البطاقة الثانية مع الأولى هو 1/53. نضرب القيم (يمكننا ضربها لأنها حدثان منفصلان ونريد حدوث كلا الحدثين) ونحصل على 1/1431 - أقل من عُشر بالمائة.

إذا قمت بسحب بطاقة أخرى أولاً (52/54)، فإن احتمال مطابقة البطاقة الثانية هو 3/53. نضرب القيم ونحصل على 78/1431 (أكثر بقليل من 5.5٪). ماذا نفعل بهاتين النتيجتين؟ إنهما غير متقاطعتين، ونريد معرفة احتمال كل منهما، لذا نجمع القيم. وحصلنا على النتيجة النهائية 79/1431 (لا تزال حوالي 5.5%).

إذا أردنا التأكد من دقة الإجابة، يمكننا حساب احتمالية جميع النتائج المحتملة الأخرى: رسم جوكر وعدم مطابقة البطاقة الثانية، أو سحب بطاقة أخرى وعدم مطابقة البطاقة الثانية. بتلخيص هذه الاحتمالات واحتمال الفوز، سنحصل على 100٪ بالضبط. لن أقوم بالحسابات هنا، ولكن يمكنك تجربة الحسابات للتحقق مرة أخرى.

مفارقة مونتي هول

يقودنا هذا إلى مفارقة مشهورة غالبًا ما تربك الكثير من الناس - مفارقة مونتي هول. تمت تسمية المفارقة على اسم مقدم البرنامج التلفزيوني Let's Make a Deal بالنسبة لأولئك الذين لم يشاهدوا هذا البرنامج التلفزيوني من قبل، فقد كان عكس برنامج The Price Is Right.

في برنامج "السعر مناسب"، فإن المضيف (بوب باركر كان هو المضيف، ومن هو الآن، درو كاري؟ لا يهم) هو صديقك. يريد منك الفوز بالمال أو الجوائز الرائعة. يحاول أن يمنحك كل فرصة للفوز، طالما يمكنك تخمين القيمة الفعلية للعناصر التي اشتراها الرعاة.

تصرف مونتي هول بشكل مختلف. لقد كان مثل التوأم الشرير لبوب باركر. كان هدفه أن يجعلك تبدو كالأحمق على شاشة التلفزيون الوطني. إذا كنت في العرض، فقد كان خصمك، ولعبت ضده، وكانت الاحتمالات لصالحه. ربما أكون قاسيًا جدًا، لكن بالنظر إلى العرض الذي من المرجح أن تشارك فيه إذا كنت ترتدي زيًا سخيفًا، هذا هو بالضبط ما توصلت إليه.

من أشهر الميمات في العرض: هناك ثلاثة أبواب أمامك، باب رقم 1، باب رقم 2، وباب رقم 3. يمكنك اختيار باب واحد مجانًا. وراء أحدهم جائزة رائعة - على سبيل المثال، سيارة جديدة. ولا توجد جوائز خلف البابين الآخرين، وكلاهما لا قيمة له. من المفترض أن يهينوك، لذلك ليس هناك شيء خلفهم فحسب، بل شيء غبي، على سبيل المثال، عنزة أو أنبوب ضخم من معجون الأسنان - أي شيء سوى سيارة جديدة.

اخترت أحد الأبواب، مونتي على وشك فتحه ليعلمك إذا فزت أم لا... لكن انتظر. قبل أن نكتشف ذلك، دعنا نلقي نظرة على أحد تلك الأبواب التي لم تخترها. يعرف مونتي الباب الذي توجد الجائزة خلفه، ويمكنه دائمًا فتح الباب الذي لا توجد جائزة خلفه. "هل تختار الباب رقم 3؟ ثم دعونا نفتح الباب رقم 1 لنظهر أنه لا توجد جائزة خلفه." والآن، من باب الكرم، يقدم لك الفرصة لاستبدال الباب المحدد رقم 3 بما يوجد خلف الباب رقم 2.

عند هذه النقطة يطرح سؤال الاحتمالية: هل تزيد هذه الفرصة من احتمالية فوزك أم تقللها أم تبقى دون تغيير؟ كيف تعتقد؟

الإجابة الصحيحة: القدرة على اختيار باب آخر تزيد من احتمالية الفوز من 1/3 إلى 2/3. هذا غير منطقي. إذا لم تكن قد واجهت هذه المفارقة من قبل، فمن المرجح أنك تفكر: انتظر، كيف أنه من خلال فتح باب واحد، قمنا بتغيير الاحتمال بطريقة سحرية؟ وكما رأينا بالفعل مع الخرائط، فإن هذا هو بالضبط ما يحدث عندما نحصل على المزيد من المعلومات. من الواضح أنه عندما تختار للمرة الأولى، فإن احتمال الفوز هو 1/3. عندما يُفتح باب واحد، فإن ذلك لا يغير احتمالية الفوز للخيار الأول على الإطلاق: فالاحتمال لا يزال 1/3. لكن احتمال أن يكون الباب الآخر صحيحًا هو الآن 2/3.

دعونا ننظر إلى هذا المثال من منظور مختلف. اخترت الباب. احتمال الفوز هو 1/3. أقترح عليك تغيير البابين الآخرين، وهو ما يفعله مونتي هول. من المؤكد أنه يفتح أحد الأبواب ليكشف أنه لا توجد جائزة خلفه، لكنه يمكنه فعل ذلك دائمًا، لذلك لا يغير ذلك أي شيء حقًا. وبطبيعة الحال، سوف ترغب في اختيار باب مختلف.

إذا لم تفهم السؤال تمامًا وتحتاج إلى شرح أكثر إقناعًا، فانقر على هذا الرابط ليتم نقلك إلى تطبيق Flash صغير رائع يسمح لك باستكشاف هذه المفارقة بمزيد من التفاصيل. يمكنك اللعب بدءًا بحوالي 10 أبواب ثم الانتقال تدريجيًا إلى لعبة ذات ثلاثة أبواب. هناك أيضًا جهاز محاكاة حيث يمكنك اللعب بأي عدد من الأبواب من 3 إلى 50، أو تشغيل عدة آلاف من عمليات المحاكاة ومعرفة عدد المرات التي ستفوز فيها إذا لعبت.

اختر أحد الأبواب الثلاثة - احتمال الفوز هو 1/3. الآن لديك استراتيجيتان: قم بتغيير اختيارك بعد فتح الباب الخطأ أم لا. إذا لم تغير اختيارك، فسيبقى الاحتمال 1/3، لأن الاختيار يحدث فقط في المرحلة الأولى، وعليك أن تخمن على الفور. إذا قمت بالتغيير، فيمكنك الفوز إذا اخترت الباب الخطأ أولا (ثم يفتحون خطأ آخر، ويبقى الصحيح - عن طريق تغيير قرارك، فإنك تأخذه). احتمال اختيار الباب الخطأ في البداية هو 2/3 - لذلك اتضح أنه من خلال تغيير قرارك، فإنك تضاعف احتمالية الفوز.

ملاحظة من مدرس الرياضيات العالي وأخصائي توازن الألعاب مكسيم سولداتوف - بالطبع، لم يكن شرايبر يمتلكها، ولكن بدونها يكون من الصعب جدًا فهم هذا التحول السحري

ومرة أخرى عن مفارقة مونتي هول

أما بالنسبة للعرض نفسه: حتى لو لم يكن خصوم مونتي هول جيدين في الرياضيات، فقد كان جيدًا فيها. وإليك ما فعله لتغيير اللعبة قليلاً. إذا اخترت بابًا خلفه جائزة، وكانت فرصة حدوثه 1/3، فسيقدم لك دائمًا خيار اختيار باب آخر. ستختار سيارة ثم تستبدلها بماعز وستبدو غبيًا جدًا - وهذا بالضبط ما تريده نظرًا لأن هول رجل شرير نوعًا ما.

ولكن إذا اخترت بابًا لا يوجد خلفه جائزة، فسوف يطلب منك فقط اختيار باب آخر نصف الوقت، أو سيُظهر لك فقط عنزتك الجديدة وستغادر المسرح. دعونا نحلل هذه اللعبة الجديدة حيث يمكن لمونتي هول أن يقرر ما إذا كان سيقدم لك الفرصة لاختيار باب مختلف أم لا.

لنفترض أنه يتبع هذه الخوارزمية: إذا اخترت بابًا به جائزة، فإنه يعرض عليك دائمًا الفرصة لاختيار باب آخر، وإلا فمن المرجح أيضًا أن يعرض عليك اختيار باب آخر أو يعطيك عنزة. ما هي احتمالية فوزك؟

في أحد الخيارات الثلاثة، تختار على الفور الباب الذي توجد خلفه الجائزة، ويدعوك المقدم لاختيار باب آخر.

من بين الخيارين المتبقيين من بين الثلاثة (تختار في البداية بابًا بدون جائزة)، في نصف الحالات، سيعرض عليك مقدم العرض تغيير قرارك، وفي النصف الآخر من الحالات - لا.

نصف 2/3 هو 1/3، أي أنه في حالة واحدة من أصل ثلاثة ستحصل على عنزة، وفي حالة واحدة من أصل ثلاثة ستختار الباب الخطأ وسيطلب منك المضيف اختيار باب آخر، وفي حالة واحدة في حالة من بين ثلاثة، ستختار الباب الصحيح، لكنه سيعرض عليك بابًا آخر مرة أخرى.

إذا عرض المقدم اختيار باب آخر، فنحن نعلم بالفعل أن حالة واحدة من أصل ثلاث حالات، عندما يعطينا عنزة ونغادر، لم تحدث. هذه معلومات مفيدة: فهي تعني أن فرصنا في الفوز قد تغيرت. حالتان من أصل ثلاث عندما تتاح لنا فرصة الاختيار: في حالة واحدة يعني أننا خمننا بشكل صحيح، وفي الأخرى أننا خمننا خطأ، فإذا أتيحت لنا الفرصة للاختيار على الإطلاق، فإن احتمال فوزنا هو 1/2، ومن الناحية الرياضية، لا يهم إذا بقيت مع اختيارك أو اخترت بابًا آخر.

مثل لعبة البوكر، فهي لعبة نفسية وليست رياضية. لماذا أعطاك مونتي الاختيار؟ هل يعتقد أنك مغفل لا يعرف أن اختيار باب آخر هو القرار "الصحيح" وسيتمسك باختياره بعناد (بعد كل شيء، يكون الوضع أكثر صعوبة من الناحية النفسية عندما تختار سيارة ثم تفقدها) )؟

أم أنه، بعد أن قرر أنك ذكي وستختار بابًا آخر، يعرض عليك هذه الفرصة لأنه يعلم أنك خمنت بشكل صحيح في المقام الأول وسوف تعلق؟ أو ربما يكون لطيفًا على نحو غير معهود ويدفعك إلى القيام بشيء من شأنه أن يفيدك لأنه لم يتخلى عن السيارات منذ فترة ويقول المنتجون إن الجمهور يشعر بالملل وسيكون من الأفضل التنازل عن جائزة كبيرة قريبًا للقيام بها انخفاض التقييمات؟

بهذه الطريقة، يتمكن مونتي من تقديم خيار من حين لآخر مع الاحتفاظ باحتمالية الفوز الإجمالية عند 1/3. تذكر أن احتمال خسارتك المباشرة هو 1/3. فرصة تخمينك بشكل صحيح على الفور هي 1/3، وستفوز بنسبة 50% من هذه المرات (1/3 × 1/2 = 1/6).

فرصة تخمينك بشكل خاطئ في البداية ثم الحصول على فرصة لاختيار باب آخر هي 1/3، وستفوز بنصف هذه المرات (أيضًا 1/6). أضف احتمالين مستقلين للفوز وستحصل على احتمال 1/3، لذلك لا يهم ما إذا كنت متمسكًا باختيارك أو اخترت بابًا آخر - فاحتمال فوزك الإجمالي طوال اللعبة هو 1/3.

لا يصبح الاحتمال أكبر مما هو عليه في الموقف عندما خمنت الباب وأظهر لك المقدم ببساطة ما وراءه دون أن يعرض عليك اختيار باب آخر. الهدف من الاقتراح ليس تغيير الاحتمالية، بل جعل عملية صنع القرار أكثر متعة للمشاهدة على شاشة التلفزيون.

بالمناسبة، هذا هو أحد الأسباب التي تجعل لعبة البوكر مثيرة للاهتمام للغاية: في معظم التنسيقات، بين الجولات عند إجراء الرهانات (على سبيل المثال، التقليب، المنعطف والنهر في Texas Hold'em)، يتم الكشف عن البطاقات تدريجيًا، وإذا كانت لديك فرصة واحدة للفوز في بداية اللعبة، فبعد كل جولة مراهنة، عندما يتم الكشف عن المزيد من البطاقات، يتغير هذا الاحتمال.

مفارقة الصبي والفتاة

وهذا يقودنا إلى مفارقة أخرى معروفة، والتي عادة ما تحير الجميع - مفارقة الصبي والفتاة. الشيء الوحيد الذي أكتب عنه اليوم والذي لا يرتبط مباشرة بالألعاب (على الرغم من أنني أعتقد أنه من المفترض فقط أن أشجعك على إنشاء آليات لعب مناسبة). هذا لغز أكثر، لكنه مثير للاهتمام، ومن أجل حله، عليك أن تفهم الاحتمال الشرطي، الذي تحدثنا عنه أعلاه.

المشكلة: لدي صديق لديه طفلان، أحدهما على الأقل فتاة. ما هو احتمال أن يكون الطفل الثاني فتاة أيضًا؟ لنفترض أن فرص إنجاب فتاة وصبي في أي عائلة هي 50/50، وهذا صحيح لكل طفل.

في الواقع، لدى بعض الرجال عدد أكبر من الحيوانات المنوية التي تحتوي على كروموسوم X أو كروموسوم Y في حيواناتهم المنوية، وبالتالي تتغير الاحتمالات قليلاً. إذا علمت أن أحد الأطفال فتاة، فإن احتمال إنجاب فتاة ثانية يكون أعلى قليلاً، وهناك حالات أخرى، مثل الخنوثة. لكن لحل هذه المشكلة، لن نأخذ ذلك في الاعتبار ونفترض أن ولادة طفل هي حدث مستقل وأن ولادة صبي وفتاة محتملة بنفس القدر.

وبما أننا نتحدث عن احتمال 1/2، فإننا نتوقع بشكل بديهي أن الإجابة ستكون على الأرجح 1/2 أو 1/4، أو أي رقم آخر يمثل مضاعفًا للاثنين في المقام. لكن الجواب هو 1/3. لماذا؟

تكمن الصعوبة هنا في أن المعلومات المتوفرة لدينا تقلل من عدد الاحتمالات. لنفترض أن الوالدين من عشاق شارع سمسم، وبغض النظر عن جنس الأطفال، فقد أطلقوا عليهما اسم A وB. في ظل الظروف العادية، هناك أربعة احتمالات متساوية في الاحتمال: A وB صبيان، A وB فتاتان، A هو صبي و B فتاة، A فتاة و B صبي. وبما أننا نعلم أن هناك طفلًا واحدًا على الأقل فتاة، فيمكننا استبعاد احتمال أن يكون A وB ولدين. وهذا يتركنا أمام ثلاثة احتمالات، لا تزال محتملة بنفس القدر. إذا كانت جميع الاحتمالات متساوية في احتمالها وكان هناك ثلاثة منها، فإن احتمال كل منها هو 1/3. في واحد فقط من هذه الخيارات الثلاثة يوجد كلا من الأطفال البنات، لذا فإن الإجابة هي 1/3.

ومرة أخرى عن مفارقة الصبي والفتاة

يصبح حل المشكلة غير منطقي أكثر. تخيل أن صديقي لديه طفلان وأحدهما فتاة ولدت يوم الثلاثاء. لنفترض أنه في ظل الظروف العادية يمكن أن يولد طفل في كل يوم من أيام الأسبوع السبعة باحتمال متساو. ما هو احتمال أن يكون الطفل الثاني فتاة أيضًا؟

قد تعتقد أن الإجابة ستظل 1/3: ما أهمية يوم الثلاثاء؟ ولكن حتى في هذه الحالة، فإن حدسنا يخذلنا. الجواب هو 27/13، وهو ليس غير بديهي فحسب، بل غريب جدًا. ما الأمر في هذه الحالة؟

في الواقع، يوم الثلاثاء يغير الاحتمال لأننا لا نعرف أي طفل ولد يوم الثلاثاء، أو ربما كلاهما ولدا يوم الثلاثاء. في هذه الحالة، نستخدم نفس المنطق: نحسب جميع المجموعات الممكنة عندما يكون طفل واحد على الأقل فتاة ولدت يوم الثلاثاء. كما في المثال السابق، لنفترض أن الأطفال يُسمون A وB. تبدو المجموعات كما يلي:

• "أ" هي فتاة ولدت يوم الثلاثاء، و "ب" صبي (في هذه الحالة هناك 7 احتمالات، واحد لكل يوم من أيام الأسبوع الذي يمكن أن يولد فيه صبي).
• B هي فتاة ولدت يوم الثلاثاء، A هو صبي (أيضًا 7 احتمالات).
• أ - فتاة ولدت يوم الثلاثاء، ب - فتاة ولدت في يوم آخر من الأسبوع (6 احتمالات).
• B هي فتاة ولدت يوم الثلاثاء، A هي فتاة لم تولد يوم الثلاثاء (أيضًا 6 احتمالات).
• A و B فتاتان ولدتا يوم الثلاثاء (احتمال واحد، عليك الانتباه لذلك حتى لا تحسب مرتين).

نجمع ونحصل على 27 مجموعة مختلفة ومتساوية من مواليد الأطفال والأيام مع احتمال واحد على الأقل لولادة فتاة يوم الثلاثاء. ومن بين هذه الاحتمالات، هناك 13 احتمالًا عند ولادة فتاتين. يبدو أيضًا غير منطقي تمامًا - يبدو أن هذه المهمة تم اختراعها فقط لتسبب الصداع. إذا كنت لا تزال في حيرة من أمرك، فإن موقع عالم نظريات الألعاب Jesper Juhl يقدم شرحًا جيدًا لهذه المشكلة.

إذا كنت تعمل حاليا على لعبة

إذا كانت هناك عشوائية في اللعبة التي تصممها، فهذا هو الوقت المناسب لتحليلها. حدد بعض العناصر التي تريد تحليلها. اسأل نفسك أولاً عما تتوقعه من احتمالية وجود عنصر معين، وما ينبغي أن يكون عليه في سياق اللعبة.

على سبيل المثال، إذا كنت تصنع لعبة تقمص أدوار وتتساءل عن احتمالية أن يهزم اللاعب وحشًا في المعركة، فاسأل نفسك ما هي نسبة الفوز التي تناسبك. عادةً، في ألعاب تقمص الأدوار على وحدة التحكم، يشعر اللاعبون بالانزعاج الشديد عندما يخسرون، لذا من الأفضل أن يخسروا بشكل غير متكرر - 10% من الوقت أو أقل. إذا كنت مصممًا لألعاب تقمص الأدوار، فمن المحتمل أنك تعرف أفضل مني، لكن عليك أن تكون لديك فكرة أساسية عما يجب أن يكون عليه الاحتمال.

ثم اسأل نفسك ما إذا كانت احتمالاتك تابعة (كما هو الحال مع البطاقات) أو مستقلة (كما هو الحال مع النرد). تحليل جميع النتائج المحتملة واحتمالاتها. تأكد من أن مجموع كل الاحتمالات هو 100%. وبالطبع قارن النتائج التي تم الحصول عليها مع توقعاتك. هل أنت قادر على رمي النرد أو سحب البطاقات بالطريقة التي تريدها، أم أنه من الواضح أن القيم تحتاج إلى تعديل. وبالطبع، إذا وجدت أي عيوب، يمكنك استخدام نفس الحسابات لتحديد مقدار تغيير القيم.

الواجب المنزلي

سوف تساعدك واجباتك المنزلية هذا الأسبوع على صقل مهاراتك الاحتمالية. فيما يلي لعبتي نرد ولعبة ورق ستحللهما باستخدام الاحتمالات، بالإضافة إلى آلية لعب غريبة قمت بتطويرها ذات مرة والتي ستختبر طريقة مونت كارلو.

اللعبة رقم 1 - عظام التنين

هذه هي لعبة النرد التي توصلت إليها أنا وزملائي ذات مرة (بفضل Jeb Havens و Jesse King) - إنها على وجه التحديد تذهل عقول الناس باحتمالاتها. إنها لعبة كازينو بسيطة تسمى Dragon Dice، وهي عبارة عن مسابقة نرد قمار بين اللاعب والمنزل.

لقد تم إعطاؤك قالب 1d6 عادي. الهدف من اللعبة هو الحصول على رقم أعلى من رقم المنزل. يُمنح توم 1d6 غير قياسي - مثل وجهك، ولكن على أحد وجوهه بدلاً من الوحدة توجد صورة تنين (وبالتالي، يحتوي الكازينو على مكعب تنين - 2-3-4-5-6 ). إذا حصل المنزل على تنين، فإنه يفوز تلقائيًا وتخسر. إذا حصل كلاهما على نفس الرقم، فهذا يعني التعادل وسترمي النرد مرة أخرى. الشخص الذي يحصل على أكبر عدد يفوز.

وبطبيعة الحال، كل شيء لا يسير بالكامل لصالح اللاعب، لأن الكازينو يتمتع بميزة حافة التنين. ولكن هل هذا صحيح حقا؟ هذا ما عليك أن تحسبه. لكن تحقق من حدسك أولاً.

لنفترض أن الاحتمالات هي 2 إلى 1. لذا، إذا فزت، فستحتفظ برهانك وستحصل على ضعف رهانك. على سبيل المثال، إذا راهنت بدولار واحد وربحت، فإنك تحتفظ بذلك الدولار وتحصل على دولارين آخرين في الأعلى، ليصبح المجموع 3 دولارات. إذا خسرت، فستخسر رهانك فقط. هل ستلعب؟ هل تشعر بشكل حدسي أن الاحتمال أكبر من 2 إلى 1، أم أنك لا تزال تعتقد أنه أقل؟ بمعنى آخر، في المتوسط ​​خلال 3 مباريات، هل تتوقع الفوز أكثر من مرة، أو أقل، أو مرة واحدة؟

بمجرد أن تكتشف حدسك، استخدم الرياضيات. هناك 36 موضعًا ممكنًا فقط لكلا النردين، لذا يمكنك عدهم جميعًا دون أي مشكلة. إذا لم تكن متأكدًا من عرض 2 مقابل 1، ففكر في ما يلي: لنفترض أنك لعبت اللعبة 36 مرة (تراهن بدولار واحد في كل مرة). مقابل كل فوز تحصل على دولارين، مقابل كل خسارة تخسر دولارًا واحدًا، والتعادل لا يغير شيئًا. احسب جميع أرباحك وخسائرك المحتملة وقرر ما إذا كنت ستخسر أو تكسب بعض الدولارات. ثم اسأل نفسك عن مدى صحة حدسك. ومن ثم أدرك كم أنا شرير.

ونعم، إذا كنت قد فكرت بالفعل في هذا السؤال - فأنا أربكك عمدًا من خلال تحريف الآليات الفعلية لألعاب النرد، لكنني متأكد من أنه يمكنك التغلب على هذه العقبة بقليل من التفكير. حاول حل هذه المشكلة بنفسك.

اللعبة رقم 2 - رمي الحظ

إنها لعبة نرد حظ تسمى "Roll for Luck" (وتسمى أيضًا "Birdcage" لأنه في بعض الأحيان لا يتم رمي النرد، ولكن يتم وضعها في قفص سلكي كبير، يذكرنا بالقفص من لعبة Bingo). اللعبة بسيطة وتتلخص بشكل أساسي في ما يلي: راهن، على سبيل المثال، بدولار واحد على رقم من 1 إلى 6. ثم قم برمي 3d6. مقابل كل حجر نرد يصل إلى رقمك، تحصل على دولار واحد (وتحتفظ برهانك الأصلي). إذا لم يظهر رقمك على أي من أحجار النرد، فسيحصل الكازينو على دولارك ولن تحصل أنت على شيء. لذا، إذا راهنت على 1 وحصلت على 1 على الجانبين ثلاث مرات، فستحصل على 3 دولارات.

بشكل حدسي، يبدو أن هذه اللعبة لديها فرص متساوية. كل حجر نرد له فرصة فردية للفوز بنسبة 1 من 6، لذا على مجموع اللفات الثلاثة، فإن فرصتك للفوز هي 3 من 6. ومع ذلك، بالطبع، تذكر أنك تقوم بإضافة ثلاثة أحجار نرد منفصلة، ​​ولا يُسمح لك إلا أضف إذا كنا نتحدث عن مجموعات فائزة منفصلة لنفس النرد. شيء سوف تحتاج إلى مضاعفة.

بمجرد حساب جميع النتائج المحتملة (ربما يكون القيام بذلك أسهل في برنامج Excel من القيام به يدويًا، نظرًا لوجود 216 منها)، تظل اللعبة تبدو غريبة حتى للوهلة الأولى. في الواقع، لا يزال لدى الكازينو فرصة أفضل للفوز - فكم أكثر من ذلك؟ على وجه التحديد، ما هو متوسط ​​المبلغ الذي تتوقع خسارته في كل جولة من اللعب؟

كل ما عليك فعله هو جمع المكاسب والخسائر لجميع النتائج البالغ عددها 216 ثم قسمتها على 216، وهو ما ينبغي أن يكون سهلاً للغاية. ولكن، كما ترون، هناك العديد من المزالق هنا، ولهذا السبب أقول: إذا كنت تعتقد أن هذه اللعبة لديها فرصة متساوية للفوز، فأنت مخطئ تمامًا.

اللعبة رقم 3 - لعبة البوكر ذات 5 أوراق

إذا كنت قد استعدت بالفعل للألعاب السابقة، فلنتحقق مما نعرفه عن الاحتمال الشرطي باستخدام لعبة الورق هذه كمثال. لنتخيل لعبة بوكر تحتوي على مجموعة مكونة من 52 بطاقة. لنتخيل أيضًا 5 بطاقات، حيث يحصل كل لاعب على 5 بطاقات فقط. لا يمكنك التخلص من بطاقة، ولا يمكنك رسم بطاقة جديدة، ولا توجد مجموعة مشتركة - تحصل على 5 بطاقات فقط.

رويال فلاش هو 10-J-Q-K-A في يد واحدة، وهناك أربعة في المجموع، لذلك هناك أربع طرق ممكنة للحصول على رويال فلاش. احسب احتمالية حصولك على مجموعة واحدة من هذا القبيل.

يجب أن أحذرك من شيء واحد: تذكر أنه يمكنك سحب هذه البطاقات الخمس بأي ترتيب. أي أنه يمكنك أولاً رسم الآس أو العشرة، لا يهم. لذا، أثناء قيامك بالحسابات، ضع في اعتبارك أن هناك في الواقع أكثر من أربع طرق للحصول على رويال فلاش، على افتراض أنه تم توزيع البطاقات بالترتيب.

اللعبة رقم 4 - يانصيب صندوق النقد الدولي

المشكلة الرابعة لا يمكن حلها بهذه السهولة باستخدام الطرق التي تحدثنا عنها اليوم، ولكن يمكنك محاكاة الوضع بسهولة باستخدام البرمجة أو برنامج Excel. في مثال هذه المشكلة يمكنك حل طريقة مونت كارلو.

لقد ذكرت سابقًا لعبة Chron X، التي عملت عليها ذات مرة، وكانت هناك بطاقة واحدة مثيرة جدًا للاهتمام - يانصيب صندوق النقد الدولي. وإليك كيفية عملها: لقد استخدمتها في اللعبة. بعد انتهاء الجولة، تم إعادة توزيع البطاقات، وكانت هناك فرصة بنسبة 10% لخروج البطاقة من اللعب وأن اللاعب العشوائي سيحصل على 5 وحدات من كل نوع من الموارد التي كان رمزها موجودًا على تلك البطاقة. تم إدخال البطاقة في اللعب بدون شريحة واحدة، ولكن في كل مرة ظلت قيد اللعب في بداية الجولة التالية، كانت تتلقى شريحة واحدة.

لذلك كان هناك احتمال بنسبة 10% أنه إذا قمت بتشغيلها، ستنتهي الجولة، وستغادر البطاقة اللعبة، ولن يحصل أحد على أي شيء. إذا لم يحدث هذا (فرصة 90٪)، فهناك فرصة 10٪ (في الواقع 9٪، لأنها 10٪ من 90٪) ستترك اللعبة في الجولة التالية وسيحصل شخص ما على 5 وحدات من الموارد. إذا تركت البطاقة اللعبة بعد جولة واحدة (10% من 81% المتاحة، وبالتالي فإن الاحتمال هو 8.1%)، سيحصل شخص ما على 10 وحدات، وجولة أخرى - 15، وأخرى - 20، وهكذا. سؤال: ما هي القيمة العامة المتوقعة لعدد الموارد التي ستحصل عليها من هذه البطاقة عندما تترك اللعبة أخيرًا؟

عادةً ما نحاول حل هذه المشكلة عن طريق حساب احتمالية كل نتيجة وضربها في عدد جميع النتائج. هناك احتمال 10% أن تحصل على 0 (0.1 * 0 = 0). 9% أنك سوف تحصل على 5 وحدات من الموارد (9% * 5 = 0.45 موارد). 8.1% مما ستحصل عليه هو 10 (8.1%*10=0.81 موارد - القيمة الإجمالية المتوقعة). وهكذا. وبعد ذلك سوف نلخص كل شيء.

والآن أصبحت المشكلة واضحة بالنسبة لك: هناك دائمًا احتمال ألا تترك البطاقة اللعبة، ويمكن أن تظل في اللعبة إلى الأبد، لعدد لا حصر له من الجولات، لذلك لا توجد طريقة لحساب كل الاحتمالات. الأساليب التي تعلمناها اليوم لا تسمح لنا بحساب العودية اللانهائية، لذلك سيتعين علينا إنشاؤها بشكل مصطنع.

إذا كنت جيدًا في البرمجة، فاكتب برنامجًا يحاكي هذه الخريطة. يجب أن يكون لديك حلقة زمنية تنقل المتغير إلى موضع البداية وهو الصفر، وتظهر رقمًا عشوائيًا مع وجود فرصة 10% لخروج المتغير من الحلقة. وإلا فإنه يضيف 5 إلى المتغير وتتكرر الحلقة. عندما تخرج الحلقة أخيرًا، قم بزيادة إجمالي عدد مرات التشغيل التجريبية بمقدار 1 وإجمالي عدد الموارد (بالمقدار الذي يعتمد على المكان الذي سينتهي فيه المتغير). ثم قم بضبط المتغير وابدأ من جديد.

قم بتشغيل البرنامج عدة آلاف من المرات. في النهاية، قم بتقسيم إجمالي عدد الموارد على إجمالي عدد مرات التشغيل - وستكون هذه هي قيمة مونت كارلو المتوقعة. قم بتشغيل البرنامج عدة مرات للتأكد من أن الأرقام التي تحصل عليها هي نفسها تقريبًا. إذا كان التشتت لا يزال كبيرًا، قم بزيادة عدد التكرارات في الحلقة الخارجية حتى تبدأ في الحصول على التطابقات. يمكنك التأكد من أن الأرقام التي ستحصل عليها في النهاية ستكون صحيحة تقريبًا.

إذا كنت جديدًا في البرمجة (حتى لو كنت كذلك)، فإليك تمرينًا سريعًا لاختبار مهاراتك في برنامج Excel. إذا كنت مصمم ألعاب، فلن تكون هذه المهارات زائدة عن الحاجة أبدًا.

الآن ستكون وظائف if وrand مفيدة جدًا لك. لا يتطلب الراند قيمًا، فهو فقط يصدر رقمًا عشريًا عشوائيًا بين 0 و1. وعادةً ما نقوم بدمجه مع الأرضية والإيجابيات والسلبيات لمحاكاة رمي النرد، وهو ما ذكرته سابقًا. ومع ذلك، في هذه الحالة، نترك فقط فرصة بنسبة 10% لمغادرة البطاقة اللعبة، لذا يمكننا فقط التحقق لمعرفة ما إذا كانت قيمة الراند أقل من 0.1 ولا داعي للقلق بشأنها بعد الآن.

إذا كان له ثلاثة معاني. بالترتيب: الشرط الذي يكون صحيحا أو خطأ، ثم القيمة التي تعاد إذا كان الشرط صحيحا، والقيمة التي ترجع إذا كان الشرط خطأ. لذا فإن الدالة التالية سترجع 5% من الوقت، و0 في 90% أخرى من الوقت: =IF(RAND())<0.1,5,0) .

هناك العديد من الطرق لتعيين هذا الأمر، ولكنني سأستخدم هذه الصيغة للخلية التي تمثل الجولة الأولى، لنفترض أنها الخلية A1: =IF(RAND())<0.1,0,-1) .

أنا هنا أستخدم متغيرًا سلبيًا ليعني "هذه البطاقة لم تترك اللعبة ولم تتخلى عن أي موارد بعد." لذا، إذا انتهت الجولة الأولى وخرجت البطاقة من اللعب، فإن A1 يساوي 0؛ وإلا فهو -1.

بالنسبة للخلية التالية التي تمثل الجولة الثانية: =IF(A1>-1, A1, IF(RAND())<0.1,5,-1)) . لذا، إذا انتهت الجولة الأولى وغادرت البطاقة اللعبة على الفور، فإن A1 يساوي 0 (عدد الموارد) وستقوم هذه الخلية ببساطة بنسخ هذه القيمة. بخلاف ذلك، تكون A1 هي -1 (لم تخرج البطاقة من اللعبة بعد)، وتستمر هذه الخلية في التحرك بشكل عشوائي: في 10% من الوقت ستعيد 5 وحدات من الموارد، وفي بقية الوقت ستظل قيمتها مساوية لـ -1. إذا طبقنا هذه الصيغة على خلايا إضافية، فسنحصل على جولات إضافية، وأيًا كانت الخلية التي تنتهي بها ستعطيك النتيجة النهائية (أو -1 إذا لم تترك البطاقة اللعبة مطلقًا بعد كل الجولات التي لعبتها).

خذ هذا الصف من الخلايا، الذي يمثل الجولة الوحيدة بهذه البطاقة، وانسخ والصق عدة مئات (أو آلاف) من الصفوف. قد لا نكون قادرين على إجراء اختبار لا نهائي لبرنامج Excel (يوجد عدد محدود من الخلايا في الجدول)، ولكن على الأقل يمكننا تغطية معظم الحالات. ثم حدد خلية واحدة ستضع فيها متوسط ​​نتائج جميع الجولات - يوفر Excel بشكل مفيد دالة Average() لهذا الغرض.

في نظام التشغيل Windows، يمكنك على الأقل الضغط على F9 لإعادة حساب كافة الأرقام العشوائية. كما كان من قبل، قم بذلك عدة مرات لترى ما إذا كنت ستحصل على نفس القيم. إذا كان الفارق كبيرًا جدًا، قم بمضاعفة عدد مرات التشغيل وحاول مرة أخرى.

مشاكل لم تحل

إذا كان لديك شهادة في نظرية الاحتمالات وكانت المشكلات المذكورة أعلاه تبدو سهلة للغاية بالنسبة لك، فإليك مسألتان كنت أخدش رأسي بهما لسنوات، ولكن لسوء الحظ لست جيدًا بما يكفي في الرياضيات لحلهما.

المشكلة غير المحلولة رقم 1: يانصيب صندوق النقد الدولي

المشكلة الأولى التي لم يتم حلها هي الواجب المنزلي السابق. يمكنني بسهولة تطبيق طريقة مونت كارلو (باستخدام C++ أو Excel) وأن أكون واثقًا من الإجابة على السؤال "كم عدد الموارد التي سيحصل عليها اللاعب"، لكنني لا أعرف بالضبط كيفية تقديم إجابة دقيقة يمكن إثباتها رياضيًا (إنها سلسلة لا نهاية لها).

المشكلة غير المحلولة رقم 2: تسلسل الأرقام

هذه المشكلة (وهي أيضًا تتجاوز المهام التي تم حلها في هذه المدونة) قدمها لي صديق لاعب منذ أكثر من عشر سنوات. أثناء لعب لعبة البلاك جاك في فيغاس، لاحظ شيئًا مثيرًا للاهتمام: عندما قام بإزالة البطاقات من حذاء مكون من 8 أوراق لعب، رأى عشرة أرقام متتالية (الشخصية أو بطاقة الوجه هي 10، الجوكر، الملك أو الملكة، لذا هناك 16 في إجمالي البطاقات القياسية المكونة من 52 مجموعة أو 128 في مجموعة البطاقات 416).

ما احتمال أن يحتوي هذا الحذاء على سلسلة واحدة على الأقل من عشرة أرقام أو أكثر؟ لنفترض أنه تم خلطها بشكل عشوائي، وبترتيب عشوائي. أو، إذا كنت تفضل ذلك، ما هو احتمال عدم ظهور سلسلة من عشرة أرقام أو أكثر في أي مكان؟

يمكننا تبسيط المهمة. هنا سلسلة من 416 جزءًا. كل جزء هو 0 أو 1. هناك 128 واحدًا و288 صفرًا متناثرة بشكل عشوائي خلال التسلسل. ما عدد الطرق المتاحة لخلط 128 آحادًا مع 288 صفرًا بشكل عشوائي، وكم مرة ستتكرر بهذه الطرق مجموعة واحدة على الأقل مكونة من عشرة آحاد أو أكثر؟

في كل مرة شرعت في حل هذه المشكلة، بدا لي الأمر سهلاً وواضحًا، ولكن بمجرد أن تعمقت في التفاصيل، انهارت فجأة وبدت مستحيلة بكل بساطة.

لذا لا تتعجل في سرد ​​الإجابة: اجلس، وفكر مليًا، وادرس الظروف، وحاول التعويض بأعداد حقيقية، لأن جميع الأشخاص الذين تحدثت إليهم حول هذه المشكلة (بما في ذلك العديد من طلاب الدراسات العليا الذين يعملون في هذا المجال) تفاعلوا معها نفس الشيء: "إنه أمر واضح تمامًا... أوه، لا، انتظر، إنه ليس واضحًا على الإطلاق." هذا هو الحال عندما لا يكون لدي طريقة لحساب جميع الخيارات. يمكنني بالطبع حل المشكلة عن طريق خوارزمية حاسوبية، لكن سيكون من المثير للاهتمام معرفة الحل الرياضي.

نظرية مختصرة

ولمقارنة الأحداث كميا وفقا لدرجة احتمال حدوثها، يتم تقديم مقياس عددي، وهو ما يسمى احتمال وقوع حدث ما. احتمال وقوع حدث عشوائيهو رقم يعبر عن مقياس الاحتمال الموضوعي لحدوث حدث ما.

الكميات التي تحدد مدى أهمية الأسباب الموضوعية لتوقع وقوع حدث ما، تتميز باحتمالية وقوع الحدث. ويجب التأكيد على أن الاحتمال هو كمية موضوعية موجودة بشكل مستقل عن العارف ومشروطة بمجموعة كاملة من الشروط التي تساهم في وقوع حدث ما.

إن التفسيرات التي قدمناها لمفهوم الاحتمال ليست تعريفًا رياضيًا، لأنها لا تحدد المفهوم. هناك عدة تعريفات لاحتمال وقوع حدث عشوائي، والتي تستخدم على نطاق واسع في حل مشاكل محددة (الكلاسيكية، البديهية، الإحصائية، وما إلى ذلك).

التعريف الكلاسيكي لاحتمال الحدثيختزل هذا المفهوم إلى المفهوم الأكثر ابتدائية للأحداث الممكنة بشكل متساوٍ، والذي لم يعد خاضعًا للتعريف ويُفترض أنه واضح بشكل حدسي. على سبيل المثال، إذا كان حجر النرد مكعبًا متجانسًا، فإن فقدان أي وجه من وجوه هذا المكعب سيكون حدثًا محتملًا بنفس القدر.

دع حدثًا موثوقًا ينقسم إلى حالات محتملة متساوية، مجموعها يعطي الحدث. أي أن الحالات التي ينهار منها تسمى مواتية للحدث، لأن ظهور أحدهم يضمن حدوثه.

سيتم الإشارة إلى احتمال وقوع حدث بالرمز.

إن احتمالية وقوع حدث ما تساوي نسبة عدد الحالات المؤاتية له، من إجمالي عدد الحالات الممكنة بشكل فريد والمتساوية وغير المتوافقة، إلى العدد، أي.

هذا هو التعريف الكلاسيكي للاحتمال. وبالتالي، للعثور على احتمالية حدث ما، من الضروري، بعد النظر في النتائج المختلفة للاختبار، العثور على مجموعة من الحالات المحتملة الفريدة والمتساوية وغير المتوافقة، وحساب العدد الإجمالي لها n، وعدد الحالات m المواتية لـ حدث معين، ثم قم بإجراء الحساب باستخدام الصيغة أعلاه.

يسمى احتمال وقوع حدث يساوي نسبة عدد النتائج التجريبية المواتية للحدث إلى العدد الإجمالي للنتائج التجريبية الاحتمال الكلاسيكيحدث عشوائي.

خصائص الاحتمال التالية تتبع من التعريف:

الخاصية 1. احتمال وقوع حدث موثوق يساوي واحدًا.

الخاصية 2. احتمال وقوع حدث مستحيل هو صفر.

الخاصية 3. احتمال وقوع حدث عشوائي هو رقم موجب بين صفر وواحد.

الخاصية 4. احتمال وقوع الأحداث التي تشكل مجموعة كاملة يساوي واحدًا.

الخاصية 5. يتم تحديد احتمالية وقوع الحدث المعاكس بنفس طريقة تحديد احتمالية وقوع الحدث أ.

عدد الحالات التي ترجح وقوع حدث معاكس. ومن ثم فإن احتمال وقوع الحدث المعاكس يساوي الفرق بين الوحدة واحتمال وقوع الحدث أ:

من المزايا المهمة للتعريف الكلاسيكي لاحتمال وقوع حدث ما هو أنه بمساعدته يمكن تحديد احتمالية الحدث دون اللجوء إلى الخبرة، ولكن بناءً على التفكير المنطقي.

عند استيفاء مجموعة من الشروط، سيحدث بالتأكيد حدث موثوق، لكن الحدث المستحيل لن يحدث بالتأكيد. ومن بين الأحداث التي قد تحدث أو لا تحدث عند نشوء مجموعة من الظروف، يمكن الاعتماد على حدوث بعضها بسبب وجيه، وحدوث البعض الآخر بسبب أقل. على سبيل المثال، إذا كان هناك عدد أكبر من الكرات البيضاء في الجرة مقارنة بالكرات السوداء، فهذا يعني أن هناك سببًا للأمل في ظهور كرة بيضاء عند سحبها عشوائيًا من الجرة أكثر من ظهور كرة سوداء.

مثال على حل المشكلة

مثال 1

صندوق يحتوي على 8 كرات بيضاء و 4 سوداء و 7 كرات حمراء. تم سحب 3 كرات عشوائيا . أوجد احتمالات الأحداث التالية: - تم سحب كرة حمراء واحدة على الأقل، - هناك على الأقل كرتان من نفس اللون، - هناك على الأقل كرة حمراء واحدة وكرة بيضاء واحدة.

حل المشكلة

نجد العدد الإجمالي لنتائج الاختبار كعدد مجموعات من 19 عنصرًا (8+4+7) من 3:

دعونا نجد احتمال الحدث- يتم سحب كرة حمراء واحدة على الأقل (1،2 أو 3 كرات حمراء)

الاحتمالية المطلوبة:

دع الحدث– يوجد على الأقل كرتان من نفس اللون (2 أو 3 كرات بيضاء، 2 أو 3 كرات سوداء و2 أو 3 كرات حمراء)

عدد النتائج المؤاتية للحدث:

الاحتمالية المطلوبة:

دع الحدث– هناك على الأقل كرة حمراء واحدة وكرة بيضاء واحدة

(1 أحمر، 1 أبيض، 1 أسود أو 1 أحمر، 2 أبيض أو 2 أحمر، 1 أبيض)

عدد النتائج المؤاتية للحدث:

الاحتمالية المطلوبة:

إجابة:ف (أ) = 0.773؛ ف (ج) = 0.7688؛ ف (د) = 0.6068

مثال 2

يتم رمي اثنين من النرد. أوجد احتمال أن يكون مجموع النقاط 5 على الأقل.

حل

دع الحدث يكون على درجة لا تقل عن 5

دعونا نستخدم التعريف الكلاسيكي للاحتمال:

العدد الإجمالي لنتائج الاختبار المحتملة

عدد التجارب التي تؤيد الحدث محل الاهتمام

على الجانب المسقط من النرد الأول، نقطة واحدة، نقطتان...، قد تظهر ست نقاط. وبالمثل، هناك ست نتائج ممكنة عند رمي حجر النرد الثاني. يمكن دمج كل نتيجة من نتائج رمي حجر النرد الأول مع كل نتيجة من نتائج الثانية. وبالتالي، فإن العدد الإجمالي لنتائج الاختبار الأولي المحتملة يساوي عدد المواضع مع التكرار (الاختيار مع مواضع عنصرين من مجموعة المجلد 6):

لنجد احتمال الحدث المعاكس - مجموع النقاط أقل من 5

المجموعات التالية من النقاط المسقطة ستفضل الحدث:

№

العظم الأول

العظم الثاني

1

1

1

2

1

2

3

2

1

4

3

1

5

1

3

تم تقديم التعريف الهندسي للاحتمال وإعطاء حل لمشكلة الاجتماع المعروفة.