كيفية تحديد الخط الذي تصفه المعادلة. معادلة الخط على الطائرة

هدف:النظر في مفهوم الخط على المستوى، وإعطاء أمثلة. استنادا إلى تعريف الخط، قدم مفهوم معادلة الخط على المستوى. النظر في أنواع الخطوط المستقيمة، وإعطاء أمثلة وطرق تحديد الخط المستقيم. تعزيز القدرة على ترجمة معادلة الخط المستقيم من الصورة العامة إلى معادلة خط مستقيم "مقطع" بمعامل زاوي.

معادلة الخط على الطائرة.
معادلة الخط المستقيم على المستوى. أنواع المعادلات.
طرق تحديد الخط المستقيم.

1. دع x و y يكونان متغيرين عشوائيين.

تعريف: تسمى العلاقة بالصيغة F(x,y)=0 معادلة ، إذا لم يكن صحيحًا لأي أزواج من الأرقام x و y.

مثال: 2س + 7ص – 1 = 0، س 2 + ص 2 – 25 = 0.

إذا كانت المساواة F(x,y)=0 تنطبق على أي x, y، فإن F(x,y) = 0 هي هوية.

مثال: (س + ص) 2 - س 2 - 2 س ص - ص 2 = 0

يقولون أن الأرقام x هي 0 و y هي 0 إرضاء المعادلة ، إذا تحول عند استبدالهم في هذه المعادلة إلى مساواة حقيقية.

إن أهم مفهوم في الهندسة التحليلية هو مفهوم معادلة الخط.

تعريف: معادلة خط معين هي المعادلة F(x,y)=0، والتي تتحقق بإحداثيات جميع النقاط الواقعة على هذا الخط، ولا تتحقق بإحداثيات أي من النقاط غير الواقعة على هذا الخط.

الخط المحدد بالمعادلة y = f(x) يسمى الرسم البياني لـ f(x). يسمى المتغيران x وy بالإحداثيات الحالية، لأنهما إحداثيات نقطة متغيرة.

بعض أمثلةتعريفات الخط.

1) س – ص = 0 => س = ص. تحدد هذه المعادلة خطًا مستقيمًا:

2) x 2 - y 2 = 0 => (x-y)(x+y) = 0 => يجب أن تحقق النقاط إما المعادلة x - y = 0، أو المعادلة x + y = 0، والتي تتوافق على المستوى زوج من الخطوط المستقيمة المتقاطعة التي تكون منصفات للزوايا الإحداثية:

3) x 2 + y 2 = 0. تتحقق هذه المعادلة بنقطة واحدة فقط O(0,0).

2. تعريف: يمكن تحديد أي خط مستقيم على المستوى بمعادلة من الدرجة الأولى

الفأس + وو + C = 0،

علاوة على ذلك، فإن الثوابتين A وB لا يساويان الصفر في نفس الوقت، أي. أ 2 + ب 2 ¹ 0. هذه المعادلة من الدرجة الأولى تسمى المعادلة العامة للخط المستقيم.

اعتمادًا على قيم الثوابت A وB وC، من الممكن حدوث الحالات الخاصة التالية:

C = 0، A ¹ 0، B ¹ 0 – يمر الخط المستقيم عبر نقطة الأصل

A = 0، B ¹ 0، C ¹ 0 (بواسطة + C = 0) - خط مستقيم موازٍ لمحور الثور

B = 0، A ¹ 0، C ¹ 0 (Ax + C = 0) – خط مستقيم موازي لمحور Oy

B = C = 0، A ¹ 0 – يتطابق الخط المستقيم مع محور Oy

أ = ج = 0، ب ¹ 0 – الخط المستقيم يتطابق مع محور الثور

يمكن تقديم معادلة الخط المستقيم بأشكال مختلفة اعتمادًا على أي شروط أولية معينة.

معادلة الخط المستقيم بمعامل الزاوي.

إذا تم تخفيض المعادلة العامة للخط المستقيم Ax + By + C = 0 إلى الشكل:

وتدل على ذلك، ثم تسمى المعادلة الناتجة معادلة الخط المستقيم وميله k.

معادلة الخط المستقيم في القطاعات.

إذا كان في المعادلة العامة للخط المستقيم Аh + Ву + С = 0 С ¹ 0، فبالقسمة على –С نحصل على: أو حيث

المعنى الهندسي للمعاملات هو المعامل أهي إحداثيات نقطة تقاطع الخط مع محور الثور و ب- إحداثيات نقطة تقاطع الخط المستقيم مع محور أوي.

المعادلة العادية للخط.

إذا كان طرفا المعادلة Ax + By + C = 0 مقسوما على رقم يسمى عامل التطبيع، ثم نحصل

xcosj + ysinj - p = 0 – المعادلة العادية للخط المستقيم.

يجب اختيار العلامة ± لعامل التطبيع بحيث تكون m×С< 0.

p هو طول العمودي المسقط من نقطة الأصل إلى الخط المستقيم، و j هي الزاوية التي يشكلها هذا العمودي مع الاتجاه الموجب لمحور الثور.

3. معادلة الخط المستقيم باستخدام النقطة والمنحدر.

دع المعامل الزاوي للخط يساوي k، ويمر الخط عبر النقطة M(x 0, y 0). ثم يتم إيجاد معادلة الخط المستقيم بالصيغة: y – y 0 = k(x – x 0)

معادلة الخط الذي يمر بنقطتين.

دع النقطتين M 1 (x 1، y 1، z 1) و M 2 (x 2، y 2، z 2) معطاة في الفضاء، فإن معادلة الخط الذي يمر بهذه النقاط هي:

إذا كان أي من المقامات يساوي صفرًا، فيجب أن يكون البسط المقابل مساويًا للصفر.

على المستوى، تم تبسيط معادلة الخط المستقيم المكتوبة أعلاه:

إذا كان x 1 ¹ x 2 و x = x 1، إذا كان x 1 = x 2.

الكسر = k يسمى ميلمستقيم.

يمكن تعريف الخط على المستوى باستخدام معادلتين

أين Xو ص -إحداثيات نقطة تعسفية م(X; في)، والكذب على هذا الخط، و ر- متغير يسمى معامل.

معامل ريحدد موضع النقطة ( X; في) على السطح.

حتى إذا

ثم قيمة المعلمة ر= 2 يتوافق مع النقطة (4؛ 1) على المستوى، لأن X = 2 + 2 = 4, ذ= 2 2 – 3 = 1.

إذا كانت المعلمة ريتغير، ثم تتحرك النقطة الموجودة على المستوى، واصفة هذا الخط. تسمى هذه الطريقة لتحديد المنحنى حدوديوالمعادلات (1) - معادلات الخطوط البارامترية.

دعونا نفكر في أمثلة للمنحنيات المعروفة المحددة في شكل حدودي.

1) أسترويد:

أين أ> 0 – قيمة ثابتة.

في أ= 2 له النموذج:

الشكل 4. أسترويد

2) الدائرية: أين أ> 0 - ثابت.

في أ= 2 له النموذج:

الشكل 5. دائري

معادلة الخط المتجه

يمكن تحديد خط على متن الطائرة معادلة المتجهات

أين ر- المعلمة المتغيرة العددية.

كل قيمة المعلمة ر 0 يتوافق مع ناقل مستوى معين. عند تغيير المعلمة رستصف نهاية المتجه خطًا معينًا (الشكل 6).

معادلة المتجهات للخط في نظام الإحداثيات أوه

تتوافق مع معادلتين عدديتين (4)، أي. معادلات الإسقاط

على المحور الإحداثي للمعادلة المتجهة للخط توجد معادلاتها البارامترية.

الشكل 6. معادلة الخط المتجه

المعادلة المتجهة والمعادلات الخطية البارامترية لها معنى ميكانيكي. إذا تحركت نقطة على مستوى، تسمى المعادلات المشار إليها معادلات الحركة، خط - مسارالنقاط، المعلمة ر- وقت.

المساواة في الشكل F(x, y) = 0 تسمى معادلة ذات متغيرين x, y إذا لم تكن صحيحة لجميع أزواج الأرقام x, y. يقولون أن الرقمين x = x 0, y = y 0 يحققان بعض المعادلات بالشكل F(x, y) = 0 إذا، عند استبدال هذه الأرقام بدلاً من المتغيرين x وy في المعادلة، يصبح الجانب الأيسر صفرًا .

معادلة خط معين (في نظام إحداثي معين) هي معادلة بمتغيرين تكون محققة لإحداثيات كل نقطة تقع على هذا الخط وغير محققة لإحداثيات كل نقطة لا تقع عليه.

في ما يلي، بدلًا من التعبير "بالنظر إلى معادلة الخط F(x, y) = 0"، سنقول غالبًا بشكل أكثر إيجازًا: بالنظر إلى الخط F(x, y) = 0.

إذا تم إعطاء معادلات خطين: F(x, y) = 0 و Ф(x, y) = 0، فإن الحل المشترك للنظام

F(x,y) = 0, Ф(x, y) = 0

يعطي كل نقاط التقاطع الخاصة بهم. وبتعبير أدق فإن كل زوج من الأرقام التي تشكل حلاً مشتركاً لهذا النظام يحدد إحدى نقاط التقاطع،

157. النقاط المعطاة *) م 1 (2؛ -2)، م 2 (2؛ 2)، م 3 (2؛ - 1)، م 4 (3؛ -3)، م 5 (5؛ -5)، م 6 (3؛ -2). حدد أي النقاط المعطاة تقع على الخط المحدد بالمعادلة x + y = 0 وأيها لا تقع عليه. ما الخط الذي تحدده هذه المعادلة؟ (ارسمه على الرسم.)

158. على الخط المحدد بالمعادلة x 2 + y 2 = 25، ابحث عن النقاط التي تساوي حروفها الإحداثية الأرقام التالية: 1) 0، 2) -3، 3) 5، 4) 7؛ على نفس الخط، ابحث عن نقاط إحداثياتها تساوي الأرقام التالية: 5) 3، 6) -5، 7) -8. ما الخط الذي تحدده هذه المعادلة؟ (ارسمه على الرسم.)

159. حدد الخطوط التي يتم تحديدها بواسطة المعادلات التالية (قم بإنشائها على الرسم): 1)x - y = 0; 2) س + ص = 0؛ 3) س - 2 = 0؛ 4)س + 3 = 0؛ 5) ص - 5 = 0؛ 6) ص + 2 = 0؛ 7) س = 0؛ 8) ص = 0؛ 9) × 2 - س ص = 0؛ 10) س ص + ص 2 = 0؛ 11) × 2 - ص 2 = 0؛ 12) س ص = 0; 13) ص 2 - 9 = 0؛ 14) × 2 - 8س + 15 = 0؛ 15) ص 2 + بواسطة + 4 = 0؛ 16) × 2 ص - 7 س ص + 10 ص = 0؛ 17) ذ - |س|؛ 18) س - |ص|؛ 19) ذ + |س| = 0؛ 20) س + |ص| = 0؛ 21) ص = |س - 1|; 22) ص = |س + 2|; 23) × 2 + ص 2 = 16؛ 24) (س - 2) 2 + (ص - 1) 2 = 16؛ 25 (س + 5) 2 + (ص-1) 2 = 9؛ 26) (س - 1) 2 + ص 2 = 4؛ 27) × 2 + (ص + 3) 2 = 1؛ 28) (س - 3) 2 + ص 2 = 0؛ 29) × 2 + 2ص 2 = 0؛ 30) 2س 2 + 3ص 2 + 5 = 0؛ 31) (س - 2) 2 + (ص + 3) 2 + 1 = 0.

160. الأسطر المعطاة: l)x + y = 0; 2)س - ص = 0؛ 3)س 2 + ص 2 - 36 = 0؛ 4) س 2 + ص 2 - 2س + ص = 0؛ 5) x 2 + y 2 + 4x - 6y - 1 = 0. حدد أي منها يمر بنقطة الأصل.

161. الأسطر المعطاة: 1) × 2 + ص 2 = 49؛ 2) (س - 3) 2 + (ص + 4) 2 = 25؛ 3) (س + 6) 2 + (ص - ي) 2 = 25؛ 4) (س + 5) 2 + (ص - 4) 2 = 9؛ 5) س 2 + ص 2 - 12س + 16ص - 0؛ 6) س 2 + ص 2 - 2س + 8ص + 7 = 0؛ 7) x 2 + y 2 - 6x + 4y + 12 = 0. أوجد نقاط التقاطع: أ) مع محور الثور؛ ب) مع محور أوي.

162. أوجد نقاط تقاطع خطين:

1) س 2 + ص 2 - 8؛ س - ص =0؛

2) س 2 + ص 2 - 16س + 4ص + 18 = 0؛ س + ص = 0؛

3) س 2 + ص 2 - 2س + 4ص - 3 = 0؛ س 2 + ص 2 = 25؛

4) × 2 + ص 2 - 8ص + 10ص + 40 = 0؛ س 2 + ص 2 = 4.

163. في نظام الإحداثيات القطبية، النقاط M 1 (l؛ π/3)، M 2 (2؛ 0)، M 3 (2؛ π/4)، M 4 (√3؛ π/6) وM 5 ( 1; 2/3π). حدد أيًا من هذه النقاط تقع على الخط المحدد في الإحداثيات القطبية بالمعادلة p = 2cosΘ، وأيها لا تقع عليه. ما الخط الذي تحدده هذه المعادلة؟ (ارسمه على الرسم.)

164. على الخط المحدد بالمعادلة p = 3/cosΘ، ابحث عن النقاط التي تساوي زواياها القطبية الأعداد التالية: أ) π/3، ب) - π/3، ج) 0، د) π/6. ما الخط الذي تحدده هذه المعادلة؟ (قم ببنائه على الرسم.)

165. على الخط المحدد بالمعادلة p = 1/sinΘ، أوجد النقاط التي يساوي نصف قطرها القطبي الأعداد التالية: أ) 1 6) 2، ج) √2. ما الخط الذي تحدده هذه المعادلة؟ (قم ببنائه على الرسم.)

166. حدد الخطوط التي يتم تحديدها في الإحداثيات القطبية بواسطة المعادلات التالية (قم بإنشائها على الرسم): 1) ع = 5؛ 2) Θ = π/2؛ 3) Θ = - π/4؛ 4) ص كوسΘ = 2؛ 5) ع الخطيئةΘ = 1؛ 6.) ع = 6cosΘ؛ 7) ع = 10 خطيئةΘ؛ 8) الخطيئةΘ = 1/2؛ 9) جيب = 1/2.

167. أنشئ حلزونات أرخميدس التالية على الرسم: 1) ع = 20؛ 2) ع = 50؛ 3) ع = Θ/π؛ 4) ع = -Θ/π.

168. قم ببناء اللوالب الزائدية التالية على الرسم: 1) p = 1/Θ؛ 2) ع = 5/Θ؛ 3) ع = π/Θ؛ 4) ع= - π/Θ

169. قم ببناء اللوالب اللوغاريتمية التالية على الرسم: 1) p = 2 Θ؛ 2) ع = (1/2) Θ.

170. حدد أطوال المقاطع التي يتم فيها قطع دوامة أرخميدس p = 3Θ بواسطة شعاع يخرج من القطب ويميل إلى المحور القطبي بزاوية Θ = π/6. جعل الرسم.

171. في دوامة أرخميدس p = 5/πΘ، يتم أخذ النقطة C، ونصف القطر القطبي لها 47. حدد عدد الأجزاء التي تقطعها هذه الدوامة نصف القطر القطبي للنقطة C. ارسم رسمًا.

172. في دوامة زائدية P = 6/Θ، أوجد النقطة P التي يبلغ نصف قطرها القطبي 12. ارسم رسمًا.

173. في دوامة لوغاريتمية p = 3 Θ، أوجد نقطة P نصف قطرها القطبي 81. ارسم رسمًا.

خط مستقيم على المستوى وفي الفضاء.

تسمى دراسة خواص الأشكال الهندسية باستخدام الجبر الهندسة التحليلية ، وسوف نستخدم ما يسمى طريقة التنسيق .

عادةً ما يتم تعريف الخط الموجود على المستوى على أنه مجموعة من النقاط التي لها خصائص فريدة خاصة بها. حقيقة أن إحداثيات (أرقام) x و y لنقطة تقع على هذا الخط مكتوبة بشكل تحليلي في شكل معادلة ما.

Def.1 معادلة الخط (معادلة المنحنى) على مستوى أوكسي تسمى المعادلة (*)، والتي تتحقق بإحداثيات x و y لكل نقطة على خط معين ولا تتحقق بإحداثيات أي نقطة أخرى لا تقع على هذا الخط.

من التعريف 1 يترتب على ذلك أن كل خط على المستوى يتوافق مع بعض المعادلات بين الإحداثيات الحالية ( س، ص ) نقاط هذا الخط والعكس، كل معادلة تتوافق، بشكل عام، مع خط معين.

وهذا يؤدي إلى مشكلتين رئيسيتين في الهندسة التحليلية على المستوى.

1. يتم إعطاء خط على شكل مجموعة من النقاط. علينا إنشاء معادلة لهذا الخط.

2. يتم إعطاء معادلة الخط. ومن الضروري دراسة خصائصه الهندسية (الشكل والموقع).

مثال. هل النقاط تكذب أ(-2;1) و في (1؛ 1) في السطر 2 X +في +3=0?

مشكلة إيجاد نقاط تقاطع خطين تعطيها المعادلات تتلخص في إيجاد الإحداثيات التي تحقق معادلة كلا الخطين، أي. لحل نظام من معادلتين مع مجهولين.

إذا لم يكن لهذا النظام حلول حقيقية، فإن الخطوط لا تتقاطع.

تم تقديم مفهوم الخط في UCS بطريقة مماثلة.

يمكن تعريف الخط على المستوى بمعادلتين

أين X و في - إحداثيات النقطة التعسفية م (س؛ ص)، الكذب على هذا الخط، و ر - متغير يسمى معامل ، تحدد المعلمة موضع النقطة على المستوى.

على سبيل المثال، إذا كانت قيمة المعلمة t=2 تتوافق مع النقطة (3;4) على المستوى.

إذا تغيرت المعلمة، فإن النقطة الموجودة على المستوى تتحرك، واصفة هذا الخط. تسمى هذه الطريقة لتحديد الخط البارامترية، والمعادلة (5.1) هي معادلة بارامترية للخط.

للانتقال من المعادلات البارامترية إلى المعادلة العامة (*)، يجب على المرء بطريقة ما حذف المعلمة من المعادلتين. ومع ذلك، نلاحظ أن مثل هذا التحول ليس مستحسنًا دائمًا وليس ممكنًا دائمًا.

يمكن تحديد خط على متن الطائرة معادلة المتجهات ، حيث t هي معلمة متغيرة عددية. تتوافق كل قيمة معلمة مع متجه مستوى محدد. عند تغيير المعلمة، ستصف نهاية المتجه خطًا معينًا.

معادلة المتجهات في DSC يتوافق مع معادلتين عدديتين

(5.1)، أي. معادلة الإسقاطات على محاور الإحداثيات لمعادلة المتجهات للخط هي

المعادلة البارامترية.

المعادلة المتجهة والمعادلات الخطية البارامترية لها معنى ميكانيكي. إذا تحركت نقطة على مستوى، تسمى المعادلات المشار إليها معادلات الحركة ، والخط هو مسار النقطة، والمعلمة t هي الوقت.

الاستنتاج: كل خط على المستوى يتوافق مع معادلة النموذج.

في الحالة العامة، أي معادلة للعرض تتوافق مع خط معين، يتم تحديد خصائصه بواسطة المعادلة المحددة (باستثناء أنه لا توجد صورة هندسية تتوافق مع معادلة على المستوى).

دع نظام الإحداثيات على المستوى يتم اختياره.

مواطنه. 5.1. معادلة خطية ويسمى هذا النوع من المعادلاتو(س؛ص) =0، والتي تتحقق بإحداثيات كل نقطة تقع على هذا الخط، ولا تلبيها إحداثيات أي نقطة لا تقع عليها.

معادلة النموذجو(س;ص )=0 - تسمى المعادلة العامة للخط أو المعادلة في الصورة الضمنية.

وبالتالي فإن الخط Г هو موضع النقاط التي تحقق هذه المعادلة Г=((x, y): F(x;y)=0).

ويسمى الخط أيضا ملتوية.

المساواة في النموذج F (س، ص) = 0تسمى معادلة في متغيرين س، ذ،إذا لم يكن صحيحا لجميع أزواج الأرقام س، ص.يقولون رقمين س = س 0 , ص = ص 0, تلبية بعض معادلة النموذج و(س، ص)=0،إذا عند استبدال هذه الأرقام بدلا من المتغيرات Xو فيوفي المعادلة يختفي طرفها الأيسر.

وفيما يلي بدلا من عبارة "تعطى معادلة الخط و(س، y) = 0" غالبًا ما نقول باختصار: بالنظر إلى السطر و (س، ص) = 0.

إذا تم إعطاء معادلات خطين و(س، ص) = 0و Ф(س، ص) = س،ثم الحل المشترك للنظام

يعطي كل نقاط التقاطع الخاصة بهم. وبتعبير أدق، يحدد كل زوج من الأرقام التي تمثل حلاً مشتركًا لهذا النظام إحدى نقاط التقاطع.

*) في الحالات التي لا يتم فيها تسمية النظام الإحداثي، يفترض أنه مستطيل ديكارتي.

157. يتم منح النقاط *) م 1 (2; - 2), م 2 (2; 2), م 3 (2; - 1), م 4 (3; -3), م 5 (5; -5), م 6 (3؛ -2). تحديد النقاط المنشورة التي تقع على الخط المحدد بالمعادلة X+ ص = 0،وأيها لا تكذب عليه. ما الخط الذي تحدده هذه المعادلة؟ (ارسمه على الرسم.)

158. على الخط الذي تحدده المعادلة X 2 +y 2 =25، أوجد النقاط التي تساوي حروفها الإحداثية الأرقام التالية: أ) 0، ب) - 3، ج) 5، د) 7؛ على نفس الخط، ابحث عن نقاط إحداثياتها تساوي الأعداد التالية: e) 3, f) - 5, g) - 8. أي خط تحدده هذه المعادلة؟ (ارسمه على الرسم.)

159. تحديد الخطوط التي يتم تحديدها بواسطة المعادلات التالية (قم بإنشائها على الرسم):

1) س - ص = 0؛ 2) س + ص = 0؛ 3) س- 2 = 0; 4) س+ 3 = 0;

5) ص - 5 = 0؛ 6) ذ+ 2 = 0; 7) س = 0; 8) ذ = 0;

9) س 2 - س ص = 0؛ 10) xy+ ص 2 = 0؛ أحد عشر) س 2 - ذ 2 = 0; 12) xy= 0;

13) ص 2 - 9 = 0؛ 14) xy 2 - 8xy+15 = 0; 15) ص 2 +5ص+4 = 0;

16) X 2 ص - 7س ص + 10ذ = 0; 17) ذ =|س|; 18) س =|في|; 19)ذ + |س|=0;

20) س +|في|= 0; 21)ص =|X- 1|; 22) ذ = |س+ 2|; 23) X 2 + في 2 = 16;

24) (س-2) 2 +(ذ-1) 2 =16; 25) (س+ 5) 2 +(ذ- 1) 2 = 9;

26) (X - 1) 2 + ذ 2 = 4; 27) س 2 +(ذ + 3) 2 = 1; 28) (س -3) 2 + ذ 2 = 0;

29) X 2 + 2ذ 2 = 0; 30) 2X 2 + 3ذ 2 + 5 = 0

31) (س- 2) 2 + (ذ + 3) 2 + 1=0.

160.السطور المقدمة:

1)X+ ص = 0; 2)س - ص = 0; 3) س 2 + ذ 2 - 36 = 0;

4) س 2 +ذ 2 -2س==0; 5) س 2 +ذ 2 + 4س-6ذ-1 =0.

تحديد أي منهم يمر عبر الأصل.

161.السطور المقدمة:

1) س 2 + ذ 2 = 49; 2) (س- 3) 2 + (ذ+ 4) 2 = 25;

3) (س+ 6) 2 + (ص - 3) 2 = 25؛ 4)( س + 5) 2 + (ص - 4) 2 = 9؛

5) س 2 +ذ 2 - 12س + 16ص = 0; 6) س 2 +ذ 2 - 2س + 8في+ 7 = 0;

7) س 2 +ذ 2 - 6س + 4ذ + 12 = 0.

أوجد نقاط التقاطع: أ) مع المحور أوه؛ب) مع المحور الوحدة التنظيمية.

162. العثور على نقاط تقاطع خطين.

1)X 2 +ص 2 = 8، س-ص = 0;

2) X 2 +ص 2 -16س+4في+18 = 0, س + ص= 0;

3) X 2 +ص 2 -2س+4في -3 = 0, X 2 + ص 2 = 25;

4) X 2 +ص 2 -8س+10u+40 = 0, X 2 + ص 2 = 4.

163. يتم إعطاء النقاط في نظام الإحداثيات القطبية

م 1 (1; ), م 2 (2; 0), م 3 (2; )

م 4 (
;) و م 5 (1; )

حدد أيًا من هذه النقاط تقع على الخط المحدد بالمعادلة في الإحداثيات القطبية  = 2 cos ، وأيها لا تقع عليه. ما الخط الذي تحدده هذه المعادلة؟ (ارسمه على الرسم :)

164. على الخط المحدد بالمعادلة  = , أوجد النقاط التي زواياها القطبية تساوي الأعداد التالية: أ) ،ب) - ، ج) 0، د) . ما الخط الذي تحدده هذه المعادلة؟

(قم ببنائه على الرسم.)

165.على الخط المحدد بالمعادلة  = ، ابحث عن النقاط التي يساوي نصف قطرها القطبي الأرقام التالية: أ) 1، ب) 2، ج)
. ما الخط الذي تحدده هذه المعادلة؟ (قم ببنائه على الرسم.)