imS 2n+1 (nà∞) = im(S 2n +U 2n+1)=S;

المجموع الزوجي والفردي لهما نفس النهاية => المتسلسلة متقاربة.

1) لاحظ أن S>0، أي. وإشارة المجموع تتطابق مع إشارة الحد الأول.

38.التقارب المطلق والمشروط.

O. عرض الصف (1)

تسمى علامة التناوب.

اختبار لايبنتز(ارسم رمز الصف).

من أجل السلسلة (1) сkh-я يكفي أن تنخفض القيم المطلقة و →0 مع زيادة n، أي.

O. إذا كانت المتسلسلة تتكون من قيم مطلقة للكميات cx-xia، يقال أن المتسلسلة متقاربة تمامًا.

النظرية: إذا كانت المتسلسلة مطلقة cx-xia، فإن المتسلسلة الأصلية هي xx-xia.

الوثيقة: تذكر علامة مقارنة واحدة

النظر في الصف - سلسلة من القيم المطلقة للكميات

تم إثبات sx بناءً على المعيار الثاني للمقارنة، وبعد ذلك تكون سلسلة المرجع sx مطلقة.

أ. إذا كانت المتسلسلة صورة القيم المطلقة لكمياتها هي exp-xia، والمتسلسلة الأصلية هي cx-xia، فإنها تسمى بشكل مشروط xx-xia.

39.مفهوم سلسلة القوى منطقة التقارب لمتسلسلات القوى نظرية هابيل.

المتسلسلة من النموذج حيث تسمى الأرقام بمعاملات المتسلسلة، س– متغير يسمى بهدوء المقبل.الفاصل الزمني (-R;R) يسمى الفاصل الزمني لسلسلة الخطوات. لاحظ أنه بالنسبة لـ x €(-R;R) فإن المتسلسلة تتقارب بشكل مطلق، وعند النقاط x= ± R يمكن لسلسلة القوى أن تتقارب أو تتباعد. للعثور على نصف قطر التقارب، يمكنك استخدام اختبارات دالمبيرت أو كوشي. نظرية. إذا كان هناك | أ ن +1 / أ ن |=L، ثم R=1/L= | أ ن / ن +1 |. (Doc. خذ بعين الاعتبار المتسلسلة a n x n . طبق عليها اختبار دالمبيرت. | a n +1 x n +1 / a n x n |= | a n +1 / a n |∙| x | =L∙| x |. ويترتب على ذلك أنه إذا L ∙|<1, т,е. если | x |<1/L , то ряд сходится абсолютно. Если L∙| x |>1، ثم تتباعد السلسلة. تم إثبات النظرية.) لاحظ أنه إذا كانت L=0، لأي | س | ثم R=∞. إذا كان L=∞، لأي x≠0، فإن R=0. إذا كانت R=0، فإن المتسلسلة تتقارب عند نقطة واحدة x 0 =0؛ إذا كانت R=∞، فإن المتسلسلة تتقارب على خط الأعداد بأكمله. إذن فترة تقارب المتسلسلة a n x n هي (-R;R) . للعثور على منطقة تقارب السلسلة، من الضروري فحص التقارب بشكل منفصل عند النقطتين x=R وx=-R؛ واعتماداً على نتائج هذا البحث قد تكون السلسلة الزراعية للمنطقة إحدى الفواصل: [-R;R],(-R;R),[-R;R],(-R;R). نظرية هابيل: 1) إذا كانت متسلسلة القوى a n x n متقاربة عند x=x 0، فإنها تتقارب بشكل مطلق لجميع x التي تحقق المتراجحة |x|<|x 0 |. 2) Если же ряд a n x n расходится при x=x 1 , то он расходится при всех x, удовлетворяющих условию |x|>|x 1 |. (وثيقة 1) بما أن سلسلة الأرقام a n x 0 n تتقارب، فإن a n x 0 n =0. وهذا يعني أن التسلسل الرقمي (a n x 0 n ) محدود ثم نعيد كتابة متسلسلة القوى على الصورة a 0 + a 1 x 0 (x/x 0) + a 2 x 0 2 (x 2 /x 0 2). +…+… = أ n x 0 n (x/x 0) 2 . دعونا نفكر في سلسلة من القيم المطلقة. |أ 0 | + |a 1 × 0 (x/x 0) | + |a 2 x 0 2 (x 2 /x 0 2) | +…+…<= M + M| x/x 0 | + M| x/x 0 | 2 +…= M(1+q+ q 2 +…). Это геометрическая прогрессия с q=(x/x 0)<1-сходится. Из признака сравнения следует абсолютная сходимость степенного ряда. 2)От противного. Пусть степенной ряд сходится при некотором x * , | x * |>x 1. ولكن بعد ذلك، وفقًا للجزء الأول من النظرية، تتقارب متسلسلة القوى عند الكل | س |< x * . В том числе должен сходится и при x= x 0 , так как | x |< | x * | . Но это противоречит предположению теоремы. Теорема доказана.)

تعريف. تسمى سلسلة من العلامات المتناوبة بالتناوب إذا كانت المصطلحات المجاورة لها لها علامات مختلفة.

من أمثلة المتسلسلات المتناوبة المتتاليات الهندسية ذات المقامات السالبة.

بالنسبة لسلسلة من العلامات المتناوبة، هناك اختبار تقارب عام وحساس وعملي إلى حد ما، وذلك بسبب لايبنيز.

نظرية (اختبار تقارب لايبنتز). إذا كانت القيم المطلقة لشروط المتسلسلة المتناوبة

تشكيل تسلسل رتيب غير متزايد يميل إلى الصفر، أي إذا

ثم تتقارب المتسلسلة (4.32).

دليل. لدينا شيء للجميع

أو، دمج الأعضاء في مجموعات (يحتوي المجموع فقط على عدد محدود من المصطلحات، وبالتالي فإن قوانين العمل الأساسية صالحة هنا دون أي قيود)،

بناءً على التسلسل غير المتزايد للقيم المطلقة لحدود المتسلسلة، تحتوي جميع الأقواس على أرقام غير سالبة. لذلك،

ولذلك فإن المجاميع الجزئية للمتسلسلة (4.32) ذات الأعداد الزوجية تشكل تسلسلاً محدودًا.

ومن ناحية أخرى، وذلك بسبب نفس الرتابة

وبالتالي فإن تسلسل المجاميع الجزئية مع الأعداد الزوجية لا يتناقص. ولذلك فإن هذا التسلسل له حدود

كلا الحدين على اليمين موجودان، والثاني منهما يساوي صفرًا بالشرط. وبالتالي، هناك حد على اليسار، وله

مع (4.35) هذا يعطينا

وهو ما كان مطلوبا.

عاقبة. بالنسبة للمتسلسلة المتناوبة التي تحقق اختبار تقارب لايبنتز، يمكن تقدير الباقي من الأعلى بالقيمة المطلقة:

في الواقع، يمكن اعتبار الباقي بمثابة مجموع السلسلة

والتي، على النحو التالي من النظرية المثبتة، لا تتجاوز القيمة المطلقة الحد الأول، وهو في هذه الحالة

مثال. تنطبق على سلسلة

تعطي علامة لايبنتز

مما يعني أن السلسلة متقاربة. (تم إثبات هذا التقارب من خلال الحسابات المباشرة في الفقرة 2.)

نحن نرى أن اختبار تقارب لايبنتز واسع جدًا في قابلية التطبيق، وعملي جدًا وحساس بشكل مثالي. وهذا لا يتعارض مع ما قيل في نهاية الفقرة 5 من الفصل 3: التقارب المشروط لمتسلسلة متناوبة هو "في المتوسط"، إذا جاز التعبير، حقيقة أوسع من تقارب سلسلة ذات حدود موجبة؛ لذلك، اتضح أنه من الأسهل التعرف عليه إلى حد ما.

دعونا نلاحظ أخيرًا أن معيار لايبنيز ليس معيارًا كافيًا فحسب، بل هو أيضًا معيار ضروري للتقارب لسلسلة من العلامات المتناوبة ذات الحدود المتناقصة بشكل رتيب: إذا، بناءً على معيار التقارب الضروري من الفقرة 6 من الفصل 2، السلسلة

لا يمكن أن تتلاقى.

تمت صياغة النظرية على النحو التالي. سلسلة بالتناوب

يتقارب إذا تم استيفاء الشرطين:

عاقبة

تتبع النتيجة الطبيعية نظرية لايبنيز التي تسمح لنا بتقدير الخطأ في حساب مجموع غير كامل للمتسلسلة:

باقي السلسلة المتناوبة المتقاربة ر ن = س − س ن سيكون أقل في القيمة المطلقة من الحد الأول المهمل:

مصادر

• برونشتاين آي إن، سيمنديايف ك.دليل الرياضيات. - إد. 7، النمطية. - م: دار النشر الحكومية للأدب التقني والنظري 1967. - ص296.

مؤسسة ويكيميديا. 2010.

تعرف على ما هي "علامة لايبنيز" في القواميس الأخرى:

اختبار ديريشليت هو نظرية تشير إلى الظروف الكافية لتقارب التكاملات غير الصحيحة وجمع المتسلسلات اللانهائية. سميت على اسم عالم الرياضيات الألماني ليجون ديريشليت. المحتويات...ويكيبيديا

اختبار ديني هو اختبار للتقارب النقطي لمتسلسلة فورييه. على الرغم من أن متسلسلة فورييه للدالة تتقارب معها بالمعنى المعياري، إلا أنها ليست ملزمة على الإطلاق بالتقارب إليها بشكل نقطي (حتى في حالة الدالة المستمرة). ومع ذلك، مع بعض... ... ويكيبيديا

علامة المقارنة هي بيان حول تزامن التباعد أو التقارب بين سلسلتين، بناءً على مقارنة حدود هذه المتسلسلة. المحتويات 1 الصياغة 2 الإثبات ... ويكيبيديا

اختبار تقارب سلسلة أعداد، اقترحه لوباتشيفسكي بين عامي 1834 و1836. ليكن هناك تسلسل تنازلي من الأعداد الموجبة، فإن المتسلسلة تتقارب أو تتباعد في وقت واحد مع المتسلسلة... ويكيبيديا

علامة تقارب متسلسلة فورييه: إذا كانت الدالة الدورية لها اختلاف محدود في مقطع ما، فإن متسلسلة فورييه الخاصة بها تتقارب عند كل نقطة إلى رقم؛ إذا كانت الدالة متصلة على القطعة... ويكيبيديا

- (اختبار رابه دوهاميل) اختبار لتقارب سلاسل الأعداد الموجبة، وضعه جوزيف لودفيغ رابه وبشكل مستقل بواسطة جان ماري دوهاميل. المحتويات 1 الصياغة 2 الصيغ ... ويكيبيديا

اختبار تقارب سلاسل الأعداد ذات الحدود الموجبة، وضعه جوزيف برتراند. المحتويات 1 الصياغة 2 الصياغة في شكل متطرف ... ويكيبيديا

معيار عام لتقارب سلاسل الأعداد ذات الحدود الموجبة، تم وضعه عام 1812 من قبل كارل غاوس، عند دراسة تقارب المتسلسلة الهندسية المفرطة. الصياغة دع سلسلة وتسلسل عددي محدود يعطى. ثم إذا... ... ويكيبيديا

اختبار تقارب سلاسل الأعداد ذات الحدود الموجبة، وضعه فاسيلي إرماكوف. تكمن خصوصيتها في أنها تتفوق على جميع العلامات الأخرى في حساسيتها. تم نشر هذا العمل في المقالات: "النظرية العامة... ... ويكيبيديا

اختبار تقارب سلاسل الأعداد ذات الحدود الموجبة، وضعه بيير جاميت. المحتويات 1 الصياغة 2 الصياغة في شكل متطرف ... ويكيبيديا