ما هي جذور ثلاثية الحدود من الدرجة الثانية. هناك نوعان من المعادلات

قد يبدو توسيع كثيرات الحدود للحصول على منتج أمرًا مربكًا في بعض الأحيان. لكن الأمر ليس بهذه الصعوبة إذا فهمت العملية خطوة بخطوة. توضح المقالة بالتفصيل كيفية تحليل ثلاثية الحدود من الدرجة الثانية.

كثير من الناس لا يفهمون كيفية تحليل ثلاثية الحدود المربعة ولماذا يتم ذلك. في البداية قد يبدو الأمر وكأنه تمرين غير مجدي. ولكن في الرياضيات لا شيء يتم من أجل لا شيء. التحويل ضروري لتبسيط التعبير وسهولة الحساب.

كثيرة الحدود من النموذج – ax²+bx+c, تسمى ثلاثية الحدود من الدرجة الثانية.يجب أن يكون المصطلح "أ" سالبًا أو موجبًا. عمليا، يسمى هذا التعبير معادلة تربيعية. لذلك، أحيانًا يقولون ذلك بطريقة مختلفة: كيفية فك المعادلة التربيعية.

مثير للاهتمام!تسمى كثيرة الحدود مربعًا لأن درجتها الأكبر هي المربع. وثلاثية الحدود - بسبب المكونات الثلاثة.

بعض الأنواع الأخرى من كثيرات الحدود:

• ذات الحدين الخطي (6x+8)؛
• رباعي الحدود (x³+4x²-2x+9).

تحليل ثلاثية الحدود من الدرجة الثانية

أولا، التعبير يساوي الصفر، ثم تحتاج إلى العثور على قيم الجذور x1 و x2. قد لا يكون هناك جذور، قد يكون هناك جذر واحد أو جذران. يتم تحديد وجود الجذور بواسطة المميز. عليك أن تحفظ صيغته عن ظهر قلب: D=b²-4ac.

إذا كانت النتيجة D سلبية، فلا توجد جذور. إذا كان موجبًا، فهناك جذرين. إذا كانت النتيجة صفرًا، فالجذر واحد. يتم حساب الجذور أيضًا باستخدام الصيغة.

إذا كانت النتيجة صفرًا عند حساب المميز، فيمكنك استخدام أي من الصيغ. في الممارسة العملية، يتم اختصار الصيغة ببساطة: -b / 2a.

تختلف صيغ القيم التمييزية المختلفة.

إذا كانت D موجبة:

إذا كان D صفرًا:

الآلات الحاسبة على الانترنت

توجد آلة حاسبة على الإنترنت. يمكن استخدامه لإجراء التحليل. توفر بعض الموارد الفرصة لعرض الحل خطوة بخطوة. تساعد هذه الخدمات على فهم الموضوع بشكل أفضل، ولكن عليك أن تحاول فهمه جيدًا.

فيديو مفيد: تحليل ثلاثية الحدود من الدرجة الثانية

أمثلة

نقترح النظر في أمثلة بسيطة لكيفية تحليل المعادلة التربيعية.

مثال 1

وهذا يوضح بوضوح أن النتيجة هي اثنان x لأن D موجبة. يجب استبدالها في الصيغة. إذا تبين أن الجذور سلبية، فإن الإشارة الموجودة في الصيغة تتغير إلى العكس.

نحن نعرف صيغة تحليل ثلاثية الحدود التربيعية: a(x-x1)(x-x2). نضع القيم بين قوسين: (x+3)(x+2/3). لا يوجد رقم قبل المصطلح في السلطة. هذا يعني أن هناك واحدًا هناك، وسوف ينخفض.

مثال 2

يوضح هذا المثال بوضوح كيفية حل معادلة لها جذر واحد.

نستبدل القيمة الناتجة:

مثال 3

المعطى: 5x²+3x+7

أولا، دعونا نحسب المميز، كما في الحالات السابقة.

د=9-4*5*7=9-140= -131.

المميز سالب، مما يعني عدم وجود جذور.

بعد استلام النتيجة يجب عليك فتح الأقواس والتحقق من النتيجة. يجب أن يظهر ثلاثي الحدود الأصلي.

حل بديل

لم يتمكن بعض الأشخاص أبدًا من تكوين صداقات مع الشخص الذي يمارس التمييز. هناك طريقة أخرى لتحليل ثلاثية الحدود من الدرجة الثانية. للراحة، يتم عرض الطريقة مع مثال.

المعطى: x²+3x-10

نحن نعلم أنه يجب أن نحصل على قوسين: (_)(_). عندما يبدو التعبير بالشكل التالي: x²+bx+c، في بداية كل قوس نضع x: (x_)(x_). الرقمان المتبقيان هما المنتج الذي يعطي "c"، أي في هذه الحالة -10. الطريقة الوحيدة لمعرفة هذه الأرقام هي عن طريق الاختيار. يجب أن تتوافق الأرقام المستبدلة مع المصطلح المتبقي.

على سبيل المثال، ضرب الأرقام التالية يعطي -10:

• -1, 10;
• -10, 1;
• -5, 2;
• -2, 5.

1. (س-1)(س+10) = س2+10س-س-10 = س2+9س-10. لا.
2. (س-10)(س+1) = س2+س-10س-10 = س2-9س-10. لا.
3. (س-5)(س+2) = س2+2س-5س-10 = س2-3س-10. لا.
4. (س-2)(س+5) = س2+5س-2س-10 = س2+3س-10. تناسبها.

هذا يعني أن تحويل التعبير x2+3x-10 يبدو كالتالي: (x-2)(x+5).

مهم!يجب أن تكون حريصًا على عدم الخلط بين العلامات.

توسيع ثلاثي الحدود المعقدة

إذا كان "أ" أكبر من واحد، تبدأ الصعوبات. ولكن كل شيء ليس صعبا كما يبدو.

للتحليل، عليك أولًا معرفة ما إذا كان من الممكن تحليل أي شيء.

على سبيل المثال، بالنظر إلى التعبير: 3x²+9x-30. هنا يتم إخراج الرقم 3 من بين قوسين:

3(x²+3x-10). والنتيجة هي ثلاثية الحدود المعروفة بالفعل. تبدو الإجابة كما يلي: 3(س-2)(س+5)

كيف تتحلل إذا كان المصطلح الموجود في المربع سالبًا؟ في هذه الحالة، يتم إخراج الرقم -1 من بين قوسين. على سبيل المثال: -x²-10x-8. سيبدو التعبير بعد ذلك كما يلي:

المخطط يختلف قليلا عن السابق. لا يوجد سوى عدد قليل من الأشياء الجديدة. لنفترض أن التعبير معطى: 2x²+7x+3. الإجابة مكتوبة أيضًا بين قوسين يجب ملؤهما (_)(_). في القوس الثاني مكتوب x، وفي الأول ما تبقى. يبدو مثل هذا: (2x_)(x_). خلاف ذلك، يتم تكرار المخطط السابق.

يتم إعطاء الرقم 3 بالأرقام:

• -1, -3;
• -3, -1;
• 3, 1;
• 1, 3.

نحل المعادلات عن طريق استبدال هذه الأرقام. الخيار الأخير مناسب. هذا يعني أن تحويل التعبير 2x²+7x+3 يبدو كالتالي: (2x+1)(x+3).

حالات اخرى

ليس من الممكن دائمًا تحويل التعبير. أما في الطريقة الثانية فلا يشترط حل المعادلة. لكن إمكانية تحويل المصطلحات إلى منتج لا يتم التحقق منها إلا من خلال المميز.

يجدر التدرب على حل المعادلات التربيعية بحيث لا توجد صعوبات عند استخدام الصيغ.

فيديو مفيد: تحليل ثلاثية الحدود

خاتمة

يمكنك استخدامه بأي شكل من الأشكال. لكن من الأفضل التدرب على كليهما حتى يصبحا تلقائيين. كما أن تعلم كيفية حل المعادلات التربيعية بشكل جيد وتحليل كثيرات الحدود أمر ضروري لأولئك الذين يخططون لربط حياتهم بالرياضيات. جميع المواضيع الرياضية التالية مبنية على هذا.

غالبًا ما تؤدي دراسة العديد من الأنماط الفيزيائية والهندسية إلى حل المشكلات المتعلقة بالمعلمات. تقوم بعض الجامعات أيضًا بتضمين المعادلات والمتباينات وأنظمتها في أوراق الامتحانات، والتي غالبًا ما تكون معقدة للغاية وتتطلب نهجًا غير قياسي في الحل. في المدرسة، يعتبر هذا أحد أصعب أقسام مقرر الجبر المدرسي فقط في عدد قليل من المقررات الاختيارية أو الموضوعية.
في رأيي، الطريقة الرسومية الوظيفية هي طريقة مريحة وسريعة لحل المعادلات ذات المعلمة.
كما هو معروف، فيما يتعلق بالمعادلات ذات المعلمات، هناك صيغتان للمشكلة.

1. حل المعادلة (لكل قيمة معلمة، ابحث عن جميع حلول المعادلة).
2. ابحث عن جميع قيم المعلمة التي تلبي حلول المعادلة الشروط المحددة لكل منها.

في هذا البحث تم بحث ودراسة مسألة من النوع الثاني فيما يتعلق بجذور ثلاثية الحدود المربعة، والتي يقتصر اكتشافها على حل معادلة تربيعية.
ويأمل المؤلف أن يساعد هذا العمل المعلمين في تطوير الدروس وإعداد الطلاب لامتحان الدولة الموحدة.

1. ما هي المعلمة

التعبير عن النموذج آه 2 + ب س + جفي مقرر الجبر المدرسي يسمون ثلاثية الحدود التربيعية فيما يتعلق بـ X،أين أ، ب، c يتم إعطاء أرقام حقيقية، و، أ=/= 0. تسمى قيم المتغير x التي يصبح عندها التعبير صفراً، جذور ثلاثي الحدود المربع. للعثور على جذور ثلاثية الحدود من الدرجة الثانية، عليك حل المعادلة التربيعية آه 2 + بx + ج = 0.
دعونا نتذكر المعادلات الأساسية من دورة الجبر المدرسية الفأس + ب = 0;
أx2 + بx + ج = 0.عند البحث عن جذورها، قيم المتغيرات أ، ب، ج،المتضمنة في المعادلة تعتبر ثابتة ومعطى. تسمى المتغيرات نفسها المعلمات. نظرًا لعدم وجود تعريف للمعلمة في الكتب المدرسية، أقترح اتخاذ النسخة الأبسط التالية كأساس.

تعريف.المعلمة هي متغير مستقل، تعتبر قيمته في المشكلة رقمًا حقيقيًا ثابتًا أو عشوائيًا، أو رقمًا ينتمي إلى مجموعة محددة مسبقًا.

2. الأنواع والأساليب الأساسية لحل المشكلات المتعلقة بالمعلمات

من بين المهام ذات المعلمات، يمكن تمييز الأنواع الرئيسية التالية من المهام.

1. المعادلات التي يجب حلها إما لأي قيمة للمعلمة (المعلمات) أو لقيم المعلمات التي تنتمي إلى مجموعة محددة مسبقًا. على سبيل المثال. حل المعادلات: الفأس = 1, (أ - 2)س = أ 2 – 4.
2. المعادلات التي من الضروري تحديد عدد الحلول لها اعتمادًا على قيمة المعلمة (المعلمات). على سبيل المثال. في ما قيم المعلمة أالمعادلة 4X 2 – 4الفأس + 1 = 0له جذر واحد؟
3. المعادلات التي، بالنسبة للقيم المطلوبة للمعلمة، تفي مجموعة الحلول بالشروط المحددة في مجال التعريف.

على سبيل المثال، ابحث عن قيم المعلمات التي تكون عندها جذور المعادلة ( أ - 2)X 2 – 2الفأس + أ + 3 = 0 إيجابي.
الطرق الرئيسية لحل المشاكل مع المعلمة: التحليلية والرسومية.

تحليلية- هذه طريقة لما يسمى بالحل المباشر، وهي تكرار الإجراءات القياسية لإيجاد الإجابة في المسائل التي لا تحتوي على معلمة. دعونا نلقي نظرة على مثال لهذه المهمة.

المهمة رقم 1

عند أي قيم للمعلمة a تقوم المعادلة X 2 – 2الفأس + أ 2 – 1 = 0 له جذوران مختلفتان تنتميان إلى المجال (1; 5)؟

حل

X 2 – 2الفأس + أ 2 – 1 = 0.
وفقًا لشروط المشكلة، يجب أن يكون للمعادلة جذرين مختلفين، وهذا ممكن فقط في ظل الشرط: D > 0.
لدينا: د = 4 أ 2 – 2(أ 2 – 1) = 4. كما نرى فإن المميز لا يعتمد على a، وبالتالي فإن المعادلة لها جذرين مختلفين لأي قيم للمعلمة a. لنجد جذور المعادلة: X 1 = أ + 1, X 2 = أ – 1
يجب أن تنتمي جذور المعادلة إلى الفترة (1; 5)، أي.
لذلك، في 2<أ < 4 данное уравнение имеет два различных корня, принадлежащих промежутку (1; 5)

الجواب: 2<أ < 4.
هذا النهج في حل المشاكل من النوع قيد النظر ممكن وعقلاني في الحالات التي يكون فيها مميز المعادلة التربيعية "جيدا"، أي. هو المربع الدقيق لأي رقم أو تعبير، أو يمكن العثور على جذور المعادلة باستخدام نظرية فييتا العكسية. ومن ثم فإن الجذور لا تمثل تعبيرات غير منطقية. خلاف ذلك، فإن حل المشكلات من هذا النوع ينطوي على إجراءات معقدة للغاية من وجهة نظر فنية. ويتطلب حل المتباينات غير العقلانية معرفة جديدة من الطالب.

رسم بياني- هذه طريقة تستخدم فيها الرسوم البيانية في المستوى الإحداثي (x؛ y) أو (x؛ a). إن وضوح وجمال هذا الحل يساعد على إيجاد طريقة سريعة لحل المشكلة. دعونا نحل المشكلة رقم 1 بيانيا.
كما تعلم من مقرر الجبر، فإن جذور المعادلة التربيعية (ثلاثية الحدود التربيعية) هي أصفار الدالة التربيعية المقابلة: Y = X 2 – 2أوه + أ 2 - 1. الرسم البياني للدالة عبارة عن قطع مكافئ، والفروع موجهة للأعلى (المعامل الأول هو 1). يبدو النموذج الهندسي الذي يلبي جميع متطلبات المشكلة بهذا الشكل.

الآن كل ما تبقى هو "إصلاح" القطع المكافئ في الموضع المطلوب باستخدام الشروط اللازمة.

1. بما أن القطع المكافئ له نقطتان تقاطعان مع المحور X، ثم د > 0.
2. تقع قمة القطع المكافئ بين الخطوط الرأسية X= 1 و X= 5، وبالتالي فإن الإحداثي المحوري لرأس القطع المكافئ x o ينتمي إلى الفترة (1؛ 5)، أي.
   1 <Xيا< 5.
3. نلاحظ ذلك في(1) > 0, في(5) > 0.

لذلك، بالانتقال من النموذج الهندسي للمشكلة إلى النموذج التحليلي، نحصل على نظام من المتباينات.

الجواب: 2<أ < 4.

كما يتبين من المثال، من الممكن استخدام طريقة رسومية لحل مشاكل النوع قيد النظر في الحالة التي تكون فيها الجذور "سيئة"، أي. تحتوي على معلمة تحت علامة الجذر (في هذه الحالة، مميز المعادلة ليس مربعًا كاملاً).
وفي طريقة الحل الثانية، تعاملنا مع معاملات المعادلة ومدى الدالة في = X 2 – 2أوه + أ 2 – 1.
لا يمكن تسمية طريقة الحل هذه بالرسومات فقط، لأنها هنا علينا حل نظام عدم المساواة. بل يتم الجمع بين هذه الطريقة: الوظيفية والرسومية. من بين هاتين الطريقتين، فإن الأخير ليس فقط أنيقًا، ولكنه أيضًا الأكثر أهمية، لأنه يوضح العلاقة بين جميع أنواع النماذج الرياضية: وصف لفظي للمشكلة، نموذج هندسي - رسم بياني ثلاثي الحدود من الدرجة الثانية، تحليلي النموذج - وصف النموذج الهندسي بواسطة نظام من المتباينات.
لذلك، فقد تناولنا مشكلة تلبي فيها جذور ثلاثية الحدود التربيعية شروطًا معينة في مجال التعريف لقيم المعلمات المطلوبة.

ما هي الشروط المحتملة الأخرى التي يمكن أن تلبيها جذور ثلاثية الحدود التربيعية لقيم المعلمات المطلوبة؟

النظر في المعادلة التربيعية:
(1) .
جذور المعادلة التربيعية(1) يتم تحديدها بواسطة الصيغ:
; .
يمكن دمج هذه الصيغ على النحو التالي:
.
عندما تكون جذور المعادلة التربيعية معروفة، فيمكن تمثيل كثيرة الحدود من الدرجة الثانية كحاصل ضرب العوامل (العوامل):
.

بعد ذلك نفترض أن هذه أرقام حقيقية.
دعونا نفكر مميز المعادلة التربيعية:
.
إذا كان المميز موجبًا، فإن المعادلة التربيعية (1) لها جذرين حقيقيين مختلفين:
; .
ثم تحليل ثلاثية الحدود التربيعية له الشكل:
.
إذا كان المميز يساوي صفرًا، فإن المعادلة التربيعية (1) لها جذرين حقيقيين متعددين (متساويين):
.
التخصيم:
.
إذا كان المميز سالبًا، فإن المعادلة التربيعية (1) لها جذرين مترافقين معقدين:
;
.
هنا الوحدة التخيلية ;
وهي الأجزاء الحقيقية والخيالية من الجذور:
; .
ثم

.

التفسير الرسومي

إذا قمت برسم الوظيفة
,
وهو قطع مكافئ، فإن نقاط تقاطع الرسم البياني مع المحور ستكون جذور المعادلة
.
عند ، يتقاطع الرسم البياني مع المحور السيني عند نقطتين.
عندما يلامس الرسم البياني المحور السيني عند نقطة واحدة.
عندما لا يتقاطع الرسم البياني مع المحور السيني.

فيما يلي أمثلة على هذه الرسوم البيانية.

الصيغ المفيدة المتعلقة بالمعادلة التربيعية

(ص.١) ;
(ص.٢) ;
(ص.٣) .

اشتقاق صيغة جذور المعادلة التربيعية

نقوم بإجراء التحويلات وتطبيق الصيغ (ص.١) و (ص.٣):




,
أين
; .

لذلك، حصلنا على صيغة كثيرة الحدود من الدرجة الثانية في النموذج:
.
وهذا يدل على أن المعادلة

يؤدي في
و .
وهذا هو، وهي جذور المعادلة التربيعية
.

أمثلة على تحديد جذور المعادلة التربيعية

مثال 1

(1.1) .

حل

.
وبالمقارنة مع معادلتنا (1.1) نجد قيم المعاملات:
.
نجد التمييز:
.
بما أن المميز موجب، فإن المعادلة لها جذرين حقيقيين:
;
;
.

ومن هذا نحصل على تحليل ثلاثية الحدود التربيعية:

.

رسم بياني للدالة y = 2 × 2 + 7 × + 3يتقاطع مع المحور x في نقطتين.

دعونا نرسم الوظيفة
.
الرسم البياني لهذه الوظيفة هو القطع المكافئ. يعبر محور الإحداثي السيني (المحور) عند نقطتين:
و .
هذه النقاط هي جذور المعادلة الأصلية (1.1).

إجابة

;
;
.

مثال 2

أوجد جذور المعادلة التربيعية:
(2.1) .

حل

لنكتب المعادلة التربيعية بالصورة العامة:
.
وبالمقارنة مع المعادلة الأصلية (2.1) نجد قيم المعاملات:
.
نجد التمييز:
.
بما أن المميز هو صفر، فإن المعادلة لها جذرين متعددين (متساويين):
;
.

ثم تحليل ثلاثي الحدود له الشكل:
.

رسم بياني للدالة y = x 2 - 4 س + 4يمس المحور السيني عند نقطة واحدة.

دعونا نرسم الوظيفة
.
الرسم البياني لهذه الوظيفة هو القطع المكافئ. يمس المحور السيني (المحور) عند نقطة واحدة:
.
هذه النقطة هي جذر المعادلة الأصلية (2.1). نظرًا لأن هذا الجذر يتم تحليله مرتين:
,
ثم يسمى هذا الجذر عادة مضاعفًا. أي أنهم يعتقدون أن هناك جذرين متساويين:
.

إجابة

;
.

مثال 3

أوجد جذور المعادلة التربيعية:
(3.1) .

حل

لنكتب المعادلة التربيعية بالصورة العامة:
(1) .
لنعيد كتابة المعادلة الأصلية (3.1):
.
وبالمقارنة مع (1) نجد قيم المعاملات:
.
نجد التمييز:
.
التمييز سلبي، . لذلك لا توجد جذور حقيقية.

يمكنك العثور على جذور معقدة:
;
;

دعونا نرسم الوظيفة
.
الرسم البياني لهذه الوظيفة هو القطع المكافئ. لا يتقاطع مع المحور السيني (المحور). لذلك لا توجد جذور حقيقية.

إجابة

لا توجد جذور حقيقية. الجذور المعقدة:
;
;
.

دعونا نوجد مجموع وحاصل ضرب جذور المعادلة التربيعية. باستخدام الصيغ (59.8) لجذور المعادلة أعلاه نحصل عليها

(المساواة الأولى واضحة، ويتم الحصول على الثانية بعد عملية حسابية بسيطة، والتي سيقوم القارئ بإجرائها بشكل مستقل؛ ومن الملائم استخدام صيغة ضرب مجموع رقمين في الفرق بينهما).

وقد ثبت ما يلي

نظرية فييتا. مجموع جذور المعادلة التربيعية أعلاه يساوي المعامل الثاني ذو الإشارة المعاكسة، وحاصل ضربهما يساوي الحد الحر.

في حالة وجود معادلة تربيعية غير مخفضة، ينبغي استبدال تعبيرات الصيغة (60.1) في الصيغ (60.1) وتأخذ الشكل

مثال 1. قم بتكوين معادلة تربيعية باستخدام جذورها:

الحل: أ) أوجد المعادلة بالشكل

مثال 2. أوجد مجموع مربعات جذور المعادلة دون حل المعادلة نفسها.

حل. مجموع الجذور ومنتجها معروفان. دعونا نمثل مجموع الجذور التربيعية في النموذج

ونحصل

من السهل الحصول على الصيغة من صيغ فييتا

التعبير عن قاعدة تحليل ثلاثية الحدود من الدرجة الثانية.

في الواقع، دعونا نكتب الصيغ (60.2) في النموذج

الآن لدينا

وهو ما كنا بحاجة للحصول عليه.

إن الاشتقاق أعلاه لصيغ فييتا مألوف للقارئ من دورة الجبر في المدرسة الثانوية. ويمكن التوصل إلى نتيجة أخرى باستخدام نظرية بيزوت وتحليل كثير الحدود إلى عوامل (الفقرات 51، 52).

ولتكن جذور المعادلة إذن، وفقا للقاعدة العامة (52.2)، يتم تحليل ثلاثي الحدود في الجانب الأيسر من المعادلة:

وبفتح القوسين على الجانب الأيمن من هذه المساواة المتطابقة، نحصل على ذلك

ومقارنة المعاملات بنفس القوى ستعطينا صيغة فييتا (60.1).

وميزة هذا الاشتقاق أنه يمكن تطبيقه على المعادلات ذات الدرجات الأعلى للحصول على تعبيرات لمعاملات المعادلة من حيث جذورها (دون إيجاد الجذور نفسها!). على سبيل المثال، إذا كانت جذور المعادلة المكعبة المخفضة

الجوهر هو أنه وفقا للمساواة (52.2) نجد

(في حالتنا، بفتح الأقواس على الجانب الأيمن من المساواة وجمع المعاملات بدرجات مختلفة، نحصل على

عند حل المسائل الحسابية والجبرية، يكون من الضروري في بعض الأحيان البناء جزءالخامس مربع. أسهل طريقة للقيام بذلك هي متى جزءالعشري - الآلة الحاسبة العادية كافية. ومع ذلك، إذا جزءعادي أو مختلط، فعند رفع مثل هذا العدد إلى مربعقد تنشأ بعض الصعوبات.

سوف تحتاج

• آلة حاسبة، كمبيوتر، تطبيق إكسل.

تعليمات

لرفع العلامة العشرية جزءالخامس مربع، خذ واحدًا هندسيًا، واكتب عليه ما سيتم بناؤه مربع جزءواضغط على رفع إلى مفتاح التشغيل الثاني. في معظم الآلات الحاسبة، يُسمى هذا الزر "x²". في الآلة الحاسبة القياسية التي تعمل بنظام Windows، وظيفة الرفع إلى مربعيبدو مثل "x^2". على سبيل المثال، مربعالكسر العشري 3.14 سيكون مساوياً لـ: 3.14² = 9.8596.

للبناء في مربععدد عشري جزءباستخدام الآلة الحاسبة العادية (المحاسبية)، اضرب هذا الرقم بنفسه. بالمناسبة، توفر بعض نماذج الآلات الحاسبة القدرة على رفع رقم إلى مربعحتى في حالة عدم وجود زر خاص. لذلك، قم أولاً بقراءة التعليمات الخاصة بالآلة الحاسبة الخاصة بك. في بعض الأحيان يتم كتابة الأسس "المعقدة" على الغلاف الخلفي أو على الآلة الحاسبة. على سبيل المثال، في العديد من الآلات الحاسبة، لرفع رقم إلى مربعفقط اضغط على الزرين "x" و"=".

للبناء في مربعكسر عادي (يتكون من البسط والمقام)، ارفعه إلى مربعبشكل منفصل البسط والمقام لهذا الكسر. أي استخدم القاعدة التالية: (h / z)² = h² / z²، حيث h هو بسط الكسر، z هو مقام الكسر مثال: (3/4)² = 3²/4² = 9 /16.

إذا تم بناؤها مربع جزء- مختلط (يتكون من جزء صحيح وكسر عادي)، ثم قم أولاً بتقليله إلى الشكل العادي. أي قم بتطبيق الصيغة التالية: (c h/z)² = ((c*z+ch) / z)² = (c*z+ch)² / z²، حيث c هو الجزء الصحيح من الكسر المختلط. مثال: (3 2/5)² = ((3*5+2) / 5)² = (3*5+2)² / 5² = 17² / 5² = 289/25 = 11 14/25.

إذا كان في مربع(ليس ) الكسور تحدث طوال الوقت، ثم استخدم برنامج MS Excel. للقيام بذلك، أدخل الصيغة التالية في أحد الجداول: = DEGREE(A2;2) حيث A2 هو عنوان الخلية التي سيتم إدخال القيمة المرفوعة فيها مربع جزءلإخبار البرنامج بأنه يجب التعامل مع رقم الإدخال جزء yu (أي لا تقم بتحويله إلى رقم عشري)، اكتب من قبل جزءلدي الرقم "0" وعلامة "المسافة". وهذا هو، لإدخال، على سبيل المثال، الكسر 2/3، تحتاج إلى إدخال: "0 2/3" (واضغط على Enter). في هذه الحالة، سيتم عرض التمثيل العشري للكسر المدخل في سطر الإدخال. سيتم حفظ قيمة وتمثيل الكسر نفسه في شكله الأصلي. بالإضافة إلى ذلك، عند استخدام الدوال الرياضية التي تكون وسيطاتها كسورًا عادية، سيتم عرض النتيجة أيضًا ككسر عادي. لذلك مربعسيتم تمثيل الكسر 2/3 كـ 4/9.