تشمل الفواصل الرقمية الأشعة والقطاعات والفواصل ونصف الفواصل.
أنواع الفواصل العددية
| اسم | صورة | عدم المساواة | تعيين |
|---|---|---|---|
| شعاع مفتوح | س > أ | (أ; +∞) | |
| س < أ | (-∞; أ) | ||
| شعاع مغلق | س ⩾ أ | [أ; +∞) | |
| س ⩽ أ | (-∞; أ] | ||
| شريحة | أ ⩽ س ⩽ ب | [أ; ب] | |
| فاصلة | أ < س < ب | (أ; ب) | |
| نصف فاصل | أ < س ⩽ ب | (أ; ب] | |
| أ ⩽ س < ب | [أ; ب) |
في الجدول أو بهي نقاط الحدود، و س- متغير يمكن أن يأخذ إحداثيات أي نقطة تنتمي إلى فاصل رقمي.
نقطة الحدود- هذه هي النقطة التي تحدد حدود الفاصل الرقمي. قد تنتمي أو لا تنتمي نقطة الحدود إلى فاصل رقمي. في الرسومات، تتم الإشارة إلى نقاط الحدود التي لا تنتمي إلى الفاصل الرقمي قيد النظر بدائرة مفتوحة، وتلك التي تنتمي إليها يشار إليها بدائرة مملوءة.
شعاع مفتوح ومغلق
شعاع مفتوحهي مجموعة من النقاط على خط يقع على أحد جانبي نقطة حدودية غير متضمنة في هذه المجموعة. يُسمى الشعاع مفتوحًا على وجه التحديد بسبب النقطة الحدودية التي لا تنتمي إليه.
لنفكر في مجموعة من النقاط على خط الإحداثيات التي لها إحداثيات أكبر من 2، وبالتالي تقع على يمين النقطة 2:
يمكن تعريف هذه المجموعة من خلال عدم المساواة س> 2. تتم الإشارة إلى الأشعة المفتوحة باستخدام الأقواس - (2؛ +∞)، يقرأ هذا الإدخال على النحو التالي: شعاع رقمي مفتوح من اثنين إلى زائد ما لا نهاية.
المجموعة التي يتوافق معها عدم المساواة س < 2, можно обозначить (-∞; 2) или изобразить в виде луча, все точки которого лежат с левой стороны от точки 2:
شعاع مغلقهي مجموعة من النقاط على خط يقع على جانب واحد من نقطة حدودية تنتمي إلى مجموعة معينة. في الرسومات، تتم الإشارة إلى نقاط الحدود التابعة للمجموعة قيد النظر بدائرة مملوءة.
يتم تعريف أشعة الأرقام المغلقة من خلال عدم المساواة غير الصارمة. على سبيل المثال، عدم المساواة س 2 و س 2 يمكن تصويرها على النحو التالي:
وتسمى هذه الأشعة المغلقة على النحو التالي: تقرأ على هذا النحو: شعاع عددي من اثنين إلى زائد ما لا نهاية وشعاع عددي من سالب ما لا نهاية إلى اثنين. يشير القوس المربع في التدوين إلى أن النقطة 2 تنتمي إلى الفاصل الرقمي.
شريحة
شريحةهي مجموعة النقاط الواقعة على الخط الذي يقع بين نقطتين حدوديتين تنتميان إلى مجموعة معينة. يتم تعريف هذه المجموعات من خلال عدم المساواة المزدوجة غير الصارمة.
خذ بعين الاعتبار قطعة من خط الإحداثيات تنتهي عند النقطتين -2 و 3:
يمكن تحديد مجموعة النقاط التي تشكل قطعة معينة بالمتباينة المزدوجة -2 س 3 أو تعيين [-2؛ 3]، يقرأ هذا السجل على النحو التالي: مقطع من ناقص اثنين إلى ثلاثة.
الفاصل الزمني ونصف الفاصل
فاصلة- هذه هي مجموعة النقاط الواقعة على الخط الواقع بين نقطتين حدوديتين لا تنتميان إلى هذه المجموعة. يتم تعريف هذه المجموعات من خلال عدم المساواة الصارمة المزدوجة.
خذ بعين الاعتبار قطعة من خط الإحداثيات تنتهي عند النقطتين -2 و 3:
يمكن تحديد مجموعة النقاط التي تشكل فترة زمنية معينة بالمتباينة المزدوجة -2< س < 3 или обозначить (-2; 3), такая запись читается так: интервал от минус двух до трёх.
نصف فاصلهي مجموعة النقاط الواقعة على الخط الذي يقع بين نقطتين حدوديتين، إحداهما تنتمي إلى المجموعة والأخرى لا تنتمي إليها. يتم تعريف هذه المجموعات من خلال عدم المساواة المزدوجة:
تم تحديد هذه الفترات النصفية على النحو التالي: (-2; 3] و[-2; 3)، وتقرأ على النحو التالي: نصف الفاصل من سالب اثنين إلى ثلاثة، بما في ذلك 3، ونصف الفاصل من سالب اثنين إلى ثلاثة ، بما في ذلك ناقص اثنين.
الفاصل الرقمي
فاصلة, فترة مفتوحة, فاصلة- مجموعة النقاط على خط الأعداد بين رقمين محددين أو ب، أي مجموعة من الأرقام س، استيفاء الشرط: أ < س < ب . لا يتضمن الفاصل الزمني نهايات ويُشار إليه بـ ( أ,ب) (أحيانا ] أ,ب[ ]، على النقيض من المقطع [ أ,ب] (فاصل مغلق)، بما في ذلك النهايات، أي التي تتكون من نقاط.
في التسجيل ( أ,ب)، أرقام أو بتسمى نهايات الفاصل الزمني. تتضمن الفترة جميع الأعداد الحقيقية، وتتضمن الفترة جميع الأعداد الأصغر أوالفاصل الزمني - جميع الأرقام كبيرة أ .
شرط فاصلةتستخدم في المصطلحات المعقدة:
- عند التكامل - الفاصل الزمني للتكامل,
- عند توضيح جذور المعادلة - مدى العزل
- عند تحديد تقارب سلسلة القوى - فترة تقارب متسلسلات القوى.
بالمناسبة، في اللغة الإنجليزية الكلمة فاصلةتسمى شريحة. وللدلالة على مفهوم الفاصل، يُستخدم المصطلح الفاصل الزمني المفتوح.
الأدب
- Vygodsky M. Ya. دليل الرياضيات العليا. م.: «أسترل»، «أست»، 2002
انظر أيضا
روابط
مؤسسة ويكيميديا.
2010.
انظر ما هو "الفاصل الرقمي" في القواميس الأخرى:
< x < b. Промежуток не включает концов и обозначается (a,b)… … Википедия
من اللات. الفاصل الزمني، المسافة: في الموسيقى: الفاصل الزمني هو نسبة ارتفاع نغمتين؛ نسبة الترددات الصوتية لهذه النغمات. في الرياضيات: الفاصل الزمني (الهندسة) هو مجموعة النقاط الموجودة على الخط الموجود بين النقطتين A وB، ... ... ويكيبيديا< x < b. Промежуток не включает концов и обозначается (a,b)… … Википедия
الفاصل الزمني، الفاصل الزمني المفتوح، الفاصل الزمني عبارة عن مجموعة من النقاط على خط الأعداد محاطة بين رقمين محددين a وb، أي مجموعة من الأرقام x التي تحقق الشرط: a
دعونا نتذكر تعريفات بعض المجموعات الفرعية الأساسية للأعداد الحقيقية. إذا، فإن المجموعة تسمى قطعة من خط الأعداد الممتد R ويتم الإشارة إليها بواسطة، أي في حالة القطعة ... ويكيبيديا
التسلسل التسلسل الرقمي هو سلسلة من العناصر في الفضاء العددي. أرقام رقمية ويكيبيديا
مجهر- (من اللفظتين اليونانيتين ميكروس صغير وسكوبيو أنظر)، أداة بصرية لدراسة الأجسام الصغيرة التي لا ترى بالعين المجردة مباشرة. وهناك المجاهر البسيطة، أو العدسات المكبرة، والمجاهر المعقدة، أو المجاهر بالمعنى الصحيح. العدسة المكبرة...... الموسوعة الطبية الكبرى
غوست آر 53187-2008: الصوتيات. مراقبة الضوضاء في المناطق الحضرية- المصطلحات GOST R 53187 2008: الصوتيات. الوثيقة الأصلية لمراقبة الضوضاء في المناطق الحضرية: 1 مستوى الصوت المقدر يوميًا. 2 مساء الحد الأقصى لمستوى الصوت. مستوى ضغط الصوت المقدّر لمدة 3 ليالٍ... كتاب مرجعي للقاموس لمصطلحات التوثيق المعياري والتقني
يمكن تسمية القطعة بأحد المفهومين المرتبطين في الهندسة والتحليل الرياضي. المقطع عبارة عن مجموعة من النقاط، إلى ... ويكيبيديا
معامل الارتباط- (معامل الارتباط) معامل الارتباط هو مؤشر إحصائي لاعتماد متغيرين عشوائيين. تعريف معامل الارتباط وأنواع معاملات الارتباط وخصائص معامل الارتباط وحسابه وتطبيقه... ... موسوعة المستثمر
الإجابة - المجموعة (-∞;+∞) تسمى خط الأعداد، وأي رقم هو نقطة على هذا الخط. دع a تكون نقطة عشوائية على خط الأعداد و δ
رقم إيجابي. يُطلق على الفترة (a-δ; a+δ) اسم الحي δ للنقطة a.
يتم تحديد المجموعة X من الأعلى (من الأسفل) إذا كان هناك رقم c بحيث يكون لأي x ∈ X عدم المساواة x ≥с (x≥c). يُطلق على الرقم c في هذه الحالة اسم الحد العلوي (الأدنى) للمجموعة X. ويطلق على المجموعة المحددة من الأعلى والأسفل اسم "محدود". يُطلق على أصغر (أكبر) الحدود العليا (السفلية) لمجموعة ما الحد العلوي (الأدنى) الدقيق لهذه المجموعة.
الفاصل الرقمي هو مجموعة متصلة من الأرقام الحقيقية، أي أنه إذا كان رقمان ينتميان إلى هذه المجموعة، فإن جميع الأرقام بينهما تنتمي أيضًا إلى هذه المجموعة. هناك عدة أنواع مختلفة إلى حد ما من الفواصل الرقمية غير الفارغة: الخط، الشعاع المفتوح، الشعاع المغلق، المقطع، نصف الفاصل، الفاصل الزمني
خط الأعداد
تسمى مجموعة جميع الأعداد الحقيقية أيضًا بخط الأعداد. يكتبون.
ومن الناحية العملية، ليست هناك حاجة للتمييز بين مفهوم الإحداثيات أو خط الأعداد بالمعنى الهندسي ومفهوم خط الأعداد الذي قدمه هذا التعريف. لذلك، يتم الإشارة إلى هذه المفاهيم المختلفة بنفس المصطلح.
شعاع مفتوح
مجموعة الأرقام التي تسمى شعاع الأرقام المفتوحة. يكتبون 
أو وفقا لذلك: 
.
شعاع مغلق
مجموعة الأعداد التي تسمى بخط الأعداد المغلق. يكتبون 
أو وفقا لذلك:.
تسمى مجموعة الأرقام قطعة رقم.
تعليق. التعريف لا ينص على ذلك. ومن المفترض أن هذه القضية ممكنة. ثم يتحول الفاصل الرقمي إلى نقطة.
فاصلة
مجموعة من الأرقام تسمى الفاصل العددي.
تعليق. إن مصادفة تسميات الحزمة المفتوحة والخط المستقيم والفاصل الزمني ليس من قبيل الصدفة. يمكن فهم الشعاع المفتوح على أنه فاصل زمني، تتم إزالة أحد طرفيه إلى ما لا نهاية، وخط الأعداد - كفاصل زمني، تتم إزالة كلا طرفيه إلى ما لا نهاية.
نصف فاصل
تسمى مجموعة من الأرقام مثل هذه بنصف فاصل رقمي.
يكتبون أو، على التوالي،
3.Function.الرسم البياني للوظيفة. طرق تحديد الوظيفة.
الإجابة - إذا تم إعطاء متغيرين x وy، فإن المتغير y يقال أنه دالة للمتغير x إذا تم إعطاء مثل هذه العلاقة بين هذين المتغيرين التي تسمح لكل قيمة بتحديد قيمة y بشكل فريد.
التدوين F = y(x) يعني أنه يتم النظر في دالة تسمح لأي قيمة للمتغير المستقل x (من بين تلك التي يمكن أن تأخذها الوسيطة x عمومًا) للعثور على القيمة المقابلة للمتغير التابع y.
طرق تحديد الوظيفة.
يمكن تحديد الدالة بواسطة صيغة، على سبيل المثال:
ص = 3x2 - 2.
يمكن تحديد الوظيفة من خلال الرسم البياني. باستخدام الرسم البياني، يمكنك تحديد قيمة الدالة التي تتوافق مع قيمة وسيطة محددة. عادةً ما تكون هذه قيمة تقريبية للدالة.
4. الخصائص الرئيسية للوظيفة: الرتابة، التكافؤ، الدورية.
إجابة -تعريف الدورية. تسمى الدالة f دورية إذا كان هناك مثل هذا الرقم 
، أن f(x+ 
)=f(x)، لجميع x 
د (و). وبطبيعة الحال، هناك أعداد لا حصر لها من هذه الأرقام. أصغر رقم موجب ^ T يسمى فترة الدالة. أمثلة. أ. ص = كوس س، تي = 2 
. V.y = tg x، T = 
. S. y = (x)، T = 1. D. y = 
، هذه الوظيفة ليست دورية. تعريف التكافؤ. يتم استدعاء الدالة f حتى لو كانت الخاصية f(-x) = f(x) صالحة لجميع x في D(f). إذا كانت f(-x) = -f(x)، فإن الدالة تسمى فردية. إذا لم يتم استيفاء أي من العلاقات المشار إليها، تسمى الوظيفة دالة عامة. أمثلة. أ. ذ = كوس (س) - حتى؛ V.y = tg (x) - فردي؛ S.y = (x); y=sin(x+1) – دوال ذات صيغة عامة. تعريف الرتابة. الدالة f: X -> R تسمى زيادة (تناقص) إذا وجدت 
تم استيفاء الشرط: 
تعريف. تسمى الدالة X -> R رتيبة على X إذا كانت تزايدية أو متناقصة على X. إذا كانت f رتيبة في بعض المجموعات الفرعية من X، فإنها تسمى رتيبة متعددة التعريف. مثال. y = cos x - دالة رتيبة متعددة التعريف.
ب) خط الأعداد
خذ بعين الاعتبار خط الأعداد (الشكل 6):
خذ بعين الاعتبار مجموعة الأعداد النسبية
يتم تمثيل كل رقم نسبي بنقطة معينة على محور الأعداد. لذلك، تم وضع علامة على الأرقام في الشكل.
دعونا نثبت ذلك.
دليل.وليكن هناك كسر : . لدينا الحق في اعتبار هذا الكسر غير قابل للاختزال. منذ ذلك الحين - العدد زوجي: - فردي. وبالتعويض عن تعبيره نجد: ، وهو ما يعني أن هذا عدد زوجي. وقد حصلنا على التناقض الذي يثبت الكلام.
لذا، ليست كل النقاط على محور الأعداد تمثل أعدادًا نسبية. تلك النقاط التي لا تمثل أرقامًا عقلانية تمثل أرقامًا تسمى غير عقلاني.
أي رقم على الشكل هو إما عدد صحيح أو عدد غير نسبي.
الفواصل الرقمية
تسمى المقاطع العددية والفواصل الزمنية وأنصاف الفترات والأشعة بالفواصل العددية.
| عدم المساواة تحديد الفاصل الرقمي | تعيين الفاصل الرقمي | اسم الفاصل الزمني الرقمي | يقرأ مثل هذا: |
| أ ≥ س ≥ ب | [أ؛ ب] | المقطع العددي | القطعة من أ إلى ب |
| أ< x < b | (أ؛ ب) | فاصلة | الفاصل الزمني من أ إلى ب |
| أ ≥ س< b | [أ؛ ب) | نصف فاصل | نصف فاصل من أل ب، مشتمل أ. |
| أ< x ≤ b | (أ؛ ب] | نصف فاصل | نصف فاصل من أل ب، مشتمل ب. |
| س ≥ أ | [أ؛ +∞) | شعاع الرقم | شعاع الرقم من أيصل إلى زائد اللانهاية |
| س>أ | (أ؛ +∞) | فتح شعاع الرقم | فتح شعاع رقمي من أيصل إلى زائد اللانهاية |
| س ≥ أ | (- ∞؛ أ] | شعاع الرقم | عدد الشعاع من ناقص اللانهاية إلى أ |
| س< a | (- ∞؛ أ) | فتح شعاع الرقم | فتح شعاع العدد من ناقص اللانهاية إلى أ |
دعونا نمثل الأرقام على خط الإحداثيات أو ب، وكذلك العدد سبينهما.
مجموعة جميع الأرقام التي تحقق الشرط أ ≥ س ≥ ب، مُسَمًّى الجزء العدديأو مجرد قطعة. وقد تم تحديدها على النحو التالي: [ أ؛ ب] - يقرأ هكذا: قطعة من أ إلى ب.
مجموعة الأعداد التي تحقق الشرط أ< x < b ، مُسَمًّى فاصلة. وقد تم تحديده على النحو التالي: ( أ؛ ب)
يقرأ مثل هذا: الفاصل الزمني من أ إلى ب.
مجموعات من الأرقام تستوفي الشروط a ≥ x< b или أ<س ≥ ب، يتم استدعاؤهم نصف فترات. التسميات:
قم بتعيين ≥ س< b обозначается так:[أ؛ ب)، يقرأ مثل هذا: نصف الفاصل الزمني من أل ب، مشتمل أ.
كثير أ<س ≥ بيشار على النحو التالي :( أ؛ ب]، يقرأ هكذا: نصف فاصل من أل ب، مشتمل ب.
الآن دعونا نتخيل شعاعمع نقطة أ، والتي توجد على يمينها ويسارها مجموعة من الأرقام.
أ، استيفاء الشرط س ≥ أ، مُسَمًّى شعاع رقمي.
وقد تم تحديدها على النحو التالي: [ أ؛ +∞) - يقرأ هكذا : شعاع عددي من أإلى زائد اللانهاية.
مجموعة من الأرقام على يمين النقطة أ، المقابلة لعدم المساواة س>أ، مُسَمًّى شعاع رقم مفتوح.
وقد تم تحديده على النحو التالي: ( أ؛ +∞)- يقرأ هكذا: شعاع عددي مفتوح من أإلى زائد اللانهاية.
أ، استيفاء الشرط س ≥ أ، مُسَمًّى شعاع رقمي من ناقص اللانهاية إلىأ .
وقد تم تحديده على النحو التالي :( - ∞؛ أ]- يقرأ هكذا: شعاع عددي من سالب ما لا نهاية إلى أ.
مجموعة من الأرقام على يسار النقطة أ، المقابلة لعدم المساواة س< a ، مُسَمًّى فتح عدد الشعاع من ناقص اللانهاية إلىأ .
وقد تم تحديده على النحو التالي: ( - ∞؛ أ)- يقرأ هكذا: شعاع عدد مفتوح من سالب ما لا نهاية إلى أ.
يتم تمثيل مجموعة الأعداد الحقيقية بخط الإحداثيات بأكمله. يسمونه خط الأعداد. وقد تم تحديده على النحو التالي: ( - ∞; + ∞ )
3) المعادلات الخطية والمتباينات ذات المتغير الواحد وحلولها:
تسمى المعادلة التي تحتوي على متغير معادلة ذات متغير واحد، أو معادلة ذات مجهول واحد. على سبيل المثال، المعادلة بمتغير واحد هي 3(2x+7)=4x-1.
جذر أو حل المعادلة هو قيمة المتغير الذي تصبح عنده المعادلة مساواة عددية حقيقية. على سبيل المثال، الرقم 1 هو حل للمعادلة 2x+5=8x-1. المعادلة x2+1=0 ليس لها حل الجانب الأيسر من المعادلة دائمًا أكبر من الصفر. المعادلة (x+3)(x-4) =0 لها جذرين: x1= -3، x2=4.
حل المعادلة يعني إيجاد جميع جذورها أو إثبات عدم وجود جذور.
تسمى المعادلات متكافئة إذا كانت جميع جذور المعادلة الأولى هي جذور المعادلة الثانية والعكس صحيح، جميع جذور المعادلة الثانية هي جذور المعادلة الأولى أو إذا لم يكن لكلا المعادلتين جذور. على سبيل المثال، المعادلتان x-8=2 وx+10=20 متكافئتان، لأن جذر المعادلة الأولى x=10 هو أيضًا جذر المعادلة الثانية، وكلا المعادلتين لهما نفس الجذر.
عند حل المعادلات يتم استخدام الخصائص التالية:
إذا قمت بنقل حد في معادلة من جزء إلى آخر، مع تغيير إشارته، فسوف تحصل على معادلة مكافئة للمعادلة المعطاة.
إذا تم ضرب طرفي المعادلة أو قسمتهما على نفس الرقم غير الصفر، فستحصل على معادلة مكافئة للمعادلة المعطاة.
المعادلة ax=b، حيث x متغير وa وb بعض الأرقام، تسمى معادلة خطية ذات متغير واحد.
إذا كانت a¹0، فإن المعادلة لها حل فريد.
إذا كانت a=0، b=0، فإن المعادلة تتحقق بأي قيمة x.
إذا كانت a=0, b¹0 فإن المعادلة ليس لها حلول، لأن لا يتم تنفيذ 0x=b لأي قيمة للمتغير.
مثال 1. حل المعادلة: -8(11-2x)+40=3(5x-4)
لنفتح القوسين على طرفي المعادلة، وننقل كل الحدود التي بها x إلى الجانب الأيسر من المعادلة، والحدود التي لا تحتوي على x إلى الجانب الأيمن، نحصل على:
16س-15س=88-40-12
مثال 2. حل المعادلات:
x3-2x2-98x+18=0;
هذه المعادلات ليست خطية، لكننا سنبين كيف يمكن حل هذه المعادلات.
3x2-5x=0; س(3س-5)=0. حاصل الضرب يساوي صفرًا، وإذا كان أحد العوامل يساوي الصفر، نحصل على x1=0؛ ×2= .
الجواب: 0؛ .
عامل الجانب الأيسر من المعادلة:
x2(x-2)-9(x-2)=(x-2)(x2-9)=(x-2)(x-3)(x-3)، أي. (س-2)(س-3)(س+3)=0. هذا يوضح أن حلول هذه المعادلة هي الأعداد x1=2، x2=3، x3=-3.
ج) تخيل أن 7x هي 3x+4x، ثم لدينا: x2+3x+4x+12=0، x(x+3)+4(x+3)=0، (x+3)(x+4)= 0، وبالتالي x1=-3، x2=- 4.
الجواب: -3؛ - 4.
مثال 3. حل المعادلة: ½x+1ç+½x-1ç=3.
دعونا نتذكر تعريف معامل الرقم: 
على سبيل المثال: ½3½=3، ½0½=0، ½- 4½= 4.
في هذه المعادلة، تحت علامة المعامل يوجد الرقمان x-1 وx+1. إذا كانت x أقل من -1، فإن الرقم x+1 سالب، ثم ½x+1½=-x-1. وإذا كانت x>-1، فإن ½x+1½=x+1. عند x=-1 ½x+1½=0.
هكذا، 
على نفس المنوال
أ) خذ بعين الاعتبار هذه المعادلة ½x+1½+½x-1½=3 لـ x £-1، فهي تعادل المعادلة -x-1-x+1=3, -2x=3, x=، هذا الرقم ينتمي إلى المجموعة × جنيه استرليني -1.
ب) دع -1< х £ 1, тогда данное уравнение равносильно уравнению х+1-х+1=3, 2¹3 уравнение не имеет решения на данном множестве.
ج) النظر في الحالة x>1.
س+1+س-1=3, 2س=3, س= . ينتمي هذا الرقم إلى المجموعة x>1.
الإجابة: x1=-1.5; س2=1.5.
مثال 4. حل المعادلة: ½x+2½+3½x½=2½x-1½.
دعونا نعرض سجلا قصيرا لحل المعادلة، مع الكشف عن علامة المعامل "على فترات".
س £-2، -(x+2)-3x=-2(x-1)، - 4x=4، x=-2О(-¥; -2]
–2<х£0, х+2-3х=-2(х-1), 0=0, хÎ(-2; 0]
0<х£1, х+2+3х=-2(х-1), 6х=0, х=0Ï(0; 1]
x>1, x+2+3x=2(x-1), 2x=- 4, x=-2П(1; +¥)
الجواب: [-2؛ 0]
مثال 5. حل المعادلة: (a-1)(a+1)x=(a-1)(a+2)، لجميع قيم المعلمة a.
يوجد في الواقع متغيران في هذه المعادلة، لكن اعتبر أن x هو المجهول وa هو المعلمة. مطلوب حل معادلة المتغير x لأي قيمة للمعلمة a.
إذا كانت a=1، فإن المعادلة لها الشكل 0×x=0؛ أي رقم يحقق هذه المعادلة.
إذا كانت a=-1، فستبدو المعادلة 0×x=-2؛ ولا يوجد رقم واحد يفي بهذه المعادلة.
إذا كانت a¹1، a¹-1، فإن المعادلة لها حل فريد.
الإجابة: إذا كان a=1، فإن x هو أي رقم؛
إذا كان a=-1، فلا توجد حلول؛
إذا كان a¹±1، إذن .
ب) المتباينات الخطية بمتغير واحد.
إذا تم إعطاء المتغير x أي قيمة عددية، فسنحصل على عدم مساواة عددية تعبر عن عبارة صحيحة أو خاطئة. لنفترض، على سبيل المثال، عدم المساواة 5x-1>3x+2. بالنسبة لـ x=2 نحصل على 5·2-1>3·2+2 - عبارة صحيحة (بيان عددي صحيح)؛ عند x=0 نحصل على 5·0-1>3·0+2 – عبارة خاطئة. أي قيمة لمتغير تتحول عندها متباينة معينة مع متغير إلى متباينة عددية حقيقية تسمى حلاً للمتباينة. حل متباينة ذات متغير يعني إيجاد مجموعة جميع حلولها.
يقال إن متباينتين لهما نفس المتغير x متكافئتان إذا كانت مجموعتا الحلول لهذه المتباينات متطابقتين.
الفكرة الرئيسية لحل المتباينة هي كما يلي: نستبدل المتباينة المعطاة بمتباينة أخرى أبسط ولكنها تعادل المتباينة المعطاة؛ ونستبدل مرة أخرى المتباينة الناتجة بمتباينة أبسط مكافئة لها، وما إلى ذلك.
يتم إجراء هذه الاستبدالات بناءً على العبارات التالية.
النظرية 1. إذا تم نقل أي حد من المتباينة بمتغير واحد من جزء من المتباينة إلى جزء آخر بعلامة معاكسة، مع ترك علامة المتباينة دون تغيير، فسيتم الحصول على متباينة مكافئة للمتباينة المعطاة.
النظرية 2. إذا تم ضرب أو قسمة طرفي المتباينة ذات متغير واحد على نفس الرقم الموجب، مع ترك إشارة المتباينة دون تغيير، فسيتم الحصول على متباينة مكافئة للمتباينة المعطاة.
النظرية 3. إذا تم ضرب أو قسمة طرفي المتباينة بمتغير واحد على نفس الرقم السالب، مع تغيير إشارة المتباينة إلى العكس، فسيتم الحصول على متباينة مكافئة للمتباينة المعطاة.
تسمى المتباينة ذات الشكل ax+b>0 خطية (على التوالي، ax+b<0, ax+b³0, ax+b£0), где а и b – действительные числа, причем а¹0. Решение этих неравенств основано на трех теоремах равносильности изложенных выше.
مثال 1. حل المتراجحة: 2(x-3)+5(1-x)³3(2x-5).
بفتح الأقواس نحصل على 2س-6+5-5س³6س-15،
الفواصل العددية. سياق. تعريف
المساواة (المعادلة) لها نقطة واحدة على خط الأعداد (على الرغم من أن هذه النقطة تعتمد على التحولات التي تم إجراؤها والجذر المختار). سيكون حل المعادلة نفسها عبارة عن مجموعة عددية (تتكون أحيانًا من رقم واحد). ومع ذلك، سيتم عرض كل هذا على خط الأعداد (تصور مجموعة من الأرقام الحقيقية) بشكل نقطي فقط، ولكن هناك أيضًا أنواعًا أكثر عمومية من العلاقات بين رقمين - عدم المساواة. فيها، يتم تقسيم خط الأعداد على رقم معين ويتم قطع جزء معين منه - قيم التعبير أو الفاصل الرقمي.
ومن المنطقي مناقشة موضوع الفترات العددية مع المتباينات، لكن هذا لا يعني أنها مرتبطة بها فقط. الفواصل العددية (الفواصل، المقاطع، الأشعة) هي مجموعة من القيم المتغيرة التي تحقق عدم مساواة معينة. وهذا هو، في جوهره، هذه هي مجموعة جميع النقاط على خط الأعداد، محدودة بنوع من الإطار. ولذلك، فإن موضوع الفواصل العددية هو الأكثر ارتباطا بالمفهوم عامل. عندما يكون هناك متغير، أو نقطة عشوائية x على خط الأعداد، ويتم استخدامها، فهناك أيضًا فواصل رقمية، والفواصل هي قيم x. في كثير من الأحيان يمكن أن تكون القيمة أي شيء، ولكنها أيضًا فاصل رقمي يغطي خط الأعداد بأكمله.
دعونا نقدم هذا المفهوم الفاصل الرقمي. من بين المجموعات الرقمية، أي المجموعات التي تكون كائناتها أرقامًا، يتم تمييز ما يسمى بالفواصل الرقمية. قيمتها هي أنه من السهل جدًا تخيل مجموعة تتوافق مع فاصل رقمي محدد، والعكس صحيح. لذلك، بمساعدتهم، من الملائم كتابة العديد من الحلول لعدم المساواة. في حين أن مجموعة حلول المعادلة لن تكون فاصلًا رقميًا، بل مجرد عدة أرقام على خط الأعداد، مع عدم المساواة، بمعنى آخر، أي قيود على قيمة المتغير، تظهر فترات رقمية.
الفاصل الزمني هو مجموعة من جميع النقاط على خط الأعداد، محدودة بعدد أو أرقام معينة (نقاط على خط الأعداد).
يمكن دائمًا تمثيل الفاصل الرقمي من أي نوع (مجموعة قيم x محاطة بين أرقام معينة) بثلاثة أنواع من التدوين الرياضي: تدوين خاص للفترات، أو سلاسل من المتباينات (متباينة واحدة أو متباينة مزدوجة) أو هندسيًا على رقم خط. في الأساس، كل هذه التسميات لها نفس المعنى. أنها توفر قيدًا (قيودًا) على قيم بعض الكائنات الرياضية أو المتغير (بعض المتغيرات أو أي تعبير بمتغير أو دالة وما إلى ذلك).
مما سبق يمكن أن نفهم أنه بما أن مساحة خط الأعداد يمكن أن تكون محدودة بطرق مختلفة (هناك أنواع مختلفة من المتباينات)، فإن أنواع الفواصل العددية مختلفة.
أنواع الفواصل العددية
كل نوع من الفواصل الرقمية له اسمه الخاص، وتسمية خاصة. للإشارة إلى الفواصل الرقمية، يتم استخدام الأقواس المستديرة والمربعة. القوس يعني أن النقطة النهائية التي تحدد الحدود على خط الأعداد (نهاية) هذا القوس ليست مدرجة في مجموعة النقاط لهذا الفاصل الزمني. القوس المربع يعني أن النهاية تتناسب مع الفجوة. مع ما لا نهاية (على هذا الجانب الفاصل الزمني غير محدود) استخدم قوسين. في بعض الأحيان، بدلاً من الأقواس، يمكنك كتابة أقواس مربعة في الاتجاه المعاكس: (أ؛ب) ⇔]أ؛ب[
| نوع الفجوة (الاسم) | صورة هندسية (على خط الأعداد) | تعيين | الكتابة باستخدام المتباينات (مقيدة دائمًا للإيجاز) |
|---|---|---|---|
| الفاصل الزمني (مفتوح) | (أ؛ب) | أ< x < b | |
| الجزء (الجزء) | أ ≥ س ≥ ب | ||
| نصف الفاصل (نصف المقطع) | أ< x ≤ b | ||
| شعاع | س ≥ ب | ||
| شعاع مفتوح | (أ؛+∞) | س>أ | |
| شعاع مفتوح | (-∞;ب) | س< b | |
| مجموعة جميع الأرقام (على خط الإحداثيات) | (-∞;+∞) ، على الرغم من أنه من الضروري هنا الإشارة إلى الناقل المحدد للجبر الذي يتم من خلاله تنفيذ العمل؛ مثال: | س ∈(يتحدثون عادةً عن مجموعة الأعداد الحقيقية؛ ولتمثيل الأعداد المركبة يستخدمون المستوى المركب، وليس الخط المستقيم) | |
| المساواة | أو س = أ | س = أ(حالة خاصة من عدم المساواة غير الصارمة: أ ≥ س ≥ أ- فترة طولها 1، حيث يتطابق كلا الطرفين - قطعة تتكون من نقطة واحدة) | |
| مجموعة فارغة | ∅ | المجموعة الفارغة هي أيضًا فترة - المتغير x ليس له قيم (المجموعة الفارغة). تعيين: س∈∅⇔س∈(). |
يمكن أن تكون أسماء الفترات مربكة: هناك عدد كبير من الخيارات. لذلك، من الأفضل دائمًا الإشارة إليها بدقة. في الأدب الإنجليزي يتم استخدام هذا المصطلح فقط فاصلة ("فاصلة") - مفتوح، مغلق، نصف مفتوح (نصف مغلق). هناك العديد من الاختلافات.
تُستخدم الفترات في الرياضيات للدلالة على عدد كبير جدًا من الأشياء: هناك فترات من العزلة عند حل المعادلات، وفترات من التكامل، وفترات من تقارب المتسلسلة. عند دراسة دالة ما، تُستخدم الفواصل الزمنية دائمًا للإشارة إلى نطاق قيمها ومجال تعريفها. الثغرات مهمة جدًا، على سبيل المثال، هناك نظرية بولزانو-كوشي(يمكنك معرفة المزيد على ويكيبيديا).
نظم ومجموعات من عدم المساواة
نظام عدم المساواة
لذلك، يمكن مقارنة متغير X أو قيمة بعض التعبيرات ببعض القيمة الثابتة - هذه عدم المساواة، ولكن يمكن مقارنة هذا التعبير بعدة كميات - عدم المساواة المزدوجة، سلسلة من عدم المساواة، إلخ. هذا هو بالضبط ما كان هو موضح أعلاه - كفاصل وقطعة. كلاهما كذلك نظام عدم المساواة.
لذا، إذا كانت المهمة هي إيجاد مجموعة من الحلول المشتركة لمتباينتين أو أكثر، فيمكننا التحدث عن حل نظام من المتباينات (تمامًا كما هو الحال مع المعادلات - على الرغم من أنه يمكننا القول أن المعادلات هي حالة خاصة).
فمن الواضح أن قيمة المتغير المستخدم في المتباينات، والتي يصبح عندها كل واحد منها صحيحاً، تسمى حل نظام المتباينات.
يتم دمج جميع عدم المساواة المدرجة في النظام مع قوس مجعد - "(". في بعض الأحيان يتم كتابتها في النموذج عدم المساواة المزدوجة(كما هو موضح أعلاه) أو حتى سلسلة عدم المساواة. مثال على الإدخال النموذجي: f x ≥ 30 g x 5 .
حل أنظمة المتباينات الخطية ذات متغير واحد في الحالة العامة يأتي في هذه الأنواع الأربعة: x > a x > b (1) x > a x< b (2) x < a x >ب(3)خ< a x < b (4) . Здесь предполагается, что ب > أ.
يمكن حل أي نظام بيانيا باستخدام خط الأعداد. حيثما تتقاطع حلول المتباينات التي يتكون منها النظام، سيكون هناك حل للنظام نفسه.
دعونا نقدم حل رسومي لكل حالة.
(1) س>ب (2) أعلاوة على ذلك، يمكن تصنيف أنظمة عدم المساواة على أنها متكافئة إذا كان لديها مجموعة مشتركة من الحلول. من هنا (كما هو موضح أعلاه)، يترتب على ذلك أنه يمكن تبسيط الأنظمة الأكثر تعقيدًا (على سبيل المثال، باستخدام حل هندسي).
يمكن أن يُطلق على القوس المتعرج تقريبًا اسم ما يعادل أداة العطف " و" لعدم المساواة
مجموعة من عدم المساواة
ومع ذلك، هناك حالات أخرى. لذلك، بالإضافة إلى تقاطع مجموعات الحلول، هناك اتحادها: إذا كانت المهمة هي العثور على مجموعة من كل هذه القيم للمتغير، كل منها هو حل لواحدة على الأقل من المتباينات المعطاة، ثم يقولون أنه من الضروري حل مجموعة المتباينات.
لذا، يتم توحيد جميع المتباينات في المجموع بواسطة القوس الإجمالي "[". إذا كانت قيمة المتغير تحقق متباينة واحدة على الأقل من المجتمع، فإنه ينتمي إلى مجموعة حلول المجتمع بأكمله. الأمر نفسه ينطبق على المعادلات (مرة أخرى، يمكن أن يطلق عليها حالة خاصة).
إذا كانت الدعامة المتعرجة كذلك و، فإن القوس الإجمالي هو، بشكل مشروط، بعبارات بسيطة، ما يعادل الاتحاد " أو" بالنسبة لعدم المساواة (على الرغم من أن هذا سيكون بالطبع أمرًا منطقيًا أو بما في ذلك الحالة التي تستوفي كلا الشرطين).
إذن، حل مجموعة من المتباينات هو قيمة المتغير الذي تصبح عنده متباينة واحدة على الأقل صحيحة.
يمكن تعريف مجموعة الحلول، سواء كانت مجموعات أو أنظمة عدم المساواة، من خلال عمليتين ثنائيتين أساسيتين للعمل مع المجموعات - التقاطع والاتحاد. مجموعة الحلول لنظام من عدم المساواة هي تقاطعمجموعات من الحلول لعدم المساواة التي تشكلها. مجموعة الحلول لمجموعة من المتباينات هي منظمةمجموعات من الحلول لعدم المساواة التي تشكلها. ويمكن أيضا توضيح هذا. لنفترض أن لدينا نظامًا ومجموعة من المتباينتين. نشير إلى مجموعة الحلول للأول أ، وتدل على مجموعة الحلول الثانية ب. ومن الأمثلة الممتازة على ذلك مخطط أويلر-فين.
A ∪ B - حل لنظام من المتباينات A ∩ B - حل لمجموعة من المتباينات