ما هو خط الوسط للمثلث؟ مثلث قائم

يُستخدم الخط الأوسط لشبه المنحرف، وخاصة خصائصه، في كثير من الأحيان في الهندسة لحل المشكلات وإثبات بعض النظريات.


هو شكل رباعي له ضلعان متوازيان فقط. تسمى الجوانب المتوازية بالقواعد (في الشكل 1 - إعلانو قبل الميلاد) ، والاثنان الآخران جانبيان (في الشكل أ.بو قرص مضغوط).

خط الوسط شبه منحرفهو الجزء الذي يصل بين منتصف أضلاعه (في الشكل 1 - كوالالمبور).

خصائص الخط الأوسط لشبه منحرف

إثبات نظرية خط الوسط شبه المنحرف

يثبتأن الخط الناصف لشبه المنحرف يساوي نصف مجموع قواعده ويوازي هذه القواعد.

نظرا شبه منحرف ا ب ت ثمع خط الوسط كوالالمبور. لإثبات الخصائص قيد النظر، من الضروري رسم خط مستقيم من خلال النقاط بو ل. في الشكل 2 هذا خط مستقيم بكيو. وأيضا مواصلة الأساس إعلانإلى التقاطع مع الخط بكيو.

النظر في المثلثات الناتجة إل بي سي.و إل كيو دي:

  1. حسب تعريف خط الوسط كوالالمبورنقطة لهي نقطة منتصف الجزء قرص مضغوط. ويترتب على ذلك أن القطاعات سي.إل.و إل ديمتساوون.
  2. ∠ بي إل سي = ∠ كوينزلاندلأن هذه الزوايا عمودية.
  3. ∠BCL = ∠LDQلأن هذه الزوايا تقع بالعرض على مستقيمين متوازيين إعلانو قبل الميلادوقاطع قرص مضغوط.

من هذه المساواة الثلاثة يترتب على المثلثات التي تم النظر فيها سابقًا إل بي سي.و إل كيو ديمتساوية في جانب واحد وزاويتين متجاورتين (انظر الشكل 3). لذلك، ∠ إل بي سي = ∠ LQD, قبل الميلاد = DQوالشيء الأكثر أهمية - بل = لق => كوالالمبور، وهو الخط الأوسط لشبه المنحرف ا ب ت ث، وهو أيضًا خط الوسط للمثلث اي بي كيو. وفقا لخاصية خط الوسط للمثلث اي بي كيونحن نحصل.

في بعض الأحيان، قد لا تكون المواضيع التي يتم شرحها في المدرسة واضحة دائمًا في المرة الأولى. هذا ينطبق بشكل خاص على موضوع مثل الرياضيات. لكن كل شيء يصبح أكثر تعقيدًا عندما يبدأ هذا العلم في الانقسام إلى قسمين: الجبر والهندسة.

قد يكون لدى كل طالب القدرة في أحد المجالين، ولكن بشكل خاص في الصفوف الابتدائية من المهم فهم أساس كل من الجبر والهندسة. في الهندسة، يعتبر أحد المواضيع الرئيسية هو القسم الخاص بالمثلثات.

كيفية العثور على خط الوسط للمثلث؟ دعونا معرفة ذلك.

مفاهيم أساسية

لتبدأ، لمعرفة كيفية العثور على الخط الأوسط للمثلث، من المهم أن نفهم ما هو عليه.

لا توجد قيود على رسم الخط الأوسط: يمكن أن يكون المثلث أي شيء (متساوي الساقين، متساوي الأضلاع، مستطيل). وجميع الخصائص التي تتعلق بالخط الأوسط ستكون سارية المفعول.

خط المنتصف للمثلث هو القطعة التي تصل بين منتصف ضلعيه. لذلك، يمكن أن يحتوي أي مثلث على 3 خطوط من هذا القبيل.

ملكيات

لمعرفة كيفية العثور على خط الوسط للمثلث، دعنا نحدد خصائصه التي يجب تذكرها، وإلا فسيكون من المستحيل حل المشكلات بدونها مع الحاجة إلى تحديد طول خط الوسط، حيث يجب إثبات جميع البيانات التي تم الحصول عليها وجادل مع النظريات أو البديهيات أو الخصائص.

وهكذا، للإجابة على السؤال: "كيف تجد خط الوسط للمثلث ABC؟"، يكفي معرفة أحد أضلاع المثلث.

دعونا نعطي مثالا

نلقي نظرة على الصورة. يظهر المثلث ABC مع الخط الأوسط DE. لاحظ أنه يوازي القاعدة AC في المثلث. لذلك، مهما كانت قيمة AC، فإن الخط المتوسط ​​DE سيكون نصف حجمه. على سبيل المثال، AC=20 يعني DE=10، إلخ.

بهذه الطرق البسيطة يمكنك فهم كيفية العثور على الخط الأوسط للمثلث. تذكر خصائصه الأساسية وتعريفه، وبعد ذلك لن تواجه أي مشاكل في العثور على معناه.

الخط الأوسط للمثلث

ملكيات

  • الخط الأوسط للمثلث يوازي الضلع الثالث ويساوي نصفه.
  • عند رسم الخطوط الوسطى الثلاثة، يتم تشكيل 4 مثلثات متساوية، مماثلة (حتى متجانسة) للمثلث الأصلي بمعامل 1/2.
  • ويقطع الخط الأوسط مثلثًا مشابهًا لهذا المثلث، ومساحته تساوي ربع مساحة المثلث الأصلي.

خط الوسط للرباعي

خط الوسط للرباعي- القطعة التي تصل بين منتصف الضلعين المتقابلين في الشكل الرباعي.

ملكيات

الخط الأول يربط بين الجانبين المتقابلين. والثاني يربط الجانبين المتقابلين الآخرين. والثالث يربط بين مركزي القطرين (ليس كل الأشكال الرباعية لها مراكز متقاطعة)

  • إذا كان الخط الأوسط في شكل رباعي محدب يشكل زوايا متساوية مع أقطار الشكل الرباعي، فإن الأقطار متساوية.
  • يكون طول خط المنتصف في الشكل الرباعي أقل من نصف مجموع الضلعين الآخرين أو يساويه إذا كان هذان الضلعان متوازيين، وفي هذه الحالة فقط.
  • نقاط منتصف جوانب الشكل الرباعي التعسفي هي رؤوس متوازي الأضلاع. ومساحته تساوي نصف مساحة الشكل الرباعي، ويقع مركزه عند نقطة تقاطع الخطوط الوسطى. يُسمى متوازي الأضلاع هذا متوازي الأضلاع Varignon؛
  • نقطة تقاطع خطوط المنتصف للشكل الرباعي هي نقطة المنتصف المشتركة بينهما، وتنصف القطعة التي تربط منتصف القطرين. وبالإضافة إلى ذلك، فهو المركز الأوسط لرءوس الشكل الرباعي.
  • في الشكل الرباعي الاعتباطي، يكون متجه الخط الأوسط مساويًا لنصف مجموع متجهات القواعد.

خط الوسط شبه منحرف

خط الوسط شبه منحرف- قطعة تربط بين منتصف جوانب شبه المنحرف. يُطلق على الجزء الذي يربط بين نقاط المنتصف لقواعد شبه المنحرف اسم خط الوسط الثاني لشبه المنحرف.

ملكيات

  • الخط الأوسط يوازي القاعدتين ويساوي نصف مجموعهما.

أنظر أيضا

ملحوظات


مؤسسة ويكيميديا. 2010.

انظر ما هو "خط الوسط" في القواميس الأخرى:

    خط الوسط- (1) قطعة شبه منحرف تصل بين منتصف الجوانب الجانبية للشبه منحرف. خط الوسط لشبه المنحرف يوازي قاعدتيه ويساوي نصف مجموعهما؛ (2) للمثلث، قطعة تصل بين منتصفي ضلعين من هذا المثلث: الضلع الثالث في هذه الحالة... ... موسوعة البوليتكنيك الكبيرة

    المثلث (شبه المنحرف) هو قطعة تصل بين منتصف ضلعي المثلث (ضلعي شبه المنحرف)... القاموس الموسوعي الكبير

    خط الوسط- 24 خط الوسط: خط وهمي يمر عبر مقطع الخيط بحيث يكون سمك الكتف مساوياً لعرض الأخدود. مصدر … كتاب مرجعي للقاموس لمصطلحات التوثيق المعياري والتقني

    مثلث (شبه منحرف)، قطعة تصل بين منتصف ضلعي المثلث (جوانب شبه المنحرف). * * * الخط الأوسط الخط الأوسط للمثلث (شبه المنحرف) ، القطعة التي تصل بين نقطتي منتصف ضلعي المثلث (الجوانب الجانبية لشبه المنحرف) ... القاموس الموسوعي

    خط الوسط- Vidurio linija acctionas t sritis kūno kultūra ir sportas apibrėtis 3 mm linija ، dalijanti teniso أصبح paviršių išilgai pusiau. السمات: الإنجليزية. خط الوسط خط منتصف المسار vok. ميتيليني، ف روس. الخط الأوسط…Sporto terminų žodynas

    خط الوسط- Vidurio linija acctionas t sritis kūno kultūra ir sportas apibrėtis linija ، dalijanti fechtavimosi kovos takelį į dvi lygias dalis. السمات: الإنجليزية. خط الوسط خط منتصف المسار vok. ميتيليني، ف روس. الخط الأوسط…Sporto terminų žodynas

    خط الوسط- حالات مشاهدة الأفلام T sri Kūno kūno kūno kūno kūno kūno kūno kūno kūno kūno kūno kūno kūno kūno kūno kūno kūno kūno kūno kūno kūno kūno kūno kūno kūno kūno kūno kūno kūno kūno ir sportas apibrėžtis Linja، dalijanti sporto aikšt(el)ę pusiau. السمات: الإنجليزية. خط الوسط خط منتصف المسار vok. ميتيليني، ف روس. الخط الأوسط…Sporto terminų žodynas

    1) س.ل. مثلث، قطعة تصل بين منتصف ضلعي المثلث (الضلع الثالث يسمى القاعدة). س.ل. المثلث يوازي القاعدة ويساوي نصفها؛ مساحة أجزاء المثلث الذي يقسمه c إليه. ل،... ... الموسوعة السوفيتية الكبرى

    قطعة من المثلث تصل بين منتصف ضلعي المثلث. يسمى الضلع الثالث من المثلث قاعدة المثلث. س.ل. مثلث موازي للقاعدة ويساوي نصف طوله. في أي مثلث S. l. ينقطع من... ... الموسوعة الرياضية

    المثلث (شبه المنحرف) قطعة تصل بين منتصف ضلعي المثلث (ضلعي شبه المنحرف) ... علم الطبيعة. القاموس الموسوعي

كتب

  • قلم حبر جاف "جوتر لوكس K177 ويست إم" (أزرق) (1953203) . قلم حبر جاف في علبة هدية. لون الرسالة: أزرق. الخط : وسط . صنع في فرنسا...

مفهوم خط الوسط للمثلث

دعونا نقدم مفهوم خط الوسط للمثلث.

التعريف 1

هذا هو الجزء الذي يربط بين منتصف ضلعي المثلث (الشكل 1).

الشكل 1. الخط الأوسط للمثلث

نظرية خط الوسط للمثلث

النظرية 1

الخط الأوسط للمثلث يوازي أحد أضلاعه ويساوي نصفه.

دليل.

دعونا نحصل على مثلث $ABC$. $MN$ هو الخط الأوسط (كما في الشكل 2).

الشكل 2. رسم توضيحي للنظرية 1

بما أن $\frac(AM)(AB)=\frac(BN)(BC)=\frac(1)(2)$، فإن المثلثين $ABC$ و$MBN$ متشابهان وفقًا للمعيار الثاني لتشابه المثلثات . وسائل

ويترتب على ذلك أيضًا $\angle A=\angle BMN$، وهو ما يعني $MN||AC$.

تم إثبات النظرية.

النتائج الطبيعية لنظرية خط الوسط للمثلث

النتيجة الطبيعية 1:تتقاطع متوسطات المثلث عند نقطة واحدة وتقسم على نقطة التقاطع بنسبة $2:1$ بدءاً من قمة الرأس.

دليل.

خذ بعين الاعتبار المثلث $ABC$، حيث $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ هي متوسطاته. بما أن المتوسطات تقسم الجوانب إلى نصفين. لنفكر في الخط الأوسط $A_1B_1$ (الشكل 3).

الشكل 3. رسم توضيحي للنتيجة الطبيعية 1

وفقًا للنظرية 1، $AB||A_1B_1$ و$AB=2A_1B_1$، وبالتالي، $\angle ABB_1=\angle BB_1A_1،\\angle BAA_1=\angle AA_1B_1$. وهذا يعني أن المثلثين $ABM$ و $A_1B_1M$ متشابهان حسب المعيار الأول لتشابه المثلثات. ثم

وكذا ثبت ذلك

تم إثبات النظرية.

النتيجة الطبيعية 2:الخطوط الثلاثة الوسطى للمثلث تقسمه إلى 4 مثلثات مشابهة للمثلث الأصلي بمعامل تشابه $k=\frac(1)(2)$.

دليل.

خذ بعين الاعتبار المثلث $ABC$ مع خطوط المنتصف $A_1B_1,\ (\ A)_1C_1,\ B_1C_1$ (الشكل 4)

الشكل 4. رسم توضيحي للنتيجة الطبيعية 2

خذ بعين الاعتبار المثلث $A_1B_1C$. نظرًا لأن $A_1B_1$ هو الخط الأوسط، إذن

الزاوية $C$ هي الزاوية المشتركة لهذه المثلثات. وبالتالي فإن المثلثين $A_1B_1C$ و $ABC$ متشابهان حسب المعيار الثاني لتشابه المثلثات مع معامل التشابه $k=\frac(1)(2)$.

وبالمثل، ثبت أن المثلثين $A_1C_1B$ و$ABC$، والمثلثين $C_1B_1A$ و$ABC$ متشابهان في معامل التشابه $k=\frac(1)(2)$.

خذ بعين الاعتبار المثلث $A_1B_1C_1$. بما أن $A_1B_1,\ (\A)_1C_1,\ B_1C_1$ هي الخطوط الوسطى للمثلث، إذن

لذلك، وفقًا للمعيار الثالث لتشابه المثلثات، فإن المثلثين $A_1B_1C_1$ و $ABC$ متشابهان مع معامل التشابه $k=\frac(1)(2)$.

تم إثبات النظرية.

أمثلة على المسائل المتعلقة بمفهوم خط الوسط للمثلث

مثال 1

إذا كان لديك مثلث أضلاعه $16$ سم، $10$ سم، $14$ سم، أوجد محيط المثلث الذي تقع رءوسه عند منتصف أضلاع المثلث المعطى.

حل.

بما أن رءوس المثلث المطلوب تقع في منتصف أضلاع المثلث المحدد، فإن أضلاعه هي خطوط الوسط للمثلث الأصلي. وبالنتيجة الطبيعية 2 نجد أن أضلاع المثلث المطلوب تساوي $8$ سم، $5$ سم، $7$ سم.

إجابة: 20 دولارًا أمريكيًا انظر

مثال 2

نظرا للمثلث $ABC$. النقطتان $N\ و\M$ هما نقطتا المنتصف للضلعين $BC$ و$AB$، على التوالي (الشكل 5).

الشكل 5.

محيط المثلث $BMN=14$ سم.

حل.

بما أن $N\ و\M$ هما نقطتا المنتصف للجانبين $BC$ و$AB$، فإن $MN$ هو خط الوسط. وسائل

حسب النظرية 1، $AC=2MN$. نحن نحصل:

الخط الأوسط للمثلث

ملكيات

  • الخط الأوسط للمثلث يوازي الضلع الثالث ويساوي نصفه.
  • عند رسم الخطوط الوسطى الثلاثة، يتم تشكيل 4 مثلثات متساوية، مماثلة (حتى متجانسة) للمثلث الأصلي بمعامل 1/2.
  • ويقطع الخط الأوسط مثلثًا مشابهًا لهذا المثلث، ومساحته تساوي ربع مساحة المثلث الأصلي.

خط الوسط للرباعي

خط الوسط للرباعي- القطعة التي تصل بين منتصف الضلعين المتقابلين في الشكل الرباعي.

ملكيات

الخط الأول يربط بين الجانبين المتقابلين. والثاني يربط الجانبين المتقابلين الآخرين. والثالث يربط بين مركزي القطرين (ليس كل الأشكال الرباعية لها مراكز متقاطعة)

  • إذا كان الخط الأوسط في شكل رباعي محدب يشكل زوايا متساوية مع أقطار الشكل الرباعي، فإن الأقطار متساوية.
  • يكون طول خط المنتصف في الشكل الرباعي أقل من نصف مجموع الضلعين الآخرين أو يساويه إذا كان هذان الضلعان متوازيين، وفي هذه الحالة فقط.
  • نقاط منتصف جوانب الشكل الرباعي التعسفي هي رؤوس متوازي الأضلاع. ومساحته تساوي نصف مساحة الشكل الرباعي، ويقع مركزه عند نقطة تقاطع الخطوط الوسطى. يُسمى متوازي الأضلاع هذا متوازي الأضلاع Varignon؛
  • نقطة تقاطع خطوط المنتصف للشكل الرباعي هي نقطة المنتصف المشتركة بينهما، وتنصف القطعة التي تربط منتصف القطرين. وبالإضافة إلى ذلك، فهو المركز الأوسط لرءوس الشكل الرباعي.
  • في الشكل الرباعي الاعتباطي، يكون متجه الخط الأوسط مساويًا لنصف مجموع متجهات القواعد.

خط الوسط شبه منحرف

خط الوسط شبه منحرف- قطعة تربط بين منتصف جوانب شبه المنحرف. يُطلق على الجزء الذي يربط بين نقاط المنتصف لقواعد شبه المنحرف اسم خط الوسط الثاني لشبه المنحرف.

ملكيات

  • الخط الأوسط يوازي القاعدتين ويساوي نصف مجموعهما.

أنظر أيضا

ملحوظات


مؤسسة ويكيميديا. 2010.

  • متوسط ​​الجرعة القاتلة
  • خط الوسط شبه منحرف

انظر ما هو "خط الوسط" في القواميس الأخرى:

    خط الوسط- (1) قطعة شبه منحرف تصل بين منتصف الجوانب الجانبية للشبه منحرف. خط الوسط لشبه المنحرف يوازي قاعدتيه ويساوي نصف مجموعهما؛ (2) للمثلث، قطعة تصل بين منتصفي ضلعين من هذا المثلث: الضلع الثالث في هذه الحالة... ... موسوعة البوليتكنيك الكبيرة

    خط الوسط- للمثلث (شبه المنحرف) قطعة تصل بين منتصف ضلعي المثلث (ضلعي شبه المنحرف) ... القاموس الموسوعي الكبير

    خط الوسط- 24 خط الوسط: خط وهمي يمر عبر مقطع الخيط بحيث يكون سمك الكتف مساوياً لعرض الأخدود. مصدر … كتاب مرجعي للقاموس لمصطلحات التوثيق المعياري والتقني

    خط الوسط- مثلث (شبه منحرف) قطعة تربط بين منتصف ضلعي المثلث (ضلعي شبه المنحرف). * * * الخط الأوسط الخط الأوسط للمثلث (شبه المنحرف) ، القطعة التي تصل بين نقطتي منتصف ضلعي المثلث (الجوانب الجانبية لشبه المنحرف) ... القاموس الموسوعي

    خط الوسط- Vidurio linija acctionas t sritis kūno kultūra ir sportas apibrėtis 3 mm linija ، dalijanti teniso أصبح paviršių išilgai pusiau. السمات: الإنجليزية. خط الوسط خط منتصف المسار vok. ميتيليني، ف روس. الخط الأوسط…Sporto terminų žodynas

    خط الوسط- Vidurio linija acctionas t sritis kūno kultūra ir sportas apibrėtis linija ، dalijanti fechtavimosi kovos takelį į dvi lygias dalis. السمات: الإنجليزية. خط الوسط خط منتصف المسار vok. ميتيليني، ف روس. الخط الأوسط…Sporto terminų žodynas

    خط الوسط- حالات مشاهدة الأفلام T sri Kūno kūno kūno kūno kūno kūno kūno kūno kūno kūno kūno kūno kūno kūno kūno kūno kūno kūno kūno kūno kūno kūno kūno kūno kūno kūno kūno kūno kūno kūno ir sportas apibrėžtis Linja، dalijanti sporto aikšt(el)ę pusiau. السمات: الإنجليزية. خط الوسط خط منتصف المسار vok. ميتيليني، ف روس. الخط الأوسط…Sporto terminų žodynas

    خط الوسط- 1) س.ل. مثلث، قطعة تصل بين منتصف ضلعي المثلث (الضلع الثالث يسمى القاعدة). س.ل. المثلث يوازي القاعدة ويساوي نصفها؛ مساحة أجزاء المثلث الذي يقسمه c إليه. ل،... ... الموسوعة السوفيتية الكبرى

    خط الوسط- قطعة من المثلث تربط بين منتصف ضلعي المثلث. يسمى الضلع الثالث من المثلث قاعدة المثلث. س.ل. مثلث موازي للقاعدة ويساوي نصف طوله. في أي مثلث S. l. ينقطع من... ... الموسوعة الرياضية

    خط الوسط- مثلث (شبه منحرف) قطعة تصل بين منتصف ضلعي المثلث (ضلعي شبه المنحرف) ... علم الطبيعة. القاموس الموسوعي

كتب

  • قلم حبر جاف "جوتر لوكس K177 ويست إم" (أزرق) (1953203) . قلم حبر جاف في علبة هدية. لون الرسالة: أزرق. الخط : وسط . صنع في فرنسا...