\[(\Large(\text(الزوايا المركزية والزوايا المحيطية)))\]
التعاريف
الزاوية المركزية هي الزاوية التي يقع رأسها في مركز الدائرة.
الزاوية المحيطية هي الزاوية التي يقع رأسها على دائرة.
قياس درجة قوس الدائرة هو قياس درجة الزاوية المركزية المقابلة لها.
نظرية
قياس درجة الزاوية المحيطية يساوي نصف قياس درجة القوس الذي تقع عليه.
دليل
وسنجري البرهان على مرحلتين: أولا، سنثبت صحة القول في حالة احتواء أحد أضلاع الزاوية المحيطية على قطر. لتكن النقطة \(B\) هي رأس الزاوية المحيطية \(ABC\) و \(BC\) هي قطر الدائرة:
المثلث \(AOB\) متساوي الساقين، \(AO = OB\) ، \(\angle AOC\) خارجي، إذن \(\الزاوية AOC = \الزاوية OAB + \الزاوية ABO = 2\الزاوية ABC\)، أين \(\الزاوية ABC = 0.5\cdot\angle AOC = 0.5\cdot\buildrel\smile\over(AC)\).
الآن فكر في زاوية منقوشة عشوائية \(ABC\) . لنرسم قطر الدائرة \(BD\) من رأس الزاوية المحيطية. هناك حالتان محتملتان:
1) يقطع القطر الزاوية إلى زاويتين \(\angle ABD, \angle CBD\) (لكل منهما النظرية صحيحة كما هو موضح أعلاه، وبالتالي فهي صحيحة أيضًا للزاوية الأصلية، وهي مجموع هذه اثنان وبالتالي يساوي نصف مجموع الأقواس التي ترتكز عليها، أي يساوي نصف القوس الذي ترتكز عليه). أرز. 1.
2) لم يقطع القطر الزاوية إلى زاويتين، فلدينا زاويتان منقوشتان جديدتان \(\angle ABD، \angle CBD\)، يحتوي جانبهما على القطر، وبالتالي فإن النظرية صحيحة بالنسبة لهما، إذن وينطبق ذلك أيضًا على الزاوية الأصلية (التي تساوي الفرق بين هاتين الزاويتين، أي أنها تساوي نصف الفرق بين الأقواس التي ترتكز عليها، أي تساوي نصف القوس الذي ترتكز عليه). أرز. 2.
عواقب
1. الزوايا المحيطية المقابلة لنفس القوس متساوية.
2. الزاوية المحيطية المقابلة لنصف دائرة هي زاوية قائمة.
3. الزاوية المحيطية تساوي نصف الزاوية المركزية المقابلة لنفس القوس.
\[(\Large(\text( مماس الدائرة)))\]
التعاريف
هناك ثلاثة أنواع من المواضع النسبية للخط والدائرة:
1) الخط المستقيم \(أ\) يقطع الدائرة في نقطتين. يسمى هذا الخط بالخط القاطع. في هذه الحالة تكون المسافة \(d\) من مركز الدائرة إلى الخط المستقيم أقل من نصف قطر \(R\) الدائرة (الشكل 3).
2) الخط المستقيم \(ب\) يقطع الدائرة عند نقطة واحدة. يسمى هذا الخط المماس، وتسمى النقطة المشتركة بينهما \(B\) نقطة التماس. في هذه الحالة \(d=R\) (الشكل 4).
نظرية
1. مماس الدائرة يكون عمودياً على نصف القطر المرسوم لنقطة التماس.
2. إذا مر مستقيم بنهاية نصف قطر الدائرة وكان عمودياً على نصف القطر هذا فإنه مماس للدائرة.
عاقبة
قطع المماس المرسومة من نقطة واحدة إلى الدائرة متساوية.
دليل
دعونا نرسم مماسين \(KA\) و \(KB\) للدائرة من النقطة \(K\):
هذا يعني أن \(OA\perp KA, OB\perp KB\) يشبه نصف القطر. المثلثان القائمان \(\triangle KAO\) و \(\triangle KBO\) متساويان في الساق والوتر، وبالتالي \(KA=KB\) .
عاقبة
يقع مركز الدائرة \(O\) على منصف الزاوية \(AKB\) المكونة من مماسين مرسومين من نفس النقطة \(K\) .
\[(\Large(\text(نظريات متعلقة بالزوايا))))\]
نظرية الزاوية بين القاطعات
الزاوية بين قاطعين مرسومين من نفس النقطة تساوي نصف الفرق في قياسات درجة الأقواس الأكبر والأصغر التي قطعوها.
دليل
اجعل \(M\) هي النقطة التي يتم رسم قاطعين منها كما هو موضح في الشكل:
دعونا نظهر ذلك \(\angle DMB = \dfrac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\).
\(\angle DAB\) هي الزاوية الخارجية للمثلث \(MAD\)، إذن \(\زاوية DAB = \زاوية DMB + \زاوية MDA\)، أين \(\زاوية DMB = \زاوية DAB - \زاوية MDA\)، لكن الزوايا \(\angle DAB\) و \(\angle MDA\) مدرجة، إذن \(\angle DMB = \angle DAB - \angle MDA = \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(BD) - \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(CA) = \frac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\)، وهو ما كان يحتاج إلى إثبات.
نظرية الزاوية بين الأوتار المتقاطعة
الزاوية بين وترين متقاطعين تساوي نصف مجموع درجات الأقواس التي يقطعونها: \[\angle CMD=\dfrac12\left(\buildrel\smile\over(AB)+\buildrel\smile\over(CD)\right)\]
دليل
\(\angle BMA = \angle CMD\) بشكل عمودي.
من المثلث \(AMD\): \(\angle AMD = 180^\circ - \angle BDA - \angle CAD = 180^\circ - \frac12\buildrel\smile\over(AB) - \frac12\buildrel\smile\over(CD)\).
لكن \(\زاوية AMD = 180^\circ - \زاوية CMD\)، ومنه نستنتج ذلك \[\angle CMD = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB) + \frac12\cdot\buildrel\smile\over(CD) = \frac12(\buildrel\smile\over(AB) + \buildrel\ ابتسم\فوق(قرص مضغوط)).\]
نظرية الزاوية بين الوتر والظل
الزاوية بين المماس والوتر المار بنقطة التماس تساوي نصف درجة قياس القوس المقابل للوتر.
دليل
دع الخط المستقيم \(a\) يلامس الدائرة عند النقطة \(A\)، \(AB\) هو وتر هذه الدائرة، \(O\) هو مركزها. دع السطر الذي يحتوي على \(OB\) يتقاطع مع \(a\) عند النقطة \(M\) . دعونا نثبت ذلك \(\angle BAM = \frac12\cdot \buildrel\smile\over(AB)\).
دعنا نشير إلى \(\angle OAB = \alpha\) . بما أن \(OA\) و\(OB\) هما أنصاف أقطار، فإن \(OA = OB\) و \(\زاوية OBA = \زاوية OAB = \alpha\). هكذا، \(\buildrel\smile\over(AB) = \angle AOB = 180^\circ - 2\alpha = 2(90^\circ - \alpha)\).
نظرًا لأن \(OA\) هو نصف القطر المرسوم إلى نقطة المماس، فإن \(OA\perp a\)، أي \(\angle OAM = 90^\circ\)، لذلك، \(\angle BAM = 90^\circ - \angle OAB = 90^\circ - \alpha = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB)\).
نظرية الأقواس التي تقابلها أوتار متساوية
الأوتار المتساوية تقابل أقواسًا متساوية أصغر من نصف الدائرة.
والعكس صحيح: الأقواس المتساوية تقابلها أوتار متساوية.
دليل
1) دع \(AB=CD\) . دعونا نثبت أن نصف الدائرة أصغر من القوس .
من ثلاث جهات، \(\angle AOB=\angle COD\) . ولكن بسبب \(\angle AOB, \angle COD\) - الزوايا المركزية المدعومة بأقواس \(\buildrel\smile\over(AB)، \buildrel\smile\over(CD)\)وفقا لذلك، ثم \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\).
2) إذا \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\)، الذي - التي \(\مثلث AOB=\مثلث COD\)على الجانبين \(AO=BO=CO=DO\) والزاوية بينهما \(\angle AOB=\angle COD\) . لذلك، و \(AB=CD\) .
نظرية
إذا كان نصف القطر ينصف الوتر، فهو عمودي عليه.
والعكس صحيح أيضًا: إذا كان نصف القطر عموديًا على الوتر، فإنه عند نقطة التقاطع ينصفه.
دليل
1) دع \(AN=NB\) . دعونا نثبت أن \(OQ\perp AB\) .
ضع في اعتبارك \(\مثلث AOB\): إنه متساوي الساقين، لأنه \(OA=OB\) – نصف قطر الدائرة. لأن \(ON\) هو الوسيط المرسوم للقاعدة، وهو أيضًا الارتفاع، وبالتالي \(ON\perp AB\) .
2) دع \(OQ\perp AB\) . دعونا نثبت أن \(AN=NB\) .
وبالمثل، \(\triangle AOB\) متساوي الساقين، \(ON\) هو الارتفاع، وبالتالي، \(ON\) هو الوسيط. ولذلك، \(AN=NB\) .
\[(\Large(\text(النظريات المتعلقة بأطوال القطع)))\]
نظرية منتج قطع الوتر
إذا تقاطع وتران من دائرة، فإن حاصل ضرب قطعتي الوتر الواحد يساوي حاصل ضرب قطعتي الوتر الآخر.
دليل
دع الوترين \(AB\) و \(CD\) يتقاطعان عند النقطة \(E\) .
خذ بعين الاعتبار المثلثين \(ADE\) و \(CBE\) . في هذه المثلثات، الزاويتان \(1\) و \(2\) متساويتان، حيث أنهما محصورتان وتقعان على نفس القوس \(BD\)، والزاويتان \(3\) و \(4\) متساويتان كعمودي. المثلثان \(ADE\) و \(CBE\) متشابهان (استنادًا إلى المعيار الأول لتشابه المثلثات).
ثم \(\dfrac(AE)(EC) = \dfrac(DE)(BE)\)، منها \(AE\cdot BE = CE\cdot DE\) .
نظرية الظل والقاطع
مربع قطعة المماس يساوي حاصل ضرب القاطع وجزءه الخارجي.
دليل
دع المماس يمر عبر النقطة \(M\) ثم المس الدائرة عند النقطة \(A\) . دع القاطع يمر عبر النقطة \(M\) ويتقاطع مع الدائرة عند النقطتين \(B\) و \(C\) بحيث \(MB)< MC\) . Покажем, что \(MB\cdot MC = MA^2\) .
خذ بعين الاعتبار المثلثين \(MBA\) و\(MCA\) : \(\angle M\) شائعان، \(\زاوية BCA = 0.5\cdot\buildrel\smile\over(AB)\). وفقا لنظرية الزاوية بين المماس والقاطع، \(\زاوية BAM = 0.5\cdot\buildrel\smile\over(AB) = \زاوية BCA\). وبالتالي فإن المثلثين \(MBA\) و\(MCA\) متشابهان في زاويتين.
من تشابه المثلثين \(MBA\) و \(MCA\) لدينا: \(\dfrac(MB)(MA) = \dfrac(MA)(MC)\)، وهو ما يعادل \(MB\cdot MC = MA^2\) .
عاقبة
حاصل ضرب القاطع المرسوم من النقطة \(O\) بجزئه الخارجي لا يعتمد على اختيار القاطع المرسوم من النقطة \(O\) .
علم القياس هو فرع من فروع الهندسة يدرس خصائص الأشكال المستوية. ولا تشمل هذه المثلثات والمربعات والمستطيلات المعروفة فحسب، بل تتضمن أيضًا الخطوط المستقيمة والزوايا. في علم القياس، هناك أيضًا مفاهيم مثل الزوايا في الدائرة: مركزية ومنقوشة. لكن ماذا يقصدون؟
ما هي الزاوية المركزية؟
لكي تفهم ما هي الزاوية المركزية، عليك أن تحدد دائرة. الدائرة هي مجموعة كل النقاط المتساوية البعد عن نقطة معينة (مركز الدائرة).
من المهم جدًا تمييزها عن الدائرة. عليك أن تتذكر أن الدائرة عبارة عن خط مغلق، والدائرة هي جزء من المستوى الذي يحده. يمكن إدراج مضلع أو زاوية في دائرة.
الزاوية المركزية هي الزاوية التي يتطابق رأسها مع مركز الدائرة ويتقاطع ضلعاها مع الدائرة عند نقطتين. القوس الذي تحدده الزاوية بنقاط تقاطعها يسمى القوس الذي تقع عليه الزاوية المعطاة.
لننظر إلى المثال رقم 1.
في الصورة، الزاوية AOB مركزية، لأن رأس الزاوية ومركز الدائرة يقعان في نقطة واحدة O. وهي تقع على القوس AB الذي لا يحتوي على النقطة C.
كيف تختلف الزاوية المحيطية عن الزاوية المركزية؟
ومع ذلك، بالإضافة إلى الزوايا المركزية، هناك أيضًا زوايا محيطة. ما هو الفرق بينهما؟ تمامًا مثل الزاوية المركزية، فإن الزاوية المحيطية في الدائرة تقع على قوس معين. لكن رأسها لا يتطابق مع مركز الدائرة بل يقع عليها.
لنأخذ المثال التالي.
تسمى الزاوية ACB الزاوية المدرج في دائرة ومركزها عند النقطة O. النقطة C تنتمي إلى الدائرة، أي أنها تقع عليها. الزاوية تقع على القوس AB.
من أجل التعامل بنجاح مع المشاكل الهندسية، لا يكفي أن تكون قادرا على التمييز بين الزوايا المنقوشة والمركزية. كقاعدة عامة، لحلها، عليك أن تعرف بالضبط كيفية العثور على الزاوية المركزية في الدائرة وتكون قادرًا على حساب قيمتها بالدرجات.
إذن، الزاوية المركزية تساوي درجة قياس القوس الذي تقع عليه.
في الصورة، الزاوية AOB تقع على قوس AB يساوي 66°. وهذا يعني أن الزاوية AOB هي أيضًا 66 درجة.
وبالتالي، فإن الزوايا المركزية المقابلة لأقواس متساوية متساوية.
في الشكل، القوس DC يساوي القوس AB. وهذا يعني أن الزاوية AOB تساوي الزاوية DOC.
قد يبدو أن الزاوية المحيطية في الدائرة تساوي الزاوية المركزية التي يدعمها نفس القوس. ومع ذلك، فهذا خطأ فادح. في الواقع، حتى بمجرد النظر إلى الرسم ومقارنة هذه الزوايا مع بعضها البعض، يمكنك أن ترى أن مقاييس درجاتها سيكون لها قيم مختلفة. إذن ما هي الزاوية المحيطية في الدائرة؟
قياس درجة الزاوية المحيطية يساوي نصف القوس الذي تقع عليه، أو نصف الزاوية المركزية إذا كانت تقع على نفس القوس.
دعونا نلقي نظرة على مثال. تقع الزاوية ASV على قوس يساوي 66 درجة.
وهذا يعني أن الزاوية ACB = 66 درجة: 2 = 33 درجة
دعونا نفكر في بعض النتائج المترتبة على هذه النظرية.
- الزوايا المحيطية، إذا كانت مبنية على نفس القوس أو الوتر أو الأقواس المتساوية، تكون متساوية.
- إذا كانت الزوايا المحيطية ترتكز على وتر واحد، ولكن رءوسها تقع على جانبين متقابلين منه، فإن مجموع قياسات درجات هذه الزوايا هو 180 درجة، لأنه في هذه الحالة تقع كلتا الزاويتين على أقواس يبلغ مجموع قياساتها 360 درجة ( الدائرة بأكملها) 360 درجة: 2 = 180 درجة
- إذا كانت الزاوية المحيطية مبنية على قطر دائرة معينة، فإن قياس درجتها هو 90 درجة، حيث أن القطر يقابل قوسًا يساوي 180 درجة، 180 درجة: 2 = 90 درجة
- إذا كانت الزوايا المركزية والزوايا المحيطية في دائرة تقع على نفس القوس أو الوتر، فإن الزاوية المحيطية تساوي نصف الزاوية المركزية.
أين يمكن العثور على مشاكل حول هذا الموضوع؟ أنواعها وحلولها
وبما أن الدائرة وخصائصها هي من أهم أقسام الهندسة، وهندسة التخطيط على وجه الخصوص، فإن الزوايا المحيطية والمركزية في الدائرة هي موضوع يتم دراسته على نطاق واسع وبالتفصيل في الدورة المدرسية. تم العثور على المشاكل المخصصة لخصائصها في امتحان الدولة الرئيسي (OGE) واختبار الدولة الموحدة (USE). كقاعدة عامة، لحل هذه المسائل، عليك إيجاد زوايا الدائرة بالدرجات.
زوايا مبنية على قوس واحد
ربما يكون هذا النوع من المسائل من أسهل المسائل، لأنه لحلها تحتاج إلى معرفة خاصيتين بسيطتين فقط: إذا كانت كلتا الزاويتين منقوشتين وتستندان إلى نفس الوتر، فإنهما متساويتان، وإذا كانت إحداهما مركزية، فإن الزاوية المقابلة لها الزاوية المحيطية تساوي نصفها. ومع ذلك، عند حلها، عليك أن تكون حذرا للغاية: في بعض الأحيان يكون من الصعب ملاحظة هذه الخاصية، ويصل الطلاب إلى طريق مسدود عند حل مثل هذه المهام البسيطة. دعونا نلقي نظرة على مثال.
المهمة رقم 1
بالنظر إلى دائرة مركزها النقطة O. زاوية AOB هي 54°. أوجد قياس درجة الزاوية ASV.
تم حل هذه المهمة في إجراء واحد. الشيء الوحيد الذي تحتاج إلى العثور على الإجابة عليه سريعًا هو ملاحظة أن القوس الذي تستقر عليه الزاويتان مشترك. بعد أن رأيت هذا، يمكنك تطبيق خاصية مألوفة بالفعل. الزاوية ACB تساوي نصف الزاوية AOB. وسائل،
1) AOB = 54 درجة: 2 = 27 درجة.
الجواب: 54 درجة.
الزوايا المقابلة لأقواس مختلفة من نفس الدائرة
في بعض الأحيان، لا تحدد ظروف المشكلة بشكل مباشر حجم القوس الذي تقع عليه الزاوية المطلوبة. ولحسابها، عليك تحليل حجم هذه الزوايا ومقارنتها بالخصائص المعروفة للدائرة.
المشكلة 2
في دائرة مركزها النقطة O، زاوية AOC قياسها 120 درجة، والزاوية AOB قياسها 30 درجة. أوجد زاوية أنت.
بادئ ذي بدء، تجدر الإشارة إلى أنه من الممكن حل هذه المشكلة باستخدام خصائص المثلثات متساوية الساقين، ولكن هذا سيتطلب عددًا أكبر من العمليات الرياضية. لذلك، سنقدم هنا تحليلًا للحل باستخدام خصائص الزوايا المركزية والزوايا المحيطية في الدائرة.
لذا، فإن الزاوية AOS تقع على القوس AC وهي مركزية، مما يعني أن القوس AC يساوي الزاوية AOS.
وبنفس الطريقة، تقع الزاوية AOB على القوس AB.
بمعرفة ذلك وقياس درجة الدائرة بأكملها (360 درجة)، يمكنك بسهولة العثور على حجم القوس BC.
BC = 360° - AC - AB
ق = 360° - 120° - 30° = 210°
يقع رأس الزاوية CAB، النقطة A، على الدائرة. وهذا يعني أن الزاوية CAB هي زاوية محيطية وتساوي نصف القوس NE.
زاوية الكابينة = 210 درجة: 2 = 110 درجة
الجواب: 110 درجة
المشاكل على أساس العلاقة بين الأقواس
بعض المسائل لا تحتوي على بيانات عن قيم الزوايا على الإطلاق، لذا يجب البحث عنها بناءً على النظريات وخصائص الدائرة المعروفة فقط.
المشكلة 1
أوجد الزاوية المحيطية بالدائرة التي تقع على وتر يساوي نصف قطر الدائرة المعطاة.
إذا قمت برسم خطوط تربط نهايات القطعة بمركز الدائرة عقليًا، فستحصل على مثلث. وبعد فحصها، يمكنك أن ترى أن هذه الخطوط هي نصف قطر الدائرة، مما يعني أن جميع جوانب المثلث متساوية. ومن المعروف أن جميع زوايا المثلث متساوي الأضلاع تساوي 60 درجة. وهذا يعني أن القوس AB الذي يحتوي على رأس المثلث يساوي 60 درجة. ومن هنا نجد القوس AB الذي تقع عليه الزاوية المطلوبة.
AB = 360° - 60° = 300°
الزاوية ABC = 300 درجة: 2 = 150 درجة
الجواب: 150 درجة
المشكلة 2
في الدائرة التي مركزها النقطة O تكون نسبة الأقواس 3:7. أوجد أصغر زاوية محيطية.
لحل المشكلة، دعنا نحدد جزءًا واحدًا بـ X، ثم القوس الواحد يساوي 3X، والثاني على التوالي 7X. بمعرفة أن قياس درجة الدائرة هو 360 درجة، فلنقم بإنشاء معادلة.
3س + 7س = 360 درجة
وفقا للحالة، تحتاج إلى العثور على زاوية أصغر. من الواضح أنه إذا كان حجم الزاوية يتناسب طرديا مع القوس الذي تقع عليه، فإن الزاوية المطلوبة (الأصغر) تتوافق مع قوس يساوي 3X.
وهذا يعني أن الزاوية الأصغر هي (36° * 3) : 2 = 108°: 2 = 54°
الجواب: 54 درجة
في دائرة مركزها النقطة O، قياس الزاوية AOB هو 60°، وطول القوس الأصغر هو 50. احسب طول القوس الأكبر.
من أجل حساب طول القوس الأكبر، تحتاج إلى إنشاء نسبة - كيفية ارتباط القوس الأصغر بالقوس الأكبر. للقيام بذلك، نحسب مقدار كلا القوسين بالدرجات. القوس الأصغر يساوي الزاوية التي تقع عليه. سيكون قياس درجتها 60 درجة. القوس الأكبر يساوي الفرق بين قياس درجة الدائرة (وهو يساوي 360 درجة بغض النظر عن البيانات الأخرى) والقوس الأصغر.
القوس الرئيسي هو 360° - 60° = 300°.
بما أن 300°: 60° = 5، فإن القوس الأكبر أكبر بخمس مرات من القوس الأصغر.
القوس الكبير = 50 * 5 = 250
لذلك، بالطبع، هناك طرق أخرى لحل مشاكل مماثلة، ولكن جميعها تعتمد بطريقة أو بأخرى على خصائص الزوايا المركزية والمنقوشة والمثلثات والدوائر. من أجل حلها بنجاح، تحتاج إلى دراسة الرسم بعناية ومقارنته ببيانات المشكلة، وكذلك تكون قادرًا على تطبيق معرفتك النظرية في الممارسة العملية.
مفهوم الزاوية المحيطية والمركزية
دعونا أولا نقدم مفهوم الزاوية المركزية.
ملاحظة 1
لاحظ أن قياس درجة الزاوية المركزية يساوي قياس درجة القوس الذي تقع عليه.
دعونا الآن نقدم مفهوم الزاوية المحيطية.
التعريف 2
الزاوية التي يقع رأسها على دائرة ويتقاطع ضلعاها مع نفس الدائرة تسمى زاوية محيطية (الشكل 2).
الشكل 2. الزاوية المنقوشة
نظرية الزاوية المنقوشة
النظرية 1
قياس درجة الزاوية المحيطية يساوي نصف قياس درجة القوس الذي تقع عليه.
دليل.
دعونا نحصل على دائرة مركزها النقطة $O$. دعنا نشير إلى الزاوية المنقوشة $ACB$ (الشكل 2). الحالات الثلاث التالية ممكنة:
- راي $CO$ يتزامن مع أي جانب من الزاوية. دع هذا يكون الجانب $CB$ (الشكل 3).
الشكل 3.
في هذه الحالة، يكون القوس $AB$ أقل من $(180)^(()^\circ )$، وبالتالي فإن الزاوية المركزية $AOB$ تساوي القوس $AB$. بما أن $AO=OC=r$، فإن المثلث $AOC$ متساوي الساقين. وهذا يعني أن زاويتي القاعدة $CAO$ و$ACO$ متساويتان. وفقا لنظرية الزاوية الخارجية للمثلث، لدينا:
- Ray $CO$ يقسم الزاوية الداخلية إلى زاويتين. دعها تتقاطع مع الدائرة عند النقطة $D$ (الشكل 4).
الشكل 4.
نحصل على
- Ray $CO$ لا يقسم الزاوية الداخلية إلى زاويتين ولا يتطابق مع أي من أضلاعها (الشكل 5).
الشكل 5.
دعونا نفكر في الزاويتين $ACD$ و$DCB$ بشكل منفصل. وبحسب ما تم إثباته في النقطة 1 نحصل على
نحصل على
لقد تم إثبات النظرية.
دعونا نعطي عواقبمن هذه النظرية.
النتيجة الطبيعية 1:الزوايا المحيطية التي تقع على نفس القوس تكون متساوية.
النتيجة الطبيعية 2:الزاوية المحيطية التي تقابل القطر هي زاوية قائمة.
هذه هي الزاوية التي شكلها اثنان الحبال، تنشأ عند نقطة واحدة على الدائرة. ويقال أن الزاوية المحيطية هي تقععلى القوس المحصور بين جوانبه.
زاوية مكتوبةيساوي نصف القوس الذي يرتكز عليه.
بعبارة أخرى، زاوية مكتوبةيتضمن العديد من الدرجات الزاوية والدقائق والثواني درجات القوسوالدقائق والثواني موجودة في نصف القوس الذي تقع عليه. ولتبرير ذلك، دعونا نحلل ثلاث حالات:
الحالة الأولى:
يقع المركز O على الجانب زاوية مكتوبةاي بي سي. برسم نصف القطر AO، نحصل على ΔABO، فيه OA = OB (كنصف قطر)، وبالتالي، ∠ABO = ∠BAO. فيما يتعلق بهذا مثلثزاوية AOC - خارجية. وهذا يعني أنها تساوي مجموع الزوايا ABO وBAO، أو تساوي الزاوية المزدوجة ABO. إذن ∠ABO يساوي النصف الزاوية المركزيةشركة نفط الجنوب. لكن هذه الزاوية تقاس بالقوس AC. أي أن الزاوية المحيطية ABC تقاس بنصف القوس AC.
الحالة الثانية:
يقع المركز O بين الجانبين زاوية مكتوبة ABC برسم القطر BD، نقسم الزاوية ABC إلى زاويتين، حسب الحالة الأولى، تقاس إحداهما بالنصف. أقواسم، والنصف الآخر من القرص المضغوط القوسي. وعليه تقاس الزاوية ABC (AD+DC) /2 أي . 1/2 مكيف.
الحالة الثالثة:
يقع المركز O في الخارج زاوية مكتوبةاي بي سي. برسم القطر BD، سيكون لدينا: ∠ABC = ∠ABD - ∠CBD . لكن يتم قياس الزوايا ABD وCBD على أساس النصف المبرر مسبقًا قوسم و قرص مضغوط. وبما أن ∠ABC يقاس بـ (AD-CD)/2، أي نصف القوس AC.
النتيجة الطبيعية 1.وأي منها مبنية على نفس القوس هي نفسها، أي أنها متساوية مع بعضها البعض. لأن كل واحد منهم يقاس بالنصف أقواس .
النتيجة الطبيعية 2. زاوية مكتوبة، على أساس القطر - الزاوية اليمنى. حيث أن كل زاوية تقاس بنصف دائرة، وبالتالي تحتوي على 90 درجة.
أولا، دعونا نفهم الفرق بين الدائرة والدائرة. ولرؤية هذا الاختلاف، يكفي أن نفكر في ماهية كلا الرقمين. هذه هي عدد لا حصر له من النقاط على المستوى، وتقع على مسافة متساوية من نقطة مركزية واحدة. ولكن، إذا كانت الدائرة تتكون أيضًا من مساحة داخلية، فهي لا تنتمي إلى الدائرة. اتضح أن الدائرة عبارة عن دائرة تحدها (دائرة (ص))، وعدد لا يحصى من النقاط الموجودة داخل الدائرة.
بالنسبة لأي نقطة L تقع على الدائرة، تنطبق المساواة OL=R. (طول القطعة OL يساوي نصف قطر الدائرة).
القطعة التي تصل بين نقطتين على الدائرة هي وتر.
الوتر الذي يمر مباشرة بمركز الدائرة هو القطرهذه الدائرة (د). يمكن حساب القطر باستخدام الصيغة: D=2R
محيطمحسوبة بالصيغة: C=2\pi R
مساحة الدائرة: S=\pi R^(2)
قوس الدائرةويسمى الجزء الذي يقع بين نقطتيه منه. تحدد هاتان النقطتان قوسين من الدائرة. يحمل القرص المضغوط الوتر قوسين: CMD وCLD. الحبال المتطابقة تقابل أقواسًا متساوية.
الزاوية المركزيةتسمى الزاوية التي تقع بين نصفي قطرين .
طول القوسيمكن العثور عليها باستخدام الصيغة:
- استخدام مقياس الدرجة: القرص المضغوط = \frac(\pi R \alpha ^(\circ))(180^(\circ))
- باستخدام قياس الراديان: CD = \alpha R
القطر المتعامد على الوتر يقسم الوتر والأقواس المنقبضة به إلى النصف.
إذا تقاطع الأوتار AB و CD من الدائرة عند النقطة N، فإن منتجات شرائح الأوتار المفصولة بالنقطة N تكون متساوية مع بعضها البعض.
AN\cdot NB = CN\cdot ND
مماس لدائرة
مماس لدائرةمن المعتاد تسمية خط مستقيم له نقطة مشتركة مع الدائرة.
إذا كان الخط يحتوي على نقطتين مشتركتين، فإنه يسمى قاطع.
إذا قمت برسم نصف القطر إلى نقطة المماس، فسيكون عموديًا على مماس الدائرة.
لنرسم مماسين من هذه النقطة إلى دائرتنا. اتضح أن شرائح الظل ستكون متساوية، وسيكون مركز الدائرة موجودا على منصف الزاوية مع قمة الرأس عند هذه النقطة.
أس = سي بي
والآن لنرسم مماسًا وقاطعًا للدائرة من النقطة التي لدينا. نحصل على أن مربع طول القطعة المماسية سيكون مساويًا لمنتج القطعة القاطعة بأكملها وجزءها الخارجي.
AC^(2) = CD \cdot BC
يمكننا أن نستنتج: منتج قطعة كاملة من القاطع الأول وجزءه الخارجي يساوي منتج قطعة كاملة من القاطع الثاني وجزءه الخارجي.
AC\cdot BC = EC\cdot DC
زوايا في دائرة
إن قياسات درجات الزاوية المركزية والقوس الذي تقع عليه متساوية.
\زاوية COD = \cup CD = \alpha ^(\circ)
زاوية مكتوبةهي الزاوية التي رأسها على دائرة، وجوانبها تحتوي على أوتار.
ويمكنك حسابه بمعرفة حجم القوس، فهو يساوي نصف هذا القوس.
\زاوية AOB = 2 \زاوية ADB
بناءً على القطر، الزاوية المحيطية، الزاوية القائمة.
\زاوية CBD = \زاوية CED = \زاوية CAD = 90^ (\circ)
الزوايا المحيطية التي لها نفس القوس متطابقة.
الزوايا المحيطية المرتكزة على وتر واحد متطابقة أو مجموعها يساوي 180^ (\circ) .
\زاوية ADB + \زاوية AKB = 180^ (\circ)
\زاوية ADB = \زاوية AEB = \زاوية AFB
على نفس الدائرة توجد رؤوس المثلثات ذات الزوايا المتطابقة وقاعدة معينة.
الزاوية ذات الرأس داخل الدائرة وتقع بين وترين تساوي نصف مجموع القيم الزاوية لأقواس الدائرة الموجودة ضمن الزوايا المعطاة والرأسية.
\زاوية DMC = \زاوية ADM + \زاوية DAM = \frac(1)(2) \يسار (\cup DmC + \cup AlB \يمين)
الزاوية التي رأسها خارج الدائرة وتقع بين قاطعين تساوي نصف الفرق في القيم الزاوية لأقواس الدائرة الموجودة داخل الزاوية.
\زاوية M = \زاوية CBD - \زاوية ACB = \frac(1)(2) \يسار (\cup DmC - \cup AlB \يمين)
دائرة مكتوبة
دائرة مكتوبةهي دائرة مماسة لجوانب المضلع.
عند النقطة التي تتقاطع فيها منصفات زوايا المضلع يقع مركزه.
لا يجوز إدراج دائرة في كل مضلع.
تم العثور على مساحة المضلع الذي يحتوي على دائرة منقوشة بالصيغة:
س = العلاقات العامة،
p هو نصف محيط المضلع،
r هو نصف قطر الدائرة المنقوشة.
ويترتب على ذلك أن نصف قطر الدائرة المنقوشة يساوي:
ص = \frac(S)(ع)
يكون مجموع أطوال الأضلاع المتقابلة متماثلاً إذا كانت الدائرة مدرجة في شكل رباعي محدب. والعكس صحيح: تدخل الدائرة في شكل رباعي محدب إذا كان مجموع أطوال الأضلاع المتقابلة متطابقًا.
أ ب + تيار مباشر = م + ق.م
من الممكن كتابة دائرة في أي من المثلثات. واحدة فقط . عند النقطة التي تتقاطع فيها منصفات الزوايا الداخلية للشكل، يقع مركز هذه الدائرة المنقوشة.
يتم حساب نصف قطر الدائرة المنقوشة بالصيغة:
ص = \frac(S)(ع) ,
حيث p = \frac(a + b + c)(2)
دائرة حولها
إذا مرت دائرة عبر كل قمة من مضلع، فعادة ما تسمى هذه الدائرة وصف حول المضلع.
عند نقطة تقاطع المنصفات المتعامدة لجوانب هذا الشكل سيكون مركز الدائرة المحيطة.
يمكن العثور على نصف القطر عن طريق حسابه على أنه نصف قطر الدائرة المحيطة بالمثلث المحدد بواسطة أي رؤوس ثلاثية للمضلع.
هناك الشرط التالي: لا يمكن وصف الدائرة حول شكل رباعي إلا إذا كان مجموع الزوايا المقابلة لها يساوي 180^( \circ) .
\الزاوية A + \الزاوية C = \الزاوية B + \الزاوية D = 180^ (\circ)
حول أي مثلث يمكنك وصف دائرة، واحدة فقط. سيكون مركز هذه الدائرة عند النقطة التي تتقاطع فيها المنصفات المتعامدة لجوانب المثلث.
يمكن حساب نصف قطر الدائرة المحددة باستخدام الصيغ:
R = \frac(a)(2 \sin A) = \frac(b)(2 \sin B) = \frac(c)(2 \sin C)
R = \frac(abc)(4 S)
أ، ب، ج هي أطوال أضلاع المثلث،
S هي مساحة المثلث.
نظرية بطليموس
وأخيرا، النظر في نظرية بطليموس.
تنص نظرية بطليموس على أن حاصل ضرب الأقطار يساوي مجموع حاصل ضرب الأضلاع المتقابلة في الشكل الرباعي الدائري.
AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD
.png)