نظرية الحد المركزي (CLT) هي المجموعة الثانية من نظريات الحد التي تحدد العلاقة بين قانون التوزيع مجموع المتغيرات العشوائيةوشكله النهائي قانون التوزيع الطبيعي.
لقد تحدثنا حتى الآن كثيرًا عن ثبات متوسط خصائص عدد كبير من الاختبارات، أو بتعبير أدق، عن ثبات مجاميع النموذج
ومع ذلك، تجدر الإشارة إلى أن القيمة 
عشوائي، وهو ما يعني أنه لديه بعض قانون التوزيع. وتبين أن هذه الحقيقة الرائعة تشكل المحتوى
مجموعة أخرى من النظريات، متحدة تحت الاسم العام الحد المركزينظرية، أنه في ظل ظروف عامة إلى حد ما قانون التوزيع 
قريبة من القانون العادي.
منذ القيمة 
يختلف عن المبلغ
مجرد عامل ثابت 
ومن ثم، بشكل عام، يمكن صياغة محتوى CLT على النحو التالي.
توزيع مجموع عدد كبير من المتغيرات العشوائية المستقلة مع جدا
الشروط العامة قريبة من قانون التوزيع الطبيعي.
ومن المعروف أن المتغيرات العشوائية الموزعة بشكل طبيعي تستخدم على نطاق واسع في الممارسة العملية (ليس فقط في نظرية الاحتمالات، ولكن أيضًا في تطبيقاتها العديدة). ما الذي يفسر هذه الظاهرة؟ تم تقديم الإجابة على مثل هذه "الظاهرة" لأول مرة من قبل عالم الرياضيات الروسي المتميز أ.م. ليابونوف في عام 1901: "نظرية الحد المركزي ليابونوف". تكمن إجابة لابونوف في شروطه التي يتم بموجبها عقد CLT (انظر أدناه).
ومن أجل إعداد صياغة دقيقة لاتفاقية CLT، دعونا نسأل أنفسنا سؤالين:
1.
ما هو المعنى الدقيق لعبارة "قانون توزيع المبلغ 
"قريب" من القانون العادي؟
2. وما هي الشروط التي يكون فيها هذا القرب صحيحا؟
للإجابة على هذه الأسئلة، فكر في تسلسل لا نهائي من المتغيرات العشوائية: 
دعونا نؤلف "مبالغ جزئية" لتسلسلنا من r.v. 
(23)
من كل متغير عشوائي 
دعنا ننتقل إلى المتغير العشوائي "المطبيع".
(24)
لقد أثبتنا (انظر البند 8، الفقرة 3، المساواة (19)) ذلك 
.
يمكن الآن صياغة إجابة السؤال الأول بدلالة حد المساواة
(25)
,
(
,
وهذا يعني أن قانون توزيع r.v. 
مع النمو 
يقترب من القانون العادي مع 
. وبطبيعة الحال، من حقيقة أن القيمة 
له توزيع طبيعي تقريبًا، ويترتب على ذلك أن القيمة 
موزعة بشكل طبيعي تقريبًا،
(26)
صيغة لتحديد احتمال أن يكون مجموع عدة r.v. سيكون ضمن الحدود المحددة. غالبًا ما يستخدم CPT 
فيما يتعلق بالشروط التي يجب فرضها على الكميات 
ويمكن وضع الاعتبارات التالية. دعونا نفكر في الفرق 
نحصل على انحراف r.v. 
من توقعاتها الرياضية. المعنى العام للشروط المفروضة على الكميات 
هو أن الانحرافات الفردية 
يجب أن تكون صغيرة بشكل موحد مقارنة بالانحراف الكلي 
تم تقديم الصيغة الدقيقة لهذه الشروط التي بموجبها تكون العلاقة الحدية صالحة بواسطة M.A. لابونوف في عام 1901. وهي كالاتي.
السماح لكل من الكميات 
الأرقام محدودة (لاحظ ذلك 
هناك تشتت r.v. 
-
« اللحظة المركزية من الدرجة الثالثة").
إذا كان في 
,
ثم سوف نقول أن التسلسل 
استوفي حالة لابونوف.
على وجه الخصوص، CLT للحالات التي يكون فيها لكل مصطلح نفس التوزيع في مجموع المتغيرات العشوائية، أي. كل شيء و 
ثم يتم استيفاء شرط ليابونوف
وهي، في الممارسة العملية، يتم استخدام هذه الحالة من CLT في أغلب الأحيان. لأنه في الإحصاء الرياضي أي عينة عشوائية من r.v. لها توزيعات متطابقة لأن "العينات" مأخوذة من نفس السكان.
دعونا نصوغ هذه الحالة كبيان منفصل لمعاهدة CLT.
نظرية 10.7 (CPT).دع المتغيرات العشوائية
مستقلة على قدم المساواةموزعة، ولها توقعات رياضية محدودة 
والتباين 
ثم وظيفة التوزيع للمجموع المركزي والمطبيع لهذه r.v. في 
يميل إلى دالة التوزيع لمتغير عشوائي عادي قياسي:
(27)
في هذه الحالة بالذات، من الجيد أن نفهم كيف يتجلى "الصغر" الموحد للمصطلحات، 
أين هي القيمة 
لديه أمر 
، والقيمة 
طلب 
وبذلك تكون نسبة الكمية الأولى إلى الثانية تميل إلى 0.
الآن أصبحنا قادرين على صياغة نظرية الحد المركزي على صورة A.M. ليابونوفا.
نظرية 10.8. (لابونوف).إذا كان التسلسل 
من المتغيرات العشوائية المستقلة تحقق شرط ليابونوف، فإن العلاقة الحدية صحيحة
(28)
,
لأي 
و 
، حيث ( 
.
وبعبارة أخرى، في هذه الحالة، قانون توزيع المبلغ الطبيعي 
يتقارب مع القانون الطبيعي مع المعلمات 
تجدر الإشارة إلى أنه لإثبات CPT A.M. طور لابونوف طريقة خاصة تعتمد على نظرية ما يسمى بالوظائف المميزة. تبين أن هذه الطريقة مفيدة جدًا في فروع الرياضيات الأخرى (انظر إثبات CLT، على سبيل المثال، في كتاب Borodin […]). وسنقدم في هذا الكتاب معلومات مختصرة عن توليد الدوال وبعض التطبيقات لحساب الخصائص العددية للمتغيرات العشوائية.
معلومات موجزة عن خطأ القياس.ومن المعروف أنه عند تكرار قياسات نفس الكائن، التي يتم إجراؤها بنفس أداة القياس بنفس العناية (تحت نفس الظروف)، لا يتم تحقيق نفس النتائج دائمًا. يرجع سبب تشتت نتائج القياس إلى حقيقة أن عملية القياس تتأثر بعوامل عديدة ليس من الممكن أو من المستحسن أخذها في الاعتبار. في هذه الحالة، غالبًا ما يمكن اعتبار الخطأ الذي ينشأ عند قياس كمية تهمنا بمثابة مجموع عدد كبير من المصطلحات المستقلة، والتي لا يقدم كل منها سوى مساهمة بسيطة في تكوين المجموع بأكمله. لكن مثل هذه الحالات تقودنا على وجه التحديد إلى شروط تطبيق نظرية ليابونوف، ويمكننا أن نتوقع أن توزيع خطأ الكمية المقاسة يختلف قليلاً عن التوزيع الطبيعي.
بشكل أكثر عمومية، الخطأ هو دالة لعدد كبير من الوسائط العشوائية، كل واحدة منها تختلف قليلاً عن قيمتها المتوقعة. من خلال جعل هذه الوظيفة خطية، أي استبدالها بوظيفة خطية، نأتي مرة أخرى إلى الحالة السابقة. إن الخبرة المتراكمة في المعالجة الإحصائية لنتائج القياس تؤكد بالفعل هذه الحقيقة في معظم الحالات العملية.
يشرح المنطق المماثل ظهور التوزيع الطبيعي في انحرافات المعلمات التي تحدد المنتج النهائي (المنتج) الذي تم إصداره عن القيم القياسية في الإنتاج الضخم.
النظر في المثال التالي.
مثال 5.المتغيرات العشوائية المستقلة 
موزعة بشكل موحد على الجزء. ابحث عن قانون التوزيع r.v. 
، وكذلك احتمال ذلك 
حل.تم استيفاء شروط CPT، وبالتالي فإن r.v. 
لديه كثافة التوزيع تقريبا
وفقًا للصيغ المعروفة لـ m.o. والتباين في حالة التوزيع الموحد نجد : ثم
وبالاعتماد على الصيغة (26) نجد (مع مراعاة القيم المجدولة لدالة لابلاس)
ترتبط العديد من المسائل التلفزيونية بدراسة مجموع المتغيرات العشوائية المستقلة، والتي، في ظل ظروف معينة، يكون توزيعها قريبًا من الطبيعي. يتم التعبير عن هذه الشروط من خلال نظرية الحد المركزي (CLT).
دع ξ 1، ξ 2، …، ξ n، … تكون سلسلة من المتغيرات العشوائية المستقلة. دعونا نشير
ن η = ξ 1 + ξ 2 +…+ ξ n. يقولون أن CTP ينطبق على التسلسل ξ 1، ξ 2، ...، ξ n، ...
إذا كان n → ∞ فإن قانون التوزيع η n يميل إلى الوضع الطبيعي:
جوهر CLT: مع زيادة غير محدودة في عدد المتغيرات العشوائية، يميل قانون توزيع مجموعها إلى الوضع الطبيعي.
نظرية الحد المركزي ليابونوف
قانون الأعداد الكبيرة لا يفحص شكل قانون الحد الأقصى لتوزيع مجموع المتغيرات العشوائية. وينظر هذا السؤال في مجموعة من النظريات تسمى نظرية الحد المركزي.ويجادلون بأن قانون توزيع مجموع المتغيرات العشوائية، التي يمكن أن يكون لكل منها توزيعات مختلفة، يقترب من الوضع الطبيعي عندما يكون عدد المصطلحات كبيرًا بما فيه الكفاية. وهذا ما يفسر أهمية القانون العادي للتطبيقات العملية.
وظائف مميزة.
لإثبات نظرية الحد المركزي، يتم استخدام طريقة الدوال المميزة.
التعريف 14.1.وظيفة مميزةمتغير عشوائي Xتسمى وظيفة
ز(ر) = م (ه itX) (14.1)
هكذا، ز (ر) يمثل التوقع الرياضي لبعض المتغيرات العشوائية المعقدة U = ه itX، المرتبطة بالقيمة X. على وجه الخصوص، إذا Xهو متغير عشوائي منفصل تحدده سلسلة التوزيع
. (14.2)
لمتغير عشوائي مستمر مع كثافة التوزيع F(س)
(14.3)
مثال 1. دع X– عدد 6 نقاط يتم الحصول عليها برمية واحدة من النرد. ثم حسب الصيغة (14.2) ز(ر) = 
مثال 2. أوجد الدالة المميزة لمتغير عشوائي مستمر تم توزيعه وفقًا للقانون العادي 
. وفقا للصيغة (14.3) (استخدمنا الصيغة 
و ماذا أنا² = -1).
خصائص الوظائف المميزة.
1. الوظيفة F(س) يمكن العثور عليها باستخدام الدالة المعروفة ز(ر) وفقا للصيغة
(14.4)
(يسمى التحول (14.3). تحويل فورييهوالتحول (14.4) - تحويل فورييه معكوس).
2. إذا كانت المتغيرات عشوائية Xو يالمرتبطة بالعلاقة ص = الفأس، ثم ترتبط وظائفها المميزة بالعلاقة
ز ذ (ر) = ز س (في). (14.5)
3. الدالة المميزة لمجموع المتغيرات العشوائية المستقلة تساوي منتج الدوال المميزة للمصطلحات: ل
النظرية 14.1 (نظرية الحد المركزي للحدود الموزعة بشكل متطابق).لو X 1 , X 2 ,…, × ص،… - متغيرات عشوائية مستقلة لها نفس قانون التوزيع، التوقع الرياضي توالتباين σ 2، ثم مع زيادة غير محدودة صقانون توزيع المبلغ إلى أجل غير مسمى يقترب من الطبيعي.
دليل.
دعونا نثبت نظرية المتغيرات العشوائية المستمرة X 1 , X 2 ,…, × ص(الدليل على الكميات المنفصلة مشابه). وفقا لشروط النظرية، فإن الوظائف المميزة للمصطلحات متطابقة: 
ثم، حسب الخاصية 3، الوظيفة المميزة للمجموع ينسيتم توسيع الوظيفة ز س(ر) في سلسلة ماكلورين:
، اين .
افترض أن ت= 0 (أي نقل الأصل إلى النقطة ت)، الذي - التي .
(لأن ت= 0). بالتعويض عن النتائج التي تم الحصول عليها في صيغة ماكلورين، نجد ذلك
.
النظر في متغير عشوائي جديد مختلف عن ينفي ذلك تشتت لأي صيساوي 0. منذ ينو الزنكترتبط بعلاقة خطية، يكفي إثبات ذلك الزنكموزعة وفقًا لقانون عادي، أو، وهو نفس الشيء، أن وظيفتها المميزة تقترب من الوظيفة المميزة للقانون العادي (انظر المثال 2). من خلال خاصية الوظائف المميزة
دعونا لوغاريتم التعبير الناتج:
أين 
دعونا نضعها على التوالي في ص→ ∞، نقتصر على حدين من التوسعة، ثم ln(1 - ك) ≈ - ك.
حيث الحد الأخير هو 0، منذ في . لذلك، 
، إنه 
- الوظيفة المميزة للتوزيع الطبيعي. لذلك، مع زيادة غير محدودة في عدد المصطلحات، فإن الوظيفة المميزة للكمية الزنكيقترب بشكل غير محدود من الوظيفة المميزة للقانون العادي؛ وبالتالي قانون التوزيع الزنك(و ين) يقترب من الطبيعي بلا حدود. لقد تم إثبات النظرية.
أثبت A.M.Lyapunov نظرية الحد المركزي للظروف ذات الشكل الأكثر عمومية:
نظرية 14.2 (نظرية ليابونوف).إذا كان المتغير العشوائي Xهو مجموع عدد كبير جدًا من المتغيرات العشوائية المستقلة التي يتحقق لها الشرط التالي:
أين ب ك- اللحظة المركزية المطلقة الثالثة من حيث الحجم × ك، أ د.كهو تباينه، إذن Xله توزيع قريب من الطبيعي (حالة ليابونوف تعني أن تأثير كل مصطلح على المجموع لا يكاد يذكر).
من الناحية العملية، من الممكن استخدام نظرية الحد المركزي مع عدد صغير بما فيه الكفاية من المصطلحات، لأن الحسابات الاحتمالية تتطلب دقة منخفضة نسبيًا. تظهر التجربة أنه بالنسبة لمجموع عشرة مصطلحات أو أقل، يمكن استبدال قانون توزيعها بقانون عادي.
قانون الأعداد الكبيرة الذي تمت مناقشته أعلاه يثبت حقيقة أن متوسط عدد كبير من المتغيرات العشوائية يقترب من ثوابت معينة، لكن هذا لا يحد من الأنماط التي تنشأ نتيجة للفعل الكلي للمتغيرات العشوائية. اتضح أنه في ظل بعض الظروف العامة جدًا، يؤدي العمل المشترك لعدد كبير من المتغيرات العشوائية إلى y معين، وهو قانون توزيع y الطبيعي.
نظرية الحد المركزيهي مجموعة من النظريات المخصصة لتحديد الشروط التي ينشأ بموجبها قانون التوزيع الطبيعي. ومن بين هذه النظريات، المكان الأكثر أهمية هو نظرية ليابونوف.
نظرية لابونوف. إذا × ( , × ه ..., , لكل منها توقع رياضي M(X g) = أ,
التشتت 0(د= أ 2، اللحظة المركزية المطلقة من الدرجة الثالثةو 
ثم قانون توزيع المبلغ 
عندما ن ->س لا يقتصر
لكنه يقترب من الطبيعي مع التوقعات الرياضية والتباين
نحن نقبل النظرية دون دليل.
تقريب غير محدود لقانون توزيع المبلغ 
للقانون العادي ل ن -> أو وفقا لخصائص القانون العادي يعني ذلك
حيث Ф(r) هي دالة لابلاس (2.11).
ومعنى الشرط (6.20) أن لا يكون المجموع
المصطلحات التي لها تأثير على التشتت أعلىكبيرة بشكل ساحق مقارنة بتأثير جميع المصطلحات الأخرى، ولا ينبغي أن يكون هناك عدد كبير من المصطلحات العشوائية التي يكون تأثيرها صغيراً جداً مقارنة بالتأثير الكلي للمصطلحات الأخرى. هكذا، يجب أن يميل الوزن النوعي لكل مصطلح على حدة إلى الصفر مع زيادة عدد المصطلحات.
لذلك، على سبيل المثال، يمكن تمثيل استهلاك الكهرباء للاحتياجات المنزلية شهريًا في كل شقة في مبنى سكني على النحو التالي: صمتغيرات عشوائية مختلفة إذا كان استهلاك الكهرباء في كل شقة لا يبرز بشكل حاد عن البقية من حيث قيمته، فبناءً على نظرية ليابونوف، يمكننا أن نفترض أن استهلاك الكهرباء للمنزل بأكمله، أي. مجموع صالمتغيرات العشوائية المستقلة هي متغير عشوائي له قانون توزيع طبيعي تقريبًا. على سبيل المثال، إذا كان مركز الكمبيوتر موجودًا في أحد مباني المنزل، فإن مستوى استهلاك الكهرباء أعلى بما لا يقاس منه في كل شقة للاحتياجات المنزلية، ثم الاستنتاج حول التوزيع الطبيعي تقريبًا لاستهلاك الكهرباء للمنزل بأكمله سيكون غير صحيح، حيث تم انتهاك الشرط (6.20) لأن استهلاك الكهرباء لمركز الكمبيوتر سيلعب دورا رئيسيا في تكوين كامل كمية الاستهلاك.
مثال آخر. مع التشغيل المستقر والجيد للآلات، وتوحيد المواد التي تتم معالجتها، وما إلى ذلك. يأخذ الاختلاف في جودة المنتج شكل قانون التوزيع الطبيعي نظرًا لأن خطأ الإنتاج هو نتيجة الفعل الإجمالي لعدد كبير من المتغيرات العشوائية: خطأ الآلة أو الأداة أو العامل وما إلى ذلك.
عاقبة. إذا كان X (، X 2، ..., X n - متغيرات عشوائية مستقلة, التي لها توقعات رياضية متساوية M(X () = أ, التشتت 0(X,) = 2 واللحظات المركزية المطلقة للثالث
ترتيب ثم قانون توزيع المبلغ
في ن->مع يقترب إلى أجل غير مسمى من الطبيعي
قانون.
يتلخص الإثبات في شرط التحقق (6.20):
ولذلك فإن المساواة (6.21) صحيحة أيضًا. ؟
بخاصة، إذا كانت جميع المتغيرات العشوائية X) موزعة بالتساوي, فإن قانون توزيع مجموعها إلى أجل غير مسمى يقترب من القانون الطبيعي كـ n ->س.
دعونا نوضح هذه العبارة بمثال جمع المتغيرات العشوائية المستقلة التي لها توزيع منتظم على الفترة (0، 1). يظهر منحنى التوزيع لأحد هذه المتغيرات العشوائية في الشكل. 6.2، أ.في التين. 6.2، بيوضح الكثافة الاحتمالية لمجموع اثنين من هذه المتغيرات العشوائية (انظر المثال 5.9)، وفي الشكل. 6.2، الخامس -كثافة الاحتمال لمجموع ثلاثة متغيرات عشوائية من هذا القبيل (يتكون الرسم البياني الخاص به من ثلاثة أجزاء من القطع المكافئة على الفواصل (0؛ 1)، (1؛ 2) و (2؛ 3)، ومع ذلك، فهو يشبه بالفعل منحنى عادي) .
إذا قمت بإضافة ستة متغيرات عشوائية من هذا القبيل، فستحصل على متغير عشوائي بكثافة احتمالية لا تختلف عمليا عن المتغير العادي.
والآن لدينا الفرصة لإثبات ذلك النظريات المحلية والتكاملية لموافر - لابلاس(انظر الفقرة 2.3).
النظر في المتغير العشوائي 
- عدد مرات حدوث الحدث صتجارب مستقلة، في كل منها يمكن أن تظهر بنفس الاحتمال ص، أي. X = ت -متغير عشوائي له قانون التوزيع ذي الحدين الذي يكون له التوقع الرياضي م(س) = العلاقات العامةوالتباين O(X) = العلاقات العامة.
المتغير العشوائي 7، تمامًا مثل المتغير العشوائي X، هو بشكل عام منفصل، ولكن لعدد كبير صالاختبارات، وتقع قيمها على محور الإحداثي السيني بشكل وثيق بحيث يمكن اعتبارها متواصلة مع كثافة الاحتمال сп(x).
لنجد الخصائص العددية للمتغير العشوائي 7 باستخدام خصائص التوقع الرياضي والتشتت:
نظرا لكون المتغير العشوائي Xهو مجموع المتغيرات العشوائية البديلة المستقلة (انظر الفقرة 4.1)، المتغير العشوائي 2 يمثل أيضًا مجموع المتغيرات العشوائية المستقلة والموزعة بشكل متماثل، وبالتالي يعتمد على نظرية الحد المركزي لعدد كبير صلديه توزيع قريب من القانون الطبيعي مع المعلمات أ = 0, مع 2 = 1. باستخدام الخاصية (4.32) من القانون العادي، مع الأخذ في الاعتبار المساواة (4.33)، نحصل على
الاعتقاد 
مع الأخذ في الاعتبار ما نحصل عليه،
أن المتباينة المزدوجة بين القوسين تعادل المتباينة ونتيجة لذلك نحصل على الصيغة (6.22). صيغة متكاملة من Moivre - لابلاس (2.10):
احتمالا ر ر صأن الحدث أسوف يحدث تمرة كل صاختبارات مستقلة، يمكن كتابتها تقريبا في النموذج
الأقل في،وأكثر دقة المساواة التقريبية. الحد الأدنى (عدد صحيح) في - 1. لذلك، مع الأخذ في الاعتبار الصيغتين (6.23) و (6.22)، يمكننا أن نكتب:
أين 
للمديرية العامة الصغيرة لدينا
حيث f(g) هي كثافة المتغير العشوائي القياسي الموزع بشكل طبيعي مع المعلمات أ = 0، و2 = 1، أي.
على افتراض من الصيغة
(6.25) مع مراعاة المساواة (6.24) نحصل عليها Moivre المحلية - صيغة لابلاس (2.7):
تعليق. يجب توخي بعض الحذر عند تطبيق نظرية الحد المركزي في البحث الإحصائي. لذلك، إذا كان المبلغ في ص -> س دائما لديه قانون عادي
التوزيع فإن نسبة التقارب إليه تعتمد بشكل كبير على نوع توزيع مصطلحاته. لذلك، على سبيل المثال، كما هو مذكور أعلاه، عند جمع المتغيرات العشوائية الموزعة بشكل موحد، بالفعل مع 6-10 مصطلحات، يمكن تحقيق القرب الكافي من القانون العادي، في حين تحقيق نفس القرب عند جمع x 2 - المصطلحات العشوائية الموزعة، أكثر من 100 ستكون هناك حاجة إلى الشروط.
واستنادا إلى نظرية الحد المركزي، يمكن القول أن تلك التي تم النظر فيها في الفصل. 4 متغيرات عشوائية لها قوانين التوزيع - ذات الحدين، بواسون، الهندسة الفائقة، ذ)("مربع كاي")، ب(اختبار الطالب)، في ن-> oo يتم توزيعها بشكل مقارب بشكل طبيعي.
نظرية الحد المركزي (CLT) هي المجموعة الثانية من نظريات الحد التي تحدد العلاقة بين قانون التوزيع مجموع المتغيرات العشوائيةوشكله النهائي قانون التوزيع الطبيعي.
لقد تحدثنا حتى الآن كثيرًا عن ثبات متوسط خصائص عدد كبير من الاختبارات، أو بتعبير أدق، عن ثبات مجاميع النموذج
ومع ذلك، تجدر الإشارة إلى أن القيمة 
عشوائي، وهو ما يعني أنه لديه بعض قانون التوزيع. وتبين أن هذه الحقيقة الرائعة تشكل المحتوى
مجموعة أخرى من النظريات، متحدة تحت الاسم العام الحد المركزينظرية، أنه في ظل ظروف عامة إلى حد ما قانون التوزيع 
قريبة من القانون العادي.
منذ القيمة 
يختلف عن المبلغ
مجرد عامل ثابت 
ومن ثم، بشكل عام، يمكن صياغة محتوى CLT على النحو التالي.
توزيع مجموع عدد كبير من المتغيرات العشوائية المستقلة مع جدا
الشروط العامة قريبة من قانون التوزيع الطبيعي.
ومن المعروف أن المتغيرات العشوائية الموزعة بشكل طبيعي تستخدم على نطاق واسع في الممارسة العملية (ليس فقط في نظرية الاحتمالات، ولكن أيضًا في تطبيقاتها العديدة). ما الذي يفسر هذه الظاهرة؟ تم تقديم الإجابة على مثل هذه "الظاهرة" لأول مرة من قبل عالم الرياضيات الروسي المتميز أ.م. ليابونوف في عام 1901: "نظرية الحد المركزي ليابونوف". تكمن إجابة لابونوف في شروطه التي يتم بموجبها عقد CLT (انظر أدناه).
ومن أجل إعداد صياغة دقيقة لاتفاقية CLT، دعونا نسأل أنفسنا سؤالين:
1.
ما هو المعنى الدقيق لعبارة "قانون توزيع المبلغ 
"قريب" من القانون العادي؟
2. وما هي الشروط التي يكون فيها هذا القرب صحيحا؟
للإجابة على هذه الأسئلة، فكر في تسلسل لا نهائي من المتغيرات العشوائية: 
دعونا نؤلف "مبالغ جزئية" لتسلسلنا من r.v. 
(23)
من كل متغير عشوائي 
دعنا ننتقل إلى المتغير العشوائي "المطبيع".
(24)
لقد أثبتنا (انظر البند 8، الفقرة 3، المساواة (19)) ذلك 
.
يمكن الآن صياغة إجابة السؤال الأول بدلالة حد المساواة
(25)
,
(
,
وهذا يعني أن قانون توزيع r.v. 
مع النمو 
يقترب من القانون العادي مع 
. وبطبيعة الحال، من حقيقة أن القيمة 
له توزيع طبيعي تقريبًا، ويترتب على ذلك أن القيمة 
موزعة بشكل طبيعي تقريبًا،
(26)
صيغة لتحديد احتمال أن يكون مجموع عدة r.v. سيكون ضمن الحدود المحددة. غالبًا ما يستخدم CPT 
فيما يتعلق بالشروط التي يجب فرضها على الكميات 
ويمكن وضع الاعتبارات التالية. دعونا نفكر في الفرق 
نحصل على انحراف r.v. 
من توقعاتها الرياضية. المعنى العام للشروط المفروضة على الكميات 
هو أن الانحرافات الفردية 
يجب أن تكون صغيرة بشكل موحد مقارنة بالانحراف الكلي 
تم تقديم الصيغة الدقيقة لهذه الشروط التي بموجبها تكون العلاقة الحدية صالحة بواسطة M.A. لابونوف في عام 1901. وهي كالاتي.
السماح لكل من الكميات 
الأرقام محدودة (لاحظ ذلك 
هناك تشتت r.v. 
-
« اللحظة المركزية من الدرجة الثالثة").
إذا كان في 
,
ثم سوف نقول أن التسلسل 
استوفي حالة لابونوف.
على وجه الخصوص، CLT للحالات التي يكون فيها لكل مصطلح نفس التوزيع في مجموع المتغيرات العشوائية، أي. كل شيء و 
ثم يتم استيفاء شرط ليابونوف
وهي، في الممارسة العملية، يتم استخدام هذه الحالة من CLT في أغلب الأحيان. لأنه في الإحصاء الرياضي أي عينة عشوائية من r.v. لها توزيعات متطابقة لأن "العينات" مأخوذة من نفس السكان.
دعونا نصوغ هذه الحالة كبيان منفصل لمعاهدة CLT.
نظرية 10.7 (CPT).دع المتغيرات العشوائية
مستقلة على قدم المساواةموزعة، ولها توقعات رياضية محدودة 
والتباين 
ثم وظيفة التوزيع للمجموع المركزي والمطبيع لهذه r.v. في 
يميل إلى دالة التوزيع لمتغير عشوائي عادي قياسي:
(27)
في هذه الحالة بالذات، من الجيد أن نفهم كيف يتجلى "الصغر" الموحد للمصطلحات، 
أين هي القيمة 
لديه أمر 
، والقيمة 
طلب 
وبذلك تكون نسبة الكمية الأولى إلى الثانية تميل إلى 0.
الآن أصبحنا قادرين على صياغة نظرية الحد المركزي على صورة A.M. ليابونوفا.
نظرية 10.8. (لابونوف).إذا كان التسلسل 
من المتغيرات العشوائية المستقلة تحقق شرط ليابونوف، فإن العلاقة الحدية صحيحة
(28)
,
لأي 
و 
، حيث ( 
.
وبعبارة أخرى، في هذه الحالة، قانون توزيع المبلغ الطبيعي 
يتقارب مع القانون الطبيعي مع المعلمات 
تجدر الإشارة إلى أنه لإثبات CPT A.M. طور لابونوف طريقة خاصة تعتمد على نظرية ما يسمى بالوظائف المميزة. تبين أن هذه الطريقة مفيدة جدًا في فروع الرياضيات الأخرى (انظر إثبات CLT، على سبيل المثال، في كتاب Borodin […]). وسنقدم في هذا الكتاب معلومات مختصرة عن توليد الدوال وبعض التطبيقات لحساب الخصائص العددية للمتغيرات العشوائية.
معلومات موجزة عن خطأ القياس.ومن المعروف أنه عند تكرار قياسات نفس الكائن، التي يتم إجراؤها بنفس أداة القياس بنفس العناية (تحت نفس الظروف)، لا يتم تحقيق نفس النتائج دائمًا. يرجع سبب تشتت نتائج القياس إلى حقيقة أن عملية القياس تتأثر بعوامل عديدة ليس من الممكن أو من المستحسن أخذها في الاعتبار. في هذه الحالة، غالبًا ما يمكن اعتبار الخطأ الذي ينشأ عند قياس كمية تهمنا بمثابة مجموع عدد كبير من المصطلحات المستقلة، والتي لا يقدم كل منها سوى مساهمة بسيطة في تكوين المجموع بأكمله. لكن مثل هذه الحالات تقودنا على وجه التحديد إلى شروط تطبيق نظرية ليابونوف، ويمكننا أن نتوقع أن توزيع خطأ الكمية المقاسة يختلف قليلاً عن التوزيع الطبيعي.
بشكل أكثر عمومية، الخطأ هو دالة لعدد كبير من الوسائط العشوائية، كل واحدة منها تختلف قليلاً عن قيمتها المتوقعة. من خلال جعل هذه الوظيفة خطية، أي استبدالها بوظيفة خطية، نأتي مرة أخرى إلى الحالة السابقة. إن الخبرة المتراكمة في المعالجة الإحصائية لنتائج القياس تؤكد بالفعل هذه الحقيقة في معظم الحالات العملية.
يشرح المنطق المماثل ظهور التوزيع الطبيعي في انحرافات المعلمات التي تحدد المنتج النهائي (المنتج) الذي تم إصداره عن القيم القياسية في الإنتاج الضخم.
النظر في المثال التالي.
مثال 5.المتغيرات العشوائية المستقلة 
موزعة بشكل موحد على الجزء. ابحث عن قانون التوزيع r.v. 
، وكذلك احتمال ذلك 
حل.تم استيفاء شروط CPT، وبالتالي فإن r.v. 
لديه كثافة التوزيع تقريبا
وفقًا للصيغ المعروفة لـ m.o. والتباين في حالة التوزيع الموحد نجد : ثم
وبالاعتماد على الصيغة (26) نجد (مع مراعاة القيم المجدولة لدالة لابلاس)
وبما أن العديد من المتغيرات العشوائية في التطبيقات تتشكل تحت تأثير عدة عوامل عشوائية ضعيفة الاعتماد، فإن توزيعها يعتبر طبيعيا. وفي هذه الحالة، يجب استيفاء شرط عدم سيطرة أي من العوامل. تبرر نظريات الحد المركزي في هذه الحالات استخدام التوزيع الطبيعي.
يوتيوب الموسوعي
-
1 / 5
يجب أن يكون هناك تسلسل لا نهائي من المتغيرات العشوائية المستقلة الموزعة بشكل متماثل ولها توقع وتباين محدود. دعونا نشير إلى هذا الأخير μ (\displaystyle \mu )و σ 2 (\displaystyle \sigma ^(2))، على التوالى. دعونا أيضا
. S n − μ n σ n → N (0 , 1) (\displaystyle (\frac (S_(n)-\mu n)(\sigma (\sqrt (n))))\إلى N(0,1) )بالتوزيع على ,أين ن (0 , 1) (\displaystyle N(0,1))- التوزيع الطبيعي مع توقع رياضي صفر وانحراف معياري يساوي واحد. من خلال رمز متوسط العينة للأول ن (\displaystyle n)الكميات، أي X ¯ n = 1 n ∑ i = 1 n X i (\displaystyle (\bar (X))_(n)=(\frac (1)(n))\sum \limits _(i=1)^( ن)X_(ط))يمكننا إعادة كتابة نتيجة نظرية الحد المركزي على النحو التالي:
n X ¯ n − μ σ → N (0 , 1) (\displaystyle (\sqrt (n))(\frac ((\bar (X))_(n)-\mu )(\sigma ))\to ن(0,1))بالتوزيع على n → ∞ (\displaystyle n\to \infty ).يمكن تقدير معدل التقارب باستخدام متباينة بيري-إيسين.
ملحوظات
- بشكل غير رسمي، تنص نظرية النهاية المركزية الكلاسيكية على أن المجموع ن (\displaystyle n)المتغيرات العشوائية المستقلة الموزعة بشكل متماثل لها توزيع قريب من N (n μ , n σ 2) (\displaystyle N(n\mu ,n\sigma ^(2))). على قدم المساواة، X ¯ n (\displaystyle (\bar (X))_(n))لديه توزيع قريب من N (μ , σ 2 / n) (\displaystyle N(\mu ,\sigma ^(2)/n)).
- بما أن دالة التوزيع للتوزيع الطبيعي القياسي مستمرة، فإن التقارب في هذا التوزيع يعادل التقارب النقطي لدوال التوزيع مع دالة التوزيع للتوزيع الطبيعي القياسي. وضع Z n = S n − μ n σ n (\displaystyle Z_(n)=(\frac (S_(n)-\mu n)(\sigma (\sqrt (n)))))، نحن نحصل F Z n (x) → Φ (x) , ∀ x ∈ R (\displaystyle F_(Z_(n))(x)\to \Phi (x),\;\forall x\in \mathbb (R)) )، أين Φ (x) (\displaystyle \Phi (x))- دالة التوزيع للتوزيع الطبيعي القياسي.
- تم إثبات نظرية الحد المركزي في الصيغة الكلاسيكية بطريقة الدوال المميزة (نظرية استمرارية ليفي).
- بشكل عام، تقارب وظائف التوزيع لا يعني تقارب الكثافات. ومع ذلك، في هذه الحالة الكلاسيكية هذا هو الحال.
C.P.T المحلي
وفي ظل فرضيات الصيغة الكلاسيكية، فلنفترض بالإضافة إلى ذلك توزيع المتغيرات العشوائية ( X i ) i = 1 ∞ (\displaystyle \(X_(i)\)_(i=1)^(\infty ))مستمرة تمامًا، أي أن لها كثافة. ثم يكون التوزيع أيضًا مستمرًا تمامًا، علاوة على ذلك،
f Z n (x) → 1 2 π e − x 2 2 (\displaystyle f_(Z_(n))(x)\to (\frac (1)(\sqrt (2\pi )))\,e^ ((-(\frac (x^(2))(2))))في n → ∞ (\displaystyle n\to \infty ),أين و Z n (x) (\displaystyle f_(Z_(n))(x))- كثافة المتغير العشوائي ض ن (\displaystyle Z_(n))وعلى الجانب الأيمن كثافة التوزيع الطبيعي القياسي.
التعميمات
إن نتيجة نظرية الحد المركزي الكلاسيكية صالحة لمواقف أكثر عمومية من الاستقلال الكامل والتوزيع المتساوي.
سي بي تي ليندبرج
دع المتغيرات العشوائية المستقلة X 1 , … , X n , … (\displaystyle X_(1),\ldots ,X_(n),\ldots )يتم تعريفها على نفس مساحة الاحتمالية ولها توقعات وتباينات محدودة: E [ X i ] = μ i , D [ X i ] = σ i 2 (\displaystyle \mathbb (E) =\mu _(i),\;\mathrm (D) =\sigma _(i)^( 2)).
يترك S n = ∑ i = 1 n X i (\displaystyle S_(n)=\sum \limits _(i=1)^(n)X_(i)).
ثم E [ S n ] = m n = ∑ i = 1 n μ i , D [ S n ] = s n 2 = ∑ i = 1 n σ i 2 (\displaystyle \mathbb (E) =m_(n)=\sum \ حدود _(i=1)^(n)\mu _(i),\;\mathrm (D) =s_(n)^(2)=\sum \limits _(i=1)^(n)\ سيجما_(ط)^(2)).
ودعها يتم حالة ليندبرج:
∀ ε > 0 , lim n → ∞ ∑ i = 1 n E [ (X i − μ i) 2 s n 2 1 ( | X i − μ i | > ε s n ) ] = 0 , (\displaystyle \forall \varepsilon >0,\;\lim \limits _(n\to \infty )\sum \limits _(i=1)^(n)\mathbb (E) \left[(\frac ((X_(i)-\ mu _(i))^(2))(s_(n)^(2)))\,\mathbf (1) _(\(|X_(i)-\mu _(i)|>\varepsilon s_ (ن)\))\يمين]=0،)أين 1 ( | X i − μ i | > ε s n ) (\displaystyle \mathbf (1) _(\(|X_(i)-\mu _(i)|>\varepsilon s_(n)\))))وظيفة - المؤشر.
بالتوزيع على n → ∞ (\displaystyle n\to \infty ).T. T. Lyapunova
دع الافتراضات الأساسية لـ C. P. T. Lindeberg تكون راضية. دع المتغيرات العشوائية ( X i ) (\displaystyle \(X_(i)\))لديك لحظة ثالثة محدودة. ثم يتم تعريف التسلسل
r n 3 = ∑ i = 1 n E [ | X أنا − μ أنا | 3 ] (\displaystyle r_(n)^(3)=\sum _(i=1)^(n)\mathbb (E) \left[|X_(i)-\mu _(i)|^(3 )\يمين]).إذا كان الحد
lim n → ∞ r n s n = 0 (\displaystyle \lim \limits _(n\to \infty )(\frac (r_(n))(s_(n)))=0) (حالة لابونوف), S n − m n s n → N (0 , 1) (\displaystyle (\frac (S_(n)-m_(n))(s_(n)))\to N(0,1))بالتوزيع على n → ∞ (\displaystyle n\to \infty ).C.P.T
دع العملية (X n) n ∈ N (\displaystyle (X_(n))_(n\in \mathbb (N)) ))هو مارتينجال بزيادات محدودة. على وجه الخصوص، دعونا نفترض ذلك
E [ X n + 1 − X n ∣ X 1 , … , X n ] = 0 , n ∈ N , X 0 ≡ 0 , (\displaystyle \mathbb (E) \left=0,\;n\in \mathbb (ن) ,\;X_(0)\equiv 0,)والزيادات محدودة بشكل موحد، أي
∃ ج > 0 ∀ ن ∈ ن | X ن + 1 − X ن | ≥ C (\displaystyle \exists C>0\,\forall n\in \mathbb (N) \;|X_(n+1)-X_(n)|\leq C) τ n = دقيقة ( ك | ∑ i = 1 ك σ i 2 ≥ n ) (\displaystyle \tau _(n)=\min \left\(k\left\vert \;\sum _(i=1)^ (ك)\سيجما _(i)^(2)\geq n\right.\right\)). X τ n n → N (0 , 1) (\displaystyle (\frac (X_(\tau _(n)))(\sqrt (n)))\to N(0,1))بالتوزيع على n → ∞ (\displaystyle n\to \infty ).