يبدو أن تحويل الكسر العشري إلى كسر عادي هو موضوع أساسي، لكن الكثير من الطلاب لا يفهمونه! لذلك، سنلقي اليوم نظرة مفصلة على العديد من الخوارزميات في وقت واحد، والتي من خلالها ستفهم أي كسور في ثانية واحدة فقط.
اسمحوا لي أن أذكرك أن هناك على الأقل شكلين لكتابة نفس الكسر: المشترك والعشري. الكسور العشرية هي جميع أنواع الإنشاءات ذات الشكل 0.75؛ 1.33؛ وحتى −7.41. فيما يلي أمثلة على الكسور العادية التي تعبر عن نفس الأرقام:
الآن دعونا نكتشف ذلك: كيف ننتقل من التدوين العشري إلى التدوين العادي؟ والأهم من ذلك: كيف يتم ذلك في أسرع وقت ممكن؟
الخوارزمية الأساسية
في الواقع، هناك خوارزميتان على الأقل. وسوف ننظر في كليهما الآن. لنبدأ بالأول - الأبسط والأكثر قابلية للفهم.
لتحويل عدد عشري إلى كسر، عليك اتباع ثلاث خطوات:
ملاحظة هامة حول الأرقام السالبة. إذا كان هناك في المثال الأصلي علامة ناقص أمام الكسر العشري، فيجب أن يكون هناك أيضًا علامة ناقص أمام الكسر العشري في الناتج. وفيما يلي بعض الأمثلة أكثر:
أمثلة على الانتقال من التدوين العشري للكسور إلى الكسور العادية أود أن أهتم بشكل خاص بالمثال الأخير. كما ترون، الكسر 0.0025 يحتوي على العديد من الأصفار بعد العلامة العشرية. ولهذا السبب، يتعين عليك ضرب البسط والمقام في 10 بما يصل إلى أربع مرات. هل من الممكن تبسيط الخوارزمية بطريقة أو بأخرى في هذه الحالة؟
بالتأكيد تستطيع. والآن سننظر إلى خوارزمية بديلة - من الصعب فهمها قليلاً، ولكن بعد القليل من الممارسة تعمل بشكل أسرع بكثير من الخوارزمية القياسية.
طريقة أسرع
تحتوي هذه الخوارزمية أيضًا على 3 خطوات. للحصول على كسر من عدد عشري قم بما يلي:
- حساب عدد الأرقام بعد العلامة العشرية. على سبيل المثال، الكسر 1.75 يحتوي على رقمين من هذا القبيل، والكسر 0.0025 يحتوي على أربعة. دعونا نشير إلى هذه الكمية بالحرف $n$.
- أعد كتابة الرقم الأصلي ككسر من النموذج $\frac(a)(((10)^(n)))$، حيث $a$ هي جميع أرقام الكسر الأصلي (بدون أصفار "البداية" في اليسار، إن وجد)، و$n$ هو نفس عدد الأرقام بعد العلامة العشرية التي حسبناها في الخطوة الأولى. بمعنى آخر، تحتاج إلى تقسيم أرقام الكسر الأصلي على رقم واحد متبوعًا بأصفار $n$.
- إذا أمكن، قم بتقليل الكسر الناتج.
هذا كل شئ! للوهلة الأولى، يبدو هذا المخطط أكثر تعقيدا من السابق. لكن في الواقع الأمر أبسط وأسرع. أحكم لنفسك:
كما ترون، في الكسر 0.64 هناك رقمين بعد العلامة العشرية - 6 و 4. لذلك $n=2$. إذا قمت بإزالة الفاصلة والأصفار الموجودة على اليسار (in في هذه الحالة— صفر واحد فقط)، ثم نحصل على الرقم 64. لننتقل إلى الخطوة الثانية: $((10)^(n))=((10)^(2))=100$، إذن المقام هو بالضبط مائة. حسنًا، كل ما تبقى هو تقليل البسط والمقام :).
مثال آخر:
هنا كل شيء أكثر تعقيدًا بعض الشيء. أولا، هناك بالفعل 3 أرقام بعد العلامة العشرية، أي. $n=3$، لذلك عليك القسمة على $((10)^(n))=((10)^(3))=1000$. ثانيًا، إذا قمنا بإزالة الفاصلة من العلامة العشرية، فسنحصل على هذا: 0.004 → 0004. تذكر أنه يجب إزالة الأصفار الموجودة على اليسار، لذلك في الواقع لدينا الرقم 4. ثم كل شيء بسيط: قسمة وتقليل واحصل على الاجابة.
وأخيراً المثال الأخير:
خصوصية هذا الكسر هو وجود جزء كامل. ولذلك، فإن الناتج الذي نحصل عليه هو كسر غير حقيقي 47/25. يمكنك، بالطبع، محاولة تقسيم 47 على 25 مع الباقي وبالتالي عزل الجزء بأكمله مرة أخرى. ولكن لماذا تعقد حياتك إذا كان من الممكن القيام بذلك في مرحلة التحول؟ حسنا، دعونا معرفة ذلك.
ما يجب القيام به مع الجزء كله
في الواقع، كل شيء بسيط للغاية: إذا أردنا الحصول على كسر مناسب، فعلينا إزالة الجزء بأكمله منه أثناء التحويل، وبعد ذلك، عندما نحصل على النتيجة، نضيفه مرة أخرى إلى اليمين قبل خط الكسر .
على سبيل المثال، فكر في نفس الرقم: 1.88. دعونا نسجل بمقدار واحد (الجزء بأكمله) وننظر إلى الكسر 0.88. يمكن تحويله بسهولة:
ثم نتذكر الوحدة "المفقودة" ونضيفها إلى المقدمة:
\[\فارك(22)(25)\إلى 1\فارك(22)(25)\]
هذا كل شئ! تبين أن الإجابة هي نفسها بعد اختيار الجزء بأكمله في المرة الأخيرة. بضعة أمثلة أخرى:
\[\begin(align)& 2.15\to 0.15=\frac(15)(100)=\frac(3)(20)\to 2\frac(3)(20); \\& 13.8\إلى 0.8=\فارك(8)(10)=\فارك(4)(5)\إلى 13\فارك(4)(5). \\\النهاية(محاذاة)\]
هذا هو جمال الرياضيات: بغض النظر عن الطريقة التي تسلكها، إذا تمت جميع الحسابات بشكل صحيح، فستكون الإجابة هي نفسها دائمًا :).
في الختام، أود أن أفكر في تقنية أخرى تساعد الكثيرين.
التحولات عن طريق الأذن
دعونا نفكر في ماهية الكسر العشري. بتعبير أدق، كيف نقرأها. على سبيل المثال، الرقم 0.64 - نقرأه على أنه "نقطة الصفر 64 جزء من مائة"، أليس كذلك؟ حسنًا، أو فقط "64 جزءًا من مائة". الكلمة الأساسية هنا هي "المئات"، أي. رقم 100.
ماذا عن 0.004؟ هذه هي "نقطة الصفر 4 أجزاء من الألف" أو ببساطة "أربعة أجزاء من الألف". بشكل أو بآخر، الكلمة المفتاحية هي "الآلاف"، أي "الآلاف". 1000.
ذلك ما الصفقة الكبيرة؟ والحقيقة هي أن هذه الأرقام هي التي "تنبثق" في النهاية في المقامات في المرحلة الثانية من الخوارزمية. أولئك. 0.004 هو "أربعة أجزاء من الألف" أو "4 مقسومًا على 1000":
حاول أن تتدرب على نفسك - الأمر بسيط جدًا. الشيء الرئيسي هو قراءة الكسر الأصلي بشكل صحيح. على سبيل المثال، 2.5 هو "2 صحيح، 5 أعشار"، لذلك
وبعض 1.125 هو "1 صحيح، 125 جزءًا من الألف"، لذا
في المثال الأخير، بالطبع، سيعترض شخص ما بأنه ليس من الواضح لكل طالب أن 1000 يقبل القسمة على 125. ولكن هنا عليك أن تتذكر أن 1000 = 10 3، و10 = 2 ∙ 5، وبالتالي
\[\begin(align)& 1000=10\cdot 10\cdot 10=2\cdot 5\cdot 2\cdot 5\cdot 2\cdot 5= \\& =2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\ cdot 5\cdot 5=8\cdot 125\end(محاذاة)\]
وبالتالي، فإن أي قوة العشرة تتحلل فقط إلى العوامل 2 و 5 - هذه العوامل هي التي تحتاج إلى البحث عنها في البسط، بحيث يتم تقليل كل شيء في النهاية.
بهذا يختتم الدرس. دعنا ننتقل إلى عملية عكسية أكثر تعقيدًا - انظر "
مفهوم العشري
غالبًا ما يتم كتابة الكسور التي يكون مقامها قوة 10 بشكل أبسط، بدون مقام، مع فصل الأجزاء الصحيحة والكسرية عن بعضها البعض بفاصلة (من المفترض أن الجزء الصحيح من الكسر الصحيح يساوي 0) ).
على سبيل المثال،
تسمى الكسور المكتوبة بهذا الشكل في الكسور العشرية. إذًا هناك 2.7 شكلًا مختلفًا لكتابة نفس الرقم: الأول على شكل كسر عادي، والثاني على شكل كسر عشري. في الوقت الحالي، سننظر فقط في الأعداد العشرية الموجبة.
يتيح لك الشكل العشري لكتابة الكسور كتابتها ومقارنتها وإجراء العمليات الحسابية بها وفقًا لقواعد تشبه إلى حد كبير قواعد الكتابة والمقارنة وإجراء العمليات على الأعداد الطبيعية.
دعونا نتذكر أنه في نظام الأرقام العشرية، يعتمد معنى كل رقم على الرقم (الموضع) الذي كتب فيه. في هذه الحالة، تختلف وحدات الأرقام المجاورة بمقدار 10 مرات. على سبيل المثال، عشرة أقل من مائة بعشر مرات، وواحد أقل بعشر مرات من عشرة.
يتم استدعاء المركز الأول بعد العلامة العشرية المركز العاشر.
على سبيل المثال، الرقم 2.7 يتكون من 2.7 أعشار - اقرأ "اثنان فاصل سبعة".
يتم استدعاء المركز الثاني بعد العلامة العشرية مكان المئات.
على سبيل المثال، يتكون الرقم 0.35 من 0 صحيح و3 أعشار و5 أجزاء من مائة - اقرأ "نقطة الصفر وخمسة وثلاثون جزءًا من مائة".
لفهم قواعد كتابة وقراءة الكسور العشرية بشكل أفضل، فكر في جدول الأرقام وأمثلة كتابة الأرقام الواردة فيه.
لكتابة رقم في صورة عشرية، عليك أن تأخذ ذلك في الاعتبار
لذا فإن تسجيل الرقم يحتوي على 1 ألف و9 أجزاء من عشرة آلاف ولا يحتوي على وحدات كاملة، أو أعشار، أو أجزاء من مائة - في الكسر العشري، تتم كتابة الأصفار بالأرقام المقابلة.
يجب أن نتذكر أنه بعد العلامة العشرية يجب أن يكون هناك عدد من الأرقام بعد العلامة العشرية يساوي عدد الأصفار في مقام هذا الكسر.
لقد قلنا بالفعل أن هناك كسورًا عاديو عدد عشري. في هذه المرحلة، تعلمنا القليل عن الكسور. لقد تعلمنا أن هناك كسورًا منتظمة وغير حقيقية. وتعلمنا أيضًا أنه يمكن تبسيط الكسور المشتركة وجمعها وطرحها وضربها وقسمتها. وتعلمنا أيضًا أن هناك ما يسمى بالأعداد الكسرية، والتي تتكون من عدد صحيح وجزء كسري.
لم نستكشف الكسور المشتركة بالكامل بعد. هناك الكثير من التفاصيل الدقيقة والتفاصيل التي ينبغي الحديث عنها، ولكن اليوم سنبدأ في دراستها عدد عشريالكسور، نظرًا لأنه غالبًا ما يتعين الجمع بين الكسور العادية والعشرية. أي أنه عند حل المسائل عليك استخدام كلا النوعين من الكسور.
قد يبدو هذا الدرس معقدًا ومربكًا. إنه أمر طبيعي تماما. تتطلب هذه الأنواع من الدروس دراستها، وليس قراءتها بشكل سطحي.
محتوى الدرسالتعبير عن الكميات بشكل كسري
في بعض الأحيان يكون من المناسب إظهار شيء ما في شكل كسري. على سبيل المثال، يُكتب عُشر الديسيمتر على النحو التالي:
ويعني هذا التعبير أن الديسيمتر الواحد مقسم إلى عشرة أجزاء، ومن هذه الأجزاء العشرة يؤخذ جزء واحد:
وكما ترون في الشكل، فإن عُشر الديسيمتر يساوي سنتيمترًا واحدًا.
النظر في المثال التالي. أظهر 6 سم و3 مم أخرى بالسنتيمتر على شكل كسر.
إذن، أنت بحاجة إلى التعبير عن 6 سم و3 مم بالسنتيمتر، ولكن بشكل كسري. لدينا بالفعل 6 سنتيمترات كاملة:
ولكن لا يزال هناك 3 ملم متبقية. كيف تظهر هذه المليمترات الثلاثة بالسنتيمتر؟ الكسور تأتي للإنقاذ. 3 ملليمتر هو الجزء الثالث من السنتيمتر. والجزء الثالث من السنتيمتر يكتب بالسم
الكسر يعني أن سنتيمترًا واحدًا قد تم تقسيمه إلى عشرة أجزاء متساوية، ومن هذه الأجزاء العشرة تم أخذ ثلاثة أجزاء (ثلاثة من عشرة).
ونتيجة لذلك، لدينا ستة سنتيمترات كاملة وثلاثة أعشار السنتيمتر:
في هذه الحالة، 6 يوضح عدد السنتيمترات الكاملة، والكسر يوضح عدد السنتيمترات الكسرية. تتم قراءة هذا الكسر كما "ستة فاصل ثلاثة سنتيمترات".
الكسور التي يحتوي مقامها على الأرقام 10، 100، 1000 يمكن كتابتها بدون مقام. اكتب أولًا الجزء بأكمله، ثم بسط الجزء الكسري. يتم فصل الجزء الصحيح عن بسط الجزء الكسري بفاصلة.
على سبيل المثال، لنكتبها بدون مقام. للقيام بذلك، دعونا أولا نكتب الجزء كله. الجزء الصحيح هو الرقم 6. أولاً نكتب هذا الرقم:
يتم تسجيل الجزء كله. مباشرة بعد كتابة الجزء كاملا نضع فاصلة:
والآن نكتب بسط الجزء الكسري. في العدد الكسري، بسط الجزء الكسري هو الرقم 3. نكتب ثلاثة بعد العلامة العشرية:
يسمى أي رقم يتم تمثيله في هذا النموذج عدد عشري.
لذلك، يمكنك إظهار 6 سم و3 مم أخرى بالسنتيمتر باستخدام الكسر العشري:
6.3 سم
سوف يبدو مثل هذا:
في الواقع، الكسور العشرية هي نفس الكسور العادية والأعداد الكسرية. تكمن خصوصية هذه الكسور في أن مقام الجزء الكسري يحتوي على الأرقام 10 أو 100 أو 1000 أو 10000.
مثل العدد المختلط، يحتوي الكسر العشري على جزء صحيح وجزء كسري. على سبيل المثال، في عدد مختلط، الجزء الصحيح هو 6، والجزء الكسري هو .
في الكسر العشري 6.3، الجزء الصحيح هو الرقم 6، والجزء الكسري هو بسط الكسر، أي الرقم 3.
ويحدث أيضًا أن الكسور العادية في المقام تُعطى أرقامها 10، 100، 1000 بدون جزء صحيح. على سبيل المثال، يتم إعطاء الكسر بدون الجزء الكامل. لكتابة كسر ككسر عشري، اكتب أولاً 0، ثم ضع فاصلة واكتب بسط الكسر. سيتم كتابة الكسر الذي ليس له مقام على النحو التالي:
يقرأ مثل "نقطة الصفر خمسة".
تحويل الأعداد الكسرية إلى أعداد عشرية
عندما نكتب أعدادًا كسرية بدون مقام، فإننا بذلك نحولها إلى كسور عشرية. عند تحويل الكسور إلى أعداد عشرية، هناك بعض الأشياء التي تحتاج إلى معرفتها، والتي سنتحدث عنها الآن.
بعد كتابة الجزء بأكمله، من الضروري حساب عدد الأصفار في مقام الجزء الكسري، حيث يجب أن يكون عدد أصفار الجزء الكسري وعدد الأرقام بعد العلامة العشرية في الكسر العشري هو نفس. ماذا يعني ذلك؟ خذ بعين الاعتبار المثال التالي:
في البدايه
ويمكنك على الفور كتابة بسط الجزء الكسري ويصبح الكسر العشري جاهزًا، لكنك بالتأكيد بحاجة إلى حساب عدد الأصفار في مقام الجزء الكسري.
إذن، نحسب عدد الأصفار في الجزء الكسري من العدد الكسري. مقام الجزء الكسري يساوي صفرًا واحدًا. وهذا يعني أنه في الكسر العشري سيكون هناك رقم واحد بعد العلامة العشرية وسيكون هذا الرقم هو بسط الجزء الكسري من الرقم الكسري، أي الرقم 2
وبالتالي، عند تحويله إلى كسر عشري، يصبح الرقم الكسري 3.2.
يقرأ هذا الكسر العشري كما يلي:
"ثلاث نقاط اثنان"
"الأعشار" لأن الجزء الكسري من العدد الكسري يحتوي على الرقم 10.
مثال 2.تحويل رقم مختلط إلى رقم عشري.
اكتب الجزء كاملاً ثم ضع فاصلة:
ويمكنك على الفور كتابة بسط الجزء الكسري والحصول على الكسر العشري 5.3، لكن القاعدة تنص على أنه بعد العلامة العشرية يجب أن يكون هناك عدد من الأرقام يساوي عدد الأصفار في مقام الجزء الكسري من الرقم المختلط. ونلاحظ أن مقام الجزء الكسري به صفران. وهذا يعني أن الكسر العشري يجب أن يحتوي على رقمين بعد العلامة العشرية، وليس رقمًا واحدًا.
في مثل هذه الحالات، يحتاج بسط الجزء الكسري إلى تعديل طفيف: أضف صفرًا قبل البسط، أي قبل الرقم 3
يمكنك الآن تحويل هذا الرقم المختلط إلى كسر عشري. اكتب الجزء كاملاً ثم ضع فاصلة:
واكتب بسط الجزء الكسري:
تتم قراءة الكسر العشري 5.03 على النحو التالي:
"خمس نقاط ثلاثة"
"المئات" لأن مقام الجزء الكسري لعدد كسري يحتوي على الرقم 100.
مثال 3.تحويل رقم مختلط إلى رقم عشري.
تعلمنا من الأمثلة السابقة أنه لتحويل عدد كسري إلى عدد عشري بنجاح، يجب أن يكون عدد الأرقام في بسط الكسر وعدد الأصفار في مقام الكسر متساويًا.
قبل تحويل رقم مختلط إلى كسر عشري، يحتاج الجزء الكسري الخاص به إلى تعديل طفيف، أي للتأكد من أن عدد الأرقام في بسط الجزء الكسري وعدد الأصفار في مقام الجزء الكسري هي نفس.
أولًا، ننظر إلى عدد الأصفار في مقام الجزء الكسري. نرى أن هناك ثلاثة أصفار:
مهمتنا هي تنظيم ثلاثة أرقام في بسط الجزء الكسري. لدينا بالفعل رقم واحد - هذا هو الرقم 2. ويبقى إضافة رقمين آخرين. سيكونان صفرين. أضفها قبل الرقم 2. ونتيجة لذلك، سيكون عدد الأصفار في المقام وعدد الأرقام في البسط هو نفسه:
يمكنك الآن البدء في تحويل هذا الرقم المختلط إلى كسر عشري. أولا نكتب الجزء كاملا ونضع فاصلة:
واكتب على الفور بسط الجزء الكسري
3,002
نلاحظ أن عدد الأرقام بعد العلامة العشرية وعدد الأصفار في مقام الجزء الكسري للعدد الكسري متساويان.
تتم قراءة الكسر العشري 3.002 على النحو التالي:
"ثلاثة فاصلة اثنان من الألف"
"الألف" لأن مقام الجزء الكسري من العدد الكسري يحتوي على الرقم 1000.
تحويل الكسور إلى أعداد عشرية
يمكن أيضًا تحويل الكسور العادية ذات المقامات 10 أو 100 أو 1000 أو 10000 إلى أعداد عشرية. بما أن الكسر العادي لا يحتوي على جزء صحيح، اكتب أولاً 0، ثم ضع فاصلة واكتب بسط الجزء الكسري.
هنا أيضًا يجب أن يكون عدد الأصفار في المقام وعدد الأرقام في البسط هو نفسه. ولذلك، يجب أن تكون حذرا.
مثال 1.
الجزء بأكمله مفقود، لذلك نكتب أولاً 0 ونضع فاصلة:
الآن ننظر إلى عدد الأصفار في المقام. نرى أن هناك صفرًا واحدًا. والبسط يحتوي على رقم واحد. هذا يعني أنه يمكنك متابعة الكسر العشري بأمان عن طريق كتابة الرقم 5 بعد العلامة العشرية
في الكسر العشري الناتج 0.5، يكون عدد الأرقام بعد العلامة العشرية وعدد الأصفار في مقام الكسر هو نفسه. وهذا يعني أن الكسر قد تمت ترجمته بشكل صحيح.
تتم قراءة الكسر العشري 0.5 على النحو التالي:
"صفر نقطة خمسة"
مثال 2.تحويل الكسر إلى عدد عشري.
جزء كامل مفقود. أولا نكتب 0 ونضع فاصلة:
الآن ننظر إلى عدد الأصفار في المقام. نرى أن هناك صفرين. والبسط يحتوي على رقم واحد فقط. لجعل عدد الأرقام وعدد الأصفار متساويين، أضف صفرًا واحدًا في البسط قبل الرقم 2. ثم يأخذ الكسر الشكل . الآن عدد الأصفار في المقام وعدد الأرقام في البسط متساويان. لذلك يمكنك متابعة الكسر العشري:
في الكسر العشري الناتج 0.02، يكون عدد الأرقام بعد العلامة العشرية وعدد الأصفار في مقام الكسر هو نفسه. وهذا يعني أن الكسر قد تمت ترجمته بشكل صحيح.
تتم قراءة الكسر العشري 0.02 على النحو التالي:
"نقطة الصفر اثنان."
مثال 3.تحويل الكسر إلى عدد عشري.
اكتب 0 ثم ضع فاصلة:
الآن نحسب عدد الأصفار في مقام الكسر. نلاحظ أن هناك خمسة أصفار، ولا يوجد سوى رقم واحد في البسط. لجعل عدد الأصفار في المقام وعدد الأرقام في البسط متساويًا، عليك إضافة أربعة أصفار في البسط قبل الرقم 5:
الآن عدد الأصفار في المقام وعدد الأرقام في البسط متساويان. إذن، يمكننا الاستمرار في التعامل مع الكسر العشري. اكتب بسط الكسر بعد العلامة العشرية
في الكسر العشري الناتج 0.00005، يكون عدد الأرقام بعد العلامة العشرية وعدد الأصفار في مقام الكسر هو نفسه. وهذا يعني أن الكسر قد تمت ترجمته بشكل صحيح.
تتم قراءة الكسر العشري 0.00005 على النحو التالي:
"نقطة الصفر خمسمائة ألف."
تحويل الكسور غير الصحيحة إلى أعداد عشرية
الكسر غير الحقيقي هو الكسر الذي يكون بسطه أكبر من مقامه. هناك كسور غير حقيقية يحتوي مقامها على الأرقام 10 أو 100 أو 1000 أو 10000. ويمكن تحويل هذه الكسور إلى أعداد عشرية. ولكن قبل التحويل إلى كسر عشري، يجب فصل هذه الكسور إلى الجزء الكامل.
مثال 1.
الكسر هو كسر غير حقيقي. لتحويل هذا الكسر إلى كسر عشري، يجب عليك أولا تحديد الجزء بأكمله منه. دعونا نتذكر كيفية عزل الجزء الكامل من الكسور غير الصحيحة. وإذا نسيت فننصحك بالرجوع إليه ودراسته.
لذلك، دعونا نسلط الضوء على الجزء الكامل في الكسر غير الحقيقي. تذكر أن الكسر يعني القسمة - في هذه الحالة، قسمة الرقم 112 على الرقم 10
دعونا ننظر إلى هذه الصورة ونقوم بتجميع عدد كسري جديد، مثل مجموعة بناء للأطفال. سيكون الرقم 11 هو الجزء الصحيح، والرقم 2 سيكون بسط الجزء الكسري، والرقم 10 سيكون مقام الجزء الكسري.
لقد حصلنا على رقم مختلط. دعونا نحوله إلى كسر عشري. ونحن نعرف بالفعل كيفية تحويل هذه الأرقام إلى كسور عشرية. أولا نكتب الجزء كاملا ونضع فاصلة:
الآن نحسب عدد الأصفار في مقام الجزء الكسري. نرى أن هناك صفرًا واحدًا. وبسط الجزء الكسري يتكون من رقم واحد. وهذا يعني أن عدد الأصفار في مقام الجزء الكسري هو نفسه عدد الأرقام في بسط الجزء الكسري. وهذا يمنحنا الفرصة لكتابة بسط الجزء الكسري بعد العلامة العشرية على الفور:
في الكسر العشري الناتج 11.2، يكون عدد الأرقام بعد العلامة العشرية وعدد الأصفار في مقام الكسر هو نفسه. وهذا يعني أن الكسر قد تمت ترجمته بشكل صحيح.
هذا يعني أن الكسر غير الفعلي يصبح 11.2 عند تحويله إلى عدد عشري.
تتم قراءة الكسر العشري 11.2 على النحو التالي:
"أحد عشر نقطة اثنين."
مثال 2.تحويل الكسر غير الصحيح إلى عدد عشري.
وهو كسر غير حقيقي لأن البسط أكبر من المقام. ولكن يمكن تحويله إلى كسر عشري، حيث أن المقام يحتوي على الرقم 100.
أولًا، دعونا نختار الجزء الكامل من هذا الكسر. للقيام بذلك، قم بتقسيم 450 على 100 بزاوية:
دعونا نجمع رقمًا مختلطًا جديدًا - نحصل عليه. ونحن نعرف بالفعل كيفية تحويل الأعداد الكسرية إلى كسور عشرية.
اكتب الجزء كاملاً ثم ضع فاصلة:
الآن نحسب عدد الأصفار في مقام الجزء الكسري وعدد الأرقام في بسط الجزء الكسري. نلاحظ أن عدد الأصفار في المقام وعدد الأرقام في البسط متساويان. وهذا يمنحنا الفرصة لكتابة بسط الجزء الكسري بعد العلامة العشرية على الفور:
في الكسر العشري الناتج 4.50، يكون عدد الأرقام بعد العلامة العشرية وعدد الأصفار في مقام الكسر هو نفسه. وهذا يعني أن الكسر قد تمت ترجمته بشكل صحيح.
وهذا يعني أن الكسر غير الفعلي يصبح 4.50 عند تحويله إلى عدد عشري.
عند حل المسائل، إذا كانت هناك أصفار في نهاية الكسر العشري، فيمكن التخلص منها. دعونا أيضًا نسقط الصفر في إجابتنا. ثم نحصل على 4.5
هذا هو أحد الأشياء المثيرة للاهتمام حول الأعداد العشرية. وتكمن في أن الأصفار التي تظهر في نهاية الكسر لا تعطي هذا الكسر أي وزن. بمعنى آخر، العددان العشريان 4.50 و4.5 متساويان. ولنضع إشارة المساواة بينهما:
4,50 = 4,5
السؤال الذي يطرح نفسه: لماذا يحدث هذا؟ ففي النهاية، يبدو العددان ٤,٥٠ و٤,٥ ككسرين مختلفين. السر كله يكمن في الخاصية الأساسية للكسور التي درسناها سابقًا. وسنحاول إثبات سبب تساوي الكسرين العشريين 4.50 و 4.5، ولكن بعد دراسة الموضوع التالي وهو ما يسمى “تحويل الكسر العشري إلى عدد كسري”.
تحويل العدد العشري إلى رقم مختلط
يمكن تحويل أي كسر عشري إلى رقم مختلط. للقيام بذلك، يكفي أن تكون قادرا على قراءة الكسور العشرية. على سبيل المثال، لنحول 6.3 إلى عدد كسري. 6.3 هي ستة فاصل ثلاثة. أولاً نكتب ستة أعداد صحيحة:
وبعد ثلاثة أعشار:
مثال 2.تحويل الرقم العشري 3.002 إلى رقم مختلط
3.002 يساوي ثلاثة أجزاء كاملة واثنين من الألف. أولا نكتب ثلاثة أعداد صحيحة
ونكتب بجانبه جزء من الألف:
مثال 3.تحويل العشري 4.50 إلى رقم مختلط
4.50 هي أربع نقاط وخمسون. اكتب أربعة أعداد صحيحة
والخمسين بعد المئة:
بالمناسبة، دعونا نتذكر المثال الأخير من الموضوع السابق. قلنا إن العددين العشريين ٤٫٥٠ و٤٫٥ متساويان. قلنا أيضًا أنه يمكن التخلص من الصفر. دعونا نحاول إثبات أن العددين العشريين 4.50 و4.5 متساويان. للقيام بذلك، نقوم بتحويل كلا الكسرين العشريين إلى أرقام كسرية.
عند تحويله إلى رقم مختلط، يصبح العلامة العشرية 4.50، والعلامة العشرية 4.5
لدينا رقمين مختلطين و . دعونا نحول هذه الأعداد الكسرية إلى كسور غير حقيقية:
الآن لدينا كسرين و . حان الوقت لتذكر الخاصية الأساسية للكسر، والتي تنص على أنه عند ضرب (أو قسمة) بسط ومقام الكسر على نفس الرقم، فإن قيمة الكسر لا تتغير.
دعونا نقسم الكسر الأول على 10
لقد حصلنا، وهذا هو الكسر الثاني. وهذا يعني أن كلاهما متساويان ويساويان نفس القيمة:
حاول استخدام الآلة الحاسبة لتقسيم 450 على 100 أولًا، ثم 45 على 10. سيكون الأمر مضحكًا.
تحويل الكسر العشري إلى كسر
يمكن تحويل أي كسر عشري إلى كسر. للقيام بذلك، مرة أخرى، يكفي أن تكون قادرًا على قراءة الكسور العشرية. على سبيل المثال، لنحول 0.3 إلى كسر عادي. 0.3 يساوي صفر فاصل ثلاثة. أولاً نكتب الأعداد الصحيحة الصفرية:
وبجوار ثلاثة أعشار 0. تقليديًا، لا يتم تدوين الصفر، وبالتالي فإن الإجابة النهائية لن تكون 0، بل ببساطة .
مثال 2.تحويل الكسر العشري 0.02 إلى كسر.
و0.02 يساوي صفر فاصلة اثنين. نحن لا نكتب الصفر، لذا نكتب على الفور جزء من مائتين
مثال 3.تحويل 0.00005 إلى كسر
0.00005 يساوي صفر فاصل خمسة. نحن لا نكتب الصفر، لذلك نكتب على الفور خمسمائة جزء من ألف
هل أعجبك الدرس؟
انضم إلى مجموعة فكونتاكتي الجديدة وابدأ في تلقي إشعارات حول الدروس الجديدة
عدد كسري.
التدوين العشري لعدد كسريهي مجموعة مكونة من رقمين أو أكثر من $0$ إلى $9$، يوجد بينها ما يسمى \textit (الفاصلة العشرية).
مثال 1
على سبيل المثال، 35.02 دولارًا أمريكيًا؛ 100.7 دولار؛ 123 دولارًا أمريكيًا \ 456.5 دولارًا أمريكيًا؛ 54.89 دولارًا.
لا يمكن أن يكون الرقم الموجود في أقصى اليسار في التدوين العشري للرقم صفرًا، والاستثناء الوحيد هو عندما تكون العلامة العشرية مباشرة بعد الرقم الأول $0$.
مثال 2
على سبيل المثال، $0.357$; 0.064 دولار.
في كثير من الأحيان يتم استبدال العلامة العشرية بفاصلة عشرية. على سبيل المثال، 35.02 دولارًا أمريكيًا؛ 100.7 دولار؛ 123\456.5 دولارًا أمريكيًا؛ 54.89 دولارًا.
تعريف عشري
التعريف 1
الكسور العشرية- هذه أرقام كسرية يتم تمثيلها بالتدوين العشري.
على سبيل المثال، 121.05 دولارًا أمريكيًا؛ 67.9 دولارًا أمريكيًا؛ 345.6700 دولار.
يتم استخدام الكسور العشرية لكتابة الكسور المناسبة بشكل أكثر إحكاما، ومقاماتها هي الأرقام $10$، $100$، $1\000$، وما إلى ذلك. والأعداد الكسرية، ومقامات الجزء الكسري منها هي الأرقام $10$، $100$، $1\000$، إلخ.
على سبيل المثال، يمكن كتابة الكسر الشائع $\frac(8)(10)$ كرقم عشري $0.8$، ويمكن كتابة الرقم المختلط $405\frac(8)(100)$ كرقم عشري $405.08$.
قراءة الأعداد العشرية
الكسور العشرية التي تتوافق مع تلك الصحيحة الكسور العادية، تتم قراءتها بنفس طريقة قراءة الكسور العادية، ويتم إضافة عبارة "الأعداد الصحيحة الصفرية" فقط في المقدمة. على سبيل المثال، الكسر الشائع $\frac(25)(100)$ (اقرأ "خمسة وعشرون جزءًا من مائة") يتوافق مع الكسر العشري $0.25$ (اقرأ "نقطة الصفر وخمسة وعشرون جزءًا من مائة").
تتم قراءة الكسور العشرية التي تتوافق مع الأعداد الكسرية بنفس طريقة قراءة الأعداد الكسرية. على سبيل المثال، الرقم المختلط $43\frac(15)(1000)$ يتوافق مع الكسر العشري $43.015$ (اقرأ "ثلاثة وأربعون فاصل خمسة عشر جزءًا من الألف").
الأماكن في الأعداد العشرية
عند كتابة الكسر العشري، يعتمد معنى كل رقم على موضعه. أولئك. في الكسور العشرية ينطبق هذا المفهوم أيضًا فئة.
تُسمى المنازل في الكسور العشرية حتى النقطة العشرية بنفس أسماء المنازل في الأعداد الطبيعية. يتم سرد المنازل العشرية بعد العلامة العشرية في الجدول:
الصورة 1.
مثال 3
على سبيل المثال، في الكسر العشري $56.328$، يقع الرقم $5$ في خانة العشرات، و $6$ في خانة الآحاد، و $3$ في خانة الأجزاء من عشرة، و $2$ في خانة الأجزاء من المائة، و $8$ في خانة الأجزاء من الألف مكان.
يتم تمييز الأماكن في الكسور العشرية بالأسبقية. عند قراءة الكسر العشري، انتقل من اليسار إلى اليمين - من كبيررتبة ل اصغر سنا.
مثال 4
على سبيل المثال، في الكسر العشري $56.328$، المكان الأكثر أهمية (الأعلى) هو مكان العشرات، والمنزل الأدنى (الأدنى) هو مكان الألف.
يمكن تحليل الكسر العشري إلى أرقام بطريقة مشابهة لتحليل العدد الطبيعي إلى أرقام.
مثال 5
على سبيل المثال، دعونا نقسم الكسر العشري $37.851$ إلى أرقام:
$37,851=30+7+0,8+0,05+0,001$
إنهاء الأعداد العشرية
التعريف 2
إنهاء الأعداد العشريةتسمى الكسور العشرية، والتي تحتوي سجلاتها على عدد محدود من الأحرف (الأرقام).
على سبيل المثال، $0.138$; 5.34 دولار؛ 56.123456 دولارًا أمريكيًا؛ 350,972.54 دولار.
يمكن تحويل أي كسر عشري محدود إلى كسر أو رقم مختلط.
مثال 6
على سبيل المثال، الكسر العشري النهائي $7.39$ يتوافق مع الرقم الكسري $7\frac(39)(100)$، والكسر العشري النهائي $0.5$ يتوافق مع الكسر المشترك الصحيح $\frac(5)(10)$ (أو أي كسر يساويه، على سبيل المثال $\frac(1)(2)$ أو $\frac(10)(20)$.
تحويل الكسر إلى عدد عشري
تحويل الكسور ذات المقامات $10، 100، \dots$ إلى أعداد عشرية
قبل تحويل بعض الكسور الصحيحة إلى أعداد عشرية، يجب أولاً "تحضيرها". يجب أن تكون نتيجة هذا الإعداد نفس عدد الأرقام في البسط ونفس عدد الأصفار في المقام.
إن جوهر "الإعداد الأولي" للكسور العادية المناسبة للتحويل إلى كسور عشرية هو إضافة عدد من الأصفار إلى اليسار في البسط بحيث يصبح إجمالي عدد الأرقام مساوياً لعدد الأصفار في المقام.
مثال 7
على سبيل المثال، لنعد الكسر $\frac(43)(1000)$ للتحويل إلى رقم عشري ونحصل على $\frac(043)(1000)$. والكسر العادي $\frac(83)(100)$ لا يحتاج إلى أي تحضير.
دعونا صياغة قاعدة لتحويل الكسر المشترك المناسب بمقام $10$، أو $100$، أو $1\000$، $\dots$ إلى كسر عشري:
اكتب $0$;
وبعد أن تضع علامة عشرية؛
اكتب الرقم من البسط (مع الأصفار المضافة بعد التحضير، إذا لزم الأمر).
مثال 8
حول الكسر الصحيح $\frac(23)(100)$ إلى عدد عشري.
حل.
يحتوي المقام على الرقم $100$، والذي يحتوي على $2$ وصفرين. يحتوي البسط على الرقم $23$، وهو مكتوب بـ $2$.digits. وهذا يعني أنه ليست هناك حاجة لإعداد هذا الكسر للتحويل إلى عدد عشري.
لنكتب $0$، ونضع علامة عشرية ونكتب الرقم $23$ من البسط. نحصل على الكسر العشري $0.23$.
إجابة: $0,23$.
مثال 9
اكتب الكسر الصحيح$\frac(351)(100000)$ كعلامة عشرية.
حل.
يحتوي بسط هذا الكسر على $3$، وعدد الأصفار في المقام هو $5$، لذا يجب أن يكون هذا الكسر العادي جاهزًا للتحويل إلى عدد عشري. للقيام بذلك، تحتاج إلى إضافة أصفار $5-3=2$ إلى اليسار في البسط: $\frac(00351)(100000)$.
الآن يمكننا تشكيل الكسر العشري المطلوب. للقيام بذلك، اكتب $0$، ثم أضف فاصلة واكتب الرقم من البسط. نحصل على الكسر العشري $0.00351$.
إجابة: $0,00351$.
دعونا صياغة قاعدة لتحويل الكسور غير الحقيقية ذات المقامات $10$، $100$، $\dots$ إلى كسور عشرية:
اكتب الرقم من البسط؛
استخدم العلامة العشرية للفصل بين عدد من الأرقام الموجودة على اليمين يساوي عدد الأصفار في مقام الكسر الأصلي.
مثال 10
حول الكسر غير الفعلي $\frac(12756)(100)$ إلى عدد عشري.
حل.
دعونا نكتب الرقم من البسط $12756$، ثم نفصل بين الرقمين $2$ الموجودين على اليمين بعلامة عشرية، لأن مقام الكسر الأصلي $2$ هو صفر. نحصل على الكسر العشري $127.56$.