4 مشتق من وظيفة معقدة. مشتق من وظيفة

لو ز(س) و F(ش) - وظائف قابلة للتمييز لحججهم، على التوالي، عند النقاط سو ش= ز(س), ثم تكون الوظيفة المعقدة قابلة للاشتقاق أيضًا عند هذه النقطة سوتم العثور عليه بواسطة الصيغة

من الأخطاء النموذجية عند حل المشكلات المشتقة هو النقل الميكانيكي لقواعد التمييز بين الوظائف البسيطة والوظائف المعقدة. دعونا نتعلم كيفية تجنب هذا الخطأ.

مثال 2.أوجد مشتقة الدالة

الحل الخاطئ:احسب اللوغاريتم الطبيعي لكل حد بين قوسين وابحث عن مجموع المشتقات:

الحل الصحيح:مرة أخرى نحدد مكان "التفاحة" ومكان "اللحم المفروم". هنا اللوغاريتم الطبيعي للتعبير الموجود بين قوسين هو "تفاحة"، أي دالة على الوسيطة الوسيطة ش، والتعبير بين القوسين هو "اللحم المفروم" أي حجة وسطية شبواسطة المتغير المستقل س.

ثم (باستخدام الصيغة 14 من جدول المشتقات)

في العديد من مسائل الحياة الواقعية، يمكن أن يكون التعبير باستخدام اللوغاريتم أكثر تعقيدًا إلى حد ما، ولهذا السبب يوجد درس

مثال 3.أوجد مشتقة الدالة

الحل الخاطئ:

الحل الصحيح.مرة أخرى نحدد مكان "التفاحة" ومكان "اللحم المفروم". هنا جيب التمام للتعبير بين قوسين (الصيغة 7 في جدول المشتقات) هو "تفاحة"، يتم إعداده في الوضع 1، والذي يؤثر عليه فقط، والتعبير بين قوسين (مشتق الدرجة هو رقم 3) (في جدول المشتقات) "اللحم المفروم" يتم تحضيره تحت الوضع 2 والذي يؤثر عليه فقط. وكما هو الحال دائمًا، نربط مشتقتين بعلامة الضرب. نتيجة:

يعد اشتقاق دالة لوغاريتمية معقدة مهمة متكررة في الاختبارات، لذلك ننصحك بشدة بحضور درس "مشتقة دالة لوغاريتمية".

كانت الأمثلة الأولى على الدوال المعقدة، حيث كانت الوسيطة الوسيطة للمتغير المستقل عبارة عن دالة بسيطة. ولكن في المهام العملية، غالبًا ما يكون من الضروري العثور على مشتق دالة معقدة، حيث تكون الوسيطة الوسيطة إما في حد ذاتها دالة معقدة أو تحتوي على مثل هذه الوظيفة. ماذا تفعل في مثل هذه الحالات؟ ابحث عن مشتقات هذه الدوال باستخدام الجداول وقواعد التفاضل. عند العثور على مشتق الوسيطة الوسيطة، يتم استبداله ببساطة في المكان الصحيح في الصيغة. وفيما يلي مثالين لكيفية القيام بذلك.

بالإضافة إلى ذلك، من المفيد معرفة ما يلي. إذا كان من الممكن تمثيل وظيفة معقدة كسلسلة من ثلاث وظائف

فيجب إيجاد مشتقتها على أنها حاصل ضرب مشتقات كل من هذه الوظائف:

قد تتطلب منك العديد من واجباتك المنزلية فتح الأدلة في نوافذ جديدة. الأفعال ذات القوى والجذورو العمليات مع الكسور .

مثال 4.أوجد مشتقة الدالة

نحن نطبق قاعدة اشتقاق دالة معقدة، دون أن ننسى أنه في حاصل ضرب المشتقات الناتج هناك وسيطة فيما يتعلق بالمتغير المستقل سلم يتغير:

نقوم بإعداد العامل الثاني للمنتج ونطبق قاعدة اشتقاق المجموع:

الحد الثاني هو الجذر، لذلك

وهكذا وجدنا أن الحجة الوسيطة، وهي مجموع، تحتوي على دالة مركبة كأحد المصطلحات: الرفع إلى قوة دالة مركبة، وما يرفع إلى قوة هو حجة وسطية بالنسبة إلى المستقل عامل س.

لذلك، نطبق مرة أخرى قاعدة التمييز بين دالة معقدة:

نحول درجة العامل الأول إلى جذر، وعند اشتقاق العامل الثاني لا ننسى أن مشتقة الثابت تساوي صفر:

يمكننا الآن إيجاد مشتقة الوسيطة الوسيطة اللازمة لحساب مشتقة دالة معقدة مطلوبة في بيان المشكلة ذ:

مثال 5.أوجد مشتقة الدالة

أولاً، نستخدم قاعدة التمييز بين المجموع:

لقد حصلنا على مجموع مشتقات وظيفتين معقدتين. دعنا نجد الأول:

هنا، رفع الجيب إلى قوة هو دالة معقدة، والجيب نفسه هو وسيطة وسيطة للمتغير المستقل س. ومن ثم، سنستخدم قاعدة اشتقاق دالة معقدة على طول الطريق أخذ العامل من بين قوسين :

الآن نجد الحد الثاني من مشتقات الدالة ذ:

هنا يعد رفع جيب التمام إلى قوة وظيفة معقدة Fوجيب التمام نفسه هو وسيطة وسيطة في المتغير المستقل س. دعونا مرة أخرى نستخدم القاعدة للتمييز بين دالة معقدة:

والنتيجة هي المشتقة المطلوبة:

جدول مشتقات بعض الدوال المعقدة

بالنسبة للدوال المعقدة، بناءً على قاعدة اشتقاق دالة معقدة، فإن صيغة مشتقة دالة بسيطة تأخذ شكلاً مختلفًا.

1. مشتق من دالة قوة معقدة، حيث ش س
2. مشتق من جذر التعبير
3. مشتق من الدالة الأسية
4. حالة خاصة للدالة الأسية
5. مشتق من دالة لوغاريتمية ذات قاعدة موجبة تعسفية أ
6. مشتق من دالة لوغاريتمية معقدة، حيث ش- وظيفة تفاضلية للحجة س
7. مشتق من الجيب
8. مشتق من جيب التمام
9. مشتق الظل
10. مشتق ظل التمام
11. مشتق من أركسين
12. مشتق من قوس جيب التمام
13. مشتق من قوس الظل
14. مشتق ظل التمام القوسي

إذا اتبعت التعريف، فإن مشتقة الدالة عند نقطة ما هو حد نسبة زيادة الدالة Δ ذإلى زيادة الوسيطة Δ س:

يبدو أن كل شيء واضح. لكن حاول استخدام هذه الصيغة لحساب مشتقة الدالة، على سبيل المثال F(س) = س 2 + (2س+ 3) · ه سخطيئة س. إذا فعلت كل شيء حسب التعريف، فبعد بضع صفحات من الحسابات، سوف تغفو ببساطة. ولذلك، هناك طرق أبسط وأكثر فعالية.

في البداية، نلاحظ أنه من بين مجموعة الوظائف الكاملة، يمكننا التمييز بين ما يسمى بالوظائف الأولية. هذه تعبيرات بسيطة نسبيًا، وقد تم حساب مشتقاتها وإدخالها في الجدول منذ فترة طويلة. من السهل جدًا تذكر مثل هذه الوظائف - بالإضافة إلى مشتقاتها.

مشتقات الوظائف الأولية

الوظائف الأولية هي جميع تلك المذكورة أدناه. ويجب أن تكون مشتقات هذه الوظائف معروفة عن ظهر قلب. علاوة على ذلك، فإن حفظها ليس بالأمر الصعب على الإطلاق - ولهذا السبب فهي أولية.

لذلك، مشتقات الوظائف الأولية:

اسم	وظيفة	المشتق
ثابت	F(س) = ج, ج ∈ ر	0 (نعم، صفر!)
القوة مع الأس العقلاني	F(س) = س ن	ن · س ن − 1
التجويف	F(س) = خطيئة س	كوس س
جيب التمام	F(س) = كوس س	-الخطيئة س(ناقص جيب)
الظل	F(س) = تيراغرام س	1/كوس 2 س
ظل التمام	F(س) =ctg س	- 1/الخطيئة 2 س
اللوغاريتم الطبيعي	F(س) = سجل س	1/س
اللوغاريتم التعسفي	F(س) = سجل أ س	1/(س ln أ)
الدالة الأسية	F(س) = ه س	ه س(لا شيء تغير)

إذا تم ضرب دالة أولية بثابت اختياري، فيمكن أيضًا حساب مشتق الدالة الجديدة بسهولة:

(ج · F)’ = ج · F ’.

بشكل عام، يمكن إخراج الثوابت من إشارة المشتقة. على سبيل المثال:

(2س 3)' = 2 · ( س 3)' = 2 3 س 2 = 6س 2 .

من الواضح أنه يمكن إضافة الوظائف الأولية إلى بعضها البعض وضربها وتقسيمها - وغير ذلك الكثير. هكذا ستظهر الوظائف الجديدة، التي لم تعد أولية بشكل خاص، بل يتم تمييزها أيضًا وفقًا لقواعد معينة. وتناقش هذه القواعد أدناه.

مشتق من المجموع والفرق

دع الوظائف تعطى F(س) و ز(س) ومشتقاته معروفة لدينا. على سبيل المثال، يمكنك أن تأخذ الوظائف الأولية التي تمت مناقشتها أعلاه. ثم يمكنك العثور على مشتق مجموع هذه الوظائف والفرق بينها:

1. (F + ز)’ = F ’ + ز ’
2. (F − ز)’ = F ’ − ز ’

لذا، فإن مشتق مجموع (الفرق) لوظيفتين يساوي مجموع (الفرق) للمشتقات. قد يكون هناك المزيد من الشروط. على سبيل المثال، ( F + ز + ح)’ = F ’ + ز ’ + ح ’.

بالمعنى الدقيق للكلمة، لا يوجد مفهوم "الطرح" في الجبر. هناك مفهوم "العنصر السلبي". ولذلك الفرق F − زيمكن إعادة كتابتها كمجموع F+ (−1) زوبعد ذلك تبقى صيغة واحدة فقط - مشتق المجموع.

F(س) = س 2 + الخطيئة س؛ ز(س) = س 4 + 2س 2 − 3.

وظيفة F(س) هو مجموع وظيفتين أساسيتين، وبالتالي:

F ’(س) = (س 2 + الخطيئة س)’ = (س 2)' + (خطيئة س)’ = 2س+ كوس س؛

نحن نسبب بالمثل لهذه الوظيفة ز(س). فقط هناك بالفعل ثلاثة مصطلحات (من وجهة نظر الجبر):

ز ’(س) = (س 4 + 2س 2 − 3)’ = (س 4 + 2س 2 + (−3))’ = (س 4)’ + (2س 2)’ + (−3)’ = 4س 3 + 4س + 0 = 4س · ( س 2 + 1).

إجابة:
F ’(س) = 2س+ كوس س؛
ز ’(س) = 4س · ( س 2 + 1).

مشتق من المنتج

الرياضيات علم منطقي، لذلك يعتقد الكثير من الناس أنه إذا كانت مشتقة المجموع تساوي مجموع المشتقات، فإن مشتقة حاصل الضرب يضرب">يساوي منتج المشتقات. لكن اللعنة عليك! يتم حساب مشتق المنتج باستخدام صيغة مختلفة تمامًا. وهي:

(F · ز) ’ = F ’ · ز + F · ز ’

الصيغة بسيطة، ولكن غالبا ما يتم نسيانها. وليس فقط تلاميذ المدارس، ولكن الطلاب أيضا. والنتيجة هي مشاكل تم حلها بشكل غير صحيح.

مهمة. البحث عن مشتقات الوظائف: F(س) = س 3 كوس س؛ ز(س) = (س 2 + 7س− 7) · ه س .

وظيفة F(س) هو نتاج وظيفتين أساسيتين، لذلك كل شيء بسيط:

F ’(س) = (س 3 كوس س)’ = (س 3) كوس س + س 3 (كوس س)’ = 3س 2 كوس س + س 3 (-الخطيئة س) = س 2 (3كوس س − سخطيئة س)

وظيفة ز(س) المضاعف الأول أكثر تعقيدًا بعض الشيء، لكن المخطط العام لا يتغير. من الواضح أن العامل الأول للوظيفة ز(س) هي كثيرة الحدود ومشتقتها هي مشتقة المجموع. لدينا:

ز ’(س) = ((س 2 + 7س− 7) · ه س)’ = (س 2 + 7س− 7)’ · ه س + (س 2 + 7س− 7) ( ه س)’ = (2س+ 7) · ه س + (س 2 + 7س− 7) · ه س = ه س· (2 س + 7 + س 2 + 7س −7) = (س 2 + 9س) · ه س = س(س+ 9) · ه س .

إجابة:
F ’(س) = س 2 (3كوس س − سخطيئة س);
ز ’(س) = س(س+ 9) · ه س .

يرجى ملاحظة أنه في الخطوة الأخيرة يتم تحليل المشتق. رسميًا، لا يلزم القيام بذلك، لكن معظم المشتقات لا يتم حسابها من تلقاء نفسها، ولكن لفحص الدالة. وهذا يعني أنه بعد ذلك سيتم مساواة المشتقة بالصفر، وسيتم تحديد علاماتها، وما إلى ذلك. في مثل هذه الحالة، من الأفضل أن يتم تحليل التعبير.

إذا كان هناك وظيفتين F(س) و ز(س)، و ز(س) ≠ 0 في المجموعة التي نهتم بها، يمكننا تحديد وظيفة جديدة ح(س) = F(س)/ز(س). لمثل هذه الوظيفة يمكنك أيضًا العثور على المشتق:

ليس ضعيفا، أليس كذلك؟ من أين أتى الناقص؟ لماذا ز 2؟ ومثل هذا! هذه واحدة من أكثر الصيغ تعقيدًا - لا يمكنك اكتشافها بدون زجاجة. لذلك من الأفضل دراستها بأمثلة محددة.

مهمة. البحث عن مشتقات الوظائف:

يحتوي بسط ومقام كل كسر على دوال أولية، لذا كل ما نحتاجه هو صيغة مشتقة خارج القسمة:

وفقًا للتقاليد، دعونا نحلل البسط إلى عوامل - وهذا سيبسط الإجابة إلى حد كبير:

الوظيفة المعقدة ليست بالضرورة صيغة طولها نصف كيلومتر. على سبيل المثال، يكفي أن تأخذ الوظيفة F(س) = خطيئة سواستبدال المتغير س، دعنا نقول، على س 2 + ج س. سوف تنجح F(س) = الخطيئة ( س 2 + ج س) - هذه وظيفة معقدة. كما أن لديها مشتق، ولكن لن يكون من الممكن العثور عليه باستخدام القواعد التي تمت مناقشتها أعلاه.

ماذا علي أن أفعل؟ في مثل هذه الحالات، يساعد استبدال المتغير والصيغة لمشتقة دالة معقدة على:

F ’(س) = F ’(ر) · ر'، لو سلقد بدل بواسطة ر(س).

كقاعدة عامة، فإن الوضع مع فهم هذه الصيغة أكثر حزنا من مشتق الحاصل. لذلك، من الأفضل أيضًا شرح ذلك باستخدام أمثلة محددة، مع وصف تفصيلي لكل خطوة.

مهمة. البحث عن مشتقات الوظائف: F(س) = ه 2س + 3 ; ز(س) = الخطيئة ( س 2 + ج س)

لاحظ أنه إذا كان في الوظيفة F(س) بدلاً من التعبير 2 س+ 3 سيكون سهلا س، ثم نحصل على وظيفة أولية F(س) = ه س. لذلك، نقوم بإجراء بديل: دع 2 س + 3 = ر, F(س) = F(ر) = ه ر. نحن نبحث عن مشتق دالة معقدة باستخدام الصيغة:

F ’(س) = F ’(ر) · ر ’ = (ه ر)’ · ر ’ = ه ر · ر ’

والآن - انتبه! نقوم بإجراء الاستبدال العكسي: ر = 2س+ 3. نحصل على:

F ’(س) = ه ر · ر ’ = ه 2س+ 3 (2 س + 3)’ = ه 2س+ 3 2 = 2 ه 2س + 3

الآن دعونا نلقي نظرة على الوظيفة ز(س). من الواضح أنه يحتاج إلى استبداله س 2 + ج س = ر. لدينا:

ز ’(س) = ز ’(ر) · ر= (خطيئة ر)’ · ر' = كوس ر · ر ’

الاستبدال العكسي: ر = س 2 + ج س. ثم:

ز ’(س) = كوس ( س 2 + ج س) · ( س 2 + ج س)' = كوس ( س 2 + ج س) · (2 س + 1/س).

هذا كل شئ! وكما يتبين من التعبير الأخير، فقد تم اختصار المشكلة برمتها إلى حساب مجموع المشتقات.

إجابة:
F ’(س) = 2 · ه 2س + 3 ;
ز ’(س) = (2س + 1/س) كوس ( س 2 + ج س).

في كثير من الأحيان في دروسي، بدلاً من مصطلح "مشتق"، أستخدم كلمة "رئيسي". على سبيل المثال، حد المجموع يساوي مجموع الحدود. هل هذا أوضح؟ حسنا هذا جيد.

وبالتالي، فإن حساب المشتقة يهدف إلى التخلص من هذه الضربات نفسها وفقًا للقواعد التي تمت مناقشتها أعلاه. كمثال أخير، دعونا نعود إلى القوة المشتقة مع الأس العقلاني:

(س ن)’ = ن · س ن − 1

قليل من الناس يعرفون ذلك في هذا الدور نقد يكون رقمًا كسريًا. على سبيل المثال، الجذر هو س 0.5. ماذا لو كان هناك شيء فاخر تحت الجذر؟ مرة أخرى، ستكون النتيجة وظيفة معقدة - فهم يحبون إعطاء مثل هذه الإنشاءات في الاختبارات والامتحانات.

مهمة. العثور على مشتق من وظيفة:

أولاً، دعونا نعيد كتابة الجذر كقوة ذات أس نسبي:

F(س) = (س 2 + 8س − 7) 0,5 .

الآن نقوم بإجراء بديل: دع س 2 + 8س − 7 = ر. نجد المشتق باستخدام الصيغة:

F ’(س) = F ’(ر) · ر ’ = (ر 0.5)' · ر' = 0.5 · ر-0.5 · ر ’.

لنقم بالاستبدال العكسي: ر = س 2 + 8س− 7. لدينا:

F ’(س) = 0.5 · ( س 2 + 8س− 7) −0.5 · ( س 2 + 8س− 7)' = 0.5 · (2 س+ 8) ( س 2 + 8س − 7) −0,5 .

وأخيراً العودة إلى الجذور:

ليس من الصحيح تمامًا تسمية الوظائف ذات النوع المعقد بمصطلح "الوظيفة المعقدة". على سبيل المثال، يبدو مثيرا للإعجاب للغاية، ولكن هذه الوظيفة ليست معقدة، على عكس.

في هذه المقالة، سوف نفهم مفهوم الدالة المعقدة، ونتعلم كيفية تعريفها كجزء من الدوال الأولية، ونقدم صيغة للعثور على مشتقتها، ونفكر بالتفصيل في حل الأمثلة النموذجية.

عند حل الأمثلة، سنستخدم باستمرار جدول المشتقات وقواعد التفاضل، لذا احتفظ بها أمام عينيك.

وظيفة معقدةهي وظيفة وسيطتها هي أيضًا وظيفة.

من وجهة نظرنا، هذا التعريف هو الأكثر مفهومة. تقليديًا، يمكن الإشارة إليه كـ f(g(x)) . أي أن g(x) يشبه وسيطة الدالة f(g(x)) .

على سبيل المثال، افترض أن f هي دالة ظل قوسية و g(x) = lnx هي دالة اللوغاريتم الطبيعي، ثم تكون الدالة المعقدة f(g(x)) هي arctan(lnx) . مثال آخر: f دالة الرفع إلى القوة الرابعة، و هي وظيفة عقلانية كاملة (انظر)، إذن .

في المقابل، يمكن أن تكون g(x) أيضًا دالة معقدة. على سبيل المثال، . تقليديا، يمكن الإشارة إلى مثل هذا التعبير على أنه . هنا f هي دالة الجيب، وهي دالة الجذر التربيعي، - دالة عقلانية كسرية. من المنطقي أن نفترض أن درجة تداخل الوظائف يمكن أن تكون أي عدد طبيعي محدود.

يمكنك غالبًا سماع وظيفة معقدة تسمى تكوين الدوال.

صيغة لإيجاد مشتق دالة معقدة.

مثال.

أوجد مشتقة دالة معقدة.

حل.

في هذا المثال، f هي دالة التربيع وg(x) = 2x+1 هي الدالة الخطية.

فيما يلي الحل التفصيلي باستخدام صيغة مشتقة الوظيفة المعقدة:

دعونا نوجد هذه المشتقة عن طريق تبسيط صورة الدالة الأصلية أولًا.

لذلك،

كما ترون، النتائج هي نفسها.

حاول ألا تخلط بين الدالة f وأيها g(x) .

دعنا نوضح ذلك بمثال لإظهار انتباهك.

مثال.

البحث عن مشتقات الوظائف المعقدة و .

حل.

في الحالة الأولى، f هي دالة التربيع وg(x) هي دالة الجيب، لذا
.

في الحالة الثانية، f هي دالة جيبية، وهي دالة قوة. لذلك، من خلال صيغة منتج دالة معقدة لدينا

الصيغة المشتقة للدالة لها الشكل

مثال.

وظيفة التفريق .

حل.

في هذا المثال، يمكن كتابة الدالة المعقدة بشكل تقليدي كـ ، أين هي دالة الجيب، دالة القوة الثالثة، دالة اللوغاريتم الأساسي، دالة ظل القوس والدالة الخطية، على التوالي.

وفقا لصيغة مشتق دالة معقدة

الآن نجد

دعونا نجمع النتائج المتوسطة التي تم الحصول عليها:

لا يوجد شيء مخيف، قم بتحليل الوظائف المعقدة مثل دمى التعشيش.

قد تكون هذه نهاية المقال إن لم يكن لشيء واحد..

من المستحسن أن نفهم بوضوح متى يتم تطبيق قواعد التفاضل وجدول المشتقات، ومتى يتم تطبيق صيغة مشتقة دالة معقدة.

كن حذرًا للغاية الآن. سنتحدث عن الفرق بين الوظائف المعقدة والوظائف المعقدة. إن نجاحك في إيجاد المشتقات سيعتمد على مدى رؤيتك لهذا الاختلاف.

لنبدأ بأمثلة بسيطة. وظيفة يمكن اعتبارها معقدة: g(x) = tgx , . لذلك، يمكنك تطبيق صيغة مشتقة دالة معقدة على الفور

وهنا هي الوظيفة لم يعد من الممكن أن يسمى معقدة.

هذه الدالة هي مجموع ثلاث دوال، 3tgx و1. على الرغم من أن - هي دالة معقدة: - دالة قوة (القطع المكافئ التربيعي)، وf هي دالة ظل. لذلك، نطبق أولاً صيغة التمايز الإجمالي:

يبقى إيجاد مشتقة الدالة المعقدة:

لهذا .

نأمل أن تحصل على جوهر.

إذا نظرنا على نطاق أوسع، فيمكن القول أن الوظائف من النوع المعقد يمكن أن تكون جزءًا من الوظائف المعقدة، والوظائف المعقدة يمكن أن تكون مكونات لوظائف من النوع المعقد.

على سبيل المثال، دعونا نحلل الوظيفة إلى الأجزاء المكونة لها .

أولاً، هذه دالة معقدة يمكن تمثيلها كـ ، حيث f هي دالة اللوغاريتم ذات الأساس 3، وg(x) هو مجموع دالتين و . إنه، .

ثانيًا، دعونا نتعامل مع الدالة h(x) . يمثل علاقة .

هذا هو مجموع وظيفتين و ، أين - دالة معقدة ذات معامل عددي 3. - وظيفة المكعب، - وظيفة جيب التمام، - وظيفة خطية.

هذا هو مجموع وظيفتين و أين - دالة معقدة، - دالة أسية، - دالة قوة.

هكذا، .

ثالث، انتقل إلى ، وهو نتاج دالة معقدة والوظيفة العقلانية بأكملها

دالة التربيع هي دالة اللوغاريتم للأساس e.

لذلك، .

دعونا نلخص:

الآن أصبح هيكل الوظيفة واضحًا وأصبح من الواضح ما هي الصيغ وبأي تسلسل يجب تطبيقه عند التمييز بينها.

في القسم الخاص بتفاضل دالة (العثور على المشتقة)، يمكنك التعرف على حل المشكلات المشابهة.

من السهل جدًا تذكرها.

حسنًا، دعونا لا نذهب بعيدًا، فلنفكر فورًا في الدالة العكسية. ما هي الدالة المعكوسة للدالة الأسية؟ اللوغاريتم:

في حالتنا، الأساس هو الرقم:

يُطلق على مثل هذا اللوغاريتم (أي اللوغاريتم ذو الأساس) اسم "طبيعي" ، ونستخدم له رمزًا خاصًا: نكتب بدلاً من ذلك.

ما هو يساوي؟ بالطبع، .

مشتق اللوغاريتم الطبيعي بسيط جدًا أيضًا:

أمثلة:

1. العثور على مشتق من وظيفة.
2. ما هو مشتق الدالة؟

الإجابات: اللوغاريتم الأسي والطبيعي هما دالتان بسيطتان بشكل فريد من منظور مشتق. إن الدوال الأسية واللوغاريتمية مع أي أساس آخر سيكون لها مشتق مختلف، وهو ما سنحلله لاحقا، بعد أن نتطرق إلى قواعد الاشتقاق.

قواعد التمايز

قواعد ماذا؟ مرة أخرى مصطلح جديد، مرة أخرى؟!...

التفاضلهي عملية العثور على المشتق.

هذا كل شئ. ماذا يمكنك أن تسمي هذه العملية في كلمة واحدة؟ ليست مشتقة... يطلق علماء الرياضيات على التفاضل نفس زيادة الدالة عند. يأتي هذا المصطلح من التمايز اللاتيني - الاختلاف. هنا.

عند استخلاص كل هذه القواعد، سنستخدم دالتين، على سبيل المثال، و. سنحتاج أيضًا إلى صيغ لزياداتها:

هناك 5 قواعد في المجموع.

يتم إخراج الثابت من علامة المشتقة.

إذا - بعض العدد الثابت (ثابت)، إذن.

من الواضح أن هذه القاعدة تعمل أيضًا على الاختلاف: .

دعونا نثبت ذلك. فليكن، أو أبسط.

أمثلة.

أوجد مشتقات الدوال:

1. عند نقطة ما؛
2. عند نقطة ما؛
3. عند نقطة ما؛
4. عند هذه النقطة.

حلول:

1. (المشتق هو نفسه في جميع النقاط، لأنه دالة خطية، تذكر؟)؛

مشتق من المنتج

كل شيء مشابه هنا: فلنقدم دالة جديدة ونجد زيادتها:

المشتق:

أمثلة:

1. أوجد مشتقات الدوال و؛
2. أوجد مشتقة الدالة عند نقطة ما.

حلول:

مشتق من الدالة الأسية

الآن معرفتك كافية لتتعلم كيفية العثور على مشتقة أي دالة أسية، وليس فقط الأسس (هل نسيت ما هو حتى الآن؟).

لذلك، أين هو بعض العدد.

نحن نعرف بالفعل مشتقة الدالة، لذا دعونا نحاول اختزال الدالة إلى أساس جديد:

للقيام بذلك، سوف نستخدم قاعدة بسيطة: . ثم:

حسنًا، لقد نجحت. حاول الآن إيجاد المشتقة، ولا تنس أن هذه الدالة معقدة.

حدث؟

وهنا راجع نفسك:

تبين أن الصيغة مشابهة جدًا لمشتقة الأس: كما كانت، ظلت كما هي، ولم يظهر سوى عامل، وهو مجرد رقم، ولكنه ليس متغيرًا.

أمثلة:
أوجد مشتقات الدوال:

الإجابات:

هذا مجرد رقم لا يمكن حسابه بدون آلة حاسبة، أي أنه لا يمكن تدوينه بشكل أبسط. ولذلك نتركها على هذه الصورة في الجواب.

لاحظ أن هنا حاصل ضرب وظيفتين، لذلك نطبق قاعدة التمايز المقابلة:

في هذا المثال، ناتج وظيفتين:

مشتق من دالة لوغاريتمية

الأمر مشابه هنا: أنت تعرف بالفعل مشتقة اللوغاريتم الطبيعي:

ولذلك، للعثور على لوغاريتم اختياري مع قاعدة مختلفة، على سبيل المثال:

علينا اختزال هذا اللوغاريتم إلى الأساس. كيف يمكنك تغيير قاعدة اللوغاريتم؟ أتمنى أن تتذكر هذه الصيغة:

الآن فقط سنكتب بدلاً من ذلك:

المقام هو ببساطة ثابت (رقم ثابت، بدون متغير). يتم الحصول على المشتق بكل بساطة:

لا يتم العثور على مشتقات الدوال الأسية واللوغاريتمية أبدًا في امتحان الدولة الموحدة، لكن معرفتها لن تكون زائدة عن الحاجة.

مشتق من وظيفة معقدة.

ما هي "الوظيفة المعقدة"؟ لا، هذا ليس لوغاريتمًا، وليس ظلًا قوسيًا. يمكن أن يكون من الصعب فهم هذه الوظائف (على الرغم من أنك إذا وجدت اللوغاريتمات صعبة، فاقرأ موضوع "اللوغاريتمات" وستكون بخير)، ولكن من وجهة نظر رياضية، فإن كلمة "معقدة" لا تعني "صعبة".

تخيل حزامًا ناقلًا صغيرًا: شخصان يجلسان ويقومان ببعض الإجراءات باستخدام بعض الأشياء. على سبيل المثال، يقوم الأول بتغليف قطعة من الشوكولاتة في غلاف، والثاني يربطها بشريط. والنتيجة هي كائن مركب: قطعة من الشوكولاتة ملفوفة ومربوطة بشريط. لتناول قطعة من الشوكولاتة، عليك القيام بالخطوات العكسية بترتيب عكسي.

لنقم بإنشاء مسار رياضي مماثل: أولاً سنجد جيب تمام الرقم، ثم نقوم بتربيع الرقم الناتج. لذلك، حصلنا على رقم (الشوكولاتة)، وأجد جيب تمامها (الغلاف)، ثم قمت بتربيع ما حصلت عليه (اربطه بشريط). ماذا حدث؟ وظيفة. هذا مثال على دالة معقدة: للعثور على قيمتها، نقوم بالإجراء الأول مباشرة مع المتغير، ثم الإجراء الثاني بما نتج عن الأول.

بعبارة أخرى، الدالة المعقدة هي دالة تكون حجتها دالة أخرى: .

على سبيل المثال لدينا، .

يمكننا بسهولة القيام بنفس الخطوات بترتيب عكسي: أولاً تقوم بتربيعه، ثم أبحث عن جيب التمام للرقم الناتج: . من السهل تخمين أن النتيجة ستكون مختلفة دائمًا تقريبًا. من السمات المهمة للوظائف المعقدة: عندما يتغير ترتيب الإجراءات، تتغير الوظيفة.

المثال الثاني: (نفس الشيء). .

سيتم استدعاء الإجراء الذي قمنا به أخيرًا وظيفة "خارجية".، ويتم تنفيذ الإجراء أولاً - وفقًا لذلك وظيفة "داخلية".(هذه أسماء غير رسمية، أستخدمها فقط لشرح المادة بلغة بسيطة).

حاول أن تحدد بنفسك أي وظيفة خارجية وأي وظيفة داخلية:

الإجابات:إن فصل الوظائف الداخلية والخارجية يشبه إلى حد كبير تغيير المتغيرات: على سبيل المثال، في دالة

1. ما الإجراء الذي سنقوم به أولاً؟ أولاً، دعونا نحسب جيب الجيب، وبعد ذلك فقط نقوم بتكعيبه. وهذا يعني أنها وظيفة داخلية، ولكنها وظيفة خارجية.
   والوظيفة الأصلية هي تركيبها : .
2. داخلي: ؛ خارجي: .
   فحص: .
3. داخلي: ؛ خارجي: .
   فحص: .
4. داخلي: ؛ خارجي: .
   فحص: .
5. داخلي: ؛ خارجي: .
   فحص: .

نغير المتغيرات ونحصل على دالة.

حسنًا، الآن سوف نستخرج لوح الشوكولاتة الخاص بنا ونبحث عن المشتق. يتم دائمًا عكس الإجراء: أولاً نبحث عن مشتقة الدالة الخارجية، ثم نضرب النتيجة في مشتقة الدالة الداخلية. بالنسبة للمثال الأصلي، يبدو كما يلي:

مثال آخر:

لذا، دعونا أخيرًا صياغة القاعدة الرسمية:

خوارزمية لإيجاد مشتق دالة معقدة:

يبدو الأمر بسيطا، أليس كذلك؟

دعونا نتحقق من الأمثلة:

حلول:

1) داخلي: ;

خارجي: ؛

2) داخلي: ;

(فقط لا تحاول قطعها الآن! لا شيء يخرج من تحت جيب التمام، تذكر؟)

3) داخلي: ;

خارجي: ؛

من الواضح على الفور أن هذه وظيفة معقدة من ثلاثة مستويات: فهي بالفعل وظيفة معقدة في حد ذاتها، ونقوم أيضًا باستخراج الجذر منها، أي أننا نقوم بالإجراء الثالث (وضع الشوكولاتة في غلاف) ومع شريط في الحقيبة). ولكن لا يوجد سبب للخوف: مازلنا "نفك" هذه الوظيفة بنفس الترتيب المعتاد: من النهاية.

وهذا يعني أننا نفرق أولاً بين الجذر، ثم جيب التمام، وعندها فقط التعبير بين قوسين. وبعد ذلك نضرب كل شيء.

في مثل هذه الحالات، يكون من المناسب ترقيم الإجراءات. وهذا هو، دعونا نتخيل ما نعرفه. بأي ترتيب سننفذ الإجراءات لحساب قيمة هذا التعبير؟ لنلقي نظرة على مثال:

كلما تم تنفيذ الإجراء لاحقًا، أصبحت الوظيفة المقابلة أكثر "خارجية". تسلسل الإجراءات هو نفسه كما كان من قبل:

هنا يكون التعشيش بشكل عام على مستوى 4. دعونا نحدد ترتيب العمل.

1. التعبير الراديكالي. .

2. الجذر. .

3. جيب. .

4. ساحة. .

5. تجميع كل ذلك معًا:

المشتق. باختصار عن الأشياء الرئيسية

مشتق من وظيفة- نسبة زيادة الدالة إلى زيادة الوسيطة لزيادة متناهية الصغر في الوسيطة:

المشتقات الأساسية:

قواعد التمايز:

يتم إخراج الثابت من علامة المشتقة:

مشتق من المبلغ:

مشتق من المنتج:

مشتق الحاصل:

مشتق من وظيفة معقدة:

خوارزمية لإيجاد مشتق دالة معقدة:

1. نحدد الدالة "الداخلية" ونجد مشتقتها.
2. نحدد الدالة "الخارجية" ونجد مشتقتها.
3. نضرب نتائج النقطتين الأولى والثانية.

لا تتناسب الوظائف ذات النوع المعقد دائمًا مع تعريف الوظيفة المعقدة. إذا كانت هناك دالة بالشكل y = sin x - (2 - 3) · a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11، فلا يمكن اعتبارها معقدة، على عكس y = sin 2 x.

ستوضح هذه المقالة مفهوم الوظيفة المعقدة وتحديدها. دعونا نتعامل مع الصيغ لإيجاد المشتقة مع أمثلة للحلول في الاستنتاج. يؤدي استخدام جدول المشتقات وقواعد التمايز إلى تقليل الوقت اللازم للعثور على المشتق بشكل كبير.

التعاريف الأساسية

التعريف 1

الدالة المعقدة هي التي تكون حجتها دالة أيضًا.

يتم الإشارة إليه بهذه الطريقة: f (g (x)). لدينا أن الدالة g (x) تعتبر وسيطة f (g (x)).

التعريف 2

إذا كانت هناك دالة f وهي دالة ظل التمام، فإن g(x) = ln x هي دالة اللوغاريتم الطبيعي. نجد أن الدالة المعقدة f (g (x)) ستكتب بالشكل arctg(lnx). أو الدالة f وهي دالة مرفوعة للقوة الرابعة حيث g (x) = x 2 + 2 x - 3 تعتبر دالة كسرية كاملة، نحصل على أن f (g (x)) = (x 2 + 2 س - 3) 4 .

من الواضح أن g(x) يمكن أن تكون معقدة. من المثال y = sin 2 x + 1 x 3 - 5 يتضح أن قيمة g لها الجذر التكعيبي للكسر. يمكن الإشارة إلى هذا التعبير كـ y = f (f 1 (f 2 (x))). من هنا نجد أن f هي دالة جيبية، وf 1 هي دالة تقع تحت الجذر التربيعي، f 2 (x) = 2 x + 1 x 3 - 5 هي دالة كسرية.

التعريف 3

يتم تحديد درجة التداخل بأي عدد طبيعي وتكتب بالشكل y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))))) .

التعريف 4

يشير مفهوم تكوين الوظيفة إلى عدد الوظائف المتداخلة وفقًا لظروف المشكلة. لحل هذه المشكلة، استخدم صيغة إيجاد مشتقة دالة معقدة في النموذج

(f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x)

أمثلة

مثال 1

أوجد مشتقة دالة مركبة بالصيغة y = (2 x + 1) 2.

حل

يوضح الشرط أن f هي دالة تربيعية، وأن g(x) = 2 x + 1 تعتبر دالة خطية.

دعونا نطبق الصيغة المشتقة لدالة معقدة ونكتب:

f " (g (x)) = ((g (x)) 2) " = 2 (g (x)) 2 - 1 = 2 g (x) = 2 (2 x + 1) ; g " (x) = (2 x + 1) " = (2 x) " + 1 " = 2 x " + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f (g (x))) " = f " (ز (س)) ز " (س) = 2 (2 س + 1) 2 = 8 س + 4

من الضروري العثور على المشتق بشكل أصلي مبسط للدالة. نحن نحصل:

ص = (2 س + 1) 2 = 4 × 2 + 4 × + 1

من هنا لدينا ذلك

y " = (4 x 2 + 4 x + 1) " = (4 x 2) " + (4 x) " + 1 " = 4 (x 2) " + 4 (x) " + 0 = = 4 · 2 · × 2 - 1 + 4 · 1 · × 1 - 1 = 8 × + 4

وكانت النتائج هي نفسها.

عند حل مشاكل من هذا النوع، من المهم أن نفهم أين ستكون وظيفة النموذج f و g (x).

مثال 2

يجب أن تجد مشتقات الدوال المعقدة بالشكل y = sin 2 x و y = sin x 2.

حل

ينص تدوين الدالة الأول على أن f هي دالة التربيع وg(x) هي دالة الجيب. ثم حصلنا على ذلك

y " = (sin 2 x) " = 2 sin 2 - 1 x (sin x) " = 2 sin x cos x

يُظهر الإدخال الثاني أن f هي دالة جيبية، وg(x) = x 2 تشير إلى دالة طاقة. ويترتب على ذلك أننا نكتب منتج دالة معقدة كـ

y " = (sin x 2) " = cos (x 2) (x 2) " = cos (x 2) 2 x 2 - 1 = 2 x cos (x 2)

صيغة المشتق y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x))))) ستكتب بالشكل y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (. ( و ن (خ)))) · و ١ " (ف ٢ (ف ٣ (. . . (ف ن (خ)))) · · و ٢ " (ف ٣ (. . . (و ن (خ) . )) )) · . . . الجبهة الوطنية "(خ)

مثال 3

أوجد مشتقة الدالة y = sin (ln 3 a r c t g (2 x)).

حل

يوضح هذا المثال صعوبة الكتابة وتحديد أماكن الوظائف. ثم y = f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) تشير إلى حيث f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) هي دالة الجيب، دالة الرفع إلى 3 درجات، وظيفة مع اللوغاريتم والقاعدة e، والدالة الظلية والدالة الخطية.

من صيغة تحديد دالة معقدة لدينا ذلك

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4) (x)) و 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x)

نحصل على ما نحتاج إلى العثور عليه

1. f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))))) كمشتقة الجيب وفقًا لجدول المشتقات، ثم f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 ( x)))) ) = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) .
2. f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) كمشتق لدالة القدرة، ثم f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 ln 3 - 1 a r c t g (2 x) = 3 ln 2 a r c t g (2 x) .
3. f 2 " (f 3 (f 4 (x))) كمشتق لوغاريتمي، ثم f 2 " (f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x) .
4. f 3 " (f 4 (x)) كمشتقة ظل قوسي، ثم f 3 " (f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2.
5. عند إيجاد المشتقة f 4 (x) = 2 x، استخرج 2 من إشارة المشتقة باستخدام صيغة مشتقة دالة قوة ذات أس يساوي 1، ثم f 4 " (x) = (2 x) ) " = 2 × " = 2 · 1 · × 1 - 1 = 2 .

نحن نجمع بين النتائج المتوسطة ونحصل على ذلك

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4) (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x) = = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) 3 ln 2 a r c t g (2 x) 1 a r c t g (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 cos (ln 3 a r c t g (2 x)) ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) (1 + 4 x 2)

إن تحليل مثل هذه الوظائف يذكرنا بدمى التعشيش. لا يمكن دائمًا تطبيق قواعد التفاضل بشكل صريح باستخدام جدول مشتق. غالبًا ما تحتاج إلى استخدام صيغة للعثور على مشتقات الدوال المعقدة.

هناك بعض الاختلافات بين المظهر المعقد والوظائف المعقدة. مع القدرة الواضحة على التمييز بين ذلك، سيكون العثور على المشتقات أمرًا سهلاً بشكل خاص.

مثال 4

ومن الضروري النظر في إعطاء مثل هذا المثال. إذا كانت هناك دالة بالشكل y = t g 2 x + 3 t g x + 1، فيمكن اعتبارها دالة معقدة بالصيغة g (x) = t g x، f (g) = g 2 + 3 g + 1 . من الواضح أنه من الضروري استخدام الصيغة لمشتق معقد:

f " (g (x)) = (g 2 (x) + 3 g (x) + 1) " = (g 2 (x)) " + (3 g (x)) " + 1 " = 2 · ز 2 - 1 (س) + 3 جم " (س) + 0 = 2 جم (س) + 3 1 جم 1 - 1 (س) = = 2 جم (س) + 3 = 2 ر ز x + 3 ; g " (x) = (t g x) " = 1 cos 2 x ⇒ y " = (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = (2 t g x + 3 ) · 1 كوس 2 س = 2 ر ج س + 3 كوس 2 س

دالة من الصيغة y = t g x 2 + 3 t g x + 1 لا تعتبر معقدة، لأنها تحتوي على مجموع t g x 2، 3 t g x و 1. ومع ذلك، t g x 2 تعتبر دالة معقدة، ثم نحصل على دالة قوة بالصيغة g (x) = x 2 و f، وهي دالة ظل. للقيام بذلك، قم بالتمييز حسب المبلغ. لقد حصلنا على ذلك

y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = = (t g x 2) " + 3 (t g x) " + 0 = (t g x 2) " + 3 كوس 2 س

دعنا ننتقل إلى إيجاد مشتق دالة معقدة (t g x 2) ":

f " (g (x)) = (t g (g (x))) " = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g " (x) = (x 2) " = 2 x 2 - 1 = 2 x ⇒ (t g x 2) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 x cos 2 (x 2)

نحصل على y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x

يمكن تضمين الوظائف من النوع المعقد في الوظائف المعقدة، ويمكن أن تكون الوظائف المعقدة نفسها مكونات لوظائف من النوع المعقد.

مثال 5

على سبيل المثال، فكر في دالة معقدة على الصورة y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1)

يمكن تمثيل هذه الدالة بالشكل y = f (g (x))، حيث قيمة f هي دالة للوغاريتم ذو الأساس 3، ويعتبر g (x) مجموع وظيفتين من النموذج h (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 و k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) . من الواضح أن y = f (h (x) + k (x)).

خذ بعين الاعتبار الدالة h(x). هذه هي النسبة l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 إلى m (x) = e x 2 + 3 3

لدينا أن l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) هو مجموع الدالتين n (x) = x 2 + 7 و p ( x) = 3 cos 3 (2 x + 1) , حيث p (x) = 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) هي دالة معقدة ذات معامل عددي 3، وp 1 هي دالة مكعبة، p 2 بواسطة دالة جيب التمام، p 3 (x) = 2 x + 1 بواسطة دالة خطية.

وجدنا أن m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) هو مجموع الدالتين q (x) = e x 2 و r (x) = 3 3، حيث q (x) = q 1 (q 2 (x)) هي دالة معقدة، q 1 هي دالة ذات أسية، q 2 (x) = x 2 هي دالة قوة.

هذا يوضح أن h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3 (خ))) ف 1 (ف 2 (س)) + ص (س)

عند الانتقال إلى تعبير بالشكل k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) = s (x) · t (x) فمن الواضح أن الدالة مقدمة في شكل s معقد ( x) = ln 2 x = s 1 ( s 2 (x)) بعدد صحيح نسبي t (x) = x 2 + 1، حيث s 1 هي دالة تربيعية، وs 2 (x) = ln x لوغاريتمية قاعدة ه.

ويترتب على ذلك أن التعبير سوف يأخذ الشكل k (x) = s (x) · t (x) = s 1 (s 2 (x)) · t (x).

ثم حصلنا على ذلك

y = سجل 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 ( س))) ف 1 (ف 2 (س)) = ص (س) + ق 1 (ق 2 (س)) ر (س)

بناءً على هياكل الدالة، أصبح من الواضح كيف وما هي الصيغ التي يجب استخدامها لتبسيط التعبير عند التمييز بينه. للتعرف على مثل هذه المشاكل ومفهوم حلها، من الضروري أن ننتقل إلى نقطة اشتقاق دالة، أي إيجاد مشتقتها.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter