ቬክተሮችን በመጋጠሚያ ምሳሌዎች መቀነስ። ከቬክተሮች ጋር ክዋኔዎች

ፍቺ

የቬክተሮች መጨመር በተጠቀሰው መሰረት ይከናወናል የሶስት ማዕዘን ደንብ.

መጠን ሁለት ቬክተሮችየቬክተር ፍጻሜ እና የቬክተር ጅምር ከተጋጠሙ (ምስል 1) ጋር ተመሳሳይ የሆነ ሶስተኛውን ቬክተር ብለው ይጠሩታል, መጀመሪያው ከመጀመሪያው እና መጨረሻው ጋር ይጣጣማል (ምስል 1).

ለመደመር ቬክተሮችትይዩአሎግራም ደንቡም ይሠራል።

ፍቺ

Parallelogram ደንብ- ሁለት ኮሊኔር ያልሆኑ ቬክተሮች ወደ አንድ የጋራ አመጣጥ ከመጡ ቬክተሩ በቬክተሮች ላይ ከተገነባው ትይዩ ዲያግናል (ምስል 2) ጋር ይጣጣማል። ከዚህም በላይ የቬክተሩ መጀመሪያ ከተሰጡት ቬክተሮች መጀመሪያ ጋር ይጣጣማል.

ፍቺ

ቬክተሩ ይባላል ተቃራኒ ቬክተርከሆነ ወደ ቬክተር ኮላይኔርቬክተር, ከርዝመቱ ጋር እኩል ነው, ነገር ግን ወደ ቬክተሩ በተቃራኒ አቅጣጫ ይመራል.

የቬክተር መጨመሪያ ክዋኔው የሚከተሉት ባህሪያት አሉት:

ፍቺ

በልዩነት ቬክተሮችሁኔታው እንዲሟላለት ቬክተር ይባላል፡ (ምስል 3)።

ቬክተርን በቁጥር ማባዛት።

ፍቺ

ስራው ቬክተር በቁጥርሁኔታዎችን የሚያሟላ ቬክተር ነው፡-

ቬክተርን በቁጥር የማባዛት ባህሪያት፡-

እዚህ እና የዘፈቀደ ቬክተሮች ናቸው, እና የዘፈቀደ ቁጥሮች ናቸው.

Euclidean ቦታ(እንዲሁም Euclidean ቦታ) - በመነሻው ስሜት, ንብረቶቹ የተገለጹበት ቦታ axioms Euclidean ጂኦሜትሪ. በዚህ ሁኔታ, ቦታው እንዳለው ይገመታል ልኬትከ 3 ጋር እኩል ነው.

በዘመናዊው ትርጉም፣ በጥቅሉ ሲታይ፣ ከተመሳሳይ እና በቅርብ ተዛማጅ ነገሮች ውስጥ አንዱን ማለት ሊሆን ይችላል፡- ውሱን-ልኬት እውነተኛ የቬክተር ቦታበእሱ ላይ በአዎንታዊ ግልጽነት አስተዋውቋል scalar ምርት, ወይም ሜትሪክ ቦታ, ከእንደዚህ አይነት የቬክተር ቦታ ጋር የሚዛመድ. በዚህ ጽሑፍ ውስጥ, የመጀመሪያው ትርጉም እንደ መነሻ ይወሰዳል.

ልኬት Euclidean ቦታ ደግሞ ብዙውን ጊዜ (ከዐውደ-ጽሑፉ ግልጽ ከሆነ ቦታው Euclidean መዋቅር እንዳለው ከሆነ).

የ Euclidean ቦታን ለመወሰን, እንደ መሰረታዊ ጽንሰ-ሐሳብ መውሰድ በጣም ቀላል ነው ነጥብ ምርት. Euclidean ቬክተር ቦታ እንደ ይገለጻል ውሱን-ልኬት የቬክተር ቦታበላይ መስክ እውነተኛ ቁጥሮችበማን ቬክተር ላይ ተሰጥቷል እውነተኛ ዋጋ ያለው ተግባርየሚከተሉት ሦስት ንብረቶች አሉት:

የአፊን ቦታከእንዲህ ዓይነቱ የቬክተር ቦታ ጋር የሚዛመደው ኢውክሊዲያን አፊን ቦታ ወይም በቀላሉ Euclidean space ይባላል። .

የዩክሊዲያን ቦታ ምሳሌ የሚቻለውን ሁሉ ያካተተ የተቀናጀ ቦታ ነው። n- እሺ እውነተኛ ቁጥሮች ፣ በቀመርው የሚወሰነው ስካላር ምርት

መሰረት እና የቬክተር መጋጠሚያዎች

መሰረት (የድሮ ግሪክβασις, መሠረት) - የእንደዚህ አይነት ስብስብ ቬክተሮችቪ የቬክተር ቦታ, ማንኛውም የዚህ ቦታ ቬክተር በቅጹ ውስጥ ልዩ በሆነ መልኩ ሊወከል ይችላል መስመራዊ ጥምረትከዚህ ስብስብ ቬክተሮች - መሠረት ቬክተሮች.

መሠረቱ ማለቂያ የሌለው ከሆነ ፣ “የመስመራዊ ጥምረት” ጽንሰ-ሀሳብ ማብራሪያን ይፈልጋል። ይህ ወደ ሁለት ዋና ዋና የትርጉም ዓይነቶች ይመራል-

የሃሜል መሰረት, የማን ፍቺው ውስን የሆኑ የመስመር ውህዶችን ብቻ ይመለከታል። የሃሜል መሰረት በዋናነት በአብስትራክት አልጀብራ (በተለይ፣ ሊኒያር አልጀብራ) ውስጥ ጥቅም ላይ ይውላል።

Schauder መሠረት, ትርጉሙም ማለቂያ የሌላቸውን የመስመራዊ ውህዶችን ማለትም መስፋፋትን ይመለከታል ደረጃዎች. ይህ ፍቺ በዋናነት በተግባራዊ ትንተና በተለይም ለ የሂልበርት ቦታ,

በመጨረሻ-ልኬት ክፍተቶች ውስጥ, ሁለቱም የመሠረት ዓይነቶች ይጣጣማሉ.

የቬክተር መጋጠሚያዎች- ብቸኛው የሚቻለውን ውህዶች መስመራዊ ጥምረት መሰረታዊ ቬክተሮችበተመረጠው ውስጥ የማስተባበር ሥርዓት, ከዚህ ቬክተር ጋር እኩል ነው.

የቬክተር መጋጠሚያዎች የት አሉ.

Scalar ምርት.

በሁለት ላይ ቀዶ ጥገና ቬክተሮች, ውጤቱም ቁጥር[ቬክተሮችን በሚመለከቱበት ጊዜ, ቁጥሮች ብዙ ጊዜ ይጠራሉ scalars]፣ ከአስተባባሪ ስርዓቱ ነፃ የሆነ እና የፋክተር ቬክተሮች ርዝመትን የሚለይ እና ጥግበእነርሱ መካከል. ይህ ክዋኔ ከማባዛት ጋር ይዛመዳል ርዝመትቬክተር xላይ ትንበያቬክተር yወደ ቬክተር x. ይህ ክዋኔ በአብዛኛው እንደ ይቆጠራል ተላላፊእና መስመራዊለእያንዳንዱ ምክንያት.

Scalar ምርትሁለት ቬክተሮች ከተዛማጅ መጋጠሚያዎቻቸው ምርቶች ድምር ጋር እኩል ነው፡

የቬክተር ጥበብ ስራ

ይህ pseudovector, ቀጥ ያለበሁለት ምክንያቶች የተሰራ አውሮፕላን, ይህም ውጤቱ ነው ሁለትዮሽ ክወና"የቬክተር ማባዛት" አልቋል ቬክተሮችበሶስት ገጽታዎች Euclidean ቦታ. የመስቀል ምርት ባህሪያት የሉትም ተለዋዋጭነትእና ተባባሪነት(ነው ፀረ-ተመጣጣኝ) እና በተለየ መልኩ የቬክተሮች scalar ምርት, ቬክተር ነው. በብዙ የምህንድስና እና ፊዚክስ መተግበሪያዎች ውስጥ በሰፊው ጥቅም ላይ ውሏል። ለምሳሌ, የማዕዘን ፍጥነትእና የሎሬንትስ ኃይልእንደ ቬክተር ምርት በሂሳብ ተጽፏል። የመስቀሉ ምርቱ የቬክተሮችን perpendicularity "ለመለካት" ጠቃሚ ነው - የሁለት ቬክተሮች የመስቀል ምርት ሞጁል ከነሱ ሞዱሊዎች ምርት ጋር እኩል ነው, እና ቬክተሮች ትይዩ ወይም አንቲፓራሌል ከሆኑ ወደ ዜሮ ይቀንሳል.

የቬክተር ጥበብ ስራሁለት ቬክተሮችን በመጠቀም ማስላት ይቻላል የሚወስን ማትሪክስ

የተቀላቀለ ስራ

የተቀላቀለ ምርት ቬክተሮች -scalar ምርት ቬክተርላይ የቬክተር ምርት ቬክተሮችእና፡-

አንዳንድ ጊዜ ይባላል ባለሶስት-scalar ምርትቬክተሮች, በውጤቱ እውነታ ምክንያት ይመስላል ስካላር(ይበልጥ በትክክል - pseudoscalar).

ጂኦሜትሪክ ትርጉም፡-የተቀላቀለው ምርት ሞጁል በቁጥር ከድምጽ ጋር እኩል ነው ትይዩ፣ የተማረ ቬክተሮች .የተደባለቀ ሥራሶስት ቬክተሮችን በመወሰን በኩል ማግኘት ይቻላል

አውሮፕላን በጠፈር ውስጥ

አውሮፕላን - አልጀብራ ገጽየመጀመሪያ ትዕዛዝ: ውስጥ የካርቴዥያ መጋጠሚያ ስርዓትአውሮፕላን ሊገለጽ ይችላል እኩልታየመጀመሪያ ዲግሪ.

የአውሮፕላኑ አንዳንድ የባህርይ ባህሪያት

አውሮፕላን - ላዩን, እያንዳንዱን ሙሉ በሙሉ የያዘ ቀጥተኛ, ማንኛውንም ማገናኘት ነጥቦች;

ሁለቱ አውሮፕላኖች ትይዩ ናቸው ወይም ቀጥታ መስመር ይገናኛሉ።

ቀጥ ያለ መስመር ከአውሮፕላኑ ጋር ትይዩ ነው, ወይም በአንድ ቦታ ላይ ያቋርጠዋል, ወይም በአውሮፕላኑ ላይ ነው.

በተመሳሳዩ አውሮፕላን ላይ ቀጥ ያሉ ሁለት መስመሮች እርስ በእርሳቸው ትይዩ ናቸው.

በአንድ መስመር ላይ ቀጥ ያሉ ሁለት አውሮፕላኖች እርስ በእርሳቸው ትይዩ ናቸው.

እንደዚሁም ክፍልእና ክፍተት, ጽንፍ ነጥቦችን ያላካተተ አውሮፕላን የጊዜ ክፍተት አውሮፕላን ወይም ክፍት አውሮፕላን ተብሎ ሊጠራ ይችላል.

የአውሮፕላኑ አጠቃላይ እኩልታ (ሙሉ)

የት እና ቋሚዎች, እና በተመሳሳይ ጊዜ ከዜሮ ጋር እኩል አይደሉም; ቪ ቬክተርቅጽ፡

የነጥቡ ራዲየስ ቬክተር የት አለ, ቬክተር በአውሮፕላኑ ላይ ቀጥ ያለ (የተለመደው ቬክተር). አስጎብኚዎችኮሳይንስ ቬክተር፡

Scalars ልክ እንደ መደበኛ ቁጥሮች ሊጨመሩ፣ ሊባዙ እና ሊከፋፈሉ ይችላሉ።

አንድ ቬክተር በቁጥር እሴት ብቻ ሳይሆን በአቅጣጫም ስለሚታወቅ የቬክተር መጨመር ቁጥሮችን ለመጨመር ደንቦችን አያከብርም. ለምሳሌ, የቬክተሮች ርዝማኔዎች ይንገሩን ሀ= 3 ሜትር ለ= 4 ሜትር, ከዚያም ሀ + ለ= 3 m + 4 m = 7 m. ግን የቬክተር ርዝመት \ (\ vec c = \vec a + \vec b \) ከ 7 ሜትር ጋር እኩል አይሆንም (ምስል 1).

ሩዝ. 1.

ቬክተሩን ለመገንባት \ (\ vec c = \ vec a + \ vec b \) (ምስል 2) ቬክተሮችን ለመጨመር ልዩ ደንቦች ይተገበራሉ.

ሩዝ. 2.

እና ድምር ቬክተር \(\vec c = \vec a + \vec b\) ርዝመት የሚወሰነው በኮሳይን ቲዎረም \(c = \sqrt(a^2+b^2-2a\cdot b\cdot \) ነው። cos \alpha)\ ), \ (\ alpha \, \) በቬክተሮች \ (\vec a \) እና \ (\ vec b \) መካከል ያለው አንግል ነው.

የሶስት ማዕዘን ህግ

በውጭ አገር ሥነ-ጽሑፍ ይህ ዘዴ "ጭራ ወደ ራስ" ይባላል.

ሁለት ቬክተሮችን ለመጨመር \(\ vec a \) እና \ (\vec b \) (ምስል 3, ሀ) ጅምር ከራሱ ጋር እንዲመሳሰል ቬክተሩን \(\vec b \) ከራሱ ጋር ማንቀሳቀስ ያስፈልግዎታል ። የቬክተር መጨረሻ \ (\ vec a \) (ምስል 3, ለ). ከዚያም ድምራቸው ቬክተር \(\vec c \) ይሆናል, ይህም መጀመሪያ ከቬክተር \ (\vec a \) መጀመሪያ ጋር የሚገጣጠም, እና መጨረሻው ከቬክተር መጨረሻ ጋር \ (\vec b \) ነው. (ምስል 3, ሐ)

a b c ምስል. 3.

በቬክተር \ (\ vec b \) (ምስል 4) ምትክ ቬክተር \ (\ vec a \) ካንቀሳቀሱ ውጤቱ አይለወጥም, ማለትም. \(\vec b + \vec a = \vec a + \vec b\) ( የቬክተሮች ተጓዥ ንብረት).

a b c ምስል. 4. ቬክተር-ትሬግ-1.swf"የሶስት ማዕዘን ህግ" ምሳሌ 1 ብልጭታ አሰፋ ቬክተር-ትሬግ-2.swf"የሶስት ማዕዘን ህግ" ምሳሌ 2 ፍላሽ አሰፋ ምስል. 5.

የሶስት ማዕዘን ህግን በመጠቀም ሁለት ትይዩ ቬክተሮች \(\ vec a \) እና \ (\ vec b \) (ምስል 6, a) እና \ (\ vec a \) እና \ (\ vec d \) (\ vec d \) ምስል 7, ሀ). የእነዚህ ቬክተሮች ድምር \(\vec c = \vec a + \vec b\) እና \(\vec f = \vec a + \vec d \) በምስል ላይ ይታያሉ። 6፣ ለ እና 7፣ ለ. ከዚህም በላይ የቬክተሮች ሞጁሎች \(c = a + b \) እና \(f=\ግራ|a-d\ቀኝ|\)።

ሀ ለ ምስል. 6. ሀ ለ ምስል. 7.

ሶስት ወይም ከዚያ በላይ ቬክተሮች ሲጨመሩ የሶስት ማዕዘን ደንቡ ሊተገበር ይችላል. ለምሳሌ \(\vec c = \vec a_1 + \vec a_2 +\vec a_3 +\vec a_4 \) (ምስል 8)።

ሩዝ. 8.

Parallelogram ደንብ

ሁለት ቬክተሮችን ለመጨመር \(\ vec a \) እና \ (\ vec b \) (ምስል 9, ሀ) ከራሳቸው ጋር ትይዩ ማንቀሳቀስ ያስፈልግዎታል ስለዚህ የቬክተሮች መጀመሪያ \ (\ vec a \) እና \ (\ vec b \) በአንድ ነጥብ ላይ ነበሩ (ምስል 9, ለ). ከዚያም ጎኖቹ እነዚህ ቬክተሮች የሚሆኑበት ትይዩ (ምስል 9, ሐ) ይገንቡ. ከዚያም ድምር \(\ vec a+ \ vec b \) ቬክተር \ (\vec c \) ይሆናል, ይህም መጀመሪያ ከቬክተሮች የጋራ ጅምር ጋር የሚገጣጠም ሲሆን መጨረሻው ደግሞ ከትይዩ ተቃራኒው ጫፍ ጋር (ምስል). 9፣ መ)።

ሀ ለ በ d ምስል. 9. vector-paral-1.swf"ትይዩ የሆነ ህግ" የፍላሽ ምስልን ያሳድጉ። 10.

የቬክተር መቀነስ

በሁለት ቬክተር \(\ vec a \) እና \(\vec b\) (ምስል 11) መካከል ያለውን ልዩነት ለማግኘት ቬክተር \(\vec c = \ vec a + \ ግራ(-) ማግኘት አለቦት። \vec b \ቀኝ) \) (ሴሜ.

ቬክተር በመጠን እና በአቅጣጫ ተለይቶ የሚታወቅ (ለምሳሌ ማጣደፍ፣ መፈናቀል) አቅጣጫ ከሌሉት scalars (ለምሳሌ ርቀት፣ ጉልበት) የሚወረወር የሂሳብ ነገር ነው። ስካላር እሴቶቻቸውን በመጨመር መጨመር ይቻላል (ለምሳሌ 5 ኪ.ጂ ስራ እና 6 ኪ.ጁ ስራ ከ 11 ኪ.ጁ ጋር እኩል ነው), ነገር ግን ቬክተሮች ለመጨመር እና ለመቀነስ ቀላል አይደሉም.

እርምጃዎች

የታወቁ አካላት ያላቸው ቬክተሮች መጨመር እና መቀነስ

ቬክተሮች መጠንና አቅጣጫ ስላላቸው በ x፣ y እና/ወይም z ልኬቶች ላይ ተመስርተው ወደ ክፍሎች ሊከፋፈሉ ይችላሉ። እነሱ ብዙውን ጊዜ በተቀናጀ ስርዓት ውስጥ ካሉ ነጥቦች ጋር በተመሳሳይ መንገድ ይሰየማሉ (ለምሳሌ ፣<х,у,z>). ክፍሎቹ የሚታወቁ ከሆነ ቬክተሮች መጨመር/መቀነስ x, y, z መጋጠሚያዎች የመደመር / የመቀነስ ያህል ቀላል ነው.

• ቬክተሮች አንድ-ልኬት፣ ሁለት-ልኬት ወይም ባለ ሶስት አቅጣጫዊ ሊሆኑ እንደሚችሉ ልብ ይበሉ። ስለዚህ ቬክተሮች የ "x" አካል "x" እና "y" ክፍሎች ወይም "x", "y", "z" ክፍሎች ሊኖራቸው ይችላል. 3D ቬክተሮች ከዚህ በታች ተብራርተዋል, ነገር ግን ሂደቱ ለ 1D እና 2D vectors ተመሳሳይ ነው.
• ሁለት ባለ ሶስት አቅጣጫዊ ቬክተር ተሰጥቷችኋል እንበል - ቬክተር A እና ቬክተር ለ. እነዚህን ቬክተሮች በቬክተር መልክ ይጻፉ፡ A = እና B = , a1 እና a2 "x" ክፍሎች ሲሆኑ, b1 እና b2 "y" ክፍሎች ናቸው, c1 እና c2 "z" ክፍሎች ናቸው.

1. ሁለት ቬክተሮችን ለመጨመር, ተጓዳኝ ክፍሎቻቸውን ይጨምሩ.በሌላ አነጋገር የመጀመሪያውን ቬክተር x አካልን ወደ ሁለተኛው ቬክተር x አካል (እና የመሳሰሉትን) ይጨምሩ. በውጤቱም, የውጤቱ ቬክተር የ x, y, z ክፍሎችን ያገኛሉ.

   • ኤ+ቢ = .
   • ቬክተር A እና B. A = እንጨምር<5, 9, -10>እና B =<17, -3, -2>. A+B=<5+17, 9+-3, -10+-2>, ወይም <22, 6, -12> .

2. አንዱን ቬክተር ከሌላው ለመቀነስ ተጓዳኝ ክፍሎችን መቀነስ ያስፈልግዎታል.ከታች እንደሚታየው መቀነስ አንዱን ቬክተር እና የሌላውን ተገላቢጦሽ ቬክተር በመጨመር መተካት ይቻላል. የሁለት ቬክተር አካላት የሚታወቁ ከሆነ የአንዱን ቬክተር ተጓዳኝ አካላት ከሌላው አካላት ይቀንሱ።

   • አ-ቢ =
   • ቬክተር A እና B. A = ቀንስ<18, 5, 3>እና B =<-10, 9, -10>. ሀ - ለ =<18--10, 5-9, 3--10>, ወይም <28, -4, 13> .

   ግራፊክ መደመር እና መቀነስ

   1. ቬክተሮች መጠንና አቅጣጫ ስላላቸው መጀመሪያ እና መጨረሻ አላቸው (የመነሻ ነጥብ እና የመጨረሻ ነጥብ፣ በመካከላቸው ያለው ርቀት ከቬክተሩ ዋጋ ጋር እኩል ነው)። አንድ ቬክተር በግራፊክ ሲታይ, እንደ ቀስት ይሳባል, ጫፉ የቬክተሩ መጨረሻ ነው, እና ተቃራኒው ነጥብ የቬክተር መጀመሪያ ነው.

      • ቬክተሮችን በሚያቅዱበት ጊዜ ሁሉንም ማዕዘኖች በትክክል ያቅዱ; አለበለዚያ የተሳሳተ መልስ ያገኛሉ.

   2. ቬክተሮችን ለመጨመር የእያንዳንዱ የቀድሞ ቬክተር መጨረሻ ከሚቀጥለው የቬክተር መጀመሪያ ጋር እንዲገናኝ ይሳሉ. ሁለት ቬክተሮችን ብቻ እየጨመሩ ከሆነ ውጤቱን ከማግኘትዎ በፊት ማድረግ ያለብዎት ያ ብቻ ነው።

      • እባክዎን ቬክተሮች የተገናኙበት ቅደም ተከተል አስፈላጊ እንዳልሆነ ያስተውሉ, ማለትም, ቬክተር A + vector B = vector B + vector A.

   3. ቬክተርን ለመቀነስ በቀላሉ የተገላቢጦሹን ቬክተር ይጨምሩ ማለትም የተቀነሰውን ቬክተር አቅጣጫ ይቀይሩ እና ከዚያ አጀማመሩን ከሌላ ቬክተር መጨረሻ ጋር ያገናኙት። በሌላ አነጋገር ቬክተርን ለመቀነስ 180 o (በመነሻው ዙሪያ) አዙረው ወደ ሌላ ቬክተር ይጨምሩ።

      ስንት (ከሁለት በላይ) ቬክተር ካከሉ ወይም ከቀነሱ ጫፎቻቸውን እና ጅምርዎቻቸውን በተከታታይ ያገናኙ። ቬክተሮችን የሚያገናኙበት ቅደም ተከተል ምንም አይደለም. ይህ ዘዴ ለማንኛውም የቬክተሮች ብዛት ጥቅም ላይ ሊውል ይችላል.

   4. ከመጀመሪያው ቬክተር መጀመሪያ ጀምሮ እና በመጨረሻው ቬክተር መጨረሻ (የተጨመረው የቬክተር ብዛት አስፈላጊ አይደለም) አዲስ ቬክተር ይሳሉ. ከሁሉም የተጨመሩ ቬክተሮች ድምር ጋር እኩል የሆነ የውጤት ቬክተር ያገኛሉ። ይህ ቬክተር የሁሉንም ቬክተር የ x፣ y እና z ክፍሎች በመጨመር ከተገኘው ቬክተር ጋር አንድ አይነት መሆኑን ልብ ይበሉ።

      • የቬክተሮችን ርዝማኔ እና በመካከላቸው ያሉትን ማዕዘኖች በትክክል ከሳሉ, ውጤቱን ርዝመቱን በመለካት በቀላሉ የተገኘውን የቬክተር ዋጋ ማግኘት ይችላሉ. በተጨማሪም የውጤቱን ቬክተር አቅጣጫ ለማግኘት አንግልን (በውጤት ቬክተር እና በሌላ በተገለጹ ቬክተር ወይም አግድም/ቋሚ መስመሮች መካከል) መለካት ይችላሉ።
      • የቬክተሮችን ርዝማኔዎች እና በመካከላቸው ያሉትን ማዕዘኖች በትክክል ከሳሉ, ከዚያም የተገኘውን የቬክተር ዋጋ ትሪግኖሜትሪ በመጠቀም ማለትም ሳይን ቲዎረም ወይም ኮሳይን ቲዎረም ማግኘት ይችላሉ. ብዙ ቬክተሮች (ከሁለት በላይ) እየጨመሩ ከሆነ በመጀመሪያ ሁለት ቬክተር ይጨምሩ, ከዚያም የተገኘውን ቬክተር እና ሶስተኛውን ቬክተር ወዘተ ይጨምሩ. ለበለጠ መረጃ ቀጣዩን ክፍል ይመልከቱ።

   5. ዋጋውን እና አቅጣጫውን በማመልከት የተገኘውን ቬክተር ያቅርቡ.ከላይ እንደተገለፀው, የተጨመሩትን የቬክተሮች ርዝማኔዎች እና በመካከላቸው ያሉትን ማዕዘኖች በትክክል ከሳሉ, የተገኘው የቬክተር ዋጋ ከርዝመቱ ጋር እኩል ነው, እና አቅጣጫው በእሱ እና በቋሚ ወይም አግድም መስመር መካከል ያለው አንግል ነው. . ወደ ቬክተር እሴት, የሚጨመሩ / የሚቀነሱ ቬክተሮች የተሰጡበትን የመለኪያ አሃዶች መመደብን አይርሱ.

      • ለምሳሌ፣ በ m/s የሚለኩ የፍጥነት ቬክተሮችን ካከሉ፣ ከዚያም በተገኘው ቬክተር ዋጋ ላይ “m/s” ን ጨምሩ፣ እና የውጤቱን የቬክተር አንግል ደግሞ “o ወደ አግድም መስመር” ቅርጸት ያመልክቱ።

   ክፍሎቻቸውን እሴቶችን በማግኘት ቬክተሮችን መጨመር እና መቀነስ

   1. የቬክተር ክፍሎችን እሴቶችን ለማግኘት የእራሳቸውን እና አቅጣጫቸውን (ከአግድም ወይም ቀጥታ መስመር አንጻር አንግል) እሴቶችን ማወቅ ያስፈልግዎታል. ባለ ሁለት አቅጣጫዊ ቬክተርን ተመልከት. የቀኝ ትሪያንግል hypotenuse ያድርጉት ፣ ከዚያ እግሮች (ከ X እና Y ዘንጎች ጋር ትይዩ) የዚህ ትሪያንግል የቬክተር አካላት ይሆናሉ። እነዚህ ክፍሎች እንደ ሁለት ቬክተር ተያይዘው ሊወሰዱ ይችላሉ, እነዚህም አንድ ላይ ሲጨመሩ ዋናውን ቬክተር ይሰጣሉ.

      • የዋናው ቬክተር የሁለቱ ክፍሎች (የ x እና y ክፍሎች) ርዝመቶች (እሴቶች) ትሪጎኖሜትሪ በመጠቀም ሊሰሉ ይችላሉ። "x" የዋናው ቬክተር ዋጋ (ሞዱሉስ) ከሆነ ከዋናው ቬክተር አንግል አጠገብ ያለው የቬክተር አካል xcosθ ሲሆን የቬክተር አካል ደግሞ ከመጀመሪያው የቬክተር አንግል ተቃራኒ xsinθ ነው።
      • የክፍሎቹን አቅጣጫ ትኩረት መስጠት አስፈላጊ ነው. አንድ አካል ከአንዱ መጥረቢያ አቅጣጫ በተቃራኒ ከተመራ ዋጋው አሉታዊ ይሆናል ፣ ለምሳሌ ፣ ባለ ሁለት-ልኬት አስተባባሪ አውሮፕላን ክፍሉ ወደ ግራ ወይም ወደ ታች የሚመራ ከሆነ።
      • ለምሳሌ, ሞጁል (ዋጋ) 3 እና 135 o አቅጣጫ (ከአግድም አንፃር) ያለው ቬክተር ተሰጥቷል. ከዚያም የ "x" ክፍል ከ 3cos 135 = -2.12 ጋር እኩል ነው, እና "y" ክፍል ከ 3sin135 = 2.12 ጋር እኩል ነው.

   2. አንዴ የተጨመሩትን ሁሉንም የቬክተሮች አካላት ካገኙ በኋላ በቀላሉ እሴቶቻቸውን ይጨምሩ እና የተገኘውን የቬክተር አካል እሴቶችን ያግኙ። በመጀመሪያ የሁሉንም አግድም ክፍሎች (ይህም ከ X-ዘንግ ጋር ትይዩ የሆኑትን ክፍሎች) እሴቶችን ይጨምሩ. ከዚያ የሁሉንም ቋሚ ክፍሎች (ማለትም ከ Y ዘንግ ጋር ትይዩ የሆኑትን ክፍሎች) እሴቶችን ይጨምሩ. የአንድ አካል ዋጋ አሉታዊ ከሆነ, ከመጨመር ይልቅ ይቀንሳል.

      • ለምሳሌ ቬክተሩን እንጨምር<-2,12, 2,12>እና ቬክተር<5,78, -9>. የተገኘው ቬክተር እንደዚህ ይሆናል<-2,12 + 5,78, 2,12-9>ወይም<3,66, -6,88>.

   3. የፓይታጎሪያን ቲዎሪ በመጠቀም የተገኘውን የቬክተር ርዝመት (ዋጋ) አስላ፡- c 2 =a 2 +b 2 (በመጀመሪያው ቬክተር የተሰራው ትሪያንግል እና ክፍሎቹ አራት ማዕዘን ስለሆኑ)። በዚህ ሁኔታ እግሮቹ የውጤቱ ቬክተር የ "x" እና "y" አካላት ናቸው, እና hypotenuse በራሱ ቬክተር ነው.

      • ለምሳሌ, በእኛ ምሳሌ ውስጥ በኒውተን ውስጥ የሚለካውን ኃይል ካከሉ, ከዚያም መልሱን እንደሚከተለው ይፃፉ: 7.79 N በ -61.99 o (ወደ አግድም ዘንግ).
   • ቬክተሮችን ከሞዱሊዎቻቸው (እሴቶቻቸው) ጋር አያምታቱ።
   • ተመሳሳይ አቅጣጫ ያላቸው ቬክተሮች እሴቶቻቸውን በመጨመር ወይም በመቀነስ በቀላሉ መጨመር ወይም መቀነስ ይችላሉ። ሁለት ተቃራኒ አቅጣጫ ያላቸው ቬክተሮች ከተጨመሩ እሴቶቻቸው ከመጨመር ይልቅ ይቀንሳሉ.
   • እንደ x የሚወከሉት ቬክተሮች እኔ+ y ጄ+ z ክተዛማጁን ውህዶች በማከል ወይም በመቀነስ መጨመር ወይም መቀነስ ይቻላል። እንዲሁም መልሱን i,j,k በሚለው ቅጽ ይጻፉ.
   • በሶስት አቅጣጫዊ ቦታ ላይ ያለው የቬክተር ዋጋ በቀመር በመጠቀም ሊገኝ ይችላል a 2 = b 2 +c 2 +d 2፣ የት ሀ- የቬክተር ዋጋ; ለ፣ ሐ፣እና መ- የቬክተር አካላት.
   • የዓምድ ቬክተሮች በእያንዳንዱ ረድፍ ውስጥ ያሉትን ተጓዳኝ እሴቶች በመጨመር/በመቀነስ መጨመር/መቀነስ ይቻላል።

በዚህ ጽሑፍ ውስጥ በአውሮፕላኑ ውስጥ እና በቦታ ውስጥ በቬክተሮች ሊከናወኑ የሚችሉትን ስራዎች እንመለከታለን. በመቀጠልም በቬክተሮች ላይ ያሉትን የኦፕሬሽኖች ባህሪያት እንዘረዝራለን እና የጂኦሜትሪክ ግንባታዎችን በመጠቀም እናረጋግጣቸዋለን. እንዲሁም ቬክተሮችን የያዙ አገላለጾችን ቀላል ስናደርግ በቬክተር ላይ ያለውን የክዋኔዎች ባህሪያት አጠቃቀም እናሳያለን።

ቁሳቁሱን በተሻለ ሁኔታ ለማዋሃድ, በአንቀጹ ውስጥ የተሰጡትን ፅንሰ-ሀሳቦች የማስታወስ ችሎታዎን እንዲያድሱ እንመክራለን, ቬክተሮች - መሰረታዊ ትርጓሜዎች.

የገጽ አሰሳ።

ሁለት ቬክተሮችን የመጨመር አሠራር የሶስት ማዕዘን ደንብ ነው.

እንዴት እንደሚሆን እናሳይህ ሁለት ቬክተሮች መጨመር.

የቬክተሮች መጨመር እንደዚህ ይከሰታል: ከዘፈቀደ ነጥብ A እኩል የሆነ ቬክተር ይቀመጣል, ከዚያም ከ ነጥብ B እኩል የሆነ ቬክተር ይቀመጣል, እና ቬክተር ነው. የቬክተሮች ድምር እና. ይህ ሁለት ቬክተሮችን የመጨመር ዘዴ ይባላል የሶስት ማዕዘን ደንብ.

በሶስት ማዕዘኑ ደንብ መሰረት በአውሮፕላን ላይ ኮልላይነር ያልሆኑ ቬክተሮች መጨመሩን እናሳይ።

እና ከታች ያለው ስእል በጋራ የሚመሩ እና በተቃራኒ አቅጣጫ የሚመሩ ቬክተሮች መጨመርን ያሳያል.

የበርካታ ቬክተሮች መጨመር - ፖሊጎን ደንብ.

ሁለት ቬክተሮችን ለመጨመር በታሰበው አሠራር መሰረት, ሶስት ወይም ከዚያ በላይ ቬክተሮች መጨመር እንችላለን. በዚህ ሁኔታ የመጀመሪያዎቹ ሁለት ቬክተሮች ተጨምረዋል, ሶስተኛው ቬክተር ወደ ውጤቱ ውጤት, አራተኛው ወደ ውጤቱ ውጤት, ወዘተ.

የበርካታ ቬክተሮች መጨመር በሚከተለው ግንባታ ይከናወናል. ከአውሮፕላኑ ወይም ከቦታው የዘፈቀደ ነጥብ ሀ ከመጀመሪያው ቃል ጋር እኩል የሆነ ቬክተር ተዘርግቷል፣ ከሁለተኛው ቃል ጋር እኩል የሆነ ቬክተር ከመጨረሻው ይቋረጣል ፣ ከሁለተኛው ቃል ጋር እኩል የሆነ ቬክተር ከመጨረሻው ይወገዳል እና ወዘተ. ነጥብ B የመጨረሻው የዘገየ ቬክተር መጨረሻ ይሁን። የእነዚህ ሁሉ ቬክተሮች ድምር ቬክተር ይሆናል.

በዚህ መንገድ በአውሮፕላን ላይ ብዙ ቬክተሮች መጨመር ይባላል ባለብዙ ጎን ደንብ. የባለብዙ ጎን ደንብ ምሳሌ እዚህ አለ።

በጠፈር ውስጥ የበርካታ ቬክተሮች መጨመር በትክክል በተመሳሳይ መንገድ ይከናወናል.

ቬክተርን በቁጥር የማባዛት ተግባር።

አሁን እንዴት እንደሚከሰት እንወቅ ቬክተርን በቁጥር ማባዛት።.

ቬክተርን በቁጥር ማባዛትየቬክተር ዝርጋታ በ k ለ k > 1 ወይም በ 0 ጊዜ መጭመቅ ጋር ይዛመዳል< k < 1 , при k = 1 вектор остается прежним (для отрицательных k еще изменяется направление на противоположное). Если произвольный вектор умножить на ноль, то получим нулевой вектор. Произведение нулевого вектора и произвольного числа есть нулевой вектор.

ለምሳሌ ቬክተርን በቁጥር 2 ስናባዛው ርዝመቱን በእጥፍ እና ተመሳሳይ አቅጣጫን እንጠብቅ እና ቬክተርን ከአንድ ሶስተኛ ሲቀንስ ርዝመቱን በሶስት እጥፍ በመቀነስ አቅጣጫውን ወደ ተቃራኒው መለወጥ አለብን. ግልፅ ለማድረግ የዚህን ጉዳይ ምሳሌ እንስጥ።

በቬክተሮች ላይ የአሠራር ባህሪያት.

ስለዚህ ቬክተር የመደመር ስራ እና ቬክተርን በቁጥር የማባዛት ስራን ገልፀነዋል። በተጨማሪም ፣ ለማንኛውም ቬክተር እና የዘፈቀደ እውነተኛ ቁጥሮች ፣ የጂኦሜትሪክ ግንባታዎችን በመጠቀም የሚከተለውን ማረጋገጥ ይቻላል ። በቬክተሮች ላይ የአሠራር ባህሪያት. አንዳንዶቹ ግልጽ ናቸው.

የታሰቡት ንብረቶች የቬክተር መግለጫዎችን ለመለወጥ እድል ይሰጡናል.

የቬክተር የመደመር ኦፕሬሽን ተለዋዋጭ እና ተያያዥ ባህሪያት በማንኛውም ቅደም ተከተል ቬክተሮችን ለመጨመር ያስችሉዎታል.

በቬክተር መካከል ያለው ልዩነት የቬክተር ድምር ስለሆነ ቬክተሮችን የመቀነስ ተግባር የለም.

በቬክተር ላይ የሚከናወኑ ተግባራትን ከግምት ውስጥ በማስገባት ድምርን፣ የቬክተር ልዩነቶችን እና የቬክተር ምርቶችን በቁጥር በያዙ አገላለጾች ውስጥ ለውጦችን በቁጥር አሃዛዊ መግለጫዎች ልናከናውን እንችላለን።

በምሳሌ እንየው።

የመጀመሪያ ነጥብ ያለው ቬክተር v አስቡበት መነሻ በማንኛውም የ x-y መጋጠሚያ ስርዓት እና በመጨረሻ ነጥብ (a,b) ላይ. ቬክተሩ ገብቷል እንላለን መደበኛ አቀማመጥ እና እንደ ራዲየስ ቬክተር ያመልክቱ. አንድ ጥንድ ነጥቦች ይህንን ቬክተር እንደሚገልጹ ልብ ይበሉ። ስለዚህ ይህንን ቬክተር ለማመልከት ልንጠቀምበት እንችላለን። ቬክተር ማለታችን መሆኑን ለማጉላት እና ግራ መጋባትን ለማስወገድ ብዙውን ጊዜ እንጽፋለን-
v = .

አስተባባሪው ሀ ነው። ስካላር አግድም አካል ቬክተር, እና መጋጠሚያው ለ ስካላር አቀባዊ አካል ቬክተር. ስር ስካላርማለታችን ነው። የቁጥርብዛት, አይደለም ቬክተርመጠን. ስለዚህ ይህ እንደ ይቆጠራል አካል ቅጽቁ. ሀ እና b ቬክተር እንዳልሆኑ እና ከቬክተር አካል ፍቺ ጋር መምታታት እንደሌለባቸው ልብ ይበሉ።

አሁን በ A = (x 1, y 1) እና C = (x 2, y 2) አስቡበት. የራዲየስ ቬክተርን ከ ጋር እንዴት ማግኘት እንደሚቻል እንይ። ከታች በስዕሉ ላይ እንደሚታየው የመነሻ ነጥብ A ወደ መነሻው (0, 0) ተወስዷል. የ P መጋጠሚያዎች የሚገኙት ከ C መጋጠሚያዎች የ A መጋጠሚያዎችን በመቀነስ ነው. ስለዚህም, P = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) እና ራዲየስ ቬክተር ነው.


ሊገለጽ ይችላል እና ተመሳሳይ መጠን እና አቅጣጫ አላቸው, እና ስለዚህ እኩል ናቸው. ስለዚህም = =.

የመለዋወጫ ቅርጽ በ A = (x 1, y 1) እና C = (x 2, y 2) አሉ
= .

ምሳሌ 1የመለዋወጫ ቅጹን C = (- 4, - 3) እና F = (1, 5) ከሆነ ይፈልጉ.

መፍትሄእና አለነ
= = .

እባካችሁ ከላይ በስዕሉ ላይ እንደሚታየው ቬክተሩ ከራዲየስ ቬክተር ጋር እኩል መሆኑን ልብ ይበሉ.

አሁን ቬክተርን በክፍል ቅርፅ እንዴት እንደምንጽፍ ካወቅን፣ አንዳንድ ትርጓሜዎችን እናስቀምጥ።
የቬክተር ቁ ርዝመት የቬክተሩ አካላት በሚታወቁበት ጊዜ ለመወሰን ቀላል ነው. ለ v = እኛ አለን።
|v| 2 = v 2 1 + v 2 2 የፓይታጎሪያን ቲዎረምን በመጠቀም
|v| = √v 2 1 + v 2 2 .

ርዝመት , ወይም መጠን vector v = እንደ |v| ይገኛል። = √v 2 1 + v 2 2 .

ሁለት ቬክተሮች እኩል ነው።ወይም ተመሳሳይ መጠን እና ተመሳሳይ አቅጣጫ ካላቸው ተመጣጣኝ.

እንሂድ = እና v =. ከዚያም
= u 1 = v 1 እና u 2 = v 2 ከሆነ ብቻ።

ከቬክተሮች ጋር ክዋኔዎች

ቬክተር ቪን በአዎንታዊ ቁጥር ለማባዛት ርዝመቱን በዛ ቁጥር እናባዛለን። አቅጣጫው እንደቀጠለ ነው። ቬክተር ቪ በ 2 ሲባዛ ለምሳሌ ርዝመቱ በእጥፍ ይጨምራል ነገር ግን አቅጣጫው አይለወጥም. አንድ ቬክተር በ 1.6 ሲባዛ, ርዝመቱ በ 60% ይጨምራል, ግን አቅጣጫው ተመሳሳይ ነው. ቬክተር ቪን በአሉታዊ እውነተኛ ቁጥር ለማባዛት ርዝመቱን በዛ ቁጥር እናባዛለን እና አቅጣጫውን እንቀይራለን። ለምሳሌ, አንድ ቬክተር በ (-2) ሲባዛ, ርዝመቱ በእጥፍ ይጨምራል እና አቅጣጫው ይገለበጣል. እውነተኛ ቁጥሮች በቬክተር ማባዛት ውስጥ እንደ scalar factors ስለሚሠሩ እኛ እንጠራቸዋለን scalars እና ምርቱ kv ይባላል scalar ብዜቶች ቁ.

ለትክክለኛ ቁጥር k እና አንድ ቬክተር v =, scalar ምርት k እና v ናቸው።
kv = k. = .
ቬክተር kv ነው። scalar ብዜት ቬክተር v.

ምሳሌ 2እንሂድ = እና w =. አግኝ - 7w፣ 3u እና - 1w

መፍትሄ
- 7 ዋ = - 7. =,
3u = 3. =,
- 1 ዋ = - 1. =.

አሁን ክፍሎችን በመጠቀም ሁለት ቬክተሮችን መጨመር እንችላለን. በክፍል ውስጥ ሁለት ቬክተሮችን ለመጨመር, ተጓዳኝ ክፍሎችን እንጨምራለን. እንሂድ = እና v =. ከዚያም
u+v=

ለምሳሌ, v = እና w = ከሆነ, ከዚያ
v + w = ​​=

u = እና v = ከሆነ፣ እንግዲህ
u + v =.

የቬክተር መቀነስን ከመግለጻችን በፊት መግለፅ አለብን - ቁ. ከታች የሚታየው የቬክተር v = ተቃራኒ ነው።
- v = (- 1) .v = (- 1) =

እንደ u - v ያሉ ቬክተሮችን መቀነስ ተጓዳኝ ክፍሎችን መቀነስ ያካትታል. ይህንንም u - v as u + (- v) በመወከል እናሳያለን። u = እና v = ከሆነ፣ እንግዲህ
u - v = u + (- v) = + = =

ለቬክተር መደመር እንዳደረግነው በትይዩ ሎግራም በመጠቀም የቬክተር ቅነሳን በምሳሌ ማስረዳት እንችላለን።

የቬክተር መቀነስ

u = እና v = ከሆነ፣ እንግዲህ
u - v =.

በአንድ ትይዩ ውስጥ የሁለት ቬክተር ድምርን ከተመሳሳይ ሁለት ቬክተር ልዩነት ጋር ማነፃፀር አስደሳች ነው. ቬክተሮች u + v እና u - v የትይዩ ዲያጎኖች ናቸው።

ምሳሌ 3የሚከተሉትን ስሌቶች ያድርጉ u = እና v =.
ሀ) u + v
ለ) u - 6v
ሐ) 3u + 4v
መ)|5v - 2u|

መፍትሄ
ሀ) u + v = + = =;
ለ) u - 6v = - 6. = - =;
ሐ) 3u + 4v = 3. + 4. = + =;
መ) |5v - 2u| = |5. - 2.| = | - | = || = √(- 29) 2 + 21 2 = √1282 ≈ 35.8

የቬክተር መደመር እና ማባዛት ባህሪያትን ከመቅረጽዎ በፊት, ሌላ ልዩ ቬክተር - ዜሮ ቬክተር መግለጽ አለብን. መነሻው ከመጨረሻው ነጥብ ጋር ተመሳሳይ የሆነ ቬክተር ይባላል ዜሮ ቬክተር ኦ፣ ወይም። ዋጋው 0. በቬክተር መጨመር፡-
v + O = v. + =
በቬክተሮች ላይ ያሉ ክዋኔዎች በእውነተኛ ቁጥሮች ላይ ከሚደረጉ ተግባራት ጋር ተመሳሳይ ባህሪያት አላቸው.

የቬክተር መጨመር እና ማባዛት ባህሪያት

ለሁሉም ቬክተር u፣ v እና w፣ እና ለሁሉም scalars b እና c፡
1. u + v = v + u.
2. u + (v + w) = (u + v) + ወ.
3. v + O = v.
4 1.v = v; 0.v = ኦ.
5. v + (- v) = ኦ.
6. b(cv) = (bc) v.
7. (b + c) v = bv + cv.
8. b(u + v) = bu + bv.

ኦርቲ

ቬክተር መጠን ወይም ርዝመት 1 ይባላል ኦርት . ቬክተር v = አሃድ ቬክተር ነው, ምክንያቱም
|v| = || = √(- 3/5) 2 + (4/5) 2 = √9/25 + 16/25 = √25/25 = √1 = 1.

ምሳሌ 4ከቬክተር ጋር ተመሳሳይ አቅጣጫ ያለውን ክፍል ቬክተር ያግኙ w = .

መፍትሄበመጀመሪያ ርዝመቱን እንፈልግ w:
|w| = √(- 3) 2 + 5 2 = √34 ። ስለዚህ እኛ የምንፈልገው ቬክተር 1/√34 of w ርዝመት ያለው እና ከ w ጋር ተመሳሳይ አቅጣጫ ያለው ነው። ይህ ቬክተር ነው።
u = w/√34 = /√34 = 34.5/√34 >።
ቬክተሩ u አንድ ክፍል ቬክተር ነው ምክንያቱም
|ዩ| = |ወ/√34 | = = √9/34 + 25/34 = √34/34 = √1 = 1.

v ቬክተር እና v ≠ ኦ ከሆነ
(1/|v|)። v፣ ወይም v/|v|፣
አለ ኦርት በ v አቅጣጫ.

ምንም እንኳን ቬክተሮች ማንኛውንም አቅጣጫ ቢይዙም ከ x እና y መጥረቢያ ጋር ትይዩ የሆኑ ቬክተሮች በተለይ ጠቃሚ ናቸው። ተብለው ተገልጸዋል።
እኔ = እና j =.

ማንኛውም ቬክተር እንደ ሊገለጽ ይችላል መስመራዊ ጥምረት ዩኒት ቬክተሮች i እና j. ለምሳሌ, v =. ከዚያም
v = = + = v 1 + v 2 = v 1 i + v 2 j.

ምሳሌ 5ቬክተር r = እንደ የ i እና j መስመራዊ ጥምረት ይግለጹ።

መፍትሄ
r = = 2i + (- 6) j = 2i - 6j.

ምሳሌ 6ቬክተር q = - i + 7j በክፍል መልክ ይፃፉ።

መፍትሄ q = - i + 7j = -1i + 7j =

የቬክተር ኦፕሬሽኖች እንዲሁ ቬክተሮች ሊኒያር i እና j ብለው ሲጻፉ ሊከናወኑ ይችላሉ።

ምሳሌ 7 a = 5i - 2j እና b = -i + 8j ከሆነ 3a - bን ያግኙ።

መፍትሄ
3a - b = 3 (5i - 2j) - (- i + 8j) = 15i - 6j + i - 8j = 16i - 14j.

የእይታ ማዕዘኖች

በመደበኛ ቦታ ላይ ያለው የንጥል ቬክተር የመጨረሻ ነጥብ በ (cosθ, sinθ) በተገለጸው የንጥል ክበብ ላይ ያለው ነጥብ ነው. ስለዚህ ዩኒት ቬክተር በክፍል መልክ ሊገለጽ ይችላል.
u =,
ወይም እንደ ዩኒት ቬክተር i እና j የመስመር ጥምር፣
u = (cosθ)i + (sinθ)j፣
የት ክፍሎች u ናቸው ተግባራት የመመልከቻ ማዕዘን θ ከ x-ዘንግ ወደዚህ ቬክተር በተቃራኒ ሰዓት አቅጣጫ ይለካል። θ ከ0 ወደ 2π ስለሚለያይ፣ ነጥብ P ክብውን x 2 + y 2 = 1 ይከታተላል። ይህ ሁሉንም ሊሆኑ የሚችሉ የዩኒት ቬክተሮች አቅጣጫዎችን ይሸፍናል ከዚያም u = (cosθ)i + (sinθ)j የሚቻለውን አሃድ ቬክተር ይገልፃል። በአውሮፕላኑ ውስጥ.

ምሳሌ 8አሃዱን ቬክተር u = (cosθ)i + (sinθ)j ለ θ = 2π/3 አስሉት እና ይሳሉ። በእርስዎ ንድፍ ውስጥ የአንድ ክፍል ክበብ ይሳሉ።

መፍትሄ
u = (cos (2π/3)) i + (ኃጢአት (2π/3)) j = (- 1/2) i + (√3 /2)j

V = ከመመልከቻ አንግል θ ጋር። የታንጀንት ተግባሩን ትርጉም በመጠቀም የእነሱን ክፍሎች የእይታ አንግል v መወሰን እንችላለን-

ምሳሌ 9የቬክተሩን የመመልከቻ አንግል θ ይወስኑ w = - 4i - 3j.

መፍትሄያንን እናውቃለን
ወ = - 4i - 3j =.
ስለዚህም አለን።
tanθ = (- 3)/(- 4) = 3/4 እና θ = ታን - 1 (3/4)።
w በሦስተኛው ኳድራንት ውስጥ ስለሆነ፣ θ የሦስተኛው ኳድራንት አንግል መሆኑን እናውቃለን። ተጓዳኝ አንግል ነው
ታን - 1 (3/4) ≈ 37 °, እና θ ≈ 180 ° + 37 °, ወይም 217 °.

ይህ ከተተገበሩ ችግሮች ጋር አብሮ ለመስራት ይጠቅማል፣ በኋለኞቹ ኮርሶች ደግሞ ቬክተርን የሚገልፅበት መንገድ እንዲኖረን እና መጠኑ እና አቅጣጫውን በቀላሉ ለማወቅ ወይም ለማንበብ ይጠቅማል። ቁ አንድ ቬክተር ይሁን. ከዚያም v/|v| ከቁ ጋር በተመሳሳይ አቅጣጫ ያለው አሃድ ቬክተር ነው። ስለዚህም አለን።
v/|v| = (cosθ)i + (sinθ)j
v = |v|[(cosθ)i + (sinθ)j] በ |v| ማባዛት።
v = |v|(cosθ)i + |v|(sinθ)j.

በቬክተሮች መካከል ያሉ ማዕዘኖች

ቬክተር በስካላር ሲባዛ ውጤቱ ቬክተር ነው። ሁለት ቬክተሮች ሲጨመሩ ውጤቱም ቬክተር ነው. ስለዚህ የሁለት ቬክተሮች ውጤት ቬክተር ነው ብለን ልንጠብቅ እንችላለን ግን ግን አይደለም። Scalar ምርት ሁለት ቬክተሮች ትክክለኛ ቁጥር ወይም ስካላር ናቸው። ይህ ውጤት በሁለት ቬክተሮች መካከል ያለውን አንግል ለማግኘት እና ሁለት ቬክተሮች ቀጥ ያሉ መሆናቸውን ለመወሰን ይጠቅማል።

Scalar ምርትሁለት ቬክተር u = እና v = ነው
ዩ. v = u 1 .v 1 + u 2 .v 2
(U 1 v 1 + u 2 v 2 መሆኑን ልብ ይበሉ ስካላርቬክተር አይደለም.)

ምሳሌ 10መቼ ነው የነጥብ ምርቱን ያግኙ
u =, v = እና w =.
ሀ) ዩ. ወ
ለ) ወ. ቁ

መፍትሄ
ሀ) ዩ. ወ = 2 (- 3) + (- 5)1 = - 6 - 5 = - 11;
ለ) ወ. v = (- 3)0 + 1(4) = 0 + 4 = 4.

የነጥብ ምርቱ በሁለት ቬክተሮች መካከል ያለውን አንግል ለማግኘት ሊያገለግል ይችላል። ጥግ መካከልሁለት ቬክተሮች በሁለት የተመሩ ክፍሎች የተፈጠረ ትንሹ አዎንታዊ አንግል ነው። ስለዚህ θ በ u እና v መካከል በ v እና u መካከል ያለው ተመሳሳይ ማዕዘን እና 0 ≤ θ ≤ π ነው።

θ በሁለት ዜሮ ያልሆኑ ቬክተር u እና v መካከል ያለው አንግል ከሆነ፣ እንግዲያውስ
cosθ = (u . v)/|u||v|.

ምሳሌ 11በ u = እና v = መካከል ያለውን አንግል ይፈልጉ።

መፍትሄእርስዎን በማግኘት እንጀምር። v፣ |u|፣ እና |v|፡
ዩ. v = 3 (- 4) + 7(2) = 2፣
|ዩ| = √3 2 + 7 2 = √58፣ እና
|v| = √(- 4) 2 + 2 2 = √20 ።
ከዚያም
cosα = (u . v)/|u||v| = 2/√58 .√20
α = cos - 1 (2/√58 .√20)
α ≈ 86.6°።

የኃይል ሚዛን

ብዙ ሃይሎች በአንድ ነገር ላይ በተመሳሳይ ነጥብ ላይ ሲሰሩ፣ሚዛን እንዲኖር የቬክተር ድምራቸው ዜሮ መሆን አለበት። የሃይል ሚዛን ሲኖር እቃው ያለ ፍጥነት የሚቆም ወይም ቀጥ ያለ መስመር የሚንቀሳቀስ ነው። ሚዛን ለማግኘት የቬክተር ድምር ከዜሮ ውጤት ጋር እኩል መሆን አለበት እና በተቃራኒው ኃይሎችን የሚያካትቱ ብዙ የተተገበሩ ችግሮችን ለመፍታት ያስችለናል.

ምሳሌ 12 ማንጠልጠያ እገዳ የ 350 ፓውንድ ክፍል በሁለት ገመዶች ታግዷል. ግራ. በ A ነጥብ ላይ እንደዚህ ያሉ ሶስት ኃይሎች አሉ-W ብሎክ ወደ ታች ይጎትታል ፣ እና R እና S (ሁለት ገመዶች) ወደ ላይ እና ወደ ላይ ይወጣሉ። የእያንዳንዱን ገመድ ጭነት ይፈልጉ.

መፍትሄበመነሻው ላይ የእያንዳንዱን ቬክተር መነሻ ነጥቦችን የያዘ ንድፍ እንሳል. ለማመዛዘን የቬክተሮች ድምር ከ O ጋር እኩል መሆን አለበት፡-

R + S + W = O.
እያንዳንዱን ቬክተር በትልቁ እና በእይታ ማዕዘኑ መግለጽ እንችላለን፡-
R = |R|[(cos125°) i + (sin125°) j]፣
S = |S|[(cos37°) i + (sin37°) j]፣ እና
ወ = |ወ|[(cos270°)i + (sin270°)j]
= 350(cos270°) i + 350(sin270°) j
= -350j cos270 ° = 0; sin270° = - 1.
R፣ S እና W በ R + S + W + O በመተካት አለን።
[|R|(cos125°) + |S|(cos37°)] i + [|R|(sin125°) + |S|(sin37°) - 350] j = 0i + 0j.
ይህ የእኩልታዎች ስርዓት ይሰጠናል፡-
|አር|(cos125°) + |ኤስ|(cos37°) = 0፣
|R|(sin125°) + |S|(sin37°) - 350 = 0.
ይህንን ስርዓት መፍታት, እናገኛለን
|አር| ≈ 280 እና |S| ≈ 201.
ስለዚህ, በኬብሎች ላይ ያለው ጭነት 280 ፓውንድ እና 201 ፓውንድ ነው.