ከቅድመ መድፍ ዝግጅት በኋላ፣ ከ3-4-5 የተግባር ጎጆዎች ያሉት ምሳሌዎች ብዙም አስፈሪ ይሆናሉ። የሚከተሉት ሁለት ምሳሌዎች ለአንዳንዶች ውስብስብ ሊመስሉ ይችላሉ፣ነገር ግን ከተረዷቸው (አንድ ሰው ይሠቃያል)፣ ያኔ በዲፈረንሻል ካልኩለስ ውስጥ ያለው ሁሉም ነገር ማለት ይቻላል የሕፃን ቀልድ ይመስላል።
ምሳሌ 2
የአንድ ተግባር ተዋጽኦን ያግኙ
ቀደም ሲል እንደተገለፀው, ውስብስብ ተግባርን አመጣጥ ሲፈልጉ, በመጀመሪያ, አስፈላጊ ነው ቀኝየእርስዎን ኢንቨስትመንቶች ይረዱ። ጥርጣሬዎች በሚኖሩበት ጊዜ, አንድ ጠቃሚ ዘዴን አስታውሳለሁ-የ "x" የሙከራ ዋጋን እንወስዳለን, ለምሳሌ, ይህንን እሴት ወደ "አስፈሪ አገላለጽ" ለመተካት (በአእምሯዊ ወይም ረቂቅ) እንሞክራለን.
1) በመጀመሪያ አገላለጹን ማስላት ያስፈልገናል, ይህም ማለት ድምር በጣም ጥልቅ መክተት ነው.
2) ከዚያ ሎጋሪዝምን ማስላት ያስፈልግዎታል:
4) ከዚያም ኮሳይኑን ኩብ ያድርጉ:
5) በአምስተኛው ደረጃ ልዩነቱ;
6) እና በመጨረሻም ፣ የውጪው ተግባር የካሬ ሥር ነው- 
ውስብስብ ተግባርን ለመለየት ቀመር 
ከውጪው ተግባር ወደ ውስጠኛው ክፍል በተቃራኒው ቅደም ተከተል ይተገበራሉ. እኛ እንወስናለን፡-
ያለ ስህተቶች ይመስላል:
1) የካሬውን ሥር አመጣጥ ውሰድ.
2) ደንቡን በመጠቀም የልዩነቱን መነሻ ይውሰዱ 
3) የሶስትዮሽ አመጣጥ ዜሮ ነው። በሁለተኛው ቃል የዲግሪውን አመጣጥ (ኩብ) እንወስዳለን.
4) የኮሳይን አመጣጥ ይውሰዱ።
6) እና በመጨረሻም ፣ በጣም ጥልቅ የሆነውን የመክተት አመጣጥ እንወስዳለን።
በጣም አስቸጋሪ ሊመስል ይችላል, ግን ይህ በጣም ጨካኝ ምሳሌ አይደለም. ለምሳሌ የኩዝኔትሶቭን ስብስብ እንውሰድ እና ሁሉንም ውበት እና ቀላልነት የተተነተነውን አመጣጥ ያደንቃሉ. ተማሪው ውስብስብ ተግባርን እንዴት ማግኘት እንደሚቻል ወይም አለመረዳቱን ለማረጋገጥ በፈተና ውስጥ ተመሳሳይ ነገር መስጠት እንደሚወዱ አስተውያለሁ።
የሚከተለው ምሳሌ እርስዎ እራስዎ እንዲፈቱ ነው.
ምሳሌ 3
የአንድ ተግባር ተዋጽኦን ያግኙ
ፍንጭ፡ በመጀመሪያ የመስመር ህጎችን እና የምርት ልዩነት ህግን እንተገብራለን
በትምህርቱ መጨረሻ ላይ ሙሉ መፍትሄ እና መልስ.
ወደ ትንሽ እና ቆንጆ ነገር ለመቀጠል ጊዜው አሁን ነው።
አንድ ምሳሌ የሁለት ሳይሆን የሶስት ተግባራትን ምርት ማሳየት የተለመደ ነው። የሶስት ምክንያቶች ምርትን እንዴት ማግኘት ይቻላል?
ምሳሌ 4
የአንድ ተግባር ተዋጽኦን ያግኙ 
በመጀመሪያ እንመለከታለን, የሶስት ተግባራትን ምርት ወደ ሁለት ተግባራት ምርት መቀየር ይቻላል? ለምሳሌ, በምርቱ ውስጥ ሁለት ፖሊኖሚሎች ካሉን, ከዚያም ቅንፎችን መክፈት እንችላለን. ነገር ግን ከግምት ውስጥ ባለው ምሳሌ, ሁሉም ተግባራት የተለያዩ ናቸው-ዲግሪ, ገላጭ እና ሎጋሪዝም.
በእንደዚህ ዓይነት ሁኔታዎች ውስጥ አስፈላጊ ነው በቅደም ተከተልየምርት ልዩነት ደንቡን ይተግብሩ 
ሁለት ግዜ
ዘዴው በ “y” የሁለት ተግባራትን ውጤት እናመልካለን፡ በ “ve” ደግሞ ሎጋሪዝምን እናመልካለን። ይህ ለምን ሊሆን ይችላል? ይቻላል 
- ይህ የሁለት ምክንያቶች ውጤት አይደለም እና ደንቡ አይሰራም?! ምንም የተወሳሰበ ነገር የለም:
አሁን ደንቡን ለሁለተኛ ጊዜ መተግበር ይቀራል ወደ ቅንፍ:
እንዲሁም አንድ ነገር ማጠፍ እና ከቅንፍ ማውጣት ይችላሉ ፣ ግን በዚህ ሁኔታ መልሱን በዚህ ቅጽ ውስጥ በትክክል መተው ይሻላል - ለመፈተሽ ቀላል ይሆናል።
የተመለከተው ምሳሌ በሁለተኛው መንገድ ሊፈታ ይችላል-
ሁለቱም መፍትሄዎች ፍጹም እኩል ናቸው.
ምሳሌ 5
የአንድ ተግባር ተዋጽኦን ያግኙ
ይህ ለገለልተኛ መፍትሄ ምሳሌ ነው, በናሙናው ውስጥ የመጀመሪያውን ዘዴ በመጠቀም ይፈታል.
ተመሳሳይ ምሳሌዎችን ከክፍልፋዮች ጋር እንይ።
ምሳሌ 6
የአንድ ተግባር ተዋጽኦን ያግኙ 
እዚህ መሄድ የምትችልባቸው ብዙ መንገዶች አሉ፡-
ወይም እንደዚህ፡-
ነገር ግን በመጀመሪያ የዋጋውን የመለየት ደንብ ከተጠቀምን መፍትሄው በበለጠ ሁኔታ ይፃፋል 
ለጠቅላላው አሃዛዊ እየወሰደ፡-
በመርህ ደረጃ, ምሳሌው ተፈትቷል, እና እንደተተወው ከሆነ, ስህተት አይሆንም. ነገር ግን ጊዜ ካሎት, መልሱን ማቅለል ይቻል እንደሆነ ለማየት ሁልጊዜ ረቂቅ ላይ መፈተሽ ተገቢ ነው?
የቁጥሩን አገላለጽ ወደ አንድ የጋራ መለያ እንቀንስ እና የክፍልፋይን ባለ ሶስት ፎቅ መዋቅር እናስወግድ:
የተጨማሪ ማቅለል ጉዳቱ መነሻውን ሲፈልጉ ሳይሆን ባናል ትምህርት ቤት በሚቀይሩበት ወቅት ስህተት የመሥራት አደጋ መኖሩ ነው። በሌላ በኩል፣ አስተማሪዎች አብዛኛውን ጊዜ ምደባውን አይቀበሉም እና የመነጩን “አስታውስ” ብለው ይጠይቃሉ።
በእራስዎ ለመፍታት ቀላል ምሳሌ:
ምሳሌ 7
የአንድ ተግባር ተዋጽኦን ያግኙ
ተዋጽኦውን የማግኘት ዘዴዎችን መቆጣጠሩን እንቀጥላለን ፣ እና አሁን “አስፈሪ” ሎጋሪዝም ለመለያየት በሚቀርብበት ጊዜ አንድ የተለመደ ጉዳይ እንመለከታለን።
ከሆነ ሰ(x) እና ረ(ዩ) - የክርክራቸው ልዩነት ያላቸው ተግባራት, በቅደም ተከተል, በነጥቦች xእና ዩ= ሰ(x), ከዚያም ውስብስብ ተግባሩም በነጥቡ ላይ ልዩነት አለው xእና በቀመር ይገኛል
የመነሻ ችግሮችን በሚፈታበት ጊዜ የተለመደው ስህተት ቀላል ተግባራትን ወደ ውስብስብ ተግባራት ለመለየት ደንቦቹን በሜካኒካዊ መንገድ ማስተላለፍ ነው። ይህንን ስህተት ለማስወገድ እንማር።
ምሳሌ 2.የአንድ ተግባር ተዋጽኦን ያግኙ
የተሳሳተ መፍትሄ;የእያንዳንዱን ቃል ተፈጥሯዊ ሎጋሪዝም በቅንፍ አስላ እና የመነጩን ድምር ፈልግ፡-
ትክክለኛ መፍትሄ;እንደገና "ፖም" የት እንዳለ እና "የተቀዳ ስጋ" የት እንዳለ እንወስናለን. እዚህ ላይ በቅንፍ ውስጥ ያለው አገላለጽ ተፈጥሯዊ ሎጋሪዝም “ፖም” ነው፣ ያም ማለት በመካከለኛው ክርክር ላይ ያለ ተግባር ነው። ዩ, እና በቅንፍ ውስጥ ያለው አገላለጽ "የተፈጨ ስጋ" ነው, ማለትም, መካከለኛ ክርክር ዩበገለልተኛ ተለዋዋጭ x.
ከዚያ (ቀመር 14 ከተዋዋጮች ሠንጠረዥ በመጠቀም)
በብዙ የእውነተኛ ህይወት ችግሮች፣ ከሎጋሪዝም ጋር ያለው አገላለጽ በተወሰነ ደረጃ የተወሳሰበ ሊሆን ይችላል፣ ለዚህም ነው ትምህርት ያለው።
ምሳሌ 3.የአንድ ተግባር ተዋጽኦን ያግኙ
የተሳሳተ መፍትሄ;
ትክክለኛ መፍትሄ.በድጋሚ "ፖም" የት እንዳለ እና "ማይኒዝ" የት እንዳለ እንወስናለን. እዚህ ፣ በቅንፍ ውስጥ ያለው አገላለጽ ኮሳይን (ቀመር 7 በተለዋዋጭ ሠንጠረዥ ውስጥ) “ፖም” ነው ፣ እሱ በ 1 ሁነታ ተዘጋጅቷል ፣ እሱም በእሱ ላይ ብቻ ተጽዕኖ ያሳድራል ፣ እና በቅንፍ ውስጥ ያለው አገላለጽ (የዲግሪው አመጣጥ ቁጥር 3 ነው) በተዋጽኦዎች ሠንጠረዥ ውስጥ) “የተፈጨ ሥጋ” ነው ፣ እሱ የሚነካው በሞድ 2 ስር ነው ። እና እንደ ሁልጊዜው, ሁለት ተዋጽኦዎችን ከምርቱ ምልክት ጋር እናገናኛለን. ውጤት፡
የተወሳሰበ የሎጋሪዝም ተግባር ውፅዓት በፈተናዎች ውስጥ ተደጋጋሚ ተግባር ነው፣ ስለዚህ “የሎጋሪዝም ተግባር መነሻ” የሚለውን ትምህርት እንድትከታተሉ አበክረን እንመክራለን።
የመጀመሪያዎቹ ምሳሌዎች ውስብስብ ተግባራት ላይ ነበሩ, በገለልተኛ ተለዋዋጭ ላይ ያለው መካከለኛ ክርክር ቀላል ተግባር ነው. ነገር ግን በተግባራዊ ተግባራት ውስጥ ብዙውን ጊዜ ውስብስብ ተግባርን አመጣጥ መፈለግ አስፈላጊ ነው, መካከለኛው ክርክር እራሱ ውስብስብ ተግባር ነው ወይም ይህን የመሰለ ተግባር ይይዛል. በእንደዚህ ዓይነት ጉዳዮች ምን ማድረግ አለበት? ሠንጠረዦችን እና የልዩነት ደንቦችን በመጠቀም የእንደዚህ አይነት ተግባራት ተዋጽኦዎችን ያግኙ። የመካከለኛው ክርክር ተወላጅ ሲገኝ በቀላሉ በቀመር ውስጥ በትክክለኛው ቦታ ተተክቷል። ከዚህ በታች ይህ እንዴት እንደሚደረግ ሁለት ምሳሌዎች አሉ.
በተጨማሪም, የሚከተሉትን ማወቅ ጠቃሚ ነው. ውስብስብ ተግባር እንደ ሶስት ተግባራት ሰንሰለት ሊወከል የሚችል ከሆነ
ከዚያ የእሱ ተዋጽኦ የእያንዳንዳቸው የእነዚህ ተግባራት ተዋጽኦዎች ውጤት ሆኖ መገኘት አለበት።
አብዛኛዎቹ የቤት ስራዎችዎ መመሪያዎችዎን በአዲስ መስኮቶች እንዲከፍቱ ሊፈልጉ ይችላሉ። ከስልጣኖች እና ሥሮች ጋር እርምጃዎችእና ክዋኔዎች ከክፍልፋዮች ጋር .
ምሳሌ 4.የአንድ ተግባር ተዋጽኦን ያግኙ
የውስብስብ ተግባርን የመለየት ህግን እንተገብራለን ፣ በውጤቱም ተዋጽኦዎች ውስጥ ገለልተኛ ተለዋዋጭን በተመለከተ መካከለኛ ክርክር እንዳለ መርሳት የለብዎትም። xአይለወጥም:
የምርቱን ሁለተኛ ደረጃ እናዘጋጃለን እና ድምርን ለመለየት ደንቡን እንተገብራለን-
ሁለተኛው ቃል ሥሩ ነው, ስለዚህ
ስለዚህም የመካከለኛው ክርክር ድምር ሲሆን እንደ አንዱ ቃላቶቹ ውስብስብ ተግባርን እንደያዘ ደርሰንበታል፡ ወደ ስልጣን ማሳደግ ውስብስብ ተግባር ነው፡ ወደ ስልጣን የሚነሳው ደግሞ ገለልተኛውን በተመለከተ መካከለኛ ክርክር ነው. ተለዋዋጭ x.
ስለዚህ ፣ ውስብስብ ተግባርን ለመለየት ደንቡን እንደገና እንተገብራለን-
የመጀመሪያውን ደረጃ ደረጃ ወደ ሥር እንለውጣለን ፣ እና ሁለተኛውን ሁኔታ በምንለይበት ጊዜ ፣ የቋሚው አመጣጥ ከዜሮ ጋር እኩል መሆኑን አይርሱ።
አሁን በችግር መግለጫው ውስጥ የሚፈለገውን ውስብስብ ተግባር አመጣጥ ለማስላት የሚያስፈልገውን የመካከለኛውን ክርክር መነሻ ማግኘት እንችላለን y:
ምሳሌ 5.የአንድ ተግባር ተዋጽኦን ያግኙ
በመጀመሪያ ፣ ድምርን ለመለየት ደንቡን እንጠቀማለን-
የሁለት ውስብስብ ተግባራት ተዋጽኦዎች ድምርን አግኝተናል። የመጀመሪያውን እንፈልግ፡-
እዚህ ላይ፣ ሳይን ወደ ሃይል ማሳደግ ውስብስብ ተግባር ነው፣ እና ሳይን እራሱ ለነጻ ተለዋዋጭ መካከለኛ ክርክር ነው። x. ስለዚህ, በመንገድ ላይ, የተወሳሰበ ተግባርን የመለየት ህግን እንጠቀማለን ጉዳዩን ከቅንፍ ማውጣት :
አሁን የተግባሩ ተዋጽኦዎች ሁለተኛ ቃል እናገኛለን y:
እዚህ ኮሳይን ወደ ሃይል ማሳደግ ውስብስብ ተግባር ነው። ረ, እና ኮሳይን እራሱ በገለልተኛ ተለዋዋጭ ውስጥ መካከለኛ ክርክር ነው x. ውስብስብ የሆነን ተግባር ለመለየት ደንቡን እንደገና እንጠቀም፡-
ውጤቱ የሚፈለገው መነሻ ነው፡-
የአንዳንድ ውስብስብ ተግባራት ተዋጽኦዎች ሰንጠረዥ
ለተወሳሰቡ ተግባራት ፣ ውስብስብ ተግባርን የመለየት ደንብ ላይ በመመስረት ፣ የቀላል ተግባር አመጣጥ ቀመር የተለየ መልክ ይይዛል።
| 1. ውስብስብ የኃይል ተግባር የተገኘ, የት ዩ x |  |
| 2. የመግለጫው ሥር የተገኘ | |
| 3. የአርቢ ተግባር የተገኘ |  |
| 4. የአርቢ ተግባር ልዩ ጉዳይ | |
| 5. የዘፈቀደ አወንታዊ መሠረት ያለው የሎጋሪዝም ተግባር የተገኘ ሀ |  |
| 6. ውስብስብ የሎጋሪዝም ተግባር የተገኘ, የት ዩ- የክርክሩ ልዩነት ተግባር x | |
| 7. የሳይን አመጣጥ |  |
| 8. የኮሳይን አመጣጥ |  |
| 9. የታንጀንት አመጣጥ |  |
| 10. የብክለት ምንጭ |  |
| 11. የ arcsine አመጣጥ |  |
| 12. የአርክ ኮሳይን አመጣጥ |  |
| 13. የአርክታንጀንት አመጣጥ |  |
| 14. የ arc cotangent አመጣጥ |  |
የአንድ ውስብስብ አይነት ተግባራት "ውስብስብ ተግባር" የሚለውን ቃል መጥራት ሙሉ በሙሉ ትክክል አይደለም. ለምሳሌ, በጣም አስደናቂ ይመስላል, ነገር ግን ይህ ተግባር የተወሳሰበ አይደለም, በተቃራኒው.
በዚህ ጽሑፍ ውስጥ, ውስብስብ ተግባርን ጽንሰ-ሐሳብ እንረዳለን, እንደ የመጀመሪያ ደረጃ ተግባራት አካል እንዴት መለየት እንደሚቻል እንማራለን, የእሱን አመጣጥ ለማግኘት ቀመር እንሰጣለን እና የተለመዱ ምሳሌዎችን መፍትሄ በዝርዝር እንመለከታለን.
ምሳሌዎችን በምንፈታበት ጊዜ የመነሻዎችን እና የልዩነት ህጎችን ሰንጠረዥ በቋሚነት እንጠቀማለን ፣ ስለሆነም በዓይንዎ ፊት ያቆዩዋቸው።
ውስብስብ ተግባርመከራከሪያውም ተግባር የሆነ ተግባር ነው።
ከእኛ አንጻር ይህ ፍቺ በጣም ለመረዳት የሚቻል ነው. በተለምዶ፣ እንደ f(g(x)) ሊገለጽ ይችላል። ማለትም g(x) እንደ የተግባር ሙግት ነው f(g(x)) .
ለምሳሌ፣ f የ arctangent ተግባር እና g(x) = lnx የተፈጥሮ ሎጋሪዝም ተግባር ይሁን፣ ከዚያም ውስብስብ ተግባሩ f(g(x)) arctan (lnx) ነው። ሌላ ምሳሌ: f ወደ አራተኛው ኃይል የማሳደግ ተግባር ነው, እና 
አጠቃላይ ምክንያታዊ ተግባር ነው (ተመልከት) ፣ ከዚያ 
.
በተራው፣ g(x) ውስብስብ ተግባርም ሊሆን ይችላል። ለምሳሌ, 
. በተለምዶ እንዲህ ዓይነቱ አገላለጽ እንደ ሊገለጽ ይችላል 
. እዚህ f የሲን ተግባር ነው፣ የካሬ ስር ተግባር ነው፣ 
- ክፍልፋይ ምክንያታዊ ተግባር. የተግባር መክተቻ ደረጃ ማንኛውም የተፈጥሮ ቁጥር ሊሆን ይችላል ብሎ ማሰብ ምክንያታዊ ነው።
ብዙውን ጊዜ የተጠራውን ውስብስብ ተግባር መስማት ይችላሉ የተግባሮች ቅንብር.
የአንድ ውስብስብ ተግባር አመጣጥ ለማግኘት ቀመር።
ለምሳሌ.
የአንድ ውስብስብ ተግባር አመጣጥ ይፈልጉ።
መፍትሄ።
በዚህ ምሳሌ f የ squaring ተግባር ሲሆን g(x) = 2x+1 ቀጥተኛ ተግባር ነው።
የተወሳሰበውን ተግባር መነሻ ቀመር በመጠቀም ዝርዝር መፍትሄው ይኸውና፡- 
በመጀመሪያ የዋናውን ተግባር ቅፅ በማቅለል ይህንን ተዋጽኦ እናገኘው።
ስለዚህም እ.ኤ.አ.
እንደምታየው, ውጤቶቹ ተመሳሳይ ናቸው.
የትኛው ተግባር f እንደሆነ እና የትኛው g(x) እንደሆነ ግራ እንዳታጋቡ ይሞክሩ።
ትኩረትህን ለማሳየት ይህንን በምሳሌ እናሳይ።
ለምሳሌ.
የተወሳሰቡ ተግባራትን ተዋጽኦዎችን ያግኙ እና .
መፍትሄ።
በመጀመሪያው ሁኔታ f የ squaring ተግባር እና g (x) የሲን ተግባር ነው, ስለዚህ
.
በሁለተኛው ጉዳይ ረ የኃጢያት ተግባር ነው, እና የኃይል ተግባር ነው. ስለዚህ እኛ ባለን ውስብስብ ተግባር ምርት ቀመር
ለተግባር የመነጨ ቀመር ቅጹ አለው። 
ለምሳሌ.
ልዩነት ተግባር 
.
መፍትሄ።
በዚህ ምሳሌ ውስጥ, ውስብስብ ተግባሩ በተለምዶ እንደ ሊጻፍ ይችላል 
, የሲን ተግባር የት ነው, ሦስተኛው ኃይል ተግባር, ቤዝ e ሎጋሪዝም ተግባር, የ arctangent ተግባር እና መስመራዊ ተግባር በቅደም.
እንደ ውስብስብ ተግባር አመጣጥ ቀመር 
አሁን እናገኛለን
የተገኙትን መካከለኛ ውጤቶችን አንድ ላይ እናስቀምጥ፡- 
ምንም የሚያስፈራ ነገር የለም, እንደ ጎጆ አሻንጉሊቶች ያሉ ውስብስብ ተግባራትን ይተንትኑ.
ይህ የጽሁፉ መጨረሻ ሊሆን ይችላል፣ ለአንድ ነገር ካልሆነ...
የልዩነት ደንቦችን እና የመነሻ ሰንጠረዡን መቼ እንደሚተገበሩ እና ውስብስብ የሆነ ተግባርን ለመፍጠር ቀመር መቼ እንደሚተገበሩ በግልፅ መረዳት ይመከራል ።.
አሁን በጣም ይጠንቀቁ። ውስብስብ ተግባራት እና ውስብስብ ተግባራት መካከል ስላለው ልዩነት እንነጋገራለን. ተዋጽኦዎችን የማግኘት ስኬትዎ ይህንን ልዩነት ባዩት መጠን ይወሰናል።
በቀላል ምሳሌዎች እንጀምር። ተግባር 
እንደ ውስብስብ ተደርጎ ሊወሰድ ይችላል: g (x) = ታንክስ, 
. ስለዚህ, ለተወሳሰበ ተግባር አመጣጥ ቀመር ወዲያውኑ ማመልከት ይችላሉ 
እና ተግባሩ እዚህ አለ። 
ከአሁን በኋላ ውስብስብ ተብሎ ሊጠራ አይችልም.
ይህ ተግባር የሶስት ተግባራት ድምር ነው፣ 3tgx እና 1። ምንም እንኳን - ውስብስብ ተግባር ነው: - የኃይል ተግባር (quadratic parabola), እና f የታንጀንት ተግባር ነው. ስለዚህ በመጀመሪያ የድምር ልዩነት ቀመር እንተገብራለን- 
የተወሳሰቡ ተግባራትን መነሻ ለማግኘት ይቀራል፡- 
ለዛ ነው .
ዋናውን ነገር እንደምታገኝ ተስፋ እናደርጋለን።
ሰፋ አድርገን ከተመለከትን የአንድ ውስብስብ አይነት ተግባራት ውስብስብ ተግባራት አካል ሊሆኑ ይችላሉ, እና ውስብስብ ተግባራት የአንድ ውስብስብ አይነት ተግባራት አካላት ሊሆኑ ይችላሉ.
እንደ ምሳሌ, ተግባሩን ወደ ክፍሎቹ ክፍሎች እንመርምር 
.
በመጀመሪያይህ እንደ ሊወከል የሚችል ውስብስብ ተግባር ነው፣ ረ መሠረት 3 ሎጋሪዝም ተግባር ሲሆን g(x) የሁለት ተግባራት ድምር ነው። 
እና 
. ያውና, 
.
ሁለተኛ, ከተግባሩ ጋር እንነጋገር h (x) . ግንኙነትን ይወክላል 
.
ይህ የሁለት ተግባራት ድምር ነው እና 
፣ የት 
- ውስብስብ ተግባር ከቁጥር 3 ጋር። - ኩብ ተግባር, - ኮሳይን ተግባር, - መስመራዊ ተግባር.
ይህ የሁለት ተግባራት ድምር ነው እና የት 
- ውስብስብ ተግባር, - ገላጭ ተግባር, - የኃይል ተግባር.
ስለዚህም .
ሶስተኛ, ወደ ይሂዱ, ይህም ውስብስብ ተግባር ውጤት ነው 
እና አጠቃላይ ምክንያታዊ ተግባር
የ ስኩዌር ተግባር የሎጋሪዝም ተግባር ለመሠረት ሠ.
ስለዚህም .
እናጠቃልለው፡- 
አሁን የተግባሩ አወቃቀሩ ግልጽ ነው እና በሚለይበት ጊዜ የትኞቹ ቀመሮች እና በምን ቅደም ተከተል እንደሚተገበሩ ግልጽ ሆኗል.
ተግባርን በመለየት ላይ ባለው ክፍል (መነጩን መፈለግ) ለተመሳሳይ ችግሮች መፍትሄ እራስዎን በደንብ ማወቅ ይችላሉ።
መነሻ
ከፍተኛ ሂሳብን በሚፈታበት ጊዜ የሂሳብ ተግባርን (ልዩነት) አመጣጥን ማስላት በጣም የተለመደ ችግር ነው። ለቀላል (አንደኛ ደረጃ) የሂሳብ ተግባራት ፣ ይህ በጣም ቀላል ጉዳይ ነው ፣ ምክንያቱም ለአንደኛ ደረጃ ተግባራት ተዋጽኦዎች ሰንጠረዦች ለረጅም ጊዜ ተሰብስበዋል እና በቀላሉ ተደራሽ ናቸው። ነገር ግን፣ ውስብስብ የሂሳብ ተግባርን አመጣጥ መፈለግ ቀላል ስራ አይደለም እና ብዙ ጊዜ ከፍተኛ ጥረት እና ጊዜ ይጠይቃል።
በመስመር ላይ ተዋጽኦን ያግኙ
የእኛ የመስመር ላይ አገልግሎታችን ትርጉም የለሽ ረጅም ስሌቶችን እንድታስወግድ ይፈቅድልሃል እና በመስመር ላይ ተዋጽኦ ያግኙበአንድ አፍታ. ከዚህም በላይ በድር ጣቢያው ላይ የሚገኘውን አገልግሎታችንን በመጠቀም www.ጣቢያ, ማስላት ይችላሉ የመስመር ላይ ተዋጽኦከአንደኛ ደረጃ ተግባር እና በጣም ውስብስብ ከሆነው ትንታኔያዊ መፍትሄ ከሌለው. የጣቢያችን ዋና ጥቅሞች ከሌሎች ጋር ሲነፃፀሩ: 1) የመነጩን ስሌት ለማስላት የሂሳብ ተግባርን ለማስገባት ዘዴ ምንም ጥብቅ መስፈርቶች የሉም (ለምሳሌ ፣ ወደ ሳይን x ተግባር ሲገቡ ፣ እንደ ኃጢአት x ወይም ኃጢአት ማስገባት ይችላሉ) (x) ወይም ኃጢአት [x]፣ ወዘተ. መ; 2) የመስመር ላይ የመነሻ ስሌት በሂደቱ ውስጥ ወዲያውኑ ይከሰታል መስመር ላይእና በፍጹም በነፃ; 3) የአንድን ተግባር አመጣጥ እንድታገኙ እንፈቅዳለን። ማንኛውም ትዕዛዝ, የመነጩን ቅደም ተከተል መለወጥ በጣም ቀላል እና ለመረዳት የሚቻል ነው; 4) በመስመር ላይ ከሞላ ጎደል የማንኛውንም የሂሳብ ተግባር ተዋፅኦ እንድታገኝ እንፈቅዳለን። የተሰጠው ምላሽ ሁል ጊዜ ትክክለኛ ነው እና ስህተቶችን ሊይዝ አይችልም።
አገልጋያችንን መጠቀም 1) ስህተት ወይም ትየባ ሊያደርጉ የሚችሉበትን ጊዜ የሚፈጅ እና አሰልቺ ስሌቶችን በማስወገድ የመነጩን በመስመር ላይ ለእርስዎ ለማስላት ያስችልዎታል። 2) የሂሳብ ተግባርን ውፅዓት እራስዎ ካሰሉ ፣ የተገኘውን ውጤት ከአገልግሎታችን ስሌት ጋር ለማነፃፀር እድሉን እንሰጥዎታለን እና መፍትሄው ትክክል መሆኑን ያረጋግጡ ወይም ሰርጎ የገባ ስህተት ያግኙ ፣ 3) የተፈለገውን ተግባር ለማግኘት ብዙ ጊዜ የሚወስድባቸውን የቀላል ተግባራት ሰንጠረዦች ከመጠቀም ይልቅ አገልግሎታችንን እንጠቀም።
የሚያስፈልግህ ብቻ ነው። በመስመር ላይ ተዋጽኦ ያግኙ- አገልግሎታችንን መጠቀም ነው።
የአንድ ውስብስብ ዓይነት ተግባራት ሁልጊዜ ውስብስብ ተግባርን ከሚገልጹት ጋር አይጣጣሙም. የቅጹ ተግባር ካለ y = sin x - (2 - 3) · ar c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11፣ ከዚያ እንደ y = sin 2 x ሳይሆን እንደ ውስብስብ ተደርጎ ሊወሰድ አይችልም።
ይህ ጽሑፍ የአንድ ውስብስብ ተግባር ጽንሰ-ሐሳብ እና መለያውን ያሳያል. በመደምደሚያው ላይ ካሉ የመፍትሄ ምሳሌዎች ጋር ተዋጽኦውን ለማግኘት ከቀመሮች ጋር እንስራ። የመነሻ ሰንጠረዥ እና የልዩነት ደንቦች አጠቃቀም ተዋጽኦውን ለማግኘት ጊዜውን በእጅጉ ይቀንሳል።
መሰረታዊ ትርጓሜዎች
ፍቺ 1ውስብስብ ተግባር መከራከሪያውም ተግባር ነው።
እሱም በዚህ መንገድ ይገለጻል፡ f (g (x))። እኛ ተግባር g (x) እንደ ክርክር ይቆጠራል f (g (x))።
ፍቺ 2
ተግባር ረ ካለ እና የበካይ ተግባር ከሆነ፣ g(x) = ln x የተፈጥሮ ሎጋሪዝም ተግባር ነው። ውስብስብ ተግባር f (g (x)) እንደ arctg (lnx) እንደሚጻፍ አግኝተናል። ወይም ተግባር ረ፣ እሱም ወደ 4ኛው ሃይል ከፍ ያለ ተግባር ነው፣ g (x) = x 2 + 2 x - 3 ሙሉ ምክንያታዊ ተግባር ሆኖ ሲወሰድ፣ f (g (x)) = (x 2 +) እናገኛለን። 2 x - 3) 4 .
g(x) ውስብስብ ሊሆን እንደሚችል ግልጽ ነው። ከምሳሌው y = sin 2 x + 1 x 3 - 5 የ g ዋጋ የክፍልፋይ ኩብ ሥር እንዳለው ግልጽ ነው። ይህ አገላለጽ እንደ y = f (f 1 (f 2 (x))) ሊገለጽ ይችላል። ካለንበት ቦታ f የሲን ተግባር ነው፣ እና f 1 በካሬ ሥር የሚገኝ ተግባር ነው፣ f 2 (x) = 2 x + 1 x 3 - 5 ክፍልፋይ ምክንያታዊ ተግባር ነው።
ፍቺ 3
የጎጆው ደረጃ የሚወሰነው በማንኛውም የተፈጥሮ ቁጥር ነው እና እንደ y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))))))) ይጻፋል።
ፍቺ 4
የተግባር ቅንብር ጽንሰ-ሐሳብ እንደ ችግሩ ሁኔታ የተቀመጡትን ተግባራት ብዛት ያመለክታል. ለመፍታት፣ የቅጹን ውስብስብ ተግባር አመጣጥ ለማግኘት ቀመሩን ይጠቀሙ
(f (g (x))) " = f" (g (x)) g " (x)
ምሳሌዎች
ምሳሌ 1የቅጹ y = (2 x + 1) 2 ውስብስብ ተግባርን ያግኙ።
መፍትሄ
ሁኔታው እንደሚያሳየው f የስኩዌር ተግባር ሲሆን g(x) = 2 x + 1 እንደ ቀጥተኛ ተግባር ይቆጠራል።
ለተወሳሰበ ተግባር የመነጩ ቀመሩን እንተገብረው እና እንፃፍ፡-
ረ" (g (x)) = ((g (x)) 2) " = 2 (g (x)) 2 - 1 = 2 g (x) = 2 (2 x + 1); ሰ " (x) = (2 x + 1) " = (2 x) " + 1 " = 2 x " + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f (g (x)))" = f " (ግ (x)) g" (x) = 2 (2 x + 1) 2 = 8 x + 4
ተዋጽኦውን ከተግባሩ ቀለል ባለ ኦሪጅናል ቅጽ ማግኘት ያስፈልጋል። እናገኛለን፡-
y = (2 x + 1) 2 = 4 x 2 + 4 x + 1
ከዚህ ተነስተናል
y " = (4 x 2 + 4 x + 1) " = (4 x 2) " + (4 x) " + 1 " = 4 (x 2) " + 4 (x) " + 0 = = 4 · 2 · x 2 - 1 + 4 · 1 · x 1 - 1 = 8 x + 4
ውጤቱም ተመሳሳይ ነበር።
የዚህ አይነት ችግሮችን በሚፈታበት ጊዜ, የ f እና g (x) ቅፅ ተግባር የት እንደሚገኝ መረዳት አስፈላጊ ነው.
ምሳሌ 2
የቅጹ y = sin 2 x እና y = sin x 2 የተወሳሰቡ ተግባራት ተዋጽኦዎችን ማግኘት አለቦት።
መፍትሄ
የመጀመሪያው የተግባር መግለጫ f የ squaring function እና g(x) የሲን ተግባር ነው ይላል። ከዚያም ያንን እናገኛለን
y" = (ኃጢአት 2 x) " = 2 ኃጢአት 2 - 1 x (ኃጢአት x) " = 2 ኃጢአት x cos x
ሁለተኛው ግቤት ረ የሲን ተግባር መሆኑን ያሳያል፣ እና g(x) = x 2 የኃይል ተግባርን ያመለክታል። እኛ እንደ ውስብስብ ተግባር ምርት እንጽፋለን
y" = (ኃጢአት x 2)" = cos (x 2) (x 2)" = cos (x 2) 2 x 2 - 1 = 2 x cos (x 2)
የመነጩ ቀመር y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))))) እንደ y" = f" (f 1 (f 2 (f 3) ይጻፋል. . ( f n (x)))) · f 1 " (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))) · · f 2" (f 3 (. . . (f n (x)) )))) · . . fn"(x)
ምሳሌ 3
የተግባር y = sin (ln 3 a r c t g (2 x)) አመጣጥን ያግኙ።
መፍትሄ
ይህ ምሳሌ የመጻፍ እና የተግባር ቦታን ለመወሰን አስቸጋሪነትን ያሳያል. ከዚያም y = f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) የት እንደሚጠቁሙ f, f 1, f 2, f 3, f 4 (x) የሲን ተግባር, የማሳደግ ተግባር ነው. እስከ 3 ዲግሪ, ከሎጋሪዝም እና ቤዝ ኢ ጋር, አርክታንጀንት እና መስመራዊ ተግባር.
ውስብስብ ተግባርን ለመወሰን ካለው ቀመር እኛ ያንን አለን
y" = f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) f 1" (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2" (f 3 (f 4) (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4" (x)
ለማግኘት የሚያስፈልገንን እናገኛለን
- ረ" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) እንደ የኃጢያት ውፅዓት እንደ ተዋጽኦዎች ሠንጠረዥ መሠረት, ከዚያም ረ" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4))) x))))) = cos (ln 3 ar c t g (2 x))።
- f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x))))) እንደ የኃይል ተግባር አመጣጥ ፣ ከዚያም f 1" (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) = 3 ln 3 - 1 ar c t g (2 x) = 3 ln 2 ar c t g (2 x)።
- f 2 "(f 3 (f 4 (x)))) እንደ ሎጋሪዝም መነሻ፣ ከዚያም f 2" (f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x)።
- f 3 "(f 4 (x)) እንደ አርኬታንጀንት አመጣጥ፣ ከዚያም f 3" (f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2።
- ተዋጽኦውን f 4 (x) = 2 x ሲያገኝ፣ የኃይል ተግባር መገኛ ቀመሩን በመጠቀም ከ 1 ጋር እኩል የሆነ አርቢ፣ ከዚያም f 4 "(x) = (2 x) ከምልክቱ ላይ 2 ን ያስወግዱ። " = 2 x" = 2 · 1 · x 1 - 1 = 2.
መካከለኛ ውጤቶችን አጣምረን እናገኘዋለን
y" = f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) f 1" (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2" (f 3 (f 4) (x)) f 3 "(f 4 (x)) f 4" (x) = = cos (ln 3 ar c t g (2 x)) 3 ln 2 ar c t g (2 x) 1 ar c t g (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 cos (ln 3 ar c t g (2 x)) ln 2 ar c t g (2 x) a r c t g (2 x) (1 + 4 x 2)
የእንደዚህ አይነት ተግባራት ትንተና የጎጆ አሻንጉሊቶችን ያስታውሳል. የልዩነት ህጎች ሁልጊዜ የመነሻ ሠንጠረዥን በመጠቀም በግልፅ ሊተገበሩ አይችሉም። ብዙውን ጊዜ የተወሳሰቡ ተግባራትን አመጣጥ ለማግኘት ቀመር መጠቀም ያስፈልግዎታል።
ውስብስብ መልክ እና ውስብስብ ተግባራት መካከል አንዳንድ ልዩነቶች አሉ. ይህንን የመለየት ችሎታ ግልጽ ከሆነ, ተዋጽኦዎችን ማግኘት በተለይ ቀላል ይሆናል.
ምሳሌ 4
እንዲህ ዓይነቱን ምሳሌ ለመስጠት ግምት ውስጥ ማስገባት ያስፈልጋል. የቅጹ ተግባር ካለ y = t g 2 x + 3 t g x + 1 , ከዚያም እንደ ውስብስብ ተግባር ሊቆጠር ይችላል g (x) = t g x, f (g) = g 2 + 3 g + 1. . ግልፅ ነው ፣ ለተወሳሰበ ተውሳክ ቀመሩን መጠቀም አስፈላጊ ነው-
ረ" (ሰ (ሰ)) = (ግ 2 (x) + 3 ግ (x) + 1) " = (ግ 2 (x)) " + (3 ግ (x)) " + 1 " = = 2 · g 2 - 1 (x) + 3 g "(x) + 0 = 2 g (x) + 3 1 g 1 - 1 (x) = = 2 g (x) + 3 = 2 t g x + 3; g "(x) = (t g x) " = 1 cos 2 x ⇒ y" = (f (g (x))) " = f" (g (x)) g" (x) = (2 t g x + 3) · 1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x
የቅጹ y = t g x 2 + 3 t g x + 1 ተግባር እንደ ውስብስብ ተደርጎ አይቆጠርም ፣ ምክንያቱም እሱ t g x 2 ፣ 3 t g x እና 1 ድምር ስላለው። ይሁን እንጂ t g x 2 እንደ ውስብስብ ተግባር ይቆጠራል, ከዚያም የኃይል ተግባርን እናገኛለን g (x) = x 2 እና f, እሱም የታንጀንት ተግባር ነው. ይህንን ለማድረግ በመጠን ይለያዩ. ያንን እናገኛለን
y" = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = = (t g x 2) " + 3 (t g x) " + 0 = (t g x 2) " + 3 ኮስ 2 x
ወደ ውስብስብ ተግባር አመጣጥ (t g x 2) ወደ መፈለግ እንሂድ"
ረ" (g (x)) = (t g (g (x)))" = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g "(x) = (x 2)" = 2 x 2 - 1 = 2 x ⇒ (t g x 2) " = f" (g (x)) g" (x) = 2 x cos 2 (x 2)
ያንን y" = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x እናገኛለን።
የአንድ ውስብስብ ዓይነት ተግባራት ውስብስብ በሆኑ ተግባራት ውስጥ ሊካተቱ ይችላሉ, እና ውስብስብ ተግባራት እራሳቸው የአንድ ውስብስብ አይነት ተግባራት አካላት ሊሆኑ ይችላሉ.
ምሳሌ 5
ለምሳሌ፣ የቅጹን ውስብስብ ተግባር ተመልከት y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1)
ይህ ተግባር እንደ y = f (g (x)) ሊወከል ይችላል፣ የ f ዋጋ የመሠረት 3 ሎጋሪዝም ተግባር ሲሆን g (x) ደግሞ የሁለት ተግባራት ድምር ተደርጎ ይቆጠራል h (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 ሠ x 2 + 3 3 እና k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1)። በግልጽ እንደሚታየው y = f (h (x) + k (x))።
ተግባሩን ተመልከት h (x)። ይህ ሬሾ ነው l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 እስከ m (x) = e x 2 + 3 3
አለን l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) የሁለት ተግባራት ድምር ነው n (x) = x 2 + 7 እና p () x) = 3 cos 3 (2 x + 1)፣ p (x) = 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) የቁጥር ኮፊሸን 3 ያለው ውስብስብ ተግባር ሲሆን p 1 ደግሞ የኩብ ተግባር ነው። p 2 በኮሳይን ተግባር፣ p 3 (x) = 2 x + 1 በመስመራዊ ተግባር።
m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) የሁለት ተግባራት ድምር q (x) = e x 2 እና r (x) = 3 3 ሲሆን q (x) ሆኖ አግኝተነዋል። = q 1 (q 2 (x)) ውስብስብ ተግባር ነው፣ q 1 ከአርቢ ጋር የሚሠራ ተግባር ነው፣ q 2 (x) = x 2 የኃይል ተግባር ነው።
ይህ የሚያሳየው h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3) (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)
ወደ ቅጹ አገላለጽ ሲሸጋገር k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) = s (x) · t (x), ተግባሩ ውስብስብ s (s) መልክ እንደቀረበ ግልጽ ነው. x) = ln 2 x = s 1 ( ሰ 2 (x)) ምክንያታዊ ኢንቲጀር t (x) = x 2 + 1፣ s 1 ስኩዌርንግ ተግባር ሲሆን s 2 (x) = ln x ሎጋሪዝም ነው ከ ጋር መሰረት ሠ.
ከዚያም አገላለጹ k (x) = s (x) · t (x) = s 1 (s 2 (x)) · t (x) ቅጽ ይወስዳል።
ከዚያም ያንን እናገኛለን
y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 ሠ x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3) x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)
በተግባሩ አወቃቀሮች ላይ በመመስረት, በሚለዩበት ጊዜ አገላለጹን ለማቃለል እንዴት እና ምን አይነት ቀመሮችን መጠቀም እንዳለባቸው ግልጽ ሆነ. ከእንደዚህ አይነት ችግሮች ጋር ለመተዋወቅ እና ለመፍትሄዎቻቸው ጽንሰ-ሀሳብ አንድን ተግባር ወደ መለያየት ነጥብ መዞር አስፈላጊ ነው, ማለትም የእሱን አመጣጥ መፈለግ.
በጽሁፉ ላይ ስህተት ካጋጠመህ እባክህ አድምቀው Ctrl+Enter ን ተጫን