አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው የቬክተር ቅርጽ. አወንታዊ የተወሰኑ ባለአራት ቅርጾች

አራት ማዕዘን ቅርጽ f(x 1፣ x 2፣...፣ x n) የ n ተለዋዋጮች ድምር ነው፣ እያንዳንዱ ቃል ወይ ከተለዋዋጮች የአንዱ ካሬ፣ ወይም የሁለት የተለያዩ ተለዋዋጮች ውጤት፣ ከተወሰነ ጥምርታ ጋር የተወሰደ፡ f (x 1, x 2, ...,x n) = (a ij =a ji).

ከእነዚህ ጥምርታዎች ያቀፈው ማትሪክስ የኳድራቲክ ቅርጽ ማትሪክስ ይባላል። ሁሌም ነው። የተመጣጠነማትሪክስ (ማለትም ማትሪክስ ሲሜትሪክ ስለ ዋናው ሰያፍ፣ a ij =a ji)።

በማትሪክስ ማስታወሻ ውስጥ, አራት ማዕዘን ቅርፅ f (X) = X T AX, የት ነው

በእርግጥም

ለምሳሌ፣ ኳድራቲክ ፎርሙን በማትሪክስ መልክ እንፃፍ።

ይህንን ለማድረግ, የኳድራቲክ ቅርጽ ማትሪክስ እናገኛለን. የእሱ ሰያፍ አካላት ከካሬው ተለዋዋጮች ውህዶች ጋር እኩል ናቸው ፣ እና የተቀሩት ንጥረ ነገሮች የኳድራቲክ ቅርፅ ከተዛማጅ ግማሾች ጋር እኩል ናቸው። ለዛ ነው

የተለዋዋጮች ማትሪክስ-አምድ ማትሪክስ-አምድ ዋይ ባልተዳከመ የመስመር ለውጥ ይገኝ፣ i.e. X = CY፣ ሐ ነጠላ ያልሆነ የ nth ቅደም ተከተል ማትሪክስ ነው። ከዚያም አራት ማዕዘን ቅርጽ f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) =Y T (C T AC)Y.

ስለዚህ፣ ባልተበላሸ መስመራዊ ለውጥ C፣ የኳድራቲክ ቅርጽ ማትሪክስ ቅጹን ይወስዳል፡ A * = C T AC።

ለምሳሌ፣ ከኳድራቲክ ቅጽ f(x 1፣ x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 በመስመራዊ ትራንስፎርሜሽን የተገኘውን አራት ማዕዘን ቅርፅ f(y 1፣y 2) እናገኝ።

አራት ማዕዘን ቅርጽ ይባላል ቀኖናዊ(አለው ቀኖናዊ እይታ), ሁሉም የራሱ coefficientsa ij = 0 ለ i≠j ከሆነ, ማለትም f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + … + a nn x n 2 = .

የእሱ ማትሪክስ ሰያፍ ነው.

ቲዎረም(ማስረጃ እዚህ አልተሰጠም)። ማንኛውም ባለአራት ቅርጽ ያልተበላሸ የመስመር ለውጥን በመጠቀም ወደ ቀኖናዊ ቅርጽ ሊቀንስ ይችላል።

ለምሳሌ፣ ወደ ቀኖናዊው ቅርፅ አራት ማዕዘን ቅርፅ f(x 1፣ x 2፣ x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 እናምጣ።

ይህንን ለማድረግ በመጀመሪያ ከተለዋዋጭ x 1 ጋር የተሟላ ካሬ ይምረጡ።

ረ (x 1, x 2, x 3) = 2 (x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 2 – x 2 x 3 = 2 (x 1 + x 2) 2 - 5x 2 2 – x 2 x 3

አሁን ከተለዋዋጭ x 2 ጋር የተሟላ ካሬ እንመርጣለን፡

ረ(x 1፣ x 2፣ x 3) = 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 2 – 2* x 2 *(1/10) x 3 + (1/100) x 3 2) - (5/100) x 3 2 = 2 (x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 – (1/10) x 3) 2 - (1/20) x 3 2።

ከዚያም ያልተበላሸ መስመራዊ ለውጥ y 1 = x 1 + x 2,y 2 = x 2 – (1/10) x 3 እና y 3 = x 3 ይህንን አራት ማዕዘን ቅርጽ ወደ ቀኖናዊው ቅርጽ (y 1,y 2,) ያመጣል. y 3) = 2ይ 1 2 - 5y 2 2 - (1/20) y 3 2 .

የኳድራቲክ ቅርጽ ቀኖናዊ ቅርፅ የሚወሰነው አሻሚ መሆኑን ልብ ይበሉ (ተመሳሳይ አራት ማዕዘን ቅርፅ በተለያየ መንገድ ወደ ቀኖናዊ ቅርጽ ሊቀንስ ይችላል 1). ይሁን እንጂ በተለያዩ ዘዴዎች የተገኙ ቀኖናዊ ቅርጾች በርካታ የተለመዱ ባህሪያት አሏቸው. በተለይም የኳድራቲክ ቅርፅ አወንታዊ (አሉታዊ) ድምጾች ያላቸው የቃላቶች ብዛት ቅጹን ወደዚህ ቅጽ በመቀነስ ዘዴ ላይ የተመካ አይደለም (ለምሳሌ ፣ በምሳሌው ውስጥ ሁል ጊዜ ሁለት አሉታዊ እና አንድ አዎንታዊ ቅንጅት ይኖራሉ)። ይህ ንብረት ይባላል የ quadratic ቅርጾች inertia ህግ.

ተመሳሳዩን ኳድራቲክ ቅርፅ ወደ ቀኖናዊ ቅርጽ በተለየ መንገድ በማምጣት ይህንን እናረጋግጥ። ለውጡን በተለዋዋጭ x 2፡f(x 1፣ x 2፣ x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 2 – x 2 x 3 = -3x 2 2 2 – x 2 x 3 + እንጀምር። 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = -3 (x 2 2 – - 2* x 2 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) +((1/6) x 3+ (2) /3) x 1) 2) - 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 = = -3 (x 2 – (1/6) x 3 - (2) /3) x 1) 2 – 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 = f(y 1 ,y 2,y 3) = -3ይ 1 2 - - 3ይ 2 2 + 2ይ 3 2፣ የት y 1 = - (2/3) x 1 + x 2 – (1/6) x 3፣ y 2 = (2/3) x 1 + (1/6) x 3 እና y 3 = x 1. እዚህ ላይ የ 2 ለ y 3 እና ሁለት አሉታዊ ኮፊሸን (-3) ለ y 1 እና y 2 (ሌላ ዘዴን በመጠቀም 2 ለ y 1 እና ሁለት አሉታዊ - (-5) አወንታዊ ቅንጅት አግኝተናል - (-5) ለ y 2 እና (-1/20) ለ y 3).

በተጨማሪም የኳድራቲክ ቅርጽ ማትሪክስ ደረጃ, ተብሎ የሚጠራ መሆኑን ልብ ሊባል ይገባል የኳድራቲክ ቅርጽ ደረጃ፣ ከቀኖናዊው ቅርፅ ዜሮ ያልሆኑ ውህዶች ብዛት ጋር እኩል ነው እና በመስመራዊ ለውጦች አይለወጥም።

አራት ማዕዘን ቅርጽ f(X) ይባላል በአዎንታዊ መልኩ(አሉታዊ)የተወሰነበተመሳሳይ ጊዜ ዜሮ ላልሆኑ ተለዋዋጮች ሁሉ ዋጋዎች አዎንታዊ ነው ፣ ማለትም f(X)> 0 (አሉታዊ ፣ ማለትም f(X)< 0).

ለምሳሌ፣ አራት ማዕዘን ቅርጽ f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 አዎንታዊ የተረጋገጠ ነው፣ ምክንያቱም የካሬዎች ድምር ነው፣ እና አራት ማዕዘን ቅርፅ f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 አሉታዊ የተወሰነ ነው፣ ምክንያቱም የሚወክለው በቅፅ 2 (X) = -(x 1 - x 2) 2 ሊወከል ይችላል።

በአብዛኛዎቹ ተግባራዊ ሁኔታዎች ፣ የኳድራቲክ ቅርፅን ትክክለኛ ምልክት ማቋቋም በተወሰነ ደረጃ ከባድ ነው ፣ ስለሆነም ለዚህ ከሚከተሉት ጽንሰ-ሀሳቦች ውስጥ አንዱን እንጠቀማለን (ያለ ማረጋገጫ እንፈጥራቸዋለን)።

ቲዎረም. ሁሉም የማትሪክስ እሴቶች አወንታዊ (አሉታዊ) ከሆኑ ብቻ አራት ማዕዘን ቅርፅ ያለው አወንታዊ (አሉታዊ) ነው።

ቲዎረም (የሲልቬስተር መስፈርት). ሁሉም የዚህ ቅጽ ማትሪክስ ዋና ዋና ታዳጊዎች አዎንታዊ ከሆኑ ብቻ አራት ማዕዘን ቅርፅ ያለው አወንታዊ ነው።

ዋና (ማዕዘን) ትንሽየ An-th ቅደም ተከተል የ k-th ትዕዛዝ ማትሪክስ የማትሪክስ ወሳኙ ይባላሉ፣ ከማትሪክስ A () የመጀመሪያ k ረድፎች እና አምዶች።

ለአሉታዊ ኳድራቲክ ቅርጾች የዋናዎቹ ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆች ምልክቶች ይለዋወጣሉ እና የመጀመሪያ ደረጃ ጥቃቅን መሆን አለባቸው።

ለምሳሌ፡ ለምልክት እርግጠኝነት አራት ማዕዘን ቅርፅ f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 እንመርምር።

= (2 -)* *(3 -) – 4 = (6 - 2- 3+ 2) – 4 = 2 - 5+ 2 = 0፤ D= 25 – 8 = 17; . ስለዚህ, አራት ማዕዘን ቅርፅ አዎንታዊ ነው.

ዘዴ 2. የማትሪክስ የመጀመሪያ ቅደም ተከተል ዋና አናሳ ሀ  1 = a 11 = 2> 0. የሁለተኛው ቅደም ተከተል ዋና ትንሽ  2 = 6 – 4 = 2> 0. ስለዚህ በሲልቬስተር መስፈርት መሰረት አራት ማዕዘኑ ቅጽ አዎንታዊ የተወሰነ ነው.

ለምልክት ትክክለኛነት ሌላ አራት ማዕዘን ቅርፅን እንመረምራለን ፣ f(x 1 ፣ x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2።

ዘዴ 1. የኳድራቲክ ቅርጽ A = ማትሪክስ እንገንባ. የባህሪው እኩልታ ቅጹ ይኖረዋል = (-2 -)* *(-3 -) – 4 = (6 + 2+ 3+ 2) – 4 = 2 + 5+ 2 = 0፤ D= 25 – 8 = 17 ; . ስለዚህ, አራት ማዕዘን ቅርፅ አሉታዊ ነው.

ዘዴ 2. የማትሪክስ የመጀመሪያ ቅደም ተከተል ዋና ትንሽ ሀ  1 = a 11 = = -2< 0. Главный минор второго порядка 2 = = 6 – 4 = 2 >0. ስለዚህ, በሲልቬስተር መስፈርት መሰረት, አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ቅርጽ አሉታዊ ነው (የዋናዎቹ ታዳጊዎች ምልክቶች ይለዋወጣሉ, ከመቀነሱ ጀምሮ).

እና እንደ ሌላ ምሳሌ፣ በምልክት የተወሰነውን አራት ማዕዘን ቅርጽ f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 እንመረምራለን.

ዘዴ 1. የኳድራቲክ ቅርጽ A = ማትሪክስ እንገንባ. የባህሪው እኩልታ ቅጹ ይኖረዋል = (2 -)* *(-3 -) – 4 = (-6 - 2+ 3+ 2) – 4 = 2 +- 10 = 0፤ D= 1 + 40 = 41; . ከእነዚህ ቁጥሮች ውስጥ አንዱ አሉታዊ ሲሆን ሌላኛው ደግሞ አዎንታዊ ነው. የ eigenvalues ምልክቶች የተለያዩ ናቸው። ስለዚህ፣ አራት ማዕዘን ቅርፅ በአሉታዊም ሆነ በአዎንታዊ መልኩ የተወሰነ ሊሆን አይችልም፣ ማለትም ይህ አራት ማዕዘን ቅርጽ በምልክት የተወሰነ አይደለም (የማንኛውም ምልክት እሴቶችን ሊወስድ ይችላል)።

ዘዴ 2. የማትሪክስ የመጀመሪያ ቅደም ተከተል ዋና ለአካለ መጠን ያልደረሰ ሀ  1 = a 11 = 2> 0. የሁለተኛው ቅደም ተከተል ዋና አካለ መጠን 2 = = -6 – 4 = -10< 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них – положителен).

1 አራት ማዕዘን ቅርጾችን ወደ ቀኖናዊ ቅርፅ የመቀነስ ዘዴ የታሰበው ዘዴ ዜሮ ያልሆኑ ውህዶች ከተለዋዋጮች ካሬዎች ጋር ሲገናኙ ለመጠቀም ምቹ ነው። እዚያ ከሌሉ, መለወጥን አሁንም ማካሄድ ይቻላል, ነገር ግን ሌሎች ቴክኒኮችን መጠቀም አለብዎት. ለምሳሌ f(x 1, x 2) = 2x 1 x 2 = x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2 2 - x 1 2 - x 2 2 =

= (x 1 + x 2) 2 - x 1 2 - x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 – (x 1 2 - 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 1 x 2 = (x 1) + x 2) 2 – - (x 1 - x 2) 2 - 2x 1 x 2; 4x 1 x 2 = (x 1 + x 2) 2 – (x 1 - x 2) 2፣ ረ(x 1፣ x 2) = 2x 1 x 2 = (1/2)* * (x 1 + x 2) ) 2 – (1/2)*(x 1 - x 2) 2 =f(y 1፣y 2) = (1/2)y 1 2 – (1/2)y 2 2፣ የት y 1 = x 1 + x 2፣ аy 2 = x 1 – x 2።

አራት ማዕዘን ቅርጾች.
የቅጾች ትክክለኛነት ምልክት. ሲልቬስተር መስፈርት

"ኳድራቲክ" የሚለው ቅጽል ወዲያውኑ እዚህ አንድ ነገር ከካሬ (ሁለተኛ ዲግሪ) ጋር የተገናኘ መሆኑን ይጠቁማል እና በጣም በቅርቡ ይህን "አንድ ነገር" እና ቅርጹ ምን እንደሆነ እናገኛለን. አንደበት ጠማማ ሆነ :)

ወደ አዲሱ ትምህርቴ እንኳን በደህና መጡ፣ እና እንደ ፈጣን ማሞቂያ የተለጠፈውን ቅርፅ እንመለከታለን መስመራዊ. መስመራዊ ቅርጽ ተለዋዋጮችተብሎ ይጠራል ተመሳሳይነት ያለው 1 ኛ ዲግሪ ፖሊኖሚል;

- የተወሰኑ ቁጥሮች * (ቢያንስ ከመካከላቸው አንዱ ዜሮ እንዳልሆነ እንገምታለን)፣ ሀ የዘፈቀደ እሴቶችን ሊወስዱ የሚችሉ ተለዋዋጮች ናቸው።

* በዚህ ርዕስ ማዕቀፍ ውስጥ ብቻ እንመለከታለን እውነተኛ ቁጥሮች .

በትምህርቱ ውስጥ "ተመሳሳይ" የሚለውን ቃል አስቀድመን አጋጥሞናል የመስመር እኩልታዎች ተመሳሳይ ስርዓቶች, እና በዚህ ሁኔታ ፖሊኖሚል ተጨማሪ ቋሚነት እንደሌለው ያመለክታል.

ለምሳሌ: - የሁለት ተለዋዋጮች መስመራዊ ቅርፅ

አሁን ቅርጹ አራት ማዕዘን ነው. አራት ማዕዘን ቅርጽ ተለዋዋጮችተብሎ ይጠራል ተመሳሳይነት ያለውየ 2 ኛ ዲግሪ ፖሊኖሚል ፣ እያንዳንዱ ቃልየተለዋዋጭ ካሬውን ወይም እጥፍ ይጨምራልየተለዋዋጮች ምርት. ስለዚህ፣ ለምሳሌ፣ የሁለት ተለዋዋጮች አራት ማዕዘን ቅርፅ የሚከተለው ቅጽ አለው፡-

ትኩረት!ይህ መደበኛ ግቤት ነው እና ስለ እሱ ምንም ነገር መለወጥ አያስፈልግም! ምንም እንኳን “አስፈሪ” ገጽታ ቢኖርም ፣ ሁሉም ነገር እዚህ ቀላል ነው - የቋሚዎች ድርብ ደንበኝነት ምዝገባዎች የትኞቹ ተለዋዋጮች በየትኛው ቃል ውስጥ እንደሚካተቱ ያመለክታሉ ።
- ይህ ቃል ምርቱን እና (ካሬ) ይይዛል;
- እዚህ ሥራው ነው;
- እና ስራው እዚህ አለ.

ቃሉ የሚያመለክተው መሆኑን ባለመረዳት የኮፊቲፊሽኑን “መቀነስ” ሲያጡ ወዲያውኑ ትልቅ ስህተት እንደሚፈጠር እጠብቃለሁ።

አንዳንድ ጊዜ በመንፈስ ውስጥ "ትምህርት ቤት" ንድፍ አማራጭ አለ, ግን አንዳንድ ጊዜ ብቻ. በነገራችን ላይ, ቋሚዎቹ እዚህ ምንም ነገር እንደማይነግሩን ልብ ይበሉ, እና ስለዚህ "ቀላል አጻጻፍ" ለማስታወስ በጣም ከባድ ነው. በተለይም ብዙ ተለዋዋጮች ሲኖሩ።

እና የሶስት ተለዋዋጮች አራት ማዕዘናት ቀድሞውኑ ስድስት ቃላትን ይይዛል።

ለምንድነው "ሁለት" ምክንያቶች በ "ድብልቅ" ቃላት ውስጥ የተቀመጡት? ይህ ምቹ ነው, እና ለምን እንደሆነ በቅርቡ ግልጽ ይሆናል.

ሆኖም፣ አጠቃላይ ቀመሩን እንፃፍ፤ በ “ሉህ” ውስጥ ለመጻፍ ምቹ ነው፡-

- እያንዳንዱን መስመር በጥንቃቄ እናጠናለን - ምንም ስህተት የለውም!

አራት ማዕዘን ቅርፅ ከተለዋዋጮች ካሬዎች እና ከተጣመሩ ምርቶቻቸው ጋር ቃላትን ይይዛል (ሴሜ. ጥምር ጥምር ቀመር) . ምንም ተጨማሪ ነገር የለም - “ብቸኛ X” እና ምንም ተጨማሪ ቋሚ የለም (ከዚያ ባለአራት ቅርፅ አያገኙም ፣ ግን የተለያዩፖሊኖሚል የ 2 ኛ ዲግሪ).

የኳድራቲክ ቅርፅ ማትሪክስ ምልክት

በእሴቶቹ ላይ በመመስረት በጥያቄ ውስጥ ያለው ቅጽ ሁለቱንም አወንታዊ እና አሉታዊ እሴቶችን ሊወስድ ይችላል ፣ እና በማንኛውም መስመራዊ ቅርፅ ላይም ተመሳሳይ ነው - ቢያንስ አንድ የቁጥሮች ብዛት ከዜሮ የተለየ ከሆነ ፣ እሱ አዎንታዊ ወይም አሉታዊ ሊሆን ይችላል (በዚህ ላይ በመመስረት) እሴቶች)።

ይህ ቅጽ ይባላል ተለዋጭ ምልክት. እና ሁሉም ነገር ከመስመር ቅጽ ጋር ግልፅ ከሆነ ፣ ከዚያ በአራት ማዕዘን ቅርፅ ነገሮች የበለጠ አስደሳች ናቸው-

ይህ ቅጽ የማንኛውንም ምልክት ትርጉም ሊወስድ እንደሚችል ፍጹም ግልጽ ነው። አራት ማዕዘን ቅርፅም ተለዋጭ ሊሆን ይችላል.

ላይሆን ይችላል፡-

- ሁልጊዜ, በአንድ ጊዜ ከዜሮ ጋር እኩል ካልሆነ በስተቀር.

- ለማንም ቬክተርከዜሮ በስተቀር።

እና በአጠቃላይ ፣ለማንም ቢሆን ዜሮ ያልሆነ vector , ከዚያም አራት ማዕዘን ቅርጽ ይባላል አዎንታዊ የተወሰነ; ከሆነ እንግዲህ አሉታዊ የተወሰነ.

እና ሁሉም ነገር ጥሩ ይሆናል ፣ ግን የኳድራቲክ ቅርፅ ትክክለኛነት በቀላል ምሳሌዎች ብቻ ነው የሚታየው ፣ እና ይህ ታይነት በትንሽ ውስብስብነት እንኳን ይጠፋል።
– ?

አንድ ሰው ቅጹ በአዎንታዊ መልኩ እንደተገለጸ ሊገምት ይችላል, ግን ይህ በእርግጥ እንደዚያ ነው? ከዜሮ በታች የሆኑ እሴቶች ቢኖሩስ?

አለ ቲዎሪሁሉም ሰው ከሆነ ኢጂን እሴቶችየኳድራቲክ ቅርፅ ማትሪክስ አዎንታዊ ነው። * , ከዚያም አዎንታዊ ነው. ሁሉም አሉታዊ ከሆኑ, ከዚያም አሉታዊ.

* ሁሉም የእውነተኛ ሲሜትሪክ ማትሪክስ እሴቶች በንድፈ ሀሳብ ተረጋግጠዋል ልክ ነው።

ከላይ ያለውን ቅጽ ማትሪክስ እንፃፍ፡-
እና ከኢክ. እሷን እናገኛት። ኢጂን እሴቶች:

መልካም አሮጌውን እንፍታ ኳድራቲክ እኩልታ:

ቅጹ ማለት ነው። በአዎንታዊ መልኩ ይገለጻል, ማለትም. ለማንኛውም ዜሮ ያልሆኑ ዋጋዎች ከዜሮ ይበልጣል.

የታሰበው ዘዴ የሚሰራ ይመስላል, ግን አንድ ትልቅ ግን አለ. ቀድሞውኑ ለሶስት-በ-ሶስት ማትሪክስ, ትክክለኛ ቁጥሮች መፈለግ ረጅም እና ደስ የማይል ተግባር ነው; በከፍተኛ ዕድል የ 3 ኛ ደረጃ ፖሊኖሚል ከምክንያታዊ ያልሆኑ ሥሮች ጋር ያገኛሉ።

ምን ማድረግ ነው የሚገባኝ? ቀላል መንገድ አለ!

ሲልቬስተር መስፈርት

አይ፣ አይደለም ሲልቬስተር ስታሎን :) በመጀመሪያ፣ ምን እንደሆነ ላስታውስህ የማዕዘን ታዳጊዎችማትሪክስ. ይህ ብቃቶች ከላይኛው ግራ ጥግ “የሚበቅል”

እና የመጨረሻው በትክክል ከማትሪክስ መወሰኛ ጋር እኩል ነው.

አሁን፣ በእውነቱ፣ መስፈርት:

1) ኳድራቲክ ቅርጽ ይገለጻል በአዎንታዊ መልኩከሆነ እና ሁሉም የማዕዘን ታዳጊዎቹ ከዜሮ የሚበልጡ ከሆነ፡.

2) ኳድራቲክ ቅርጽ ይገለጻል አሉታዊየማዕዘን ታዳጊዎቹ በምልክት ከተለዋወጡ፣ 1ኛ ትንሽ ልጅ ከዜሮ በታች ከሆነ፡፣፣ ከሆነ – እንኳን ወይም፣ ከሆነ – ያልተለመደ።

ቢያንስ አንድ ማዕዘን ትንሽ ተቃራኒ ምልክት ከሆነ, ከዚያም ቅጹ ተለዋጭ ምልክት. የማዕዘን ታዳጊዎች የ "ትክክለኛ" ምልክት ከሆኑ, ነገር ግን በመካከላቸው ዜሮዎች አሉ, ከዚያ ይህ ልዩ ጉዳይ ነው, ትንሽ ቆይቶ የምመረምረው, የተለመዱ ምሳሌዎችን ከተመለከትን በኋላ.

የማትሪክስ አንግል ታዳጊዎችን እንመርምር :

እና ይህ ወዲያውኑ ቅጹ በአሉታዊ መልኩ እንዳልተገለጸ ይነግረናል.

ማጠቃለያ: ሁሉም የማዕዘን ታዳጊዎች ከዜሮ የሚበልጡ ናቸው, ይህም ማለት ቅጹ ማለት ነው በአዎንታዊ መልኩ ይገለጻል.

ከ eigenvalue ዘዴ ጋር ልዩነት አለ? ;)

የቅጹን ማትሪክስ ከ እንፃፍ ምሳሌ 1:

የመጀመሪያው የማዕዘን ጥቃቅን ነው, እና ሁለተኛው , ከእሱ ቀጥሎ ቅርጹ በምልክት ውስጥ እየተፈራረቀ ነው, ማለትም. በእሴቶቹ ላይ በመመስረት, ሁለቱንም አወንታዊ እና አሉታዊ እሴቶችን ሊወስድ ይችላል. ሆኖም, ይህ አስቀድሞ ግልጽ ነው.

ቅጹን እና ማትሪክሱን ከ እንውሰድ ምሳሌ 2:

ያለ ማስተዋል ይህንን ለማወቅ ምንም መንገድ የለም። ነገር ግን በሲልቬስተር መስፈርት ግድ የለንም።
, ስለዚህ, ቅጹ በእርግጠኝነት አሉታዊ አይደለም.

, እና በእርግጠኝነት አዎንታዊ አይደለም (ሁሉም የማዕዘን ታዳጊዎች አዎንታዊ መሆን ስላለባቸው).

ማጠቃለያ: ቅርጹ ተለዋጭ ነው.

በራስዎ ለመፍታት የማሞቅ ምሳሌዎች

ምሳሌ 4

ለምልክት ትክክለኛነት አራት ማዕዘን ቅርጾችን መርምር

ሀ)

በነዚህ ምሳሌዎች ሁሉም ነገር ለስላሳ ነው (የትምህርቱን መጨረሻ ይመልከቱ), ግን በእውነቱ, እንዲህ ያለውን ተግባር ለማጠናቀቅ የሲልቬስተር መመዘኛ በቂ ላይሆን ይችላል።.

ነጥቡ የ "ጠርዝ" ጉዳዮች አሉ, እነሱም: ለማንኛውም ዜሮ ያልሆነቬክተር, ከዚያም ቅርጹ ይወሰናል አሉታዊ ያልሆነ፣ ከሆነ - ከዚያ አሉታዊ. እነዚህ ቅጾች አሏቸው ዜሮ ያልሆነቬክተሮች ለየትኛው .

እዚህ የሚከተለውን "አኮርዲዮን" መጥቀስ ይችላሉ:

ማድመቅ ፍጹም ካሬ, ወዲያውኑ እናያለን አሉታዊ ያልሆነቅጽ:, እና እኩል መጋጠሚያዎች ላለው ለማንኛውም ቬክተር ከዜሮ ጋር እኩል ነው, ለምሳሌ: .

"መስታወት" ምሳሌ አሉታዊየተወሰነ ቅጽ;

እና የበለጠ ቀላል ምሳሌ፡-
- እዚህ ቅጹ ለማንኛውም ቬክተር ከዜሮ ጋር እኩል ነው, የዘፈቀደ ቁጥር ባለበት.

አሉታዊ ወይም አወንታዊ ያልሆኑ ቅርጾችን እንዴት መለየት ይቻላል?

ለዚህ ጽንሰ-ሐሳብ ያስፈልገናል ዋና ታዳጊዎች ማትሪክስ. አንድ ትልቅ ያልደረሰ አነስተኛ መጠን ያለው ተመሳሳይ ቁጥሮች ባላቸው ረድፎች እና አምዶች መገናኛ ላይ የሚቆሙ ንጥረ ነገሮችን ያቀፈ ነው። ስለዚህ ፣ ማትሪክስ የ 1 ኛ ቅደም ተከተል ሁለት ዋና ታዳጊዎች አሉት።
(ኤለመንቱ በ 1 ኛ ረድፍ እና 1 ኛ አምድ መገናኛ ላይ ነው);
(ኤለመንቱ በ 2 ኛ ረድፍ እና 2 ኛ አምድ መገናኛ ላይ ነው)

እና በ 2 ኛው ቅደም ተከተል አንድ ዋና ትንሽ፡
- የ 1 ኛ ፣ 2 ኛ ረድፍ እና 1 ኛ ፣ 2 ኛ አምድ አካላትን ያቀፈ።

ማትሪክስ "ሶስት በሦስት" ነው. ሰባት ዋና ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆች አሉ፣ እና እዚህ የእርስዎን ሁለትዮሽ (biceps) መታጠፍ አለቦት፡-
- በ 1 ኛ ትእዛዝ ውስጥ ሶስት ታዳጊዎች;
ሶስት ሁለተኛ ደረጃ ታዳጊዎች:
- የ 1 ኛ ፣ 2 ኛ ረድፍ እና 1 ኛ ፣ 2 ኛ አምድ አካላትን ያቀፈ;
- የ 1 ኛ ፣ 3 ኛ ረድፍ እና 1 ኛ ፣ 3 ኛ አምድ አካላትን ያቀፈ;
- የ 2 ኛ ፣ 3 ኛ ረድፍ እና 2 ኛ ፣ 3 ኛ አምድ አካላትን ያቀፈ ፣
እና አንድ 3ኛ ትእዛዝ ትንሽ፡-
- በ 1 ኛ ፣ 2 ኛ ፣ 3 ኛ ረድፍ እና 1 ኛ ፣ 2 ኛ እና 3 ኛ አምድ አካላት የተዋቀረ።
የአካል ብቃት እንቅስቃሴ ያድርጉለግንዛቤ፡ ሁሉንም የማትሪክስ ዋና ታዳጊዎችን ይፃፉ .
በትምህርቱ መጨረሻ ላይ እንፈትሻለን እና እንቀጥላለን.

የ Schwarzenegger መስፈርት:

1) ዜሮ ያልሆነ * ባለአራት ቅርጽ ይገለጻል። አሉታዊ ያልሆነከሆነ እና ሁሉም ዋናዎቹ ታዳጊዎቹ ከሆኑ ብቻ አሉታዊ ያልሆነ(ከዜሮ የበለጠ ወይም እኩል)።

* ዜሮ (የተበላሸ) ኳድራቲክ ቅርጽ ከዜሮ ጋር እኩል የሆኑ ሁሉም ውህዶች አሉት.

2) ዜሮ ያልሆነ አራት ማዕዘን ቅርፅ ከማትሪክስ ጋር ይገለጻል። አሉታዊከሆነ እና ከሆነ ብቻ:
- የ 1 ኛ ቅደም ተከተል ዋና ዋና ልጆች አዎንታዊ ያልሆነ(ከዜሮ ያነሰ ወይም እኩል);
- የ 2 ኛ ቅደም ተከተል ዋና ዋና ልጆች አሉታዊ ያልሆነ;
- የ 3 ኛ ቅደም ተከተል ዋና ዋና ልጆች አዎንታዊ ያልሆነ(አማራጭ ተጀመረ);
…
- የትዕዛዝ ዋና ጥቃቅን አዎንታዊ ያልሆነ, ከሆነ - ያልተለመደ ወይም አሉታዊ ያልሆነ፣ ከሆነ - እንኳን።

ቢያንስ አንድ ትንሽ ልጅ ተቃራኒው ምልክት ከሆነ, ቅጹ ምልክት-ተለዋጭ ነው.

ከላይ ባሉት ምሳሌዎች ውስጥ መስፈርቱ እንዴት እንደሚሰራ እንመልከት፡-

የቅርጽ ማትሪክስ እንፍጠር, እና በመጀመሪያየማዕዘን ታዳጊዎችን እናሰላው - በአዎንታዊ ወይም በአሉታዊ መልኩ ቢገለጽስ?

የተገኙት ዋጋዎች የሲሊቬስተር መስፈርትን አያሟሉም, ነገር ግን ሁለተኛውን ትንሽ አሉታዊ አይደለም, እና ይህ 2 ኛ መስፈርት መፈተሽ አስፈላጊ ያደርገዋል (በ 2 ኛ መስፈርት ሁኔታ በራስ-ሰር አይሟላም ፣ ማለትም ፣ መደምደሚያው ወዲያውኑ ስለ ቅጹ ምልክት ተለዋጭ).

የ 1 ኛ ትዕዛዝ ዋና ታዳጊዎች፡-
- አዎንታዊ;
የ 2 ኛ ቅደም ተከተል ዋና ዋና:
- አሉታዊ አይደለም.

ስለዚህ, ሁሉም ትላልቅ ታዳጊዎች አሉታዊ አይደሉም, ይህም ማለት ቅጹ ማለት ነው አሉታዊ ያልሆነ.

የቅርጽ ማትሪክስ እንፃፍ , ለዚህም የሲልቬስተር መስፈርት አልረካም. ግን ደግሞ ተቃራኒ ምልክቶችን አላገኘንም (ሁለቱም የማዕዘን ታዳጊዎች ከዜሮ ጋር እኩል ስለሆኑ)። ስለዚህ, አሉታዊ ያልሆነ / አዎንታዊ ያልሆነ መስፈርት መሟላቱን እናረጋግጣለን. የ 1 ኛ ትዕዛዝ ዋና ታዳጊዎች፡-
- አዎንታዊ አይደለም;
የ 2 ኛ ቅደም ተከተል ዋና ዋና:
- አሉታዊ አይደለም.

ስለዚህ, በ Schwarzenegger መስፈርት (ነጥብ 2) መሰረት, ቅጹ በአዎንታዊ መልኩ አልተገለጸም.

አሁን የበለጠ ትኩረት የሚስብ ችግርን በዝርዝር እንመልከት-

ምሳሌ 5

የምልክት ትክክለኛነት አራት ማዕዘን ቅርፅን ይመርምሩ

ይህ ቅጽ በ "አልፋ" ቅደም ተከተል ያጌጣል, ይህም ከማንኛውም እውነተኛ ቁጥር ጋር እኩል ሊሆን ይችላል. ግን የበለጠ አስደሳች ብቻ ይሆናል ብለን እንወስናለን።.

በመጀመሪያ፣ የቅጹን ማትሪክስ እንጻፍ፤ ብዙ ሰዎች ምናልባት ይህን በቃል ለማድረግ ቀድሞውንም ቢሆን ተላምደው ሊሆን ይችላል። ዋና ሰያፍለካሬዎች እኩልዮሾችን እናስቀምጣለን ፣ እና በተመጣጣኝ ቦታዎች ላይ ተዛማጅ “የተደባለቁ” ምርቶችን ግማሹን እናስቀምጣለን-

የማዕዘን ታዳጊዎችን እናሰላለን፡-

ሦስተኛውን መወሰኛ በ 3 ኛ መስመር ላይ እሰፋለሁ-

የኳድራቲክ ቅርጽ ጽንሰ-ሐሳብ. የኳድራቲክ ቅርጽ ማትሪክስ. የኳድራቲክ ቅርጽ ቀኖናዊ ቅርጽ. Lagrange ዘዴ. የኳድራቲክ ቅርጽ መደበኛ እይታ. የኳድራቲክ ቅርጽ ደረጃ፣ መረጃ ጠቋሚ እና ፊርማ። አወንታዊ የተረጋገጠ ባለአራት ቅርጽ። ኳድሪክስ።

የኳድራቲክ ቅርፅ ጽንሰ-ሀሳብ፡-በቬክተር መጋጠሚያዎች ውስጥ በሁለተኛ ዲግሪ በአንድ ወጥ የሆነ ፖሊኖሚል በተገለጸው የቬክተር ቦታ ላይ ያለ ተግባር።

ባለአራት ቅርጽ ከ nየማይታወቅ ድምር ይባላል፣ እያንዳንዱ ቃል ከእነዚህ የማይታወቁ የአንዱ ካሬ ወይም የሁለት የተለያዩ ያልታወቁ ውጤቶች ናቸው።

ባለአራት ማትሪክስ፡ማትሪክስ በተወሰነ መሠረት የኳድራቲክ ቅርጽ ማትሪክስ ይባላል። የመስክ ባህሪው ከ 2 ጋር እኩል ካልሆነ, የኳድራቲክ ቅርጽ ማትሪክስ የተመጣጠነ ነው, ማለትም.

ባለአራት ቅርጽ ማትሪክስ ይፃፉ፡-

ስለዚህም እ.ኤ.አ.

በቬክተር ማትሪክስ መልክ፣ ኳድራቲክ ቅርጽ የሚከተለው ነው፡-

አ፣ የት

ቀኖናዊ የኳድራቲክ ቅርጽ፡ኳድራቲክ ቅርጽ ሁሉም ከሆነ ቀኖናዊ ይባላል ማለትም

መስመራዊ ለውጦችን በመጠቀም ማንኛውም ባለአራት ቅርጽ ወደ ቀኖናዊ ቅርጽ ሊቀንስ ይችላል። በተግባር, የሚከተሉት ዘዴዎች ብዙውን ጊዜ ጥቅም ላይ ይውላሉ.

Lagrange ዘዴ : የተሟሉ ካሬዎች ቅደም ተከተል ምርጫ. ለምሳሌ, ከሆነ

ከዚያም ተመሳሳይ አሰራር በአራት ማዕዘን ቅርፅ ይከናወናል ወዘተ በአራት ቅርጽ ከሆነ ሁሉም ነገር ግን ነው ከዚያም ከቅድመ ለውጥ በኋላ ጉዳዩ ወደ ታሳቢው አሰራር ይመጣል. ስለዚህ, ለምሳሌ, ከዚያም እንገምታለን

መደበኛ አራት ማዕዘን ቅርፅ;መደበኛ አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ቀኖናዊ ኳድራቲክ ቅርጽ ሲሆን በውስጡም ሁሉም ጥምርታዎች ከ +1 ወይም -1 ጋር እኩል ናቸው.

የኳድራቲክ ቅርጽ ደረጃ፣ መረጃ ጠቋሚ እና ፊርማ፡-የኳድራቲክ ቅርጽ ደረጃ ሀየማትሪክስ ደረጃ ተብሎ ይጠራል ሀ. በማይታወቁ ባልሆኑ ያልተበላሹ ለውጦች የኳድራቲክ ቅርፅ ደረጃ አይለወጥም።

የአሉታዊ ቅንጅቶች ብዛት አሉታዊ ቅጽ ኢንዴክስ ይባላል።

በቀኖናዊው ቅጽ ውስጥ ያሉት አወንታዊ ቃላት የኳድራቲክ ቅርፅ አወንታዊ ኢንቴሽን ኢንዴክስ ይባላል ፣ የአሉታዊ ቃላት ብዛት አሉታዊ ኢንዴክስ ይባላል። በአዎንታዊ እና አሉታዊ ኢንዴክሶች መካከል ያለው ልዩነት የኳድራቲክ ቅርጽ ፊርማ ይባላል

አወንታዊ የተረጋገጠ ባለአራት ቅርጽ፡እውነተኛ አራት ማዕዘን ቅርጽ ለማንኛውም እውነተኛ የተለዋዋጮች እሴቶች በአንድ ጊዜ ዜሮ ካልሆኑ አዎንታዊ የተወሰነ (አሉታዊ ፍቺ) ይባላል።

. (36)

በዚህ ሁኔታ, ማትሪክስ እንዲሁ አዎንታዊ የተወሰነ (አሉታዊ ፍቺ) ተብሎም ይጠራል.

የአዎንታዊ ትክክለኛ (አሉታዊ የተወሰነ) ቅጾች ክፍል አሉታዊ ያልሆኑ (አዎንታዊ ያልሆኑ) ቅጾች ክፍል ነው።

ኳድሪክስ፡ኳድሪክ - n- ልኬት hypersurface ውስጥ n+1-ልኬት ቦታ፣ የሁለተኛ ዲግሪ ፖሊኖሚል የዜሮዎች ስብስብ ተብሎ ይገለጻል። መጋጠሚያዎቹን ከገቡ ( x 1 , x 2 , x n+1 ) (በዩክሊዲያን ወይም በአፊን ቦታ) ፣ የኳድሪክ አጠቃላይ እኩልታ ነው።

ይህ እኩልታ በማትሪክስ ኖት ውስጥ በበለጠ ሁኔታ እንደገና ሊፃፍ ይችላል፡-

የት x = ( x 1 , x 2 , x n+1) - ረድፍ ቬክተር; xቲ የተለወጠ ቬክተር ነው ጥ- መጠን ማትሪክስ ( n+1)×( n+1) (ቢያንስ ከንጥረቶቹ ውስጥ አንዱ ዜሮ ያልሆነ ነው ተብሎ ይታሰባል) ፒአንድ ረድፍ ቬክተር ነው, እና አር- ቋሚ. በእውነተኛ ወይም ውስብስብ ቁጥሮች ላይ ያሉ ኳድሪኮች ብዙውን ጊዜ ይታሰባሉ። ትርጉሙ በፕሮጀክቲቭ ቦታ ላይ ወደ ኳድሪክስ ሊራዘም ይችላል, ከታች ይመልከቱ.

በአጠቃላይ፣ የብዙ እኩልታዎች ስርዓት የዜሮዎች ስብስብ የአልጀብራ ዓይነት በመባል ይታወቃል። ስለዚህም ኳድሪክ የሁለተኛ ዲግሪ እና ኮድሚሽን 1 (አፊን ወይም ፕሮጄክቲቭ) አልጀብራ ዓይነት ነው።

የአውሮፕላን እና የቦታ ለውጦች.

የአውሮፕላን ለውጥ ፍቺ. እንቅስቃሴን መለየት. የመንቀሳቀስ ባህሪያት. ሁለት ዓይነት እንቅስቃሴዎች-የመጀመሪያው ዓይነት እንቅስቃሴ እና የሁለተኛው ዓይነት እንቅስቃሴ. የእንቅስቃሴዎች ምሳሌዎች. የትንታኔ እንቅስቃሴ መግለጫ። የአውሮፕላን እንቅስቃሴዎች ምደባ (በቋሚ ነጥቦች እና የማይለዋወጥ መስመሮች መገኘት ላይ የተመሰረተ ነው). የአውሮፕላን እንቅስቃሴዎች ቡድን.

የአውሮፕላን ለውጥ ፍቺ፡ ፍቺ።በነጥቦች መካከል ያለውን ርቀት የሚጠብቅ የአውሮፕላን ለውጥ ይባላል እንቅስቃሴ(ወይም እንቅስቃሴ) የአውሮፕላኑ. የአውሮፕላን ትራንስፎርሜሽን ይባላል አፊንበተመሳሳይ መስመር ላይ ያሉ ሶስት ነጥቦችን ወደ ሶስት ነጥብ ቢቀይር በተመሳሳይ መስመር ላይ ተኝቶ እና በተመሳሳይ ጊዜ የሶስቱን ነጥቦች ቀላል ግንኙነት ጠብቆ ማቆየት።

የእንቅስቃሴ ፍቺ፡እነዚህ በነጥቦች መካከል ያለውን ርቀት የሚጠብቁ የቅርጽ ለውጦች ናቸው. ሁለት አሃዞች በእንቅስቃሴ በኩል በትክክል እርስ በርስ ከተጣመሩ, እነዚህ አሃዞች ተመሳሳይ ናቸው, እኩል ናቸው.

የመንቀሳቀስ ባህሪያት;እያንዳንዱ የአውሮፕላኑ አቅጣጫ-መቆያ እንቅስቃሴ ትይዩ ትርጉም ወይም መሽከርከር ነው፤ እያንዳንዱ የአውሮፕላን አቅጣጫ-መቀየር እንቅስቃሴ ወይ የአክሲል ሲሜትሪ ወይም ተንሸራታች ሲሜትሪ ነው። በሚንቀሳቀሱበት ጊዜ, ቀጥታ መስመር ላይ የተቀመጡ ነጥቦች ቀጥታ መስመር ላይ ወደተኙ ነጥቦች ይለወጣሉ, እና የእነሱ አንጻራዊ አቀማመጥ ቅደም ተከተል ይጠበቃል. በሚንቀሳቀሱበት ጊዜ በግማሽ መስመሮች መካከል ያሉት ማዕዘኖች ይጠበቃሉ.

ሁለት ዓይነት እንቅስቃሴዎች: የመጀመሪያው ዓይነት እንቅስቃሴ እና የሁለተኛው ዓይነት እንቅስቃሴ;የመጀመሪያው ዓይነት እንቅስቃሴዎች የአንድ የተወሰነ ምስል መሠረቶች አቅጣጫን የሚጠብቁ እንቅስቃሴዎች ናቸው። በተከታታይ እንቅስቃሴዎች ሊከናወኑ ይችላሉ.

የሁለተኛው ዓይነት እንቅስቃሴዎች የመሠረቶቹን አቅጣጫ ወደ ተቃራኒው የሚቀይሩ እንቅስቃሴዎች ናቸው. በተከታታይ እንቅስቃሴዎች ሊፈጸሙ አይችሉም.

የመጀመርያው ዓይነት እንቅስቃሴዎች ምሳሌዎች ቀጥታ መስመር ላይ መተርጎም እና መዞር ሲሆኑ የሁለተኛው ዓይነት እንቅስቃሴዎች ደግሞ ማዕከላዊ እና የመስታወት ሲሜትሮች ናቸው።

የመጀመሪያው ዓይነት የማንኛውም የእንቅስቃሴዎች ብዛት ስብጥር የመጀመሪያው ዓይነት እንቅስቃሴ ነው።

የሁለተኛው ዓይነት እኩል ቁጥር ያለው እንቅስቃሴ የ 1 ኛ ዓይነት እንቅስቃሴ ነው ፣ እና የ 2 ኛ ዓይነት ያልተለመደ የእንቅስቃሴዎች ስብስብ የ 2 ኛ ዓይነት እንቅስቃሴ ነው።

የእንቅስቃሴዎች ምሳሌዎችትይዩ ማስተላለፍ. የተሰጠው ቬክተር ይሁን። ወደ ቬክተር ሀ ትይዩ ሽግግር የአውሮፕላኑን ካርታ በራሱ ላይ የሚያሳይ ሲሆን እያንዳንዱ ነጥብ M ወደ ነጥብ M 1 ተቀርጿል፣ ስለዚህም ቬክተር MM 1 ከቬክተር ሀ ጋር እኩል ይሆናል።

ትይዩ ትርጉም እንቅስቃሴ ነው ምክንያቱም ርቀቶችን በመጠበቅ የአውሮፕላኑን ካርታ በራሱ ላይ የሚያሳይ ነው። ይህ እንቅስቃሴ በምስላዊ መልኩ የአውሮፕላኑን በሙሉ ወደ ቬክተር ሀ ወደ ርዝመቱ እንደ ሽግግር ሊወክል ይችላል።

አሽከርክር።በአውሮፕላኑ ላይ ያለውን ነጥብ O እንጠቁም የማዞሪያ ማእከል) እና አንግል አዘጋጁ (α) የማሽከርከር አንግል). አውሮፕላኑን በነጥብ O በ Angle α ማሽከርከር የአውሮፕላኑ ካርታ በራሱ ላይ ነው, እያንዳንዱ ነጥብ M ወደ ነጥብ M 1 ይገለጻል, እንደ OM = OM 1 እና አንግል MOM 1 ከ α ጋር እኩል ነው. በዚህ ሁኔታ, ነጥብ O በቦታው ላይ ይቆያል, ማለትም, በራሱ ላይ ተቀርጿል, እና ሁሉም ሌሎች ነጥቦች በተመሳሳይ አቅጣጫ - በሰዓት አቅጣጫ ወይም በተቃራኒ ሰዓት አቅጣጫ ይሽከረከራሉ (ሥዕሉ በተቃራኒ ሰዓት አቅጣጫ መዞርን ያሳያል).

ማሽከርከር እንቅስቃሴ ነው ምክንያቱም የአውሮፕላኑን ካርታ በራሱ ላይ ስለሚወክል ርቀቶች ተጠብቀው ይገኛሉ።

የእንቅስቃሴ ትንተና;በቅድመ-እይታ መጋጠሚያዎች እና በነጥቡ ምስል መካከል ያለው የትንታኔ ግንኙነት ቅፅ (1) አለው።

የአውሮፕላን እንቅስቃሴዎች ምደባ (በቋሚ ነጥቦች እና የማይለዋወጡ መስመሮች መገኘት ላይ በመመስረት): ፍቺ:

በአውሮፕላኑ ላይ ያለው ነጥብ የማይለዋወጥ ነው (ቋሚ) በተሰጠው ለውጥ ስር ወደ እራሱ ከተለወጠ።

ምሳሌ፡ በማዕከላዊ ሲሜትሪ፣ የሲሜትሪ ማእከል ነጥብ የማይለዋወጥ ነው። በሚዞርበት ጊዜ የመዞሪያው መሃከል ነጥብ የማይለወጥ ነው. በአክሲያል ሲምሜትሪ, የማይለዋወጥ መስመር ቀጥተኛ መስመር ነው - የሲሜትሪ ዘንግ የማይለዋወጥ ነጥቦች ቀጥተኛ መስመር ነው.

ቲዎሬም: አንድ እንቅስቃሴ አንድ የማይለወጥ ነጥብ ከሌለው, ቢያንስ አንድ የማይለወጥ አቅጣጫ አለው.

ምሳሌ፡ ትይዩ ማስተላለፍ። በእርግጥም, ከዚህ አቅጣጫ ጋር ትይዩ የሆኑ ቀጥታ መስመሮች በጥቅሉ የማይለዋወጡ ናቸው, ምንም እንኳን የማይለዋወጡ ነጥቦችን ባያካትትም.

ንድፈ ሃሳብ፡- ጨረሩ ከተንቀሳቀሰ፣ ጨረሩ ወደ ራሱ ይተረጎማል፣ ከዚያም ይህ እንቅስቃሴ የሚሰጠውን ጨረሮች የያዘውን ቀጥተኛ መስመር በተመለከተ አንድ አይነት ለውጥ ወይም ሲሜትሪ ነው።

ስለዚህ, የማይለዋወጡ ነጥቦች ወይም አሃዞች መኖራቸውን መሰረት በማድረግ እንቅስቃሴዎችን መመደብ ይቻላል.

የእንቅስቃሴ ስም	የማይለዋወጡ ነጥቦች	የማይለዋወጥ መስመሮች
የመጀመሪያው ዓይነት እንቅስቃሴ.
1. - መዞር	(መሃል) - 0	አይ
2. የማንነት ለውጥ	ሁሉም የአውሮፕላኑ ነጥቦች	ሁሉም ቀጥታ
3. ማዕከላዊ ሲሜትሪ	ነጥብ 0 - መሃል	ነጥብ 0 ውስጥ የሚያልፉ ሁሉም መስመሮች
4. ትይዩ ማስተላለፍ	አይ	ሁሉም ቀጥታ
የሁለተኛው ዓይነት እንቅስቃሴ.
5. አክሲያል ሲምሜትሪ.	የነጥቦች ስብስብ	የሲሜትሪ ዘንግ (ቀጥታ መስመር) ሁሉም ቀጥታ መስመሮች

የአውሮፕላን እንቅስቃሴ ቡድን;በጂኦሜትሪ ውስጥ ፣ የምስሎች የራስ-ጥንቅር ቡድኖች ትልቅ ሚና ይጫወታሉ። በአውሮፕላን (ወይም በጠፈር ላይ) የተወሰነ ምስል ከሆነ ፣ ስዕሉ ወደ ራሱ የሚቀየርበትን ሁሉንም የአውሮፕላኑ (ወይም የቦታ) እንቅስቃሴዎች ስብስብ ግምት ውስጥ ማስገባት እንችላለን።

ይህ ስብስብ ቡድን ነው። ለምሳሌ ፣ለሚዛናዊ ትሪያንግል ፣ ትሪያንግልን ወደ ራሱ የሚቀይሩት የአውሮፕላን እንቅስቃሴዎች ቡድን 6 አካላትን ያቀፈ ነው-በአንድ ነጥብ ዙሪያ በማእዘኖች እና በሲሜትሮች ወደ ሶስት ቀጥ ያሉ መስመሮች።

በስእል ውስጥ ይታያሉ. 1 ከቀይ መስመሮች ጋር. የመደበኛ ትሪያንግል የራስ-አሰላለፍ ቡድን አካላት በተለየ መንገድ ሊገለጹ ይችላሉ። ይህንን ለማብራራት የመደበኛ ትሪያንግል ጫፎችን ከቁጥሮች 1, 2, 3 ጋር እንቆጥራለን. ማንኛውም የሶስት ማዕዘን ራስን ማስተካከል ነጥቦችን 1, 2, 3 ወደ ተመሳሳይ ነጥቦች ይወስዳል, ግን በተለየ ቅደም ተከተል ይወሰዳል, ማለትም. በሁኔታዊ ሁኔታ ከእነዚህ ቅንፎች በአንዱ መልክ ሊጻፍ ይችላል፡-

ወዘተ.

ቁጥሮች 1 ፣ 2 ፣ 3 ከግምት ውስጥ በሚገቡበት እንቅስቃሴ ምክንያት 1 ፣ 2 ፣ 3 የሚሄዱባቸው የእነዚያ ጫፎች ቁጥሮች ያመለክታሉ ።

የፕሮጀክት ቦታዎች እና ሞዴሎቻቸው.

የፕሮጀክቲቭ ቦታ ጽንሰ-ሐሳብ እና የፕሮጀክት ቦታ ሞዴል. የፕሮጀክቲቭ ጂኦሜትሪ መሰረታዊ እውነታዎች። በ O ነጥብ ላይ ያተኮሩ የመስመሮች ስብስብ የፕሮጀክት አውሮፕላን ሞዴል ነው። የፕሮጀክት ነጥቦች. የተራዘመው አውሮፕላን የፕሮጀክት አውሮፕላኑ ሞዴል ነው. የተራዘመ ባለ ሶስት አቅጣጫዊ አፊን ወይም Euclidean space የፕሮጀክቲቭ ቦታ ሞዴል ነው። በትይዩ ንድፍ ውስጥ የጠፍጣፋ እና የቦታ ምስሎች ምስሎች.

የፕሮጀክቲቭ ቦታ ጽንሰ-ሀሳብ እና የፕሮጀክቲቭ ቦታ ሞዴል;

በመስክ ላይ ያለው ፕሮጄክቲቭ ቦታ በተወሰነ መስክ ላይ የተወሰኑ የመስመሮች መስመሮችን (አንድ-ልኬት ንዑስ ክፍተቶች) የያዘ ቦታ ነው። ቀጥታ ቦታዎች ተጠርተዋል ነጥቦችፕሮጀክቲቭ ቦታ. ይህ ትርጉም በዘፈቀደ አካል ሊጠቃለል ይችላል።

ልኬት ካለው , ከዚያም የፕሮጀክቲቭ ቦታው ስፋት ቁጥር ይባላል, እና የፕሮጀክቲቭ ቦታው ራሱ ይገለጻል እና ከእሱ ጋር የተያያዘ ነው (ይህን ለማመልከት, ማስታወሻው ተቀባይነት ያለው ነው).

ከቬክተር ስፋት ወደ ተጓዳኝ የፕሮጀክት ቦታ ሽግግር ይባላል ትንበያክፍተት.

ነጥቦቹ ተመሳሳይ የሆኑ መጋጠሚያዎችን በመጠቀም ሊገለጹ ይችላሉ.

የፕሮጀክቲቭ ጂኦሜትሪ መሰረታዊ እውነታዎች፡-ፕሮጄክቲቭ ጂኦሜትሪ የፕሮጀክቲቭ አውሮፕላኖችን እና ቦታዎችን የሚያጠና የጂኦሜትሪ ቅርንጫፍ ነው። የፕሮጀክቲቭ ጂኦሜትሪ ዋናው ገጽታ የሁለትነት መርህ ነው, እሱም ለብዙ ንድፎች የሚያምር ሲሜትሪ ይጨምራል. ፕሮጄክቲቭ ጂኦሜትሪ ሁለቱንም ከጂኦሜትሪክ እይታ እና ከትንተና (ተመሳሳይ መጋጠሚያዎችን በመጠቀም) እና የሳልጀብራ እይታን በመመልከት የፕሮጀክቲቭ አውሮፕላንን በመስክ ላይ እንደ መዋቅር በመቁጠር ሁለቱንም ማጥናት ይቻላል። ብዙውን ጊዜ እና በታሪካዊ ሁኔታ ፣ እውነተኛው ፕሮጄክቲቭ አውሮፕላን “በማይታወቅ መስመር” በተጨማሪ እንደ ኢውክሊዲያን አውሮፕላን ይቆጠራል።

የ Euclidean ጂኦሜትሪ ስምምነቶች ያሉባቸው የምስሎች ባህሪያት እያለ መለኪያ(የተወሰኑ ማዕዘኖች ፣ ክፍሎች ፣ አካባቢዎች) እና የቁጥሮች እኩልነት ከነሱ ጋር እኩል ነው። መስማማት(ማለትም፣ የሜትሪክ ንብረቶችን በመጠበቅ አሃዞችን በእንቅስቃሴ ወደ አንዱ መተርጎም ሲቻል) ከእንቅስቃሴ ይልቅ በአጠቃላይ አይነት ለውጦች የተጠበቁ የጂኦሜትሪክ ምስሎች የበለጠ “ጥልቅ-ውሸት” ባህሪዎች አሉ። ፕሮጄክቲቭ ጂኦሜትሪ በክፍል ስር የማይለዋወጡትን የቁጥሮች ባህሪያት ጥናትን ይመለከታል የፕሮጀክት ለውጦች, እንዲሁም እነዚህ ለውጦች እራሳቸው.

ፕሮጄክቲቭ ጂኦሜትሪ በትይዩ መስመሮች መገኘት ውስብስብ ለብዙ ችግሮች ቆንጆ እና ቀላል መፍትሄዎችን በመስጠት የዩክሊዲያን ጂኦሜትሪ ያሟላል። የኮንክ ክፍሎች ፕሮጄክቲቭ ቲዎሪ በተለይ ቀላል እና የሚያምር ነው።

ለፕሮጀክቲቭ ጂኦሜትሪ ሶስት ዋና አቀራረቦች አሉ፡ ራሱን የቻለ አክሲዮሜትሪዜሽን፣ የዩክሊዲያን ጂኦሜትሪ ማሟያ እና በመስክ ላይ ያለ መዋቅር።

Axiomatization

የፕሮጀክት ቦታን በተለየ የአክሲዮኖች ስብስብ በመጠቀም ሊገለጽ ይችላል.

Coxeter የሚከተሉትን ያቀርባል:

1. ቀጥ ያለ መስመር እና በላዩ ላይ ያልሆነ ነጥብ አለ.

2. እያንዳንዱ መስመር ቢያንስ ሦስት ነጥቦች አሉት.

3. በሁለት ነጥቦች በትክክል አንድ ቀጥታ መስመር መሳል ይችላሉ.

4. ከሆነ ሀ, ለ, ሲ, እና ዲ- የተለያዩ ነጥቦች እና ABእና ሲዲመቆራረጥ ፣ ከዚያ አ.ሲ.እና BDመቆራረጥ

5. ከሆነ ኢቢሲአውሮፕላን ነው, ከዚያም በአውሮፕላኑ ውስጥ ቢያንስ አንድ ነጥብ የለም ኢቢሲ.

6. ሁለት የተለያዩ አውሮፕላኖች ቢያንስ ሁለት ነጥቦችን ያቋርጣሉ.

7. የተጠናቀቀ ባለአራት ጎን ሶስት አቅጣጫዊ ነጥቦች ኮላይኔር አይደሉም።

8. ሶስት ነጥቦች በአንድ መስመር ላይ ከሆኑ X X

የፕሮጀክቲቭ አውሮፕላኑ (ያለ ሦስተኛው ልኬት) በትንሹ በተለያዩ አክሲሞች ይገለጻል፡

1. በሁለት ነጥቦች በትክክል አንድ ቀጥተኛ መስመር መሳል ይችላሉ.

2. ማንኛውም ሁለት መስመሮች ይገናኛሉ.

3. አራት ነጥቦች አሉ, ከእነዚህ ውስጥ ሦስቱ ኮሊነር አይደሉም.

4. የተሟሉ አራት ማዕዘኖች ያሉት ሶስት አቅጣጫዊ ነጥቦች ኮላይኔር አይደሉም።

5. ሶስት ነጥቦች በአንድ መስመር ላይ ከሆኑ Xከ φ የፕሮጀክቶች አንፃር የማይለዋወጡ ናቸው ፣ ከዚያ ሁሉም ነጥቦች ላይ Xከ φ ጋር የማይለዋወጥ.

6. Desargues' theorem፡- ሁለት ትሪያንግሎች በአንድ ነጥብ በኩል እይታ ከሆኑ፣ እነሱ በመስመር በኩል እይታ ናቸው።

በሦስተኛው ልኬት ፊት የዴሳርጌስ ቲዎሬም ተስማሚ ነጥብ እና መስመርን ሳያስተዋውቅ ሊረጋገጥ ይችላል።

የተራዘመ አውሮፕላን - የፕሮጀክት አውሮፕላን ሞዴል;በአፊን ክፍተት A3 ውስጥ አንድ ጥቅል መስመሮችን እንወስዳለን S (O) በነጥብ O ላይ መሃል እና በጥቅሉ መሃል የማያልፈው አውሮፕላን Π: O 6∈ Π. በአፊን ቦታ ላይ ያሉ የመስመሮች ጥቅል የፕሮጀክቲቭ አውሮፕላን ሞዴል ነው። የአውሮፕላኑን የነጥብ ስብስብ Π በማገናኛ ኤስ ቀጥታ መስመሮች ስብስብ ላይ ያለውን ካርታ እንግለጽ (ፉክ፣ ይህ ጥያቄ ካጋጠመህ ጸልይ፣ ይቅር በለኝ)

የተራዘመ ባለ ሶስት አቅጣጫዊ አፊን ወይም Euclidean space—የፕሮጀክቲቭ ቦታ ሞዴል፡

የካርታ ስራው እንዲሰራ ለማድረግ የአፊን አውሮፕላን Πን ወደ ፕሮጄክቲቭ አውሮፕላን ፣ Π ፣ አውሮፕላኑን Π በመደበኛ ያልሆኑ ነጥቦች (M∞) በማሟላት ሂደቱን ደግመን እንሰራለን ። ((M∞))) = P0(O) በካርታው ላይ የእያንዳንዱ አይሮፕላኖች ጥቅል ኤስ (ኦ) የተገላቢጦሽ ምስል በአውሮፕላኑ ላይ ያለ መስመር በመሆኑ የተዘረጋው አውሮፕላን የሁሉም ተገቢ ያልሆኑ ነጥቦች ስብስብ Π = Π ∩ (M∞) መሆኑ ግልጽ ነው። , (M∞)፣ የተዘረጋውን አውሮፕላን ትክክለኛ ያልሆነ መስመር d∞ ይወክላል፣ እሱም የነጠላ አውሮፕላን ተገላቢጦሽ ምስል Π0: (d∞) = P0(O) (= Π0)። (I.23) እዚህ እና ከአሁን በኋላ የመጨረሻውን እኩልነት P0 (O) = Π0 በነጥብ ስብስቦች እኩልነት ስሜት እንደምንረዳ እንስማማ, ነገር ግን የተለየ መዋቅር ተሰጥቷል. የአፊን አይሮፕላኑን ተገቢ ባልሆነ መስመር በማሟላት የካርታ ስራ (I.21) በተዘረጋው አውሮፕላን የሁሉም ነጥቦች ስብስብ ላይ ትልቅ ቦታ የሚሰጠው መሆኑን አረጋግጠናል።

በትይዩ ዲዛይን ጊዜ የጠፍጣፋ እና የቦታ ምስሎች ምስሎች

በስቲሪዮሜትሪ ውስጥ የቦታ አሃዞች ይጠናሉ, ነገር ግን በሥዕሉ ላይ እንደ ጠፍጣፋ ምስሎች ይገለጣሉ. በአውሮፕላን ላይ የቦታ ምስል እንዴት መሳል አለበት? በተለምዶ በጂኦሜትሪ, ትይዩ ንድፍ ለዚህ ጥቅም ላይ ይውላል. ትንሽ አውሮፕላን እንሁን ፣ ኤል- ቀጥ ያለ መስመር የሚያቋርጠው (ምስል 1). በዘፈቀደ ነጥብ በኩል ሀ፣ የመስመሩ አባል ያልሆነ ኤል፣ ከመስመሩ ጋር ትይዩ የሆነ መስመር ይሳሉ ኤል. የዚህ መስመር መገናኛ ነጥብ ከአውሮፕላኑ p ጋር የነጥቡ ትይዩ ትንበያ ይባላል ሀወደ አውሮፕላኑ p ወደ ቀጥታ መስመር አቅጣጫ ኤል. እንጠቁመው ሀ". ነጥቡ ከሆነ ሀየመስመሩ ነው። ኤል, ከዚያም በትይዩ ትንበያ ሀየመስመሩ መገናኛ ነጥብ በአውሮፕላኑ ላይ እንደሆነ ይቆጠራል p ኤልከአውሮፕላን ጋር ፒ.

ስለዚህ, እያንዳንዱ ነጥብ ሀየጠፈር ትንበያው ይነጻጸራል። ሀ"በአውሮፕላኑ ላይ p. ይህ የደብዳቤ ልውውጥ ወደ አውሮፕላን p ወደ ቀጥታ መስመር አቅጣጫ ትይዩ ትንበያ ይባላል ኤል.

የፕሮጀክቲቭ ለውጦች ቡድን. ለችግሮች አፈታት ማመልከቻ.

የአውሮፕላን የፕሮጀክት ለውጥ ጽንሰ-ሀሳብ። የአውሮፕላኑ የፕሮጀክት ለውጦች ምሳሌዎች። የፕሮጀክታዊ ለውጦች ባህሪያት. ሆሞሎጂ, የሆሞሎጂ ባህሪያት. የፕሮጀክቲቭ ለውጦች ቡድን.

የአውሮፕላን የፕሮጀክት ለውጥ ጽንሰ-ሀሳብ-የፕሮጀክቲቭ ትራንስፎርሜሽን ጽንሰ-ሀሳብ የማዕከላዊ ትንበያ ጽንሰ-ሀሳብን አጠቃላይ ያደርገዋል። የአውሮፕላኑን ማእከላዊ ትንበያ ካደረግን α ወደ አንዳንድ አውሮፕላን α 1፣ ከዚያም የ α 1 ወደ α 2፣ α 2 ወደ α 3፣ ... እና በመጨረሻም የተወሰነ አውሮፕላን α nእንደገና በ α 1 ላይ, ከዚያም የእነዚህ ሁሉ ትንበያዎች ቅንብር የአውሮፕላኑ የፕሮጀክት ለውጥ ነው α; ትይዩ ትንበያዎችም በእንደዚህ አይነት ሰንሰለት ውስጥ ሊካተቱ ይችላሉ.

የፕሮጀክቲቭ አውሮፕላን ለውጦች ምሳሌዎች፡-የተጠናቀቀው አውሮፕላን የፕሮጀክቲቭ ለውጥ በራሱ ላይ የአንድ ለአንድ ካርታ ስራ ነው፣ በዚህ ውስጥ የነጥቦች ጥምረት ተጠብቆ ይቆያል፣ ወይም በሌላ አነጋገር የማንኛውም መስመር ምስል ቀጥተኛ መስመር ነው። ማንኛውም የፕሮጀክት ለውጥ የማዕከላዊ እና ትይዩ ትንበያዎች ሰንሰለት ጥንቅር ነው። አፊን ትራንስፎርሜሽን የፕሮጀክቲቭ ትራንስፎርሜሽን ልዩ ጉዳይ ነው፣ በዚህ ውስጥ ያለው መስመር ወደ ራሱ የሚቀየርበት።

የፕሮጀክቲቭ ለውጦች ባህሪዎች

በፕሮጀክቲቭ ትራንስፎርሜሽን ወቅት ሶስት ነጥቦች በመስመር ላይ የማይተኛሉ ወደ ሶስት ነጥብ ይቀየራሉ።

በፕሮጀክታዊ ለውጥ ወቅት ክፈፉ ወደ ፍሬም ይለወጣል.

በፕሮጀክቲቭ ትራንስፎርሜሽን ወቅት አንድ መስመር ወደ ቀጥታ መስመር ይሄዳል, እና እርሳስ ወደ እርሳስ ይገባል.

ሆሞሎጂ ፣ የግብረ-ሰዶማዊነት ባህሪዎች

የማይለዋወጡ ነጥቦች መስመር ያለው የአውሮፕላን የፕሮጀክቲቭ ለውጥ እና ስለዚህ የማይለዋወጥ መስመሮች እርሳስ ፣ ግብረ-ሰዶማዊነት ይባላል።

1. ተመጣጣኝ ባልሆኑ ተዛማጅ ሆሞሎጂ ነጥቦች ውስጥ የሚያልፍ መስመር የማይለዋወጥ መስመር ነው;

2. እርስ በርስ በማይጣጣሙ ተጓዳኝ ሆሞሎጂ ነጥቦች ውስጥ የሚያልፉ መስመሮች የአንድ እርሳስ ናቸው, መሃሉ የማይለወጥ ነጥብ ነው.

3. ነጥቡ, ምስሉ እና የግብረ-ሰዶማዊነት ማእከል በተመሳሳይ ቀጥተኛ መስመር ላይ ይተኛሉ.

የፕሮጀክት ለውጦች ቡድንየፕሮጀክቲቭ አውሮፕላን P 2ን የፕሮጀክት ካርታ በራሱ ላይ ማለትም የዚህን አውሮፕላን የፕሮጀክት ለውጥ (P 2 '= P 2) አስቡበት።

እንደበፊቱ ሁሉ የፕሮጀክቲቭ ትራንስፎርሜሽን ረ 1 እና ረ 2 የፕሮጀክቲቭ አውሮፕላን P 2 የትራንስፎርሜሽን ቅደም ተከተል አፈፃፀም f 1 እና f 2: f = f 2 °f 1 ውጤት ነው.

ቲዎረም 1፡ የፕሮጀክቲቭ አውሮፕላን P 2 የሁሉም የፕሮጀክት ለውጦች ስብስብ H የፕሮጀክቲቭ ትራንስፎርሜሽን ስብጥርን በተመለከተ ቡድን ነው።

አራት ማዕዘን ቅርጾች

በማትሪክስ ማስታወሻ ውስጥ, አራት ማዕዘን ቅርፅ f (X) = X T AX, የት ነው

በእርግጥም

ለምሳሌ፣ ኳድራቲክ ፎርሙን በማትሪክስ መልክ እንፃፍ።

የተለዋዋጮች ማትሪክስ-አምድ ማትሪክስ-አምድ ዋይ ባልተዳከመ የመስመር ለውጥ ይገኝ፣ i.e. X = CY፣ ሐ ነጠላ ያልሆነ የ nth ቅደም ተከተል ማትሪክስ ነው። ከዚያም አራት ማዕዘን ቅርጽ
f(X) = X T AX = (CY) ቲ ኤ(ሲአይ) = (Y T C T)A(CY) = Y T (C T AC) Y.

ስለዚህ፣ ባልተበላሸ መስመራዊ ለውጥ C፣ የኳድራቲክ ቅርጽ ማትሪክስ ቅጹን ይወስዳል፡ A * = C T AC።

አራት ማዕዘን ቅርጽ ይባላል ቀኖናዊ(አለው ቀኖናዊ እይታ), ሁሉም ድምጾቹ a ij = 0 ለ i ≠ j ከሆነ፣ i.e.
f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + … + a nn x n 2 =.

የእሱ ማትሪክስ ሰያፍ ነው.

ለምሳሌ፣ አራት ማዕዘን ቅርጾችን ወደ ቀኖናዊ ቅርጽ እንቀንስ
ረ(x 1፣ x 2፣ x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3።

ይህንን ለማድረግ በመጀመሪያ ከተለዋዋጭ x 1 ጋር የተሟላ ካሬ ይምረጡ።

ረ (x 1, x 2, x 3) = 2 (x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 2 – x 2 x 3 = 2 (x 1 + x 2) 2 - 5x 2 2 – x 2 x 3

አሁን ከተለዋዋጭ x 2 ጋር የተሟላ ካሬ እንመርጣለን፡

ረ(x 1፣ x 2፣ x 3) = 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 2 – 2* x 2 *(1/10) x 3 + (1/100) x 3 2) - (5/100) x 3 2 =
= 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 – (1/10) x 3) 2 - (1/20) x 3 2።

ከዚያም ያልተበላሸ መስመራዊ ለውጥ y 1 = x 1 + x 2፣ y 2 = x 2 – (1/10) x 3 እና y 3 = x 3 ይህንን አራት ማዕዘን ቅርጽ ወደ ቀኖናዊው ቅጽ f (y 1, y 2) ያመጣል. , y 3) = 2ይ 1 2 - 5y 2 2 - (1/20) y 3 2 .

የኳድራቲክ ቅርጽ ቀኖናዊ ቅርፅ የሚወሰነው አሻሚ መሆኑን ልብ ይበሉ (ተመሳሳይ አራት ማዕዘን ቅርፅ በተለያየ መንገድ ወደ ቀኖናዊ ቅርጽ ሊቀንስ ይችላል). ይሁን እንጂ በተለያዩ ዘዴዎች የተገኙ ቀኖናዊ ቅርጾች በርካታ የተለመዱ ባህሪያት አሏቸው. በተለይም የኳድራቲክ ቅርፅ አወንታዊ (አሉታዊ) ድምጾች ያላቸው የቃላቶች ብዛት ቅጹን ወደዚህ ቅጽ በመቀነስ ዘዴ ላይ የተመካ አይደለም (ለምሳሌ ፣ በምሳሌው ውስጥ ሁል ጊዜ ሁለት አሉታዊ እና አንድ አዎንታዊ ቅንጅት ይኖራሉ)። ይህ ንብረት ይባላል የ quadratic ቅርጾች inertia ህግ.

ተመሳሳዩን ኳድራቲክ ቅርፅ ወደ ቀኖናዊ ቅርጽ በተለየ መንገድ በማምጣት ይህንን እናረጋግጥ። ለውጡን በተለዋዋጭ x 2 እንጀምር፡-
ረ(x 1፣ x 2፣ x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = -3x 2 2 2 – x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = - 3 (x 2 2 –
- 2* x 2 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) +((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2) - 3(1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 =
= -3 (x 2 – (1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2 – 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 = f (y 1 ፣ y 2 ፣ y 3) = -3ይ 1 2 -
-3ይ 2 2 + 2ይ 3 2፣ የት y 1 = - (2/3) x 1 + x 2 – (1/6) x 3፣ y 2 = (2/3) x 1 + (1/6) x 3 እና y 3 = x 1. እዚህ የ 2 በ y 3 እና ሁለት አሉታዊ ኮፊሸን (-3) በ y 1 እና y 2 (ሌላ ዘዴን በመጠቀም 2 በ y 1 እና ሁለት አሉታዊ ኮፊሸን - (-5) በ y 2 እና (-1/20) በ y 3)።

አራት ማዕዘን ቅርጽ f(X) ይባላል በአዎንታዊ መልኩ (አሉታዊ) የተወሰነበተመሳሳይ ጊዜ ከዜሮ ጋር እኩል ላልሆኑ ተለዋዋጮች ሁሉ ዋጋዎች አዎንታዊ ከሆነ ፣ ማለትም። f(X) > 0 (አሉታዊ፣ i.e.
ረ(ኤክስ)< 0).

ለምሳሌ፣ አራት ማዕዘን ቅርጽ f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 አዎንታዊ የተረጋገጠ ነው፣ ምክንያቱም የካሬዎች ድምር ነው፣ እና አራት ማዕዘን ቅርፅ f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 አሉታዊ የተወሰነ ነው፣ ምክንያቱም ይወክላል እንደ f 2 (X) = -(x 1 - x 2) 2 ሊወከል ይችላል።

ቲዎረም. ሁሉም የማትሪክስ እሴቶች አወንታዊ (አሉታዊ) ከሆኑ ብቻ አራት ማዕዘን ቅርፅ ያለው አወንታዊ (አሉታዊ) ነው።

ዋና (ማዕዘን) ትንሽየ nth ቅደም ተከተል የ kth ትዕዛዝ ማትሪክስ A የማትሪክስ ወሳኙ ይባላል፣ ከማትሪክስ A () የመጀመሪያ k ረድፎች እና አምዶች።

ለምሳሌ፡ ለምልክት እርግጠኝነት አራት ማዕዘን ቅርፅ f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 እንመርምር።

= (2 - ሊ)*
* (3 - ሊ) - 4 = (6 - 2l - 3l + l 2) - 4 = l 2 - 5l + 2 = 0; D = 25 - 8 = 17;
. ስለዚህ, አራት ማዕዘን ቅርፅ አዎንታዊ ነው.

ዘዴ 2. የማትሪክስ የመጀመሪያ ቅደም ተከተል ርእሰ መምህር A D 1 = a 11 = 2> 0. የሁለተኛው ቅደም ተከተል ዋና አካል D 2 = 6 - 4 = 2> 0. ስለዚህ በሲልቬስተር መስፈርት መሰረት, አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ቅርጽ ነው. አዎንታዊ የተወሰነ.

ለምልክት ትክክለኛነት ሌላ አራት ማዕዘን ቅርፅን እንመረምራለን ፣ f(x 1 ፣ x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2።

ዘዴ 1. የኳድራቲክ ቅርጽ A = ማትሪክስ እንገንባ. የባህሪው እኩልታ ቅጹ ይኖረዋል = (-2 - ሊ)*
* (-3 - ሊ) - 4 = (6 + 2l + 3l + l 2) - 4 = l 2 + 5l + 2 = 0; D = 25 - 8 = 17;
. ስለዚህ, አራት ማዕዘን ቅርፅ አሉታዊ ነው.

ፍቺኳድራቲክ ቅርጽ ዜሮ ላልሆኑ ተለዋዋጮች እውነተኛ እሴቶች ሁሉም እሴቶቹ አዎንታዊ ከሆኑ አወንታዊ ፍቺ ይባላል። በግልጽ ለማየት እንደሚቻለው, አራት ማዕዘን ቅርፅ አዎንታዊ ነው.

ፍቺኳድራቲክ ቅርፅ ሁሉም እሴቶቹ አሉታዊ ከሆኑ ከተለዋዋጮች ዜሮ ያልሆኑ እሴቶች በስተቀር አሉታዊ ፍቺ ይባላል።

ፍቺ. አራት ማዕዘን ቅርፅ አሉታዊ (አዎንታዊ) እሴቶችን ካልወሰደ አዎንታዊ (አሉታዊ) ከፊል የተወሰነ ነው ተብሏል።

ሁለቱንም አወንታዊ እና አሉታዊ እሴቶችን የሚወስዱ አራት ቅርጾች ያልተወሰነ ይባላሉ።

በ n=1፣ አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው አወንታዊ የተረጋገጠ (በ) ወይም አሉታዊ (በ) ነው። ያልተወሰነ ቅርጾች ሲታዩ ይታያሉ.

ቲዎረም(የአራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው አወንታዊ ትክክለኛነት ሲልቬስተር ሙከራ)። ለአራት ማዕዘን ቅርጽ

በአዎንታዊ መልኩ ተብራርቷል, የሚከተሉትን ሁኔታዎች ለማሟላት አስፈላጊ እና በቂ ነው.

ማረጋገጫ። በ ውስጥ በተካተቱት ተለዋዋጮች ብዛት ላይ ኢንዳክሽን እንጠቀማለን። በአንድ ተለዋዋጭ ላይ በመመስረት ለአራት ቅርጽ እና የንድፈ ሃሳቡ መግለጫ ግልጽ ነው. ንድፈ ሃሳቡ እንደ ኳድራቲክ ቅርጽ እውነት ነው ብለን እናስብ n-1 ተለዋዋጮች።

1. የአስፈላጊነት ማረጋገጫ. ፍቀድ

አዎንታዊ የተወሰነ. ከዚያም አራት ማዕዘን ቅርጽ

አዎንታዊ የተወሰነ ይሆናል፣ ከ ከሆነ፣ ከዚያም በ.

በመግቢያው መላምት, ሁሉም የቅርጽ ዋና ዋና ህጻናት አዎንታዊ ናቸው, ማለትም.

መሆኑን ለማረጋገጥ ይቀራል።

ያልተበላሸ የመስመር ለውጥ አዎንታዊ የሆነ የኳድራቲክ ቅርጽ X=BYወደ ቀኖናዊ ቅርጽ ተቀንሷል

አራት ማዕዘኑ ከዲያግናል ማትሪክስ ጋር ይዛመዳል

ከመወሰኛ ጋር.

መስመራዊ ለውጥ በነጠላ ባልሆነ ማትሪክስ ይገለጻል። ውስጥ, ማትሪክስ ይለውጣል ጋርአራት ማዕዘን ቅርጽ ወደ ማትሪክስ. ግን ጀምሮ ያ.

2. የብቃት ማረጋገጫ. የኳድራቲክ ቅርጽ ያላቸው ሁሉም መሪ ታዳጊዎች አዎንታዊ ናቸው እንበል፡.

አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው አወንታዊ መሆኑን እናረጋግጥ. የኢንደክሽን ግምት የኳድራቲክ ቅርፅን አወንታዊ ትክክለኛነት ያሳያል . ለዛ ነው ባልተበላሸ የመስመር ለውጥ ወደ መደበኛው ቅርፅ ይቀንሳል። ተገቢውን የተለዋዋጮች ለውጥ በማድረግ እና በማስቀመጥ, እናገኛለን