ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎችን ከሥሮች ጋር እንዴት እንደሚፈታ። ወደ ተመሳሳይ እኩልነት መቀነስ

በጣም ቀላሉ ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎች እንደ አንድ ደንብ, ቀመሮችን በመጠቀም ተፈትተዋል. በጣም ቀላሉ ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎች እነኚህን ላስታውስህ፡-

sinx = ሀ

cosx = አ

tgx = አ

ctgx = አ

x የተገኘበት አንግል ነው
a ማንኛውም ቁጥር ነው.

እና ለእነዚህ ቀላል እኩልታዎች መፍትሄዎችን ወዲያውኑ መፃፍ የሚችሉባቸው ቀመሮች እዚህ አሉ።

ለኃጢአት:

ለኮሳይን፡-

x = ± አርክኮስ a + 2π n፣ n ∈ ዜድ

ለታንጀንት፡-

x = አርክታን a + π n፣ n ∈ ዜድ

ለኮንቴንሽን፡

x = arcctg a + π n፣ n ∈ ዜድ

በእውነቱ፣ ይህ በጣም ቀላል የሆኑትን ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎችን የመፍታት ቲዎሬቲካል ክፍል ነው። ከዚህም በላይ, ሁሉም ነገር!) ምንም አይደለም. ሆኖም፣ በዚህ ርዕስ ላይ ያሉ ስህተቶች ቁጥር በቀላሉ ከገበታዎቹ ውጪ ነው። በተለይም ምሳሌው ከአብነት ትንሽ የተለየ ከሆነ። ለምን?

አዎ፣ ምክንያቱም ብዙ ሰዎች እነዚህን ደብዳቤዎች ስለሚጽፉ፣ ትርጉማቸውን ሳይረዱ!የሆነ ነገር እንዳይከሰት በጥንቃቄ ይጽፋል...) ይህ መስተካከል አለበት። ትሪጎኖሜትሪ ለሰዎች፣ ወይም ሰዎች ለትሪጎኖሜትሪ፣ ለመሆኑ!?)

እስቲ እንረዳው?

አንድ ማዕዘን እኩል ይሆናል አርኮስ አ, ሁለተኛ: - አርኮስ አ.

እና በዚህ መንገድ ሁልጊዜም ይሠራል.ለማንኛውም ሀ.

ካላመንከኝ አይጥህን በሥዕሉ ላይ አንዣብበው ወይም በጡባዊህ ላይ ያለውን ሥዕል ንካ።) ቁጥሩን ቀይሬዋለሁ። ሀ ወደ አሉታዊ ነገር. ለማንኛውም አንድ ጥግ አግኝተናል አርኮስ አ, ሁለተኛ: - አርኮስ አ.

ስለዚህ መልሱ ሁል ጊዜ እንደ ሁለት ተከታታይ ሥሮች ሊፃፍ ይችላል-

x 1 = አርክኮስ a + 2π n፣ n ∈ ዜድ

x 2 = - አርክኮስ a + 2π n፣ n ∈ ዜድ

እነዚህን ሁለቱን ተከታታይ ክፍሎች ወደ አንድ እናጣምር፡-

x= ± አርክኮስ a + 2π n፣ n ∈ ዜድ

እና ያ ብቻ ነው። በጣም ቀላል የሆነውን ትሪግኖሜትሪክ እኩልታ ከኮሳይን ጋር ለመፍታት አጠቃላይ ቀመር አግኝተናል።

ይህ አንዳንድ የሱፐር ሳይንሳዊ ጥበብ እንዳልሆነ ከተረዱ, ግን የሁለት ተከታታይ መልሶች አጭር እትም ፣እንዲሁም "C" ተግባሮችን ማከናወን ይችላሉ. በእኩልነት አለመመጣጠን፣ ከተወሰነ ጊዜ ውስጥ ሥሮችን በመምረጥ... እዛ ፕላስ/መቀነሱ መልሱ አይሰራም። ነገር ግን መልሱን እንደ ንግድ ነክ በሆነ መንገድ ካስተናገዱት እና ወደ ሁለት የተለያዩ መልሶች ከከፋፈሉ ሁሉም ነገር መፍትሄ ያገኛል።) በእውነቱ እኛ የምንመለከተው ለዚህ ነው። ምን ፣ እንዴት እና የት።

በጣም ቀላል በሆነው ትሪግኖሜትሪክ እኩልታ

sinx = ሀ

እንዲሁም ሁለት ተከታታይ ሥሮችን እናገኛለን. ሁሌም። እና እነዚህ ሁለት ተከታታይ ክፍሎችም ሊመዘገቡ ይችላሉ በአንድ መስመር. ይህ መስመር ብቻ ይበልጥ አስቸጋሪ ይሆናል፡-

x = (-1) n arcsin a + π n፣ n ∈ ዜድ

ነገር ግን ዋናው ነገር አንድ ነው. የሒሳብ ሊቃውንት ለተከታታይ ሥሮች ከሁለት ግቤቶች ይልቅ አንድ ለማድረግ ቀመሩን በቀላሉ ቀርፀዋል። ይኼው ነው!

የሂሳብ ሊቃውንትን እንፈትሽ? እና በጭራሽ አታውቁም…)

በቀደመው ትምህርት፣ የትሪግኖሜትሪክ እኩልታ ከሳይን ጋር ያለው መፍትሄ (ያለ ምንም ቀመሮች) በዝርዝር ተብራርቷል፡-

መልሱ ሁለት ተከታታይ ሥሮችን አስከትሏል-

x 1 = π /6 + 2π n፣ n ∈ ዚ

x 2 = 5π /6 + 2π n፣ n ∈ ዜድ

ቀመሩን በመጠቀም ተመሳሳይ እኩልታን ከፈታን መልሱን እናገኛለን፡-

x = (-1) n አርክሲን 0.5 + π n፣ n ∈ ዚ

በእውነቱ ይህ ያልጨረሰ መልስ ነው።) ተማሪው ያንን ማወቅ አለበት። አርክሲን 0.5 = π /6.መልሱ ሙሉ ይሆናል፡-

x = (-1) n π /6+ π n፣ n ∈ ዚ

ይህ አስደሳች ጥያቄ ያስነሳል። በ በኩል ምላሽ ይስጡ x 1; x 2 (ይህ ትክክለኛው መልስ ነው!) እና በብቸኝነት X (እና ይህ ትክክለኛው መልስ ነው!) - ተመሳሳይ ናቸው ወይስ አይደሉም? አሁን እናገኘዋለን።)

በመልሱ እንተካለን። x 1 እሴቶች n =0; 1; 2; ወዘተ, እንቆጥራለን, ተከታታይ ሥሮችን እናገኛለን:

x 1 = π/6; 13π/6; 25π/6 እናም ይቀጥላል.

ጋር ምላሽ ተመሳሳይ ምትክ ጋር x 2 እኛ እናገኛለን:

x 2 = 5π/6; 17π/6; 29π/6 እናም ይቀጥላል.

አሁን እሴቶቹን እንተካ n (0፤ 1፤ 2፤ 3፤ 4...) ለነጠላ አጠቃላይ ቀመር X . ማለትም፣ አንዱን ሲቀነስ ወደ ዜሮ ሃይል፣ ከዚያም ወደ መጀመሪያው፣ ሁለተኛ፣ ወዘተ. ደህና ፣ በእርግጥ ፣ 0 ን ወደ ሁለተኛው ቃል እንተካለን። 1; 2 3; 4, ወዘተ. እና እንቆጥራለን. ተከታታዩን እናገኛለን፡-

x = π/6; 5π/6; 13π/6; 17π/6; 25π/6 እናም ይቀጥላል.

እርስዎ ማየት የሚችሉት ያ ብቻ ነው።) አጠቃላይ ቀመር ይሰጠናል። በትክክል ተመሳሳይ ውጤቶችእንደ ሁለቱ መልሶች በተናጠል. ሁሉም ነገር በአንድ ጊዜ ፣ ​​በቅደም ተከተል። የሂሳብ ሊቃውንት አልተታለሉም።)

ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎችን ከታንጀንት እና ከኮንጀንት ጋር ለመፍታት ቀመሮችንም ማረጋገጥ ይቻላል። ግን አንሆንም.) እነሱ ቀድሞውኑ ቀላል ናቸው.

ይህንን ሁሉ መተካት እና በተለይም ማጣራት ጻፍኩ. እዚህ አንድ ቀላል ነገር መረዳት አስፈላጊ ነው-የአንደኛ ደረጃ ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎችን ለመፍታት ቀመሮች አሉ ፣ የመልሶቹ አጭር ማጠቃለያ ብቻ።ለዚህ አጭርነት, ፕላስ/መቀነሱን ወደ ኮሳይን መፍትሄ እና (-1) n ወደ ሳይን መፍትሄ ማስገባት አለብን.

እነዚህ ማስገቢያዎች ለአንደኛ ደረጃ እኩልታ መልሱን ለመጻፍ በሚያስፈልግዎት ተግባራት ውስጥ በምንም መንገድ ጣልቃ አይገቡም። ግን እኩልነትን መፍታት ከፈለጉ ፣ ወይም ከዚያ ከመልሱ ጋር አንድ ነገር ማድረግ ያስፈልግዎታል-በተወሰነ ጊዜ ውስጥ ሥሮችን ይምረጡ ፣ ODZን ያረጋግጡ ፣ ወዘተ.

ታዲያ ምን ማድረግ አለብኝ? አዎ፣ ወይ መልሱን በሁለት ተከታታዮች ይፃፉ፣ ወይም ትሪግኖሜትሪክ ክብ በመጠቀም እኩልታውን/እኩልነትን ይፍቱ። ከዚያ እነዚህ ማስገቢያዎች ይጠፋሉ እና ህይወት ቀላል ይሆናል.)

ማጠቃለል እንችላለን።

በጣም ቀላል የሆኑትን ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎች ለመፍታት, ዝግጁ የሆኑ የመልስ ቀመሮች አሉ. አራት ቁርጥራጮች. መፍትሄውን ወደ እኩልታ በፍጥነት ለመጻፍ ጥሩ ናቸው. ለምሳሌ፣ እኩልታዎችን መፍታት ያስፈልግዎታል፡-

six = 0.3

በቀላሉ፡ x = (-1) n አርክሲን 0.3 + π n፣ n ∈ ዚ

cosx = 0.2

ችግር የሌም: x = ± አርክኮስ 0.2 + 2π n፣ n ∈ ዚ

tgx = 1.2

በቀላሉ፡ x = አርክታን 1,2 + π n, n ∈ ዚ

ctgx = 3.7

አንድ ግራ: x= arcctg3,7 + π n, n ∈ ዚ

cos x = 1.8

በእውቀት የምታበራ ከሆነ መልሱን በቅጽበት ጻፍ፡-

x= ± አርክኮስ 1.8 + 2π n፣ n ∈ ዚ

ከዚያ ቀድሞውንም እያበሩ ነው፣ ይሄ... ያ... ከኩሬ።) ትክክለኛ መልስ፡- ምንም መፍትሄዎች የሉም. ለምን እንደሆነ አልገባህም? አርክ ኮሳይን ምን እንደሆነ አንብብ። በተጨማሪም ፣ በዋናው እኩልታ በቀኝ በኩል የሲን ፣ ኮሳይን ፣ ታንጀንት ፣ ኮታንጀንት ፣ - የሰንጠረዥ እሴቶች ካሉ - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 እናም ይቀጥላል. - በቅስቶች በኩል ያለው መልስ ያልተጠናቀቀ ይሆናል. ቅስቶች ወደ ራዲያን መቀየር አለባቸው.

እና አለመመጣጠን ካጋጠመህ እንደ

ከዚያ መልሱ ነው፡-

x πn፣ n ∈ ዚ

ብርቅዬ የማይረባ ነገር አለ፣ አዎ...) እዚህ ትሪግኖሜትሪክ ክብ በመጠቀም መፍታት ያስፈልግዎታል። በተዛማጅ ርዕስ ውስጥ ምን እናደርጋለን.

እነዚህን መስመሮች በጀግንነት ለሚያነቡ። የታይታኒክ ጥረትህን ከማድነቅ በቀር ልረዳው አልችልም። ጉርሻ ለእርስዎ።)

ጉርሻ፡

በሚያስደንቅ የውጊያ ሁኔታ ውስጥ ቀመሮችን በሚጽፉበት ጊዜ ልምድ ያላቸው ነፍጠኞች እንኳን ብዙውን ጊዜ የት እንዳሉ ግራ ይጋባሉ πn፣ እና የት 2π n. ለእርስዎ አንድ ቀላል ዘዴ ይኸውና. ውስጥ ሁሉም ሰውዋጋ ያላቸው ቀመሮች πn. ከአርክ ኮሳይን ጋር ካለው ብቸኛ ቀመር በስተቀር። እዚያ ይቆማል 2πn. ሁለትብዕር ቁልፍ ቃል - ሁለት.በዚህ ተመሳሳይ ቀመር ውስጥ አሉ ሁለትመጀመሪያ ላይ ይፈርሙ. ፕላስ እና መቀነስ። እዚህ እና እዚያ - ሁለት.

ስለዚህ ከጻፍክ ሁለትከአርክ ኮሳይን በፊት ይፈርሙ ፣ መጨረሻ ላይ ምን እንደሚሆን ለማስታወስ ቀላል ነው። ሁለትብዕር እና ደግሞ በተቃራኒው ይከሰታል. ሰውዬው ምልክቱን ይናፍቀዋል ± , ወደ መጨረሻው ይደርሳል, በትክክል ይጽፋል ሁለትፒየን፣ እና ወደ አእምሮው ይመጣል። ወደፊት የሆነ ነገር አለ። ሁለትምልክት! ሰውዬው ወደ መጀመሪያው ይመለሳል እና ስህተቱን ያስተካክላል! ልክ እንደዚህ.)

ይህን ጣቢያ ከወደዱት...

በነገራችን ላይ ለአንተ ይበልጥ አስደሳች የሆኑ ሁለት ጣቢያዎች አሉኝ።)

ምሳሌዎችን የመፍታት ልምምድ ማድረግ እና ደረጃዎን ማወቅ ይችላሉ. በፈጣን ማረጋገጫ መሞከር። እንማር - በፍላጎት!)

ከተግባሮች እና ተዋጽኦዎች ጋር መተዋወቅ ይችላሉ።

ብዙዎችን ሲፈታ የሂሳብ ችግሮች, በተለይም ከ 10 ኛ ክፍል በፊት የሚከሰቱ, ወደ ግቡ የሚያደርሱት የተከናወኑ ድርጊቶች ቅደም ተከተል በግልፅ ተቀምጧል. እንደዚህ አይነት ችግሮች ለምሳሌ የመስመራዊ እና ባለአራት እኩልታዎች፣የመስመራዊ እና ባለአራት እኩልታዎች፣ክፍልፋይ እኩልታዎች እና እኩልታዎች ወደ ኳድራቲክ የሚቀንሱ ናቸው። እያንዳንዱን የተጠቀሱትን ችግሮች በተሳካ ሁኔታ የመፍታት መርህ እንደሚከተለው ነው-ምን አይነት ችግር እንደሚፈታ መመስረት አለብዎት, ወደሚፈለገው ውጤት የሚያመጣውን አስፈላጊውን የእርምጃዎች ቅደም ተከተል አስታውሱ, ማለትም. መልስ እና እነዚህን ደረጃዎች ይከተሉ.

አንድን ችግር በመፍታት ረገድ ስኬት ወይም ውድቀት በዋነኝነት የተመካው የሚፈታው የእኩልታ አይነት እንዴት በትክክል እንደሚወሰን፣ የመፍትሄው ሁሉም ደረጃዎች ቅደም ተከተል እንዴት በትክክል እንደተባዛ ላይ ነው። እርግጥ ነው, በዚህ ጉዳይ ላይ ተመሳሳይ ለውጦችን እና ስሌቶችን ለማከናወን ክህሎቶች ሊኖሩት ይገባል.

ጋር ያለው ሁኔታ የተለየ ነው። ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎች.እኩልታው ትሪግኖሜትሪክ ነው የሚለውን እውነታ ማረጋገጥ በጭራሽ አስቸጋሪ አይደለም። ወደ ትክክለኛው መልስ የሚወስዱትን የእርምጃዎች ቅደም ተከተል ሲወስኑ ችግሮች ይነሳሉ.

በእኩልነት መልክ ላይ በመመስረት የእሱን አይነት ለመወሰን አንዳንድ ጊዜ አስቸጋሪ ነው. እና የእኩልቱን አይነት ሳያውቅ ከብዙ ደርዘን ትሪግኖሜትሪክ ቀመሮች ትክክለኛውን መምረጥ ፈጽሞ የማይቻል ነው።

የትሪግኖሜትሪክ እኩልታን ለመፍታት፣ መሞከር አለብዎት፦

1. በቀመር ውስጥ የተካተቱትን ሁሉንም ተግባራት ወደ "ተመሳሳይ ማዕዘኖች" ማምጣት;
2. እኩልታውን ወደ "ተመሳሳይ ተግባራት" ማምጣት;
3. የእኩልታውን ግራ ጎን ወዘተ.

እስቲ እናስብ ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎችን ለመፍታት መሰረታዊ ዘዴዎች.

I. ወደ ቀላሉ ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎች መቀነስ

የመፍትሄው ንድፍ

ደረጃ 1ከሚታወቁ አካላት አንፃር ትሪግኖሜትሪክ ተግባርን ይግለጹ።

ደረጃ 2.ቀመሮችን በመጠቀም የተግባር ክርክርን ያግኙ፡-

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn፣ n ЄZ.

ኃጢአት x = a; x = (-1) n arcsin a + πn፣ n Є Z.

ታን x = a; x = አርክታን a + πn፣ n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn፣ n Є Z.

ደረጃ 3.የማይታወቅ ተለዋዋጭ ያግኙ።

ለምሳሌ.

2 cos (3x – π/4) = -√2.

መፍትሄ።

1) cos (3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x - π/4 = ± (π - π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ± 3π/4 + 2πn፣ n Є Z.

3) 3x = ± 3π/4 + π/4 + 2πn፣ n Є Z;

x = ± 3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3፣ n Є Z.

መልስ፡ ± π/4 + π/12 + 2πn/3፣ n Є Z.

II. ተለዋዋጭ ምትክ

የመፍትሄው ንድፍ

ደረጃ 1ከትሪግኖሜትሪክ ተግባራት አንዱን በተመለከተ እኩልታውን ወደ አልጀብራ ቅፅ ይቀንሱ።

ደረጃ 2.የተገኘውን ተግባር በተለዋዋጭ t ያመልክቱ (አስፈላጊ ከሆነ በ t ላይ ገደቦችን ያስተዋውቁ)።

ደረጃ 3.የተገኘውን የአልጀብራ እኩልታ ይፃፉ እና ይፍቱ።

ደረጃ 4.የተገላቢጦሽ ምትክ ያድርጉ.

ደረጃ 5.በጣም ቀላሉን ትሪግኖሜትሪክ እኩልታ ይፍቱ።

ለምሳሌ.

2cos 2 (x/2) - 5ሲን (x/2) - 5 = 0.

መፍትሄ።

1) 2 (1 - ኃጢአት 2 (x/2)) - 5sin (x/2) - 5 = 0;

2ሲን 2 (x/2) + 5ሲን (x/2) + 3 = 0።

2) ኃጢአት እንሥራ (x/2) = t፣ የት |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 ወይም e = -3/2, ሁኔታውን አያሟላም |t| ≤ 1.

4) ኃጢአት (x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn፣ n Є Z.

መልስ፡ x = π + 4πn፣ n Є Z.

III. የእኩልታ ቅደም ተከተል ቅነሳ ዘዴ

የመፍትሄው ንድፍ

ደረጃ 1ዲግሪውን ለመቀነስ ቀመሩን በመጠቀም ይህንን እኩልታ በመስመራዊ ይተኩ፡-

ኃጢአት 2 x = 1/2 · (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x)።

ደረጃ 2. I እና II ዘዴዎችን በመጠቀም የተገኘውን እኩልታ ይፍቱ።

ለምሳሌ.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

መፍትሄ።

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ± π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ± π/6 + πn፣ n Є Z.

መልስ፡ x = ± π/6 + πn፣ n Є Z.

IV. ተመሳሳይነት ያላቸው እኩልታዎች

የመፍትሄው ንድፍ

ደረጃ 1ይህንን እኩልነት ወደ ቅጹ ይቀንሱ

ሀ) ኃጢአት x + b cos x = 0 (የመጀመሪያው ዲግሪ ተመሳሳይ እኩልታ)

ወይም ወደ እይታ

ለ) ሀጢያት 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (የሁለተኛ ዲግሪ ተመሳሳይ እኩልታ)።

ደረጃ 2.የእኩልቱን ሁለቱንም ጎኖች በ

ሀ) cos x ≠ 0;

ለ) cos 2 x ≠ 0;

እና ለ tan x እኩልታ ያግኙ፡

ሀ) ታን x + b = 0;

ለ) ታን 2 x + b arctan x + c = 0።

ደረጃ 3.የታወቁ ዘዴዎችን በመጠቀም እኩልታውን ይፍቱ.

ለምሳሌ.

5ሲን 2 x + 3ሲን x cos x – 4 = 0።

መፍትሄ።

1) 5ሲን 2 x + 3ሲን x · cos x – 4(ኃጢአት 2 x + cos 2 x) = 0;

5ሲን 2 x + 3ሲን x · cos x – 4ሲን² x – 4cos 2 x = 0;

ኃጢአት 2 x + 3ሲን x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0።

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0።

3) እንግዲያውስ tg x = t ይሁን

t 2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 ወይም t = -4 ማለት ነው።

tg x = 1 ወይም tg x = -4.

ከመጀመሪያው እኩልታ x = π/4 + πn, n Є Z; ከሁለተኛው እኩልታ x = -arctg 4 + πk፣ k Є Z.

መልስ: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk፣ k Є Z.

V. ትሪግኖሜትሪክ ቀመሮችን በመጠቀም እኩልታን የመቀየር ዘዴ

የመፍትሄው ንድፍ

ደረጃ 1ሁሉንም ሊሆኑ የሚችሉ ትሪግኖሜትሪክ ቀመሮችን በመጠቀም፣ ይህንን እኩልታ በ I፣ II፣ III፣ IV ዘዴዎች ወደተፈታ እኩልነት ይቀንሱ።

ደረጃ 2.የታወቁ ዘዴዎችን በመጠቀም የተገኘውን እኩልታ ይፍቱ.

ለምሳሌ.

ኃጢአት x + ኃጢአት 2x + ኃጢአት 3x = 0።

መፍትሄ።

1) (ኃጢአት x + ኃጢአት 3x) + ኃጢአት 2x = 0;

2ሲን 2x cos x + sin 2x = 0።

2) ኃጢአት 2x (2cos x + 1) = 0;

ኃጢአት 2x = 0 ወይም 2cos x + 1 = 0;

ከመጀመሪያው እኩልታ 2x = π/2 + πn, n Є Z; ከሁለተኛው እኩልታ cos x = -1/2.

እኛ x = π/4 + πn/2, n Є Z; ከሁለተኛው እኩልታ x = ± (π - π/3) + 2πk, k Є Z.

በውጤቱም, x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ± 2π/3 + 2πk፣ k Є Z.

መልስ፡ x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ± 2π/3 + 2πk፣ k Є Z.

ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎችን የመፍታት ችሎታ እና ክህሎት በጣም ነው። አስፈላጊ, እድገታቸው በተማሪው እና በአስተማሪው በኩል ከፍተኛ ጥረት ይጠይቃል.

ብዙ የስቴሪዮሜትሪ፣ የፊዚክስ ወዘተ ችግሮች ከትሪግኖሜትሪ እኩልታዎች መፍትሄ ጋር የተቆራኙ ናቸው።እንዲህ ያሉ ችግሮችን የመፍታት ሂደት የትሪግኖሜትሪ አካላትን በማጥናት የተገኙትን ብዙ እውቀቶችን እና ክህሎቶችን ያካትታል።

ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎች በሂሳብ እና በአጠቃላይ በግል እድገት ሂደት ውስጥ ጠቃሚ ቦታን ይይዛሉ።

አሁንም ጥያቄዎች አሉዎት? ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎችን እንዴት እንደሚፈቱ አታውቁም?
ከአስተማሪ እርዳታ ለማግኘት -.
የመጀመሪያው ትምህርት ነፃ ነው!

blog.site፣ ቁሳቁሱን በሙሉ ወይም በከፊል ሲገለብጥ፣ ወደ ዋናው ምንጭ ማገናኛ ያስፈልጋል።

ለችግርዎ ዝርዝር መፍትሄ ማዘዝ ይችላሉ !!!

በትሪግኖሜትሪክ ተግባር ምልክት (`sin x፣ cos x፣ tan x` ወይም `ctg x`) የማይታወቅ ነገርን የያዘ እኩልነት ትሪግኖሜትሪክ እኩልታ ይባላል፣ እና ተጨማሪ የምንመረምረው ቀመሮቻቸው ናቸው።

በጣም ቀላሉ እኩልታዎች `sin x=a፣ cos x=a፣ tg x=a፣ ctg x=a`፣ `x` የሚገኝበት አንግል ሲሆን `a` ማንኛውም ቁጥር ነው። ለእያንዳንዳቸው የስር ቀመሮችን እንጻፍ.

1. እኩልታ `sin x=a`።

ለ `|a|>1' ምንም መፍትሄዎች የሉትም።

መቼ `|a| \leq 1` ማለቂያ የሌላቸው መፍትሄዎች አሉት።

የስር ቀመር፡ `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. እኩልታ `cos x=a`

ለ `|a|>1` - እንደ ሳይን ሁኔታ፣ በእውነተኛ ቁጥሮች መካከል ምንም መፍትሄዎች የሉትም።

መቼ `|a| \leq 1` ማለቂያ የሌላቸው መፍትሄዎች አሉት።

የስር ቀመር፡ `x=\pm arcos a + 2\pi n, n \in Z`

በግራፎች ውስጥ ለሳይን እና ኮሳይን ልዩ ጉዳዮች.

3. እኩልታ `tg x=a`

ለማንኛውም የ`a` እሴቶች ማለቂያ የሌለው የመፍትሄ ብዛት አለው።

የስር ቀመር፡ `x=arctg a + \pi n፣ n \in Z`

4. እኩልታ `ctg x=a`

እንዲሁም ለማንኛውም የ`a` እሴቶች ማለቂያ የሌለው የመፍትሄዎች ብዛት አለው።

የስር ቀመር፡ `x=arcctg a + \pi n፣ n \in Z`

በሰንጠረዡ ውስጥ ለትራይጎኖሜትሪክ እኩልታዎች ሥሮች ቀመሮች

ለኃጢአት:
ለኮሳይን፡-
ለታንጀንት እና ለኮንቴንሽን፡-
የተገላቢጦሽ ትሪግኖሜትሪክ ተግባራትን የያዙ እኩልታዎችን ለመፍታት ቀመሮች፡-

ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎችን ለመፍታት ዘዴዎች

ማንኛውንም ትሪግኖሜትሪክ እኩልታ መፍታት ሁለት ደረጃዎችን ያቀፈ ነው-

• ወደ ቀላሉ በመለወጥ እርዳታ;
• ከላይ የተፃፉትን የስር ቀመሮችን እና ሰንጠረዦችን በመጠቀም የተገኘውን ቀላሉን እኩልታ ይፍቱ።

ምሳሌዎችን በመጠቀም ዋና ዋና የመፍትሄ ዘዴዎችን እንይ.

የአልጀብራ ዘዴ.

ይህ ዘዴ ተለዋዋጭ መተካት እና ወደ እኩልነት መተካትን ያካትታል.

ለምሳሌ. እኩልታውን ይፍቱ፡ `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`፣

ምትክ ይስሩ፡ `cos(x+\frac \pi 6)=y`፣ ከዚያ `2y^2-3y+1=0`፣

ሥሮቹን እናገኛለን፡ `y_1=1፣ y_2=1/2`፣ ከነሱም ሁለት ጉዳዮች ይከተላሉ፡-

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`፣ `x+\frac \pi 6=2\pi n`፣ `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`።

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`፣ `x+\frac \pi 6=\pm arcos 1/2+2\pi n`፣ `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`።

መልስ፡ `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`፣ `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`።

ፋክተርላይዜሽን

ለምሳሌ. እኩልታውን ይፍቱ፡ `sin x+cos x=1`።

መፍትሄ። ሁሉንም የእኩልነት ውሎች ወደ ግራ እናንቀሳቅስ፡ `sin x+cos x-1=0`። በመጠቀም ፣ የግራውን ጎን እንለውጣለን እና እንሰራለን-

`ኃጢአት x — 2ሲን^2 x/2=0`፣

`2ሲን x/2 cos x/2-2ሲን^2 x/2=0`፣

`2ሲን x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`፣

1. `sin x/2 =0`፣ `x/2 =\pi n`፣ `x_1=2\pi n`።
2. `cos x/2-sin x/2=0`፣ `tg x/2=1`፣ `x/2=arctg 1+ \pi n`፣ `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`።

መልስ፡ `x_1=2\pi n`፣ `x_2=\pi/2+ 2\pi n`።

ወደ ተመሳሳይ እኩልነት መቀነስ

በመጀመሪያ፣ ይህንን ትሪግኖሜትሪክ እኩልታ ከሁለት ቅጾች ወደ አንዱ መቀነስ ያስፈልግዎታል።

`a sin x+b cos x=0` (የመጀመሪያው ዲግሪ ተመሳሳይነት ያለው እኩልታ) ወይም `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (ተመሳሳይ የሁለተኛ ዲግሪ እኩልታ)።

ከዚያም ሁለቱንም ክፍሎች በ `cos x \ ne 0` - ለመጀመሪያው ጉዳይ እና በ `cos^2 x \ ne 0` - ለሁለተኛው ይከፋፍሏቸው። ለ `tg x`፡ `a tg x+b=0` እና `a tg^2 x + b tg x +c =0`፣ የታወቁ ዘዴዎችን በመጠቀም መፍታት የሚያስፈልጋቸው እኩልታዎችን እናገኛለን።

ለምሳሌ. እኩልታውን ይፍቱ፡ `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`።

መፍትሄ። የቀኝ ጎን `1=sin^2 x+cos^2 x` ብለን እንፃፍ፡-

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`፣

`2 ኃጢአት^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` `ኃጢአት^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`።

ይህ የሁለተኛ ዲግሪ ተመሳሳይ ትሪግኖሜትሪክ እኩልታ ነው፣ ​​ግራ እና ቀኝ ጎኖቹን በ `cos^2 x \ne 0` እንካፈላለን፣ እናገኘዋለን፡

`\frac ( sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x — 2=0`። ተተኪውን `tg x=t` እናስተዋውቅ፣ በዚህም ምክንያት `t^2 + t - 2=0`። የዚህ እኩልታ ሥሮች `t_1=-2` እና `t_2=1` ናቸው። ከዚያም፡-

1. `tg x=-2`፣ `x_1=arctg (-2)+\pi n`፣ `n \በ Z`
2. `tg x=1`፣ `x=arctg 1+\pi n`፣ `x_2=\pi/4+\pi n`፣ ` n \በ Z`።

መልስ። `x_1=arctg (-2)+\pi n`፣ `n \በ Z`፣ `x_2=\pi/4+\pi n`፣ `n \በ Z`።

ወደ ግማሽ አንግል በመንቀሳቀስ ላይ

ለምሳሌ. እኩልታውን ይፍቱ፡ `11 sin x - 2 cos x = 10`።

መፍትሄ። ባለ ሁለት ማዕዘን ቀመሮችን እንተገብረው፡- `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

ከላይ የተገለጸውን የአልጀብራ ዘዴን በመተግበር እናገኛለን፡-

1. `tg x/2=2`፣ `x_1=2 arcg 2+2\pi n`፣ `n \በ Z`፣
2. `tg x/2=3/4`፣ `x_2=arctg 3/4+2\pi n`፣ `n \በ Z`።

መልስ። `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`፣ `x_2=arctg 3/4+2\pi n`፣ `n \በ Z`።

የረዳት አንግል መግቢያ

በትሪግኖሜትሪክ እኩልታ `a sin x + b cos x =c`፣ a,b,c coefficients እና x ተለዋዋጭ ሲሆን ሁለቱንም ጎኖች በ `sqrt (a^2+b^2) ይከፋፍሏቸው፡

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))`።

በግራ በኩል ያሉት ቅንጅቶች የሲን እና ኮሳይን ባህሪያት አላቸው, ማለትም የካሬዎቻቸው ድምር ከ 1 ጋር እኩል ነው እና ሞጁሎቻቸው ከ 1 አይበልጡም. እነሱን እንደሚከተለው እንጠቁማቸዋለን፡ `\ frac a(sqrt (a^2) +b^2))=cos \varphi`፣ ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`፣ `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`፣ እንግዲያውስ፡-

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`።

የሚከተለውን ምሳሌ ጠለቅ ብለን እንመልከተው፡-

ለምሳሌ. እኩልታውን ይፍቱ፡ `3 sin x+4 cos x=2`።

መፍትሄ። የእኩልነቱን ሁለቱንም ጎኖች በ `sqrt (3^2+4^2)` ​​ይከፋፍሏቸው፡-

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt) (3^2+4^2))`

`3/5 ኃጢአት x+4/5 cos x=2/5`።

`3/5 = cos \varphi`፣ `4/5=ኃጢአት \varphi`ን እንጥቀስ። ከ`sin \varphi>0`፣ `cos \varphi>0` ጀምሮ፣ በመቀጠል `\varphi=arcsin 4/5`ን እንደ ረዳት አንግል እንወስዳለን። ከዚያ የእኛን እኩልነት በቅጹ እንጽፋለን-

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

ለሳይን የማዕዘን ድምር ቀመርን በመተግበር እኩልነታችንን በሚከተለው ፎርም እንጽፋለን፡-

`ኃጢአት (x+\varphi)=2/5`፣

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`፣ `n \በ Z`፣

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`፣ `n \በ Z`።

መልስ። `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`፣ `n \በ Z`።

ክፍልፋይ ምክንያታዊ ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎች

እነዚህ ቁጥራቸው እና ተከሳሾቻቸው ትሪግኖሜትሪክ ተግባራትን የያዙ ክፍልፋዮች ያላቸው እኩልነቶች ናቸው።

ለምሳሌ. እኩልታውን ይፍቱ. `\ frac (ኃጢአት x)(1+cos x)=1-cos x`።

መፍትሄ። ያባዙ እና የእኩልነቱን የቀኝ ጎን በ `(1+cos x)` ያካፍሉ። በውጤቱም እኛ እናገኛለን:

`\frac (ኃጢአት x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (ኃጢአት x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (ኃጢአት x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (ኃጢአት x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

መለያው ከዜሮ ጋር እኩል ሊሆን እንደማይችል በማሰብ `1+cos x \ne 0`፣ `cos x \ne -1`፣ ` x \ne \pi+2\pi n፣ n \በ Z` እናገኛለን።

የክፍልፋዩን ቁጥር ከዜሮ ጋር እናመሳስለው፡ `sin x-sin^2 x=0`፣ `sin x(1-sin x)=0`። ከዚያ `sin x=0` ወይም `1-sin x=0`።

1. `sin x=0`፣ `x=\pi n`፣ `n \በ Z`
2. `1-sin x=0`፣ `sin x=-1`፣ `x=\pi /2+2\pi n፣ n \በ Z`።

ከ` x \ne \pi+2\pi n፣ n \በ Z`፣ መፍትሄዎቹ `x=2\pi n፣ n \in Z` እና `x=\pi /2+2\pi n` ናቸው። , `n \በ Z`።

መልስ። `x=2\pi n`፣ `n \በZ`፣ `x=\pi /2+2\pi n`፣ `n \በ Z`።

ትሪጎኖሜትሪ እና ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎች በተለይ በሁሉም የጂኦሜትሪ፣ የፊዚክስ እና የምህንድስና ዘርፎች ውስጥ ጥቅም ላይ ይውላሉ። ማጥናት የሚጀምረው በ 10 ኛ ክፍል ነው ፣ ለተዋሃዱ የስቴት ፈተና ሁል ጊዜ ተግባራት አሉ ፣ ስለሆነም ሁሉንም የትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎች ቀመሮችን ለማስታወስ ይሞክሩ - በእርግጠኝነት ለእርስዎ ጠቃሚ ይሆናሉ!

ነገር ግን, እነሱን ለማስታወስ እንኳን አያስፈልግዎትም, ዋናው ነገር ዋናውን ነገር መረዳት እና እሱን ማግኘት መቻል ነው. የሚመስለውን ያህል አስቸጋሪ አይደለም. ቪዲዮውን በመመልከት ለራስዎ ይመልከቱ።

ስለ ትሪጎኖሜትሪ መሰረታዊ ቀመሮች እውቀትን ይጠይቃል - የሲን እና ኮሳይን ካሬዎች ድምር ፣ የታንጀንት በሳይን እና ኮሳይን እና ሌሎችም። ለረሷቸው ወይም ለማያውቋቸው, "" የሚለውን ጽሑፍ እንዲያነቡ እንመክራለን.
ስለዚህ፣ መሰረታዊ ትሪግኖሜትሪክ ቀመሮችን እናውቃለን፣ በተግባር እነሱን ለመጠቀም ጊዜው አሁን ነው። ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎችን መፍታትከትክክለኛው አቀራረብ ጋር, በጣም አስደሳች እንቅስቃሴ ነው, ለምሳሌ, የ Rubik's cube መፍታት.

በስሙ ላይ በመመስረት, ትሪግኖሜትሪክ እኩልዮሽ የማይታወቅ በትሪግኖሜትሪክ ተግባር ምልክት ስር የሚገኝበት እኩልታ እንደሆነ ግልጽ ነው.
በጣም ቀላሉ ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎች የሚባሉት አሉ። ምን እንደሚመስሉ እነሆ፡- six = a, cos x = a, tan x = a. እስቲ እናስብ እንደዚህ ያሉ ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎችን እንዴት መፍታት እንደሚቻል, ግልጽነት ለማግኘት ቀድሞውኑ የታወቀውን ትሪግኖሜትሪክ ክበብ እንጠቀማለን.

sinx = ሀ

cos x = a

ታን x = a

አልጋ x = a

ማንኛውም ትሪግኖሜትሪክ እኩልታ በሁለት ደረጃዎች ተፈትቷል፡ እኩልታውን ወደ ቀላሉ ቅፅ እንቀንሳለን ከዚያም እንደ ቀላል ትሪግኖሜትሪክ እኩልነት እንፈታዋለን።
ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎች የሚፈቱባቸው 7 ዋና ዘዴዎች አሉ።

1. ተለዋዋጭ የመተካት እና የመተካት ዘዴ

እኩልታውን ይፍቱ 2cos 2 (x + /6) - 3sin(/3 - x) +1 = 0

የመቀነስ ቀመሮችን በመጠቀም የሚከተሉትን እናገኛለን

2cos 2 (x +/6) – 3cos(x +/6) +1 = 0

ለማቃለል እና የተለመደውን ኳድራቲክ እኩልታ ለማግኘት cos(x +/6) በ y ይተኩ፡

2ይ 2 - 3ይ + 1 + 0

ሥሮቹ y 1 = 1, y 2 = 1/2 ናቸው

አሁን በተቃራኒው ቅደም ተከተል እንሂድ

የተገኙትን የ y እሴቶች በመተካት ሁለት የመልስ አማራጮችን እናገኛለን።

2. ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎችን በፋክተሪላይዜሽን መፍታት

የኃጢአትን እኩልታ x + cos x = 1 እንዴት እንደሚፈታ?

0 በቀኝ በኩል እንዲቆይ ሁሉንም ነገር ወደ ግራ እናንቀሳቅስ።

ኃጢአት x + cos x – 1 = 0

ቀመርን ለማቃለል ከላይ የተገለጹትን ማንነቶች እንጠቀም፡-

ኃጢአት x - 2 ኃጢአት 2 (x/2) = 0

ፋብሪካ እንፍጠር፡-

2ሲን(x/2) * cos(x/2) - 2 ኃጢአት 2 (x/2) = 0

2ሲን(x/2) * = 0

ሁለት እኩልታዎችን እናገኛለን

3. ወደ ተመሳሳይ እኩልነት መቀነስ

ሁሉም ቃላቶቹ ከተመሳሳዩ አንግል ሳይን እና ኮሳይን አንጻራዊ ከሆኑ ከሳይን እና ኮሳይን ጋር ተመሳሳይነት አለው። ተመሳሳይ እኩልታ ለመፍታት፣ በሚከተለው መንገድ ይቀጥሉ።

ሀ) ሁሉንም አባላቱን ወደ ግራ በኩል ያስተላልፉ;

ለ) ሁሉንም የተለመዱ ነገሮች ከቅንፍ ማውጣት;

ሐ) ሁሉንም ምክንያቶች እና ቅንፎች ከ 0 ጋር ማመሳሰል;

መ) የዝቅተኛ ዲግሪ ተመሳሳይነት ያለው እኩልታ በቅንፍ ውስጥ የተገኘ ሲሆን ይህም በተራው በከፍተኛ ዲግሪ ወደ ሳይን ወይም ኮሳይን ይከፈላል;

ሠ) የተገኘውን ስሌት ለ tg መፍታት.

እኩልታውን ይፍቱ 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

ቀመሩን sin 2 x + cos 2 x = 1 እንጠቀም እና በቀኝ በኩል ያሉትን ሁለቱን እናስወግድ፡-

3ሲን 2 x + 4 ኃጢአት x cos x + 5 cos x = 2ሲን 2 x + 2cos 2 x

ኃጢአት 2 x + 4 ኃጢአት x cos x + 3 cos 2 x = 0

በ cos x ይከፋፍሉ፡

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

ታን xን በ y ይተኩ እና ባለአራት እኩልታ ያግኙ፡

y 2 + 4y +3 = 0፣ ሥሮቹ y 1 =1፣ y 2 = 3 ናቸው

ለዋናው እኩልታ ሁለት መፍትሄዎችን ከዚህ እናገኛለን።

x 2 = አርክታን 3 + ኪ

4. ወደ ግማሽ ማእዘን በሚሸጋገርበት ጊዜ እኩልታዎችን መፍታት

እኩልታውን 3sin x – 5cos x = 7 ይፍቱ

ወደ x/2 እንሂድ፡-

6ሲን(x/2) * cos(x/2) - 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

ሁሉንም ነገር ወደ ግራ እናንቀሳቅስ።

2ሲን 2 (x/2) – 6ሲን(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

በ cos (x/2) ይከፋፍሉ፡

tg 2 (x/2) - 3tg(x/2) + 6 = 0

5. የረዳት አንግል መግቢያ

ለግንዛቤ ያህል፣ የቅጹን እኩልነት እንውሰድ፡ a sin x + b cos x = c፣

a, b, c አንዳንድ የዘፈቀደ ቅንጅቶች ሲሆኑ x ደግሞ የማይታወቅ ነው።

የእኩልታውን ሁለቱንም ጎኖች በሚከተሉት እንከፋፍላቸው፡-



አሁን የእኩልታ እኩልታዎች፣ በትሪግኖሜትሪክ ቀመሮች መሰረት፣ ኃጢያት እና ኮስ፣ ማለትም፡- ሞጁላቸው ከ 1 ያልበለጠ እና የካሬዎች ድምር = 1. እንደ ኮስ እና ኃጢአት በቅደም ተከተል እንጠቁማቸው፣ የት - ይህ ነው ረዳት አንግል ተብሎ የሚጠራው. ከዚያ ቀመር ቅጹን ይወስዳል-

cos * ኃጢአት x + ኃጢአት * cos x = ሐ

ወይም ኃጢአት (x +) = ሐ

የዚህ ቀላሉ ትሪግኖሜትሪክ እኩልታ መፍትሄ ነው።

x = (-1) k * arcsin C - + k, የት



ማስታወሻዎች cos እና ኃጢአት የሚለዋወጡ መሆናቸውን ልብ ሊባል ይገባል።

የኃጢያትን እኩልታ 3x - cos 3x = 1 ይፍቱ

በዚህ እኩልታ ውስጥ ያሉት ጥምርታዎች፡-

a =, b = -1, ስለዚህ ሁለቱንም ጎኖች በ = 2 ይከፋፍሏቸው

በርዕሱ ላይ ትምህርት እና አቀራረብ: "ቀላል ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎችን መፍታት"

ተጨማሪ ቁሳቁሶች
ውድ ተጠቃሚዎች አስተያየቶችዎን ፣ አስተያየቶችዎን ፣ ምኞቶችዎን መተውዎን አይርሱ! ሁሉም ቁሳቁሶች በፀረ-ቫይረስ ፕሮግራም ተረጋግጠዋል.

ለ 10 ኛ ክፍል ከ 1C በ Integral የመስመር ላይ መደብር ውስጥ ያሉ ማኑዋሎች እና ማስመሰያዎች
በጂኦሜትሪ ውስጥ ችግሮችን እንፈታለን. በጠፈር ውስጥ ለመገንባት በይነተገናኝ ተግባራት
የሶፍትዌር አካባቢ "1C: የሂሳብ ገንቢ 6.1"

የምናጠናው፡-
1. ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎች ምንድን ናቸው?

3. ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎችን ለመፍታት ሁለት ዋና ዘዴዎች.
4. ተመሳሳይነት ያለው ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎች.
5. ምሳሌዎች.

ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎች ምንድን ናቸው?

ጓዶች፣ አርክሲን፣ አርኮሲን፣ አርክታንጀንት እና አርኮታንጀንት አጥንተናል። አሁን በአጠቃላይ ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎችን እንይ።

ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎች አንድ ተለዋዋጭ በትሪግኖሜትሪክ ተግባር ምልክት ስር የሚገኝባቸው እኩልታዎች ናቸው።

በጣም ቀላል የሆኑትን ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎች የመፍታትን ቅርፅ እንድገም-

1) |a|≤ 1 ከሆነ፣ እኩልታ cos(x) = a መፍትሔ አለው፡-

X= ± አርክኮስ(ሀ) + 2πk

2) |a|≤ 1 ከሆነ፣ እኩልታ sin(x) = a መፍትሔ አለው፡-

3) |ሀ| > 1፣ ከዚያ እኩልታ sin(x) = a እና cos(x) = a ምንም መፍትሄዎች የላቸውም 4) እኩልታ tg(x)=a መፍትሄ አለው፡ x=arctg(a)+ πk

5) እኩልታው ctg(x)=a መፍትሄ አለው፡ x=arcctg(a)+ πk

ለሁሉም ቀመሮች k ኢንቲጀር ነው።

በጣም ቀላሉ ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎች ቅፅ አላቸው፡ T(kx+m)=a፣ T የተወሰነ ትሪግኖሜትሪክ ተግባር ነው።

ለምሳሌ.

እኩልታዎችን ይፍቱ፡ ሀ) ኃጢአት(3x)= √3/2

መፍትሄ፡-

ሀ) 3x=tን እንጥቀስ፣ ከዚያ የእኛን እኩልነት በቅጹ ላይ እንደገና እንጽፋለን።

የዚህ እኩልታ መፍትሄ፡ t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.

ከእሴቶቹ ሰንጠረዥ ውስጥ፡ t=(-1)^n)×π/3+ πn እናገኛለን።

ወደ ተለዋዋጭአችን እንመለስ፡ 3x =(-1)^n)×π/3+ πn፣

ከዚያም x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

መልስ፡- x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3፣ n ማለት ኢንቲጀር ነው። (-1)^n - አንድ ሲቀነስ ለ n ኃይል.

ተጨማሪ የትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎች ምሳሌዎች።

እኩልታዎችን ይፍቱ፡ a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

መፍትሄ፡-

ሀ) በዚህ ጊዜ የእኩልቱን ሥሮች ወዲያውኑ ለማስላት በቀጥታ እንሂድ፡-

X/5= ± አርኮስ (1) + 2πk. ከዚያም x/5= πk => x=5πk

መልስ፡ x=5πk፣ k ኢንቲጀር የሆነበት።

ለ) በቅጹ እንጽፋለን፡ 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. ያንን እናውቃለን፡ arctan(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

መልስ፡ x=2π/9 + πk/3፣ k ኢንቲጀር የሆነበት።

እኩልታዎችን ይፍቱ፡ cos(4x)= √2/2። እና በክፍሉ ላይ ያሉትን ሁሉንም ሥሮች ያግኙ.

መፍትሄ፡-

የኛን እኩልታ በጥቅሉ እንፈታው፡ 4x= ± arcos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

አሁን በእኛ ክፍል ላይ ምን ሥሮች እንደሚወድቁ እንመልከት ። በ k በ k=0፣ x= π/16፣ በተሰጠው ክፍል ውስጥ ነን።
በ k=1, x= π/16+ π/2=9π/16, እንደገና እንመታዋለን.
ለ k=2፣ x= π/16+ π=17π/16፣ እዚህ ግን አልመታም ማለት ነው፣ ይህም ማለት ለትልቅ ኪ እኛም እንደማንመታ ግልጽ ነው።

መልስ፡- x= π/16፣ x= 9π/16

ሁለት ዋና የመፍትሄ ዘዴዎች.

በጣም ቀላል የሆኑትን ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎችን ተመልክተናል፣ ነገር ግን ይበልጥ ውስብስብ የሆኑትም አሉ። እነሱን ለመፍታት, አዲስ ተለዋዋጭ የማስተዋወቅ ዘዴ እና የፋብሪካው ዘዴ ጥቅም ላይ ይውላሉ. ምሳሌዎችን እንመልከት።

እኩልታውን እንፈታው፡-

መፍትሄ፡-
የኛን እኩልታ ለመፍታት፣ t=tg(x) የሚያመለክት አዲስ ተለዋዋጭ የማስተዋወቅ ዘዴን እንጠቀማለን።

በመተካቱ ምክንያት: t 2 + 2t -1 = 0 እናገኛለን

የኳድራቲክ እኩልታ ሥሮቹን እንፈልግ፡ t=-1 እና t=1/3

ከዚያ tg(x)=-1 እና tg(x)=1/3፣ ቀላሉን ትሪግኖሜትሪክ እኩልታ እናገኛለን፣ ሥሩን እንፈልግ።

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

መልስ፡- x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

እኩልታ የመፍታት ምሳሌ

እኩልታዎችን ይፍቱ፡ 2ሲን 2 (x) + 3 cos(x) = 0

መፍትሄ፡-

ማንነቱን እንጠቀም፡ ኃጢአት 2 (x) + cos 2 (x)=1

የእኛ እኩልነት ቅጹን ይወስዳል፡ 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos (x) -2 = 0

ተተኪውን t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0 እናስተዋውቅ

የኳድራቲክ እኩልታችን መፍትሄው ሥሩ፡ t=2 እና t=-1/2 ነው።

ከዚያም cos(x)=2 እና cos(x)=-1/2።

ምክንያቱም ኮሳይን ከአንድ የሚበልጡ እሴቶችን መውሰድ አይችልም ፣ ከዚያ cos(x) = 2 ሥሮች የሉትም።

ለ cos(x)=-1/2፡ x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ± 2π/3 + 2πk

መልስ፡- x= ±2π/3 + 2πk

ተመሳሳይ ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎች።

ፍቺ፡- የኃጢአት ቅጽ (x)+b cos(x) የመጀመርያ ዲግሪ ተመሳሳይ ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎች ይባላሉ።

የቅጹ እኩልታዎች

የሁለተኛ ዲግሪ ተመሳሳይ ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎች።

የመጀመሪያውን ዲግሪ አንድ አይነት ትሪግኖሜትሪክ እኩልታ ለመፍታት በ cos(x) ይከፋፍሉት፡ ከዜሮ ጋር እኩል ከሆነ በኮሳይን መከፋፈል አይችሉም፣ ይህ እንዳልሆነ እናረጋግጥ፡-
እስቲ cos(x)=0፣ከዛም አሲን(x)+0=0 => sin(x)=0፣ነገር ግን ሳይን እና ኮሳይን በአንድ ጊዜ ከዜሮ ጋር እኩል አይደሉም፣ተቃርኖ እናገኛለን፣ስለዚህ በደህና መከፋፈል እንችላለን። በዜሮ።

እኩልታውን ይፍቱ፡
ምሳሌ፡ cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

መፍትሄ፡-

የተለመደውን ነገር እናውጣ፡ cos(x)(c0s(x)+ sin (x)) = 0

ከዚያ ሁለት እኩልታዎችን መፍታት አለብን-

Cos(x)=0 እና cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 በ x= π/2 + πk;

ቀመር cos(x)+sin(x)=0 አስቡበት የእኛን እኩልታ በ cos(x) ይከፋፍሉት፡

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

መልስ፡- x= π/2 + πk እና x= -π/4+πk

የሁለተኛ ዲግሪ ተመሳሳይ ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎችን እንዴት መፍታት ይቻላል?
ወንዶች ፣ ሁል ጊዜ እነዚህን ህጎች ይከተሉ!

1. Coefficient a ከምን ጋር እንደሚተካከል ይመልከቱ፣ a=0 ከሆነ፣ የእኛ እኩልታ ፎርም cos(x)(bsin(x)+ccos(x)) ይወስዳል)፣ የመፍትሄው ምሳሌ በቀድሞው ስላይድ ላይ ይገኛል።

2. a≠0 ከሆነ፣ የእኩልታውን ሁለቱንም ጎኖች በኮሳይን ስኩዌር መከፋፈል ያስፈልግዎታል፡-

ተለዋዋጭ t=tg(x) እንለውጣለን እና እኩልታውን እናገኛለን፡-

ምሳሌ ቁጥር 3 ን ይፍቱ

እኩልታውን ይፍቱ፡
መፍትሄ፡-

የእኩልታውን ሁለቱንም ጎኖች በኮሳይን ካሬ እንከፋፍላቸው፡-

ተለዋዋጭ t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0 እንለውጣለን::

የኳድራቲክ እኩልታ ሥሩን እንፈልግ፡ t=-3 እና t=1

ከዚያ፡ tg(x)=-3 => x=arctg(-3) +πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

መልስ፡- x=-arctg(3) +πk እና x= π/4+ πk

ምሳሌ ቁጥር፡4 ይፍቱ

እኩልታውን ይፍቱ፡

መፍትሄ፡-
አባባላችንን እንለውጥ፡-

እንደነዚህ ያሉትን እኩልታዎች መፍታት እንችላለን-x= - π/4 + 2πk እና x=5π/4 + 2πk

መልስ፡- x= - π/4 + 2πk እና x=5π/4 + 2πk

ምሳሌ ቁጥር 5 ን መፍታት

እኩልታውን ይፍቱ፡

መፍትሄ፡-
አባባላችንን እንለውጥ፡-

ተተኪውን tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0 እናስተዋውቅ

የእኛ የኳድራቲክ እኩልታ መፍትሄው ሥሩ ይሆናል: t=-2 እና t=1/2

ከዚያም: tg(2x)=-2 እና tg(2x)=1/2 እናገኛለን
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

መልስ፡- x=-arctg(2)/2 + πk/2 እና x=arctg(1/2)/2+ πk/2

ገለልተኛ መፍትሄ ለማግኘት ችግሮች.

1) እኩልታውን ይፍቱ

ሀ) ኃጢአት(7x)= 1/2 ለ) cos(3x)= √3/2 ሐ) cos(-x) = -1 መ) tg(4x) = √3 መ) ctg(0.5x) = -1.7

2) እኩልታዎችን ይፍቱ፡ sin(3x)= √3/2። እና በክፍሉ ላይ ያሉትን ሁሉንም ሥሮች ያግኙ [π/2; π]

3) እኩልታውን ይፍቱ፡ አልጋ 2 (x) + 2 አልጋ (x) + 1 =0

4) እኩልታውን ይፍቱ፡ 3 ኃጢአት 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) እኩልታውን ይፍቱ፡ 3sin 2 (3x) + 10 sin (3x) cos (3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) እኩልታውን ይፍቱ፡ cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)