ዘይት እና ጋዝ ታላቅ ኢንሳይክሎፔዲያ

በቃላት እንመልሳለን! እውነት ነው ሉል በየትኛውም የሶስት ማዕዘን ፒራሚድ ዙሪያ ሊገለፅ ይችላል? በማንኛውም ባለአራት ማዕዘን ፒራሚድ ዙሪያ ያለውን ሉል መግለጽ ይቻላል? በዙሪያው ያለውን ሉል ለመግለጽ ፒራሚድ ምን ንብረቶች ሊኖረው ይገባል? ፒራሚድ በሉል ውስጥ ተቀርጿል, የጎን ጠርዝ ከመሠረቱ ጋር ቀጥ ያለ ነው. የሉል ማእከልን እንዴት ማግኘት ይቻላል? አንድ ሉል በመደበኛ ፒራሚድ አቅራቢያ ተገልጿል. ማዕከሉ ከፒራሚዱ አካላት አንፃር እንዴት ይገኛል?

ስላይድ 17ከአቀራረብ "የጂኦሜትሪ ችግሮች" 11 ኛ ክፍል. ከማቅረቡ ጋር ያለው የማህደሩ መጠን 1032 ኪባ ነው።

ጂኦሜትሪ 11 ኛ ክፍል

የሌሎች አቀራረቦች ማጠቃለያ

"የማዕከላዊ ሲሜትሪ ጽንሰ-ሐሳብ" - ቦታን በራሱ ላይ ማረም. ማዕከላዊ ሲሜትሪ. ስዕሉ ሲሜትሪክ ይባላል. ማዕከላዊ ሲሜትሪ እንቅስቃሴ ነው. የቦታ እንቅስቃሴ. ነጥቦች M እና M1 ሲሜትሪክ ይባላሉ። ንብረት። እንቅስቃሴዎች. የአውሮፕላኑን እንቅስቃሴ በደንብ ተዋወቅን። ተግባር ማዕከላዊ ሲሜትሪ የማሽከርከር ልዩ ሁኔታ ነው.

"የሦስት ማዕዘን አካባቢን ለማስላት ችግሮች" - ኢቫን ኒቨን. አንድ ችግር መፍታት. የትምህርቱ መሪ ቃል። የግል ግቦች። የስዕሉን ቦታ ይፈልጉ። የሂሳብ ቃላቶች። የሶስት ማዕዘን ቦታን ለማግኘት ዘዴዎች. መግለጫ ይምረጡ። የአካል ብቃት እንቅስቃሴ ደቂቃ። የስዕሉን አካባቢ አስሉ. የምስሉ አካባቢ. ሂደትን በመፈተሽ ላይ። ካሬ.

"በስቴሪዮሜትሪ ውስጥ ያሉ ተግባራት" - በጫፎቹ መካከል ያለውን ርቀት ካሬ ያግኙ. ተግባራት የእርሳስ ኳስ ዲያሜትር. የኳሱ መጠን እና ክፍሎቹ። የ polyhedron አንግል ያግኙ. የፒራሚዱን መጠን ይፈልጉ። የነጥብ A. ክብ ሴክተርን ያግኙ። የሲሊንደሩን V መጠን ያግኙ. የ polyhedron ንጣፍ ቦታ ይፈልጉ። የ trapezoid አካባቢን ይፈልጉ። ዙሪያ.

"የማሽከርከር አካልን መጠን አስሉ" - ሉል. ሲሊንደር እና ኮን. ሾጣጣ. ሲሊንደሮች በዙሪያችን አሉ። የኮን መጠን V። ኩብ የኮን ፍቺ. የማዞሪያ አካላት ዓይነቶች. ኳስ. የአብዮት አካላት መጠኖች። ምስል ድምጹን ያግኙ. የሲሊንደሪክ ዕቃ. የሲሊንደር ፍቺ. ራዲዮ. ሲሊንደር የኮን መጠን።

"የአብዮት አካላት መጠኖች እና ገጽታዎች" - መላምቶችን ማቀድ እና መሞከር። እውቀትን ማጠቃለል። የመዞሪያ አካላት መጠኖች እና ገጽታዎች። የጂኦሜትሪክ ቅርፅን ይለዩ. ችግሩን መቅረጽ. ችግር. ከተግባራዊ እንቅስቃሴዎች ምሳሌዎች. ቴርሞሜትሩ ታንከሩ በፍጥነት ለምን ይሞቃል? የኳስ ቅርጽ ያለው የሻይ ማሰሮ አነስተኛው የገጽታ ስፋት አለው። መጠኖች.

"በዙሪያችን የሚሽከረከሩ አካላት" - በዙሪያችን የሚሽከረከሩ አካላት. የኢንዱስትሪ መሳሪያዎች. የማዞሪያ አካላትን ያግኙ. የደን ሾጣጣ ስፕሩስ. ጣሊያን ውስጥ ዘንበል ያለ ግንብ። በውጫዊ ቦታ. የሜልኒኮቭ ቤት. ሾጣጣ. ክብ ማማዎች. የክብ ሕንፃ ታሪክ. የጠፈር አካላት.

የ polyhedra እና ክብ አካላት ጥምረት

የሉል እና ኳስ ጽንሰ-ሀሳቦች.

ሉልበጠፈር ውስጥ ያሉትን ሁሉንም ነጥቦች ያካተተ ምስል ነው, ከእያንዳንዱ እስከ አንድ ነጥብ O ያለው ርቀት ከተሰጠው አወንታዊ ቁጥር r ጋር እኩል ነው. ነጥብ O ይባላል መሃልሉል፣ እና ነጥብን በሉል ላይ ወዳለው ማንኛውም ነጥብ የሚያገናኝ ክፍል የእሱ ነው። ራዲየስ. ሁሉም የሉል ራዲየስ ርዝማኔ አላቸው. ቁጥሩ R የሉል ራዲየስ ተብሎ ይጠራል.

ሉል የቦታው ያልሆኑትን የሁሉም ነጥቦች ስብስብ በሁለት ንዑስ ክፍሎች ይከፍላል፡ ውስጣዊእና ውጫዊከሉል አንጻር አካባቢ. የውስጣዊው ክልል በጠፈር ውስጥ ያሉትን ነጥቦች ያካትታል, ከእያንዳንዳቸው እስከ መሃከል ያለው ርቀት ከሬዲየስ ያነሰ ነው, እና ውጫዊው ክልል እነዚያን ነጥቦች ያካትታል, ከእያንዳንዱ እስከ መሃል ያለው ርቀት ከራዲየስ የበለጠ ነው.

ኳስበጠፈር ውስጥ ያሉትን ሁሉንም ነጥቦች ያካተተ ምስል ነው, ከእያንዳንዱ እስከ አንድ ነጥብ O ያለው ርቀት ከተሰጠው አዎንታዊ ቁጥር r አይበልጥም. ነጥብ O ይባላል መሃልኳስ, እና ቁጥሩ r ነው ራዲየስ. ራዲየስ r መሃል ኦ ያለው ሉል ይባላል ላዩንወይም የኳሱ ወሰን. የኳሱ ወለል ያልሆኑ ሁሉም ነጥቦች የኳሱ ውስጣዊ ነጥቦች ወይም በኳሱ ውስጥ ያሉ ነጥቦች ይባላሉ። ስለዚህ ኳስ የሉል ነጥቦችን (የኳሱ ወለል) እና ከዚህ ሉል አንጻር የሁሉም የውስጥ ነጥቦች ስብስብን ያካተተ ምስል ነው።

ወደ ኳሱ ወለል ያለው የታንጀንት አውሮፕላን ይባላል ታንጀንት አውሮፕላንወደ ኳስ. አንድ አውሮፕላን ወደዚህ ነጥብ ከተሳለው ራዲየስ ጎን ለጎን በኳሱ ወለል ላይ ባለ ነጥብ ካለፈ እና ወደ ኳስ ይንቀጠቀጣል። እንዲሁም በኳሱ ወለል ላይ ባለው በእያንዳንዱ ነጥብ አንድ እና አንድ የአውሮፕላን ታንጀንት ወደ ኳሱ እንደሚያልፉ ልብ ይበሉ።

ስለ ፖሊሄድሮን የተከበበ ሉል።

ፍቺሉል ተጠርቷል በ polyhedron ዙሪያ ተገልጿል, ሁሉም የ polyhedron ጫፎች በሉል ላይ ቢተኛ.

ቲዎሪ 1.ሉል በማንኛውም የሶስት ማዕዘን ፒራሚድ ዙሪያ ሊገለጽ ይችላል።

ከፒራሚዱ ግርጌ ቁመቶች እኩል ርቀት ያለው የነጥቦች ስብስብ ከሥሩ አጠገብ ካለው የተከበበ ክበብ መሃል ላይ ቀጥ ያለ ነው (በቦታው ውስጥ ያለው ጂኤምቲ ከአንድ ፖሊጎን ጫፎች ጋር እኩል የሆነ ክበብ ካለ ክበብ ዙሪያ ሊገለጽ ይችላል) ይህ ፖሊጎን, እና በተከበበው ክበብ መሃል በኩል ወደዚህ ፖሊጎን አውሮፕላን ላይ ቀጥ ያለ ቀጥ ያለ ነው). የክበብ መሃከል የፒራሚድ ግርጌ ቋሚ የቢሴክተሮች መገናኛ ነጥብ ነው.

የተከበበውን ሉል መሃል ለማግኘት አውሮፕላን በ ነጥብ M በኩል ይሳሉ - የጎን ጠርዝ AD መሃል። ይህ አውሮፕላን ቋሚውን (ቀደም ብሎ የተመለከተውን) በ S ነጥብ ያቋርጣል። በግንባታ SA=SB=SC እና እንዲሁም ትሪያንግል ASD isosceles (እንዲሁም በግንባታ) ከ SA=SD ይከተላል። ስለዚህ ከሁሉም የፒራሚዱ ጫፎች እስከ ነጥብ S ያለው ርቀት እኩል ነው፣ እና ይህ ርቀት ከፒራሚድ ABCD (SA=SB=SC=SD=R) አጠገብ ካለው የተከበበ ሉል ራዲየስ ጋር እኩል ነው።

ምሳሌ 1 . ስለ አንድ መደበኛ ቴትራሄድሮን የተከበበ የሉል ራዲየስ ይፈልጉ።

የሶስት ማዕዘን SOCን አስቡበት. ከትክክለኛው ማዕዘን ጋር አራት ማዕዘን ይሆናል (በግንባታ, OD የፒራሚድ ቁመት ይሆናል).

ኦ የሜዲያን መገናኛ ነጥብ ስለሆነ።

DO የፒራሚዱ ቁመት ባለበት።

ከዚያም በፓይታጎሪያን ቲዎሬም ይከተላል ወይም

መልስ፡ ስለ አንድ መደበኛ ቴትራሄድሮን የተከበበ የሉል ራዲየስ እኩል ነው።

ቲዎሪ 2. አንድ ክበብ በፒራሚዱ መሠረት ዙሪያ ሊገለጽ የሚችል ከሆነ በፒራሚዱ ዙሪያ አንድ ሉል ሊገለጽ ይችላል.

አስቀድመን አንድ ልዩ ጉዳይ ተመልክተናል. በአጠቃላይ, ማስረጃው ተመሳሳይ ነው.

ቲዎሪ 3 . በተዘበራረቀ ፕሪዝም አቅራቢያ ያለውን ሉል ለመግለጽ የማይቻል ነው; ከፕሪዝም ግርጌ አጠገብ ከሆነ ክብ መግለጽ ይችላሉ።.

1) በመጀመሪያ ፕሪዝም ዘንበል ሲል ጉዳዩን እናስብ (የሶስት ማዕዘን ፕሪዝምን እንደ ምሳሌ እንውሰድ)። ከነጥቦች A, B እና C ጋር የሚዛመደው ነጥብ ቀጥታ መስመር OS 1 ላይ ይሆናል, እሱም ከሶስት ማዕዘን ኤቢሲ አውሮፕላን ጋር ቀጥ ያለ እና የቋሚው መሠረት ወደ ትሪያንግል ኤቢሲ ጎኖች በተሳለው የሁለትዮሽ ቋሚዎች መገናኛ ነጥብ ላይ ነው. .

በተመሳሳይ ነጥብ ከ A 1 ፣ B 1 ፣ C 1 እኩል ርቀት ያላቸው ነጥቦች በሦስት ማዕዘኑ አውሮፕላን ላይ ቀጥ ብለው ይተኛሉ A 1 B 1 C 1 – O 1 S. ፕሪዝም ዘንበል ያለ ስለሆነ ፣ OS 1 እና O 1 S መስመሮቹ ይኖራሉ ። ትይዩ ይሁኑ ፣ ግን አይዛመዱም። እና ይህ ማለት የጋራ ነጥቦች አይኖራቸውም ማለት ነው ፣ ስለሆነም ወደ ሁሉም የፕሪዝም ጫፎች ርቀቱ ተመሳሳይ ነው ፣ ይህም በተዘበራረቀ ፕሪዝም ዙሪያ የተገለጸውን ሉል መገንባት የማይቻልበት ሁኔታ ጋር ተመሳሳይ ነው ።

2) ክብ ሊገለጽ በሚችልበት መሠረት አጠገብ ቀጥ ያለ ፕሪዝምን አስቡ። ነጥቦች O እና O 1 ከታች እና በላይኛው መሠረቶች አጠገብ ያሉ የተከበቡ ክበቦች ማዕከሎች ናቸው። ፕሪዝም ቀጥ ያለ ስለሆነ ቀጥታ መስመር OO 1 ከመሠረቱ አውሮፕላኖች ጋር እኩል ይሆናል.

ከዚያም በጎን የጎድን አጥንቶች መካከል የሚያልፈው አውሮፕላኑ ከመሠረቱ አውሮፕላን ጋር ትይዩ ይሆናል እና OO 1 ን በ S ነጥብ - የ OO 1 መሃል ያቋርጣል። ከዚያ ከሁሉም የፕሪዝም ጫፎች እስከ ዊልስ ኤስ ያለው ርቀት ተመሳሳይ ይሆናል (በግንባታ) ፣ ስለሆነም ኤስ በመደበኛ ፕሪዝም ዙሪያ የተገለጸው የሉል ማእከል ነው።

ስለዚህ፣ በተዘበራረቀ ፕሪዝም አቅራቢያ ያለውን ሉል መግለጽ እንደማይቻል እርግጠኞች ነን፣ ነገር ግን በቀጥተኛ ፕሪዝም አቅራቢያ አንድ ክበብ ከመሠረቱ አጠገብ ሊገለጽ የሚችል ከሆነ ይቻላል ።

ቲዎሪ 4. ክበቦች በመሠረቶቹ ዙሪያ ሊገለጹ የሚችሉ ከሆነ እና የእነዚህን ክበቦች ማዕከሎች የሚያገናኘው ቀጥተኛ መስመር ከመሠረቶቹ አውሮፕላኖች ጋር እኩል ከሆነ ሉል በተቆረጠ ፒራሚድ ዙሪያ ሊገለጽ ይችላል ።.

የመጀመሪያው ሁኔታ ከ polygons ጫፎች እኩል ርቀት ያሉት መሠረቶች HMT ናቸው ፣ እና ሁለተኛው - እነሱ የሚገጣጠሙ ናቸው ፣ ስለሆነም ከሁሉም የማዕዘን ጫፎች እኩል የሆነ ነጥብ ይኖራል ። የተቆረጠ ፒራሚድ.

XV ከተማ የተማሪዎች ክፍት ኮንፈረንስ

"የXXI ክፍለ ዘመን እውቀት"

ክፍል፡ ሒሳብ

በኦሎምፒያድ እና በተዋሃደ የግዛት ፈተና ላይ የተገለጸው ቦታ

ኪያዬቫ አና አናቶሌቭና

ኦረንበርግ - 2008

1.2 ወሰን ተገልጿል

1.2.1 መሰረታዊ ባህሪያት እና ትርጓሜዎች

1.2.2 የፒራሚድ ጥምረት

1.2.3 ከፕሪዝም ጋር ጥምረት

1.2.4 ከሲሊንደር ጋር ጥምረት

1.2.5 ከኮን ጋር ጥምረት

2 የኦሎምፒያድ ተግባራት ምሳሌዎች

2.1 የኦሎምፒያድ ተግባራት ምሳሌዎች ከፒራሚድ ጋር

2.2 የኦሎምፒያድ ተግባራት ምሳሌዎች ከፕሪዝም ጋር

2.3 የኦሎምፒያድ ስራዎች ምሳሌዎች ከሲሊንደር ጋር

2.4 የኦሎምፒያድ ተግባራት ምሳሌዎች ከኮን ጋር

3.3 የተዋሃዱ የስቴት ፈተና ስራዎች ምሳሌዎች ከሲሊንደር ጋር

3.4 የተዋሃዱ የስቴት ፈተና ስራዎች ምሳሌዎች ከኮን ጋር

መግቢያ

ይህ ሥራ በቦርዲንግ ሊሲየም ድህረ ገጽ ላይ ለት / ቤት ተማሪዎች የሂሳብ ገጽ ለመፍጠር እንደ የፕሮጀክት አካል ሆኖ በ "የሂሳብ ዘዴዎች" ክፍል ውስጥ ይለጠፋል.

ዒላማሥራ - በኦሎምፒያድስ እና በተዋሃደ የስቴት ፈተና በተገለፀው የሉል ቦታ ላይ የጂኦሜትሪክ ችግሮችን ለመፍታት ዘዴ የተዘጋጀ የማጣቀሻ መጽሐፍ መፍጠር ።

ይህንን ግብ ለማሳካት የሚከተሉትን መፍታት ያስፈልገናል ተግባራት :

1) ከተገለጸው ሉል ጽንሰ-ሀሳብ ጋር መተዋወቅ;

2) ከፒራሚድ ፣ ከፕሪዝም ፣ ከሲሊንደር እና ከኮን ጋር የተብራራውን የሉል ጥምረት ባህሪዎችን ያጠኑ ።

3) በጂኦሜትሪክ ችግሮች መካከል, የተገለጸውን ሉል መኖሩን ሁኔታ የሚያካትቱትን ይምረጡ;

4) የተሰበሰበውን ቁሳቁስ መተንተን, ማደራጀት እና መከፋፈል;

5) ለገለልተኛ መፍትሄ የችግሮችን ምርጫ ማድረግ;

6) የምርምር ውጤቱን በአብስትራክት መልክ ያቀርባል.

ተግባራዊ ጠቀሜታ- ያዘጋጀነው ቁሳቁስ ተማሪዎችን ለኦሎምፒያድስ፣ የተዋሃደ የስቴት ፈተና እና በዩኒቨርሲቲ ውስጥ ለሚደረጉ ጥናቶች ለማዘጋጀት ሊያገለግል ይችላል።

1 ሉል እና ኳስ

1.1 ሉል እና ኳስ፡ መሰረታዊ ፅንሰ-ሀሳቦች እና ፍቺዎች

ሉልከተወሰነ ነጥብ በተወሰነ ርቀት ላይ የሚገኝ በጠፈር ውስጥ ያሉትን ሁሉንም ነጥቦች ያቀፈ ወለል ነው።

ይህ ነጥብ ይባላል የሉል ማእከል(ነጥብ ስለበስእል. 1) እና ይህ ርቀት የሉል ራዲየስ. ማዕከሉን እና የትኛውንም የሉል ነጥብ የሚያገናኝ ማንኛውም ክፍል የሉል ራዲየስ ተብሎም ይጠራል። በአንድ ሉል ላይ ሁለት ነጥቦችን የሚያገናኝ እና በማዕከሉ ውስጥ የሚያልፍ የመስመር ክፍል ይባላል የሉል ዲያሜትር(የመስመር ክፍል ዲሲበስእል. 1) አንድ ሉል በዲያሜትር ዙሪያ ግማሽ ክብ በማዞር ሊገኝ እንደሚችል ልብ ይበሉ.

ኳስበሉል የታሰረ አካል ይባላል። የሉል መሃል ፣ ራዲየስ እና ዲያሜትር እንዲሁ ተጠርተዋል። መሃል , ራዲየስእና የኳስ ዲያሜትር. በግልጽ ለማየት እንደሚቻለው, ራዲየስ ኳስ አርላይ ያተኮረ ስለከቦታው ውስጥ የሚገኙትን ሁሉንም ነጥቦች በቦታ ውስጥ ይዟል ስለበማይበልጥ ርቀት አር(ነጥብ ጨምሮ ስለ), እና ሌሎች ነጥቦችን አልያዘም. ኳስበዲያሜትሩ ዙሪያ የግማሽ ክበብ የማሽከርከር ምስል ተብሎም ይጠራል። የኳስ ክፍል- የኳሱ ክፍል በአንዳንድ አውሮፕላን ተቆርጧል። በአውሮፕላን ያለው እያንዳንዱ የኳስ ክፍል ክብ ነው። የዚህ ክበብ መሃከል ከኳሱ መሃከል ወደ መቁረጫ አውሮፕላኑ የተዘረጋው ቀጥ ያለ መሠረት ነው። በኳሱ መሃል ላይ የሚያልፈው አውሮፕላን ይባላል ዲያሜትራዊ አውሮፕላን.በዲያሜትራል አውሮፕላን የኳስ ክፍል ይባላል ትልቅ ክብ, እና የሉል ክፍሉ ክፍል ነው ትልቅ ክብ. የኳስ ዘርፍ -ክብ ሴክተሩን ከ90° ባነሰ አንግል በማዞር የተገኘ የጂኦሜትሪክ አካል። የሉል ሴክተሩ ክብ ቅርጽ ያለው ክፍል እና አንድ የጋራ መሠረት ያለው ሾጣጣ ያካትታል.

የሉል ወለል ስፋት;

ኤስ = 4π አር 2 ,

የት አር- የኳሱ ራዲየስ; ኤስ- የሉል አካባቢ.

የሉል መጠን

የት ቪ- የኳሱ መጠን

የኳስ ዘርፍ መጠን

ቪ – የሉላዊው ክፍል መጠን.

የገጽታ ክፍል አካባቢ

- የክፍል ቁመት, የንጥል ወለል አካባቢ

ክፍል ቤዝ ራዲየስ

, - ክፍል ቤዝ ራዲየስ, - ክፍል ቁመት, 0<ኤች < 2አር .

የኳስ ክፍል ክብ ስፋት

- የሉላዊው ክፍል የሉል ወለል ስፋት።

በጠፈር ውስጥ ለኳስ እና ለአውሮፕላን ሶስት ጉዳዮች ሊኖሩ ይችላሉ፡

1) ከኳሱ መሃል እስከ አውሮፕላኑ ያለው ርቀት ከኳሱ ራዲየስ የበለጠ ከሆነ ኳሱ እና አውሮፕላኑ የጋራ ነጥቦች የላቸውም።

2) ከኳሱ መሃል እስከ አውሮፕላኑ ያለው ርቀት ከኳሱ ራዲየስ ጋር እኩል ከሆነ አውሮፕላኑ ከኳሱ እና ከሉል ጋር የሚያገናኘው አንድ የጋራ ነጥብ ብቻ ነው ያለው።

3) ከኳሱ መሃል እስከ አውሮፕላኑ ያለው ርቀት ከኳሱ ራዲየስ ያነሰ ከሆነ የኳሱ መገናኛ ከአውሮፕላኑ ጋር ክብ ነው። የዚህ ክበብ ማእከል በተወሰነ አውሮፕላን ላይ የኳሱ መሃል ትንበያ ነው። የአውሮፕላኑ መገናኛ ከሉል ጋር ያለው መገናኛ የተገለጸው ክብ ዙሪያ ነው.

1.2 የተገለፀው ሉል

1.2.1 ትርጓሜዎች እና ንብረቶች

ሉል ተጠርቷል በ polyhedron ዙሪያ ተገልጿል(እና ፖሊሄድሮን ነው በሉል ውስጥ ተካትቷል), ሁሉም የ polyhedron ጫፎች በሉል ላይ ቢተኛ.

ከተገለፀው የሉል ፍቺ ሁለት እውነታዎች ይከተላሉ፡-

1) በአንድ ሉል ውስጥ የተቀረጸው የ polyhedron ሁሉም ጫፎች ከተወሰነ ነጥብ (ከተከበበው ሉል መሃል) ጋር እኩል ናቸው ።

2) እያንዳንዱ የ polyhedron ፊት በሉል ውስጥ የተቀረጸው ፖሊጎን በአንድ የተወሰነ ክበብ ውስጥ የተጻፈ ነው ፣ በትክክል በክበብ ውስጥ በፊቱ አውሮፕላን በአከባቢው ክፍል ውስጥ ይገኛል ። በዚህ ሁኔታ ፣ በፊቶቹ አውሮፕላን ላይ ካለው የተከበበ ሉል መሃል ላይ የወረደው የፔንዲኩላር መሠረት ስለ ፊቶች የተከበቡ የክበቦች ማዕከሎች ናቸው።

ቲዎሪ 1 . ከሚከተሉት ሁኔታዎች ውስጥ አንዳቸውም ከተሟሉ ብቻ ሉል በ polyhedron ዙሪያ ሊገለጽ ይችላል፡

ሀ) በማንኛውም የ polyhedron ፊት ዙሪያ አንድ ክበብ ሊገለጽ ይችላል ፣ እና በ polyhedron ፊቶች ዙሪያ የተገለጹት የክበቦች መጥረቢያዎች በአንድ ነጥብ ይገናኛሉ ።

ለ) አውሮፕላኖች በ polyhedron ጠርዝ ላይ ቀጥ ያሉ እና በመሃል ነጥቦቻቸው ውስጥ የሚያልፉ በአንድ ነጥብ ላይ ይገናኛሉ;

ሐ) ከሁሉም የ polyhedron ጫፎች አንድ ነጠላ ነጥብ አለ.

ማረጋገጫ።

አስፈላጊነት.በ polyhedron ዙሪያ አንድ ሉል ይገለጽ. ሁኔታውን እናረጋግጥ ሀ) ረክቷል. በእርግጥም ፣ የአንድ የ polyhedron የተሰጠው ፊት አውሮፕላን በክበብ ላይ አንድ ሉል ስለሚያቋርጥ ፣ ከዚያ የሉል እና የፊት አውሮፕላን የሆነው የፊት ጫፎች የመስቀለኛ መንገዳቸው መስመር ናቸው - ክበብ። የሉሉ መሃከል ከተሰጡት የፊት ጫፎች ሁሉ እኩል ስለሚሆን፣ ፊት ላይ በተከበበው ክበብ መሃል በተሳለው ፊት ላይ ይተኛል።

በቂነት።ሁኔታ ሀ) ይሟላል. አንድ ሉል በ polyhedron ዙሪያ ሊገለጽ እንደሚችል እናረጋግጥ። በእውነቱ ፣ ስለ ፊቶች በተከበቡት ክበቦች ማዕከሎች በኩል በተሳሉት ፊት ላይ የሚታየው የጋራ ነጥብ ከ polyhedron ሁሉም ጫፎች ጋር እኩል ስለሆነ ፣ በዚህ ቦታ መሃል ያለው ሉል በ polyhedron ዙሪያ ይገለጻል ።

ሁኔታ ሀ) በዚህ ሁኔታ ከሁኔታዎች ጋር እኩል ነው ለ) እና ሐ).

አንድ ሉል ስለ ፖሊሄድሮን ከተከበበ፡ ሀ) ከሉል መሃል ወደ ማንኛውም ፊት የተወረወረ የቋሚ ግርጌ በዚህ ፊት ዙሪያ የተከበበ የክበብ መሃል ነው (ልክ እንደ ፒራሚድ ቁመት መሠረት እኩል ነው። የጎን ጠርዞች - የሉል ራዲየስ ከሱ መሃከል እስከ አንድ የተወሰነ የፊት ጫፎች ድረስ ይሳሉ; ለ) ስለ ፖሊሄድሮን የተከበበ የሉል መሃል በፖሊሄድሮን ውስጥ ፣ በላዩ ላይ (በፊት ዙሪያ በተከበበ ክበብ መሃል ፣ በተለይም ፣ በአንዳንድ ጠርዝ መሃል) ፣ ከ polyhedron ውጭ ሊገኝ ይችላል።

1.2.2 የተከበበ ሉል እና ፒራሚድ

ቲዎረም 2 . ሉል በፒራሚድ ዙሪያ ሊገለጽ የሚችለው በመሰረቱ ዙሪያ ክብ መገለጽ ከተቻለ ብቻ ነው።

ማረጋገጫ።በፒራሚዱ መሠረት ዙሪያ አንድ ክበብ ይገለጽ። ከዚያ ይህ ክበብ እና ከዚህ ክበብ አውሮፕላን ውጭ አንድ ነጥብ - የፒራሚዱ አናት - አንድ ነጠላ ሉል ይግለጹ ፣ ይህም በፒራሚዱ ዙሪያ ይከበራል። እና ተመለስ። አንድ ሉል ስለ ፒራሚድ ከተከበበ፣ የፒራሚዱ መሠረት አውሮፕላን ያለው የሉል ክፍል በሥሩ ዙሪያ የተከበበ ነው።

ማብራሪያ 1.አንድ ሉል በማንኛውም tetrahedron ዙሪያ ሊገለጽ ይችላል.

ማብራሪያ 2.በማንኛውም መደበኛ ፒራሚድ ዙሪያ ማዕከሉ በፒራሚዱ ቁመት ወይም በማራዘሚያው ላይ ያለውን ሉል ሊገልጽ ይችላል።

ከፒራሚዱ አጠገብ የተገለጸው የሉል ማእከል ምናልባት፡-

· ከፒራሚዱ አናት ጋር ከመሠረቱ አውሮፕላኑ በአንዱ በኩል - በፒራሚዱ ውስጥ ፣ በጎን ፊት አውሮፕላን ውስጥ (በዚህ ፊት ዙሪያ በተገለፀው ክበብ መሃል) ፣ ከፒራሚዱ ውጭ;

· በመሠረቱ አውሮፕላን ውስጥ - ከመሠረቱ አጠገብ በተገለጸው ክበብ መሃል;

· ከመሠረቱ አውሮፕላኑ በተቃራኒ ጎኖች ላይ ከፒራሚዱ አናት ጋር።

ቲዎሪ 3 . የፒራሚዱ የጎን ጠርዞች ከመሠረቱ አውሮፕላን ጋር እኩል ከሆነ ፣ በፒራሚዱ ዙሪያ አንድ ሉል ሊገለጽ ይችላል።

ማረጋገጫ።የጎን ጠርዞች ወደ ፒራሚዱ መሠረት አውሮፕላን እኩል ስለሚሆኑ አንድ ክበብ ከፒራሚዱ ግርጌ አጠገብ ሊገለጽ ይችላል ፣ እና ከዚያ በፒራሚዱ አቅራቢያ አንድ ሉል ሊገለጽ ይችላል።

ይህ ጽንሰ-ሐሳብ በተለየ መንገድ ሊቀረጽ ይችላል-ፒራሚድ እኩል የጎን ጠርዞች ካለው ፣ ከዚያ በፒራሚዱ ዙሪያ አንድ ሉል ሊገለጽ ይችላል።

የንግግር ጽንሰ-ሐሳብ እውነት አይደለም

ቲዎሪ 4. ኳሱ ከፒራሚድ አጠገብ ከተገለጸ፣ መሃሉ በእነዚህ ጠርዞች ላይ በፒራሚዱ ጠርዝ መሃል ላይ የተሳሉት የሁሉም አውሮፕላኖች መገናኛ ነጥብ ነው።

ማረጋገጫ።በእውነቱ፣ ከአንዱ ጠርዝ አጠገብ ካለው የፒራሚድ ሁለት ጫፎች ርቀት ያለው ማንኛውም ነጥብ በመካከሉ በኩል ወደዚህ የፒራሚድ ጠርዝ ቀጥ ብሎ በተሳለ አውሮፕላን ውስጥ ይገኛል። ስለዚህ, የተከበበው ኳስ መሃል, ከፒራሚዱ ጫፎች ሁሉ እኩል ርቀት ያለው, በእያንዳንዱ በእንደዚህ አይነት አውሮፕላኖች ውስጥ መቀመጥ አለበት, ማለትም. የእነዚህ ሁሉ አውሮፕላኖች መገናኛ ነጥብ ነው. ስዕል በሚሰሩበት ጊዜ, የትምህርት ቤት ልጆች ብዙውን ጊዜ የተገለጸውን ኳስ መሃከል በዘፈቀደ ያስቀምጧቸዋል, የተሰጠውን የቦታ ውቅር በበቂ ሁኔታ ሳያስቡ እና በተለይም የዚህን ማእከል አቀማመጥ ምንም አይነት ምክንያት ሳያደርጉ. በዚህ ሁኔታ, እንደ አንድ ደንብ, ማዕከሉ በፒራሚድ ውስጥ ይቀመጣል. ይህ በእንዲህ እንዳለ ፣ የተገለፀው ኳስ መሃል በፒራሚዱ ውስጥ ፣ በውጪ ፣ ወይም በፒራሚዱ ላይ ሊተኛ ይችላል (በተወሰነው የፒራሚድ ዓይነት)።

ቲዎሪ 5 . ከሚከተሉት ሁኔታዎች ውስጥ አንዳቸውም ከተሟሉ ብቻ ሉል በተቆረጠ ፒራሚድ ዙሪያ ሊገለጽ ይችላል፡

ሀ) ክበቦች ከፒራሚዱ መሠረቶች አጠገብ ተገልጸዋል, የማዕከሎቹ መስመር ከአውሮፕላኖቻቸው ጋር ቀጥ ያለ ነው;

ለ) ሁሉም የፒራሚዱ የጎን ጠርዞች ወደ አንደኛው አውሮፕላን አውሮፕላን እኩል ናቸው ።

ሐ) ሁሉም የፒራሚዱ የጎን ጠርዞች እርስ በእርሳቸው እኩል ናቸው;

መ) ሁሉም የፒራሚዱ የጎን ፊት እኩል ትራፔዞይድ ናቸው።

ማረጋገጫ።ክበቦች ከተቆረጠ ፒራሚድ ግርጌ አጠገብ ሊገለጹ ይችላሉ እና የእነዚህ ክበቦች አውሮፕላኖች ከማዕከሎቻቸው መስመር ጋር ቀጥ ያሉ ናቸው እንበል። ከዚያም, እንደሚታወቀው, እንደዚህ ያሉ ሁለት ክበቦች አንድ ነጠላ ሉል ይገልፃሉ, እሱም በዚህ ፒራሚድ ዙሪያ ይከበራል.

እንበል፣ በተቃራኒው፣ አንድ ሉል በተቆረጠ ፒራሚድ ዙሪያ ይገለጻል። ከዚያም የፒራሚዱ መሰረቶች አውሮፕላኖች የሉሉ ክፍሎች በመሠረቶቹ ዙሪያ የተገለጹ ክበቦች ይሆናሉ. ተጨማሪ። ከፒራሚዱ መሠረቶች አውሮፕላኖች ጋር ቀጥ ያለ መስመር እና በክበቡ መሃል ላይ በማለፍ በመሠረቱ ዙሪያ በተገለጹት የክበቦች ማዕከሎች ውስጥ ያልፋል።

ሁኔታ ሀ) ከሁኔታዎች ጋር እኩል ነው ለ), ሐ), መ).

መዘዝ።በማንኛውም መደበኛ የተቆረጠ ፒራሚድ ዙሪያ ሉል ሊገለጽ ይችላል።

1.2.3 የተገረዘ ሉል እና ፕሪዝም

ቲዎሪ 6. አንድ ሉል በፕሪዝም ዙሪያ ሊገለጽ የሚችለው እና ፕሪዝም ቀጥ ያለ ከሆነ እና አንድ ክበብ በመሠረቱ ዙሪያ ሊገለጽ ይችላል።

ማረጋገጫ።

አስፈላጊነት.አንድ ፕሪዝም በሉል ውስጥ ከተጻፈ ፣ እያንዳንዱ ፊቶቹ በክበብ ውስጥ ተቀርፀዋል - በዚህ ፊት አውሮፕላን የሉል ክፍል። ይህ ማለት አንድ ክበብ ከፕሪዝም ግርጌ አጠገብ ሊገለጽ ይችላል, እና ሁሉም የጎን ፊቶች በክበቦች ውስጥ የተቀረጹ ትይዩዎች ናቸው - አራት ማዕዘን እና ስለዚህ ፕሪዝም ቀጥ ያለ ነው.

በቂነት።ፕሪዝም ቀጥ ያለ እና በመሰረቱ ዙሪያ ክብ ይገለጻል። ከዚያም በፕሪዝም መሠረቶች ዙሪያ የተከበቡ ክበቦች, አውሮፕላኖቻቸው ከማዕከሎቻቸው መስመር ጋር ቀጥ ያሉ ናቸው, አንድ ነጠላ ሉል ይገልፃሉ, ይህም በፕሪዝም ዙሪያ ይከበራል.

ውጤቶቹ፡-

ሀ) ሉል በማንኛውም መደበኛ ፕሪዝም ዙሪያ ሊገለጽ ይችላል ።

ለ) ሉል በማንኛውም የቀኝ ሦስት ማዕዘን ፕሪዝም ዙሪያ ሊገለጽ ይችላል;

ሐ) ሉል በማንኛውም አራት ማዕዘን ቅርጽ ባለው ትይዩ ዙሪያ ሊገለጽ ይችላል;

ስለ ፕሪዝም የተከበበው የሉል ማእከል ከፕሪዝም መሠረቶች አውሮፕላኖች ጋር እኩል የሆነ እና በፕሪዝም ውስጥ ፣ በጎን ፊቱ ላይ (በፊቱ ላይ በተገለፀው ክበብ መሃል) ፣ ከፕሪዝም ውጭ ሊገኝ ይችላል።

1.2.4 የተከበበ ሉል እና ሲሊንደር

ሉል ተጠርቷል ስለ ሲሊንደር ተብራርቷል, የሲሊንደሩ መሰረቶች ክበቦች በላዩ ላይ ቢተኛ (ምስል 4). ሁልጊዜ በሲሊንደር ዙሪያ ያለውን ሉል መግለጽ ይችላሉ.

1.2.5 የተገረዘ ሉል እና ሾጣጣ

ሉል ተጠርቷል በኮንሱ ዙሪያ ተብራርቷል, ወርድ እና የሾጣጣው መሠረት ክበብ በላዩ ላይ ቢተኛ (ምስል 5). በሾጣጣው ዙሪያ ያለውን ሉል መግለጽ ሁልጊዜ ይቻላል; የእሱ ራዲየስ በኮንሱ ዘንግ ክፍል ዙሪያ ከተገለጸው ክበብ ራዲየስ ጋር እኩል ነው. የተቆረጠ ሾጣጣ ይባላል የተቀረጸውመሠረቶቹ የኳሱ ወለል ክፍሎች ከሆኑ ወደ ኳስ።

2 የኦሎምፒያድ ተግባራት ምሳሌዎች

2.1 የኦሎምፒያድ ተግባራት ምሳሌዎች ከፒራሚድ ጋር

ምሳሌ 1. በሶስት ማዕዘን ፒራሚድ ውስጥ ኤስ ኤቢሲ ጠርዝ BC ከ a፣ AB=AC፣ ጠርዝ ጋር እኩል ነው። ኤስ እና ከኤቢሲ ፒራሚድ ግርጌ ጎን ለጎን፣ በዳርቻው ላይ ያለው የዲይድራል አንግል ኤስ ሀ እኩል ነው። 2α , እና ጠርዝ BC እኩል ነው β (ምስል 6) . የተከበበውን ሉል ራዲየስ ያግኙ።

መፍትሄ።ፒራሚድ እንውሰድ ኤስ ኢቢሲ፣በችግር መግለጫው ውስጥ የተብራራው. ከጫፍ ጀምሮ ኤስ.ኤ.ከመሠረቱ አውሮፕላን ጋር ቀጥ ብሎ, ከዚያም

ቪ.ኤ ኤስ = CAS= 90 °, እና ስለዚህ አንግል አንተበትክክል በዳርቻው ላይ ያለው የዲይድራል አንግል መስመራዊ አንግል ነው። ኤስ.ኤ.. ስለዚህ ፣ በፒራሚዱ መሠረት 2 አንግል ያለው isosceles triangle አለ። α ከላይ, እና የፒራሚዱ ቁመት ከጫፍ ጋር ይጣጣማል ኤስ ሀ.

ከጎን የጎድን አጥንት ትንበያዎች ጀምሮ ኤስ.ቢ.እና ኤስ ጋርበመሠረቱ አውሮፕላን ላይ እኩል ናቸው, ከዚያም እነዚህ ጠርዞች እራሳቸው እኩል ናቸው. ስለዚህ ጠርዝ ውስጥ ኤስ ጋር- የ isosceles ትሪያንግል, እና ቁመቱ ከጫፍ ጫፍ ዝቅ ብሏል ኤስ, መሃል ላይ ይወድቃል ለየጎድን አጥንቶች ፀሐይ.በሦስት perpendiculars ንድፈ ሐሳብ ኤኬ- የሶስት ማዕዘን ቁመት አንተ.ከዚህ አንፃር አንግል መሆኑን ግልጽ ነው ኤስ ሲ.ኤ- በዳርቻው ላይ ያለው የዲያቢሎስ አንግል መስመራዊ አንግል ፀሐይ,ማለትም

ኤስ ሲ.ኤ = β .

የተገረዘው ኳስ መሃል በመስመሩ መገናኛ ላይ ይገኛል። ኤል, በአውሮፕላኑ ላይ ቀጥ ያለ ውስጥ ኤስ ጋርእና በሦስት ማዕዘኑ ዙሪያ ዙሪያውን በክበቡ መሃል ማለፍ ውስጥ ኤስ ጋር፣በጠርዙ መካከል በሚያልፈው አውሮፕላን ሀ ኤስወደ እሱ ቀጥ ያለ። ቀጥታ ኤልአውሮፕላን ውስጥ ተኝቷል ሀ ኤስ ለ፡በእውነቱ, አውሮፕላን ውስጥ ኤስ ጋርቀጥታ መስመር ያልፋል ፀሐይ,ወደ አውሮፕላኑ ቀጥ ብሎ ሀ ኤስ ለ, ማለትም አውሮፕላኖች ውስጥ ኤስ ጋርእና ሀ ኤስ ለቀጥ ያለ; በተመሳሳይ ጊዜ ቀጥታ ኤልወደ አውሮፕላኑ ቀጥ ብሎ ውስጥ ኤስ ጋርእና የእነዚህን አውሮፕላኖች መገናኛ መስመር በማለፍ በአውሮፕላኑ ውስጥ ይተኛል ሀ ኤስ ለ .

ስለዚህ, የኳሱ መሃል በአውሮፕላኑ ውስጥ ይገኛል ሀ ኤስ ለ. ይህን አውሮፕላን ወደ ልዩ ስዕል እንውሰደው። የኳስ ማእከል ስለከዚያም በመስመሩ መገናኛ ላይ ይተኛል ኤልእና ቀጥታ ኤም፣ ቀጥ ያለ ሀ ኤስእና በመሃል በኩል ማለፍ. ግን በአጠቃላይ አነጋገር ፣ ሶስት እድሎች እራሳቸውን ሊያሳዩ ይችላሉ-ቀጥታ ኤልእና ቲከሶስት ማዕዘኑ ውስጥ ከውስጥ ወይም ከውጭ መቆራረጥ ሀ ኤስ ለወይም ከእሱ ጎን, እና እነዚህን ሁሉ እድሎች ግምት ውስጥ ማስገባት አለብን (ምሥል 7, 8, 9 ይመልከቱ). ከታች, በስሌቶች ሂደት ውስጥ, ሁለቱ በትክክል እንዳልተተገበሩ እናሳያለን. ራዲየስ ላይ ፍላጎት አለን አርየተገረዘ ኳስ፣ ማለትም ከነጥብ ርቀት ስለ- የ perpendiculars መገናኛ ነጥቦች ቲእና ኤልወደ አንግል ጎኖች ለ ኤስ ሀ- እስከ ነጥቡ ኤስ, የዚህ አንግል ጫፎች. በመጀመሪያ ደረጃ, እንፈልግ ኤስ.ኤል- በጎን በኩል የሚፈለገውን ርቀት ትንበያ ኤስ.ኬ.ትሪያንግል KAS. በሶስት ማዕዘን ውስጥ ስለሆነ ኤኬ ለ(ምስል 6) እግርን እናውቃለን ቪኬ=

ሀእና አንግል KAV = α,ያ AK= ሀ ctg α .

ኤስ.ኬ. =

ምክንያቱም ኤል- መሃል ስለ ትሪያንግል ተገልጿል ውስጥ ኤስ ጋርክበቦች, ከዚያም ኤል.ኤስ. = ኤል ውስጥ፣ a ምክንያቱም ከሦስት ማዕዘኑ ቪ.ሲ ኤልየሚለውን እናገኛለን ( ኤስ ወደ - ኤስ.ኤል ) 2 +HF 2 =ለ ኤል 2 , ማለትም

የክፍሉን ስሌቶች በመጥቀስ ኤስ.ኤልበማዕከሉ ቦታ ላይ በምንም መልኩ የተመካ አይደለም ስለየተገለጸው ኳስ፣ ወደ ስእል እንመለስ። 7, 8, 9. እስቲ በ ኤንየመስመሩ መገናኛ ነጥብ ኤምከጎን ጋር ኤስ ለ.ቀጥተኛ እንደሆነ ግልጽ ነው። ኤልእና ቲመቆራረጥ ውጭትሪያንግል ሲ.ኤ ኤስ , ከሆነ ኤስ.ኤን <ኤስ.ኤል(ምስል 8); ከሆነ ኤስ ን> ኤስ.ኤል , ከዚያም ይጠቁሙ ስለበዚህ ትሪያንግል ውስጥ ይተኛል (ምስል 7); በመጨረሻ, ከሆነ ኤስ.ኤን = ኤስ.ኤል , ከዚያም ይጠቁሙ ስለበጎን በኩል ይተኛል ኤስ ለይህ ሶስት ማዕዘን (ምስል 9). ከእነዚህ ድንጋጌዎች መካከል የትኛው በትክክል እንደተከናወነ ለማወቅ እንሞክር.

ምክንያቱም ኤም.ኤን ሲ.ኤ ኤስ , ያ ኤስ.ኤን =

ኤስ ለ. የክፍሎችን ርዝመት ማወዳደር ኤስ.ኤንእና ኤስ.ኤል, ለማንኛውም በቀላሉ ማረጋገጥ እንችላለን አ, αእና

(ከጂኦሜትሪክ ግምት ውስጥ ይከተላል ሀ> 0.0°<

< 90° እና 0°< β < 90°). Следовательно, каковы бы ни были размеры ሀ , α እና β ፒራሚዶች ኤስ ኢቢሲ፣መሃል ስለየተገረዘ ኳስ ሁል ጊዜ ከፒራሚድ ውጭ ይተኛል። ይህ ማለት በአውሮፕላኑ ውስጥ አውጥተነዋል ጠፍጣፋ ውቅር ማለት ነው ሲ.ኤ ኤስበስእል 8 ላይ የሚታየውን ቅጽ ብቻ ሊኖረው ይችላል; በስእል ውስጥ የሚታዩ ቦታዎች. 7 እና 9 በትክክል ሊከናወኑ አይችሉም. ምስልን በመመልከት ላይ. 8, በቀላሉ ያንን = β , እና ስለዚህ ኤል.ኦ. = ኤን.ኤል tg β = (ኤስ.ኤል -ኤስ N) tg β. ከላይ የተገኙትን መግለጫዎች እዚህ በመተካት ኤስ.ኤልእና ኤስ ኤንግልጽ ከሆኑ ስሌቶች በኋላ እናገኛለን

ኤል ኦ =

ሀ tg α ኃጢአት β .

በመጨረሻም, ከቀኝ ሶስት ማዕዘን ስለ ኤል.ኤስ.እናገኛለን

= .

እንደምናየው, በችግሩ ውስጥ ያሉት ስሌቶች ቀላል ሆነው ተገኝተዋል - የመፍትሄው ዋነኛ ችግር የተገረዘው ኳስ መሃል ላይ ያለውን ቦታ በሚመሠርትበት ምክንያት ነው.

መልስ፡- አር =

ምሳሌ 2. መደበኛ ባለሶስት ማዕዘን ፒራሚድ ጠፍጣፋ አንግል  በከፍታው ላይ በራዲየስ አር ኳስ ውስጥ ተቀርጿል። በተጠቆመው ፒራሚድ ዙሪያ የተገለጸውን የፒራሚድ መጠን እንዲሁም የሾጣጣውን የጎን ገጽ ይፈልጉ .

መፍትሄ።የፒራሚዱ መሠረት ጎን ይሁን ሀ, በዚህ ፒራሚድ ዙሪያ የተገለጸው የሾጣጣው መሠረት ራዲየስ እኩል ነው አር, ከዚያም

(ምስል 10). የፒራሚዱ ፊቶች isosceles triangles ናቸው። ከዚያም ዲኬ- ቁመት, መካከለኛ እና ቢሴክተር  ኤቢዲ. ከቀኝ ትሪያንግል ADKእና አለነ . የፒራሚዱን ቁመት ከቀኝ ትሪያንግል ያግኙ አኦዲ : ,

ዲኤም- የኳሱ ዲያሜትር. ከዚያም በዲያሜትር ውስጥ በሚያልፈው የኳሱ ክፍል ውስጥ ዲኤምእና ጊዜ ሀ, ትክክለኛ ትሪያንግል እናገኛለን AMD. በቀኝ ትሪያንግል ውስጥ ካሉት የሜትሪክ ግንኙነቶች

የት

ከዚያ ቀመሩን በመጠቀም የመሠረቱን ቦታ እናገኛለን-

እና ከቀመር

የፒራሚዱን መጠን ይፈልጉ:

ጠርዝ ዓ.ምበትርጓሜ ፣ የተገረዘ ሾጣጣ የጄኔሬተር ነው ። ከዚያም ቀመሩን በመጠቀም የተከበበውን ሾጣጣውን የጎን ገጽ እናገኛለን ኤስጎን =  አር ኤል :

መልስ፡-

;

ምሳሌ 3. በፒራሚዱ መሠረት አንድ ካሬ ጎን ሀ. የፒራሚዱ ቁመት በአንደኛው የመሠረቱ ጠርዞች መካከል ያልፋል እና እኩል ነው።

. በፒራሚዱ ዙሪያ የተከበበውን የሉል ራዲየስ ያግኙ።

መፍትሄ።ይህንን ችግር በሚፈታበት ጊዜ የተለመደው ስህተት የተገለጸው የሉል ማእከል ጠርዝ ላይ ያለው መግለጫ ነው ኤስ.ቢ.ሲ(ምስል 11). በእውነቱ የነጥቡ አቀማመጥ ስለከጫፍ ጋር አልተገናኘም ኤስ.ቢ.ሲ.

በነጥቡ እኩልነት ምክንያት ስለከላይ ጀምሮ ኤስ፣ ኤ፣ ቢ፣ ሲ፣ ዲየሚለውን ይከተላል OABCD- መደበኛ አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ፒራሚድ. ስለዚህ, ወደ አፋፍ ኤ ቢ ሲ ዲነጥብ ስለወደ አንድ ነጥብ ተገምቷል ኤም- የዲያግራኖች መገናኛ ነጥብ። ትሪያንግል ኤ.ኤስ.ዲ. isosceles, ከዚያም የፒራሚዱ ቁመት ኤስ.ኬ.የሶስት ማዕዘን መካከለኛ ነው ኤ.ኤስ.ዲ. ,

. ከቀኝ ትሪያንግል ኤስ.ኤ.ኬ.እናገኛለን ኤስ.ኤ. :

ስለዚህ ትሪያንግል መከፋት.- ተመጣጣኝ እና OASD- መደበኛ ሶስት ማዕዘን ፒራሚድ. ከዚያም ይጠቁሙ ስለወደ አፋፍ የተገመተ መከፋት.ወደ ትሪያንግል መሃል መከፋት.. ከዚህ

ከሶስት ማዕዘን ወንድ ልጅአስፈላጊውን ራዲየስ ያግኙ ስለዚህ፣

መልስ፡-

ምሳሌ 4. ወደ ራዲየስ ኳስ አር የታችኛው ግርጌ አውሮፕላኑ በኳሱ መሃል በኩል የሚያልፍበት መደበኛ ባለ ስድስት ጎን የተቆረጠ ፒራሚድ ተጽፏል ፣ እና የጎን ጠርዝ ከመሠረቱ አውሮፕላን ጋር 60 አንግል ይሠራል።

. የፒራሚዱን መጠን ይወስኑ።

መፍትሄ።በሁኔታዎች ፣

OAA 1 = 60 (ምስል 12); ማለት፣ ስለ 1 ኦ.ኤ 1 = 30 እና ሀ 1 ስለ 1 = ሀ 1 ኦ = ,ኦ.ኦ. 1 = .

ኤስየታችኛው መሠረት = 6

, ኤስከላይ መሰረታዊ = ዝቅተኛ መሰረታዊ .

በመጨረሻም እናገኛለን

መልስ፡-

2.2 የኦሎምፒያድ ተግባራት ምሳሌዎች ከፕሪዝም ጋር

ምሳሌ 1. ድምጹ እኩል የሆነ ኳስ ውስጥ ቪ , የቀኝ ሶስት ማዕዘን ፕሪዝም ተጽፏል. የፕሪዝም መሠረት አጣዳፊ ማዕዘን ያለው ትክክለኛ ትሪያንግል ነው።

, እና ትልቁ የጎን ፊት ካሬ ነው. የፕሪዝም መጠን ይፈልጉ።

መፍትሄ።በመጀመሪያ ከፕሪዝም አንፃር የኳሱን መሃከል አቀማመጥ እንወስናለን. የኳሱ ክፍሎች በፕሪዝም መሰረቶች አውሮፕላኖች እነዚህ መሠረቶች የተቀረጹበት ክበቦች ናቸው (ምሥል 13) እና የፕሪዝም መሠረቶች እኩል ስለሆኑ የክፍሎቹ ክበቦች እኩል እና እኩል ርቀት ያላቸው ናቸው. የኳሱ መሃል. እያንዳንዱ ማዕከሎች ስለ 1 እና ስለ 2 ከሚዛመደው hypotenuse መሃል ጋር ይጣጣማል።

በአውሮፕላን ካለው የኳስ ክፍሎች ባህሪያት እንደሚታወቀው ከኳሱ መሃል ላይ የተሳለው ቀጥ ያለ ስለየመስቀል-ክፍል ክበብ አውሮፕላን ፣ በዚህ ክበብ መሃል በኩል ያልፋል። ስለዚህም እ.ኤ.አ. ስለ 1 ስለ

አውሮፕላን ኢቢሲቀጥታ ስለ 1 ስለእንዲሁም ያልፋል ኦ 2 እና በአውሮፕላኑ ላይ ቀጥ ያለ ነው ። ስለዚህ ፣ የኳሱ መሃል በክፍሉ መሃል ላይ ፊቱ ላይ ይተኛል ። ኦ 1 ኦ. የፕሪዝም ሁሉም የጎን ፊቶች አራት ማዕዘኖች እና ፊት ናቸው። - ከነሱ ትልቁ (ከ AB -የሶስት ማዕዘን hypotenuse ሀ ፀሐይ). ይህ ፊት እንደ ደንቡ ካሬ ነው። በፊቱ አውሮፕላን ያለው የኳሱ ክፍል የኳሱ ትልቅ ክብ ነው ፣ ስለሆነም በምስል ላይ የሚታየው የክበቡ ራዲየስ። 14, ከኳሱ ራዲየስ ጋር እኩል ነው አር . የፕሪዝም ቁመት መሆኑን ልብ ይበሉ አአ 1 = ሀ 4 = . አሁን የሚቀረው የመሠረቱን ቦታ መፈለግ ብቻ ነው-

ኤስ ሀ ለ ጋር =

. ከ (ምስል 15)

እና አለነ AC = AB

, ማለት፣

ኤስ ሀ ለ ጋር =

አሁን የሚከተለውን እናገኛለን:

ቪሽልማት.

በሁኔታዎች ፣

አር 3 = ቪ ,

የት አር 3 =

ስለዚህም

ቪሽልማት.

መልስ፡- ቪሽልማት.

ምሳሌ 2. የሉል እና የሉል መጠን ሬሾን በቅደም ተከተል ከተቀረጸው ኩብ ወለል እና መጠን ጋር ይፈልጉ

መፍትሄ።የኳሱ ራዲየስ ይሁን አር , የኩባው ጠርዝ እኩል ነው አ;

ከዚያም አር 2 -

፣ የት ሀ= .

የሉል እና የኩብ መጠኖችን እና ንጣፎችን በቅደም ተከተል እንጥቀስ ቪ 1 , ቪ 2 , እና ኤስ 1 , ኤስ 2 .

, ቪ 2 = = , ኤስ 1 =4, ኤስ 2 = 6ሀ 2 =8አር 2 , ቪ 2 = , ኤስ 1 ኤስ 2 = .

መልስ፡- ቪ 1

ቪ 2 = , ኤስ 1 ኤስ 2 = .

2.3 የኦሎምፒያድ ስራዎች ምሳሌዎች ከሲሊንደር ጋር

ለምሳሌ. በዚህ ሉል ውስጥ የተቀረጸው ትክክለኛ ክብ ሲሊንደር መጠን ጋር የሉል መጠን ያለውን ሬሾ ያግኙ, ይህ ሲሊንደር ያለውን axial ክፍል ሰያፍ መካከል ያለውን ትንሽ አንግል እኩል እንደሆነ የሚታወቅ ከሆነ.

እና የመሠረቱ ዲያሜትር ከሲሊንደሩ ቁመት ይበልጣል (ምሥል 18).

መፍትሄ።የሉል መጠንን እናውቃለን

, እና ቀመሩን በመጠቀም የሲሊንደሩን መጠን እናገኛለን, ግን, ስለዚህ

ፍቀድ ኤ ቢ ሲ ዲ- የሲሊንደር axial ክፍል (ምሥል 18 ይመልከቱ). የመሠረቱ ዲያሜትር ከሲሊንደሩ ቁመት የበለጠ ስለሆነ, ከዚያም

- ጥግ አ.ኦ.ቢ.ከሶስት ማዕዘን አቮየሲሊንደውን ቁመት ይከተላል

የሲሊንደር መሠረት ራዲየስ

. .

እንደሆነ ተገለጸ

የተገኘውን መረጃ በሲሊንደር መጠን ቀመር ውስጥ እንተካው፡-

;

ስለዚህም

ግንኙነት እንፈልግ

መልስ፡-

2.4 የኦሎምፒያድ ተግባራት ምሳሌዎች ከ ሾጣጣ

ምሳሌ 1. ወደ ራዲየስ ኳስ አር ክብ ቅርጽ ያለው ሾጣጣ ተቀርጿል; በአክሲየም ክፍል ውስጥ ባለው የኮን ጄነሬተሮች መካከል ያለው አንግል ከ α ጋር እኩል ነው. የሾጣጣውን መሠረት ራዲየስ የሚሠራውን ቁመት ያግኙ.

መፍትሄ።በኮንሱ ዘንግ ውስጥ የሚያልፈው የኳሱ ክፍል በውስጡ ያለው የኳሱ ትልቅ ክብ ነው።

AB ኤስ(ምስል 19), የት ሀ ውስጥ- የሾጣጣው መሠረት ዲያሜትር. የኮንሱን ቁመት (ዘንግ) እንቀጥል ሶበነጥቡ ላይ ታላቁን ክበብ እስኪያቋርጥ ድረስ ኢእና ግምት ውስጥ ያስገቡ ኢ ኤስ መ፡

በዚህ ሶስት ማዕዘን ውስጥ

ኤስ.ኢ. = 2አር ,

ኤስ AE = 90° እና ሀ ኤስ ኢ= .

ሀ ኤስ = 2አር

አሁን ከ

ሀ ስርዓተ ክወናእናገኛለን

ሀ ስለ = አር = 2አር

, ሶ = ሸ= 2አር

መልስ : SO= 2አር

ሀ ኤስ = 2አር , ሀ ስለ =.

ምሳሌ 2. የሾጣጣው ቁመት እና በዙሪያው ከተከበበው ኳስ ራዲየስ ጋር ያለው ጥምርታ እኩል ነው። ክ . የእነዚህን አካላት መጠኖች ጥምርታ ያግኙ። በምን ላይ እወቅ ክ ተግባሩ ምክንያታዊ ነው.

መፍትሄ።የሾጣጣውን የአክሲዮን ክፍል (ምስል 20) እናስብ. ፍቀድ ሸ- የኩሬው ቁመት; አር- በአንድ ሾጣጣ ዙሪያ የተከበበ የሉል ራዲየስ። ከዚያም እንደ ሁኔታው

=ክ፣ ማለትም እ.ኤ.አ. ሸ = kR .

ራዲየስን እንግለጽ አርየሾጣጣው መሠረት በኩል አር; ኮርዶቹን ከግምት ውስጥ በማስገባት ኤሲእና BE፣እናገኛለን:

ውስጥ ዲ

ዲ ኢ = ሀ ዲ ዲ ጋር(ምክንያቱም AD=DC ,
- አራት ማዕዘን, ዓ.ም – ቁመቱ ከትክክለኛው ማዕዘን ጫፍ ላይ ወድቋል).

(ስለዚህ ክ < 2).

ቪወ =

; ቪክ ==

ስለዚህም

(በ0< ክ < 2).

መልስ፡-

(በ0< ክ < 2).

ምሳሌ 3. በተቆራረጠ ሾጣጣ ውስጥ, የታችኛው እና የላይኛው መሠረቶች ራዲየስ እኩል ናቸው አር 1 እና አር 2 , እና የሾጣጣው ጄኔሬተር ወደ ታችኛው የታችኛው አውሮፕላን በ α አንግል (ምስል 21) ላይ ያዘነብላል. የተሰጠው የተቆረጠ ሾጣጣ የተጻፈበትን የሉል ራዲየስ ያግኙ።

መፍትሄ።በተቆረጠው ሾጣጣ ዘንግ ውስጥ በሚያልፈው የኳሱ ክፍል ውስጥ አንድ ትልቅ የኳሱ ክበብ ተገኝቷል ፣ በዚህ ውስጥ ትራፔዞይድ ተቀርጾበታል። ኢቢሲ ዲ. እስቲ እናስብ

ሀ ፀሐይ,በኳሱ ታላቅ ክበብ ውስጥም የተጻፈ ነው። በዚህ ትሪያንግል ውስጥ ያለው አንግል ይታወቃል ጋር ቢ.ኤ. = α . በሳይን ቲዎሬም አማካኝነት ኤሲ = 2አር. ስለዚህ, ለመወሰን አርለማግኘት በቂ ነው ኤሲ.ከነጥቡ እንውረድ ጋርቀጥ ያለ SEላይ ABግልጽ ነው፣

AE= አር 1 + አር 2 ,BE = አር 1 - አር 2, ሀ CE = ( አር 1 - አር 2 )

ስለዚህ, በፓይታጎሪያን ቲዎሪ መሰረት

= === ከየት አር =

መልስ፡- አር

3 የተዋሃዱ የስቴት ፈተና ተግባራት ምሳሌዎች

3.1 ከፒራሚድ ጋር የተዋሃዱ የስቴት ፈተና ተግባራት ምሳሌዎች

ምሳሌ 1. ክፍል ፒ ኤን , ከ 8 ጋር እኩል ነው, የሉል ዲያሜትር ነው. ነጥቦች M፣ ኤል የፒራሚዱ መጠን P እንዲሆን በሉሉ ላይ ተኛ ኤን ኤም ኤል ትልቁ (ምስል 22). የሶስት ማዕዘን ቦታን ያግኙ K ኤል ቲ፣ K እና T የ PM ጠርዞች መካከለኛ ነጥቦች እና ኤን ኤም በቅደም ተከተል.

መፍትሄ።ፍቀድ ስለየሉል ማእከል ነው, እና አር- ራዲየስ. ምክንያቱም አር ኤን = 2አር= 8 እና ነጥቦች ኤምእና ኤልበሉሉ ላይ ተኛ ፣ ከዚያ ወይም = ኦ ኤል = ኦ ኤን = ኦኤም = አር = 4. የሉል ክፍሎች በአውሮፕላን አር ኤል.ኤንእና አርኤም ኤን- የክበብ ራዲየስ አር = 4፣ስለ ትሪያንግል ተብራርቷል። አር ኤል.ኤንእና አርኤም ኤን , እና

አርኤም ኤን = አር ኤል.ኤን= 90 °, በዲያሜትር ላይ ተመስርተው የተቀረጹ ማዕዘኖች አር ኤን .

ፍቀድ ኤን- የፒራሚዱ ቁመት, ከላይ ወደ ታች ወረደ ኤም, ኤ ሸ- የሶስት ማዕዘን ቁመት አር ኤል.ኤን , ወደ ጎን ተይዟል አር ኤን . ከ ነጥብ ጀምሮ ኤምበሉሉ ላይ ይተኛል, እና አውሮፕላኑ አር ኤል.ኤንየሉል ማእከልን ይይዛል, ከዚያም ኤን

አር , እና ኤን = አር , ከሆነ MO አር ኤን.ኤል . በተመሳሳይም ከነጥቡ ጀምሮ ኤልበሉሉ ላይ ይተኛል ፣ ከዚያ ሸ አር , እና ሸ = አር , ከሆነ ኤል ስለ አር ኤን .

ስለዚህ ለፒራሚዱ መጠን አር ኤን ኤም ኤልእና አለነ

, .

ስለዚህ ፒራሚዱ አር ኤን ኤም ኤልትሪያንግሎች ከሆነ ከፍተኛው መጠን አለው አር ኤል.ኤንእና አርኤም ኤንአራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው, isosceles በተለመደው hypotenuse አር ኤን, እርስ በርስ በተያያዙ አውሮፕላኖች ውስጥ ተኝቷል. ከሦስት ማዕዘናት ጀምሮ ኤል ስለ ኤን , ኤል ወይም፣ ኤል OM፣ ROM፣ ኤን ኦ.ኤምበሁለት እግሮች ላይ እኩል ናቸው, ከዚያም ትሪያንግሎች ኤል ኤም ኤንእና ኤል ለ አቶከጎን ጋር ማረም

ኤን.ኤል = ፒ ኤል = በርቷል

ሚድያዎችን ይከተላል ኤል ለእና ኤል ቲእነዚህ ትሪያንግሎች እኩል ናቸው, እና

ኤል ለ =

= 2.

ትሪያንግል ለ ኤል ቲ isosceles, እና ቁመቱ ኤል.ዲየቀኝ isosceles ትሪያንግል መካከለኛ ነው። ኤል ኦ.ኤም.ከዚህ

ኤል.ዲ =

= 2.

ሲቲ- የሶስት ማዕዘን መካከለኛ መስመር አርኤም ኤንእና ስለዚህ ሲቲ = 0,5አር ኤን =አር . ስለዚህ, አካባቢ ኤስ ለ ኤል ቲ =

ሲቲ ኤል.ዲ = 4.

መልስ፡- 4

ምሳሌ 2. በመደበኛ የሶስት ማዕዘን ፒራሚድ ውስጥ, የመሠረቱ ጎን 5 ነው, እና የጎን የጎድን አጥንቶች በ 60 ማዕዘን ላይ ወደ መሰረቱ ያዘነብላሉ.ኦ. በፒራሚዱ ዙሪያ የተከበበውን የሉል ራዲየስ ያግኙ።

መፍትሄ።ፍቀድ ABCMየተጠቆመው ፒራሚድ (ምስል 23 ይመልከቱ) የተገለጸው የሉል ማእከል ፒራሚዱ መደበኛ ስለሆነ በፒራሚዱ ከፍታ ላይ ይገኛል።

የፒራሚዱ ቁመት መሠረት የሶስት ማዕዘን መሃል ነው ኢቢሲ, ማለትም የሽምግሞቹ መገናኛ ነጥብ. ከዚያም፡-

ST =

CH= = = .

አሁን ትሪያንግልን አስቡበት ኤም.ኤን.ኤስ.እዚህ ጥግ ነው። MSNከ 60 ° ጋር እኩል ነው, በጎን ጠርዝ መካከል ያለው አንግል ወይዘሪትእና መሰረት ኢቢሲ. ጥግ ኤን.ኤም.ኤስከ 30 ጋር እኩል ነው።

. MO=OSእንደ ራዲየስ. ስለዚህ ትሪያንግል ነው። ኤም.ኦ.ኤስ isosceles. እንደምታውቁት, በ isosceles triangle ውስጥ, በመሠረቱ ላይ ያሉት ማዕዘኖች እኩል ናቸው. ስለዚህም እ.ኤ.አ. OSM = የግዴታ የሕክምና መድን = 30, OSN = MSN - MCO = 60 - 30= 30.

ከቀኝ ትሪያንግል OSNሃይፖቴንሱስን እንገልፃለን። ስርዓተ ክወናበቀኝ ትሪያንግል ውስጥ የትሪግኖሜትሪክ ተግባራትን ግንኙነት በመጠቀም፡-

መልስ፡- ኦ.ሲ. =

3.2 የUSE ተግባራት ምሳሌዎች ከፕሪዝም ጋር

ምሳሌ 1. የፕሪዝም መሠረት ጎኖች ያሉት ሶስት ማዕዘን ነው ሀ , ለ , ሐ . የፕሪዝም ቁመት ሸ (ምስል 25) የተከበበውን ሉል ራዲየስ ያግኙ።

መፍትሄ።አንድ ሉል በፕሪዝም ዙሪያ የተከበበ ስለሆነ, ፕሪዝም ቀጥ ያለ እና የጎን ጠርዝ ከቁመቱ ጋር እኩል ነው. በፕሪዝም ግርጌ ዙሪያ የተገለፀው የክበብ ራዲየስ በቀመርው ይሰላል

መልስ፡-

ምሳሌ 2. የኳስ ራዲየስ አር . ቁመት 2 የሆነ መደበኛ n-gonal ፕሪዝም በኳስ ውስጥ ተቀርጿል። ሸ (ምስል 26) የፕሪዝም መሰረቱን ጎን ያግኙ.

መፍትሄ።ፍቀድ ለ- የተከበበው ሉል መሃል። እና አለነ: ኬ.ቢ. = አር , እሺ = ሸ. ፍቀድ ኦ.ኤም

AB, ከዚያም

ኦ.ቢ. =

(ከሦስት ማዕዘን እሺቢ).

ከሶስት ማዕዘን OMBእናገኛለን

ሀ = 2ኤም.ቢ. = 2ኦ.ቢ.

ስለዚህ፣ ሀ =

መልስ፡- ሀ =

3.3 የተዋሃዱ የስቴት ፈተና ስራዎች ምሳሌዎች ከሲሊንደር ጋር

ምሳሌ 1. የአንድ ክብ ሲሊንደር ቁመት ከመሠረቱ ራዲየስ 10 ይበልጣል, እና አጠቃላይ የቦታው ስፋት 144 ነው.

. የተከበበውን ሉል ራዲየስ ያግኙ።

መፍትሄ።የተከበበ ሉል ራዲየስ

(ምስል 27).

የሲሊንደር ወለል አካባቢ

, 144,

ይህን አገላለጽ ቀለል አድርገን እንየው፡-

ኳድራቲክ እኩልታ እናገኛለን

የዚህን እኩልታ መሰረት እንፈልግ

, ተስማሚ አይደለም ምክንያቱም አሉታዊ ነው. ቁመት

የተከበበውን ሉል ራዲየስ እንፈልግ፡-

መልስ፡-

ምሳሌ 2. ቀጥ ያለ ክብ ቅርጽ ያለው ሲሊንደር በኳስ ውስጥ ተቀርጿል (ምሥል 28). የሉል ራዲየስ ሬሾ ወደ ሲሊንደር መሠረት ራዲየስ ሬሾ ግማሽ ያህል እንደሆነ ከታወቀ የሉል መጠን ከሲሊንደሩ መጠን ምን ያህል ይበልጣል? ሉል ወደ ሲሊንደር ላተራል ገጽ.

መፍትሄ።የአንድ ሉል መጠን ወደ የተቀረጸው ሲሊንደር መጠን ያለው ጥምርታ

እንደ ሁኔታው ይታወቃል

; –

ተመጣጣኝ

የሉል እና የተቀረጸ ሲሊንደር መጠን ጥምርታ እንፈልግ

መልስ፡- 16:9.

3.4 የተዋሃዱ የስቴት ፈተና ስራዎች ምሳሌዎች ከኮን ጋር

ምሳሌ 1. የሾጣጣው መሠረት ዲያሜትር 6 ሜትር ነው ፣ ጄኔሬክተሩ በ 60 ° አንግል ላይ ወደ ጣቢያው አውሮፕላን ያዘነብላል (ምስል 29)። ስለ ሾጣጣው የተከበበውን የሉል ቦታ ይፈልጉ።

ታክሲከኮን ጄኔሬተር እና ከመሠረቱ ስፋት መካከል ካለው አንግል ጋር እኩል ነው። ለዛ ነው ካብ= 60 ° እና isosceles triangle ኢቢሲ -ትክክል. ያንን ተከትሎ ነው።

CA = AB = ዓክልበ= 6 ሚ.

ስለ ሾጣጣው የተከበበውን የሉል ማእከል አቀማመጥ እናገኝ. በእንደዚህ ዓይነት ሉል ፍቺ መሠረት የሾጣጣው መሠረት ዙሪያው የተከበበ የሉል ክፍል እና የሾጣጣው ጫፍ በዚህ ሉል ላይ ይተኛል ። በማንኛውም ክፍል መሃል ላይ በሚያልፈው የሉል ዲያሜትር ንብረቱ መሠረት ቀጥተኛ መስመር COወደ ሾጣጣው መሠረት አውሮፕላን እና ስለዚህ መሃሉ ላይ ቀጥ ያለ ስለከተከበበው ሉል ውስጥ 1ኛው ቀጥ ያለ መስመር ላይ ነው። CO.ማዕከሉን ይከተላል ስለስለ ሾጣጣው ከተከበበ ሉል ውስጥ 1 የክበብ ማእከል ስለ አክሲል ክፍሉ የተከበበ ነው።

በቀኝ ሶስት ማዕዘን ውስጥ

ኢቢሲ አር = ኦ 1 ሲ =

(ሜ)

የሉል አካባቢን እንፈልግ፡-

(ሜ 2)

መልስ፡- 48

ሜ 2.

ምሳሌ 2. ወደ ራዲየስ ኳስ አር = 6 ሴንቲ ሜትር ቁመት ያለው የተቀረጸ ሾጣጣ ሸ (ምስል 30). በክርክሩ ምክንያት የኮንሱን የድምጽ መጠን እና የጎን ገጽታ ይግለጹ ሸ .

መፍትሄ።እና አለነ:

እና

የት አር - የመሠረት ራዲየስ, ኤል- ሾጣጣ መፍጠር.

የሚለውን ግምት ውስጥ በማስገባት ነው። አር = ቪኤ -ቁመቱ ከትክክለኛው አንግል ጫፍ ወደ hypotenuse ዝቅ ይላል: እና. ወይም አር 2 እና

, .

አሁን የሚከተለውን እናገኛለን:

, .

መልስ፡-

ምሳሌ 3. አንድ ሾጣጣ በኳሱ ውስጥ ተቀርጿል, የጄነሬተር ማመንጫው ከመሠረቱ ዲያሜትር ጋር እኩል ነው (ምሥል 31). የኩሱን ወለል እና የኳሱ ወለል ሬሾን ያግኙ።

መፍትሄ።የኳሱን መሃከል የሚያልፈውን የሾጣጣውን ዘንግ ክፍል እናሳይ። የሾጣጣው መሠረት ዲያሜትር ከጄነሬተር ጋር እኩል ስለሆነ በክፍሉ ውስጥ በክበብ ውስጥ የተጻፈ መደበኛ ትሪያንግል እናገኛለን (ምሥል 31). የኳሱ ራዲየስ እኩል ይሁን አር : ከዚያም

AB =አር

, ሀ ዲ =

የኮንዱን አጠቃላይ ገጽታ በ ኤስ 1, እና የኳሱ ገጽታ በኩል ኤስ 2. እና አለነ

የት ኤስ 1: ኤስ 2 = 9:16.

መልስ፡- ኤስ 1: ኤስ 2 = 9:16.

ማጠቃለያ

በጥናቱ ወቅት በተገለፀው ቦታ ላይ ያሉ ችግሮች ብዙውን ጊዜ በተዋሃዱ የስቴት ፈተና ላይ ለት / ቤት ልጆች እንደሚሰጡ ተረድተናል ፣ ስለሆነም የዚህ ዓይነቱን ችግር የመፍታት ችሎታ ፈተናዎችን በተሳካ ሁኔታ በማለፍ ረገድ ትልቅ ሚና ይጫወታል ። እንዲሁም በተገለፀው ቦታ ላይ ያሉ ችግሮች ብዙውን ጊዜ በሂሳብ ኦሊምፒያድ በተለያዩ ደረጃዎች ይገኛሉ። በስራችን ውስጥ ተዛማጅ ምሳሌዎች ተሰጥተዋል. በዚህ ደረጃ፣ የተከበበ ሉል ከፒራሚድ፣ ፕሪዝም፣ ሲሊንደር እና ሾጣጣ ጋር በማጣመር ችግሮችን በማሰብ ብቻ ወሰንን። ለገለልተኛ ሥራ የተመረጡ ተግባራት. ሥራውን በማከናወን ሂደት ውስጥ የሚከተሉትን ዘዴዎች እንጠቀማለን-ከሳይንሳዊ እና ታዋቂ የሳይንስ ሥነ-ጽሑፍ ጋር በመስራት ፣ በበይነመረብ ላይ መረጃን መሰብሰብ ፣ ትንተና ፣ ስርዓት ፣ ምደባ እና ሂደት በኮምፒተር ላይ። ውጤቶቹ በአሁኑ ጊዜ በረቂቅ መልክ ቀርበዋል. ወደፊትም ሥራውን በአዲስ ተግባራት ለማሟላት ታቅዷል።

መጽሃፍ ቅዱስ

1. Abramovich M.I., Starodubtsev M.T. ሂሳብ (ጂኦሜትሪ እና ትሪግኖሜትሪክ ተግባራት)። የመማሪያ መጽሀፍ ለዩኒቨርሲቲዎች መሰናዶ ክፍሎች - M: ከፍተኛ ትምህርት ቤት, 1976. - 304 p.

2. ቮይቶቪች ኤፍ.ኤስ. የጂኦሜትሪክ አካላት ውህዶች፡ (የተቀረጹ እና የተከበቡ ሉሎች)፡ ለተማሪዎች መጽሐፍ። - ሚንስክ: ናሮድናያ አስቬታ, 1992. - 160 p.

3. Govorov V.M., Dybov P.T., Miroshin N.V. እና ሌሎች በሂሳብ ውስጥ ያሉ የውድድር ችግሮች ዝርዝር (ከዘዴ መመሪያዎች እና መፍትሄዎች)፡ የመማሪያ መጽሐፍ። - ሁለተኛ እትም - M: Nauka, 1986. - 384 p.

4. Denishcheva L.O., Bezrukova G.K., Boychenko E.M. እና ሌሎች የተዋሃደ የስቴት ፈተና, ሂሳብ, የመቆጣጠሪያ መለኪያ ቁሳቁሶች - M: ትምህርት 2005. - 80 p.

5. ዴኒሽቼቫ ሎ.ኦ., ግላዝኮቭ ዩ.ኤ., ክራስያንያንስካያ ኬ.ኤ. እና ሌሎች የተዋሃደ የስቴት ፈተና። ሒሳብ. ተማሪዎችን ለማዘጋጀት የትምህርት እና የስልጠና ቁሳቁሶች / FIPI - M: Intellect-Center, 2008. - 240 p.

6. ዶሮፊቭ ጂ.ቪ., ፖታፖቭ ኬ.ኤም., ሮዞቭ ኤን.ኬ. ወደ ዩኒቨርሲቲዎች ለሚገቡት የሂሳብ ማኑዋል - M: Nauka 1972. - 528 p.

7. Egerev V.K., Zaitsev V.V., Kordemsky B.A. እና ሌሎች 2500 በሂሳብ ውስጥ ያሉ ችግሮች ወደ ዩኒቨርሲቲዎች ለሚገቡ መፍትሄዎች: - M: LLC ማተሚያ ቤት "ONICS 21st ክፍለ ዘመን": LLC ማተሚያ ቤት "ዓለም እና ትምህርት", 2002. - 912 p.

8. Zvavich L.I., Ryazanovsky A.R. ጂኦሜትሪ በጠረጴዛዎች - M: Bustard 2007. - 128 p.

9. Klimin S.V., Strunkina T.V., Panteleeva E.I. እና ሌሎች የተዋሃደ የመንግስት ፈተና, የፈተና ተግባራት - M: ትምህርት 2002. - 24 p.

10. ሞዴኖቭ ቪ.ፒ., ዶሮፊቭ ጂ.ቪ., ኖሶሴሎቭ ኤስ.አይ. እና ሌሎች የሂሳብ ማኑዋል - M: የሞስኮ ዩኒቨርሲቲ ማተሚያ ቤት, 1972. - 404 p.

11. Shuvalova E.Z., Kaplun V.I. ጂኦሜትሪ: ለዩኒቨርሲቲዎች መሰናዶ ክፍሎች የመማሪያ መጽሐፍ - M: ከፍተኛ ትምህርት ቤት, 1980. - 265 p.

12. http://kvant.mirror1.mccme.ru/pdf/2000/06/kv0600solut.pdf

13. http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BE%D1%80%D1%82%D0%B0%D0%BB:%D0%9D%D0%B0%D1% 83%D0%BA%D0%B0

14. http://rgp.nm.ru/geometriia/praktika11/zadatcha119.html

መተግበሪያ. ለገለልተኛ መፍትሄ ተግባራት

1. በፒራሚዱ ውስጥ FABCጠርዞች ABFእና ኢቢሲቀጥ ያለ ፣ ቢ.ኤፍ. :ኤፍ.ኤ. = 15፡11። ቀጥ ባለ መስመር መካከል ያለው አንግል ታንጀንት B.C.እና አውሮፕላን ABFእኩል 5. ነጥብ ኤምጠርዝ ላይ ተመርጧል B.C.ስለዚህ ለ ኤም :ኤም ሲ = 4፡11። ነጥብ ቲቀጥተኛ መስመር ላይ ይተኛል ኤፍ.ኤ.እና ከነጥቦቹ እኩል ርቀት ኤምእና ውስጥየሉል ማእከል ስለ ፒራሚድ ተዘግቷል። FABC , ጠርዝ ላይ ይተኛል ABየዚህ ሉል ስፋት 36 ነው

. የፒራሚዱን መጠን ይፈልጉ ASMT ( መልስ፡- 6)

2. የፒራሚዱ መሠረት FABCDአራት ማዕዘን ነው። ኤ ቢ ሲ ዲ . አውሮፕላን አ.ኤፍ.ሲ.ወደ አውሮፕላኑ ቀጥ ብሎ ኢቢሲ , የማዕዘን ታንጀንት ኤፍኤሲእኩል ነው።

, በመስመሩ መካከል ያለው አንግል ታንጀንት B.C.እና አውሮፕላን አ.ኤፍ.ሲ.እኩል ይሆናል . ነጥብ ኤምጠርዝ ላይ ይተኛል B.C. ፣ ቪኤም =B.C. . ነጥብ ኤልቀጥተኛ መስመር ላይ ይተኛል ኤፍ.ኤ.እና ከነጥቦቹ እኩል ርቀት ኤምእና ሲ . የፒራሚዱ መጠን ኤል ውስጥ ዲ ኤምእኩል ነው 72. ስለ ፒራሚዱ የተከበበ የሉል ማእከል FABCD , በመሠረቱ አውሮፕላን ላይ ይተኛል. የዚህን ሉል ራዲየስ ያግኙ። ( መልስ፡- 5)

3. ከመደበኛው ፒራሚድ አጠገብ FABCማዕከሉ በመሠረቱ አውሮፕላን ውስጥ የሚገኝን ሉል ይገልጻል ኢቢሲፒራሚዶች. ነጥብ ኤምጠርዝ ላይ ይተኛል ABስለዚህ ሀ ኤም :ኤም ለ=1፡3። ነጥብ ቲቀጥተኛ መስመር ላይ ይተኛል ኤፍ.ኤ.እና ከነጥቡ እኩል ኤምእና ውስጥ. የፒራሚዱ መጠን TVSMእኩል ነው።

. በፒራሚዱ የተከበበውን የሉል ራዲየስ ያግኙ FABC . ( መልስ፡- )

4. የመስመር ክፍል AB- የሉል ዲያሜትር. ነጥቦች ጋር፣ ዲ ኤ ቢ ሲ ዲትልቁ። በመስመሮቹ መካከል ያለውን አንግል ኮሳይን ያግኙ ሲ.ኤምእና ኤቢ፣ከሆነ ኤም- የጎድን አጥንት መሃል BD . ( መልስ፡-

)

5. የመስመር ክፍል አር ኤን , ከ 8 ጋር እኩል ነው, የሉል ዲያሜትር ነው. ነጥብ ኤም፣ ኤልየፒራሚዱ መጠን እንዲኖረው በሉሉ ላይ ተኛ አር ኤን ኤም ኤልትልቁ። የሶስት ማዕዘን ቦታን ያግኙ KLT , የት ኬእና ቲ – የጎድን አጥንት መሃከል አርኤምእና ኤን ኤምበቅደም ተከተል. ( መልስ፡- 4

)

6. ራዲየስ ሉል ተሰጥቷል 6. የሉል መስቀለኛ ክፍል በአውሮፕላኑ ዲያሜትር ያለው ክብ ነው ሲቲ. የሴክሽን አውሮፕላን በ 5. ነጥብ ርቀት ላይ ከሉል መሃከል ይወገዳል አርበሉል ላይ ተመርጧል, እና ነጥቡ ኤል RK ኤል ቲትልቁ። ቀጥታ መስመር መካከል ያለውን አንግል ያግኙ ኤል.ኤም.እና አውሮፕላን ፒቲኬ , ከሆነ ኤምመካከለኛ የጎድን አጥንት RK ( መልስ፡- 30

)

7. በማዕከሉ በኩል ስለ ኤፍበሉል ላይ ተመርጧል, እና ነጥቦቹ ሀ , ለ , ሲ , ዲ – FABCDትልቁ። ነጥቦች ኤም፣ ቲ፣ ኤል – የጎድን አጥንት መሃከል ኤፍ.ቢ , ሲዲእና ዓ.ምበቅደም ተከተል. የሶስት ማዕዘን አካባቢ MLTከ 64 ጋር እኩል ነው

. የሉል ራዲየስን ያግኙ። ( መልስ፡- 2)

8. በማዕከሉ በኩል ስለአንድ ክፍል ከዚህ ሉል የተሰራ ነው. ነጥብ ኤፍበሉል ላይ ተመርጧል, እና ነጥቦቹ ሀ , ለ , ሲ , ዲ – በቅደም ተከተል በመስቀል-ክፍል ክበብ ላይ የፒራሚዱ መጠን FABCDትልቁ። በመስመሩ መካከል ያለውን አንግል ሳይን ይፈልጉ ኤምእና አውሮፕላን ቢ.ኤፍ.ዲ. . ( መልስ፡-

)

9. የ 10 ራዲየስ ያለው ሉል ተሰጥቷል. የዚህ ሉል አውሮፕላን ክፍል ዲያሜትር ያለው ክብ ነው. ABየሴክሽን አውሮፕላን በ 8. ነጥብ ርቀት ላይ ከሉል መሃከል ይወገዳል ዲበሉል ላይ ተመርጧል, እና ነጥቡ ጋር- የፒራሚዱ መጠን እንዲኖረው በመስቀል-ክፍል ዙሪያ ኢቢሲ ዲትልቁ። የፊት አካባቢን ይፈልጉ ኤሲዲ .( መልስ፡- 27

)

10. የፒራሚዱ መሠረት አራት ማዕዘን ነው. አውሮፕላኑ ከአውሮፕላኑ ጋር ቀጥ ያለ ነው ኢቢሲ, በመስመሩ መካከል ያለው አንግል ታንጀንት ፀሐይእና አውሮፕላን ኤፍኤሲእኩል 2. ነጥብ ኤምጠርዝ ላይ ይተኛል ፀሐይእና ኤም.ቪ =

ነጥብ ኤልቀጥተኛ መስመር ላይ ይተኛል ኤፍ.ኤ.እና ከነጥቦቹ እኩል ርቀት ኤምእና ጋር. የሉል ማእከል ስለ ፒራሚድ ተዘግቷል። ኤፍ.ኤ. ውስጥ ሲዲ፣ በፒራሚዱ መሠረት አውሮፕላን ውስጥ ይገኛል ፣ የዚህ ሉል ራዲየስ 4 ነው ። የፒራሚዱን መጠን ይፈልጉ ኤል.ኤ. ወይዘሪት. (መልስ፡- 48)

11. ወደ ኳስ ፣ ራዲየስ 2

ABCA 1 ውስጥ 1 ጋር 111 1 . ቀጥታ ኤሲ 1 በአውሮፕላን ቅጾች ኤቢቢ ( መልስ፡- 288)

12. መደበኛ ባለሶስት ማዕዘን ፕሪዝም በሉል ውስጥ ተቀርጿል። ABCA 1 ውስጥ 1 ጋር 1, መጠኑ 4.5 ነው. ቀጥታ ቪ.ኤ 1 ከአውሮፕላን ጋር ይመሰርታሉ ቪኤስኤስ 1 ማዕዘን 45

. የሉል ስፋትን ይፈልጉ። ( መልስ፡- 11)

13. ራዲየስ ባለው ኳስ ውስጥ

መደበኛ ሦስት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ፕሪዝም ተጽፏል ABCA 1 ውስጥ 1 ጋር 111 1 . ቀጥታ AB 1 ከአውሮፕላን ጋር ይመሰርታሉ ኤሲሲ 1 ማዕዘን 45. የፕሪዝም መጠን ይፈልጉ. ( መልስ፡- 36)

14. ራዲየስን በማወቅ የመደበኛ ሶስት ማዕዘን ፕሪዝም ጠርዞችን አስሉ አርየተከበበ ሉል እና የማዕዘን አቅጣጫ α የዚህ ኳስ ራዲየስ ወደ ፕሪዝም ጫፍ፣ ይህንን ጫፍ ወደያዘው የጎን ፊት። ( መልስ፡- 2

)

15. ወደ ራዲየስ ኳስ አርየቀኝ ክብ ሾጣጣ ተቀርጿል. ቁመቱ ከሆነ የሾጣጣውን የጎን ገጽ ይፈልጉ ሸ . ( መልስ፡-

)

16. አንድ ሾጣጣ በሉል ውስጥ ተጽፏል. የኮንሱ አክሲያል መስቀለኛ ክፍል እኩል ነው። ኤስ. በከፍታው እና በጄነሬተር መካከል ያለው አንግል እኩል ነው α . የሉልውን መጠን ይፈልጉ። ( መልስ፡-

)

17. የራዲየስን ርዝመት በማወቅ የሾጣጣውን የጎን ገጽታ ይወስኑ አርበዙሪያው እና በማእዘኑ ዙሪያ ያለው ሉል α, ከኳሱ መሃል ላይ የሾጣጣው ጄኔሬተር በሚታየው ስር። ( መልስ፡-

)

18. በኳሱ ውስጥ የተቀረፀው የቀኝ ሾጣጣ አጠቃላይ ስፋት ሬሾን ወደዚህ ኳስ ወለል ስፋት ይፈልጉ ፣ በኮንሱ ዘንግ ክፍል ጫፍ ላይ ያለው አንግል እኩል ከሆነ። α እና

. ( መልስ፡-

)

19. ቁመቱ በአማካይ እና በጽንፈኛ ሬሾ ውስጥ በኳሱ መሃል እንዲከፋፈል ሾጣጣ በኳስ ውስጥ ተቀርጿል። በኮንሱ የአክሲያል ክፍል ጫፍ ላይ ያለውን አንግል ያግኙ. የሉል መጠን ምን ያህል ጊዜ ከኮን መጠን እንደሚበልጥ ይወስኑ። ( መልስ፡-

; 4 ጊዜ )

ምሳሌ 2.በመደበኛ የሶስት ማዕዘን ፒራሚድ ውስጥ, የመሠረቱ ጎን 5 ነው, እና የጎን የጎድን አጥንቶች በ 60 ማዕዘን ላይ ወደ መሰረቱ ያዘነብላሉ.ኦ. በፒራሚዱ ዙሪያ የተከበበውን የሉል ራዲየስ ያግኙ።

የፒራሚዱ ቁመት መሠረት የሶስት ማዕዘን መሃል ነው ኢቢሲ, ማለትም የሽምግሞቹ መገናኛ ነጥብ. ከዚያም፡-

CH= ST = CH= = = .

አሁን ትሪያንግልን አስቡበት ኤም.ኤን.ኤስ.እዚህ ጥግ ነው። MSNከ 60 ° ጋር እኩል ነው, በጎን ጠርዝ መካከል ያለው አንግል ወይዘሪትእና መሰረት ኢቢሲ. ጥግ ኤን.ኤም.ኤስእኩል ነው። 30. MO=OSእንደ ራዲየስ. ስለዚህ ትሪያንግል ነው። ኤም.ኦ.ኤስ isosceles. እንደምታውቁት, በ isosceles triangle ውስጥ, በመሠረቱ ላይ ያሉት ማዕዘኖች እኩል ናቸው. ስለዚህም እ.ኤ.አ.

OSM = የግዴታ የሕክምና መድን = 30, OSN = MSN - MCO = 60 - 30= 30.

ስርዓተ ክወና= = .

መልስ፡- ኦ.ሲ.= .

3.2 የUSE ተግባራት ምሳሌዎች ከፕሪዝም ጋር

ምሳሌ 1.የፕሪዝም መሠረት ጎኖች ያሉት ሶስት ማዕዘን ነውሀ, ለ, ሐ. የፕሪዝም ቁመትሸ(ምስል 25) የተከበበውን ሉል ራዲየስ ያግኙ።

መልስ፡-

ምሳሌ 2.የኳስ ራዲየስአር. ቁመት 2 መደበኛ n-gonal ፕሪዝም በሉል ውስጥ ተቀርጿል።ሸ(ምስል 26) የፕሪዝም መሰረቱን ጎን ያግኙ.

መፍትሄ።ፍቀድ ለ- የተከበበው ሉል መሃል። እና አለነ: ኬ.ቢ.= አር, እሺ= ሸ. ፍቀድ ኦ.ኤምAB, ከዚያም

ኦ.ቢ.=

(ከሦስት ማዕዘን እሺቢ).

ከሶስት ማዕዘን OMBእናገኛለን

ሀ= 2ኤም.ቢ.= 2ኦ.ቢ..

ስለዚህ፣ ሀ= .

መልስ፡- ሀ= .

3.3 የተዋሃዱ የስቴት ፈተና ስራዎች ምሳሌዎች ከሲሊንደር ጋር

ምሳሌ 1.የአንድ ክብ ሲሊንደር ቁመት ከመሠረቱ ራዲየስ 10 ይበልጣል, እና አጠቃላይ የቦታው ስፋት 144 ነው.. የተከበበውን ሉል ራዲየስ ያግኙ።

መፍትሄ።የተከበበ ሉል ራዲየስ

የሲሊንደር ወለል አካባቢ

ይህን አገላለጽ ቀለል አድርገን እንየው፡-

ኳድራቲክ እኩልታ እናገኛለን

የዚህን እኩልታ መሰረት እንፈልግ

ሥሩ ተስማሚ አይደለም ምክንያቱም አሉታዊ ነው. ቁመት

የተከበበውን ሉል ራዲየስ እንፈልግ፡-

መልስ፡- .

ምሳሌ 2.ቀጥ ያለ ክብ ቅርጽ ያለው ሲሊንደር በኳስ ውስጥ ተቀርጿል (ምሥል 28). ምን ያህል ጊዜ የሉል መጠን ከሲሊንደሩ መጠን ይበልጣል የሉል ራዲየስ ሬሾ ወደ ሲሊንደር መሠረት ራዲየስ ግማሽ ግማሽ ያህል እንደሆነ ከታወቀ. ሉል ወደ ሲሊንደር ላተራል ገጽ.

መፍትሄ።የአንድ ሉል መጠን ወደ የተቀረጸው ሲሊንደር መጠን ያለው ጥምርታ

እንደ ሁኔታው ይታወቃል

ተመጣጣኝ

የሉል እና የተቀረጸ ሲሊንደር መጠን ጥምርታ እንፈልግ

መልስ፡- 16:9.

3.4 የተዋሃዱ የስቴት ፈተና ስራዎች ምሳሌዎች ከኮን ጋር

ምሳሌ 1.የሾጣጣው መሠረት ዲያሜትር 6 ሜትር ነው ፣ ጄኔሬክተሩ በ 60 ° አንግል ላይ ወደ ጣቢያው አውሮፕላን ያዘነብላል (ምስል 29)። ስለ ሾጣጣው የተከበበውን የሉል ቦታ ይፈልጉ።

መፍትሄ።ፍቀድ ጋር -የኮንሱ ጫፍ ስለ -የመሠረቱ መሃል ፣ ዲያ -የሾጣጣው axial ክፍል. የሾጣጣው ጄኔሬተር በ 60 ° አንግል ላይ ወደ መሰረቱ አውሮፕላን ያጋደለ ስለሆነ እና COየሾጣጣው ቁመት, ከዚያም ቀጥታ መስመር ነው AB -ቀጥተኛ ትንበያ ኤስ.ኤወደ ሾጣጣው መሠረት አውሮፕላን ላይ. ስለዚህም እ.ኤ.አ. ታክሲከኮን ጄኔሬተር እና ከመሠረቱ ስፋት መካከል ካለው አንግል ጋር እኩል ነው። ለዛ ነው ካብ= 60 ° እና isosceles triangle ኢቢሲ -ትክክል. ያንን ተከትሎ ነው።

CA = AB = ዓክልበ= 6 ሚ.

ስለ ሾጣጣው የተከበበውን የሉል ማእከል አቀማመጥ እናገኝ. በእንደዚህ ዓይነት ሉል ፍቺ መሠረት የሾጣጣው መሠረት ዙሪያው የተከበበ የሉል ክፍል እና የሾጣጣው ጫፍ በዚህ ሉል ላይ ይተኛል ። በማንኛውም ክፍል መሃል ላይ በሚያልፈው የሉል ዲያሜትር ንብረቱ መሠረት ቀጥተኛ መስመር COወደ ሾጣጣው መሠረት አውሮፕላን እና ስለዚህ መሃሉ ላይ ቀጥ ያለ ስለከተከበበው ሉል ውስጥ 1ኛው ቀጥ ያለ መስመር ላይ ነው። CO.ማዕከሉን ይከተላል ስለ 1 ስለ ሾጣጣው የተከበበ ሉል ስለ አክሱል ክፍሉ የተከበበ የክበብ መሃል ነው።

በቀኝ ሶስት ማዕዘን ውስጥ

ኢቢሲአር= ኦ 1 ሲ= (ሜ)

ምሳሌ 3.አንድ ሾጣጣ በኳሱ ውስጥ ተቀርጿል, የጄነሬተር ማመንጫው ከመሠረቱ ዲያሜትር ጋር እኩል ነው (ምሥል 31). የኩሱን ወለል እና የኳሱ ወለል ሬሾን ያግኙ።

መፍትሄ።የኳሱን መሃከል የሚያልፈውን የሾጣጣውን ዘንግ ክፍል እናሳይ። የሾጣጣው መሠረት ዲያሜትር ከጄነሬተር ጋር እኩል ስለሆነ በክፍሉ ውስጥ በክበብ ውስጥ የተጻፈ መደበኛ ትሪያንግል እናገኛለን (ምሥል 31). የኳሱ ራዲየስ ይሁን አር: ከዚያም

AB= አር , ሀዲ =

የኮንዱን አጠቃላይ ገጽታ በ ኤስ 1, እና የኳሱ ገጽታ በኩል ኤስ 2. እና አለነ

የት ኤስ 1: ኤስ 2 = 9:16.

መልስ፡-ኤስ 1: ኤስ 2 = 9:16.

ማጠቃለያ

መጽሃፍ ቅዱስ

Abramovich M.I., Starodubtsev M.T. ሂሳብ (ጂኦሜትሪ እና ትሪግኖሜትሪክ ተግባራት)። የመማሪያ መጽሀፍ ለዩኒቨርሲቲዎች መሰናዶ ክፍሎች - M: ከፍተኛ ትምህርት ቤት, 1976. - 304 p.

ቮይቶቪች ኤፍ.ኤስ. የጂኦሜትሪክ አካላት ውህዶች፡ (የተቀረጹ እና የተከበቡ ሉሎች)፡ ለተማሪዎች መጽሐፍ። - ሚንስክ: ናሮድናያ አስቬታ, 1992. - 160 p.

Govorov V.M., Dybov P.T., Miroshin N.V. እና ሌሎች በሂሳብ ውስጥ ያሉ የውድድር ችግሮች ዝርዝር (ከዘዴ መመሪያዎች እና መፍትሄዎች)፡ የመማሪያ መጽሐፍ። - ሁለተኛ እትም - M: Nauka, 1986. - 384 p.

Denishcheva L.O., Bezrukova G.K., Boychenko E.M. እና ሌሎች የተዋሃደ የስቴት ፈተና, ሂሳብ, የመቆጣጠሪያ መለኪያ ቁሳቁሶች - M: ትምህርት 2005. - 80 p.

ዴኒሽቼቫ ሎ.ኦ., ግላዝኮቭ ዩ.ኤ., ክራስያንያንስካያ ኬ.ኤ. እና ሌሎች የተዋሃደ የስቴት ፈተና። ሒሳብ. ተማሪዎችን ለማዘጋጀት የትምህርት እና የስልጠና ቁሳቁሶች / FIPI - M: Intellect-Center, 2008. - 240 p.

ዶሮፊቭ ጂ.ቪ., ፖታፖቭ ኬ.ኤም., ሮዞቭ ኤን.ኬ. ወደ ዩኒቨርሲቲዎች ለሚገቡት የሂሳብ ማኑዋል - M: Nauka 1972. - 528 p.

Egerev V.K., Zaitsev V.V., Kordemsky B.A. እና ሌሎች 2500 በሂሳብ ውስጥ ያሉ ችግሮች ወደ ዩኒቨርሲቲዎች ለሚገቡ መፍትሄዎች: - M: LLC ማተሚያ ቤት "ONICS 21st ክፍለ ዘመን": LLC ማተሚያ ቤት "ዓለም እና ትምህርት", 2002. - 912 p.

Zvavich L.I., Ryazanovsky A.R. ጂኦሜትሪ በጠረጴዛዎች - M: Bustard 2007. - 128 p.

Klimin S.V., Strunkina T.V., Panteleeva E.I. እና ሌሎች የተዋሃደ የመንግስት ፈተና, የፈተና ተግባራት - M: ትምህርት 2002. - 24 p.

Modenov V.P., Dorofeev G.V., Novoselov S.I. እና ሌሎች የሂሳብ ማኑዋል - M: የሞስኮ ዩኒቨርሲቲ ማተሚያ ቤት, 1972. - 404 p.

Shuvalova E.Z., Kaplun V.I. ጂኦሜትሪ: ለዩኒቨርሲቲዎች መሰናዶ ክፍሎች የመማሪያ መጽሐፍ - M: ከፍተኛ ትምህርት ቤት, 1980. - 265 p.

http :// ኳንተም. መስታወት1. mccme. ru/ pdf/2000/06/ ኪ.ቪ0600 ሶሉት. pdf

http :// ru. wikipedia. org/ ዊኪ/% ዲ0%9 ኤፍ% ዲ0% BE% ዲ1%80% ዲ1%82% ዲ0% ለ0% ዲ0% ቢቢ:% ዲ0%9 ዲ% ዲ0% ለ0% ዲ1%83% ዲ0% ቢ.ኤ.% ዲ0% ለ0

rgp . nm. ru/ ጂኦሜትሪያ/ ፕራክቲካ11/ zadatcha119. html

መተግበሪያ. ለገለልተኛ መፍትሄ ተግባራት

በ 11 ኛ ክፍል የጂኦሜትሪ ኮርስ ውስጥ "በ polyhedra, ሲሊንደር, ኮን እና ኳስ ላይ ያሉ የተለያዩ ችግሮች" የሚለው ርዕስ በጣም አስቸጋሪው አንዱ ነው. የጂኦሜትሪክ ችግሮችን ከመፍታት በፊት ብዙውን ጊዜ ችግሮችን በሚፈታበት ጊዜ የሚጠቀሱትን ተዛማጅ የንድፈ ሃሳቦችን ክፍሎች ያጠናሉ. በኤስ አታናስያን እና ሌሎች በዚህ ርዕስ ላይ በመማሪያ መጽሃፍ ውስጥ (ገጽ 138) አንድ ሰው በአንድ ሉል ዙሪያ የተገለጸውን ፖሊሄድሮን ፣ በሉል ውስጥ የተቀረጸ ፖሊሄድሮን ፣ በ polyhedron እና በ polyhedron ውስጥ የተገለጸውን ሉል ትርጓሜዎች ብቻ ማግኘት ይችላሉ ። ፖሊሄድሮን. የዚህ የመማሪያ መጽሀፍ ዘዴያዊ ምክሮች ("የጂኦሜትሪ ጥናት ከ10-11ኛ ክፍል" የተሰኘውን መጽሐፍ ይመልከቱ S.M. Sahakyan እና V.F. Buttuzov, p. 159) ችግሮችን በሚፈታበት ጊዜ ምን ዓይነት አካላት ጥምረት እንደሚታሰብ ይናገራሉ 629-646 , እና ትኩረትን ይስባል. "አንድን የተወሰነ ችግር በሚፈታበት ጊዜ በመጀመሪያ ደረጃ ተማሪዎች በሁኔታው ላይ በተገለጹት የአካል ክፍሎች አንጻራዊ አቀማመጥ ላይ ጥሩ ግንዛቤ እንዲኖራቸው ማድረግ ያስፈልጋል." የሚከተለው የችግሮች መፍትሄ ቁጥር 638 (ሀ) እና ቁጥር 640 ነው.

ከላይ የተጠቀሱትን ሁሉ ግምት ውስጥ በማስገባት ለተማሪዎች በጣም አስቸጋሪ የሆኑ ችግሮች ኳስ ከሌሎች አካላት ጋር በማጣመር አግባብነት ያላቸውን የቲዎሬቲክ መርሆችን በስርዓት ማቀናጀት እና ለተማሪዎች ማሳወቅ ያስፈልጋል.

ፍቺዎች።

1. ኳስ በ polyhedron ውስጥ የተጻፈ ነው, እና የኳሱ ወለል ሁሉንም የ polyhedron ፊቶችን የሚነካ ከሆነ ፖሊሄድሮን በኳሱ ዙሪያ ይገለጻል.

2. የኳሱ ወለል በሁሉም የ polyhedron ጫፎች ውስጥ የሚያልፍ ከሆነ ኳስ ስለ ፖሊሄድሮን የተገረዘ እና በኳስ ውስጥ የተቀረፀ ፖሊሄድሮን ይባላል።

3. ኳስ በሲሊንደር ውስጥ ተቀርጿል፣ የተቆረጠ ሾጣጣ (ኮን)፣ እና ሲሊንደር፣ የተቆረጠ ሾጣጣ (ሾጣጣ) በኳሱ ዙሪያ ተቀርጿል የኳሱ ወለል መሰረቱን (መሰረቱን) እና ሁሉንም ከነካ። የሲሊንደሩ ጄኔሬተሮች, የተቆረጠ ሾጣጣ (ሾጣጣ).

(ከዚህ ፍቺ መረዳት እንደሚቻለው የኳሱ ታላቁ ክበብ በእነዚህ አካላት ውስጥ በማንኛውም የአክሲል ክፍል ውስጥ ሊቀረጽ ይችላል)።

4. ኳሱ በሲሊንደር፣ በተቆራረጠ ሾጣጣ (ሾጣጣ) ዙሪያ እንደሚከበብ ይነገራል፣ የመሠረቶቹ ክበቦች (ቤዝ ክብ እና አፕክስ) የኳሱ ወለል ከሆኑ።

(ከዚህ ትርጉም በመነሳት በእነዚህ አካላት ውስጥ በማንኛውም የአክሲል ክፍል ዙሪያ የኳሱ ትልቅ ክብ ክብ ሊገለጽ ይችላል)።

በኳሱ መሃል አቀማመጥ ላይ አጠቃላይ ማስታወሻዎች።

1. በ polyhedron ውስጥ የተቀረጸው የኳስ ማእከል በሁሉም የ polyhedron ማዕዘኖች የቢስክ አውሮፕላኖች መገናኛ ነጥብ ላይ ይገኛል. በ polyhedron ውስጥ ብቻ ነው የሚገኘው.

2. በፖሊሄድሮን ዙሪያ የተከበበው የኳስ መሃል በአውሮፕላኖች መገናኛ ነጥብ ላይ በሁሉም የ polyhedron ጠርዝ ላይ እና በመሃል ነጥቦቻቸው ውስጥ በማለፍ ላይ ይገኛል። ከውስጥ, በላይኛው ላይ ወይም ከ polyhedron ውጭ ሊገኝ ይችላል.

የሉል እና የፕሪዝም ጥምረት።

1. ቀጥ ያለ ፕሪዝም ውስጥ የተጻፈ ኳስ.

ቲዎሪ 1. አንድ ክበብ በፕሪዝም መሠረት ላይ መፃፍ ከተቻለ እና የክብደቱ ቁመት ከዚህ ክበብ ዲያሜትር ጋር እኩል ከሆነ አንድ ሉል ወደ ቀጥታ ፕሪዝም ሊፃፍ ይችላል።

ማብራሪያ 1.በቀኝ ፕሪዝም ውስጥ የተቀረጸው የሉል ማእከል በመሠረቱ ውስጥ በተቀረጸው ክበብ መሃል በሚያልፈው የፕሪዝም ከፍታ መሃል ላይ ይገኛል።

ማብራሪያ 2.ኳስ, በተለይም, ቀጥታ መስመሮች ውስጥ ሊቀረጽ ይችላል-ሶስት ማዕዘን, መደበኛ, አራት ማዕዘን (የመሠረቱ ተቃራኒ ጎኖች ድምሮች እርስ በርስ እኩል ናቸው) በ H = 2r, H - የከፍታ ቁመት. ፕሪዝም, r በመሠረቱ ውስጥ የተቀረጸው የክበብ ራዲየስ ነው.

2. ስለ ፕሪዝም የተከበበ ሉል።

ቲዎሪ 2. አንድ ሉል በፕሪዝም ዙሪያ ሊገለጽ የሚችለው እና ፕሪዝም ቀጥ ያለ ከሆነ እና አንድ ክበብ በመሠረቱ ዙሪያ ሊገለጽ ይችላል።

ማብራሪያ 1. ስለ አንድ ቀጥ ያለ ፕሪዝም የተከበበው የሉል ማእከል በግርጌው ዙሪያ በተከበበው ክበብ መሃል በተሳለው የፕሪዝም ቁመት መሃል ላይ ይገኛል።

ማብራሪያ 2.ኳስ ፣ በተለይም ፣ ሊገለጽ ይችላል-በቀኝ ባለ ሦስት ማዕዘን ፕሪዝም ፣ በመደበኛ ፕሪዝም አቅራቢያ ፣ አራት ማዕዘን ቅርፅ ያለው ትይዩ ፣ በቀኝ ባለ አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ፕሪዝም አቅራቢያ ፣ የመሠረቱ ተቃራኒ ማዕዘኖች ድምር ከ 180 ዲግሪ ጋር እኩል ነው።

ከ L.S. Atanasyan የመማሪያ መጽሀፍ ውስጥ ችግሮች ቁጥር 632, 633, 634, 637 (a), 639 (a,b) ለኳስ እና ለፕሪዝም ጥምረት ሊጠቁሙ ይችላሉ.

ኳስ ከፒራሚድ ጋር ጥምረት።

1. ከፒራሚድ አጠገብ የተገለጸ ኳስ።

ቲዎሪ 3. አንድ ኳስ በፒራሚድ ዙሪያ ሊገለጽ የሚችለው ክብ በመሰረቱ ዙሪያ ሊገለጽ የሚችል ከሆነ ብቻ ነው።

ማብራሪያ 1.ስለ ፒራሚድ የተከበበው የሉል ማእከል በዚህ መሠረት በተከበበው ክበብ መሃል በሚያልፈው የፒራሚድ ግርጌ ቀጥ ያለ መስመር መገናኛ ነጥብ ላይ ይተኛል እና በመሃል በኩል ወደ ማንኛውም የጎን ጠርዝ ቀጥ ያለ አውሮፕላን። ይህ ጠርዝ.

ማብራሪያ 2.የፒራሚዱ የጎን ጠርዞች እርስ በእርሳቸው እኩል ከሆኑ (ወይም ከመሠረቱ አውሮፕላን ጋር እኩል ከሆነ) በእንደዚህ ዓይነት ፒራሚድ ዙሪያ ኳስ ሊገለፅ ይችላል ። በዚህ ሁኔታ ውስጥ የዚህ ኳስ መሃል የሚገኘው በመገናኛው ቦታ ላይ ነው ። የፒራሚዱ ቁመት (ወይም ማራዘሚያው) ከሲሜትሪ ዘንግ ጋር የጎን ጠርዝ በአውሮፕላን የጎን ጠርዝ እና ከፍታ ላይ ተኝቷል።

ማብራሪያ 3.ኳስ በተለይም ሊገለጽ ይችላል-በሶስት ማዕዘን ፒራሚድ አቅራቢያ ፣ በመደበኛ ፒራሚድ አቅራቢያ ፣ ባለ አራት ማዕዘን ቅርፅ ያለው ፒራሚድ አጠገብ ፣ የተቃራኒ ማዕዘኖች ድምር 180 ዲግሪ።

2. በፒራሚድ ውስጥ የተጻፈ ኳስ.

ቲዎሪ 4. የፒራሚዱ የጎን ፊቶች ወደ መሠረቱ እኩል ከሆነ ፣ በእንደዚህ ዓይነት ፒራሚድ ውስጥ ኳስ ሊፃፍ ይችላል።

ማብራሪያ 1.በፒራሚድ ውስጥ የተቀረጸው የኳስ ማእከል የጎን ፊቶች ወደ መሰረቱ እኩል ያጋደለ የፒራሚዱ ቁመት መገናኛ ነጥብ ላይ በፒራሚድ ግርጌ ላይ የየትኛውም የዲህድራል አንግል መስመራዊ አንግል ባለ ሁለት ጎን ነው ። ከነሱ ውስጥ ከፒራሚዱ አናት ላይ የተዘረጋው የጎን ፊት ቁመት.

ማብራሪያ 2.ኳሱን ወደ መደበኛው ፒራሚድ ማስገባት ይችላሉ።

ከ L.S. Atanasyan የመማሪያ መጽሀፍ ላይ ችግሮች ቁጥር 635, 637 (ለ), 638, 639 (c), 640, 641 ኳስ ከፒራሚድ ጋር ለማጣመር ሊጠቁሙ ይችላሉ.

ከተቆረጠ ፒራሚድ ጋር ኳስ ጥምረት።

1. ስለ መደበኛው የተቆራረጠ ፒራሚድ የተከበበ ኳስ።

ቲዎሪ 5. በማንኛውም መደበኛ የተቆረጠ ፒራሚድ ዙሪያ ሉል ሊገለጽ ይችላል። (ይህ ሁኔታ በቂ ነው, ግን አስፈላጊ አይደለም)

2. በመደበኛ የተቆረጠ ፒራሚድ ውስጥ የተጻፈ ኳስ።

ቲዎሪ 6. የፒራሚዱ አፖሆም ከመሠረቶቹ አፖሆሞች ድምር ጋር እኩል ከሆነ ብቻ ኳስ በመደበኛ የተቆረጠ ፒራሚድ ውስጥ ሊቀረጽ ይችላል።

በኤል.ኤስ. አታናስያን የመማሪያ መጽሀፍ (ቁጥር 636) ውስጥ ኳስ ከተቆረጠ ፒራሚድ ጋር ለመዋሃድ አንድ ችግር ብቻ ነው.

ከክብ አካላት ጋር ኳስ ጥምረት።

ቲዎሪ 7. ሉል በሲሊንደር ፣ በተቆረጠ ሾጣጣ (ቀጥ ያለ ክብ) ወይም ኮን ዙሪያ ሊገለጽ ይችላል።

ቲዎሪ 8. ሲሊንደር እኩል ከሆነ ብቻ ኳስ ወደ (ቀጥ ያለ ክብ) ሲሊንደር ውስጥ ሊቀረጽ ይችላል።

ቲዎሪ 9. ኳስ በማንኛውም ሾጣጣ (ቀጥ ያለ ክብ) ውስጥ ማስገባት ትችላለህ.

ቲዎሪ 10. ጄነሬተሩ ከመሠረቶቹ ራዲየስ ድምር ጋር እኩል ከሆነ ኳስ በተቆረጠ ሾጣጣ (ቀጥ ያለ ክብ) ውስጥ ሊቀረጽ ይችላል።

ከ L.S. Atanasyan የመማሪያ መጽሃፍ ላይ ችግሮች ቁጥር 642, 643, 644, 645, 646 ኳስ ከክብ አካላት ጋር ለማጣመር ሊጠቁሙ ይችላሉ.

በዚህ ርዕስ ላይ ያለውን ጽሑፍ የበለጠ በተሳካ ሁኔታ ለማጥናት በትምህርቶቹ ውስጥ የቃል ሥራዎችን ማካተት አስፈላጊ ነው-

1. የኩባው ጠርዝ ከኤ ጋር እኩል ነው. የኳሶቹን ራዲየስ ይፈልጉ: በኩብ ውስጥ የተቀረጸ እና በዙሪያው የተከበበ ነው. (r = a/2, R = a3).

2. በዙሪያው ያለውን ሉል (ኳስ) መግለፅ ይቻላልን: ሀ) ኩብ; ለ) አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ትይዩ; ሐ) ከሥሩ አራት ማዕዘን ያለው ዘንበል ያለ ትይዩ; መ) ቀጥ ያለ ትይዩ; ሠ) ዝንባሌ ያለው ትይዩ? (ሀ) አዎ; ለ) አዎ; ሐ) አይደለም; መ) አይደለም; መ) አይ)

3. እውነት ነው ሉል በየትኛውም የሶስት ማዕዘን ፒራሚድ ዙሪያ ሊገለጽ ይችላል? (አዎ)

4. በማንኛውም ባለአራት ማዕዘን ፒራሚድ ዙሪያ ያለውን ሉል መግለጽ ይቻላል? (አይ፣ ከማንኛውም ባለአራት ማዕዘን ፒራሚድ አጠገብ አይደለም)

5. በዙሪያው ያለውን ሉል ለመግለጽ ፒራሚድ ምን ንብረቶች ሊኖረው ይገባል? (በሥሩ ላይ አንድ ክበብ ሊገለጽ የሚችልበት ፖሊጎን መኖር አለበት)

6. ፒራሚድ በአንድ ሉል ውስጥ ተቀርጿል, የጎን ጠርዝ ከመሠረቱ ጋር ቀጥ ያለ ነው. የሉል ማእከልን እንዴት ማግኘት ይቻላል? (የሉል መሃል ቦታ ላይ የሁለት ጂኦሜትሪ ሎሲ ነጥቦች መገናኛ ነጥብ ነው። የመጀመሪያው ወደ ፒራሚዱ መሠረት አውሮፕላን፣ በዙሪያው በተከበበው ክብ መሃል ላይ ቀጥ ያለ አቅጣጫ ይሳባል። ሁለተኛው አውሮፕላን ነው። ከተወሰነ የጎን ጠርዝ ጋር ቀጥ ያለ እና በመሃል በኩል ይሳሉ)

7. በፕሪዝም ዙሪያ ያለውን ሉል በምን አይነት ሁኔታዎች መግለጽ ይችላሉ, በእሱ ስር ትራፔዞይድ ነው? (በመጀመሪያ ፣ ፕሪዝም ቀጥ ያለ መሆን አለበት ፣ ሁለተኛም ፣ ትራፔዞይድ ኢሶሴሌስ መሆን አለበት ፣ ስለዚህም በዙሪያው አንድ ክበብ ሊገለጽ ይችላል)

8. በዙሪያው ያለውን ሉል ለመግለጽ ፕሪዝም ምን ሁኔታዎችን ማሟላት አለበት? (ፕሪዝም ቀጥ ያለ መሆን አለበት ፣ እና መሰረቱ ክብ የሚገለጽበት ፖሊጎን መሆን አለበት)

9. አንድ ሉል በሶስት ማዕዘን ፕሪዝም ዙሪያ ይገለጻል, መሃሉ ከፕሪዝም ውጭ ነው. የፕሪዝም መሠረት የትኛው ትሪያንግል ነው? (Otusese triangle)

10. በተዘበራረቀ ፕሪዝም ዙሪያ ያለውን ሉል መግለፅ ይቻላል? (አትችልም)

11. በቀኝ ሦስት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ፕሪዝም የተከበበው የሉል መሃል በምን ዓይነት ሁኔታ ውስጥ ነው በአንደኛው የፕሪዝም ላተራል ፊቶች ላይ? (መሠረቱ ትክክለኛ ሶስት ማዕዘን ነው)

12. የፒራሚዱ መሰረት ኢሶሴሌስ ትራፔዞይድ ነው፡ የፒራሚዱ የላይኛው ክፍል ከሥሩ አውሮፕላኑ ላይ ያለው orthogonal ትንበያ ከትራፔዞይድ ውጭ የሚገኝ ነጥብ ነው። በእንደዚህ ዓይነት ትራፔዞይድ ዙሪያ ያለውን ሉል መግለጽ ይቻላል? (አዎ ይችላሉ. የፒራሚድ አናት ላይ ያለው orthogonal ትንበያ ከመሠረቱ ውጭ መገኘቱ ምንም ለውጥ አያመጣም. በፒራሚዱ መሠረት ላይ ኢሶስሴል ትራፔዞይድ መኖሩ አስፈላጊ ነው - አንድ ክበብ ሊሆን የሚችልበት ፖሊጎን ዙሪያ ተገልጿል)

13. በመደበኛ ፒራሚድ አቅራቢያ አንድ ሉል ይገለጻል. ማዕከሉ ከፒራሚዱ አካላት አንፃር እንዴት ይገኛል? (የሉሉ መሃከል በማዕከሉ በኩል ወደ መሰረቱ አውሮፕላን በተሳለ ቀጥ ያለ ነው)

14. በቀኝ ባለ ሶስት ማዕዘን ፕሪዝም ዙሪያ የተገለጸው የሉል ማእከል በምን አይነት ሁኔታ ላይ ነው፡ ሀ) በፕሪዝም ውስጥ; ለ) ከፕሪዝም ውጭ? (በፕሪዝም መሠረት: ሀ) አጣዳፊ ትሪያንግል; ለ) ግልጽ ያልሆነ ሶስት ማዕዘን)

15. ጠርዙ 1 ዲኤም ፣ 2 ዲኤም እና 2 ዲኤም በሆነ አራት ማዕዘን ቅርፅ ባለው ትይዩ ዙሪያ አንድ ሉል ተብራርቷል። የሉል ራዲየስን አስሉ. (1.5 ዲኤም)

16. ሉል በየትኛው የተቆረጠ ሾጣጣ ሊገባ ይችላል? (በተቆረጠ ሾጣጣ ውስጥ አንድ ክበብ ሊፃፍበት ወደሚችልበት ዘንግ ክፍል ውስጥ። የሾጣጣው መሠረት ራዲየስ ድምር ከጄነሬተር ጋር እኩል መሆን አለበት)

17. ሉል በተቆራረጠ ሾጣጣ ውስጥ ተጽፏል. የሾጣጣው ጄኔሬቲክስ ከሉል መሃከል በየትኛው አንግል ይታያል? (90 ዲግሪ)

18. ሉል በውስጡ እንዲቀረጽበት ቀጥ ያለ ፕሪዝም ምን ንብረት ሊኖረው ይገባል? (በመጀመሪያ ፣ በቀጥተኛ ፕሪዝም መሠረት አንድ ክበብ የሚፃፍበት ፖሊጎን መኖር አለበት ፣ እና በሁለተኛ ደረጃ ፣ የፕሪዝም ቁመቱ በመሠረቱ ውስጥ ከተፃፈው ክበብ ዲያሜትር ጋር እኩል መሆን አለበት)

19. ከሉል ጋር የማይጣጣም የፒራሚድ ምሳሌ ስጥ? (ለምሳሌ አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ፒራሚድ ከግርጌው ላይ አራት ማዕዘን ወይም ትይዩ)

20. በቀጥተኛ ፕሪዝም መሠረት ላይ ራምቡስ ነው. በዚህ ፕሪዝም ውስጥ ሉል መግጠም ይቻላል? (አይ፣ የማይቻል ነው፣ ምክንያቱም በአጠቃላይ በሮምበስ ዙሪያ ያለውን ክብ መግለጽ አይቻልም)

21. ሉል ወደ ቀኝ ሦስት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ፕሪዝም በየትኛው ሁኔታ ሊቀረጽ ይችላል? (የፕሪዝም ቁመቱ ከሥሩ የተቀረጸው የክበብ ራዲየስ ሁለት ጊዜ ከሆነ)

22. ሉል በመደበኛ ባለአራት ማዕዘን ቅርጽ በተቆራረጠ ፒራሚድ ውስጥ በየትኛው ሁኔታ ሊፃፍ ይችላል? (የተሰጠው ፒራሚድ መስቀለኛ ክፍል ከመሠረቱ ጎን መሃል ላይ የሚያልፈው አውሮፕላን ከሆነ ፣ እሱ ክበብ የሚፃፍበት isosceles trapezoid ነው)

23. ሉል በሶስት ማዕዘን ቅርጽ በተቆራረጠ ፒራሚድ ውስጥ ተጽፏል። የሉል መሃል የትኛው የፒራሚድ ነጥብ ነው? (በዚህ ፒራሚድ ውስጥ የተቀረፀው የሉል ማእከል ከመሠረቱ ጋር በፒራሚዱ የጎን ፊቶች በተፈጠሩት የሶስት የሁለትዮሽ አውሮፕላኖች መገናኛ ላይ ነው)

24. በሲሊንደር (በቀኝ ክብ) ዙሪያ ያለውን ሉል መግለፅ ይቻላል? (አዎ ይችላሉ)

25. በሾጣጣ, በተቆራረጠ ሾጣጣ (ቀጥ ያለ ክብ) ዙሪያ ያለውን ሉል መግለፅ ይቻላል? (አዎ፣ ትችላለህ፣ በሁለቱም ሁኔታዎች)

26. ሉል በማንኛውም ሲሊንደር ውስጥ መፃፍ ይቻላል? አንድ ሲሊንደር በውስጡ ሉል ለመግጠም ምን ንብረቶች ሊኖረው ይገባል? (አይ ፣ ሁል ጊዜ አይደለም ፣ የሲሊንደር ዘንግ ክፍል ካሬ መሆን አለበት)

27. ሉል በማንኛውም ሾጣጣ ውስጥ ሊፃፍ ይችላል? በኮን ውስጥ የተቀረጸውን የሉል ማእከል ቦታ እንዴት እንደሚወሰን? (አዎ፣ በፍጹም። የተቀረጸው የሉል ማእከል በኮንሱ ከፍታ እና የጄኔሬክተሩ አቅጣጫ ወደ መሰረቱ አውሮፕላን የቢሴክተር ማዕዘኑ መገናኛ ላይ ነው።)

ደራሲው "በ polyhedra, ሲሊንደር, ኮን እና ኳስ ላይ ያሉ የተለያዩ ችግሮች" በሚለው ርዕስ ላይ ከሦስቱ የእቅድ ትምህርቶች መካከል ኳስን ከሌሎች አካላት ጋር በማጣመር ችግሮችን ለመፍታት ሁለት ትምህርቶችን መስጠት ተገቢ ነው. በክፍል ውስጥ በቂ ጊዜ ባለመኖሩ ከላይ የተጠቀሱትን ንድፈ ሃሳቦች ማረጋገጥ አይመከርም. ለዚህም በቂ ክህሎት ያላቸውን ተማሪዎች የማረጋገጫውን ኮርስ ወይም እቅድ በማመልከት (በአስተማሪው ውሳኔ) እንዲያረጋግጡ መጋበዝ ይችላሉ።