የ Gaussian ዘዴን በመጠቀም የመስመራዊ እኩልታዎችን ስርዓት መፍታት። በመስመራዊ ፕሮግራሚንግ የጆርዳኖ-ጋውስ ዘዴን መተግበር

በዚህ ጽሑፍ ውስጥ, ዘዴው የመስመሮች እኩልታዎች (SLAEs) ስርዓቶችን ለመፍታት እንደ ዘዴ ይቆጠራል. ዘዴው ትንታኔ ነው ፣ ማለትም ፣ የመፍትሄው ስልተ ቀመር በአጠቃላይ ቅፅ ውስጥ እንዲጽፉ እና ከዚያ ከተወሰኑ ምሳሌዎች ውስጥ እሴቶችን እንዲተኩ ያስችልዎታል። ከማትሪክስ ዘዴ ወይም ክሬመር ቀመሮች በተለየ የጋውስ ዘዴን በመጠቀም የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓትን ሲፈቱ ወሰን የለሽ የመፍትሄዎች ብዛት ካላቸው ጋር መስራት ይችላሉ። ወይም ጨርሶ የላቸውም።

የ Gaussian ዘዴን በመጠቀም መፍታት ማለት ምን ማለት ነው?

በመጀመሪያ የኛን የእኩልታዎች ስርዓት በዚህ ውስጥ መፃፍ አለብን። ስርዓቱን ይውሰዱ;

ቅንጅቶቹ በሠንጠረዥ መልክ የተጻፉ ናቸው, እና ነፃ ቃላቶቹ በቀኝ በኩል በተለየ አምድ ውስጥ ተጽፈዋል. ነፃ ቃላት ያለው አምድ ለምቾት ተለያይቷል።ይህን አምድ የሚያካትተው ማትሪክስ የተራዘመ ይባላል።

በመቀጠሌ ከኮፊፊፊፌቲቭ ጋር ዋናው ማትሪክስ ወዯ ላሊ ሶስት ማዕዘን ቅፅ መቀነስ አሇበት። ይህ የ Gaussian ዘዴን በመጠቀም ስርዓቱን የመፍታት ዋና ነጥብ ነው. በቀላል አነጋገር ፣ ከተወሰኑ ማጭበርበሮች በኋላ ፣ ማትሪክስ የታችኛው የግራ ክፍል ዜሮዎችን ብቻ እንዲይዝ ማትሪክስ መታየት አለበት ።

ከዚያም አዲሱን ማትሪክስ እንደ እኩልታዎች ስርዓት እንደገና ከጻፉት, የመጨረሻው ረድፍ ቀድሞውኑ የአንደኛውን ሥሮቹን ዋጋ እንደያዘ ያስተውላሉ, ከዚያም ከላይ ባለው ቀመር ውስጥ ተተክተዋል, ሌላ ሥር ተገኝቷል, ወዘተ.

ይህ በጋውሲያን ዘዴ የመፍትሄው መግለጫ በጣም አጠቃላይ በሆነ መልኩ ነው. በድንገት ስርዓቱ ምንም መፍትሄ ከሌለው ምን ይሆናል? ወይስ ከነሱ ውስጥ እጅግ በጣም ብዙ ናቸው? እነዚህን እና ሌሎች በርካታ ጥያቄዎችን ለመመለስ የጋውሲያን ዘዴን ለመፍታት ጥቅም ላይ የዋሉትን ሁሉንም ንጥረ ነገሮች ለየብቻ ማጤን ያስፈልጋል።

ማትሪክስ ፣ ባህሪያቸው

በማትሪክስ ውስጥ ምንም የተደበቀ ትርጉም የለም. ይህ በቀላሉ ለቀጣይ ስራዎች መረጃን ከእሱ ጋር ለመመዝገብ ምቹ መንገድ ነው. የትምህርት ቤት ልጆችም እንኳ እነሱን መፍራት አያስፈልጋቸውም።

ማትሪክስ ሁል ጊዜ አራት ማዕዘን ነው, ምክንያቱም የበለጠ ምቹ ነው. በ Gauss ዘዴ ውስጥ እንኳን, ሁሉም ነገር የሶስት ማዕዘን ቅርጽ ማትሪክስ ለመገንባት በሚወርድበት ጊዜ, በመግቢያው ውስጥ አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው, ምንም ቁጥሮች በሌሉበት ቦታ ዜሮዎች ብቻ ይታያሉ. ዜሮዎች ላይጻፉ ይችላሉ ነገር ግን በተዘዋዋሪ የተገለጹ ናቸው።

ማትሪክስ መጠኑ አለው. የእሱ "ስፋት" የረድፎች ቁጥር (m) ነው, "ርዝመቱ" የአምዶች ቁጥር (n) ነው. ከዚያም የማትሪክስ A መጠን (ካፒታል የላቲን ፊደላት አብዛኛውን ጊዜ እነሱን ለማመልከት ጥቅም ላይ ይውላሉ) A m×n ተብሎ ይገለጻል። m = n ከሆነ ይህ ማትሪክስ ካሬ ነው ፣ እና m = n የእሱ ቅደም ተከተል ነው። በዚህ መሠረት ማንኛውም የማትሪክስ ኤ አካል በረድፍ እና አምድ ቁጥሮች ሊገለጽ ይችላል: a xy; x - የረድፍ ቁጥር, ለውጦች, y - የአምድ ቁጥር, ለውጦች.

B የውሳኔው ዋና ነጥብ አይደለም. በመርህ ደረጃ, ሁሉም ክዋኔዎች ከራሳቸው እኩልታዎች ጋር በቀጥታ ሊከናወኑ ይችላሉ, ነገር ግን ማስታወሻው በጣም አስቸጋሪ ይሆናል, እና በእሱ ውስጥ ግራ መጋባት በጣም ቀላል ይሆናል.

ቆራጥ

ማትሪክስ መወሰኛም አለው። ይህ በጣም ጠቃሚ ባህሪ ነው. ትርጉሙን አሁን መፈለግ አያስፈልግም ፣ በቀላሉ እንዴት እንደሚሰላ ማሳየት እና ከዚያ ምን ዓይነት የማትሪክስ ባህሪዎች እንደሚወስን ይንገሩ። ወሳኙን ለማግኘት ቀላሉ መንገድ በዲያግራኖች በኩል ነው። ምናባዊ ዲያግራኖች በማትሪክስ ውስጥ ይሳሉ; በእያንዳንዳቸው ላይ የሚገኙት ንጥረ ነገሮች ተባዝተዋል ፣ ከዚያ የተገኙት ምርቶች ተጨምረዋል-ዲያግራኖች ወደ ቀኝ ተዳፋት - ከመደመር ምልክት ጋር ፣ በግራ በኩል ካለው ቁልቁል - ከተቀነሰ ምልክት ጋር።

መወሰኛው ሊሰላ የሚችለው ለካሬ ማትሪክስ ብቻ መሆኑን መገንዘብ በጣም አስፈላጊ ነው. ለአራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ማትሪክስ የሚከተሉትን ማድረግ ይችላሉ-ከረድፎች ብዛት እና ከአምዶች ብዛት ትንሹን ይምረጡ (k ይሁን) እና ከዚያ በዘፈቀደ በማትሪክስ ውስጥ k አምዶችን እና k ረድፎችን ምልክት ያድርጉ። በተመረጡት አምዶች እና ረድፎች መገናኛ ላይ ያሉት ንጥረ ነገሮች አዲስ ካሬ ማትሪክስ ይፈጥራሉ። የእንደዚህ አይነት ማትሪክስ ወሳኙ ዜሮ ያልሆነ ቁጥር ከሆነ ፣ እሱ የዋናው አራት ማዕዘን ማትሪክስ መሠረት አነስተኛ ይባላል።

የ Gaussian ዘዴን በመጠቀም የእኩልታዎችን ስርዓት መፍታት ከመጀመርዎ በፊት, ወሳኙን ማስላት አይጎዳውም. ዜሮ ሆኖ ከተገኘ ወዲያውኑ ማትሪክስ ማለቂያ የሌለው የመፍትሄዎች ብዛት አለው ወይም ምንም የለውም ማለት እንችላለን። በእንደዚህ አይነት አሳዛኝ ሁኔታ, የበለጠ መሄድ እና ስለ ማትሪክስ ደረጃ ማወቅ ያስፈልግዎታል.

የስርዓት ምደባ

እንደ ማትሪክስ ደረጃ ያለ ነገር አለ. ይህ ዜሮ ያልሆነው የመወሰን ከፍተኛው ቅደም ተከተል ነው (ስለ ትንሹ መሠረት ካስታወስን ፣ የማትሪክስ ደረጃ የመሠረታዊ ጥቃቅን ቅደም ተከተል ነው ማለት እንችላለን)።

በደረጃው ሁኔታ ላይ በመመስረት SLAE በሚከተሉት ሊከፈል ይችላል-

• መገጣጠሚያ ዩበመገጣጠሚያ ስርዓቶች ውስጥ የዋናው ማትሪክስ ደረጃ (የተዋሃደ ጥምርታዎችን ብቻ የያዘ) ከተራዘመ ማትሪክስ ደረጃ (ከነፃ ቃላት አምድ ጋር) ጋር ይዛመዳል። እንደነዚህ ያሉት ስርዓቶች መፍትሄ አላቸው ፣ ግን የግድ አንድ አይደሉም ፣ ስለሆነም በተጨማሪ የጋራ ስርዓቶች በሚከተሉት ይከፈላሉ ።
• - የተወሰነ- አንድ ነጠላ መፍትሔ. በተወሰኑ ስርዓቶች ውስጥ የማትሪክስ ደረጃ እና የማይታወቁ (ወይም የአምዶች ብዛት, ተመሳሳይ ነገር) እኩል ናቸው;
• - ያልተገለጸ -ማለቂያ በሌለው የመፍትሄዎች ብዛት። በእንደዚህ ያሉ ስርዓቶች ውስጥ የማትሪክስ ደረጃ ከማይታወቁት ቁጥር ያነሰ ነው.
• የማይጣጣም ዩበእንደዚህ ዓይነት ስርዓቶች ውስጥ የዋና እና የተራዘመ ማትሪክስ ደረጃዎች አይጣጣሙም. የማይጣጣሙ ስርዓቶች ምንም መፍትሄ የላቸውም.

የጋውስ ዘዴ ጥሩ ነው ምክንያቱም በመፍትሔው ጊዜ አንድ ሰው የስርዓቱን አለመመጣጠን (የትላልቅ ማትሪክስ መለኪያዎችን ሳያሰላ) የማያሻማ ማረጋገጫ እንዲያገኝ ያስችለዋል ፣ ወይም በአጠቃላይ መፍትሄ ወሰን የለሽ መፍትሄዎች ብዛት ላለው ስርዓት።

የመጀመሪያ ደረጃ ለውጦች

ስርዓቱን ለመፍታት በቀጥታ ከመቀጠልዎ በፊት, ትንሽ አስቸጋሪ እና ለስሌቶች የበለጠ ምቹ እንዲሆን ማድረግ ይችላሉ. ይህ በአንደኛ ደረጃ ትራንስፎርሜሽን አማካኝነት የተገኘ ነው - የእነሱ ትግበራ በምንም መልኩ የመጨረሻውን መልስ አይለውጥም. አንዳንድ የተሰጡት የአንደኛ ደረጃ ትራንስፎርሜሽን ማትሪክስ ብቻ የሚሠሩ መሆናቸውን ልብ ሊባል ይገባል, ምንጩ SLAE ነበር. የእነዚህ ለውጦች ዝርዝር ይኸውና፡-

1. መስመሮችን እንደገና ማስተካከል. በግልጽ ለማየት እንደሚቻለው, በስርዓቱ መዝገብ ውስጥ የእኩልታዎችን ቅደም ተከተል ከቀየሩ, ይህ በምንም መልኩ መፍትሄውን አይጎዳውም. በዚህ ምክንያት ፣ በዚህ ስርዓት ማትሪክስ ውስጥ ያሉ ረድፎች እንዲሁ ሊለዋወጡ ይችላሉ ፣ በእርግጥ የነፃ ቃላትን አምድ አይረሱም።
2. የሕብረቁምፊውን ሁሉንም ንጥረ ነገሮች በተወሰነ ቅንጅት ማባዛት። በጣም አጋዥ! በማትሪክስ ውስጥ ብዙ ቁጥሮችን ለመቀነስ ወይም ዜሮዎችን ለማስወገድ ጥቅም ላይ ሊውል ይችላል. ብዙ ውሳኔዎች, እንደተለመደው, አይለወጡም, ነገር ግን ተጨማሪ ክዋኔዎች የበለጠ አመቺ ይሆናሉ. ዋናው ነገር ቅንጅቱ ከዜሮ ጋር እኩል አይደለም.
3. ረድፎችን በተመጣጣኝ ምክንያቶች በማስወገድ ላይ። ይህ በከፊል ካለፈው አንቀፅ ውስጥ ይከተላል. በማትሪክስ ውስጥ ሁለት ወይም ከዚያ በላይ ረድፎች ተመጣጣኝ ውህዶች ካላቸው፣ አንደኛው ረድፎች በተመጣጣኝ መጠን ሲባዙ/ሲካፈሉ፣ ሁለት (ወይም፣ እንደገና፣ ተጨማሪ) ፍፁም ተመሳሳይ ረድፎች ይገኛሉ፣ እና ተጨማሪዎቹ ሊወገዱ እና ሊወጡ ይችላሉ። አንድ ብቻ.
4. ባዶ መስመርን በማስወገድ ላይ። በለውጡ ወቅት አንድ ረድፍ ከተገኘ ነፃውን ቃል ጨምሮ ሁሉም ንጥረ ነገሮች ዜሮ ከሆኑ ታዲያ እንዲህ ዓይነቱ ረድፍ ዜሮ ተብሎ ሊጠራ እና ከማትሪክስ ውስጥ መጣል ይችላል።
5. በአንድ ረድፍ አካላት ላይ የሌላውን ንጥረ ነገሮች መጨመር (በተዛማጅ አምዶች ውስጥ) ፣ በተወሰነ መጠን ተባዝቷል። ከሁሉም የበለጠ ግልጽ ያልሆነ እና በጣም አስፈላጊው ለውጥ. በእሱ ላይ የበለጠ በዝርዝር መቀመጥ ተገቢ ነው.

ሕብረቁምፊ ማከል በፋክታር ተባዝቷል።

ለግንዛቤ ቀላልነት ይህን ሂደት ደረጃ በደረጃ ማፍረስ ተገቢ ነው። ሁለት ረድፎች ከማትሪክስ ተወስደዋል፡-

a 11 a 12 ... a 1n | ለ1

a 21 a 22 ... a 2n | ለ 2

የመጀመሪያውን ወደ ሁለተኛው መጨመር ያስፈልግዎታል እንበል, በ "-2" ኮፊሸን ተባዝቷል.

a" 21 = a 21 + -2×a 11

a" 22 = a 22 + -2×a 12

a" 2n = a 2n + -2×a 1n

ከዚያም በማትሪክስ ውስጥ ያለው ሁለተኛው ረድፍ በአዲስ ይተካል, እና የመጀመሪያው ሳይለወጥ ይቆያል.

a 11 a 12 ... a 1n | ለ1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

ሁለት ረድፎችን በመጨመር ምክንያት የማባዛት ቅንጅት ሊመረጥ እንደሚችል ልብ ሊባል ይገባል ፣ ከአዲሱ ረድፍ አካላት ውስጥ አንዱ ከዜሮ ጋር እኩል ነው። ስለዚህ, አንድ ያነሰ የማይታወቅ በሚኖርበት ስርዓት ውስጥ እኩልታ ማግኘት ይቻላል. እና ሁለት እንደዚህ ያሉ እኩልታዎችን ካገኙ, ክዋኔው እንደገና ሊከናወን ይችላል እና ሁለት ያነሱ የማይታወቁ ነገሮችን የያዘ እኩልታ ያግኙ. እና በእያንዳንዱ ጊዜ ከመጀመሪያዎቹ በታች ያሉትን የሁሉም ረድፎች አንድ ኮፊሸንት ወደ ዜሮ ከቀየሩ፣ ልክ እንደ ደረጃዎች፣ ወደ ማትሪክስ ግርጌ ወርዱ እና አንድ የማይታወቅ እኩልታ ማግኘት ይችላሉ። ይህ የ Gaussian ዘዴን በመጠቀም ስርዓቱን መፍታት ይባላል.

በአጠቃላይ

ስርዓት ይኑር። እሱ m እኩልታዎች እና n ያልታወቁ ሥሮች አሉት። እንደሚከተለው ሊጽፉት ይችላሉ.

ዋናው ማትሪክስ ከሲስተሙ ቅንጅቶች የተሰበሰበ ነው. የነጻ ቃላት አምድ በተዘረጋው ማትሪክስ ላይ ተጨምሯል እና ለመመቻቸት በመስመር ተለያይቷል።

• የማትሪክስ የመጀመሪያው ረድፍ በቁጥር k = (-a 21 / a 11) ተባዝቷል;
• የመጀመሪያው የተሻሻለው ረድፍ እና የማትሪክስ ሁለተኛ ረድፍ ተጨምሯል;
• በሁለተኛው ረድፍ ፈንታ, ከቀደመው አንቀጽ የተጨመረው ውጤት ወደ ማትሪክስ ውስጥ ይገባል;
• አሁን በአዲሱ ሁለተኛ ረድፍ የመጀመሪያው ኮፊሸን 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0 ነው።

አሁን ተመሳሳይ ተከታታይ ለውጦች ይከናወናሉ, የመጀመሪያው እና ሦስተኛው ረድፎች ብቻ ይሳተፋሉ. በዚህ መሠረት በእያንዳንዱ የአልጎሪዝም ደረጃ ኤለመንት 21 በ 31 ይተካል። ከዚያ ሁሉም ነገር ለ 41, ... m1 ይደገማል. ውጤቱም በረድፎች ውስጥ ያለው የመጀመሪያው ንጥረ ነገር ዜሮ የሆነበት ማትሪክስ ነው። አሁን ስለ መስመር ቁጥር አንድ መርሳት እና ተመሳሳይ ስልተ-ቀመር ማከናወን ያስፈልግዎታል ከመስመር ሁለት ጀምሮ።

• ቅንጅት k = (-a 32 /a 22);
• ሁለተኛው የተሻሻለው መስመር ወደ "የአሁኑ" መስመር ተጨምሯል;
• የመደመር ውጤት በሦስተኛው, በአራተኛው እና በመሳሰሉት መስመሮች ውስጥ ተተክቷል, የመጀመሪያው እና ሁለተኛው ሳይለወጡ ሲቀሩ;
• በማትሪክስ ረድፎች ውስጥ የመጀመሪያዎቹ ሁለት አካላት ቀድሞውኑ ከዜሮ ጋር እኩል ናቸው።

ስልተ ቀመር k = (-a m,m-1 /a mm) እስኪመጣ ድረስ መደገም አለበት. ይህ ማለት ስልተ ቀመር ለመጨረሻ ጊዜ የተከናወነው ለታችኛው እኩልታ ብቻ ነው። አሁን ማትሪክስ ሶስት ማዕዘን ይመስላል, ወይም ደረጃ ቅርጽ አለው. በታችኛው መስመር ላይ mn × x n = b m እኩልነት አለ. ቅንጅቱ እና ነፃው ቃል ይታወቃሉ እና ሥሩ በእነሱ ይገለጻል: x n = b m /a mn. የተገኘው ስርወ ወደ ላይኛው መስመር ተተክቷል x ​​n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1. እና በምሳሌነት: በእያንዳንዱ ቀጣይ መስመር ውስጥ አዲስ ሥር አለ, እና የስርዓቱ "ከላይ" ላይ ከደረሱ በኋላ, ብዙ መፍትሄዎችን ማግኘት ይችላሉ. እሱ ብቻ ይሆናል.

መፍትሄዎች በማይኖሩበት ጊዜ

በአንደኛው የማትሪክስ ረድፎች ውስጥ ከነፃው ቃል በስተቀር ሁሉም ንጥረ ነገሮች ከዜሮ ጋር እኩል ከሆኑ ፣ ከዚያ ከዚህ ረድፍ ጋር የሚዛመደው ቀመር 0 = b ይመስላል። መፍትሄ የለውም። እና እንዲህ ዓይነቱ እኩልታ በስርዓቱ ውስጥ ስለሚካተት የአጠቃላይ ስርዓቱ መፍትሄዎች ስብስብ ባዶ ነው, ማለትም የተበላሸ ነው.

ማለቂያ የሌላቸው መፍትሄዎች ሲኖሩ

በተሰጠው የሶስት ማዕዘን ማትሪክስ ውስጥ አንድ የእኩልታ ክፍል እና አንድ ነፃ ቃል ያላቸው ረድፎች የሉም። እንደገና ሲጻፉ ከሁለት ወይም ከዚያ በላይ ተለዋዋጮች ያሉት እኩልነት የሚመስሉ መስመሮች ብቻ አሉ። ይህ ማለት ስርዓቱ ማለቂያ የሌላቸው መፍትሄዎች አሉት. በዚህ ጉዳይ ላይ መልሱ በአጠቃላይ መፍትሄ መልክ ሊሰጥ ይችላል. እንዴት ማድረግ ይቻላል?

በማትሪክስ ውስጥ ያሉት ሁሉም ተለዋዋጮች ወደ መሰረታዊ እና ነፃ ተከፍለዋል። መሰረታዊዎቹ በደረጃ ማትሪክስ ውስጥ ባሉት ረድፎች "ጫፍ ላይ" የሚቆሙ ናቸው. የተቀሩት ነጻ ናቸው. በአጠቃላይ መፍትሄ, መሰረታዊ ተለዋዋጮች በነፃዎች በኩል ይፃፋሉ.

ለመመቻቸት ፣ ማትሪክስ በመጀመሪያ ወደ የእኩልታዎች ስርዓት እንደገና ይፃፋል። ከዚያም በመጨረሻው ውስጥ, በትክክል አንድ መሠረታዊ ተለዋዋጭ ብቻ ይቀራል, በአንድ በኩል ይቀራል, እና ሁሉም ነገር ወደ ሌላኛው ይተላለፋል. ይህ ለእያንዳንዱ እኩልታ ከአንድ መሠረታዊ ተለዋዋጭ ጋር ይከናወናል. ከዚያም በቀሪዎቹ እኩልታዎች ውስጥ በተቻለ መጠን ለእሱ የተገኘው አገላለጽ ከመሠረታዊ ተለዋዋጭ ይልቅ ይተካል. ውጤቱ እንደገና አንድ መሠረታዊ ተለዋዋጭ ብቻ የያዘ አገላለጽ ከሆነ, እንደገና ከዚያ ይገለጻል, እና ወዘተ, እያንዳንዱ መሠረታዊ ተለዋዋጭ በነጻ ተለዋዋጮች እንደ አገላለጽ እስኪጻፍ ድረስ. ይህ የ SLAE አጠቃላይ መፍትሄ ነው።

እንዲሁም የስርዓቱን መሰረታዊ መፍትሄ ማግኘት ይችላሉ - ለነፃ ተለዋዋጮች ማንኛውንም እሴቶችን ይስጡ እና ከዚያ ለዚህ ልዩ ሁኔታ የመሠረታዊ ተለዋዋጮችን እሴቶች ያሰሉ ። ሊሰጡ የሚችሉ ያልተገደቡ የተወሰኑ መፍትሄዎች አሉ።

ከተወሰኑ ምሳሌዎች ጋር መፍትሄ

የእኩልታዎች ስርዓት እዚህ አለ።

ለመመቻቸት, ወዲያውኑ የእሱን ማትሪክስ መፍጠር የተሻለ ነው

በጋውሲያን ዘዴ ሲፈታ ከመጀመሪያው ረድፍ ጋር የሚዛመደው እኩልነት በለውጦቹ መጨረሻ ላይ ሳይለወጥ እንደሚቆይ ይታወቃል። ስለዚህ ፣ የማትሪክስ የላይኛው ግራ ክፍል ትንሹ ከሆነ የበለጠ ትርፋማ ይሆናል - ከዚያ ከቀሪዎቹ ረድፎች በኋላ የመጀመሪያዎቹ ንጥረ ነገሮች ወደ ዜሮ ይቀየራሉ። ይህ ማለት በተቀነባበረው ማትሪክስ ውስጥ ሁለተኛውን ረድፍ በመጀመሪያው ቦታ ላይ ማስቀመጥ ጠቃሚ ይሆናል.

ሁለተኛ መስመር፡ k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 = a 21 + k×a 11 = 3 + (-3)×1 = 0

a" 22 = a 22 + k×a 12 = -1 + (-3)×2 = -7

a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11

b" 2 = b 2 + k×b 1 = 12 + (-3)×12 = -24

ሦስተኛው መስመር፡ k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18

b" 3 = b 3 + k×b 1 = 3 + (-5)×12 = -57

አሁን, ግራ ላለመጋባት, ከለውጦቹ መካከለኛ ውጤቶች ጋር ማትሪክስ መፃፍ ያስፈልግዎታል.

በግልጽ ለማየት እንደሚቻለው, እንዲህ ዓይነቱ ማትሪክስ የተወሰኑ ስራዎችን በመጠቀም ለግንዛቤ የበለጠ ምቹ እንዲሆን ማድረግ ይቻላል. ለምሳሌ, እያንዳንዱን ንጥረ ነገር በ "-1" በማባዛት ሁሉንም "minuses" ከሁለተኛው መስመር ማስወገድ ይችላሉ.

በሶስተኛው መስመር ሁሉም ንጥረ ነገሮች የሶስት ብዜቶች መሆናቸውን ልብ ሊባል ይገባል. ከዚያም ገመዱን በዚህ ቁጥር ማሳጠር ይችላሉ, እያንዳንዱን ንጥረ ነገር በ "-1/3" ማባዛት (መቀነስ - በተመሳሳይ ጊዜ, አሉታዊ እሴቶችን ለማስወገድ).

በጣም የሚያምር ይመስላል። አሁን የመጀመሪያውን መስመር ብቻውን ትተን ከሁለተኛው እና ከሦስተኛው ጋር መስራት አለብን. ስራው ሁለተኛውን መስመር ወደ ሶስተኛው መስመር መጨመር ነው, በእንደዚህ አይነት ቅንጅት ተባዝቶ 32 ኤለመንት ከዜሮ ጋር እኩል ይሆናል.

k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (በአንዳንድ ለውጦች ወቅት መልሱ ኢንቲጀር ካልሆኑ ለመውጣት ስሌቶችን ትክክለኛነት ለመጠበቅ ይመከራል. እሱ “እንደሆነ” ፣ በመደበኛ ክፍልፋዮች መልክ ፣ እና ከዚያ በኋላ ብቻ ፣ ምላሾች ሲደርሱ ፣ ለመጠምዘዝ እና ወደ ሌላ የመቅዳት አይነት ይወስኑ)

a" 32 = a 32 + k×a 22 = 3 + (-3/7)×7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 = a 33 + k×a 23 = 6 + (-3/7)×11 = -9/7

b" 3 = b 3 + k×b 2 = 19 + (-3/7)×24 = -61/7

ማትሪክስ በአዲስ እሴቶች እንደገና ተጽፏል።

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

እንደሚመለከቱት ፣ የተገኘው ማትሪክስ ቀድሞውኑ ደረጃ ያለው ቅጽ አለው። ስለዚህ የ Gaussian ዘዴን በመጠቀም የስርዓቱ ተጨማሪ ለውጦች አያስፈልጉም. እዚህ ማድረግ የሚችሉት ከሶስተኛው መስመር ላይ ያለውን አጠቃላይ ድምር "-1/7" ማስወገድ ነው.

አሁን ሁሉም ነገር ቆንጆ ነው. የሚቀረው ማትሪክስ በስርዓተ ቀመር መልክ እንደገና መፃፍ እና ሥሮቹን ማስላት ብቻ ነው።

x + 2y + 4z = 12 (1)

7y + 11z = 24 (2)

ሥሮቹ አሁን የሚገኙበት ስልተ ቀመር በ Gaussian ዘዴ ውስጥ የተገላቢጦሽ እንቅስቃሴ ይባላል። ቀመር (3) የ z እሴትን ይዟል፡-

y = (24 - 11× (61/9))/7 = -65/9

እና የመጀመሪያው እኩልታ xን እንድናገኝ ያስችለናል፡

x = (12 - 4z - 2ይ)/1 = 12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3

እንዲህ ዓይነቱን የስርዓት መገጣጠሚያ, እና እንዲያውም የተወሰነ, ማለትም, ልዩ የሆነ መፍትሄ የመጥራት መብት አለን. መልሱ በሚከተለው መልክ ተጽፏል።

x 1 = -2/3፣ y = -65/9፣ z = 61/9።

እርግጠኛ ያልሆነ ስርዓት ምሳሌ

የ Gauss ዘዴን በመጠቀም አንድን የተወሰነ ስርዓት የመፍታት ልዩነት ተንትኗል ፣ አሁን ስርዓቱ እርግጠኛ ካልሆነ ፣ ማለትም ፣ ለእሱ ብዙ መፍትሄዎች ሊገኙ የሚችሉ ከሆነ ጉዳዩን መመርመር አስፈላጊ ነው።

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

የስርዓቱ ገጽታ ቀድሞውኑ አስደንጋጭ ነው ፣ ምክንያቱም የማያውቁት ቁጥር n = 5 ነው ፣ እና የስርዓት ማትሪክስ ደረጃ ቀድሞውኑ ከዚህ ቁጥር በትክክል ያነሰ ነው ፣ ምክንያቱም የረድፎች ብዛት m = 4 ነው ፣ ማለትም ፣ የመወሰኛ-ካሬው ትልቁ ቅደም ተከተል 4 ነው. ይህ ማለት ማለቂያ የሌላቸው መፍትሄዎች አሉ, እና አጠቃላይ ገጽታውን መፈለግ ያስፈልግዎታል. የመስመራዊ እኩልታዎች የ Gauss ዘዴ ይህንን እንዲያደርጉ ይፈቅድልዎታል.

በመጀመሪያ ፣ እንደተለመደው ፣ የተራዘመ ማትሪክስ ተሰብስቧል።

ሁለተኛ መስመር፡ ጥምር k = (-a 21 /a 11) = -3. በሦስተኛው መስመር ውስጥ, የመጀመሪያው አካል ከለውጦቹ በፊት ነው, ስለዚህ ምንም ነገር መንካት አያስፈልግዎትም, እንደዛው መተው ያስፈልግዎታል. አራተኛው መስመር፡ k = (-a 4 1 /a 11) = -5

የመጀመርያውን ረድፍ ንጥረ ነገሮች በእያንዳንዳቸው አሃዞች በማባዛት እና ወደሚፈለጉት ረድፎች በማከል የሚከተለውን ቅጽ ማትሪክስ እናገኛለን።

እንደሚመለከቱት, ሁለተኛው, ሦስተኛው እና አራተኛው ረድፎች እርስ በእርሳቸው ተመጣጣኝ ንጥረ ነገሮችን ያካትታሉ. ሁለተኛው እና አራተኛው በአጠቃላይ ተመሳሳይ ናቸው, ስለዚህ ከመካከላቸው አንዱ ወዲያውኑ ሊወገድ ይችላል, እና የቀረውን በ "-1" ኮፊሸን በማባዛት እና የመስመር ቁጥር 3 ያግኙ. እና እንደገና, ከሁለት ተመሳሳይ መስመሮች ውስጥ, አንዱን ይተው.

ውጤቱም እንደዚህ ያለ ማትሪክስ ነው. ስርዓቱ ገና አልተፃፈም, እዚህ ላይ መሰረታዊ ተለዋዋጮችን መወሰን አስፈላጊ ነው - በቁጥር 11 = 1 እና 22 = 1, እና ነፃ የሆኑትን - የተቀሩትን ሁሉ.

በሁለተኛው እኩልታ ውስጥ አንድ መሠረታዊ ተለዋዋጭ ብቻ ነው - x 2. ይህ ማለት በነጻ በተለዋዋጮች x 3, x 4, x 5 በመጻፍ ከዚያ ሊገለጽ ይችላል.

የተገኘውን አገላለጽ ወደ መጀመሪያው እኩልነት እንተካለን።

ውጤቱ ብቸኛው መሠረታዊ ተለዋዋጭ x 1 የሆነበት እኩልታ ነው. ከ x 2 ጋር ተመሳሳይ ነገር እናድርግ።

ሁሉም መሠረታዊ ተለዋዋጮች፣ ከእነዚህም ውስጥ ሁለቱ፣ በሦስት ነፃ በሆኑ ቃላት ተገልጸዋል፤ አሁን መልሱን በአጠቃላይ መልክ መፃፍ እንችላለን።

እንዲሁም የስርዓቱን ልዩ መፍትሄዎች አንዱን መግለጽ ይችላሉ. ለእንደዚህ ዓይነቶቹ ጉዳዮች ዜሮዎች ብዙውን ጊዜ ለነፃ ተለዋዋጮች እንደ እሴቶች ይመረጣሉ። ከዚያ መልሱ እንደሚከተለው ይሆናል-

16, 23, 0, 0, 0.

የትብብር ያልሆነ ስርዓት ምሳሌ

የጋውስ ዘዴን በመጠቀም ተኳሃኝ ያልሆኑ የእኩልታ ስርዓቶችን መፍታት ፈጣኑ ነው። በአንደኛው ደረጃ ላይ ምንም መፍትሄ የሌለው እኩልታ እንደተገኘ ወዲያውኑ ያበቃል. ያም ማለት በጣም ረጅም እና አሰልቺ የሆነውን ሥሮቹን የማስላት ደረጃ ይወገዳል. የሚከተለው ስርዓት ግምት ውስጥ ይገባል.

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

እንደተለመደው ማትሪክስ ተሰብስቧል-

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

እና ወደ ደረጃ አቅጣጫ ይቀነሳል፡-

k 1 = -2k 2 = -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

ከመጀመሪያው ለውጥ በኋላ, ሦስተኛው መስመር የቅጹን እኩልነት ይይዛል

ያለ መፍትሄ. በውጤቱም, ስርዓቱ ወጥነት የለውም, እና መልሱ ባዶ ስብስብ ይሆናል.

ዘዴው ጥቅሞች እና ጉዳቶች

ኤስኤዎችን በወረቀት ላይ በብዕር ለመፍታት የትኛውን ዘዴ ከመረጡ, በዚህ ጽሑፍ ውስጥ የተብራራው ዘዴ በጣም ማራኪ ይመስላል. ወሳኙን ወይም አንዳንድ ተንኮለኛ ተገላቢጦሽ ማትሪክስ በእጅ መፈለግ ካለቦት ይልቅ በአንደኛ ደረጃ ለውጦች ላይ ግራ መጋባት በጣም ከባድ ነው። ነገር ግን ፣ ከእንደዚህ ዓይነቱ መረጃ ጋር ለመስራት ፕሮግራሞችን ከተጠቀሙ ፣ ለምሳሌ ፣ የቀመር ሉሆች ፣ ከዚያ እንደዚህ ያሉ ፕሮግራሞች የማትሪክስ ዋና መለኪያዎችን ለማስላት ስልተ ቀመሮችን ይዘዋል - ቆራጥ ፣ አናሳ ፣ ተገላቢጦሽ ፣ ወዘተ. እና ማሽኑ ራሱ እነዚህን ዋጋዎች እንደሚያሰላ እና ስህተት እንደማይሠራ እርግጠኛ ከሆኑ የማትሪክስ ዘዴን ወይም የክሬመር ቀመሮችን መጠቀም የበለጠ ጠቃሚ ነው ፣ ምክንያቱም የእነሱ መተግበሪያ የሚጀምረው እና የሚያበቃው በወሳኞች እና በተገላቢጦሽ ማትሪክስ ስሌት ስለሆነ ነው። .

መተግበሪያ

የ Gaussian መፍትሄ ስልተ ቀመር ስለሆነ እና ማትሪክስ በእውነቱ ባለ ሁለት አቅጣጫዊ ድርድር ስለሆነ በፕሮግራም አወጣጥ ውስጥ ጥቅም ላይ ሊውል ይችላል። ነገር ግን ጽሑፉ እራሱን እንደ መመሪያ አድርጎ "ለዳሚዎች" አድርጎ ስለሚያስቀምጥ, ዘዴውን ለማስቀመጥ በጣም ቀላሉ ቦታ የተመን ሉሆች ነው, ለምሳሌ, ኤክሴል. በድጋሚ፣ በማትሪክስ መልክ ወደ ሠንጠረዥ የገባ ማንኛውም SLAE በኤክሴል እንደ ባለ ሁለት አቅጣጫዊ ድርድር ይቆጠራል። እና ከእነሱ ጋር ላሉ ስራዎች ብዙ ጥሩ ትዕዛዞች አሉ-መደመር (ተመሳሳይ መጠን ያላቸውን ማትሪክስ ብቻ ማከል ይችላሉ!) ፣ በቁጥር ማባዛት ፣ ማትሪክስ ማባዛት (በተወሰኑ ገደቦችም) ፣ የተገላቢጦሽ እና የተላለፉ ማትሪክቶችን መፈለግ እና ከሁሉም በላይ አስፈላጊ። , የሚወስነውን በማስላት ላይ. ይህ ጊዜ የሚፈጅ ተግባር በአንድ ትዕዛዝ ከተተካ, የማትሪክስ ደረጃውን በበለጠ ፍጥነት መወሰን እና, ስለዚህ, ተኳሃኝነትን ወይም አለመጣጣሙን ማረጋገጥ ይቻላል.

ሊፈታ የሚገባው የመስመራዊ አልጀብራ እኩልታዎች ስርዓት ይስጥ (እያንዳንዱን የስርዓቱን እኩልነት ወደ እኩልነት የሚቀይሩትን የማይታወቁ xi እሴቶችን ይፈልጉ)።

የመስመራዊ አልጀብራ እኩልታዎች ስርዓት የሚከተሉትን ሊያደርግ እንደሚችል እናውቃለን።

1) መፍትሄ የለንም (ይሁን የጋራ ያልሆነ).
2) ብዙ መፍትሄዎች አሉ.
3) አንድ ነጠላ መፍትሄ ይኑርዎት.

እንደምናስታውሰው, የ Cramer's አገዛዝ እና የማትሪክስ ዘዴ ስርዓቱ ብዙ መፍትሄዎች ሲኖሩት ወይም ወጥነት በሌለው ሁኔታ ተስማሚ አይደሉም. Gauss ዘዴ – ለማንኛውም የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓት መፍትሄዎችን ለማግኘት በጣም ኃይለኛ እና ሁለገብ መሳሪያ፣ የትኛው በእያንዳንዱ ሁኔታወደ መልሱ ይመራናል! የስልት አልጎሪዝም በራሱ በሶስቱም ሁኔታዎች ተመሳሳይ ነው የሚሰራው. የ Cramer እና ማትሪክስ ዘዴዎች የመወሰን ዕውቀትን የሚጠይቁ ከሆነ የጋውስ ዘዴን ለመተግበር የሂሳብ ስራዎችን እውቀት ብቻ ያስፈልግዎታል ፣ ይህም ለአንደኛ ደረጃ ተማሪዎች እንኳን ተደራሽ ያደርገዋል።

የተጨመሩ የማትሪክስ ለውጦች ( ይህ የስርዓቱ ማትሪክስ ነው - ከማያውቋቸው ጥምርታዎች ብቻ ያቀፈ ማትሪክስ እና የነፃ ቃላት አምድ)በጋውስ ዘዴ ውስጥ የመስመራዊ አልጀብራ እኩልታዎች ስርዓቶች፡-

1) ጋር ትሮኪማትሪክስ ይችላል እንደገና ማስተካከልበአንዳንድ ቦታዎች.

2) በማትሪክስ ውስጥ ተመጣጣኝ (እንደ ልዩ ሁኔታ - ተመሳሳይ) ረድፎች ከታዩ (ወይም ካሉ) ፣ ከዚያ ያስፈልግዎታል ሰርዝእነዚህ ሁሉ ረድፎች ከአንድ በስተቀር ከማትሪክስ ናቸው።

3) በትራንስፎርሜሽን ጊዜ ዜሮ ረድፍ በማትሪክስ ውስጥ ከታየ እንዲሁ መሆን አለበት። ሰርዝ.

4) የማትሪክስ ረድፍ ሊሆን ይችላል ማባዛት (መከፋፈል)ከዜሮ በስተቀር ለማንኛውም ቁጥር.

5) ወደ ማትሪክስ አንድ ረድፍ ማድረግ ይችላሉ በቁጥር ተባዝቶ ሌላ ሕብረቁምፊ ጨምር, ከዜሮ የተለየ.

በጋውስ ዘዴ, የመጀመሪያ ደረጃ ለውጦች የእኩልታዎችን ስርዓት መፍትሄ አይለውጡም.

የ Gauss ዘዴ ሁለት ደረጃዎችን ያቀፈ ነው-

1. “በቀጥታ መንቀሳቀስ” - የመጀመሪያ ደረጃ ለውጦችን በመጠቀም የተራዘመውን የአልጀብራ እኩልታዎች ስርዓት ማትሪክስ ወደ “ትሪያንግል” ደረጃ ቅርፅ ያቅርቡ-የተራዘመው ማትሪክስ ንጥረ ነገሮች ከዋናው ዲያግናል በታች የሚገኙት ከዜሮ ጋር እኩል ናቸው (ከላይ ወደ ታች ይንቀሳቀሳሉ)። ለምሳሌ፣ ለዚህ ​​አይነት፡-

ይህንን ለማድረግ የሚከተሉትን ደረጃዎች ያከናውኑ:

1) የመስመራዊ አልጀብራ እኩልታዎች ስርዓት የመጀመሪያውን እኩልታ እናስብ እና የ x 1 ንፅፅር ከ K. ሁለተኛው ፣ ሦስተኛው ፣ ወዘተ. እኩልታዎችን በሚከተለው መልኩ እንለውጣለን፡ እያንዳንዱን እኩልታ (የማይታወቁትን ድምጾች፣ ነፃ ቃላትን ጨምሮ) በማይታወቅ x 1 በእያንዳንዱ እኩልታ እናካፍላለን እና በ K. እናባዛለን። ከዚህ በኋላ የመጀመሪያውን ከሁለተኛው እኩል እንቀንሳለን የማይታወቁ እና የነፃ ውሎች ጥምረት)። ለ x 1 በሁለተኛው እኩልዮሽ ውስጥ Coefficient 0 እናገኛለን. ከሦስተኛው የተለወጠው እኩልታ የመጀመሪያውን እኩልታ እንቀንሳለን ከመጀመሪያው በስተቀር ሁሉም እኩልታዎች ለማይታወቅ x 1, Coefficient 0 እስኪኖራቸው ድረስ.

2) ወደ ቀጣዩ እኩልታ እንሂድ። ይህ ሁለተኛው እኩልታ እና የ x 2 መጠን ከኤም ጋር እኩል ይሁን። ከላይ እንደተገለፀው ሁሉንም “ዝቅተኛ” እኩልታዎች እንቀጥላለን። ስለዚህም “በስር” በማይታወቅ x 2 በሁሉም እኩልታዎች ውስጥ ዜሮዎች ይኖራሉ።

3) የመጨረሻው ያልታወቀ እና የተለወጠው የነፃ ቃል እስከሚቆይ ድረስ ወደ ቀጣዩ እኩልታ ይሂዱ እና ይቀጥሉ።

1. የ Gauss ዘዴ "የተገላቢጦሽ እንቅስቃሴ" የመስመራዊ አልጀብራ እኩልታዎች ስርዓት ("ከታች ወደ ላይ" እንቅስቃሴ) መፍትሄ ማግኘት ነው. ከመጨረሻው "ዝቅተኛ" እኩልታ አንድ የመጀመሪያ መፍትሄ እናገኛለን - የማይታወቅ x n. ይህንን ለማድረግ, የአንደኛ ደረጃ እኩልታ A * x n = B. ከላይ በተሰጠው ምሳሌ, x 3 = 4. የተገኘውን እሴት ወደ "የላይኛው" ቀጣይ እኩልነት እንተካለን እና ከሚቀጥለው የማይታወቅ ጋር እንፈታዋለን. ለምሳሌ, x 2 - 4 = 1, i.e. x 2 = 5. እና ስለዚህ ሁሉንም የማይታወቁ ነገሮች እስክናገኝ ድረስ.

ለምሳሌ.

አንዳንድ ደራሲዎች እንደሚመክሩት የጋውስ ዘዴን በመጠቀም የመስመራዊ እኩልታዎችን ስርዓት እንፍታ።

የተራዘመውን የስርዓቱን ማትሪክስ እንፃፍ እና የመጀመሪያ ደረጃ ለውጦችን በመጠቀም ወደ ደረጃ አቅጣጫ እናምጣው።

የላይኛውን ግራ "ደረጃ" እንመለከታለን. እዚያ ሊኖረን ይገባል. ችግሩ በመጀመሪያው ዓምድ ውስጥ ምንም ክፍሎች ስለሌሉ ረድፎችን ማስተካከል ምንም ነገር አይፈታም. በእንደዚህ ዓይነት ሁኔታዎች, ክፍሉ በአንደኛ ደረጃ ለውጥን በመጠቀም መደራጀት አለበት. ይህ አብዛኛውን ጊዜ በበርካታ መንገዶች ሊከናወን ይችላል. ይህንን እናድርግ:
1 እርምጃ . ወደ መጀመሪያው መስመር ሁለተኛውን መስመር እንጨምራለን, በ -1 ተባዝተናል. ማለትም ሁለተኛውን መስመር በ-1 በማባዛት የመጀመሪያውን እና ሁለተኛውን ስንጨምር ሁለተኛው መስመር ግን አልተለወጠም።

አሁን ከላይ በግራ በኩል "አንድ ሲቀነስ" አለ, ይህም ለእኛ በጣም ተስማሚ ነው. +1 ማግኘት የሚፈልግ ማንኛውም ሰው ተጨማሪ ተግባር ማከናወን ይችላል፡ የመጀመሪያውን መስመር በ -1 ማባዛት (ምልክቱን ይቀይሩ)።

ደረጃ 2 . የመጀመሪያው መስመር በ 5 ተባዝቶ ወደ ሁለተኛው መስመር ተጨምሯል ።

ደረጃ 3 . የመጀመሪያው መስመር በ -1 ተባዝቷል, በመርህ ደረጃ, ይህ ለውበት ነው. የሶስተኛው መስመር ምልክትም ተለወጠ እና ወደ ሁለተኛ ቦታ ተወስዷል, ስለዚህም በሁለተኛው "ደረጃ" ላይ አስፈላጊው ክፍል ነበረን.

ደረጃ 4 . ሦስተኛው መስመር በሁለተኛው መስመር ላይ ተጨምሯል, በ 2 ተባዝቷል.

ደረጃ 5 . ሦስተኛው መስመር በ 3 ተከፍሏል.

በስሌቶች ውስጥ ስህተትን የሚያመለክት ምልክት (በጣም አልፎ አልፎ, ትየባ) "መጥፎ" የታችኛው መስመር ነው. ይኸውም ከዚህ በታች (0 0 11 |23) የሆነ ነገር ካገኘን እና በዚሁ መሰረት 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, ከዚያም በከፍተኛ ደረጃ በአንደኛ ደረጃ ወቅት ስህተት ተሠርቷል ማለት እንችላለን. ለውጦች.

ተቃራኒውን እናድርገው ፣ በምሳሌዎች ንድፍ ውስጥ ፣ ስርዓቱ ራሱ ብዙ ጊዜ አይፃፍም ፣ ግን እኩልታዎቹ “ከተሰጠው ማትሪክስ በቀጥታ የተወሰዱ ናቸው። የተገላቢጦሽ እንቅስቃሴ, አስታውሳችኋለሁ, ከታች ወደ ላይ ይሠራል. በዚህ ምሳሌ፣ ውጤቱ ስጦታ ነበር፡-

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1፣ ስለዚህ x 1 + 3 – 1 = 1፣ x 1 = –1

መልስ: x 1 = -1 ፣ x 2 = 3 ፣ x 3 = 1 ።

የታቀደውን ስልተ ቀመር በመጠቀም ተመሳሳይ ስርዓት እንፍታ. እናገኛለን

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

ሁለተኛውን እኩልታ በ 5, እና ሶስተኛውን በ 3 ይከፋፍሉት. እኛ እናገኛለን:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

ሁለተኛውን እና ሶስተኛውን እኩልታዎች በ 4 በማባዛት እናገኛለን፡-

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

የመጀመሪያውን እኩልታ ከሁለተኛው እና ከሦስተኛው እኩልታ ቀንስ፣ እኛ አለን፡-

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

ሶስተኛውን እኩልታ በ 0.64 ይከፋፍሉት፡

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

ሶስተኛውን እኩልታ በ0.4 ማባዛት።

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

ሁለተኛውን ከሦስተኛው እኩልታ በመቀነስ “ደረጃ የተደረገ” የተራዘመ ማትሪክስ እናገኛለን፡-

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

ስለዚህ, በስሌቶቹ ጊዜ የተጠራቀመ ስህተት, x 3 = 0.96 ወይም በግምት 1 እናገኛለን.

x 2 = 3 እና x 1 = -1.

በዚህ መንገድ በመፍታት, በስሌቶቹ ውስጥ በጭራሽ ግራ አይጋቡም, እና የስሌት ስህተቶች ቢኖሩም, ውጤቱን ያገኛሉ.

ይህ የመስመራዊ አልጀብራ እኩልታዎች ስርዓትን የመፍታት ዘዴ በቀላሉ በፕሮግራም ሊሰራ የሚችል እና ለማይታወቁት የቁጥር ባህሪያትን ከግምት ውስጥ አያስገባም ፣ ምክንያቱም በተግባር (በኢኮኖሚያዊ እና ቴክኒካል ስሌቶች) አንድ ሰው ኢንቲጀር ካልሆኑ ውህዶች ጋር መገናኘት አለበት።

ስኬት እመኛለሁ! ክፍል ውስጥ እንገናኝ! አስተማሪ ዲሚትሪ አይስትራካኖቭ.

ድህረ ገጽ፣ ቁሳቁሱን በሙሉ ወይም በከፊል ሲገለብጥ፣ ወደ ምንጩ የሚወስድ አገናኝ ያስፈልጋል።

ከ 16 ኛው -18 ኛው ክፍለ ዘመን መጀመሪያ ጀምሮ ፣ የሂሳብ ሊቃውንት ተግባራትን በጥልቀት ማጥናት ጀምረዋል ፣ ለዚህም ምስጋና ይግባውና በሕይወታችን ውስጥ ብዙ ለውጦች ተለውጠዋል። ያለዚህ እውቀት የኮምፒውተር ቴክኖሎጂ በቀላሉ ሊኖር አይችልም። ውስብስብ ችግሮችን፣ የመስመር እኩልታዎችን እና ተግባራትን ለመፍታት የተለያዩ ፅንሰ-ሀሳቦች፣ ቲዎሬሞች እና የመፍትሄ ዘዴዎች ተፈጥረዋል። መስመራዊ እኩልታዎችን እና ስርዓቶቻቸውን ለመፍታት ከእንደዚህ አይነት ሁለንተናዊ እና ምክንያታዊ ዘዴዎች እና ቴክኒኮች አንዱ የጋውስ ዘዴ ነው። ማትሪክስ, ደረጃቸው, ቆራጥ - ሁሉም ነገር ውስብስብ ስራዎችን ሳይጠቀም ሊሰላ ይችላል.

SLAU ምንድን ነው?

በሂሳብ ውስጥ, SLAE ጽንሰ-ሐሳብ አለ - የመስመር አልጀብራ እኩልታዎች ስርዓት. ምን አይነት ሰው ነች? ይህ ከሚፈለገው n የማይታወቁ መጠኖች ጋር የ m እኩልታዎች ስብስብ ነው፣ ብዙውን ጊዜ እንደ x፣ y፣ z፣ ወይም x 1፣ x 2 ... x n ወይም ሌሎች ምልክቶች ይገለጻል። የ Gaussian ዘዴን በመጠቀም የተሰጠውን ስርዓት መፍታት ማለት ሁሉንም ያልታወቁ የማይታወቁ ነገሮችን ማግኘት ማለት ነው. አንድ ሥርዓት የማይታወቁ እና እኩልታዎች ቁጥር ካለው፣ Nth order ሥርዓት ይባላል።

SLAE ን ለመፍታት በጣም ታዋቂው ዘዴዎች

በሁለተኛ ደረጃ ትምህርት ተቋማት ውስጥ እንደዚህ ያሉ ስርዓቶችን ለመፍታት የተለያዩ ዘዴዎችን ያጠናል. ብዙውን ጊዜ እነዚህ ሁለት የማይታወቁትን ያካተቱ ቀላል እኩልታዎች ናቸው ፣ ስለሆነም ለእነሱ መልስ ለማግኘት ማንኛውም ነባር ዘዴ ብዙ ጊዜ አይወስድም። ይህ እንደ የመተካት ዘዴ ሊሆን ይችላል, ሌላው ከአንድ እኩልታ ሲወጣ እና ወደ ዋናው ሲተካ. ወይም የቃል-በ-ጊዜ የመቀነስ እና የመደመር ዘዴ። ነገር ግን የጋውስ ዘዴ በጣም ቀላል እና ሁለንተናዊ እንደሆነ ይቆጠራል. ከየትኛውም የማይታወቁ ቁጥሮች ጋር እኩልታዎችን ለመፍታት ያስችላል። ይህ ልዩ ዘዴ ለምን ምክንያታዊ ነው ተብሎ ይታሰባል? ቀላል ነው። ስለ ማትሪክስ ዘዴ ጥሩው ነገር አላስፈላጊ ምልክቶችን ብዙ ጊዜ እንደማይታወቅ እንደገና መፃፍ አያስፈልገውም ፣ በቁጥር ላይ የሂሳብ ስራዎችን ማከናወን በቂ ነው - እና አስተማማኝ ውጤት ያገኛሉ።

SLAE በተግባር ጥቅም ላይ የሚውለው የት ነው?

ለስላኤዎች መፍትሄው በተግባሮች ግራፎች ላይ የመስመሮች መገናኛ ነጥቦች ናቸው. በእኛ ከፍተኛ የቴክኖሎጂ የኮምፒዩተር ዘመን ከጨዋታዎች እና ከሌሎች ፕሮግራሞች እድገት ጋር በቅርበት የተሳሰሩ ሰዎች እንደነዚህ ያሉትን ስርዓቶች እንዴት እንደሚፈቱ, ምን እንደሚወክሉ እና የውጤቱን ትክክለኛነት እንዴት ማረጋገጥ እንደሚችሉ ማወቅ አለባቸው. ብዙውን ጊዜ ፕሮግራመሮች ልዩ የመስመር አልጀብራ ካልኩሌተር ፕሮግራሞችን ያዘጋጃሉ ፣ ይህም የመስመር እኩልታዎችንም ያካትታል። የ Gauss ዘዴ ሁሉንም ነባር መፍትሄዎችን ለማስላት ያስችልዎታል. ሌሎች ቀለል ያሉ ቀመሮች እና ቴክኒኮችም ጥቅም ላይ ይውላሉ.

SLAU የተኳሃኝነት መስፈርት

እንዲህ ዓይነቱ ሥርዓት የሚስማማ ከሆነ ብቻ ሊፈታ ይችላል. ግልፅ ለማድረግ፣ SLAEን በ Ax=b መልክ እንወክል። ራንግ (A) ሬንግ (A,b) እኩል ከሆነ መፍትሄ አለው. በዚህ ሁኔታ (A,b) በነፃ ቃላት እንደገና በመጻፍ ከማትሪክስ A ሊገኝ የሚችል የተራዘመ ቅጽ ማትሪክስ ነው. የ Gaussian ዘዴን በመጠቀም መስመራዊ እኩልታዎችን መፍታት በጣም ቀላል ነው።

ምናልባት አንዳንድ ምልክቶች ሙሉ በሙሉ ግልጽ አይደሉም, ስለዚህ ሁሉንም ነገር በምሳሌነት ማጤን አስፈላጊ ነው. ስርዓት አለ እንበል፡ x+y=1; 2x-3ይ=6። ሁለት እኩልታዎችን ብቻ ያቀፈ ሲሆን በውስጡም 2 የማይታወቁ ናቸው. ስርዓቱ መፍትሄ የሚኖረው የማትሪክስ ደረጃ ከተራዘመው ማትሪክስ ደረጃ ጋር እኩል ከሆነ ብቻ ነው። ደረጃ ምንድን ነው? ይህ የስርዓቱ ገለልተኛ መስመሮች ቁጥር ነው. በእኛ ሁኔታ የማትሪክስ ደረጃው 2 ነው. ማትሪክስ A ከማያውቋቸው አቅራቢያ የሚገኙትን ጥምርታዎችን ያካትታል, እና ከ "=" ምልክት በስተጀርባ የሚገኙት ጥምርታዎች ከተራዘመው ማትሪክስ ጋር ይጣጣማሉ.

ለምን SLAEዎች በማትሪክስ መልክ ሊወከሉ ይችላሉ?

በተረጋገጠው ክሮኔከር-ካፔሊ ቲዎረም መሰረት በተኳሃኝነት መስፈርት መሰረት የመስመር አልጀብራ እኩልታዎች ስርዓት በማትሪክስ መልክ ሊወከል ይችላል። የ Gaussian cascade ዘዴን በመጠቀም ማትሪክስ መፍታት እና ለጠቅላላው ስርዓት አንድ ነጠላ አስተማማኝ መልስ ማግኘት ይችላሉ። የአንድ ተራ ማትሪክስ ደረጃ ከተራዘመው ማትሪክስ ደረጃ ጋር እኩል ከሆነ ፣ ግን ከማይታወቁት ብዛት ያነሰ ከሆነ ፣ ስርዓቱ ማለቂያ የሌላቸው መልሶች አሉት።

የማትሪክስ ለውጦች

ማትሪክቶችን ወደ መፍታት ከመቀጠልዎ በፊት በንጥረታቸው ላይ ምን አይነት ድርጊቶች ሊከናወኑ እንደሚችሉ ማወቅ ያስፈልግዎታል. በርካታ የመጀመሪያ ደረጃ ለውጦች አሉ:

• ስርዓቱን በማትሪክስ መልክ እንደገና በመፃፍ እና በመፍታት ሁሉንም የተከታታይ ክፍሎችን በተመሳሳይ መጠን ማባዛት ይችላሉ።
• ማትሪክስ ወደ ቀኖናዊ ቅርጽ ለመለወጥ, ሁለት ትይዩ ረድፎችን መቀየር ይችላሉ. ቀኖናዊው ቅርፅ የሚያመለክተው በዋናው ዲያግናል በኩል ያሉት ሁሉም የማትሪክስ አካላት አንድ ይሆናሉ ፣ የተቀሩት ደግሞ ዜሮዎች ይሆናሉ።
• የማትሪክስ ትይዩ ረድፎች ተጓዳኝ አካላት እርስ በእርስ ሊጨመሩ ይችላሉ።

የጆርዳን-ጋውስ ዘዴ

የ Gaussian ዘዴን በመጠቀም መስመራዊ ተመሳሳይ እና ተመሳሳይ ያልሆኑ እኩልታዎች ስርዓቶችን የመፍታት ዋናው ነገር የማይታወቁትን ቀስ በቀስ ማስወገድ ነው። ሁለት የማይታወቁበት የሁለት እኩልታዎች ስርዓት አለን እንበል። እነሱን ለማግኘት, የተኳሃኝነት ስርዓቱን ማረጋገጥ ያስፈልግዎታል. እኩልታው በጋውስ ዘዴ በጣም ቀላል ነው የሚፈታው። በማትሪክስ ቅፅ ውስጥ በእያንዳንዱ የማይታወቅ አቅራቢያ የሚገኙትን ውህዶች መፃፍ አስፈላጊ ነው. ስርዓቱን ለመፍታት, የተራዘመውን ማትሪክስ መፃፍ ያስፈልግዎታል. ከስሌቱ ውስጥ አንዱ ትንሽ የማይታወቁ ነገሮች ከያዘ፣ “0” በጠፋው ኤለመንት ቦታ መቀመጥ አለበት። ሁሉም የታወቁ የለውጥ ዘዴዎች በማትሪክስ ላይ ይተገበራሉ-ማባዛት ፣ በቁጥር መከፋፈል ፣ የተከታታይ ተጓዳኝ አካላትን እርስ በእርስ መጨመር እና ሌሎችም። በእያንዳንዱ ረድፍ ውስጥ አንድ ተለዋዋጭ ከ "1" እሴት ጋር መተው አስፈላጊ ነው, የተቀረው ወደ ዜሮ መቀነስ አለበት. የበለጠ ትክክለኛ ግንዛቤ ለማግኘት የጋውስ ዘዴን በምሳሌዎች ግምት ውስጥ ማስገባት አስፈላጊ ነው.

2x2 ስርዓትን የመፍታት ቀላል ምሳሌ

ለመጀመር፣ ቀላል የአልጀብራ እኩልታዎች ስርዓትን እንውሰድ፣ በውስጡም 2 ያልታወቁ ነገሮች ይኖራሉ።

ወደ የተራዘመ ማትሪክስ እንደገና እንጽፈው።

ይህንን የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓት ለመፍታት ሁለት ክዋኔዎች ብቻ ያስፈልጋሉ። በዋናው ዲያግናል በኩል ያሉት እንዲኖሩ ማትሪክስ ወደ ቀኖናዊ ቅርጽ ማምጣት አለብን። ስለዚህ, ከማትሪክስ ቅጹን ወደ ስርዓቱ በመመለስ, እኩልታዎችን እናገኛለን: 1x+0y=b1 እና 0x+1y=b2, የት b1 እና b2 በመፍትሔው ሂደት ውስጥ የተገኙ መልሶች ናቸው.

1. የተራዘመ ማትሪክስ በሚፈታበት ጊዜ የመጀመሪያው እርምጃ ይህ ይሆናል-የመጀመሪያው ረድፍ በ -7 ተባዝቶ በሁለተኛው ረድፍ ውስጥ የማይታወቅን ለማስወገድ በሁለተኛው ረድፍ ላይ ተጓዳኝ አካላት መጨመር አለበት.
2. የ Gauss ዘዴን በመጠቀም እኩልታዎችን መፍታት ማትሪክስ ወደ ቀኖናዊ ቅርፅ መቀነስን ስለሚያካትት ከመጀመሪያው እኩልዮሽ ጋር ተመሳሳይ ስራዎችን ማከናወን እና ሁለተኛውን ተለዋዋጭ ማስወገድ አስፈላጊ ነው. ይህንን ለማድረግ ሁለተኛውን መስመር ከመጀመሪያው እንቀንሳለን እና አስፈላጊውን መልስ እናገኛለን - የ SLAE መፍትሄ. ወይም በሥዕሉ ላይ እንደሚታየው ሁለተኛውን ረድፍ በ -1 እጥፍ እናባዛለን እና የሁለተኛው ረድፍ ንጥረ ነገሮችን ወደ መጀመሪያው ረድፍ እንጨምራለን. ያው ነው።

እንደምናየው, የእኛ ስርዓት በጆርዳን-ጋውስ ዘዴ ተፈትቷል. በሚፈለገው ቅጽ እንደገና እንጽፋለን: x=-5, y=7.

የ3x3 SLAE መፍትሄ ምሳሌ

የበለጠ የተወሳሰበ የመስመር እኩልታዎች ስርዓት አለን እንበል። የ Gauss ዘዴ በጣም ግራ የሚያጋባ ለሚመስለው ስርዓት እንኳን መልሱን ለማስላት ያስችላል። ስለዚህ, ወደ ስሌት ዘዴ በጥልቀት ለመፈተሽ, ወደ ውስብስብ ምሳሌ ወደ ሶስት የማይታወቁ ነገሮች መሄድ ይችላሉ.

ልክ እንደ ቀድሞው ምሳሌ, ስርዓቱን በተራዘመ ማትሪክስ መልክ እንደገና እንጽፋለን እና ወደ ቀኖናዊው መልክ ማምጣት እንጀምራለን.

ይህንን ስርዓት ለመፍታት ከቀዳሚው ምሳሌ የበለጠ ብዙ እርምጃዎችን ማከናወን ያስፈልግዎታል።

1. በመጀመሪያ የመጀመሪያውን አምድ አንድ አሃድ ኤለመንት እና የተቀሩትን ዜሮዎች ማድረግ ያስፈልግዎታል. ይህንን ለማድረግ የመጀመሪያውን እኩልታ በ -1 ማባዛት እና ሁለተኛውን እኩልነት በእሱ ላይ ይጨምሩ. የመጀመሪያውን መስመር በቀድሞው መልክ, እና ሁለተኛውን በተሻሻለው ቅፅ እንደገና እንደጻፍን ማስታወስ አስፈላጊ ነው.
2. በመቀጠል፣ ይህንኑ የመጀመሪያውን ያልታወቀ ከሶስተኛው እኩልታ እናስወግደዋለን። ይህንን ለማድረግ የመጀመሪያውን ረድፍ ንጥረ ነገሮች በ -2 በማባዛት ወደ ሶስተኛው ረድፍ ይጨምሩ. አሁን የመጀመሪያዎቹ እና ሁለተኛው መስመሮች በቀድሞው መልክ ተጽፈዋል, እና ሦስተኛው - ከለውጦች ጋር. ከውጤቱ እንደሚመለከቱት, በማትሪክስ ዋናው ዲያግናል መጀመሪያ ላይ የመጀመሪያውን እና የተቀሩትን ዜሮዎች አግኝተናል. ጥቂት ተጨማሪ ደረጃዎች, እና በ Gaussian ዘዴ የእኩልታዎች ስርዓት በአስተማማኝ ሁኔታ ይፈታል.
3. አሁን በሌሎች የረድፎች አካላት ላይ ክዋኔዎችን ማከናወን ያስፈልግዎታል. ሦስተኛው እና አራተኛው ድርጊቶች ወደ አንድ ሊጣመሩ ይችላሉ. በዲያግናል ላይ ያሉትን ተቀናሾች ለማስወገድ ሁለተኛውን እና ሦስተኛውን መስመር በ -1 መከፋፈል አለብን። ሶስተኛውን መስመር ወደሚፈለገው ቅጽ አስቀድመን አምጥተናል።
4. በመቀጠል ሁለተኛውን መስመር ወደ ቀኖናዊ ቅርጽ እናመጣለን. ይህንን ለማድረግ, የሶስተኛው ረድፍ ክፍሎችን በ -3 እናባዛለን እና ወደ ማትሪክስ ሁለተኛ ረድፍ እንጨምራለን. ከውጤቱ መረዳት እንደሚቻለው ሁለተኛው መስመር ደግሞ ወደምንፈልገው ፎርም ይቀንሳል. ጥቂት ተጨማሪ ስራዎችን ለማከናወን እና የማይታወቁትን ውህደቶች ከመጀመሪያው መስመር ለማስወገድ ይቀራል።
5. ከአንድ ረድፍ ሁለተኛ ክፍል 0 ለማድረግ, ሶስተኛውን ረድፍ በ -3 ማባዛት እና ወደ መጀመሪያው ረድፍ መጨመር ያስፈልግዎታል.
6. የሚቀጥለው ወሳኝ እርምጃ የሁለተኛው ረድፍ አስፈላጊ ንጥረ ነገሮችን ወደ መጀመሪያው ረድፍ መጨመር ይሆናል. በዚህ መንገድ የማትሪክስ ቀኖናዊውን ቅርፅ እናገኛለን, እና, በዚህ መሰረት, መልሱ.

እንደሚመለከቱት ፣ የ Gauss ዘዴን በመጠቀም እኩልታዎችን መፍታት በጣም ቀላል ነው።

4x4 የእኩልታዎች ስርዓት የመፍታት ምሳሌ

የኮምፒተር ፕሮግራሞችን በመጠቀም የ Gaussian ዘዴን በመጠቀም አንዳንድ ተጨማሪ ውስብስብ የእኩልታዎች ስርዓቶች ሊፈቱ ይችላሉ። ለማይታወቁት ኮርፖሬሽኖች አሁን ባሉት ባዶ ሴሎች ውስጥ ማስገባት አስፈላጊ ነው, እና መርሃግብሩ ራሱ አስፈላጊውን ውጤት ደረጃ በደረጃ ያሰላል, እያንዳንዱን ድርጊት በዝርዝር ይገልፃል.

እንዲህ ዓይነቱን ምሳሌ ለመፍታት የደረጃ በደረጃ መመሪያዎች ከዚህ በታች ተብራርተዋል.

በመጀመርያው ደረጃ፣ ለማይታወቁ የነጻ ቁጥሮች እና ቁጥሮች ወደ ባዶ ህዋሶች ገብተዋል። ስለዚህ, በእጅ የምንጽፈውን ተመሳሳይ የተራዘመ ማትሪክስ እናገኛለን.

እና የተራዘመውን ማትሪክስ ወደ ቀኖናዊው ቅርፅ ለማምጣት ሁሉም አስፈላጊ የሂሳብ ስራዎች ይከናወናሉ. ለእኩልታዎች ስርዓት መልሱ ሁልጊዜ ኢንቲጀር እንዳልሆነ መረዳት ያስፈልጋል። አንዳንድ ጊዜ መፍትሔው ከክፍልፋይ ቁጥሮች ሊሆን ይችላል.

የመፍትሄውን ትክክለኛነት ማረጋገጥ

የጆርዳን-ጋውስ ዘዴ የውጤቱን ትክክለኛነት ለማረጋገጥ ያቀርባል. ውህደቶቹ በትክክል የተቆጠሩ መሆናቸውን ለማወቅ ውጤቱን ወደ መጀመሪያው የእኩልታዎች ስርዓት መተካት ብቻ ያስፈልግዎታል። የእኩልታው ግራ ጎን ከእኩል ምልክት በስተጀርባ ካለው የቀኝ ጎን ጋር መመሳሰል አለበት። ምላሾቹ የማይዛመዱ ከሆነ ስርዓቱን እንደገና ማስላት ያስፈልግዎታል ወይም ሌላ እርስዎ የሚያውቁትን SLAEዎችን የመፍታት ዘዴ ለምሳሌ መተካት ወይም በጊዜ-ጊዜ መቀነስ እና መደመር በእሱ ላይ ተግባራዊ ለማድረግ ይሞክሩ። ደግሞም ፣ ሂሳብ እጅግ በጣም ብዙ የተለያዩ የመፍትሄ ዘዴዎች ያለው ሳይንስ ነው። ግን ያስታውሱ: ምንም አይነት የመፍትሄ ዘዴ ቢጠቀሙ ውጤቱ ሁልጊዜ አንድ አይነት መሆን አለበት.

የጋውስ ዘዴ፡ SLAEዎችን በሚፈታበት ጊዜ በጣም የተለመዱ ስህተቶች

የእኩልታዎች መስመራዊ ስርዓቶችን በሚፈቱበት ጊዜ ስህተቶች ብዙ ጊዜ ይከሰታሉ ለምሳሌ የተሳሳተ የቁጥር መጠን ወደ ማትሪክስ መልክ ማስተላለፍ። ከአንዱ እኩልታዎች ውስጥ አንዳንድ ያልታወቁ ነገሮች የሚጎድሉባቸው ስርዓቶች አሉ፤ ከዚያም መረጃን ወደ የተራዘመ ማትሪክስ ሲያስተላልፉ ሊጠፉ ይችላሉ። በውጤቱም, ይህንን ስርዓት በሚፈታበት ጊዜ, ውጤቱ ከትክክለኛው ጋር ላይጣጣም ይችላል.

ሌላው ትልቅ ስህተት የመጨረሻውን ውጤት በስህተት መጻፍ ሊሆን ይችላል. የመጀመሪያው ኮፊሸን ከስርአቱ የመጀመሪያው የማይታወቅ, ሁለተኛው - ወደ ሁለተኛው, ወዘተ ጋር እንደሚዛመድ በግልጽ መረዳት ያስፈልጋል.

የጋውስ ዘዴ የመስመር እኩልታዎችን መፍትሄ በዝርዝር ይገልጻል። ለእሱ ምስጋና ይግባውና አስፈላጊ የሆኑትን ስራዎች ለማከናወን እና ትክክለኛውን ውጤት ለማግኘት ቀላል ነው. በተጨማሪም, ይህ ለማንኛውም ውስብስብነት እኩልታዎች አስተማማኝ መልስ ለማግኘት ሁለንተናዊ መሳሪያ ነው. SLAE ን በሚፈታበት ጊዜ ብዙ ጊዜ ጥቅም ላይ የሚውለው ለዚህ ሊሆን ይችላል።

ታላቁ የሂሳብ ሊቅ ካርል ፍሬድሪክ ጋውስ ለረጅም ጊዜ በማመንታት በፍልስፍና እና በሂሳብ መካከል በመምረጥ። በአለም ሳይንስ ውስጥ እንደዚህ ያለ ጉልህ የሆነ "ቅርስ" እንዲያደርግ ያስቻለው ይህ አስተሳሰብ በትክክል ሊሆን ይችላል. በተለይም "የጋውስ ዘዴ" በመፍጠር ...

ለ 4 ዓመታት ያህል በዚህ ድረ-ገጽ ላይ ያሉ መጣጥፎች ከትምህርት ቤት ትምህርት ጋር የተያያዙ ናቸው፣ በዋናነት ከፍልስፍና አንጻር፣ (የተሳሳቱ) የመግባባት መርሆዎች በልጆች አእምሮ ውስጥ ገብተዋል። ለተጨማሪ ዝርዝሮች ፣ ምሳሌዎች እና ዘዴዎች ጊዜው እየመጣ ነው… ይህ በትክክል ለተለመደው ፣ ግራ የሚያጋባ እና አቀራረብ ነው ብዬ አምናለሁ አስፈላጊየሕይወት ዘርፎች የተሻለ ውጤት ይሰጣሉ.

እኛ ሰዎች የተፈጠርነው ምንም ያህል ብንነጋገርበት መንገድ ነው። ረቂቅ አስተሳሰብ፣ ግን መረዳት ሁሌምበምሳሌዎች ይከሰታል. ምሳሌዎች ከሌሉ መርሆቹን ለመረዳት የማይቻል ነው ... ልክ ወደ ተራራው ጫፍ ላይ ለመድረስ ከእግር ወደ ሙሉ ቁልቁል ከመሄድ በስተቀር.

ከትምህርት ቤት ጋር ተመሳሳይ: ለአሁን ሕያው ታሪኮችበደመ ነፍስ ልጆች እንዲረዱት የተማሩበት ቦታ አድርገን መመልከታችን በቂ አይደለም።

ለምሳሌ የጋውሲያን ዘዴን ማስተማር...

የ Gauss ዘዴ በ 5 ኛ ክፍል ትምህርት ቤት

ወዲያውኑ ቦታ ማስያዝ አደርጋለሁ፡ የጋውስ ዘዴ በጣም ሰፊ የሆነ መተግበሪያ አለው ለምሳሌ ሲፈታ የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓቶች. የምንናገረው በ 5 ኛ ክፍል ውስጥ ነው. ይህ ጀመረየትኛውን ከተረዳን የበለጠ "የላቁ አማራጮችን" ለመረዳት በጣም ቀላል ነው. በዚህ ጽሑፍ ውስጥ እየተነጋገርን ነው ተከታታይ ድምርን ለማግኘት የጋውስ ዘዴ (ዘዴ)

በሞስኮ ጂምናዚየም 5ኛ ክፍል የሚከታተለው ታናሽ ልጄ ከትምህርት ቤት ያመጣው ምሳሌ ይኸውልህ።

የ Gauss ዘዴ የትምህርት ቤት ማሳያ

አንድ የሂሳብ መምህር በይነተገናኝ ነጭ ሰሌዳ (ዘመናዊ የማስተማሪያ ዘዴዎች) በመጠቀም በትንሽ ጋውስ "የዘዴው አፈጣጠር" ታሪክን ለልጆች አሳይቷል.

የትምህርት ቤቱ መምህሩ ትንሽ ካርልን (ጊዜ ያለፈበት ዘዴ፣ በአሁኑ ጊዜ በትምህርት ቤቶች ውስጥ ጥቅም ላይ ያልዋለ) ገረፈው

ከ 1 እስከ 100 ቁጥሮችን በቅደም ተከተል ከመጨመር ይልቅ ድምራቸውን ያግኙ አስተውሏልከሂሳብ ግስጋሴ ጫፎች እኩል ርቀት ያላቸው ጥንድ ቁጥሮች ወደ ተመሳሳይ ቁጥር ይጨምራሉ። ለምሳሌ, 100 እና 1, 99 እና 2. የእነዚህን ጥንዶች ብዛት ከቆጠረ በኋላ ትንሽ ጋውስ በአስተማሪው የቀረበውን ችግር ወዲያውኑ ሊፈታው ተቃርቧል. ለዚህም በተገረመ ህዝብ ፊት ተገደለ። ሌሎች ከማሰብ ተስፋ እንዲቆርጡ።

ትንሹ ጋውስ ምን አደረገ? የዳበረ የቁጥር ስሜት? ተስተውሏልአንዳንድ ባህሪተከታታይ የቁጥር ተከታታይ (የሂሳብ እድገት)። እና በትክክል ይህበኋላም ታላቅ ሳይንቲስት አድርጎታል። እንዴት እንደሚያስተውሉ የሚያውቁ፣ መኖር ስሜት, የመረዳት ስሜት.

ለዚህም ነው ሒሳብ ዋጋ ያለው፣ እያደገ ያለው የማየት ችሎታበአጠቃላይ በተለይ - ረቂቅ አስተሳሰብ. ስለዚህ, አብዛኛዎቹ ወላጆች እና ቀጣሪዎች በደመ ነፍስ ሒሳብን እንደ አስፈላጊ ትምህርት ይቁጠሩት። ...

“ከዚያ አእምሮህን ስለሚያስተካክል ሂሳብ መማር አለብህ።
M.V.Lomonosov"

ነገር ግን የወደፊት ሊቆችን በበትር የገረፉ ተከታዮች ዘዴውን ወደ ተቃራኒው ነገር ቀይረውታል። የኔ ተቆጣጣሪ ከ35 ዓመታት በፊት እንደተናገረው፡ “ጥያቄው ተምሯል” ወይም ትንሹ ልጄ ትናንት ስለ ጋውስ ዘዴ እንደተናገረው፡- “ምናልባት ከዚህ ትልቅ ሳይንስ መስራት ጠቃሚ ላይሆን ይችላል፣ huh?”

የ "ሳይንቲስቶች" ፈጠራ ውጤቶች አሁን ባለው የትምህርት ቤት የሂሳብ ደረጃ, የትምህርቱ ደረጃ እና "የሳይንስ ንግሥት" በብዙዎች ግንዛቤ ውስጥ ይታያሉ.

ሆኖም፣ እንቀጥል...

በ 5 ኛ ክፍል ትምህርት ቤት የጋውስ ዘዴን የማብራራት ዘዴዎች

በሞስኮ ጂምናዚየም ውስጥ የሂሳብ መምህር በቪለንኪን መሰረት የጋውስ ዘዴን በማብራራት ስራውን አወሳሰበው.

የሒሳብ ዕድገት ልዩነት (ደረጃ) አንድ ሳይሆን ሌላ ቁጥር ቢሆንስ? ለምሳሌ 20.

ለአምስተኛ ክፍል ተማሪዎች የሰጠው ችግር፡-

20+40+60+80+ ... +460+480+500

ከጂምናዚየም ዘዴ ጋር ከመተዋወቃችን በፊት ኢንተርኔትን እንይ፡ የት/ቤት አስተማሪዎች እና የሂሳብ አስተማሪዎች እንዴት ያደርጉታል?...

Gaussian ዘዴ: ማብራሪያ ቁጥር 1

በ YOUTUBE ቻናሉ ላይ አንድ ታዋቂ አስተማሪ የሚከተለውን ምክንያት ይሰጣል።

"ከ1 እስከ 100 ያሉትን ቁጥሮች እንደሚከተለው እንፃፍ።

በመጀመሪያ ተከታታይ ቁጥሮች ከ 1 እስከ 50 ፣ እና ከእሱ በታች ሌላ ተከታታይ ቁጥሮች ከ 50 እስከ 100 ፣ ግን በተቃራኒው ቅደም ተከተል።

1, 2, 3, ... 48, 49, 50

100, 99, 98 ... 53, 52, 51

"እባክዎ ልብ ይበሉ: ከላይ እና ከታች ረድፎች ውስጥ ያሉት የእያንዳንዱ ጥንድ ቁጥሮች ድምር አንድ ነው እና 101 እኩል ነው! ጥንድ ቁጥር እንቆጥረው 50 ነው እና የአንድ ጥንድ ድምርን በጥንድ ቁጥር እናባዛው! Voila: The መልሱ ዝግጁ ነው!"

"መረዳት ካልቻላችሁ አትበሳጩ!" መምህሩ በማብራሪያው ጊዜ ሶስት ጊዜ ደጋግሞ ተናገረ. "ይህን ዘዴ በ9ኛ ክፍል ትወስዳለህ!"

Gaussian ዘዴ: ማብራሪያ ቁጥር 2

ሌላ ሞግዚት ፣ ብዙም ያልታወቀ (በእይታዎች ብዛት) ፣ የበለጠ ሳይንሳዊ አቀራረብን ይወስዳል ፣ በቅደም ተከተል መጠናቀቅ ያለበትን 5 ነጥቦችን የመፍትሄ ስልተ-ቀመር ያቀርባል።

ለማያውቁት, 5 በተለምዶ አስማታዊ ተብለው ከሚቆጠሩት የፊቦናቺ ቁጥሮች አንዱ ነው. ባለ 5 እርከን ዘዴ ሁልጊዜ ከ6 ደረጃ ዘዴ የበለጠ ሳይንሳዊ ነው፣ ለምሳሌ። ... እና ይሄ በአጋጣሚ አይደለም፣ ምናልባትም ደራሲው የፊቦናቺ ቲዎሪ ድብቅ ደጋፊ ነው።

ከሂሳብ እድገት አንጻር፡- 4, 10, 16 ... 244, 250, 256 .

የጋውስ ዘዴን በመጠቀም የቁጥሮችን ድምር ለማግኘት ስልተ-ቀመር፡-

ደረጃ 1 የተሰጡትን የቁጥሮች ቅደም ተከተል በተቃራኒው እንደገና ይፃፉ ፣ በትክክልበመጀመሪያው ስር.

4, 10, 16 ... 244, 250, 256

256, 250, 244 ... 16, 10, 4

ደረጃ 2፡ በአቀባዊ ረድፎች ውስጥ የሚገኙትን ጥንድ ቁጥሮች ድምር አስላ፡ 260።

ደረጃ 3: በቁጥር ተከታታይ ውስጥ ስንት እንደዚህ ያሉ ጥንዶች እንደሆኑ ይቁጠሩ። ይህንን ለማድረግ ከከፍተኛው ተከታታይ ቁጥር ዝቅተኛውን ይቀንሱ እና በደረጃው መጠን ይካፈሉ: (256 - 4) / 6 = 42.

በተመሳሳይ ጊዜ, ማስታወስ ያስፈልግዎታል ሲደመር አንድ ደንብ ፦ በሚመጣው ጥቅስ ላይ አንድ መጨመር አለብን፡ ያለበለዚያ ከእውነተኛው ጥንድ ቁጥር በአንድ ያነሰ ውጤት እናገኛለን፡ 42 + 1 = 43።

ደረጃ 4፡ የአንድ ጥንድ ቁጥሮች ድምርን በጥንድ ቁጥር ማባዛት፡ 260 x 43 = 11,180

ደረጃ 5፡ መጠኑን ስላሰለጥን ጥንድ ቁጥሮች, ከዚያም የተገኘው መጠን ለሁለት መከፈል አለበት: 11,180 / 2 = 5590.

ይህ ከ 4 ወደ 256 ከ 6 ልዩነት ጋር የሂሳብ እድገት የሚፈለገው ድምር ነው!

የጋውስ ዘዴ: በ 5 ኛ ክፍል በሞስኮ ጂምናዚየም ውስጥ ማብራሪያ

የተከታታይ ድምርን የማግኘት ችግር እንዴት እንደሚፈታ እነሆ፡-

20+40+60+ ... +460+480+500

በሞስኮ ጂምናዚየም 5 ኛ ክፍል የቪለንኪን የመማሪያ መጽሐፍ (እንደ ልጄ) ።

ገለጻውን ካሳየ በኋላ የሂሳብ መምህሩ የጋውሲያን ዘዴን በመጠቀም ሁለት ምሳሌዎችን አሳይቶ ለክፍሉ የቁጥር ድምርን በተከታታይ በ20 ጭማሪ እንዲያገኝ ሰጠ።

ይህ የሚከተሉትን ይጠይቃል።

ደረጃ 1፡ በተከታታዩ ውስጥ ያሉትን ሁሉንም ቁጥሮች በማስታወሻ ደብተርዎ ውስጥ መፃፍዎን ያረጋግጡከ 20 እስከ 500 (በ 20 ጭማሪዎች).

ደረጃ 2፡ ተከታታይ ቃላትን ይጻፉ - የቁጥሮች ጥንድ;የመጀመሪያው ከኋለኛው ፣ ሁለተኛው ከፔንልቲሜት ፣ ወዘተ. እና መጠኖቻቸውን ያሰሉ.

ደረጃ 3፡ “የድምር ድምርን” አስላ እና የጠቅላላውን ተከታታይ ድምር ያግኙ።

እንደሚመለከቱት ፣ ይህ የበለጠ የታመቀ እና ውጤታማ ዘዴ ነው-ቁጥር 3 እንዲሁ የ Fibonacci ቅደም ተከተል አባል ነው።

በትምህርት ቤቱ የጋውስ ዘዴ ላይ የእኔ አስተያየቶች

ታላቁ የሒሳብ ሊቅ “ዘዴው” በተከታዮቹ ምን እንደሚለወጥ አስቀድሞ ቢያውቅ ኖሮ በእርግጠኝነት ፍልስፍናን ይመርጥ ነበር። የጀርመን መምህርካርልን በበትር የገረፈው። የ"መምህራንን" ተምሳሌታዊነት፣ የቋንቋ አዙሪት እና የማይሞት ሞኝነት አይቶ ነበር። ካለመግባባት አልጀብራ ጋር የሕያዋን የሂሳብ አስተሳሰብን ስምምነት ለመለካት መሞከር ....

በነገራችን ላይ፡ ታውቃለህ። የትምህርት ስርዓታችን የተመሰረተው በ18ኛው እና በ19ኛው ክፍለ ዘመን በነበረው የጀርመን ትምህርት ቤት ነው?

ጋውስ ግን ሂሳብን መረጠ።

የእሱ ዘዴ ፍሬ ነገር ምንድን ነው?

ውስጥ ማቅለል. ውስጥ በመመልከት እና በመያዝቀላል የቁጥሮች ቅጦች. ውስጥ የደረቅ ትምህርት ቤት ሒሳብን ወደ መለወጥ አስደሳች እና አስደሳች እንቅስቃሴ ከፍተኛ ወጪ የሚጠይቁ የአእምሮ እንቅስቃሴዎችን ከመከልከል ይልቅ የመቀጠል ፍላጎትን በአእምሮ ውስጥ ማግበር።

ከሞላ ጎደል የሒሳብ ዕድገት ቁጥሮች ድምርን ለማስላት ከተሰጡት “የጋውስ ዘዴ ማሻሻያዎች” አንዱን መጠቀም ይቻል ይሆን? ወዲያውኑ? በ"አልጎሪዝም" መሰረት ትንሹ ካርል መደብደብን ለማስወገድ፣ ለሂሳብ ጥላቻን ለማዳበር እና በቡቃያ ውስጥ ያለውን የፈጠራ ግፊቶችን ለማፈን ዋስትና ይኖረዋል።

ለምንድነው አስጠኚው የአምስተኛ ክፍል ተማሪዎችን በ9ኛ ክፍል ገና “እንዲህ ያሉ” ችግሮችን እንደሚፈቱ በማሳመን ዘዴውን “አለመረዳት እንዳይፈሩ” በጽናት መክሯቸዋል? ስነ ልቦናዊ መሃይም ድርጊት. ለማስታወስ ጥሩ እርምጃ ነበር።: "አንገናኛለን ቀድሞውኑ በ 5 ኛ ክፍል ውስጥ ይችላሉበ 4 ዓመታት ውስጥ የሚያጠናቅቁ ችግሮችን መፍታት! እንዴት ያለ ታላቅ ሰው ነህ! ”

የ Gaussian ዘዴን ለመጠቀም የ 3 ኛ ክፍል ደረጃ በቂ ነው, የተለመዱ ልጆች 2-3 አሃዝ ቁጥሮችን እንዴት ማከል, ማባዛት እና ማካፈል እንደሚችሉ አስቀድመው ሲያውቁ. ችግሮች የሚፈጠሩት አዋቂ አስተማሪዎች በመደበኛው የሰው ልጅ ቋንቋ ቀላሉን ነገር ለማስረዳት ባለመቻላቸው ነው፣ ሒሳብን ይቅርና... ሰዎች የሂሳብ ፍላጎት እንዲኖራቸው ለማድረግ እና “” ያሉትን እንኳን ሙሉ በሙሉ ተስፋ ያስቆርጣሉ። የሚችል"

ወይም፣ ልጄ እንደተናገረው፡- “ትልቅ ሳይንስን መስራት።

እንዴት ነው (በአጠቃላይ ሁኔታ) በቁጥር 1 ውስጥ የቁጥሮችን መዝገብ "ማስፋፋት" የትኛውን ቁጥር ማግኘት እንዳለቦት?

የተከታታይ አባላት ብዛት ከተለወጠ ምን ማድረግ እንዳለበት እንግዳ?

ለምን ወደ "Rule Plus 1" አንድ ልጅ በቀላሉ ወደሚችለው ነገር ይቀየራል። ተማርበመጀመሪያው ክፍል ውስጥ እንኳን, "የቁጥሮች ስሜት" ካዳበርኩ, እና አላስታውስም።"በአስር መቁጠር"?

እና በመጨረሻ፡- ከ2,000 ዓመታት በላይ ያስቆጠረ እና የዘመናዊ የሂሳብ መምህራን ከመጠቀም የሚቆጠቡት ድንቅ ፈጠራ ZERO የት ሄዷል?!

Gauss ዘዴ, የእኔ ማብራሪያዎች

እኔና ባለቤቴ ይህንን “ዘዴ” ለልጃችን ገለጽነው፣ ከትምህርት ቤት በፊትም ይመስላል...

ከውስብስብነት ወይም ከጥያቄ እና መልሶች ጨዋታ ይልቅ ቀላልነት

"እነሆ ከ1 እስከ 100 ያሉት ቁጥሮች እዚህ አሉ። ምን ታያለህ?"

ነጥቡ ልጁ በትክክል የሚያየው አይደለም. ዘዴው እሱን እንዲመለከት ማድረግ ነው.

"እንዴት አንድ ላይ ልታስቀምጣቸው ትችላለህ?" ልጁ እንደነዚህ ያሉት ጥያቄዎች “እንደዚያው” እንደማይጠየቁ ተገነዘበ እና “በሆነ መንገድ እሱ ከተለመደው በተለየ መንገድ” የሚለውን ጥያቄ ማየት ያስፈልግዎታል ።

ህፃኑ መፍትሄውን ወዲያውኑ ካየ ምንም አይደለም, የማይመስል ነገር ነው. እሱ አስፈላጊ ነው ለመመልከት መፍራት አቆመ ወይም እኔ እንደምለው፡ “ተግባሩን አንቀሳቅስ”. ይህ የመረዳት ጉዞ መጀመሪያ ነው።

“የቱ ቀላል ነው፡ ለምሳሌ 5 እና 6 ወይም 5 እና 95 ማከል?” መሪ ጥያቄ ... ግን ማንኛውም ስልጠና አንድን ሰው ወደ "መልሱ" ለመምራት ይወርዳል - በማንኛውም መንገድ በእሱ ዘንድ ተቀባይነት አለው.

በዚህ ደረጃ, በስሌቶች ላይ እንዴት "ማዳን" እንደሚቻል ግምቶች አስቀድመው ሊነሱ ይችላሉ.

ያደረግነው ፍንጭ ብቻ ነበር፡- “የፊት፣ መስመራዊ” የመቁጠር ዘዴ ብቸኛው የሚቻል አይደለም። አንድ ልጅ ይህን ከተረዳ በኋላ ብዙ ተጨማሪ ዘዴዎችን ያመጣል. ምክንያቱም አስደሳች ነው !!!እና በእርግጠኝነት "አለመረዳት" ሂሳብን ያስወግዳል እና በእሱ ላይ ቅር አይሰማውም. ድሉን አግኝቷል!

ከሆነ ልጅ ተገኘእስከ መቶ የሚደርሱ ጥንድ ቁጥሮች መጨመር አንድ ኬክ ነው, ከዚያ "የሂሳብ እድገት ልዩነት 1"ለአንድ ልጅ በጣም አስፈሪ እና የማይስብ ነገር - በድንገት ለእርሱ ሕይወት አገኘ . ትዕዛዝ ከሁከት ወጣ፣ እና ይሄ ሁል ጊዜ ጉጉትን ይፈጥራል፡- የተፈጠርነው እንደዚህ ነው።!

አንድ ጥያቄ መልስ: ለምን, አንድ ሕፃን የተቀበለው ግንዛቤ በኋላ, እሱ እንደገና በዚህ ጉዳይ ላይ ተግባራዊ የማይጠቅሙ ናቸው ይህም ደረቅ ስልተ ቀመሮች, ውስጥ መገደድ አለበት?!

ለምንድነው ደደብ እንደገና ይጽፋል?ቅደም ተከተል ቁጥሮች በማስታወሻ ደብተር ውስጥ: ስለዚህ አቅም ያላቸው እንኳን አንድም የመረዳት እድል እንዳይኖራቸው? በስታቲስቲክስ፣ እርግጥ፣ ግን የብዙሃዊ ትምህርት ወደ “ስታስቲክስ” ያተኮረ ነው።

ዜሮው የት ሄደ?

ነገር ግን እስከ 100 የሚደርሱ ቁጥሮች መደመር በአእምሮ ዘንድ ተቀባይነት ያለው እስከ 101...

የ “Gauss ትምህርት ቤት ዘዴ” በትክክል ይህንን ይፈልጋል፡- ሳይታሰብ እጠፍከሂደቱ መሃል እኩል ርቀት ያላቸው ጥንድ ቁጥሮች ፣ ሁሉም ነገር ቢሆንም.

ብታዩስ?

አሁንም ዜሮ ከ2,000 ዓመታት በላይ ያስቆጠረው የሰው ልጅ ታላቅ ፈጠራ ነው። እና የሂሳብ አስተማሪዎች እሱን ችላ ማለታቸውን ቀጥለዋል።

ከ 1 ጀምሮ ተከታታይ ቁጥሮችን ከ 0 ጀምሮ ወደ ተከታታይ መቀየር በጣም ቀላል ነው. ድምሩ አይለወጥም, አይደል? "በመማሪያ መጽሐፍ ውስጥ ማሰብ" ማቆም እና መመልከት መጀመር አለብዎት.እና 101 ድምር ያላቸው ጥንዶች ሙሉ በሙሉ በ100 ድምር በጥንድ ሊተኩ እንደሚችሉ ይመልከቱ!

0 + 100, 1 + 99, 2 + 98 ... 49 + 51

የ "ፕላስ 1 ደንብ" እንዴት ማስወገድ እንደሚቻል?

እውነቱን ለመናገር፣ ስለ እንደዚህ አይነት ህግ መጀመሪያ የሰማሁት ከዛ የዩቲዩብ አስተማሪ...

የተከታታይ አባላትን ቁጥር መወሰን ሲያስፈልገኝ አሁንም ምን ማድረግ አለብኝ?

ቅደም ተከተሎችን እመለከታለሁ-

1, 2, 3, .. 8, 9, 10

እና ሙሉ በሙሉ ሲደክሙ ወደ ቀላሉ ረድፍ ይሂዱ፡-

1, 2, 3, 4, 5

እና እኔ አስበው: አንዱን ከ 5 ካነሱ, 4 ያገኛሉ, ግን እኔ ሙሉ በሙሉ ግልጽ ነኝ ገባኝ 5 ቁጥሮች! ስለዚህ, አንድ ማከል ያስፈልግዎታል! በአንደኛ ደረጃ ትምህርት ቤት ውስጥ የተገነባው የቁጥር ስሜት ይጠቁማል፡ ምንም እንኳን የተከታታዩ አባላት ሙሉ ጎግል (ከ10 እስከ መቶኛው ሃይል) ቢኖሩም ንድፉ ተመሳሳይ እንደሆነ ይቆያል።

ደንቦቹ ምንድን ናቸው?…

ስለዚህ በሁለት ወይም በሶስት አመታት ውስጥ በግንባርዎ እና በጭንቅላቱ ጀርባ መካከል ያለውን ቦታ ሁሉ መሙላት እና ማሰብ ማቆም ይችላሉ? ዳቦ እና ቅቤን እንዴት ማግኘት ይቻላል? ለነገሩ፣ ወደ ዲጂታል ኢኮኖሚው ዘመን እንኳን ደረጃዎች ውስጥ እየገባን ነው!

ስለ ጋውስ ትምህርት ቤት ዘዴ፡ "ሳይንስ ለምን ከዚህ ወጣ?..."

ከልጄ ማስታወሻ ደብተር ላይ ስክሪንሾት የለጠፍኩት በከንቱ አልነበረም...

"በክፍል ውስጥ ምን ሆነ?"

“ወዲያውኑ ቆጥሬያለሁ፣ እጄን አነሳሁ፣ ግን አልጠየቀችኝም። ስለዚህ ሌሎቹ እየቆጠሩ ጊዜ እንዳላጠፋ በሩሲያኛ የቤት ሥራ መሥራት ጀመርኩ። ከዚያም ሌሎቹ ጽፈው ሲጨርሱ (? ??) ወደ ሰሌዳው ጠራችኝ መልሱን አልኩት።"

"ልክ ነው፣ እንዴት እንደፈታህ አሳየኝ" አለ መምህሩ። አሳየሁት። እሷም “ስህተት፣ እንዳሳየሁት መቁጠር አለብህ!” አለችው።

"መጥፎ ውጤት ባትሰጥ ጥሩ ነው። እና "የመፍትሄውን አካሄድ" በራሳቸው መንገድ በማስታወሻ ደብተራቸው ላይ እንድጽፍ አድርጋኛለች።

የሂሳብ መምህር ዋና ወንጀል

በጭንቅ በኋላ ያ ክስተትካርል ጋውስ ለትምህርት ቤት የሂሳብ መምህሩ ከፍተኛ አክብሮት ነበረው። ግን እንዴት እንደሆነ ቢያውቅ የዚያ አስተማሪ ተከታዮች የስልቱን ዋና ይዘት ያዛባል... በቁጣ ያገሣል እና በአለም አእምሯዊ ንብረት ድርጅት WIPO አማካኝነት መልካም ስሙን በትምህርት ቤት መፅሃፍ ላይ እንዳይጠቀም እገዳ ጣለ!...

በምን የትምህርት ቤቱ አቀራረብ ዋና ስህተት? ወይስ እኔ እንዳስቀመጠው የትምህርት ቤት የሂሳብ መምህራን በልጆች ላይ የፈጸሙት ወንጀል?

አለመግባባት አልጎሪዝም

የት / ቤት ዘዴ ባለሙያዎች ምን ያደርጋሉ, አብዛኛዎቹ እንዴት ማሰብ እንዳለባቸው አያውቁም?

ዘዴዎችን እና ስልተ ቀመሮችን ይፈጥራሉ (ተመልከት). ይህ መምህራንን ከትችት የሚከላከል የመከላከያ ምላሽ ("ሁሉም ነገር የሚከናወነው በ ...") እና ልጆችን ከመረዳት. እና እንደዚህ - መምህራንን ለመንቀፍ ካለው ፍላጎት!(ሁለተኛው የቢሮክራሲያዊ "ጥበብ", ለችግሩ ሳይንሳዊ አቀራረብ). ትርጉሙን ያልተረዳ ሰው ከትምህርት ሥርዓት ሞኝነት ይልቅ የራሱን አለመግባባት ይወቅሳል።

ይሄ ነው የሚሆነው፡ ወላጆች ልጆቻቸውን ይወቅሳሉ፣ እና አስተማሪዎች... “ሂሳብን ለማይረዱ!” ልጆችም እንዲሁ ያድርጉ።

ጎበዝ ነህ?

ትንሹ ካርል ምን አደረገ?

ለቀመር ተግባር ሙሉ በሙሉ ያልተለመደ አቀራረብ. ይህ የአቀራረቡ ፍሬ ነገር ነው። ይህ በትምህርት ቤት ውስጥ ማስተማር ያለበት ዋናው ነገር ከመማሪያ መጽሐፍት ጋር ሳይሆን ከጭንቅላቱ ጋር ማሰብ ነው. እርግጥ ነው, ለመፈለግ ጥቅም ላይ ሊውል የሚችል የመሳሪያ አካልም አለ ቀላል እና የበለጠ ውጤታማ የመቁጠር ዘዴዎች.

በቪሊንኪን መሰረት የጋውስ ዘዴ

በትምህርት ቤት ውስጥ የጋውስ ዘዴ እንደሆነ ያስተምራሉ

በጥንድከተከታታዩ የቁጥር ጫፎች እኩል የሆነ የቁጥሮችን ድምር ያግኙ ፣ በእርግጠኝነት ከዳርቻዎች ጀምሮ!

የእንደዚህ አይነት ጥንዶችን ቁጥር ያግኙ, ወዘተ.

ምንድን, የተከታታዩ ንጥረ ነገሮች ብዛት ያልተለመደ ከሆነ, ለልጄ እንደተመደበው ችግር?..

"መያዝ" በዚህ ጉዳይ ላይ ነው በተከታታዩ ውስጥ "ተጨማሪ" ቁጥር ማግኘት አለብዎትእና ወደ ጥንድ ድምር ያክሉት. በእኛ ምሳሌ ይህ ቁጥር 260 ነው.

እንዴት መለየት ይቻላል? ሁሉንም ጥንድ ቁጥሮች ወደ ማስታወሻ ደብተር በመቅዳት ላይ!(ለዚህም ነው መምህሩ ልጆቹ የጋውሲያን ዘዴን በመጠቀም "ፈጠራን" ለማስተማር በመሞከር ይህን የሞኝ ስራ እንዲሰሩ ያደረጋቸው ... እና ለዚህም ነው እንዲህ ዓይነቱ "ዘዴ" ለትልቅ የመረጃ ቋቶች የማይተገበር ነው, እና ለዚህ ነው. የጋውሲያን ዘዴ አይደለም።)

በትምህርት ቤት ውስጥ ትንሽ ፈጠራ…

ልጁ የተለየ እርምጃ ወሰደ።

በመጀመሪያ 520 ሳይሆን 500 ቁጥርን ማባዛት ቀላል እንደሆነ ገልጿል።

(20 + 500, 40 + 480 ...).

ከዚያም አሰላ: የእርምጃዎች ብዛት ያልተለመደ ሆኖ ተገኘ: 500/20 = 25.

ከዚያም በተከታታይ መጀመሪያ ላይ ZERO ን ጨምሯል (ምንም እንኳን የተከታታዩን የመጨረሻ ቃል መጣል ቢቻልም, ይህም እኩልነትን ያረጋግጣል) እና በጠቅላላው 500 ቁጥሮችን ጨምሯል.

0+500, 20+480, 40+460 ...

26 እርከኖች 13 ጥንድ "አምስት መቶ" ናቸው፡ 13 x 500 = 6500.

የተከታታዩን የመጨረሻ ቃል ካስወገድን, ጥንዶቹ 12 ይሆናሉ, ነገር ግን "የተጣሉ" አምስት መቶዎችን ወደ ስሌቶቹ ውጤት መጨመር መርሳት የለብንም. ከዚያ፡ (12 x 500) + 500 = 6500!

አስቸጋሪ አይደለም, አይደል?

ነገር ግን በተግባር ግን የበለጠ ቀላል ይሆናል, ይህም በሩሲያኛ ለርቀት ዳሰሳ ከ2-3 ደቂቃዎች ለመቅረጽ ያስችልዎታል, የተቀሩት ደግሞ "በመቁጠር" ላይ ናቸው. በተጨማሪም, የስልቱን የእርምጃዎች ብዛት ይይዛል: 5, ይህም አቀራረቡ ሳይንሳዊ አለመሆኑን ለመተቸት አይፈቅድም.

በግልጽ እንደሚታየው ይህ አቀራረብ ቀላል ፣ ፈጣን እና የበለጠ ዓለም አቀፋዊ ነው ፣ በስልቱ ዘይቤ። ግን ... መምህሩ ማሞገስ ብቻ ሳይሆን "በትክክለኛው መንገድ" እንደገና እንድጽፈው አስገደደኝ (ስክሪፕቱን ይመልከቱ). ማለትም፣ የፍጥረትን ግፊት እና የሒሳብ ትምህርትን ከሥሩ የመረዳት ችሎታን ለማፈን ከፍተኛ ጥረት አድርጋለች! በኋላ ላይ በሞግዚትነት እንድትቀጠር ይመስላል... የተሳሳተውን ሰው አጠቃች...

በጣም ረጅም እና አሰልቺ የገለጽኳቸው ነገሮች በሙሉ ለተለመደው ልጅ በግማሽ ሰዓት ውስጥ ሊገለጹ ይችላሉ። ከምሳሌዎች ጋር።

እና በማይረሳው መንገድ.

እና ይሆናል ወደ መረዳት ደረጃ... የሒሳብ ባለሙያዎች ብቻ አይደሉም።

ይቀበሉት፡ የ Gaussian ዘዴን በመጠቀም በህይወትዎ ውስጥ ስንት ጊዜ ጨምረዋል? እና በጭራሽ አላደረግኩም!

ግን በደመ ነፍስ የመረዳት, በትምህርት ቤት ውስጥ የሂሳብ ዘዴዎችን በማጥናት ሂደት ውስጥ የሚያድግ (ወይም የሚጠፋ) ... ኦ! ይህ በእውነት የማይተካ ነገር ነው!

በተለይ በፓርቲ እና በመንግስት ጥብቅ አመራር በጸጥታ በገባንበት ሁለንተናዊ ዲጂታላይዜሽን ዘመን።

ለአስተማሪዎች መከላከያ ጥቂት ቃላት ...

ለዚህ የአስተምህሮ ዘይቤ ሁሉንም ሃላፊነት በት / ቤት አስተማሪዎች ላይ ብቻ ማስቀመጥ ኢ-ፍትሃዊ እና ስህተት ነው። ስርዓቱ በሥራ ላይ ነው።

አንዳንድአስተማሪዎች እየሆነ ያለውን ነገር ብልሹነት ይገነዘባሉ ፣ ግን ምን ማድረግ አለባቸው? በትምህርት ላይ ያለው ህግ, የፌደራል ስቴት የትምህርት ደረጃዎች, ዘዴዎች, የትምህርት እቅዶች ... ሁሉም ነገር "በመሠረቱ እና መሰረት" መደረግ አለበት እና ሁሉም ነገር መመዝገብ አለበት. ወደ ጎን - ለመተኮስ ወረፋ ላይ ቆመ. ግብዞች እንዳንሆን የሞስኮ መምህራን ደሞዝ በጣም ጥሩ ነው ... ካባረሩህ ወዴት ትሄዳለህ?

ስለዚህ ይህ ጣቢያ ስለ ትምህርት አይደለም. እሱ ስለ ነው። የግለሰብ ትምህርትከሕዝቡ ለመውጣት የሚቻልበት ብቸኛው መንገድ ትውልድ Z ...

የመስመር አልጀብራ ስርዓቶችን ለመፍታት ከአለም አቀፍ እና ውጤታማ ዘዴዎች አንዱ ነው። Gaussian ዘዴ ያልታወቁትን በቅደም ተከተል ማስወገድን ያካትታል.

ሁለቱ ስርዓቶች እንደሚጠሩ አስታውስ ተመጣጣኝ (ተመጣጣኝ) የመፍትሄዎቻቸው ስብስቦች ከተገጣጠሙ. በሌላ አገላለጽ ስርዓቶች እያንዳንዳቸው የአንደኛው መፍትሄ የሌላኛው መፍትሄ ከሆነ እና በተቃራኒው እኩል ናቸው. ተመጣጣኝ ስርዓቶች ሲገኙ ያገኛሉ የመጀመሪያ ደረጃ ለውጦች የስርዓቱ እኩልታዎች;

የእኩልቱን ሁለቱንም ጎኖች ከዜሮ ሌላ ቁጥር ማባዛት;

ወደ አንዳንድ እኩልዮሽ መጨመር የሌላ እኩልታ ተጓዳኝ ክፍሎችን, ከዜሮ በተለየ ቁጥር ተባዝቷል;

ሁለት እኩልታዎችን እንደገና ማስተካከል.

የእኩልታዎች ስርዓት ይሰጥ

የ Gaussian ዘዴን በመጠቀም ይህንን ስርዓት የመፍታት ሂደት ሁለት ደረጃዎችን ያካትታል. በመጀመሪያ ደረጃ (በቀጥታ እንቅስቃሴ) ስርዓቱ, የአንደኛ ደረጃ ለውጦችን በመጠቀም ወደ ይቀንሳል ደረጃ በደረጃ , ወይም ሦስት ማዕዘን ቅጽ, እና በሁለተኛው ደረጃ (በተቃራኒው) ከመጨረሻው ተለዋዋጭ ቁጥር ጀምሮ, ከተፈጠረው የእርምጃ ስርዓት የማይታወቁትን መወሰን, ቅደም ተከተል አለ.

የዚህን ሥርዓት ቅንጅት እንውሰድ
አለበለዚያ በሲስተሙ ውስጥ የመጀመሪያው ረድፍ ከሌላው ረድፍ ጋር በመቀያየር ኮፊሸን በ ከዜሮ የተለየ ነበር።

ያልታወቀን በማስወገድ ስርዓቱን እንለውጥ ከመጀመሪያው በስተቀር በሁሉም እኩልታዎች. ይህንን ለማድረግ, የመጀመሪያውን እኩልታ ሁለቱንም ጎኖች በ እና ከስርአቱ ሁለተኛ እኩልታ ጋር ቃል በቃል ይጨምሩ። ከዚያም የመጀመሪያውን እኩልታ ሁለቱንም ጎኖች በ እና ወደ ስርዓቱ ሶስተኛው እኩልታ ይጨምሩ. ይህን ሂደት በመቀጠል, ተመጣጣኝ ስርዓቱን እናገኛለን

እዚህ
- ከመጀመሪያው እርምጃ በኋላ የተገኙ አዲስ የቁጥር እና የነፃ ቃላት እሴቶች።

በተመሳሳይም ዋናውን አካል ግምት ውስጥ ማስገባት
, ያልታወቀን አስወግድ ከመጀመሪያው እና ከሁለተኛው በስተቀር ከሁሉም የስርዓቱ እኩልታዎች. በተቻለ መጠን ይህን ሂደት እንቀጥል, እና በውጤቱም ደረጃ በደረጃ ስርዓት እናገኛለን

,

የት ,
,…,- የስርዓቱ ዋና ዋና ነገሮች
.

ስርዓቱን ወደ ደረጃ በደረጃ በመቀነስ ሂደት ውስጥ, እኩልታዎች ይታያሉ, ማለትም, የቅጹ እኩልነት.
, በማንኛውም የቁጥሮች ስብስብ ስለረኩ ይጣላሉ
. ከሆነ
የቅጹ እኩልታ ምንም መፍትሄዎች ከሌለው, ይህ የስርዓቱን አለመጣጣም ያሳያል.

በተገላቢጦሽ ስትሮክ ወቅት፣ የመጀመሪያው ያልታወቀ ከተለወጠው የእርምጃ ስርዓት የመጨረሻ እኩልታ ይገለጻል። በሌሎች ያልታወቁ ነገሮች ሁሉ
የሚባሉት ፍርይ . ከዚያም ተለዋዋጭ አገላለጽ ከስርአቱ የመጨረሻ እኩልታ ወደ ፔነልቲሜት እኩልነት ተተካ እና ተለዋዋጭው ከሱ ይገለጻል.
. ተለዋዋጮች በተመሳሳይ መንገድ በቅደም ተከተል ይገለጻሉ።
. ተለዋዋጮች
, በነፃ ተለዋዋጮች ይገለጻል, ይባላሉ መሰረታዊ (ጥገኛ)። ውጤቱም የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓት አጠቃላይ መፍትሄ ነው.

ማግኘት የግል መፍትሄ ስርዓቶች, ነጻ ያልታወቀ
በአጠቃላይ መፍትሄ የዘፈቀደ ዋጋዎች ተመድበዋል እና የተለዋዋጮች እሴቶች ይሰላሉ
.

የስርአቱ እኩልታዎችን ሳይሆን የስርዓቱን የተራዘመ ማትሪክስ ለአንደኛ ደረጃ ለውጦች መገዛት በቴክኒካዊ የበለጠ ምቹ ነው።

.

የ Gauss ዘዴ አራት ማዕዘን ብቻ ሳይሆን የማይታወቁ ቁጥር ያላቸውን አራት ማዕዘን ቅርጾችን ለመፍታት የሚያስችል ሁለንተናዊ ዘዴ ነው.
ከእኩልታዎች ብዛት ጋር እኩል አይደለም
.

የዚህ ዘዴ ጠቀሜታ የተራዘመውን ማትሪክስ ከሰጠን በመፍታት ሂደት ውስጥ ስርዓቱን ለተኳሃኝነት በተመሳሳይ ጊዜ እንመረምራለን ።
ደረጃ በደረጃ ቅፅ, የማትሪክስ ደረጃዎችን ለመወሰን ቀላል ነው እና የተራዘመ ማትሪክስ
እና ያመልክቱ Kronecker-Capelli ቲዎረም .

ምሳሌ 2.1የ Gauss ዘዴን በመጠቀም ስርዓቱን ይፍቱ

መፍትሄ. የእኩልታዎች ብዛት
እና ያልታወቁት ቁጥር
.

በማትሪክስ በስተቀኝ ያለውን ቅንጅቶችን በመመደብ የስርዓቱን የተራዘመ ማትሪክስ እንፍጠር ነጻ አባላት አምድ .

ማትሪክስ እናቅርብ ወደ ሦስት ማዕዘን እይታ; ይህንን ለማድረግ የአንደኛ ደረጃ ለውጦችን በመጠቀም በዋናው ዲያግናል ላይ ከሚገኙት ንጥረ ነገሮች በታች "0" እናገኛለን.

በመጀመሪያው ዓምድ ሁለተኛ ቦታ ላይ "0" ለማግኘት, የመጀመሪያውን ረድፍ በ (-1) በማባዛት እና በሁለተኛው ረድፍ ላይ ይጨምሩ.

ይህንን ለውጥ እንደ ቁጥር (-1) ከመጀመሪያው መስመር ጋር እንጽፋለን እና ከመጀመሪያው መስመር ወደ ሁለተኛው መስመር በሚሄድ ቀስት እናሳያለን.

በመጀመሪያው ዓምድ ሦስተኛው ቦታ ላይ "0" ለማግኘት, የመጀመሪያውን ረድፍ በ (-3) በማባዛት እና ወደ ሦስተኛው ረድፍ መጨመር; ከመጀመሪያው መስመር ወደ ሦስተኛው የሚሄድ ቀስት በመጠቀም ይህን ድርጊት እናሳየው.

.

በውጤቱ ማትሪክስ ውስጥ, በማትሪክስ ሰንሰለት ውስጥ ሁለተኛ የተጻፈው, በሦስተኛው ቦታ ላይ በሁለተኛው አምድ ውስጥ "0" እናገኛለን. ይህንን ለማድረግ, ሁለተኛውን መስመር በ (-4) በማባዛት ወደ ሶስተኛው ጨምረናል. በውጤቱ ማትሪክስ ውስጥ ሁለተኛውን ረድፍ በ (-1) ማባዛት እና ሶስተኛውን በ (-8) ይከፋፍሉት. ሁሉም የዚህ ማትሪክስ አካላት ከዲያግናል አካላት በታች ያሉት ዜሮዎች ናቸው።

ምክንያቱም , ስርዓቱ የጋራ እና የተገለጸ ነው.

ከመጨረሻው ማትሪክስ ጋር የሚዛመደው የእኩልታ ስርዓት ሶስት ማዕዘን ቅርፅ አለው፡-

ከመጨረሻው (ሦስተኛው) እኩልታ
. በሁለተኛው እኩልታ ውስጥ ይተኩ እና ያግኙ
.

እንተኩ
እና
ወደ መጀመሪያው እኩልታ, እናገኛለን


.