የተሟላ ባለአራት እኩልታዎችን መፍታት። ባለአራት እኩልታዎች

", ማለትም, የመጀመሪያ ዲግሪ እኩልታዎች. በዚህ ትምህርት ውስጥ እንመለከታለን ኳድራቲክ እኩልታ የሚባለውእና እንዴት እንደሚፈታ.

ኳድራቲክ እኩልታ ምንድን ነው?

አስፈላጊ!

የአንድ እኩልታ ደረጃ የሚወሰነው በማይታወቅበት ከፍተኛ ደረጃ ነው።

የማይታወቅበት ከፍተኛው ሃይል “2” ከሆነ፣ ኳድራቲክ እኩልታ አለዎት።

የኳድራቲክ እኩልታዎች ምሳሌዎች

5x 2 - 14x + 17 = 0
-x 2 + x +
1
3
= 0
x 2 + 0.25x = 0
x 2 - 8 = 0

አስፈላጊ! የኳድራቲክ እኩልታ አጠቃላይ ቅርፅ ይህንን ይመስላል።

ሀ x 2 + b x + c = 0

“a”፣ “b” እና “c” ቁጥሮች ተሰጥተዋል።

"a" የመጀመሪያው ወይም ከፍተኛው ቅንጅት ነው;
"ለ" ሁለተኛው ኮፊሸን ነው;
“ሐ” ነፃ ቃል ነው።

“a”፣ “b” እና “c”ን ለማግኘት የእርስዎን እኩልታ ከአጠቃላይ የኳድራቲክ እኩልታ “ax 2 + bx + c = 0” ጋር ማወዳደር ያስፈልግዎታል።

በ quadratic equations ውስጥ "a", "b" እና "c" መለኪያዎችን ለመወሰን እንለማመድ.

5x 2 - 14x + 17 = 0 -7x 2 - 13x + 8 = 0 -x 2 + x +

እኩልታው	ዕድሎች
ሀ = 5 ለ = -14 ሐ = 17
ሀ = -7 ለ = -13 ሐ = 8

= 0

ሀ = -1
ለ = 1
ሐ =
1
3

x 2 + 0.25x = 0

ሀ = 1
ለ = 0.25
ሐ = 0

x 2 - 8 = 0

ሀ = 1
ለ = 0
ሐ = -8

ኳድራቲክ እኩልታዎችን እንዴት መፍታት እንደሚቻል

ከመስመር እኩልታዎች በተለየ፣ ኳድራቲክ እኩልታዎችን ለመፍታት ልዩ ዘዴ ጥቅም ላይ ይውላል። ሥሮችን ለማግኘት ቀመር.

አስታውስ!

ባለአራት እኩልታን ለመፍታት የሚከተሉትን ያስፈልግዎታል

የኳድራቲክ እኩልታውን ወደ አጠቃላይ ቅፅ "ax 2 + bx + c = 0" አምጣ. ማለትም "0" ብቻ በቀኝ በኩል መቆየት አለበት;
ለሥሩ ቀመር ይጠቀሙ

የኳድራቲክ እኩልታ ሥሩን ለማግኘት ቀመሩን እንዴት እንደምንጠቀም የሚያሳይ ምሳሌ እንመልከት። ኳድራቲክ እኩልታ እንፍታ።

X 2 - 3x - 4 = 0

የ "x 2 - 3x - 4 = 0" እኩልነት ቀድሞውኑ ወደ አጠቃላይ ቅፅ "ax 2 + bx + c = 0" ተቀንሷል እና ተጨማሪ ማቅለል አያስፈልገውም. እሱን ለመፍታት, ማመልከት ብቻ ያስፈልገናል የኳድራቲክ እኩልታ ሥሮችን ለማግኘት ቀመር.

ለዚህ እኩልታ “a”፣ “b” እና “c” ን (coefficients) እንወስን።

x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =

ማንኛውንም ባለአራት እኩልታ ለመፍታት ሊያገለግል ይችላል።

በቀመር "x 1;2 =" ውስጥ አክራሪ አገላለጽ ብዙ ጊዜ ይተካል
ለ "D" ፊደል "b 2 - 4ac" እና አድልዎ ይባላል. የአድሎአዊነት ጽንሰ-ሐሳብ "መድልዎ ምንድን ነው" በሚለው ትምህርት ውስጥ በበለጠ ዝርዝር ተብራርቷል.

የኳድራቲክ እኩልታ ሌላ ምሳሌ እንመልከት።

x 2 + 9 + x = 7x

በዚህ ቅፅ፣ “a”፣ “b” እና “c” ን መጠኖቹን ለመወሰን በጣም ከባድ ነው። በመጀመሪያ እኩልታውን ወደ አጠቃላይ ቅፅ “ax 2 + bx + c = 0” እንቀንስ።

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x - 7x = 0
x 2 + 9 - 6x = 0
x 2 - 6x + 9 = 0

አሁን ለሥሮቹ ቀመር መጠቀም ይችላሉ.

X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x =

x = 3
መልስ፡- x = 3

ኳድራቲክ እኩልታዎች ሥር የሌላቸውባቸው ጊዜያት አሉ። ይህ ሁኔታ የሚከሰተው ቀመሩ ከሥሩ ስር አሉታዊ ቁጥር ሲይዝ ነው.

በዘመናዊው ህብረተሰብ ውስጥ አራት ማዕዘን ቅርጾችን ከያዙ እኩልታዎች ጋር ክዋኔዎችን የማከናወን ችሎታ በብዙ የእንቅስቃሴ መስኮች ጠቃሚ ሊሆን ይችላል እና በሳይንሳዊ እና ቴክኒካዊ እድገቶች በተግባር በሰፊው ጥቅም ላይ ይውላል። የባህር እና የወንዝ መርከቦች፣ አውሮፕላኖች እና ሚሳኤሎች ዲዛይን ላይ ለዚህ ማስረጃ ማቅረብ ይቻላል። እንደነዚህ ያሉትን ስሌቶች በመጠቀም የጠፈር ቁሳቁሶችን ጨምሮ የተለያዩ የተለያየ አካላት የመንቀሳቀስ አቅጣጫዎች ይወሰናሉ. ከኳድራቲክ እኩልታዎች መፍትሄ ጋር ምሳሌዎች በኢኮኖሚ ትንበያ ፣ በህንፃዎች ዲዛይን እና ግንባታ ላይ ብቻ ሳይሆን በጣም በተለመደው የዕለት ተዕለት ሁኔታዎች ውስጥም ያገለግላሉ ። በእግር ጉዞዎች, በስፖርት ዝግጅቶች, በመደብሮች ውስጥ ግዢ ሲፈጽሙ እና ሌሎች በጣም የተለመዱ ሁኔታዎች ያስፈልጉ ይሆናል.

አገላለጹን ወደ ክፍሎቹ ምክንያቶች እንከፋፍል።

የአንድ እኩልነት ደረጃ የሚወሰነው አገላለጹ በያዘው በተለዋዋጭ ከፍተኛው እሴት ነው። ከ 2 ጋር እኩል ከሆነ, እንዲህ ዓይነቱ እኩልታ ኳድራቲክ ይባላል.

በቀመር ቋንቋ የምንናገር ከሆነ የጠቆሙት አገላለጾች ምንም ቢመስሉ ሁልጊዜም በግራ በኩል ያለው አገላለጽ ሦስት ቃላትን ሲይዝ ወደ ቅጹ ሊቀርቡ ይችላሉ። ከነሱ መካከል፡- መጥረቢያ 2 (ይህም ተለዋዋጭ ስኩዌር ከኮፊቲፊሽኑ ጋር)፣ bx (ካሬ ከሌለው ኮፊፊሸንት ጋር የማይታወቅ) እና ሐ (ነፃ አካል ማለትም ተራ ቁጥር)። በቀኝ በኩል ያለው ይህ ሁሉ ከ 0 ጋር እኩል ነው ። እንዲህ ዓይነቱ ፖሊኖሚል አንድ አካል ከሌለው ፣ ከመጥረቢያ 2 በስተቀር ፣ ያልተጠናቀቀ ኳድራቲክ እኩልታ ይባላል። ከእንደዚህ አይነት ችግሮች መፍትሄ ጋር ምሳሌዎች ፣ በቀላሉ ሊገኙባቸው የሚችሉ የተለዋዋጮች እሴቶች በመጀመሪያ ግምት ውስጥ መግባት አለባቸው።

አገላለጹ በቀኝ በኩል ሁለት ቃላቶች ያሉት ከመሰለ፣ በትክክል መጥረቢያ 2 እና bx፣ xን ለማግኘት ቀላሉ መንገድ ተለዋዋጭውን ከቅንፍ ውስጥ በማስቀመጥ ነው። አሁን የእኛ እኩልነት ይህን ይመስላል፡ x(ax+b)። በመቀጠል፣ አንድም x=0፣ ወይም ችግሩ የሚመጣው ከሚከተለው አገላለጽ ተለዋዋጭ ለማግኘት እንደሆነ ግልጽ ይሆናል፡ ax+b=0። ይህ የማባዛት ባህሪያት በአንዱ የታዘዘ ነው። ደንቡ የሁለት ነገሮች ምርት 0 ውጤት እንደሚያስገኝ ከመካከላቸው አንዱ ዜሮ ከሆነ ብቻ ነው.

ለምሳሌ

x=0 ወይም 8x - 3 = 0

በውጤቱም, የእኩልታውን ሁለት ሥሮች እናገኛለን: 0 እና 0.375.

የዚህ አይነት እኩልታዎች በስበት ኃይል ተጽእኖ ስር ያሉ አካላትን እንቅስቃሴ ሊገልጹ ይችላሉ, ይህም እንደ መጋጠሚያዎች አመጣጥ ከተወሰደው የተወሰነ ነጥብ መንቀሳቀስ ጀመረ. እዚህ የሂሳብ አጻጻፍ የሚከተለውን ቅጽ ይወስዳል፡ y = v 0 t + gt 2/2. አስፈላጊ የሆኑትን እሴቶች በመተካት, ትክክለኛውን ጎን ከ 0 ጋር በማመሳሰል እና የማይታወቁ ሊሆኑ የሚችሉትን በማግኘት, ሰውነት ከተነሳበት ጊዜ አንስቶ እስከ መውደቅ ድረስ የሚያልፍበትን ጊዜ እና ሌሎች ብዙ መጠኖችን ማወቅ ይችላሉ. ግን ስለዚህ ጉዳይ በኋላ እንነጋገራለን.

መግለጫ መፍጠር

ከላይ የተገለጸው ደንብ እነዚህን ችግሮች ይበልጥ ውስብስብ በሆኑ ጉዳዮች ላይ ለመፍታት ያስችላል. የዚህ ዓይነቱን ባለአራት እኩልታዎች የመፍታት ምሳሌዎችን እንመልከት።

X 2 - 33x + 200 = 0

ይህ ባለአራት ትሪኖሚል ተጠናቅቋል። በመጀመሪያ፣ አገላለጹን እንለውጥ እና እንፍጠር። ከእነዚህ ውስጥ ሁለቱ አሉ፡- (x-8) እና (x-25) = 0. በውጤቱም ሁለት ሥር 8 እና 25 አለን።

በ9ኛ ክፍል ኳድራቲክ እኩልታዎችን የመፍታት ምሳሌዎች ይህ ዘዴ የሁለተኛውን ብቻ ሳይሆን የሦስተኛው እና አራተኛውን ትዕዛዝ እንኳ ተለዋዋጭ እንዲያገኝ ያስችለዋል።

ለምሳሌ፡- 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. የቀኝ ጎኑን ከተለዋዋጭ ጋር ወደ ፋክተሮች ሲቀይሩ ሦስቱ ማለትም (x+1)፣ (x-3) እና (x+) አሉ። 3)

በውጤቱም, ይህ እኩልታ ሶስት ሥሮች እንዳሉት ግልጽ ይሆናል: -3; -1; 3.

ካሬ ሥር

ሌላው ያልተሟላ የሁለተኛ ደረጃ እኩልታ ጉዳይ በፊደላት ቋንቋ የተወከለው አገላለጽ ነው የቀኝ ጎን ከክፍሎቹ መጥረቢያ 2 እና ሐ. እዚህ, የተለዋዋጭውን ዋጋ ለማግኘት, ነፃው ቃል ወደ ቀኝ በኩል ይዛወራል, እና ከዚያ በኋላ የካሬው ሥር ከሁለቱም የእኩልነት ጎኖች ይወጣል. በዚህ ጉዳይ ላይ ብዙውን ጊዜ የእኩልታው ሁለት ሥሮች እንዳሉ ልብ ሊባል ይገባል. ልዩነቱ ከዜሮ ጋር እኩል የሆነበት፣ እንዲሁም የቀኝ ጎኑ አሉታዊ ሆኖ ሲገኝ የአገላለጾች ተለዋዋጮች ጨርሶ ያልያዙ እኩልነቶች ሊሆኑ ይችላሉ። በኋለኛው ሁኔታ, ከላይ የተጠቀሱት ድርጊቶች ከሥሮች ጋር ሊከናወኑ ስለማይችሉ, ምንም መፍትሄዎች የሉም. የዚህ ዓይነቱ አራት ማዕዘን እኩልታዎች መፍትሄዎች ምሳሌዎች ግምት ውስጥ መግባት አለባቸው.

በዚህ ሁኔታ, የእኩልታው ሥሮች ቁጥሮች -4 እና 4 ይሆናሉ.

የመሬት ስፋት ስሌት

የዚህ ዓይነቱ ስሌቶች አስፈላጊነት በጥንት ጊዜ ታየ, ምክንያቱም በእነዚያ ሩቅ ጊዜያት የሂሳብ እድገቱ በአብዛኛው የሚወሰነው የመሬት ቦታዎችን እና አከባቢዎችን በከፍተኛ ትክክለኛነት የመወሰን አስፈላጊነት ነው.

በዚህ አይነት ችግሮች ላይ ተመስርተው ኳድራቲክ እኩልታዎችን የመፍታት ምሳሌዎችንም ማጤን አለብን።

ስለዚህ, አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው መሬት አለ እንበል, ርዝመቱ ከስፋቱ 16 ሜትር ይበልጣል. የቦታው ስፋት 612 ሜ 2 መሆኑን ካወቁ የጣቢያው ርዝመት, ስፋት እና ፔሪሜትር ማግኘት አለብዎት.

ለመጀመር መጀመሪያ አስፈላጊውን እኩልታ እንፍጠር። የቦታውን ስፋት በ x እንጥቀስ፣ ከዚያ ርዝመቱ (x+16) ይሆናል። ከተጻፈው መረዳት እንደሚቻለው ቦታው የሚወሰነው x(x+16) በሚለው አገላለጽ ሲሆን እንደ ችግራችን ሁኔታ 612. ይህ ማለት x(x+16) = 612 ነው።

የተሟላ ባለአራት እኩልታዎችን መፍታት, እና ይህ አገላለጽ በትክክል ነው, በተመሳሳይ መንገድ ሊከናወን አይችልም. ለምን? ምንም እንኳን የግራ በኩል አሁንም ሁለት ምክንያቶችን ቢይዝም, ምርታቸው ከ 0 ጋር እኩል አይደለም, ስለዚህ እዚህ የተለያዩ ዘዴዎች ጥቅም ላይ ይውላሉ.

አድሎአዊ

በመጀመሪያ ደረጃ, አስፈላጊ ለውጦችን እናደርጋለን, ከዚያም የዚህ አገላለጽ ገጽታ እንደዚህ ይመስላል: x 2 + 16x - 612 = 0. ይህ ማለት አገላለጹን ቀደም ሲል ከተጠቀሰው መስፈርት ጋር በሚዛመድ ቅጽ ተቀብለናል ማለት ነው. a=1፣ b=16፣ c= -612

ይህ አድሎአዊ በመጠቀም ኳድራቲክ እኩልታዎችን የመፍታት ምሳሌ ሊሆን ይችላል። እዚህ ላይ አስፈላጊዎቹ ስሌቶች በእቅዱ መሰረት ይከናወናሉ: D = b 2 - 4ac. ይህ ረዳት መጠን የሚፈለገውን መጠን በሁለተኛ ደረጃ ስሌት ውስጥ ለማግኘት ብቻ ሳይሆን, ሊሆኑ የሚችሉ አማራጮችን ቁጥር ይወስናል. D>0 ከሆነ ሁለቱ አሉ; ለ D=0 አንድ ሥር አለ። ጉዳይ ዲ<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

ስለ ሥሮች እና ቀመራቸው

በእኛ ሁኔታ አድሎአዊው እኩል ነው፡ 256 - 4(-612) = 2704. ይህ የሚያሳየው ችግራችን መልስ እንዳለው ነው። k የሚያውቁ ከሆነ፣ የኳድራቲክ እኩልታዎች መፍትሄ ከዚህ በታች ያለውን ቀመር በመጠቀም መቀጠል አለበት። ሥሮቹን ለማስላት ያስችልዎታል.

ይህም ማለት በቀረበው ጉዳይ፡- x 1 =18, x 2 =-34. በዚህ አጣብቂኝ ውስጥ ያለው ሁለተኛው አማራጭ መፍትሄ ሊሆን አይችልም, ምክንያቱም የመሬቱ ስፋት መጠን በአሉታዊ መጠን ሊለካ አይችልም, ማለትም x (ማለትም የቦታው ስፋት) 18 ሜትር ነው.ከዚህ ርዝመቱን እናሰላለን: 18 +16=34፣ እና ፔሪሜትር 2(34+ 18)=104(m2)።

ምሳሌዎች እና ተግባራት

የኳድራቲክ እኩልታዎች ጥናታችንን እንቀጥላለን. የብዙዎቹ ምሳሌዎች እና ዝርዝር መፍትሄዎች ከዚህ በታች ይሰጣሉ።

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

ሁሉንም ነገር ወደ እኩልነት በግራ በኩል እናንቀሳቅስ, ትራንስፎርሜሽን እንሰራለን, ማለትም, ብዙውን ጊዜ መደበኛ ተብሎ የሚጠራውን የእኩልነት አይነት እናገኛለን እና ከዜሮ ጋር እኩል ይሆናል.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

ተመሳሳይ የሆኑትን በመጨመር አድሎአዊውን እንወስናለን፡ D = 49 - 48 = 1. ይህ ማለት የእኛ እኩልነት ሁለት ሥር ይኖረዋል ማለት ነው። ከላይ በተጠቀሰው ቀመር መሰረት እናሰላቸዋለን, ይህም ማለት የመጀመሪያው ከ 4/3, እና ሁለተኛው ከ 1 ጋር እኩል ይሆናል.

2) አሁን ሌላ ዓይነት ምስጢሮችን እንፍታ.

እዚ ስሮች እንዳሉ እንወቅ x 2 - 4x + 5 = 1? አጠቃላይ መልስ ለማግኘት፣ ፖሊኖሚሉን ወደ ተጓዳኝ የተለመደው ቅጽ እንቀንስ እና አድሎአዊውን እናሰላ። ከላይ ባለው ምሳሌ, የኳድራቲክ እኩልታውን መፍታት አስፈላጊ አይደለም, ምክንያቱም ይህ የችግሩ ዋነኛ ነገር አይደለም. በዚህ ሁኔታ, D = 16 - 20 = -4, ይህም ማለት በእውነቱ ምንም ሥሮች የሉም.

የቪዬታ ጽንሰ-ሐሳብ

የካሬው ሥሩ ከኋለኛው እሴት ሲወሰድ ከላይ ያሉትን ቀመሮች እና አድልዎ በመጠቀም ኳድራቲክ እኩልታዎችን ለመፍታት ምቹ ነው። ግን ይህ ሁልጊዜ የሚከሰት አይደለም. ሆኖም ግን, በዚህ ጉዳይ ላይ የተለዋዋጮችን ዋጋዎች ለማግኘት ብዙ መንገዶች አሉ. ምሳሌ፡ የቪዬታ ቲዎሬምን በመጠቀም ባለአራት እኩልታዎችን መፍታት። እሷ የተሰየመችው በ16ኛው መቶ ክፍለ ዘመን በፈረንሳይ የኖረች እና በሂሳብ ችሎታው እና በፍርድ ቤት ውስጥ ስላለው ግንኙነት ድንቅ ስራ በሰራችው ስም ነው። የእሱ ምስል በአንቀጹ ውስጥ ይታያል.

ታዋቂው ፈረንሳዊ ሰው ያስተዋለው ንድፍ የሚከተለው ነበር። የእኩልታው ሥሮች በቁጥር ወደ -p=b/a እንደሚጨመሩ አረጋግጧል፣ ምርታቸውም q=c/a ጋር ይዛመዳል።

አሁን የተወሰኑ ተግባራትን እንመልከት.

3x 2 + 21x - 54 = 0

ለቀላልነት፣ አገላለጹን እንለውጠው፡-

x 2 + 7x - 18 = 0

የቪዬታ ጽንሰ-ሐሳብን እንጠቀም, ይህ የሚከተለውን ይሰጠናል-የሥሮቹ ድምር -7, እና ምርታቸው -18 ነው. ከዚህ የምንረዳው የእኩልታው ሥሮች ቁጥሮች -9 እና 2 ናቸው ። ከተጣራ በኋላ እነዚህ ተለዋዋጭ እሴቶች በትክክል ከገለፃው ጋር እንደሚስማሙ እናረጋግጣለን።

የፓራቦላ ግራፍ እና እኩልታ

የኳድራቲክ ተግባር እና የኳድራቲክ እኩልታዎች ጽንሰ-ሀሳቦች በቅርበት የተሳሰሩ ናቸው። የዚህ ምሳሌዎች ቀደም ብለው ተሰጥተዋል. አሁን አንዳንድ የሂሳብ እንቆቅልሾችን በጥቂቱ በዝርዝር እንመልከት። የተገለጸው ዓይነት ማንኛውም እኩልታ በምስል ሊወከል ይችላል። እንደ ግራፍ የተቀረጸው እንዲህ ዓይነቱ ግንኙነት ፓራቦላ ተብሎ ይጠራል. የእሱ የተለያዩ ዓይነቶች ከዚህ በታች ባለው ስእል ቀርበዋል.

ማንኛውም ፓራቦላ አንድ ጫፍ አለው, ማለትም, ቅርንጫፎቹ የሚወጡበት ነጥብ ነው. a>0 ከሆነ፣ ወደ ወሰን አልባነት ይሄዳሉ፣ እና መቼ ሀ<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

የተግባር ምስላዊ መግለጫዎች አራት ማዕዘን ቅርጾችን ጨምሮ ማናቸውንም እኩልታዎች ለመፍታት ይረዳሉ። ይህ ዘዴ ግራፊክ ተብሎ ይጠራል. እና የ x ተለዋዋጭ እሴት የግራፍ መስመር ከ 0x ጋር በሚቆራረጥባቸው ቦታዎች ላይ የ abscissa መጋጠሚያ ነው. የቬርቴክሱ መጋጠሚያዎች አሁን በ x 0 = -b/2a የተሰጠውን ቀመር በመጠቀም ሊገኙ ይችላሉ። እና የተገኘውን እሴት ወደ የተግባሩ የመጀመሪያ እኩልታ በመተካት ፣ y 0ን ፣ ማለትም ፣ የ ordinate ዘንግ ንብረት የሆነውን የፓራቦላ ወርድ ሁለተኛ መጋጠሚያ ማወቅ ይችላሉ ።

ከ abscissa ዘንግ ጋር የፓራቦላ ቅርንጫፎች መገናኛ

ኳድራቲክ እኩልታዎችን ለመፍታት ብዙ ምሳሌዎች አሉ ፣ ግን አጠቃላይ ቅጦችም አሉ። እስቲ እንያቸው። የግራፉ መገናኛ ከ0x ዘንግ ለ a>0 የሚቻለው 0 አሉታዊ እሴቶችን ከወሰደ ብቻ እንደሆነ ግልጽ ነው። እና ለ<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. አለበለዚያ ዲ<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

ከፓራቦላ ግራፍ ደግሞ ሥሮቹን መወሰን ይችላሉ. ተቃራኒውም እውነት ነው። ማለትም የኳድራቲክ ተግባር ምስላዊ ውክልና ለማግኘት ቀላል ካልሆነ የቃሉን የቀኝ ጎን ከ 0 ጋር ማመሳሰል እና የተገኘውን እኩልታ መፍታት ይችላሉ። እና የመገናኛ ነጥቦችን ከ 0x ዘንግ ጋር ማወቅ, ግራፍ ለመሥራት ቀላል ነው.

ከታሪክ

አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ተለዋዋጭ የያዙ እኩልታዎችን በመጠቀም, በጥንት ጊዜ የሂሳብ ስሌቶችን ብቻ ሳይሆን የጂኦሜትሪክ ምስሎችን ቦታዎችን ይወስናሉ. የጥንት ሰዎች በፊዚክስ እና በሥነ ፈለክ መስክ ለተደረጉ ታላላቅ ግኝቶች እንዲሁም የኮከብ ቆጠራ ትንበያዎችን ለመሥራት እንዲህ ዓይነት ስሌት ያስፈልጋቸዋል።

ዘመናዊ ሳይንቲስቶች እንደሚጠቁሙት የባቢሎን ነዋሪዎች አራት እኩልታዎችን ለመፍታት የመጀመሪያዎቹ ናቸው. ይህ የሆነው ከዘመናችን አራት መቶ ዓመታት በፊት ነው። እርግጥ ነው፣ ስሌታቸው በአሁኑ ጊዜ ተቀባይነት ካላቸው እና በጣም ጥንታዊ ሆኖ ከተገኘ በጣም የተለየ ነበር። ለምሳሌ፣ የሜሶጶጣሚያን የሂሳብ ሊቃውንት ስለ አሉታዊ ቁጥሮች መኖር ምንም ሀሳብ አልነበራቸውም። እንዲሁም ማንኛውም የዘመናዊ ትምህርት ቤት ልጅ የሚያውቀውን ሌሎች ረቂቅ ዘዴዎችን አያውቁም ነበር።

ምናልባትም ከባቢሎን ሳይንቲስቶች ቀደም ብሎ ከህንድ ባውዲያማ የመጣው ጠቢብ አራት ማዕዘን ቅርጾችን መፍታት ጀመረ. ይህ የሆነው ከክርስቶስ ዘመን ስምንት መቶ ዓመታት በፊት ነው። እውነት ነው, የሁለተኛ ደረጃ እኩልታዎች, እሱ የሰጣቸውን የመፍታት ዘዴዎች በጣም ቀላል ናቸው. ከእሱ በተጨማሪ ቻይናውያን የሂሳብ ሊቃውንት በጥንት ጊዜ ተመሳሳይ ጥያቄዎችን ይፈልጋሉ. በአውሮፓ የኳድራቲክ እኩልታዎች መፈታት የጀመሩት በ 13 ኛው ክፍለ ዘመን መጀመሪያ ላይ ብቻ ነው, በኋላ ግን እንደ ኒውተን, ዴካርት እና ሌሎች ብዙ ታላላቅ ሳይንቲስቶች በስራቸው ውስጥ ጥቅም ላይ ውለዋል.

በዚህ የሂሳብ ፕሮግራም ማድረግ ይችላሉ። ኳድራቲክ እኩልታ መፍታት.

ፕሮግራሙ ለችግሩ መልስ ብቻ ሳይሆን የመፍትሄውን ሂደት በሁለት መንገዶች ያሳያል.
- አድልዎ በመጠቀም
- የቪዬታ ቲዎሪ (ከተቻለ) በመጠቀም።

ከዚህም በላይ መልሱ እንደ ትክክለኛ እንጂ ግምታዊ አይደለም.
ለምሳሌ፣ ለእኩል $81x^2-16x-1=0$ መልሱ በሚከተለው መልክ ይታያል።

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81)፣ \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ እና እንደዚህ አይደለም፡ $x_1 = 0.247; \ ኳድ x_2 = -0.05 $

ይህ ፕሮግራም ለሁለተኛ ደረጃ ትምህርት ቤት ተማሪዎች በአጠቃላይ ትምህርት ቤቶች ለፈተና እና ለፈተና ሲዘጋጁ፣ ከዩኒየፍድ ስቴት ፈተና በፊት ዕውቀትን ሲፈትኑ እና ወላጆች በሂሳብ እና በአልጀብራ ውስጥ ያሉ ብዙ ችግሮችን ለመፍታት ጠቃሚ ሊሆን ይችላል። ወይም ሞግዚት መቅጠር ወይም አዲስ የመማሪያ መጽሐፍ መግዛት ለእርስዎ በጣም ውድ ሊሆን ይችላል? ወይም የእርስዎን የሂሳብ ወይም የአልጀብራ የቤት ስራ በተቻለ ፍጥነት ማከናወን ይፈልጋሉ? በዚህ አጋጣሚ ፕሮግራሞቻችንን ከዝርዝር መፍትሄዎች ጋር መጠቀም ይችላሉ.

በዚህ መንገድ የራሳችሁን ስልጠና እና/ወይም ታናሽ ወንድሞቻችሁን ወይም እህቶቻችሁን ማሰልጠን ትችላላችሁ።

ወደ ኳድራቲክ ፖሊኖሚል ለመግባት ደንቦችን ካላወቁ እራስዎን በደንብ እንዲያውቁት እንመክራለን.

ወደ ኳድራቲክ ፖሊኖሚል ለመግባት ህጎች

ማንኛውም የላቲን ፊደል እንደ ተለዋዋጭ ሊሠራ ይችላል.
ለምሳሌ፡- $x, y, z, a, b, c, o, p, q$ ወዘተ.

ቁጥሮች እንደ ሙሉ ወይም ክፍልፋይ ቁጥሮች ሊገቡ ይችላሉ።
ከዚህም በላይ ክፍልፋይ ቁጥሮች በአስርዮሽ መልክ ብቻ ሳይሆን በተለመደው ክፍልፋይ መልክም ሊገቡ ይችላሉ.

የአስርዮሽ ክፍልፋዮችን ለማስገባት ህጎች።
በአስርዮሽ ክፍልፋዮች፣ ክፍልፋዩ ክፍል ከጠቅላላው ክፍል በወር ወይም በነጠላ ሰረዝ ሊለያይ ይችላል።
ለምሳሌ፣ እንደዚህ አይነት የአስርዮሽ ክፍልፋዮችን ማስገባት ትችላለህ፡ 2.5x - 3.5x^2

ተራ ክፍልፋዮችን ለማስገባት ደንቦች.
ሙሉ ቁጥር ብቻ የአንድ ክፍልፋይ አሃዛዊ፣ አካፋይ እና ኢንቲጀር ክፍል ሆኖ መስራት ይችላል።

መለያው አሉታዊ ሊሆን አይችልም።

የቁጥር ክፍልፋይን በሚያስገቡበት ጊዜ አሃዛዊው ከመለያው በክፍል ምልክት ይለያል፡- /
ጠቅላላው ክፍል በአምፐርሳንድ ምልክት ከክፍልፋዩ ተለይቷል፡- &
ግቤት፡ 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
ውጤት፡ $3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2$

መግለጫ ሲያስገቡ ቅንፎችን መጠቀም ይችላሉ. በዚህ ሁኔታ, አራት ማዕዘን ቅርጾችን በሚፈታበት ጊዜ, የተዋወቀው አገላለጽ በመጀመሪያ ቀለል ይላል.
ለምሳሌ፡- 1/2(y-1)(y+1)-(5ይ-10&1/2)

ይወስኑ

ይህንን ችግር ለመፍታት አስፈላጊ የሆኑ አንዳንድ ስክሪፕቶች እንዳልተጫኑ ታወቀ፣ እና ፕሮግራሙ ላይሰራ ይችላል።
AdBlock የነቃ ሊሆን ይችላል።
በዚህ አጋጣሚ ያሰናክሉት እና ገጹን ያድሱት።

ጃቫ ስክሪፕት በአሳሽዎ ውስጥ ተሰናክሏል።
መፍትሄው እንዲታይ ጃቫ ስክሪፕትን ማንቃት ያስፈልግዎታል።
በአሳሽዎ ውስጥ ጃቫ ስክሪፕትን እንዴት ማንቃት እንደሚችሉ መመሪያዎች እዚህ አሉ።

ምክንያቱም ችግሩን ለመፍታት ፍቃደኛ የሆኑ ብዙ ሰዎች አሉ፣ ጥያቄዎ ተሰልፏል።
በጥቂት ሰከንዶች ውስጥ መፍትሄው ከታች ይታያል.
ቆይ በናተህ ሰከንድ...

አንተ በመፍትሔው ላይ ስህተት አስተውሏል, ከዚያም ስለዚህ ጉዳይ በግብረመልስ ቅጽ ውስጥ መጻፍ ይችላሉ.
አንዳትረሳው የትኛውን ተግባር ያመልክቱአንተ ምን ትወስናለህ ወደ ሜዳዎች ግባ.

የእኛ ጨዋታዎች፣ እንቆቅልሾች፣ አስመሳይዎች፡-

ትንሽ ንድፈ ሐሳብ.

ኳድራቲክ እኩልታ እና ሥሮቹ። ያልተሟሉ ባለአራት እኩልታዎች

እያንዳንዳቸው እኩልታዎች
$-x^2+6x+1.4=0፣ \quad 8x^2-7x=0፣ \quad x^2-\frac(4)(9)=0 $
መምሰል
$ax^2+bx+c=0፣ $
x ተለዋዋጭ ሲሆን, a, b እና c ቁጥሮች ናቸው.
በመጀመሪያው እኩልታ a = -1, b = 6 እና c = 1.4, በሁለተኛው a = 8, b = -7 እና c = 0, በሦስተኛው a = 1, b = 0 እና c = 4/9. እንደዚህ ያሉ እኩልታዎች ይባላሉ ኳድራቲክ እኩልታዎች.

ፍቺ
ባለአራት እኩልታየቅርጽ እኩልነት ይባላል ax 2 +bx+c=0፣ x ተለዋዋጭ፣ a፣ b እና c አንዳንድ ቁጥሮች ሲሆኑ $a \neq 0 $ ናቸው።

ቁጥሮች a, b እና c የኳድራቲክ እኩልታዎች ቅንጅቶች ናቸው. ቁጥር a የመጀመሪያው ኮፊሸን ይባላል፣ ቁጥሩ ለ ሁለተኛው ጥምርታ ነው፣ ቁጥሩ ሐ ደግሞ የነጻ ቃል ነው።

በእያንዳንዱ የቅርጽ አክስ 2 +bx+c=0 እኩልታዎች ውስጥ $a\neq 0 $ ፣ የተለዋዋጭ x ትልቁ ኃይል ካሬ ነው። ስለዚህም ስሙ፡- quadratic equation.

የግራ ጎኑ የሁለተኛ ዲግሪ ፖሊኖሚል ስለሆነ ኳድራቲክ እኩልታ የሁለተኛ ዲግሪ እኩልታ ተብሎም ይጠራል።

የ x 2 ጥምርታ ከ 1 ጋር እኩል የሆነበት ኳድራቲክ እኩልታ ይባላል ኳድራቲክ እኩልታ ተሰጥቶታል።. ለምሳሌ, የተሰጡት ኳድራቲክ እኩልታዎች እኩልታዎች ናቸው
$x^2-11x+30=0፣ \quad x^2-6x=0፣ \quad x^2-8=0 $

በኳድራቲክ እኩልዮሽ መጥረቢያ 2 +bx+c=0 ቢያንስ አንዱ የቢ ወይም ሐ ከዜሮ ጋር እኩል ከሆነ፣ እንዲህ ያለው እኩልታ ይባላል። ያልተሟላ ኳድራቲክ እኩልታ. ስለዚህም፣ እኩልታዎቹ -2x 2 +7=0፣ 3x 2 -10x=0፣ -4x 2 =0 ያልተሟሉ አራት ማዕዘናት እኩልታዎች ናቸው። በመጀመሪያዎቹ b=0፣ በሁለተኛው c=0፣ በሦስተኛው b=0 እና c=0።

ሶስት አይነት ያልተሟሉ ባለአራት እኩልታዎች አሉ፡-
1) መጥረቢያ 2 +c=0፣ የት $c \neq 0 $;
2) መጥረቢያ 2 +bx=0፣ የት $b \neq 0 $;
3) መጥረቢያ 2 = 0.

የእያንዳንዳቸውን ዓይነቶች እኩልታዎች ለመፍታት እናስብ።

ለ $c \neq 0 $ ቅጽ 2 +c=0 ያልተሟላ አራት ማዕዘን እኩልታ ለመቅረፍ ነፃ ቃሉን ወደ ቀኝ ጎን ያንቀሳቅሱ እና ሁለቱንም የእኩልታውን ክፍል በ:
$x^2 = -\frac(c)(a) \ቀኝ ቀስት x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a))) $

ከ $c \neq 0 $ ፣ ከዚያ $-\frac(c)(a) \neq 0 $

$-\ frac(c)(a)>0$ ከሆነ ፣እንግዲያው እኩልታ ሁለት ሥሮች አሉት።

$-\ frac(c)(a) ያልተጠናቀቀ ባለአራት እኩልታ ቅፅ ax 2 +bx=0 ከ \(b \neq 0 $ ጋር በግራ ጎኑ ከተፈጠረ እና እኩልታውን ያግኙ።
\(x(ax+b)=0 \ቀኝ ቀስት \ግራ\( \ጀማሪ(ድርድር)(l) x=0 \\ ax+b=0 \መጨረሻ(ድርድር) \ቀኝ\ቀኝ\ቀኝ \ግራ\\(\ጀምር\\ (ድርድር) (l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \መጨረሻ(ድርድር) \ቀኝ \\

ይህ ማለት ያልተጠናቀቀ የኳድራቲክ እኩልታ ቅፅ ax 2 +bx=0 ለ $b \neq 0 $ ሁል ጊዜ ሁለት ሥሮች አሉት።

የቅርጽ መጥረቢያ 2 =0 ያልተሟላ አራት ማዕዘን እኩልታ ከሒሳብ x 2 =0 ጋር እኩል ነው ስለዚህም አንድ ሥር 0 አለው።

የኳድራቲክ እኩልታ ሥሮች ቀመር

አሁን ሁለቱም የማያውቁት እና የነፃው ቃል ዜሮ ያልሆኑትን ባለአራት እኩልታዎችን እንዴት መፍታት እንደምንችል እንመልከት።

የኳድራቲክ እኩልታውን በአጠቃላይ መልክ እንፈታው እና በዚህ ምክንያት ለሥሮቹ ቀመር እናገኛለን. ይህ ቀመር ማንኛውንም ኳድራቲክ እኩልታ ለመፍታት ጥቅም ላይ ሊውል ይችላል።

የኳድራቲክ እኩልታ መጥረቢያ 2 +bx+c=0 ይፍቱ

ሁለቱን ወገኖች በ a ስንካፈል፣ የተቀነሰውን ኳድራቲክ እኩልታ እናገኛለን
$x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 $

የሁለትዮሽ ካሬውን በመምረጥ ይህንን እኩልታ እንለውጠው፡-
$x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\ግራ(\frac(b)(2a)\ right)^2- \ግራ(\frac(b)(2a)\ right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \ ቀኝ ቀስት $

$x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\ግራ(\frac(b)(2a)\ right)^2 = \ግራ(\frac(b)(2a)\ right)^ 2 - \ frac (c) (a) \ ቀኝ ቀስት $ \ (\ግራ(x+\frac(b)(2a)\ቀኝ)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( ሐ)(a) \ ቀኝ ቀስት \ ግራ(x+\frac(b)(2a)\ቀኝ)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \ቀስት \) $x+\frac(b) )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2)) \ቀስት x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2) -4ac) )(2a) \ቀስት $ $x = \frac(-b \pm \sqrt(b^2-4ac))))(2a) $

አክራሪ አገላለጽ ይባላል የኳድራቲክ እኩልታ አድልዎ ax 2 +bx+c=0 ("አድሎአዊ" በላቲን - አድሎአዊ)። በደብዳቤ D, i.e. ተለይቷል.
(D = b^2-4ac\)

አሁን፣ የአድሎአዊ መግለጫውን በመጠቀም፣ የኳድራቲክ እኩልታ ስር ያለውን ቀመር እንደገና እንጽፋለን፡-
$x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D))(2a) $በየት $D= b^2-4ac $

ግልጽ ነው፡-
1) D>0 ከሆነ፣ ኳድራቲክ እኩልታ ሁለት ስሮች አሉት።
2) D=0 ከሆነ፣ ኳድራቲክ እኩልታ አንድ ሥር አለው $x=-\frac(b)(2a)$።
3) ዲ ከሆነ፣ እንደ አድሎአዊው ዋጋ፣ ኳድራቲክ እኩልታ ሁለት ሥር (ለ D > 0)፣ አንድ ሥር (ለ D = 0) ወይም ሥር የለውም ቀመር, በሚከተለው መንገድ ማድረግ ይመረጣል.
1) አድልዎ አስላ እና ከዜሮ ጋር ማወዳደር;
2) አድሎአዊው አዎንታዊ ወይም ከዜሮ ጋር እኩል ከሆነ, ከዚያም ስርወ ቀመሩን ይጠቀሙ, አድልዎ አሉታዊ ከሆነ, ከዚያም ምንም ሥሮች እንደሌሉ ይጻፉ.

የቪዬታ ጽንሰ-ሐሳብ

የተሰጠው ኳድራቲክ እኩልታ መጥረቢያ 2 -7x+10=0 ስር 2 እና 5 አለው ።የሥሩ ድምር 7 ነው ፣ ምርቱ 10 ነው ።የሥሮቹ ድምር ከተቃራኒው ጋር ከተወሰደው ሁለተኛ መጠን ጋር እኩል እንደሆነ እናያለን። ምልክት, እና የሥሮቹ ምርት ከነጻው ቃል ጋር እኩል ነው. ስር ያለው ማንኛውም የተቀነሰ ባለአራት እኩልታ ይህ ንብረት አለው።

ከላይ ያለው የኳድራቲክ እኩልታ ስሮች ድምር በተቃራኒው ምልክት ከተወሰደው ሁለተኛ ደረጃ ጋር እኩል ነው, እና የሥሮቹ ምርት ከነጻው ቃል ጋር እኩል ነው.

እነዚያ። የቪዬታ ቲዎረም የተቀነሰው ኳድራቲክ እኩልታ x 1 እና x 2 ሥሮች ንብረታቸው እንዳላቸው ይገልጻል፡-
$\ግራ\( \ጀማሪ(ድርድር)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \መጨረሻ(ድርድር) \ቀኝ። $

ርዕሱን ማጥናታችንን እንቀጥላለን " እኩልታዎችን መፍታት" ከመስመር እኩልታዎች ጋር ቀደም ብለን ተዋወቅን እና ወደ መተዋወቅ እንቀጥላለን ኳድራቲክ እኩልታዎች.

በመጀመሪያ፣ ኳድራቲክ እኩልታ ምን እንደሆነ፣ በአጠቃላይ መልኩ እንዴት እንደተጻፈ እንመለከታለን፣ እና ተዛማጅ ፍቺዎችን እንሰጣለን። ከዚህ በኋላ፣ ያልተሟሉ ኳድራቲክ እኩልታዎች እንዴት እንደሚፈቱ በዝርዝር ለመመርመር ምሳሌዎችን እንጠቀማለን። በመቀጠል፣ የተሟሉ እኩልታዎችን ወደመፍታት፣ የስር ቀመሩን እናገኛለን፣ ከኳድራቲክ እኩልታ አድልዎ ጋር ለመተዋወቅ እና ለተለመዱ ምሳሌዎች መፍትሄዎችን እንመለከታለን። በመጨረሻ፣ በሥሮቹ እና በቁጥር (coefficients) መካከል ያለውን ግንኙነት እንፈልግ።

የገጽ አሰሳ።

ኳድራቲክ እኩልታ ምንድን ነው? የእነሱ ዓይነቶች

በመጀመሪያ የኳድራቲክ እኩልታ ምን እንደሆነ በግልፅ መረዳት ያስፈልግዎታል። ስለዚህ ስለ ኳድራቲክ እኩልታዎች ከኳድራቲክ እኩልታ ትርጓሜ እና እንዲሁም ተዛማጅ ትርጓሜዎች ጋር ውይይት መጀመር ምክንያታዊ ነው። ከዚህ በኋላ ዋና ዋናዎቹን የኳድራቲክ እኩልታዎች ግምት ውስጥ ማስገባት ይችላሉ-የተቀነሰ እና ያልተቀነሰ, እንዲሁም የተሟሉ እና ያልተሟሉ እኩልታዎች.

የኳድራቲክ እኩልታዎች ፍቺ እና ምሳሌዎች

ፍቺ

ባለአራት እኩልታየቅጹ እኩልታ ነው። a x 2 +b x+c=0, x ተለዋዋጭ በሆነበት, a, b እና c አንዳንድ ቁጥሮች ናቸው, እና a ዜሮ ያልሆኑ.

ወዲያውኑ እንበል ኳድራቲክ እኩልታዎች ብዙውን ጊዜ የሁለተኛ ዲግሪ እኩልታዎች ይባላሉ። ይህ የሆነበት ምክንያት የኳድራቲክ እኩልታ በመኖሩ ነው የአልጀብራ እኩልታሁለተኛ ዲግሪ.

የተገለፀው ፍቺ የኳድራቲክ እኩልታዎችን ምሳሌዎችን እንድንሰጥ ያስችለናል። ስለዚህ 2 x 2 +6 x+1=0፣ 0.2 x 2 +2.5 x+0.03=0፣ ወዘተ. እነዚህ ኳድራቲክ እኩልታዎች ናቸው።

ፍቺ

ቁጥሮች a, b እና c ይባላሉ የ quadratic equation coefficients a·x 2 +b·x+c=0፣ እና ኮፊደል ሀ የመጀመሪያው፣ ወይም ከፍተኛው፣ ወይም የ x 2 ድምር ይባላል፣ b ሁለተኛው ኮፊሸን ነው፣ ወይም የ x, እና c የነጻ ቃል ነው .

ለምሳሌ፣ የቅርጽ 5 x 2 -2 x -3=0 ኳድራቲክ እኩልታ እንውሰድ፣ እዚህ መሪው ኮፊሸን 5 ነው፣ ሁለተኛው ጥምር ከ -2 ጋር እኩል ነው፣ እና ነፃው ቃል ከ -3 ጋር እኩል ነው። እባክዎን ያስተውሉ b እና/ወይም c ውጤቶቹ አሉታዊ ሲሆኑ፣ ልክ በተሰጠው ምሳሌ ላይ፣ የኳድራቲክ እኩልታ አጭር ቅፅ ከ5 x 2 +(-2) ይልቅ 5 x 2 -2 x−3=0 ነው። ·x+(-3)=0

አ እና/ወይም b ከ 1 ወይም -1 ጋር እኩል ሲሆኑ፣ በኳድራቲክ እኩልታ ውስጥ ብዙውን ጊዜ በግልፅ እንደማይገኙ ልብ ሊባል የሚገባው ጉዳይ ነው፣ ይህም በመሳሰሉት የአጻጻፍ ባህሪያት ምክንያት ነው። ለምሳሌ፣ በኳድራቲክ እኩልታ y 2 -y+3=0 መሪ ኮፊሸን አንድ ነው፣ እና የy ጥምርታ ከ -1 ጋር እኩል ነው።

የተቀነሱ እና ያልተቀነሱ ኳድራቲክ እኩልታዎች

እንደ መሪ ኮፊሸንት እሴት ላይ በመመስረት, የተቀነሱ እና ያልተቀነሱ ኳድራቲክ እኩልታዎች ተለይተዋል. ተጓዳኝ ትርጓሜዎችን እንስጥ.

ፍቺ

መሪ ኮፊፊሸንት 1 የሆነበት ኳድራቲክ እኩልታ ይባላል ኳድራቲክ እኩልታ ተሰጥቶታል።. አለበለዚያ ኳድራቲክ እኩልታ ነው ያልተነካ.

በዚህ ፍቺ መሰረት፣ ኳድራቲክ እኩልታዎች x 2 -3 · x+1=0፣ x 2 -x−2/3=0፣ ወዘተ. - ተሰጥቷል ፣ በእያንዳንዳቸው ውስጥ የመጀመሪያው ቅንጅት ከአንድ ጋር እኩል ነው። ሀ 5 x 2 -x−1=0፣ ወዘተ. - ያልተቀነሱ ኳድራቲክ እኩልታዎች፣ መሪ ብቃታቸው ከ 1 የተለየ ነው።

ከየትኛውም ያልተቀነሰ ኳድራቲክ እኩልታ, ሁለቱንም ጎኖች በመሪ ኮፊሸን በመከፋፈል, ወደተቀነሰው መሄድ ይችላሉ. ይህ ድርጊት ተመጣጣኝ ለውጥ ነው፣ ማለትም፣ በዚህ መንገድ የተገኘው የተቀነሰው ኳድራቲክ እኩልታ ልክ እንደ መጀመሪያው ያልተቀነሰ ኳድራቲክ እኩልታ ተመሳሳይ ሥሮች አሉት፣ ወይም እንደ እሱ፣ ምንም ሥሮች የሉትም።

ካልተቀነሰ ኳድራቲክ እኩልታ ወደ ተቀናሽ የሚደረገው ሽግግር እንዴት እንደሚከናወን የሚያሳይ ምሳሌ እንመልከት።

ለምሳሌ.

ከ 3 x 2 +12 x−7=0 እኩልታ ወደ ተቀነሰው ኳድራቲክ እኩልታ ይሂዱ።

መፍትሄ።

የዋናውን እኩልታ ሁለቱንም ጎኖች በመሪ ኮፊሸን 3 መከፋፈል ብቻ ያስፈልገናል፣ ዜሮ አይደለም፣ ስለዚህ ይህን ተግባር ማከናወን እንችላለን። አለን። 3) x 2 +(12፡3) x−7፡3=0፣ ከየት። የተቀነሰውን ኳድራቲክ እኩልታ ያገኘነው በዚህ መንገድ ነው፣ እሱም ከመጀመሪያው ጋር እኩል ነው።

መልስ፡-

የተሟሉ እና ያልተሟሉ ኳድራቲክ እኩልታዎች

የኳድራቲክ እኩልታ ፍቺ ሁኔታ a≠0 ይዟል። ይህ ሁኔታ አስፈላጊ ነው ስለዚህ ቀመር a x 2 + b x + c = 0 አራት ማዕዘን ነው, ምክንያቱም a = 0 በእውነቱ የቅርጽ b x + c = 0 ቀጥተኛ እኩልታ ይሆናል.

የቢ እና ሲ ንፅፅርን በተመለከተ፣ በግለሰብ እና በአንድ ላይ ከዜሮ ጋር እኩል ሊሆኑ ይችላሉ። በእነዚህ አጋጣሚዎች, የኳድራቲክ እኩልታ ያልተሟላ ይባላል.

ፍቺ

ኳድራቲክ እኩልታ a x 2 +b x+c=0 ይባላል ያልተሟላ, ቢያንስ አንድ ከተባባሪዎች ለ, c ከዜሮ ጋር እኩል ነው.

በተራው

ፍቺ

የተሟላ ባለአራት እኩልታሁሉም መመዘኛዎች ከዜሮ የሚለያዩበት እኩልታ ነው።

እንደነዚህ ያሉት ስሞች በአጋጣሚ አልተሰጡም. ይህ ከሚከተሉት ውይይቶች ግልጽ ይሆናል.

ጥምርታ b ዜሮ ከሆነ፣ ኳድራቲክ እኩልታ a·x 2 +0·x+c=0 ይወስዳል፣ እና እሱ ከአክስ 2 +c=0 ጋር እኩል ነው። c=0 ከሆነ፣ ማለትም፣ quadratic equation a·x 2 +b·x+0=0 አለው፣ ከዚያ እንደ a·x 2 +b·x=0 ሊፃፍ ይችላል። እና በ b=0 እና c=0 የኳድራቲክ እኩልታ a · x 2 =0 እናገኛለን። የተገኙት እኩልታዎች ከተሟላው ኳድራቲክ እኩልታ የሚለያዩት በግራ እጃቸው ከተለዋዋጭ x ወይም ነፃ ቃል ወይም ሁለቱንም ቃል ስለሌለ ነው። ስለዚህ ስማቸው - ያልተሟሉ ኳድራቲክ እኩልታዎች.

ስለዚህ እኩልታዎች x 2 +x+1=0 እና -2 x 2 -5 x+0.2=0 የተሟሉ የኳድራቲክ እኩልታዎች ምሳሌዎች ናቸው፣ እና x 2 =0፣ -2 x 2 =0፣ 5 x 2 +3=0 ፣ -x 2 -5 x=0 ያልተሟሉ ባለአራት እኩልታዎች ናቸው።

ያልተሟሉ ባለአራት እኩልታዎችን መፍታት

ከዚህ በፊት ባለው አንቀጽ ላይ ካለው መረጃ ውስጥ እንደሚከተለው ነው ሶስት ዓይነት ያልተሟሉ ባለአራት እኩልታዎች:

a · x 2 = 0, ጥምርታዎቹ b = 0 እና c = 0 ከእሱ ጋር ይዛመዳሉ;
b=0 ሲሆን a x 2 +c=0;
እና a·x 2 +b·x=0 ሲ=0።

የእያንዳንዳቸው ያልተሟሉ ኳድራቲክ እኩልታዎች እንዴት እንደሚፈቱ በቅደም ተከተል እንመርምር።

አንድ x 2 =0

ያልተሟሉ ኳድራቲክ እኩልታዎችን በመፍታት እንጀምር ይህም ውህደቶቹ b እና c ከዜሮ ጋር እኩል ናቸው፣ ማለትም፣ በቅጹ a x 2 =0 እኩልታዎች። እኩልታው a·x 2 =0 ከቀመር x 2 =0 ጋር እኩል ነው፣ እሱም ከዋናው የተገኘው ሁለቱንም ክፍሎች ዜሮ ባልሆነ ቁጥር ሀ. በግልጽ እንደሚታየው፣ ከ0 2 =0 ጀምሮ የእኩልታው ስር x 2 =0 ዜሮ ነው። ይህ እኩልነት ሌላ ሥረ-ሥሮች የሉትም፣ ይህም የሚገለጸው ለማንኛውም ዜሮ ያልሆነ ቁጥር p 2>0 ያለው አለመመጣጠን ነው፣ ይህም ማለት ለ p≠0 እኩልነት p 2 =0 ፈጽሞ ሊገኝ አይችልም ማለት ነው።

ስለዚህ፣ ያልተሟላው ባለአራት እኩልታ a·x 2 =0 ነጠላ ስር x=0 አለው።

እንደ ምሳሌ, መፍትሄውን ላልተሟላው ኳድራቲክ እኩልታ -4 x 2 = 0 እንሰጣለን. እሱ ከሒሳብ x 2 =0 ጋር እኩል ነው፣ ብቸኛው ሥሩ x=0 ነው፣ ስለዚህ የዋናው እኩልታ አንድ ሥር ዜሮ አለው።

በዚህ ጉዳይ ላይ አጭር መፍትሄ እንደሚከተለው ሊጻፍ ይችላል.
-4 x 2 =0፣
x 2 =0፣
x=0 .

አ x 2 +c=0

አሁን እንዴት ያልተሟሉ ኳድራቲክ እኩልታዎች እንደሚፈቱ እንይ በውስጥም Coefficient b ዜሮ እና c≠0 ማለትም የቅርጽ a x 2 +c=0 እኩልታዎች። አንድ ቃል ከአንዱ ጎን ወደ ሌላው በተቃራኒው ምልክት ማዛወር፣ እንዲሁም ሁለቱንም የእኩልታ ጎኖች ዜሮ ባልሆነ ቁጥር መከፋፈል፣ ተመጣጣኝ እኩልታ እንደሚሰጥ እናውቃለን። ስለዚህ፣ ያልተሟላ ኳድራቲክ እኩልታ የሚከተሉትን አቻ ለውጦችን ማካሄድ እንችላለን x 2 +c=0፡

c ወደ ቀኝ ጎን ያንቀሳቅሱ፣ ይህም እኩልታውን x 2 =-c፣
እና ሁለቱንም ጎኖች በ a ይከፋፍሏቸው, እናገኛለን.

የተገኘው እኩልነት ስለ ሥሮቹ መደምደሚያ ላይ ለመድረስ ያስችለናል. በ a እና c እሴቶች ላይ በመመስረት የገለፃው ዋጋ አሉታዊ ሊሆን ይችላል (ለምሳሌ ፣ a=1 እና c=2 ፣ ከዚያ ) ወይም አዎንታዊ (ለምሳሌ a=-2 እና c=6 ከሆነ) ከዚያ) ከዜሮ ጋር እኩል አይደለም፣ በሁኔታ c≠0። ጉዳዮቹን ለየብቻ እንመልከታቸው።

ከሆነ ፣ ከዚያ እኩልታው ሥሮች የሉትም። ይህ መግለጫ የማንኛውም ቁጥር ካሬ አሉታዊ ያልሆነ ቁጥር ነው ከሚለው እውነታ ይከተላል. ከዚህ በመነሳት ነው መቼ , ከዚያም ለማንኛውም ቁጥር p እኩልነት እውነት ሊሆን አይችልም.

ከሆነ ፣ ከዚያ የእኩልታው ሥሮች ጋር ያለው ሁኔታ የተለየ ነው። በዚህ ሁኔታ ፣ ስለ ካስታወስን ፣ ከዚያ የእኩልታው ሥር ወዲያውኑ ግልፅ ይሆናል ፣ ቁጥሩ ነው ፣ ጀምሮ። ቁጥሩም የእኩልታው ሥር እንደሆነ መገመት ቀላል ነው, በእርግጥ,. ይህ እኩልነት ሌላ ሥሮች የሉትም, ለምሳሌ በተቃርኖ ሊታይ ይችላል. እንስራው.

አሁን እንደ x 1 እና -x 1 የታወጀውን የእኩልታ ስር እናሳይ። እኩልታው ከተጠቆሙት ስር x 1 እና -x 1 የተለየ አንድ ተጨማሪ ስር x 2 አለው እንበል። ከ x ይልቅ ሥሩን ወደ እኩልነት መቀየር እኩልታውን ወደ ትክክለኛ የቁጥር እኩልነት እንደሚለውጠው ይታወቃል። ለ x 1 እና -x 1 አለን ፣ እና ለ x 2 እኛ አለን ። የቁጥር እኩልነት ባህሪያት በጊዜ-በ-ጊዜ ትክክለኛ የቁጥር እኩልነቶችን እንድንፈጽም ያስችሉናል, ስለዚህ የእኩልታዎቹን ተጓዳኝ ክፍሎችን መቀነስ x 1 2 -x 2 2 =0 ይሰጣል. ከቁጥሮች ጋር ያሉ የኦፕሬሽኖች ባህሪያት የተገኘውን እኩልነት እንደ (x 1 -x 2) · (x 1 +x 2) = 0 እንደገና እንድንጽፍ ያስችሉናል. የሁለት ቁጥሮች ምርት ከዜሮ ጋር እኩል እንደሆነ እናውቃለን እና ቢያንስ አንዱ ከዜሮ ጋር እኩል ከሆነ ብቻ ነው። ስለዚህም ከተፈጠረው እኩልነት x 1 -x 2 =0 እና/ወይም x 1 +x 2 =0, እሱም ተመሳሳይ ነው, x 2 = x 1 እና/ወይም x 2 =-x 1. ስለዚህ መጀመሪያ ላይ የእኩልታ x 2 ሥር ከ x 1 እና -x 1 የተለየ ነው ስላልን ወደ ተቃርኖ ደርሰናል። ይህ እኩልታው ከ እና ሌላ ምንም ሥሮች እንደሌለው ያረጋግጣል.

በዚህ አንቀፅ ውስጥ ያለውን መረጃ ጠቅለል አድርገን እንየው። ያልተጠናቀቀ አራት ማዕዘን ቀመር a x 2 +c=0 ከሚለው እኩልታ ጋር እኩል ነው።

ሥር የለውም ፣
ሁለት ሥሮች አሉት እና ከሆነ .

የቅርጹን ax 2 +c=0 ያልተሟሉ ባለአራት እኩልታዎችን የመፍታት ምሳሌዎችን እንመልከት።

በኳድራቲክ እኩልታ 9 x 2 +7=0 እንጀምር። ነፃውን ቃል ወደ እኩልታው በቀኝ በኩል ካዘዋወረ በኋላ፣ ቅጹን 9 x 2 =-7 ይወስዳል። የውጤቱን እኩልታ ሁለቱንም ጎኖች በ 9 በማካፈል ወደ ላይ ደርሰናል. የቀኝ ጎን አሉታዊ ቁጥር ስላለው, ይህ እኩልታ ምንም ሥሮች የለውም, ስለዚህ, የመጀመሪያው ያልተሟላ አራት ማዕዘን እኩልታ 9 x 2 +7 = 0 ምንም ሥሮች የለውም.

ሌላ ያልተሟላ ባለአራት እኩልታ -x 2 +9=0 እንፍታ። ዘጠኙን ወደ ቀኝ በኩል እናንቀሳቅሳለን: -x 2 = -9. አሁን ሁለቱንም ጎኖች በ -1 እንከፍላለን, x 2 = 9 እናገኛለን. በቀኝ በኩል አወንታዊ ቁጥር አለ, ከእሱ የምንደመድም ወይም . ከዚያም የመጨረሻውን መልስ እንጽፋለን-ያልተሟላ ኳድራቲክ እኩልታ -x 2 +9=0 ሁለት ስር x=3 ወይም x=-3 ነው.

ሀ x 2 +b x=0

ለ c=0 የመጨረሻው አይነት ያልተሟሉ ኳድራቲክ እኩልታዎች መፍትሄን ለመቋቋም ይቀራል። ቅጽ a x 2 + b x = 0 ያልተሟሉ ባለአራት እኩልታዎች እንዲፈቱ ያስችሉዎታል የማጠናከሪያ ዘዴ. በግልጽ እንደሚታየው ፣ እኛ እንችላለን ፣ በቀመር በግራ በኩል ይገኛል ፣ ለዚህም የተለመደውን xን ከቅንፍ ማውጣት በቂ ነው። ይህ ከመጀመሪያው ያልተሟላ ኳድራቲክ እኩልታ ወደ ቅጽ x·(a·x+b)=0 እኩል እኩል እንድንሄድ ያስችለናል። እና ይህ እኩልታ ከሁለት እኩልታዎች x=0 እና ax+b=0 ጋር እኩል ነው፣የኋለኛው ደግሞ መስመራዊ እና ስር x=-b/a አለው።

ስለዚህ፣ ያልተሟላ ባለአራት እኩልታ a·x 2 +b·x=0 ሁለት ስር x=0 እና x=-b/a አለው።

ቁሳቁሱን ለማጠናከር, መፍትሄውን ለአንድ የተወሰነ ምሳሌ እንመረምራለን.

ለምሳሌ.

እኩልታውን ይፍቱ.

መፍትሄ።

xን ከቅንፍ ማውጣት እኩልነትን ይሰጣል። ከሁለት እኩልታዎች x=0 እና ጋር እኩል ነው። የተገኘውን መስመራዊ እኩልታ እንፈታዋለን፡ እና የተደባለቀውን ቁጥር በተራ ክፍልፋይ በማካፈል እናገኛለን። ስለዚህ, የዋናው እኩልታ ሥሮች x=0 እና .

አስፈላጊውን ልምምድ ካገኘ በኋላ ለእንደዚህ ዓይነቶቹ እኩልታዎች መፍትሄዎች በአጭሩ ሊፃፉ ይችላሉ-

መልስ፡-

x=0 ፣

አድሎአዊ፣ የኳድራቲክ እኩልታ ሥሮች ቀመር

ኳድራቲክ እኩልታዎችን ለመፍታት የስር ቀመር አለ። እንጽፈው የኳድራቲክ እኩልታ ሥሮች ቀመር: , የት D=b 2 -4 ሀ- የሚባሉት የኳድራቲክ እኩልታ አድልዎ. መግቢያው በመሠረቱ ማለት ነው።

የስር ፎርሙላ እንዴት እንደተገኘ እና የኳድራቲክ እኩልታዎችን ለማግኘት እንዴት ጥቅም ላይ እንደሚውል ማወቅ ጠቃሚ ነው። ይህን እንወቅ።

የኳድራቲክ እኩልታ ሥሮች ቀመር ማውጣት

ኳድራቲክ እኩልታ ax 2 +b·x+c=0 መፍታት ያስፈልገናል። አንዳንድ ተመጣጣኝ ለውጦችን እናድርግ፡-

የዚህን እኩልታ ሁለቱንም ጎኖች ዜሮ ባልሆነ ቁጥር ሀ ልንከፍለው እንችላለን፣ በዚህም የሚከተለውን ባለአራት እኩልታ ያስገኛል።
አሁን የተሟላ ካሬ ይምረጡበግራ በኩል፡. ከዚህ በኋላ, እኩልታው ቅጹን ይወስዳል.
በዚህ ደረጃ, የመጨረሻዎቹን ሁለት ቃላት በተቃራኒው ምልክት ወደ ቀኝ በኩል ማስተላለፍ ይቻላል, እኛ አለን.
እና ደግሞ በቀኝ በኩል ያለውን አገላለጽ እንለውጠው፡.

በውጤቱም፣ ከመጀመሪያው ባለአራት እኩልታ ax 2 +b·x+c=0 ጋር እኩል የሆነ እኩልታ ላይ ደርሰናል።

በቀደሙት አንቀጾች ውስጥ፣ ስንመረምር ተመሳሳይ እኩልታዎችን አስቀድመን ፈትተናል። ይህ የእኩልቱን ሥሮች በተመለከተ የሚከተሉትን ድምዳሜዎች እንድንሰጥ ያስችለናል-

ከሆነ ፣ ከዚያ እኩልታ ትክክለኛ መፍትሄዎች የሉትም።
ከሆነ ፣ ከዚያ እኩልታው ቅርፅ አለው ፣ ስለሆነም ፣ ሥሩ ብቻ የሚታየው ፣
ከሆነ ፣ ከዚያ ወይም ፣ እሱ ከ ጋር ተመሳሳይ ነው ፣ ማለትም ፣ እኩልታው ሁለት ሥሮች አሉት።

ስለዚህ, የእኩልታው ሥሮች መገኘት ወይም አለመገኘት, እና ስለዚህ ዋናው ኳድራቲክ እኩልታ, በቀኝ በኩል ባለው መግለጫ ምልክት ላይ ይወሰናል. በምላሹ, የዚህ አገላለጽ ምልክት የሚወሰነው በቁጥር ምልክት ነው, ምክንያቱም መለያው 4·a 2 ሁልጊዜ አዎንታዊ ነው, ማለትም, በ B 2 -4 · ac ምልክት. ይህ አገላለጽ b 2 -4 a c ተጠርቷል። የኳድራቲክ እኩልታ አድልዎእና በደብዳቤው የተሰየመ ዲ. ከዚህ በመነሳት የአድሎው ማንነት ግልፅ ነው - በእሴቱ እና በምልክቱ ላይ በመመስረት ፣ ኳድራቲክ እኩልታ ትክክለኛ ሥሮች አሉት ፣ እና ከሆነ ፣ ቁጥራቸው ምን ያህል ነው - አንድ ወይም ሁለት።

ወደ ሒሳቡ እንመለስና አድሎአዊ መግለጫውን ተጠቅመን እንጽፈው፡. እና መደምደሚያዎችን እናቀርባለን-

ዲ ከሆነ<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
D = 0 ከሆነ, ይህ እኩልታ አንድ ሥር አለው;
በመጨረሻ ፣ D> 0 ከሆነ ፣ ከዚያ እኩልታው ሁለት ሥሮች አሉት ወይም ፣ በቅጹ እንደገና ሊፃፍ ይችላል ወይም ፣ እና ክፍልፋዮቹን ካሰፋ እና ካመጣን በኋላ ወደ አንድ የጋራ መለያ እናገኛለን።

ስለዚህ እኛ የኳድራቲክ እኩልታ ሥሮቹን ቀመሮችን አገኘን ፣ እነሱ ይመስላሉ ፣ አድልዎ D በቀመር D = b 2 -4 · ac ይሰላል።

በእነሱ እርዳታ ፣ በአዎንታዊ አድልዎ ፣ የኳድራቲክ እኩልታ ሁለቱንም እውነተኛ ሥሮች ማስላት ይችላሉ። አድሎአዊው ከዜሮ ጋር እኩል ሲሆን ሁለቱም ቀመሮች የስሩ ተመሳሳይ እሴት ይሰጣሉ, ይህም ለኳድራቲክ እኩልታ ልዩ መፍትሄ ጋር ይዛመዳል. እና በአሉታዊ አድሎአዊነት፣ ፎርሙላውን የኳድራቲክ እኩልታ ስር ለመጠቀም ስንሞክር፣ ከትምህርት ቤቱ ሥርዓተ-ትምህርት ወሰን በላይ የሚወስደን የአሉታዊ ቁጥርን ስኩዌር ስር ለማውጣት እንጋፈጣለን። ከአሉታዊ አድሎአዊ ጋር፣ ኳድራቲክ እኩልታ ምንም እውነተኛ ሥሮች የሉትም፣ ግን ጥንድ አለው። ውስብስብ conjugateያገኘነውን ተመሳሳይ ሥር ቀመሮችን በመጠቀም ሊገኙ የሚችሉ ሥሮች.

የስር ቀመሮችን በመጠቀም ኳድራቲክ እኩልታዎችን ለመፍታት አልጎሪዝም

በተግባር, ባለአራት እኩልታዎችን ሲፈቱ, እሴቶቻቸውን ለማስላት የስር ቀመሩን ወዲያውኑ መጠቀም ይችላሉ. ነገር ግን ይህ ውስብስብ ሥሮችን ከማግኘት ጋር የበለጠ የተያያዘ ነው.

ነገር ግን፣ በትምህርት ቤት አልጀብራ ኮርስ ውስጥ ብዙውን ጊዜ የምንናገረው ስለ ውስብስብ ሳይሆን ስለ ኳድራቲክ እኩልታ እውነተኛ ሥሮች ነው። በዚህ ሁኔታ ፣ የኳድራቲክ እኩልታ ሥሮቹን ቀመሮችን ከመጠቀምዎ በፊት በመጀመሪያ አድልዎ መፈለግ ፣ አሉታዊ አለመሆኑን ያረጋግጡ (አለበለዚያ ፣ እኩልታው እውነተኛ ሥሮች የሉትም ብለን መደምደም እንችላለን) እና ከዚያ በኋላ ብቻ የሥሮቹን ዋጋዎች ያሰሉ.

ከላይ ያለው ምክንያት ለመጻፍ ያስችለናል የኳድራቲክ እኩልታን ለመፍታት ስልተ ቀመር. ባለአራት እኩልታ x 2 +b x+c=0 ለመፍታት የሚከተሉትን ማድረግ አለብዎት:

አድሏዊ ቀመር D=b 2 -4·a·c በመጠቀም እሴቱን አስላ።
አድሎአዊው አሉታዊ ከሆነ አራት ማዕዘን እኩልታ ትክክለኛ መሠረት የለውም ብሎ መደምደም;
D=0 ከሆነ ቀመሩን በመጠቀም የእኩልታውን ብቸኛ ስር አስላ።
አድልዎ አዎንታዊ ከሆነ የስር ቀመሩን በመጠቀም የኳድራቲክ እኩልታ ሁለት እውነተኛ ሥሮችን ያግኙ።

እዚህ እናስተውላለን አድልዎ ከዜሮ ጋር እኩል ከሆነ ፣ እርስዎም ቀመሩን መጠቀም ይችላሉ ፣ እሱ ተመሳሳይ እሴት ይሰጣል።

ኳድራቲክ እኩልታዎችን ለመፍታት አልጎሪዝምን በመጠቀም ወደ ምሳሌዎች መሄድ ይችላሉ።

ባለአራት እኩልታዎችን የመፍታት ምሳሌዎች

ለሶስት ባለአራት እኩልታዎች በአዎንታዊ፣ አሉታዊ እና ዜሮ አድሎአዊ መፍትሄዎችን እናስብ። የእነሱን መፍትሄ ከተመለከትን ፣ በአመሳሳዩ ማንኛውንም ሌላ ባለአራት እኩልታ መፍታት ይቻላል። እንጀምር.

ለምሳሌ.

የእኩልታውን ሥሮች ይፈልጉ x 2 +2·x−6=0።

መፍትሄ።

በዚህ ሁኔታ፣ የኳድራቲክ እኩልታ የሚከተሉት ውህዶች አሉን፡ a=1፣ b=2 እና c=-6። በአልጎሪዝም መሠረት በመጀመሪያ አድልዎ ማስላት ያስፈልግዎታል ፣ ይህንን ለማድረግ ፣ የተጠቆሙትን a ፣ b እና c ወደ አድልዎ ቀመር እንተካለን ፣ እኛ አለን ። D=b 2 -4·ac=2 2 -4·1·(-6)=4+24=28. ከ 28> 0 ጀምሮ ፣ ማለትም ፣ አድልዎ ከዜሮ ይበልጣል ፣ ኳድራቲክ እኩልታ ሁለት እውነተኛ ሥሮች አሉት። የስር ፎርሙላውን ተጠቅመን እናገኛቸዋለን፣ እናገኛቸዋለን፣ እዚህ ላይ በማድረግ የተገኙትን አባባሎች ቀለል ማድረግ ትችላለህ። ማባዣውን ከሥሩ ምልክት በላይ ማንቀሳቀስክፍልፋዮችን በመቀነስ ይከተላል-

መልስ፡-

ወደ ቀጣዩ የተለመደ ምሳሌ እንሂድ።

ለምሳሌ.

የኳድራቲክ እኩልታ -4 x 2 +28 x−49=0 ይፍቱ።

መፍትሄ።

አድሎአዊውን በማግኘት እንጀምራለን፡- D=28 2 -4 · (-4) · (-49)=784-784=0. ስለዚህ፣ ይህ ኳድራቲክ እኩልታ አንድ ሥር አለው፣ እሱም እንደ ሆነ እናገኛለን፣ ማለትም፣

መልስ፡-

x=3.5

ባለአራት እኩልታዎችን ከአሉታዊ አድልዎ ጋር መፍታትን ማጤን ይቀራል።

ለምሳሌ.

ቀመር 5·y 2 +6·y+2=0 ይፍቱ።

መፍትሄ።

የኳድራቲክ እኩልታ ቅንጅቶች እነሆ፡ a=5፣ b=6 እና c=2። እነዚህን እሴቶች ወደ አድሎአዊ ቀመር እንተካቸዋለን፣ አለን። D=b 2 -4·a·c=6 2 -4·5·2=36−40=-4. አድልዎ አሉታዊ ነው, ስለዚህ, ይህ quadratic equation ምንም እውነተኛ ሥሮች የለውም.

ውስብስብ ሥሮችን ማመላከት ከፈለጉ ፣ ለአራት እኩልታ ሥሮች ታዋቂውን ቀመር እንተገብራለን እና እንሰራለን ። ውስብስብ ቁጥሮች ያላቸው ክዋኔዎች:

መልስ፡-

ምንም እውነተኛ ሥሮች የሉም, ውስብስብ ሥሮች ናቸው:.

አንድ ጊዜ እንደገና እናስታውስ የኳድራቲክ እኩልታ አድልዎ አሉታዊ ከሆነ ፣ በትምህርት ቤት ውስጥ ብዙውን ጊዜ ወዲያውኑ ምንም እውነተኛ ሥሮች እንደሌሉ የሚያመለክቱበትን መልስ ይጽፋሉ ፣ እና ውስብስብ ሥሮች አልተገኙም።

የስር ፎርሙላ ለሁለተኛ መጠን እኩልነት

የኳድራቲክ እኩልታ ሥረ ቀመሮች፣ D=b 2 -4·a·c የበለጠ የታመቀ ፎርሙላ እንድታገኙ ይፈቅድልሃል፣ይህም ባለአራት እኩልታዎችን በእኩል መጠን ለ x (ወይም በቀላሉ በ ቅጽ 2 · n፣ ለምሳሌ፣ ወይም 14· ln5=2·7·ln5 ያለው መጠን)። እናውጣት።

የቅርጹን x 2 +2 n x+c=0 ኳድራቲክ እኩልታ መፍታት አለብን እንበል። የምናውቀውን ቀመር ተጠቅመን ሥሩን እንፈልግ። ይህንን ለማድረግ, አድልዎ እናሰላለን D=(2 n) 2 -4 a c=4 n 2 -4 a c=4 (n 2 -a c), እና ከዚያ የስር ቀመሩን እንጠቀማለን-

n 2 -a c የሚለውን አገላለጽ እንደ D 1 እንጥቀስ (አንዳንዴም D ") ይባላል። ከዚያም ከሁለተኛው Coefficient 2 n ጋር ግምት ውስጥ የሚገቡት የኳድራቲክ እኩልታ ሥሮች ቀመር ቅጹን ይወስዳል። , በ D 1 = n 2 -a·c.

D=4·D 1፣ ወይም D 1 =D/4 ማየት ቀላል ነው። በሌላ አነጋገር፣ D 1 የአድሎው አራተኛው ክፍል ነው። የ D 1 ምልክት ከ D ምልክት ጋር አንድ አይነት መሆኑን ግልጽ ነው. ያም ማለት ምልክቱ D 1 የኳድራቲክ እኩልታ ስሮች መኖር ወይም አለመገኘት አመላካች ነው።

ስለዚህ፣ ኳድራቲክ እኩልታን ከሁለተኛው Coefficient 2·n ጋር ለመፍታት ያስፈልግዎታል

አስላ D 1 = n 2 -ac · ac;
ዲ 1 ከሆነ<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
D 1 =0 ከሆነ ቀመሩን በመጠቀም የቀመርውን ብቸኛ ሥሩ አስሉ;
D 1>0 ከሆነ ቀመሩን በመጠቀም ሁለት እውነተኛ ሥሮችን ያግኙ።

በዚህ አንቀጽ ውስጥ የተገኘውን የስር ቀመር በመጠቀም ምሳሌውን ለመፍታት እናስብ።

ለምሳሌ.

የኳድራቲክ እኩልታ 5 x 2 -6 x -32=0 ን ፍታ።

መፍትሄ።

የዚህ እኩልታ ሁለተኛ እኩልነት እንደ 2· (-3) ሊወከል ይችላል። ማለትም ዋናውን ኳድራቲክ እኩልታ በቅጹ 5 x 2 +2 (-3) x−32=0፣ እዚህ a=5፣ n=-3 እና c=-32 እንደገና መፃፍ እና የአራተኛውን ክፍል አስላ። አድሎአዊ፡ D 1 = n 2 -ac·c=(-3) 2 -5·(-32)=9+160=169. እሴቱ አዎንታዊ ስለሆነ, እኩልታው ሁለት እውነተኛ ሥሮች አሉት. ተገቢውን የስር ቀመር በመጠቀም እናገኛቸው፡-

ለኳድራቲክ እኩልታ ሥሮች የተለመደው ቀመር መጠቀም ይቻል እንደነበር ልብ ይበሉ ፣ ግን በዚህ ሁኔታ ተጨማሪ የማስላት ስራዎች መከናወን አለባቸው ።

መልስ፡-

የኳድራቲክ እኩልታዎችን መልክ ማቃለል

አንዳንድ ጊዜ፣ ቀመሮችን በመጠቀም የኳድራቲክ እኩልታ ሥረቶችን ለማስላት ከመጀመራችን በፊት፣ “የዚህን እኩልታ መልክ ማቃለል ይቻላል?” የሚለውን ጥያቄ መጠየቅ አይጎዳም። ከስሌቶች አንጻር የኳድራቲክ እኩልታ 11 x 2 -4 x−6=0 ከ1100 x 2 -400 x−600=0 መፍታት ቀላል እንደሚሆን ይስማሙ።

በተለምዶ የኳድራቲክ እኩልታ ቅርፅን ማቃለል የሚገኘው ሁለቱንም ወገኖች በማባዛት ወይም በማካፈል ነው። ለምሳሌ በቀደመው አንቀፅ 1100 x 2 -400 x -600=0 ሁለቱን ወገኖች በ100 በማካፈል ሒሳቡን ማቃለል ተችሏል።

ተመሳሳይ ለውጥ የሚከናወነው በአራት እኩልታዎች ነው ፣ የእነሱ ጥምርታዎች አይደሉም። በዚህ ሁኔታ ፣ የእኩልታው ሁለቱም ጎኖች ብዙውን ጊዜ በፍፁም እሴቶች የተከፋፈሉ ናቸው። ለምሳሌ፣ ኳድራቲክ እኩልታ 12 x 2 -42 x+48=0 እንውሰድ። የቁጥር ፍፁም እሴቶች፡ GCD(12፣ 42፣ 48)= GCD(GCD(12፣ 42)፣ 48)= GCD(6፣ 48)=6። የመጀመሪያውን ኳድራቲክ እኩልታ ሁለቱንም ጎኖች በ 6 በማካፈል፣ ወደ ተመጣጣኝ ኳድራቲክ እኩልታ 2 x 2 -7 x+8=0 ደርሰናል።

እና የኳድራቲክ እኩልታ ሁለቱንም ጎኖች ማባዛት ብዙውን ጊዜ የክፍልፋይ ቅንጅቶችን ለማስወገድ ይከናወናል። በዚህ ሁኔታ, ማባዛት የሚከናወነው በአካፋዎቹ ጠቋሚዎች ነው. ለምሳሌ፣ የኳድራቲክ እኩልታ ሁለቱም ጎኖች በኤልሲኤም(6፣ 3፣ 1)=6 ቢባዙ፣ ከዚያም ቀላሉን x 2 +4·x−18=0 ይወስዳል።

በዚህ ነጥብ ማጠቃለያ፣ ሁልጊዜ ማለት ይቻላል የሁሉንም ቃላቶች ምልክቶች በመቀየር የኳድራቲክ እኩልታ ከፍተኛውን መጠን እንደሚያስወግዱ እናስተውላለን፣ ይህም ሁለቱንም ወገኖች በ-1 ማባዛት (ወይም መከፋፈል) ጋር ይዛመዳል። ለምሳሌ, ብዙውን ጊዜ አንድ ሰው ከ quadratic equation -2 x 2 -3 x+7=0 ወደ መፍትሄው 2 x 2 +3 x-7=0 ይንቀሳቀሳል.

የኳድራቲክ እኩልታ ስሮች እና ጥምርታዎች ግንኙነት

የኳድራቲክ እኩልታ ሥረ ቀመሮች የእኩልታውን ሥረ-ሥሮች በቁጥር (coefficients) ይገልፃል። በስር ፎርሙላ ላይ በመመስረት, በስሮች እና በቁጥር መካከል ያሉ ሌሎች ግንኙነቶችን ማግኘት ይችላሉ.

ከቪዬታ ቲዎሬም በጣም የታወቁ እና ተግባራዊ ቀመሮች ቅጹ እና . በተለይም ለተሰጠው ኳድራቲክ እኩልታ, ሥሮቹ ድምር ከሁለተኛው ተቃራኒ ምልክት ጋር እኩል ነው, እና የሥሮቹ ምርት ከነፃ ቃል ጋር እኩል ነው. ለምሳሌ ፣ የኳድራቲክ እኩልታ 3 x 2 -7 x + 22 = 0 ቅርፅን በመመልከት ፣ ወዲያውኑ የሥሩ ድምር ከ 7/3 ጋር እኩል ነው ማለት እንችላለን ፣ እና የሥሩ ምርት ከ 22 ጋር እኩል ነው። /3.

ቀደም ሲል የተፃፉትን ቀመሮች በመጠቀም በኳድራቲክ እኩልታ ስሮች እና ቅንጅቶች መካከል ሌሎች በርካታ ግንኙነቶችን ማግኘት ይችላሉ። ለምሳሌ፣ የኳድራቲክ እኩልታ ስሮች የካሬዎችን ድምር በቁጥር መግለጽ ትችላለህ፡.

መጽሃፍ ቅዱስ።

አልጀብራ፡የመማሪያ መጽሐፍ ለ 8 ኛ ክፍል. አጠቃላይ ትምህርት ተቋማት / [ዩ. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; የተስተካከለው በ ኤስ.ኤ. ቴላኮቭስኪ. - 16 ኛ እትም. - ኤም.: ትምህርት, 2008. - 271 p. የታመመ. - ISBN 978-5-09-019243-9.
ሞርዶኮቪች ኤ.ጂ.አልጀብራ 8ኛ ክፍል. በ 2 ሰዓታት ውስጥ ክፍል 1. ለአጠቃላይ የትምህርት ተቋማት ተማሪዎች የመማሪያ መጽሐፍ / A.G. Mordkovich. - 11 ኛ እትም, ተሰርዟል. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: የታመመ. ISBN 978-5-346-01155-2.

ኳድራቲክ እኩልታዎች በ 8 ኛ ክፍል ውስጥ ይማራሉ, ስለዚህ እዚህ ምንም የተወሳሰበ ነገር የለም. እነሱን የመፍታት ችሎታ በጣም አስፈላጊ ነው.

ኳድራቲክ እኩልታ የቅርጽ መጥረቢያ 2 + bx + c = 0 እኩልታ ሲሆን እነዚህም አሃዞች a፣ b እና c የዘፈቀደ ቁጥሮች ሲሆኑ እና ≠ 0 ናቸው።

የተወሰኑ የመፍትሄ ዘዴዎችን ከማጥናትዎ በፊት ፣ ሁሉም አራት ማዕዘኖች በሦስት ክፍሎች ሊከፈሉ እንደሚችሉ ልብ ይበሉ።

ሥር አይኑር;
በትክክል አንድ ሥር ይኑርዎት;
ሁለት የተለያዩ ሥሮች አሏቸው.

ይህ በኳድራቲክ እኩልታዎች እና በመስመራዊ መካከል ያለው አስፈላጊ ልዩነት ነው፣ ስሩ ሁል ጊዜ የሚኖር እና ልዩ ነው። አንድ እኩልታ ስንት ሥሮች እንዳሉት እንዴት መወሰን ይቻላል? ለዚህ አስደናቂ ነገር አለ - አድሎአዊ.

አድሎአዊ

የኳድራቲክ እኩልታ መጥረቢያ 2 + bx + c = 0 ይስጥ።ከዚያ አድልዎ በቀላሉ ቁጥር D = b 2 - 4ac ነው።

ይህንን ቀመር በልብ ማወቅ ያስፈልግዎታል. ከየት እንደመጣ አሁን አስፈላጊ አይደለም. ሌላው አስፈላጊ ነገር: በአድሎአዊው ምልክት የኳድራቲክ እኩልታ ምን ያህል ሥሮች እንዳሉት ማወቅ ይችላሉ. ይኸውም፡-

ዲ< 0, корней нет;
D = 0 ከሆነ, በትክክል አንድ ሥር አለ;
D > 0 ከሆነ, ሁለት ሥሮች ይኖራሉ.

እባክዎን ያስተውሉ: አድልዎ የሚያመለክተው የሥሮቹን ቁጥር ነው, እና ምልክቶቻቸውን በጭራሽ አይደለም, በሆነ ምክንያት ብዙ ሰዎች ያምናሉ. ምሳሌዎችን ተመልከት እና ሁሉንም ነገር ራስህ ትረዳለህ፡-

ተግባር ኳድራቲክ እኩልታዎች ስንት ሥሮች አሏቸው፡-

x 2 - 8x + 12 = 0;

5x 2 + 3x + 7 = 0;

x 2 - 6x + 9 = 0።

ለመጀመሪያው እኩልታ (coefficients) እንፃፍ እና አድሎአዊውን እንፈልግ፡-
a = 1, b = -8, c = 12;
መ = (-8) 2 - 4 1 12 = 64 - 48 = 16

ስለዚህ አድሎአዊው አዎንታዊ ነው, ስለዚህ እኩልታው ሁለት የተለያዩ ሥሮች አሉት. ሁለተኛውን እኩልታ በተመሳሳይ መንገድ እንመረምራለን-
ሀ = 5; ለ = 3; ሐ = 7;
D = 3 2 - 4 5 7 = 9 - 140 = -131.

አድልዎ አሉታዊ ነው, ምንም ሥሮች የሉም. የቀረው የመጨረሻው እኩልታ፡-
ሀ = 1; b = -6; ሐ = 9;
D = (-6) 2 - 4 1 9 = 36 - 36 = 0.

አድሎአዊው ዜሮ ነው - ሥሩ አንድ ይሆናል.

እባክዎ ለእያንዳንዱ እኩልዮሽ ውህዶች እንደተፃፉ ልብ ይበሉ። አዎን, ረጅም ነው, አዎ, አሰልቺ ነው, ነገር ግን ዕድሎችን አትቀላቅሉ እና ደደብ ስህተቶችን አትሰሩም. ለራስዎ ይምረጡ: ፍጥነት ወይም ጥራት.

በነገራችን ላይ, ተንጠልጣይ ከሆነ, ከጥቂት ቆይታ በኋላ ሁሉንም ውህዶች መፃፍ አያስፈልግዎትም. በጭንቅላቱ ውስጥ እንደዚህ አይነት ስራዎችን ያከናውናሉ. ብዙ ሰዎች ይህንን ከ50-70 ከተፈቱ እኩልታዎች በኋላ የሆነ ቦታ ማድረግ ይጀምራሉ - በአጠቃላይ ፣ ያን ያህል አይደለም።

የኳድራቲክ እኩልታ ሥሮች

አሁን ወደ ራሱ መፍትሄ እንሂድ። አድሎአዊው D > 0 ከሆነ ሥሮቹ ቀመሮቹን በመጠቀም ሊገኙ ይችላሉ፡-

የኳድራቲክ እኩልታ ሥሮች መሰረታዊ ቀመር

መቼ D = 0, ከእነዚህ ቀመሮች ውስጥ አንዱን መጠቀም ይችላሉ - ተመሳሳይ ቁጥር ያገኛሉ, ይህም መልሱ ይሆናል. በመጨረሻም ዲ< 0, корней нет — ничего считать не надо.

x 2 - 2x - 3 = 0;

15 - 2x - x 2 = 0;

x 2 + 12x + 36 = 0።

የመጀመሪያ እኩልታ፡-
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; ሐ = -3;
D = (-2) 2 - 4 1 (-3) = 16.

D > 0 ⇒ እኩልታው ሁለት ሥሮች አሉት። እናገኛቸው፡-

ሁለተኛ እኩልታ፡-
15 - 2x - x 2 = 0 ⇒ a = -1; b = -2; ሐ = 15;
D = (-2) 2 - 4 · (-1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ እኩልታው እንደገና ሁለት ሥሮች አሉት። እናገኛቸው

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \ግራ(-1 \ቀኝ))=-5; \\ & (((x)__(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \ግራ(-1 \ቀኝ))=3. \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

በመጨረሻም፣ ሦስተኛው እኩልታ፡-
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; ለ = 12; ሐ = 36;
D = 12 2 - 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ እኩልታው አንድ ሥር አለው። ማንኛውንም ቀመር መጠቀም ይቻላል. ለምሳሌ የመጀመሪያው፡-

ከምሳሌዎቹ ማየት እንደምትችለው, ሁሉም ነገር በጣም ቀላል ነው. ቀመሮቹን ካወቁ እና መቁጠር ከቻሉ ምንም ችግሮች አይኖሩም. ብዙውን ጊዜ ስህተቶች የሚከሰቱት አሉታዊ ቅንጅቶችን ወደ ቀመር ሲተካ ነው። እዚህ እንደገና, ከላይ የተገለጸው ዘዴ ይረዳል: ቀመሩን በጥሬው ይመልከቱ, እያንዳንዱን ደረጃ ይጻፉ - እና በጣም በቅርብ ጊዜ ስህተቶችን ያስወግዳሉ.

ያልተሟሉ ባለአራት እኩልታዎች

የኳድራቲክ እኩልታ በትርጉሙ ውስጥ ከተጠቀሰው ትንሽ የተለየ ሆኖ ይከሰታል። ለምሳሌ:

x 2 + 9x = 0;
x 2 - 16 = 0

እነዚህ እኩልታዎች ከቃላቶቹ ውስጥ አንዱን እንደጎደሉ መገንዘብ ቀላል ነው። እንደነዚህ ያሉት ባለአራት እኩልታዎች ከመደበኛዎቹ ይልቅ ለመፍታት ቀላል ናቸው፡ አድልዎ ማስላትን እንኳን አያስፈልጋቸውም። ስለዚህ፣ አዲስ ጽንሰ-ሀሳብ እናስተዋውቅ፡-

እኩልዮሽ መጥረቢያ 2 + bx + c = 0 ያልተሟላ ኳድራቲክ እኩልታ ይባላል b = 0 ወይም c = 0, i.e. የተለዋዋጭ x ወይም የነጻው ንጥረ ነገር ጥምርታ ከዜሮ ጋር እኩል ነው።

እርግጥ ነው, እነዚህ ሁለቱም ውህዶች ከዜሮ ጋር እኩል ሲሆኑ በጣም አስቸጋሪ ጉዳይ ሊሆን ይችላል: b = c = 0. በዚህ ሁኔታ, እኩልታው ቅጹን መጥረቢያ 2 = 0 ይወስዳል. በግልጽ እንደሚታየው, እንዲህ ዓይነቱ እኩልታ አንድ ሥር አለው: x = 0.

የቀሩትን ጉዳዮች እንመልከት። ፍቀድ b = 0፣ ከዚያም የቅርጹ መጥረቢያ 2 + c = 0 ያልተሟላ አራት ማዕዘን እኩልታ እናገኛለን። ትንሽ እንለውጠው፡-

የሂሳብ ስኩዌር ሥር ያለው አሉታዊ ያልሆነ ቁጥር ብቻ ስለሆነ፣ የመጨረሻው እኩልነት ትርጉም ያለው ለ (-c /a) ≥ 0. ማጠቃለያ፡-

በቅጹ መጥረቢያ 2 + c = 0 ባልተሟላ አራት ማዕዘን ቅርፅ እኩልነት (-c /a) ≥ 0 ከተሟላ, ሁለት ሥሮች ይኖራሉ. ቀመሩ ከላይ ተሰጥቷል;
ከሆነ (-c /a)< 0, корней нет.

እንደሚመለከቱት፣ አድሎአዊ አያስፈልግም - ባልተሟሉ ኳድራቲክ እኩልታዎች ውስጥ ምንም ውስብስብ ስሌቶች የሉም። እንደ እውነቱ ከሆነ, እኩልነትን ለማስታወስ እንኳን አስፈላጊ አይደለም (-c / a) ≥ 0. እሴቱን x 2 ን መግለጽ በቂ ነው እና በእኩል ምልክት በሌላኛው በኩል ያለውን ይመልከቱ. አዎንታዊ ቁጥር ካለ, ሁለት ሥሮች ይኖራሉ. አሉታዊ ከሆነ, ምንም ሥሮች አይኖሩም.

አሁን የነጻው አካል ከዜሮ ጋር እኩል የሆነበትን ቅፅ ax 2 + bx = 0 እኩልታዎችን እንይ። እዚህ ሁሉም ነገር ቀላል ነው: ሁልጊዜም ሁለት ሥሮች ይኖራሉ. ፖሊኖሚል መመዘን በቂ ነው፡-

የጋራውን ሁኔታ ከቅንፍ ማውጣት

ቢያንስ አንዱ ምክንያቶች ዜሮ ሲሆኑ ምርቱ ዜሮ ነው. ሥሮቹ የሚመጡት ከዚህ ነው። ለማጠቃለል፣ ከእነዚህ እኩልታዎች ጥቂቶቹን እንመልከት፡-

ተግባር ባለአራት እኩልታዎችን ይፍቱ፡

x 2 - 7x = 0;

5x 2 + 30 = 0;

4x 2 - 9 = 0

x 2 - 7x = 0 ⇒ x · (x - 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = -(-7)/1 = 7።

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = -30 ⇒ x 2 = -6። ምንም ሥሮች የሉም, ምክንያቱም ካሬ ከአሉታዊ ቁጥር ጋር እኩል ሊሆን አይችልም.

4x 2 - 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; x 2 = -1.5.