በተመሳሳይ መስመር ላይ የማይዋሹ ነጥቦች? ሀ) መቆራረጥ; ለ) ምንም ማለት አይቻልም; ሐ) አታቋርጡ; መ) መገጣጠም; ሠ) ሦስት የጋራ ነጥቦች አሏቸው።
2. ከሚከተሉት መግለጫዎች ውስጥ የትኛው እውነት ነው? ሀ) የክበብ ሁለት ነጥቦች በአውሮፕላኑ ውስጥ ቢተኛ ፣ መላው ክበብ በዚህ አውሮፕላን ውስጥ ይተኛል ። ለ) በሦስት ማዕዘኑ አውሮፕላን ውስጥ የተኛ ቀጥተኛ መስመር ሁለት ጎኖቹን ያቋርጣል; ሐ) ማንኛውም ሁለት አውሮፕላኖች አንድ የጋራ ነጥብ ብቻ አላቸው; መ) አንድ አውሮፕላን በሁለት ነጥቦች ውስጥ ያልፋል, እና አንድ ብቻ; ሠ) የሦስት ማዕዘኑ ጎኖቹን የያዙ ሁለት መስመሮችን ካቋረጠ አንድ መስመር በተሰጠው ትሪያንግል አውሮፕላን ውስጥ ይገኛል።
3. ሁለት የተለያዩ አውሮፕላኖች ሁለት የጋራ ነጥቦች ብቻ ሊኖራቸው ይችላል? ሀ) በጭራሽ; ለ) እችላለሁ, ግን በተጨማሪ ሁኔታዎች; ሐ) ሁልጊዜ አላቸው; መ) ጥያቄው ሊመለስ አይችልም; መ) ሌላ መልስ.
4. ነጥቦች K, L, M በተመሳሳይ መስመር ላይ ይዋሻሉ, ነጥብ N በላዩ ላይ አይተኛም. አንድ አውሮፕላን በየሶስት ነጥብ ይሳላል። ይህ ምን ያህል የተለያዩ አውሮፕላኖችን አስገኝቷል? ሀ) 1; ለ) 2; በ 3; መ) 4; መ) ማለቂያ የሌለው ብዙ።
5. ትክክለኛውን መግለጫ ይምረጡ. ሀ) አውሮፕላን በየትኛውም ሶስት ነጥብ ያልፋል ፣ እና አንድ ብቻ ፣ ለ) የአንድ መስመር ሁለት ነጥቦች በአውሮፕላን ውስጥ ቢተኛ ፣ ሁሉም የመስመሩ ነጥቦች በዚህ አውሮፕላን ውስጥ ይተኛሉ ፣ ሐ) ሁለት አውሮፕላኖች አንድ የጋራ ነጥብ ካላቸው, ከዚያም አይገናኙም; መ) አውሮፕላን, እና አንድ ብቻ, በመስመር እና በላዩ ላይ የተኛ ነጥብ ያልፋል; ሠ) በሁለት የተጠላለፉ ቀጥታ መስመሮች አውሮፕላን ለመሳል የማይቻል ነው.
6. የአውሮፕላኖቹን PBM እና MAB የጋራ ቀጥታ መስመር ይሰይሙ። ሀ) PM; ለ) AB; ሐ) ፒቢ; መ) ቢኤም; ሠ) ሊታወቅ አይችልም.
7. መስመሮች a እና b ነጥብ M ላይ ይገናኛሉ። ስለ መስመሮች a፣ b እና c አንጻራዊ አቀማመጥ ምን ማለት ይቻላል? ሀ) ሁሉም ቀጥታ መስመሮች በተለያዩ አውሮፕላኖች ውስጥ ይተኛሉ; ለ) ቀጥታ መስመሮች a እና b በተመሳሳይ አውሮፕላን ውስጥ ይተኛሉ; ሐ) ሁሉም ቀጥታ መስመሮች በአንድ አውሮፕላን ውስጥ ይተኛሉ; መ) ምንም ማለት አይቻልም; ሠ) መስመር ሐ ከአንዱ መስመሮች ጋር ይጣጣማል፡- ሀ ወይም ለ.
8. መስመሮች a እና b ነጥብ O. A € a, B € b, Y € AB ላይ ይገናኛሉ. ትክክለኛውን መግለጫ ይምረጡ። ሀ) ነጥቦች O እና Y በአንድ አውሮፕላን ውስጥ አይዋሹም; ለ) ቀጥታ መስመሮች OY እና a ትይዩ ናቸው; ሐ) ቀጥታ መስመሮች a, b እና ነጥብ Y በአንድ አውሮፕላን ውስጥ ይተኛሉ; መ) ነጥቦች O እና Y ይጣጣማሉ; ሠ) ነጥቦች Y እና A ይገጣጠማሉ።
አማራጭ 2.1. በተመሳሳይ ቀጥተኛ መስመር ላይ የማይዋሹ ሦስት የጋራ ነጥቦች ስላላቸው የሁለት አውሮፕላኖች አንጻራዊ አቀማመጥ ምን ማለት ይቻላል?
ሀ) መቆራረጥ; ለ) ምንም ማለት አይቻልም; ሐ) አታቋርጡ; መ) መገጣጠም; ሠ) ሦስት የጋራ ነጥቦች አሏቸው።
2. ከሚከተሉት መግለጫዎች ውስጥ የትኛው እውነት ነው?
ሀ) የክበብ ሁለት ነጥቦች በአውሮፕላኑ ውስጥ ቢተኛ ፣ መላው ክበብ በዚህ አውሮፕላን ውስጥ ይተኛል ። ለ) በሦስት ማዕዘኑ አውሮፕላን ውስጥ የተኛ ቀጥተኛ መስመር ሁለት ጎኖቹን ያቋርጣል; ሐ) ማንኛውም ሁለት አውሮፕላኖች አንድ የጋራ ነጥብ ብቻ አላቸው; መ) አንድ አውሮፕላን በሁለት ነጥቦች ውስጥ ያልፋል, እና አንድ ብቻ; ሠ) የሦስት ማዕዘኑ ጎኖቹን የያዙ ሁለት መስመሮችን ካቋረጠ አንድ መስመር በተሰጠው ትሪያንግል አውሮፕላን ውስጥ ይገኛል።
3. ሁለት የተለያዩ አውሮፕላኖች ሁለት የጋራ ነጥቦች ብቻ ሊኖራቸው ይችላል?
ሀ) በጭራሽ; ለ) እችላለሁ, ግን በተጨማሪ ሁኔታዎች; ሐ) ሁልጊዜ አላቸው; መ) ጥያቄው ሊመለስ አይችልም; መ) ሌላ መልስ.
4. ነጥቦች K, L, M በተመሳሳይ መስመር ላይ ይዋሻሉ, ነጥብ N በላዩ ላይ አይተኛም. አንድ አውሮፕላን በየሶስት ነጥብ ይሳላል። ይህ ምን ያህል የተለያዩ አውሮፕላኖችን አስገኝቷል?
ሀ) 1; ለ) 2; በ 3; መ) 4; መ) ማለቂያ የሌለው ብዙ።
5. ትክክለኛውን መግለጫ ይምረጡ.
ሀ) አውሮፕላን በየትኛውም ሶስት ነጥብ ያልፋል ፣ እና አንድ ብቻ ፣ ለ) የአንድ መስመር ሁለት ነጥቦች በአውሮፕላን ውስጥ ቢተኛ ፣ ሁሉም የመስመሩ ነጥቦች በዚህ አውሮፕላን ውስጥ ይተኛሉ ፣ ሐ) ሁለት አውሮፕላኖች አንድ የጋራ ነጥብ ካላቸው, ከዚያም አይገናኙም; መ) አውሮፕላን, እና አንድ ብቻ, በመስመር እና በላዩ ላይ የተኛ ነጥብ ያልፋል; ሠ) በሁለት የተጠላለፉ ቀጥታ መስመሮች አውሮፕላን ለመሳል የማይቻል ነው.
6. የአውሮፕላኖቹን PBM እና MAB የጋራ ቀጥታ መስመር ይሰይሙ።
ሀ) PM; ለ) AB; ሐ) ፒቢ; መ) ቢኤም; ሠ) ሊታወቅ አይችልም.
7. ከተዘረዘሩት አውሮፕላኖች ውስጥ የትኛው ቀጥተኛ መስመር RM ይገናኛል (ምስል 1)?
ሀ) ዲዲ1ሲ; ለ) D1PM; ሐ) B1PM; መ) ኤቢሲ; ሠ) ሲዲኤ.
B1 C1
8.ሁለት አውሮፕላኖች በቀጥታ መስመር ይገናኛሉ ሐ. ነጥብ M በአንዱ አውሮፕላኖች ውስጥ ብቻ ነው የሚገኘው። የነጥብ M እና የመስመር ሐ አንጻራዊ አቀማመጥ ምን ማለት ይቻላል?
ሀ) መደምደሚያ ላይ መድረስ አይቻልም; ለ) ቀጥተኛ መስመር ሐ በ ነጥብ M ውስጥ ያልፋል; ሐ) ነጥብ M በመስመር ሐ ላይ ይተኛል; መ) ቀጥተኛ መስመር ሐ ነጥብ M ውስጥ አያልፍም; መ) ሌላ መልስ.
9. መስመሮች a እና b ነጥብ M ላይ ይገናኛሉ። ስለ መስመሮች a, b እና c አንጻራዊ አቀማመጥ ምን ማለት ይቻላል?
ሀ) ሁሉም ቀጥታ መስመሮች በተለያዩ አውሮፕላኖች ውስጥ ይተኛሉ; ለ) ቀጥታ መስመሮች a እና b በተመሳሳይ አውሮፕላን ውስጥ ይተኛሉ; ሐ) ሁሉም ቀጥታ መስመሮች በአንድ አውሮፕላን ውስጥ ይተኛሉ; መ) ምንም ማለት አይቻልም; ሠ) መስመር ሐ ከአንዱ መስመሮች ጋር ይጣጣማል፡- ሀ ወይም ለ.
10. መስመሮች a እና b ነጥብ O. A € a, B € b, Y € AB ላይ ይገናኛሉ. ትክክለኛውን መግለጫ ይምረጡ።
ሀ) ነጥቦች O እና Y በአንድ አውሮፕላን ውስጥ አይዋሹም; ለ) ቀጥታ መስመሮች OY እና a ትይዩ ናቸው; ሐ) ቀጥታ መስመሮች a, b እና ነጥብ Y በአንድ አውሮፕላን ውስጥ ይተኛሉ; መ) ነጥቦች O እና Y ይጣጣማሉ; ሠ) ነጥቦች Y እና A ይገጣጠማሉ።
ጨረሮች AB እና AC ከጫፉ ጋር ቀጥ ያሉ ናቸው? 2. እውነት ነው መስመራዊ አንግል BAC ዳይሄድራል አንግል ነው AB እና AC ጨረሮች በዳይሄድራል አንግል ፊቶች ላይ ቢተኛ? 3. ጨረሮች AB እና AC በጠርዙ ላይ ቀጥ ካሉ እና ነጥቦች E እና C በማዕዘኑ ፊቶች ላይ ቢተኛ አንግል BAC የዳይሄድራል አንግል መስመራዊ ማዕዘን ነውን? 4. የዲሂድራል አንግል መስመራዊ አንግል 80 ዲግሪ ነው. በአንደኛው የማዕዘን ፊት ከሌላው ፊት ጋር ቀጥ ያለ መስመር አለ? 5. አንግል ኤቢሲ የአልፋ ጠርዝ ያለው የዲሄድራል አንግል መስመራዊ አንግል ነው። ቀጥተኛው መስመር አልፋ ከኤቢሲ አውሮፕላን ጋር ቀጥ ያለ ነው? እውነት ነው ሁሉም መስመሮች ከተሰጠው አውሮፕላን ጋር ቀጥ ያሉ እና የተወሰነውን መስመር የሚያቆራኙት በአንድ አውሮፕላን ውስጥ ነው?
በፕላኒሜትሪ ውስጥ, አውሮፕላኑ ከዋነኞቹ አሃዞች አንዱ ነው, ስለዚህ, ስለ እሱ ግልጽ የሆነ ግንዛቤ ማግኘት በጣም አስፈላጊ ነው. ይህ ጽሑፍ የተፈጠረው ይህንን ርዕስ ለመሸፈን ነው። በመጀመሪያ, የአውሮፕላን ጽንሰ-ሐሳብ, ስዕላዊ መግለጫው ተሰጥቷል እና የአውሮፕላኖች ስያሜዎች ይታያሉ. በመቀጠል, አውሮፕላኑ ከነጥብ, ቀጥታ መስመር ወይም ሌላ አውሮፕላን ጋር አብሮ ይቆጠራል, እና አማራጮች በጠፈር ውስጥ ካሉ አንጻራዊ አቀማመጦች ይነሳሉ. በሁለተኛው እና በሦስተኛው እና በአራተኛው አንቀፅ አንቀፅ ውስጥ ሁሉም አማራጮች አንጻራዊ የሁለት አውሮፕላኖች አቀማመጥ ፣ ቀጥተኛ መስመር እና አውሮፕላን ፣ እንዲሁም ነጥቦች እና አውሮፕላኖች ተተነተኑ ፣ መሰረታዊ አክሲሞች እና ስዕላዊ መግለጫዎች ተሰጥተዋል ። በማጠቃለያው, በጠፈር ውስጥ አውሮፕላንን የመግለጽ ዋና ዘዴዎች ተሰጥተዋል.
የገጽ አሰሳ።
አውሮፕላን - መሰረታዊ ጽንሰ-ሐሳቦች, ምልክቶች እና ምስሎች.
በሶስት አቅጣጫዊ ቦታ ውስጥ በጣም ቀላል እና መሰረታዊ የጂኦሜትሪክ ምስሎች ነጥብ, ቀጥተኛ መስመር እና አውሮፕላን ናቸው. በአውሮፕላኑ ላይ የነጥብ እና የመስመር ሀሳብ ቀድሞውኑ አለን። በሶስት አቅጣጫዊ ቦታ ላይ ነጥቦች እና መስመሮች በሚታዩበት አውሮፕላን ላይ ካስቀመጥን, ከዚያም በቦታ ውስጥ ነጥቦችን እና መስመሮችን እናገኛለን. በጠፈር ውስጥ ያለው አውሮፕላን ሀሳብ ለምሳሌ የጠረጴዛ ወይም ግድግዳ ወለል እንድናገኝ ያስችለናል. ሆኖም ግን, ጠረጴዛ ወይም ግድግዳ ውስን ልኬቶች አሉት, እና አውሮፕላኑ ከድንበሩ ባሻገር እስከ መጨረሻው ድረስ ይዘልቃል.
በጠፈር ውስጥ ያሉ ነጥቦች እና መስመሮች ልክ እንደ አውሮፕላን በተመሳሳይ መንገድ - በትልቁ እና በትንንሽ በላቲን ፊደላት, በቅደም ተከተል. ለምሳሌ, ነጥቦች A እና Q, መስመሮች a እና d. በአንድ መስመር ላይ የተቀመጡ ሁለት ነጥቦች ከተሰጡ, መስመሩ ከነዚህ ነጥቦች ጋር በሚዛመዱ ሁለት ፊደላት ሊያመለክት ይችላል. ለምሳሌ ቀጥታ መስመር AB ወይም BA ነጥብ A እና B ውስጥ ያልፋል። አውሮፕላኖች በአብዛኛው የሚገለጹት በትናንሽ የግሪክ ፊደላት ነው፣ ለምሳሌ፣ አውሮፕላኖች፣ ወይም።
ችግሮችን በሚፈታበት ጊዜ አውሮፕላኖችን በስዕሉ ላይ ማሳየት አስፈላጊ ይሆናል. አውሮፕላን አብዛኛውን ጊዜ እንደ ትይዩ ወይም የዘፈቀደ ቀላል የተዘጋ ክልል ሆኖ ይገለጻል።
አውሮፕላን ብዙውን ጊዜ ከነጥቦች ፣ ቀጥታ መስመሮች ወይም ሌሎች አውሮፕላኖች ጋር አብሮ ይታሰባል ፣ እና ለአንፃራዊ ቦታቸው የተለያዩ አማራጮች ይነሳሉ ። ወደ ገለፃቸው እንሂድ።
የአውሮፕላኑ አንጻራዊ አቀማመጥ እና ነጥቡ.
በአክሲየም እንጀምር፡ በእያንዳንዱ አውሮፕላን ውስጥ ነጥቦች አሉ። ከእሱ ውስጥ ለአውሮፕላኑ አንጻራዊ አቀማመጥ እና ነጥቡ የመጀመሪያውን አማራጭ ይከተላል - ነጥቡ የአውሮፕላኑ ሊሆን ይችላል. በሌላ አነጋገር አውሮፕላን በአንድ ነጥብ ውስጥ ማለፍ ይችላል. አንድ ነጥብ የአውሮፕላን መሆኑን ለማመልከት "" የሚለው ምልክት ጥቅም ላይ ይውላል. ለምሳሌ, አውሮፕላኑ በ ነጥብ A ውስጥ ካለፈ, ከዚያም በአጭሩ መጻፍ ይችላሉ.
በጠፈር ውስጥ በተሰጠው አውሮፕላን ላይ እጅግ በጣም ብዙ ነጥቦች እንዳሉ መረዳት ያስፈልጋል.
የሚከተለው axiom አንድ የተወሰነ አውሮፕላን ለመወሰን በጠፈር ውስጥ ምን ያህል ነጥቦች ምልክት መደረግ እንዳለበት ያሳያል-በተመሳሳይ መስመር ላይ በማይዋሹ ሶስት ነጥቦች, አውሮፕላን ያልፋል እና አንድ ብቻ. በአውሮፕላን ውስጥ የተቀመጡ ሦስት ነጥቦች የሚታወቁ ከሆነ አውሮፕላኑ ከእነዚህ ነጥቦች ጋር በሚዛመዱ ሦስት ፊደላት ሊያመለክት ይችላል. ለምሳሌ አውሮፕላን በነጥብ A፣ B እና C ውስጥ ካለፈ፣ ከዚያም ABC ተብሎ ሊሰየም ይችላል።
የአውሮፕላኑን አንጻራዊ አቀማመጥ እና ነጥቡን ሁለተኛውን ስሪት የሚሰጠውን ሌላ axiom እንፍጠር-በተመሳሳይ አውሮፕላን ውስጥ የማይዋሹ ቢያንስ አራት ነጥቦች አሉ። ስለዚህ በህዋ ላይ ያለ ነጥብ የአውሮፕላኑ ላይሆን ይችላል። በእርግጥ በቀድሞው አክሲየም አማካኝነት አንድ አውሮፕላን በቦታ ውስጥ በሶስት ነጥቦች ውስጥ ያልፋል, እና አራተኛው ነጥብ በዚህ አውሮፕላን ላይ ሊተኛ ወይም ላይኖር ይችላል. በአጭሩ ሲጽፉ "" የሚለውን ምልክት ተጠቀም, ይህም "የማይገባ" ከሚለው ሐረግ ጋር እኩል ነው.
ለምሳሌ, ነጥብ A በአውሮፕላኑ ውስጥ የማይተኛ ከሆነ, ከዚያም አጭር መግለጫውን ይጠቀሙ.
በጠፈር ውስጥ ቀጥተኛ መስመር እና አውሮፕላን.
በመጀመሪያ, ቀጥተኛ መስመር በአውሮፕላን ውስጥ ሊተኛ ይችላል. በዚህ ሁኔታ, የዚህ መስመር ቢያንስ ሁለት ነጥቦች በአውሮፕላኑ ውስጥ ይተኛሉ. ይህ በአክሲየም የተቋቋመ ነው-የመስመር ሁለት ነጥቦች በአውሮፕላን ውስጥ ከተኙ ፣ ሁሉም የዚህ መስመር ነጥቦች በአውሮፕላን ውስጥ ይተኛሉ። ለተወሰነ አውሮፕላን የአንድ የተወሰነ መስመር ንብረትን በአጭሩ ለመመዝገብ “” የሚለውን ምልክት ይጠቀሙ። ለምሳሌ, ማስታወሻው ቀጥተኛ መስመር በአውሮፕላኑ ውስጥ ይገኛል.
በሁለተኛ ደረጃ, ቀጥተኛ መስመር አውሮፕላንን ሊያቋርጥ ይችላል. በዚህ ሁኔታ, ቀጥታ መስመር እና አውሮፕላኑ አንድ ነጠላ የጋራ ነጥብ አላቸው, እሱም ቀጥታ መስመር እና አውሮፕላኑ መገናኛ ነጥብ ይባላል. በአጭሩ ሲጽፍ, መገናኛውን "" ከሚለው ምልክት ጋር እጠቁማለሁ. ለምሳሌ፣ ማስታወሻው ማለት አንድ ቀጥተኛ መስመር አውሮፕላኑን በነጥብ M ላይ ያቋርጣል ማለት ነው። አንድ አውሮፕላን የተወሰነ ቀጥተኛ መስመርን ሲያቋርጥ, በአውሮፕላኑ እና በአውሮፕላኑ መካከል ያለው አንግል ጽንሰ-ሐሳብ ይነሳል.
በተናጥል ፣ አውሮፕላኑን የሚያቋርጠው እና በዚህ አውሮፕላን ውስጥ ካለ ማንኛውም ቀጥተኛ መስመር ጋር ቀጥ ያለ መስመር ላይ ማተኮር ተገቢ ነው። እንዲህ ዓይነቱ መስመር በአውሮፕላኑ ላይ ቀጥ ብሎ ይጠራል. ቀጥተኛነትን በአጭሩ ለመቅዳት “” የሚለውን ምልክት ይጠቀሙ። ስለ ቁሳቁሱ የበለጠ ጥልቅ ጥናት ፣ የቀጥታ መስመር እና የአውሮፕላን ፅሁፉን perpendicularity ማየት ይችላሉ።
ከአውሮፕላኑ ጋር የተያያዙ ችግሮችን በሚፈታበት ጊዜ ልዩ ጠቀሜታ የአውሮፕላኑ መደበኛ ቬክተር ተብሎ የሚጠራው ነው. የአውሮፕላን መደበኛ ቬክተር ማንኛውም ዜሮ ያልሆነ ቬክተር ከዚህ አውሮፕላን ጋር በተዛመደ መስመር ላይ የሚተኛ ነው።
በሶስተኛ ደረጃ, ቀጥተኛ መስመር ከአውሮፕላኑ ጋር ትይዩ ሊሆን ይችላል, ማለትም በውስጡ የጋራ ነጥቦች ላይኖረው ይችላል. ኮንፈረንስን በአጭሩ ሲጽፉ “” የሚለውን ምልክት ይጠቀሙ። ለምሳሌ, መስመር a ከአውሮፕላኑ ጋር ትይዩ ከሆነ, ከዚያም መጻፍ እንችላለን. የአንድ መስመር እና የአውሮፕላን ትይዩነት ጽሑፉን በመጥቀስ ይህንን ጉዳይ በበለጠ ዝርዝር እንዲያጠኑ እንመክራለን።
በአውሮፕላኑ ውስጥ የተኛ ቀጥተኛ መስመር ይህንን አውሮፕላን ለሁለት ግማሽ አውሮፕላኖች ይከፍለዋል ሊባል ይገባል. በዚህ ጉዳይ ላይ ያለው ቀጥተኛ መስመር የግማሽ አውሮፕላኖች ድንበር ተብሎ ይጠራል. ተመሳሳይ የግማሽ አውሮፕላን ማንኛቸውም ሁለት ነጥቦች በአንድ መስመር ጎን ላይ ይተኛሉ፣ እና የተለያዩ የግማሽ አውሮፕላኖች ሁለት ነጥቦች ከድንበሩ መስመር በተቃራኒ ጎኖች ላይ ይተኛሉ።
የአውሮፕላኖች የጋራ አቀማመጥ.
በጠፈር ውስጥ ሁለት አውሮፕላኖች ሊገጣጠሙ ይችላሉ. በዚህ ሁኔታ ውስጥ ቢያንስ ሶስት የጋራ ነጥቦች አሏቸው.
በጠፈር ውስጥ ያሉ ሁለት አውሮፕላኖች ሊገናኙ ይችላሉ. የሁለት አውሮፕላኖች መገናኛ ቀጥ ያለ መስመር ነው, እሱም በአክሲየም የተመሰረተ ነው: ሁለት አውሮፕላኖች አንድ የጋራ ነጥብ ካላቸው, የእነዚህ አውሮፕላኖች የጋራ ነጥቦች የሚተኛበት አንድ የጋራ ቀጥተኛ መስመር አላቸው.
በዚህ ሁኔታ, በተቆራረጡ አውሮፕላኖች መካከል ያለው ማዕዘን ጽንሰ-ሐሳብ ይነሳል. ልዩ ትኩረት የሚስበው በአውሮፕላኖቹ መካከል ያለው አንግል ዘጠና ዲግሪ በሚሆንበት ጊዜ ነው. እንደነዚህ ያሉት አውሮፕላኖች ቀጥ ብለው ይባላሉ. ስለ አውሮፕላኖች perpendicularity በሚለው ርዕስ ውስጥ ስለ እነርሱ ተነጋገርን.
በመጨረሻም, በጠፈር ውስጥ ሁለት አውሮፕላኖች ትይዩ ሊሆኑ ይችላሉ, ማለትም, ምንም የጋራ ነጥቦች የላቸውም. ስለ አውሮፕላኖች አንጻራዊ አቀማመጥ ይህንን አማራጭ ሙሉ በሙሉ ለመረዳት የአውሮፕላኖችን ትይዩነት ጽሑፉን እንዲያነቡ እንመክራለን.
አውሮፕላንን ለመወሰን ዘዴዎች.
አሁን አንድ የተወሰነ አውሮፕላን በጠፈር ውስጥ ለመወሰን ዋና መንገዶችን እንዘረዝራለን.
በመጀመሪያ አውሮፕላን በአንድ ቀጥተኛ መስመር ላይ የማይዋሹ ሶስት ነጥቦችን በጠፈር ላይ በማስተካከል ሊገለጽ ይችላል። ይህ ዘዴ በአክሲየም ላይ የተመሰረተ ነው-በተመሳሳይ መስመር ላይ በማይዋሹ ሶስት ነጥቦች አማካኝነት አንድ አውሮፕላን አለ.
አንድ አውሮፕላን በአንድ ቀጥተኛ መስመር ላይ የማይዋሹትን የሶስት የተለያዩ ነጥቦቹን መጋጠሚያዎች በማመልከት በሶስት አቅጣጫዊ ቦታ ላይ ተስተካክሎ ከተገለጸ, ከዚያም በተሰጡት ሶስት ነጥቦች ውስጥ የሚያልፈውን የአውሮፕላኑን እኩልነት እንጽፋለን.
የሚቀጥሉት ሁለት ዘዴዎች አውሮፕላንን የሚወስኑት የቀደመው ውጤት ናቸው. እነሱ በሦስት ነጥቦች ውስጥ ስላለፈው አውሮፕላን በአክሲየም መግለጫዎች ላይ የተመሰረቱ ናቸው ።
- አንድ አውሮፕላን በመስመር ላይ ያልፋል እና በላዩ ላይ የማይተኛ ነጥብ ፣ እና አንድ ብቻ (በተጨማሪም በመስመር እና በአንድ ነጥብ ውስጥ የሚያልፈውን የአውሮፕላን መጣጥፍ ይመልከቱ) ።
- በሁለት የተጠላለፉ መስመሮች ውስጥ የሚያልፈው አንድ አውሮፕላን አንድ ብቻ ነው (በጽሁፉ ውስጥ ያለውን ይዘት እንዲያነቡ እንመክራለን-በሁለት የተጠላለፉ መስመሮች ውስጥ የሚያልፍ አውሮፕላን እኩልነት)።
አራተኛው መንገድ አውሮፕላንን በጠፈር ውስጥ ለመወሰን ትይዩ መስመሮችን በመግለጽ ላይ የተመሰረተ ነው. በጠፈር ውስጥ ያሉት ሁለት መስመሮች በአንድ አውሮፕላን ውስጥ ተኝተው ካልተገናኙ ትይዩ እንደሚባሉ አስታውስ። ስለዚህ, በጠፈር ውስጥ ሁለት ትይዩ መስመሮችን በማመልከት, እነዚህ መስመሮች የሚተኛበትን ብቸኛ አውሮፕላን እንወስናለን.
ባለ ሶስት አቅጣጫዊ ቦታ በተጠቀሰው መንገድ አውሮፕላን ከተሰጠ አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው የማስተባበሪያ ስርዓት , ከዚያም በሁለት ትይዩ መስመሮች ውስጥ ለሚያልፍ አውሮፕላን እኩልነት መፍጠር እንችላለን.
በሁለተኛ ደረጃ ትምህርት ቤት የጂኦሜትሪ ትምህርቶች, የሚከተለው ቲዎሬም ተረጋግጧል: በቦታ ውስጥ ባለው ቋሚ ነጥብ በኩል አንድ ነጠላ አውሮፕላን በአንድ መስመር ላይ ቀጥ ብሎ ያልፋል. ስለዚህም አንድን አውሮፕላን የሚያልፍበትን ነጥብ እና ቀጥ ያለ መስመር ከገለፅን እንገልፃለን።
አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው የማስተባበሪያ ስርዓት በሶስት አቅጣጫዊ ቦታ ላይ ተስተካክሎ እና አውሮፕላን በተጠቆመው መንገድ ከተገለጸ, ከዚያም በተሰጠው ቀጥተኛ መስመር ላይ በተሰጠው ነጥብ በኩል የሚያልፈውን አውሮፕላን እኩልታ መገንባት ይቻላል.
ከአውሮፕላኑ ቀጥ ያለ መስመር ሳይሆን፣ የዚህ አውሮፕላን መደበኛ ቬክተር አንዱን መግለጽ ይችላሉ። በዚህ ሁኔታ, መጻፍ ይቻላል
የስቴሪዮሜትሪ Axioms.
A1. በተሰጠው መስመር ላይ በማይተኛባቸው ሶስት ነጥቦች, አውሮፕላን ያልፋል, እና አንድ ብቻ;
Sl.1.ቀጥ ባለ መስመር እና በላዩ ላይ የማይተኛ ነጥብ አንድ አውሮፕላን ያልፋል ፣ እና አንድ ብቻ።
Sl.2.አንድ አውሮፕላን በሁለት የተጠላለፉ መስመሮች ውስጥ ያልፋል, እና አንድ ብቻ;
Sl.3.አውሮፕላን በሁለት ትይዩ መስመሮች ውስጥ ያልፋል ፣ እና አንድ ብቻ።
A2.የአንድ መስመር ሁለት ነጥቦች በአውሮፕላን ውስጥ ቢተኛ, ሁሉም የመስመሩ ነጥቦች በዚህ አውሮፕላን ውስጥ ይተኛሉ;
A3. ሁለት አውሮፕላኖች አንድ የጋራ ነጥብ ካላቸው, ሁሉም የእነዚህ አውሮፕላኖች የጋራ ነጥቦች የሚተኛበት የጋራ ቀጥተኛ መስመር አላቸው.
የስቴሪዮሜትሪ መሰረታዊ ምስሎች- ነጥቦች (A፣ B፣ C...)፣ ቀጥ ያለ (ሀ፣ ቢ፣ ሲ...), አውሮፕላን ( …) , ፖሊሄድራ እና የማዞሪያ አካላት.
ስር አውሮፕላን መቁረጥባለ ሶስት አቅጣጫዊ ምስል እንደ አውሮፕላን ይገነዘባል, በሁለቱም በኩል የዚህ ምስል ነጥቦች አሉ.
ከኋላ የርቀት መለኪያበአንድ ነጥብ ፣ መስመር እና አውሮፕላን መካከል የጋራ ቋሚዎቻቸውን ርዝመት እንወስዳለን ።
2. በጠፈር ውስጥ የመስመሮች አንጻራዊ አቀማመጥ.
በጠፈር ውስጥ ሁለት መስመሮች ይችላሉ ትይዩ መሆን፣ መቆራረጥ ወይም መሻገር.
| 1A | ዲፍ ትይዩበጠፈር ውስጥ ያሉ መስመሮች በአንድ አውሮፕላን ውስጥ የሚተኛሉ እና የማይገናኙ መስመሮች ናቸው. በሚቀጥለው መሠረት 3. አንድ አውሮፕላን በሁለት ትይዩ መስመሮች ውስጥ ያልፋል, እና አንድ ብቻ. | |
| 1ለ | ቲ 1 (ስለ ሽግግር)።ከሦስተኛው ጋር ትይዩ የሆኑ ሁለት መስመሮች እርስ በርስ ትይዩ ናቸው. | |
| 2A | በሚቀጥለው መሠረት 2. ከሁለት በኋላ መቆራረጥአውሮፕላን ቀጥታ መስመሮችን ያልፋል ፣ እና አንድ ብቻ | |
| 3A | ዲፍ ሁለት ቀጥተኛ መስመሮች ተጠርተዋል እርስ በርስ መቀላቀል, በአንድ አውሮፕላን ውስጥ የማይዋሹ ከሆነ. | |
| ቲ 2 (የማቋረጫ መስመሮች ምልክት).ከሁለቱ መስመሮች አንዱ በተወሰነ አውሮፕላን ውስጥ ቢተኛ እና ሌላኛው መስመር የመጀመሪያውን መስመር ባልያዘበት ቦታ ላይ ይህን አውሮፕላን ካቋረጠ, እንደዚህ ያሉ መስመሮች የተዛቡ ናቸው. | ||
| 3B | ዲፍ በተቆራረጡ መስመሮች መካከል አንግልበተቆራረጡ ትይዩ መስመሮች መካከል ያለው አንግል ይባላል. | |
| 3B | ዲፍ የሁለት skew መስመሮች የጋራ ቋሚ በእነዚህ መስመሮች ላይ ጫፎች ያለው እና በእነሱ ላይ ቀጥ ያለ ክፍል ነው (በማቋረጫ መስመሮች መካከል ያለው ርቀት). |
- በጠፈር ውስጥ ቀጥተኛ መስመሮች እና አውሮፕላኖች አንጻራዊ አቀማመጥ.
በጠፈር ውስጥ, ቀጥተኛ መስመር እና አውሮፕላን ሊሆኑ ይችላሉ ትይዩ, መቆራረጥወይም ቀጥታ በአውሮፕላን ውስጥ ሙሉ በሙሉ ሊተኛ ይችላል.
| 1A | ዲፍ ቀጥታተብሎ ይጠራል ከአውሮፕላኑ ጋር ትይዩ, በዚህ አውሮፕላን ውስጥ ካለ ማንኛውም መስመር ጋር ትይዩ ከሆነ. | |
| 1ለ | ቲ 3 (በመስመር እና በአውሮፕላን መካከል ያለው ትይዩነት ምልክት). በአውሮፕላኑ ውስጥ የማይተኛ ቀጥተኛ መስመር ከአውሮፕላኑ ጋር ትይዩ ከሆነ በዚህ አውሮፕላን ውስጥ ካለ ቀጥተኛ መስመር ጋር ትይዩ ከሆነ። | |
| 2A | ዲፍ ቀጥተኛ መስመር ተጠርቷል ወደ አውሮፕላኑ ቀጥ ብሎ, በዚህ አውሮፕላን ውስጥ ተኝተው ወደ ማንኛውም የተጠላለፉ መስመሮች ቀጥ ያለ ከሆነ. | |
| 2B | ቲ 4 (የመስመር እና የአውሮፕላን ቋሚነት ምልክት)አውሮፕላኑን የሚያቋርጥ መስመር በዚህ አውሮፕላን ውስጥ ከተቀመጡት ሁለት የተጠላለፉ መስመሮች ጋር ቀጥ ያለ ከሆነ፣ በዚህ አውሮፕላን ውስጥ ካለው እያንዳንዱ ሶስተኛው መስመር ጋር ተመሳሳይ ነው። | |
| 2B | ቲ 5 (ወደ ሦስተኛው ቀጥ ያለ ሁለት ትይዩ መስመሮች)።ከሁለቱ ትይዩ መስመሮች አንዱ በአውሮፕላኑ ላይ ቀጥ ያለ ከሆነ፣ ሌላኛው መስመር ደግሞ ከዚህ አውሮፕላን ጋር ተመሳሳይ ነው። | |
| 2ጂ | ዲፍ በአንድ መስመር እና በአውሮፕላን መካከል ያለው አንግል በተሰጠው መስመር እና በአውሮፕላኑ ላይ ባለው ትንበያ መካከል ያለው አንግል ነው። | |
| 2ዲ | Def. ማንኛውም ሌላ ቀጥተኛ መስመር, perpendicular የተለየ እና አንድ አውሮፕላን intersecting, ይባላል ያዘነብላልወደዚህ አውሮፕላን (ከዚህ በታች ያለውን ስእል ይመልከቱ). ዲፍ የታጠፈ አውሮፕላን ትንበያየቋሚውን እና የዘንባባውን መሠረት የሚያገናኝ ክፍል ይባላል። ቲ 6 (ስለ perpendicular እና ዘንበል ርዝመት)። 1) ወደዚህ አውሮፕላን ከያዘው አጠር ወደ አውሮፕላን የተሳለ ቀጥ ያለ; 2) እኩል ገደላማዎች ከእኩል ትንበያዎች ጋር ይዛመዳሉ; 3) ከሁለቱ ዘንበል ያሉት ግምታቸው ትልቅ ነው። | |
| 2ኢ | ቲ 7 (ወደ ሦስት perpendiculars)።በአውሮፕላኑ ላይ በተጣመመ አውሮፕላን ግርጌ በኩል የተዘረጋው ቀጥተኛ መስመርም ከግምገማው ጋር ቀጥ ያለ ነው። ቲ 8 (ተገላቢጦሽ)።በአውሮፕላኑ ላይ በተጣመመ አውሮፕላን ግርጌ በኩል እና ቀጥ ብሎ የተዘረጋው ቀጥተኛ መስመር እንዲሁ ወደዚህ አውሮፕላን ያዘነበለው አውሮፕላን በሚታይበት አቅጣጫ ነው። | |
| 3A | በ axiom 2. የአንድ መስመር ሁለት ነጥቦች በአውሮፕላን ውስጥ ቢተኛ, ሁሉም የመስመሩ ነጥቦች በዚህ አውሮፕላን ውስጥ ይገኛሉ. |
- በጠፈር ውስጥ የአውሮፕላኖች የጋራ አቀማመጥ.
በጠፈር ውስጥ, አውሮፕላኖች ሊሆኑ ይችላሉ ትይዩወይም መስቀል።
| 1A | ዲፍ ሁለት አውሮፕላንተብለው ይጠራሉ ትይዩ, ካልተገናኙ. | |
| ቲ 9 (ትይዩ አውሮፕላኖች ምልክት).የአንድ አውሮፕላን ሁለት የተጠላለፉ መስመሮች በቅደም ተከተል ከሌላው አውሮፕላን ሁለት መስመሮች ጋር ትይዩ ከሆኑ እነዚህ አውሮፕላኖች ትይዩ ናቸው። | ||
| 1ለ | T 10 ሁለት ትይዩ አውሮፕላኖች በሶስተኛ አውሮፕላን ከተጠለፉ ቀጥታ የመስቀለኛ መንገድ መስመሮች ትይዩ ናቸው. (የትይዩ አውሮፕላኖች ንብረት 1). | |
| 1ለ | ቲ 11 በትይዩ አውሮፕላኖች መካከል የተዘጉ ትይዩ መስመሮች ክፍሎች እኩል ናቸው (ትይዩ አውሮፕላኖች ንብረት 2). | |
| 2A | በአክሲዮም 3 መሠረት. ሁለት አውሮፕላኖች አንድ የጋራ ነጥብ ካላቸው, ሁሉም የእነዚህ አውሮፕላኖች የጋራ ነጥቦች የሚተኛበት የጋራ መስመር አላቸው. አውሮፕላኖች ቀጥታ መስመር ይገናኛሉ). | |
| 2B | ቲ 12 (የአውሮፕላኖች perpendicularity ምልክት)።አውሮፕላን ወደ ሌላ አውሮፕላን ቀጥ ያለ መስመር ካለፈ እነዚህ አውሮፕላኖች ቀጥ ያሉ ናቸው። | |
| 2B | ዲፍ Dihedral አንግልከአንድ ቀጥተኛ መስመር በሚወጡ ሁለት ግማሽ አውሮፕላኖች የተሰራ ምስል ነው። ከዳይድራል አንግል ጠርዝ ጋር ቀጥ ያለ አውሮፕላን ፊቶቹን በሁለት ጨረሮች ያቋርጣል። በእነዚህ ጨረሮች የተሠራው አንግል ይባላል የዲያቢሎስ አንግል መስመራዊ አንግል።ከኋላ የዲይድራል አንግል መለኪያየሚዛመደው መስመራዊ ማዕዘን መለኪያ ይወሰዳል. |
I5 በአንድ መስመር ላይ የማይዋሹ ሶስት ነጥቦች ምንም ቢሆኑም፣ በእነዚህ ነጥቦች ውስጥ የሚያልፍ ቢበዛ አንድ አውሮፕላን አለ።
I6 የአንድ መስመር ሁለት ነጥብ A እና B በአውሮፕላን ውስጥ ቢተኛ፣ እያንዳንዱ የመስመሩ ነጥብ በአውሮፕላን ውስጥ ነው ሀ. (በዚህ ሁኔታ መስመር በአውሮፕላን ውስጥ አለ ወይም ያ አውሮፕላን በመስመር ሀ ውስጥ ያልፋል እንላለን።
I7 ሁለት አውሮፕላኖች ሀ እና ለ አንድ የጋራ ነጥብ A ካላቸው፣ ከዚያም ቢያንስ አንድ ተጨማሪ የጋራ ነጥብ B አላቸው።
I8 በአንድ አውሮፕላን ውስጥ የማይዋሹ ቢያንስ አራት ነጥቦች አሉ።
ቀድሞውኑ ከእነዚህ 8 አክሲሞች በርካታ የአንደኛ ደረጃ ጂኦሜትሪዎችን ጽንሰ-ሀሳቦች መለየት ይቻላል ፣ እነሱም በግልጽ ግልፅ ናቸው ፣ ስለሆነም ፣ በትምህርት ቤት ጂኦሜትሪ ኮርስ ውስጥ ያልተረጋገጡ እና አልፎ አልፎም ፣ በሎጂካዊ ምክንያቶች ፣ በአንድ ወይም በሌላ ትምህርት ቤት axioms ውስጥ ይካተታሉ። ኮርስ
ለምሳሌ:
1. ሁለት መስመሮች ቢበዛ አንድ የጋራ ነጥብ አላቸው።
2. ሁለት አውሮፕላኖች አንድ የጋራ ነጥብ ካላቸው, የእነዚህ ሁለት አውሮፕላኖች የጋራ ነጥቦች በሙሉ የሚተኛበት የጋራ መስመር አላቸው.
ማስረጃ፡ (ለማሳየት):
በ I 7$ B, እሱም ደግሞ የ a እና b, ምክንያቱም A,B "a, ከዚያም በ I 6 AB" መሠረት. ይህ ማለት ቀጥተኛ መስመር AB ለሁለቱ አውሮፕላኖች የተለመደ ነው.
3. በመስመር እና በላዩ ላይ የማይተኛ ነጥብ, እንዲሁም በሁለት የተጠላለፉ መስመሮች ውስጥ አንድ እና አንድ አውሮፕላን ብቻ ያልፋል.
4. በእያንዳንዱ አውሮፕላን ላይ በተመሳሳይ መስመር ላይ የማይዋሹ ሶስት ነጥቦች አሉ.
አስተያየት ይስጡእነዚህን axioms በመጠቀም ጥቂት ቲዎሬሞችን ማረጋገጥ ይችላሉ እና አብዛኛዎቹ በጣም ቀላል ናቸው። በተለይም የጂኦሜትሪክ ኤለመንቶች ስብስብ ማለቂያ የሌለው መሆኑን ከእነዚህ አክሲሞች ማረጋገጥ አይቻልም.
ቡድን II የሥርዓት አክሲሞች።
ሶስት ነጥቦች በቀጥተኛ መስመር ላይ ከተሰጡ፣ ከሁለቱ አንዱ ከሌሎቹ ሁለት ጋር ሊዛመድ ይችላል “በመካከል ውሸት” ግንኙነት ፣ ይህም የሚከተሉትን አክሲሞች ያሟላል።
II1 B በ A እና C መካከል ካለ፣ ከዚያም A፣ B፣ C የአንድ መስመር የተለያዩ ነጥቦች ሲሆኑ B ደግሞ በ C እና A መካከል ነው።
II2 ሁለቱም ነጥቦች A እና B ምንም ቢሆኑም፣ AB በመስመር ላይ ቢያንስ አንድ ነጥብ C አለ በ ሀ እና ሐ መካከል ያለው።
II3 በመስመር ላይ ካሉት ሶስት ነጥቦች መካከል ቢበዛ አንድ ነጥብ በሁለቱ መካከል ተኝቷል።
እንደ ሂልበርት ገለጻ፣ በ AB(BA) ክፍል ላይ አንድ ጥንድ ነጥብ A እና B ማለታችን ነው። ነጥቦች A እና B የክፍሉ ጫፎች ይባላሉ እና በ A እና B መካከል ያለው ማንኛውም ነጥብ የክፍሉ ውስጣዊ ነጥብ ይባላል። AB(BA)
አስተያየትግን ከ II 1-II 3 እያንዳንዱ ክፍል ውስጣዊ ነጥቦች እንዳሉት ገና አልተከተለም, ነገር ግን ከ II 2, Þ ክፍሉ ውጫዊ ነጥቦች አሉት.
II4 (Pasch's axiom) A, B, C ሶስት ነጥቦች በአንድ መስመር ላይ የማይዋሹ እና በኤቢሲ አውሮፕላን ውስጥ በየትኛውም ነጥብ A, B, C ውስጥ የማያልፉ ቀጥተኛ መስመር ይሁኑ. ቀጥ ያለ መስመር በ AB ክፍል ላይ ባለ ነጥብ ካለፈ በ AC ወይም BC ክፍል ላይም ያልፋል።
Sl.1: ነጥብ A እና C ምንም ይሁን ምን በኤ እና ሐ መካከል ባለው የኤሲ መስመር ላይ ቢያንስ አንድ ነጥብ D አለ።
ሰነድ: እኔ 3 Þ$ ማለትም መስመር AC ላይ አልተኛም
Sl.2.ሐ በኤ እና ሐ መካከል ባለው ክፍል AD እና B ላይ ካለ፣ B በ A እና D ፣ እና C መካከል በ B እና D መካከል ነው።አሁን ሁለት መግለጫዎችን ማረጋገጥ እንችላለን
DC3መግለጫ II 4 እንዲሁ ነጥቦች A፣ B እና C በተመሳሳይ ቀጥታ መስመር ላይ ቢተኛ ይይዛል።
እና በጣም የሚያስደስት ነገር.
ደረጃ 4 . በአንድ መስመር ላይ ባሉ ሁለት ነጥቦች መካከል ወሰን የለሽ የሌሎች ነጥቦች ብዛት (ራስ) አለ።
ነገር ግን፣ በመስመር ላይ ያሉት የነጥቦች ስብስብ ሊቆጠር የማይችል መሆኑን ማረጋገጥ አይቻልም .
የ I እና II ቡድኖች Axioms እንደ ጠቃሚ ጽንሰ-ሀሳቦችን ለማስተዋወቅ ያስችሉናል ግማሽ-አውሮፕላን, ሬይ, ግማሽ-ቦታ እና አንግል. በመጀመሪያ ቲዎሪውን እናረጋግጣለን.
ት1. በአውሮፕላኑ ውስጥ ያለው መስመር የዚህን አውሮፕላን ነጥብ በመስመሩ ላይ የማይዋሹትን ነጥቦች ሀ ወደ ሁለት ባዶ ያልሆኑ ንዑስ ክፍሎች ይከፍላል ስለዚህ ነጥቦች A እና B የአንድ ተመሳሳይ ንዑስ ክፍል ከሆኑ የ AB ክፍል ምንም የተለመደ አይደለም ነጥቦች ከመስመሩ ጋር a; እነዚህ ነጥቦች የተለያዩ ንዑስ ስብስቦች ከሆኑ፣ ክፍል AB ከመስመሩ ጋር አንድ የጋራ ነጥብ አለው።
ሀሳብ፡ ዝምድና ቀርቧል፣ ማለትም A እና B Ï ሀክፍል AB ከመስመሩ ጋር ምንም የጋራ ነጥቦች ከሌለው በግንኙነት Δ ውስጥ ናቸው ሀወይም እነዚህ ነጥቦች ይጣጣማሉ. ከዚያም ከ Δ ጋር በተገናኘ የተመጣጣኝ ክፍሎች ስብስቦች ተወስደዋል. ቀላል ምክንያትን በመጠቀም ሁለቱ ብቻ መሆናቸው ተረጋግጧል።
Odr1በቀደመው ቲዎሬም የተገለጹት እያንዳንዱ የነጥብ ስብስቦች ከድንበር ሀ ጋር ግማሽ አውሮፕላን ይባላሉ።
በተመሳሳይም የጨረር እና የግማሽ ክፍተት ጽንሰ-ሀሳቦችን ማስተዋወቅ እንችላለን.
ሬይ - ሸእና ቀጥተኛው መስመር ነው.
Odr2አንግል የ h እና k ጥንድ ጨረሮች ከአንድ ነጥብ O የሚወጡ እና በተመሳሳይ ቀጥተኛ መስመር ላይ የማይተኛ ነው. ስለዚህ O የማዕዘኑ ጫፍ ተብሎ ይጠራል, እና ጨረሮቹ h እና k የማዕዘኑ ጎኖች ናቸው. በተለመደው መንገድ እንጠቁመዋለን፡ Ðhk.
ነጥብ M እና ሬይ k በአንድ ግማሽ አውሮፕላን ውስጥ ከድንበሩ ጋር እና ነጥብ M እና ሬይ k ከድንበሩ ጋር በተመሳሳይ ግማሽ አውሮፕላን ውስጥ ከተኙ የማዕዘን ውስጣዊ ነጥብ hk ይባላል። የሁሉም የውስጥ ነጥቦች ስብስብ የአንድ ማዕዘን ውስጣዊ ክልል ተብሎ ይጠራል.
የማዕዘኑ ውጫዊ ክፍል ማለቂያ የሌለው ስብስብ ነው, ምክንያቱም በተለያዩ የማዕዘን ጎኖች ላይ ጫፎች ያሉት ሁሉም የክፍል ነጥቦች ውስጣዊ ናቸው። የሚከተለው ንብረት ብዙውን ጊዜ በዘዴ ምክንያቶች በአክሲዮሞች ውስጥ ይካተታል።
ንብረት፡ ጨረሩ ከማዕዘን ጫፍ የሚመጣ ከሆነ እና በዚህ አንግል ቢያንስ አንድ የውስጥ ነጥብ ውስጥ ካለፈ በማእዘኑ የተለያዩ ጎኖች ላይ ከጫፍ ጋር ማንኛውንም ክፍል ያቋርጣል። (ራስን መገንባት)
ቡድን III. የመገጣጠም አክሲሞች (እኩልነት)
በክፍሎች እና በማእዘኖች ስብስብ ላይ ፣የመስማማት ወይም የእኩልነት ግንኙነት ገብቷል (በ"=") የተገለፀው) ፣ አክሲዮኖችን ያረካል፡-
III 1 አንድ ክፍል AB እና ከ ነጥብ A / የሚወጣ ሬይ ከተሰጡ, ከዚያም $ t.B / የዚህ ሬይ ንብረት ነው, ስለዚህም AB = A / B /.
III 2 A / B / = AB እና A // B // = AB ከሆነ, ከዚያም A / B / = A // B //.
III 3 እናድርግ A-B-C, A / -B / -C /, AB=A / B / እና BC=B / C /, ከዚያም AC=A / C /
Odr3ኦ/ ነጥብ ከሆነ፣ h/ ከዚህ ነጥብ የሚፈልቅ ጨረራ ሲሆን l/ ከድንበር ጋር ግማሽ አውሮፕላን ነው፣ ከዚያም የነገሮች ሦስት እጥፍ ኦ/፣ h/ እና l/ ባንዲራ (O/፣h) ይባላሉ። /, l /).
III 4 Ðhk እና ባንዲራ (О /,h /,l /) ይሰጥ። ከዚያም በግማሽ አውሮፕላን ውስጥ l / ልዩ የሆነ ሬይ k / ከ O / የሚመነጨው Ðhk = Ðh / k / ነው.
III 5 A፣ B እና C በአንድ መስመር ላይ የማይዋሹ ሶስት ነጥቦች ይሁኑ። በዚህ ሁኔታ AB = A / B / , AC = A / C / , ÐB / A / C / = ÐBAC, ከዚያም ÐABC = ÐA / B / C /.
1. ነጥብ B/B III 1 በዚህ ጨረር ላይ ብቸኛው ነው (ራስ)
2. የክፍሎች የጋራ ግንኙነት በክፍሎች ስብስብ ላይ ተመጣጣኝ ግንኙነት ነው.
3. በ isosceles triangle ውስጥ, በመሠረቶቹ ላይ ያሉት ማዕዘኖች እኩል ናቸው. (በ III 5 መሠረት)።
4. የሶስት ማዕዘን እኩልነት ምልክቶች.
5. የማዕዘን ተጓዳኝ ግንኙነት በማእዘኖች ስብስብ ላይ ተመጣጣኝ ግንኙነት ነው. (ዘገባ)
6. የሶስት ማዕዘን ውጫዊ ማዕዘን ከእሱ አጠገብ ከሌለው እያንዳንዱ የሶስት ማዕዘን ማዕዘን ይበልጣል.
7. በእያንዳንዱ ትሪያንግል ውስጥ, ትልቁ አንግል ከትልቁ ጎን ተቃራኒ ነው.
8. ማንኛውም ክፍል አንድ እና አንድ መካከለኛ ነጥብ ብቻ አለው
9. ማንኛውም ማዕዘን አንድ እና አንድ ቢሴክተር ብቻ አለው
የሚከተሉትን ፅንሰ-ሀሳቦች ማስተዋወቅ ይቻላል-
Odr4ከአጠገቡ ጋር እኩል የሆነ አንግል ቀኝ ማዕዘን ይባላል.
ቀጥ ያሉ ማዕዘኖችን ፣ ቀጥ ያሉ እና ገደላማ ፣ ወዘተ መግለፅ ይችላሉ ።
የ^ ልዩነቱን ማረጋገጥ ይቻላል. ጽንሰ-ሐሳቦችን ማስተዋወቅ ይችላሉ > እና< для отрезков и углов:
Odr5ክፍሎች AB እና A / B / እና $ t.C ከተሰጡ ማለትም A / -C-B / እና A / C = AB, ከዚያም A / B /> AB.
Odr6ሁለት ማዕዘኖች Ðhk እና Ðh / k / ከተሰጡ እና በውስጣዊው ክልል Ðhk እና በአከርካሪው በኩል አንድ ሬይ መሳል ይችላል l እንደዚህ Ðh / k / = Ðhl, ከዚያም Ðhk > Ðh / k /.
እና በጣም የሚያስደስት ነገር በቡድኖች I-III axioms እገዛ አንድ ሰው የእንቅስቃሴ ጽንሰ-ሀሳብን ማስተዋወቅ ይችላል.
እንዲህ ዓይነት ነገር ተደረገ።
ሁለት የነጥብ ስብስቦች p እና p / ይሰጡ፡ እስቲ እናስብ በእነዚህ ስብስቦች ነጥቦች መካከል የአንድ ለአንድ መጻጻፍ የተቋቋመ ነው። የስብስቡ p እያንዳንዱ ጥንድ ነጥቦች M እና N አንድ ክፍል MN ይገልፃሉ። M / እና N / የስብስብ p / ከ MN ነጥቦች ጋር የሚዛመዱ ነጥቦች ይሁኑ። ከ MN ክፍል ጋር የሚዛመደውን ክፍል M / N / ለመጥራት እንስማማ።
Odr7በ p እና p / መካከል ያለው ደብዳቤ ተጓዳኝ ክፍሎቹ ሁል ጊዜ እርስ በርስ የሚስማሙ እንዲሆኑ ከሆነ ፣ ከዚያ ስብስቦች p እና p / congruent ተብለው ይጠራሉ . ከዚህም በላይ እነሱ ደግሞ እያንዳንዱ ስብስቦች p እና p / የተገኙ ናቸው ይላሉ እንቅስቃሴከሌላው ወይም ከእነዚህ ስብስቦች ውስጥ አንዱ በሌላኛው ላይ ሊቀመጥ ይችላል. የቅንብር p እና p / ተጓዳኝ ነጥቦች ተደራራቢ ተብለው ይጠራሉ.
ማጽደቅ1፡ በቀጥታ መስመር ላይ የተቀመጡ ነጥቦች፣ በሚንቀሳቀሱበት ጊዜ፣ ወደ ነጥቦች ይለወጣሉ እንዲሁም በተወሰነ ቀጥተኛ መስመር ላይ ይተኛሉ።
Utv2 በሁለት ክፍሎች መካከል ያለው አንግል የአንድን ስብስብ ነጥብ ከሌሎች ሁለት ነጥቦቹ ጋር በማገናኘት በተዛማጅ ስብስብ ክፍሎች መካከል ካለው አንግል ጋር ተመሳሳይ ነው።
የማሽከርከር ፣ የመቀየሪያ ፣ የእንቅስቃሴዎች ስብጥር ፣ ወዘተ ጽንሰ-ሀሳብ ማስተዋወቅ ይችላሉ።
ቡድን IV. Axioms ቀጣይነት እና.
IV 1 (Axiom of Archimedes). AB እና ሲዲ አንዳንድ ክፍሎች ይሁኑ። ከዚያም ቀጥታ መስመር AB ላይ የመጨረሻ ነጥቦች A 1, A 2, ..., A n የሚከተሉት ሁኔታዎች እንዲሟሉ ይደረጋል.
1. A-A 1 -A 2, A 1 -A 2 -A 3, ..., A n -2 -A n -1 -A n
2. AA 1 = A 1 A 2 = … = A n-1 A n = CD
3. ኤ-ቢ-አን
IV2 (Cantor's Axiom) ማለቂያ የሌለው የክፍሎች A1B1፣ A2B2፣... በዘፈቀደ መስመር ላይ ይስጥ፣ እያንዳንዱ ተከታይ ያለው በቀድሞው ውስጥ የሚገኝ ሲሆን በተጨማሪም ለማንኛውም ክፍል ሲዲ የተፈጥሮ ቁጥር አለው። n እንደዚህ ያለ AnBn< СD. Тогда на прямой а существует т.М, принадлежащая каждому из отрезков данной последовательности.
