ኦርቶጎን እና ኦርቶኖርማል ስርዓቶች.

ፍቺ 1. ) ሁሉም ንጥረ ነገሮች ጥንድ አቅጣጫዊ ከሆኑ orthogonal ይባላል፡-

ቲዎሪ 1.ዜሮ ያልሆኑ ቬክተሮች ኦርቶጎናል ስርዓት ከመስመር ነፃ ነው።

(ስርአቱ በመስመር ላይ የተመሰረተ ነው እንበል፡- እና, በእርግጠኝነት, እኩልነትን በ scalarly እናባዛው። . የስርዓቱን ኦርቶዶክሳዊነት ከግምት ውስጥ በማስገባት የሚከተሉትን እናገኛለን- }

ፍቺ 2.የ Euclidean ቦታ የቬክተር ስርዓት ( ) orthonormal ይባላል orthogonal ከሆነ እና የእያንዳንዱ ኤለመንቱ መደበኛነት ከአንድ ጋር እኩል ነው.

ወዲያውኑ ከቲዎሬም 1 ይከተላል የኦርቶዶክስ የንጥረ ነገሮች ስርዓት ሁልጊዜም በመስመር ላይ ገለልተኛ ነው. ከዚህ በመነሳት, በተራው, ያንን ውስጥ ይከተላል n- በ Euclidean ጠፈር ውስጥ orthonormal ሥርዓት nቬክተሮች መሠረት ይመሰርታሉ (ለምሳሌ፣ እኔ፣ጄ፣ ኪ ) በ 3 X- dimensional space) እንዲህ ዓይነቱ ሥርዓት ይባላል መደበኛ መሠረት ፣እና የእሱ ቬክተሮች ናቸው መሠረት ቬክተሮች.

በኦርቶዶክሳዊ መሠረት የቬክተር መጋጠሚያዎች ስካላር ምርቱን በመጠቀም በቀላሉ ሊሰሉ ይችላሉ-ከሆነ በእርግጥ እኩልነትን ማባዛት ላይ , የተጠቆመውን ቀመር እናገኛለን.

በአጠቃላይ ሁሉም መሰረታዊ መጠኖች: የቬክተሮች scalar ምርት, የቬክተር ርዝመት, በቬክተር መካከል ያለው አንግል ኮሳይን, ወዘተ. በኦርቶዶክሳዊ መሠረት በጣም ቀላሉ ቅፅ ይኑርዎት። የ scalar ምርት እንመልከት:, ጀምሮ

እና ሁሉም ሌሎች ውሎች ከዜሮ ጋር እኩል ናቸው። ከዚህ ወዲያውኑ እናገኛለን- ,

* የዘፈቀደ መሠረት አስቡ። በዚህ መሠረት ላይ ያለው ስካላር ምርት ከሚከተሉት ጋር እኩል ይሆናል፡-

( እዚህ α እኔእና β j - በመሠረት ውስጥ የቬክተሮች መጋጠሚያዎች ( ረ), እና የመሠረት ቬክተሮች scalar ምርቶች ናቸው).

መጠኖች γ ijማትሪክስ ይፍጠሩ ጂ, ተጠርቷል ግራም ማትሪክስ.በማትሪክስ መልክ ያለው ስካላር ምርት የሚከተለውን ይመስላል፡- *

ቲዎሪ 2.በማንኛውም n- በ Euclidean ጠፈር ውስጥ የኦርቶዶክስ መሠረት አለ። የቲዎሬም ማረጋገጫ በተፈጥሮ ውስጥ ገንቢ ነው እና ይባላል

9. ግራም-ሽሚት ኦርቶጎናላይዜሽን ሂደት።

ፍቀድ ( ሀ 1፣...፣ a n ) - የዘፈቀደ መሠረት n- የመጠን Euclidean ቦታ (እንዲህ ዓይነቱ መሠረት መኖሩ ምክንያት ነው n- የቦታ ስፋት)። በተወሰነ መሠረት ላይ የተመሠረተ ኦርቶርማልን ለመገንባት ስልተ-ቀመር እንደሚከተለው ነው-

1.b 1 = a 1, e 1 = b 1/|ለ 1|, |ሠ 1|= 1.

2.ለ 2^ሠ 1፣ ምክንያቱም (ሠ 1፣ ሀ 2)- ትንበያ ሀ 2 ላይ ሠ 1፣ b 2 = a 2 -(ሠ 1፣ ሀ 2)ሠ 1፣ ሠ 2 = b 2/|ለ 2|, |ሠ 2|= 1.

3.ለ 3^ሀ 1፣ ለ 3^ሀ 2 ፣ b 3 = a 3 -(ሠ 1፣ ሀ 3)ሠ 1 -(ሠ 2፣ ሀ 3)ሠ 2፣ ሠ 3 = b 3/|ለ 3|, |ሠ 3|= 1.

.........................................................................................................

ክ. b k^ሀ 1፣...፣ b k^a k-1 ፣ b k = a k -ኤስ i=1k(e i, a k)e i, e k = b k/|b k|, |ኢ ኪ|= 1.

የሂደቱን ሂደት በመቀጠል, የኦርቶዶክስ መሰረትን እናገኛለን ( ሠ 1፣...፣ኢ n }.

ማስታወሻ 1. የታሰበውን አልጎሪዝም በመጠቀም ለማንኛውም መስመራዊ ሼል ኦርቶኖርማል መሰረትን መገንባት ይቻላል ለምሳሌ የሶስት ደረጃ ያለው እና ባለ አምስት አቅጣጫዊ ቬክተሮችን ያቀፈውን ስርዓት ለመስመራዊ ሼል ኦርቶኖርማል መሰረትን መገንባት ይቻላል.



ለምሳሌ.x =(3,4,0,1,2), y =(3,0,4,1,2), ዝ =(0,4,3,1,2)

ማስታወሻ 2.ልዩ ጉዳዮች

የግራም-ሽሚት ሂደትም ገደብ በሌለው የመስመር ላይ ገለልተኛ ቬክተሮች ላይ ሊተገበር ይችላል።

በተጨማሪም፣ የግራም-ሽሚት ሂደት በመስመር ላይ ጥገኛ በሆኑ ቬክተሮች ላይ ሊተገበር ይችላል። በዚህ ጉዳይ ላይ ያስወጣል 0 (ዜሮ ቬክተር) በደረጃ ጄ ፣ ከሆነ አንድ j የቬክተር መስመራዊ ጥምረት ነው። ሀ 1፣...፣አ j -1 . ይህ ሊሆን ከቻለ የውጤት ቬክተሮችን ኦርቶጎናዊነት ለመጠበቅ እና በኦርቶዶክሳዊነት ጊዜ በዜሮ መከፋፈልን ለመከላከል, አልጎሪዝም ባዶ ቬክተሮችን በመፈተሽ መጣል አለበት. በአልጎሪዝም የሚመረቱ የቬክተሮች ብዛት በቬክተሮች ከሚመነጨው የንዑስ ቦታ ስፋት ጋር እኩል ይሆናል (ማለትም ከዋነኞቹ ቬክተሮች መካከል ሊለዩ የሚችሉ የመስመር ላይ ገለልተኛ ቬክተሮች ብዛት).

10. ጂኦሜትሪክ የቬክተር ክፍተቶች R1, R2, R3.

ክፍት ቦታዎች ብቻ ቀጥተኛ የጂኦሜትሪክ ትርጉም እንዳላቸው አጽንኦት እናድርግ

አር 1፣ አር 2፣ አር 3 ቦታ R n ለ n> 3 ረቂቅ ከንፁህ የሂሳብ ነገር ነው።

1) የሁለት ቬክተር ስርዓት ይስጥ ሀ እና ለ . ስርዓቱ በመስመር ላይ ጥገኛ ከሆነ, ከዚያም አንዱ ቬክተር, እንበል ሀ ፣ በሌላ በኩል በቀጥታ ይገለጻል፡-

ሀ= ክ ለ.

በእንደዚህ ዓይነት ጥገኝነት የተገናኙ ሁለት ቬክተሮች, ቀደም ሲል እንደተጠቀሰው, ኮሊነር ይባላሉ. ስለዚህ፣ የሁለት ቬክተር ስርዓት ብቻ ከሆነ በመስመር ላይ ጥገኛ ነው።

እነዚህ ቬክተሮች ኮላይነር ሲሆኑ. ይህ መደምደሚያ በ R3 ላይ ብቻ ሳይሆን በማንኛውም የመስመር ቦታ ላይም እንደሚሠራ ልብ ይበሉ.

2) በ R3 ውስጥ ያለው ስርዓት ሶስት ቬክተሮችን ያቀፈ ነው a, b, c . መስመራዊ ጥገኝነት ማለት ከቬክተሮች አንዱ ነው በል። ሀ በቀሪው በኩል በቀጥታ ይገለጻል፡-

ሀ= ክ b+ ኤል ሐ . (*)

ፍቺ ሶስት ቬክተሮች a, b, c በ R 3 ውስጥ በተመሳሳይ አውሮፕላን ውስጥ መዋሸት ወይም ከአንድ አውሮፕላን ጋር ትይዩ ኮፕላላር ይባላሉ

(በግራ በኩል ባለው ስእል ላይ ቬክተሮች ይጠቁማሉ a, b, c ከአንድ አውሮፕላን, እና በቀኝ በኩል ተመሳሳይ ቬክተሮች ከተለያዩ መነሻዎች ተቀርፀዋል እና ከአንድ አውሮፕላን ጋር ብቻ ትይዩ ናቸው).

ስለዚህ በ R3 ውስጥ ሶስት ቬክተሮች በመስመር ላይ ጥገኛ ከሆኑ እነሱ ኮፕላላር ናቸው። ንግግሩም እውነት ነው፡ ቬክተሮች ከሆኑ a, b, c ከ R3 ኮፕላላር ናቸው ፣ ከዚያ እነሱ በመስመር ላይ ጥገኛ ናቸው።

የቬክተር ጥበብ ስራቬክተር ሀ፣ ወደ ቬክተር ለ በጠፈር ውስጥ ቬክተር ይባላል ሐ የሚከተሉትን መስፈርቶች ማሟላት.

ስያሜ፡

የታዘዘ ሶስት እጥፍ ኮፕላላር ያልሆኑ ቬክተሮችን ተመልከት a, b, c ባለ ሶስት አቅጣጫዊ ቦታ. የእነዚህን ቬክተሮች አመጣጥ በነጥቡ ላይ እናጣምር ሀ(ይህም አንድ ነጥብ በዘፈቀደ በጠፈር ውስጥ እንመርጣለን ማለት ነው። ሀእና እያንዳንዱን ቬክተር በትይዩ ያንቀሳቅሱ ስለዚህም አመጣጡ ከነጥቡ ጋር ይጣጣማል ሀ). የቬክተሮች ጫፎች በአንድ ነጥብ ላይ ከመጀመሪያው ጋር ተጣምረው ሀቬክተሮች ኮፕላነር ስላልሆኑ በተመሳሳይ መስመር ላይ አትዋሹ።

ከኮፕላላር ያልሆኑ ቬክተሮች ሶስት እጥፍ ታዝዘዋል a, b, c ባለ ሶስት አቅጣጫዊ ቦታ ይባላል ቀኝ, ከቬክተሩ መጨረሻ ከሆነ ሐ ከቬክተር በጣም አጭር መዞር ሀ ወደ ቬክተር ለ በተቃራኒ ሰዓት አቅጣጫ ለተመልካቹ ይታያል. በተቃራኒው, አጭሩ መዞር በሰዓት አቅጣጫ ከታየ, ከዚያም ሶስት እጥፍ ይባላል ግራ.

ሌላ ትርጉም ከ ጋር የተያያዘ ነው ቀኝ እጅሰው (ሥዕሉን ይመልከቱ) ፣ ስሙ ከየት እንደመጣ።

ሁሉም ቀኝ-እጆች (እና ግራ-እጅ) ሶስት እጥፍ ቬክተር በተመሳሳይ ተኮር ይባላሉ።

ከዜሮ ጋር እኩል፡

.

ኦርቶጎን ሲስተም, ከተጠናቀቀ, ለቦታ መሰረት ሆኖ ሊያገለግል ይችላል. በዚህ ሁኔታ, የማንኛውም ንጥረ ነገር መበስበስ ቀመሮቹን በመጠቀም ሊሰላ ይችላል:, የት .

ጉዳዩ የሁሉም ንጥረ ነገሮች መደበኛ መደበኛ ስርዓት ተብሎ በሚጠራበት ጊዜ ነው።

ኦርቶጎንላይዜሽን

ማንኛውም የተሟላ የመስመር ላይ ገለልተኛ ስርዓት በመጨረሻ-ልኬት ቦታ ውስጥ መሠረት ነው። ከቀላል መሠረት, ስለዚህ, አንድ ሰው ወደ ኦርቶዶክሳዊ መሠረት መሄድ ይችላል.

ኦርቶጎን መበስበስ

የቬክተር ቦታን ቬክተር በኦርቶዶክሳዊ መሠረት ሲበሰብስ, የስክላር ምርቱ ስሌት ቀለል ይላል:, የት እና .

ተመልከት


ዊኪሚዲያ ፋውንዴሽን። 2010.

በሌሎች መዝገበ-ቃላቶች ውስጥ “Orthogonal system” ምን እንደሆነ ይመልከቱ፡-

    1) ኦ... የሂሳብ ኢንሳይክሎፔዲያ

    - (የግሪክ orthogonios አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው) ለ (ተለየ) የ Hilbert space L2 (a,b) (በአራት ደረጃ ሊዋሃዱ የሚችሉ ተግባራት) እና F tion g (x) የሚባሉትን ሁኔታዎች የሚያረካ ውሱን ወይም ሊቆጠር የሚችል የተግባር ስርዓት። ሚዛን ኦ.ኤስ. ረ.፣* ማለት...... አካላዊ ኢንሳይክሎፔዲያ

    የተግባር ሥርዓት??n(x)?፣ n=1፣ 2፣...፣ ክፍል ላይ የተገለጸው ኦርቶጎናል ትራንስፎርሜሽን የ Euclidean vector space ቀጥተኛ ለውጥ፣ ያልተለወጡ ርዝመቶችን በመጠበቅ ወይም (ከዚህ ጋር የሚመጣጠን) የቬክተሮች scalar ምርቶች። .. ቢግ ኢንሳይክሎፔዲክ መዝገበ ቃላት

    የተግባር ስርዓት (φn(x))፣ n = 1፣ 2፣ ...፣ በ interval [a, b] ላይ የተገለጸ እና የሚከተለውን የኦርቶዶክሳዊነት ሁኔታን የሚያረካ፡ ለ k≠l፣ ρ(x) የተወሰነ ተግባር የሆነበት። ክብደት ተብሎ ይጠራል. ለምሳሌ፣ ትሪግኖሜትሪክ ሲስተም 1፣ sin x፣ cos x፣ sin 2x፣...... ኢንሳይክሎፔዲክ መዝገበ ቃላት

    የተግባር ስርዓት ((фn(х)))፣ n=1፣ 2፣ ...፣ በ interval [a, b] ላይ የተገለጸ እና ፈለጉን የሚያረካ፣ ለ k orthogonality ሁኔታ ከ l ጋር እኩል አይደለም፣ p(x) ) ክብደት ተብሎ የሚጠራ የተወሰነ ተግባር ነው ለምሳሌ ትሪግኖሜትሪክ ሲስተም 1፣ sin x፣ cosх፣ sin 2x፣ cos 2x፣... O.s.f. ከክብደት ጋር... ... የተፈጥሮ ሳይንስ. ኢንሳይክሎፔዲክ መዝገበ ቃላት

    የተግባር ስርዓት ((φn (x)))፣ n = 1፣ 2፣...፣ orthogonal with weight ρ (x) በክፍሉ ላይ [a፣ b]፣ ማለትም፣ ለምሳሌ፣ ትሪግኖሜትሪክ ሲስተም 1፣ cos nx፣ sin nx; n = 1, 2,..., O. s.f. በክብደት 1 በክፍል [π, π] ላይ. ቤሴል... ታላቁ የሶቪየት ኢንሳይክሎፔዲያ

    Orthogonal መጋጠሚያዎች ሜትሪክ tensor ሰያፍ ቅርጽ ያለውባቸው ናቸው። የት d በ orthogonal መጋጠሚያ ስርዓቶች q = (q1, q², ..., qd) መጋጠሚያዎች እርስ በእርሳቸው ቀጥተኛ ናቸው. በተለይም በካርቴሲያን መጋጠሚያ ሥርዓት... ዊኪፔዲያ

    orthogonal multichannel ስርዓት- - [L.G. Sumenko. በመረጃ ቴክኖሎጂ ላይ የእንግሊዝኛ-ሩሲያኛ መዝገበ-ቃላት። M.: State Enterprise TsNIIS, 2003.] ርዕሶች መረጃ ቴክኖሎጂ በአጠቃላይ EN orthogonal multiplex ...

    የአንድ (የፎቶግራምሜትሪክ) ምስል አስተባባሪ ስርዓት- የቀኝ orthogonal የቦታ ማስተባበሪያ ስርዓት ፣ በፎቶግራምሜትሪክ ምስል ላይ በእውነተኛ ምልክቶች ምስሎች ተስተካክሏል። [GOST R 51833 2001] ርዕሶች፡ የፎቶግራምሜትሪ... የቴክኒክ ተርጓሚ መመሪያ

    ስርዓት- 4.48 ስርዓት፡ አንድ ወይም ከዚያ በላይ የተገለጹ ግቦችን ለማሳካት የተደራጁ መስተጋብር አካላት ጥምረት። ማስታወሻ 1 ስርዓት እንደ ምርት ወይም የሚያቀርበው አገልግሎት ተደርጎ ሊወሰድ ይችላል። ማስታወሻ 2 በተግባር ....... የመደበኛ እና ቴክኒካዊ ሰነዶች መዝገበ-ቃላት-ማጣቀሻ መጽሐፍ

ፍቺ. ቬክተሮችሀ እናለ ስኬር ምርታቸው ከዜሮ ጋር እኩል ከሆነ ፣ ማለትም ፣ እርስ በእርስ orthogonal (perpendicular) ይባላሉ።ሀ × ለ = 0.

ዜሮ ላልሆኑ ቬክተሮች ሀ እና ለ የ scalar ምርት ወደ ዜሮ እኩልነት ማለት cos ጄ= 0, ማለትም. . ዜሮ ቬክተር ለማንኛውም ቬክተር orthogonal ነው, ምክንያቱም ሀ × 0 = 0.

የአካል ብቃት እንቅስቃሴ ያድርጉ። ኦርቶጎንታል ቬክተር ይሁኑ። ከዚያም የአንድን አራት ማዕዘን ቅርጽ ከጎን እና ከጎን ጋር ማገናዘብ ተፈጥሯዊ ነው. ያንን አረጋግጡ

,

እነዚያ። የሬክታንግል ሰያፍ ርዝመት ካሬው ከሁለቱ ትይዩ ያልሆኑ ጎኖቹ ርዝመቶች ካሬ ድምር ጋር እኩል ነው።(የፓይታጎሪያን ቲዎረም)።

ፍቺ የቬክተር ስርዓትሀ 1 ,…, ሀ m የዚህ ሥርዓት ሁለት ቬክተሮች orthogonal ከሆኑ orthogonal ይባላል.

ስለዚህ, ለሥነ-ተዋፅኦ የቬክተሮች ስርዓት ሀ 1 ,…,ሀ ኤምእኩልነቱ እውነት ነው፡- ሀ እኔ × ሀ ጄ= 0 በ እኔ¹ ጄ, እኔ= 1,…, ኤም; ጄ= 1,…,ኤም.

ቲዎረም 1.5. ዜሮ ያልሆኑ ቬክተሮችን ያቀፈ ኦርቶጎን ሲስተም ከመስመር ነፃ ነው። .

□ ማስረጃውን የምናቀርበው በተቃርኖ ነው። የዜሮ ቬክተሮች ኦርቶጎን ሲስተም እንበል ሀ 1 , …, ሀ ኤምበመስመር ላይ ጥገኛ. ከዚያም

l 1 ሀ 1 +…+ ሊ ኤምሀ ኤም= 0 , በ ውስጥ . (1.15)

ለምሳሌ፣ l 1 ¹ 0 ይሁን። ማባዛት። ሀ 1 ሁለቱም የእኩልነት ጎኖች (1.15)

l 1 ሀ 1× ሀ 1 +…+ ሊ ኤም ሀ ኤም × ሀ 1 = 0.

በስርአቱ ኦርቶዶክሳዊነት ምክንያት ከመጀመሪያው በስተቀር ሁሉም ውሎች ከዜሮ ጋር እኩል ናቸው። ሀ 1 , …, ሀ ኤም. ከዚያ l 1 ሀ 1× ሀ 1 = 0, እሱም ይከተላል ሀ 1 = 0 , ሁኔታውን የሚቃረን. የእኛ ግምት የተሳሳተ ሆነ። ይህ ማለት ዜሮ ያልሆኑ ቬክተሮች (orthogonal system) ከመስመር ነፃ ናቸው ማለት ነው። ■

የሚከተለው ንድፈ ሐሳብ ይይዛል.

ቲዎረም 1.6. በጠፈር ውስጥ Rn ሁል ጊዜ ኦርቶጎን ቬክተሮች (ኦርቶጎናዊ መሠረት) የያዘ መሠረት አለ።
(ማስረጃ የለም)።

orthogonal bases በዋነኝነት ምቹ ናቸው ምክንያቱም የዘፈቀደ ቬክተር የማስፋፊያ ቅንጅቶች በእንደዚህ መሠረቶች ላይ በቀላሉ ስለሚወሰኑ ነው።

የዘፈቀደ ቬክተር መበስበስን መፈለግ አለብን እንበል ለ በኦርቶዶክሳዊ መሠረት ሠ 1 ,…,ሠ n. ለዚህ መሠረት እስካሁን ድረስ ያልታወቁ የማስፋፊያ ቅንጅቶች ያለው የዚህን ቬክተር መስፋፋት እናዘጋጅ፡-

የዚህን እኩልነት ሁለቱንም ጎኖች በቬክተር እናባዛው ሠ 111 1 . በአክሲዮሞች 2° እና 3° የ vectors scalar ምርት አማካኝነት እናገኛለን።

መሠረት ቬክተር ጀምሮ ሠ 1 ,…,ሠ nእርስ በርስ የሚደጋገፉ ናቸው, ከዚያም ሁሉም የመሠረት ቬክተሮች scalar ምርቶች, ከመጀመሪያው በስተቀር, ከዜሮ ጋር እኩል ናቸው, ማለትም. ቅንብሩ የሚወሰነው በቀመር ነው።

.

እኩልነትን ማባዛት (1.16) አንድ በአንድ በሌላ መሠረት ቬክተሮች, የቬክተር ማስፋፊያ ቅንጅቶችን ለማስላት ቀላል ቀመሮችን እናገኛለን. ለ :

. (1.17)

ቀመሮች (1.17) ትርጉም ይሰጣሉ ምክንያቱም .

ፍቺ. ቬክተርሀ ርዝመቱ እኩል ከሆነ መደበኛ (ወይም አሃድ) ይባላል 1፣ ማለትም እ.ኤ.አ. (ሀ , ሀ )= 1.


ማንኛውም ዜሮ ያልሆነ ቬክተር መደበኛ ሊሆን ይችላል. ፍቀድ ሀ ¹ 0 . ከዚያም , እና ቬክተሩ መደበኛ የሆነ ቬክተር ነው.

ፍቺ. የቬክተር ስርዓት ሠ 1 ,…,ሠ n orthonormal ይባላል orthogonal ከሆነ እና የእያንዳንዱ የስርአቱ ቬክተር ርዝመት እኩል ከሆነ 1፣ ማለትም እ.ኤ.አ.

(1.18)

በቦታ ውስጥ ሁል ጊዜ ኦርቶጎን መሠረት አለ Rn እና የዚህ መሠረት ቬክተሮች መደበኛ ሊሆኑ ስለሚችሉ ታዲያ በ Rn ውስጥ ሁል ጊዜ ኦርቶርማል መሠረት አለ።

የቦታው orthonormal መሠረት ምሳሌ R n የቬክተር ስርዓት ነው ሠ 1 ,=(1,0,…,0),…, ሠ n= (0,0,…,1) በእኩልነት ከተገለጸው scalar ምርት ጋር (1.9)። በኦርቶዶክሳዊ መሠረት ሠ 1 ,=(1,0,…,0),…, ሠ n= (0,0,…,1) ቀመር (1.17) የቬክተር መበስበስ መጋጠሚያዎችን ለመወሰን ለ በጣም ቀላሉ ቅፅ አላቸው

ፍቀድ ሀ እና ለ - የቦታው ሁለት የዘፈቀደ ቬክተሮች R n ከኦርቶዶክስ መሠረት ጋር ሠ 1 ,=(1,0,…,0),…, ሠ n= (0,0,…,1)። የቬክተሮችን መጋጠሚያዎች እንጠቁም ሀ እና ለ መሠረት ውስጥ ሠ 1 ,…,ሠ nበዚህ መሠረት ሀ 1 ,…,ሀ nእና ለ 1 ,…, ለ nእና የእነዚህን ቬክተሮች scalar ምርት መግለጫ በዚህ መሠረት በመጋጠሚያዎቻቸው በኩል ያግኙ ፣ ማለትም። እንደዚያ እናስመስለው

, .

ከመጨረሻው እኩልነት ፣ በ scalar ምርት axioms እና ግንኙነቶች (1.18) መሠረት ፣ እናገኛለን


በመጨረሻም አለን።

. (1.19)

ስለዚህም በኦርቶዶክሳዊ መሠረት የሁለቱ ቬክተሮች scalar ምርት የእነዚህ ቬክተሮች ተጓዳኝ መጋጠሚያዎች ምርቶች ድምር ጋር እኩል ነው።.

አሁን በ n-ልኬት Euclidean ቦታ R n ውስጥ ሙሉ በሙሉ የዘፈቀደ (በአጠቃላይ አነጋገር ፣ ኦርቶዶክሳዊ አይደለም) መሠረት እናስብ እና የሁለት የዘፈቀደ ቬክተሮች scalar ምርት መግለጫን እናገኝ። ሀ እና ለ በተጠቀሰው መሠረት በእነዚህ ቬክተሮች መጋጠሚያዎች በኩል.

የተግባር ስርዓት (φ n(x)}, n= 1፣ 2፣...፣ orthogonal ከክብደት ጋር ρ ( Xክፍል ላይ [ ሀ, ለ]፣ ማለትም እንደዛ

ምሳሌዎች። ትሪግኖሜትሪክ ስርዓት 1, cos nx, ኃጢአት nx; n= 1, 2,..., - O.s. ረ. በክብደቱ 1 በክፍተቱ [-π, π] ላይ. የቤሴል ተግባራት n = 1፣ 2፣...፣ J ν ( x), ቅጽ ለእያንዳንዱ ν > - 1/2 O.s. ረ. ከክብደት ጋር Xበክፍል ላይ.

እያንዳንዱ ተግባር φ ከሆነ ( X) ከኦ.ኤስ. ረ. የሚለው ነው። x) በቁጥር

የ O.s ስልታዊ ጥናት. ረ. የተጀመረው የሒሳብ ፊዚክስ እኩልታዎች የወሰን እሴት ችግሮችን ለመፍታት ከፎሪየር ዘዴ ጋር ተያይዞ ነው። ይህ ዘዴ ለምሳሌ ለSturm-Liouville ችግር (Sturm-Liouville ችግርን ይመልከቱ) ለእኩል መፍትሄ ወደመፈለግ ይመራል [ρ( X) y" ]" + ቅ(x) y = λ በ, የድንበር ሁኔታዎችን ማሟላት በ(ሀ) + ሃይ"(ሀ) = 0, y(ለ) + ሃይ"(ለ) = 0 ፣ የት ሸእና ኤን- ቋሚ. እነዚህ ውሳኔዎች የሚባሉት ናቸው. የችግሩ eigenfunctions ኦ.ኤስ. ረ. ከክብደት ጋር (ρ) Xክፍል ላይ [ ሀ, ለ].

እጅግ በጣም አስፈላጊ የሆነ የኦ.ኤስ. ረ. - Orthogonal polynomials - በ P. L. Chebyshev በ interpolation ላይ በትንሹ የካሬዎች ዘዴ እና የአፍታዎች ችግር በጥናቱ ተገኝቷል. በ 20 ኛው ክፍለ ዘመን በ O.s ላይ ምርምር. ረ. በዋናነት የሚከናወኑት በዋና ንድፈ ሃሳብ እና በሌብስጌ መለኪያ ላይ ነው. ይህም እነዚህ ጥናቶች ወደ ገለልተኛ የሂሳብ ክፍል እንዲከፋፈሉ አስተዋጽኦ አድርጓል። የኦ.ኤስ. ቲዎሪ ዋና ተግባራት አንዱ. ረ - የአንድ ተግባር የመበስበስ ችግር ረ(x) በተከታታይ ቅጽ p ( X)) - ኦ.ኤስ. ረ. በመደበኛነት ካስቀመጥነው ፒ ( X)) - የተለመደ ኦ.ኤስ. ረ.፣ እና በጊዜ-በ-ጊዜ የመዋሃድ እድልን ይፍቀዱ፣ ከዚያ ይህን ተከታታይ በφ ማባዛት። ፒ(X) ρ( X) እና በማዋሃድ ከ ሀከዚህ በፊት ለእኛ እናገኛለን:

ዕድሎች ኤስ.ፒከስርአቱ ጋር በተዛመደ (φ n(x))፣ የሚከተለው ጽንፈኛ ንብረት ይኑርህ፡ መስመራዊ ቅጽ x):

ለተመሳሳይ ከተሰጡት ስህተቶች ጋር ሲነፃፀር አነስተኛ ዋጋ አለው nየቅጹ ሌሎች ቀጥተኛ መግለጫዎች

ተከታታይ ∑ ∞ n=1 C n φ n (x)ከዕድል ጋር ኤስ.ፒ, ቀመር (*) በመጠቀም ይሰላል, የተግባር ፉሪየር ተከታታይ ይባላል ረ(x) በተለመደው ኦ.ኤስ. ረ. (φ n(x))። ለመተግበሪያዎች, የአንደኛ ደረጃ አስፈላጊነት ጥያቄ ተግባሩ በተለየ ሁኔታ ይገለጻል ረ(x) በእነሱ ፎሪየር ኮፊፍፍፍፍቶች። ኦ.ኤስ. ረ., ለዚህም ይከናወናል, ሙሉ ወይም ዝግ ይባላሉ. ለተዘጋው ኦ.ኤስ. ረ. በበርካታ ተመሳሳይ ቅርጾች ሊሰጥ ይችላል. 1) ማንኛውም ቀጣይነት ያለው ተግባር ረ(x) በመስመራዊ የተግባር ጥምር φ በማንኛውም የትክክለኛነት ደረጃ በአማካይ ሊጠጋ ይችላል። ክ(x)፣ ማለትም፣ C n φ n (x) በአማካይ ወደ ተግባሩ ይቀላቀላል ረ(x))። 2) ለማንኛውም ተግባር ረ(xከክብደቱ ρ((ρ) አንፃር የማን ካሬን እናዋህዳለን። X), የሊያፑኖቭ-ስቴክሎቭ የዝግነት ሁኔታ ረክቷል.

3) በክፍተቱ ላይ ሊዋሃድ የሚችል ዜሮ ያልሆነ ተግባር የለም [ ሀ, ለ] ካሬ orthogonal ለሁሉም ተግባራት φ n(x), n = 1, 2,....

ከተዋሃደ ካሬ ጋር ተግባራትን እንደ የሂልበርት ቦታ አካላት (የሂልበርት ቦታን ይመልከቱ) ከወሰድን መደበኛው ኦ.ኤስ. ረ. የዚህ ቦታ አስተባባሪ ዩኒት ቬክተር ስርዓቶች እና ተከታታይ መስፋፋት በተለመደው ኦ.ኤስ. ረ. - በዩኒት ቬክተሮች ውስጥ የቬክተር መስፋፋት. በዚህ አቀራረብ, የተለመዱ የአሠራር ስርዓቶች ንድፈ ሃሳብ ብዙ ጽንሰ-ሐሳቦች. ረ. ግልጽ የሆነ የጂኦሜትሪክ ትርጉም ያግኙ. ለምሳሌ ፎርሙላ (*) ማለት የቬክተሩን ወደ ዩኒት ቬክተር ማየቱ ከቬክተር እና ከክፍሉ ስክላር ምርት ጋር እኩል ነው ማለት ነው። የሊያፑኖቭ-ስቴክሎቭ እኩልነት እንደ ፓይታጎሪያን ቲዎረም ማለቂያ ለሌለው-ልኬት ቦታ ሊተረጎም ይችላል-የአንድ ቬክተር ርዝመት ካሬ በአገናኝ መጥረቢያዎች ላይ ካለው ትንበያ ካሬዎች ድምር ጋር እኩል ነው ። ማግለል ኦ.ኤስ. ረ. የዚህ ስርዓት ሁሉንም ቬክተሮች የያዘው ትንሹ የተዘጋው ንዑስ ቦታ ከጠቅላላው ቦታ ጋር ይጣጣማል, ወዘተ.

በርቷል::ቶልስቶቭ ጂ.ፒ., ፎሪየር ተከታታይ, 2 ኛ እትም, ኤም., 1960; ናታንሰን I.P., የተግባር ገንቢ ቲዎሪ, M. - L., 1949; በእሱ, የእውነተኛ ተለዋዋጭ ተግባራት ጽንሰ-ሐሳብ, 2 ኛ እትም, ኤም., 1957; ጃክሰን ዲ.፣ ፎሪየር ተከታታዮች እና orthogonal polynomials፣ trans. ከእንግሊዝኛ, ኤም., 1948; Kaczmarz S.፣ Shteingauz G.፣ የኦርቶዶክስ ተከታታይ ፅንሰ-ሀሳብ፣ ትራንስ. ከጀርመን፣ ኤም.፣ 1958 ዓ.ም.

  • - የሁሉም መስመራዊ ለውጦች ቡድን n-dimensional vector space V በመስክ ላይ k ፣ ቋሚ ያልተበላሸ ባለአራት ቅርፅ Q በ V) = Q ለማንኛውም)...

    የሂሳብ ኢንሳይክሎፔዲያ

  • - የተለዋዋጭ ቀለበት R ላይ ያለው ማትሪክስ ከክፍል 1 ጋር ፣ ለዚህም የተላለፈው ማትሪክስ ከተገላቢጦሽ ጋር ይገጣጠማል። የO.m. የሚወስነው ከ +1... ጋር እኩል ነው።

    የሂሳብ ኢንሳይክሎፔዲያ

  • - በተወሰነ ደረጃ ላይ ያሉ ታንጀሮች ወደ የተለያዩ ቤተሰቦች መስመሮች የሚሄዱበት አውታረ መረብ። የአሠራር ስርዓቶች ምሳሌዎች፡- በትንሹ ወለል ላይ ያለው አሲምፕቶቲክ አውታረ መረብ፣ የመስመር ኩርባ አውታረ መረብ። ኤ.ቪ ኢቫኖቭ…

    የሂሳብ ኢንሳይክሎፔዲያ

  • - 1) ኦ….

    የሂሳብ ኢንሳይክሎፔዲያ

  • - orthogonal ድርድር ፣ OA - የመጠን kx N ማትሪክስ ፣ የነሱ አካላት ቁጥሮች 1 ፣ 2 ፣ .....

    የሂሳብ ኢንሳይክሎፔዲያ

  • - የኢሶጎናል አቅጣጫን ይመልከቱ…

    የሂሳብ ኢንሳይክሎፔዲያ

  • - የአንድ የተወሰነ የሂልበርት ቦታ መደበኛ የተግባር ስርዓት (j) በ H ውስጥ ለአንድ የተወሰነ ቤተሰብ ተግባራት ሁሉ ኦርቶጎን የሆነ ተግባር የለም…

    የሂሳብ ኢንሳይክሎፔዲያ

  • - ትንበያን ይመልከቱ…

    ቢግ ኢንሳይክሎፔዲክ ፖሊ ቴክኒክ መዝገበ ቃላት

  • - ለተለያዩ ነገሮች ተግባራት የበታችነት ውሳኔ ...

    የንግድ ቃላት መዝገበ ቃላት

  • - ተግባራትን ማጠናከር, አንዱ Ch. በእንስሳት ዝግመተ ለውጥ ወቅት የአካል ክፍሎችን ቀስ በቀስ የመለወጥ ዘዴዎች. አይ.ፍ. አብዛኛውን ጊዜ የአካል ክፍሎች እና የሰውነት አጠቃላይ መዋቅር ውስብስብነት ጋር ተያይዞ ...

    ባዮሎጂካል ኢንሳይክሎፔዲክ መዝገበ ቃላት

  • - ተግባራትን ማጠናከር, በእንስሳት ዝግመተ ለውጥ ወቅት የአካል ክፍሎች ተራማጅ ለውጥ ዋና መንገዶች አንዱ. አይ.ፍ. ከአካል ክፍሎች አሠራር ውስብስብነት ጋር የተቆራኘ እና በአጠቃላይ የአስፈላጊ እንቅስቃሴ ደረጃ መጨመር ያስከትላል.
  • - ማትሪክስ እዘዝ…

    ታላቁ የሶቪየት ኢንሳይክሎፔዲያ

  • - የትይዩ ትንበያ ልዩ ጉዳይ፣ የትንበያ ዘንግ ወይም አውሮፕላኑ ወደ ትንበያ አቅጣጫ ቀጥ ያለ ሲሆን...

    ታላቁ የሶቪየት ኢንሳይክሎፔዲያ

  • - የተግባሮች ስርዓት (), n = 1, 2,..., orthogonal በክብደት ρ በክፍሉ ላይ, ማለትም, ምሳሌዎች. ትሪግኖሜትሪክ ሲስተም 1፣ cos nx፣ sin nx; n = 1, 2,..., - O.s. ረ. በክፍል 1 ክብደት...

    ታላቁ የሶቪየት ኢንሳይክሎፔዲያ

  • - እንዲህ ያለ የተግባር ሥርዓት Ф = (φ)፣ በየተወሰነ ጊዜ የተገለጸ፣ ምንም ተግባር እንደሌለበት ረ፣...

    ታላቁ የሶቪየት ኢንሳይክሎፔዲያ

  • - የኦርቶዶክስ ተግባራት ስርዓት - የተግባር ስርዓት ??, n=1, 2,.....

    ትልቅ ኢንሳይክሎፔዲክ መዝገበ ቃላት

በመጻሕፍት ውስጥ "የኦርቶዶክስ ተግባራት ስርዓት".

አንቀጽ XXIV አሮጌው የቦይ ጦርነት ስርዓት እና የዘመናዊው የሰልፎች ስርዓት

ስትራቴጂ እና ታክቲክ በጦርነት ጥበብ ከሚለው መጽሐፍ የተወሰደ ደራሲ Zhomini Genrikh Veniaminovich

አንቀጽ XXIV አሮጌው የአቀማመጥ ጦርነት ሥርዓት እና የሰለፎች ዘመናዊ ሥርዓት በሥርዓተ ሹመት ማለት አሮጌው ዘዴዊ ጦርነትን የማካሄድ፣ ሠራዊቶች በድንኳን ውስጥ የሚተኛ፣ ዕቃ በእጃቸው ያለው፣ እርስ በርስ የሚተያዩበት ነው፤ አንድ ሠራዊት

19. "የሩሲያ ፌዴሬሽን የግብር ስርዓት" ጽንሰ-ሐሳብ. “የግብር ስርዓት” እና “የግብር ስርዓት” ጽንሰ-ሀሳቦች መካከል ያለው ግንኙነት

የግብር ሕግ መጽሐፍ ደራሲ Mikidze S G

19. "የሩሲያ ፌዴሬሽን የግብር ስርዓት" ጽንሰ-ሐሳብ. በ "የግብር ስርዓት" እና "የግብር ስርዓት" ጽንሰ-ሀሳቦች መካከል ያለው ግንኙነት የግብር ስርዓት በሩሲያ ፌዴሬሽን ውስጥ የተቋቋመ የፌዴራል ግብር, የክልል እና የአካባቢ ታክሶች ስብስብ ነው. አወቃቀሩ በ Art. 13-15 የሩሲያ ፌዴሬሽን የግብር ኮድ.በእ.ኤ.አ

እንዴት በእርግጥ እንደተፈጠረ ከተባለው መጽሐፍ የተወሰደ። የእውነተኛ ታሪክ መልሶ ማቋቋም ደራሲ ኖሶቭስኪ ግሌብ ቭላዲሚሮቪች

23. የቶለሚ ጂኦሴንትሪክ ስርዓት እና የቲኮ ብራሄ (እና ኮፐርኒከስ) የሄሊዮሴንትሪክ ስርዓት ስርዓት በቲኮ ብራሄ መሰረት የዓለም ስርዓት በምስል ላይ ይታያል. 90. በዓለም መሃል ላይ ፀሐይ የምትዞርበት ምድር ትገኛለች። ይሁን እንጂ ሁሉም ሌሎች ፕላኔቶች ቀድሞውኑ በፀሐይ ዙሪያ እየዞሩ ነው. በትክክል

23. የቶለሚ ጂኦሴንትሪክ ስርዓት እና የቲኮ ብራሄ (እና ኮፐርኒከስ) ሄሊዮሴንትሪክ ስርዓት

ከደራሲው መጽሐፍ

23. የቶለሚ ጂኦሴንትሪክ ስርዓት እና የቲኮ ብራሄ (እና ኮፐርኒከስ) የሄሊኮሴንትሪክ ስርዓት ስርዓት በቲኮ ብራሄ መሰረት የዓለም ስርዓት በምስል ላይ ይታያል. 90. በዓለም መሃል ላይ ፀሐይ የምትዞርበት ምድር ትገኛለች። ይሁን እንጂ ሁሉም ሌሎች ፕላኔቶች ቀድሞውኑ በፀሐይ ዙሪያ እየዞሩ ነው. በትክክል

የተሟላ የተግባር ስርዓት

በደራሲው ከታላቁ የሶቪየት ኢንሳይክሎፔዲያ (PO) መጽሐፍ TSB

ኦርቶጎን ማትሪክስ

TSB

የአጻጻፍ ትንበያ

በደራሲው ከታላቁ የሶቪየት ኢንሳይክሎፔዲያ (OR) መጽሐፍ TSB

Orthogonal ተግባር ስርዓት

በደራሲው ከታላቁ የሶቪየት ኢንሳይክሎፔዲያ (OR) መጽሐፍ TSB

ጠቃሚ ምክር 46፡ ከተግባሮች ይልቅ የተግባር ነገሮችን ወደ ስልተ ቀመሮች ያስተላልፉ

STLን በውጤታማነት በመጠቀም ከመጽሐፉ የተወሰደ በሜየርስ ስኮት

ጠቃሚ ምክር 46፡ ተግባርን ከተግባር ይልቅ ወደ አልጎሪዝም ይለፉ ብዙ ጊዜ የከፍተኛ ደረጃ ቋንቋዎች ረቂቅነት ደረጃ መጨመር የተፈጠረው ኮድ ቅልጥፍና እንዲቀንስ ያደርገዋል ተብሏል። የ STL ፈጣሪ አሌክሳንደር ስቴፓኖቭ በአንድ ወቅት ትንሽ ውስብስብ ነገር ፈጠረ

12.3.5. ለተግባር ነገሮች የተግባር አስማሚዎች

ከ C ++ መጽሐፍ ለጀማሪዎች በሊፕማን ስታንሊ

12.3.5. የተግባር አስማሚ ለተግባር ነገሮች መደበኛው ቤተ-መጽሐፍትም ልዩ እና ሁለትዮሽ ተግባር የሆኑ ነገሮችን ልዩ ለማድረግ እና ለማራዘም በርካታ የተግባር አስማሚዎችን ይዟል። አስማሚዎች በሚከተሉት ሁለት የተከፈሉ ልዩ ክፍሎች ናቸው

11/19/2. የጥሪ ተግባራት ከተግባር ፋይል

ከመጽሐፉ ሊኑክስ እና ዩኒክስ፡ ሼል ፕሮግራሚንግ። የገንቢ መመሪያ. በታይንስሊ ዴቪድ

11/19/2. ተግባራትን ከተግባር ፋይል መጥራት ቀደም ሲል ተግባራት ከትእዛዝ መስመሩ እንዴት እንደሚጠሩ ተመልክተናል። እነዚህ አይነት ተግባራት አብዛኛውን ጊዜ የስርዓት መልዕክቶችን በሚፈጥሩ መገልገያዎች ይጠቀማሉ አሁን ከላይ የተገለጸውን ተግባር እንደገና እንጠቀም, ግን በዚህ አጋጣሚ

የዓላማ (አዎንታዊ) ሕግ እና የሕግ ሥርዓት ስርዓት-የፅንሰ-ሀሳቦች ግንኙነት

ከዳኝነት መጽሐፍ ደራሲው ማርዳሊቭ አር.ቲ.

የዓላማ (አዎንታዊ) ሕግ እና የሕግ አወጣጥ ሥርዓት፡ የፅንሰ-ሀሳቦች ግንኙነት የዓላማ (አዎንታዊ) ሕግ ሥርዓት የሕግ ውስጣዊ መዋቅር ሲሆን በርዕሰ-ጉዳዩ እና ዘዴው መሠረት ወደ ቅርንጫፎች ፣ ንዑስ ዘርፎች እና ተቋማት በመከፋፈል የሕግ

31. የፈረንሳይ መንግስት ስርዓት, የምርጫ እና የምርጫ ስርዓት

የውጭ አገር ሕገ መንግሥት ሕግ ከሚለው መጽሐፍ የተወሰደ ደራሲ ኢማሼቫ ኢ.ጂ

31. የፈረንሣይ መንግሥት ሥርዓት፣ የምርጫና የምርጫ ሥርዓት በፈረንሳይ ውስጥ ቅይጥ (ወይም ከፊል ፕሬዚዳንታዊ) ሪፐብሊካዊ መንግሥት አለ። በፈረንሳይ ያለው የመንግስት ስርዓት በስልጣን ክፍፍል መርህ ላይ የተገነባ ነው ዘመናዊ ፈረንሳይ

የሞተር ተግባራትን ወደነበረበት ለመመለስ እና ለጀርባ ህመም የሚደረጉ የሕክምና እንቅስቃሴዎች የሞተር ተግባራትን ወደነበሩበት መመለስ

ለተለያዩ በሽታዎች ኢንሳይክሎፒዲያ ኦቭ ቴራፒዩቲክ እንቅስቃሴዎች ከተባለው መጽሐፍ ደራሲ Astashenko Oleg Igorevich

የሞተር ተግባራትን ወደነበረበት ለመመለስ እና ለጀርባ ህመም የሚደረጉ የሕክምና እንቅስቃሴዎች የሞተር ተግባራትን ወደነበሩበት መመለስ የአከርካሪ አጥንትን ለመመለስ ብዙ መልመጃዎች አሉ. አንተ ራስህ አብረሃቸው መምጣት ትችላለህ ወይም በተለያዩ የጂምናስቲክ ዓይነቶች ውስጥ ልታገኛቸው ትችላለህ። ሆኖም ፣ ቀላል

የሞተር ተግባራትን ወደነበረበት ለመመለስ እና ለጀርባ ህመም የሞተር ተግባራትን ለማደስ የሕክምና እንቅስቃሴዎች

ለአከርካሪ አጥንት ኦቨርሃውል ከተባለው መጽሐፍ ደራሲ Astashenko Oleg Igorevich

ለጀርባ ህመም የሞተር ተግባራትን እና የሞተር ተግባራትን ወደነበረበት ለመመለስ ቴራፒዩቲካል እንቅስቃሴዎች የሞተር ተግባራትን ወደነበሩበት መመለስ አከርካሪውን ለመመለስ ብዙ ልምዶች አሉ. አንተ ራስህ አብረሃቸው መምጣት ትችላለህ ወይም በተለያዩ የጂምናስቲክ ዓይነቶች ውስጥ ልታገኛቸው ትችላለህ።

x =λ 0 e +z፣ wherez L. λ 0ን ለማስላት፣ የእኩልነቱን ሁለቱንም ጎኖች በከፍተኛ ሁኔታ በ e እናባዛለን። ከ (z,e) = 0 ጀምሮ, (x,e) =λ 0 (e,e) =λ 0 እናገኛለን.

Orthogonal እና orthonormal ስርዓቶች

ፍቺ 5.5. L የሂልበርት ጠፈር H ንዑስ ቦታ ከሆነ ከኤች እስከ ኤል ያሉት የሁሉም ንጥረ ነገሮች ስብስብ M ይባላል።

orthogonal ማሟያ ወደ L.

ኤም ደግሞ ንዑስ ቦታ መሆኑን እናረጋግጥ።

1) ከንብረት 3) ለሥነ-ተዋፅኦ አካላት እንደሚከተለው ነው M የቦታው ቀጥተኛ ንዑስ ክፍል ነው.

2) z n M እና z n → z እንሁን። በትርጉም ፣ M z n y ለማንኛውም y L ፣ እና በንብረት 4) ለኦርቶዶክስ አካላት እኛ z y አለን። ስለዚህ, z M እና M ተዘግተዋል.

ለማንኛውም x H፣ በቲዎረም 5.3 ልዩ የሆነ መስፋፋት አለ።

ቅጽ x =y +z፣ የት y L,z M፣ i.e. ንዑስ ቦታዎች L እና M ቅጽ

የቦታው orthogonal መበስበስ H.

ለማ 5.1. ውሱን ወይም ሊቆጠር የሚችል ጥንድ አቅጣጫዊ የንዑስ ቦታዎች ስብስብ L n ይሰጠን እና ኤለመንት x H በቅጹ ውስጥ እንዲወከል ያድርጉ

x = ∑ y n፣ የት y L . ከዚያም እንዲህ ዓይነቱ ውክልና ልዩ እና y n = Pr L n x ነው.

ፍቺ 5.6. orthogonal subspaces ስርዓት L n በጠፈር ውስጥ H ምንም ዜሮ ያልሆነ ኤለመንት ለሁሉም L n ከሌለ የተሟላ ይባላል።

ፍቺ 5.7. ውሱን ወይም ሊቆጠር የሚችል የንጥረ ነገሮች ሥርዓት h n የሂልበርት ቦታ H orthogonal ይባላል h n h m ለ n ≠m ፍቺ 5.8. የኦርቶዶክስ ስርዓት h n ይባላል ኦርቶዶክሳዊ, ከሆነ ||h n || = 1.

ፍቺ 5.9. orthogonal system h n ዜሮ ያልሆነ ኤለመንት x H ከሌለ ለሁሉም n x h n ይባላል።

ያንን ማረጋገጥ ይችላሉየ orthogonal ስርዓት ዜሮ ያልሆኑ ንጥረ ነገሮች በመስመር ላይ ገለልተኛ ናቸው።

በ l 2 ውስጥ የተሟላ የኦርቶዶክስ ስርዓት ምሳሌ የሁሉም አስተባባሪ ዩኒት ቬክተሮች ስርዓት ነው።

በንጥረ ነገሮች የተፈጠረ h n

አንድ-ልኬት

ንዑስ ቦታዎች L n

orthogonal. የንጥል ትንበያዎች

ንዑስ ቦታዎች

በቀመር የተሰላ

x = አን.

PrL n

ቁጥሮች α n = (x, h n) ተጠርተዋል

አሃዞች

Fourier elementx

የንጥረ ነገሮች ስርዓት አንጻራዊ h n.

ቲዎረም 5.4. ኤለመንት x H እንደ ሊወከል ይችላል።

x = ∑ λ n h n፣ እንግዲያውስ ይህ ውክልና ልዩ ነው እና የቁጥር λ n እኩል ናቸው

ይህ አፈጻጸም ነው። x የኤለመንት x ወደ ኤለመንቶች hn የ Fourier ማስፋፊያ (orthogonal expansion) ይባላል።

ቲዎረም 5.5. ማንኛውም ኤለመንት x H በኦርቶዶክሳዊ ስርዓት ንጥረ ነገሮች h n ላይ ባለው የፎሪየር መስፋፋት ለመወከል ይህ ስርዓት የተሟላ እንዲሆን አስፈላጊ እና በቂ ነው።

ከዚህ ንድፈ ሐሳብ በመነሳት በ n-ልኬት ሂልበርት ቦታ ውስጥ የተሟላ orthonormal ሥርዓት n ንጥረ ነገሮችን ማካተት አለበት. በሌላ በኩል፣ በN-dimensional Hilbert space ውስጥ የዘፈቀደ መሠረት ከተሰጠ ፣ ጥንድ አቅጣጫዊ አካላትን ያቀፈ ፣ ከዚያ ይህ ስርዓት የተሟላ መሆኑን ከቲዎረም 5.5 ይከተላል።

ፍቺ 5.10. የንጥረ ነገሮች የተሟላ orthogonal ሥርዓት ይባላል

ኦርቶዶክሳዊ መሠረት የሂልበርት ቦታ.

ፍቺ 5.11. ምጥጥን

∑ α n 2=

የት α n

– ፎሪየር የኤለመንት x፣ እኩልታ ይባላል

ነጠላ.

ቲዎረም 5.6.

የዘፈቀደ የኦርቶዶክስ ሥርዓት (h n)፣ ኤለመንቶችን x Hን በተመለከተ የሚከተሉት መግለጫዎች እኩል ናቸው።

1) ለኤለመንት x H የፎሪየር ማስፋፊያ (5.7) ልክ ነው;

2) ኤለመንት x H በንጥረ ነገሮች ስብስብ (h n) በተፈጠረው ንዑስ ቦታ ውስጥ ተካትቷል;

3) ለኤለመንቱ x H የዝግነት እኩልታ (5.8) ተሟልቷል ። ከ Theorems 5.5 እና 5.6 የኦርቶዶክስ ስርዓት የተሟላ እንዲሆን አስፈላጊ እና በቂ ነው.

ለማንኛውም x H የዝግነት እኩልታ ረክቷል።

ቲዎረም 5.7. ኤለመንክስ ኤች በፎሪየር መስፋፋት (5.7) በኦርቶዶክሳዊ ስርዓት አካላት (h n) ላይ ሊወከል የሚችል ከሆነ ለማንኛውም y H

(x,y)= ∑ α n β n,

α n የElementx Fourier Coefficients ሲሆኑ፣ β n ከስርዓቱ (h n) አንፃር የElemente Fourier Coefficients ናቸው።

ቲዎረም 5.8. ውሱን-ልኬት መደበኛ ቦታ ሊለያይ ይችላል ቲዎረም 5.9. ሊቆጠር የሚችል መሠረት ያለው ማንኛውም ቦታ ተለያይቷል።

ከቲዎሬምስ 5.8 እና 5.9 በመቀጠል ውሱን ወይም ሊቆጠር የሚችል ኦርቶዶክሳዊ መሠረት ሊኖር የሚችለው በተነጣጠሉ ቦታዎች ላይ ብቻ ነው.

የመስመር ላይ ገለልተኛ አካላት ስርዓት ኦርቶጎናላይዜሽን

የሂልበርት ቦታ ኤች ውሱን ወይም ሊቆጠር የሚችል ሥርዓት ይስጥ መስመር ነጻ የሆኑ ንጥረ ነገሮች g 1, g 2, ... የንጥረ ነገሮች ኦርቶዶክሳዊ ሥርዓት እንገንባ h 1 , h 2 , ... እያንዳንዱ h n መልክ እንዲኖረው.

h n =μ n 1 g 1 +μ n 2 g 2 +...+μ nn g n፣

እና እያንዳንዱ g n ቅጹ አለው

g n =ν n 1 ሰ 1 +ν n 2 ሰ 2 +...+ν nn h n .

በመጀመሪያ ፣ በቅደም ተከተል በመገመት ፣ f 1 ፣ f 2 ፣ ... የንጥረ ነገሮች ኦርቶጎን ስርዓት እንገንባ ።

k = 1

ቅንጅቶች λ ik ንጥረ ነገሮች f 1, f 2, ... ጥንድ በሆነ መልኩ መመረጥ አለባቸው. ቅንጅቶች λ ik ለኤለመንቶች f 1, f 2, ..., f n- 1 ቀድሞውኑ ተገኝተዋል. ከዚያም እኔ ጊዜ

n- 1

n- 1

(f n ,f i ) = (g n -∑ λ nk f k ,f i ) = (g n ,f i ) -∑ λ nk (f k ,f i).

k = 1

k = 1

ከf 1፣f 2፣...፣ f n-1 አስቀድሞ

orthogonal ናቸው፣ ከዚያ (f k ,f i) = 0 ለ

k ≠ እኔ፣

እናገኛለን

F i ) = ( g n ,f i ) –λ ni ||f i ||2 .

(ኤፍ.ኤን

ከእያንዳንዱ ንጥረ ነገር ጀምሮ

መስመራዊ ጥምረት በመስመራዊ ነው።

ገለልተኛ ንጥረ ነገሮች g 1,

g 2 ፣ ... ፣ g n ፣ እና ቅንጅቱ

በ g n

አንድነት፣ ከዚያም f n ≠ 0. ሁኔታው ​​(f n ,f i ) = 0 እንዲሟላ, የቁጥር λ ni በቀመር መወሰን አለበት.

λni=

g n፣

ረ)

ኦርቶጎን ሲስተም f 1፣ f 2፣ ... ገንብተናል። አሁን እናስቀምጠው

ሸ n=

ኤለመንቶች h 1,h 2, ... ጥንድ አቅጣጫዊ ናቸው, ||h n || = 1 እና እያንዳንዱ ንጥረ ነገር h n የንጥረ ነገሮች መስመራዊ ጥምረት ነው g 1, g 2, ..., g n, ስለዚህ, የሚፈለገው ቅጽ (5.9) አለው. በሌላ በኩል ከቀመር (5.11) እያንዳንዱ g n የንጥረ ነገሮች መስመራዊ ጥምረት እንደሆነ ግልጽ ነው f 1, f 2, ..., f n, እና ንጥረ ነገሮች h 1, h 2, ..., h n ፣ ማለትም እ.ኤ.አ. ቅጽ (5.10) አለው. ስለዚህ, አስፈላጊውን የኦርቶዶክስ ስርዓት አግኝተናል.

ከዚህም በላይ፣ ዋናው ሥርዓት (gn) ማለቂያ የሌለው ከሆነ፣ የሥርዓተ-ፆታ ሂደት ማለቂያ የሌላቸው ደረጃዎችን ያቀፈ ነው፣ እና ስርዓቱ (hn) ማለቂያ የሌለው ይሆናል። የመነሻ ስርዓቱ የ m አካላትን ካቀፈ ፣ ከዚያ የተገኘው ስርዓት ተመሳሳይ ቁጥር ይኖረዋል።

ከሁኔታዎች (5.9) እና (5.10) የሚከተለው የንጥረ ነገሮች ስርዓቶች መስመራዊ ዛጎሎች (gn) እና (hn) የሚገጣጠሙ መሆናቸውን ልብ ይበሉ።

L የቦታው ውሱን-ልኬት ንዑስ ቦታ H ከሆነ እና g 1 ፣ g 2 ፣ ... ፣ g n የዘፈቀደ መሠረት ከሆነ ፣ ከዚያ የሥርዓተ-ጉባዔውን ሂደት (g n) በመተግበር ፣ የኦርቶዶክስ መሠረት እንገነባለን ። የንዑስ ቦታ

ኢሶሞርፊዝም የዘፈቀደ ሊለያይ የሚችል የሂልበርት ቦታ ከጠፈር l² ጋር

ቲዎረም 5.10. ሊለያይ በሚችል የሂልበርት ቦታ H ውስጥ ዜሮ ያልሆኑ ንጥረ ነገሮችን በያዘ፣ ውሱን ወይም ሊቆጠር የሚችል ኦርቶዶክሳዊ መሠረት አለ።

ማረጋገጫ።

በመለያየት ትርጓሜ፣ በየቦታው የሚቆጠር ጥቅጥቅ ያለ ስብስብ A በH አለ። ሁሉንም የስብስብ ኤ አካላት እንደገና እንቆጥራቸው። ከ A ውሱን ወይም ሊቆጠር ከሚችል ስርዓት B እንምረጥ ከመስመር ነጻ የሆኑ ንጥረ ነገሮች፣ የመስመራዊው ስፔን ከስብስቡ ሀ መስመራዊ span ጋር የሚገጣጠም። በዚህ ሁኔታ፣ ከ A የተጣሉ ሁሉም ንጥረ ነገሮች የስርዓት B አካላት ቀጥተኛ ጥምረት ናቸው። ስርዓት Bን ለሥነ-ሥርዓተ-አቀማመጦች እናቀርባለን እና ውሱን ወይም ሊቆጠር የሚችል የሥርዓት አካላት h n . እናረጋግጥ

ሞልቷል.

x H ለሁሉም h n orthogonal ይሁን። የስርዓት B ንጥረ ነገሮች የንጥረ ነገሮች ቀጥተኛ ውህዶች ስለሆኑ h n , ቶክስ ለሁሉም ንጥረ ነገሮች orthogonal ነው

ስርዓቶች B. ስብስብ A ከ B የሚለየው እንደ የስርዓት B አካላት ቀጥተኛ ውህዶች የሚወከሉት አንዳንድ ተጨማሪ ንጥረ ነገሮችን ስላካተተ ነው። ስለዚህ፣ x ለሁሉም የ A ስብስብ አካላት orthogonal ነው። ነገር ግን A በየቦታው ጥቅጥቅ ያለ በመሆኑ inH, thenx = 0 በንብረት 5) ለኦርቶዶክስ አካላት. ስለዚህ, የንጥረ ነገሮች ስርዓት ሙሉነት h n ተረጋግጧል.

ለ Euclidean ቦታዎች የአልጀብራ ኢሶሞርፊዝም እና ኢሶሜትሪ ፍቺዎችን ወደ ማንኛውም መደበኛ ቦታዎች እናስተላልፍ።

ፍቺ 5.12. ሁለት የተለመዱ ቦታዎች E እና E 1 ይባላሉ

በአልጀብራ ኢሶሞርፊክ እና ኢሶሜትሪክ በንጥረቶቻቸው መካከል የአንድ ለአንድ ደብዳቤ መመስረት ከተቻለ፡-

ሀ) ከ E ንጥረ ነገሮች ላይ የአልጀብራ ስራዎች በ E 1 ውስጥ በምስሎቻቸው ላይ ከተመሳሳይ ስራዎች ጋር ይዛመዳሉ.

ለ) ከ E እና ከ E 1 ተጓዳኝ ንጥረ ነገሮች ደንቦች እኩል ናቸው.

ቲዎረም 5.11. እያንዳንዱ ማለቂያ የሌለው-ልኬት መለያየት የሂልበርት ቦታ H በአልጀብራዊ ሁኔታ ኢሶሞርፊክ እና ኢሜትሪክ ለቦታው l 2 ነው።

ማረጋገጫ።

በቲዎረም 5.10፣ በH፡ h 1፣ h 2፣ ...፣ h n፣ .... በቲዎሬም 5.5፣ ለማንኛውም x H መስፋፋት የሚችል የኦርቶዶክስ መሰረት አለ።

x = ∑ α n hn .

ተመጣጣኝ

n= 1

የእሱ ቅንጅቶች ቅደም ተከተል

(α n)፣ ማለትም

n= 1

ቬክተር ሀ እና የንጥረ ነገሮች ምስል ተብሎ ይጠራል.

α n የንጥረ ነገሮች ፎሪየር ውህዶች ከሆኑ፣ እና β n ውህዶች ናቸው።

የንጥረ ነገሮች x እና y ምስሎች ድምር። በተመሳሳይ ሁኔታ የተረጋገጠው a የንጥረ ነገሮች ምስል ከሆነ, λ a የኤለመንት ምስል λ x ነው. ይህ ማለት ከኤች ኤ ኤለመንቶች ላይ የሚደረጉ የአልጀብራ ስራዎች በምስሎቻቸው ላይ ካሉ ተመሳሳይ ስራዎች ጋር ይዛመዳሉ ማለት ነው።

እያንዳንዱ ቬክተር a = (α n) l 2 የአንዳንዶች ምስል መሆኑን እናሳይ

x H. ይህንን ለማድረግ, በተሰጠው እሴት, ተከታታይ ∑ α n h n እንፈጥራለን. ተከታታይ አባላት ጀምሮ

ጥንድ አቅጣጫዊ ናቸው, እና

n= 1

∑ ||α n h n ||2 =

∑ α n 2< +∞,

n= 1

n= 1

ከዚያም በቲዎሬም 5.2 ተከታታዩ ይሰበሰባሉ. ድምርውን በ x ከገለጽነው፣ በቲዎረም 5.4α n የዚህ ፎሪየር ኮፊሸን ይሆናል፣ ስለዚህ፣

የተሰጠው ቬክተር a የእሱ ምስል ይሆናል.

አሁን በ H እና በ vectors ከ l 2 መካከል ያለው የተቋቋመው ደብዳቤ አንድ ለአንድ መሆኑን እንፈትሽ። በእርግጥ፣ ቬክተሮች a እና b በ y ውስጥ ያሉ የንጥረ ነገሮች ምስሎች ከሆኑ፣ እንደቅደም ተከተላቸው፣ በተረጋገጠው ነገር፣ a - b በ - y እና በ (5.12) a - b = x - y ውስጥ ያሉ ንጥረ ነገሮች ምስል ነው። ስለዚህ፣ ifx ≠ y፣ ከዚያ ia ≠ ለ.

በሌላ አገላለጽ፣ የኦርቶዶክስ ሥርዓት የተሟላ ከሆነ፣ እና ሁለት ንጥረ ነገሮች x እና y በቅደም ተከተል ተመሳሳይ ፎሪየር ኮፊፊሸንስ ካላቸው፣ ከዚያም x = y። ይህ ያልተሟላ ስርዓት እውነት አይደለም.

ስለዚህ፣ ከH እና በቬክተሮች ከ l 2 መካከል የደብዳቤ ልውውጥ መስርተናል፣ እሱም አልጀብራ ኢሶሞርፊዝምን የሚወክል እና (5.12)፣ isometric። ጽንሰ-ሐሳቡ ተረጋግጧል.

አሁን በ H እና l 2 መካከል ያለው isomorphism ከ ጋር የተቋቋመ መሆኑን እናረጋግጣለን።

የ scalar ምርት ዋጋ መጠበቅ.

ቲዎረም 5.12. በቲዎሬም 5.11 ውስጥ በተቋቋመው የቦታዎች H እና l 2 መካከል ባለው isomorphism ፣ የ H ማንኛውም ሁለት ንጥረ ነገሮች scalar ምርት። የምስሎቻቸው scalar ምርት inl 2 ጋር እኩል ነው።

ማረጋገጫ። ቬክተሮች a እና b የንጥረ ነገሮች ምስሎች ይሁኑ፣

በዚህ መሠረት a= (α n),b= (β n). ከዚያም፡- x = ∑ α n h n,y =∑ β n h n.

n= 1

n= 1

ቲዎረም 5.7 እና በ l 2 ውስጥ ያለውን የስክላር ምርትን ትርጉም ግምት ውስጥ በማስገባት እናገኛለን