ውስብስብ በሆኑ ቁጥሮች ላይ ችግሮችን ለመፍታት መሰረታዊ ፍቺዎችን መረዳት ያስፈልግዎታል. የዚህ የግምገማ ጽሑፍ ዋና ግብ ውስብስብ ቁጥሮች ምን እንደሆኑ ማብራራት እና መሠረታዊ ችግሮችን ውስብስብ ቁጥሮች ለመፍታት ዘዴዎችን ማቅረብ ነው። ስለዚህ, ውስብስብ ቁጥር የቅጹ ቁጥር ተብሎ ይጠራል z = a + bi፣ የት ሀ፣ ለ- እውነተኛ ቁጥሮች ፣ እነሱም የአንድ ውስብስብ ቁጥር እውነተኛ እና ምናባዊ ክፍሎች ፣ በቅደም ተከተል እና ያመለክታሉ a = Re(z)፣ b=Im(z).
እኔምናባዊ ክፍል ይባላል. እኔ 2 = -1. በተለይም ማንኛውም እውነተኛ ቁጥር እንደ ውስብስብ ተደርጎ ሊወሰድ ይችላል- a = a + 0i፣ ሀ እውነተኛ በሆነበት። ከሆነ ሀ = 0እና b ≠ 0, ከዚያም ቁጥሩ ብዙውን ጊዜ ሙሉ በሙሉ ምናባዊ ተብሎ ይጠራል.
አሁን ውስብስብ ቁጥሮች ላይ ክዋኔዎችን እናስተዋውቅ.
ሁለት ውስብስብ ቁጥሮችን ተመልከት z 1 = a 1 + b 1 iእና z 2 = a 2 + b 2 i.
እስቲ እናስብ z = a + bi.
የተወሳሰቡ ቁጥሮች ስብስብ የእውነተኛ ቁጥሮች ስብስብን ያሰፋዋል, ይህም በተራው ደግሞ ምክንያታዊ ቁጥሮችን ወዘተ ያሰፋዋል. ይህ የኢንቨስትመንት ሰንሰለት በሥዕሉ ላይ ሊታይ ይችላል-N - የተፈጥሮ ቁጥሮች, Z - ኢንቲጀር, ጥ - ምክንያታዊ, አር - እውነተኛ, ሐ - ውስብስብ. 
ውስብስብ ቁጥሮች ውክልና
የአልጀብራ ምልክት።
ውስብስብ ቁጥርን አስቡ z = a + bi, ይህ የአጻጻፍ ቅጽ ውስብስብ ቁጥር ይባላል አልጀብራ. ከዚህ ቀደም ባለው ክፍል ውስጥ ስለዚህ የመቅዳት ቅፅ በዝርዝር ተወያይተናል. የሚከተለው ምስላዊ ስዕል ብዙ ጊዜ ጥቅም ላይ ይውላል 
ትሪግኖሜትሪክ ቅጽ.
ከሥዕሉ ላይ ቁጥሩ ሊታይ ይችላል z = a + biበተለየ መንገድ ሊጻፍ ይችላል. እንደሆነ ግልጽ ነው። a = rcos (φ), b = rsin (φ), r=|ዝ|, ስለዚህ z = rcos (φ) + rsin (φ) i, φ ∈ (-π; π)
የአንድ ውስብስብ ቁጥር ክርክር ይባላል. ይህ የተወሳሰበ ቁጥር ውክልና ይባላል ትሪግኖሜትሪክ ቅጽ. የማስታወሻ ትሪግኖሜትሪክ ቅርፅ አንዳንድ ጊዜ በጣም ምቹ ነው። ለምሳሌ, ውስብስብ ቁጥርን ወደ ኢንቲጀር ኃይል ለመጨመር ለመጠቀም ለመጠቀም ምቹ ነው, ማለትም, ከሆነ z = rcos (φ) + rsin (φ) i፣ ያ z n = r n cos (nφ) + r n sin(nφ) i, ይህ ቀመር ይባላል የሞኢቭር ቀመር.
የማሳያ ቅርጽ.
እስቲ እናስብ z = rcos (φ) + rsin (φ) i- ውስብስብ ቁጥር በትሪግኖሜትሪክ ቅርፅ ፣ በሌላ መልክ ይፃፉ z = r (cos (φ) + ኃጢአት (φ) i) = re iφየመጨረሻው እኩልነት ከኡለር ቀመር ይከተላል፣ ስለዚህም አዲስ የጽሑፍ ቅጽ አግኝተናል ውስብስብ ቁጥር፡ z = ዳግም iφተብሎ የሚጠራው። አመላካች. ይህ የማስታወሻ ቅጽ እንዲሁ ውስብስብ ቁጥርን ወደ ኃይል ለማሳደግ በጣም ምቹ ነው- z n = r n e inφ, እዚህ nየግድ ኢንቲጀር አይደለም፣ ነገር ግን የዘፈቀደ እውነተኛ ቁጥር ሊሆን ይችላል። ይህ የማስታወሻ ዘዴ ብዙውን ጊዜ ችግሮችን ለመፍታት ያገለግላል.
የከፍተኛ አልጀብራ መሠረታዊ ቲዎሪ
ኳድራቲክ እኩልታ x 2 + x + 1 = 0 እንዳለን እናስብ። በግልጽ ለማየት እንደሚቻለው, የዚህ እኩልታ ልዩነት አሉታዊ ነው እና ምንም እውነተኛ መሰረት የለውም, ነገር ግን ይህ እኩልነት ሁለት የተለያዩ ውስብስብ ስሮች አሉት. ስለዚህ የከፍተኛ አልጀብራ መሠረታዊ ቲዎሬም ማንኛውም የዲግሪ n ፖሊኖሚል ቢያንስ አንድ ውስብስብ ሥር እንዳለው ይገልጻል። ከዚህ በመነሳት ማንኛውም የዲግሪ n ብዙ ቁጥር ያላቸውን ብዜት ግምት ውስጥ በማስገባት በትክክል n ውስብስብ ስሮች አሉት። ይህ ቲዎሬም በሂሳብ ውስጥ በጣም ጠቃሚ ውጤት ነው እና በሰፊው ጥቅም ላይ ይውላል. የዚህ ንድፈ ሃሳብ ቀላል መግለጫ የአንድነት ዲግሪ n የተለያዩ ስሮች በትክክል መኖራቸው ነው።
ዋና የሥራ ዓይነቶች
ይህ ክፍል ውስብስብ ቁጥሮችን የሚያካትቱ ዋና ዋናዎቹን ቀላል ችግሮች እንመለከታለን. በተለምዶ ውስብስብ ቁጥሮችን የሚያካትቱ ችግሮች በሚከተሉት ምድቦች ሊከፋፈሉ ይችላሉ.
- ውስብስብ ቁጥሮች ላይ ቀላል የሂሳብ ስራዎችን ማከናወን.
- በተወሳሰቡ ቁጥሮች ውስጥ የ polynomials ሥሮችን መፈለግ።
- ውስብስብ ቁጥሮችን ወደ ኃይል ማሳደግ.
- ከተወሳሰቡ ቁጥሮች ሥሮቹን ማውጣት.
- ሌሎች ችግሮችን ለመፍታት ውስብስብ ቁጥሮችን መጠቀም.
አሁን እነዚህን ችግሮች ለመፍታት አጠቃላይ ዘዴዎችን እንመልከት.
በጣም ቀላሉ የሂሳብ ስራዎች ውስብስብ ቁጥሮች ያላቸው በመጀመሪያው ክፍል ውስጥ በተገለጹት ህጎች መሰረት ይከናወናሉ, ነገር ግን ውስብስብ ቁጥሮች በትሪግኖሜትሪክ ወይም ገላጭ ቅርጾች ከቀረቡ, በዚህ ሁኔታ ውስጥ ወደ አልጀብራ መልክ መቀየር እና በሚታወቁ ህጎች መሰረት ስራዎችን ማከናወን ይችላሉ.
የ polynomials ሥሮችን መፈለግ ብዙውን ጊዜ የኳድራቲክ እኩልታ ሥሮችን ለማግኘት ይወርዳል። ኳድራቲክ እኩልታ አለን እንበል፣ አግላይነቱ አሉታዊ ካልሆነ፣ ሥሩ እውን ይሆናል እናም በታዋቂው ቀመር መሠረት ሊገኝ ይችላል። አድልዎ አሉታዊ ከሆነ, ማለትም. መ = -1∙a 2፣ የት ሀየተወሰነ ቁጥር ነው, ከዚያም አድልዎ እንደ ሊወከል ይችላል D = (ia) 2, ስለዚህ √D = i|a|, እና ከዚያ ቀደም ሲል የታወቀው ፎርሙላ ለ quadratic equation ስሮች መጠቀም ይችላሉ.
ለምሳሌ. ከላይ ወደተገለጸው ባለ አራት ማዕዘን እኩልታ x 2 + x + 1 = 0 እንመለስ።
አድሎአዊ - መ = 1 - 4 ∙ 1 = -3 = -1(√3) 2 = (i√3) 2.
አሁን ሥሮቹን በቀላሉ ማግኘት እንችላለን- 
ውስብስብ ቁጥሮችን ወደ ሃይል ማሳደግ በበርካታ መንገዶች ሊከናወን ይችላል. ውስብስብ ቁጥርን በአልጀብራ መልክ ወደ ትንሽ ሃይል (2 ወይም 3) ከፍ ማድረግ ከፈለጉ በቀጥታ በማባዛት ይህንን ማድረግ ይችላሉ ነገር ግን ኃይሉ ትልቅ ከሆነ (በችግሮች ውስጥ ብዙ ጊዜ ይበልጣል) ከዚያ ያስፈልግዎታል ይህንን ቁጥር በትሪግኖሜትሪክ ወይም ገላጭ ቅርጾች ይፃፉ እና ቀደም ሲል የታወቁ ዘዴዎችን ይጠቀሙ።
ለምሳሌ. z = 1 + i ን አስቡ እና ወደ አሥረኛው ኃይል ከፍ ያድርጉት።
z = √2 e iπ/4 በሚለው ገለጻ እንጻፍ።
ከዚያም z 10 = (√2 e iπ/4) 10 = 32 e 10iπ/4.
ወደ አልጀብራ ቅጽ እንመለስ፡ z 10 = -32i።
ከተወሳሰቡ ቁጥሮች ሥሮቹን ማውጣት የገለጻው ተገላቢጦሽ አሠራር ነው ስለዚህም በተመሳሳይ መንገድ ይከናወናል. ሥሩን ለማውጣት፣ የቁጥር አጻጻፍ ገላጭ ቅርጽ ብዙ ጊዜ ጥቅም ላይ ይውላል።
ለምሳሌ. ሁሉንም የዲግሪ 3 የአንድነት መሰረት እናገኝ። ይህንን ለማድረግ ሁሉንም የእኩልታውን ሥሮች እናገኛለን z 3 = 1, ሥሮቹን በአርቢ መልክ እንፈልጋለን.
በቀመር ውስጥ እንተካ፡ r 3 e 3iφ = 1 or r 3 e 3iφ = e 0 .
ስለዚህም፡ r = 1, 3φ = 0 + 2πk, ስለዚህ φ = 2πk/3.
የተለያዩ ሥሮች በ φ = 0, 2π/3, 4π/3 ይገኛሉ.
ስለዚህ 1፣ e i2π/3፣ e i4π/3 ሥር ናቸው።
ወይም በአልጀብራ መልክ፡- 
የመጨረሻው የችግሮች አይነት እጅግ በጣም ብዙ ችግሮችን ያጠቃልላል እና እነሱን ለመፍታት አጠቃላይ ዘዴዎች የሉም። እንዲህ ላለው ተግባር ቀላል ምሳሌ እንስጥ፡-
መጠኑን ያግኙ ኃጢአት (x) + ኃጢአት (2x) + ኃጢአት (2x) + … + ኃጢአት (nx).
ምንም እንኳን የዚህ ችግር አሠራር ውስብስብ ቁጥሮችን ባያጠቃልልም, በእነሱ እርዳታ በቀላሉ ሊፈታ ይችላል. እሱን ለመፍታት, የሚከተሉት ውክልናዎች ጥቅም ላይ ይውላሉ: 
አሁን ይህንን ውክልና ወደ ድምር ከተተካን, ችግሩ የተለመደው የጂኦሜትሪክ እድገትን ወደ ማጠቃለል ይቀንሳል.
መደምደሚያ
ውስብስብ ቁጥሮች በሂሳብ ውስጥ በሰፊው ጥቅም ላይ ይውላሉ ፣ ይህ የግምገማ መጣጥፍ ውስብስብ ቁጥሮች ላይ ያሉትን መሠረታዊ ሥራዎችን መርምሯል ፣ በርካታ መደበኛ ችግሮችን ገልፀዋል እና እነሱን ለመፍታት አጠቃላይ ዘዴዎችን በአጭሩ ገልፀዋል ፣ ለበለጠ ዝርዝር ውስብስብ ቁጥሮችን አቅም ለማጥናት ይመከራል ። ልዩ ጽሑፎችን ይጠቀሙ.
ስነ-ጽሁፍ
የፌደራል የትምህርት ኤጀንሲ
የስቴት የትምህርት ተቋም
ከፍተኛ ሙያዊ ትምህርት
"የቮሮኔዝ ስቴት ፔዳጎጂካል ዩኒቨርሲቲ"
የአግሌብራ እና ጂኦሜትሪ ክፍል
ውስብስብ ቁጥሮች
(የተመረጡ ተግባራት)
የድህረ ምረቃ ብቁ የሆነ ስራ
ልዩ 050201.65 ሒሳብ
(ከተጨማሪ ልዩ 050202.65 ኮምፒውተር ሳይንስ ጋር)
ያጠናቀቀው፡ የ5ኛ አመት ተማሪ
አካላዊ እና ሒሳብ
ፋኩልቲ
ሳይንሳዊ አማካሪ;
ቮሮኔዝ - 2008
1 መግቢያ……………………………………………………...…………..…
2. ውስብስብ ቁጥሮች (የተመረጡ ችግሮች)
2.1. ውስብስብ ቁጥሮች በአልጀብራ መልክ ………………………………………….
2.2. የተወሳሰቡ ቁጥሮች ጂኦሜትሪክ ትርጓሜ ………………………….
2.3. ውስብስብ ቁጥሮች ትሪግኖሜትሪክ ቅርፅ
2.4. የ 3 ኛ እና 4 ኛ ዲግሪ እኩልታዎች መፍትሄ ላይ ውስብስብ ቁጥሮችን ንድፈ ሃሳብ ተግባራዊ ማድረግ …………………………………………………………………………………………………………………………………………………
2.5. ውስብስብ ቁጥሮች እና መለኪያዎች …………………………………………………
3. ማጠቃለያ ………………………………………………………………………………………….
4. የማጣቀሻዎች ዝርዝር …………………………………………………………………………
1 መግቢያ
በት / ቤት ሒሳብ ሥርዓተ-ትምህርት ውስጥ የቁጥር ንድፈ ሐሳብ የተፈጥሮ ቁጥሮች ስብስቦችን ምሳሌዎችን በመጠቀም ይተዋወቃል, ኢንቲጀር, ምክንያታዊነት, ምክንያታዊ ያልሆኑ, ማለትም. በእውነተኛ ቁጥሮች ስብስብ ላይ, ምስሎቹ ሙሉውን የቁጥር መስመር ይሞላሉ. ግን ቀድሞውኑ በ 8 ኛ ክፍል በቂ የእውነተኛ ቁጥሮች አቅርቦት የለም ፣ ባለአራት እኩልታዎችን ከአሉታዊ አድልዎ ጋር መፍታት። ስለዚህ, ውስብስብ ቁጥሮችን በመጠቀም የእውነተኛ ቁጥሮች ክምችት መሙላት አስፈላጊ ነበር, ለዚህም የአሉታዊ ቁጥር ስኩዌር ሥር ትርጉም ያለው ነው.
እንደ የመጨረሻ የብቃት ስራዬ ርዕስ “ውስብስብ ቁጥሮች” ምርጫው ውስብስብ ቁጥር ጽንሰ-ሀሳብ የተማሪዎችን የቁጥር ስርዓት እውቀት ያሰፋል ፣ የሁለቱም የአልጀብራ እና የጂኦሜትሪክ ይዘት ችግሮችን ለመፍታት ፣ አልጀብራን ስለ መፍታት ነው ። የማንኛውም ዲግሪ እኩልታዎች እና ችግሮችን በመለኪያዎች ስለ መፍታት።
ይህ ተሲስ ለ 82 ችግሮች መፍትሄን ይመረምራል.
የዋናው ክፍል የመጀመሪያ ክፍል “ውስብስብ ቁጥሮች” ውስብስብ ቁጥሮች በአልጀብራ መልክ ለችግሮች መፍትሄዎችን ይሰጣል ፣ የመደመር ፣ የመቀነስ ፣ የማባዛት ፣ የመከፋፈል ሥራዎችን ፣ ውስብስብ ቁጥሮችን በአልጀብራ መልክ የማገናኘት ክዋኔ ፣ ምናባዊ አሀድ ኃይልን ይገልጻል። , የአንድ ውስብስብ ቁጥር ሞጁል, እና እንዲሁም የአንድ ውስብስብ ቁጥር ካሬ ሥር ማውጣትን ደንብ ያስቀምጣል.
በሁለተኛው ክፍል ውስጥ ውስብስብ ቁጥሮች በነጥቦች ወይም ውስብስብ አውሮፕላን ቬክተሮች መልክ በጂኦሜትሪክ አተረጓጎም ላይ ችግሮች ተፈትተዋል.
ሶስተኛው ክፍል በትሪግኖሜትሪክ ቅርፅ ውስብስብ ቁጥሮች ላይ ያሉትን ስራዎች ይመረምራል። ጥቅም ላይ የዋሉት ቀመሮች፡- Moivre እና የአንድ ውስብስብ ቁጥር ሥር ማውጣት ናቸው።
አራተኛው ክፍል የ 3 ኛ እና 4 ኛ ዲግሪ እኩልታዎችን ለመፍታት ያተኮረ ነው።
በመጨረሻው ክፍል ውስጥ ችግሮችን ሲፈታ "ውስብስብ ቁጥሮች እና መለኪያዎች" በቀደሙት ክፍሎች የተሰጠው መረጃ ጥቅም ላይ ይውላል እና ተጠናክሯል. በምዕራፉ ውስጥ ያሉ ተከታታይ ችግሮች በፕላኔቶች (እኩልነቶች) በተገለጸው ውስብስብ አውሮፕላን ውስጥ የመስመሮች ቤተሰቦችን ከአንድ መለኪያ ጋር ለመወሰን ያተኮሩ ናቸው. የአካል ብቃት እንቅስቃሴዎች በከፊል በመለኪያ (ከመስክ በላይ) ጋር እኩልታዎችን መፍታት ያስፈልግዎታል። ውስብስብ ተለዋዋጭ በአንድ ጊዜ በርካታ ሁኔታዎችን የሚያረካባቸው ተግባራት አሉ. በዚህ ክፍል ውስጥ ያሉ ችግሮችን የመፍታት ልዩ ባህሪ ብዙዎቹን ወደ እኩልታዎች (ኢንኩልነት, ስርዓቶች) የሁለተኛ ዲግሪ, ምክንያታዊ ያልሆነ, ትሪግኖሜትሪክ ከመለኪያ ጋር ወደ መፍትሄ መቀነስ ነው.
በእያንዳንዱ ክፍል ውስጥ የቁሱ አቀራረብ ባህሪ የንድፈ-ሀሳባዊ መሠረቶች የመጀመሪያ መግቢያ እና በመቀጠልም ችግሮችን ለመፍታት ተግባራዊ አተገባበር ነው።
በቲሲስ መጨረሻ ላይ ጥቅም ላይ የዋሉ የማጣቀሻዎች ዝርዝር አለ. አብዛኛዎቹ የንድፈ ሃሳቦችን በበቂ ዝርዝር እና ተደራሽ በሆነ መንገድ ያቀርባሉ፣ ለአንዳንድ ችግሮች መፍትሄዎች ይወያያሉ እና ለገለልተኛ መፍትሄ ተግባራዊ ተግባራትን ይሰጣሉ። ለእንደዚህ ላሉት ምንጮች ልዩ ትኩረት መስጠት እፈልጋለሁ-
1. Gordienko N.A., Belyaeva E.S., Firstov V.E., Serebryakova I.V. ውስብስብ ቁጥሮች እና መተግበሪያዎቻቸው: የመማሪያ መጽሐፍ. . የመማሪያው ቁሳቁስ በንግግሮች እና በተግባራዊ ልምምዶች መልክ ቀርቧል.
2. Shklyarsky D.O., Chentsov N.N., Yaglom I.M. የተመረጡ ችግሮች እና የአንደኛ ደረጃ የሂሳብ ንድፈ ሃሳቦች. አርቲሜቲክ እና አልጀብራ። መጽሐፉ ከአልጀብራ፣ ከሒሳብ እና ከቁጥር ንድፈ ሐሳብ ጋር የተያያዙ 320 ችግሮችን ይዟል። እነዚህ ተግባራት በተፈጥሮ ከመደበኛ የትምህርት ቤት ተግባራት በእጅጉ ይለያያሉ።
2. ውስብስብ ቁጥሮች (የተመረጡ ችግሮች)
2.1. ውስብስብ ቁጥሮች በአልጀብራ መልክ
በሂሳብ እና በፊዚክስ ውስጥ ያሉ የብዙ ችግሮች መፍትሄ የአልጀብራ እኩልታዎችን ለመፍታት ይወርዳል ፣ ማለትም ፣ ማለትም። የቅጹ እኩልታዎች
,የት a0፣ a1፣…፣ an እውነተኛ ቁጥሮች ናቸው። ስለዚህ የአልጀብራ እኩልታዎችን ማጥናት በሂሳብ ውስጥ በጣም አስፈላጊ ከሆኑ ጉዳዮች ውስጥ አንዱ ነው። ለምሳሌ፣ ኳድራቲክ እኩልታ ከአሉታዊ አድሎአዊ ጋር ምንም አይነት ትክክለኛ መሰረት የለውም። በጣም ቀላሉ እንዲህ ዓይነቱ እኩልታ እኩልነት ነው
.ይህ እኩልነት መፍትሄ እንዲያገኝ፣ የእኩልታውን ሥር በመጨመር የእውነተኛ ቁጥሮችን ስብስብ ማስፋፋት ያስፈልጋል።
.ይህንን ሥር በ
. ስለዚህም፣ በትርጓሜ፣ ወይም፣ስለዚህም
. ምናባዊ ክፍል ይባላል. በእሱ እርዳታ እና በእውነተኛ ቁጥሮች ጥንድ እርዳታ የቅጹ መግለጫ ተሰብስቧል.የተገኘው አገላለጽ ውስብስብ ቁጥሮች ተብሎ ይጠራ ነበር, ምክንያቱም ሁለቱንም እውነተኛ እና ምናባዊ ክፍሎችን ይዘዋል.
ስለዚህ, ውስብስብ ቁጥሮች የቅጹ መግለጫዎች ናቸው
, እና እውነተኛ ቁጥሮች ናቸው, እና ሁኔታውን የሚያረካ የተወሰነ ምልክት ነው. ቁጥሩ የአንድ ውስብስብ ቁጥር እውነተኛ ክፍል ተብሎ ይጠራል, ቁጥሩም የእሱ ምናባዊ ክፍል ነው. ምልክቶቹ, እነሱን ለማመልከት ጥቅም ላይ ይውላሉ.የቅጹ ውስብስብ ቁጥሮች
እውነተኛ ቁጥሮች ናቸው እና ስለዚህ, ውስብስብ ቁጥሮች ስብስብ የእውነተኛ ቁጥሮች ስብስብ ይዟል. የቅጹ ውስብስብ ቁጥሮች
ሙሉ በሙሉ ምናባዊ ተብለው ይጠራሉ. የቅጹ ሁለት ውስብስብ ቁጥሮች እና እውነተኛ እና ምናባዊ ክፍሎቻቸው እኩል ከሆኑ እኩል ናቸው ይባላል, ማለትም. እኩልነት ከሆነ .የተወሳሰቡ ቁጥሮች አልጀብራዊ አጻጻፍ በተለመደው የአልጀብራ ህጎች መሠረት በእነሱ ላይ እንዲሠራ ይፈቅዳል።
የእኩልታ አጠቃቀም በህይወታችን ውስጥ በሰፊው ተሰራጭቷል። በብዙ ስሌቶች, መዋቅሮች ግንባታ እና ሌላው ቀርቶ ስፖርቶች ውስጥ ጥቅም ላይ ይውላሉ. ሰው በጥንት ጊዜ እኩልታዎችን ይጠቀም ነበር, እና ከዚያ ጊዜ ጀምሮ አጠቃቀማቸው እየጨመረ መጥቷል. ግልጽ ለማድረግ, የሚከተለውን ችግር እንፍታ:
\[ (z_1\cdot z_2)^(10)፣\] ከሆነ \] አስላ።
በመጀመሪያ ደረጃ, አንድ ቁጥር በአልጀብራ መልክ, ሌላኛው በትሪግኖሜትሪክ መልክ መቅረብ የሚለውን እውነታ ትኩረት እንስጥ. ማቅለል እና ወደሚከተለው ቅፅ ማምጣት ያስፈልገዋል
\[ z_2 = \ frac (1) (4) (\cos\frac(\pi)(6)+i\sin\frac(\pi)(6))።\]
\ የሚለው አገላለጽ በመጀመሪያ የሞኢቭር ፎርሙላ በመጠቀም ማባዛትን እና ወደ 10 ኛ ሃይል ማሳደግ እናደርጋለን ይላል። ይህ ቀመር የተቀረፀው ውስብስብ ቁጥር ላለው ትሪግኖሜትሪክ ቅርፅ ነው። እናገኛለን፡-
\[\ጀማሪ(vmatrix) z_1 \መጨረሻ(vmatrix)=\sqrt ((-1)^2+(\sqrt 3)^2)=\sqrt 4=2\]
\[\varphi_1=\pi+\arctan\frac(\sqrt 3)(-1)=\pi\arctan\sqrt 3=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2\pi)( 3)\]
ውስብስብ ቁጥሮችን በትሪግኖሜትሪክ ቅርፅ የማባዛት ህጎችን በመከተል የሚከተሉትን እናደርጋለን።
በእኛ ሁኔታ፡-
\[(z_1+z_2)^(10)=(\frac(1)(2))^(10)\cdot(\cos (10\cdot\frac(5\pi)(6))+i\ sin \cdot\frac(5\pi)(6)))=\frac(1)(2^(10))\cdot\cos \frac(25\pi)(3)+i\sin\frac(25\) ፒ)(3)።
ክፍልፋዩን \[\frac(25)(3)=8\frac(1)(3)\] ትክክል በማድረግ 4 ማዞር እንችላለን ወደሚል ድምዳሜ ደርሰናል። \]
\[(z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi)(3) ))\]
መልስ፡- \[(z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi) (3))\]
ይህ እኩልነት በሌላ መንገድ ሊፈታ ይችላል፣ እሱም 2ኛውን ቁጥር ወደ አልጀብራ መልክ ለማምጣት፣ ከዚያም ማባዛቱን በአልጀብራ መልክ በማከናወን ውጤቱን ወደ ትሪግኖሜትሪክ ቅርፅ በመቀየር እና የሞኢቭርን ቀመር ተግባራዊ ማድረግ፡-
በመስመር ላይ ካሉ ውስብስብ ቁጥሮች ጋር የእኩልታዎችን ስርዓት የት መፍታት እችላለሁ?
በድረ-ገፃችን https://site ላይ የእኩልታዎችን ስርዓት መፍታት ይችላሉ. ነፃው የመስመር ላይ ፈላጊ በመስመር ላይ ማንኛውንም ውስብስብነት በሰከንዶች ጊዜ ውስጥ እንዲፈቱ ይፈቅድልዎታል። የሚያስፈልግህ ነገር በቀላሉ ውሂብህን ወደ ፈላጊው ውስጥ ማስገባት ብቻ ነው. እንዲሁም የቪዲዮ መመሪያዎችን ማየት እና በድረ-ገፃችን ላይ ያለውን እኩልታ እንዴት እንደሚፈቱ መማር ይችላሉ. እና አሁንም ጥያቄዎች ካሉዎት በ VKontakte ቡድናችን http://vk.com/pocketteacher ውስጥ ሊጠይቋቸው ይችላሉ። ቡድናችንን ይቀላቀሉ ፣ እርስዎን ለመርዳት ሁል ጊዜ ደስተኞች ነን።
መግለጫዎች, እኩልታዎች እና የእኩልታዎች ስርዓቶች
ውስብስብ ቁጥሮች ጋር
ዛሬ በክፍል ውስጥ የተለመዱ ኦፕሬሽኖችን ውስብስብ ቁጥሮችን እንለማመዳለን, እና እነዚህን ቁጥሮች የያዙትን አገላለጾች, እኩልታዎች እና የእኩልታዎች ስርዓቶችን የመፍታት ዘዴን እንለማመዳለን. ይህ ዎርክሾፕ የትምህርቱ ቀጣይ ነው፣ እና ስለዚህ በርዕሱ ላይ በደንብ ካላወቁ እባክዎን ከላይ ያለውን ሊንክ ይከተሉ። ደህና ፣ ለበለጠ ዝግጁ አንባቢዎች ወዲያውኑ እንዲሞቁ እመክርዎታለሁ-
ምሳሌ 1
አገላለጽ ቀለል ያድርጉት 
, ከሆነ. ውጤቱን በትሪግኖሜትሪክ ቅርፅ ይወክሉት እና ውስብስብ በሆነው አውሮፕላን ላይ ያቅዱት።
መፍትሄስለዚህ ክፍልፋዩን ወደ “አስፈሪው” ክፍልፋይ መተካት ፣ ማቃለያዎችን ማከናወን እና ውጤቱን መለወጥ ያስፈልግዎታል ውስብስብ ቁጥርቪ ትሪግኖሜትሪክ ቅጽ. በተጨማሪም ስዕል.
ውሳኔውን መደበኛ ለማድረግ ከሁሉ የተሻለው መንገድ ምንድነው? "የተራቀቀ" የአልጀብራ አገላለጽ ደረጃ በደረጃ መቋቋም የበለጠ ትርፋማ ነው። በመጀመሪያ ደረጃ, ትኩረትን ብዙም አይከፋፈሉም, እና ሁለተኛ, ስራው ተቀባይነት ካላገኘ, ስህተቱን ለማግኘት በጣም ቀላል ይሆናል.
1) በመጀመሪያ ፣ አሃዛዊውን እናቀላል። እሴቱን በእሱ ውስጥ እንተካው ፣ ቅንፍዎቹን ይክፈቱ እና የፀጉር አሠራሩን እናስተካክላለን-
...አዎ፣እንዲህ ያለ Quasimodo የመጣው ከተወሳሰቡ ቁጥሮች ነው...
በለውጦቹ ወቅት ሙሉ ለሙሉ ቀላል ነገሮች ጥቅም ላይ እንደሚውሉ ላስታውስዎ - ፖሊኖሚሎችን የማባዛት ህግ እና እኩልነት ቀድሞውኑ ባናል ሆኗል. ዋናው ነገር ጥንቃቄ ማድረግ እና በምልክቶቹ ግራ መጋባት አይደለም.
2) አሁን መለያው ይመጣል። ከሆነ፡ እንግዲህ፡-
ለየትኛው ያልተለመደ ትርጓሜ ጥቅም ላይ እንደዋለ አስተውል የካሬ ድምር ቀመር. በአማራጭ፣ እዚህ እንደገና ማደራጀት ይችላሉ። 
ንዑስ ቀመር ውጤቶቹ በተፈጥሮ አንድ አይነት ይሆናሉ.
3) እና በመጨረሻም ፣ አጠቃላይ መግለጫ። ከሆነ፡ እንግዲህ፡-
ክፍልፋይን ለማስወገድ፣ አሃዛዊውን እና አካፋይን በዲኖሚነተሩ ተያያዥ አገላለጽ ያባዙ። በተመሳሳይ ጊዜ, ለትግበራ ዓላማዎች የካሬ ልዩነት ቀመሮችመጀመሪያ መሆን አለበት። (እና አስቀድሞ የግድ ነው!)አሉታዊውን ትክክለኛ ክፍል በ 2 ኛ ደረጃ ያስቀምጡ
እና አሁን ዋናው ደንብ:
እኛ ምንም ችኮላ ውስጥ ነን! በጥንቃቄ መጫወት እና ተጨማሪ እርምጃ መውሰድ የተሻለ ነው።
በአገላለጾች, እኩልታዎች እና ስርዓቶች ውስብስብ ቁጥሮች, እብሪተኛ የቃል ስሌቶች ከመቼውም ጊዜ በበለጠ የተሞላ!
በመጨረሻው ደረጃ ላይ ጥሩ ቅነሳ ነበር እና ይህ በጣም ጥሩ ምልክት ነው።
ማስታወሻ : በትክክል መናገር፣ እዚህ ላይ የአንድ ውስብስብ ቁጥር ውስብስብ ቁጥር 50 መከፋፈል ተከስቷል (ይህን አስታውስ)። ስለዚህ ጉዳይ እስካሁን ዝም አልኩኝ እና ትንሽ ቆይተን እንነጋገራለን።
ስኬታችንን በደብዳቤው እናሳይ
በትሪግኖሜትሪክ መልክ የተገኘውን ውጤት እናቅርብ. በአጠቃላይ ፣ እዚህ ያለ ስዕል ማድረግ ይችላሉ ፣ ግን አስፈላጊ ስለሆነ ፣ አሁን እሱን ማድረግ በተወሰነ ደረጃ ምክንያታዊ ነው- 
የአንድ ውስብስብ ቁጥር ሞጁሉን እናሰላው፡-
በ 1 ዩኒት ሚዛን ላይ ከሳሉ. = 1 ሴ.ሜ (2 የማስታወሻ ደብተር ሴሎች), ከዚያም የተገኘው እሴት በቀላሉ በመደበኛ ገዢ በመጠቀም ማረጋገጥ ይቻላል.
ክርክር እንፈልግ። ቁጥሩ በ2ኛ መጋጠሚያ ሩብ ውስጥ ስለሚገኝ፡-
አንግል በፕሮትራክተር በቀላሉ ሊረጋገጥ ይችላል። ይህ የስዕሉ የማይታበል ጥቅም ነው.
ስለዚህም: - የሚፈለገው ቁጥር በትሪግኖሜትሪክ ቅርጽ.
እስቲ እንፈትሽ፡
, ይህም መረጋገጥ ያለበት ነበር.
የማይታወቁ የሲን እና ኮሳይን እሴቶችን በመጠቀም ማግኘት ምቹ ነው። ትሪግኖሜትሪክ ሰንጠረዥ.
መልስ: 
ለገለልተኛ መፍትሄ ተመሳሳይ ምሳሌ
ምሳሌ 2
አገላለጽ ቀለል ያድርጉት 
, የት. በውስብስብ አውሮፕላኑ ላይ የተገኘውን ቁጥር ይሳሉ እና በገለፃ መልክ ይፃፉ።
አጋዥ ስልጠናዎችን ላለማቋረጥ ይሞክሩ። ቀላል ሊመስሉ ይችላሉ, ነገር ግን ያለ ስልጠና, "ወደ ኩሬ ውስጥ መግባት" ቀላል ብቻ ሳይሆን በጣም ቀላል ነው. ስለዚህ “እጃችንን እናስገባዋለን”።
ብዙውን ጊዜ ችግሩ ከአንድ በላይ መፍትሄዎች አሉት
ምሳሌ 3
ከሆነ አስላ፣ 
መፍትሄ: በመጀመሪያ ደረጃ, ለዋናው ሁኔታ ትኩረት እንስጥ - አንድ ቁጥር በአልጀብራ ቀርቧል, ሌላኛው ደግሞ በትሪግኖሜትሪክ መልክ እና በዲግሪዎች ጭምር. ወዲያውኑ ይበልጥ በሚታወቅ ቅጽ እንደገና እንጽፈው፡- 
.
ስሌቶቹ በምን ዓይነት መልክ መከናወን አለባቸው? አገላለጹ በመጀመሪያ ማባዛትን እና ወደ 10 ኛ ኃይል መጨመርን እንደሚያካትት ግልጽ ነው። የሞኢቭር ቀመር, እሱም ለተወሳሰበ ቁጥር ትሪግኖሜትሪክ ቅርጽ የተዘጋጀ። ስለዚህ የመጀመሪያውን ቁጥር ለመለወጥ የበለጠ ምክንያታዊ ይመስላል. ሞጁሉን እና መከራከሪያውን እንፈልግ፡- 
ውስብስብ ቁጥሮችን በትሪግኖሜትሪክ መልክ ለማባዛት ደንቡን እንጠቀማለን፡-
ከሆነ፣ እንግዲህ
ክፍልፋዩን ማረም, 4 መዞር "መጠምዘዝ" እንችላለን ወደሚል መደምደሚያ ላይ ደርሰናል (ደስተኛ.):
ሁለተኛው መፍትሄሁለተኛውን ቁጥር ወደ አልጀብራ መልክ መቀየር ነው። 
፣ ማባዛቱን በአልጀብራ መልክ ያከናውኑ ፣ ውጤቱን ወደ ትሪግኖሜትሪክ ቅርፅ ይለውጡ እና የሞኢቭርን ቀመር ይጠቀሙ።
እንደምታየው, አንድ "ተጨማሪ" እርምጃ አለ. የሚፈልጉ ሁሉ ውሳኔውን በመከተል ውጤቱ ተመሳሳይ መሆኑን ማረጋገጥ ይችላሉ.
ሁኔታው ስለ የመጨረሻው ውስብስብ ቁጥር መልክ ምንም አይናገርም, ስለዚህ:
መልስ: 
ግን “ውበት” ወይም በፍላጎት ፣ ውጤቱ በአልጀብራ መልክ መገመት ከባድ አይደለም ።
በራሱ፡-
ምሳሌ 4
አገላለጽ ቀለል ያድርጉት
እዚህ ማስታወስ አለብን እርምጃዎች ከዲግሪዎች ጋር, በመመሪያው ውስጥ አንድ ጠቃሚ ህግ ባይኖርም, እዚህ አለ:.
እና አንድ ተጨማሪ ጠቃሚ ማስታወሻ: ምሳሌው በሁለት ቅጦች ሊፈታ ይችላል. የመጀመሪያው አማራጭ አብሮ መስራት ነው ሁለትቁጥሮች እና ክፍልፋዮች ጋር ደህና መሆን. ሁለተኛው አማራጭ እያንዳንዱን ቁጥር እንደ መወከል ነው የሁለት ቁጥሮች ብዛት: 
እና ባለ አራት ፎቅ መዋቅርን ያስወግዱ. ከመደበኛ እይታ አንጻር ፣ እርስዎ እንዴት እንደሚወስኑ ምንም ችግር የለውም ፣ ግን ጉልህ ልዩነት አለ! እባክዎን በጥንቃቄ ያስቡበት፡-
ውስብስብ ቁጥር ነው;
የሁለት ውስብስብ ቁጥሮች ብዛት (እና) ነው፣ ነገር ግን እንደ አውድ ላይ በመመስረት፣ ይህንንም ማለት ይችላሉ፡ የሁለት ውስብስብ ቁጥሮች ጥቅስ ሆኖ የተወከለው ቁጥር።
በትምህርቱ መጨረሻ ላይ አጭር መፍትሄ እና መልስ.
አገላለጾች ጥሩ ናቸው፣ ግን እኩልታዎች የተሻሉ ናቸው፡
ከተወሳሰቡ መጋጠሚያዎች ጋር እኩልታዎች
ከ "ተራ" እኩልታዎች እንዴት ይለያሉ? ዕድል =)
ከላይ ካለው አስተያየት አንጻር፣ በዚህ ምሳሌ እንጀምር፡-
ምሳሌ 5
እኩልታውን ይፍቱ 
እና ወዲያውኑ “በተረከዙ ላይ ትኩስ” መግቢያ፡- መጀመሪያ ላይየቀመርው የቀኝ ጎን የሁለት ውስብስብ ቁጥሮች ብዛት (እና 13) ሆኖ ተቀምጧል፣ እና ስለዚህ ሁኔታውን ከቁጥር ጋር እንደገና መፃፍ መጥፎ ነው። (ምንም እንኳን ይህ ስህተት ባይፈጥርም). በነገራችን ላይ ይህ ልዩነት በክፍልፋዩ ውስጥ በግልጽ ይታያል - በአንጻራዊ ሁኔታ ሲታይ ይህ ዋጋ በዋነኝነት የሚገነዘበው እንደ የእኩልታው "ሙሉ" ውስብስብ ሥር, እና እንደ ቁጥር አካፋይ አይደለም, እና በተለይም እንደ የቁጥር አካል አይደለም!
መፍትሄ, በመርህ ደረጃ, እንዲሁ ደረጃ በደረጃ ሊከናወን ይችላል, ነገር ግን በዚህ ሁኔታ ጨዋታው ለሻማው ዋጋ የለውም. የመጀመርያው ተግባር ያልታወቀ “z” የሌለውን ነገር ሁሉ ማቃለል ነው፣ በዚህም ምክንያት እኩልቱ ወደ ቅጹ እንዲቀንስ ይደረጋል፡-
የመሃከለኛውን ክፍልፋይ በልበ ሙሉነት እናቃልላለን፡- 
ውጤቱን ወደ ቀኝ በኩል እናስተላልፋለን እና ልዩነቱን እናገኛለን: 
ማስታወሻ
: እና እንደገና ትኩረትን ወደ ትርጉም ያለው ነጥብ እሰጣለሁ - እዚህ ቁጥርን ከቁጥር አልቀነስንም, ነገር ግን ክፍልፋዮችን ወደ አንድ የጋራ መለያ አመጣን! ቀደም ሲል በሂደቱ ውስጥ በመፍታት ከቁጥሮች ጋር መሥራት የተከለከለ አለመሆኑን ልብ ሊባል ይገባል- 
ነገር ግን, በምሳሌው ውስጥ ይህ ዘይቤ ከጥቅም ይልቅ ጎጂ ነው =)
በተመጣጣኝ ደንብ መሠረት “zet”ን እንገልፃለን-
አሁን እንደገና በኮንጁጌት መከፋፈል እና ማባዛት ይችላሉ፣ ነገር ግን በቁጥር እና በቁጥር ውስጥ ያሉት አጠራጣሪ ተመሳሳይ ቁጥሮች ቀጣዩን እርምጃ ይጠቁማሉ፡ 
መልስ:
ለመፈተሽ፣ የተገኘውን እሴት በዋናው ስሌት በግራ በኩል እንተካው እና ቀለል ያሉ ነገሮችን እናከናውን።
- የዋናው እኩልታ የቀኝ ጎን ተገኝቷል, ስለዚህም ሥሩ በትክክል ተገኝቷል.
አሁን፣ አሁን... የበለጠ የሚስብ ነገር አገኝልሃለሁ... እዚህ ሂድ፡
ምሳሌ 6
እኩልታውን ይፍቱ 
ይህ እኩልታ ወደ ቅጹ ይቀንሳል, ይህም ማለት መስመራዊ ነው. ፍንጭው ግልጽ ነው ብዬ አስባለሁ - ሂድ!
በእርግጥ... ያለ እሱ እንዴት መኖር ይቻላል፡-
ኳድራቲክ እኩልታ ከተወሳሰቡ ጥምርታዎች ጋር
በትምህርቱ ላይ ለዱሚዎች ውስብስብ ቁጥሮችኳድራቲክ እኩልታ ከእውነታው ኮፊፊሸንስ ጋር የተዋሃዱ ስሮች ሊኖሩት እንደሚችል ተምረናል ፣ ከዚያ በኋላ ምክንያታዊ ጥያቄ ይነሳል-ለምን ፣ በእውነቱ ፣ ውህደቶቹ እራሳቸው ውስብስብ ሊሆኑ አይችሉም? አጠቃላይ ጉዳይ ልቅረጽ፡-
ኳድራቲክ እኩልታ በዘፈቀደ ውስብስብ ቅንጅቶች (1 ወይም 2ቱ ወይም ሦስቱም በተለይ ተቀባይነት ያላቸው ሊሆኑ ይችላሉ)አለው ሁለት እና ሁለት ብቻውስብስብ ሥር (ምናልባትም አንድ ወይም ሁለቱም ልክ ናቸው). በተመሳሳይ ጊዜ ሥሮቹ (እውነተኛ እና ዜሮ ካልሆነ ምናባዊ ክፍል ጋር)ሊገጣጠም ይችላል (ብዙዎች መሆን)።
ኳድራቲክ እኩልታ ከተወሳሰቡ ጥምርታዎች ጋር ተመሳሳይ እቅድ በመጠቀም ይፈታል። "ትምህርት ቤት" እኩልታበስሌቱ ቴክኒክ ውስጥ ከአንዳንድ ልዩነቶች ጋር
ምሳሌ 7
የኳድራቲክ እኩልታ ሥሮችን ያግኙ 
መፍትሄ: ምናባዊው ክፍል መጀመሪያ ይመጣል, እና በመርህ ደረጃ, እሱን ማስወገድ ይችላሉ (ሁለቱንም ወገኖች በማባዛት)ይሁን እንጂ ለዚህ የተለየ ፍላጎት የለም.
ለመመቻቸት ፣ የቁጥር መለኪያዎችን እንጽፋለን-
የነጻ አባልን "መቀነስ" አናጣው! ... ለሁሉም ሰው ግልጽ ላይሆን ይችላል - እኩልታውን በመደበኛ ፎርም እንደገና እጽፋለሁ 
:
አድሎአዊውን እናሰላው፡-
እና ዋናው እንቅፋት ይኸውና፡- 
ሥሩን ለማውጣት የአጠቃላይ ቀመር ማመልከቻ (የጽሁፉን የመጨረሻ አንቀጽ ተመልከት ለዱሚዎች ውስብስብ ቁጥሮች)
ከአክራሪ ውስብስብ የቁጥር ክርክር ጋር በተያያዙ ከባድ ችግሮች የተወሳሰበ (ለራስህ ተመልከት). ግን ሌላ "አልጀብራ" መንገድ አለ! ሥሩን በቅጹ ውስጥ እንፈልጋለን- 
ሁለቱንም ጎን እናሳጥር፡- 
እውነተኛ እና ምናባዊ ክፍሎቻቸው እኩል ከሆኑ ሁለት ውስብስብ ቁጥሮች እኩል ናቸው. ስለዚህ, የሚከተለውን ስርዓት እናገኛለን: 
ስርዓቱን በመምረጥ ለመፍታት ቀላል ነው (በይበልጥ ጠለቅ ያለ መንገድ ከ 2 ኛ እኩልታ መግለጽ ነው - በ 1 ኛ መተካት ፣ የሁለትዮሽ እኩልታ ያግኙ እና መፍታት). የችግሩ ደራሲ ጭራቅ አይደለም ብለን በማሰብ ኢንቲጀሮች ነን የሚለውን መላምት እናቀርባለን። ከ 1 ኛ እኩልታ "x" ይከተላል. ሞዱሎከ"Y" በላይ በተጨማሪም, አወንታዊው ምርት የማይታወቁ ተመሳሳይ ምልክቶች እንደሆኑ ይነግረናል. ከላይ ባለው መሰረት እና በ 2 ኛው እኩልታ ላይ በማተኮር ከእሱ ጋር የሚዛመዱትን ሁሉንም ጥንዶች እንጽፋለን- 
የስርአቱ 1ኛ እኩልታ በመጨረሻዎቹ ሁለት ጥንዶች እንደረካ ግልፅ ነው፡- 
መካከለኛ ፍተሻ አይጎዳም፡- 
መፈተሽ ያለበት ነገር ነበር።
እንደ "የሚሰራ" ሥር መምረጥ ይችላሉ ማንኛውምትርጉም. ስሪቱን ያለ “cons” መውሰድ የተሻለ እንደሆነ ግልፅ ነው-
በነገራችን ላይ መርሳት ሳይሆን ሥሩን እናገኛለን፡- 
መልስ: 
የተገኙት ሥሮች እኩልታውን ያሟሉ እንደሆነ እንፈትሽ 
:
1) እንተኩ፡- 
እውነተኛ እኩልነት.
2) እንተካየድ፡ 
እውነተኛ እኩልነት.
ስለዚህ, መፍትሄው በትክክል ተገኝቷል.
አሁን ከተነጋገርነው ችግር በመነሳት፡-
ምሳሌ 8
የእኩልቱን ሥሮች ይፈልጉ
የካሬው ሥር መሆኑን ልብ ሊባል ይገባል ብቻ ውስብስብአጠቃላይ ቀመሩን በመጠቀም ቁጥሮች በቀላሉ ሊወጡ ይችላሉ። 
፣ የት 
, ስለዚህ ሁለቱም ዘዴዎች በናሙና ውስጥ ይታያሉ. ሁለተኛው ጠቃሚ አስተያየት የቋሚውን ሥር ቀድመው ማውጣት መፍትሄውን ቀላል አለማድረጉን ይመለከታል።
አሁን ዘና ማለት ይችላሉ - በዚህ ምሳሌ ውስጥ በትንሽ ፍርሃት ይርቃሉ :)
ምሳሌ 9
እኩልታውን ይፍቱ እና ያረጋግጡ
በትምህርቱ መጨረሻ ላይ መፍትሄዎች እና መልሶች.
የአንቀጹ የመጨረሻ አንቀጽ ለ
ውስብስብ ቁጥሮች ያለው የእኩልታዎች ስርዓት
ዘና እንበል እና... አትጨናነቅ =) ቀላሉን ጉዳይ እንመልከት - ሁለት የማይታወቁ የሁለት መስመር እኩልታዎች ስርዓት።
ምሳሌ 10
የእኩልታዎችን ስርዓት ይፍቱ. መልሱን በአልጀብራ እና ገላጭ ቅርጾች ያቅርቡ, በሥዕሉ ላይ ሥሮቹን ይሳሉ. 
መፍትሄ: ሁኔታው ራሱ ስርዓቱ ልዩ የሆነ መፍትሄ እንዳለው ይጠቁማል, ማለትም, የሚያረኩ ሁለት ቁጥሮችን መፈለግ አለብን ለእያንዳንዱየስርዓቱ እኩልነት.
ስርዓቱ በእውነቱ "በህፃናት" መንገድ ሊፈታ ይችላል (አንዱን ተለዋዋጭ ከሌላው አንፃር ይግለጹ)
ይሁን እንጂ ለመጠቀም የበለጠ አመቺ ነው የክሬመር ቀመሮች. እንቆጥረው ዋና መወሰኛስርዓቶች፡-
, ይህም ማለት ስርዓቱ ልዩ መፍትሄ አለው.
እደግመዋለሁ ጊዜዎን ወስደህ በተቻለ መጠን በዝርዝር ደረጃዎቹን መፃፍ የተሻለ ነው፡-
አሃዛዊውን እና አካፋዩን በምናባዊ አሃድ እናባዛለን እና 1ኛውን ስር እናገኛለን፡-
በተመሳሳይ፡- 
ተጓዳኝ የቀኝ እጆች ይገኛሉ, ወዘተ.
ስዕሉን እንሥራ- 
ሥሮቹን በገለፃ እንውክል። ይህንን ለማድረግ ሞጁሎቻቸውን እና ክርክሮችን ማግኘት ያስፈልግዎታል-
1) - የ “ሁለት” አርክታንጀንት “በደካማ” ይሰላል ፣ ስለዚህ እኛ እንደዚህ እንተወዋለን- 