የተለያየ መሠረት ያላቸው የሎጋሪዝም ምሳሌዎች. የሎጋሪዝም, ምሳሌዎች, መፍትሄዎች ስሌት

ሎጋሪዝምን ማጥናት እንቀጥላለን. በዚህ ጽሑፍ ውስጥ እንነጋገራለን ሎጋሪዝምን በማስላት ላይ, ይህ ሂደት ይባላል ሎጋሪዝም. በመጀመሪያ የሎጋሪዝምን ስሌት በፍቺ እንረዳለን። በመቀጠል ፣ የሎጋሪዝም እሴቶች ንብረቶቻቸውን በመጠቀም እንዴት እንደሚገኙ እንመልከት ። ከዚህ በኋላ ሎጋሪዝምን በማስላት ላይ እናተኩራለን በመጀመሪያ በተገለጹት የሌሎች ሎጋሪዝም እሴቶች። በመጨረሻም የሎጋሪዝም ሰንጠረዦችን እንዴት መጠቀም እንዳለብን እንማር። አጠቃላይ ንድፈ ሃሳቡ በዝርዝር መፍትሄዎች ምሳሌዎች ቀርቧል።

የገጽ አሰሳ።

ሎጋሪዝምን በትርጓሜ ማስላት

በጣም ቀላል በሆኑ ጉዳዮች በፍጥነት እና በቀላሉ ማከናወን ይቻላል ሎጋሪዝምን በፍቺ መፈለግ. ይህ ሂደት እንዴት እንደሚከሰት ጠለቅ ብለን እንመርምር።

ዋናው ነገር በ ሐ ቅጽ ውስጥ ለ ቁጥርን መወከል ነው, ከእሱ, በሎጋሪዝም ፍቺ, ቁጥሩ ሐ የሎጋሪዝም ዋጋ ነው. ማለትም፣ በትርጓሜ፣ የሚከተለው የእኩልነት ሰንሰለት ሎጋሪዝምን ከመፈለግ ጋር ይዛመዳል፡ log a b=log a a c =c።

ስለዚህ ሎጋሪዝምን በትርጉም ማስላት ቁጥሩ c = b ለማግኘት ይወርዳል እና ቁጥሩ ሐ ራሱ የሚፈለገው የሎጋሪዝም እሴት ነው።

በቀደሙት አንቀጾች ውስጥ ያለውን መረጃ ግምት ውስጥ በማስገባት በሎጋሪዝም ምልክት ስር ያለው ቁጥር በሎጋሪዝም መሠረት የተወሰነ ኃይል ሲሰጥ ወዲያውኑ ሎጋሪዝም ምን እንደሚመስል ሊያመለክቱ ይችላሉ - ከጠቋሚው ጋር እኩል ነው. ምሳሌዎችን መፍትሄዎችን እናሳይ።

ለምሳሌ.

ምዝግብ ማስታወሻ 2 2 -3 ን ይፈልጉ እና እንዲሁም የቁጥር e 5,3 የተፈጥሮ ሎጋሪዝም ያሰሉ.

መፍትሄ።

የሎጋሪዝም ትርጉም ወዲያውኑ ሎግ 2 2 -3 = -3 እንድንል ያስችለናል። በእርግጥ, በሎጋሪዝም ምልክት ስር ያለው ቁጥር ከመሠረቱ 2 እስከ -3 ኃይል ጋር እኩል ነው.

በተመሳሳይ, ሁለተኛውን ሎጋሪዝም እናገኛለን: lne 5.3 = 5.3.

መልስ፡-

መዝገብ 2 2 -3 = -3 እና lne 5,3 =5,3.

በሎጋሪዝም ምልክት ስር ያለው ቁጥር b እንደ ሎጋሪዝም መሠረት ኃይል ካልተገለጸ በሐ ቅጽ ላይ የቁጥር b ውክልና ማምጣት ይቻል እንደሆነ በጥንቃቄ መመልከት ያስፈልግዎታል። ብዙውን ጊዜ ይህ ውክልና በጣም ግልጽ ነው, በተለይም በሎጋሪዝም ምልክት ስር ያለው ቁጥር ከመሠረቱ ጋር እኩል ሲሆን ለ 1, ወይም 2, ወይም 3, ... ኃይል.

ለምሳሌ.

የሎጋሪዝም ሎጋሪዝምን አስላ 5 25 , እና .

መፍትሄ።

ለማየት ቀላል ነው 25=5 2, ይህ የመጀመሪያውን ሎጋሪዝም ለማስላት ያስችልዎታል: log 5 25=log 5 5 2 =2.

ሁለተኛውን ሎጋሪዝም ወደ ማስላት እንሂድ። ቁጥሩ እንደ 7 ኃይል ሊወከል ይችላል፡- (አስፈላጊ ከሆነ ይመልከቱ). ስለዚህም እ.ኤ.አ. .

ሦስተኛውን ሎጋሪዝም በሚከተለው ቅጽ እንደገና እንጽፈው። አሁን ያንን ማየት ይችላሉ ብለን መደምደም እንችላለን . ስለዚህ, በሎጋሪዝም ፍቺ .

በአጭሩ, መፍትሄው እንደሚከተለው ሊጻፍ ይችላል.

መልስ፡-

መዝገብ 5 25=2 እና .

በሎጋሪዝም ምልክት ስር በበቂ ሁኔታ ትልቅ የተፈጥሮ ቁጥር ሲኖር፣ ወደ ዋና ዋና ነገሮች ማድረጉ አይጎዳም። ብዙውን ጊዜ እንዲህ ዓይነቱን ቁጥር እንደ የሎጋሪዝም መሠረት አንዳንድ ኃይል ለመወከል ይረዳል, እና ስለዚህ ይህንን ሎጋሪዝም በፍቺ ያሰሉ.

ለምሳሌ.

የሎጋሪዝም ዋጋን ያግኙ.

መፍትሄ።

አንዳንድ የሎጋሪዝም ባህሪያት የሎጋሪዝም ዋጋን ወዲያውኑ እንዲገልጹ ያስችሉዎታል. እነዚህ ንብረቶች የአንድ ሎጋሪዝም ንብረት እና ከመሠረቱ ጋር እኩል የሆነ የቁጥር ሎጋሪዝም ንብረት ያካትታሉ፡ ሎግ 1 1=log a a 0 =0 እና log a=log a a 1 =1። ያም ማለት በሎጋሪዝም ምልክት ስር ቁጥር 1 ወይም ከሎጋሪዝም መሠረት ጋር እኩል የሆነ ቁጥር ሲኖር በእነዚህ ጉዳዮች ላይ ሎጋሪዝም ከ 0 እና 1 ጋር እኩል ነው.

ለምሳሌ.

ሎጋሪዝም እና ሎግ10 ከምን ጋር እኩል ናቸው?

መፍትሄ።

ጀምሮ , ከዚያም ከ ሎጋሪዝም ትርጉም ውስጥ ይከተላል .

በሁለተኛው ምሳሌ, በሎጋሪዝም ምልክት ስር ያለው ቁጥር 10 ከመሠረቱ ጋር ይጣጣማል, ስለዚህ የአስርዮሽ ሎጋሪዝም ከአንድ ጋር እኩል ነው, ማለትም lg10=lg10 1 = 1.

መልስ፡-

እና lg10=1 .

የሎጋሪዝምን ስሌት በትርጉም (ባለፈው አንቀጽ ላይ የተመለከትነው) የእኩልነት ሎግ አ a p =p አጠቃቀምን የሚያመለክት መሆኑን ልብ ይበሉ ይህም ከሎጋሪዝም ባህሪያት አንዱ ነው።

በተግባር ፣ በሎጋሪዝም ምልክት ስር ያለ ቁጥር እና የሎጋሪዝም መሠረት እንደ አንድ የተወሰነ ቁጥር ኃይል በቀላሉ ሲወከሉ ፣ ቀመሩን ለመጠቀም በጣም ምቹ ነው። , ይህም ከሎጋሪዝም ባህሪያት አንዱ ጋር ይዛመዳል. የዚህን ቀመር አጠቃቀም የሚያሳይ ሎጋሪዝም የማግኘት ምሳሌን እንመልከት።

ለምሳሌ.

ሎጋሪዝምን አስሉ.

መፍትሄ።

መልስ፡-

ከላይ ያልተጠቀሱ የሎጋሪዝም ባህሪያት በስሌቶች ውስጥም ጥቅም ላይ ይውላሉ, ግን ስለዚህ ጉዳይ በሚቀጥሉት አንቀጾች ውስጥ እንነጋገራለን.

በሌሎች የታወቁ ሎጋሪዝም ሎጋሪዝም ማግኘት

በዚህ አንቀጽ ውስጥ ያለው መረጃ ሲሰላ የሎጋሪዝም ባህሪያትን የመጠቀም ርዕስ ይቀጥላል. ነገር ግን እዚህ ላይ ዋናው ልዩነት የሎጋሪዝም ባህሪያት ዋናውን ሎጋሪዝምን በሌላ ሎጋሪዝም ለመግለጽ ጥቅም ላይ ይውላሉ, ዋጋው ይታወቃል. ለማብራራት አንድ ምሳሌ እንስጥ። ያንን ሎግ 2 3≈1.584963 አውቀናል እንበል፣ ከዚያም ለምሳሌ ሎግ 2 6 የሎጋሪዝምን ባህሪያት በመጠቀም ትንሽ ለውጥ በማድረግ ማግኘት እንችላለን። log 2 6=መዝገብ 2 (2 3)=መዝገብ 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

ከላይ ባለው ምሳሌ, የምርት ሎጋሪዝም ንብረትን ለመጠቀም በቂ ነበር. ይሁን እንጂ ብዙውን ጊዜ የመጀመሪያውን ሎጋሪዝም በተሰጡት በኩል ለማስላት የሎጋሪዝም ንብረቶችን ሰፊ የጦር መሣሪያ መጠቀም አስፈላጊ ነው.

ለምሳሌ.

ያንን መዝገብ 60 2=a እና log 60 5=b ካወቁ ከ27 እስከ 60 ያለውን ሎጋሪዝም አስሉት።

መፍትሄ።

ስለዚህ ሎግ 60 27 ማግኘት አለብን። 27 = 3 3 እና ዋናው ሎጋሪዝም በስልጣን ሎጋሪዝም ንብረት ምክንያት 3· ሎግ 60 3 ተብሎ ሊጻፍ እንደሚችል በቀላሉ ማየት ይቻላል።

አሁን ሎጋሪዝም 60 3 ን እንዴት መግለፅ እንደሚቻል እንይ ። ከመሠረቱ ጋር እኩል የሆነ ቁጥር ያለው የሎጋሪዝም ንብረት የእኩልነት መዝገብ 60 60=1 እንድንጽፍ ያስችለናል። በሌላ በኩል ሎግ 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2·ሎግ 60 2+log 60 3+log 60 5 . ስለዚህም 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. ስለዚህም እ.ኤ.አ. መዝገብ 60 3=1−2·ሎግ 60 2-ሎግ 60 5=1−2·a-b.

በመጨረሻም ዋናውን ሎጋሪዝም እናሰላለን፡ log 60 27=3 log 60 3= 3· (1-2·a-b)=3-6·a-3·b.

መልስ፡-

መዝገብ 60 27=3·(1−2·a-b)=3−6·a-3·b.

በተናጥል ፣ ወደ የቅጹ ሎጋሪዝም አዲስ መሠረት ለመሸጋገር የቀመርውን ትርጉም መጥቀስ ተገቢ ነው ። . ከሎጋሪዝም ከየትኛውም መሠረት ወደ ሎጋሪዝም በተወሰነ መሠረት እንዲንቀሳቀሱ ይፈቅድልዎታል ፣ እሴቶቹ የሚታወቁት ወይም እነሱን ለማግኘት የሚቻል ነው። ብዙውን ጊዜ ከመጀመሪያው ሎጋሪዝም የሽግግር ቀመሩን በመጠቀም ወደ ሎጋሪዝም ይንቀሳቀሳሉ ከመሠረቱ 2 ፣ e ወይም 10 በአንዱ ውስጥ ፣ ምክንያቱም ለእነዚህ መሰረቶች እሴቶቻቸውን በተወሰነ ደረጃ ለማስላት የሚያስችል የሎጋሪዝም ሰንጠረዦች አሉ ። ትክክለኛነት. በሚቀጥለው አንቀጽ ይህ እንዴት እንደሚደረግ እናሳያለን.

የሎጋሪዝም ጠረጴዛዎች እና አጠቃቀማቸው

ለ ሎጋሪዝም ዋጋዎች ግምታዊ ስሌት ጥቅም ላይ ሊውል ይችላል። የሎጋሪዝም ጠረጴዛዎች. በብዛት ጥቅም ላይ የዋለው ቤዝ 2 ሎጋሪዝም ሠንጠረዥ፣ የተፈጥሮ ሎጋሪዝም ጠረጴዛ እና የአስርዮሽ ሎጋሪዝም ሠንጠረዥ። በአስርዮሽ ቁጥር ስርዓት ውስጥ ሲሰሩ, በመሠረት አሥር ላይ የተመሰረተ የሎጋሪዝም ሰንጠረዥ ለመጠቀም ምቹ ነው. በእሱ እርዳታ የሎጋሪዝም እሴቶችን ለማግኘት እንማራለን.

የቀረበው ሰንጠረዥ ከ 1,000 እስከ 9,999 (ከሶስት አስርዮሽ ቦታዎች ጋር) የአስርዮሽ ሎጋሪዝም እሴቶችን ከአንድ አስር ሺህ ትክክለኛነት እንዲያገኙ ያስችልዎታል። አንድ የተወሰነ ምሳሌ በመጠቀም የአስርዮሽ ሎጋሪዝም ሰንጠረዥን በመጠቀም የሎጋሪዝምን ዋጋ የማግኘት መርህን እንመረምራለን - በዚህ መንገድ የበለጠ ግልፅ ነው። ሎግ1.256 እንፈልግ።

በአስርዮሽ ሎጋሪዝም ሠንጠረዥ ግራ አምድ ውስጥ የቁጥር 1.256 የመጀመሪያዎቹን ሁለት አሃዞች እናገኛለን ፣ ማለትም ፣ 1.2 እናገኛለን (ይህ ቁጥር ግልፅ ለማድረግ በሰማያዊ የተከበበ ነው)። የቁጥር 1.256 (አሃዝ 5) ሶስተኛው አሃዝ ከድርብ መስመር በስተግራ ባለው የመጀመሪያው ወይም የመጨረሻው መስመር ላይ ይገኛል (ይህ ቁጥር በቀይ የተከበበ ነው)። የዋናው ቁጥር 1.256 (አሃዝ 6) አራተኛው አሃዝ ከድርብ መስመር በስተቀኝ ባለው የመጀመሪያው ወይም የመጨረሻው መስመር ላይ ይገኛል (ይህ ቁጥር በአረንጓዴ መስመር የተከበበ ነው)። አሁን በሎጋሪዝም ሠንጠረዥ ሴሎች ውስጥ ያሉትን ቁጥሮች ምልክት በተደረገበት ረድፍ እና ምልክት የተደረገባቸው ዓምዶች መገናኛ ላይ እናገኛለን (እነዚህ ቁጥሮች በብርቱካናማ ውስጥ ይደምቃሉ). ምልክት የተደረገባቸው ቁጥሮች ድምር የሚፈለገውን የአስርዮሽ ሎጋሪዝም እሴት ወደ አራተኛው የአስርዮሽ ቦታ በትክክል ይሰጣል፣ ማለትም፣ log1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.

ከላይ ያለውን ሰንጠረዥ በመጠቀም ከአስርዮሽ ነጥብ በኋላ ከሶስት አሃዞች በላይ ያላቸውን የአስርዮሽ ሎጋሪዝም ቁጥሮች እንዲሁም ከ 1 እስከ 9.999 ካለው ክልል በላይ የሆኑትን የአስርዮሽ ሎጋሪዝም እሴቶችን ማግኘት ይቻላል? አዎ፣ ትችላለህ። ይህ እንዴት እንደሚደረግ በምሳሌ እናሳይ።

lg102.76332 እናሰላ። በመጀመሪያ መጻፍ ያስፈልግዎታል ቁጥር በመደበኛ ቅፅ: 102.76332=1.0276332·10 2. ከዚህ በኋላ ማንቲሳ ወደ ሶስተኛው የአስርዮሽ ቦታ መዞር አለበት, እኛ አለን 1.0276332 10 2 ≈1.028 10 2, የመጀመሪያው የአስርዮሽ ሎጋሪዝም ከተገኘው ቁጥር ሎጋሪዝም ጋር በግምት እኩል ነው, ማለትም, log102.76332≈lg1.028·10 2 እንወስዳለን. አሁን የሎጋሪዝምን ባህሪያት እንተገብራለን- lg1.028·10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. በመጨረሻም የሎጋሪዝም lg1.028 እሴት ከአስርዮሽ ሎጋሪዝም lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012 ሰንጠረዥ ላይ እናገኛለን። በውጤቱም ፣ ሎጋሪዝምን የማስላት አጠቃላይ ሂደት ይህንን ይመስላል። log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1.028+lg10 2 = log1.028+2≈0.012+2=2.012.

ለማጠቃለል ያህል የአስርዮሽ ሎጋሪዝም ሰንጠረዥን በመጠቀም የማንኛውም ሎጋሪዝም ግምታዊ ዋጋ ማስላት እንደሚችሉ ልብ ሊባል ይገባል። ይህንን ለማድረግ ወደ አስርዮሽ ሎጋሪዝም ለመሄድ የሽግግር ቀመሩን መጠቀም በቂ ነው, እሴቶቻቸውን በሰንጠረዡ ውስጥ ይፈልጉ እና የተቀሩትን ስሌቶች ለማከናወን.

ለምሳሌ, ሎግ 2 3 እንሰላለን. ወደ ሎጋሪዝም አዲስ መሠረት ለመሸጋገር በቀመርው መሠረት እኛ አለን . ከአስርዮሽ ሎጋሪዝም ሰንጠረዥ ሎግ3≈0.4771 እና log2≈0.3010 እናገኛለን። ስለዚህም .

መጽሃፍ ቅዱስ።

Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. እና ሌሎችም አልጀብራ እና የትንተና አጀማመር፡ የአጠቃላይ ትምህርት ተቋማት ከ10-11ኛ ክፍል የመማሪያ መጽሀፍ።
Gusev V.A., Mordkovich A.G. ሒሳብ (የቴክኒክ ትምህርት ቤቶች ለሚገቡ ሰዎች መመሪያ)።

ከትርጓሜው ይከተላል። እና ስለዚህ የቁጥሩ ሎጋሪዝም ለበዛላይ ተመስርቶ ሀቁጥር መነሳት ያለበት እንደ አርቢ ይገለጻል። ሀቁጥሩን ለማግኘት ለ(ሎጋሪዝም የሚኖረው ለአዎንታዊ ቁጥሮች ብቻ ነው)።

ከዚህ ቀመር ውስጥ ስሌቱ ይከተላል x=log a b, እኩልታውን ከመፍታት ጋር እኩል ነው a x = b.ለምሳሌ, መዝገብ 2 8 = 3ምክንያቱም 8 = 2 3 . የሎጋሪዝም አጻጻፍ ከተረጋገጠ ማረጋገጥ ይቻላል b=a c, ከዚያም የቁጥሩ ሎጋሪዝም ለበዛላይ ተመስርቶ ሀእኩል ነው። ጋር. እንዲሁም የሎጋሪዝም ርዕስ ከቁጥር ሃይሎች ርዕስ ጋር በቅርበት የተዛመደ መሆኑ ግልጽ ነው።

በሎጋሪዝም, እንደ ማንኛውም ቁጥሮች, ማድረግ ይችላሉ የመደመር, የመቀነስ ስራዎችእና በተቻለ መጠን መለወጥ. ነገር ግን ሎጋሪዝም ሙሉ በሙሉ ተራ ቁጥሮች ስላልሆኑ የራሳቸው ልዩ ደንቦች እዚህ ይሠራሉ, እነሱም ይጠራሉ ዋና ባህሪያት.

ሎጋሪዝምን መጨመር እና መቀነስ።

ሁለት ሎጋሪዝምን ከተመሳሳይ መሠረት እንውሰድ፡- መዝገብ a xእና log a y. ከዚያም የመደመር እና የመቀነስ ስራዎችን ማከናወን ይቻላል.

መዝገብ x+ log a y= log a (xy);

log a x - log a y = log a (x: y)።

ሎግ ሀ(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = መዝገብ a x 1 + መዝገብ a x 2 + መዝገብ a x 3 + ... + መዝገብ a x k.

ከ ሎጋሪዝም ኮቲየንት ቲዎረምአንድ ተጨማሪ የሎጋሪዝም ንብረት ሊገኝ ይችላል. መዝገቡ የተለመደ እውቀት ነው። ሀ 1= 0 ስለዚህ

መዝገብ ሀ 1 /ለ= መዝገብ ሀ 1 - ሎግ ሀ ለ= - መዝገብ ሀ ለ.

ይህ ማለት እኩልነት አለ፡-

log a 1 / b = - log a b.

የሁለት ተገላቢጦሽ ቁጥሮች ሎጋሪዝምበተመሳሳይ ምክንያት በምልክት ብቻ እርስ በርስ ይለያያሉ. ስለዚህ፡-

መዝገብ 3 9= - ሎግ 3 1/9; መዝገብ 5 1/125 = -ሎግ 5 125.

አሁን ሎጋሪዝምን የያዙ አገላለጾችን ከአጠቃላይ እይታ ወደ መለወጥ እንመለከታለን። እዚህ ላይ የሎጋሪዝም ባህሪያትን በመጠቀም የገለጻዎችን መለወጥ ብቻ ሳይሆን የአገላለጾችን ለውጥ ከአጠቃላይ ሎጋሪዝም ጋር እንመረምራለን ፣ ይህም ሎጋሪዝምን ብቻ ሳይሆን ኃይልን ፣ ክፍልፋዮችን ፣ ሥሮችን ፣ ወዘተ. እንደተለመደው ሁሉንም እቃዎች በተለመደው ምሳሌዎች እና የመፍትሄዎች ዝርዝር መግለጫዎችን እናቀርባለን.

የገጽ አሰሳ።

ከሎጋሪዝም እና ሎጋሪዝም መግለጫዎች ጋር መግለጫዎች

ክፍልፋዮች ጋር ነገሮችን ማድረግ

በቀደመው አንቀፅ ውስጥ ሎጋሪዝምን ከያዙ ነጠላ ክፍልፋዮች ጋር የሚከናወኑትን መሰረታዊ ለውጦች መርምረናል። እነዚህ ለውጦች፣ እርግጥ ነው፣ ይበልጥ የተወሳሰበ አገላለጽ አካል በሆነው በእያንዳንዱ ነጠላ ክፍልፋይ ሊከናወን ይችላል፣ ለምሳሌ ድምርን፣ ልዩነትን፣ ምርትን እና ተመሳሳይ ክፍልፋዮችን የሚወክል። ነገር ግን ከግለሰብ ክፍልፋዮች ጋር አብሮ ከመሥራት በተጨማሪ የዚህ አይነት መግለጫዎችን መለወጥ ብዙውን ጊዜ ተጓዳኝ ስራዎችን ከክፍልፋዮች ጋር ማከናወንን ያካትታል። በመቀጠል እነዚህ ድርጊቶች የተፈጸሙባቸውን ደንቦች እንመለከታለን.

ከ 5 ኛ -6 ኛ ክፍል ጀምሮ የሚከናወኑባቸውን ደንቦች አውቀናል. በጽሁፉ ውስጥ ከክፍልፋዮች ጋር አጠቃላይ እይታእነዚህን ደንቦች ከተራ ክፍልፋዮች ወደ አጠቃላይ ቅጽ A/B ክፍልፋዮች አራዝመናል፣ ሀ እና ለ አንዳንድ አሃዛዊ፣ ቀጥተኛ ወይም ተለዋዋጭ መግለጫዎች ሲሆኑ እና B ከዜሮ ጋር እኩል አይደሉም። ከሎጋሪዝም ጋር ክፍልፋዮች የአጠቃላይ ክፍልፋዮች ልዩ ጉዳዮች እንደሆኑ ግልጽ ነው። እናም በዚህ ረገድ, በኖታዎቻቸው ውስጥ ሎጋሪዝምን የሚያካትቱ ክፍልፋዮች ያላቸው ክዋኔዎች በተመሳሳይ ደንቦች መሰረት እንደሚከናወኑ ግልጽ ነው. ይኸውም፡-

ሁለት ክፍልፋዮችን ከተመሳሳዩ ክፍሎች ጋር ለመጨመር ወይም ለመቀነስ ፣በዚያው መሠረት ቁጥሮችን ማከል ወይም መቀነስ አለብዎት ፣ነገር ግን መለያውን አንድ አይነት ይተዉት።
ሁለት ክፍልፋዮችን ከተለያዩ ክፍሎች ጋር ለመጨመር ወይም ለመቀነስ, ወደ አንድ የጋራ መለያ ማምጣት እና በቀድሞው ህግ መሰረት ተገቢውን እርምጃዎች ማከናወን ያስፈልግዎታል.
ሁለት ክፍልፋዮችን ለማባዛት ፣ የቁጥር ክፍልፋዮች የዋናው ክፍልፋዮች ቁጥሮች ውጤት የሆነ ክፍልፋዮችን መፃፍ ያስፈልግዎታል ፣ እና መለያው የዲኖሚነተሮች ውጤት ነው።
አንድን ክፍልፋይ ወደ ክፍልፋይ ለመከፋፈል፣ የሚከፋፈለውን ክፍልፋይ በአከፋፋዩ ተገላቢጦሽ ክፍልፋይ፣ ማለትም፣ በቁጥር እና በክፍል ተቀይሯል ክፍልፋይ ማባዛት ያስፈልግዎታል።

ሎጋሪዝምን ከያዙ ክፍልፋዮች ጋር ክዋኔዎችን እንዴት ማከናወን እንደሚቻል አንዳንድ ምሳሌዎች እዚህ አሉ።

ለምሳሌ.

ሎጋሪዝምን ከያዙ ክፍልፋዮች ጋር ክዋኔዎችን ያከናውኑ፡ a) , b) ፣ ቪ) ፣ ሰ) .

መፍትሄ።

ሀ) የተጨመሩት ክፍልፋዮች መለያዎች ግልጽ ናቸው. ስለዚህ ክፍልፋዮችን ከተመሳሳዩ ክፍሎች ጋር ለመጨመር ደንቡ መሠረት ፣ ቁጥሮችን እንጨምራለን እና መለያውን አንድ አይነት እንተወዋለን። .

ለ) እዚህ መለያዎቹ የተለያዩ ናቸው. ስለዚህ, መጀመሪያ ያስፈልግዎታል ክፍልፋዮችን ወደ ተመሳሳይ መጠን ይለውጡ. በእኛ ሁኔታ, መለያዎቹ ቀድሞውኑ በምርቶች መልክ ቀርበዋል, እና እኛ ማድረግ ያለብን የመጀመሪያውን ክፍልፋይ መለያ ወስደን ከሁለተኛው ክፍልፋይ ውስጥ የጎደሉትን ነገሮች በእሱ ላይ መጨመር ነው. በዚህ መንገድ የቅጹን የጋራ መለያ እናገኛለን . በዚህ ሁኔታ፣ የተቀነሱ ክፍልፋዮች በሎጋሪዝም መልክ እና x 2 ·(x+1) በሚለው አገላለጽ ተጨማሪ ነገሮችን በመጠቀም ወደ አንድ የጋራ መለያ ይደርሳሉ። ከዚህ በኋላ, የሚቀረው ክፍልፋዮችን ከተመሳሳዩ ክፍሎች ጋር መቀነስ ብቻ ነው, ይህም አስቸጋሪ አይደለም.

ስለዚህ መፍትሄው፡-

ሐ) ክፍልፋዮችን የማባዛት ውጤት ክፍልፋይ እንደሆነ ይታወቃል፣ የቁጥር አሃዛዊው ደግሞ የቁጥር ሰጪዎች ውጤት ነው፣ መለያውም የዲኖሚነተሮች ውጤት ነው፣ ስለዚህም

እንደሚችሉ ለማየት ቀላል ነው። ክፍልፋይ በመቀነስበሁለት እና በአስርዮሽ ሎጋሪዝም, በውጤቱም እኛ አለን .

መ) ክፍልፋዮችን ከመከፋፈል ወደ ማባዛት እንሸጋገራለን, የአከፋፋዩን ክፍልፋይ በተገላቢጦሽ ክፍልፋዮች በመተካት. ስለዚህ

የተገኘው ክፍልፋይ አሃዛዊ እንደ ሊወከል ይችላል። , ከየትኛው የቁጥር እና መለያው የጋራ ምክንያት በግልጽ የሚታይ - ፋክተር x, ክፍልፋዩን በእሱ መቀነስ ይችላሉ:

መልስ፡-

ሀ) ፣ ለ) ፣ ቪ) ፣ ሰ) .

ከክፍልፋዮች ጋር ክዋኔዎች የተከናወኑትን ቅደም ተከተል ከግምት ውስጥ በማስገባት እንደሚከናወኑ መታወስ አለበት: በመጀመሪያ, ማባዛትና ማካፈል, ከዚያም መደመር እና መቀነስ, እና ቅንፍ ካለ, ከዚያም በቅንፍ ውስጥ ያሉ ድርጊቶች መጀመሪያ ይከናወናሉ.

ለምሳሌ.

ነገሮችን በክፍልፋዮች ያድርጉ .

መፍትሄ።

በመጀመሪያ ክፍልፋዮችን በቅንፍ ውስጥ እንጨምራለን ፣ ከዚያ በኋላ እናባዛለን-

መልስ፡-

በዚህ ጊዜ፣ ግልጽ በሆነ መልኩ ሶስት ጮክ ብሎ መናገር ይቀራል፣ ግን በተመሳሳይ ጊዜ አስፈላጊ ነጥቦች፡-

የሎጋሪዝም ባህሪያትን በመጠቀም መግለጫዎችን መለወጥ

ብዙውን ጊዜ አገላለጾችን ከሎጋሪዝም ጋር መቀየር የሎጋሪዝምን ትርጉም የሚገልጹ ማንነቶችን መጠቀምን ያካትታል።

የመፍትሄ ሃሳብ ያላቸው ተግባራት የሎጋሪዝም መግለጫዎችን መለወጥ, በተዋሃደ የግዛት ፈተና ላይ በጣም የተለመዱ ናቸው.

እነሱን በተሳካ ሁኔታ በትንሹ ጊዜ ለመቋቋም, ከመሠረታዊ የሎጋሪዝም መለያዎች በተጨማሪ, አንዳንድ ተጨማሪ ቀመሮችን ማወቅ እና በትክክል መጠቀም አለብዎት.

ይህ ነው፡ ሎግ a b = b፣ where a, b> 0, a ≠ 1 (ቀጥታ ከሎጋሪዝም ትርጉም ይከተላል)።

log a b = log c b / log c a or log a b = 1/log b a
የት a, b, c > 0; a, c ≠ 1.

log a m b n = (m/n) log |a| |ለ|
የት a, b> 0, a ≠ 1, m, n Є R, n ≠ 0.

ሎግ c b = b log c a
የት a, b, c > 0 እና a, b, c ≠ 1

የአራተኛውን እኩልነት ትክክለኛነት ለማሳየት የግራ እና የቀኝ ጎኖቹን ሎጋሪዝም እንውሰድ ሀ. Log a (ሎግ ከ b) = log a (b log with a) ወይም ሎግ ከ b = log with a · log a b; log c b = log c a · (ሎግ c b / log c a); log with b = log with b.

የሎጋሪዝምን እኩልነት አረጋግጠናል, ይህም ማለት በሎጋሪዝም ስር ያሉት መግለጫዎችም እኩል ናቸው. ፎርሙላ 4 ተረጋግጧል.

ምሳሌ 1.

አስላ 81 ሎግ 27 5 log 5 4 .

መፍትሄ።

81 = 3 4 , 27 = 3 3 .

log 27 5 = 1/3 log 3 5, log 5 4 = log 3 4 / log 3 5. ስለዚህ

log 27 5 log 5 4 = 1/3 log 3 5 (log 3 4 / log 3 5) = 1/3 log 3 4.

ከዚያም 81 ሎግ 27 5 log 5 4 = (3 4) 1/3 log 3 4 = (3 log 3 4) 4/3 = (4) 4/3 = 4 3 √4.

የሚከተለውን ተግባር እራስዎ ማጠናቀቅ ይችላሉ.

አስላ (8 log 2 3 + 3 1/ log 2 3) - log 0.2 5.

እንደ ፍንጭ, 0.2 = 1/5 = 5 -1; መዝገብ 0.2 5 = -1.

መልስ፡ 5.

ምሳሌ 2.

አስላ (√11) መዝገብ √3 9- መዝገብ 121 81 .

መፍትሄ።

መግለጫዎቹን እንቀይር፡ 9 = 3 2, √3 = 3 1/2, log √3 9 = 4,

121 = 11 2, 81 = 3 4, log 121 81 = 2 log 11 3 (ቀመር 3 ጥቅም ላይ ውሏል).

ከዚያም (√11) መዝገብ √3 9- log 121 81 = (11 1/2) 4-2 log 11 3 = (11) 2- log 11 3 = 11 2 / (11) log 11 3 = 11 2 / ( 11 መዝገብ 11 3) = 121/3.

ምሳሌ 3.

መዝገብ 2 24 / log 96 2 - log 2 192 / log 12 2 አስላ።

መፍትሄ።

በምሳሌው ውስጥ ያሉትን ሎጋሪዝም በሎጋሪዝም በመሠረት 2 እንተካለን።

log 96 2 = 1/ log 2 96 = 1/ log 2 (2 5 3) = 1/ (ሎግ 2 2 5 + log 2 3) = 1/ (5 + log 2 3);

መዝገብ 2 192 = መዝገብ 2 (2 6 3) = (መዝገብ 2 2 6 + log 2 3) = (6 + log 2 3);

log 2 24 = log 2 (2 3 3) = (መዝገብ 2 2 3 + log 2 3) = (3 + log 2 3);

log 12 2 = 1/ log 2 12 = 1/ log 2 (2 2 3) = 1/ (ሎግ 2 2 2 + log 2 3) = 1/(2 + log 2 3)።

ከዚያም መዝገብ 2 24 / log 96 2 – log 2 192 / log 12 2 = (3 + log 2 3) / (1/(5 + log 2 3)) – ((6 + log 2 3) / (1/) 2 + መዝገብ 2 3)) =

= (3 + log 2 3) · (5 + log 2 3) - (6 + log 2 3) (2 + log 2 3).

ቅንፎችን ከፍተን ተመሳሳይ ቃላትን ካመጣን በኋላ, ቁጥር 3 እናገኛለን.

(3 + n) · (5 + n) - (6 + n) (2 + n)).

መልስ፡ 3.

የሚከተለውን ተግባር እራስዎ ማጠናቀቅ ይችላሉ-

አስላ (ሎግ 3 4 + መዝገብ 4 3 + 2) መዝገብ 3 16 log 2 144 3.

እዚህ ወደ 3 ሎጋሪዝም መሸጋገር እና ብዙ ቁጥሮችን ወደ ዋና ምክንያቶች መለወጥ አስፈላጊ ነው።

መልስ፡1/2

ምሳሌ 4.

የተሰጠው ሶስት ቁጥሮች A = 1 / (ሎግ 3 0.5), B = 1 / (ሎግ 0.5 3), C = ሎግ 0.5 12 - ሎግ 0.5 3. በከፍታ ቅደም ተከተል ያዘጋጃቸው.

መፍትሄ።

ቁጥሮች A = 1 / (ሎግ 3 0.5) = ሎግ 0.5 3 ን እንለውጣለን; C = ሎግ 0.5 12 - ሎግ 0.5 3 = ሎግ 0.5 12/3 = ሎግ 0.5 4 = -2.

እናወዳድራቸው

log 0.5 3> ሎግ 0.5 4 = -2 እና ሎግ 0.5 3< -1 = log 0,5 2, так как функция у = log 0,5 х – убывающая.

ወይም 2< log 0,5 3 < -1. Тогда -1 < 1/(log 0,5 3) < -1/2.

መልስ። ስለዚህ ቁጥሮቹን የማስቀመጥ ቅደም ተከተል፡ C; አ; ውስጥ

ምሳሌ 5.

በክፍተቱ ውስጥ ስንት ኢንቲጀሮች አሉ (ሎግ 3 1/16፤ ሎግ 2 6 48)።

መፍትሄ።

የቁጥር 3 ቁጥር 1/16 በየትኛው ሃይሎች መካከል እንደሚገኝ እንወስን። 1/27 እናገኛለን< 1 / 16 < 1 / 9 .

ተግባር y = ሎግ 3 x እየጨመረ ስለሆነ ከዚያም መዝገብ 3 (1/27)< log 3 (1 / 16) < log 3 (1 / 9); -3 < log 3 (1 / 16) < -2.

log 6 48 = log 6 (36 4/3) = log 6 36 + log 6 (4/3) = 2 + log 6 (4/3)። ሎግ 6 (4/3) እና 1/5ን እናወዳድር። ለዚህ ደግሞ ቁጥሮችን 4/3 እና 6 1/5 እናነፃፅራለን. ሁለቱንም ቁጥሮች ወደ 5 ኛ ኃይል እናሳድግ. እናገኛለን (4/3) 5 = 1024/243 = 4 52/243< 6. Следовательно,

መዝገብ 6 (4/3)< 1 / 5 . 2 < log 6 48 < 2 1 / 5 . Числа, входящие в двойное неравенство, положительные. Их можно возводить в квадрат. Знаки неравенства при этом не изменятся. Тогда 4 < log 6 2 48 < 4 21 / 25.

ስለዚህ, ክፍተቱ (ሎግ 3 1/16; ሎግ 6 48) ክፍተቱን ያካትታል [-2; 4] እና ኢንቲጀሮች -2 በእሱ ላይ ተቀምጠዋል; -1; 0; 1; 2; 3; 4.

መልስ፡- 7 ኢንቲጀር።

ምሳሌ 6.

3 lglg 2/ lg 3 - lg20 አስሉ.

መፍትሄ።

3 lg lg 2/ lg 3 = (3 1/ lg3) lg lg 2 = (3 lо g 3 10) lg lg 2 = 10 lg lg 2 = lg2.

ከዚያም 3 lglg2 / lg3 - lg 20 = lg 2 - lg 20 = lg 0.1 = -1.

መልስ፡-1

ምሳሌ 7.

ሎግ 2 (√3 + 1) + መዝገብ 2 (√6 – 2) = ሀ. መዝገብ 2 (√3 –1) + መዝገብ 2 (√6 + 2) እንደሚገኝ ይታወቃል።

መፍትሄ።

ቁጥሮች (√3 + 1) እና (√3 - 1); (√6 – 2) እና (√6 + 2) የተዋሃዱ ናቸው።

የሚከተለውን የአገላለጽ ለውጥ እናድርግ

√3 - 1 = (√3 - 1) · (√3 + 1)) / (√3 + 1) = 2/ (√3 + 1);

√6 + 2 = (√6 + 2) · (√6 - 2)) / (√6 - 2) = 2/ (√6 - 2)

ከዚያም መዝገብ 2 (√3 – 1) + መዝገብ 2 (√6 + 2) = መዝገብ 2 (2/(√3 + 1)) + መዝገብ 2 (2/ (√6 – 2)) =

መዝገብ 2 2 - መዝገብ 2 (√3 + 1) + መዝገብ 2 2 - መዝገብ 2 (√6 - 2) = 1 - መዝገብ 2 (√3 + 1) + 1 - መዝገብ 2 (√6 - 2) =

2 - መዝገብ 2 (√3 + 1) - መዝገብ 2 (√6 - 2) = 2 - ሀ.

መልስ፡- 2-A.

ምሳሌ 8.

የገለጻውን ግምታዊ ዋጋ አቅልለው ይፈልጉ (ሎግ 3 2 መዝገብ 4 3 ሎግ 5 4 መዝገብ 6 5 ... መዝገብ 10 9።

መፍትሄ።

ሁሉንም ሎጋሪዝም ወደ አንድ የጋራ መሠረት 10 እንቀንስ።

(log 3 2 log 4 3 log 5 4 log 6 5 ... log 10 9 = (lg 2 / lg 3) (lg 3 / lg 4) (lg 4 / lg 5) (lg 5 / lg 6) · … · (lg 8 / lg 9) · lg 9 = lg 2 ≈ 0.3010 (የ lg 2 ግምታዊ ዋጋ በሠንጠረዥ, ስላይድ ደንብ ወይም ካልኩሌተር በመጠቀም ሊገኝ ይችላል).

መልስ፡ 0.3010.

ምሳሌ 9.

ሎግ አስላ 2 b 3 √(a 11 b -3) log √ a b 3 = 1. (በዚህ ምሳሌ 2 b 3 የሎጋሪዝም መሰረት ነው)።

መፍትሄ።

ሎግ √ a b 3 = 1 ከሆነ 3/(0.5 log a b = 1. እና log a b = 1/6)።

ከዚያም 2 b 3√(a 11 b -3) = 1/2 log a 2 b 3 (a 11 b -3) = log a (a 11 b -3) / (2log a (a 2 b 3) ይመዝገቡ። ) = (log a 11 + log a b -3) / (2 (log a 2 + log a b 3)) = (11 – 3log a b) / (2(2 + 3log a b)) ያንን መዝገብ a b = 1/ ግምት ውስጥ በማስገባት። 6 እናገኛለን (11 - 3 1/6) / (2 (2 + 3 1/6)) = 10.5/5 = 2.1.

መልስ፡ 2.1.

የሚከተለውን ተግባር እራስዎ ማጠናቀቅ ይችላሉ-

ሎግ አስሉ √3 6 √2.1 ሎግ 0.7 ከሆነ 27 = a.

መልስ፡ (3 + ሀ) / (3ሀ)።

ምሳሌ 10.

አስላ 6.5 4/ log 3 169 · 3 1/ log 4 13 + log125.

መፍትሄ።

6.5 4/ log 3 169 · 3 1/ log 4 13 + log 125 = (13/2) 4/2 log 3 13 · 3 2/ log 2 13 + 2log 5 5 3 = (13/2) 2 log 13 3 3 2 መዝገብ 13 2 + 6 = (13 መዝገብ 13 3/2 መዝገብ 13 3) 2 (3 log 13 2) 2 + 6 = (3/2 log 13 3) 2 (3 log 13 2) 2 + 6 = 3 2 / (2 መዝገብ 13 3) 2) · (2 መዝገብ 13 3) 2 + 6።

(2 መዝገብ 13 3 = 3 መዝገብ 13 2 (ቀመር 4))

9 + 6 = 15 እናገኛለን.

መልስ፡ 15.

አሁንም ጥያቄዎች አሉዎት? የሎጋሪዝም አገላለጽ ዋጋን እንዴት ማግኘት እንደሚችሉ አታውቁም?
ከአስተማሪ እርዳታ ለማግኘት -.
የመጀመሪያው ትምህርት ነፃ ነው!

blog.site፣ ቁሳቁሱን በሙሉ ወይም በከፊል ሲገለብጥ፣ ወደ ዋናው ምንጭ ማገናኛ ያስፈልጋል።

ዛሬ እንነጋገራለን ሎጋሪዝም ቀመሮችእና አመላካች እንሰጣለን የመፍትሄ ምሳሌዎች.

እነሱ ራሳቸው እንደ ሎጋሪዝም መሰረታዊ ባህሪያት የመፍትሄ ንድፎችን ያመለክታሉ. ለመፍታት የሎጋሪዝም ቀመሮችን ከመተግበሩ በፊት፣ ሁሉንም ንብረቶች እናስታውስዎ፡-

አሁን, በእነዚህ ቀመሮች (ንብረቶች) ላይ በመመስረት, እናሳያለን ሎጋሪዝምን የመፍታት ምሳሌዎች.

በቀመር ላይ ተመስርተው ሎጋሪዝምን የመፍታት ምሳሌዎች።

ሎጋሪዝምአወንታዊ ቁጥር ለ መሠረት ሀ (በሎግ ሀ ለ የተገለፀው) b > 0፣ a > 0 እና 1 ያለው ለ ለማግኘት መነሳት ያለበት አርቢ ነው።

በትርጉሙ መሰረት, መዝገብ a b = x, እሱም ከ x = b ጋር እኩል ነው, ስለዚህ a x = x ይመዝገቡ.

ሎጋሪዝምምሳሌዎች፡-

log 2 8 = 3, ምክንያቱም 2 3 = 8

log 7 49 = 2, ምክንያቱም 7 2 = 49

መዝገብ 5 1/5 = -1, ምክንያቱም 5 -1 = 1/5

የአስርዮሽ ሎጋሪዝም- ይህ ተራ ሎጋሪዝም ነው, መሰረቱ 10. እንደ lg ይገለጻል.

መዝገብ 10 100 = 2, ምክንያቱም 10 2 = 100

ተፈጥሯዊ ሎጋሪዝም- እንዲሁም ተራ ሎጋሪዝም, ሎጋሪዝም, ነገር ግን ከመሠረቱ ጋር e (e = 2.71828 ... - ምክንያታዊ ያልሆነ ቁጥር). እንደ ln.

የሎጋሪዝም ቀመሮችን ወይም ባህሪያትን ማስታወስ ጠቃሚ ነው, ምክንያቱም ሎጋሪዝም, ሎጋሪዝም እኩልታዎችን እና እኩልነትን በሚፈታበት ጊዜ በኋላ ያስፈልገናል. እያንዳንዱን ቀመር እንደገና በምሳሌዎች እንስራ።

መሰረታዊ የሎጋሪዝም መለያ
ሎግ a b = b
8 2ሎግ 8 3 = (8 2ሎግ 8 3) 2 = 3 2 = 9
የምርቱ ሎጋሪዝም ከሎጋሪዝም ድምር ጋር እኩል ነው።
log a (bc) = log a b + log a c
log 3 8.1 + log 3 10 = log 3 (8.1*10) = መዝገብ 3 81 = 4
የክዋኔው ሎጋሪዝም ከሎጋሪዝም ልዩነት ጋር እኩል ነው
log a (b/c) = log a b - log a c
9 ሎግ 5 50/9 ሎግ 5 2 = 9 መዝገብ 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81
የሎጋሪዝም ቁጥር ኃይል እና የሎጋሪዝም መሠረት ባህሪዎች
የሎጋሪዝም ቁጥር ሎጋሪዝም a b m = mlog a b

የሎጋሪዝም ሎግ መሠረት ገላጭ a n b =1/n*log a b

log a n b m = m/n * log a b፣

m = n ከሆነ, log a n b n = log a b እናገኛለን

log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3
ወደ አዲስ መሠረት ሽግግር
log a b = log c b/log c a,
c = b ከሆነ ሎግ b b = 1 እናገኛለን

ከዚያም መዝገብ a b = 1/log b a

ሎግ 0.8 3 * መዝገብ 3 1.25 = ሎግ 0.8 3 * ሎግ 0.8 1.25 / ሎግ 0.8 3 = ሎግ 0.8 1.25 = መዝገብ 4/5 5/4 = -1

እንደሚመለከቱት, የሎጋሪዝም ቀመሮች የሚመስሉትን ያህል ውስብስብ አይደሉም. አሁን፣ ሎጋሪዝምን የመፍታት ምሳሌዎችን ከተመለከትን፣ ወደ ሎጋሪዝም እኩልታዎች መሄድ እንችላለን። በአንቀጹ ውስጥ የሎጋሪዝም እኩልታዎችን የመፍታት ምሳሌዎችን በበለጠ ዝርዝር እንመለከታለን ። እንዳያመልጥዎ!

አሁንም ስለ መፍትሄው ጥያቄዎች ካሉዎት, በአንቀጹ ላይ በአስተያየቶች ውስጥ ይፃፉ.

ማሳሰቢያ፡ የተለየ የትምህርት ክፍል ወስደን እንደ አማራጭ ወደ ውጭ አገር ለመማር ወስነናል።