በተዘዋዋሪ የተገለጹ የተግባር ተዋጽኦዎችን ለማግኘት እንማራለን፣ ማለትም፣ በተወሰኑ እኩልታዎች ተለዋዋጮችን በማገናኘት የተገለጹ። xእና y. በተዘዋዋሪ የተገለጹ ተግባራት ምሳሌዎች፡-
,
,
በተዘዋዋሪ የተገለጹ የተግባር ውጤቶች ወይም የተደበቁ ተግባራት ተዋጽኦዎች በቀላሉ ይገኛሉ። አሁን ተጓዳኝ ህግን እና ምሳሌን እንይ, እና ይህ ለምን በአጠቃላይ እንደሚያስፈልግ እንወቅ.
በተዘዋዋሪ የተገለጸውን የተግባር አመጣጥ ለማግኘት፣ ሁለቱንም የእኩልታ ጎኖች ከ x ጋር መለየት ያስፈልግዎታል። እነዚያ X ብቻ የሚገኙባቸው ቃላቶች ከ X ወደ ተለመደው የተግባር አመጣጥ ይቀየራሉ። እና ጨዋታው የ X ተግባር ስለሆነ ከጨዋታው ጋር ያሉት ውሎች ውስብስብ ተግባርን ለመለየት ደንቡን በመጠቀም መለየት አለባቸው። በቀላል አነጋገር ከ x ጋር ያለው የውጤት አመጣጥ የሚከተለውን ውጤት ያስገኛል፡ የተግባርን አመጣጥ ከ y በመነጨው ተባዝቷል። ለምሳሌ፣ የቃሉ ተዋፅኦ እንደ ይፃፋል፣ የቃሉ ተዋፅኦ ደግሞ እንደ ይፃፋል። በመቀጠል ፣ ከዚህ ሁሉ ይህንን “የጨዋታ ምት” መግለፅ ያስፈልግዎታል እና የተፈለገውን ተግባር በተዘዋዋሪ መንገድ ማግኘት ይችላሉ። ይህንን በምሳሌ እንመልከት።
ምሳሌ 1.
መፍትሄ። እኔ የ x ተግባር መሆኔን በማሰብ የእኩልቱን ሁለቱንም ጎኖች ከ x ጋር እንለያቸዋለን፡
በስራው ውስጥ የሚፈለገውን አመጣጥ ከዚህ እናገኛለን-
አሁን አንድ ነገር ስለ አሻሚው የተግባር ንብረት በተዘዋዋሪ ተገልጿል, እና ለምን ልዩ ልዩ ሕጎች እንደሚያስፈልጉ. በአንዳንድ አጋጣሚዎች አገላለጹን ከ x አንፃር በተሰጠው እኩልነት (ከላይ ያሉትን ይመልከቱ) ከጨዋታው ይልቅ መተካት ይህ እኩልታ ወደ ማንነትነት እንደሚቀየር ማረጋገጥ ይችላሉ። ስለዚህ. ከላይ ያለው እኩልታ የሚከተሉትን ተግባራት በተዘዋዋሪ ይገልጻል።
የካሬ ጨዋታውን አገላለጽ በ x ወደ ዋናው ቀመር ከተተካ በኋላ ማንነቱን እናገኛለን፡-
.
የተካናቸው አገላለጾች የተገኙት የጨዋታውን እኩልነት በመፍታት ነው።
ተጓዳኝ ግልጽ ተግባርን ብንለይ
ከዚያ መልሱን እንደ ምሳሌ 1 እናገኛለን - በተዘዋዋሪ ከተገለጸው ተግባር:
ነገር ግን ሁሉም በተዘዋዋሪ የተገለጹ ተግባራት በቅጹ ውስጥ ሊወከሉ አይችሉም y = ረ(x) . ስለዚህ, ለምሳሌ, በተዘዋዋሪ የተገለጹ ተግባራት
በአንደኛ ደረጃ ተግባራት አልተገለጹም፣ ማለትም፣ እነዚህ እኩልታዎች ጨዋታውን በተመለከተ ሊፈቱ አይችሉም። ስለዚህ, አንድን ተግባር በተዘዋዋሪ ለመለየት የሚያስችል ህግ አለ, አስቀድመን ያጠናነው እና በሌሎች ምሳሌዎች ውስጥ በቀጣይነት ይሠራል.
ምሳሌ 2.በተዘዋዋሪ የተሰጠውን የተግባር መነሻ ያግኙ፡-
.
ዋናውን እና - በውጤቱ - በተዘዋዋሪ የተገለጸውን ተግባር አመጣጥ እንገልፃለን፡
ምሳሌ 3.በተዘዋዋሪ የተሰጠውን የተግባር መነሻ ያግኙ፡-
.
መፍትሄ። የእኩልታውን ሁለቱንም ጎኖች ከ x ጋር እንለያቸዋለን፡-
.
ምሳሌ 4.በተዘዋዋሪ የተሰጠውን የተግባር መነሻ ያግኙ፡-
.
መፍትሄ። የእኩልታውን ሁለቱንም ጎኖች ከ x ጋር እንለያቸዋለን፡-
.
እኛ እንገልፃለን እና ተዋጽኦውን እናገኛለን፡-
.
ምሳሌ 5.በተዘዋዋሪ የተሰጠውን የተግባር መነሻ ያግኙ፡-
መፍትሄ። በቀመርው በቀኝ በኩል ያሉትን ውሎች ወደ ግራ በኩል እናንቀሳቅሳለን እና በቀኝ በኩል ዜሮን እንተዋለን. የእኩልታውን ሁለቱንም ጎኖች ከ x ጋር እንለያቸዋለን።
ፍቺተግባር \(y = f(x)\) ነጥቡን \(x_0 ይህንን ክፍተት እንዳይተወው ለክርክሩ ተጨማሪ \(\ ዴልታ x \) እንስጠው። የተግባሩን ተጓዳኝ ጭማሪ እንፈልግ \(\ ዴልታ y \) (ከነጥብ \(x_0 \) ወደ ነጥቡ \(x_0 + \ ዴልታ x \) ስንሸጋገር እና \ (\ frac (\ ዴልታ) ግንኙነቱን እንፃፍ። y) (\ ዴልታ x) \). በ \(\ ዴልታ x \ ቀኝ ቀስት 0 \) ላይ የዚህ ሬሾ ገደብ ካለ ፣ የተገለጸው ገደብ ይባላል። የአንድ ተግባር ተወላጅ\(y=f(x) \) ነጥብ \(x_0 \) እና \(f"(x_0) \)ን አመልክት።
$$ \lim_(\ ዴልታ x \ ወደ 0) \frac(\ ዴልታ y) (\ ዴልታ x) = f"(x_0) $$
ምልክቱ y ብዙውን ጊዜ ተዋጽኦን ለማመልከት ጥቅም ላይ ይውላል። y" = f(x) አዲስ ተግባር መሆኑን ልብ ይበሉ፣ ነገር ግን በተፈጥሮ y = f(x) ተግባር y = f(x) ጋር የተዛመደ፣ ከላይ ያለው ገደብ ባለበት በሁሉም ነጥቦች ላይ ይገለጻል። ይህ ተግባር እንደሚከተለው ይባላል- የተግባሩ መነሻ y = f(x).
የመነጩ ጂኦሜትሪክ ትርጉምእንደሚከተለው ነው። ታንጀንት ወደ ተግባሩ ግራፍ መሳል ከተቻለ y = f (x) ከ abscissa x=a ጋር በነጥብ ከ y ዘንግ ጋር ትይዩ ካልሆነ f(a) የታንጀሉን ቁልቁል ይገልጻል። :
\(k = f"(a)\)
\(k = tg(a) \) ስለሆነ፣ እኩልነት \(f"(a) = tan(a) \) እውነት ነው።
አሁን የመነጩን ፍቺ ከግምታዊ እኩልነት እይታ አንጻር እንተረጉማለን. የ \(y = f(x)\) ተግባር በተወሰነ ነጥብ \(x\) ላይ ተዋፅኦ ይኑር።
$$ \lim_(\ ዴልታ x \ ወደ 0) \ frac (\ ዴልታ y) (\ ዴልታ x) = f"(x) $$
ይህ ማለት ከ x ነጥቡ አጠገብ ያለው ግምታዊ እኩልነት \(\ frac (\ ዴልታ y) (\ ዴልታ x) \u003e f"(x) \) ፣ ማለትም \(\ ዴልታ y \u003e f"(x) \cdot \\ ዴልታ x \)። የውጤቱ ግምታዊ እኩልነት ትርጉም ያለው ትርጉም እንደሚከተለው ነው፡- የተግባሩ መጨመር ከክርክሩ መጨመር ጋር "የተመጣጠነ ነው" እና የተመጣጠነ ተመጣጣኝነት በአንድ የተወሰነ ነጥብ x ላይ ያለው የመነጩ ዋጋ ነው። ለምሳሌ፣ ለተግባሩ \(y = x^2 \) ግምታዊ እኩልነት \(\ ዴልታ y \ ገደማ 2x \cdot \ ዴልታ x \) ልክ ነው። የመነጩን ፍቺ በጥንቃቄ ከተመለከትን እሱን ለማግኘት አልጎሪዝም ይዟል።
እንቅረፅለት።
የተግባር y = f(x) አመጣጥ እንዴት ማግኘት ይቻላል?
1. የ \(x \) እሴትን አስተካክል ፣ \(f(x)\) ፈልግ
2. ክርክሩን \(x\) ጭማሪ ይስጡ \(\ ዴልታ x \) ፣ ወደ አዲስ ነጥብ ይሂዱ \(x+ \\ ዴልታ x \) ፣ \ (f(x+ \ ዴልታ x) \) ያግኙ።
3. የተግባሩን መጨመር ይፈልጉ: \ (\ ዴልታ y = f (x + \ ዴልታ x) - f (x) \)
4. ግንኙነቱን ይፍጠሩ \ (\ frac (\ ዴልታ y) (\ ዴልታ x) \)
5. አስላ $$ \lim_(\ ዴልታ x \ ወደ 0) \ frac (\ ዴልታ y) (\ ዴልታ x) $$
ይህ ገደብ በ x ነጥብ ላይ ያለው የተግባር መነሻ ነው።
ተግባር y = f(x) በነጥብ x ላይ ተወላጅ ካለው፣ በነጥብ x ላይ ልዩነት ይባላል። የተግባር y = f(x) አመጣጥን የማግኘት ሂደት ይባላል ልዩነትተግባራት y = f (x)።
እስቲ የሚከተለውን ጥያቄ እንወያይ-የአንድ ተግባር ቀጣይነት እና ልዩነት እርስ በርስ በሚዛመደው ነጥብ እንዴት ነው?
ተግባር y = f(x) በነጥብ x ሊለያይ ይችላል። ከዚያም ታንጀንት በ M (x; f (x)) ላይ ባለው የሥራው ግራፍ ላይ መሳል ይቻላል, እና ያስታውሱ, የታንጀኑ የማዕዘን መጠን ከ f "(x) ጋር እኩል ነው. እንዲህ ዓይነቱ ግራፍ "መስበር" አይችልም. ነጥብ M ላይ ማለትም ተግባሩ በ x ነጥብ ላይ ቀጣይ መሆን አለበት.
እነዚህ "የእጅ-ላይ" ክርክሮች ነበሩ. የበለጠ ጠንከር ያለ ምክንያት እንስጥ። ተግባር y = f(x) በነጥብ x ሊለያይ የሚችል ከሆነ፣ ግምታዊ እኩልነት \(\ ዴልታ y \ approx f"(x) \cdot \ ዴልታ x \) ይይዛል። በዚህ እኩልነት \(\ ዴልታ x) ከሆነ። \) ወደ ዜሮ ይቀየራል ፣ ከዚያ \(\ ዴልታ y \) ወደ ዜሮ ይቀየራል ፣ እና ይህ በአንድ ነጥብ ላይ ለተግባሩ ቀጣይነት ሁኔታ ነው።
ስለዚህ፣ አንድ ተግባር በአንድ ነጥብ x ላይ የሚለይ ከሆነ፣ በዚያ ነጥብ ላይ ቀጣይ ነው።.
የተገላቢጦሽ መግለጫው እውነት አይደለም። ለምሳሌ፡ ተግባር y = |x| በሁሉም ቦታ ቀጣይነት ያለው ነው, በተለይም በ x = 0, ነገር ግን በ "መገናኛ ነጥብ" (0; 0) ላይ ያለው የተግባር ግራፍ ታንጀንት የለም. በአንድ ወቅት ታንጀንት ወደ የተግባር ግራፍ መሳል ካልተቻለ ተዋጽኦው በዚያ ነጥብ ላይ የለም።
አንድ ተጨማሪ ምሳሌ። ተግባር \(y=\sqrt(x)\) በጠቅላላው የቁጥር መስመር ላይ ቀጣይነት ያለው ሲሆን በ x = 0 ላይ ጨምሮ። ነገር ግን በዚህ ጊዜ ታንጀንት ከ y-ዘንግ ጋር ይጣጣማል, ማለትም, ከ abscissa ዘንግ ጋር ቀጥ ያለ ነው, የእሱ እኩልታ x = 0. እንደዚህ ያለ ቀጥተኛ መስመር የማዕዘን ኮፊሸን የለውም, ይህም ማለት \ (f) ማለት ነው. "(0)\) የለም።
ስለዚህ ፣ ከተግባር አዲስ ንብረት ጋር ተዋወቅን - ልዩነት። አንድ ሰው ከተግባሩ ግራፍ እንዴት ሊለያይ ይችላል ብሎ መደምደም ይችላል?
መልሱ በትክክል ከላይ ተሰጥቷል. በአንድ ወቅት ታንጀንት ወደ abscissa ዘንግ ወደማይሰራው ተግባር ግራፍ መሳል ከተቻለ በዚህ ጊዜ ተግባሩ የተለየ ነው። በአንድ ወቅት የአንድ ተግባር ግራፍ ታንጀንት ከሌለ ወይም ወደ abscissa ዘንግ ቀጥ ያለ ከሆነ ፣ በዚህ ጊዜ ተግባሩ ሊለያይ አይችልም።
የልዩነት ህጎች
የመነጩን የማግኘት ክዋኔ ይባላል ልዩነት. ይህንን ክዋኔ በሚፈጽሙበት ጊዜ ብዙውን ጊዜ ከጥቅሶች, ድምር, የተግባር ምርቶች, እንዲሁም "የተግባር ተግባራት" ማለትም ውስብስብ ተግባራት ጋር መስራት አለብዎት. የመነጩን ትርጉም መሰረት በማድረግ ይህን ስራ ቀላል የሚያደርጉ የልዩነት ህጎችን ማውጣት እንችላለን። C ቋሚ ቁጥር ከሆነ እና f=f(x)፣ g=g(x) አንዳንድ ሊለያዩ የሚችሉ ተግባራት ከሆኑ የሚከተሉት እውነት ናቸው። ልዩነት ደንቦች:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$
የአንዳንድ ተግባራት ተዋጽኦዎች ሰንጠረዥ
$$ \ግራ(\frac(1)(x) \ቀኝ)" = -\frac(1)(x^2) $$$$ (\sqrt(x))" = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$$$ \ግራ(x^a \ቀኝ)" = a x^(a-1) $$$$ \ግራ(a^x \ቀኝ) " = a^x \cdot \ln a $$$$ \ግራ(e^x \ቀኝ) " = e^x $$$$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$$$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln ሀ) $$$$ (\ sin x)" = \cos x $$$$ (\cos x)" = -\sin x $$$$ (\text(tg) x) " = \ frac (1) (\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\ sin^2 x) $$$$ (\arcsin x) " = \ frac (1) (\sqrt (1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \ frac (-1) (\sqrt (1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$$$ (\text(arcctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $ቀመርን በመጠቀም ተግባሩ በተዘዋዋሪ ይገለጽ
(1)
.
እና ይህ እኩልታ፣ ለተወሰነ እሴት፣ ልዩ የሆነ መፍትሄ ይሰጠው። ተግባሩ በነጥቡ ላይ የተለየ ተግባር ይሁን እና
.
ከዚያ፣ በዚህ ዋጋ፣ በቀመር የሚወሰን ተዋጽኦ አለ፡-
(2)
.
ማረጋገጫ
እሱን ለማረጋገጥ፣ ተግባሩን እንደ የተለዋዋጭ ውስብስብ ተግባር ይቁጠሩት።
.
ውስብስብ ተግባርን የመለየት ህግን እንጠቀም እና ከቀመርው ግራ እና ቀኝ ከተለዋዋጭ አንፃር ተዋጽኦውን እናገኝ።
(3)
:
.
የቋሚው ተወላጅ ዜሮ ስለሆነ እና፣ ከዚያ
(4)
;
.
ቀመሩ ተረጋግጧል.
ከፍተኛ ቅደም ተከተል ተዋጽኦዎች
የተለያዩ ማስታወሻዎችን በመጠቀም ቀመር (4) እንደገና እንፃፍ፡-
(4)
.
በተመሳሳይ ጊዜ, እና የተለዋዋጭ ውስብስብ ተግባራት ናቸው:
;
.
ጥገኝነቱ የሚወሰነው በቀመር (1) ነው፡
(1)
.
ተዋጽኦውን ከግራ እና ቀኝ የእኩልታ (4) አንፃር ካለው ተለዋዋጭ ጋር እናገኘዋለን።
እንደ ውስብስብ ተግባር አመጣጥ ቀመር እኛ አለን-
;
.
በምርቱ መነሻ ቀመር መሰረት፡-
.
የመነጩ ድምር ቀመርን በመጠቀም፡-
.
የእኩልታ (4) የቀኝ ጎን ተወላጅ ከዜሮ ጋር እኩል ስለሆነ፣ እንግዲህ
(5)
.
ተዋጽኦውን እዚህ በመተካት የሁለተኛ-ትዕዛዝ ተዋጽኦን ዋጋ በተዘዋዋሪ መንገድ እናገኛለን።
እኩልታ ልዩነት (5) በተመሳሳይ መልኩ፣ የሶስተኛ ደረጃ ተዋጽኦን የያዘ ቀመር እናገኛለን፡-
.
የአንደኛ እና የሁለተኛ ቅደም ተከተል ተዋጽኦዎች የተገኙትን እሴቶች እዚህ በመተካት የሶስተኛውን ቅደም ተከተል መነሻ እሴት እናገኛለን።
ልዩነትን በመቀጠል, አንድ ሰው የማንኛውም ትዕዛዝ አመጣጥ ማግኘት ይችላል.
ምሳሌዎች
ምሳሌ 1
በቀመር የተሰጠውን የተግባር የመጀመሪያ-ትዕዛዝ ተዋጽኦን ያግኙ፡
(P1) .
መፍትሄ በቀመር 2
ቀመር (2) በመጠቀም ተዋጽኦውን እናገኛለን።
(2)
.
ቅጹን እንዲወስድ ሁሉንም ተለዋዋጮች ወደ ግራ በኩል እናንቀሳቅስ።
.
ከዚህ.
ቋሚነቱን ከግምት ውስጥ በማስገባት ተዋጽኦውን ከአክብሮት ጋር እናገኘዋለን።
;
;
;
.
ተለዋዋጭውን ቋሚ ግምት ውስጥ በማስገባት ተለዋዋጭውን ከተለዋዋጭ ጋር እናገኘዋለን.
;
;
;
.
ቀመር (2) በመጠቀም እናገኛለን፡-
.
በዋናው ቀመር (A.1) መሠረት ውጤቱን ቀላል ማድረግ እንችላለን. እንተካ፡
.
አሃዛዊውን እና መለያውን በ፡
.
ሁለተኛው መንገድ መፍትሄ
ይህንን ምሳሌ በሁለተኛው መንገድ እንፍታው። ይህንን ለማድረግ ከዋናው እኩልታ (A1) የግራ እና የቀኝ ጎኖች ተለዋዋጭ ጋር ተያይዘው እናገኛለን።
አመልክተናል፡-
.
የመነጩ ክፍልፋይ ቀመር እንተገብራለን፡-
;
.
ለተወሳሰበ ተግባር አመጣጥ ቀመር እንተገብራለን፡-
.
የመጀመሪያውን እኩልታ (A1) እንለይ።
(P1) ;
;
.
ውሎቹን በማባዛት እና በቡድን እናደርጋለን።
;
.
እንተካ (ከሒሳብ (A1))፡-
.
ማባዛት በ፡
.
መልስ
ምሳሌ 2
ቀመርን በመጠቀም በተዘዋዋሪ የተሰጠውን ተግባር ሁለተኛ-ትዕዛዝ ተዋጽኦን ያግኙ፡-
(A2.1) .
መፍትሄ
ዋናውን እኩልታ ከተለዋዋጭ ጋር እንለያያለን፣ እሱ ተግባር መሆኑን ከግምት ውስጥ በማስገባት፡-
;
.
ለተወሳሰበ ተግባር አመጣጥ ቀመሩን እንተገብራለን።
.
የመጀመሪያውን እኩልታ (A2.1) እንለይ፡
;
.
ከመጀመሪያው እኩልታ (A2.1) እንደሚከተለው ነው. እንተካ፡
.
ቅንፎችን ይክፈቱ እና አባላትን ይሰብስቡ:
;
(A2.2) .
የመጀመሪያውን የትዕዛዝ መነሻ እናገኛለን፡-
(A2.3) .
የሁለተኛ-ትዕዛዝ ተዋጽኦን ለማግኘት፣ እኩልታ (A2.2) እንለያለን።
;
;
;
.
የመጀመርያ-ትዕዛዝ ተዋጽኦን (A2.3) አገላለጹን እንተካው፡-
.
ማባዛት በ፡
;
.
ከዚህ የሁለተኛ ደረጃ ውፅዓት እናገኛለን።
መልስ
ምሳሌ 3
ቀመርን በመጠቀም በተዘዋዋሪ የተሰጠውን ተግባር የሶስተኛ-ትእዛዝ ተዋጽኦን ያግኙ፡-
(A3.1) .
መፍትሄ
ዋናውን እኩልታ ከተለዋዋጭ ጋር እንለያያለን, እሱ ተግባር ነው ብለን በማሰብ.
;
;
;
;
;
;
(A3.2) ;
ከተለዋዋጭ ጋር እኩልነትን (A3.2) እንለይ።
;
;
;
;
;
(A3.3) .
እኩልታ (A3.3) እንለይ።
;
;
;
;
;
(A3.4) .
ከእኩልታዎች (A3.2)፣ (A3.3) እና (A3.4) የመነሻዎቹን እሴቶች በ .
;
;
.
በተዘዋዋሪ የተገለጸ ተግባር የተገኘ።
በፓራሜትሪክ የተገለጸ ተግባር የተገኘ
በዚህ ጽሑፍ ውስጥ ብዙውን ጊዜ በከፍተኛ ሂሳብ ውስጥ በፈተናዎች ውስጥ የሚገኙትን ሁለት ተጨማሪ የተለመዱ ተግባራትን እንመለከታለን. ቁሳቁሱን በተሳካ ሁኔታ ለመቆጣጠር ቢያንስ በመካከለኛ ደረጃ ተዋጽኦዎችን ማግኘት መቻል አለብዎት። ተዋጽኦዎችን በተግባር ከባዶ ለማግኘት በሁለት መሰረታዊ ትምህርቶች እና መማር ይችላሉ። ውስብስብ ተግባር የመነጨ. የመለየት ችሎታህ ደህና ከሆነ እንሂድ።
በተዘዋዋሪ የተገለጸ ተግባር የተገኘ
ወይም፣ በአጭሩ፣ የተዘዋዋሪ ተግባር መነሻ። ስውር ተግባር ምንድን ነው? በመጀመሪያ የአንድ ተለዋዋጭ ተግባር ፍቺን እናስታውስ፡-
ነጠላ ተለዋዋጭ ተግባርእያንዳንዱ የነጻ ተለዋዋጭ እሴት ከተግባሩ አንድ እና አንድ እሴት ጋር የሚዛመድበት ደንብ ነው።
ተለዋዋጭው ይባላል ተለዋዋጭወይም ክርክር.
ተለዋዋጭው ይባላል ጥገኛ ተለዋዋጭወይም ተግባር
.
እስካሁን የተገለጹ ተግባራትን ተመልክተናል ግልጽቅጽ. ምን ማለት ነው? የተወሰኑ ምሳሌዎችን በመጠቀም መግለጫ እናካሂድ።
ተግባሩን አስቡበት 
በግራ በኩል አንድ “ተጫዋች” እንዳለን እና በቀኝ በኩል እናያለን - "X" ብቻ. ማለትም ተግባሩ በግልፅበገለልተኛ ተለዋዋጭ በኩል ይገለጻል.
ሌላ ተግባር እንመልከት፡-
ተለዋዋጭዎቹ የተደባለቁበት ይህ ነው. ከዚህም በላይ በማንኛውም መንገድ የማይቻል“Y” በ “X” በኩል ብቻ ይግለጹ። እነዚህ ዘዴዎች ምንድን ናቸው? ቃላትን ከከፊል ወደ ክፍል በምልክት ለውጥ ማዛወር፣ ከቅንፍ ውስጥ ማስወጣት፣ በተመጣጣኝ ህግ መሰረት ምክንያቶችን መወርወር፣ ወዘተ. እኩልነቱን እንደገና ይፃፉ እና “y”ን በግልፅ ለመግለፅ ይሞክሩ፡. ሒሳቡን ለሰዓታት ማዞር እና ማዞር ይችላሉ፣ ግን አይሳካላችሁም።
ላስተዋውቃችሁ፡- ምሳሌ ስውር ተግባር.
በሂሳብ ትንተና ሂደት ውስጥ ስውር ተግባር መሆኑን ተረጋግጧል አለ።(ነገር ግን ሁልጊዜ አይደለም), ግራፍ አለው (ልክ እንደ "መደበኛ" ተግባር). ስውር ተግባሩ በትክክል ተመሳሳይ ነው። አለ።የመጀመሪያ ተዋጽኦ፣ ሁለተኛ ተዋጽኦ፣ ወዘተ. እነሱ እንደሚሉት፣ ሁሉም የአናሳ ጾታዊ መብቶች የተከበሩ ናቸው።
እና በዚህ ትምህርት ውስጥ በተዘዋዋሪ የተገለጸውን የተግባር አመጣጥ እንዴት ማግኘት እንደምንችል እንማራለን ። ያን ያህል አስቸጋሪ አይደለም! ሁሉም የልዩነት ህጎች እና የአንደኛ ደረጃ ተግባራት ተዋጽኦዎች ሰንጠረዥ በሥራ ላይ ይቆያል። ልዩነቱ አሁን የምንመለከተው በአንድ ልዩ ጊዜ ውስጥ ነው።
አዎ ፣ እና የምስራች እነግርዎታለሁ - ከዚህ በታች የተብራሩት ተግባራት የሚከናወኑት በጥብቅ እና ግልጽ በሆነ ስልተ-ቀመር መሠረት ከሶስት ትራኮች ፊት ያለ ድንጋይ ነው።
ምሳሌ 1
1) በመጀመሪያ ደረጃ ፣ ከሁለቱም ክፍሎች ጋር ጭረቶችን እናያይዛለን-
2) የመነጩ የመስመር ላይ ህጎችን እንጠቀማለን (የትምህርቱ የመጀመሪያዎቹ ሁለት ህጎች ተዋጽኦውን እንዴት ማግኘት ይቻላል? የመፍትሄዎች ምሳሌዎች):
3) ቀጥተኛ ልዩነት.
እንዴት እንደሚለይ ሙሉ በሙሉ ግልጽ ነው. ከጭረት በታች "ጨዋታዎች" ባሉበት ቦታ ምን ማድረግ አለበት?
- እስከ ውርደት ድረስ ፣ የአንድ ተግባር ተዋጽኦ ከመነጩ ጋር እኩል ነው።: .
እንዴት እንደሚለይ
እዚህ አለን ውስብስብ ተግባር. ለምን? በሳይኑ ስር አንድ ፊደል “Y” ብቻ ያለ ይመስላል። ግን እውነታው አንድ ፊደል ብቻ ነው “y” - እሱ ራሱ ተግባር ነው።(በትምህርቱ መጀመሪያ ላይ ትርጉሙን ይመልከቱ). ስለዚህም ሳይን ውጫዊ ተግባር ሲሆን ውስጣዊ ተግባር ነው። ውስብስብ ተግባርን ለመለየት ደንቡን እንጠቀማለን 
:
በተለመደው ደንብ መሰረት ምርቱን እንለያለን 
:
እባክዎን ያስተውሉ - እንዲሁም ውስብስብ ተግባር ነው, ማንኛውም "በደወል እና በፉጨት ያለው ጨዋታ" ውስብስብ ተግባር ነው:
መፍትሄው ራሱ እንደዚህ ያለ ነገር መምሰል አለበት-
ቅንፎች ካሉ፣ ከዚያ አስፋቸው፡-
4) በግራ በኩል ከዋና ጋር "Y" ያላቸውን ቃላት እንሰበስባለን. የቀረውን ሁሉ ወደ ቀኝ በኩል ያንቀሳቅሱ;
5) በግራ በኩል ከቅንፍ ውስጥ ውፅኢቱን እናወጣለን-
6) እና በተመጣጣኝ ደንቡ መሠረት እነዚህን ቅንፎች በቀኝ በኩል ወደ መለያው እንጥላቸዋለን።
ተዋጽኦው ተገኝቷል። ዝግጁ።
ማንኛውም ተግባር በተዘዋዋሪ እንደገና ሊፃፍ የሚችል መሆኑ ትኩረት የሚስብ ነው። ለምሳሌ, ተግባሩ 
እንደሚከተለው እንደገና ሊፃፍ ይችላል- 
. እና አሁን የተነጋገርነውን አልጎሪዝም በመጠቀም ይለዩት። በእርግጥ፣ “ስውር ተግባር” እና “ስውር ተግባር” የሚሉት ሐረጎች በአንድ የትርጉም ልዩነት ይለያያሉ። “በተዘዋዋሪ የተገለጸ ተግባር” የሚለው ሐረግ የበለጠ አጠቃላይ እና ትክክለኛ ነው፣ 
- ይህ ተግባር በተዘዋዋሪ ይገለጻል, ግን እዚህ "ጨዋታውን" መግለጽ እና ተግባሩን በግልፅ ማቅረብ ይችላሉ. "የተደበቁ ተግባር" የሚለው ሐረግ የሚያመለክተው "y" ሊገለጽ በማይችልበት ጊዜ "ክላሲካል" ስውር ተግባር ነው.
ሁለተኛው መፍትሄ
ትኩረት!በራስ መተማመን እንዴት ማግኘት እንደሚችሉ ካወቁ ብቻ እራስዎን በሁለተኛው ዘዴ እራስዎን ማወቅ ይችላሉ ከፊል ተዋጽኦዎች. የካልኩለስ ጀማሪዎች እና ዳሚዎች፣ እባካችሁ ይህን ነጥብ አታነብብ እና አትዝለልአለበለዚያ ጭንቅላትዎ ሙሉ በሙሉ የተበላሸ ይሆናል.
ሁለተኛውን ዘዴ በመጠቀም የተዘዋዋሪ ተግባርን አመጣጥ እንፈልግ።
ሁሉንም ውሎች ወደ ግራ በኩል እናንቀሳቅሳለን-
እና የሁለት ተለዋዋጮችን ተግባር አስቡበት፡-
ከዚያ የእኛ ተዋጽኦ ቀመሩን በመጠቀም ሊገኝ ይችላል።
ከፊል ተዋጽኦዎችን እንፈልግ፡-
ስለዚህም፡-
ሁለተኛው መፍትሔ ቼክ እንዲያደርጉ ይፈቅድልዎታል. ነገር ግን ከፊል ተዋጽኦዎች በኋላ የተካኑ በመሆናቸው እና “የአንድ ተለዋዋጭ ተግባር መነሻ” የሚለውን ርዕስ የሚያጠና ተማሪ የከፊል ተዋጽኦዎችን ገና ማወቅ ስለማይገባው የምደባውን የመጨረሻ ስሪት መፃፍ ለእነሱ አይመከርም።
ጥቂት ተጨማሪ ምሳሌዎችን እንመልከት።
ምሳሌ 2
በተዘዋዋሪ የተሰጠውን የተግባር መነሻ ያግኙ
በሁለቱም ክፍሎች ላይ ጭረቶችን ይጨምሩ;
እኛ የመስመር ህጎችን እንጠቀማለን-
ተዋጽኦዎችን በማግኘት ላይ፡
ሁሉንም ቅንፎች በመክፈት ላይ;
ሁሉንም ውሎች በግራ በኩል ፣ የተቀረውን በቀኝ በኩል እናንቀሳቅሳለን-
የመጨረሻ መልስ፡- 
ምሳሌ 3
በተዘዋዋሪ የተሰጠውን የተግባር መነሻ ያግኙ 
በትምህርቱ መጨረሻ ላይ ሙሉ መፍትሄ እና ናሙና ንድፍ.
ክፍልፋዮች ከተለያየ በኋላ መነሳቱ የተለመደ አይደለም. በእንደዚህ ዓይነት ሁኔታዎች ውስጥ ክፍልፋዮችን ማስወገድ ያስፈልግዎታል. ሁለት ተጨማሪ ምሳሌዎችን እንመልከት።
ምሳሌ 4
በተዘዋዋሪ የተሰጠውን የተግባር መነሻ ያግኙ 
ሁለቱንም ክፍሎች በጭረት ስር እናዘጋቸዋለን እና የመስመር ህግን እንጠቀማለን- 
ውስብስብ ተግባርን ለመለየት ደንቡን በመጠቀም ይለያዩ 
እና የቁጥሮች ልዩነት ደንብ 
:
ቅንፎችን ማስፋፋት; 
አሁን ክፍልፋዩን ማስወገድ አለብን. ይህ በኋላ ላይ ሊከናወን ይችላል, ነገር ግን ወዲያውኑ ማድረግ የበለጠ ምክንያታዊ ነው. የክፍልፋይ መለያው ይይዛል። ማባዛት። ላይ . በዝርዝር, ይህን ይመስላል:
አንዳንድ ጊዜ ከተለያየ በኋላ 2-3 ክፍልፋዮች ይታያሉ. ሌላ ክፍልፋይ ቢኖረን ፣ ለምሳሌ ፣ ከዚያ ክዋኔው መደገም አለበት - ማባዛት። የእያንዳንዱ ክፍል እያንዳንዱ ቃልላይ
በግራ በኩል ከቅንፎች ውስጥ እናስቀምጠዋለን-
የመጨረሻ መልስ፡- 
ምሳሌ 5
በተዘዋዋሪ የተሰጠውን የተግባር መነሻ ያግኙ
ይህ በራስዎ ለመፍታት ለእርስዎ ምሳሌ ነው። ብቸኛው ነገር ክፍልፋዩን ከማስወገድዎ በፊት በመጀመሪያ የሶስት ፎቅ መዋቅርን በራሱ ማስወገድ ያስፈልግዎታል. በትምህርቱ መጨረሻ ላይ ሙሉ መፍትሄ እና መልስ.
በፓራሜትሪክ የተገለጸ ተግባር የተገኘ
አንጨነቅ፣ በዚህ አንቀጽ ውስጥ ያሉት ሁሉም ነገሮች እንዲሁ ቀላል ናቸው። በአጠቃላይ ፎርሙላውን በፓራሜትሪ ለተገለፀው ተግባር መፃፍ ይችላሉ, ነገር ግን ግልጽ ለማድረግ, ወዲያውኑ አንድ የተወሰነ ምሳሌ እጽፋለሁ. በፓራሜትሪክ ቅርጽ, ተግባሩ በሁለት እኩልታዎች ይሰጣል. ብዙ ጊዜ እኩልታዎች የሚጻፉት በተጠማዘዙ ቅንፎች ሳይሆን በቅደም ተከተል፡,.
ተለዋዋጭው መለኪያ ይባላልእና እሴቶችን ከ"minus infinity" ወደ "plus infinity" መውሰድ ይችላል። ለምሳሌ እሴቱን አስቡ እና በሁለቱም እኩልታዎች ይቀይሩት፡- 
. ወይም በሰው አነጋገር፡- “x ከአራት ጋር እኩል ከሆነ y ከአንድ ጋር እኩል ነው።” በአስተባባሪው አውሮፕላን ላይ አንድ ነጥብ ምልክት ማድረግ ይችላሉ, እና ይህ ነጥብ ከመለኪያው ዋጋ ጋር ይዛመዳል. በተመሳሳይ, ለማንኛውም የ "te" መለኪያ እሴት ነጥብ ማግኘት ይችላሉ. እንደ “መደበኛ” ተግባር ፣ በፓራሜትሪክ የተገለጸ ተግባር ላላቸው አሜሪካውያን ሕንዶች ፣ ሁሉም መብቶች እንዲሁ ይከበራሉ-ግራፍ መገንባት ፣ ተዋጽኦዎችን ማግኘት ፣ ወዘተ. በነገራችን ላይ, በፓራሜትሪክ የተገለጸ ተግባር ግራፍ ማቀድ ከፈለጉ, የእኔን ፕሮግራም መጠቀም ይችላሉ.
በጣም ቀላል በሆኑ ጉዳዮች ላይ ተግባሩን በግልፅ መወከል ይቻላል. መለኪያውን ከመጀመሪያው እኩል እንግለጽ፡- 
- እና ወደ ሁለተኛው ቀመር ይቀይሩት- 
. ውጤቱም ተራ ኪዩቢክ ተግባር ነው.
ይበልጥ "ከባድ" በሆኑ ጉዳዮች, ይህ ዘዴ አይሰራም. ግን ምንም አይደለም ፣ ምክንያቱም የፓራሜትሪክ ተግባርን አመጣጥ ለማግኘት ቀመር አለ-
የ“ተለዋዋጭውን ጨዋታ በተመለከተ” አመጣጥ እናገኛለን፡-
ሁሉም የልዩነት ህጎች እና የመነሻዎች ሠንጠረዥ ልክ ናቸው ፣ በተፈጥሮ ፣ ለደብዳቤው ፣ ስለሆነም ፣ ተዋጽኦዎችን በማግኘት ሂደት ውስጥ አዲስ ነገር የለም።. በሠንጠረዡ ውስጥ ያሉትን ሁሉንም "X"ዎች በ "ቴ" ፊደል ብቻ በአእምሮ ይተኩ.
ከተለዋዋጭ te አንጻር የ “x” ተዋጽኦን እናገኛለን፡- 
አሁን የቀረው ሁሉ የተገኙትን ተዋጽኦዎች ወደ ቀመራችን መተካት ነው፡- 
ዝግጁ። ተዋጽኦው ልክ እንደ ተግባሩ ራሱ፣ እንዲሁ በመለኪያው ላይ የተመሠረተ ነው።
ስለ ማስታወሻው ፣ በቀመሩ ውስጥ ከመፃፍ ይልቅ ፣ ይህ “ከX ጋር በተያያዘ” “መደበኛ” አመጣጥ ስለሆነ አንድ ሰው ያለ ደንበኝነት መፃፍ ይችላል። ነገር ግን በሥነ-ጽሑፍ ውስጥ ሁል ጊዜ አንድ አማራጭ አለ, ስለዚህ ከመመዘኛ አልወጣም.
ምሳሌ 6
ቀመሩን እንጠቀማለን
በዚህ ሁኔታ፡-
ስለዚህም፡- 
የፓራሜትሪክ ተግባርን አመጣጥ የማግኘት ልዩ ባህሪ እውነታ ነው። በእያንዳንዱ ደረጃ ውጤቱን በተቻለ መጠን ቀላል ማድረግ ጠቃሚ ነው. ስለዚህ፣ በተጠቀሰው ምሳሌ፣ ሳገኘው፣ ከሥሩ ስር ያሉትን ቅንፎች ከፈትኩ (ይህን ባላደርግም)። በቀመር ውስጥ ሲተካ ብዙ ነገሮች በደንብ እንዲቀንሱ ጥሩ እድል አለ. ምንም እንኳን, በእርግጥ, ግልጽ ያልሆኑ መልሶች ያላቸው ምሳሌዎች አሉ.
ምሳሌ 7
በትይዩ የተገለጸውን የተግባር መነሻ ያግኙ 
ይህ በራስዎ ለመፍታት ለእርስዎ ምሳሌ ነው።
በጽሁፉ ውስጥ ከመነሻዎች ጋር በጣም ቀላሉ የተለመዱ ችግሮችሁለተኛውን የተግባር መገኛ ለማግኘት የሚያስፈልጉንን ምሳሌዎች ተመልክተናል። በፓራሜትሪክ ለተገለጸው ተግባር፣ ሁለተኛውን መገኛም ማግኘት ይችላሉ፣ እና የሚከተለውን ቀመር በመጠቀም ይገኛል። ሁለተኛውን ተውላጠ ስም ለማግኘት በመጀመሪያ የመጀመሪያውን መገኛ መፈለግ እንዳለቦት ግልጽ ነው።
ምሳሌ 8
በ parametricly የተሰጠውን የተግባር የመጀመሪያ እና ሁለተኛ ተዋጽኦዎችን ያግኙ
መጀመሪያ፣ የመጀመሪያውን መነሻ እናገኝ።
ቀመሩን እንጠቀማለን
በዚህ ሁኔታ፡- 
የተገኙትን ተዋጽኦዎች በቀመር ውስጥ እንተካለን። ለማቃለል ዓላማዎች፣ ትሪግኖሜትሪክ ቀመር እንጠቀማለን፡- 
በጣም ብዙ ጊዜ, ተግባራዊ ችግሮችን ሲፈቱ (ለምሳሌ, በከፍተኛ ጂኦዲሲ ወይም ትንታኔ ፎቶግራፍ) ውስጥ, የበርካታ ተለዋዋጮች ውስብስብ ተግባራት ይታያሉ, ማለትም ክርክሮች. x, y, z አንድ ተግባር ረ(x,y,z) ) እራሳቸው የአዳዲስ ተለዋዋጮች ተግባራት ናቸው። ዩ፣ ቪ፣ ደብሊው ).
ይህ ለምሳሌ, ከቋሚ ቅንጅት ስርዓት ሲንቀሳቀስ ይከሰታል ኦክሲዝ ወደ ተንቀሳቃሽ ስልክ ስርዓት ኦ 0 UVW እና ወደ ኋላ. በተመሳሳይ ጊዜ “ቋሚ” - “አሮጌ” እና “ተንቀሳቃሽ” - “አዲስ” ተለዋዋጮችን በተመለከተ ሁሉንም ከፊል ተዋጽኦዎች ማወቅ አስፈላጊ ነው ፣ ምክንያቱም እነዚህ ከፊል ተዋጽኦዎች ብዙውን ጊዜ በእነዚህ አስተባባሪ ስርዓቶች ውስጥ የአንድን ነገር አቀማመጥ ያሳያሉ። , እና በተለይም የአየር ላይ ፎቶግራፎችን ከእውነተኛው ነገር ጋር በሚያደርጉት ደብዳቤ ላይ ተጽእኖ ያሳድራሉ. በእንደዚህ ዓይነት ሁኔታዎች, የሚከተሉት ቀመሮች ይተገበራሉ:
ያም ማለት ውስብስብ ተግባር ተሰጥቷል ቲ ሶስት "አዲስ" ተለዋዋጮች ዩ፣ ቪ፣ ደብሊው በሶስት "አሮጌ" ተለዋዋጮች x, y, z, ከዚያም፡-
አስተያየት። በተለዋዋጮች ብዛት ላይ ልዩነቶች ሊኖሩ ይችላሉ። ለምሳሌ: ከሆነ
በተለይም, ከሆነ z = f(xy)፣ y = y(x) ከዚያ “ጠቅላላ መነሻ” የሚባለውን ቀመር እናገኛለን፡-
በሚከተሉት ሁኔታዎች ውስጥ ለ “ጠቅላላ ተዋጽኦ” ተመሳሳይ ቀመር
ቅጹን ይወስዳል፡-
ሌሎች የቀመሮች ልዩነቶች (1.27) - (1.32) እንዲሁ ይቻላል.
ማስታወሻ፡ የፈሳሽ እንቅስቃሴ እኩልታዎች መሰረታዊ ስርዓት ሲፈጠር “ጠቅላላ መነሻ” ቀመር በፊዚክስ ኮርስ ክፍል “ሃይድሮዳይናሚክስ” ውስጥ ጥቅም ላይ ይውላል።
ምሳሌ 1.10. የተሰጠው፡
በ (1.31) መሠረት፡-
§7 የበርካታ ተለዋዋጮች በተዘዋዋሪ የተሰጠ ተግባር ከፊል ተዋጽኦዎች
እንደሚታወቀው የአንድ ተለዋዋጭ አካል በተዘዋዋሪ የተገለጸ ተግባር እንደሚከተለው ይገለጻል-የገለልተኛ ተለዋዋጭ ተግባር x በአክብሮት ያልተፈታ በቀመር የሚሰጥ ከሆነ ስውር ይባላል y :
ምሳሌ 1.11.
እኩልታው
ሁለት ተግባራትን በተዘዋዋሪ ይገልጻል፡-
እና እኩልታው
ምንም ተግባር አይገልጽም.
ቲዎረም 1.2 (የተዘዋዋሪ ተግባር መኖር).
ተግባሩ ይፍቀድ z =f(x,y) እና ከፊል ተዋጽኦዎቹ ረ" x እና ረ" y በአንዳንድ ሰፈር ውስጥ የተገለጸ እና ቀጣይነት ያለው ዩ ኤም 0 ነጥቦች ኤም 0 (x 0 y 0 ) . ከዚህም በተጨማሪ እ.ኤ.አ. ረ(x 0 , y 0 )=0 እና ረ"(x 0 , y 0 )≠0 , ከዚያም እኩልታ (1.33) በአካባቢው ይገለጻል ዩ ኤም 0 ስውር ተግባር y=y(x) , ቀጣይነት ያለው እና በተወሰነ የጊዜ ልዩነት ውስጥ ሊለያይ የሚችል ዲ በአንድ ነጥብ ላይ ያተኮረ x 0 , እና y (x 0 )=y 0 .
ምንም ማስረጃ የለም።
ከ Theorem 1.2 በዚህ ክፍተት ላይ ይከተላል ዲ :
ውስጥ ማንነት አለ ማለት ነው።
በ (1.31) መሠረት “ጠቅላላ” ተዋጽኦው የሚገኝበት
ማለትም፣ (1.35) የአንድ ተለዋዋጭ ተለዋዋጭ በተዘዋዋሪ የተሰጠ ተግባርን ለማግኘት ቀመር ይሰጣል። x .
የሁለት ወይም ከዚያ በላይ ተለዋዋጮች ስውር ተግባር በተመሳሳይ መልኩ ይገለጻል።
ለምሳሌ, በአንዳንድ አካባቢዎች ከሆነ ቪ ክፍተት ኦክሲዝ የሚከተለው እኩልታ ይይዛል-
ከዚያም በተግባሩ ላይ በአንዳንድ ሁኔታዎች ኤፍ ተግባርን በተዘዋዋሪ ይገልፃል።
በተጨማሪም ፣ ከ (1.35) ጋር በማነፃፀር ፣ የእሱ ከፊል ተዋጽኦዎች እንደሚከተለው ይገኛሉ ።