አዎ፣ አዎ፡ የሂሳብ እድገት ለእርስዎ መጫወቻ አይደለም :)

ደህና ፣ ጓደኞች ፣ ይህንን ጽሑፍ እያነበብክ ከሆነ ፣ የውስጥ ካፕ-ማስረጃው የሂሳብ እድገት ምን እንደሆነ ገና እንደማታውቅ ይነግረኛል ፣ ግን በእርግጥ (አይ ፣ እንደዚህ ያለ: SOOOOO!) ማወቅ ትፈልጋለህ። ስለዚህ በረዥም መግቢያዎች አላሰቃየህም እና በቀጥታ ወደ ነጥቡ እገባለሁ።

በመጀመሪያ ፣ ጥቂት ምሳሌዎች። በርካታ የቁጥር ስብስቦችን እንመልከት፡-

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2)፤\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

እነዚህ ሁሉ ስብስቦች ምን የሚያመሳስላቸው ነገር አለ? በመጀመሪያ ሲታይ ምንም የለም. ግን በእውነቱ የሆነ ነገር አለ. ይኸውም፡- እያንዳንዱ ቀጣይ ንጥረ ነገር ከቀዳሚው ጋር በተመሳሳይ ቁጥር ይለያያል.

ለራስህ ፍረድ። የመጀመሪያው ስብስብ በቀላሉ ተከታታይ ቁጥሮች ነው, እያንዳንዱ ቀጣይ ከቀዳሚው አንድ ይበልጣል. በሁለተኛው ሁኔታ, በአጠገብ ቁጥሮች መካከል ያለው ልዩነት ቀድሞውኑ አምስት ነው, ግን ይህ ልዩነት አሁንም ቋሚ ነው. በሦስተኛው ጉዳይ ላይ ሙሉ በሙሉ ሥሮች አሉ. ሆኖም፣ $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$፣እና $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$፣ማለትም። እና በዚህ ሁኔታ እያንዳንዱ ቀጣይ ንጥረ ነገር በቀላሉ በ$\sqrt(2)$ ይጨምራል (እና ይህ ቁጥር ምክንያታዊ ያልሆነ ነው ብለው አይፍሩ)።

ስለዚህ: ሁሉም እንደዚህ ያሉ ቅደም ተከተሎች የሂሳብ እድገቶች ይባላሉ. ጥብቅ ፍቺ እንስጥ፡-

ፍቺ እያንዳንዱ ተከታይ ከቀዳሚው በትክክል ተመሳሳይ መጠን የሚለይበት የቁጥሮች ቅደም ተከተል የሂሳብ ግስጋሴ ይባላል። ቁጥሮቹ የሚለያዩበት መጠን የሂደት ልዩነት ይባላል እና ብዙ ጊዜ በ$d$ ፊደል ይገለጻል።

ማስታወሻ፡ $\ግራ(((a)__(n)) \ቀኝ)$ እድገት እራሱ ነው፣$d$ ልዩነቱ ነው።

እና ጥቂት አስፈላጊ ማስታወሻዎች ብቻ። በመጀመሪያ ደረጃ, እድገትን ግምት ውስጥ ማስገባት ብቻ ነው አዘዘየቁጥሮች ቅደም ተከተል: በተፃፉበት ቅደም ተከተል በጥብቅ እንዲነበቡ ተፈቅዶላቸዋል - እና ሌላ ምንም ነገር የለም. ቁጥሮች እንደገና ሊደራጁ ወይም ሊለዋወጡ አይችሉም።

በሁለተኛ ደረጃ, ቅደም ተከተል እራሱ ማለቂያ ወይም ማለቂያ የሌለው ሊሆን ይችላል. ለምሳሌ፣ ስብስብ (1፤ 2፤ 3) ግልጽ የሆነ የመጨረሻ የሂሳብ እድገት ነው። ነገር ግን በመንፈስ የሆነ ነገር ከጻፉ (1; 2; 3; 4; ...) - ይህ አስቀድሞ ማለቂያ የሌለው እድገት ነው. ከአራቱ በኋላ ያለው ellipsis ጥቂት ተጨማሪ ቁጥሮች እንደሚመጡ የሚጠቁም ይመስላል። ማለቂያ የሌለው ብዙ ፣ ለምሳሌ :)

እድገቶች እየጨመሩ ወይም እየቀነሱ ሊሄዱ እንደሚችሉ ማስተዋል እፈልጋለሁ። እየጨመሩ ያሉትን አይተናል - ተመሳሳይ ስብስብ (1; 2; 3; 4; ...). እድገቶችን የመቀነስ ምሳሌዎች እዚህ አሉ

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\\sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

እሺ፣ እሺ፡ የመጨረሻው ምሳሌ ከመጠን በላይ የተወሳሰበ ሊመስል ይችላል። የቀረው ግን የገባችሁ ይመስለኛል። ስለዚህ፣ አዲስ ትርጓሜዎችን እናስተዋውቃለን፡-

ፍቺ የሒሳብ እድገት ይባላል፡-

1. እያንዳንዱ ቀጣይ ንጥረ ነገር ከቀዳሚው የበለጠ ከሆነ መጨመር;
2. እየቀነሰ, በተቃራኒው, እያንዳንዱ ተከታይ ንጥረ ነገር ከቀዳሚው ያነሰ ከሆነ.

በተጨማሪም, "ቋሚ" የሚባሉት ቅደም ተከተሎች አሉ - እነሱ ተመሳሳይ ተደጋጋሚ ቁጥር ያካተቱ ናቸው. ለምሳሌ፣ (3፤ 3፤ 3፤ ...)።

አንድ ጥያቄ ብቻ ይቀራል: እየጨመረ ያለውን እድገትን ከሚቀንስ እንዴት እንደሚለይ? እንደ እድል ሆኖ, እዚህ ሁሉም ነገር የሚወሰነው በ $ d$ ቁጥር ምልክት ላይ ብቻ ነው, ማለትም. የእድገት ልዩነቶች;

1. $d \gt 0$ ከሆነ እድገቱ ይጨምራል።
2. $d \lt 0$ ከሆነ ፣እድገቱ በግልጽ እየቀነሰ ነው።
3. በመጨረሻም ጉዳዩ $d=0$ አለ - በዚህ ሁኔታ አጠቃላይ እድገቱ ወደ ቋሚ ተመሳሳይ ቁጥሮች ቅደም ተከተል ይቀንሳል: (1; 1; 1; 1; ...), ወዘተ.

ከላይ ለተጠቀሱት ሦስቱ የሚቀነሱ እድገቶች የ$d$ን ልዩነት ለማስላት እንሞክር። ይህንን ለማድረግ ማንኛውንም ሁለት ተያያዥ ንጥረ ነገሮችን (ለምሳሌ የመጀመሪያው እና ሁለተኛ) መውሰድ እና በግራ በኩል ያለውን ቁጥር በቀኝ በኩል ካለው ቁጥር መቀነስ በቂ ነው. ይህን ይመስላል።

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

እንደምናየው፣ በሦስቱም ሁኔታዎች ልዩነቱ በትክክል ወደ አሉታዊነት ተለወጠ። እና አሁን ብዙ ወይም ባነሰ ትርጓሜዎችን አውጥተናል, እድገቶች እንዴት እንደሚገለጹ እና ምን ንብረቶች እንዳሉ ለማወቅ ጊዜው አሁን ነው.

የሂደት ውሎች እና የድግግሞሽ ቀመር

የእኛ ቅደም ተከተሎች አካላት ሊለዋወጡ ስለማይችሉ በቁጥር ሊቆጠሩ ይችላሉ፡-

\[\ግራ(((a)_(n)) \ቀኝ)=\ግራ\((ሀ)__(1))\ )),... \ቀኝ\)\]

የዚህ ስብስብ ግለሰባዊ አካላት የእድገት አባላት ይባላሉ። በቁጥር ተጠቁመዋል፡- አንደኛ አባል፣ ሁለተኛ አባል፣ ወዘተ.

በተጨማሪም ፣ ቀደም ብለን እንደምናውቀው ፣ የእድገት ጎረቤት ውሎች በቀመሩ ይዛመዳሉ-

\[(((a)_(n)))-((a)_(n-1))=d\ቀኝ ቀስት ((a)__(n))=((a)_(n-1))+d \]

ባጭሩ የ$n$th የእድገት ጊዜን ለማግኘት የ$n-1$th ቃል እና የ$d$ ልዩነትን ማወቅ አለቦት። ይህ ቀመር ተደጋጋሚ ተብሎ ይጠራል, ምክንያቱም በእሱ እርዳታ ማንኛውንም ቁጥር ማግኘት የሚችሉት የቀደመውን (እና በእውነቱ, ሁሉም ቀዳሚዎች) በማወቅ ብቻ ነው. ይህ በጣም ምቹ አይደለም ፣ ስለሆነም ማንኛውንም ስሌቶች ወደ መጀመሪያው ቃል እና ልዩነቱን የሚቀንስ የበለጠ ተንኮለኛ ቀመር አለ-

\[(((a)__(n))=((ሀ)__(1))+\ግራ(n-1 \ቀኝ) d\]

ይህን ቀመር አስቀድመው አጋጥመውት ይሆናል። በሁሉም የማጣቀሻ መጽሃፍቶች እና የመፍትሄ መጽሃፍቶች ውስጥ መስጠት ይወዳሉ. እና በማንኛውም አስተዋይ የሂሳብ መማሪያ መጽሐፍ ውስጥ ከመጀመሪያዎቹ አንዱ ነው።

ሆኖም ግን, ትንሽ እንዲለማመዱ እመክርዎታለሁ.

ተግባር ቁጥር 1 የመጀመሪያዎቹን ሶስት የሒሳብ እድገት ውሎች $\ግራ(((a)__(n)) \ቀኝ)$ ከ$((a)__(1))=8,d=-5$ ይፃፉ።

መፍትሄ። ስለዚህ፣ የመጀመሪያውን ቃል $((a)__(1))=8$ እና የሂደቱን የ$d=-5$ ልዩነት እናውቃለን። አሁን የተሰጠውን ቀመር እንጠቀም እና $n=1$፣ $n=2$ እና $n=3$ እንተካ።

\[\ጀምር (አሰላለፍ) & ((a)_(n))=((a)__(1))+\ግራ(n-1 \ቀኝ)d; \\ & (((ሀ)__(1))=(((ሀ)__(1))+\ግራ(1-1 \ቀኝ) d=((ሀ)__(1))=8; \\ & ((((ሀ)__(2))=(((ሀ)__(1))+\ግራ(2-1 \ቀኝ) d=((a)__(1))+d=8-5= 3; \\ & (((ሀ)__(3))=(((ሀ)__(1))+\ግራ(3-1 \ቀኝ) d=((ሀ)__(1))+2d=8-10= -2. \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

መልስ፡ (8፤ 3፤ -2)

ይኼው ነው! እባክዎን ያስተውሉ፡ እድገታችን እየቀነሰ ነው።

እርግጥ ነው፣ $n=1$ ሊተካ አልቻለም - የመጀመሪያው ቃል ለእኛ አስቀድሞ ይታወቃል። ይሁን እንጂ አንድነትን በመተካት ቀመራችን ለመጀመሪያ ጊዜ እንኳን እንደሚሰራ እርግጠኛ ነበርን. በሌሎች ሁኔታዎች፣ ሁሉም ነገር ወደ ባናል አርቲሜቲክ ወርዷል።

ተግባር ቁጥር 2. ሰባተኛው ቃል ከ -40 እና አስራ ሰባተኛው ቃል ከ -50 ጋር እኩል ከሆነ የመጀመሪያዎቹን ሶስት የሒሳብ ሂደቶች ይፃፉ።

መፍትሄ። የችግሩን ሁኔታ በሚታወቁ ቃላት እንፃፍ፡-

\[(((ሀ)__(7))=-40፤\quad ((a)__(17))=-50።\]

\[\ግራ\( \ጀማሪ(አሰላለፍ)&((a)__(7))=((a)__(1))+6d \\ & (((ሀ)__(17))=((ሀ) _(1))+16d \\\መጨረሻ(አሰላለፍ) \ቀኝ\]

\[\ግራ\( \\ጀማሪ(አሰላለፍ)&((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\\መጨረሻ(align) \ቀኝ.\]

የስርዓት ምልክቱን አስቀምጫለሁ ምክንያቱም እነዚህ መስፈርቶች በአንድ ጊዜ መሟላት አለባቸው. አሁን የመጀመሪያውን ከሁለተኛው እኩልታ ከቀነስን (ይህን ለማድረግ መብት አለን ፣ ስርዓት ስላለን) ይህንን እናገኛለን ።

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((ሀ)_(1))+16d-\ግራ(((a)__(1))+6d \ቀኝ=-50-\ግራ(-40 \ቀኝ); \\ & (((ሀ)__(1))+16d-((ሀ)__(1))) -6መ=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1። \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

የሂደቱን ልዩነት ማግኘት በጣም ቀላል ነው! የቀረው ሁሉ የተገኘውን ቁጥር ወደ ማንኛውም የስርዓቱ እኩልታዎች መተካት ነው። ለምሳሌ በመጀመሪያ፡-

\[\ጀማሪ (ማትሪክስ) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \ታች \\ ((ሀ)_(1)) -6=-40; \\ ((ሀ)__(1))=-40+6=-34። \\\መጨረሻ(ማትሪክስ)\]

አሁን፣ የመጀመሪያውን ቃል እና ልዩነቱን በማወቅ፣ ሁለተኛውን እና ሦስተኛውን ቃል ለማግኘት ይቀራል።

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((ሀ)__(2))=((ሀ)__(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((ሀ)__(3))=((ሀ)__(1))+2d=-34-2=-36። \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

ዝግጁ! ችግሩ ተፈቷል.

መልስ፡ (-34; -35; -36)

ያገኘነውን አስደሳች የሂደት ንብረት አስተውል፡ $n$th እና $m$th ውሎችን ወስደን እርስ በእርስ ከተቀነስን የሂደቱን ልዩነት በ$n-m$ ቁጥር ተባዝቶ እናገኛለን፡

\[(((a)__(n))((a)__(m))=d\cdot \ግራ(n-m \ቀኝ)\]

በእርግጠኝነት ማወቅ ያለብዎት ቀላል ነገር ግን በጣም ጠቃሚ ንብረት - በእሱ እርዳታ ብዙ የእድገት ችግሮችን በከፍተኛ ሁኔታ ማፋጠን ይችላሉ። የዚህ ግልጽ ምሳሌ እዚህ አለ፡-

ተግባር ቁጥር 3 የሒሳብ እድገት አምስተኛው ቃል 8.4 ነው፣ እና አሥረኛው ጊዜ 14.4 ነው። የዚህን እድገት አስራ አምስተኛውን ቃል ያግኙ።

መፍትሄ። ከ$(((a)_(5))=8.4$፣ $((a)_(10))=14.4$ ጀምሮ፣ እና $(((a)_(15))$$ን ማግኘት ስላለብን የሚከተለውን እናስተውላለን፡

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((ሀ)__(15))-((ሀ)__(10))=5d; \\ & ((ሀ)__(10))-((ሀ)__(5))=5መ. \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

ነገር ግን በሁኔታ $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$፣ስለዚህ $5d=6$፣ከዚህም አለን::

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((ሀ)__(15)) -14,4=6; \\ & ((ሀ)__(15)=6+14.4=20.4. \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

መልስ፡ 20.4

ይኼው ነው! ምንም አይነት እኩልታዎችን መፍጠር እና የመጀመሪያውን ቃል እና ልዩነቱን ማስላት አያስፈልገንም - ሁሉም ነገር በሁለት መስመሮች ብቻ ተፈትቷል.

አሁን ሌላ ዓይነት ችግርን እንመልከት - የእድገት አሉታዊ እና አወንታዊ ቃላትን መፈለግ። ግስጋሴው ከጨመረ እና የመጀመሪያው ቃል አሉታዊ ከሆነ ፈጥኖም ሆነ ዘግይቶ አዎንታዊ ቃላት በእሱ ውስጥ እንደሚታዩ ምስጢር አይደለም። እና በተገላቢጦሽ፡ የመቀነስ እድገት ውሎች ፈጥኖም ይሁን ዘግይቶ አሉታዊ ይሆናል።

በተመሳሳይ ጊዜ, በንጥረ ነገሮች ውስጥ በቅደም ተከተል በማለፍ ይህንን ጊዜ "በፊት" ማግኘት ሁልጊዜ አይቻልም. ብዙውን ጊዜ ችግሮች የሚጻፉት ቀመሮቹን ሳናውቅ ስሌቶቹ ብዙ ወረቀቶችን ይወስዳሉ - መልሱን ስናገኝ በቀላሉ እንተኛለን። ስለዚህ እነዚህን ችግሮች በፍጥነት ለመፍታት እንሞክር።

ተግባር ቁጥር 4. በሂሳብ እድገት ውስጥ ስንት አሉታዊ ቃላት አሉ -38.5; -35.8; ...?

መፍትሄ። ስለዚህ, $ ((a) __ (1)) = -38.5$, $((a)__(2)=-35.8$, ወዲያውኑ ልዩነቱን ካገኘንበት:

ልዩነቱ አዎንታዊ መሆኑን ልብ ይበሉ, ስለዚህ እድገቱ ይጨምራል. የመጀመሪያው ቃል አሉታዊ ነው, ስለዚህ በተወሰነ ጊዜ በአዎንታዊ ቁጥሮች ላይ እንሰናከላለን. ብቸኛው ጥያቄ ይህ የሚሆነው መቼ ነው.

የቃላቶቹ አሉታዊነት ለምን ያህል ጊዜ እንደሚቆይ (ማለትም እስከ ምን ያህል የተፈጥሮ ቁጥር $n$) እንደሚቆይ ለማወቅ እንሞክር፡-

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((a)_(n)) \lt 0\ቀኝ ቀስት ((a)__(1))+\ግራ(n-1 \ቀኝ) d \lt 0; \\ & -38.5+\ግራ(n-1 \ቀኝ)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \ left| \cdot 10 \ ትክክል። \\ & -385+27\cdot \ግራ(n-1 \ቀኝ) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \ lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\ቀኝ ቀስት ((n)__(\max))=15። \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

የመጨረሻው መስመር አንዳንድ ማብራሪያ ያስፈልገዋል. ስለዚህ $n \lt 15\frac(7)(27)$ መሆኑን እናውቃለን። በሌላ በኩል፣ በቁጥር ኢንቲጀር ዋጋዎች ብቻ ረክተናል (በተጨማሪም: $n\in \mathbb(N)$) ፣ ስለሆነም የሚፈቀደው ትልቁ ቁጥር በትክክል $n=15$ ነው ፣ እና በምንም ሁኔታ 16 .

ተግባር ቁጥር 5 በሂሳብ እድገት $(()__(5))=-150፣(()__(6))=-147$። የዚህን እድገት የመጀመሪያ አወንታዊ ቃል ቁጥር ያግኙ።

ይህ በትክክል ከቀዳሚው ችግር ጋር ተመሳሳይ ነው፣ ነገር ግን $((a)__(1))$ን አናውቅም። ነገር ግን የአጎራባች ቃላቶች ይታወቃሉ፡-$((a)__(5))$ እና $((a)__(6))$፣የእድገቱን ልዩነት በቀላሉ ማግኘት እንችላለን።

በተጨማሪም ፣ አምስተኛውን ቃል በአንደኛው በኩል እና ልዩነቱን መደበኛውን ቀመር በመጠቀም ለመግለጽ እንሞክር ።

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((a)_(n))=((a)__(1))+\ግራ(n-1 \ቀኝ)\cdot d; \\ & (((ሀ)__(5))=((ሀ)__(1))+4d; \\ & -150=((ሀ)__(1))+4\cdot 3; \\ & ((ሀ)__(1))=-150-12=-162። \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

አሁን ከቀዳሚው ተግባር ጋር በማመሳሰል እንቀጥላለን። በእኛ ቅደም ተከተል አወንታዊ ቁጥሮች በየትኛው ነጥብ ላይ እንደሚገኙ እንወቅ፡-

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((a)_(n))=-162+\ግራ(n-1 \ቀኝ)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \ gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\ቀኝ ቀስት ((n)__(\min))=56. \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

ለዚህ እኩልነት ዝቅተኛው የኢንቲጀር መፍትሔ ቁጥር 56 ነው።

እባክዎን ያስተውሉ፡ በመጨረሻው ተግባር ሁሉም ነገር ወደ ጥብቅ እኩልነት ወርዷል፣ ስለዚህ $n=55$ ያለው አማራጭ አይስማማንም።

አሁን ቀላል ችግሮችን እንዴት መፍታት እንዳለብን ተምረናል, ወደ ውስብስብ ችግሮች እንሂድ. ግን በመጀመሪያ ፣ ለወደፊቱ ብዙ ጊዜ እና እኩል ያልሆኑ ህዋሶችን የሚቆጥብ የሂሳብ እድገትን ሌላ በጣም ጠቃሚ ንብረት እናጠና። :)

አርቲሜቲክ አማካኝ እና እኩል መግባቶች

እየጨመረ ያለውን የሂሳብ ግስጋሴ በርካታ ተከታታይ ቃላትን እንመልከት $\ግራ(((a)__(n)) \ቀኝ)$። በቁጥር መስመር ላይ ምልክት ለማድረግ እንሞክር፡-

በቁጥር መስመር ላይ የሒሳብ እድገት ውሎች

በተለይ የዘፈቀደ ቃላትን $((a)_(n-3))፣...፣(((a)_(n+3))$፣ እና አንዳንድ $((a)_(1))፣\ ((ሀ)__(2))፣\ ((ሀ)__(3))$፣ ወዘተ ምክንያቱም አሁን የምነግርህ ህግ ለማንኛውም "ክፍሎች" ተመሳሳይ ነው የሚሰራው.

እና ደንቡ በጣም ቀላል ነው. ተደጋጋሚውን ቀመር እናስታውስ እና ለሁሉም ምልክት የተደረገባቸው ቃላት እንፃፍ፡-

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((a)__(n-2))=((a)__(n-3))+d; \\ & (((a)__(n-1))=((a)__(n-2))+d; \\ & (((a)__(n))=((ሀ)__(n-1))+d; \\ & (((a)__(n+1))=(((a)__(n))+d; \\ & (((a)__(n+2))=(((a)__(n+1))+d; \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

ሆኖም፣ እነዚህ እኩልነቶች በተለየ መንገድ እንደገና ሊፃፉ ይችላሉ፡-

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((a)__(n-1))=(((a)__(n))) -መ; \\ & (((ሀ)__(n-2))=(((ሀ)__(n)))) -2መ; \\ & (((ሀ)__(n-3))=(((ሀ)__(n)))) -3d; \\ & (((a)__(n+1))=(((a)__(n))+d; \\ & (((a)__(n+2))=(((a)__(n))+2d; \\ & (((a)__(n+3))=(((a)__(n))+3d; \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

ደህና፣ ታዲያ ምን? እና $((a)_(n-1))$ እና $((a)_(n+1))$ የሚዋሹት ከ$(((a)_(n)))$ በተመሳሳይ ርቀት . እና ይህ ርቀት ከ$d$ ጋር እኩል ነው። ስለ $((a)__(n-2))$ እና $((a)__(n+2))$ ስለ ቃላቶቹ ተመሳሳይ ነገር ሊባል ይችላል - እነሱም ከ$((a)_(n) ተወግደዋል። )$ በተመሳሳይ ርቀት ከ$2d$ ጋር እኩል ነው። ማስታወቂያ infinitum ልንቀጥል እንችላለን፣ ግን ትርጉሙ በሥዕሉ በደንብ ተገልጧል

የሂደቱ ውሎች ከመሃል ላይ በተመሳሳይ ርቀት ላይ ይገኛሉ

ይህ ለእኛ ምን ማለት ነው? ይህ ማለት የአጎራባች ቁጥሮች የሚታወቁ ከሆነ $(((a)_(n))$ ሊገኝ ይችላል፡-

\[(((ሀ)__(n))=\frac((((a)__(n-1))+(((a)__(n+1))))(2)\]

በጣም ጥሩ የሆነ መግለጫ አውጥተናል፡ እያንዳንዱ የሒሳብ እድገት ቃል ከአጎራባች ቃላቶች የሂሳብ አማካኝ ጋር እኩል ነው! ከዚህም በላይ፡ ከ$((a)__(n))$ ወደ ግራ እና ወደ ቀኝ በአንድ ደረጃ ሳይሆን በ$k$ ደረጃዎች መመለስ እንችላለን - እና ቀመሩ አሁንም ትክክል ይሆናል።

\[(((a)__(n))=\frac((((a)__(n-k))+(((a)__(n+k))))(2)\]

እነዚያ። $((a)__(100))$ እና $(((a)__(200))$$ ካወቅን በቀላሉ አንዳንድ $(((ሀ)_(150))$ ማግኘት እንችላለን፣ ምክንያቱም $(((ሀ)) (150))=\frac(((ሀ)__(100))+((ሀ)__(200)))(2)$ በመጀመሪያ ሲታይ, ይህ እውነታ ምንም ጠቃሚ ነገር የማይሰጠን ሊመስል ይችላል. ነገር ግን፣ በተግባር፣ ብዙ ችግሮች በተለይ የሂሳብ አማካኙን ለመጠቀም የተበጁ ናቸው። ተመልከት:

ተግባር ቁጥር 6 የ$-6((x)^(2))$፣ $x+1$ እና $14+4((x)^(2))$ ተከታታይ የውል ቃል የሆኑበትን የ$x$ ዋጋዎችን ሁሉ ያግኙ። የሂሳብ እድገት (በተጠቀሰው ቅደም ተከተል)።

መፍትሄ። እነዚህ ቁጥሮች የእድገት አባላት በመሆናቸው የሂሳብ አማካይ ሁኔታ ለእነሱ ረክቷል፡ ማዕከላዊው ንጥረ ነገር $ x+1$ በአጎራባች አካላት ሊገለጽ ይችላል፡

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0። \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

ውጤቱ ክላሲክ ኳድራቲክ እኩልታ ነው። ሥሩ፡- $x=2$ እና $x=-3$ መልሶች ናቸው።

መልስ፡-3; 2.

ተግባር ቁጥር 7 ቁጥሮች $-1፤4-3፤(()^(2))+1$ የሂሳብ እድገትን የሚፈጥሩበት የ$$ እሴቶችን ይፈልጉ (በዚያው ቅደም ተከተል)።

መፍትሄ። እንደገና መካከለኛውን ቃል በአጎራባች ቃላቶች የሂሳብ ትርጉም እንግለጽ።

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac((((x)^(2))+x)(2);\quad \ ግራ| \cdot 2 \ቀኝ.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0። \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

ኳድራቲክ እኩልታ እንደገና። እና እንደገና ሁለት ሥሮች አሉ-$ x=6$ እና $x=1$።

መልስ፡ 1; 6.

ችግርን በመፍታት ሂደት ውስጥ አንዳንድ ጭካኔ የተሞላባቸው ቁጥሮች ካገኙ ወይም በተገኙት መልሶች ትክክለኛነት ላይ ሙሉ በሙሉ እርግጠኛ ካልሆኑ ታዲያ እርስዎ እንዲፈትሹ የሚያስችልዎ አስደናቂ ዘዴ አለ ችግሩን በትክክል ፈትተናል?

በችግር ቁጥር 6 ላይ መልስ አግኝተናል እንበል -3 እና 2. እነዚህ መልሶች ትክክል መሆናቸውን እንዴት ማረጋገጥ እንችላለን? ወደ መጀመሪያው ሁኔታ ብቻ እንሰካቸው እና ምን እንደሚፈጠር እንይ። ሶስት ቁጥሮች እንዳለን ላስታውስህ ($-6(()^(2))$፣ $+1$ እና $14+4()^(2))$) እነዚህም የሂሳብ እድገት መፍጠር አለባቸው። $x=-3$ እንተካ፡

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & x=-3\ቀኝ ቀስት \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50። \መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

ቁጥሮቹን አገኘን -54; -2; በ 52 የሚለየው 50 ምንም ጥርጥር የለውም የሂሳብ ግስጋሴ ነው። በ$x=2$ ተመሳሳይ ነገር ይከሰታል።

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & x=2\ቀኝ ቀስት \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30። \መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

እንደገና እድገት, ነገር ግን ልዩነት ጋር 27. ስለዚህም, ችግሩ በትክክል ተፈትቷል. የሚፈልጉት ሁለተኛውን ችግር በራሳቸው ማረጋገጥ ይችላሉ, ነገር ግን ወዲያውኑ እናገራለሁ: እዚያም ሁሉም ነገር ትክክል ነው.

ባጠቃላይ፣ የመጨረሻዎቹን ችግሮች እየፈታን ሳለ፣ ሌላም ሊታወስ የሚገባው አንድ አስደሳች እውነታ አጋጠመን፡-

ሶስት ቁጥሮች ከሆነ ሁለተኛው የመጀመሪያው እና የመጨረሻው የሂሳብ አማካኝ ከሆነ, እነዚህ ቁጥሮች የሂሳብ እድገትን ይመሰርታሉ.

ለወደፊቱ, ይህንን መግለጫ መረዳቱ በችግሩ ሁኔታዎች ላይ በመመርኮዝ አስፈላጊ የሆኑትን እድገቶች በትክክል "እንዲገነባ" ያስችለናል. ነገር ግን በእንደዚህ ዓይነት "ግንባታ" ውስጥ ከመሳተፋችን በፊት, ለአንድ ተጨማሪ እውነታ ትኩረት መስጠት አለብን, እሱም ቀደም ሲል ከተነጋገርነው በቀጥታ ይከተላል.

አባሎችን መቧደን እና ማጠቃለል

እንደገና ወደ ቁጥር ዘንግ እንመለስ። እስቲ በርካታ የዕድገት አባላትን እናስተውል በመካከላቸው ምናልባትም። ለብዙ ሌሎች አባላት ዋጋ አለው፡-

በቁጥር መስመር ላይ ምልክት የተደረገባቸው 6 አካላት አሉ።

“የግራ ጅራትን” በ$((a)_(n))$ እና $d$፣ እና “ቀኝ ጅራት” በ$((a)_(k))$ እና $d$ ለመግለፅ እንሞክር። በጣም ቀላል ነው፡-

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((a)__(n+1))=(((a)__(n))+d; \\ & (((a)__(n+2))=(((a)__(n))+2d; \\ & (((ሀ)__(k-1))=(((ሀ)__(k)))) -d; \\ & ((ሀ)__(k-2))=(((ሀ)__(k))))) -2መ. \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

አሁን የሚከተሉት መጠኖች እኩል መሆናቸውን ልብ ይበሉ:

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((a)__(n))+((a)__(k))=S; \\ & ((((a)__(n+1)))+((((a)__(k-1)))=(((a)__(n))+d+((ሀ)__(k))) -d= ኤስ; \\ & (((((a))__(n+2)))+((((a)__(k-2)))=(((a)__(n))+2d+((ሀ)__(k))))))-2d= ኤስ. \መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

በቀላል አነጋገር የሂደቱን ሁለት አካላት እንደ ጅምር ከወሰድን በጠቅላላው ከአንዳንድ ቁጥር $S$ ጋር እኩል ናቸው እና ከዚያም ከእነዚህ ንጥረ ነገሮች በተቃራኒ አቅጣጫ መሄድ ከጀመርን (ወደ አንዱ ወይም በተቃራኒው ለመራቅ)። ከዚያም የምንሰናከልባቸው ንጥረ ነገሮች ድምርም እኩል ይሆናል።$S$ ይህ በጣም በግልፅ በግራፊክ ሊወከል ይችላል፡-

እኩል ውስጠቶች እኩል መጠን ይሰጣሉ

ይህንን እውነታ መረዳታችን ከላይ ከጠቀስናቸው ችግሮች በመሠረታዊ ደረጃ ከፍ ያለ ውስብስብ ችግሮችን ለመፍታት ያስችለናል። ለምሳሌ እነዚህ፡-

ተግባር ቁጥር 8 የመጀመሪያው ቃል 66 የሆነበትን የሂሳብ እድገት ልዩነት ይወስኑ ፣ እና የሁለተኛው እና የአስራ ሁለተኛው ቃላት ውጤት በጣም ትንሹ ነው።

መፍትሄ። የምናውቀውን ሁሉ እንጻፍ፡-

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((ሀ)__(1))=66; \\&d=? \\ & (((ሀ)__(2))\cdot ((ሀ)__(12))=\min . \መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

ስለዚህ፣ የሂደቱን ልዩነት $d$ አናውቅም። ምርቱ $(((a)__(2))\cdot ((a)_(12))$$ በሚከተለው መልኩ እንደገና ሊፃፍ ስለሚችል፣ ሁሉም መፍትሄ በልዩነቱ ዙሪያ ይገነባል።

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((a)__(2))=((ሀ)__(1))+d=66+d; \\ & (((ሀ)__(12))=((ሀ)__(1))+11d=66+11d; \\ & ((((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\ግራ(66+d \ቀኝ)\cdot \ግራ(66+11d \ቀኝ)= \\ & =11 \cdot \ግራ(d+66 \ቀኝ)\cdot \ግራ(d+6 \ቀኝ)። \መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

በማጠራቀሚያው ውስጥ ላሉት፡- ከሁለተኛው ቅንፍ ውስጥ የ11ቱን አጠቃላይ ብዜት ወሰድኩ። ስለዚህ, የሚፈለገው ምርት ከተለዋዋጭ $d$ አንጻር አራት ማዕዘን ተግባር ነው. ስለዚህ $f\ግራ(d \right)=11\ግራ(d+66 \ቀኝ)\ግራ(d+6 \ቀኝ)$ የሚለውን ተግባር አስቡበት - ግራፉ ከቅርንጫፎች ጋር ፓራቦላ ይሆናል ፣ ምክንያቱም ቅንፎችን ከሰፋን የሚከተሉትን እናገኛለን

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & f\ግራ(መ \ቀኝ)=11\ግራ(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11((((መ)^(2)) d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

እንደሚመለከቱት ፣ የከፍተኛው ጊዜ ብዛት 11 ነው - ይህ አወንታዊ ቁጥር ነው ፣ ስለሆነም እኛ በእውነቱ ወደ ላይ ቅርንጫፎች ካለው ፓራቦላ ጋር እየተገናኘን ነው ።

የኳድራቲክ ተግባር ግራፍ - ፓራቦላ

እባክዎን ያስተውሉ፡ ይህ ፓራቦላ ዝቅተኛውን እሴቱን በአከርካሪው ላይ ከ abcissa $((መ)_(0))$ ጋር ይወስዳል። እርግጥ ነው፣ ይህንን አቢሲሳ መደበኛውን እቅድ በመጠቀም ማስላት እንችላለን (ቀመር $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$) አለ)፣ ነገር ግን ማስታወሱ የበለጠ ምክንያታዊ ይሆናል። የሚፈለገው ጫፍ በፓራቦላ ዘንግ ሲምሜትሪ ላይ እንደሚገኝ፣ ስለዚህ ነጥቡ $((መ)_(0))$ ከቀመር $f\ግራ(d \ቀኝ)=0$ ሥሩ ይርቃል።

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & f\ግራ(መ \ቀኝ)=0; \\ & 11\cdot \ግራ(d+66 \ቀኝ)\cdot \ግራ(d+6 \ቀኝ)=0; \\ & (((መ)__(1))=-66፤\quad ((መ)__(2))=-6። \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

ለዚህም ነው ቅንፎችን ለመክፈት የተለየ ቸኩሎ ያልነበረኝ፡ በመጀመሪያ መልክ ሥሮቹ በጣም በጣም ቀላል ነበሩ። ስለዚህ፣ abcissa ከቁጥር -66 እና -6 የሂሳብ አማካኝ ጋር እኩል ነው።

\[((መ)__(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

የተገኘው ቁጥር ምን ይሰጠናል? በእሱ አማካኝነት የሚፈለገው ምርት አነስተኛውን እሴት ይይዛል (በነገራችን ላይ $((y)_(\min))$ በጭራሽ አላሰላንም - ይህ ከእኛ አይፈለግም)። በተመሳሳይ ጊዜ, ይህ ቁጥር የዋናው እድገት ልዩነት ነው, ማለትም. መልሱን አግኝተናል። :)

መልስ፡-36

ተግባር ቁጥር 9 በቁጥር $ -\frac(1)(2)$ እና $-\frac(1)(6)$ መካከል ሶስት ቁጥሮችን አስገባ ከነዚህ ቁጥሮች ጋር አንድ ላይ የሂሳብ እድገት ይመሰርታሉ።

መፍትሄ። በመሠረቱ, የአምስት ቁጥሮችን ቅደም ተከተል ማድረግ አለብን, ከመጀመሪያው እና የመጨረሻው ቁጥር አስቀድሞ ይታወቃል. የጎደሉትን ቁጥሮች በተለዋዋጭዎቹ $x$፣ $y$ እና $z$ እንጥቀስ፡-

\[\ግራ(((a)_(n)) \ቀኝ)=\ግራ\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \ቀኝ\ )\]

$y$ ቁጥር የእኛ ቅደም ተከተል "መካከለኛ" መሆኑን ልብ ይበሉ - ከቁጥሮች $ x$ እና $z$, እና ከቁጥሮች $ -\ frac (1) (2)$ እና $ -\frac ቁጥሮች ጋር እኩል ነው. (1) (6)$ እና በአሁኑ ጊዜ $y$ን ከ $ x$ እና $z$ ቁጥሮች ማግኘት ካልቻልን ፣ ከዚያ ሁኔታው ​​ከሂደቱ መጨረሻዎች የተለየ ነው። የሒሳብ ትርጉምን እናስታውስ፡-

አሁን፣ $y$ን በማወቅ፣ የተቀሩትን ቁጥሮች እናገኛለን። $x$ በ$ -\frac(1)(2)$ እና አሁን ባገኘነው $y=-\frac(1)(3)$ መካከል እንደሚገኝ ልብ ይበሉ። ለዛ ነው

ተመሳሳይ ምክንያትን በመጠቀም የቀረውን ቁጥር እናገኛለን፡-

ዝግጁ! ሶስቱንም ቁጥሮች አግኝተናል። በመጀመሪያዎቹ ቁጥሮች መካከል ማስገባት ያለባቸውን በቅደም ተከተል በመልሱ ውስጥ እንጽፋቸው.

መልስ፡- $ -\frac(5)(12)፤\ -\frac(1)(3)፤

ተግባር ቁጥር 10 በቁጥር 2 እና 42 መካከል የገቡት ቁጥሮች የመጀመሪያ ፣ ሁለተኛ እና የመጨረሻ ድምር 56 መሆኑን ካወቁ ፣ ከእነዚህ ቁጥሮች ጋር ፣ የሂሳብ እድገትን የሚፈጥሩ ብዙ ቁጥሮችን ያስገቡ።

መፍትሄ። ይበልጥ ውስብስብ የሆነ ችግር, ሆኖም ግን, እንደ ቀድሞዎቹ ተመሳሳይ መርሃግብር - በሂሳብ ስሌት. ችግሩ ምን ያህል ቁጥሮች ማስገባት እንዳለብን በትክክል አለማወቃችን ነው። ስለዚህ ፣ ሁሉንም ነገር ከገባን በኋላ በትክክል $n$ ቁጥሮች እንደሚኖሩ እንገምት ፣ እና የመጀመሪያው 2 ፣ እና የመጨረሻው 42 ነው ። በዚህ ሁኔታ ፣ የሚፈለገው የሂሳብ እድገት በቅጹ ውስጥ ሊወከል ይችላል ።

\[\ግራ(((a)_(n)) \ቀኝ)=\ግራ\( 2;((ሀ)__(2));((ሀ)__(3));...;(( ሀ)_(n-1));42 \ቀኝ\)\]

\[((ሀ)__(2))+((ሀ)__(3))+((ሀ)__(n-1))=56\]

ነገር ግን $((a)__(2))$ እና $((a)__(n-1))$ ቁጥሮች ከቁጥር 2 እና 42 ከዳርቻው በአንድ እርምጃ እርስበርስ እንደሚገኙ አስተውል። ማለትም. ወደ ቅደም ተከተል መሃል. እና ይሄ ማለት ነው።

\[((ሀ)__(2))+((ሀ)__(n-1))=2+42=44\]

ግን ከዚያ በላይ የተጻፈው አገላለጽ እንደሚከተለው እንደገና ሊፃፍ ይችላል-

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((ሀ)__(2))+((ሀ)__(3))+((ሀ)__(n-1))=56; \\ & \ግራ(((ሀ)__(2))+((ሀ)__(n-1)) \ቀኝ)+((ሀ)__(3))=56; \\ & 44+((ሀ)__(3))=56; \\ & ((ሀ)__(3))=56-44=12። \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

$((a)__(3))$ እና $((a)__(1))$ን በማወቅ የሂደቱን ልዩነት በቀላሉ ማግኘት እንችላለን፡-

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((ሀ)__(3))-((ሀ)__(1))=12-2=10; \\ & (((ሀ)__(3))-((ሀ)__(1))=\ግራ(3-1 \ቀኝ)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\ቀኝ ቀስት d=5። \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

የቀረውን ቀሪ ውሎችን ማግኘት ብቻ ነው፡-

\[\ጀምር (አሰላለፍ) & ((ሀ)__(1))=2; \\ & ((ሀ)__(2))=2+5=7; \\ & ((ሀ)__(3))=12; \\ & (((ሀ)__(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & (((ሀ)__(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & (((ሀ)__(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & (((ሀ)__(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & (((ሀ)__(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & (((ሀ)__(9))=2+8\cdot 5=42; \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

ስለዚህ, ቀድሞውኑ በ 9 ኛው ደረጃ በቅደም ተከተል በግራ በኩል እንደርሳለን - ቁጥር 42. በአጠቃላይ, 7 ቁጥሮች ብቻ ማስገባት ነበረባቸው: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

መልስ፡ 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

የቃል ችግሮች በእድገት

ለማጠቃለል ያህል በአንጻራዊነት ቀላል የሆኑ ሁለት ችግሮችን ግምት ውስጥ ማስገባት እፈልጋለሁ. ደህና፣ እንደዛ ቀላል፣ በትምህርት ቤት ውስጥ የሂሳብ ትምህርት ለሚማሩ እና ከላይ የተጻፈውን ያላነበቡ አብዛኞቹ ተማሪዎች፣ እነዚህ ችግሮች ከባድ ሊመስሉ ይችላሉ። ቢሆንም፣ እነዚህ በ OGE እና በሒሳብ የተዋሃደ የስቴት ፈተና ላይ የሚታዩት የችግሮች አይነት ናቸው፣ ስለዚህ እራስዎን በደንብ እንዲያውቁዋቸው እመክራለሁ።

ተግባር ቁጥር 11. ቡድኑ በጥር ወር 62 ክፍሎችን ያመረተ ሲሆን በየቀጣዩ ወር ካለፈው ወር 14 ተጨማሪ ክፍሎችን አምርቷል። ቡድኑ በህዳር ምን ያህል ክፍሎች አመረተ?

መፍትሄ። በወር የተዘረዘሩ ክፍሎች ቁጥር እየጨመረ የሚሄደውን የሂሳብ እድገትን እንደሚወክል ግልጽ ነው። ከዚህም በላይ፡-

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((a)__(1))=62;\quad d=14; \\ & (((a)_(n))=62+\ግራ(n-1 \በቀኝ)\cdot 14. \\\መጨረሻ(align)\]

ህዳር የአመቱ 11ኛው ወር ነው፣ስለዚህ $((a)__(11))$ ማግኘት አለብን::

\[((ሀ)__(11))=62+10\cdot 14=202\]

ስለዚህ በህዳር ወር 202 ክፍሎች ይመረታሉ.

ተግባር ቁጥር 12. የመጽሃፍ ማሰሪያው አውደ ጥናት በጥር ወር 216 መጽሃፎችን ያሰረ ሲሆን በእያንዳንዱ ወር ውስጥ ካለፈው ወር የበለጠ 4 መጽሃፎችን አስሯል። ወርክሾፑ በታህሳስ ወር ስንት መጽሃፎችን አሳሰረ?

መፍትሄ። ሁሉም ተመሳሳይ:

$\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & (((a)__(n))=216+\ግራ(n-1 \በቀኝ)\cdot 4. \\\መጨረሻ(align)$

ዲሴምበር የዓመቱ የመጨረሻ፣ 12ኛው ወር ነው፣ ስለዚህ እኛ የምንፈልገው $((a)__(12))$፡

\[((ሀ)__(12))=216+11\cdot 4=260\]

መልሱ ይህ ነው - በታህሳስ ወር 260 መጽሐፍት ይታሰራሉ።

ደህና፣ ይህን እስካሁን ካነበብክ፣ እንኳን ደስ ለማለት ቸኩያለሁ፡ በሂሳብ እድገቶች ውስጥ "የወጣቱን ተዋጊ ኮርስ" በተሳካ ሁኔታ አጠናቅቀሃል። ወደ ቀጣዩ ትምህርት በደህና መሄድ ይችላሉ, ለእድገት ድምር ቀመር, እንዲሁም ከእሱ ጠቃሚ እና በጣም ጠቃሚ ውጤቶችን እናጠናለን.

የቁጥር ቅደም ተከተል ፅንሰ-ሀሳብ የሚያመለክተው እያንዳንዱ የተፈጥሮ ቁጥር ከትክክለኛ እሴት ጋር እንደሚዛመድ ነው። እንደነዚህ ያሉት ተከታታይ ቁጥሮች የዘፈቀደ ሊሆኑ ወይም የተወሰኑ ንብረቶች ሊኖራቸው ይችላል - እድገት። በኋለኛው ሁኔታ, እያንዳንዱ ተከታይ አባል (አባል) በቅደም ተከተል ቀዳሚውን በመጠቀም ሊሰላ ይችላል.

የሂሳብ ግስጋሴ የቁጥር እሴቶች ቅደም ተከተል ነው ፣ በአጎራባች አባላቱ ውስጥ በተመሳሳይ ቁጥር እርስ በእርስ የሚለያዩበት (ሁሉም የተከታታዩ አካላት ፣ ከ 2 ኛ ጀምሮ ፣ ተመሳሳይ ንብረት አላቸው)። ይህ ቁጥር - በቀደሙት እና በሚቀጥሉት ቃላት መካከል ያለው ልዩነት - ቋሚ እና የእድገት ልዩነት ይባላል.

የሂደት ልዩነት: ፍቺ

የj እሴቶችን A = a(1)፣ a(2)፣ a(3)፣ a(4) ... a(j)፣ jን የተፈጥሮ ቁጥሮች ስብስብ ነው N. የሂሳብ ስሌት የያዘውን ቅደም ተከተል አስቡበት። ግስጋሴ፣ እንደ ፍቺው፣ ቅደም ተከተል ነው፣ በዚህ ውስጥ a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) – a(j-1) = መ. ዋጋ d የዚህ እድገት የሚፈለገው ልዩነት ነው.

d = a (j) - a (j-1).

አድምቅ፡

• እየጨመረ የሚሄድ እድገት፣ በዚህ ሁኔታ d > 0. ምሳሌ፡ 4፣ 8፣ 12፣ 16፣ 20፣ ...
• እድገት እየቀነሰ፣ ከዚያም መ< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

የልዩነት እድገት እና የዘፈቀደ አካላት

የሂደቱ 2 የዘፈቀደ ቃላት የሚታወቁ ከሆነ (i-th፣ k-th)፣ ለተወሰነ ቅደም ተከተል ያለው ልዩነት በግንኙነት ላይ ተመስርቶ ሊወሰን ይችላል፡-

a(i) = a(k) + (i - k)*d ማለትም d = (a(i) - a(k))/(i-k) ማለት ነው።

የሂደቱ ልዩነት እና የመጀመሪያ ጊዜ

ይህ አገላለጽ የማይታወቅ ዋጋን ለመወሰን የሚረዳው የቅደም ተከተል አባል ቁጥር በሚታወቅበት ጊዜ ብቻ ነው።

የሂደቱ ልዩነት እና ድምር

የሂደቱ ድምር የውሎቹ ድምር ነው። የመጀመሪያዎቹን j ንጥረ ነገሮች አጠቃላይ ዋጋ ለማስላት ተገቢውን ቀመር ይጠቀሙ፡-

S (j) ==((a(1) + a(j))/2)*j፣ ግን ከዚያ ጀምሮ a (j) = a (1) + d (j – 1)፣ ከዚያ S (j) = ((a (1) + a(1) + d (j – 1))/2)*j=(( 2a (1) + d (- 1))/2)*ጄ.

የመስመር ላይ ካልኩሌተር.
የሂሳብ እድገትን መፍታት።
የተሰጠው፡ a n, d, n
አግኝ: 1

ይህ የሂሳብ ፕሮግራም በተጠቃሚ በተገለጹ ቁጥሮች \(a_n ፣ d\) እና \(n\) ላይ የተመሠረተ የሂሳብ እድገት \(a_1 \)ን ያገኛል።
ቁጥሮች \(a_n\) እና \(d \) እንደ ኢንቲጀር ብቻ ሳይሆን እንደ ክፍልፋዮችም ሊገለጹ ይችላሉ። ከዚህም በላይ የክፍልፋይ ቁጥሩ በአስርዮሽ ክፍልፋይ (\ (2.5 \)) እና በተለመደው ክፍልፋይ (\ (-5 \ frac (2) (7)\)) መልክ ሊገባ ይችላል.

ፕሮግራሙ ለችግሩ መልስ ብቻ ሳይሆን መፍትሄ የማግኘት ሂደቱንም ያሳያል.

ይህ የመስመር ላይ ካልኩሌተር በሁለተኛ ደረጃ ትምህርት ቤት ለሚማሩ ተማሪዎች ለፈተና እና ለፈተና ሲዘጋጁ፣ ከዩኒየፍድ ስቴት ፈተና በፊት ዕውቀትን ሲፈትኑ እና ወላጆች በሂሳብ እና በአልጀብራ ውስጥ ያሉ ብዙ ችግሮችን ለመፍታት ጠቃሚ ሊሆን ይችላል። ወይም ሞግዚት መቅጠር ወይም አዲስ የመማሪያ መጽሐፍ መግዛት ለእርስዎ በጣም ውድ ሊሆን ይችላል? ወይም የእርስዎን የሂሳብ ወይም የአልጀብራ የቤት ስራ በተቻለ ፍጥነት ማከናወን ይፈልጋሉ? በዚህ አጋጣሚ ፕሮግራሞቻችንን ከዝርዝር መፍትሄዎች ጋር መጠቀም ይችላሉ.

በዚህ መንገድ የራሳችሁን ስልጠና እና/ወይም ታናሽ ወንድሞቻችሁን ወይም እህቶቻችሁን ማሰልጠን ትችላላችሁ።

ቁጥሮችን ለማስገባት ደንቦችን ካላወቁ እራስዎን በደንብ እንዲያውቁዋቸው እንመክራለን.

ቁጥሮችን ለማስገባት ደንቦች

ቁጥሮች \(a_n\) እና \(d \) እንደ ኢንቲጀር ብቻ ሳይሆን እንደ ክፍልፋዮችም ሊገለጹ ይችላሉ።
ቁጥር \(n\) አዎንታዊ ኢንቲጀር ብቻ ሊሆን ይችላል።

የአስርዮሽ ክፍልፋዮችን ለማስገባት ህጎች።
በአስርዮሽ ክፍልፋዮች ውስጥ ያሉት ኢንቲጀር እና ክፍልፋይ ክፍሎች በአንድ ጊዜ ወይም በነጠላ ሰረዝ ሊለያዩ ይችላሉ።
ለምሳሌ፣ እንደ 2.5 ወይም እንደ 2.5 ያሉ የአስርዮሽ ክፍልፋዮችን ማስገባት ይችላሉ።

ተራ ክፍልፋዮችን ለማስገባት ደንቦች.
ሙሉ ቁጥር ብቻ የአንድ ክፍልፋይ አሃዛዊ፣ አካፋይ እና ኢንቲጀር ክፍል ሆኖ መስራት ይችላል።

መለያው አሉታዊ ሊሆን አይችልም።

የቁጥር ክፍልፋይን በሚያስገቡበት ጊዜ አሃዛዊው ከመለያው በክፍል ምልክት ይለያል፡- /
ግቤት፡
ውጤት፡ \(-\frac(2)(3)\)

ጠቅላላው ክፍል በአምፐርሳንድ ምልክት ከክፍልፋዩ ተለይቷል፡- &
ግቤት፡
ውጤት፡ \(-1\frac(2)(3)\)

ቁጥሮች a n, d, n ያስገቡ

1 ያግኙ

ይህንን ችግር ለመፍታት አስፈላጊ የሆኑ አንዳንድ ስክሪፕቶች እንዳልተጫኑ ታወቀ፣ እና ፕሮግራሙ ላይሰራ ይችላል።
AdBlock የነቃ ሊሆን ይችላል።
በዚህ አጋጣሚ ያሰናክሉት እና ገጹን ያድሱት።

ጃቫ ስክሪፕት በአሳሽዎ ውስጥ ተሰናክሏል።
መፍትሄው እንዲታይ ጃቫ ስክሪፕትን ማንቃት ያስፈልግዎታል።
በአሳሽዎ ውስጥ ጃቫ ስክሪፕትን እንዴት ማንቃት እንደሚችሉ መመሪያዎች እዚህ አሉ።

ምክንያቱም ችግሩን ለመፍታት ፍቃደኛ የሆኑ ብዙ ሰዎች አሉ፣ ጥያቄዎ ተሰልፏል።
በጥቂት ሰከንዶች ውስጥ መፍትሄው ከታች ይታያል.
ቆይ በናተህ ሰከንድ...

አንተ በመፍትሔው ላይ ስህተት አስተውሏል, ከዚያም ስለዚህ ጉዳይ በግብረመልስ ቅጽ ውስጥ መጻፍ ይችላሉ.
አንዳትረሳው የትኛውን ተግባር ያመልክቱአንተ ምን ትወስናለህ ወደ ሜዳዎች ግባ.

የእኛ ጨዋታዎች፣ እንቆቅልሾች፣ አስመሳይዎች፡-

ትንሽ ንድፈ ሐሳብ.

የቁጥር ቅደም ተከተል

በዕለት ተዕለት ልምምዶች, የተለያዩ እቃዎች ቁጥር መቁጠር ብዙውን ጊዜ የተደረደሩበትን ቅደም ተከተል ለማመልከት ይጠቅማል. ለምሳሌ በየመንገዱ ያሉት ቤቶች በቁጥር የተቀመጡ ናቸው። በቤተ መፃህፍቱ ውስጥ, የአንባቢዎች ምዝገባዎች በቁጥር የተቆጠሩ እና ከዚያም በልዩ የካርድ ፋይሎች ውስጥ በተመደቡት ቁጥሮች ቅደም ተከተል ይዘጋጃሉ.

በቁጠባ ባንክ ውስጥ፣ የተቀማጩን የግል መለያ ቁጥር በመጠቀም፣ ይህን መለያ በቀላሉ ማግኘት እና በእሱ ላይ ምን ተቀማጭ እንዳለ ማየት ይችላሉ። መለያ ቁጥር 1 የ a1 ሩብል ተቀማጭ ይይዝ፣ መለያ ቁጥር 2 የ a2 ሩብል ተቀማጭ ወዘተ ይይዛል። የቁጥር ቅደም ተከተል
ሀ 1 ፣ ሀ 2 ፣ ሀ 3 ፣ ... ፣ ኤን
የት N የሁሉም መለያዎች ቁጥር ነው. እዚህ, እያንዳንዱ የተፈጥሮ ቁጥር n ከ 1 እስከ N ከቁጥር a n ጋር የተያያዘ ነው.

በሂሳብም ተማረ ማለቂያ የሌለው የቁጥር ቅደም ተከተል
ሀ 1 ፣ ሀ 2 ፣ ሀ 3 ፣ ... ፣ n ፣ ... ።
ቁጥር 1 ይባላል ቅደም ተከተል የመጀመሪያ ቃልቁጥር አንድ 2 - የሁለተኛው ቅደም ተከተልቁጥር አንድ 3 - የሶስተኛ ጊዜ ቅደም ተከተልወዘተ.
ቁጥር a n ይባላል nth (nኛ) የተከታታይ አባል, እና የተፈጥሮ ቁጥር n የእሱ ነው ቁጥር.

ለምሳሌ, በካሬዎች ቅደም ተከተል የተፈጥሮ ቁጥሮች 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2, (n + 1) 2, ... እና 1 = 1 በቅደም ተከተል የመጀመሪያ ቃል ነው; እና n = n 2 በቅደም ተከተል n ኛ ቃል ነው; a n+1 = (n + 1) 2 የተከታታይ (n + 1) ኛ (n plus first) ቃል ነው። ብዙውን ጊዜ አንድ ተከታታይ በ nth ቃል ቀመር ሊገለጽ ይችላል። ለምሳሌ ቀመር \(a_n=\frac(1)(n)) \; n \in \mathbb(N) \) ቅደም ተከተልን ይገልፃል \(1, \; \ frac (1) (2), \; \frac ( 1) (3) ፣ \; \ frac (1) (4) ፣ \ ነጥቦች ፣ \ frac (1) (n) ፣ \ ነጥቦች \)

አርቲሜቲክ እድገት

የዓመቱ ርዝመት በግምት 365 ቀናት ነው. የበለጠ ትክክለኛ ዋጋ \(365\frac(1)(4)\) ቀናት ነው፣ ስለዚህ በየአራት አመቱ የአንድ ቀን ስህተት ይከማቻል።

ለዚህ ስህተት ምክንያት በየአራተኛው ዓመት አንድ ቀን ይጨመራል እና የተራዘመው ዓመት የመዝለል ዓመት ይባላል።

ለምሳሌ፣ በሦስተኛው ሺህ ዓመት፣ የሊፕ ዓመታት 2004፣ 2008፣ 2012፣ 2016፣ ... ናቸው።

በዚህ ቅደም ተከተል, እያንዳንዱ አባል, ከሁለተኛው ጀምሮ, ከቀዳሚው ጋር እኩል ነው, ወደ ተመሳሳይ ቁጥር 4 ተጨምሯል. እንደዚህ አይነት ቅደም ተከተሎች ይባላሉ. የሂሳብ እድገቶች.

ፍቺ
የቁጥር ቅደም ተከተል a 1, a 2, a 3, ..., a n, ... ይባላል የሂሳብ እድገት, ለሁሉም የተፈጥሮ n እኩልነት ከሆነ
\(a_(n+1) = a_n+d፣ \)
d አንዳንድ ቁጥር የት ነው.

ከዚህ ቀመር አንድ n+1 - a n = d. ቁጥር d ልዩነቱ ይባላል የሂሳብ እድገት.

በሂሳብ እድገት ፍቺ አለን።
\(a_(n+1)=a_n+d፣ \quad a_(n-1)=a_n-d፣ \)
የት
\(a_n= \frac(a_(n-1))+a_(n+1))(2) \)በየት \(n>1 \)

ስለዚህ፣ እያንዳንዱ የሂሳብ እድገት ቃል፣ ከሁለተኛው ጀምሮ፣ ከሁለቱ ተያያዥ ቃላት የሂሳብ አማካኝ ጋር እኩል ነው። ይህ የ"ሒሳብ" እድገት የሚለውን ስም ያብራራል.

አንድ 1 እና d ከተሰጡ ቀሪዎቹ የሂሳብ ግስጋሴ ቃላቶች ተደጋጋሚውን ቀመር a n+1 = a n + d በመጠቀም ሊሰሉ እንደሚችሉ ልብ ይበሉ። በዚህ መንገድ የሂደቱን የመጀመሪያዎቹን ጥቂት ቃላት ለማስላት አስቸጋሪ አይደለም, ሆኖም ግን, ለምሳሌ, 100 ቀድሞውኑ ብዙ ስሌቶችን ይጠይቃል. በተለምዶ፣ nኛው ቃል ቀመር ለዚህ ጥቅም ላይ ይውላል። በሂሳብ እድገት ፍቺ
\(a_2=a_1+d፣ \)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d፣ \)
\(a_4=a_3+d=a_1+3d \)
ወዘተ.
ፈጽሞ,
\(a_n=a_1+(n-1)d፣ \)
የ Nth ቃል የሂሳብ እድገት ከመጀመሪያው ቃል የተገኘ በመሆኑ (n-1) ከቁጥር መ.
ይህ ቀመር ይባላል ለአርቲሜቲክ እድገት ለ n ኛ ቃል ቀመር.

የሒሳብ እድገት የመጀመሪያ ቃላቶች ድምር

የሁሉም የተፈጥሮ ቁጥሮች ድምር ከ1 እስከ 100 ያግኙ።
ይህንን መጠን በሁለት መንገድ እንጽፈው፡-
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100፣
ኤስ = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1።
እነዚህን እኩልነቶች በጊዜ ብዛት እንጨምር፡-
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101።
ይህ ድምር 100 ውሎች አሉት
ስለዚህ, 2S = 101 * 100, ስለዚህ S = 101 * 50 = 5050.

አሁን የዘፈቀደ የሂሳብ እድገትን እንመልከት
ሀ 1 ፣ ሀ 2 ፣ ሀ 3 ፣ ... ፣ n ፣ ...
S n የዚህ እድገት የመጀመሪያ ቃላት ድምር ይሁን፡
S n = a 1, a 2, a 3, ..., a n
ከዚያም የሂሳብ ግስጋሴ የመጀመሪያ n ቃላት ድምር እኩል ነው።
\(S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) \)

ከ \(a_n=a_1+(n-1)d\) ጀምሮ በዚህ ቀመር ውስጥ n በመተካት ለማግኘት ሌላ ቀመር እናገኛለን የሒሳብ እድገት የመጀመሪያ ቃላት ድምር:
\(S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) \)

መጽሐፍት (የመማሪያ መጽሐፍት) የተዋሃደ የስቴት ፈተና እና የተዋሃደ የግዛት ፈተና አጭር መግለጫ የመስመር ላይ ጨዋታዎችን ይፈትሻል ፣ እንቆቅልሾች የተግባር ግራፎችን ማቀድ የሩሲያ ቋንቋ መዝገበ ቃላት የወጣት ቃላቶች መዝገበ ቃላት የሩሲያ ትምህርት ቤቶች የሩሲያ ትምህርት ቤቶች የሁለተኛ ደረጃ ትምህርት ተቋማት ካታሎግ የሩሲያ ዩኒቨርሲቲዎች ዝርዝር ካታሎግ ተግባራት

ጠቃሚ ማስታወሻዎች!
1. ከቀመሮች ይልቅ gobbledygook ካዩ መሸጎጫዎን ያጽዱ። ይህንን በአሳሽዎ ውስጥ እንዴት ማድረግ እንደሚቻል እዚህ ተጽፏል-
2. ጽሑፉን ማንበብ ከመጀመርዎ በፊት በጣም ጠቃሚ ለሆኑት መርጃዎቻችን ለአሳሽዎ ትኩረት ይስጡ

የቁጥር ቅደም ተከተል

ስለዚህ፣ እስቲ ቁጭ ብለን አንዳንድ ቁጥሮችን መፃፍ እንጀምር። ለምሳሌ:
ማንኛውንም ቁጥሮች መጻፍ ይችላሉ, እና የፈለጉትን ያህል ሊሆኑ ይችላሉ (በእኛ ሁኔታ, እነሱ አሉ). ምንም ያህል ቁጥሮች ብንጽፍ, ሁልጊዜ የትኛው የመጀመሪያው ነው, የትኛው ሁለተኛ ነው, እና እስከ መጨረሻው ድረስ, ማለትም, ልንቆጥራቸው እንችላለን. ይህ የቁጥር ቅደም ተከተል ምሳሌ ነው።

የቁጥር ቅደም ተከተል
ለምሳሌ ለኛ ቅደም ተከተል፡-

የተመደበው ቁጥር በቅደም ተከተል አንድ ቁጥር ብቻ የተወሰነ ነው. በሌላ አነጋገር, በቅደም ተከተል ውስጥ ምንም ሶስት ሰከንድ ቁጥሮች የሉም. ሁለተኛው ቁጥር (እንደ ኛ ቁጥር) ሁልጊዜ ተመሳሳይ ነው.
ቁጥር ያለው ቁጥር የተከታታይ ኛ ቃል ይባላል።

እኛ ብዙውን ጊዜ መላውን ቅደም ተከተል በተወሰነ ፊደል እንጠራዋለን (ለምሳሌ ፣) እና እያንዳንዱ የዚህ ተከታታይ አባል ከዚህ አባል ቁጥር ጋር እኩል የሆነ ኢንዴክስ ያለው ተመሳሳይ ፊደል ነው።

በእኛ ሁኔታ፡-

በአጎራባች ቁጥሮች መካከል ያለው ልዩነት ተመሳሳይ እና እኩል የሆነበት የቁጥር ቅደም ተከተል አለን እንበል።
ለምሳሌ:

ወዘተ.
ይህ የቁጥር ቅደም ተከተል የሂሳብ እድገት ይባላል።
“እድገት” የሚለው ቃል በ6ኛው ክፍለ ዘመን በሮማዊው ደራሲ ቦቲየስ አስተዋወቀ እና ሰፋ ባለ መልኩ እንደ ማለቂያ የሌለው የቁጥር ቅደም ተከተል ተረድቷል። "ሒሳብ" የሚለው ስም በጥንታዊ ግሪኮች ከተጠናው ቀጣይነት ያለው ተመጣጣኝነት ጽንሰ-ሐሳብ ተላልፏል.

ይህ የቁጥር ቅደም ተከተል ነው, እያንዳንዱ አባል ወደ ተመሳሳይ ቁጥር የተጨመረው ከቀዳሚው ጋር እኩል ነው. ይህ ቁጥር የሒሳብ ዕድገት ልዩነት ተብሎ ይጠራል እና የተሰየመ ነው።

የትኞቹ የቁጥር ቅደም ተከተሎች የሂሳብ ግስጋሴ እንደሆኑ እና የትኞቹ እንዳልሆኑ ለመወሰን ይሞክሩ፡

ሀ)
ለ)
ሐ)
መ)

ገባኝ? መልሶቻችንን እናወዳድር፡-
ነውየሂሳብ እድገት - b, c.
አይደለምየሂሳብ እድገት - a, d.

ወደ ተሰጠው ግስጋሴ () እንመለስ እና የሱን ኛ ቃል ዋጋ ለማግኘት እንሞክር። አለ። ሁለትለማግኘት መንገድ.

1. ዘዴ

የሂደቱ ኛ ቃል እስክንደርስ ድረስ የሂደቱን ቁጥር ወደ ቀድሞው እሴት ማከል እንችላለን። ለማጠቃለል ብዙ ባይኖረን ጥሩ ነው - ሶስት እሴቶች ብቻ።

ስለዚህ፣ የተገለፀው የሂሳብ እድገት ኛ ቃል እኩል ነው።

2. ዘዴ

የሂደቱን የ ኛ ቃል ዋጋ መፈለግ ብንፈልግስ? ማጠቃለያው ከአንድ ሰአት በላይ ይወስድብናል፣ እና ቁጥሮች ስንጨምር ስህተት እንደማንሰራ ሀቅ አይደለም።
እርግጥ ነው, የሂሳብ ሊቃውንት የሂሳብ እድገትን ልዩነት ወደ ቀድሞው እሴት መጨመር የማያስፈልግበትን መንገድ ፈጥረዋል. የተሳለውን ምስል በጥሞና ተመልከት... በእርግጠኝነት አንድ የተወሰነ ስርዓተ-ጥለት አስተውለሃል፣ እሱም፡-

ለምሳሌ፣ የዚህ የሂሳብ ግስጋሴ የሁለተኛው ቃል ዋጋ ምን እንደሚይዝ እንመልከት፡-


በሌላ ቃል:

የአንድ የተወሰነ የሂሳብ እድገት አባል ዋጋ በዚህ መንገድ እራስዎን ለማግኘት ይሞክሩ።

አሰላለው? ማስታወሻዎችዎን ከመልሱ ጋር ያወዳድሩ፡-

የሒሳብ ግስጋሴ ውሎችን በቅደም ተከተል ወደ ቀድሞው እሴት ስንጨምር ልክ እንደ ቀደመው ዘዴ ተመሳሳይ ቁጥር እንዳገኙ እባክዎ ልብ ይበሉ።
ይህንን ቀመር “ሰውን ለማሳጣት” እንሞክር - በአጠቃላይ መልክ እናስቀምጠው እና የሚከተሉትን እናገኛለን

አርቲሜቲክ ግስጋሴ እኩልታ.

አርቲሜቲክ እድገቶች እየጨመረ ወይም እየቀነሱ ሊሆኑ ይችላሉ.

እየጨመረ ነው።- እያንዳንዱ ቀጣይ የቃላቶች ዋጋ ከቀዳሚው የሚበልጥባቸው እድገቶች።
ለምሳሌ:

መውረድ- እያንዳንዱ ቀጣይ የውሎቹ ዋጋ ከቀዳሚው ያነሰባቸው እድገቶች።
ለምሳሌ:

የተገኘው ቀመር የቃላት ስሌት ውስጥ ጥቅም ላይ የሚውለው በማደግ እና በመቀነስ የሂሳብ እድገት ቃላቶች ነው።
ይህንን በተግባር እንፈትሽ።
የሚከተሉትን ቁጥሮች የያዘ የሂሳብ ግስጋሴ ተሰጥቶናል፡ ቀመራችንን ለማስላት ከተጠቀምንበት የዚህ የሂሳብ እድገት ኛ ቁጥር ምን እንደሚሆን እንፈትሽ።

ከዛን ጊዜ ጀምሮ:

ስለዚህ፣ ቀመሩ የሚሠራው በመቀነስ እና በማደግ ላይ እንደሆነ እርግጠኞች ነን።
የዚህን የሂሳብ እድገት ኛ እና ኛ ውሎች እራስዎ ለማግኘት ይሞክሩ።

ውጤቱን እናወዳድር፡-

አርቲሜቲክ እድገት ንብረት

ችግሩን እናወሳስበው - የሂሳብ እድገትን ንብረት እናመጣለን.
የሚከተለው ሁኔታ ተሰጥቶናል እንበል።
- የሂሳብ እድገት ፣ እሴቱን ይፈልጉ።
ቀላል፣ እርስዎ በሚያውቁት ቀመር መሰረት ይናገሩ እና መቁጠር ይጀምሩ፡-

አህ፣ እንግዲያውስ፡-

ፍጹም ትክክል። መጀመሪያ ያገኘነው ከዚያም ወደ መጀመሪያው ቁጥር ጨምረን የምንፈልገውን አግኝተናል። እድገቱ በትንንሽ እሴቶች ከተወከለ, ምንም የተወሳሰበ ነገር የለም, ነገር ግን በሁኔታው ላይ ቁጥሮች ከተሰጠን? ይስማሙ, በስሌቶቹ ውስጥ ስህተት የመሥራት እድል አለ.
አሁን ማንኛውንም ቀመር በመጠቀም ይህንን ችግር በአንድ ደረጃ መፍታት ይቻል እንደሆነ ያስቡ? በእርግጥ አዎ, እና አሁን ለማውጣት የምንሞክረው ያ ነው.

የሚፈለገውን የሂሳብ ግስጋሴ ቃል እንጥቀስ ፣ እሱን ለማግኘት ቀመር ለእኛ የታወቀ ነው - ይህ በመጀመሪያ ላይ ያመጣነው ተመሳሳይ ቀመር ነው-
, ከዚያም:

• የቀደመው የሂደቱ ቃል፡-
• የሚቀጥለው የእድገት ጊዜ የሚከተለው ነው-

የቀደመውን እና ተከታዩን የሂደቱን ውሎች እናጠቃልል።

የቀደመው እና ተከታይ የሂደቱ ድምር በመካከላቸው የሚገኘው የእድገት ቃል ድርብ እሴት ነው። በሌላ አገላለጽ ፣የእድገት ቃልን ከታወቁ ቀዳሚ እና ተከታታይ እሴቶች ጋር ለማግኘት ፣እነሱን ማከል እና መከፋፈል ያስፈልግዎታል።

ልክ ነው, ተመሳሳይ ቁጥር አግኝተናል. ቁሳቁሱን እንጠብቅ። ለእድገት ዋጋውን እራስዎ ያሰሉ, በጭራሽ አስቸጋሪ አይደለም.

ጥሩ ስራ! ስለ እድገት ሁሉንም ነገር ታውቃለህ! አንድ ቀመር ብቻ ለማወቅ ይቀራል ፣ እሱም በአፈ ታሪክ መሠረት ፣ በማንኛውም ጊዜ ካሉት ታላላቅ የሂሳብ ሊቃውንት በአንዱ ፣ “የሂሳብ ሊቃውንት ንጉስ” - ካርል ጋውስ…

ካርል ጋውስ የ9 ዓመት ልጅ ሳለ፣ አንድ መምህር፣ በሌሎች ክፍሎች ውስጥ ያሉትን የተማሪዎችን ስራ በመፈተሽ የተጠመደ፣ በክፍል ውስጥ የሚከተለውን ተግባር ሰጠ፡- “የተፈጥሮ ቁጥሮችን ከ (ሌሎች ምንጮች እንደሚለው) አካታች ያለውን ድምር አስላ። ከመምህሩ አንዱ (ይህ ካርል ጋውስ ነበር) ከአንድ ደቂቃ በኋላ ለተግባሩ ትክክለኛውን መልስ ሲሰጥ መምህሩ ምን ያህል እንደተገረመ አስቡት ፣ አብዛኛዎቹ የድፍረት ክፍል ተማሪዎች ከረዥም ስሌት በኋላ የተሳሳተ ውጤት ሲያገኙ…

ወጣቱ ካርል ጋውስ እርስዎ በቀላሉ ሊያስተውሉት የሚችሉትን የተወሰነ ንድፍ ተመልክቷል።
-ኛ ቃላትን ያካተተ የሂሳብ ግስጋሴ አለን እንበል፡ የእነዚህን የሂሳብ ግስጋሴ ቃላት ድምር ማግኘት አለብን። እርግጥ ነው፣ ሁሉንም እሴቶቹን በእጃችን ማጠቃለል እንችላለን፣ ግን ጋውስ እንደሚፈልግ ስራው የውሎቹን ድምር ማግኘት ቢፈልግስ?

የተሰጠንን እድገት እናሳይ። የደመቁትን ቁጥሮች በቅርበት ይመልከቱ እና ከእነሱ ጋር የተለያዩ የሂሳብ ስራዎችን ለመስራት ይሞክሩ።


ሞክረዋል? ምን አስተዋልክ? ቀኝ! ድምራቸው እኩል ነው።

አሁን ንገረኝ ፣ በተሰጠን እድገት ውስጥ በአጠቃላይ ስንት እንደዚህ ያሉ ጥንዶች አሉ? እርግጥ ነው, በትክክል የሁሉም ቁጥሮች ግማሽ ማለትም.
የሁለት ቃላቶች ድምር የሂሳብ ግስጋሴ እኩል እና ተመሳሳይ ጥንዶች እኩል ናቸው በሚለው እውነታ ላይ በመመስረት አጠቃላይ ድምር እኩል ይሆናል፡-
.
ስለዚህ የማንኛውም የሂሳብ ግስጋሴ የመጀመሪያ ቃላት ድምር ቀመር የሚከተለው ይሆናል፡-

በአንዳንድ ችግሮች የኛን ቃል አናውቅም ነገር ግን የሂደቱን ልዩነት እናውቃለን። የቃሉን ቀመር ወደ ድምር ቀመር ለመተካት ይሞክሩ።
ምን አገኘህ?

ጥሩ ስራ! አሁን ወደ ካርል ጋውስ ወደ ተጠየቀው ችግር እንመለስ፡ ከ th የሚጀምሩት የቁጥሮች ድምር ምን ያህል እኩል እንደሆነ እና ከ th ጀምሮ ያሉት የቁጥሮች ድምር ምን ያህል እንደሆነ ለራስዎ አስላ።

ምን ያህል አገኘህ?
ጋውስ የቃላቶቹ ድምር እኩል እና የቃላቶቹ ድምር መሆኑን ደርሰውበታል። እርስዎ የወሰኑት እንደዚህ ነው?

በእርግጥ፣ የሒሳብ ግስጋሴ ቃላቶች ድምር ቀመር በጥንታዊው ግሪክ ሳይንቲስት ዲዮፋንተስ በ 3 ኛው ክፍለ ዘመን የተረጋገጠ ሲሆን በዚህ ጊዜ ውስጥ ጠንቋዮች የሒሳብ ግስጋሴን ባህሪያት ሙሉ በሙሉ ተጠቅመዋል።
ለምሳሌ የጥንቷ ግብፅን እና የዚያን ጊዜ ትልቁን የግንባታ ፕሮጀክት - የፒራሚድ ግንባታ... ምስሉ አንድ ጎን ያሳያል።

እዚህ እድገት የት አለ ትላላችሁ? በጥንቃቄ ይመልከቱ እና በእያንዳንዱ ረድፍ የፒራሚድ ግድግዳ ላይ የአሸዋ ብሎኮችን ቁጥር ይፈልጉ።


ለምን የሂሳብ እድገት አይሆንም? የማገጃ ጡቦች በመሠረቱ ላይ ከተቀመጡ አንድ ግድግዳ ለመሥራት ምን ያህል ብሎኮች እንደሚያስፈልግ አስሉ. ጣትዎን በተቆጣጣሪው ላይ ሲያንቀሳቅሱ እንደማይቆጥሩ ተስፋ አደርጋለሁ ፣ የመጨረሻውን ቀመር እና ስለ የሂሳብ እድገት የተናገርነውን ሁሉ ያስታውሳሉ?

በዚህ ሁኔታ, እድገቱ እንደዚህ ይመስላል.
የአሪቲሜቲክ እድገት ልዩነት.
የሂሳብ እድገት ውሎች ብዛት።
የእኛን መረጃ በመጨረሻዎቹ ቀመሮች እንተካው (የብሎኮችን ብዛት በ 2 መንገዶች አስላ)።

ዘዴ 1.

ዘዴ 2.

እና አሁን በተቆጣጣሪው ላይ ማስላት ይችላሉ-የተገኙትን ዋጋዎች በእኛ ፒራሚድ ውስጥ ካሉት ብሎኮች ብዛት ጋር ያወዳድሩ። ገባኝ? ደህና አድርገሃል፣ የሂሳብ እድገትን n ኛ ውሎች ድምርን ተክተሃል።
በእርግጥ ፒራሚድ ከመሠረቱ ብሎኮች መገንባት አይችሉም ፣ ግን ከ? በዚህ ሁኔታ ግድግዳ ለመገንባት ምን ያህል የአሸዋ ጡቦች እንደሚያስፈልግ ለማስላት ይሞክሩ.
አስተዳድረዋል?
ትክክለኛው መልስ ብሎኮች ነው-

ስልጠና

ተግባራት፡

1. ማሻ ለበጋው ቅርፅ እያገኘ ነው። በየቀኑ የቁንጮዎችን ቁጥር ይጨምራል. ማሻ በመጀመሪያው የስልጠና ክፍለ ጊዜ ላይ ስኩዊቶችን ካደረገች በሳምንት ውስጥ ስንት ጊዜ ስኩዊቶችን ታደርጋለች?
2. የሁሉም ያልተለመዱ ቁጥሮች ድምር ምንድነው?
3. መዝገቦችን በሚያከማቹበት ጊዜ እያንዳንዱ የላይኛው ንብርብር ከቀዳሚው ያነሰ አንድ ሎግ እንዲይዝ በሚያስችል መንገድ ይቆልላቸዋል። የግንበኝነት መሰረቱ ግንድ ከሆነ በአንድ ግንበኝነት ውስጥ ስንት እንጨቶች አሉ?

መልሶች፡-

1. የሒሳብ ግስጋሴውን መለኪያዎች እንገልጻለን። በዚህ ጉዳይ ላይ
   (ሳምንት = ቀናት)።

   መልስ፡-በሁለት ሳምንታት ውስጥ ማሻ በቀን አንድ ጊዜ ስኩዊቶችን ማድረግ አለበት.

2. የመጀመሪያው ያልተለመደ ቁጥር ፣ የመጨረሻ ቁጥር።
   የአሪቲሜቲክ እድገት ልዩነት.
   በ ውስጥ ያሉት ያልተለመዱ ቁጥሮች ብዛት ግማሽ ነው ፣ ሆኖም ፣ የሂሳብ እድገትን ኛ ቃል ለማግኘት ቀመሩን በመጠቀም ይህንን እውነታ እንፈትሽ።

   ቁጥሮች ያልተለመዱ ቁጥሮች ይይዛሉ።
   ያለውን መረጃ በቀመር እንተካው፡-

   መልስ፡-በውስጡ ያሉት ሁሉም ያልተለመዱ ቁጥሮች ድምር እኩል ነው።

3. ስለ ፒራሚዶች ያለውን ችግር እናስታውስ። በእኛ ሁኔታ, ሀ , እያንዳንዱ የላይኛው ሽፋን በአንድ ሎግ ስለሚቀንስ, ከዚያም በአጠቃላይ የንብርብሮች ስብስብ አለ, ማለትም.
   ውሂቡን ወደ ቀመር እንተካው፡-

   መልስ፡-በግንበኛው ውስጥ የምዝግብ ማስታወሻዎች አሉ.

እናጠቃልለው

1. - በአጎራባች ቁጥሮች መካከል ያለው ልዩነት ተመሳሳይ እና እኩል የሆነበት የቁጥር ቅደም ተከተል። እየጨመረ ወይም እየቀነሰ ሊሆን ይችላል.
2. ቀመር ማግኘትየሒሳብ ግስጋሴ ኛ ቃል በቀመር የተጻፈው - , በሂደቱ ውስጥ ያሉት የቁጥሮች ብዛት የት ነው.
3. የሂሳብ እድገት አባላት ንብረት- - በሂደት ላይ ያሉ የቁጥሮች ብዛት የት አለ?
4. የሒሳብ እድገት ውሎች ድምርበሁለት መንገዶች ሊገኝ ይችላል-
   
   , የእሴቶቹ ብዛት የት ነው.

አርቲሜቲክ እድገት. አማካይ ደረጃ

የቁጥር ቅደም ተከተል

እስቲ ቁጭ ብለን አንዳንድ ቁጥሮችን መፃፍ እንጀምር። ለምሳሌ:

ማንኛውንም ቁጥሮች መጻፍ ይችላሉ, እና የፈለጉትን ያህል ሊሆኑ ይችላሉ. ግን ሁል ጊዜ የትኛው የመጀመሪያው ነው ፣ የትኛው ሁለተኛ ነው ፣ እና ሌሎችም ፣ ማለትም ፣ ልንቆጥራቸው እንችላለን ። ይህ የቁጥር ቅደም ተከተል ምሳሌ ነው።

የቁጥር ቅደም ተከተልየቁጥሮች ስብስብ ነው, እያንዳንዱም ልዩ ቁጥር ሊመደብ ይችላል.

በሌላ አነጋገር, እያንዳንዱ ቁጥር ከተወሰነ የተፈጥሮ ቁጥር, እና ልዩ ከሆነ ጋር ሊዛመድ ይችላል. እና ይህን ቁጥር ከዚህ ስብስብ ወደ ሌላ ቁጥር አንሰጥም።

ቁጥር ያለው ቁጥር የተከታታይ ኛ አባል ይባላል።

እኛ ብዙውን ጊዜ መላውን ቅደም ተከተል በተወሰነ ፊደል እንጠራዋለን (ለምሳሌ ፣) እና እያንዳንዱ የዚህ ተከታታይ አባል ከዚህ አባል ቁጥር ጋር እኩል የሆነ ኢንዴክስ ያለው ተመሳሳይ ፊደል ነው።

የተከታታዩ ኛ ቃል በአንዳንድ ቀመር ሊገለጽ የሚችል ከሆነ በጣም ምቹ ነው. ለምሳሌ, ቀመር

ቅደም ተከተል ያስቀምጣል:

እና ቀመሩ የሚከተለው ቅደም ተከተል ነው.

ለምሳሌ ፣ የሂሳብ እድገት ቅደም ተከተል ነው (የመጀመሪያው ቃል እዚህ እኩል ነው ፣ እና ልዩነቱ)። ወይም (, ልዩነት).

n ኛ ቃል ቀመር

ቀመርን ተደጋጋሚ ብለን እንጠራዋለን ፣ ይህም የሁለተኛውን ቃል ለማወቅ ቀዳሚውን ወይም ብዙ ቀዳሚዎችን ማወቅ ያስፈልግዎታል።

ለምሳሌ ይህንን ቀመር በመጠቀም የሂደቱን ኛ ቃል ለማግኘት የቀደመውን ዘጠኙን ማስላት አለብን። ለምሳሌ, ይተውት. ከዚያም፡-

ደህና ፣ አሁን ቀመሩ ምን እንደሆነ ግልፅ ነው?

በእያንዳንዱ መስመር ውስጥ እንጨምራለን, በተወሰነ ቁጥር ተባዝተናል. የትኛው? በጣም ቀላል፡ ይህ የአሁን አባል ቁጥር ሲቀነስ ነው፡

አሁን የበለጠ ምቹ ፣ አይደል? እኛ እንፈትሻለን፡-

ለራስዎ ይወስኑ፡-

በሒሳብ ግስጋሴ፣ የ nኛውን ቃል ቀመር ይፈልጉ እና መቶኛውን ቃል ያግኙ።

መፍትሄ፡-

የመጀመሪያው ቃል እኩል ነው. ልዩነቱ ምንድን ነው? እነሆ፡-

(ለዚህም ነው ልዩነት ተብሎ የሚጠራው ምክንያቱም ከእድገት ተከታታይ ውሎች ልዩነት ጋር እኩል ስለሆነ ነው).

ስለዚህ ቀመር፡-

ከዚያ የመቶኛው ቃል እኩል ነው፡-

የሁሉም የተፈጥሮ ቁጥሮች ድምር ከ እስከ ስንት ነው?

በአፈ ታሪክ መሰረት, ታላቁ የሂሳብ ሊቅ ካርል ጋውስ, የ 9 አመት ልጅ እያለ, ይህንን መጠን በጥቂት ደቂቃዎች ውስጥ ያሰላል. የአንደኛውና የመጨረሻዎቹ ቁጥሮች ድምር እኩል መሆናቸውን፣ የሁለተኛው እና የመጨረሻው ድምር አንድ፣ የሦስተኛውና የመጨረሻው 3 ኛ ድምር አንድ ነው፣ ወዘተ. በጠቅላላው ስንት እንደዚህ ያሉ ጥንዶች አሉ? ልክ ነው፣ በትክክል የሁሉም ቁጥሮች ግማሽ ቁጥር፣ ማለትም። ስለዚህ፣

የማንኛውም የሂሳብ ግስጋሴ የመጀመሪያ ቃላት ድምር አጠቃላይ ቀመር የሚከተለው ይሆናል፡-

ለምሳሌ:
የሁሉም ባለ ሁለት አሃዝ ብዜቶች ድምርን ያግኙ።

መፍትሄ፡-

የመጀመሪያው እንደዚህ ያለ ቁጥር ይህ ነው. እያንዳንዱ ቀጣይ ቁጥር የሚገኘው ወደ ቀድሞው ቁጥር በመጨመር ነው. ስለዚህ እኛ የምንፈልጋቸው ቁጥሮች ከመጀመሪያው ቃል እና ልዩነቱ ጋር የሂሳብ እድገትን ይመሰርታሉ።

ለዚህ እድገት የኛው ቃል ቀመር፡-

ሁሉም ባለ ሁለት አሃዝ መሆን ካለባቸው በእድገት ውስጥ ስንት ቃላት አሉ?

በጣም ቀላል: .

የሂደቱ የመጨረሻ ቃል እኩል ይሆናል. ከዚያም ድምር:

መልስ፡.

አሁን ለራስዎ ይወስኑ:

1. በየቀኑ አትሌቱ ካለፈው ቀን የበለጠ ሜትሮችን ይሮጣል። በመጀመሪያው ቀን ኪሜ ሜትር ቢሮጥ በሳምንት ውስጥ ስንት ጠቅላላ ኪሎ ሜትር ይሮጣል?
2. አንድ ብስክሌተኛ በየቀኑ ካለፈው ቀን የበለጠ ኪሎ ሜትሮችን ይጓዛል። በመጀመሪያው ቀን ኪ.ሜ ተጉዟል። አንድ ኪሎ ሜትር ለመጓዝ ስንት ቀናት መጓዝ ያስፈልገዋል? በመጨረሻው የጉዞው ቀን ስንት ኪሎ ሜትር ይጓዛል?
3. በአንድ ሱቅ ውስጥ ያለው የማቀዝቀዣ ዋጋ በየዓመቱ በተመሳሳይ መጠን ይቀንሳል. የፍሪጅ ዋጋ በየአመቱ ምን ያህል እንደሚቀንስ ይወስኑ, ለሩብል የሚሸጥ ከሆነ, ከስድስት አመት በኋላ በሩብል ከተሸጠ.

መልሶች፡-

1. እዚህ በጣም አስፈላጊው ነገር የሂሳብ እድገትን ማወቅ እና ግቤቶችን መወሰን ነው. በዚህ ሁኔታ, (ሳምንት = ቀናት). የዚህ እድገት የመጀመሪያ ውሎች ድምርን መወሰን ያስፈልግዎታል
   .
   መልስ፡-
2. እዚህ ተሰጥቷል:, መገኘት አለበት.
   እንደቀድሞው ችግር ተመሳሳይ ድምር ቀመር መጠቀም እንደሚያስፈልግ ግልጽ ነው።
   .
   እሴቶቹን ይተኩ፡

   ሥሩ በትክክል አይጣጣምም, ስለዚህ መልሱ ነው.
   የኛውን ቃል ቀመር በመጠቀም በመጨረሻው ቀን የተጓዝንበትን መንገድ እናሰላ።
   (ኪሜ)
   መልስ፡-

3. የተሰጠው፡. አግኝ፡.
   የበለጠ ቀላል ሊሆን አይችልም፡-
   (ማሸት)።
   መልስ፡-

አርቲሜቲክ እድገት. ስለ ዋና ዋና ነገሮች በአጭሩ

ይህ በአጎራባች ቁጥሮች መካከል ያለው ልዩነት ተመሳሳይ እና እኩል የሆነበት የቁጥር ቅደም ተከተል ነው።

አርቲሜቲክ እድገት እየጨመረ () እና እየቀነሰ () ሊሆን ይችላል.

ለምሳሌ:

የሂሳብ እድገትን n ኛ ቃል ለማግኘት ቀመር

በቀመር የተጻፈው በሂደት ላይ ያሉ የቁጥሮች ቁጥር የት ነው.

የሂሳብ እድገት አባላት ንብረት

የአጎራባች ቃላቶቹ የሚታወቁ ከሆነ የእድገት ቃልን በቀላሉ እንዲያገኙ ይፈቅድልዎታል - በሂደቱ ውስጥ የቁጥሮች ብዛት የት አለ።

የአርቲሜቲክ እድገት ውሎች ድምር

መጠኑን ለማግኘት ሁለት መንገዶች አሉ-

የእሴቶቹ ብዛት የት ነው።

የእሴቶቹ ብዛት የት ነው።

እንግዲህ ርዕሱ አልቋል። እነዚህን መስመሮች እያነበብክ ከሆነ, በጣም አሪፍ ነህ ማለት ነው.

ምክንያቱም ሰዎች 5% ብቻ አንድን ነገር በራሳቸው መቆጣጠር ይችላሉ. እና እስከ መጨረሻው ካነበቡ, በዚህ 5% ውስጥ ነዎት!

አሁን በጣም አስፈላጊው ነገር.

በዚህ ርዕስ ላይ ያለውን ንድፈ ሐሳብ ተረድተሃል. እና፣ እደግመዋለሁ፣ ይሄ... ይሄ ብቻ የላቀ ነው! እርስዎ ቀድሞውንም ከብዙዎቹ እኩዮችዎ የተሻሉ ነዎት።

ችግሩ ይህ በቂ ላይሆን ይችላል ...

ለምንድነው?

የተዋሃደ የስቴት ፈተናን በተሳካ ሁኔታ ለማለፍ፡ በበጀት ኮሌጅ ለመግባት እና ከሁሉም በላይ አስፈላጊ ለህይወት።

ምንም አላሳምንህም፣ አንድ ነገር ብቻ እናገራለሁ...

ጥሩ ትምህርት የተማሩ ሰዎች ካልተማሩት የበለጠ ገቢ ያገኛሉ። ይህ ስታቲስቲክስ ነው።

ግን ይህ ዋናው ነገር አይደለም.

ዋናው ነገር እነሱ የበለጠ ደስተኛ ናቸው (እንዲህ ያሉ ጥናቶች አሉ). ምናልባት ብዙ ተጨማሪ እድሎች በፊታቸው ስለሚከፈቱ እና ህይወት የበለጠ ብሩህ ስለሚሆን? አላውቅም...

ግን ለራስህ አስብ...

በተዋሃደ የስቴት ፈተና ላይ ከሌሎች የተሻሉ ለመሆን እና በመጨረሻም ደስተኛ ለመሆን... የበለጠ ደስተኛ ለመሆን ምን ያስፈልጋል?

በዚህ ርዕስ ላይ ችግሮችን በመፍታት እጅዎን ያግኙ።

በፈተና ወቅት ንድፈ ሃሳብ አይጠየቁም።

ያስፈልግዎታል ችግሮችን በጊዜ መፍታት.

እና, ካልፈታሃቸው (ብዙ!), በእርግጠኝነት የሆነ ቦታ ላይ ሞኝ ስህተት ትሰራለህ ወይም በቀላሉ ጊዜ አይኖርህም.

ልክ እንደ ስፖርት ነው - በእርግጠኝነት ለማሸነፍ ብዙ ጊዜ መድገም ያስፈልግዎታል።

ስብስቡን በፈለጉበት ቦታ ያግኙት፣ የግድ ከመፍትሄዎች ጋር, ዝርዝር ትንታኔእና ይወስኑ ፣ ይወስኑ ፣ ይወስኑ!

ተግባሮቻችንን መጠቀም ይችላሉ (አማራጭ) እና እኛ በእርግጥ እንመክራለን።

ተግባሮቻችንን በተሻለ መንገድ ለመጠቀም፣ አሁን እያነበቡት ያለውን የዩክሌቨር መማሪያ መጽሀፍ እድሜን ለማራዘም መርዳት አለቦት።

እንዴት? ሁለት አማራጮች አሉ፡-

1. በዚህ ጽሑፍ ውስጥ ሁሉንም የተደበቁ ተግባራትን ይክፈቱ -
2. በሁሉም 99 የመማሪያ መጣጥፎች ውስጥ የሁሉም የተደበቁ ተግባራት መዳረሻን ይክፈቱ - የመማሪያ መጽሐፍ ይግዙ - 499 RUR

አዎን፣ በመማሪያ መጽሐፋችን ውስጥ 99 እንደዚህ ያሉ ጽሑፎች አሉን እና ሁሉንም ተግባራት ማግኘት እና በውስጣቸው ያሉ ሁሉም የተደበቁ ጽሑፎች ወዲያውኑ ሊከፈቱ ይችላሉ።

የሁሉም የተደበቁ ተግባራት መዳረሻ ለጣቢያው በሙሉ ህይወት ይሰጣል።

በማጠቃለል...

ተግባሮቻችንን ካልወደዱ ሌሎችን ያግኙ። በቲዎሪ ብቻ አታቁሙ።

"ተረድቻለሁ" እና "መፍታት እችላለሁ" ፍጹም የተለያዩ ችሎታዎች ናቸው. ሁለቱንም ያስፈልግዎታል.

ችግሮችን ይፈልጉ እና ይፍቱ!

መወሰን ከመጀመራችን በፊት የሂሳብ እድገት ችግሮች፣ የቁጥር ቅደም ተከተል ምን እንደ ሆነ እንመልከት ፣ ምክንያቱም የሂሳብ ግስጋሴ የቁጥር ቅደም ተከተል ልዩ ጉዳይ ነው።

የቁጥር ቅደም ተከተል የቁጥር ስብስብ ነው, እያንዳንዱ ንጥረ ነገር የራሱ የሆነ መለያ ቁጥር አለው. የዚህ ስብስብ ንጥረ ነገሮች በቅደም ተከተል አባላት ይባላሉ. የተከታታይ ኤለመንት ተከታታይ ቁጥር በመረጃ ጠቋሚ ይጠቁማል፡-

የቅደም ተከተል የመጀመሪያ አካል;

በቅደም ተከተል አምስተኛው አካል;

- የቅደም ተከተል "nth" አካል, ማለትም. ኤለመንት "በወረፋ ላይ ቆሞ" በቁጥር n.

በቅደም ተከተል ኤለመንት ዋጋ እና በቅደም ተከተል ቁጥሩ መካከል ግንኙነት አለ. ስለዚህ፣ ቅደም ተከተሎችን እንደ ተግባር ልንቆጥረው እንችላለን፣ ክርክሩ የተከታታይ ኤለመንቱ ተራ ቁጥር ነው። በሌላ አነጋገር, እንዲህ ማለት እንችላለን ቅደም ተከተል የተፈጥሮ ክርክር ተግባር ነው፡-

ቅደም ተከተል በሦስት መንገዶች ሊዘጋጅ ይችላል.

1 . ቅደም ተከተል ሠንጠረዥን በመጠቀም ሊገለጽ ይችላል.በዚህ ሁኔታ, የእያንዳንዱን ተከታታይ አባል ዋጋ በቀላሉ እናዘጋጃለን.

ለምሳሌ, አንድ ሰው የግላዊ ጊዜ አስተዳደርን ለመውሰድ ወሰነ, እና ለመጀመር, በሳምንት ውስጥ በ VKontakte ላይ ምን ያህል ጊዜ እንደሚያጠፋ ይቁጠሩ. በሰንጠረዡ ውስጥ ያለውን ጊዜ በመመዝገብ ሰባት አካላትን ያካተተ ቅደም ተከተል ይቀበላል.

የሠንጠረዡ የመጀመሪያ መስመር የሳምንቱን ቀን ቁጥር ያሳያል, ሁለተኛው - በደቂቃዎች ውስጥ ያለውን ጊዜ. እኛ እናያለን ፣ ማለትም ፣ ሰኞ ላይ አንድ ሰው በ VKontakte ላይ 125 ደቂቃዎችን ፣ ማለትም ፣ ሐሙስ - 248 ደቂቃዎች ፣ እና ማለትም ፣ አርብ 15 ብቻ።

2 . ቅደም ተከተል nth ቃል ቀመር በመጠቀም ሊገለጽ ይችላል.

በዚህ ሁኔታ, የአንድ ተከታታይ ንጥረ ነገር ዋጋ በቁጥር ላይ ያለው ጥገኛ በቀጥታ በቀመር መልክ ይገለጻል.

ለምሳሌ ፣ ከሆነ ፣ ከዚያ

የተከታታይ ኤለመንት ዋጋን ከተሰጠው ቁጥር ጋር ለማግኘት፣ የኤለመንቱን ቁጥር ወደ nth ቃል ቀመር እንተካለን።

የክርክሩ ዋጋ የሚታወቅ ከሆነ የአንድ ተግባር ዋጋ መፈለግ ካስፈለገን ተመሳሳይ ነገር እናደርጋለን. የክርክሩን ዋጋ በተግባራዊ እኩልታ እንተካለን፡-

ለምሳሌ ከሆነ. ፣ ያ

አንድ ጊዜ እንደገና ልብ በል ፣ በቅደም ተከተል ፣ እንደ የዘፈቀደ የቁጥር ተግባር ፣ ክርክሩ የተፈጥሮ ቁጥር ብቻ ሊሆን ይችላል።

3 . ቅደም ተከተል አባል ቁጥር n የቀድሞ አባላት እሴቶች ላይ ያለውን ጥገኛ የሚገልጽ ቀመር በመጠቀም ሊገለጽ ይችላል. በዚህ ጉዳይ ላይ እሴቱን ለማግኘት የተከታታይ አባላትን ቁጥር ብቻ ማወቅ በቂ አይደለም. የመጀመሪያዎቹን አባላት ወይም የመጀመሪያዎቹን ጥቂት አባላት መግለጽ አለብን።

ለምሳሌ, ቅደም ተከተሎችን ተመልከት ,

የተከታታይ አባላትን እሴቶች ማግኘት እንችላለን በቅደም ተከተልከሦስተኛው ጀምሮ፡-

ያም ማለት በእያንዳንዱ ጊዜ, በቅደም ተከተል የ nth ቃል ዋጋን ለማግኘት, ወደ ቀደሙት ሁለት እንመለሳለን. ይህ ቅደም ተከተል የመግለጫ ዘዴ ይባላል ተደጋጋሚ, ከላቲን ቃል ተደጋጋሚ- ተመልሰዉ ይምጡ.

አሁን የሂሳብ እድገትን መግለፅ እንችላለን። የሂሳብ ግስጋሴ የቁጥር ቅደም ተከተል ቀላል ልዩ ጉዳይ ነው።

አርቲሜቲክ እድገት የቁጥር ቅደም ተከተል ነው, እያንዳንዱ አባል ከሁለተኛው ጀምሮ, በተመሳሳይ ቁጥር ላይ ከተጨመረው ቀዳሚው ጋር እኩል ነው.

ቁጥሩ ተጠርቷል። የሂሳብ እድገት ልዩነት. የሒሳብ ዕድገት ልዩነት አወንታዊ፣ አሉታዊ ወይም ከዜሮ ጋር እኩል ሊሆን ይችላል።

ርዕስ="d>0 ከሆነ">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} እየጨመረ ነው።.

ለምሳሌ 2; 5; 8; አስራ አንድ;...

ከሆነ፣ እያንዳንዱ የሂሳብ ግስጋሴ ቃል ከቀዳሚው ያነሰ ነው፣ እና ግስጋሴው ነው። እየቀነሰ ነው።.

ለምሳሌ 2; -1; -4; -7፤...

ከሆነ ፣ ከዚያ ሁሉም የሂደቱ ውሎች ከተመሳሳይ ቁጥር ጋር እኩል ናቸው ፣ እና እድገቱ ነው። የማይንቀሳቀስ.

ለምሳሌ፣ 2፣2፣2፣2፣...

የሂሳብ እድገት ዋና ንብረት፡-

ምስሉን እንይ።

ያንን እናያለን

, እና በተመሳሳይ ጊዜ

እነዚህን ሁለት እኩልነቶች ስንጨምር፡-

.

ሁለቱንም የእኩልነት ጎኖች በ 2 እንከፋፍላቸው፡-

ስለዚህ እያንዳንዱ የሂሳብ እድገት አባል ከሁለተኛው ጀምሮ ከሁለቱ ጎረቤቶች የሂሳብ አማካኝ ጋር እኩል ነው።

ከዚህም በላይ, ጀምሮ

, እና በተመሳሳይ ጊዜ

፣ ያ

, እና ስለዚህ

እያንዳንዱ የሂሳብ እድገት ቃል፣ በርዕስ = "k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

የ ኛው ቃል ቀመር.

የሒሳብ እድገት ውሎች የሚከተሉትን ግንኙነቶች እንደሚያሟሉ እናያለን፡-

እና በመጨረሻም

አግኝተናል የ nth ቃል ቀመር.

አስፈላጊ!ማንኛውም የሂሳብ እድገት አባል በ እና ሊገለጽ ይችላል። የመጀመሪያውን ቃል እና የሂሳብ ግስጋሴን ልዩነት ማወቅ ማንኛውንም ቃላቶቹን ማግኘት ይችላሉ።

የሂሳብ እድገት n የቃላት ድምር።

በዘፈቀደ የሂሳብ ግስጋሴ፣ ከጽንፈኛዎቹ ጋር የሚመጣጠን የቃላት ድምር አንዳቸው ከሌላው ጋር እኩል ናቸው።

ከ n ቃላት ጋር የሂሳብ እድገትን አስቡበት። የዚህ እድገት n ውሎች ድምር እኩል ይሁን።

በመጀመሪያ የሂደቱን ውሎች በቁጥሮች ቅደም ተከተል እና ከዚያም ወደታች በቅደም ተከተል እናስተካክል፡

በጥንድ እንጨምር፡-

በእያንዳንዱ ቅንፍ ውስጥ ያለው ድምር, ጥንድ ቁጥር n ነው.

እናገኛለን፡-

ስለዚህ፣ የሂሳብ እድገት n ውሎች ድምር ቀመሮችን በመጠቀም ማግኘት ይቻላል፡-

እስቲ እናስብ የሂሳብ እድገት ችግሮችን መፍታት.

1 . ቅደም ተከተል የሚሰጠው በ n ኛው ቃል ቀመር ነው፡- . ይህ ቅደም ተከተል የሂሳብ እድገት መሆኑን ያረጋግጡ።

በቅደም ተከተል በሁለት ተያያዥ ቃላት መካከል ያለው ልዩነት ከተመሳሳይ ቁጥር ጋር እኩል መሆኑን እናረጋግጥ.

በቅደም ተከተል በሁለት አጎራባች አባላት መካከል ያለው ልዩነት በቁጥራቸው ላይ የተመሰረተ እንዳልሆነ እና ቋሚ መሆኑን አግኝተናል. ስለዚህ, በትርጓሜ, ይህ ቅደም ተከተል የሂሳብ እድገት ነው.

2 . የሒሳብ እድገት ተሰጥቷል -31; -27፤...

ሀ) የሂደቱን 31 ውሎች ይፈልጉ።

ለ) ቁጥር ​​41 በዚህ ሂደት ውስጥ መካተቱን ይወስኑ።

ሀ)ያንን እናያለን;

ለዕድገታችን የኛ ቃል ቀመር እንፃፍ።

በአጠቃላይ

በእኛ ሁኔታ , ለዛ ነው