በሁለት ተግባራት መካከል ያለውን ቦታ እንዴት ማግኘት እንደሚቻል. በመስመሮች የታሰረውን የምስል ቦታ አስላ

በዚህ ጽሑፍ ውስጥ የተዋሃዱ ስሌቶችን በመጠቀም በመስመሮች የታሰረውን የምስል ቦታ እንዴት ማግኘት እንደሚችሉ ይማራሉ ። ለመጀመሪያ ጊዜ በሁለተኛ ደረጃ ትምህርት ቤት ውስጥ የእንደዚህ አይነት ችግር መፈጠርን ያጋጥመናል, የተወሰኑ ጥረዛዎችን ጥናት ካጠናቀቅን እና በተግባር የተገኘውን እውቀት የጂኦሜትሪክ ትርጓሜ ለመጀመር ጊዜው አሁን ነው.

ስለዚህ ፣ ውህዶችን በመጠቀም የአንድን ምስል አካባቢ የማግኘት ችግር በተሳካ ሁኔታ ለመፍታት ምን ያስፈልጋል

ብቃት ያላቸውን ስዕሎች የመሥራት ችሎታ;
የታወቀውን የኒውተን-ሌብኒዝ ቀመር በመጠቀም የተወሰነ ውህደትን የመፍታት ችሎታ;
የበለጠ ትርፋማ የመፍትሄ አማራጭን "የማየት" ችሎታ - ማለትም. በአንድ ወይም በሌላ ጉዳይ ውስጥ ውህደትን እንዴት ማከናወን የበለጠ አመቺ እንደሚሆን ይረዱ? ከ x-ዘንግ (ኦክስ) ወይም ከ y-ዘንግ (ኦአይ) ጋር?
ደህና፣ ያለ ትክክለኛ ስሌት የት እንሆን ነበር?) ይህ እንዴት ያንን ሌላ ዓይነት ውህዶች መፍታት እና የቁጥር ስሌቶችን እንዴት ማስተካከል እንደሚቻል መረዳትን ይጨምራል።

በመስመሮች የታሰረውን ምስል አካባቢ ለማስላት ችግሩን ለመፍታት አልጎሪዝም-

1. ስዕል እየገነባን ነው. ይህንን በቼክ ወረቀት ላይ በትልቅ ደረጃ ላይ ማድረግ ተገቢ ነው. ከእያንዳንዱ ግራፍ በላይ ባለው እርሳስ የዚህን ተግባር ስም እንፈርማለን. ግራፎችን መፈረም ለቀጣይ ስሌቶች ምቾት ብቻ ይከናወናል. የሚፈለገውን ምስል ግራፍ ከተቀበልን, በአብዛኛዎቹ ሁኔታዎች የትኞቹ የመዋሃድ ገደቦች ጥቅም ላይ እንደሚውሉ ወዲያውኑ ግልጽ ይሆናል. ስለዚህ, ችግሩን በግራፊክ እንፈታዋለን. ሆኖም ፣ የገደቦቹ እሴቶች ክፍልፋይ ወይም ምክንያታዊ ያልሆኑ መሆናቸው ይከሰታል። ስለዚህ, ተጨማሪ ስሌቶችን ማድረግ ይችላሉ, ወደ ደረጃ ሁለት ይሂዱ.

2. የውህደት ገደቦች በግልጽ ካልተገለጹ የግራፎቹን መገናኛ ነጥቦች እርስ በእርስ እናገኛለን እና የእኛ ግራፊክ መፍትሄ ከትንታኔው ጋር ይጣጣማል።

3. በመቀጠል ስዕሉን መተንተን ያስፈልግዎታል. የተግባር ግራፎች እንዴት እንደተደራጁ ላይ በመመስረት የአንድን ምስል አካባቢ ለማግኘት የተለያዩ አቀራረቦች አሉ። ውስጠ-ቁራጮችን በመጠቀም የምስሉን አካባቢ ለማግኘት የተለያዩ ምሳሌዎችን እንመልከት።

3.1. በጣም ክላሲክ እና ቀላሉ የችግሩ ስሪት የተጠማዘዘ ትራፔዞይድ አካባቢ ማግኘት ሲፈልጉ ነው። የታጠፈ ትራፔዞይድ ምንድን ነው? ይህ በ x-ዘንግ የተገደበ ጠፍጣፋ ምስል ነው። (y = 0)፣ ቀጥ ያለ x = a, x = bእና ማንኛውም ጥምዝ ከ ክፍተት ላይ ቀጣይነት ያለው ሀከዚህ በፊት ለ. ከዚህም በላይ ይህ አኃዝ አሉታዊ ያልሆነ እና ከ x-ዘንግ በታች አይደለም የሚገኘው. በዚህ ሁኔታ ፣ የከርቪላይን ትራፔዞይድ ስፋት በኒውተን-ሌብኒዝ ቀመር በመጠቀም የሚሰላው ከአንድ የተወሰነ ውህደት ጋር በቁጥር እኩል ነው-

ምሳሌ 1 y = x2 – 3x + 3፣ x = 1፣ x = 3፣ y = 0.

ምስሉ በየትኛው መስመሮች የታሰረ ነው? ፓራቦላ አለን y = x2 – 3x + 3, እሱም ከዘንጉ በላይ የሚገኘው ኦህ, አሉታዊ አይደለም, ምክንያቱም ሁሉም የዚህ ፓራቦላ ነጥቦች አወንታዊ እሴቶች አሏቸው። በመቀጠል, ቀጥታ መስመሮች ተሰጥተዋል x = 1እና x = 3, ከዘንግ ጋር ትይዩ የሚሄድ ኦ.ዩ, በግራ እና በቀኝ ያሉት የምስሉ የድንበር መስመሮች ናቸው. እንግዲህ y = 0, እሱ ደግሞ የ x-ዘንግ ነው, ይህም ከታች ያለውን ምስል ይገድባል. በግራ በኩል ካለው ምስል ላይ እንደሚታየው የተገኘው ምስል ጥላ ይደረግበታል. በዚህ ሁኔታ, ወዲያውኑ ችግሩን መፍታት መጀመር ይችላሉ. ከእኛ በፊት የኒውተን-ሌብኒዝ ቀመር በመጠቀም የምንፈታው የተጠማዘዘ ትራፔዞይድ ምሳሌ ነው።

3.2. በቀደመው አንቀፅ 3.1 ላይ የተጠማዘዘ ትራፔዞይድ ከ x-ዘንግ በላይ በሚገኝበት ጊዜ ጉዳዩን መርምረናል. አሁን የችግሩ ሁኔታዎች ተመሳሳይ ሲሆኑ ጉዳዩን አስቡበት, ተግባሩ በ x-ዘንግ ስር ካልሆነ በስተቀር. አንድ ተቀንሶ ወደ መደበኛው ኒውተን-ሌብኒዝ ቀመር ተጨምሯል። እንደዚህ አይነት ችግር እንዴት እንደሚፈታ ከዚህ በታች እንመለከታለን.

ምሳሌ 2 . በመስመሮች የታሰረውን የምስል ቦታ አስላ y = x2 + 6x + 2፣ x = -4፣ x = -1፣ y = 0.

በዚህ ምሳሌ ውስጥ ፓራቦላ አለን y = x2 + 6x + 2, እሱም ከአክሱ የሚመነጨው ኦህ፣ ቀጥ ያለ x = -4፣ x = -1፣ y = 0. እዚህ y = 0የሚፈለገውን ምስል ከላይ ይገድባል. ቀጥታ x = -4እና x = -1እነዚህ የተወሰነው ውህደት የሚሰላበት ድንበሮች ናቸው። የምስሉን አካባቢ የማግኘት ችግርን የመፍታት መርህ ከምሳሌው ቁጥር 1 ጋር ሙሉ በሙሉ ይዛመዳል ። ብቸኛው ልዩነት የተሰጠው ተግባር አወንታዊ አለመሆኑ እና እንዲሁም በጊዜ መካከል ቀጣይነት ያለው መሆኑ ነው ። [-4; -1] . አዎንታዊ አይደለም ማለትዎ ምን ማለት ነው? ከሥዕሉ ላይ እንደሚታየው፣ በ xs ውስጥ ያለው አኃዝ “አሉታዊ” መጋጠሚያዎች አሉት፣ ይህም ችግሩን በምንፈታበት ጊዜ ማየት እና ማስታወስ ያለብን ነው። የምስሉን አካባቢ የምንፈልገው የኒውተን-ላይብኒዝ ቀመሩን በመጠቀም ነው፣ መጀመሪያ ላይ የመቀነስ ምልክት ብቻ።

ጽሑፉ አልተጠናቀቀም.

ስለዚህ ፣ ውህዶችን በመጠቀም የአንድን ምስል አካባቢ የማግኘት ችግር በተሳካ ሁኔታ ለመፍታት ምን ያስፈልጋል

ብቃት ያላቸውን ስዕሎች የመሥራት ችሎታ;
የታወቀውን የኒውተን-ሌብኒዝ ቀመር በመጠቀም የተወሰነ ውህደትን የመፍታት ችሎታ;
የበለጠ ትርፋማ የመፍትሄ አማራጭን "የማየት" ችሎታ - ማለትም. በአንድ ወይም በሌላ ጉዳይ ውስጥ ውህደትን እንዴት ማከናወን የበለጠ አመቺ እንደሚሆን ይረዱ? ከ x-ዘንግ (ኦክስ) ወይም ከ y-ዘንግ (ኦአይ) ጋር?
ደህና፣ ያለ ትክክለኛ ስሌት የት እንሆን ነበር?) ይህ እንዴት ያንን ሌላ ዓይነት ውህዶች መፍታት እና የቁጥር ስሌቶችን እንዴት ማስተካከል እንደሚቻል መረዳትን ይጨምራል።

በመስመሮች የታሰረውን ምስል አካባቢ ለማስላት ችግሩን ለመፍታት አልጎሪዝም-

ምሳሌ 1 y = x2 – 3x + 3፣ x = 1፣ x = 3፣ y = 0.

ምሳሌ 2 . በመስመሮች የታሰረውን የምስል ቦታ አስላ y = x2 + 6x + 2፣ x = -4፣ x = -1፣ y = 0.

ጽሑፉ አልተጠናቀቀም.

የተወሰነ ውህደት። የአንድን ምስል ስፋት እንዴት ማስላት እንደሚቻል

ወደ ኢንተራክታል ካልኩለስ ትግበራዎች እንሂድ። በዚህ ትምህርት ውስጥ የተለመደውን እና በጣም የተለመደውን ተግባር እንመረምራለን - የአንድን አውሮፕላን ምስል ስፋት ለማስላት የተወሰነ ውህደትን እንዴት መጠቀም እንደሚቻል. በመጨረሻም፣ በከፍተኛ ሂሳብ ትርጉም የሚፈልጉ - ያገኙት። ምን እንደሚፈጠር አታውቅም. በእውነተኛ ህይወት የአንደኛ ደረጃ ተግባራትን በመጠቀም የዳቻ ሴራን መገመት እና የተወሰነ ውህደትን በመጠቀም አካባቢውን ማግኘት አለብዎት።

ቁሳቁሱን በተሳካ ሁኔታ ለመቆጣጠር የሚከተሉትን ማድረግ አለብዎት:

1) ቢያንስ በመካከለኛ ደረጃ ያልተወሰነ ውህደትን ይረዱ። ስለዚህ ዱሚዎች መጀመሪያ ትምህርቱን ማንበብ አለባቸው አይደለም.

2) የኒውተን-ላይብኒዝ ፎርሙላ ተግባራዊ ማድረግ እና የተወሰነውን ውህደት ማስላት መቻል። በገጹ ላይ ከተወሰኑ ውህደቶች ጋር ሞቅ ያለ ወዳጃዊ ግንኙነት መመስረት ይችላሉ። የተወሰነ ውህደት። የመፍትሄዎች ምሳሌዎች.

በእውነቱ ፣ የአንድን ምስል ስፋት ለማግኘት ፣ ስለ ላልተወሰነ እና የተወሰነ ውህደት ያን ያህል እውቀት አያስፈልግዎትም። ተግባሩ "በተወሰነ ውህደት በመጠቀም አካባቢውን ማስላት" ሁልጊዜ ስዕልን መገንባትን ያካትታል, ስለዚህ የእርስዎ እውቀት እና የስዕል ችሎታዎች የበለጠ አሳሳቢ ጉዳይ ይሆናሉ. በዚህ ረገድ ፣ የመሠረታዊ የመጀመሪያ ደረጃ ተግባራትን ግራፎች ትውስታዎን ማደስ ጠቃሚ ነው ፣ እና ቢያንስ ፣ ቀጥተኛ መስመር ፣ ፓራቦላ እና ሃይፐርቦላ መገንባት ይችላሉ። ይህ ሊደረግ ይችላል (ለብዙዎች አስፈላጊ ነው) በዘዴ ማቴሪያል እና በግራፍ ጂኦሜትሪ ለውጦች ላይ ባለው ጽሑፍ እርዳታ.

እንደ እውነቱ ከሆነ፣ ከት/ቤት ጀምሮ የተወሰነ ውህደት በመጠቀም አካባቢውን የማግኘት ሥራ ሁሉም ሰው ያውቃል፣ እና ከትምህርት ቤቱ ሥርዓተ ትምህርት ብዙም አንሄድም። ይህ መጣጥፍ ጨርሶ ላይኖር ይችላል፣ ግን እውነታው ችግሩ ከ 100 ውስጥ በ99 ጉዳዮች ላይ ይከሰታል፣ ይህም ተማሪ በተጠላ ትምህርት ቤት ሲሰቃይ እና የከፍተኛ የሂሳብ ትምህርቶችን በጋለ ስሜት ሲያጠናቅቅ ነው።

የዚህ ዎርክሾፕ ቁሳቁሶች በቀላሉ፣ በዝርዝር እና በትንሹ ንድፈ ሃሳብ ቀርበዋል።

በተጣመመ ትራፔዞይድ እንጀምር.

Curvilinear trapezoidጠፍጣፋ ምስል በዘንግ ፣ ቀጥ ያሉ መስመሮች እና የተግባር ግራፍ በአንድ ክፍተት ላይ ቀጣይነት ያለው ሲሆን በዚህ የጊዜ ክፍተት ላይ ምልክት አይቀየርም። ይህ አኃዝ ይገኝ ያነሰ አይደለም x-ዘንግ፡

ከዚያም የከርቪላይን ትራፔዞይድ ስፋት ከተወሰነ ውህደት ጋር በቁጥር እኩል ነው።. ማንኛውም የተወሰነ ውህደት (ያለ) በጣም ጥሩ የጂኦሜትሪክ ትርጉም አለው። በትምህርቱ ላይ የተወሰነ ውህደት። የመፍትሄዎች ምሳሌዎችአንድ የተወሰነ ውህደት ቁጥር ነው አልኩኝ። እና ሌላ ጠቃሚ እውነታን ለመግለጽ ጊዜው አሁን ነው. ከጂኦሜትሪ እይታ አንጻር, የተወሰነው ውህደት AREA ነው.

ያውና, የተወሰነው አካል (ካለ) በጂኦሜትሪ ደረጃ ከአንድ የተወሰነ ምስል አካባቢ ጋር ይዛመዳል. ለምሳሌ, የተወሰነውን ውህደት አስቡበት. ውህደቱ ከአክሱ በላይ ባለው አውሮፕላኑ ላይ ያለውን ኩርባ ይገልፃል (የሚፈልጉት ስዕል ሊሠሩ ይችላሉ) እና የተወሰነው አካል ራሱ በቁጥር ከተዛማጅ ከርቪላይን ትራፔዞይድ ስፋት ጋር እኩል ነው።

ምሳሌ 1

ይህ የተለመደ የሥራ መግለጫ ነው። በውሳኔው ውስጥ የመጀመሪያው እና በጣም አስፈላጊው ነጥብ የስዕል ግንባታ ነው. ከዚህም በላይ ስዕሉ መገንባት አለበት ቀኝ.

ስዕልን በሚገነቡበት ጊዜ የሚከተለውን ቅደም ተከተል እመክራለሁ. በመጀመሪያሁሉንም ቀጥታ መስመሮች (ካለ) እና ብቻ መገንባት የተሻለ ነው ከዚያም- ፓራቦላ, ሃይፐርቦላ, የሌሎች ተግባራት ግራፎች. የተግባር ግራፎችን መገንባት የበለጠ ትርፋማ ነው። ነጥብ በ ነጥብ, የነጥብ-በ-ነጥብ የግንባታ ዘዴ በማጣቀሻው ውስጥ ሊገኝ ይችላል የአንደኛ ደረጃ ተግባራት ግራፎች እና ባህሪያት. እዚያም ለትምህርታችን በጣም ጠቃሚ የሆኑ ቁሳቁሶችን ማግኘት ይችላሉ - ፓራቦላ በፍጥነት እንዴት እንደሚገነባ.

በዚህ ችግር ውስጥ, መፍትሄው እንደዚህ ሊመስል ይችላል.
ስዕሉን እንሳበው (እኩልታው ዘንግውን እንደሚገልፅ ልብ ይበሉ)

የተጠማዘዘውን ትራፔዞይድ አልጥላም፤ ስለየትኛው አካባቢ እየተነጋገርን እንደሆነ እዚህ ላይ ግልጽ ነው። መፍትሄው በዚህ መልኩ ይቀጥላል።

በክፍሉ ላይ, የተግባሩ ግራፍ ይገኛል ከዘንጉ በላይ, ለዛ ነው:

መልስ፡-

የተወሰነውን ውህደት ለማስላት እና የኒውተን-ላይብኒዝ ቀመርን ተግባራዊ ለማድረግ ማን ችግር አለበት። , ትምህርቱን ተመልከት የተወሰነ ውህደት። የመፍትሄዎች ምሳሌዎች.

ስራው ከተጠናቀቀ በኋላ, ስዕሉን ለመመልከት እና መልሱ እውነት መሆኑን ለማወቅ ሁልጊዜ ጠቃሚ ነው. በዚህ ሁኔታ, በስዕሉ ውስጥ ያሉትን የሴሎች ብዛት "በዓይን" እንቆጥራለን - ደህና, ወደ 9 ገደማ ይሆናል, እውነት ይመስላል. እኛ ካገኘን ፣ እንበል ፣ መልሱ ፣ 20 ካሬ ክፍሎች ፣ ከዚያ የሆነ ቦታ ላይ ስህተት እንደተፈጠረ ግልፅ ነው - 20 ህዋሶች በግልፅ በጥያቄ ውስጥ ካለው ምስል ጋር አይስማሙም ፣ ቢበዛ ደርዘን። መልሱ አሉታዊ ከሆነ, ስራው እንዲሁ በስህተት ተፈትቷል.

ምሳሌ 2

በመስመሮች፣ እና በዘንግ የታሰረውን የምስል ቦታ አስላ

ይህ በራስዎ ለመፍታት ለእርስዎ ምሳሌ ነው። በትምህርቱ መጨረሻ ላይ ሙሉ መፍትሄ እና መልስ.

የታጠፈ ትራፔዞይድ የሚገኝ ከሆነ ምን ማድረግ እንዳለበት በመጥረቢያ ስር?

ምሳሌ 3

በመስመሮች የታሰረውን የምስሉን ቦታ አስሉ እና መጥረቢያዎችን ያስተባብሩ።

መፍትሄሥዕል እንሥራ፡

የተጠማዘዘ ትራፔዞይድ ከተገኘ በመጥረቢያ ስር(ወይም ቢያንስ ከፍ ያለ አይደለምየተሰጠው ዘንግ) ፣ ከዚያ አካባቢው በቀመሩ በመጠቀም ሊገኝ ይችላል-
በዚህ ሁኔታ፡-

ትኩረት! ሁለቱ አይነት ስራዎች ግራ መጋባት የለባቸውም:

1) ያለምንም ጂኦሜትሪክ ትርጉም በቀላሉ የተወሰነ ውህደት እንዲፈቱ ከተጠየቁ ፣ ያኔ አሉታዊ ሊሆን ይችላል።

2) የተወሰነ ውህደትን በመጠቀም የስዕሉን ስፋት እንዲፈልጉ ከተጠየቁ አከባቢው ሁል ጊዜ አዎንታዊ ነው! ለዚያም ነው ተቀናሹ አሁን በተነጋገርነው ቀመር ውስጥ ይታያል.

በተግባር ፣ ብዙውን ጊዜ ምስሉ በሁለቱም የላይኛው እና የታችኛው ግማሽ አውሮፕላን ውስጥ ይገኛል ፣ እና ስለሆነም ፣ ከቀላል የትምህርት ቤት ችግሮች ወደ የበለጠ ትርጉም ያላቸው ምሳሌዎች እንሸጋገራለን ።

ምሳሌ 4

በመስመሮች የታሰረውን የአውሮፕላን ምስል ቦታ ያግኙ።

መፍትሄ: በመጀመሪያ ስዕሉን ማጠናቀቅ ያስፈልግዎታል. በአጠቃላይ ፣ በአከባቢው ችግሮች ላይ ስዕልን ስንገነባ ፣ በመስመሮች መጋጠሚያ ነጥቦች ላይ በጣም እንፈልጋለን። የፓራቦላውን መገናኛ ነጥቦች እና ቀጥታ መስመርን እንፈልግ. ይህ በሁለት መንገዶች ሊከናወን ይችላል. የመጀመሪያው ዘዴ ትንታኔ ነው. እኩልታውን እንፈታዋለን፡-

ይህ ማለት ዝቅተኛው የውህደት ገደብ, ከፍተኛው የመዋሃድ ገደብ ነው.
ከተቻለ ይህንን ዘዴ አለመጠቀም የተሻለ ነው..

መስመሮችን ነጥብ በነጥብ መገንባት የበለጠ ትርፋማ እና ፈጣን ነው፣ እና የውህደት ወሰኖቹ “በራሳቸው” ግልጽ ይሆናሉ። ለተለያዩ ግራፎች የነጥብ-በ-ነጥብ ግንባታ ቴክኒክ በእርዳታው ውስጥ በዝርዝር ተብራርቷል የአንደኛ ደረጃ ተግባራት ግራፎች እና ባህሪያት. ሆኖም ፣ ገደቦችን የማግኘት የትንታኔ ዘዴ አሁንም አንዳንድ ጊዜ ጥቅም ላይ መዋል አለበት ፣ ለምሳሌ ፣ ግራፉ በቂ ከሆነ ፣ ወይም ዝርዝር ግንባታው የውህደት ገደቦችን ካላሳየ (ክፍልፋዮች ወይም ምክንያታዊ ያልሆኑ ሊሆኑ ይችላሉ)። እና እንደዚህ አይነት ምሳሌን እንመለከታለን.

ወደ ተግባራችን እንመለስ፡ በመጀመሪያ ቀጥታ መስመር መገንባት የበለጠ ምክንያታዊ ነው እና ከዚያ ፓራቦላ ብቻ። ስዕሉን እንሥራ-

እኔ እደግመዋለሁ ነጥብ በሚገነባበት ጊዜ የመዋሃድ ገደቦች ብዙውን ጊዜ “በራስ-ሰር” እንደሚገኙ እደግመዋለሁ።

እና አሁን የስራ ቀመር: በክፍሉ ላይ አንዳንድ ቀጣይነት ያለው ተግባር ካለ ይበልጣል ወይም እኩል ነው።አንዳንድ ቀጣይነት ያለው ተግባር ፣ ከዚያ የምስሉ ስፋት በእነዚህ ተግባራት ግራፎች እና በመስመሮች ፣ , ቀመሩን በመጠቀም ማግኘት ይቻላል-

እዚህ ሥዕሉ የት እንደሚገኝ ማሰብ አያስፈልግዎትም - ከዘንጉ በላይ ወይም ከዘንጉ በታች ፣ እና ፣ በግምት ፣ የትኛው ግራፍ ከፍ ያለ እንደሆነ አስፈላጊ ነው።(ከሌላ ግራፍ አንጻር) እና የትኛው ከታች ነው.

ከግምት ውስጥ ባለው ምሳሌ ውስጥ ፣ በክፍሉ ላይ ፓራቦላ ከቀጥታ መስመር በላይ እንደሚገኝ ግልፅ ነው ፣ ስለሆነም መቀነስ አስፈላጊ ነው ።

የተጠናቀቀው መፍትሄ እንደሚከተለው ሊመስል ይችላል-

የሚፈለገው ምስል ከላይ ባለው ፓራቦላ እና ከታች ባለው ቀጥታ መስመር የተገደበ ነው.
በክፍሉ ላይ ፣ በተዛማጅ ቀመር መሠረት-

መልስ፡-

በእውነቱ ፣ በታችኛው ግማሽ አውሮፕላን ውስጥ የኩሪቪላይን ትራፔዞይድ አካባቢ የትምህርት ቤት ቀመር (ቀላል ምሳሌ ቁጥር 3 ይመልከቱ) የቀመሩ ልዩ ጉዳይ ነው። . ዘንግው በቀመርው ስለተገለጸ እና የተግባሩ ግራፍ ይገኛል ከፍ ያለ አይደለምመጥረቢያዎች, እንግዲህ

እና አሁን ለእራስዎ መፍትሄ ሁለት ምሳሌዎች

ምሳሌ 5

ምሳሌ 6

በመስመሮች የታሰረውን የምስሉን ቦታ ይፈልጉ።

የተወሰነ ውህደትን በመጠቀም አካባቢን በማስላት ላይ ያሉ ችግሮችን ሲፈቱ አንዳንድ ጊዜ አስቂኝ ክስተት ይከሰታል። ስዕሉ በትክክል ተሠርቷል, ስሌቶቹ ትክክል ነበሩ, ነገር ግን በግዴለሽነት ምክንያት ... የተሳሳተ አኃዝ አካባቢ ተገኝቷልልክ እንደዚህ ነው ትሑት አገልጋይህ ብዙ ጊዜ የተደበደበው። የእውነተኛ ህይወት ጉዳይ ይኸውና፡-

ምሳሌ 7

በመስመሮች የታሰረውን የምስሉ ስፋት አስላ , , .

መፍትሄ: በመጀመሪያ, ስዕል እንሥራ:

. . . ስዕሉ መጥፎ ነገር ወጣ ፣ ግን ሁሉም ነገር የሚነበብ ይመስላል።

አካባቢውን ማግኘት ያለብን አኃዝ ሰማያዊ ጥላ ነው።(ሁኔታውን በጥንቃቄ ይመልከቱ - ስዕሉ እንዴት እንደሚገደብ!). ነገር ግን በተግባር ግን፣ በግዴለሽነት ምክንያት "ብልሽት" ብዙውን ጊዜ በአረንጓዴ ቀለም የተሸፈነውን የምስል ቦታ መፈለግ ያስፈልግዎታል!

ይህ ምሳሌ ሁለት ቁርጥ ያለ ውህዶችን በመጠቀም የስዕሉን ስፋት በማስላት ጠቃሚ ነው። በእውነት፡-

1) ከአክሱ በላይ ባለው ክፍል ላይ የአንድ ቀጥተኛ መስመር ግራፍ አለ;

2) ከአክሱ በላይ ባለው ክፍል ላይ የሃይፐርቦላ ግራፍ አለ.

ቦታዎቹ ሊታከሉ የሚችሉ (እና የሚገባቸው) መሆናቸው በጣም ግልጽ ነው፣ ስለዚህም፡-

መልስ፡-

ወደ ሌላ ትርጉም ያለው ተግባር እንሂድ።

ምሳሌ 8

በመስመሮች የታሰረውን ምስል ስፋት አስሉ ፣
እኩልታዎችን በ "ትምህርት ቤት" ቅፅ እናቅርብ እና ነጥብ-በ-ነጥብ ስእል እንስራ:

ከሥዕሉ ላይ የእኛ የላይኛው ገደብ "ጥሩ" እንደሆነ ግልጽ ነው:.
ግን ዝቅተኛው ገደብ ምንድን ነው?! ይህ ኢንቲጀር እንዳልሆነ ግልጽ ነው, ግን ምንድን ነው? ምን አልባት ? ግን ስዕሉ ፍጹም በሆነ ትክክለኛነት ለመሰራቱ ዋስትናው የት አለ ፣ ምናልባት ምናልባት… ወይ ሥሩ። ግራፉን በስህተት ብንገነባስ?

በእንደዚህ ዓይነት ሁኔታዎች, ተጨማሪ ጊዜ ማሳለፍ እና የውህደት ገደቦችን በመተንተን ግልጽ ማድረግ አለብዎት.

የቀጥታ መስመር እና የፓራቦላ መገናኛ ነጥቦችን እንፈልግ።
ይህንን ለማድረግ ቀመርን እንፈታዋለን-

,

በእውነት .

ተጨማሪው መፍትሔ ቀላል ነው, ዋናው ነገር በመተካት እና በምልክቶች ውስጥ ግራ መጋባት አይደለም, እዚህ ያሉት ስሌቶች በጣም ቀላል አይደሉም.

በክፍል ላይ በተዛማጅ ቀመር መሰረት፡-

መልስ፡-

ደህና, ትምህርቱን ለመደምደም, ሁለት ተጨማሪ ከባድ ስራዎችን እንመልከት.

ምሳሌ 9

በመስመሮች የታሰረውን የምስሉ ስፋት አስላ፣፣

መፍትሄይህን ምስል በሥዕሉ ላይ እናሳይ።

እርግማን, መርሃ ግብሩን መፈረም ረሳሁ, እና, ይቅርታ, ምስሉን እንደገና ማስተካከል አልፈለግኩም. የስዕል ቀን አይደለም ፣ ባጭሩ ፣ ዛሬ ቀኑ ነው =)

ለ ነጥብ-በ-ነጥብ ግንባታ, የ sinusoid ገጽታን ማወቅ አስፈላጊ ነው (እና በአጠቃላይ ማወቅ ጠቃሚ ነው). የሁሉም የመጀመሪያ ደረጃ ተግባራት ግራፎች), እንዲሁም አንዳንድ ሳይን እሴቶች, እነሱ ውስጥ ሊገኙ ይችላሉ ትሪግኖሜትሪክ ሰንጠረዥ. በአንዳንድ ሁኔታዎች (በዚህ ሁኔታ ውስጥ እንደሚደረገው) የንድፍ ንድፍ መገንባት ይቻላል, ይህም ግራፎች እና የመዋሃድ ወሰኖች በመሠረቱ በትክክል መታየት አለባቸው.

እዚህ የመዋሃድ ገደቦች ላይ ምንም ችግሮች የሉም, እነሱ በቀጥታ ከሁኔታው ይከተላሉ: "x" ከዜሮ ወደ "ፒ" ይቀየራል. ተጨማሪ ውሳኔ እናድርግ፡-

በክፋዩ ላይ ፣ የተግባሩ ግራፍ ከዘንጉ በላይ ይገኛል ፣ ስለሆነም

በእውነቱ ፣ የአንድን ምስል ስፋት ለማግኘት ፣ ስለ ላልተወሰነ እና የተወሰነ ውህደት ያን ያህል እውቀት አያስፈልግዎትም። ተግባሩ "በተወሰነ ውህደት በመጠቀም አካባቢውን ማስላት" ሁልጊዜ ስዕልን መገንባትን ያካትታል, ስለዚህ የእርስዎ እውቀት እና የስዕል ችሎታዎች የበለጠ አሳሳቢ ጉዳይ ይሆናሉ. በዚህ ረገድ ፣ የመሠረታዊ የመጀመሪያ ደረጃ ተግባራትን ግራፎች ትውስታዎን ማደስ ጠቃሚ ነው ፣ እና ቢያንስ ፣ ቀጥተኛ መስመር እና ሃይፐርቦላ መገንባት ይችላሉ።

ጥምዝ ትራፔዞይድ በዘንግ፣ ቀጥ ባለ መስመሮች እና የተግባር ግራፍ በዚህ ክፍተት ላይ በማይለወጥ ክፍል ላይ ያለ ጠፍጣፋ ምስል ነው። ይህ አኃዝ ይገኝ ያነሰ አይደለም x-ዘንግ፡

ከዚያም የከርቪላይን ትራፔዞይድ ስፋት ከተወሰነ ውህደት ጋር በቁጥር እኩል ነው።. ማንኛውም የተወሰነ ውህደት (ያለ) በጣም ጥሩ የጂኦሜትሪክ ትርጉም አለው።

ከጂኦሜትሪ እይታ አንጻር, የተወሰነው ውህደት AREA ነው.

ያውና,አንድ የተወሰነ አካል (ካለ) በጂኦሜትሪ ደረጃ ከአንድ የተወሰነ ምስል አካባቢ ጋር ይዛመዳል። ለምሳሌ, የተወሰነውን ውህደት አስቡበት. ውህደቱ ከአክሱ በላይ ባለው አውሮፕላኑ ላይ ያለውን ኩርባ ይገልፃል (የሚፈልጉት ስዕል ሊሠሩ ይችላሉ) እና የተወሰነው አካል ራሱ በቁጥር ከተዛማጅ ከርቪላይን ትራፔዞይድ ስፋት ጋር እኩል ነው።

ምሳሌ 1

ይህ የተለመደ የሥራ መግለጫ ነው። የውሳኔው የመጀመሪያ እና በጣም አስፈላጊ ነጥብ የስዕሉ ግንባታ ነው. ከዚህም በላይ ስዕሉ መገንባት አለበት ቀኝ.

ስዕልን በሚገነቡበት ጊዜ የሚከተለውን ቅደም ተከተል እመክራለሁ. በመጀመሪያሁሉንም ቀጥታ መስመሮች (ካለ) እና ብቻ መገንባት የተሻለ ነው ከዚያም- ፓራቦላ, ሃይፐርቦላ, የሌሎች ተግባራት ግራፎች. የተግባር ግራፎችን መገንባት የበለጠ ትርፋማ ነው። ነጥብ በ ነጥብ.

በዚህ ችግር ውስጥ, መፍትሄው እንደዚህ ሊመስል ይችላል.
ስዕሉን እንሳበው (እኩልታው ዘንግውን እንደሚገልፅ ልብ ይበሉ)

በክፍሉ ላይ, የተግባሩ ግራፍ ይገኛል ከዘንጉ በላይ, ለዛ ነው:

መልስ፡-

ስራው ከተጠናቀቀ በኋላ, ስዕሉን ለመመልከት እና መልሱ እውነት መሆኑን ለማወቅ ሁልጊዜ ጠቃሚ ነው. በዚህ ሁኔታ "በዓይን" በስዕሉ ውስጥ ያሉትን የሴሎች ብዛት እንቆጥራለን - ደህና, ወደ 9 ገደማ ይሆናል, እውነት ይመስላል. እኛ ካገኘን ፣ እንበል ፣ መልሱ ፣ 20 ካሬ ክፍሎች ፣ ከዚያ የሆነ ቦታ ላይ ስህተት እንደተፈጠረ ግልፅ ነው - 20 ህዋሶች በግልፅ በጥያቄ ውስጥ ካለው ምስል ጋር አይስማሙም ፣ ቢበዛ ደርዘን። መልሱ አሉታዊ ከሆነ, ስራው እንዲሁ በስህተት ተፈትቷል.

ምሳሌ 3

በመስመሮች የታሰረውን የምስሉን ቦታ አስሉ እና መጥረቢያዎችን ያስተባብሩ።

መፍትሄሥዕል እንሥራ፡

የታጠፈ ትራፔዞይድ ከተገኘ በመጥረቢያ ስር(ወይም ቢያንስ ከፍ ያለ አይደለምየተሰጠው ዘንግ) ፣ ከዚያ አካባቢው በቀመሩ በመጠቀም ሊገኝ ይችላል-

በዚህ ሁኔታ፡-

ትኩረት! ሁለቱ አይነት ስራዎች ግራ መጋባት የለባቸውም:

1) ያለምንም ጂኦሜትሪክ ትርጉም በቀላሉ የተወሰነ ውህደት እንዲፈቱ ከተጠየቁ ፣ ያኔ አሉታዊ ሊሆን ይችላል።

ምሳሌ 4

በመስመሮች የታሰረውን የአውሮፕላን ምስል ቦታ ያግኙ።

ይህ ማለት ዝቅተኛው የውህደት ገደብ, ከፍተኛው የመዋሃድ ገደብ ነው.

ከተቻለ ይህንን ዘዴ አለመጠቀም የተሻለ ነው..

መስመሮችን ነጥብ በነጥብ መገንባት የበለጠ ትርፋማ እና ፈጣን ነው፣ እና የውህደት ወሰኖቹ “በራሳቸው” ግልጽ ይሆናሉ። ሆኖም ፣ ገደቦችን የማግኘት የትንታኔ ዘዴ አሁንም አንዳንድ ጊዜ ጥቅም ላይ መዋል አለበት ፣ ለምሳሌ ፣ ግራፉ በቂ ከሆነ ፣ ወይም ዝርዝር ግንባታው የውህደት ገደቦችን ካላሳየ (ክፍልፋዮች ወይም ምክንያታዊ ያልሆኑ ሊሆኑ ይችላሉ)። እና እንደዚህ አይነት ምሳሌን እንመለከታለን.

ወደ ተግባራችን እንመለስ፡ በመጀመሪያ ቀጥታ መስመር መገንባት የበለጠ ምክንያታዊ ነው እና ከዚያ ፓራቦላ ብቻ። ስዕሉን እንሥራ-

የተጠናቀቀው መፍትሄ እንደሚከተለው ሊመስል ይችላል-

የሚፈለገው ምስል ከላይ ባለው ፓራቦላ እና ከታች ባለው ቀጥታ መስመር የተገደበ ነው.
በክፍሉ ላይ ፣ በተዛማጅ ቀመር መሠረት-

መልስ፡-

ምሳሌ 4

በመስመሮች የታሰረውን የምስሉ ስፋት አስላ , , .

መፍትሄ: በመጀመሪያ, ስዕል እንሥራ:

ይህ ምሳሌ ሁለት ቁርጥ ያለ ውህዶችን በመጠቀም የስዕሉን ስፋት በማስላት ጠቃሚ ነው።

በእውነት:

1) ከአክሱ በላይ ባለው ክፍል ላይ የአንድ ቀጥተኛ መስመር ግራፍ አለ;

2) ከአክሱ በላይ ባለው ክፍል ላይ የሃይፐርቦላ ግራፍ አለ.

ቦታዎቹ ሊታከሉ የሚችሉ (እና የሚገባቸው) መሆናቸው በጣም ግልጽ ነው፣ ስለዚህም፡-

ድርብ ውህደትን የማስላት ትክክለኛውን ሂደት ግምት ውስጥ ማስገባት እና ከጂኦሜትሪክ ትርጉሙ ጋር መተዋወቅ እንጀምራለን ።

ድርብ ውህደት ከአውሮፕላኑ ምስል ስፋት (የውህደት ክልል) ጋር በቁጥር እኩል ነው። የሁለት ተለዋዋጮች ተግባር ከአንድ ጋር እኩል በሚሆንበት ጊዜ ይህ በጣም ቀላሉ የድብል ውህደት ቅርፅ ነው።

በመጀመሪያ, ችግሩን በአጠቃላይ መልክ እንመልከተው. አሁን ሁሉም ነገር በእውነቱ እንዴት ቀላል እንደሆነ በጣም ትገረማለህ! በመስመሮች የታሰረውን የአንድ ጠፍጣፋ ምስል ስፋት እናሰላ። ለትክክለኛነቱ, በክፍሉ ላይ እንገምታለን. የዚህ አኃዝ ስፋት በቁጥር ከሚከተለው ጋር እኩል ነው።

በሥዕሉ ላይ ያለውን ቦታ እናሳየው፡-

አካባቢውን ለማቋረጥ የመጀመሪያውን መንገድ እንምረጥ፡-

ስለዚህም፡-

እና ወዲያውኑ አንድ አስፈላጊ ቴክኒካዊ ቴክኒክ: የተደጋገሙ ውህዶች ለየብቻ ሊሰሉ ይችላሉ።. በመጀመሪያ ውስጣዊ ውስጣዊ, ከዚያም ውጫዊ ውህደት. በርዕሰ-ጉዳዩ ውስጥ ለጀማሪዎች ይህንን ዘዴ በጣም እመክራለሁ።

1) የውስጥ ውህደቱን እናሰላለን፣ እና ውህደቱ በተለዋዋጭ “y” ላይ ይከናወናል፡

እዚህ ያለው ያልተወሰነ ውህደት በጣም ቀላሉ ነው ፣ እና ከዚያ የባናል ኒውተን-ላይብኒዝ ቀመር ጥቅም ላይ ይውላል ፣ ብቸኛው ልዩነት የውህደት ገደቦች ቁጥሮች አይደሉም, ግን ተግባራት ናቸው. በመጀመሪያ, የላይኛውን ገደብ ወደ "y" (የፀረ-ተውጣጣ ተግባር), ከዚያም ዝቅተኛውን ወሰን ተክተነዋል

2) በመጀመሪያው አንቀጽ ላይ የተገኘው ውጤት በውጫዊ ውህደት ውስጥ መተካት አለበት.

የመፍትሄው የበለጠ የታመቀ ውክልና ይህን ይመስላል።

የተገኘው ቀመር “ተራ” የሆነውን የተወሰነ ውህደት በመጠቀም የአውሮፕላን ምስልን ስፋት ለማስላት በትክክል የሚሰራበት ቀመር ነው! ትምህርቱን ይመልከቱ የተወሰነ ውህደትን በመጠቀም አካባቢን ማስላትእሷ በእያንዳንዱ እርምጃ ላይ አለች!

ያውና, ድርብ ውህደትን በመጠቀም አካባቢን የማስላት ችግር ብዙም የተለየ አይደለምየተወሰነ ውህደት በመጠቀም አካባቢውን ከማግኘት ችግር!እንደ እውነቱ ከሆነ, ተመሳሳይ ነገር ነው!

በዚህ መሠረት ምንም ችግሮች መፈጠር የለባቸውም! ብዙ ምሳሌዎችን አልመለከትም, እርስዎ, በእውነቱ, ይህንን ተግባር በተደጋጋሚ ስላጋጠሙዎት.

ምሳሌ 9

መፍትሄ፡-በሥዕሉ ላይ ያለውን ቦታ እናሳየው፡-

የሚከተለውን የአከባቢን የማለፍ ቅደም ተከተል እንመርጥ-

በመጀመሪያው አንቀጽ ላይ በጣም ዝርዝር ማብራሪያዎች ስለተሰጡ እዚህ እና ከዚያ በኋላ አካባቢውን እንዴት እንደምዞር አላልፍም።

ስለዚህም፡-

ቀደም ብዬ እንደገለጽኩት ለጀማሪዎች የተደጋገሙ ውህዶችን ለየብቻ ማስላት የተሻለ ነው ፣ እና እኔ በተመሳሳይ ዘዴ እቀጥላለሁ ።

1) በመጀመሪያ፣ የኒውተን-ላይብኒዝ ቀመር በመጠቀም፣ ከውስጥ ውህደቱ ጋር እንገናኛለን፡-

2) በመጀመሪያ ደረጃ የተገኘው ውጤት በውጫዊው ውህደት ውስጥ ተተክቷል-

ነጥብ 2 በእውነቱ የተወሰነ ውህደትን በመጠቀም የአውሮፕላን ምስልን ቦታ ማግኘት ነው።

መልስ፡-

ይህ ደደብ እና የዋህ ተግባር ነው።

ለገለልተኛ መፍትሄ አስደሳች ምሳሌ:

ምሳሌ 10

ድርብ ውህደትን በመጠቀም በመስመሮች የታሰረውን የአውሮፕላን ምስል ስፋት ያሰሉ ፣

በትምህርቱ መጨረሻ ላይ የመጨረሻው መፍትሄ ግምታዊ ምሳሌ.

በምሳሌ 9-10 አካባቢውን ለመዘዋወር የመጀመሪያውን ዘዴ መጠቀም የበለጠ ትርፋማ ነው፡ በነገራችን ላይ ጉጉት ያላቸው አንባቢዎች የጉዞውን ቅደም ተከተል በመቀየር ሁለተኛውን ዘዴ በመጠቀም ቦታዎቹን ማስላት ይችላሉ። ስህተት ካልሰሩ, በተፈጥሮ, ተመሳሳይ የአካባቢ እሴቶችን ያገኛሉ.

ግን በአንዳንድ ሁኔታዎች ፣ ሁለተኛው አካባቢውን የማቋረጥ ዘዴ የበለጠ ውጤታማ ነው ፣ እና በወጣቱ ነርቭ ኮርስ መጨረሻ ላይ ፣ በዚህ ርዕስ ላይ ሁለት ተጨማሪ ምሳሌዎችን እንመልከት ።

ምሳሌ 11

ድርብ ውህደትን በመጠቀም በመስመሮች የታሰረውን የአውሮፕላን ምስል ስፋት ያሰሉ ፣

መፍትሄ፡-በጎናቸው ላይ የተኛን ሁለት ፓራቦላዎችን በጉጉት እንጠብቃለን። ፈገግ ማለት አያስፈልግም፤ ተመሳሳይ ነገሮች በብዛት በብዛት በብዛት ይከሰታሉ።

ስዕል ለመስራት ቀላሉ መንገድ ምንድነው?

ፓራቦላ በሁለት ተግባራት መልክ እናስብ፡-
- የላይኛው ቅርንጫፍ እና - የታችኛው ቅርንጫፍ.

በተመሳሳይ, የላይኛው እና የታችኛው ቅርጽ ያለው ፓራቦላ አስብ ቅርንጫፎች.

በመቀጠል፣ በነጥብ-ጥበብ የግራፎች ደንቦችን ማቀድ፣ ይህም እንደዚህ ያለ እንግዳ ምስል ያስከትላል።

በቀመርው መሠረት የስዕሉን ስፋት እናሰላለን-

አካባቢውን ለማለፍ የመጀመሪያውን ዘዴ ከመረጥን ምን ይሆናል? በመጀመሪያ, ይህ ቦታ በሁለት ክፍሎች መከፈል አለበት. በሁለተኛ ደረጃ ፣ ይህንን አሳዛኝ ምስል እናስተውላለን- . ውህደቶች፣ በእርግጥ፣ እጅግ የተወሳሰበ ደረጃ ላይ አይደሉም፣ ነገር ግን... አንድ የቆየ የሂሳብ አባባል አለ፡ ለሥሮቻቸው ቅርብ የሆኑት ፈተና አያስፈልጋቸውም።

ስለዚህ ፣ በሁኔታው ውስጥ ከተሰጠው አለመግባባት ፣ የተገላቢጦሽ ተግባራትን እንገልፃለን-

በዚህ ምሳሌ ውስጥ ያሉት የተገላቢጦሽ ተግባራት ምንም ቅጠሎች, አኮርዶች, ቅርንጫፎች እና ስሮች ሳይኖሩበት ሙሉውን ፓራቦላ በአንድ ጊዜ በመጥቀስ ጥቅም አላቸው.

በሁለተኛው ዘዴ መሰረት, የቦታ መሻገሪያው እንደሚከተለው ይሆናል.

ስለዚህም፡-

እነሱ እንደሚሉት, ልዩነቱ ይሰማዎታል.

1) ከውስጣዊው አካል ጋር እንገናኛለን-

ውጤቱን ወደ ውጫዊ ውህደት እንተካለን-

በተለዋዋጭ “y” ላይ መዋሃድ ግራ የሚያጋባ መሆን የለበትም፤ “zy” የሚል ፊደል ካለ በላዩ ላይ መቀላቀል በጣም ጥሩ ነበር። የትምህርቱን ሁለተኛ አንቀጽ ማን ያነበበ ቢሆንም የአብዮት አካልን መጠን እንዴት ማስላት እንደሚቻል፣ በ"Y" ዘዴ መሠረት በመዋሃድ ላይ ትንሽ ግራ መጋባት አያጋጥመውም።

እንዲሁም ለመጀመሪያው ደረጃ ትኩረት ይስጡ: ውህደቱ እኩል ነው, እና የውህደቱ ክፍተት ከዜሮ ጋር ተመጣጣኝ ነው. ስለዚህ, ክፍሉ በግማሽ ሊቀንስ ይችላል, ውጤቱም በእጥፍ ይጨምራል. ይህ ዘዴ በትምህርቱ ውስጥ በዝርዝር ተገልጿል. የተወሰነውን ውህደት ለማስላት ውጤታማ ዘዴዎች.

ምን መጨመር…. ሁሉም!

መልስ፡-

የመዋሃድ ዘዴዎን ለመሞከር, ለማስላት መሞከር ይችላሉ . መልሱ በትክክል ተመሳሳይ መሆን አለበት.

ምሳሌ 12

ድርብ ውህደትን በመጠቀም በመስመሮች የታሰረውን የአውሮፕላን ምስል ስፋት ያሰሉ።

ይህ በራስዎ ለመፍታት ለእርስዎ ምሳሌ ነው። አካባቢውን ለማለፍ የመጀመሪያውን ዘዴ ለመጠቀም ከሞከሩ, ስዕሉ ከአሁን በኋላ በሁለት መከፈል አለበት, ነገር ግን በሦስት ክፍሎች መከፈሉ ትኩረት የሚስብ ነው! እናም, በዚህ መሠረት, ሶስት ጥንድ ተደጋጋሚ ውስጠቶችን እናገኛለን. አንዳንድ ጊዜ ይከሰታል.

የማስተርስ ክፍል አብቅቷል ፣ እና ወደ ዋና ጌታ ደረጃ ለመቀጠል ጊዜው አሁን ነው - ድርብ ውህደትን እንዴት ማስላት ይቻላል? የመፍትሄዎች ምሳሌዎች. በሁለተኛው መጣጥፍ ውስጥ በጣም እብድ ላለመሆን እሞክራለሁ =)

ስኬት እመኛለሁ!

መፍትሄዎች እና መልሶች:

ምሳሌ 2፡መፍትሄ፡- አካባቢውን እናሳይ በሥዕሉ ላይ:

የሚከተለውን የአከባቢን የማለፍ ቅደም ተከተል እንመርጥ-

ስለዚህም፡-
ወደ ተገላቢጦሽ ተግባራት እንሂድ፡-

ስለዚህም፡-
መልስ፡-

ምሳሌ 4፡መፍትሄ፡- ወደ ቀጥተኛ ተግባራት እንሂድ፡-

ስዕሉን እንሥራ-

አካባቢውን የማለፍ ቅደም ተከተል እንለውጥ፡-

መልስ፡-