ተግባራዊ እኩልታዎች. እነሱን ለመፍታት ዘዴዎች

2.2 እኩልታዎችን እና እኩልነትን ለመፍታት ዘዴ

እኩልታዎች እና አለመመጣጠን በትምህርት ቤት የሂሳብ ትምህርት ውስጥ ባህላዊ ርዕስ ነው ፣ ከዝቅተኛ ክፍሎች ጀምሮ ትልቅ ቦታን የሚይዝ ፣ ቀላሉ እኩልታ እና እኩልነት በሂሳብ ኦፕሬሽኖች ባህሪዎች ላይ የተመሠረተ ንድፈ ሀሳብን በማስተዋወቅ እና ከአረጋውያን ጋር የሚያበቃበት ነው ። ደረጃዎች፣ ተሻጋሪ እኩልታዎች የሚፈቱበት።

እኩልታዎች እና አለመመጣጠን የአልጀብራ መሣሪያን ይወክላሉ፣ የተተገበሩትን ጨምሮ የተለያዩ አይነት ችግሮች የሚተረጎሙበት ቋንቋ እና የሂሳብ ሞዴሎቻቸው የተገነቡ ናቸው።

እኩልታዎችን እና እኩልነቶችን ለመፍታት የተግባሮችን ነጠላነት በመጠቀም።በጣም በተደጋጋሚ ከሚገጥሙት ሃሳቦች አንዱ የሚከተሉትን ቀላል እኩልነት በመፍታት በደንብ ይገለጻል።

1. አለመመጣጠን መፍታት፡-.

መፍትሄ። ሁለት መደበኛ መፍትሄዎች አሉ-ስኩዌርንግ (የተሰጠ
; ከሆነ
, እኩልነት ረክቷል) እና የማይታወቅ መተካት
.

ሌላ ዘዴን እንመልከት - መደበኛ ያልሆነ. በግራ በኩል ያለው ተግባር በብቸኝነት ይጨምራል, በመጀመሪያው ክፍል ውስጥ ያለው ተግባር ግን ይቀንሳል. ግልጽ ከሆኑ የግራፊክ እሳቤዎች ውስጥ እኩልታውን ይከተላል
x 0 የዚህ እኩልታ መፍትሄ ነው፣ ከዚያ መቼ
ይሆናል, እና ለዚህ እኩልነት መፍትሄ ይሆናል
. ትርጉም x 0 ለመምረጥ ቀላል ነው: x 0 = 1.

መልስ.
.

2. እኩልታውን ይፍቱ፡
.

መፍትሄ። ይህ እኩልታ ግልጽ የሆነ መፍትሄ አለው x= 1. ሌሎች መፍትሄዎች እንደሌሉ እናረጋግጥ. ሁለቱንም ክፍሎች እንከፋፍላቸው , እናገኛለን
. የግራ ጎን በብቸኝነት የሚቀንስ ተግባር ነው። በዚህም ምክንያት እያንዳንዱን እሴቶቹን አንድ ጊዜ ይወስዳል, ማለትም. ይህ እኩልታ ልዩ መፍትሄ አለው.

መልስ. x = 1.

ስለዚህ የእነዚህ ሁለት ምሳሌዎች መፍትሄዎች የተመሰረቱበት መሰረታዊ ሀሳብ በጣም ቀላል ነው፡ ከሆነ ረ(x) monotonically ይጨምራል, እና φ (x)በብቸኝነት ይቀንሳል, ከዚያም እኩልታ ረ(x) = φ (x) ቢበዛ አንድ መፍትሄ አለው, እና ከሆነ x = x 0 የዚህ እኩልታ መፍትሄ ነው፣ ከዚያ መቼ x > x 0 (x በሁለቱም ተግባራት ወሰን ውስጥ ነው ረ(x) እና φ (x) ) ያደርጋል ረ(x) > φ (x) ፣ እና መቼ x x 0 ይሆናል

ረ(x) φ (x) .

ለዚህ ሃሳብ አንድ ማሻሻያ ትኩረት መስጠት ተገቢ ነው, ማለትም: ከሆነ ረ(x) አንድ ነጠላ ተግባር ነው, ከዚያም ከእኩልነት ረ(x) = ረ(y) የሚለውን ይከተላል x = y .

3.እኩልታውን ይፍቱ፡.

መፍትሄ . እኩልታውን እንለውጥ፡-

.

ተግባሩን አስቡበት
.

መቼ እንደሆነ እናረጋግጥ ቲ > 1 ይህ ተግባር በብቸኝነት ይቀንሳል. ይህ ለምሳሌ በመደበኛ መንገድ ሊከናወን ይችላል-ተለዋዋጭውን ይፈልጉ

እና መቼ እንደሆነ ያረጋግጡ ቲ > 1
. ሌላ መንገድ እናሳይ፡-

.

የተገኘው ተግባር በግልጽ እየቀነሰ ነው (መሠረቱ ይጨምራል ፣ በሎጋሪዝም ምልክት ስር ተግባሩ እየቀነሰ ይሄዳል)።

የኛ እኩልነት ፎርም አለው፡ ማለት ነው። በግራ በኩል እየጨመረ የሚሄድ ተግባር አለ, ስለዚህ, መፍትሄው ልዩ ነው, በተመረጠው በቀላሉ ይገኛል: x = 4.

መልስ. x = 4 .

የቅጹ እኩልታዎችረ ( ረ ( x )) = x . የዚህ አይነት እኩልታዎችን በሚፈታበት ጊዜ የሚከተለው ቲዎሪ ጠቃሚ ነው፡

y = f(x) በብቸኝነት የሚጨምር ተግባር ከሆነ፣ እኩልታዎቹ

ረ(x) = x(ሀ)

ረ (ረ (x)) = x (ለ)

ተመጣጣኝ.

ማረጋገጫ። እኩልታ (ለ) የእኩልታ (ሀ) ውጤት መሆኑ ግልፅ ነው፡ ማንኛውም ስር (ሀ) ያረካል (ለ)። ( ከሆነ

ረ (x 0 ) = x 0 , ያ ረ (ረ (x 0 )) = ረ (x 0 ) = x 0.) ማንኛውም የእኩልታ ስር (ለ) እኩልነትን (ሀ) እንደሚያረካ እናረጋግጥ። ፍቀድ x 0 እንደዚህ ረ (ረ (x 0 )) = x 0. እንበል ረ (x 0 ) ≠ x 0 እና በእርግጠኝነት ረ (x 0 ) > x 0 . ከዚያም ረ (ረ (x 0 )) > ረ (x 0 ) > x 0, ይህም ግምትን የሚቃረን ( ረ (ረ (x 0 )) = x 0) ጽንሰ-ሐሳቡ ተረጋግጧል.

ንድፈ ሃሳቡ በነጠላነት ለሚቀንስ ተግባር እውነት ነው?

አስተያየት።ከሆነ y = ረ (x) በብቸኝነት ይጨምራል ፣ ከዚያ ለማንኛውም ክእኩልታዎች
እና ረ (x) = x እኩል ናቸው.

የዚህን ንድፈ ሐሳብ አጠቃቀም በርካታ ምሳሌዎችን እንስጥ.

1. እኩልታውን ይፍቱ፡
.

መፍትሄ፡ ሒሳቡን እንደገና እንፃፍ
. ተግባሩን አስቡበት
. ይህ ተግባር በብቸኝነት ይጨምራል. እኩልታ አለን።

ረ (ረ (x)) = x. በንድፈ ሀሳቡ መሰረት, በተመጣጣኝ እኩልነት እንተካዋለን ረ (x) = x ወይም.

መልስ።

2. እኩልታውን ይፍቱ፡

.

መፍትሄ። እኩልታውን እንለውጥ፡-
.

ይህ እኩልነት ይህን ይመስላል፡- ረ (ረ (x)) = x, የት
.

በንድፈ ሀሳቡ መሰረት፣ ተመጣጣኝ እኩልታ አለን፡-
,

መልስ።
.

3. የእኩልታዎች ስርዓት መፍታት:
.

መፍትሄ። ተግባሩን እናስብ። ምክንያቱም

በሁሉም ፊት ቲ፣ ያ ረ (ቲ) ይጨምራል።

ስርዓቱ መልክ አለው። y = ረ (x), ዝ = ረ (y), x = ረ (ዝ), እነዚያ። x = ረ (ረ (ረ (x))).

በንድፈ ሀሳቡ መሰረት xእኩልታውን ያሟላል ረ (x) = x ወይም

መልስ።(0, 0, 0), (-1, -1, -1).

ከግምት ውስጥ ያሉትን ተግባራት እጅግ በጣም ጥሩ ባህሪያትን መጠቀም. ደረጃ አሰጣጦችየዚህ ነጥብ ዋና ሐሳቦች ከምሳሌዎቹ በግልጽ ይታያሉ፡-

1. እኩልታውን ይፍቱ፡
.

መፍትሄ። የዚህ እኩልታ ግራ በኩል ከ 2 አይበልጥም, እና የቀኝ በኩል ከ 2 አይበልጥም. ስለዚህ እኩልነት ሊፈጠር የሚችለው የግራ እና የቀኝ ጎኖች ከ 2 ጋር እኩል ከሆኑ ብቻ ነው, ማለትም. x = 0.

አስተያየት።ይህ ሁኔታ፣ በአንደኛው የሒሳብ ክፍል ውስጥ የሚገኘው የአንድ ተግባር ትንሹ እሴት በሌላኛው ክፍል ውስጥ ከሚገኘው የተግባር ትልቅ እሴት ጋር እኩል ሲሆን በአጠቃላይ ሊጠቃለል ይችላል። የበለጠ አጠቃላይ ጉዳይ የቅጹ እኩልታዎች ነው። ረ (x) = φ (x) , ለየተኛው
ለሁሉም ተቀባይነት ያለው x(በመደበኛነት ይህንን እኩልነት እንደገና መፃፍ እንችላለን

ረ (x) = φ (x) = 0, በውጤቱም የቀኝ እጅ ትልቁ ዋጋ ዜሮ ስለሆነ ቀድሞውኑ ወደታሰበው ሁኔታ ደርሰናል).

2. እኩልታውን ይፍቱ፡.

ይህ እኩልታ ምንም መፍትሄዎች እንደሌለው እናረጋግጥ. ወደ መዘዙ እንሂድ (አቅም ያለው)፡-
.

በጂኦሜትሪክ አማካኝ እና በሂሳብ አማካኝ መካከል ባለው አለመመጣጠን ላይ በመመስረት የግራውን ጎን እንገምት

:

እነዚያ። የግራ ጎን ከቀኝ ያነሰ ነው. ቀመር ምንም መፍትሄዎች የሉትም.

መልስ።ምንም ውሳኔ የለም.

3. የእኩልታዎችን ስርዓት መፍታት፡-

መፍትሄ። ይህን እናረጋግጥ።

በእርግጠኛነት ይሁን x 5 > x 4, ከዚያም ከመጀመሪያዎቹ ሁለት እኩልታዎች እናገኛለን, ከየትኛው
እና በተለይ . በመቀጠል, ከሦስተኛው እና አራተኛው እናገኛለን
እና በተለይም
. ከመጨረሻዎቹ ጥንድ እናገኛለን. ውጤቱ ተቃርኖ ነው (እና
፣ ማለትም እ.ኤ.አ. ፣ ግን እንደዚያ ይታሰብ ነበር።
).

ማለት፣
, ከዚህ
ወዘተ, ሁሉም የማይታወቁ ነገሮች እርስ በርስ እኩል ናቸው.

መልስ።(0, 0, 0, 0,0);
.

በአፈፃፀማቸው ውስጥ መደበኛ ያልሆኑ እና እኩልታዎችን ወይም እኩልነትን የሚያካትቱ ችግሮች።ይህ ምድብ በተለይም የአንድን እኩልታ ስሮች ቁጥር ለመወሰን፣ በተወሰነ የጊዜ ክፍተት ላይ ሥር መኖሩን የሚያረጋግጥ እና በተወሰነ የጊዜ ልዩነት ላይ እኩልነትን ወይም እኩልነትን መፍታት የሚያስፈልግባቸውን ችግሮች ያጠቃልላል። ጥቂት ምሳሌዎችን እንመልከት።

1. እኩልነቱን ያረጋግጡ
አንድ አዎንታዊ አለው ውሳኔ እና አንድ አሉታዊ ውሳኔ.በ ውስጥ የሂሳብ ትምህርት የማስተማር ዘዴዎች አማካይ ትምህርት ቤት: የመማሪያ መጽሐፍ. የተማሪ መመሪያ...

በቪዲዮ ቁሳቁሶች ላይ የተመሰረተ የማዳመጥ ስልጠና አረጋውያን ክፍሎች አማካይ ትምህርት ቤቶች

ተሲስ >> ፔዳጎጂ

... አረጋውያን ክፍሎች አማካይ ትምህርት ቤቶች. ምዕራፍ 2 ስለ ባህሪያቱ ነው። ቴክኒኮችየመስማት ችሎታን ማስተማር ከፍተኛየአእምሮ እንቅስቃሴ ፣ መጨመርየስራ ፍላጎት... ተግባርበጣም ውስብስብ. ለ መፍትሄዎችይህ ተግባራት ... ተግባርየዝግጅት ደረጃ - ያስወግዱ ችግሮች ...

ዘዴዎች መፍትሄዎችመለኪያ የያዙ እኩልታዎች

ተሲስ >> ሂሳብ

የጥናት ዘዴዎች መፍትሄዎችውስጥ መለኪያዎችን የያዙ እኩልታዎች አረጋውያን ክፍሎች አማካይ ትምህርት ቤቶችእና ተገቢውን በማደግ ላይ ቴክኒኮች. መፍትሄይህ ችግር... ተግባር ጨምሯል ችግሮች. የአልጀብራን ኮርስ ሲደግሙ እና ትንታኔ ሲጀምሩ 10 ክፍልበስርዓት ተግባራት ...

ትምህርት ቤትእና የህዝብ ቅድመ ትምህርት ቤት ትምህርት የዩኤስኤስ አር ብሄራዊ ኢኮኖሚን ​​በማደስ እና ተጨማሪ እድገት (1946-1958)

አጭር >> ፔዳጎጂ

ተማሪዎች አረጋውያን ክፍሎች አማካይ ትምህርት ቤቶች. ከሆነ... ክፍሎች አማካይ ትምህርት ቤቶች. ከሁለት አስርት ዓመታት በላይ፣ ትምህርት ቤቶች ሁለት ጉዳዮችን በአንድ ጊዜ ማስተናገድ ነበረባቸው። ተግባራት... ተገለጠ ዘዴእየመራቸው... መፍትሄዎችየሚል ጥያቄ አንስቷል። መጨመር... እየጨመረ ነው። ችግሮችእና...

ዘዴየሂዩሪስቲክ ዘዴን በመጠቀም

አጭር >> ሶሺዮሎጂ

... ዘዴበ 11 ውስጥ ስለ ሎጋሪዝም ተግባራት ለማስተማር ሂዩሪስቲክ ዘዴን በመጠቀም ክፍል አማካይ ትምህርት ቤቶች... በማጥናት ከፍተኛ ክፍል አማካይ ትምህርት ቤቶች, አስቀድሞ ተካቷል ... ችሎታዎች: - መፍትሄ ተግባራትወደ ሎጋሪዝም + + - መፍትሄ ተግባራት ጨምሯል ችግሮች + - ...

ታንጀንት ቀጥተኛ መስመር ነው። , በአንድ ነጥብ ላይ የተግባርን ግራፍ የሚነካ እና ሁሉም ነጥቦች ከስራው ግራፍ በጣም አጭር ርቀት ላይ ናቸው. ስለዚህ, ታንጀንት ታንጀንት በተወሰነ ማዕዘን ላይ ወደ ተግባሩ ግራፍ ያልፋል, እና በተለያዩ ማዕዘኖች ላይ ያሉ በርካታ ታንጀኖች በተንሰራፋው ነጥብ ውስጥ ማለፍ አይችሉም. የታንጀንት እኩልታዎች እና የአንድ ተግባር ግራፍ መደበኛ እኩልታዎች ተዋጽኦውን በመጠቀም የተገነቡ ናቸው።

የታንጀንት እኩልታ ከመስመር እኩልታ የተገኘ ነው። .

የታንጀንትን እኩልታ እናውጣ, ከዚያም የተለመደውን ወደ ተግባሩ ግራፍ.

y = kx + ለ .

በእሱ ውስጥ ክ- angular Coefficient.

ከዚህ የሚከተለውን መግቢያ እናገኛለን።

y - y 0 = ክ(x - x 0 ) .

የመነጨ እሴት ረ "(x 0 ) ተግባራት y = ረ(x) ነጥብ ላይ x0 ከዳገቱ ጋር እኩል ነው ክ= tg φ በአንድ ነጥብ በኩል ለተሳለው ተግባር ግራፍ ታንክ ኤም0 (x 0 , y 0 ) ፣ የት y0 = ረ(x 0 ) . ይህ ነው የመነጩ ጂኦሜትሪክ ትርጉም .

ስለዚህ, መተካት እንችላለን ክላይ ረ "(x 0 ) እና የሚከተለውን ያግኙ የታንጀን እኩልነት ወደ ተግባር ግራፍ :

y - y 0 = ረ "(x 0 )(x - x 0 ) .

የታንጀን እኩልነት ወደ ተግባር ግራፍ (እና በቅርቡ ወደ እነርሱ እንሄዳለን) ማቀናበርን በሚያካትቱ ችግሮች ውስጥ ከላይ ከተጠቀሰው ቀመር የተገኘውን እኩልታ መቀነስ ያስፈልጋል። በአጠቃላይ ቅፅ ውስጥ ቀጥተኛ መስመር እኩልታ. ይህንን ለማድረግ ሁሉንም ፊደሎች እና ቁጥሮች ወደ እኩልታው በግራ በኩል ማንቀሳቀስ እና በቀኝ በኩል ዜሮን መተው ያስፈልግዎታል.

አሁን ስለ መደበኛው እኩልታ. መደበኛ - ይህ በታንጀንት ነጥብ በኩል ወደ ተግባራቱ ግራፍ የሚያልፍ ቀጥተኛ መስመር ነው. መደበኛ እኩልታ :

(x - x 0 ) + ረ "(x 0 )(y - y 0 ) = 0

ለማሞቅ, የመጀመሪያውን ምሳሌ እራስዎ እንዲፈቱ ይጠየቃሉ, ከዚያም መፍትሄውን ይመልከቱ. ይህ ተግባር ለአንባቢዎቻችን "ቀዝቃዛ ሻወር" እንደማይሆን ተስፋ የምናደርግበት በቂ ምክንያት አለ.

ምሳሌ 0.በአንድ ነጥብ ላይ ለተግባር ግራፍ የታንጀንት እኩልታ እና መደበኛ እኩልታ ይፍጠሩ ኤም (1, 1) .

ምሳሌ 1.ለአንድ ተግባር ግራፍ የታንጀንት እኩልታ እና መደበኛ እኩልታ ይፃፉ አቢሲሳ ታንጀንት ከሆነ .

የተግባሩን አመጣጥ እንፈልግ፡-

አሁን የታንጀንት እኩልታን ለማግኘት በንድፈ ሃሳቡ እርዳታ በተሰጠው ግቤት ውስጥ መተካት የሚያስፈልገው ነገር ሁሉ አለን. እናገኛለን

በዚህ ምሳሌ ውስጥ, እኛ እድለኞች ነበርን: ቁልቁል ወደ ዜሮ ተለወጠ, ስለዚህ እኩልታውን ወደ አጠቃላይ ቅጹ በተናጠል መቀነስ አያስፈልግም. አሁን መደበኛውን ቀመር መፍጠር እንችላለን-

ከታች ባለው ስእል ውስጥ: የተግባሩ ግራፍ ቡርጋንዲ ነው, ታንጀንት አረንጓዴ ነው, የተለመደው ብርቱካንማ ነው.

የሚቀጥለው ምሳሌ እንዲሁ የተወሳሰበ አይደለም-ተግባሩ ፣ ልክ እንደ ቀድሞው ፣ እንዲሁ ፖሊኖሚል ነው ፣ ግን ቁልቁሉ ከዜሮ ጋር እኩል አይሆንም ፣ ስለሆነም አንድ ተጨማሪ እርምጃ ይጨመራል - እኩልታውን ወደ አጠቃላይ ቅፅ ማምጣት።

ምሳሌ 2.

መፍትሄ። የታንጀንት ነጥቡን አስተላላፊነት እንፈልግ፡-

የተግባሩን አመጣጥ እንፈልግ፡-

.

የመነጩን ዋጋ በተንዛዛ ቦታ ማለትም በታንጀንት ቁልቁል ላይ እናገኝ።

ሁሉንም የተገኘውን ውሂብ ወደ “ባዶ ቀመር” እንተካለን እና የታንጀንት እኩልታውን እናገኛለን

እኩልታውን ወደ አጠቃላይ ቅጹ እናመጣለን (በግራ በኩል ከዜሮ በስተቀር ሁሉንም ፊደሎች እና ቁጥሮች እንሰበስባለን እና በቀኝ በኩል ዜሮን እንተወዋለን)

መደበኛውን ቀመር እንፈጥራለን-

ምሳሌ 3.አቢሲሳ የታንጀንት ነጥብ ከሆነ የታንጀሩን እና የመደበኛውን እኩልታ ወደ ተግባሩ ግራፍ ይፃፉ።

መፍትሄ። የታንጀንት ነጥቡን አስተላላፊነት እንፈልግ፡-

የተግባሩን አመጣጥ እንፈልግ፡-

.

የመነጩን ዋጋ በተንዛዛ ቦታ ማለትም በታንጀንት ቁልቁል ላይ እናገኝ።

.

የታንጀንት እኩልታውን እናገኛለን፡-

እኩልታውን ወደ አጠቃላይ ቅጹ ከማምጣትዎ በፊት ትንሽ “ማበጠር” ያስፈልግዎታል፡ ቃሉን በቃሉ በ 4 ማባዛት ይህንን እናደርጋለን እና እኩልታውን ወደ አጠቃላይ ቅጹ እናመጣለን፡

መደበኛውን ቀመር እንፈጥራለን-

ምሳሌ 4.አቢሲሳ የታንጀንት ነጥብ ከሆነ የታንጀሩን እና የመደበኛውን እኩልታ ወደ ተግባሩ ግራፍ ይፃፉ።

መፍትሄ። የታንጀንት ነጥቡን አስተላላፊነት እንፈልግ፡-

.

የተግባሩን አመጣጥ እንፈልግ፡-

የመነጩን ዋጋ በተንዛዛ ቦታ ማለትም በታንጀንት ቁልቁል ላይ እናገኝ።

.

የታንጀንት እኩልታ እናገኛለን፡-

እኩልታውን ወደ አጠቃላይ ቅጹ እናመጣለን-

መደበኛውን ቀመር እንፈጥራለን-

ታንጀንት እና መደበኛ እኩልታዎችን በሚጽፉበት ጊዜ የተለመደው ስህተት በምሳሌው ውስጥ የተሰጠው ተግባር ውስብስብ መሆኑን ልብ ማለት አይደለም እና የእሱን ተዋጽኦ እንደ ቀላል ተግባር ማስላት ነው። የሚከተሉት ምሳሌዎች ቀድሞውኑ ከ ናቸው። ውስብስብ ተግባራት(ተዛማጁ ትምህርት በአዲስ መስኮት ውስጥ ይከፈታል).

ምሳሌ 5.አቢሲሳ የታንጀንት ነጥብ ከሆነ የታንጀሩን እና የመደበኛውን እኩልታ ወደ ተግባሩ ግራፍ ይፃፉ።

መፍትሄ። የታንጀንት ነጥቡን አስተላላፊነት እንፈልግ፡-

ትኩረት! ይህ ተግባር ውስብስብ ነው፣ ምክንያቱም የታንጀንት ክርክር (2 x) ራሱ ተግባር ነው። ስለዚህ የአንድ ተግባር ተዋጽኦ እንደ ውስብስብ ተግባር መገኛ ሆኖ አግኝተነዋል።

የቹቫሽ ሪፐብሊክ የትምህርት እና የወጣቶች ፖሊሲ ሚኒስቴር

BOU DPO (ፒሲ) ሲ "ቹቫሽ ሪፐብሊካን የትምህርት ተቋም"

የቹቫሺያ ትምህርት ሚኒስቴር

የሂሳብ እና የመረጃ ቴክኖሎጂዎች ክፍል

በርዕሱ ላይ የኮርስ ሥራ;

"ተግባራዊ እኩልታዎች. እነሱን ለመፍታት ዘዴዎች"

የተጠናቀቀው በ: የሂሳብ መምህር MBOU "ሁለተኛ ደረጃ ትምህርት ቤት ቁጥር 60"

Cheboksary

Flegenova A.A.

Cheboksary, 2014

መግቢያ …………………………………………………………………………………………………………

ምዕራፍ 1. የተግባር እኩልታ ጽንሰ-ሀሳብ …………………………………………………. 5

ምዕራፍ 2. ተግባራዊ ክፍል. የተግባርን እኩልነት የመፍታት ዘዴዎች.9

ማጠቃለያ ………………………………………………………………………………………………………….24

ዋቢዎች …………………………………………………………………………………………………

አፕሊኬሽኖች ………………………………………………………………………………………………… 26

መግቢያ

የትምህርት ቤት ልጆች በደንብ ሊያውቁት ከሚገባቸው በጣም አስፈላጊ የሂሳብ ችሎታዎች አንዱ እኩልታዎችን የመፍታት ችሎታ ነው። የአንድ እኩልታ ሥር በአንድ ወይም በብዙ ድርጊቶች ውስጥ ይገኛል፣ ብዙ የቃላት ችግሮች በአልጀብራ መልክ ይፈታሉ፣ እኩልታው ኢንቲጀርን፣ ራሽን እና ሌሎች ቁጥሮችን ሊያካትት ይችላል፣ ማለትም፣ እኩልታዎቹ እራሳቸው በአንድ ጊዜ ችግሮችን ለመፍታት ተግባራት እና ዘዴዎች፣ የመፍታት ችሎታ ናቸው። ለሁሉም የትምህርት ቤት ተማሪዎች አስፈላጊ የሆነው . ነገር ግን የስልጠና ስራዎችን እየፈታሁ እያለ፣ መፍታት የማልችለውን እኩልነት አገኘሁ። በኋላ ከመምህሩ እንደተረዳሁት፣ የተግባር እኩልነት ነበር።

ተግባራዊ እኩልታዎች ምንድን ናቸው? እና እነሱን ለመፍታት ምን መንገዶች አሉ? እነዚህ ጥያቄዎች ቀልቤን የሳበኝ ሲሆን ምርምር ለማድረግ ወሰንኩ።ተግባራዊ Cauchy እኩልታ

ተግባራዊ እኩልታዎች በጣም ረጅም ጊዜ ተጠንተዋል፤ ይህ ኮርስ በሂሳብ ፕሮግራሞች ውስጥ ብቁ ቦታ አላገኘም። በጣም ያሳዝናል. ከሁሉም በላይ የግለሰባዊ ተግባራዊ እኩልታዎችን መፍታት ስለ ርዕሰ ጉዳዩ በትክክል ጥልቅ ግንዛቤን ይፈልጋል እና ለነፃ የፈጠራ ሥራ ፍቅርን ያሳድጋል። ይህ ርዕሰ-ጉዳይ በትምህርት ቤቱ ውስብስብነት ምክንያት ስላልተመረመረ እንደዚህ ያሉ ችግሮች ወደ ታዋቂ ዩኒቨርሲቲዎች ፣ በኦሎምፒያድ እና በተዋሃዱ የስቴት ፈተና ክፍል ሲ ውስጥ ያጋጥሟቸዋል ።

በአሁኑ ጊዜ፣ የተግባር እኩልታዎችን እንዴት መፍታት እንደሚቻል የሚያስተምሩ ምንም የመማሪያ መጻሕፍት በተግባር የሉም።

ስለዚህ፣ ቀላል እና ልዩ ምሳሌዎችን በመጠቀም፣ የተግባርን እኩልታዎችን ለመፍታት የዘመናዊ ዘዴዎችን አጠቃላይ የጦር መሳሪያዎች ለአንባቢው መጠነኛ የሂሳብ ስልጠና ማሳየት የሚችል መመሪያ ያስፈልጋል።

የሥራው ዓላማ በስርዓታቸው ውስጥ ተግባራዊ እኩልነት ምን እንደሆነ ለማወቅ, ለመፍታት መንገዶችን መፈለግ እና ለሂሳብ ክፍሎች ጥቅም ላይ የሚውሉ የችግሮች ስብስብ ማሰባሰብ ነው.

የምርምር ዓላማዎች፡-

1. የስነ-ጽሁፍ ጥናት እና ትንተና;

2. ተግባራዊ እኩልታዎችን እና ስርዓቶቻቸውን ለመፍታት መንገዶችን መፈለግ;

3. ተግባራዊ እኩልታዎችን መፍታት

4. ስብስብ ማጠናቀር

የጥናት ዓላማ: ተግባራዊ እኩልታዎች

የምርምር ርዕሰ ጉዳይ: ተግባራዊ እኩልታዎችን የመፍታት ባህሪያትን እና ዘዴዎችን ማጥናት.

መዋቅር: መግቢያ, የተግባር እኩልነት ጽንሰ-ሐሳብ, የችግሮች ስብስብ, መደምደሚያ.

ምዕራፍ 1. የተግባር እኩልነት ጽንሰ-ሐሳብ

ተግባራዊ እኩልታ አንድ ወይም ከዚያ በላይ ያልታወቁ ተግባራትን (በተሰጡት የትርጉም እና የእሴቶች ጎራዎች) የያዘ ቀመር ነው። የተግባር እኩልታን መፍታት ማለት በተመሳሳይ መልኩ የሚያረኩትን ሁሉንም ተግባራት መፈለግ ማለት ነው። ተግባራዊ እኩልታዎች በተለያዩ የሒሳብ ዘርፎች ይነሳሉ፣ አብዛኛውን ጊዜ ንብረቶችን የሰጡ ሁሉንም ተግባራት መግለጽ በሚያስፈልግበት ጊዜ። የተግባር እኩልነት የሚለው ቃል በአብዛኛው ጥቅም ላይ የሚውለው በቀላል መንገድ ወደ አልጀብራ እኩልታዎች ላልተቀነሱ እኩልታዎች ነው። ይህ የማይቀለበስበት ሁኔታ ብዙውን ጊዜ በቀመር ውስጥ የማይታወቁ ተግባራት ክርክሮች እራሳቸውን የቻሉ ተለዋዋጮች አይደሉም ፣ ግን አንዳንድ ተግባሮቻቸው ተሰጥተዋል ። ብዙ ጊዜ በተለያዩ የሒሳብ ውድድሮች ላይ ይገኛል።

አንዳንድ ተግባራዊ እኩልታዎች ከትምህርት ቤት ለእኛ የተለመዱ ናቸው፡

f(x) = f(-x)፣ f(-x) = - f(x)፣ f(x+T) = f(x)፣

እንደ እኩልነት፣ እንግዳነት እና ወቅታዊነት ያሉ ተግባሮችን ባህሪያት የሚገልጹ።

የተግባር እኩልታዎችን የመፍታት ችግር በሂሳብ ትንታኔ ውስጥ በጣም ጥንታዊ ከሆኑት ውስጥ አንዱ ነው። ከሞላ ጎደል ከተግባር ንድፈ ሃሳብ ጅምር ጋር በአንድ ጊዜ ታዩ። የዚህ ተግሣጽ የመጀመሪያው እውነተኛ አበባ ከኃይል ትይዩዎች ችግር ጋር የተያያዘ ነው. እ.ኤ.አ. በ 1769 ፣ d'Alembert ለተግባራዊ እኩልታ መፍትሄ ኃይሎች የመደመር ህግን ምክንያታዊነት ቀንሷል።

ለተመሳሳይ እኩልነት እና ለተመሳሳይ ዓላማ በ 1804 በተወሰነ የትንታኔ ግምት በፖይሰን ተወስዶ ነበር ፣ በ 1821 Cauchy (1789 - 1857) አጠቃላይ መፍትሄዎችን አግኝቷል ።

የf(x) ቀጣይነት ብቻ በማሰብ የዚህ እኩልታ።

ሌላው ቀርቶ ለትይዩ አንግል የዩክሊዲያን ጂኦሜትሪ ያልሆነ የታወቀ ቀመር

ከተግባራዊ እኩልታ የተገኘው በ N.I. Lobachevsky (1792 - 1856)

, (2)

ከ Cauchy ዘዴ ጋር ተመሳሳይ በሆነ ዘዴ የፈታው. ይህ እኩልታ ወደ እኩልዮሽ ሊቀንስ ይችላል

.

በእንግሊዛዊው የሂሳብ ሊቅ ቻርለስ ባቤጅ (1792-1871) ወደ ተግባራዊ እኩልታዎች የሚያመሩ በርካታ የጂኦሜትሪክ ችግሮች ግምት ውስጥ ገብተዋል። እሱ ለምሳሌ ፣ የሁለተኛው ቅደም ተከተል ወቅታዊ ኩርባዎችን አጥንቷል ፣ በኩርባው ላይ ለማንኛውም ጥንድ ነጥቦች በሚከተለው ንብረት ይገለጻል-የሁለተኛው ነጥብ abscissa ከመጀመሪያው ordinate ጋር እኩል ከሆነ ፣ ከዚያ የሁለተኛው ነጥብ ordinate ከመጀመሪያው abscissa ጋር እኩል ነው. እንዲህ ዓይነቱ ኩርባ የአንድ ተግባር ግራፍ ይሁንy = f(x) ; (x፣ f(x)) - የዘፈቀደ ነጥብ። ከዚያም እንደ ሁኔታው, ከ abscissa ጋር ያለው ነጥብረ(x) x ordinate አለው። ስለዚህም እ.ኤ.አ.

የተግባር እኩልታ (3) በተለይም በሚከተሉት ተግባራት ረክቷል፡

አንዳንድ በጣም ቀላሉ ተግባራዊ እኩልታዎች የካውቺ እኩልታዎች ናቸው።

f(x+y) = f(x)+f(y)፣ (4)

f(x+y) = f(x) f(y)፣ (5)

f(xy) = f(x)+f(y)፣ (6)

f(xy) = f(x) f(y)፣ (7)

ካውቺ በ 1821 በታተመው (የመተንተን ኮርስ) ውስጥ እነዚህን እኩልታዎች በዝርዝር አጥንቷል። የእነዚህ አራት መሰረታዊ እኩልታዎች ቀጣይ መፍትሄዎች እንደ ቅጹ ናቸው።

, , ,

በተቋረጡ ተግባራት ክፍል ውስጥ ሌሎች መፍትሄዎች ሊኖሩ ይችላሉ. ቀመር (4) ቀደም ሲል Legendre እና Gauss የፕሮጀክቲቭ ጂኦሜትሪ መሰረታዊ ንድፈ ሃሳብን በማውጣት እና በGaussian የፕሮባቢሊቲ ስርጭት ህግ ላይ ባደረጉት ጥናት ከዚህ ቀደም ተቆጥረዋል።

ተግባራዊ እኩልታ (4) እንደገና በጂ ዳርቡክስ የሃይል ትይዩዎች ችግር እና የፕሮጀክቲቭ ጂኦሜትሪ መሰረታዊ ንድፈ ሃሳብ ላይ ተተግብሯል; ዋናው ስኬቱ ጉልህ የሆነ ግምትን ማዝናናት ነው። ተግባራዊ Cauchy እኩልታ (4) በተከታታይ ተግባራት ክፍል ውስጥ ቀጥተኛ ተመሳሳይነት ያለው ተግባር እንደሚለይ እናውቃለን።f(x) = መጥረቢያ . ዳርቦክስ ቢያንስ በአንድ ነጥብ የሚቀጥል ወይም ከላይ (ወይም ከታች) የታሰረ በዘፈቀደ ትንሽ ጊዜ ውስጥ ያለ ማንኛውም መፍትሄ ቅጹ ሊኖረው እንደሚገባ አሳይቷል።f(x) = መጥረቢያ። ግምቶችን ለማዝናናት ተጨማሪ ውጤቶች አንድ በአንድ በፍጥነት ይከተላሉ (መዋሃድ፣ በአዎንታዊ መለኪያ ስብስብ ላይ መለካት እና ሌላው ቀርቶ ሊለካ በሚችል ተግባር)። ጥያቄው የሚነሳው፡ ከመስመር ተመሳሳይነት ካለው ሌላ ቢያንስ አንድ ተጨማሪ ተግባር (ማለትም፣ አጥጋቢ (4)) አለ። እንደዚህ አይነት ባህሪ ማግኘት በጣም ከባድ ነው! በዚህ ሥራ ሂደት ውስጥ ፣ለምክንያታዊ x የማንኛውም ተጨማሪ ተግባር እሴቶች ከአንዳንድ መስመራዊ ተመሳሳይነት ያላቸው ተግባራት እሴቶች ጋር መገጣጠም እንዳለባቸው እናሳያለን።f(x) = መጥረቢያለ x ጥያቄ፡ ያኔ ይመስላልf(x) = መጥረቢያ ለሁሉም እውነተኛ x. ከሆነረ(x) - ቀጣይ ነው, ከዚያ ይህ በእርግጥ ነው, ነገር ግን ይህ ግምት ከተጣለ, ከዚያ አይሆንም. የተለየ ነገር የመጀመሪያው ምሳሌf(x) = መጥረቢያ የተቋረጠ የተግባር ቀመር (4) መፍትሄ በ1905 በጀርመናዊው የሒሳብ ሊቅ ጂ ሃሜል ባስተዋወቀው ትክክለኛ ቁጥሮች መሠረት ተሠራ።

ብዙ የተግባር እኩልታዎች አንድን የተወሰነ ተግባር አይገልጹም, ነገር ግን ሰፋ ያለ የተግባር ክፍልን ይገልፃሉ, ማለትም, የአንድ የተወሰነ ክፍል ተግባራትን የሚያመለክት ንብረትን ይገልጻሉ. ለምሳሌ, ተግባራዊ እኩልታረ(x+1) = f(x) ክፍለ ጊዜ 1 ያለው የተግባር ክፍልን እና ቀመርን ያሳያልረ(1+x) = ረ(1-x) - ቀጥተኛ መስመርን በተመለከተ የተመጣጠነ የተግባር ክፍልx = 1ወዘተ.

ምዕራፍ 2. ተግባራዊ ክፍል. ተግባራዊ እኩልታን ለመፍታት ዘዴዎች

በጣም ቀላሉ ተግባራዊ እኩልታዎች

1. ተግባር y =f(x) በ R ላይ ይጨምር። መፍታት፡-

ሀ) እኩልታ ረ(3x + 2) = f(4x 2 + x);

ለ) አለመመጣጠን f (3х - 48) ≤ ረ (-х 2 + x)

መፍትሄ፡-

ሀ) ረ (3x + 2) = ረ (4x 2 + x)

ጽንሰ-ሐሳብ አለ-አንድ ተግባር በአንድ ክፍተት X ላይ ቢጨምር እያንዳንዱን እሴቶቹን በአንድ ነጥብ ይወስዳል። ለዛ ነው,

3x+2 = 4x 2 + x;

4x 2 -2x-2=0;

2x 2 –x-1=0;

x 1 = 1 እና x 2 = -0.5

መልስ: x 1 = 1 እና x 2 = -0.5.

ለ) ረ (3x - 48) ≤ ረ (-x 2 + x);

3x-48 ≤ -x 2 + x;

x 2 + 2x - 48 ≤ 0;

x 1 =6 እና x 2 = -8፡

መልስ፡- [-8፡6]

2. ተግባሩ y =f(x) በ R ላይ እንዲቀንስ ያድርጉ። አለመመጣጠን ይፍቱ f(2x-3)>f(x+2)

መፍትሄ፡-

ልክ እንደ ቀድሞው ተግባር እንፈታዋለን ፣ ተግባሩ በ R ስለሚቀንስ የእኩልነት ምልክትን ብቻ እንለውጣለን ።

2x-3

መልስ፡ (-∞; 5)

የመተኪያ ዘዴን በመጠቀም ተግባራዊ እኩልታዎችን መፍታት

የተግባራዊ እኩልታውን አንዳንድ ተለዋዋጮች በተወሰኑ እሴቶች ወይም በአንዳንድ አገላለጾች በመተካት ይህንን እኩልታ ለማቃለል ወይም ወደ እንደዚህ ያለ ቅጽ ለማምጣት እንሞክራለን ተጨማሪው መፍትሄ ግልጽ ይሆናል። ጥቅም ላይ የዋለው ዘዴ ልዩነቱ በትክክል በተወሰኑ ጉዳዮች ላይ አንድ ሰው ሁሉንም ሊሆኑ የሚችሉ ተግባራትን በክፍል ውስጥ መፍትሄዎችን እንዲያገኝ ያስችለዋል.

1. በስብስቡ ላይ የተገለጹትን ሁሉንም ተግባራት ያግኙ , ግንኙነቱን ማርካት

መፍትሄ

ለ x እሴት እንስጥ. እናገኛለን

ከዚህ

.

ስርዓቱን እናውጣ

ከእኩል (1) እንገልፃለን። እና ወደ ቀመር (2) ይቀይሩት.

; ;

ከዚህ

; ; .

የ f(x) ተግባር በትክክል እኩልነቱን የሚያረካ መሆኑን እንፈትሽ

.

x=x - ትክክል።

መልስ፡.

መፍትሄ፡-

1) ፍቀድ

2) ወደ መጀመሪያው እኩልነት ተተካ, እናገኛለን

3) በ z ተካ በቀመርው በቀኝ በኩል ለውጦችን እናገኛለን ወይም በኋላ:

4) ስለዚህ ፣ ሁለት እኩልታዎች አግኝተናል-

5) የ 1 ኛ እኩልታ ሁለቱንም ጎኖች በ (-2) ማባዛት እና ወደ 2 ኛ እኩልነት ጨምሯቸዋል ፣ እኛ እናገኛለን

3. ፍቀድ - አንዳንድ እውነተኛ ቁጥር. ተግባር ያግኙረ(x) ፣ ለሁሉም x ≠ 1 የተገለፀ እና እኩልታውን የሚያረካ

,

g የተሰጠው ተግባር በተገለጸበትx ≠ 1 .

መፍትሄ: በሚተካበት ጊዜ

ስርዓት እናገኛለን

.

መፍትሄው የትኛው በሀ 2 ≠ 1 ተግባር ነው።

መልስ፡-

4. ለማይታወቁ ተግባራት ለተግባራዊ እኩልታዎች ስርዓት መፍትሄ ይፈልጉረ(x) እናሰ (x) :

መፍትሄ፡ በመጀመሪያው እኩልታ ውስጥ ምትክ እንስራ2x = 1/ዝ .

በውስጡ

እና የመጀመሪያው እኩልታ ቅጹን ይወስዳል:

ወይም

በውጤቱም ፣ የእኩልታዎች ስርዓት እናገኛለን-

የማን መፍትሔ g(x) = 1/x፣ f(x) = x+1 ነው።.

መልስ፡ g(x) = 1/x፣ f(x) = x+1።

5. ሁሉንም ተግባራት ፈልግ f: R  R ለሁሉም x, y € R, እኩልታውን ያረካሉ.

f(x+y)=x+yf(x)+(1-x) y። (1)

መፍትሄ፡ ረ ተግባርን የሚያረካ ይሁን (1)። (1) ለሁሉም የተለዋዋጮች x እና y እሴቶች እውነት ስለሆነ፣ ለእነዚህ ተለዋዋጮች የተወሰኑ እሴቶችም እውነት ይሆናል። ለምሳሌ y ከ 0 ጋር እኩል ወደ ዋናው ቀመር በመተካት f(x)=x እናገኛለን። ይህ እኩልነት ለማንኛውም እውነተኛ x እውነት መሆን አለበት። ስለዚህም (1) => f(х)≡х ለተግባራዊ ቀመር (1) መፍትሄ ነው። ቀጥተኛ ማረጋገጫ እንደሚያሳየው የተገኘው ተግባር የሁሉንም x፣y € R እኩልታ እንደሚያረካ ነው።

6. ሁሉንም ተግባራት ይፈልጉ f: R  R ለሁሉም x, y € R, እኩልታውን ያረካሉ.

f(x+y)=x+yf(x)+(1-ሲን x)y (1)

መፍትሔው፡ ልክ እንደ ቀደመው ችግር፣ ለሚያረካ ተግባር (2)፣ f(x)≡x መታወቂያው መሟላት እንዳለበት እናረጋግጣለን። ነገር ግን ተግባሩን f(x) = x ወደ (1) በመተካት ማንነትን አላገኘንም። ሌሎች ተግባራት ለ(1) መፍትሄ ሊሆኑ ስለማይችሉ፣ ይህ እኩልነት ምንም መፍትሄዎች የሉትም።

7. ሁሉንም ተግባራት ፈልግ f: R  R ለሁሉም x, y € R, እኩልታውን ያረካሉ.

f(x+y 2 +2y+1) = y 4 +4y 3 +2xy 2 +5y 2 +4xy+2y+x 2 +x+1 (1)

መፍትሄ፡ የf(x) እሴትን ለማግኘት ስለምንፈልግ የy ቃልን ለማስወገድ እንሞክር 2 +2y+1 በተግባር ምልክት ስር። እኩልታ y 2 +2y+1=0 አንድ መፍትሄ y=-1 አለው። y= -1ን ወደ (1) በመተካት f(x)= x እናገኛለን 2 -x+1

መልስ፡ f(x)= x 2 -x+1

8. ሁሉንም ተግባራት ይፈልጉ f: R  R ለሁሉም x, y € R, እኩልታውን ያረካሉ.

ረ((x 2 +6x+6)y)=y 2 x 4 +12y 2 x 3 +48y 2 x 2 -4yx 2 +72y 2 x-24yx+36y 2 -24 (1)

መፍትሄ፡ ልክ እንደ ቀደመው ችግር፣ በተግባሩ ምልክት ስር ነፃ ተለዋዋጭ (x ወይም y) ማግኘት እንፈልጋለን። በዚህ ሁኔታ, y ለማግኘት ቀላል ነው. ቀመር x መፍታት 2 +6x+6)y=0 ከ x አንፃር x እናገኛለን 1 = -1፣ x 2 = -5. ከእነዚህ እሴቶች ውስጥ የትኛውንም ወደ (1) መተካት f(y)=y ይሰጠናል። 2-4ዩ.

የCauchy ዘዴን በመጠቀም ተግባራዊ እኩልታዎችን መፍታት

1. ተግባሩን ያግኙ , በተፈጥሮ ቁጥሮች ስብስብ ላይ ይገለጻል, ሁኔታውን ያረካል

መ አንዳንድ እውነተኛ ቁጥር የት ነው።

መፍትሄ፡-

በሂሳብ ውስጥ Cauchy ዘዴ ተብሎ የሚጠራውን እቅድ በመጠቀም ይህንን እኩልነት እንፈታዋለን.

1. ለ መግለጫዎች እንፈልግእናገኛለን

, .

2. ይህ "ሙከራ" ያንን ይጠቁማል, የት.

3. እኩልነት በእርግጥ መያዙን እንፈትሽ

የት . ለማረጋገጫ የሒሳብ ኢንዳክሽን ዘዴን እንጠቀም።

1. እኩልነት በ x=1 መያዙን እንፈትሽ፡-- ቀኝ.

2. እኩልነት እውነት ነው እንበል፣ የት ፣ ማለትም ፣

ቀኝ.

3. ይህ ለ x=n እኩልነትን እንደሚያመለክት እናረጋግጥ። ምክንያቱም ከዚያም ለ x=n እናገኛለንወይም

; .

ይህ ማለት እኩልነት ለማንኛውም የተፈጥሮ ቁጥር n. ስለዚህ, ለተሰጠው የተግባር እኩልነት መፍትሄው ተግባሩ ይሆናል f(1) የዘፈቀደ ቁጥር የሆነበት።

2. ሁኔታውን የሚያረካ ሁሉንም ተከታታይ ተግባራት ያግኙ

መፍትሄ፡-

ለተግባራዊ እኩልታ መፍትሄውን ቀስ በቀስ እናገኛለን, ማለትም. በመጀመሪያ መፍትሄውን እናገኛለን የተፈጥሮ ቁጥር , ከዚያም - ኢንቲጀር, ከዚያም ምክንያታዊ እና, በመጨረሻም, - እውነተኛ.

1. y=x ይሁን። ከዚያም.

2. መቼ, እናገኛለን

, , …

3. ለተፈጥሮ እሴቶች ያንን በሂሳብ ኢንዳክሽን እናረጋግጥ (ራስህን አረጋግጥ)። (1)

4. ለ x=1 እናገኛለን. - ቋሚ ቁጥር. በ እንጠቁመው. ስለዚህ ፣ እኛ አለን ።

5. እኩልነትን እናስቀምጠው

(1) ፣ የት እናገኛለን

. ከዚህ

ወይም

.

ሾመ

በኩል ፣ እናገኛለን

ይህ ማለት ለአዎንታዊ እና ምክንያታዊ x እናገኛለን

ተግባሩን ግምት ውስጥ በማስገባት - ቀጣይ ነው, እናገኛለን

በ

, .

6. እኩልነትን እንውሰድ. እናገኛለን

ከዚህ.

ይህንን እኩልነት እንውሰድ

እናገኛለን

ወይም

ምክንያቱም

ያ

እነዚያ። .

ስለዚህ, ለእኩልታው ማንኛውም እውነተኛ መፍትሄ አንድ ተግባር ይኖራል

መልስ፡-

እኩልታው የካውቺ እኩልታ ይባላል።

3. ተከታታይ ተግባራትን ያግኙ , ሁኔታውን ማርካት

. (1)

መፍትሄ፡-

ይህን እኩልታ ወደ Cauchy functional equation ለመቀነስ እንሞክር

ቀጣይነት ባለው መፍትሄ

እንሁን y=0 እንግዲህ

.

ምክንያቱም ቋሚ ቁጥር ነው፣ እንጥቀሰውእና እናገኛለን

.

አሁን ለ x እሴት እንስጥ .

እናገኛለን

.

ከ ቀመር (1)

እናገኛለን

ወይም

(2).

ለእኩል (1) መፍትሄው ተግባሩ ነው።

ይህ ማለት ለእኩል (2) መፍትሄው ተግባሩ ይሆናል ማለት ነው።

መልስ፡-

4. ሁሉንም የCauchy እኩልታዎች መፍትሄዎችን ያግኙ፡-

ሀ)ረ X y) = ረ( x) + ረ( y) ( x, y€ አር\ { 0 } );

ለ ) ረ( x+ y) = ረ( xy) ( x, y€ አር);

ቪ ) ረ( x+ y) = ረ( x) ረ( y) ( x, y€. አር) .

መፍትሄ፡-

መጀመሪያ x > 0 ይፍቀዱ። አዘጋጅ

g (x) = ረ (ሠ x)

ከዚያም

g (x + y) = f (ሠ x+y) = ረ (ሠ x e y) = f (ሠ x) + ረ (ሠ) = g (x) + g (y) ፣ ማለትም g (x)

ተጨማሪውን Cauchy እኩልታ ያሟላል። ምክንያቱምሠ x እና ረ (x ) ቀጣይ ናቸው እንግዲህሰ (x ) ቀጣይነት ያለው እና መልክ አለው cx፣ ሐ ቋሚ የሆነበት። ከዚያ f (x) c ln x ቅጽ አለው።

በተለየ ሁኔታ,

ረ (1) = 0.

በማስቀመጥ ላይ

x = y = - 1፣

እናገኛለን

ረ (1) = 2 ረ (- 1)፣

የት

ረ (- 1) = 0.

ለዘፈቀደ x< 0 получаем

ረ (x) = ረ (- x) + ረ (- 1) = ረ (- x)።

ከዚህ

ረ (x) = c ln | x |

ለዘፈቀደ

x ≠ 0.

ለ) ማስቀመጥ

y = 0፣

እናገኛለን

ረ (x) = ረ (0)፣ ማለትም እ.ኤ.አ. f (x) ≡ const.

በግልጽ ለማየት እንደሚቻለው, ማንኛውም ቋሚ ጥሩ ነው.

ሐ) ከሆነ

ረ(x) = 0

ለአንዳንድ x

ያ

f (z) = f (x) f (z - x) = 0

ለማንኛውም z . አለበለዚያ, ተግባሩ, ቀጣይነት ያለው, በሁሉም ቦታ ተመሳሳይ ምልክት አለው. ምክንያቱም

ረ (2 x) = (ረ (x)) 2፣

ከዚያ ይህ ምልክት አዎንታዊ ነው እና ቀጣይነት ያለው ግምት ውስጥ መግባት እንችላለን

ተግባር

g (x): = ln f (x)። g (x + y) = ln (f (x) f (y)) = ln f (x)+ln f (y) = g (x)+ g (y) አለን።

እነዚያ። ተጨማሪው Cauchy እኩልታ ረክቷል። ከዚህ g (x) = cx ለአንዳንድ ሐ፣ እና

f (x) = e сх.

ስለዚህ, ወይ

f (x)≡ 0፣ ወይም f (x) ≡е сх።

በአንዳንድ ነጥቦች ላይ የተግባር እሴቶችን መጠቀም

አንዳንድ ጊዜ የእኩልቱን ቅርፅ በእጅጉ የሚያቃልል ምትክ ማግኘት አይቻልም። ነገር ግን፣ ከነጻዎቹ ተለዋዋጮች አንዱ ከተስተካከለ፣ አንዳንድ የእኩልታው ውሎችም ሊጠገኑ ይችላሉ። ለእነሱ ምቹ ማስታወሻዎችን ማስተዋወቅ እና በመፍትሔዎ ውስጥ እንደ ተራ ቋሚዎች ሊጠቀሙባቸው ይችላሉ. እነዚህ ቋሚዎች በምላሹ ውስጥ ከተካተቱ, ቼኩ የትኞቹ እሴቶች ትክክል እንደሆኑ ያሳያል.

እኩልታውን ይፍቱ

f(x+f(y))=xy

መፍትሄ፡ መተኪያ

y=0

ይሰጣል

ረ(x+f(0))=0።

በመጀመሪያ ሲታይ f(0) ምን እንደሚስተካከል ስለማናውቅ ትንሽ ጥቅም የለም። f(0)=cን እንጥቀስ፣ከዚያ f(x+c)=0 እናገኛለን። ተለዋዋጭ t=x+c (ምትክ x=t-c)ን በመተካት f(e)=0 እናገኛለን፣ነገር ግን እንዲህ ያለው ተግባር ግልጽ በሆነ መልኩ ዋናውን እኩልታ አያረካም፣ ስለዚህ ምንም መፍትሄዎች የሉም።

እኩልታውን ይፍቱ

f(x+f(y))=x+y

መፍትሄው፡ ተተኪውን y=0 እንደገና እናድርገው እና ​​c=f(0)ን እንጥቀስ፡ f(x+c)=x እናገኛለን። t=x+c በመተካት f(t)=t-c ይሰጣል። ምንም እንኳን የ c ትክክለኛ ዋጋ ብናውቅም የ f(x) = x-c ቅጽ ተግባር ብቻ ፣ c = const ፣ ለሁሉም x ፣ y ቀመርን ሊያረካ እንደሚችል አስቀድመን እናውቃለን። c ን ለማግኘት የተገኘውን ተግባር ወደ መጀመሪያው እኩልታ እንተካለን (በተመሳሳይ ጊዜ በዚህ መንገድ እንፈትሻለን)

f(x+f(y))=f(x+(y-c))=(x+(y-c))-c= x+y-2c።

ከዚህ የምንመለከተው እኩልነት ነው።

f(x+f(y))=x+y

ለሁሉም x ፣ y ከ 0 ጋር እኩል እና ከሱ ጋር ብቻ። ስለዚህ መልሱ f(x)=x ነው።

መልስ፡ f(x)=x

እኩልነቱ አንጻራዊ ነው።

ሁሉንም f: R  R እንደ (f(x))2 = 1 ይፈልጉ

መፍትሔው፡ ይህንን ለማይታወቅ f(x) እንደ እኩልታ በመመልከት እናገኛለን

ረ( x) = 1 ;

ረ( x) = -1

መልሱ ሁለት ተግባራት ሊሆን ይችላል ፣

f(x)=1፣ f(x)=-1።

ሆኖም ግን አይደለም. ለምሳሌ ተግባሩን አስቡበት

1 x<0

1, x ≥ 0

ይህ ተግባር እኩልታውን እንደሚያሟላ ለማየት ቀላል ነው. ለጠቅላላው ምን ትርጉም ይሰጣል? የመጀመሪያው እኩልነት ለሁሉም x € R ፣ ማለትም ለእያንዳንዱ x አንዱ እኩልነት መሟላት ስላለበት። ነገር ግን፣ አንዱ እኩልነት ለሁሉም x ወዲያውኑ ይረካል የሚለው ግምት የተሳሳተ ይሆናል። በምሳሌው ላይ እንዳየነው ለአንዳንዶቹ x አንዱ እኩልነት ሊሟላ ይችላል, እና ለሌሎች, ሌላ. በቀመርው የተገለጸውን የተግባር ስብስብ ለመለየት እንሞክር። ሀ የመጀመሪያው እኩልነት የተያዘባቸው የነዚያ x ስብስብ ይሁን። ከዚያም ለሁሉም x ሰከንድ ማርካት አለበት. ያ ስብስብ ሀ ልዩ ተግባሩን ሲገልጽ እናያለን፡

መልስ፡-

ኢ( ረ) = {+-1} ኢ(ረ) የት

የ f እሴቶችን ስብስብ ያመለክታል.

የተግባር እኩልታ ግራፊክ መፍትሄ. በምን ሀ እና ለ ተግባር

f(x)=a|x-b| +3a|x-b |

ሁኔታው ለሁሉም እውነት ነው

x፡ f(x)=f(f(x))?

መፍትሄ፡-

መቼ a=0፣ ተግባሩ f(x)=0፣ እና እኩልታው በግልፅ ይረካል።

let a>0፣ ከዚያ ለትልቅ x>0 ተግባሩ

f(x)=a(x-b)+3a(x-b)=4ax-a(b+3b)>0

ከቁጥር 1 የ x እሴቶች በቂ እና x>0 ከሆነ f(x)=x የሚቻለውን እኩልነት ብቻ እንወስናለን። በተለይ፣ x>ከፍተኛ(b;b)።

ስለዚህ ፣ ለ መለኪያዎች a እና b ሊሆኑ የሚችሉ እሴቶች ከስርዓቱ ይወሰናሉ

ሁለት መፍትሄዎች ያሉት:

ለ a=1/4፣ b=-1/3 ተግባሩን እናገኛለን

የእሱ ግራፍ (ስዕል 2) ለትክንቱ ግራፊክ መፍትሄ ነው

f(x)=f(f(x))

አሁን እንበል ሀ<0, тогда при больших по абсолютной величине и х<0. Конкретно, х

ስለዚህ ፣ ለ መለኪያዎች a እና b ሊሆኑ የሚችሉ እሴቶች ከስርዓቱ ይወሰናሉ።

ይህም ሁለት መፍትሄዎች አሉት

ከሆነ

a=-1/4፣ b=0፣

ከዚያም ተግባሩ

f(x)=-|x|

እኩልታውን ያሟላል

f(x)=f(f(x))

a=-1/4, b=-1/3 ከሆነ, ከዚያም ተግባሩን እናገኛለን

ግን የእሱ ግራፍ (ምስል 3) ለቀመር f(x)=f(f(x)) ግራፊክ መፍትሄ አይደለም።

መልስ:,,,,

ማጠቃለያ

በዚህ ሥራ ውስጥ, ተግባራዊ እኩልታዎች እና እነሱን ለመፍታት አንዳንድ ዘዴዎች ተወስደዋል. በስራችን ሂደት፣ የተግባር እኩልታዎች አጠቃላይ የእኩልታዎች ክፍል ሲሆኑ አስፈላጊው ተግባር የተወሰነ ተግባር እንደሆነ እርግጠኛ ሆንን። የተግባር እኩልታዎች በመሰረቱ ልዩነት እኩልታዎችን፣ የተዋሃዱ እኩልታዎችን እና ውሱን ልዩነት እኩልታዎችን ያካትታሉ። በጠባቡ የቃሉ ትርጉም ውስጥ ያለው ተግባራዊ እኩልታ ውስብስብ ተግባርን የመፍጠር አሠራርን በመጠቀም የሚፈለጉት ተግባራት ከአንድ ወይም ከዚያ በላይ ተለዋዋጮች ከሚታወቁ ተግባራት ጋር የሚዛመዱ እንደ እኩልታዎች ተረድተዋል። የተግባር እኩልነት እንዲሁ የአንድ የተወሰነ የተግባር ክፍልን የሚያመለክት የንብረት መግለጫ ተደርጎ ሊወሰድ ይችላል።

መጽሃፍ ቅዱስ

በ Allbest.ru ላይ ተለጠፈ

አፕሊኬሽኖች

ምስል.1

ምስል.2

ምስል.3

በ Allbest.ru ላይ ተለጠፈ

ስለዚህ, ከመጀመሪያው ከፍ ያለ የሥርዓት እኩልታ ወደ ዝቅተኛ ቅደም ተከተል እኩልነት ለመቀነስ ተፈጥሯዊ ፍላጎት አለ. በአንዳንድ ሁኔታዎች ይህን ማድረግ ይቻላል. እስቲ እንያቸው።

1. የቅጹ y (n) = f(x) እኩልታዎች የሚፈቱት በቅደም ተከተል ውህደት n ጊዜዎች ነው
, ,… .
ለምሳሌ. እኩልታውን xy"=1 ይፍቱ። ስለዚህ y"=ln|x| + C 1 መፃፍ እንችላለን እና እንደገና በማዋሃድ በመጨረሻ y=∫ln|x| + C 1 x + C 2 እናገኛለን።

2. በቅጹ እኩልታዎች F(x,y (k),y (k +1),...,y (n))=0 (ማለትም ያልታወቀ ተግባር እና አንዳንድ ተዋጽኦዎችን በግልፅ ያልያዘ)። ተለዋዋጭ y (k) = z (x) በመለወጥ ትዕዛዙ ይቀንሳል. ከዚያም y (k +1) =z"(x),...,y (n) = z (n - k) (x) እና ቀመር F(x,z,z",...,z) እናገኛለን። (n - k)) ትዕዛዝ n-k. የእሱ መፍትሔ ተግባር z = φ(x,C 1,C 2,...,C n) ወይም z ምን እንደሆነ በማስታወስ እኩልታ y (n-k) = φ(x,C 1,C 2,…,) እናገኛለን። C n - k) በ 1 ዓይነት ሁኔታ ውስጥ ግምት ውስጥ ይገባል.
ምሳሌ 1. እኩልታውን ይፍቱ x 2 y"" = (y") 2. ተተኪውን y"=z(x) ያድርጉ። ከዚያ y""=z"(x) በዋናው እኩልታ በመተካት x 2 z=z 2 እናገኛለን። ተለዋዋጭዎቹን መለየት, እናገኛለን. ውህደት፣ አለን። , ወይም, እሱም ተመሳሳይ ነው, . የመጨረሻው ግንኙነት በቅጹ ተጽፏል, ከየት . በማዋሃድ, በመጨረሻ እናገኛለን
ምሳሌ 2. እኩልታውን ይፍቱ x 3 y"" +x 2 y" = 1. የተለዋዋጮችን ለውጥ እናደርጋለን: y"=z; y""=z"
x 3 z"+x 2 z=1. የተለዋዋጮችን ለውጥ እናደርጋለን፡ z=u/x፤ z"=(u"x-u)/x 2
x 3 (u"x-u)/x 2 +x 2 u/x=1 ወይም u"x 2 -xu+xu=1 ወይም u"x^2=1. ከ: u"=1/x 2 ወይም du/ dx=1/x 2 ወይም u = int(dx/x 2) = -1/x+c 1
ከ z=u/x፣ ከዚያ z = -1/x 2 +c 1/x። ከy"=z ጀምሮ፣ ከዚያ dy/dx=-1/x 2 +c 1/x
y = int(c 1 dx/x-dx/x 2) =c 1 ln(x) + 1/x + c 2። መልስ፡ y = c 1 ln(x) + 1/x + c 2

3. የሚቀጥለው ቀመር በቅደም ተከተል ሊቀነስ የሚችለው የF(y,y,y"),...,y (n))=0 ቅጽ እኩልታ ነው, እሱም ራሱን የቻለ ተለዋዋጭ በግልጽ አልያዘም. እኩልታው የሚቀነሰው ተለዋዋጭ y"=p(y) በመተካት ሲሆን p እንደ y የሚፈለገው አዲስ ተግባር ነው። ከዚያም
= እና ወዘተ. በማነሳሳት y (n) =φ(p,p,..,p (n-1)) አለን. በዋናው እኩልነት በመተካት, ቅደም ተከተሎችን በአንድ ዝቅ እናደርጋለን.

ለምሳሌ. እኩልታውን (y) 2 +2yy""=0 ን እንሰራለን። መደበኛውን ምትክ y"=p(y)፣ በመቀጠል y″=p′·p እንሰራለን። ወደ እኩልታው በመተካት, እናገኛለን ተለዋዋጮችን በመለየት, ለ p≠0, አለን, ማዋሃድ, እናገኛለን ወይም, ተመሳሳይ ነገር ነው, . ከዚያ ወይም. የመጨረሻውን እኩልነት በማዋሃድ, በመጨረሻ እናገኛለን ተለዋዋጮችን በምንለይበት ጊዜ፣ ለ p=0 የተገኘውን መፍትሄ y=C ልናጣ እንችላለን፣ ወይም፣ ምን ተመሳሳይ ነው፣ ለy=0፣ ነገር ግን ከላይ በተገኘው ውስጥ ይገኛል።

4. አንዳንድ ጊዜ ከላይ ከተገለጹት በተለየ መልኩ የእኩልታውን ቅደም ተከተል እንዲቀንሱ የሚያስችልዎትን ባህሪ ማስተዋል ይቻላል. ይህንን በምሳሌዎች እናሳይ።

ምሳሌዎች።
1. የቀመርው ሁለቱም ወገኖች yy"""=y" በ yy" ከተከፋፈሉ፣ እንደ (lny″)′=(lny)" ተብሎ ሊጻፍ የሚችል እኩልታ እናገኛለን። lny″=lny +lnC፣ ወይም፣ ተመሳሳይ የሆነው፣ y″=ሳይ... ውጤቱ እኩልታ ዝቅተኛ እና ቀደም ሲል የተብራራው ዓይነት ነው።
2. በተመሳሳይ መልኩ yy″=y'(y'+1) ለሚለው ቀመር አለን ወይም (ln(y"+1)" = (lny)"። ከመጨረሻው ዝምድና ቀጥሎ ln(y"+) 1) = lny + lnC 1, ወይም y"=C 1 y-1. ተለዋዋጮችን በመለየት እና በማዋሃድ, ln (C 1 y-1) = C 1 x+C 2 እናገኛለን.
ይወስኑ በቅደም ተከተል ሊቀነሱ የሚችሉ እኩልታዎችልዩ አገልግሎት በመጠቀም ይቻላል

የልዩነት እኩልታዎች ከመነጩ አንፃር አልተፈቱም።

ረ(x፣y፣y)=0

1. ከኢክ. ረ(x፣y፣y)=0መግለጽ y"በኩል xእና y. የቅጹ አንድ ወይም ከዚያ በላይ እኩልታዎችን ያገኛሉ y"=f(x,y)፣እያንዳንዳቸው መፍታት አለባቸው.

ለምሳሌ.

y" 2 - y 2 =0

y"=y እና y"=-y

dy/y=dx እና dy/y=-dx

ln|y|=x+lnC እና ln|y|=-xlnD

y= Ce x እና y=De -x

2. የመለኪያ ዘዴ (የስልቱ ቀላሉ ስሪት).

እኩልታው ይሁን ረ(x፣y፣y)=0 y.

y=f(x,y).

መለኪያውን እናስገባ p=y"=dy/dx

ከዚያም y=f(x,p)

ከሁለቱም ክፍሎች ጠቅላላውን ልዩነት እንውሰድ, በመተካት dyበኩል pdx, እናገኛለን

pdx=f x "dx+f y"dy

የዚህ እኩልታ መፍትሄ በቅጹ ውስጥ ከተገኘ x=φ(p), ከዚያ ለዋናው እኩልታ በፓራሜትሪክ መልክ መፍትሄ እናገኛለን

ለምሳሌ

y=ln(1+y" 2)

p=y"=dy/dx፣ y=ln(1+p 2)

ሲከፋፈል በ አርውሳኔውን አጣ y=0

3. ቀመር ከሆነ ረ(x፣y፣y)=0በአንጻራዊ ሁኔታ ሊፈታ ይችላል X:

x=f(y,y), ከዚያ ልክ በ 2 ውስጥ መለኪያውን እናስገባለን p=y"=dy/dx

4. Lagrange እኩልታ

y=xφy"+Ψ(y")

እና የ Clairaut እኩልታ

y=xy"+Ψ(y")

በአንቀጽ 2 ላይ የተገለጹት ልዩ ጉዳዮች ናቸው።

5) ስለ ልዩ መፍትሄዎች ትንሽ. መፍትሄ y=φ(x)እኩልታዎች ረ(x፣y፣y)=0በእያንዳንዱ ነጥቦቹ ውስጥ ልዩ ተብሎ የሚጠራው ፣ ከዚህ መፍትሄ በተጨማሪ ሌላ መፍትሄ ካለፈ ፣ በዚህ ጊዜ እንደ መፍትሄው ተመሳሳይ ታንጀንት አለው ። φ(x), ነገር ግን በዚህ ነጥብ በዘፈቀደ ትንሽ ሰፈር ውስጥ ከእሱ ጋር አይጣጣምም. ፍቀድ ረ(x፣y፣y")፣ δF/δy እና δF/δy”ቀጣይነት ያለው. ከዚያ ማንኛውም ልዩ የእኩልታ መፍትሄ ረ(x፣y፣y)=0እኩልነቱንም ያሟላል። δ ረ(x፣y፣y")/δy"=0.

ልዩ መፍትሄዎችን ለማግኘት ከስርአቱ አስፈላጊ ነው

ማግለል y". የተገኘው እኩልታ ይባላል አድሏዊ ኩርባ. ለእያንዳንዱ የአድሎአዊ ኩርባ ቅርንጫፍ ይህ ቅርንጫፍ መፍትሄ መሆኑን እና እንደዚያ ከሆነ ልዩ መሆን አለመሆኑን ማረጋገጥ አስፈላጊ ነው (ማለትም በእያንዳንዱ ነጥቦቹ ላይ ልዩነቱ መጣሱን)።

ለምሳሌ.

y=xy"-y 2- Clairaut እኩልታ

p=y"=dy/dx፣ y=xp-p 2

pdx=pdx+xdp-2pdp

(x-2p) dp=0

dp=0፣ p=c, ስለዚህ

x=2p፣ y=xp-p 2

y=Cx-C 2ወይም y=(x 2/2)-(x 2/4)

y=x 2/4- ልዩ መፍትሄ

y=x 2/4የዋናው እኩልታ መፍትሄ. ልዩ መሆኑን እናረጋግጥ።

በመፍትሔው ላይ የዘፈቀደ ነጥብ እንወስዳለን y=x 2/4, ለምሳሌ ( x o, x 2 o / 4). እናገኛለን ጋር, ለዚህም ቀጥተኛ መስመር y=Cx-C 2በዚህ ነጥብ ውስጥም አልፏል x 2 o/4=Cx o -C 2, ስለዚህ C=x o/2፣እነዚያ። y=(x o /2)x-(x 2 o /4).