ትምህርት 6. የሂሳብ ማነሳሳት ዘዴ.
በሳይንስ እና በህይወት ውስጥ አዲስ እውቀት በተለያየ መንገድ ይገኛል, ነገር ግን ሁሉም (ወደ ዝርዝር ውስጥ ካልገቡ) በሁለት ይከፈላሉ - ከአጠቃላይ ወደ ልዩ እና ከተለየ ወደ አጠቃላይ ሽግግር. የመጀመሪያው ተቀናሽ ነው, ሁለተኛው ኢንዳክሽን ነው. ተቀናሽ ምክንያት በሂሳብ ውስጥ በተለምዶ የሚጠራው ነው። አመክንዮአዊ ምክንያትእና በሂሳብ ሳይንስ ቅነሳ ብቸኛው ትክክለኛ የምርመራ ዘዴ ነው። የአመክንዮአዊ አስተሳሰብ ደንቦች ከሁለት ሺህ ተኩል በፊት በጥንታዊው የግሪክ ሳይንቲስት አርስቶትል ተዘጋጅተዋል። በጣም ቀላል የሆነውን ትክክለኛ ምክንያት ሙሉ ዝርዝር ፈጠረ ፣ ሲሎጊዝም- የአመክንዮ “ግንባታ ብሎኮች” ፣ በተመሳሳይ ጊዜ ከትክክለኛው ጋር በጣም ተመሳሳይ የሆነ ፣ ግን የተሳሳተ (ብዙውን ጊዜ በመገናኛ ብዙኃን ውስጥ እንደዚህ ያሉ “ሳይዶሎጂያዊ” አመክንዮዎች ያጋጥሙናል) የተለመዱ አመክንዮዎችን ሲያመለክቱ።
ማነሳሳት (ማስተዋወቅ - በላቲን መመሪያ) አይዛክ ኒውተን አንድ ፖም በራሱ ላይ ከወደቀ በኋላ የአለም አቀፍ የስበት ህግን እንዴት እንዳዘጋጀ በሚገልጸው በታዋቂው አፈ ታሪክ በግልፅ ይገለጻል። ከፊዚክስ ሌላ ምሳሌ: እንደ ኤሌክትሮማግኔቲክ ኢንዳክሽን ባሉ ክስተቶች ውስጥ የኤሌክትሪክ መስክ ይፈጥራል, መግነጢሳዊ መስክን "ያነሳሳል". “የኒውተን ፖም” አንድ ወይም ከዚያ በላይ ልዩ ጉዳዮች ያሉበት ሁኔታ ዓይነተኛ ምሳሌ ነው። ምልከታዎች፣ አጠቃላይ መግለጫን “ጠቁም” ፣ አጠቃላይ ድምዳሜ የሚቀርበው በልዩ ጉዳዮች ላይ ነው። በተፈጥሮም ሆነ በሰው ሳይንስ ውስጥ አጠቃላይ ንድፎችን ለማግኘት የኢንደክቲቭ ዘዴ ዋናው ነው. ግን በጣም ጉልህ የሆነ ጉድለት አለው: በተወሰኑ ምሳሌዎች ላይ በመመርኮዝ, የተሳሳተ መደምደሚያ ሊደረግ ይችላል. ከግል ምልከታዎች የሚነሱ መላምቶች ሁልጊዜ ትክክል አይደሉም። በኡለር ምክንያት አንድ ምሳሌ እንመልከት።
ለአንዳንድ የመጀመሪያ እሴቶች የሶስትዮሽ ዋጋን እናሰላለን። n:
|
|
በስሌቶች ምክንያት የተገኙት ቁጥሮች ዋና መሆናቸውን ልብ ይበሉ. እና አንድ ሰው ለእያንዳንዳቸው በቀጥታ ማረጋገጥ ይችላል nከ 1 እስከ 39 ፖሊኖሚል እሴት 
ዋና ቁጥር ነው። ቢሆንም, መቼ n=40 ቁጥር 1681=41 2 እናገኛለን, እሱም ዋና አይደለም. ስለዚህ, እዚህ ሊነሳ የሚችለው መላምት, ማለትም, ለእያንዳንዱ ያለው መላምት ነው nቁጥር 
ቀላል ነው, ወደ ውሸት ይለወጣል.
ሌብኒዝ በ 17 ኛው ክፍለ ዘመን አረጋግጧል ለእያንዳንዱ አዎንታዊ nቁጥር 
በ 3 መከፋፈል, ቁጥር 
በ 5 ፣ ወዘተ የሚከፋፈል። ከዚህ በመነሳት ለየትኛውም ጎዶሎ ብሎ አስቦ ነበር። ክእና ማንኛውም ተፈጥሯዊ nቁጥር 
ሲካፈል ክ፣ ግን ብዙም ሳይቆይ ያንን አስተዋልኩ 
በ9 አይከፋፈልም።
የተመለከቱት ምሳሌዎች አንድ አስፈላጊ መደምደሚያ እንድንሰጥ ያስችሉናል-አንድ መግለጫ በበርካታ ልዩ ጉዳዮች ላይ ፍትሃዊ እና በተመሳሳይ ጊዜ በአጠቃላይ ኢፍትሃዊ ሊሆን ይችላል. በአጠቃላዩ ጉዳይ ላይ የአንድ መግለጫ ትክክለኛነት ጥያቄ በተጠራ ልዩ የአመክንዮ ዘዴ በመጠቀም ሊፈታ ይችላል በሂሳብ ኢንዳክሽን(ሙሉ ኢንዳክሽን፣ ፍጹም ኢንዳክሽን)።
6.1. የሂሳብ ኢንዳክሽን መርህ.
♦ የማቲማቲካል ኢንዳክሽን ዘዴ የተመሰረተው የሂሳብ ማነሳሳት መርህ , እሱም እንደሚከተለው ነው.
1) የዚህ መግለጫ ትክክለኛነት ተረጋግጧልn=1 (ማስገቢያ መሠረት) ,
2) የዚህ መግለጫ ትክክለኛነት ይታሰባልn= ክ፣ የትክ- የዘፈቀደ የተፈጥሮ ቁጥር 1(የማስተዋወቅ ግምት) , እና ይህን ግምት ግምት ውስጥ በማስገባት, ትክክለኛነቱ የተቋቋመው ለn= ክ+1.
ማረጋገጫ. ተቃራኒውን እንውሰድ, ማለትም, መግለጫው ለእያንዳንዱ ተፈጥሯዊ እውነት አይደለም እንበል n. ከዚያ እንደዚህ አይነት ተፈጥሯዊ አለ ኤም, ምንድን:
1) መግለጫ ለ n=ኤምኢፍታህዊ,
2) ለሁሉም n፣ ትንሽ ኤምመግለጫው እውነት ነው (በሌላ አነጋገር ኤምመግለጫው እውነት ያልሆነበት የመጀመሪያው የተፈጥሮ ቁጥር ነው)።
እንደሆነ ግልጽ ነው። ኤም> 1፣ ምክንያቱም ለ n=1 መግለጫው እውነት ነው (ሁኔታ 1)። ስለዚህም እ.ኤ.አ. 
- የተፈጥሮ ቁጥር. ለተፈጥሮ ቁጥር ተለወጠ 
መግለጫው እውነት ነው, እና ለቀጣዩ የተፈጥሮ ቁጥር ኤምኢ-ፍትሃዊ ነው። ይህ ሁኔታን ይቃረናል 2. ■
ማስረጃው ማንኛውም የተፈጥሮ ቁጥሮች ስብስብ ትንሹን ቁጥር እንደያዘ አክሱም ተጠቅሟል።
በሂሳብ ኢንዳክሽን መርህ ላይ የተመሰረተ ማረጋገጫ ይባላል በተሟላ የሂሳብ ማነሳሳት ዘዴ .
ለምሳሌ6.1.
ለማንኛውም ተፈጥሯዊነት ያረጋግጡ nቁጥር 
በ 3 የሚካፈል።
መፍትሄ።
1) መቼ n=1፣ ስለዚህ ሀ 1 በ 3 ይከፈላል እና መግለጫው መቼ ነው n=1.
2) መግለጫው እውነት ነው እንበል n=ክ,
ያ ቁጥር ማለት ነው። 
በ 3 ይከፈላል እና መቼ እንደሆነ እናረጋግጣለን n=ክ+1 ቁጥር በ3 ይከፈላል።
በእርግጥም,
ምክንያቱም እያንዳንዱ ቃል በ 3 ይከፈላል, ከዚያም ድምራቸው በ 3. ■
ለምሳሌ6.2. የመጀመሪያው ድምር መሆኑን ያረጋግጡ nተፈጥሯዊ ያልተለመዱ ቁጥሮች ከቁጥራቸው ካሬ ጋር እኩል ነው, ማለትም.
መፍትሄ።የተሟላ የሒሳብ ኢንዳክሽን ዘዴን እንጠቀም።
1) የዚህን መግለጫ ትክክለኛነት መቼ እንደሆነ እናረጋግጣለን n= 1: 1 = 1 2 - ይህ እውነት ነው.
2) የመጀመሪያው ድምር ነው እንበል ክ
(
) ያልተለመዱ ቁጥሮች የእነዚህ ቁጥሮች ቁጥር ካሬ ጋር እኩል ነው, ማለትም. በዚህ እኩልነት ላይ በመመስረት, ያንን የመጀመሪያውን ድምር እናረጋግጣለን ክ+1 ያልተለመዱ ቁጥሮች እኩል ነው። 
, ያውና .
የእኛን ግምት እንጠቀማለን እና እናገኛለን
. ■
የተሟላ የሂሳብ ኢንዳክሽን ዘዴ አንዳንድ እኩልነቶችን ለማረጋገጥ ጥቅም ላይ ይውላል. የቤርኑሊ ኢ-እኩልነት እናረጋግጥ።
ለምሳሌ6.3.
መቼ እንደሆነ ያረጋግጡ 
እና ማንኛውም ተፈጥሯዊ nአለመመጣጠን እውነት ነው። 
(የበርኑሊ አለመመጣጠን)።
መፍትሄ። 1) መቼ n=1 እናገኛለን 
, ይህም እውነት ነው.
2) መቼ እንደሆነ እንገምታለን n=ክእኩልነት አለ 
(*). ይህንን ግምት በመጠቀም, ያንን እናረጋግጣለን 
. መቼ እንደሆነ አስተውል 
ይህ እኩልነት ይይዛል እና ስለዚህ ጉዳዩን ግምት ውስጥ ማስገባት በቂ ነው 
.
የእኩልነት (*) ሁለቱንም ጎኖች በቁጥር እናባዛለን። 
እና እናገኛለን:
ይህም (1+ 
.■
በዘዴ ማረጋገጫ ያልተሟላ የሂሳብ ማስተዋወቅ
አንዳንድ መግለጫዎች ላይ በመመስረት n፣ የት 
በተመሳሳይ መንገድ ይከናወናል, ነገር ግን መጀመሪያ ላይ ፍትሃዊነት በትንሹ እሴት ይመሰረታል n.
አንዳንድ ችግሮች በሒሳብ ኢንዳክሽን ሊረጋገጥ የሚችለውን መግለጫ በግልጽ አይገልጹም። በእንደዚህ ዓይነት ሁኔታዎች ውስጥ, ንድፉን እራስዎ ማቋቋም እና የዚህን ስርዓተ-ጥለት ትክክለኛነት መላምት ማድረግ እና ከዚያም የታቀደውን መላምት ለመፈተሽ የሂሳብ ኢንዳክሽን ዘዴን ይጠቀሙ.
ለምሳሌ6.4.
መጠኑን ያግኙ 
.
መፍትሄ።ድምርዎቹን እንፈልግ ኤስ 1 ,
ኤስ 2 ,
ኤስ 3. እና አለነ 
,
,
. ለማንኛውም የተፈጥሮ መላምት እንገምታለን። nቀመሩ ትክክለኛ ነው። 
. ይህንን መላምት ለመፈተሽ የተሟላ የሂሳብ ማስተዋወቅ ዘዴን እንጠቀማለን።
1) መቼ n=1 መላምት ትክክል ነው፣ ምክንያቱም 
.
2) መላምቱ እውነት ነው እንበል n=ክ,
, ያውና 
. ይህን ቀመር በመጠቀም፣ መላምቱ መቼም ቢሆን እውነት መሆኑን እናረጋግጣለን። n=ክ+1፣ ማለትም
በእርግጥም,
ስለዚህ መላምቱ መቼ እውነት ነው በሚለው ግምት ላይ በመመስረት n=ክ,
፣ እውነት እንደሆነም ተረጋግጧል n=ክ+1፣ እና በሂሳብ ኢንዳክሽን መርህ ላይ በመመስረት ቀመሩ ለማንኛውም የተፈጥሮ ቁጥር ትክክለኛ ነው ብለን መደምደም እንችላለን n.
■
ለምሳሌ6.5.
በሂሳብ ውስጥ የሁለት ወጥ ተከታታይ ተግባራት ድምር አንድ ወጥ የሆነ ቀጣይነት ያለው ተግባር መሆኑን ተረጋግጧል። በዚህ መግለጫ ላይ በመመስረት, የማንኛውም ቁጥር ድምር መሆኑን ማረጋገጥ አለብዎት 
ወጥ የሆነ ቀጣይነት ያለው ተግባር አንድ ወጥ የሆነ ቀጣይነት ያለው ተግባር ነው። ነገር ግን "ወጥ በሆነ መልኩ ቀጣይነት ያለው ተግባር" የሚለውን ጽንሰ-ሐሳብ እስካሁን እስካላወቅን ድረስ ችግሩን የበለጠ በረቂቅ ሁኔታ እናቅርብ-አንዳንድ ንብረቶች ያላቸው የሁለት ተግባራት ድምር መሆኑን ይወቁ. ኤስ፣ ራሱ ንብረት አለው። ኤስ. የማንኛውም የተግባር ብዛት ድምር ንብረቱ እንዳለው እናረጋግጥ ኤስ.
መፍትሄ።እዚህ ላይ የማነሳሳት መሰረት በችግሩ አቀነባበር ውስጥ ይገኛል. የመግቢያ ግምትን ካደረግህ በኋላ፣ አስብበት 
ተግባራት ረ 1 ,
ረ 2 ,
…, ረ n ,
ረ n+1 ንብረት ያላቸው ኤስ. ከዚያም. በቀኝ በኩል, የመጀመሪያው ቃል ንብረቱ አለው ኤስበኢንደክሽን መላምት, ሁለተኛው ቃል ንብረቱ አለው ኤስበሁኔታ። በዚህም ምክንያት, ድምራቸው ንብረቱ አለው ኤስ- ለሁለት ቃላት የማነሳሳት መሰረት "ይሰራል".
ይህ መግለጫውን ያረጋግጣል እና የበለጠ እንጠቀማለን. ■
ለምሳሌ6.6. ሁሉንም ተፈጥሯዊ ያግኙ n, ለዚህም እኩልነት እውነት ነው
.
መፍትሄ።እስቲ እናስብ n=1, 2, 3, 4, 5, 6. አለን: 2 1 >1 2, 2 2 = 2 2, 2 3<3 2 ,
2 4 =4 2 ,
2 5 >5 2፣2 6 >6 2። ስለዚህ, አንድ መላምት ማድረግ እንችላለን-እኩልነት 
ለሁሉም ቦታ አለው። 
. የዚህን መላምት እውነት ለማረጋገጥ፣ ያልተሟላ የሂሳብ ኢንዳክሽን መርህን እንጠቀማለን።
1) ከላይ እንደተገለጸው፣ ይህ መላምት እውነት የሚሆነው መቼ ነው። n=5.
2) እውነት ነው ብለው ያስቡ n=ክ,
ማለትም አለመመጣጠን ትክክል ነው። 
. ይህንን ግምት በመጠቀም, አለመመጣጠን መሆኑን እናረጋግጣለን 
.
ምክንያቱም 
እና በ 
እኩልነት አለ 
በ 
,
ከዚያም ያንን እናገኛለን 
. ስለዚህ፣ የመላምቱ እውነት በ n=ክ+1 መቼ እውነት ነው ከሚል ግምት ይከተላል n=ክ,
.
ከአንቀጽ። 1 እና 2፣ ባልተሟላ የሂሳብ ኢንዳክሽን መርህ ላይ በመመስረት፣ አለመመጣጠን ይከተላል። 
ለእያንዳንዱ ተፈጥሯዊ እውነት 
.
■
ለምሳሌ6.7.
ለማንኛውም የተፈጥሮ ቁጥር ያረጋግጡ nየልዩነት ቀመር ትክክለኛ ነው 
.
መፍትሄ።በ n=1 ይህ ቀመር ይመስላል 
, ወይም 1=1, ማለትም, ትክክል ነው. የመግቢያ ግምቱን ስንሰራ፡-
ጥ.ኢ.ዲ. ■
ለምሳሌ6.8.
ስብስቡን ያካተተ መሆኑን ያረጋግጡ nንጥረ ነገሮች, አለው 
ንዑስ ስብስቦች
መፍትሄ።አንድ አካል የያዘ ስብስብ ሀ፣ ሁለት ንዑስ ክፍሎች አሉት። ይህ እውነት ነው ምክንያቱም ሁሉም ንዑስ ስብስቦች ባዶ ስብስብ እና ባዶ ስብስብ እራሱ እና 2 1 = 2 ናቸው.
እያንዳንዱን ስብስብ እንውሰድ nንጥረ ነገሮች አሉት 
ንዑስ ስብስቦች ስብስብ A ያቀፈ ከሆነ n+1 ኤለመንቶች፣ ከዚያ በውስጡ አንድ ኤለመንት እናስተካክላለን - እንጠቁማለን። መ, እና ሁሉንም ንዑስ ስብስቦች በሁለት ክፍሎች ይከፋፍሏቸው - የሌላቸው መእና የያዘ መ. ከመጀመሪያው ክፍል ሁሉም ንዑስ ስብስቦች አንድን ኤለመንትን በማስወገድ ከ A የተገኙ የ B ስብስቦች ናቸው መ.
ስብስብ B ያካትታል nንጥረ ነገሮች, እና ስለዚህ, በማነሳሳት, እሱ አለው 
ንዑስ ስብስቦች, ስለዚህ በመጀመሪያው ክፍል 
ንዑስ ስብስቦች
ነገር ግን በሁለተኛው ክፍል ውስጥ አንድ አይነት የንዑስ ስብስቦች አሉ-እያንዳንዳቸው አንድን ንጥረ ነገር በመጨመር ከመጀመሪያው ክፍል በትክክል አንድ ክፍል ያገኛሉ. መ. ስለዚህ, በአጠቃላይ ስብስብ A 
ንዑስ ስብስቦች
ስለዚህ መግለጫው ተረጋግጧል. 0 ኤለመንቶችን ላቀፈ ስብስብ እውነት መሆኑን ልብ ይበሉ - ባዶው ስብስብ፡ አንድ ነጠላ ስብስብ አለው - ራሱ፣ እና 2 0 = 1። ■
የሂሳብ ማስተዋወቅ ዘዴ
መግቢያ
ዋናው ክፍል
- የተሟላ እና ያልተሟላ ማስተዋወቅ
- የሂሳብ ማነሳሳት መርህ
- የሂሳብ ማስተዋወቅ ዘዴ
- ምሳሌዎችን መፍታት
- እኩልነት
- ቁጥሮችን መከፋፈል
- አለመመጣጠን
ማጠቃለያ
ያገለገሉ ጽሑፎች ዝርዝር
መግቢያ
የማንኛውም የሂሳብ ጥናት መሰረቱ ተቀናሽ እና ኢንዳክቲቭ ዘዴዎች ነው። የማመዛዘን ተቀናሽ ዘዴው ከአጠቃላይ ወደ ልዩ ነው, ማለትም. ማመዛዘን, መነሻው አጠቃላይ ውጤት ነው, እና የመጨረሻው ነጥብ የተለየ ውጤት ነው. ኢንዳክሽን ጥቅም ላይ የሚውለው ከተወሰኑ ውጤቶች ወደ አጠቃላይ ሲንቀሳቀስ ነው, ማለትም. የመቀነስ ዘዴ ተቃራኒ ነው።
የማቲማቲካል ኢንዳክሽን ዘዴ ከእድገት ጋር ሊወዳደር ይችላል. ከዝቅተኛው እንጀምራለን, እና በሎጂካዊ አስተሳሰብ ምክንያት ወደ ከፍተኛ ደረጃ እንመጣለን. የሰው ልጅ ሁል ጊዜ ለዕድገት ይጥራል ፣ ሀሳቡን በሎጂክ ለማዳበር ፣ ይህ ማለት ተፈጥሮ ራሱ በደመ ነፍስ እንዲያስብ ወስኖታል ማለት ነው።
ምንም እንኳን የሂሳብ ማነሳሳት ዘዴ የትግበራ ወሰን እያደገ ቢመጣም, በት / ቤት ሥርዓተ-ትምህርት ውስጥ ለእሱ የተወሰነ ጊዜ ትንሽ ነው. ደህና ፣ እነዚያ ሁለት ወይም ሶስት ትምህርቶች ለአንድ ሰው ጠቃሚ እንደሚሆኑ ንገረኝ ፣ በዚህ ጊዜ አምስት የንድፈ ቃላትን ይሰማል ፣ አምስት ዋና ችግሮችን ይፈታል እና ፣ በውጤቱም ፣ ምንም የማያውቀው ሀቅ ይቀበላል ።
ነገር ግን በንቃት ማሰብ መቻል በጣም አስፈላጊ ነው.
ዋናው ክፍል
በመጀመሪያ ትርጉሙ፣ “ኢንደክሽን” የሚለው ቃል በተወሰኑ ዓረፍተ ነገሮች ላይ ተመስርተው አጠቃላይ ድምዳሜዎች በሚገኙበት ምክንያታዊነት ላይ ይሠራበታል። የዚህ ዓይነቱ አመክንዮ ቀላሉ ዘዴ ሙሉ በሙሉ ማነሳሳት ነው. የዚህ ዓይነቱ ምክንያት ምሳሌ እዚህ አለ.
እያንዳንዱ የተፈጥሮ ቁጥር በ 4 ውስጥ መሆኑን ማረጋገጥ አስፈላጊ ነው< n < 20 представимо в виде суммы двух простых чисел. Для этого возьмём все такие числа и выпишем соответствующие разложения:
4=2+2; 6=3+3; 8=5+3; 10=7+3; 12=7+5;
14=7+7; 16=11+5; 18=13+5; 20=13+7.
እነዚህ ዘጠኝ እኩልነቶች እንደሚያሳዩት እያንዳንዳችን የምንፈልጋቸው ቁጥሮች በእርግጥ እንደ ሁለት ቀላል ቃላት ድምር ይወከላሉ።
ስለዚህ ፣ የተሟላ ኢንዳክሽን በእያንዳንዱ የመጨረሻ ቁጥር ሊሆኑ በሚችሉ ጉዳዮች ላይ አጠቃላይ መግለጫውን በተናጠል ማረጋገጥን ያካትታል።
አንዳንድ ጊዜ አጠቃላይ ውጤቱ ሁሉንም ሳይሆን በበቂ ሁኔታ ብዙ ቁጥር ያላቸው የተወሰኑ ጉዳዮችን (ያልተሟላ ኢንዴክሽን ተብሎ የሚጠራው) ከተገመተ በኋላ ሊተነብይ ይችላል።
ባልተሟላ ኢንዳክሽን የተገኘው ውጤት ግን ሁሉም ልዩ ጉዳዮችን በሚሸፍነው ትክክለኛ የሒሳብ ምክንያት እስኪረጋገጥ ድረስ መላምት ብቻ ይቀራል። በሌላ አነጋገር፣ በሒሳብ ውስጥ ያልተሟላ ኢንዳክሽን እንደ ህጋዊ ጥብቅ ማረጋገጫ ዘዴ አይቆጠርም፣ ነገር ግን አዳዲስ እውነቶችን ለማግኘት ኃይለኛ ዘዴ ነው።
ለምሳሌ ፣የመጀመሪያዎቹን n ተከታታይ ያልተለመዱ ቁጥሮች ድምር ማግኘት ትፈልጋለህ። ልዩ ጉዳዮችን እንመልከት፡-
1+3+5+7+9=25=5 2
እነዚህን ጥቂት ልዩ ጉዳዮች ከተመለከተ በኋላ የሚከተለው አጠቃላይ መደምደሚያ እራሱን ይጠቁማል-
1+3+5+…+(2n-1)=n 2
እነዚያ። የመጀመሪያዎቹ n ተከታታይ ያልተለመዱ ቁጥሮች ድምር n 2 ነው።
እርግጥ ነው፣ የተደረገው ምልከታ ለተሰጠው ቀመር ትክክለኛነት ማረጋገጫ ሆኖ ሊያገለግል አይችልም።
የተሟላ ማስተዋወቅ በሂሳብ ውስጥ የተገደበ አፕሊኬሽኖች ብቻ ነው ያለው። ብዙ አስደሳች የሂሳብ መግለጫዎች ማለቂያ የሌላቸው ልዩ ጉዳዮችን ይሸፍናሉ ፣ ግን ላልተወሰነ ቁጥር ጉዳዮችን ልንፈትናቸው አልቻልንም። ያልተሟላ ማስተዋወቅ ብዙውን ጊዜ ወደ የተሳሳቱ ውጤቶች ይመራል.
በብዙ አጋጣሚዎች፣ ከእንደዚህ አይነት ችግር መውጪያው የሒሳብ ኢንዳክሽን ዘዴ ተብሎ የሚጠራውን ልዩ የማመዛዘን ዘዴ መጠቀም ነው። እንደሚከተለው ነው።
ለማንኛውም የተፈጥሮ ቁጥር n የአንድ የተወሰነ መግለጫ ትክክለኛነት ማረጋገጥ ያስፈልግሃል እንበል (ለምሳሌ ፣የመጀመሪያዎቹ n ጎዶሎ ቁጥሮች ድምር ከ n 2 ጋር እኩል መሆኑን ማረጋገጥ አለብህ)። የዚህ መግለጫ ቀጥተኛ ማረጋገጫ ለእያንዳንዱ የ n እሴት የማይቻል ነው, ምክንያቱም የተፈጥሮ ቁጥሮች ስብስብ ማለቂያ የለውም. ይህንን መግለጫ ለማረጋገጥ መጀመሪያ ትክክለኛነቱን ለ n=1 ያረጋግጡ። ከዚያ ለማንኛውም የ k የተፈጥሮ እሴት፣ ለ n=k እየተገመገመ ያለው መግለጫ ትክክለኛነት n=k+1 መሆኑን ያሳያል።
ከዚያም መግለጫው ለሁሉም እንደተረጋገጠ ይቆጠራል. በእርግጥ መግለጫው ለ n=1 እውነት ነው። ግን ከዚያ ለሚቀጥለው ቁጥር n=1+1=2 እውነት ነው። የ n=2 መግለጫ ትክክለኛነት ለ n=2+ መሆኑን ያሳያል
1=3. ይህ የሚያመለክተው የ n=4 ወዘተ መግለጫ ትክክለኛነት ነው። ግልጽ ነው, በመጨረሻ, ወደ ማንኛውም የተፈጥሮ ቁጥር n. ይህ ማለት መግለጫው ለማንኛውም n እውነት ነው.
የተነገረውን በማጠቃለል, የሚከተለውን አጠቃላይ መርሆ እናቀርባለን.
የሒሳብ ኢንዳክሽን መርህ.
በተፈጥሮ ቁጥር n ላይ በመመስረት አንድ ዓረፍተ ነገር ለ n=1 እውነት ከሆነ እና ለ n=k እውነት ከሆነ (k ማንኛውም የተፈጥሮ ቁጥር ከሆነ) እሱ ደግሞ እውነት ነው ። የሚቀጥለው ቁጥር n=k +1፣ ከዚያ ግምት A(n) ለማንኛውም የተፈጥሮ ቁጥር እውነት ነው።
በበርካታ አጋጣሚዎች, ለሁሉም የተፈጥሮ ቁጥሮች ሳይሆን ለ n> p ብቻ, የተወሰነ መግለጫ ትክክለኛነት ማረጋገጥ አስፈላጊ ሊሆን ይችላል, ይህም p ቋሚ የተፈጥሮ ቁጥር ነው. በዚህ ጉዳይ ላይ የሂሳብ ኢንዳክሽን መርህ እንደሚከተለው ተዘጋጅቷል.
ፕሮፖዚሽኑ A(n) ለ n=p እውነት ከሆነ እና A(k) ÞA (k+1) ለማንኛውም k>p ከሆነ ሀ(n) ለማንኛውም n>p እውነት ነው።
የሂሳብ ኢንዳክሽን ዘዴን በመጠቀም ማረጋገጫው እንደሚከተለው ይከናወናል. በመጀመሪያ፣ መረጋገጥ ያለበት መግለጫ በ n=1፣ ማለትም. የA(1) አባባል እውነት ተረጋግጧል። ይህ የማረጋገጫው ክፍል የኢንደክሽን መሰረት ይባላል. ከዚያም የማስረጃው ክፍል የኢንደክሽን ደረጃ ይባላል። በዚህ ክፍል ውስጥ ለ n = k (ኢንዳክሽን ግምት) መግለጫ ትክክለኛነት በማሰብ ለ n = k+1 መግለጫ ትክክለኛነት ያረጋግጣሉ, ማለትም. A(k) ÞA(k+1) መሆኑን ያረጋግጡ።
ያንን 1+3+5+…+(2n-1)=n 2 አረጋግጥ።
መፍትሄ፡ 1) n=1=1 2 አለን። ስለዚህም እ.ኤ.አ.
መግለጫው ለ n=1 እውነት ነው፣ i.e. ሀ(1) እውነት ነው።
2) ሀ (k) ÞA(k+1) እናረጋግጥ።
k ማንኛውም የተፈጥሮ ቁጥር ይሁን እና መግለጫው ለ n=k እውነት ይሁን፣ i.e.
1+3+5+…+(2k-1)=k 2 .
ከዚያም መግለጫው ለቀጣዩ የተፈጥሮ ቁጥር n=k+1 እውነት መሆኑን እናረጋግጥ፣ i.e. ምንድን
1+3+5+…+(2k+1)=(k+1) 2 .
በእርግጥም,
1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=k 2 +2k+1=(k+1) 2 .
ስለዚህ፣ A(k) ÞA(k+1)። በሂሳብ ኢንዳክሽን መርህ ላይ በመመስረት፣ ሀ(n) ግምት ለማንኛውም nÎN እውነት ነው ብለን መደምደም እንችላለን።
ያንን አረጋግጡ
1+x+x 2 +x 3 +…+x n =(x n+1 -1)/(x-1)፣ የት x¹1
መፍትሄ፡ 1) ለ n=1 እናገኛለን
1+x=(x 2 -1)/(x-1)=(x-1)(x+1)/(x-1)=x+1
ስለዚህ, ለ n = 1 ቀመሩ ትክክል ነው; ሀ(1) እውነት ነው።
2) k ማንኛውም የተፈጥሮ ቁጥር ይሁን እና ቀመሩ ለ n=k እውነት ይሁን፣ ማለትም.
1+x+x 2 +x 3 +…+x k =(x k+1 -1)/(x-1)።
ያንን እኩልነት እናረጋግጥ
1+x+x 2 +x 3 +…+x k +x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1)።
በእርግጥም
1+x+x 2 +x 3 +…+x k +x k+1 =(1+x+x 2 +x 3 +…+x k)+x k+1 =
=(x k+1 -1)/(x-1)+x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1)።
ስለዚህ፣ A(k) ÞA(k+1)። በሂሳብ ኢንዳክሽን መርህ ላይ በመመስረት, ቀመሩን ለማንኛውም የተፈጥሮ ቁጥር n.
የኮንቬክስ n-ጎን ሰያፍ ብዛት ከ n(n-3)/2 ጋር እኩል መሆኑን ያረጋግጡ።
መፍትሄ፡ 1) ለ n=3 መግለጫው እውነት ነው።
እና 3 ትርጉም ያለው ነው, ምክንያቱም በሶስት ማዕዘን ውስጥ
A 3 =3(3-3)/2=0 ሰያፍ;
A 2 A(3) እውነት ነው።
2) በእያንዳንዱ ውስጥ እናስብ
ኮንቬክስ ኪ-ጎን አለው-
A 1 x A k =k(k-3)/2 ዲያግኖች።
እና ከዚያ ያንን በኮንቬክስ ውስጥ እናረጋግጥ
(k+1)-ጎን ቁጥር
ዲያጎንሎች A k+1 =(k+1)(k-2)/2.
A 1 A 2 A 3 …A k A k+1 convex (k+1)-gon ይሁን። በውስጡም ዲያግናል A 1 A k እንሳል። የዚህን (k+1) -ጎን አጠቃላይ የዲያግራኖች ብዛት ለማስላት በ k-gon A 1 A 2 ...A k ውስጥ ያሉትን የዲያግኖሎች ብዛት መቁጠር ያስፈልግዎታል ፣ በተገኘው ቁጥር k-2 ይጨምሩ ፣ ማለትም ። የ (k+1) -ጎን ከጫፍ A k+1 የሚመነጩት የዲያግራኖች ብዛት እና በተጨማሪ, ሰያፍ A 1 A k ግምት ውስጥ መግባት ይኖርበታል.
ስለዚህም
k+1 = k +(k-2)+1=k(k-3)/2+k-1=(k+1)(k-2)/2.
ስለዚህ፣ A(k) ÞA(k+1)። በሂሳብ ኢንዳክሽን መርህ ምክንያት መግለጫው ለማንኛውም ኮንቬክስ n-ጎን እውነት ነው።
ለማንኛውም n የሚከተለው መግለጫ እውነት መሆኑን ያረጋግጡ፡-
1 2 +2 2 +3 2 +…+n 2 =n(n+1)(2n+1)/6.
መፍትሄ፡- 1) n=1 እንግዲያውስ
X 1 = 1 2 = 1 (1+1) (2+1)/6=1.
ይህ ማለት ለ n=1 መግለጫው እውነት ነው ማለት ነው።
2) n=k እንበል
X k = k 2 = k (k+1) (2k+1)/6.
3) ይህን መግለጫ ለ n=k+1 አስቡበት
X k+1 =(k+1)(k+2)(2k+3)/6.
X k+1 =1 2 +2 2 +3 2 +…+k 2 +(k+1) 2=k(k+1)(2k+1)/6+ +(k+1) 2 =(k+1) (k+1)(2k+1)+6(k+1) 2)/6=(k+1)(k(2k+1)+
6(k+1))/6=(k+1)(2k 2 +7k+6)/6=(k+1)(2(k+3/2)(k+)
2))/6=(k+1)(k+2)(2k+3)/6.
እኩልነት ለ n=k+1 እውነት መሆኑን አረጋግጠናል፣ስለዚህ፣በሂሣብ ኢንዳክሽን ዘዴ መሠረት፣ መግለጫው ለማንኛውም የተፈጥሮ ቁጥር n ነው።
ለማንኛውም የተፈጥሮ ቁጥር n እኩልነት እውነት መሆኑን አረጋግጥ፡
1 3 +2 3 +3 3 +…+n 3 = n 2 (n+1) 2/4።
መፍትሄ፡ 1) እን =1.
ከዚያም X 1 = 1 3 = 1 2 (1+1) 2/4=1.
ለ n=1 መግለጫው እውነት መሆኑን እናያለን።
2) እኩልነት ለ n=k እውነት ነው እንበል
X k = k 2 (k+1) 2/4.
3) የዚህን አባባል እውነት ለ n=k+1 እናረጋግጥ፣ ማለትም.
X k+1 = (k+1) 2 (k+2) 2/4. X k+1 =1 3 +2 3 +…+k 3 +(k+1) 3=k 2 (k+1) 2/4+(k+1) 3 =(k 2 (k++1) 2 +4(k+1) 3)/4=(k+1) 2 (k 2 +4k+4)/4=(k+1) 2 (k+2) 2/4።
ከላይ ካለው ማስረጃ መረዳት እንደሚቻለው አረፍተ ነገሩ ለ n=k+1 እውነት ነው፣ስለዚህ እኩልነት ለማንኛውም የተፈጥሮ ቁጥር n ነው።
ያንን አረጋግጡ
((2 3 +1)/(2 3 -1))'((3 3 +1)/(3 3 -1))'…'((n 3 +1)/(n 3 -1))= 3n(n+1)/2(n 2 +n+1)፣ የት n>2።
መፍትሄ፡ 1) ለ n=2 መታወቂያው የሚመስለው፡ (2 3 +1)/(2 3 -1)=(3'2′3)/2(2 2 +2+1)፣
እነዚያ። እውነት ነው.
2) አገላለጹ ለ n=k እውነት እንደሆነ አስብ
(2 3 +1)/(2 3 -1)'…'(k 3 +1)/(k 3 -1)=3k(k+1)/2(k 2 +k+1)።
3) የ n=k+1 አገላለጽ ትክክለኛነት እናረጋግጥ።
(((2 3 +1)/(2 3 -1))'…'((k 3 +1)/(k 3 -1)))'((k+1) 3 +
1)/(((k+1) 3 -1))=(3k(k+1)/2(k 2 +k+1))'((k+2)((k+)
1) 2 -(k+1)+1)/k((k+1) 2 +(k+1)+1))=3(k+1)(k+2)/2′
((k+1) 2+(k+1)+1)።
ለ n=k+1 እኩልነት እውነት መሆኑን አረጋግጠናል፣ስለዚህ፣በሂሣብ ኢንዳክሽን ዘዴ አማካኝነት መግለጫው ለማንኛውም n>2 እውነት ነው።
ያንን አረጋግጡ
1 3 -2 3 +3 3 -4 3 +…+(2n-1) 3 -(2n) 3 =-n 2 (4n+3)
ለማንኛውም የተፈጥሮ n.
መፍትሄ፡- 1) n=1 እንግዲያውስ
1 3 -2 3 =-1 3 (4+3); -7=-7.
2) n=k እንበል እና ከዚያ
1 3 -2 3 +3 3 -4 3 +…+(2k-1) 3 -(2ኪ) 3 =-k 2 (4k+3)።
3) የዚህን አባባል እውነት ለ n=k+1 እናረጋግጥ
(1 3 -2 3 +…+(2k-1) 3 -(2ኪ) 3)+(2ኪ+1) 3 -(2ክ+2) 3 =-k 2 (4k+3)+
+(2k+1) 3 -(2k+2) 3 =-(k+1) 3 (4(k+1)+3)።
የ n=k+1 እኩልነት ትክክለኛነትም ተረጋግጧል፣ስለዚህ መግለጫው ለማንኛውም የተፈጥሮ ቁጥር እውነት ነው።
ማንነቱ ትክክል መሆኑን ያረጋግጡ
(1 2 /1′3)+(2 2/3'5)+…+(n 2 /(2n-1)'(2n+1))=n(n+1)/2(2n+1)
ለማንኛውም የተፈጥሮ n.
1) ለ n=1 ማንነቱ እውነት ነው 1 2 /1'3=1(1+1)/2(2+1)።
2) ለ n = k እንበል
(1 2/1′3)+…+(k 2 /(2k-1)′(2k+1))=k(k+1)/2(2k+1)።
3) ማንነቱ ለ n=k+1 እውነት መሆኑን እናረጋግጥ።
(1 2/1′3)+…+(k 2 /(2k-1)(2k+1))+(k+1) 2 /(2k+1)(2k+3)=(k(k+ 1) )/2(2ኪ+1))+((k+1) 2 /(2k+1)(2k+3)= +(((k+1)/(2k+3)))=(k+1)(k+2)′ (2k+1)/2(2k+1)(2k+3)=(k+1) (k+2)/2(2(k+1)+1)።
ከላይ ካለው ማስረጃ መረዳት እንደሚቻለው መግለጫው ለማንኛውም የተፈጥሮ ቁጥር n.
(11 n+2 +12 2n+1) ያለ ቀሪ 133 መከፋፈሉን አረጋግጥ።
መፍትሄ፡- 1) n=1 እንግዲያውስ
11 3 +12 3 = (11+12) (11 2 -132+12 2)=23′133።
ነገር ግን (23′133) በ 133 ይከፈላል ያለ ቀሪ , ይህም ማለት ለ n=1 መግለጫው እውነት ነው; ሀ(1) እውነት ነው።
2) (11 k+2 +12 2k+1) ያለ ቀሪ 133 ይከፋፈላል እንበል።
3) በዚህ ጉዳይ ላይ እናረጋግጥ
(11 k+3 +12 2k+3) ያለ ቀሪ 133 ይከፈላል:: በእርግጥ 11 k+3 +12 2l+3 =11′11 k+2 +12 2′ 12 2k+1 =11′11 k+2 +
+(11+133)'12 2k+1 =11(11 k+2 +12 2k+1)+133′12 2k+1 .
የተገኘው ድምር ያለቀሪው 133 ይከፋፈላል ምክንያቱም የመጀመርያው ጊዜ በ133 የሚካፈለው ሳይቀረው በግምት ሲሆን በሁለተኛው ደግሞ አንደኛው 133. ስለዚህ ሀ(k) ÞA(k+1) ነው። በሂሳብ ማነሳሳት ዘዴ, መግለጫው ተረጋግጧል.
ለማንኛውም n 7 n -1 ያለ ቀሪው በ 6 የሚከፋፈል መሆኑን ያረጋግጡ።
መፍትሄው፡ 1) n=1፣ በመቀጠል X 1 =7 1 -1=6 በ6 ይከፈላል ያለ ቀሪ። ይህ ማለት n=1 መግለጫው እውነት ሲሆን ነው።
2) ለ n = k እንበል
7 ኪ -1 ያለ ቀሪው በ 6 ይከፈላል.
3) መግለጫው ለ n=k+1 እውነት መሆኑን እናረጋግጥ።
X k+1 =7 k+1 -1=7′7 k -7+6=7(7 k -1)+6.
የመጀመሪያው ቃል በ 6 ይከፈላል, ምክንያቱም 7 k -1 በ 6 በግምት ይከፈላል, እና ሁለተኛው ቃል 6 ነው. ይህ ማለት 7 n -1 ለማንኛውም የተፈጥሮ n የ 6 ብዜት ነው. በሂሳብ ኢንዳክሽን ዘዴ, መግለጫው ተረጋግጧል.
የዘፈቀደ የተፈጥሮ n 3 3n-1 +2 4n-3 በ 11 መከፋፈሉን ያረጋግጡ።
መፍትሄ፡- 1) n=1 እንግዲያውስ
X 1 =3 3-1 +2 4-3 =3 2 +2 1 =11 በ11 ይከፈላል ያለ ቀሪ። ይህ ማለት ለ n=1 መግለጫው እውነት ነው ማለት ነው።
2) ለ n = k እንበል
X k =3 3k-1 +2 4k-3 በ 11 ይከፈላል ያለ ቀሪ።
3) መግለጫው ለ n=k+1 እውነት መሆኑን እናረጋግጥ።
X k+1 =3 3(k+1)-1 +2 4(k+1)-3 =3 3k+2 +2 4k+1 =3 3′ 3 3k-1 +2 4′ 2 4k-3 =
27′3 3k-1 +16′2 4k-3 =(16+11)′3 3k-1 +16′2 4k-3 =16′3 3k-1 +
11'3 3k-1 +16'2 4k-3 =16(3 3k-1 +2 4k-3)+11'3 3k-1
የመጀመሪያው ቃል በ11 ይካፈላል ሳይቀረው 3 3k-1 +2 4k-3 በ 11 በመገመት ሁለተኛው ደግሞ በ11 ይከፈላል ምክንያቱም ከምክንያቶቹ አንዱ ቁጥር 11 ነው። ይህ ማለት ድምር ማለት ነው። ለማንኛውም የተፈጥሮ ቁጥር n ሳይቀረው በ 11 ይከፈላል. በሂሳብ ኢንዳክሽን ዘዴ, መግለጫው ተረጋግጧል.
11 2n -1 የዘፈቀደ የተፈጥሮ n ያለ ቀሪ በ 6 እንደሚከፋፈል ያረጋግጡ።
መፍትሄው፡ 1) n=1 እንግዲያውስ 11 2 -1=120 በ 6 ይከፈላል ያለ ቀሪ። ይህ ማለት n=1 መግለጫው እውነት ሲሆን ነው።
2) ለ n = k እንበል
11 2k -1 ያለ ቀሪው በ 6 ይከፈላል.
11 2(k+1) -1=121′11 2k -1=120′11 2k +(11 2k -1)።
ሁለቱም ቃላቶች ሳይቀሩ በ6 ይከፈላሉ፡ የመጀመሪያው 6 ብዜት ይይዛል፡ ቁጥሩ 120፡ ሁለተኛው ደግሞ በ6 ይከፈላል ያለ ቀሪ ግምት። ይህ ማለት ድምር ያለ ቀሪው በ 6 ይከፈላል ማለት ነው. በሂሳብ ኢንዳክሽን ዘዴ, መግለጫው ተረጋግጧል.
3 3n+3 -26n-27 የዘፈቀደ የተፈጥሮ ቁጥር n ያለ ቀሪው በ26 2 (676) መከፋፈሉን ያረጋግጡ።
መፍትሄ፡ በመጀመሪያ 3 3n+3 -1 በ26 መከፋፈሉን እናረጋግጣለን።
- መቼ n=0
- ለ n=k እናስብ
- መግለጫው መሆኑን እናረጋግጥ
3 3 -1=26 በ26 ተከፍሏል።
3 3k+3 -1 በ26 ይከፈላል
እውነት ለ n=k+1
3 3k+6 -1=27′3 3k+3 -1=26′3 3л+3 +(3 3k+3 -1) – በ26 ተከፍሏል
አሁን በችግር መግለጫው ውስጥ የተቀረጸውን መግለጫ ማረጋገጫ እናከናውን.
1) በግልጽ n=1 መግለጫው እውነት ነው።
3 3+3 -26-27=676
2) ለ n = k እንበል
3 3k+3 -26k-27 የሚለው አገላለጽ በ26 2 ይከፈላል ያለ ቀሪ።
3) መግለጫው ለ n=k+1 እውነት መሆኑን እናረጋግጥ
3 3k+6 -26(k+1)-27=26(3 3k+3 -1)+(3 3k+3 -26k-27)።
ሁለቱም ውሎች በ 26 2 ይከፈላሉ. የመጀመሪያው በ 26 2 ይከፈላል ምክንያቱም በቅንፍ ውስጥ ያለው አገላለጽ በ 26 እንደሚከፋፈል ስላረጋገጥን ሁለተኛው ደግሞ በኢንደክሽን መላምት ይከፈላል ። በሂሳብ ኢንዳክሽን ዘዴ, መግለጫው ተረጋግጧል.
n>2 እና x>0 ከሆኑ እኩልነት እውነት መሆኑን ያረጋግጡ
(1+x) n >1+n'x።
መፍትሄ፡ 1) ለ n=2 እኩልነት ትክክል ነው፣ ምክንያቱም
(1+x) 2 =1+2x+x 2 >1+2x።
ስለዚህ ሀ(2) እውነት ነው።
2) ሀ (k) ÞA(k+1)፣ k> ከሆነ 2. ሀ(k) እውነት መሆኑን እናስብ፣ ማለትም፣ አለመመጣጠን
(1+x) k >1+k′x። (3)
ከዚያ A(k+1) እውነት መሆኑን እናረጋግጥ፣ ማለትም፣ አለመመጣጠን
(1+x) k+1 >1+(k+1)'x.
እንደ እውነቱ ከሆነ, ሁለቱንም የእኩልነት ጎኖች (3) በአዎንታዊ ቁጥር 1 + x ማባዛት, እናገኛለን
(1+x) k+1 >(1+k′x)(1+x)።
የመጨረሻውን እኩልነት የቀኝ ጎን እንይ
stva; እና አለነ
(1+k'x)(1+x)=1+(k+1)'x+k'x 2 >1+(k+1)'x።
በውጤቱም, ያንን እናገኛለን
(1+x) k+1 >1+(k+1)'x.
ስለዚህ፣ A(k) ÞA(k+1)። በሂሳብ ኢንዳክሽን መርህ ላይ በመመስረት የበርኑሊ እኩልነት ለማንኛውም እውነት ነው ብሎ መከራከር ይቻላል ።
አለመመጣጠን እውነት መሆኑን ያረጋግጡ
(1+a+a 2) m > 1+ma+(m(m+1)/2)'a 2 ለ a> 0።
መፍትሄ፡ 1) መቼ m=1
(1+a+a 2) 1> 1+a+(2/2)'a 2 ሁለቱም ወገኖች እኩል ናቸው።
2) ለ m = k እንበል
(1+a+a 2) k >1+ካ+(k+1)/2)'a 2
3) ለ m=k+1 እኩልነት እውነት መሆኑን እናረጋግጥ
(1+a+a 2) k+1 =(1+a+a 2)(1+a+a 2) k >(1+a+a 2)(1+ka+
+(k(k+1)/2)'a 2)=1+(k+1)'a+((k(k+1)/2)+k+1)'a 2 +
+((k(k+1)/2)+k)'a 3+(k(k+1)/2)'a 4 > 1+(k+1)'a+
+((k+1)(k+2)/2)'a 2 .
ለ m=k+1 እኩልነት ትክክለኛነት አረጋግጠናል, ስለዚህ, በሂሳብ ኢንዳክሽን ዘዴ ምክንያት, እኩልነት ለማንኛውም የተፈጥሮ m.
ለ n> 6 እኩልነት እውነት መሆኑን ያረጋግጡ
3 n > n'2 n+1።
መፍትሄው: እኩልነትን በቅጹ ላይ እንደገና እንፃፍ
- ለ n=7 አለን።
- ለ n=k እናስብ
3 7/2 7 =2187/128>14=2′7
እኩልነት እውነት ነው.
3) ለ n=k+1 እኩልነት ትክክለኛነት እናረጋግጥ።
3 k+1/2 k+1 =(3 ኪ/2 ኪ)'(3/2)>2k'(3/2)=3k>2(k+1)።
ከ k> 7 ጀምሮ, የመጨረሻው እኩልነት ግልጽ ነው.
በማቲማቲካል ኢንዳክሽን ዘዴ ምክንያት, እኩልነት ለማንኛውም የተፈጥሮ ቁጥር n.
ለ n>2 እኩልነት እውነት መሆኑን ያረጋግጡ
1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/n 2)<1,7-(1/n).
መፍትሄ፡ 1) ለ n=3 እኩልነት እውነት ነው።
1+(1/2 2)+(1/3 2)=245/180<246/180=1,7-(1/3).
- ለ n=k እናስብ
1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/k 2)=1.7-(1/ኪ)።
3) ያልሆኑትን ትክክለኛነት እናረጋግጥ
እኩልነት ለ n=k+1
(1+(1/2 2)+…+(1/k 2))+(1/(k+1) 2)<1,7-(1/k)+(1/(k+1) 2).
1.7-(1/k)+(1/(k+1) 2) እናረጋግጥ።<1,7-(1/k+1)Û
Û(1/(k+1) 2)+(1/k+1)<1/kÛ(k+2)/(k+1) 2 <1/kÛ
śk(k+2)<(k+1) 2Û k 2 +2k የኋለኛው ግልጽ ነው, እና ስለዚህ 1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/(k+1) 2)<1,7-(1/k+1). በሂሳብ ኢንዳክሽን ዘዴ, እኩልነት የተረጋገጠ ነው. ማጠቃለያ በተለይም የሂሳብ ኢንዳክሽን ዘዴን በማጥናት በዚህ የሂሳብ ክፍል ውስጥ እውቀቴን ጨምሬያለሁ, እና ከዚህ በፊት ከአቅሜ በላይ የሆኑ ችግሮችን መፍታት ተምሬያለሁ. እነዚህ በዋናነት አመክንዮአዊ እና አዝናኝ ተግባራት ነበሩ፣ ማለትም. በሂሳብ በራሱ እንደ ሳይንስ ፍላጎት የሚጨምሩት። እንደነዚህ ያሉትን ችግሮች መፍታት አስደሳች ተግባር ይሆናል እና ብዙ እና የበለጠ የማወቅ ጉጉ ሰዎችን ወደ ሒሳብ ላብራቶሪዎች ሊስብ ይችላል። በእኔ አስተያየት ይህ የማንኛውም ሳይንስ መሰረት ነው. የማቲማቲካል ኢንዳክሽን ዘዴን ማጥናት በመቀጠል, በሂሳብ ላይ ብቻ ሳይሆን በፊዚክስ, በኬሚስትሪ እና በህይወቱ ውስጥ ችግሮችን በመፍታት እንዴት እንደሚተገበር ለመማር እሞክራለሁ. ሂሳብ፡- ንግግሮች፣ ችግሮች፣ መፍትሄዎች የመማሪያ መጽሐፍ / V.G. Boltyansky, Yu.V. Sidorov, M.I. Shabunin. Potpourri LLC 1996 አልጀብራ እና የትንታኔ ጅምር የመማሪያ መጽሀፍ / አይቲ ዴሚዶቭ, ኤኤን ኮልሞጎሮቭ, ኤስ.አይ. ሽቫርትስበርግ, ኦ.ኤስ. ኢቫሼቭ-ሙሳቶቭ, ቢ.ኢ. ዊትዝ. "መገለጥ" 1975. በተፈጥሮ ቁጥር n ላይ በመመስረት አንድ ዓረፍተ ነገር ለ n=1 እውነት ከሆነ እና ለ n=k እውነት ከሆነ (k ማንኛውም የተፈጥሮ ቁጥር ከሆነ) እሱ ደግሞ እውነት ነው ። የሚቀጥለው ቁጥር n=k +1፣ ከዚያ ግምት A(n) ለማንኛውም የተፈጥሮ ቁጥር እውነት ነው። በበርካታ አጋጣሚዎች, ለሁሉም የተፈጥሮ ቁጥሮች ሳይሆን ለ n> p ብቻ, የተወሰነ መግለጫ ትክክለኛነት ማረጋገጥ አስፈላጊ ሊሆን ይችላል, ይህም p ቋሚ የተፈጥሮ ቁጥር ነው. በዚህ ጉዳይ ላይ የሂሳብ ኢንዳክሽን መርህ እንደሚከተለው ተዘጋጅቷል. ፕሮፖዚሽኑ A(n) ለ n=p እውነት ከሆነ እና A(k) ≈ A(k+1) ለማንኛውም k>p ከሆነ ሀ(n) ለማንኛውም n>p እውነት ነው። የሂሳብ ኢንዳክሽን ዘዴን በመጠቀም ማረጋገጫው እንደሚከተለው ይከናወናል. በመጀመሪያ፣ መረጋገጥ ያለበት መግለጫ በ n=1፣ ማለትም. የA(1) አባባል እውነት ተረጋግጧል። ይህ የማረጋገጫው ክፍል የኢንደክሽን መሰረት ይባላል. ከዚያም የማስረጃው ክፍል የኢንደክሽን ደረጃ ይባላል። በዚህ ክፍል ውስጥ ለ n = k (ኢንዳክሽን ግምት) መግለጫ ትክክለኛነት በማሰብ ለ n = k+1 መግለጫ ትክክለኛነት ያረጋግጣሉ, ማለትም. A(k) 1 A(k+1) መሆኑን ያረጋግጡ ያንን 1+3+5+…+(2n-1)=n 2 አረጋግጥ። k ማንኛውም የተፈጥሮ ቁጥር ይሁን እና መግለጫው ለ n=k እውነት ይሁን፣ i.e. 1+3+5+…+(2k-1)=k 2 ከዚያም መግለጫው ለቀጣዩ የተፈጥሮ ቁጥር n=k+1 እውነት መሆኑን እናረጋግጥ፣ i.e. ምንድን ስለዚህ፣ A(k) 1 A(k+1)። በሂሳብ ኢንዳክሽን መርህ ላይ በመመስረት፣ ሀ(n) ግምት ለማንኛውም n O N እውነት ነው ብለን መደምደም እንችላለን። ያንን አረጋግጡ 1+x+x 2 +x 3 +…+x n =(x n+1 -1)/(x-1)፣ በ x ቁጥር 1 ስለዚህ, ለ n = 1 ቀመሩ ትክክል ነው; ሀ(1) እውነት ያንን እኩልነት እናረጋግጥ =(x k+1 -1)/(x-1)+x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1) ስለዚህ፣ A(k) 1 A(k+1)። በሂሳብ ኢንዳክሽን መርህ ላይ በመመስረት, ቀመሩን ለማንኛውም የተፈጥሮ ቁጥር n የኮንቬክስ n-ጎን ሰያፍ ብዛት n(n-3)/2 መሆኑን አረጋግጥ መፍትሄ፡ 1) ለ n=3 መግለጫው እውነት ነው፣ ምክንያቱም በሶስት ማዕዘን ውስጥ A 3 = 3 (3-3) / 2 = 0 ዲያግኖች; ሀ 2 ሀ(3) እውነት 2) በእያንዳንዱ ኮንቬክስ ኪ-ጎን ውስጥ A 1 x A k =k (k-3)/2 ዲያግኖች አሉ እንበል። A k በኮንቬክስ A k+1 (k+1) -ጎን የዲያግራኖች ብዛት A k+1 =(k+1)(k-2)/2 መሆኑን እናረጋግጥ። A 1 A 2 A 3 …A k A k+1 convex (k+1)-gon ይሁን። በውስጡም ዲያግናል A 1 A k እንሳል። የዚህን (k+1) -ጎን አጠቃላይ የዲያግራኖች ብዛት ለማስላት በ k-gon A 1 A 2 ...A k ውስጥ ያሉትን የዲያግኖሎች ብዛት መቁጠር ያስፈልግዎታል ፣ በተገኘው ቁጥር k-2 ይጨምሩ ፣ ማለትም ። የ (k+1) -ጎን ከ vertex A k+1 የሚመነጩ የዲያግራኖች ብዛት፣ እና በተጨማሪ፣ ሰያፍ A 1 A k ግምት ውስጥ መግባት አለበት። ስለዚህም G k+1 =G k +(k-2)+1=k(k-3)/2+k-1=(k+1)(k-2)/2 ስለዚህ፣ A(k) 1 A(k+1)። በሂሳብ ኢንዳክሽን መርህ ምክንያት መግለጫው ለማንኛውም ኮንቬክስ n-ጎን እውነት ነው። ለማንኛውም n የሚከተለው መግለጫ እውነት መሆኑን ያረጋግጡ፡- 1 2 +2 2 +3 2 +…+n 2 =n(n+1)(2n+1)/6 መፍትሄ፡- 1) n=1 እንግዲያውስ X 1 = 1 2 = 1 (1+1) (2+1)/6=1 2) n=k እንበል X k = k 2 = k (k+1) (2k+1)/6 3) ይህን መግለጫ ለ n=k+1 አስቡበት X k+1 =(k+1)(k+2)(2k+3)/6 X k+1 =1 2 +2 2 +3 2 +…+k 2 +(k+1) 2=k(k+1)(2k+1)/6+ +(k+1) 2 =(k(k+1)(2k+1)+6(k+1) 2)/6=(k+1)(k(2k+1)+ 6(k+1))/6=(k+1)(2k 2 +7k+6)/6=(k+1)(2(k+3/2)(k+) 2))/6=(k+1)(k+2)(2k+3)/6 እኩልነት ለ n=k+1 እውነት መሆኑን አረጋግጠናል፣ስለዚህ፣በሂሣብ ኢንዳክሽን ዘዴ አማካኝነት መግለጫው ለማንኛውም የተፈጥሮ ቁጥር n እውነት ነው። ለማንኛውም የተፈጥሮ ቁጥር n እኩልነት እውነት መሆኑን አረጋግጥ፡ 1 3 +2 3 +3 3 +…+n 3 = n 2 (n+1) 2/4 መፍትሄ፡ 1) እን =1 ከዚያም X 1 = 1 3 = 1 2 (1+1) 2/4=1. ለ n=1 መግለጫው እውነት መሆኑን እናያለን። 2) እኩልነት ለ n=k እውነት ነው እንበል X k = k 2 (k+1) 2/4 3) የዚህን አባባል እውነት ለ n=k+1 እናረጋግጥ፣ ማለትም. X k+1 = (k+1) 2 (k+2) 2/4. X k+1 =1 3 +2 3 +…+k 3 +(k+1) 3=k 2 (k+1) 2/4+(k+1) 3 =(k 2 (k++1) 2 +4(k+1) 3)/4=(k+1) 2 (k 2 +4k+4)/4=(k+1) 2 (k+2) 2/4 ከላይ ካለው ማስረጃ መረዳት እንደሚቻለው አረፍተ ነገሩ እውነት ነው ለ n=k+1 ስለዚህ እኩልነት ለማንኛውም የተፈጥሮ ቁጥር n እውነት ነው ያንን አረጋግጡ ((2 3 +1)/(2 3 -1)) ቊ ((3 3 +1)/(3 3 -1)) ቃ ... ቀ ((n 3 +1)/(n 3-1) = 3n(n+1)/2(n 2 +n+1)፣ የት n>2 መፍትሄ፡ 1) ለ n=2 መታወቂያው የሚከተለውን ይመስላል። 1)/(((k+1) 3 -1))=(3k(k+1)/2(k 2 +k+1)) ق ((k+2)((k+) 1) 2 -(k+1)+1)/k((k+1) 2 +(k+1)+1))=3(k+1)(k+2)/2 ґ ((k+1) 2+(k+1)+1) ለ n=k+1 እኩልነት እውነት መሆኑን አረጋግጠናል፣ስለዚህ፣በሂሣብ ኢንዳክሽን ዘዴ አማካኝነት መግለጫው ለማንኛውም n>2 እውነት ነው። ያንን አረጋግጡ 1 3 -2 3 +3 3 -4 3 +…+(2n-1) 3 -(2n) 3 =-n 2 (4n+3) ለማንኛውም የተፈጥሮ ቁጥር n መፍትሄ፡- 1) n=1 እንግዲያውስ +(2k+1) 3 (2k+2) 3 =-(k+1) 3 (4(k+1)+3) የ n=k+1 እኩልነት ትክክለኛነትም ተረጋግጧል፣ስለዚህ መግለጫው ለማንኛውም የተፈጥሮ ቁጥር እውነት ነው። ማንነቱ ትክክል መሆኑን ያረጋግጡ (1 2/1 ቀ 3)+(2 2/3 ቀ 5)+…+(n 2 /(2n-1) ቀ (2n+1))=n(n+1)/2(2n+1) ለማንኛውም የተፈጥሮ n ከላይ ካለው ማስረጃ መረዳት እንደሚቻለው መግለጫው ለማንኛውም የተፈጥሮ ቁጥር n. (11 n+2 +12 2n+1) በ133 መከፋፈሉን አረጋግጥ መፍትሄ፡- 1) n=1 እንግዲያውስ 11 3 +12 3 =(11+12)(11 2 -132+12 2)=23 ґ 133 ነገር ግን (23 ቀ 133) በ 133 ይከፈላል ያለ ቀሪ , ይህም ማለት ለ n=1 መግለጫው እውነት ነው; ሀ(1) እውነት ነው። +(11+133) 12 2k+1 =11(11 k+2 +12 2k+1)+133 ቐ 12 2k+1 የተገኘው ድምር ያለቀሪው 133 ይከፋፈላል ምክንያቱም የመጀመርያው ጊዜ በ133 የሚካፈለው ሳይቀረው በግምት ሲሆን በሁለተኛው ደግሞ ከምክንያቶቹ አንዱ 133. ስለዚህ ሀ(k) 1 ሀ(k+1) ነው። በሂሳብ ኢንዳክሽን ዘዴ, መግለጫው ተረጋግጧል ለማንኛውም n 7 n -1 ያለ ቀሪው በ 6 የሚከፋፈል መሆኑን ያረጋግጡ X k+1 =7 k+1 -1=7 k 7 k -7+6=7(7 k -1)+6 የመጀመሪያው ቃል በ 6 ይከፈላል, ምክንያቱም 7 k -1 በ 6 በግምት ይከፈላል, እና ሁለተኛው ቃል 6 ነው. ይህ ማለት 7 n -1 ለማንኛውም የተፈጥሮ ቁጥር n የ 6 ብዜት ነው. በሂሳብ ኢንዳክሽን ዘዴ, መግለጫው ተረጋግጧል. የዘፈቀደ የተፈጥሮ ቁጥር n 3 3n-1 +2 4n-3 በ11 መከፋፈሉን ያረጋግጡ። 1) n=1 እንግዲያውስ X 1 =3 3-1 +2 4-3 =3 2 +2 1 =11 በ11 ይከፈላል ያለ ቀሪ። ይህ ማለት ለ n=1 መግለጫው እውነት ነው ማለት ነው። X k+1 =3 3(k+1)-1 +2 4(k+1)-3 =3 3k+2 +2 4k+1 =3 3 3 3 3k-1 +2 4 kh 2 4k-3 = 27 ቅ 3 3k-1 +16 2 4k-3 = (16+11) 3 3k-1 +16 q 2 4k-3 =16 k 3 3k-1 + 11 ቀ 3 3k-1 +16 ቅ 2 4k-3 =16(3 3k-1 +2 4k-3)+11 ቀ 3 3k-1 የመጀመሪያው ቃል በ11 ይካፈላል ሳይቀረው 3 3k-1 +2 4k-3 በ 11 በመገመት ሁለተኛው ደግሞ በ11 ይከፈላል ምክንያቱም ከምክንያቶቹ አንዱ ቁጥር 11 ነው። ይህ ማለት ድምር ማለት ነው። ለማንኛውም የተፈጥሮ ቁጥር n ያለ ቀሪ በ 11 ይከፈላል. በሂሳብ ኢንዳክሽን ዘዴ, መግለጫው ተረጋግጧል. 11 2n -1 የዘፈቀደ የተፈጥሮ ቁጥር n ያለ ቀሪው በ 6 እንደሚካፈል ያረጋግጡ ሁለቱም ቃላቶች ሳይቀሩ በ6 ይከፋፈላሉ፡ የመጀመሪያው የ 6, 120 ብዜት ይይዛል, ሁለተኛው ደግሞ በ 6 ይከፋፈላል ያለ ቀሪ ግምት. ይህ ማለት ድምር ያለ ቀሪው በ 6 ይከፈላል ማለት ነው. በሂሳብ ኢንዳክሽን ዘዴ, መግለጫው ተረጋግጧል. 3 3n+3 -26n-27 የዘፈቀደ የተፈጥሮ ቁጥር n ያለ ቀሪው በ26 2 (676) መከፋፈሉን ያረጋግጡ። በመጀመሪያ 3 3n+3 -1 በ 26 መከፋፈሉን እናረጋግጥ አሁን በችግር መግለጫው ውስጥ የተቀረፀውን መግለጫ እናረጋግጥ ሁለቱም ውሎች በ 26 2 ይከፈላሉ. የመጀመሪያው በ 26 2 ይከፈላል ምክንያቱም በቅንፍ ውስጥ ያለው አገላለጽ በ 26 እንደሚከፋፈል ስላረጋገጥን ሁለተኛው ደግሞ በኢንደክሽን መላምት ይከፈላል ። በሂሳብ ኢንዳክሽን ዘዴ, መግለጫው ተረጋግጧል n>2 እና x>0 ከሆነ፣ አለመመጣጠን (1+x) n >1+n ґ x እውነት መሆኑን ያረጋግጡ። ስለዚህ ሀ(2) እውነት ነው። ከዚያ A(k+1) እውነት መሆኑን እናረጋግጥ፣ ማለትም፣ አለመመጣጠን (1+x) k+1 >1+(k+1) kh x እንደ እውነቱ ከሆነ, ሁለቱንም የእኩልነት ጎኖች (3) በአዎንታዊ ቁጥር 1 + x ማባዛት, እናገኛለን (1+x) k+1 >(1+k kh x)(1+x) የመጨረሻውን አለመመጣጠን ትክክለኛውን ጎን ግምት ውስጥ ያስገቡ; እና አለነ (1+k ቀ x)(1+x)=1+(k+1) ቐ x+k ቀ x 2 >1+(k+1) ቀ x በውጤቱም፣ ያንን (1+x) k+1>1+(k+1) kh x እናገኛለን ስለዚህ፣ A(k) 1 A(k+1)። በማቲማቲካል ኢንዳክሽን መርህ ላይ በመመስረት የበርኑሊ እኩልነት ለማንኛውም n> 2 ትክክለኛ ነው ብሎ መከራከር ይቻላል ። እኩልነት (1+a+a 2) m > 1+m ق a+(m(m+1)/2) ق a 2 for a> 0 እውነት መሆኑን አረጋግጥ መፍትሄ፡ 1) መቼ m=1 +(k(k+1)/2) ቀ 2)=1+(k+1) h a+((k(k+1)/2)+k+1) ق a 2 + +((k(k+1)/2)+k) ሀ 3 +(k +((k+1)(k+2)/2) Б a 2 ለ m=k+1 እኩልነት እውነት መሆኑን አረጋግጠናል፣ስለዚህ፣በሂሳብ ኢንዳክሽን ዘዴ፣መመጣጠኑ ለማንኛውም የተፈጥሮ ቁጥር ትክክል ነው m ለ n>6 እኩልነት 3 n > n k 2 n+1 እውነት መሆኑን ያረጋግጡ በቅጹ (3/2) n>2n ውስጥ ያለውን እኩልነት እንደገና እንፃፍ ከ k> 7 ጀምሮ, የመጨረሻው እኩልነት ግልጽ ነው. በማቲማቲካል ኢንዳክሽን ዘዴ ምክንያት, እኩልነት ለማንኛውም የተፈጥሮ ቁጥር n ለ n>2 እኩልነት እውነት መሆኑን ያረጋግጡ 1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/n 2)<1,7-(1/n) 1.7-(1/k)+(1/(k+1) 2) እናረጋግጥ።<1,7-(1/k+1) Ы ኤስ (1/(k+1) 2)+(1/k+1)<1/k Ы (k+2)/(k+1) 2 <1/k Ы k(k+2)<(k+1) 2 Ы k 2 +2k የኋለኛው ግልጽ ነው, እና ስለዚህ 1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/(k+1) 2)<1,7-(1/k+1) በሂሳብ ኢንዳክሽን ዘዴ, እኩልነት የተረጋገጠ ነው. ብራያንስክ ከተማ ሊሲየም ቁጥር 1 በርዕሱ ላይ የምርምር ሥራ; የማቲማቲካል ኢንዳክሽን ዘዴ ተጠናቀቀ
ኤምበጭንቅ ለቆስጠንጢኖስ ተማሪ 10ኛ ፊዚክስ እና ሒሳብ ብራያንስክ ከተማ ሊሲየም ቁጥር 1 ተረጋግጧል
ቲዩካቼቫ ስለውሸት እናቫኖቭና መግቢያ_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 3 ዋናው ክፍል የተሟላ እና ያልተሟላ መግቢያ_ _ _ _ _ _ _ _ _ _3-4 የሒሳብ ኢንዳክሽን መርህ_ _ _ _4-5 የማቲማቲካል ኢንዳክሽን ዘዴ_ _ _ _ _ 6 መፍትሄ በሂሳብ ኢንዳክሽን ለማጠቃለል ችግሮች_ _ _ _ _ _ _ _ 7 እኩልነትን በማረጋገጥ ላይ ላሉት ችግሮች_ _8 ወደ መከፋፈል ችግሮች _ _ _ _ _ _ _ _ _11 ማንነቶችን በማረጋገጥ ላይ ላሉት ችግሮች _ _ _12 ለሌሎች ተግባራት _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 13 ማጠቃለያ_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 16 ያገለገሉ ጽሑፎች ዝርዝር _ _ _17 መግቢያ
ቃል ማስተዋወቅበሩሲያኛ መመሪያ ማለት ነው, እና ኢንዳክቲቭምልከታዎችን ፣ ሙከራዎችን መሠረት በማድረግ ድምዳሜዎችን ይደውሉ ፣ ማለትም ። ከልዩነት ወደ አጠቃላይ በማጣቀሻ የተገኘ. በሙከራ ሳይንሶች ውስጥ የኢንደክቲቭ መደምደሚያዎች ሚና በጣም ትልቅ ነው። ተጨማሪ ድምዳሜዎች ተቀናሽ የሚደረጉባቸውን ድንጋጌዎች ይሰጣሉ። ምንም እንኳን ቲዎሬቲካል ሜካኒኮች በኒውተን ሶስት የእንቅስቃሴ ህጎች ላይ የተመሰረቱ ቢሆኑም እነዚህ ህጎች እራሳቸው በሙከራ መረጃ የጥልቅ አስተሳሰብ ውጤቶች ነበሩ ፣ በተለይም የኬፕለር የፕላኔቶች እንቅስቃሴ ህጎች ፣ እሱ በዴንማርክ የስነ ፈለክ ተመራማሪ ታይኮ የብዙ ዓመታት ምልከታዎችን በማዘጋጀት የተገኘ ነው። ብራሄ። የተገመቱትን ግምቶች ለማብራራት ምልከታ እና ማስተዋወቅ ለወደፊቱ ጠቃሚ ይሆናሉ። ሚሼልሰን በሚንቀሳቀስ ሚዲያ ላይ የብርሃንን ፍጥነት ለመለካት ካደረገው ሙከራ በኋላ የፊዚክስ ህግጋትን ማብራራት እና የአንፃራዊነት ፅንሰ-ሀሳብ መፍጠር አስፈላጊ ሆኖ ተገኝቷል። በሂሳብ ውስጥ, የኢንደክሽን ሚና በአብዛኛው የተመረጠው axiomatics ስር ነው. የረዥም ጊዜ ልምምድ እንደሚያሳየው ቀጥተኛ መንገድ ሁል ጊዜ ከተጠማዘዘ ወይም ከተሰበረ አጭር ነው ፣አክሲየምን ማዘጋጀት ተፈጥሯዊ ነበር-ለማንኛውም ሶስት ነጥብ A ፣ B እና C ፣ አለመመጣጠን። የሒሳብ መሠረት የሆነው “የመከተል” ጽንሰ-ሐሳብ እንዲሁ ከወታደሮች ፣ መርከቦች እና ሌሎች የታዘዙ ስብስቦች ምስረታ ምልከታዎች ታየ። ይሁን እንጂ አንድ ሰው ይህ በሂሳብ ውስጥ የማስተዋወቅን ሚና ያሟጥጣል ብሎ ማሰብ የለበትም. እርግጥ ነው፣ ከአክሲዮሞች በምክንያታዊነት የተወሰዱ ቲዎሪዎችን በሙከራ መፈተሽ የለብንም፡ በሥነ ሥርዓቱ ወቅት ምንም ዓይነት ሎጂካዊ ስህተቶች ካልተደረጉ እኛ የተቀበልናቸው አክሲሞች እውነት እስከሆኑ ድረስ እውነት ናቸው። ነገር ግን ከዚህ የአክሲየም ሥርዓት ብዙ መግለጫዎችን ማግኘት ይቻላል። እና መረጋገጥ ያለባቸው የእነዚያ መግለጫዎች ምርጫ እንደገና በመግቢያው ይጠቁማል። ይህ ነው ጠቃሚ ንድፈ ሃሳቦችን ከማይጠቅሙ እንዲለዩ የሚፈቅድልዎት፣ የትኛዎቹ ንድፈ ሐሳቦች እውነት ሊሆኑ እንደሚችሉ የሚጠቁም እና የማረጋገጫ መንገድን ለመዘርዘር የሚረዳ ነው። የማቲማቲካል ኢንዳክሽን ይዘት የመጠቀም ምሳሌን እናሳይ ኤምዘዴ ኤምኤቲማቲክ እናማነሳሳት እና በመጨረሻ አጠቃላይ መደምደሚያ እናደርጋለን. 4=2+2; 6=3+3; 8=5+3; 10=7+3; 12=7+5; 14=7+7; 16=11+5; 18=13+5; 20=13+7. እነዚህ ዘጠኝ እኩልነቶች እንደሚያሳዩት እያንዳንዳችን የምንፈልጋቸው ቁጥሮች በእርግጥ እንደ ሁለት ቀላል ቃላት ድምር ይወከላሉ። ስለዚህ ፣ የተሟላ ኢንዳክሽን በእያንዳንዱ የመጨረሻ ቁጥር ሊሆኑ በሚችሉ ጉዳዮች ላይ አጠቃላይ መግለጫውን በተናጠል ማረጋገጥን ያካትታል። አንዳንድ ጊዜ አጠቃላይ ውጤቱ ሁሉንም ሳይሆን በበቂ ሁኔታ ብዙ ቁጥር ያላቸው የተወሰኑ ጉዳዮችን (ያልተሟላ ኢንዴክሽን ተብሎ የሚጠራው) ከተገመተ በኋላ ሊተነብይ ይችላል። ባልተሟላ ኢንዳክሽን የተገኘው ውጤት ግን ሁሉም ልዩ ጉዳዮችን በሚሸፍነው ትክክለኛ የሒሳብ ምክንያት እስኪረጋገጥ ድረስ መላምት ብቻ ይቀራል። በሌላ አነጋገር፣ በሒሳብ ውስጥ ያልተሟላ ኢንዳክሽን እንደ ህጋዊ ጥብቅ ማረጋገጫ ዘዴ አይቆጠርም፣ ነገር ግን አዳዲስ እውነቶችን ለማግኘት ኃይለኛ ዘዴ ነው። ለምሳሌ ፣የመጀመሪያዎቹን n ተከታታይ ያልተለመዱ ቁጥሮች ድምር ማግኘት ትፈልጋለህ። ልዩ ጉዳዮችን እንመልከት፡- 1+3+5+7+9=25=5 2 እነዚህን ጥቂት ልዩ ጉዳዮች ከተመለከተ በኋላ የሚከተለው አጠቃላይ መደምደሚያ እራሱን ይጠቁማል- 1+3+5+…+(2n-1)=n 2 እነዚያ። የመጀመሪያዎቹ n ተከታታይ ያልተለመዱ ቁጥሮች ድምር n 2 ነው። እርግጥ ነው፣ የተደረገው ምልከታ እስካሁን ድረስ ለትክክለኛነቱ ማረጋገጫ ሆኖ ሊያገለግል አይችልም። የተሰጠው ቀመር. የተሟላ ማስተዋወቅ በሂሳብ ውስጥ የተገደበ አፕሊኬሽኖች ብቻ ነው ያለው። ብዙ አስደሳች የሂሳብ መግለጫዎች ማለቂያ የሌላቸው ልዩ ጉዳዮችን ይሸፍናሉ ፣ ግን ላልተወሰነ ቁጥር ጉዳዮችን ልንፈትናቸው አልቻልንም። ያልተሟላ ማስተዋወቅ ብዙውን ጊዜ ወደ የተሳሳቱ ውጤቶች ይመራል. በብዙ አጋጣሚዎች፣ ከእንደዚህ አይነት ችግር መውጪያው የሒሳብ ኢንዳክሽን ዘዴ ተብሎ የሚጠራውን ልዩ የማመዛዘን ዘዴ መጠቀም ነው። እንደሚከተለው ነው። ለማንኛውም የተፈጥሮ ቁጥር n የአንዳንድ መግለጫ ትክክለኛነት ማረጋገጥ ያስፈልግሃል እንበል (ለምሳሌ ፣የመጀመሪያዎቹ n ጎዶሎ ቁጥሮች ድምር ከ n 2 ጋር እኩል መሆኑን ማረጋገጥ አለብህ)። የዚህ መግለጫ ቀጥተኛ ማረጋገጫ ለእያንዳንዱ የ n እሴት የማይቻል ነው, ምክንያቱም የተፈጥሮ ቁጥሮች ስብስብ ማለቂያ የለውም. ይህንን መግለጫ ለማረጋገጥ መጀመሪያ ትክክለኛነቱን ለ n=1 ያረጋግጡ። ከዚያ ለማንኛውም የ k የተፈጥሮ እሴት፣ ለ n=k እየተገመገመ ያለው መግለጫ ትክክለኛነት n=k+1 መሆኑን ያሳያል። ከዚያም መግለጫው ለሁሉም እንደተረጋገጠ ይቆጠራል. በእርግጥ መግለጫው ለ n=1 እውነት ነው። ግን ከዚያ ለሚቀጥለው ቁጥር n=1+1=2 እውነት ነው። የ n=2 መግለጫ ትክክለኛነት ለ n=2+ መሆኑን ያሳያል 1=3. ይህ የሚያመለክተው የ n=4 ወዘተ መግለጫ ትክክለኛነት ነው። ግልጽ ነው, በመጨረሻ, ወደ ማንኛውም የተፈጥሮ ቁጥር n. ይህ ማለት መግለጫው ለማንኛውም n እውነት ነው. የተነገረውን በማጠቃለል, የሚከተለውን አጠቃላይ መርሆ እናቀርባለን. የሒሳብ ኢንዳክሽን መርህ. ሀሳብ ከሆነ (A)
n
), በተፈጥሮ ቁጥር ላይ በመመስረት
n
፣ እውነት ለ
n
= 1 እና እውነት ከመሆኑ እውነታ ለ
n
=
ክ
(የት
ክ
- ማንኛውም የተፈጥሮ ቁጥር), ለሚቀጥለው ቁጥር እውነት መሆኑን ይከተላል
n
=
ክ
+1፣ ከዚያ ግምት A(
n
) ለማንኛውም የተፈጥሮ ቁጥር እውነት ነው።
n
.
በበርካታ አጋጣሚዎች, ለሁሉም የተፈጥሮ ቁጥሮች ሳይሆን ለ n> p ብቻ, የተወሰነ መግለጫ ትክክለኛነት ማረጋገጥ አስፈላጊ ሊሆን ይችላል, ይህም p ቋሚ የተፈጥሮ ቁጥር ነው. በዚህ ጉዳይ ላይ የሂሳብ ኢንዳክሽን መርህ እንደሚከተለው ተዘጋጅቷል. የሂሳብ ኢንዳክሽን ዘዴን በመጠቀም ማረጋገጫው እንደሚከተለው ይከናወናል. በመጀመሪያ፣ መረጋገጥ ያለበት መግለጫ በ n=1፣ ማለትም. የA(1) አባባል እውነት ተረጋግጧል። ይህ የማረጋገጫው ክፍል የኢንደክሽን መሰረት ይባላል. ከዚያም የማስረጃው ክፍል የኢንደክሽን ደረጃ ይባላል። በዚህ ክፍል ውስጥ ለ n = k (ኢንዳክሽን ግምት) መግለጫ ትክክለኛነት በማሰብ ለ n = k+1 መግለጫ ትክክለኛነት ያረጋግጣሉ, ማለትም. A(k) ÞA(k+1) መሆኑን ያረጋግጡ። በማጠቃለያ ችግሮች ውስጥ የሂሳብ ማነሳሳት ዘዴን ተግባራዊ ማድረግ
በማጠቃለያ ችግሮች ውስጥ የሂሳብ ማነሳሳት ዘዴን ተግባራዊ ማድረግ ይህንን ለማድረግ በመጀመሪያ የመግለጫ ቁጥር 1 እውነትን ያረጋግጡ - induction መሠረት, ከዚያም ከቁጥር ጋር ያለው መግለጫ እውነት ከሆነ ተረጋግጧል n, ከዚያም የሚከተለው ከቁጥር ጋር ያለው መግለጫ እውነት ነው n + 1 - የማነሳሳት ደረጃ, ወይም የማነሳሳት ሽግግር. በማነሳሳት ያለው ማረጋገጫ በተጠራው መልክ በግልጽ ሊቀርብ ይችላል የዶሚኖ መርህ. እያንዳንዱ የዶሚኖ ንጣፍ በሚወድቅበት ጊዜ የተከተለውን የዶሚኖ ድንጋይ እንዲገለበጥ ማንኛውም ቁጥር ያላቸው የዶሚኖ ንጣፎች በተከታታይ ይቀመጡ (ይህ የኢንደክቲቭ ሽግግር ነው)። ከዚያም የመጀመሪያውን አጥንት ከገፋን (ይህ የኢንደክሽን መሰረት ነው), ከዚያም በረድፍ ውስጥ ያሉት ሁሉም አጥንቶች ይወድቃሉ. ለዚህ የማረጋገጫ ዘዴ ምክንያታዊ መሠረት ተብሎ የሚጠራው ነው የማነሳሳት axiom, የተፈጥሮ ቁጥሮችን የሚገልጽ አምስተኛው የፔኖ አክሲየም። የመግቢያ ዘዴ ትክክለኛነት በየትኛውም የተፈጥሮ ቁጥሮች ንዑስ ክፍል ውስጥ አነስተኛ ንጥረ ነገር አለ ከሚለው እውነታ ጋር እኩል ነው። የሙሉ የሂሳብ ኢንዳክሽን መርህ ተብሎ የሚጠራው ልዩነትም አለ። የእሱ ጥብቅ አጻጻፍ ይኸውና፡- የተሟላ የሒሳብ ኢንዳክሽን መርህ በPeano's axioms ውስጥ ካለው ኢንዳክሽን axiom ጋር እኩል ነው። ተግባርያንን ለማረጋገጥ, ምንም አይነት ተፈጥሯዊ nእና እውነተኛ ቅ≠ 1, እኩልነት ይይዛል ማረጋገጫ።ማስተዋወቅ በርቷል። n. መሰረት, n = 1: ሽግግር፦ እንደዚያ እናስመስለው ጥ.ኢ.ዲ. አስተያየት፡-የመግለጫው ትክክለኛነት ፒ nበዚህ ማረጋገጫ ውስጥ - ከእኩልነት እውነት ጋር ተመሳሳይ ነው ዊኪሚዲያ ፋውንዴሽን። 2010. በሂሳብ ውስጥ የሒሳብ ኢንዳክሽን ከማስረጃ ዘዴዎች አንዱ ነው። ለሁሉም የተፈጥሮ ቁጥሮች የአንድ የተወሰነ መግለጫ እውነትነት ለማረጋገጥ ይጠቅማል። ይህንን ለማድረግ በቁጥር 1 ላይ ያለው መግለጫ እውነትነት በመጀመሪያ ኢንዳክሽን ላይ ተመርኩዞ ይጣራል, ከዚያም ... ዊኪፔዲያ ንድፈ ሀሳቡን የመገንባቱ ዘዴ በአንዳንድ ድንጋጌዎቹ ላይ የተመሰረተ - axioms ወይም postulates - ሌሎች የንድፈ ሃሳቦች (ቲዎሬሞች) ድንጋጌዎች በምክንያታዊነት የሚወሰዱበት, ማስረጃዎች m i ይባላሉ. በክራይሚያ መሰረት ደንቦች ...... የፍልስፍና ኢንሳይክሎፔዲያ ኢንዳክሽን (lat. inductio መመሪያ) ከተወሰነ ሁኔታ ወደ አጠቃላይ ሁኔታ በመሸጋገር ላይ የተመሰረተ የሎጂክ አመክንዮ ሂደት ነው. ኢንዳክቲቭ ኢንቬንሽን የሚያገናኘው የተወሰኑ ግቢዎችን ከመደምደሚያው ጋር የሚያገናኘው በሎጂክ ህግ ሳይሆን በአንዳንድ ... ... ውክፔዲያ ነው። የጄኔቲክ ዘዴ- በጥናት ላይ ያለው የርዕሰ-ጉዳዩን ይዘት እና ምንነት የሚገልጽበት መንገድ በኮንቬንሽን ፣ ሃሳባዊነት ወይም አመክንዮአዊ መደምደሚያ ሳይሆን አመጣጡን በማጥናት (ለመፈጠሩ ምክንያት የሆኑትን ምክንያቶች በማጥናት ፣ የምስረታ ዘዴን መሠረት በማድረግ)። ሰፊ....... የሳይንስ ፍልስፍና፡ የመሠረታዊ ቃላት መዝገበ ቃላት የሳይንሳዊ ንድፈ ሃሳብን የመገንባት ዘዴ በአንዳንድ የመጀመሪያ ድንጋጌዎች (ፍርዶች) የአክሲዮም (አክሲየም ይመልከቱ)፣ ወይም ፖስትዩሌትስ፣ ከዚህ የሳይንስ ሌሎች መግለጫዎች (ቲዎሬም (ቲዎሬም ይመልከቱ)) መገለጽ ያለበት። ....... ታላቁ የሶቪየት ኢንሳይክሎፔዲያ axiomatic ዘዴ- AXIOMATIC METHOD (ከግሪክ አክሲዮማ) ተቀባይነት ያለው አቀማመጥ - ሳይንሳዊ ንድፈ ሐሳብን የመገንባት ዘዴ, ከዚህ ቀደም ከነሱ የተገኙ አክሲሞች, ፖስተሮች እና መግለጫዎች ብቻ በማረጋገጫዎች ውስጥ ጥቅም ላይ ይውላሉ. ለመጀመሪያ ጊዜ በግልፅ አሳይቷል....... የኢፒስቲሞሎጂ እና የሳይንስ ፍልስፍና ኢንሳይክሎፔዲያ የዘፈቀደ ስህተቶችን ከያዙ የመለኪያ ውጤቶች ያልታወቁ መጠኖችን ለመገመት ከንድፈ ሃሳቡ የስህተት ዘዴዎች አንዱ። N.K.M. በተጨማሪም የተሰጠውን ተግባር ውክልና በሌሎች (ቀላል) ተግባራት ለመገመት የሚያገለግል ሲሆን ብዙውን ጊዜ ወደ... የሂሳብ ኢንሳይክሎፔዲያ የሒሳብ ኢንዳክሽን የሒሳብ ማረጋገጫ ዘዴዎች አንዱ ነው, ለሁሉም የተፈጥሮ ቁጥሮች የተወሰነ መግለጫ እውነት ለማረጋገጥ ጥቅም ላይ ይውላል. ይህንን ለማድረግ በመጀመሪያ ... Wikipedia ን ይመልከቱ ይህ ቃል ሌሎች ትርጉሞች አሉት፣ መግቢያን ተመልከት። ኢንዳክሽን (lat. inductio መመሪያ) ከተወሰነ ሁኔታ ወደ አጠቃላይ ሁኔታ በመሸጋገር ላይ የተመሰረተ የሎጂክ አመክንዮ ሂደት ነው. ኢንዳክቲቭ ኢንቬንሽን የተወሰኑ ግቢዎችን ያገናኛል... ዊኪፔዲያምሳሌዎች
,
ተመልከት
ልዩነቶች እና አጠቃላይ
ስነ-ጽሁፍ
በሌሎች መዝገበ-ቃላቶች ውስጥ “የሂሳብ ማስተዋወቅ ዘዴ” ምን እንደሆነ ይመልከቱ፡-