የብዝሃነት ማረጋገጫ በሂሳብ ማስተዋወቅ። የማነሳሳት ምሳሌዎች

የማቲማቲካል ኢንዳክሽን ዘዴን በመጠቀም, ለማንኛውም ተፈጥሯዊ መሆኑን ያረጋግጡ nየሚከተሉት እኩልነቶች ልክ ናቸው
ሀ) ;
ለ) .

መፍትሄ።

ሀ) መቼ n= 1 እኩልነቱ እውነት ነው። የእኩልነት ትክክለኛነትን በ n፣ መቼም ቢሆን ትክክለኛነቱን እናሳይ n+ 1. በእርግጥም፣

ጥ.ኢ.ዲ.

ለ) መቼ n= 1 የእኩልነት ትክክለኛነት ግልጽ ነው። ከትክክለኛነቱ ግምት በ nመሆን አለበት።

እኩልነት 1 + 2 + ... + የተሰጠው n = n(n+ 1)/2፣ እናገኛለን

1 3 + 2 3 + ... + n 3 + (n + 1) 3 = (1 + 2 + ... + n + (n + 1)) 2 ,

ማለትም መግለጫው መቼም እውነት ነው። n + 1.

ምሳሌ 1.የሚከተሉትን እኩልነቶች ያረጋግጡ

የት nስለ ኤን.

መፍትሄ።ሀ) መቼ n= 1 እኩልነት 1=1 ቅጽ ይወስዳል፣ ስለዚህ ፒ(1) እውነት ነው። ይህ እኩልነት እውነት ነው, ማለትም, ይይዛል ብለን እናስብ

. ያንን ማረጋገጥ (ማረጋገጥ) ያስፈልጋልፒ(n+ 1) ማለትም እውነት ነው። ጀምሮ (የኢንደክሽን መላምት በመጠቀም)ያንን አግኝተናል ፣ ፒ(n+ 1) እውነተኛ መግለጫ ነው።

ስለዚህ, በሂሳብ ኢንዳክሽን ዘዴ መሰረት, የመጀመሪያው እኩልነት ለማንኛውም ተፈጥሯዊ ነው n.

ማስታወሻ 2.ይህ ምሳሌ በተለየ መንገድ ሊፈታ ይችል ነበር። በእርግጥ ድምሩ 1 + 2 + 3 + ... + ነው። nየመጀመሪያው ድምር ነው። nከመጀመሪያው ቃል ጋር የሂሳብ እድገት ውሎች ሀ 1 = 1 እና ልዩነት መ= 1. በታዋቂው ቀመር መሰረት , እናገኛለን

ለ) መቼ n= 1 እኩልነት ቅጹን ይወስዳል፡ 2 1 - 1 = 1 2 or 1=1, that is ፒ(1) እውነት ነው። እኩልነቱን እናስብ

1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n 2 እና መከሰቱን ያረጋግጡፒ(n + 1): 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) + (2(n + 1) - 1) = (n+ 1) 2 ወይም 1 + 3 + 5 + ... + (2 n - 1) + (2n + 1) = (n + 1) 2 .

የኢንደክሽን መላምትን በመጠቀም, እናገኛለን

1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) + (2n + 1) = n 2 + (2n + 1) = (n + 1) 2 .

ስለዚህም ፒ(n+ 1) እውነት ነው, እና ስለዚህ, አስፈላጊው እኩልነት ተረጋግጧል.

ማስታወሻ 3.ይህ ምሳሌ ሊፈታ ይችላል (ከቀዳሚው ጋር ተመሳሳይ) የሂሳብ ማስተዋወቅ ዘዴን ሳይጠቀም።

ሐ) መቼ n= 1 እኩልነቱ እውነት ነው፡ 1=1 እኩልነቱ እውነት ነው ብለን እናስብ

እና ያንን አሳይ እውነት ነው።ፒ(n) እውነትን ያመለክታልፒ(n+ 1) በእውነት፣እና ከ 2 ጀምሮ n 2 + 7 n + 6 = (2 n + 3)(n+ 2) እናገኛለን እና, ስለዚህ, የመጀመሪያው እኩልነት ለማንኛውም ተፈጥሯዊ ነውn.

መ) መቼ n= 1 እኩልነቱ እውነት ነው፡ 1=1 ይከናወናል ብለን እናስብ

እና ያንን እናረጋግጣለን

በእውነት፣

ሠ) ማጽደቅ ፒ(1) እውነት፡ 2=2 እኩልነቱን እናስብ

እውነት ነው, እና እኩልነትን እንደሚያመለክት እናረጋግጣለንበእውነት፣

ስለዚህ, የመጀመሪያው እኩልነት ለማንኛውም ተፈጥሯዊ ነው n.

ረ) ፒ(1) እውነት፡ 1/3 = 1/3. እኩልነት ይኑር ፒ(n):

. የመጨረሻው እኩልነት የሚከተሉትን እንደሚያመለክት እናሳይ።

በእርግጥ, ያንን ግምት ውስጥ በማስገባት ፒ(n) ይይዛል፣ እናገኛለን

ስለዚህ, እኩልነት ይረጋገጣል.

ሰ) መቼ n= 1 አለን። ሀ + ለ = ለ + ሀእና ስለዚህ እኩልነት ፍትሃዊ ነው.

የኒውተን ሁለትዮሽ ፎርሙላ ትክክለኛ ይሁን n = ክ, ያውና,

ከዚያም እኩልነትን በመጠቀምእናገኛለን

ምሳሌ 2.አለመመጣጠን ያረጋግጡ

ሀ) የቤርኑሊ አለመመጣጠን፡ (1+ሀ) n ≥ 1 + nሀ፣ ሀ > -1፣ nስለ ኤን.

ለ) x 1 + x 2 + ... + x n ≥ n፣ ከሆነ x 1 x 2 · ... · x n= 1 እና x እኔ > 0, .

ሐ) የካውቺ እኩልነት ከአርቲሜቲክ እና ከጂኦሜትሪክ አማካኝ ጋር በተያያዘ የት x እኔ > 0, , n ≥ 2.

መ) ኃጢአት 2 n a + cos 2 nሀ ≤ 1፣ nስለ ኤን.

ሠ)

ረ) 2 n > n 3 , nስለ ኤን, n ≥ 10.

መፍትሄ።ሀ) መቼ n= 1 እውነተኛ እኩልነት እናገኛለን

1 + a ≥ 1 + ሀ እኩልነት አለ ብለን እናስብ

(1+ሀ) n ≥ 1 + nሀ

(1)

እና ከዚያ በኋላ እንደሚፈፀም እናሳያለን(1+ሀ) n + 1 ≥ 1 + (n+ 1) ሀ.

በእርግጥ፣ a > -1 + 1> 0ን ስለሚያመለክት፣ ከዚያም ሁለቱንም የእኩልነት ጎኖች (1) በ (a + 1) በማባዛት እናገኛለን።

(1+ሀ) n(1 + ሀ) ≥ (1 + nሀ) (1 + ሀ) ወይም (1 + ሀ) n + 1 ≥ 1 + (n+ 1) ሀ + n a 2 ጀምሮ nሀ 2 ≥ 0 ስለዚህ(1+ሀ) n + 1 ≥ 1 + (n+ 1) ሀ + nሀ 2 ≥ 1 + ( n+ 1) ሀ.

ስለዚህ, ከሆነ ፒ(n) እውነት ነው እንግዲህ ፒ(n+ 1) እውነት ነው, ስለዚህ, በሂሳብ ኢንዳክሽን መርህ መሰረት, የበርኑሊ እኩልነት እውነት ነው.

ለ) መቼ n= 1 እናገኛለን x 1 = 1 እና ስለዚህ x 1 ≥ 1 ማለት ነው። ፒ(፩) ትክክለኛ መግለጫ ነው። እንደዚያ እናስመስለው ፒ(n) እውነት ነው፣ ማለትም፣ adica ከሆነ፣ x 1 ,x 2 ,...,x n - nምርቱ ከአንድ ጋር እኩል የሆነ አዎንታዊ ቁጥሮች ፣ x 1 x 2 ·... x n= 1, እና x 1 + x 2 + ... + x n ≥ n.

ይህ ዓረፍተ ነገር የሚከተለውን እውነት እንደሚጨምር እናሳይ፡ ከሆነ x 1 ,x 2 ,...,x n ,x n+1 - (n+ 1) እንደዚህ ያሉ አወንታዊ ቁጥሮች x 1 x 2 ·... x n · x n+1 = 1፣ እንግዲህ x 1 + x 2 + ... + x n + x n + 1 ≥n + 1.

የሚከተሉትን ሁለት ጉዳዮች ተመልከት።

1) x 1 = x 2 = ... = x n = x n+1 = 1. ከዚያም የእነዚህ ቁጥሮች ድምር () n+ 1), እና የሚፈለገው እኩልነት ረክቷል;

2) ቢያንስ አንድ ቁጥር ከአንድ የተለየ ነው, ለምሳሌ, ከአንድ ይበልጣል. ከዚያ, ጀምሮ x 1 x 2 · ... · x n · x n+ 1 = 1፣ ቢያንስ አንድ ተጨማሪ ቁጥር ከአንዱ የተለየ (በትክክል፣ ከአንድ ያነሰ) አለ። ፍቀድ x n+ 1 > 1 እና x n < 1. Рассмотрим nአዎንታዊ ቁጥሮች

x 1 ,x 2 ,...,x n-1 ,(x n · x n+1). የእነዚህ ቁጥሮች ምርት ከአንድ ጋር እኩል ነው, እና እንደ መላምት, x 1 + x 2 + ... + x n-1 + x n x n + 1 ≥ n. የመጨረሻው እኩልነት በሚከተለው መልኩ እንደገና ተጽፏል. x 1 + x 2 + ... + x n-1 + x n x n+1 + x n + x n+1 ≥ n + x n + x n+1 ወይም x 1 + x 2 + ... + x n-1 + x n + x n+1 ≥ n + x n + x n+1 - x n x n+1 .

ምክንያቱም

(1 - x n)(x n+1 - 1) > 0፣ እንግዲህ n + x n + x n+1 - x n x n+1 = n + 1 + x n+1 (1 - x n) - 1 + x n =
= n + 1 + x n+1 (1 - x n) - (1 - x n) = n + 1 + (1 - x n)(x n+1 - 1) ≥ n+ 1. ስለዚ፡ ንዕኡ ኽንረክብ ንኽእል ኢና። x 1 + x 2 + ... + x n + x n+1 ≥ n+1፣ ማለትም፣ ከሆነ ፒ(n) እውነት ነው እንግዲህፒ(n+ 1) ፍትሃዊ። አለመመጣጠን ተረጋግጧል።

ማስታወሻ 4.እኩል ምልክቱ የሚይዘው ከሆነ እና ከሆነ ብቻ ነው። x 1 = x 2 = ... = x n = 1.

ሐ) ፍቀድ x 1 ,x 2 ,...,x n- የዘፈቀደ አዎንታዊ ቁጥሮች። እስቲ የሚከተለውን አስብ nአዎንታዊ ቁጥሮች:

ምርታቸው ከአንድ ጋር እኩል ስለሆነ፡- ቀደም ሲል በተረጋገጠው አለመመጣጠን መሰረት ለ), ይከተላልየት

ማስታወሻ 5.እኩልነት የሚይዘው ከሆነ እና ከሆነ ብቻ ነው። x 1 = x 2 = ... = x n .

መ) ፒ(1) ትክክለኛ መግለጫ ነው፡ ኃጢአት 2 a + cos 2 a = 1. ያንን እናስብ ፒ(n) እውነተኛ መግለጫ ነው፡-

ኃጢአት 2 n a + cos 2 nሀ ≤ 1 እና የሚሆነውን አሳይፒ(n+ 1) በእውነት፣ኃጢአት 2 n+ 1) a + cos 2 ( n+ 1) ሀ = ኃጢአት 2 nኃጢአት 2 a + cos 2 nአንድ cos 2 አ< sin 2n a + cos 2 n a ≤ 1 (ኃጢአት 2 a ≤ 1 ከሆነ፣ ከዚያም cos 2 a < 1, и обратно: если cos 2 a ≤ 1፣ ከዚያ ኃጢአት 2 ሀ < 1). Таким образом, для любого nስለ ኤንኃጢአት 2 n a + cos 2 n ≤ 1 እና የእኩልነት ምልክቱ ሲሳካ ብቻ ነውn = 1.

ሠ) መቼ n= 1 መግለጫ እውነት ነው፡ 1< 3 / 2 .

ያንን እናስብ እና ያንን እናረጋግጣለን

ምክንያቱም
ግምት ውስጥ በማስገባት ፒ(n), እናገኛለን

ረ) አስተያየት 1 ን ከግምት ውስጥ በማስገባት እንፈትሽ ፒ(10): 2 10 > 10 3, 1024 > 1000፣ ስለዚህ፣ ለ n= 10 መግለጫው እውነት ነው። እናስብ 2 n > n 3 (n> 10) እና ያረጋግጡ ፒ(n+ 1) ማለትም 2 ነው። n+1 > (n + 1) 3 .

ከመቼ ጀምሮ n> 10 አለን ወይም ፣ ያንን ይከተላል

2n 3 > n 3 + 3n 2 + 3n+ 1 ወይም n 3 > 3n 2 + 3n + 1. ከእኩልነት ጋር በተያያዘ (2 n > n 3) 2 እናገኛለን n+1 = 2 n· 2 = 2 n + 2 n > n 3 + n 3 > n 3 + 3n 2 + 3n + 1 = (n + 1) 3 .

ስለዚህ, በሂሳብ ማነሳሳት ዘዴ መሰረት, ለማንኛውም ተፈጥሯዊ nስለ ኤን, n≥ 10 2 አለን። n > n 3 .

ምሳሌ 3.ያንን ለማንም አረጋግጡ nስለ ኤን

መፍትሄ።ሀ) ፒ(1) እውነተኛ መግለጫ ነው (0 በ 6 የተከፈለ)። ፍቀድ ፒ(n) ፍትሃዊ ነው፣ ማለትም n(2n 2 - 3n + 1) = n(n - 1)(2n- 1) በ 6 ይከፋፈላል. ከዚያ እንደሚከሰት እናሳይ ፒ(n+ 1) ማለትም ( n + 1)n(2n+ 1) በ 6. በእርግጥ, ጀምሮ

እና እንዴት n(n - 1)(2 n- 1) እና 6 n 2 በ 6 ይከፈላሉ, ከዚያም ድምራቸው ነውn(n + 1)(2 n+ 1) በ 6 ይከፈላል ።

ስለዚህም ፒ(n+ 1) ትክክለኛ መግለጫ ነው, እና ስለዚህ n(2n 2 - 3n+ 1) ለማንኛውም በ 6 ይከፈላል nስለ ኤን.

ለ) እንፈትሽ ፒ(1): 6 0 + 3 2 + 3 0 = 11 ስለዚህ ፒ(፩) ትክክለኛ መግለጫ ነው። 6 2 ከሆነ መረጋገጥ አለበት። n-2 + 3 n+1 + 3 n-1 በ 11 ተከፍሏል ፒ(n)) ከዚያም 62 n + 3 n+2 + 3 nእንዲሁም በ 11 ይከፈላል ፒ(n+ 1)) በእርግጥ, ጀምሮ

6 2n + 3 n+2 + 3 n = 6 2n-2+2 + 3 n+1+1 + 3 n-1+1 = 6 2 6 2 n-2 + 3 3 n+1 + 3 3 n-1 = 3· (6 2 n-2 + 3 n+1 + 3 n-1) + 33 6 2 n-2 እና እንደ 62 n-2 + 3 n+1 + 3 n-1 እና 33 6 2 n-2 በ 11 ይከፈላሉ, ከዚያም ድምራቸው 6 ነው 2n + 3 n+2 + 3 n በ 11 ይከፈላል. መግለጫው ተረጋግጧል. በጂኦሜትሪ ውስጥ ማስተዋወቅ

ምሳሌ 4.ትክክለኛውን ጎን አስላ 2 n- በራዲየስ ክበብ ውስጥ የተቀረጸ ሶስት ማዕዘን አር.

መጽሐፍ ቅዱሳዊ መግለጫ፡-ባዳኒን ኤ.ኤስ., ሲዞቫ ኤም.ዩ በተፈጥሮ ቁጥሮች መከፋፈል ላይ ችግሮችን ለመፍታት የሂሳብ ማነሳሳት ዘዴን ተግባራዊ ማድረግ // ወጣት ሳይንቲስት. 2015. ቁጥር 2. P. 84-86..02.2019).

በሂሳብ ኦሊምፒያድ የተፈጥሮ ቁጥሮች መከፋፈልን ለማረጋገጥ ብዙ ጊዜ በጣም አስቸጋሪ ችግሮች አሉ። የትምህርት ቤት ልጆች አንድ ችግር ያጋጥማቸዋል: እንደነዚህ ያሉትን ችግሮች ለመፍታት የሚያስችል ሁለንተናዊ የሂሳብ ዘዴ እንዴት ማግኘት ይቻላል?

መከፋፈልን በማረጋገጥ ላይ ያሉ አብዛኛዎቹ ችግሮች በሂሳብ ማስተዋወቅ ዘዴ ሊፈቱ እንደሚችሉ ተረጋግጧል ነገር ግን የት / ቤት የመማሪያ መጽሃፍቶች ለዚህ ዘዴ በጣም ትንሽ ትኩረት ይሰጣሉ ፣ ብዙውን ጊዜ አጭር የንድፈ ሀሳባዊ መግለጫ ይሰጣል እና በርካታ ችግሮች ይተነተናል።

በቁጥር ፅንሰ-ሀሳብ ውስጥ የሒሳብ ኢንዳክሽን ዘዴን እናገኛለን። በቁጥር ፅንሰ-ሀሳብ መባቻ ላይ፣ የሒሳብ ሊቃውንት በደመ ነፍስ ብዙ እውነታዎችን አግኝተዋል፡ L. Euler እና K. Gauss አንዳንድ ጊዜ የቁጥር ዘይቤን ከማየታቸው እና በእሱ ከማመናቸው በፊት በሺዎች የሚቆጠሩ ምሳሌዎችን ይመለከታሉ። ግን በተመሳሳይ ጊዜ "የመጨረሻ" ፈተናን ያለፈባቸው መላምቶች ምን ያህል አሳሳች እንደሆኑ ተረድተዋል. ላልተወሰነ ንዑስ ስብስብ ከተረጋገጠ መግለጫ ወደ ተመሳሳይ መግለጫ ለመሸጋገር፣ ማረጋገጫ ያስፈልጋል። ይህ ዘዴ የቀረበው ብሌዝ ፓስካል በማንኛውም ኢንቲጀር የመከፋፈል ምልክቶችን ለማግኘት አጠቃላይ ስልተ ቀመር ባገኘው ብሌዝ ፓስካል ነው (“በቁጥሮች መለያየት ተፈጥሮ” ላይ የሚደረግ ሕክምና)።

የማቲማቲካል ኢንዳክሽን ዘዴ የአንድን የተወሰነ መግለጫ እውነትነት ለሁሉም የተፈጥሮ ቁጥሮች ወይም ከተወሰነ ቁጥር n የሚጀምር መግለጫ እውነትነት ለማረጋገጥ ይጠቅማል።

የማቲማቲካል ኢንዳክሽን ዘዴን በመጠቀም የአንድን የተወሰነ መግለጫ እውነትነት ለማረጋገጥ ችግሮችን መፍታት አራት ደረጃዎችን ያቀፈ ነው (ምስል 1)

ሩዝ. 1. ችግሩን ለመፍታት እቅድ

1. የማነሳሳት መሰረት . መግለጫው ትርጉም ያለው ለትንሹ የተፈጥሮ ቁጥር የመግለጫውን ትክክለኛነት ያረጋግጣሉ።

2. ኢንዳክቲቭ መላምት . መግለጫው ለተወሰነ የ k እሴት እውነት ነው ብለን እንገምታለን።

3. የማነሳሳት ሽግግር . መግለጫው ለ k+1 እውነት መሆኑን እናረጋግጣለን።

4. ማጠቃለያ . እንዲህ ዓይነቱ ማረጋገጫ ከተጠናቀቀ, በሂሳብ ኢንዳክሽን መርህ ላይ በመመስረት, መግለጫው ለማንኛውም የተፈጥሮ ቁጥር n.

የተፈጥሮ ቁጥሮችን መከፋፈልን የሚያረጋግጡ ችግሮችን ለመፍታት የሂሳብ ማነሳሳት ዘዴን አተገባበርን እንመልከት.

ምሳሌ 1. ቁጥሩ 5 የ 19 ብዜት መሆኑን ያረጋግጡ፣ n የተፈጥሮ ቁጥር ነው።

ማረጋገጫ፡-

1) ይህ ቀመር ለ n = 1 ትክክል መሆኑን እናረጋግጥ፡ ቁጥሩ =19 የ19 ብዜት ነው።

2) ይህ ቀመር ለ n = k እውነት ይሁን፣ ማለትም ቁጥሩ የ19 ብዜት ነው።

እሱ የ 19 ብዜት ነው. በእርግጥ, የመጀመሪያው ቃል በ 19 በመገመት (2) ይከፈላል; ሁለተኛው ቃል ደግሞ በ19 ይከፈላል ምክንያቱም 19 ክፍል ይዟል።

ምሳሌ 2.የሶስት ተከታታይ የተፈጥሮ ቁጥሮች ኩብ ድምር በ9 እንደሚከፋፈል አረጋግጥ።

ማረጋገጫ፡-

መግለጫውን እናረጋግጥ፡- “ለማንኛውም የተፈጥሮ ቁጥር n፣ n 3 +(n+1) 3 +(n+2) 3 የሚለው አገላለጽ የ9 ብዜት ነው።

1) ይህ ፎርሙላ ለ n = 1፡ 1 3 +2 3 +3 3 =1+8+27=36 የ9 ብዜቶች ትክክል መሆኑን እናረጋግጥ።

2) ይህ ቀመር ለ n = k እውነት ይሁን፣ ማለትም k 3 +(k+1) 3 +(k+2) 3 የ9 ብዜት ነው።

3) ቀመሩ ለ n = k + 1 ማለትም (k+1) 3 +(k+2) 3 +(k+3) 3 የ9. (k+1) ብዜት መሆኑን እናረጋግጥ። 3 +( k+2) 3 +(k+3) 3 = (k+1) 3 +(k+2) 3 +(k +2) 3)+9 (k 2 +3k+ 3)።

የተገኘው አገላለጽ ሁለት ቃላትን ይዟል፣ እያንዳንዳቸው በ9 ይከፈላሉ፣ ስለዚህ ድምሩ በ9 ይከፈላል።

4) ሁለቱም የሂሳብ ኢንዳክሽን መርህ ሁኔታዎች ረክተዋል ፣ ስለሆነም ዓረፍተ ነገሩ ለሁሉም የ n እሴቶች እውነት ነው።

ምሳሌ 3.ለማንኛውም የተፈጥሮ ቁጥር n ቁጥር 3 2n+1 +2 n+2 በ 7 እንደሚከፋፈል አረጋግጥ።

ማረጋገጫ፡-

1) ይህ ቀመር ለ n = 1: 3 2*1+1 +2 1+2 = 3 3 +2 3 =35, 35 የ 7 ብዜት መሆኑን እናረጋግጥ።

2) ይህ ቀመር ለ n = k እውነት ይሁን ማለትም 3 2 k +1 +2 k +2 በ 7 ተከፍሏል።

3) ቀመሩ ለ n = k + 1, ማለትም እውነት መሆኑን እናረጋግጥ.

3 2(k +1)+1 +2 (k +1)+2 =3 2 k +1 ·3 2 +2 k +2 ·2 1 =3 2 k +1 ·9+2 k +2 ·2 =3 2 ኪ +1 ·9+2 ኪ +2 ·(9–7)=(3 2 ኪ +1 +2 ኪ +2) · 9–7·2 ኪ +2 .T. k. (3 2 k +1 +2 k +2) 9 በ 7 እና 7 2 k +2 በ 7 ይከፈላል ከዚያም ልዩነታቸው በ 7 ይከፈላል.

4) ሁለቱም የሂሳብ ኢንዳክሽን መርህ ሁኔታዎች ረክተዋል ፣ ስለሆነም ዓረፍተ ነገሩ ለሁሉም የ n እሴቶች እውነት ነው።

በተፈጥሮ ቁጥሮች የመከፋፈል ጽንሰ-ሀሳብ ውስጥ ያሉ ብዙ የማስረጃ ችግሮች የሂሳብ ኢንዳክሽን ዘዴን በመጠቀም በምቾት መፍታት ይቻላል ፣ አንድ ሰው በዚህ ዘዴ ችግሮችን መፍታት ሙሉ በሙሉ ስልተ ቀመር ነው ሊል ይችላል ፣ 4 መሰረታዊ እርምጃዎችን ማከናወን በቂ ነው። ግን ይህ ዘዴ ሁለንተናዊ ተብሎ ሊጠራ አይችልም ፣ ምክንያቱም ጉዳቶችም አሉ-በመጀመሪያ ፣ በተፈጥሮ ቁጥሮች ስብስብ ላይ ብቻ ሊረጋገጥ ይችላል ፣ ሁለተኛም ለአንድ ተለዋዋጭ ብቻ ሊረጋገጥ ይችላል።

ለሎጂካዊ አስተሳሰብ እና ለሂሳብ ባህል እድገት ይህ ዘዴ አስፈላጊ መሣሪያ ነው ፣ ምክንያቱም ታላቁ የሩሲያ የሂሳብ ሊቅ ኤ.ኤን. ኮልሞጎሮቭ “የሂሳብ ኢንዳክሽን መርህን መረዳት እና በትክክል መተግበር መቻል የሎጂካዊ ብስለት ጥሩ መስፈርት ነው ፣ እሱም ፍጹም ነው። ለሂሳብ ሊቅ አስፈላጊ ነው።

ስነ ጽሑፍ፡

1. ቪሌንኪን ኤን.ያ ኢንዳክሽን. ጥምርነት። - ኤም.: ትምህርት, 1976. - 48 p.

2. Genkin L. በሂሳብ ማነሳሳት ላይ. - ኤም., 1962. - 36 p.

3. ሶሎሚንስኪ I. S. የሂሳብ ማነሳሳት ዘዴ. - ኤም.: ናውካ, 1974. - 63 p.

4. Sharygin I.F. አማራጭ ትምህርት በሂሳብ፡ ችግር መፍታት፡ የመማሪያ መጽሀፍ ለ10ኛ ክፍል። የትምህርት ቤት አማካኝ - ኤም.: ትምህርት, 1989. - 252 p.

5. Shen A. Mathematical induction. - ኤም.: MTsNMO, 2007. - 32 p.

በተፈጥሮ ቁጥር n ላይ በመመስረት አንድ ዓረፍተ ነገር ለ n=1 እውነት ከሆነ እና ለ n=k እውነት ከሆነ (k ማንኛውም የተፈጥሮ ቁጥር ከሆነ) እሱ ደግሞ እውነት ነው ። የሚቀጥለው ቁጥር n=k +1፣ ከዚያ ግምት A(n) ለማንኛውም የተፈጥሮ ቁጥር እውነት ነው።

በበርካታ አጋጣሚዎች, ለሁሉም የተፈጥሮ ቁጥሮች ሳይሆን ለ n> p ብቻ, የተወሰነ መግለጫ ትክክለኛነት ማረጋገጥ አስፈላጊ ሊሆን ይችላል, ይህም p ቋሚ የተፈጥሮ ቁጥር ነው. በዚህ ጉዳይ ላይ የሂሳብ ኢንዳክሽን መርህ እንደሚከተለው ተዘጋጅቷል.

ፕሮፖዚሽኑ A(n) ለ n=p እውነት ከሆነ እና A(k) ≈ A(k+1) ለማንኛውም k>p ከሆነ ሀ(n) ለማንኛውም n>p እውነት ነው።

የሂሳብ ኢንዳክሽን ዘዴን በመጠቀም ማረጋገጫው እንደሚከተለው ይከናወናል. በመጀመሪያ፣ መረጋገጥ ያለበት መግለጫ በ n=1፣ ማለትም. የA(1) አባባል እውነት ተረጋግጧል። ይህ የማረጋገጫው ክፍል የኢንደክሽን መሰረት ይባላል. ከዚያም የማስረጃው ክፍል የኢንደክሽን ደረጃ ይባላል። በዚህ ክፍል ውስጥ ለ n = k (ኢንዳክሽን ግምት) መግለጫ ትክክለኛነት በማሰብ ለ n = k+1 መግለጫ ትክክለኛነት ያረጋግጣሉ, ማለትም. A(k) 1 A(k+1) መሆኑን ያረጋግጡ

ያንን 1+3+5+…+(2n-1)=n 2 አረጋግጥ።

• 1) n=1=1 2 አለን። ስለዚህ, መግለጫው ለ n=1 እውነት ነው, ማለትም. ሀ(1) እውነት
• 2) A(k) ≥ A(k+1) እናረጋግጥ

k ማንኛውም የተፈጥሮ ቁጥር ይሁን እና መግለጫው ለ n=k እውነት ይሁን፣ i.e.

1+3+5+…+(2k-1)=k 2

ከዚያም መግለጫው ለቀጣዩ የተፈጥሮ ቁጥር n=k+1 እውነት መሆኑን እናረጋግጥ፣ i.e. ምንድን

• 1+3+5+…+(2k+1)=(k+1) 2 በእርግጥ፣
• 1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=k 2 +2k+1=(k+1) 2

ስለዚህ፣ A(k) 1 A(k+1)። በሂሳብ ኢንዳክሽን መርህ ላይ በመመስረት፣ ሀ(n) ግምት ለማንኛውም n O N እውነት ነው ብለን መደምደም እንችላለን።

ያንን አረጋግጡ

1+x+x 2 +x 3 +…+x n =(x n+1 -1)/(x-1)፣ በ x ቁጥር 1

• 1) ለ n = 1 እናገኛለን
• 1+x=(x 2 -1)/(x-1)=(x-1)(x+1)/(x-1)=x+1

ስለዚህ, ለ n = 1 ቀመሩ ትክክል ነው; ሀ(1) እውነት

• 2) k ማንኛውም የተፈጥሮ ቁጥር ይሁን እና ቀመሩ ለ n=k እውነት ይሁን።
• 1+x+x 2 +x 3 +…+x k =(x k+1 -1)/(x-1)

ያንን እኩልነት እናረጋግጥ

• 1+x+x 2 +x 3 +…+x k +x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1) በእርግጥ
• 1+x+x 2 +x 3 +…+x k +x k+1 =(1+x+x 2 +x 3 +…+x k)+x k+1 =

=(x k+1 -1)/(x-1)+x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1)

ስለዚህ፣ A(k) 1 A(k+1)። በሂሳብ ኢንዳክሽን መርህ ላይ በመመስረት, ቀመሩን ለማንኛውም የተፈጥሮ ቁጥር n

የኮንቬክስ n-ጎን ሰያፍ ብዛት n(n-3)/2 መሆኑን አረጋግጥ

መፍትሄ፡ 1) ለ n=3 መግለጫው እውነት ነው፣ ምክንያቱም በሶስት ማዕዘን ውስጥ

A 3 = 3 (3-3) / 2 = 0 ዲያግኖች; ሀ 2 ሀ(3) እውነት

2) በእያንዳንዱ ኮንቬክስ ኪ-ጎን ውስጥ A 1 x A k =k (k-3)/2 ዲያግኖች አሉ እንበል። A k በኮንቬክስ A k+1 (k+1) -ጎን የዲያግራኖች ብዛት A k+1 =(k+1)(k-2)/2 መሆኑን እናረጋግጥ።

A 1 A 2 A 3 …A k A k+1 convex (k+1)-gon ይሁን። በውስጡም ዲያግናል A 1 A k እንሳል። የዚህን (k+1) -ጎን አጠቃላይ የዲያግራኖች ብዛት ለማስላት በ k-gon A 1 A 2 ...A k ውስጥ ያሉትን የዲያግኖሎች ብዛት መቁጠር ያስፈልግዎታል ፣ በተገኘው ቁጥር k-2 ይጨምሩ ፣ ማለትም ። የ (k+1) -ጎን ከ vertex A k+1 የሚመነጩ የዲያግራኖች ብዛት፣ እና በተጨማሪ፣ ሰያፍ A 1 A k ግምት ውስጥ መግባት አለበት።

ስለዚህም

G k+1 =G k +(k-2)+1=k(k-3)/2+k-1=(k+1)(k-2)/2

ስለዚህ፣ A(k) 1 A(k+1)። በሂሳብ ኢንዳክሽን መርህ ምክንያት መግለጫው ለማንኛውም ኮንቬክስ n-ጎን እውነት ነው።

ለማንኛውም n የሚከተለው መግለጫ እውነት መሆኑን ያረጋግጡ፡-

1 2 +2 2 +3 2 +…+n 2 =n(n+1)(2n+1)/6

መፍትሄ፡- 1) n=1 እንግዲያውስ

X 1 = 1 2 = 1 (1+1) (2+1)/6=1

2) n=k እንበል

X k = k 2 = k (k+1) (2k+1)/6

3) ይህን መግለጫ ለ n=k+1 አስቡበት

X k+1 =(k+1)(k+2)(2k+3)/6

X k+1 =1 2 +2 2 +3 2 +…+k 2 +(k+1) 2=k(k+1)(2k+1)/6+ +(k+1) 2

=(k(k+1)(2k+1)+6(k+1) 2)/6=(k+1)(k(2k+1)+

6(k+1))/6=(k+1)(2k 2 +7k+6)/6=(k+1)(2(k+3/2)(k+)

2))/6=(k+1)(k+2)(2k+3)/6

እኩልነት ለ n=k+1 እውነት መሆኑን አረጋግጠናል፣ስለዚህ፣በሂሣብ ኢንዳክሽን ዘዴ አማካኝነት መግለጫው ለማንኛውም የተፈጥሮ ቁጥር n እውነት ነው።

ለማንኛውም የተፈጥሮ ቁጥር n እኩልነት እውነት መሆኑን አረጋግጥ፡

1 3 +2 3 +3 3 +…+n 3 = n 2 (n+1) 2/4

መፍትሄ፡ 1) እን =1

ከዚያም X 1 = 1 3 = 1 2 (1+1) 2/4=1. ለ n=1 መግለጫው እውነት መሆኑን እናያለን።

2) እኩልነት ለ n=k እውነት ነው እንበል

X k = k 2 (k+1) 2/4

3) የዚህን አባባል እውነት ለ n=k+1 እናረጋግጥ፣ ማለትም.

X k+1 = (k+1) 2 (k+2) 2/4. X k+1 =1 3 +2 3 +…+k 3 +(k+1) 3=k 2 (k+1) 2/4+(k+1) 3 =(k 2 (k++1) 2 +4(k+1) 3)/4=(k+1) 2 (k 2 +4k+4)/4=(k+1) 2 (k+2) 2/4

ከላይ ካለው ማስረጃ መረዳት እንደሚቻለው አረፍተ ነገሩ እውነት ነው ለ n=k+1 ስለዚህ እኩልነት ለማንኛውም የተፈጥሮ ቁጥር n እውነት ነው

ያንን አረጋግጡ

((2 3 +1)/(2 3 -1)) ቊ ((3 3 +1)/(3 3 -1)) ቃ ... ቀ ((n 3 +1)/(n 3-1) = 3n(n+1)/2(n 2 +n+1)፣ የት n>2

መፍትሄ፡ 1) ለ n=2 መታወቂያው የሚከተለውን ይመስላል።

• (2 3 +1)/(2 3 -1)=(3 2 ኽ 3)/2(2 2 +2+1)፣ ማለትም እውነት ነው
• 2) አገላለጹ ለ n=k እውነት እንደሆነ አስብ
• (2 3 +1)/(2 3 -1) ቊ … (k 3 +1)/(k 3 -1)=3k(k+1)/2(k 2 +k+1)
• 3) የ n=k+1 አገላለጽ ትክክለኛነት እናረጋግጥ
• (((2 3 +1)/ (2 3 -1)) ቊ … ቀ ((k 3 +1)/(k 3 -1)))

1)/(((k+1) 3 -1))=(3k(k+1)/2(k 2 +k+1)) ق ((k+2)((k+)

1) 2 -(k+1)+1)/k((k+1) 2 +(k+1)+1))=3(k+1)(k+2)/2 ґ

((k+1) 2+(k+1)+1)

ለ n=k+1 እኩልነት እውነት መሆኑን አረጋግጠናል፣ስለዚህ፣በሂሣብ ኢንዳክሽን ዘዴ አማካኝነት መግለጫው ለማንኛውም n>2 እውነት ነው።

ያንን አረጋግጡ

1 3 -2 3 +3 3 -4 3 +…+(2n-1) 3 -(2n) 3 =-n 2 (4n+3) ለማንኛውም የተፈጥሮ ቁጥር n

መፍትሄ፡- 1) n=1 እንግዲያውስ

• 1 3 -2 3 =-1 3 (4+3); -7=-7
• 2) n=k እንበል እና ከዚያ
• 1 3 -2 3 +3 3 -4 3 +…+(2k-1) 3 -(2ኪ) 3 =-k 2 (4k+3)
• 3) የዚህን አባባል እውነት ለ n=k+1 እናረጋግጥ
• (1 3 -2 3 +…+(2k-1) 3 -(2ኪ) 3)+(2ኪ+1) 3 -(2ክ+2) 3 =-k 2 (4k+3)+

+(2k+1) 3 (2k+2) 3 =-(k+1) 3 (4(k+1)+3)

የ n=k+1 እኩልነት ትክክለኛነትም ተረጋግጧል፣ስለዚህ መግለጫው ለማንኛውም የተፈጥሮ ቁጥር እውነት ነው።

ማንነቱ ትክክል መሆኑን ያረጋግጡ

(1 2/1 ቀ 3)+(2 2/3 ቀ 5)+…+(n 2 /(2n-1) ቀ (2n+1))=n(n+1)/2(2n+1) ለማንኛውም የተፈጥሮ n

• 1) ለ n=1 ማንነቱ እውነት ነው 1 2/1 ґ 3=1(1+1)/2(2+1)
• 2) ለ n = k እንበል
• (1 2/1 ቀ 3)+…+(k 2 /(2k-1) kh (2k+1))=k(k+1)/2(2k+1)
• 3) ማንነቱ ለ n=k+1 እውነት መሆኑን እናረጋግጥ
• (1 2/1 ቀ 3)+…+(k 2 /(2k-1)(2k+1))+(k+1) 2 /(2k+1)(2k+3)=(k+ 1) )/2(2ኪ+1))+(((k+1) 2/(2k+1)(2k+3))=((k+1)/(2k+1)) ቀ ((k/2) +(((k+1)/(2k+3)))=(k+1)(k+2) ق (2k+1)/2(2k+1)(2k+3)=(k+1) (k+2)/2(2(k+1)+1)

ከላይ ካለው ማስረጃ መረዳት እንደሚቻለው መግለጫው ለማንኛውም የተፈጥሮ ቁጥር n.

(11 n+2 +12 2n+1) በ133 መከፋፈሉን አረጋግጥ

መፍትሄ፡- 1) n=1 እንግዲያውስ

11 3 +12 3 =(11+12)(11 2 -132+12 2)=23 ґ 133

ነገር ግን (23 ቀ 133) በ 133 ይከፈላል ያለ ቀሪ , ይህም ማለት ለ n=1 መግለጫው እውነት ነው; ሀ(1) እውነት ነው።

• 2) (11 k+2 +12 2k+1) ያለ ቀሪ 133 ይከፈላል እንበል
• 3) በዚህ ጉዳይ ላይ (11 k+3 +12 2k+3) ያለ ቀሪው በ133 መከፋፈሉን እናረጋግጥ። በእርግጥም
• 11 k+3 +12 2l+3 =11 11 k+2 +12 2 ቐ 12 2k+1 =11 ቀ 11 ኪ+2 +

+(11+133) 12 2k+1 =11(11 k+2 +12 2k+1)+133 ቐ 12 2k+1

የተገኘው ድምር ያለቀሪው 133 ይከፋፈላል ምክንያቱም የመጀመርያው ጊዜ በ133 የሚካፈለው ሳይቀረው በግምት ሲሆን በሁለተኛው ደግሞ ከምክንያቶቹ አንዱ 133. ስለዚህ ሀ(k) 1 ሀ(k+1) ነው። በሂሳብ ኢንዳክሽን ዘዴ, መግለጫው ተረጋግጧል

ለማንኛውም n 7 n -1 ያለ ቀሪው በ 6 የሚከፋፈል መሆኑን ያረጋግጡ

• 1) n=1 እንሁን፣ ከዚያ X 1 =7 1 -1=6 በ6 ይከፈላል ያለ ቀሪ። ይህ ማለት ለ n=1 መግለጫው እውነት ነው ማለት ነው።
• 2) n=k 7 k -1 ያለቀሪ በ6 ሲካፈል እንበል
• 3) መግለጫው ለ n=k+1 እውነት መሆኑን እናረጋግጥ

X k+1 =7 k+1 -1=7 k 7 k -7+6=7(7 k -1)+6

የመጀመሪያው ቃል በ 6 ይከፈላል, ምክንያቱም 7 k -1 በ 6 በግምት ይከፈላል, እና ሁለተኛው ቃል 6 ነው. ይህ ማለት 7 n -1 ለማንኛውም የተፈጥሮ ቁጥር n የ 6 ብዜት ነው. በሂሳብ ኢንዳክሽን ዘዴ, መግለጫው ተረጋግጧል.

የዘፈቀደ የተፈጥሮ ቁጥር n 3 3n-1 +2 4n-3 በ11 መከፋፈሉን ያረጋግጡ።

1) n=1 እንግዲያውስ

X 1 =3 3-1 +2 4-3 =3 2 +2 1 =11 በ11 ይከፈላል ያለ ቀሪ።

ይህ ማለት ለ n=1 መግለጫው እውነት ነው ማለት ነው።

• 2) n=k X k =3 3k-1 +2 4k-3 በ11 ሲካፈል ያለ ቀሪ
• 3) መግለጫው ለ n=k+1 እውነት መሆኑን እናረጋግጥ

X k+1 =3 3(k+1)-1 +2 4(k+1)-3 =3 3k+2 +2 4k+1 =3 3 3 3 3k-1 +2 4 kh 2 4k-3 =

27 ቅ 3 3k-1 +16 2 4k-3 = (16+11) 3 3k-1 +16 q 2 4k-3 =16 k 3 3k-1 +

11 ቀ 3 3k-1 +16 ቅ 2 4k-3 =16(3 3k-1 +2 4k-3)+11 ቀ 3 3k-1

የመጀመሪያው ቃል በ11 ይካፈላል ሳይቀረው 3 3k-1 +2 4k-3 በ 11 በመገመት ሁለተኛው ደግሞ በ11 ይከፈላል ምክንያቱም ከምክንያቶቹ አንዱ ቁጥር 11 ነው። ይህ ማለት ድምር ማለት ነው። ለማንኛውም የተፈጥሮ ቁጥር n ያለ ቀሪ በ 11 ይከፈላል. በሂሳብ ኢንዳክሽን ዘዴ, መግለጫው ተረጋግጧል.

11 2n -1 የዘፈቀደ የተፈጥሮ ቁጥር n ያለ ቀሪው በ 6 እንደሚካፈል ያረጋግጡ

• 1) n=1 እንግዲያውስ 11 2 -1=120 ያለ ቀሪው በ6 ይከፈላል። ይህ ማለት ለ n=1 መግለጫው እውነት ነው ማለት ነው።
• 2) n=k 1 2k -1 ያለቀሪ በ6 ሲካፈል እንበል
• 11 2(k+1) -1=121 ቅ 11 2k -1=120 11 2k +(11 2k -1)

ሁለቱም ቃላቶች ሳይቀሩ በ6 ይከፈላሉ፡ የመጀመሪያው የ 6, 120 ብዜት ይይዛል, ሁለተኛው ደግሞ በ 6 ይከፈላል ያለ ቀሪ ግምት. ይህ ማለት ድምር ያለ ቀሪው በ 6 ይከፈላል ማለት ነው. በሂሳብ ኢንዳክሽን ዘዴ, መግለጫው ተረጋግጧል.

3 3n+3 -26n-27 የዘፈቀደ የተፈጥሮ ቁጥር n ያለ ቀሪው በ26 2 (676) መከፋፈሉን ያረጋግጡ።

በመጀመሪያ 3 3n+3 -1 በ 26 መከፋፈሉን እናረጋግጥ

• 1. መቼ n=0
• 3 3 -1=26 በ26 ተከፍሏል።
• 2. ለ n = k እንበል
• 3 3k+3 -1 በ26 ይከፈላል
• 3. መግለጫው ለ n=k+1 እውነት መሆኑን እናረጋግጥ
• 3 3k+6 -1=27 ቅ 3 3k+3 -1=26 ቀ 3 3ኤል+3 +(3 3k+3 -1) -በ26 ተከፍሏል

አሁን በችግር መግለጫው ውስጥ የተቀረፀውን መግለጫ እናረጋግጥ

• 1) በግልጽ ለ n=1 መግለጫው እውነት ነው።
• 3 3+3 -26-27=676
• 2) ለ n=k አገላለጽ 3 3k+3 -26k-27 በ26 2 ተከፍሏል ያለ ቀሪ
• 3) መግለጫው ለ n=k+1 እውነት መሆኑን እናረጋግጥ
• 3 3k+6 -26(k+1)-27=26(3 3k+3 -1)+(3 3k+3 -26k-27)

ሁለቱም ውሎች በ 26 2 ይከፈላሉ. የመጀመሪያው በ 26 2 ይከፈላል ምክንያቱም በቅንፍ ውስጥ ያለው አገላለጽ በ 26 እንደሚከፋፈል ስላረጋገጥን ሁለተኛው ደግሞ በኢንደክሽን መላምት ይከፈላል ። በሂሳብ ኢንዳክሽን ዘዴ, መግለጫው ተረጋግጧል

n>2 እና x>0 ከሆነ፣ አለመመጣጠን (1+x) n >1+n ґ x እውነት መሆኑን ያረጋግጡ።

• 1) ለ n=2 እኩልነት ትክክል ነው፣ ምክንያቱም
• (1+x) 2 =1+2x+x 2 >1+2x

ስለዚህ ሀ(2) እውነት ነው።

• 2) A(k) ≈ A(k+1)፣ k> ከሆነ 2. A(k) እውነት ነው ብለን እናስብ፣ ማለትም፣ አለመመጣጠን
• (1+x) k >1+k ቀ x. (3)

ከዚያ A(k+1) እውነት መሆኑን እናረጋግጥ፣ ማለትም፣ አለመመጣጠን

(1+x) k+1 >1+(k+1) kh x

እንደ እውነቱ ከሆነ, ሁለቱንም የእኩልነት ጎኖች (3) በአዎንታዊ ቁጥር 1 + x ማባዛት, እናገኛለን

(1+x) k+1 >(1+k kh x)(1+x)

የመጨረሻውን አለመመጣጠን ትክክለኛውን ጎን ግምት ውስጥ ያስገቡ; እና አለነ

(1+k ቀ x)(1+x)=1+(k+1) ቐ x+k ቀ x 2 >1+(k+1) ቀ x

በውጤቱም፣ ያንን (1+x) k+1>1+(k+1) kh x እናገኛለን

ስለዚህ፣ A(k) 1 A(k+1)። በማቲማቲካል ኢንዳክሽን መርህ ላይ በመመስረት የበርኑሊ እኩልነት ለማንኛውም n> 2 ትክክለኛ ነው ብሎ መከራከር ይቻላል ።

እኩልነት (1+a+a 2) m > 1+m ق a+(m(m+1)/2) ق a 2 for a> 0 እውነት መሆኑን አረጋግጥ

መፍትሄ፡ 1) መቼ m=1

• (1+a+a 2) 1> 1+a+(2/2) ق a 2 ሁለቱም ወገኖች እኩል ናቸው
• 2) ለ m = k እንበል
• (1+a+a 2) k >1+k h a+(k(k+1)/2) ق a 2
• 3) ለ m=k+1 እኩልነት እውነት መሆኑን እናረጋግጥ
• (1+a+a 2) k+1 =(1+a+a 2)(1+a+a 2) k > (1+a+a 2) (1+k k a+

+(k(k+1)/2) ቀ ​​2)=1+(k+1) h a+((k(k+1)/2)+k+1) ق a 2 +

+((k(k+1)/2)+k) ሀ 3 +(k

+((k+1)(k+2)/2) Б a 2

ለ m=k+1 እኩልነት እውነት መሆኑን አረጋግጠናል፣ስለዚህ፣በሂሳብ ኢንዳክሽን ዘዴ፣መመጣጠኑ ለማንኛውም የተፈጥሮ ቁጥር ትክክል ነው m

ለ n>6 እኩልነት 3 n > n k 2 n+1 እውነት መሆኑን ያረጋግጡ

በቅጹ (3/2) n>2n ውስጥ ያለውን እኩልነት እንደገና እንፃፍ

• 1. ለ n=7 3 7/2 7 =2187/128>14=2 ቊ 7 አለን።
• 2. ለ n=k (3/2) k >2k እንበል
• 3) ለ n=k+1 እኩልነት እናረጋግጥ
• 3 k+1/2 k+1 =(3 ኪ/2 ኪ) Б (3/2)>2k ق (3/2)=3k>2(k+1)

ከ k> 7 ጀምሮ, የመጨረሻው እኩልነት ግልጽ ነው.

በማቲማቲካል ኢንዳክሽን ዘዴ ምክንያት, እኩልነት ለማንኛውም የተፈጥሮ ቁጥር n

ለ n>2 እኩልነት እውነት መሆኑን ያረጋግጡ

1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/n 2)<1,7-(1/n)

• 1) ለ n=3 እኩልነት እውነት ነው።
• 1+(1/2 2)+(1/3 2)=245/180
• 2. ለ n = k እንበል
• 1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/k 2)=1.7-(1/ኪ)
• 3) ለ n=k+1 እኩልነት ትክክለኛነት እናረጋግጥ
• (1+(1/2 2)+…+(1/k 2))+(1/(k+1) 2)

1.7-(1/k)+(1/(k+1) 2) እናረጋግጥ።<1,7-(1/k+1) Ы

ኤስ (1/(k+1) 2)+(1/k+1)<1/k Ы (k+2)/(k+1) 2 <1/k Ы

k(k+2)<(k+1) 2 Ы k 2 +2k

የኋለኛው ግልጽ ነው, እና ስለዚህ

1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/(k+1) 2)<1,7-(1/k+1)

በሂሳብ ኢንዳክሽን ዘዴ, እኩልነት የተረጋገጠ ነው.

መግቢያ

ዋናው ክፍል

1. የተሟላ እና ያልተሟላ ማስተዋወቅ

2. የሂሳብ ማነሳሳት መርህ

3. የሂሳብ ማነሳሳት ዘዴ

4. ምሳሌዎችን መፍታት

5. እኩልነት

6. ቁጥሮችን መከፋፈል

7. አለመመጣጠን

ማጠቃለያ

ያገለገሉ ጽሑፎች ዝርዝር

መግቢያ

የማንኛውም የሂሳብ ጥናት መሰረቱ ተቀናሽ እና ኢንዳክቲቭ ዘዴዎች ነው። የማመዛዘን ተቀናሽ ዘዴው ከአጠቃላይ ወደ ልዩ ነው, ማለትም. ማመዛዘን, መነሻው አጠቃላይ ውጤት ነው, እና የመጨረሻው ነጥብ የተለየ ውጤት ነው. ኢንዳክሽን ጥቅም ላይ የሚውለው ከተወሰኑ ውጤቶች ወደ አጠቃላይ ሲንቀሳቀስ ነው, ማለትም. የመቀነስ ዘዴ ተቃራኒ ነው።

የማቲማቲካል ኢንዳክሽን ዘዴ ከእድገት ጋር ሊወዳደር ይችላል. ከዝቅተኛው እንጀምራለን, እና በሎጂካዊ አስተሳሰብ ምክንያት ወደ ከፍተኛ ደረጃ እንመጣለን. የሰው ልጅ ሁል ጊዜ ለዕድገት ይጥራል ፣ ሀሳቡን በሎጂክ ለማዳበር ፣ ይህ ማለት ተፈጥሮ ራሱ በደመ ነፍስ እንዲያስብ ወስኖታል ማለት ነው።

ምንም እንኳን የሂሳብ ማነሳሳት ዘዴ የትግበራ ወሰን እያደገ ቢመጣም, በት / ቤት ሥርዓተ-ትምህርት ውስጥ ለእሱ የተወሰነ ጊዜ ትንሽ ነው. ደህና ፣ እነዚያ ሁለት ወይም ሶስት ትምህርቶች ለአንድ ሰው ጠቃሚ እንደሚሆኑ ንገረኝ ፣ በዚህ ጊዜ አምስት የንድፈ ቃላትን ይሰማል ፣ አምስት ዋና ችግሮችን ይፈታል እና ፣ በውጤቱም ፣ ምንም የማያውቀው ሀቅ ይቀበላል ።

ነገር ግን በንቃት ማሰብ መቻል በጣም አስፈላጊ ነው.

ዋናው ክፍል

በመጀመሪያ ትርጉሙ፣ “ኢንደክሽን” የሚለው ቃል በተወሰኑ ዓረፍተ ነገሮች ላይ ተመስርተው አጠቃላይ ድምዳሜዎች በሚገኙበት ምክንያታዊነት ላይ ይሠራበታል። የዚህ ዓይነቱ አመክንዮ ቀላሉ ዘዴ ሙሉ በሙሉ ማነሳሳት ነው. የዚህ ዓይነቱ ምክንያት ምሳሌ እዚህ አለ.

እያንዳንዱ የተፈጥሮ ቁጥር በ 4 ውስጥ መሆኑን ማረጋገጥ አስፈላጊ ነው< n < 20 представимо в виде суммы двух простых чисел. Для этого возьмём все такие числа и выпишем соответствующие разложения:

4=2+2; 6=3+3; 8=5+3; 10=7+3; 12=7+5;

14=7+7; 16=11+5; 18=13+5; 20=13+7.

እነዚህ ዘጠኝ እኩልነቶች እንደሚያሳዩት እያንዳንዳችን የምንፈልጋቸው ቁጥሮች በእርግጥ እንደ ሁለት ቀላል ቃላት ድምር ይወከላሉ።

ስለዚህ ፣ የተሟላ ኢንዳክሽን በእያንዳንዱ የመጨረሻ ቁጥር ሊሆኑ በሚችሉ ጉዳዮች ላይ አጠቃላይ መግለጫውን በተናጠል ማረጋገጥን ያካትታል።

አንዳንድ ጊዜ አጠቃላይ ውጤቱ ሁሉንም ሳይሆን በበቂ ሁኔታ ብዙ ቁጥር ያላቸውን የተወሰኑ ጉዳዮችን (ያልተሟላ ኢንዴክሽን ተብሎ የሚጠራው) ከግምት ውስጥ ከገባ በኋላ ሊተነብይ ይችላል።

ባልተሟላ ኢንዳክሽን የተገኘው ውጤት ግን ሁሉም ልዩ ጉዳዮችን በሚሸፍነው ትክክለኛ የሒሳብ ምክንያት እስኪረጋገጥ ድረስ መላምት ብቻ ይቀራል። በሌላ አነጋገር፣ በሒሳብ ውስጥ ያልተሟላ ኢንዳክሽን እንደ ህጋዊ ጥብቅ ማረጋገጫ ዘዴ አይቆጠርም፣ ነገር ግን አዳዲስ እውነቶችን ለማግኘት ኃይለኛ ዘዴ ነው።

ለምሳሌ ፣የመጀመሪያዎቹን n ተከታታይ ያልተለመዱ ቁጥሮች ድምር ማግኘት ትፈልጋለህ። ልዩ ጉዳዮችን እንመልከት፡-

1+3+5+7+9=25=5 2

እነዚህን ጥቂት ልዩ ጉዳዮች ከተመለከተ በኋላ የሚከተለው አጠቃላይ መደምደሚያ እራሱን ይጠቁማል-

1+3+5+…+(2n-1)=n 2

እነዚያ። የመጀመሪያዎቹ n ተከታታይ ያልተለመዱ ቁጥሮች ድምር n 2 ነው።

እርግጥ ነው፣ የተደረገው ምልከታ ለተሰጠው ቀመር ትክክለኛነት ማረጋገጫ ሆኖ ሊያገለግል አይችልም።

የተሟላ ማስተዋወቅ በሂሳብ ውስጥ የተገደበ አፕሊኬሽኖች ብቻ ነው ያለው። ብዙ አስደሳች የሂሳብ መግለጫዎች ማለቂያ የሌላቸው ልዩ ጉዳዮችን ይሸፍናሉ ፣ ግን ላልተወሰነ ቁጥር ጉዳዮችን ልንፈትናቸው አልቻልንም። ያልተሟላ ማስተዋወቅ ብዙውን ጊዜ ወደ የተሳሳቱ ውጤቶች ይመራል.

በብዙ አጋጣሚዎች፣ ከእንደዚህ አይነት ችግር መውጪያው የሒሳብ ኢንዳክሽን ዘዴ ተብሎ የሚጠራውን ልዩ የማመዛዘን ዘዴ መጠቀም ነው። እንደሚከተለው ነው።

ለማንኛውም የተፈጥሮ ቁጥር n የአንድ የተወሰነ መግለጫ ትክክለኛነት ማረጋገጥ ያስፈልግሃል እንበል (ለምሳሌ ፣የመጀመሪያዎቹ n ጎዶሎ ቁጥሮች ድምር ከ n 2 ጋር እኩል መሆኑን ማረጋገጥ አለብህ)። የዚህ መግለጫ ቀጥተኛ ማረጋገጫ ለእያንዳንዱ የ n እሴት የማይቻል ነው, ምክንያቱም የተፈጥሮ ቁጥሮች ስብስብ ማለቂያ የለውም. ይህንን መግለጫ ለማረጋገጥ መጀመሪያ ትክክለኛነቱን ለ n=1 ያረጋግጡ። ከዚያ ለማንኛውም የ k የተፈጥሮ እሴት፣ ለ n=k እየተገመገመ ያለው መግለጫ ትክክለኛነት n=k+1 መሆኑን ያሳያል።

ከዚያም መግለጫው ለሁሉም እንደተረጋገጠ ይቆጠራል. በእርግጥ መግለጫው ለ n=1 እውነት ነው። ግን ከዚያ ለሚቀጥለው ቁጥር n=1+1=2 እውነት ነው። የ n=2 መግለጫ ትክክለኛነት ለ n=2+ መሆኑን ያሳያል

1=3. ይህ የሚያመለክተው የ n=4 ወዘተ መግለጫ ትክክለኛነት ነው። ግልጽ ነው, በመጨረሻ, ወደ ማንኛውም የተፈጥሮ ቁጥር n. ይህ ማለት መግለጫው ለማንኛውም n እውነት ነው.

የተነገረውን በማጠቃለል, የሚከተለውን አጠቃላይ መርሆ እናቀርባለን.

የሒሳብ ኢንዳክሽን መርህ.

ሀሳብ ከሆነ (A) n ), በተፈጥሮ ቁጥር ላይ በመመስረት n ፣ እውነት ለ n =1 እና ለ እውነት ከመሆኑ እውነታ n=k (የት ክ - ማንኛውም የተፈጥሮ ቁጥር), ለሚቀጥለው ቁጥር እውነት መሆኑን ይከተላል n=k+1 ከዚያም ግምት ሀ( n ) ለማንኛውም የተፈጥሮ ቁጥር እውነት ነው። n .

በበርካታ አጋጣሚዎች, ለሁሉም የተፈጥሮ ቁጥሮች ሳይሆን ለ n> p ብቻ, የተወሰነ መግለጫ ትክክለኛነት ማረጋገጥ አስፈላጊ ሊሆን ይችላል, ይህም p ቋሚ የተፈጥሮ ቁጥር ነው. በዚህ ጉዳይ ላይ የሂሳብ ኢንዳክሽን መርህ እንደሚከተለው ተዘጋጅቷል. ሀሳብ ከሆነ (A) n ) እውነት ለ n=p እና ኤ (ኤ) ከሆነ ክ ) Þ ሀ( k+1) ለማንም k> p, ከዚያም ዓረፍተ ነገር n) ለማንኛውም ሰው እውነት ነው n> ገጽ.

የሂሳብ ኢንዳክሽን ዘዴን በመጠቀም ማረጋገጫው እንደሚከተለው ይከናወናል. በመጀመሪያ፣ መረጋገጥ ያለበት መግለጫ በ n=1፣ ማለትም. የA(1) አባባል እውነት ተረጋግጧል። ይህ የማረጋገጫው ክፍል የኢንደክሽን መሰረት ይባላል. ከዚያም የማስረጃው ክፍል የኢንደክሽን ደረጃ ይባላል። በዚህ ክፍል ውስጥ ለ n = k (ኢንዳክሽን ግምት) መግለጫ ትክክለኛነት በማሰብ ለ n = k+1 መግለጫ ትክክለኛነት ያረጋግጣሉ, ማለትም. A(k) ÞA(k+1) መሆኑን ያረጋግጡ።

ምሳሌ 1

ያንን 1+3+5+…+(2n-1)=n 2 አረጋግጥ።

መፍትሄ፡ 1) n=1=1 2 አለን። ስለዚህም እ.ኤ.አ.

መግለጫው ለ n=1 እውነት ነው፣ i.e. ሀ(1) እውነት ነው።

2) ሀ (k) ÞA(k+1) እናረጋግጥ።

k ማንኛውም የተፈጥሮ ቁጥር ይሁን እና መግለጫው ለ n=k እውነት ይሁን፣ i.e.

1+3+5+…+(2k-1)=k 2 .

ከዚያም መግለጫው ለቀጣዩ የተፈጥሮ ቁጥር n=k+1 እውነት መሆኑን እናረጋግጥ፣ i.e. ምንድን

1+3+5+…+(2k+1)=(k+1) 2 .

በእርግጥም,

1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=k 2 +2k+1=(k+1) 2 .

ስለዚህ፣ A(k) ÞA(k+1)። በሂሳብ ኢንዳክሽን መርህ ላይ በመመስረት፣ ሀ(n) ግምት ለማንኛውም nÎN እውነት ነው ብለን መደምደም እንችላለን።

ምሳሌ 2

ያንን አረጋግጡ

1+x+x 2 +x 3 +…+x n =(x n+1 -1)/(x-1)፣ የት x¹1

መፍትሄ፡ 1) ለ n=1 እናገኛለን

1+x=(x 2 -1)/(x-1)=(x-1)(x+1)/(x-1)=x+1

ስለዚህ, ለ n = 1 ቀመሩ ትክክል ነው; ሀ(1) እውነት ነው።

2) k ማንኛውም የተፈጥሮ ቁጥር ይሁን እና ቀመሩ ለ n=k እውነት ይሁን፣ ማለትም.

1+x+x 2 +x 3 +…+x k =(x k+1 -1)/(x-1)።

ያንን እኩልነት እናረጋግጥ

1+x+x 2 +x 3 +…+x k +x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1)።

በእርግጥም

1+x+x 2 +x 3 +…+x k +x k+1 =(1+x+x 2 +x 3 +…+x k)+x k+1 =

=(x k+1 -1)/(x-1)+x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1)።

ስለዚህ፣ A(k) ÞA(k+1)። በሂሳብ ኢንዳክሽን መርህ ላይ በመመስረት, ቀመሩን ለማንኛውም የተፈጥሮ ቁጥር n.

ምሳሌ 3

የኮንቬክስ n-ጎን ሰያፍ ብዛት ከ n(n-3)/2 ጋር እኩል መሆኑን ያረጋግጡ።

መፍትሄ፡ 1) ለ n=3 መግለጫው እውነት ነው።

እና 3 ትርጉም ያለው ነው, ምክንያቱም በሶስት ማዕዘን ውስጥ

 A 3 =3(3-3)/2=0 ሰያፍ;

A 2 A(3) እውነት ነው።

2) በእያንዳንዱ ውስጥ እናስብ

ኮንቬክስ ኪ-ጎን አለው-

A 1 x A k =k(k-3)/2 ዲያግኖች።

እና ከዚያ ያንን በኮንቬክስ ውስጥ እናረጋግጥ

(k+1)-ጎን ቁጥር

ዲያጎንሎች A k+1 =(k+1)(k-2)/2.

A 1 A 2 A 3 …A k A k+1 convex (k+1)-gon ይሁን። በውስጡም ዲያግናል A 1 A k እንሳል። የዚህን (k+1) -ጎን አጠቃላይ የዲያግራኖች ብዛት ለማስላት በ k-gon A 1 A 2 ...A k ውስጥ ያሉትን የዲያግኖሎች ብዛት መቁጠር ያስፈልግዎታል ፣ በተገኘው ቁጥር k-2 ይጨምሩ ፣ ማለትም ። የ (k+1) -ጎን ከጫፍ A k+1 የሚመነጩት የዲያግራኖች ብዛት እና በተጨማሪ, ሰያፍ A 1 A k ግምት ውስጥ መግባት ይኖርበታል.

ስለዚህም

 k+1 = k +(k-2)+1=k(k-3)/2+k-1=(k+1)(k-2)/2.

ስለዚህ፣ A(k) ÞA(k+1)። በሂሳብ ኢንዳክሽን መርህ ምክንያት መግለጫው ለማንኛውም ኮንቬክስ n-ጎን እውነት ነው።

ምሳሌ 4

ለማንኛውም n የሚከተለው መግለጫ እውነት መሆኑን ያረጋግጡ፡-

1 2 +2 2 +3 2 +…+n 2 =n(n+1)(2n+1)/6.

መፍትሄ፡- 1) n=1 እንግዲያውስ

X 1 = 1 2 = 1 (1+1) (2+1)/6=1.

ይህ ማለት ለ n=1 መግለጫው እውነት ነው ማለት ነው።

2) n=k እንበል

X k = k 2 = k (k+1) (2k+1)/6.

3) ይህን መግለጫ ለ n=k+1 አስቡበት

X k+1 =(k+1)(k+2)(2k+3)/6.

X k+1 =1 2 +2 2 +3 2 +…+k 2 +(k+1) 2=k(k+1)(2k+1)/6+ +(k+1) 2 =(k+1) (k+1)(2k+1)+6(k+1) 2)/6=(k+1)(k(2k+1)+

6(k+1))/6=(k+1)(2k 2 +7k+6)/6=(k+1)(2(k+3/2)(k+)

2))/6=(k+1)(k+2)(2k+3)/6.

እኩልነት ለ n=k+1 እውነት መሆኑን አረጋግጠናል፣ስለዚህ፣በሂሣብ ኢንዳክሽን ዘዴ መሠረት፣ መግለጫው ለማንኛውም የተፈጥሮ ቁጥር n ነው።

ምሳሌ 5

ለማንኛውም የተፈጥሮ ቁጥር n እኩልነት እውነት መሆኑን አረጋግጥ፡

1 3 +2 3 +3 3 +…+n 3 = n 2 (n+1) 2/4።

መፍትሄ፡ 1) እን =1.

ከዚያም X 1 = 1 3 = 1 2 (1+1) 2/4=1.

ለ n=1 መግለጫው እውነት መሆኑን እናያለን።

2) እኩልነት ለ n=k እውነት ነው እንበል

እውነተኛ እውቀት በማንኛውም ጊዜ ላይ የተመሰረተ ንድፍ በማዘጋጀት እና በተወሰኑ ሁኔታዎች ውስጥ እውነተኛነቱን በማረጋገጥ ላይ ነው. ምክንያታዊ አመክንዮዎች በኖሩበት በዚህ ረጅም ጊዜ ውስጥ የሕጎች ቀመሮች ተሰጥተዋል፤ አርስቶትል ደግሞ “ትክክለኛ አመክንዮ” ዝርዝር አዘጋጅቷል። ከታሪክ አኳያ ሁሉንም አመለካከቶች በሁለት ዓይነቶች መከፋፈል የተለመደ ነው - ከኮንክሪት ወደ ብዙ (ኢንደክሽን) እና በተቃራኒው (መቀነስ)። ከልዩ እስከ አጠቃላይ እና ከአጠቃላይ እስከ ልዩ ያሉት የማስረጃ ዓይነቶች በጥምረት ብቻ ስለሚገኙ ሊለዋወጡ እንደማይችሉ ልብ ሊባል ይገባል።

በሂሳብ ውስጥ ማስተዋወቅ

“መነሳሳት” የሚለው ቃል የላቲን ሥሮች አሉት እና በጥሬው “መመሪያ” ተብሎ ተተርጉሟል። በቅርበት ጥናት አንድ ሰው የቃሉን አወቃቀሩን ማለትም የላቲን ቅድመ ቅጥያ - ውስጥ - (ወደ ውስጥ ወይም ወደ ውስጥ መሆንን ያመለክታል) እና -duction - መግቢያን ማጉላት ይችላል. ሁለት ዓይነት ዓይነቶች መኖራቸውን ልብ ሊባል የሚገባው ነው - የተሟላ እና ያልተሟላ ማነሳሳት. ሙሉ ቅጹ የአንድ የተወሰነ ክፍል ሁሉንም ነገሮች በማጥናት በተወሰዱ መደምደሚያዎች ይገለጻል.

ያልተሟላ - በሁሉም የክፍሉ ርዕሰ ጉዳዮች ላይ የሚተገበሩ መደምደሚያዎች, ነገር ግን በአንዳንድ ክፍሎች ብቻ ጥናት ላይ ተመስርተዋል.

የተሟላ የሂሳብ ኢንዳክሽን በዚህ የተግባር ግንኙነት እውቀት ላይ በመመስረት በተፈጥሮ ተከታታይ ቁጥሮች ግንኙነቶች በተግባራዊ የተገናኙ የማንኛውም ዕቃዎች ክፍል አጠቃላይ ድምዳሜ ላይ የተመሠረተ ማጠቃለያ ነው። በዚህ ሁኔታ, የማጣራት ሂደቱ በሦስት ደረጃዎች ይካሄዳል.

• የመጀመሪያው የሂሳብ ኢንዴክሽን አቀማመጥ ትክክለኛነት ያረጋግጣል. ምሳሌ፡ f = 1, induction;
• የሚቀጥለው ደረጃ አቀማመጥ ለሁሉም የተፈጥሮ ቁጥሮች ትክክለኛ ነው በሚለው ግምት ላይ የተመሰረተ ነው. ማለትም f=h ኢንዳክቲቭ መላምት ነው;
• በሦስተኛው ደረጃ, ለቁጥር f = h + 1 የቦታው ትክክለኛነት የተረጋገጠ ነው, በቀድሞው ነጥብ አቀማመጥ ትክክለኛነት ላይ የተመሰረተ ነው - ይህ የኢንደክሽን ሽግግር ወይም የሒሳብ ኢንዳክሽን ደረጃ ነው. አንድ ምሳሌ በአንድ ረድፍ ውስጥ የመጀመሪያው ድንጋይ ወድቆ ከሆነ ተብሎ የሚጠራው (መሰረት), ከዚያም በረድፍ ውስጥ ያሉት ድንጋዮች ሁሉ ይወድቃሉ (ሽግግር).

ሁለቱም በቀልድ እና በቁም ነገር

ለግንዛቤ ቀላልነት ፣የሂሣብ ኢንዳክሽን ዘዴን በመጠቀም የመፍትሔ ምሳሌዎች በቀልድ ችግሮች መልክ ቀርበዋል። ይህ የ"ጨዋነት ወረፋ" ተግባር ነው፡-

• የሥነ ምግባር ደንቦች አንድ ወንድ በሴት ፊት መዞርን ይከለክላል (በእንደዚህ አይነት ሁኔታ, ወደፊት እንድትሄድ ይፈቀድላታል). በዚህ አረፍተ ነገር ላይ በመመስረት, በመስመር ላይ የመጨረሻው ሰው ከሆነ, ሁሉም ሰው ማለት ነው.

የማቲማቲካል ኢንዳክሽን ዘዴው አስደናቂ ምሳሌ “ልኬት የሌለው በረራ” ችግር ነው።

• ማንኛውም ቁጥር ያላቸው ሰዎች በሚኒባስ ላይ መግጠም እንደሚችሉ ማረጋገጥ ያስፈልጋል። እውነት ነው አንድ ሰው ያለችግር (መሰረት) ተሽከርካሪ ውስጥ መግባት ይችላል። ነገር ግን ሚኒባሱ የቱንም ያህል ቢሞላ 1 ተሳፋሪ ሁልጊዜ በእሱ ላይ ይገጥማል (የመግቢያ ደረጃ)።

የሚታወቁ ክበቦች

ችግሮችን እና እኩልታዎችን በሂሳብ ኢንዳክሽን የመፍታት ምሳሌዎች በጣም የተለመዱ ናቸው። ለዚህ አቀራረብ ምሳሌ, የሚከተለውን ችግር አስቡበት.

ሁኔታ: በአውሮፕላኑ ላይ h ክበቦች አሉ. ለማንኛውም የቁጥሮች አቀማመጥ, የሚፈጥሩት ካርታ በሁለት ቀለሞች በትክክል መቀባቱን ማረጋገጥ ያስፈልጋል.

መፍትሄ h=1 የመግለጫው እውነት ግልጽ ሲሆን ማስረጃው የሚገነባው ለክበቦች ብዛት h+1 ነው።

መግለጫው ለማንኛውም ካርታ የሚሰራ ነው የሚለውን ግምት እንቀበል፣ እና በአውሮፕላኑ ላይ h+1 ክበቦች አሉ። ከጠቅላላው ክበቦች ውስጥ አንዱን በማንሳት, በሁለት ቀለሞች (ጥቁር እና ነጭ) በትክክል ቀለም ያለው ካርታ ማግኘት ይችላሉ.

የተሰረዘ ክበብ ወደነበረበት ሲመለስ, የእያንዳንዱ አካባቢ ቀለም ወደ ተቃራኒው ይለወጣል (በዚህ ሁኔታ, በክበቡ ውስጥ). ውጤቱ በሁለት ቀለሞች በትክክል ቀለም ያለው ካርታ ነው, ይህም መረጋገጥ ያስፈልገዋል.

ከተፈጥሮ ቁጥሮች ጋር ምሳሌዎች

የማቲማቲካል ኢንዳክሽን ዘዴ አተገባበር ከዚህ በታች በግልጽ ይታያል.

የመፍትሄዎች ምሳሌዎች፡-

ለማንኛውም ሸ የሚከተለው እኩልነት ትክክል መሆኑን ያረጋግጡ፡

1 2 +2 2 +3 2 +…+h 2 =ሰ(h+1)(2ሰ+1)/6።

1. ኸ = 1፡ ትርጉሙ፡ ንሕናውን ንሕናውን ክንከውን ኣሎና።

R 1 =1 2 =1(1+1)(2+1)/6=1

ከዚህ በመነሳት ለ h=1 መግለጫው ትክክል ነው።

2. h=d እንደሆነ ከወሰድን, እኩልታው ተገኝቷል:

R 1 =d 2 =d(d+1)(2d+1)/6=1

3. h=d+1 ብለን ካሰብን፡-

R d+1 =(d+1) (d+2) (2d+3)/6

R d+1 = 1 2 +2 2 +3 2 +…+d 2 +(d+1) 2 = d(d+1)(2d+1)/6+ (d+1) 2 =(መ) d+1)(2d+1)+6(d+1) 2)/6=(d+1)(መ(2d+1)+6(k+1))/6=

(d+1)(2d 2 +7d+6)/6=(d+1)(2(d+3/2)(d+2))/6=(d+1)(d+2) 2d+3)/6.

ስለዚህ፣ የ h=d+1 እኩልነት ትክክለኛነት ተረጋግጧል፣ስለዚህ መግለጫው ለማንኛውም የተፈጥሮ ቁጥር እውነት ነው፣በምሳሌው መፍትሄ በሒሳብ ኢንዳክሽን ላይ እንደሚታየው።

ተግባር

ሁኔታለማንኛውም የ h ዋጋ 7 h -1 የሚለው አገላለጽ በ 6 መከፋፈሉን የሚያሳይ ማስረጃ ያስፈልጋል።

መፍትሄ:

1. በዚህ ጉዳይ ላይ h=1 እንበል፡-

R 1 =7 1 -1=6 (ማለትም ያለቀሪ በ6 ተከፍሏል)

ስለዚህ, ለ h = 1 መግለጫው እውነት ነው;

2. h=d እና 7 d -1 ሳይቀሩ በ6 ይካፈሉ፤

3. የ h=d+1 መግለጫ ትክክለኛነት ማረጋገጫው ቀመር ነው፡-

R d +1 =7 ደ +1 -1=7∙7 ደ -7+6=7(7 ደ -1)+6

በዚህ ሁኔታ የመጀመርያው ቃል እንደ መጀመሪያው ነጥብ ግምት በ 6 ይከፈላል, ሁለተኛው ቃል ደግሞ 6 እኩል ነው. 7 h -1 በ 6 ይካፈላል ለማንኛውም የተፈጥሮ ሸ ያለ ቀሪ ቃል እውነት ነው.

በፍርድ ላይ ስህተቶች

ብዙውን ጊዜ ትክክለኛ ያልሆነ ምክንያት ጥቅም ላይ የሚውሉት ምክንያታዊ ግንባታዎች ትክክል ባለመሆናቸው በማረጋገጫዎች ውስጥ ጥቅም ላይ ይውላሉ. ይህ በዋነኝነት የሚከሰተው የማስረጃው መዋቅር እና አመክንዮ ሲጣስ ነው። የተሳሳተ የማመዛዘን ምሳሌ የሚከተለው ምሳሌ ነው።

ተግባር

ሁኔታ: ማንኛውም የድንጋይ ክምር ክምር ላለመሆኑ ማረጋገጫ ያስፈልጋል።

መፍትሄ:

1. እንበል h = 1 በዚህ ሁኔታ ውስጥ 1 ድንጋይ በድንጋይ ውስጥ አለ እና መግለጫው እውነት ነው (መሰረት);

2. ለ h=d እውነት ይሁን የድንጋይ ክምር ክምር አይደለም (ግምት);

3. h=d+1ን እንይ፡ ከዚህ በመቀጠል አንድ ተጨማሪ ድንጋይ ሲጨመር ስብስቡ ክምር አይሆንም። መደምደሚያው እራሱን ይጠቁማል ግምቱ ለሁሉም የተፈጥሮ ሸ.

ስህተቱ ምን ያህል ድንጋዮች ክምር እንደሚፈጥሩ ምንም ዓይነት ፍቺ የለም. እንዲህ ዓይነቱ መቅረት በሂሳብ ኢንዳክሽን ዘዴ ውስጥ ፈጣን አጠቃላይነት ይባላል። አንድ ምሳሌ ይህንን በግልፅ ያሳያል።

ማነሳሳት እና የሎጂክ ህጎች

በታሪክ ሁሌም “እጅ ለእጅ ተያይዘው ይሄዳሉ። እንደ ሎጂክ እና ፍልስፍና ያሉ ሳይንሳዊ ትምህርቶች በተቃራኒ መልክ ይገልጻቸዋል።

ከአመክንዮ ህግ አንጻር, ኢንዳክቲቭ ትርጓሜዎች በእውነታዎች ላይ ይመረኮዛሉ, እና የግቢው እውነተኝነት የውጤቱን መግለጫ ትክክለኛነት አይወስንም. ብዙውን ጊዜ ድምዳሜዎች በተወሰነ ደረጃ እና በአሳማኝነት የተገኙ ናቸው, ይህም በተፈጥሮ, ተጨማሪ ምርምር መረጋገጥ እና መረጋገጥ አለበት. በሎጂክ ውስጥ የማስተዋወቅ ምሳሌ የሚከተለው መግለጫ ሊሆን ይችላል።

በኢስቶኒያ ድርቅ አለ፣ በላትቪያ ድርቅ፣ በሊትዌኒያ ድርቅ አለ።

ኢስቶኒያ፣ ላቲቪያ እና ሊቱዌኒያ የባልቲክ ግዛቶች ናቸው። በሁሉም የባልቲክ ግዛቶች ድርቅ አለ።

ከምሳሌው በመነሳት የማነሳሳት ዘዴን በመጠቀም አዲስ መረጃ ወይም እውነት ማግኘት አይቻልም ብለን መደምደም እንችላለን። ሊቆጠር የሚችለው ሁሉም የመደምደሚያዎቹ ትክክለኛ ትክክለኛነት ነው. ከዚህም በላይ የግቢው እውነት ተመሳሳይ መደምደሚያዎችን አያረጋግጥም. ነገር ግን ይህ እውነታ ኢንዳክሽን በቅናሽ ጠርዝ ላይ ይንከራተታል ማለት አይደለም፡ እጅግ በጣም ብዙ የሆኑ ድንጋጌዎች እና ሳይንሳዊ ህጎች የተረጋገጡት የማስተዋወቂያ ዘዴን በመጠቀም ነው። አንድ ምሳሌ ተመሳሳይ ሂሳብ, ባዮሎጂ እና ሌሎች ሳይንሶች ናቸው. ይህ በአብዛኛው የሚከሰተው በተሟላ የማነሳሳት ዘዴ ነው, ነገር ግን በአንዳንድ ሁኔታዎች ከፊል ኢንዴክሽንም እንዲሁ ተግባራዊ ይሆናል.

የተከበረው የመነሳሳት ዕድሜ በሁሉም የሰው ልጅ እንቅስቃሴ ዘርፎች ውስጥ እንዲገባ አስችሎታል - ይህ ሳይንስ ፣ ኢኮኖሚክስ እና የዕለት ተዕለት ድምዳሜዎች ነው።

በሳይንሳዊ ማህበረሰብ ውስጥ መነሳሳት

የመግቢያ ዘዴው ጠንቃቃ አመለካከትን ይፈልጋል ፣ ምክንያቱም በጣም ብዙ በተጠኑት አጠቃላይ ክፍሎች ብዛት ላይ ስለሚመረኮዝ ፣የተጠናው ቁጥር የበለጠ ፣ ውጤቱ ይበልጥ አስተማማኝ ይሆናል። በዚህ ባህሪ ላይ በመመስረት, በ induction የተገኙ ሳይንሳዊ ህጎች ሁሉንም ሊሆኑ የሚችሉ መዋቅራዊ አካላትን ፣ ግንኙነቶችን እና ተፅእኖዎችን ለመለየት እና ለማጥናት በፕሮባቢሊቲክ ግምቶች ደረጃ ለረጅም ጊዜ ይሞከራሉ።

በሳይንስ ውስጥ፣ ኢንዳክቲቭ ማጠቃለያ በዘፈቀደ ድንጋጌዎች ካልሆነ በስተቀር ጉልህ በሆኑ ባህሪያት ላይ የተመሰረተ ነው። ይህ እውነታ ከሳይንሳዊ እውቀት ልዩ ነገሮች ጋር ተያይዞ አስፈላጊ ነው. ይህ በሳይንስ ውስጥ የማስተዋወቅ ምሳሌዎች ውስጥ በግልፅ ይታያል.

በሳይንስ አለም ውስጥ ሁለት አይነት ኢንዳክሽን አለ (ከጥናት ዘዴ ጋር በተያያዘ)፡-

1. ማነሳሳት-ምርጫ (ወይም ምርጫ);
2. ማነሳሳት - ማግለል (ማስወገድ).

የመጀመሪያው ዓይነት ከተለያዩ ቦታዎች ውስጥ የአንድ ክፍል (ንዑስ ክፍሎች) ናሙናዎች በዘዴ (አስቂኝ) ምርጫ ተለይቷል።

የዚህ ዓይነቱ ኢንዴክሽን ምሳሌ የሚከተለው ነው-ብር (ወይም የብር ጨው) ውሃን ያጸዳል. መደምደሚያው በበርካታ አመታት ምልከታዎች ላይ የተመሰረተ ነው (የማረጋገጫዎች እና ውድቀቶች ምርጫ አይነት - ምርጫ).

ሁለተኛው የማነሳሳት ዓይነት የምክንያት ግንኙነቶችን በሚመሠርቱ መደምደሚያዎች ላይ የተመሰረተ እና ከንብረቶቹ ጋር የማይዛመዱ ሁኔታዎችን ማለትም ዓለም አቀፋዊነትን, ጊዜያዊ ቅደም ተከተልን, አስፈላጊነትን እና ግልጽነትን የማይጨምር ነው.

ከፍልስፍና አቀማመጥ መነሳት እና መቀነስ

በታሪክ ወደ ኋላ መለስ ብለን ስናይ ኢንዳክሽን የሚለው ቃል በመጀመሪያ የተጠቀሰው በሶቅራጥስ ነው። አርስቶትል የፍልስፍና ኢንዳክሽን ምሳሌዎችን ይበልጥ ግምታዊ በሆነ የተርሚኖሎጂ መዝገበ ቃላት ገልጿል፣ ነገር ግን ያልተሟላ የማስተዋወቅ ጥያቄ ክፍት ነው። ከአርስቶተሊያን ሲሎሎጂዝም ስደት በኋላ, የኢንደክቲቭ ዘዴ እንደ ፍሬያማ እና በተፈጥሮ ሳይንስ ውስጥ ብቸኛው ሊሆን እንደሚችል መታወቅ ጀመረ. ቤከን የኢንደክሽን አባት እንደ ገለልተኛ ልዩ ዘዴ ተደርጎ ይቆጠራል፣ ነገር ግን በዘመኑ የነበሩት ሰዎች እንደሚጠይቁት ኢንዳክሽንን ከተቀነሰ ዘዴ መለየት አልቻለም።

ኢንዳክሽን የበለጠ የተገነባው በጄ ሚል ሲሆን የኢንደክቲቭ ንድፈ ሃሳብን ከአራት ዋና ዋና ዘዴዎች አንፃር ያጤነው፡ ስምምነት፣ ልዩነት፣ ቀሪዎች እና ተጓዳኝ ለውጦች። ዛሬ የተዘረዘሩት ዘዴዎች, በዝርዝር ሲመረመሩ, ተቀናሽ መሆናቸው አያስገርምም.

የቤኮን እና ሚል ፅንሰ-ሀሳቦች አለመመጣጠን መገንዘባቸው ሳይንቲስቶች የመነሳሳትን ፕሮባቢሊቲ መሰረት እንዲያጠኑ አድርጓቸዋል። ሆኖም፣ እዚህም ቢሆን አንዳንድ ጽንፎች ነበሩ፡ የይሆናልነት ጽንሰ-ሀሳብን ከሚያስከትለው ውጤት ጋር መነሳሳትን ለመቀነስ ሙከራዎች ተደርገዋል።

ኢንዳክሽን በተወሰኑ ርዕሰ ጉዳዮች ላይ በተግባራዊ አተገባበር እና ለኢንደክቲቭ መሰረት ሜትሪክ ትክክለኛነት ምስጋና ይግባውና የመተማመን ድምጽ ይቀበላል። በፍልስፍና ውስጥ የማስተዋወቅ እና የመቀነስ ምሳሌ እንደ ሁለንተናዊ የስበት ህግ ተደርጎ ሊወሰድ ይችላል። ሕጉ በተገኘበት ቀን, ኒውተን በ 4 በመቶ ትክክለኛነት ማረጋገጥ ችሏል. እና ከሁለት መቶ ዓመታት በኋላ ሲፈተሽ, ትክክለኛነቱ በ 0.0001 በመቶ ትክክለኛነት ተረጋግጧል, ምንም እንኳን ማረጋገጫው በተመሳሳዩ ኢንዳክቲቭ አጠቃላይ መግለጫዎች የተከናወነ ቢሆንም.

የዘመናዊው ፍልስፍና ወደ ተቀናሽነት የበለጠ ትኩረት ይሰጣል, ይህም ቀደም ሲል ከሚታወቀው አዲስ እውቀት (ወይም እውነቶችን) ለማውጣት ባለው አመክንዮአዊ ፍላጎት ነው, ወደ ልምድ ወይም አእምሮ ሳይጠቀም, ነገር ግን "ንጹህ" አመክንዮዎችን በመጠቀም. በተቀነሰ ዘዴ ውስጥ እውነተኛ ቦታዎችን ሲያመለክቱ በሁሉም ሁኔታዎች ውጤቱ እውነተኛ መግለጫ ነው።

ይህ በጣም አስፈላጊ ባህሪ የኢንደክቲቭ ዘዴን ዋጋ መሸፈን የለበትም. ከተሞክሮ ስኬቶች በመነሳት ኢንዳክሽኑን የማስኬጃ ዘዴ ይሆናል (አጠቃላይ እና ስርአትን ጨምሮ)።

በኢኮኖሚክስ ውስጥ የማስተዋወቅ ማመልከቻ

ኢንዳክሽን እና ቅነሳ ኢኮኖሚውን ለማጥናት እና እድገቱን ለመተንበይ እንደ ዘዴዎች ለረጅም ጊዜ ሲያገለግሉ ቆይተዋል።

የመግቢያ ዘዴው የአጠቃቀም ወሰን በጣም ሰፊ ነው-የትንበያ አመላካቾችን (ትርፍ, ዋጋ መቀነስ, ወዘተ) መሟላት እና የድርጅቱን ሁኔታ አጠቃላይ ግምገማ ማጥናት; በእውነታዎች እና በግንኙነታቸው ላይ የተመሰረተ ውጤታማ የድርጅት ማስተዋወቂያ ፖሊሲ ምስረታ ።

ተመሳሳዩ የማስተዋወቂያ ዘዴ በ "ሸዋርት ካርታዎች" ውስጥ ጥቅም ላይ ይውላል, የሂደቶችን ክፍፍል ወደ ቁጥጥር እና ቁጥጥር በማይደረግበት ግምት ውስጥ, የቁጥጥር ሂደት ማዕቀፍ እንቅስቃሴ-አልባ እንደሆነ ይገለጻል.

ሳይንሳዊ ሕጎች የተረጋገጡ እና የተረጋገጡት የኢንደክሽን ዘዴን በመጠቀም መሆኑን እና ኢኮኖሚክስ ብዙውን ጊዜ የሂሳብ ትንታኔዎችን ፣ የአደጋ ፅንሰ-ሀሳቦችን እና ስታቲስቲክስን የሚጠቀም ሳይንስ እንደመሆኑ መጠን በዋና ዋና ዘዴዎች ዝርዝር ውስጥ መገኘቱ ምንም አያስደንቅም ።

በኢኮኖሚክስ ውስጥ የማስተዋወቅ እና የመቀነስ ምሳሌ የሚከተለው ሁኔታ ነው። የምግብ ዋጋ መጨመር (ከሸማች ቅርጫት) እና አስፈላጊ እቃዎች ሸማቾች በክፍለ-ግዛት (ኢንደክሽን) ውስጥ ስላለው ከፍተኛ ወጪ እንዲያስቡ ያነሳሳቸዋል. በተመሳሳይ ጊዜ, ከከፍተኛ ዋጋዎች እውነታ, የሂሳብ ዘዴዎችን በመጠቀም, ለግለሰብ እቃዎች ወይም ለዕቃዎች ምድቦች (ቅናሽ) የዋጋ ዕድገት አመልካቾችን ማግኘት ይቻላል.

ብዙ ጊዜ፣ የአስተዳደር ሰራተኞች፣ አስተዳዳሪዎች እና ኢኮኖሚስቶች ወደ ማነሳሳት ዘዴ ይመለሳሉ። የኢንተርፕራይዝ እድገትን፣ የገበያ ባህሪን እና የውድድር ውጤቶችን በበቂ እውነት ለመተንበይ እንዲቻል መረጃን ለመተንተን እና ለማካሄድ ኢንዳክቲቭ-ተቀነሰ አቀራረብ አስፈላጊ ነው።

ከተሳሳቱ ፍርዶች ጋር በተዛመደ በኢኮኖሚክስ ውስጥ የማስተዋወቅ ግልፅ ምሳሌ፡-

• የኩባንያው ትርፍ በ 30% ቀንሷል;
  አንድ ተፎካካሪ ኩባንያ የምርት መስመሩን አሰፋ;
  ሌላ ምንም ነገር አልተለወጠም;
• የአንድ ተፎካካሪ ኩባንያ የምርት ፖሊሲ በ 30% ትርፍ እንዲቀንስ አድርጓል ።
• ስለዚህ ተመሳሳይ የምርት ፖሊሲን ተግባራዊ ማድረግ ያስፈልጋል.

ምሳሌው የኢንደክሽን ዘዴን በአግባቡ አለመጠቀም ለድርጅት ውድመት ምን ያህል አስተዋፅዖ እንዳለው የሚያሳይ በቀለማት ያሸበረቀ ምሳሌ ነው።

በሳይኮሎጂ ውስጥ መቀነስ እና ማነሳሳት።

ዘዴ ስላለ፣ ታዲያ፣ በምክንያታዊነት፣ በአግባቡ የተደራጀ አስተሳሰብም (ዘዴውን ለመጠቀም) አለ። ሳይኮሎጂ እንደ ሳይንስ የአዕምሮ ሂደቶችን, አፈጣጠራቸውን, እድገታቸውን, ግንኙነታቸውን, ግንኙነቶችን ያጠናል, ለ "ተቀነሰ" አስተሳሰብ ትኩረት ይሰጣል, እንደ አንዱ የመቀነስ እና የመቀነስ መገለጫዎች. እንደ አለመታደል ሆኖ በበይነመረቡ ላይ በስነ-ልቦና ገጾች ላይ ለተቀነሰ-ኢንደክቲቭ ዘዴ ትክክለኛነት ምንም ማረጋገጫ የለም። ምንም እንኳን የፕሮፌሽናል ሳይኮሎጂስቶች ብዙውን ጊዜ የማነሳሳት መገለጫዎች ያጋጥሟቸዋል ፣ ይልቁንም ፣ የተሳሳቱ ድምዳሜዎች።

በስነ-ልቦና ውስጥ የማስተዋወቅ ምሳሌ ፣ እንደ የተሳሳቱ ፍርዶች ምሳሌ ፣ እናቴ እያታለለች ነው ፣ ስለሆነም ሁሉም ሴቶች አታላዮች ናቸው። ከህይወት ውስጥ የበለጠ “የተሳሳቱ” ምሳሌዎችን መሰብሰብ ትችላለህ፡-

• አንድ ተማሪ በሂሳብ መጥፎ ውጤት ካገኘ ምንም ነገር ማድረግ አይችልም;
• እሱ ሞኝ ነው;
• እሱ ብልህ ነው;
• እኔ ማንኛውንም ነገር ማድረግ እችላለሁ;

እና ሌሎች ብዙ ዋጋ ያላቸው ፍርዶች ሙሉ በሙሉ በዘፈቀደ እና አንዳንዴም ትርጉም በሌላቸው ቦታዎች ላይ የተመሰረቱ ናቸው።

ልብ ሊባል የሚገባው ነው-የአንድ ሰው የፍርድ ስህተት ወደ እብድነት ደረጃ ሲደርስ, ለሳይኮቴራፒስት የስራ ወሰን ይታያል. በልዩ ባለሙያ ቀጠሮ ላይ የማስተዋወቅ አንድ ምሳሌ፡-

"ታካሚው ቀይ ቀለም በማንኛውም መልኩ ለእሱ ብቻ አደገኛ እንደሆነ ሙሉ በሙሉ እርግጠኛ ነው. በውጤቱም, ሰውዬው ይህንን የቀለም ዘዴ ከህይወቱ ውስጥ - በተቻለ መጠን. በቤት ውስጥ ምቹ የሆነ ቆይታ ለማድረግ ብዙ እድሎች አሉ. ሁሉንም ቀይ እቃዎች አለመቀበል ወይም በተለያየ የቀለም አሠራር ውስጥ በተሠሩ አናሎግ መተካት ይችላሉ. ነገር ግን በሕዝብ ቦታዎች, በሥራ ቦታ, በመደብር ውስጥ - የማይቻል ነው. አንድ ታካሚ ራሱን አስጨናቂ በሆነ ሁኔታ ውስጥ ሲያገኝ ፈጽሞ የተለየ ስሜታዊነት ያለው “ማዕበል” ያጋጥመዋል፤ ይህም በሌሎች ላይ አደጋ ሊያስከትል ይችላል።

ይህ የማስተዋወቅ ምሳሌ፣ እና ሳያውቅ መነሳሳት፣ “ቋሚ ሐሳቦች” ይባላል። ይህ በአእምሮ ጤነኛ ሰው ላይ ከተከሰተ, ስለ አእምሯዊ እንቅስቃሴ ድርጅት እጥረት መነጋገር እንችላለን. አባዜን የማስወገድ መንገድ የመቀነስ አስተሳሰብ የመጀመሪያ ደረጃ እድገት ሊሆን ይችላል። በሌሎች ሁኔታዎች, የሥነ አእምሮ ሐኪሞች ከእንደዚህ ዓይነት ሕመምተኞች ጋር ይሠራሉ.

ከላይ ያሉት የማስተዋወቂያ ምሳሌዎች “ህግን አለማወቅ ከሚያስከትላቸው መዘዞች (የተሳሳቱ ፍርዶች) ነፃ አያድርጉዎትም” በማለት ያመለክታሉ።

የሥነ ልቦና ባለሙያዎች, በተቀነሰ አስተሳሰብ ርዕስ ላይ የሚሰሩ, ሰዎች ይህን ዘዴ እንዲቆጣጠሩ ለመርዳት የተነደፉ ምክሮችን ዝርዝር አዘጋጅተዋል.

የመጀመሪያው ነጥብ ችግር መፍታት ነው. እንደሚታየው, በሂሳብ ውስጥ ጥቅም ላይ የሚውለው የመግቢያ ቅርጽ "ክላሲካል" ተብሎ ሊወሰድ ይችላል, እና የዚህ ዘዴ አጠቃቀም ለአእምሮ "ተግሣጽ" አስተዋጽኦ ያደርጋል.

ለተቀነሰ አስተሳሰብ እድገት የሚቀጥለው ሁኔታ የአንድን ሰው አድማስ ማስፋፋት ነው (በሚያስቡት በግልጽ እራሳቸውን በግልጽ ይገልጻሉ)። ይህ ምክር "መከራን" ወደ ሳይንስ እና የመረጃ ግምጃ ቤቶች (ቤተ-መጽሐፍት, ድረ-ገጾች, ትምህርታዊ ተነሳሽነት, ጉዞ, ወዘተ) ይመራዋል.

"ሳይኮሎጂካል ኢንዳክሽን" ተብሎ የሚጠራውን ልዩ መጠቀስ አለበት. ይህ ቃል, ምንም እንኳን ብዙ ጊዜ ባይሆንም, በበይነመረብ ላይ ሊገኝ ይችላል. ሁሉም ምንጮች የዚህን ቃል ፍቺ ቢያንስ አጭር አጻጻፍ አያቀርቡም ነገር ግን እንደ አዲስ የማስተዋወቂያ አይነት ወይ ጥቆማ ወይም አንዳንድ የአእምሮ ሕመም ዓይነቶች ወይም ጽንፈኛ ሁኔታዎችን ሲያስተላልፉ "የህይወት ምሳሌዎችን" ይመልከቱ. የሰው አእምሮ. ከላይ ከተዘረዘሩት ሁሉ ለመረዳት እንደሚቻለው በውሸት (ብዙውን ጊዜ እውነት ያልሆነ) ግቢ ላይ የተመሰረተ “አዲስ ቃል” ለማውጣት መሞከር ሞካሪው የተሳሳተ (ወይም የቸኮለ) መግለጫ እንዲያገኝ ይፈርዳል።

የ 1960 ሙከራዎች ማጣቀሻ (ቦታውን ሳይጠቁም, የተሞካሪዎችን ስም, የርእሶች ናሙና እና ከሁሉም በላይ, የሙከራው ዓላማ) የሚመስለው, ቀላል, አሳማኝ ያልሆነ እና አንጎል ሁሉንም የአመለካከት አካላት በማለፍ መረጃን እንደሚገነዘበው (“ተነካ የሚለው ሐረግ በዚህ ጉዳይ ላይ የበለጠ ኦርጋኒክ በሆነ መልኩ ይጣጣማል) ፣ አንድ ሰው የመግለጫው ፀሐፊውን ተንኮለኛነት እና ትችት እንዲያስብ ያደርገዋል።

ከመደምደሚያ ይልቅ

የሳይንስ ንግሥት ፣ ሂሳብ ፣ ሁሉንም በተቻለ መጠን የማስተዋወቅ እና የመቀነስ ዘዴን የምትጠቀምበት በከንቱ አይደለም። ከግምት ውስጥ የገቡት ምሳሌዎች ላይ ላዩን እና የተሳሳተ (ባለታሰበበት፣ እነሱ እንደሚሉት) በጣም ትክክለኛ እና አስተማማኝ ዘዴዎችን እንኳን መተግበር ሁልጊዜ ወደ የተሳሳቱ ውጤቶች ይመራል ብለን እንድንደመድም ያስችሉናል።

በጅምላ ንቃተ-ህሊና ውስጥ, የመቀነስ ዘዴ ከታዋቂው Sherlock Holmes ጋር የተያያዘ ነው, እሱም በአመክንዮአዊ ግንባታዎች ውስጥ ብዙ ጊዜ የማስተዋወቅ ምሳሌዎችን ይጠቀማል, በትክክለኛው ሁኔታዎች ላይ ቅነሳን ይጠቀማል.

ጽሁፉ እነዚህን ዘዴዎች በተለያዩ ሳይንሶች እና የሰው እንቅስቃሴ ዘርፎች ውስጥ ተግባራዊ ለማድረግ ምሳሌዎችን መርምሯል.