ተግባር 2.የቮልዝስኪ አውቶሞቢል ፋብሪካ አዲስ ሞተር አስነሳ። አዲስ ሞተር ያለው የመኪና አማካይ ርቀት 160 ሺህ ኪ.ሜ ነው ተብሎ ይታሰባል ፣ ከመደበኛ ልዩነት σ = 30 ሺህ ኪ.ሜ. ከመጀመሪያው ጥገና በፊት የኪሜ ብዛት ምን ያህል ሊሆን ይችላል? የመኪናው ርቀት ከ 100 ሺህ ኪ.ሜ. እስከ 180 ሺህ ኪ.ሜ.

መፍትሄ።ፒ (100000< X < 180000) = Ф(2/3)–Ф(–2) = 0,2454 + 0,4772 = 0,7226.

የተበታተነ ባህሪያት

1.የቋሚ C ልዩነት እኩል ነው 0,ዲሲ = 0, ጋር = const.

ማረጋገጫ.ዲሲ = ኤም(ጋር– ኤም.ሲ.) 2 = ኤም(ጋር– ጋር) = 0.

2.ዲ(ሲኤክስ) = ጋር 2 ዲኤክስ.

ማረጋገጫ። ዲ(ሲኤክስ) = ኤም(ሲኤክስ) 2 – ኤም 2 (ሲኤክስ) = ሲ 2 ኤምኤክስ 2 – ሲ 2 (ኤምኤክስ) 2 = ሲ 2 (ኤምኤክስ 2 – ኤም 2 X) = ጋር 2 ዲኤክስ.

3. X እና Y ካሉ – ገለልተኛ የዘፈቀደ ተለዋዋጮች, ያ

ማረጋገጫ.

4. X ከሆነ 1 , X 2 , … ጥገኛ አይደሉም, እንግዲህ .

ይህ ንብረት ንብረት 3ን በመጠቀም በማስተዋወቅ ሊረጋገጥ ይችላል።

ማረጋገጫ. D(X – Y) = DX + D(–Y) = DX + (–1) 2 ዲ(Y) = DX + D(Y)።

6.

ማረጋገጫ. D(C+X) = M(X+C–M(X+C)) 2 = M(X+C–MX–MC) 2 = M(X+C–MX–C) 2 = M(X– MX) 2 = DX.

ገለልተኛ የዘፈቀደ ተለዋዋጮች ይሁኑ፣ እና፣ .

አዲስ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ እንፍጠር፣ የሒሳብ ጥበቃ እና ልዩነትን እንፈልግ ዋይ.

; .

ማለትም መቼ n®¥ የ n ገለልተኛ በተመሳሳይ የተከፋፈሉ የዘፈቀደ ተለዋዋጮች የሂሳብ አማካኝ የሂሳብ መጠበቅ ሳይለወጥ ይቆያል፣ ከሒሳባዊ ጥበቃ ሀ ጋር እኩል ነው፣ ልዩነቱ ወደ ዜሮ ያዘነብላል።

ይህ የሂሳብ ስታቲስቲካዊ መረጋጋት ንብረት የብዙ ቁጥሮች ህግን መሠረት ያደረገ ነው።

መደበኛ ስርጭት

ፍቀድ Xመደበኛ ስርጭት አለው. ቀደም ሲል በንግግር 11 (ምሳሌ 2) ላይ ታይቷል

ከዚያ Y ~ N(0,1)።

ከዚህ፣ እና ከዚያ፣ ስለዚህ መጀመሪያ እንፈልግ ዳይ.

ስለዚህ

ዲኤክስ= ዲ(ሰ ዋይ+ሀ) = ሰ 2 ዳይ= ሰ 2 ፣ ሰ x= ሰ. (2)

መርዝ ስርጭት

እንደሚታወቀው

ስለዚህም እ.ኤ.አ.

ዩኒፎርም ስርጭት

መሆኑ ይታወቃል .

ከዚህ በፊት ያንን አሳይተናል, ቀመሩን እንጠቀም.

ማረጋገጫ።

በእኩልነት ሰንሰለት ውስጥ ያለው የመጨረሻው ውህደት ከ 0 ጋር እኩል ነው, ምክንያቱም ከችግሩ ሁኔታዎች ስለሚከተል p(MX+t) –ጋር በተያያዘ እንኳ ተግባር ቲ (p(MX+t)= ፒ(ኤምኤክስ-ቲ)), ኤ ቲ 2 ኪ +1- ያልተለመደ ተግባር.

የመደበኛ እና ወጥ የሆነ የስርጭት ህጎች እፍጋቶች በተመጣጣኝ ሁኔታ ስለሚመሳሰሉ X= ኤምኤክስ, ከዚያ ሁሉም ማዕከላዊ የሆኑ ያልተለመዱ ቅደም ተከተሎች ከ 0 ጋር እኩል ናቸው.

ቲዎሪ 2.ከሆነ X~ኤን(ሀ,s), ከዚያ .

የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ብዙ አፍታዎች ይታወቃሉ፣ የስርጭት ህግን የበለጠ ዝርዝር ግንዛቤ አለን። በፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ እና በሂሳብ ስታቲስቲክስ፣ በ 3 ኛ እና 4 ኛ ትዕዛዞች ማዕከላዊ አፍታዎች ላይ የተመሰረቱ ሁለት የቁጥር ባህሪዎች ብዙውን ጊዜ ጥቅም ላይ ይውላሉ። እነዚህ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ skewness Coefficient እና kurtosis ናቸው።

ፍቺ 3. የዘፈቀደ ተለዋዋጭ X asymmetry Coefficient ቁጥሩ ነው።ለ = .

የ asymmetry Coefficient የመደበኛው የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ማዕከላዊ እና የመጀመሪያ ጊዜ ነው። ዋይ, የት. የዚህ መግለጫ ትክክለኛነት ከሚከተሉት ግንኙነቶች ይከተላል.

የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ቅሌት Xከተለዋዋጭ ተለዋዋጭ asymmetry ጋር እኩል ነው። ዋይ = α X + β

እስከ α ምልክት ድረስ. ይህ የሚመጣው የዘፈቀደ ተለዋዋጮች መደበኛነት ሀ X+ ለ እና Xወደ ተመሳሳይ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ይመራል ዋይለመመዝገብ

የፕሮባቢሊቲ ስርጭቱ ያልተመጣጠነ ከሆነ፣ የግራፉ "ረዥም ክፍል" ከቡድን ማእከል በስተቀኝ ካለው፣ ከዚያም β( X) > 0; የግራፉ "ረዥም ክፍል" በግራ በኩል የሚገኝ ከሆነ, ከዚያም β ( X) < 0. Для нормального и равномерного распределений β = 0.

የ kurtosis ጽንሰ-ሀሳብ ከመደበኛ እፍጋቶች ጋር ሲነፃፀር የአንድ ጥግግት ከርቭ ወይም ማከፋፈያ ባለ ብዙ ጎን “ለስላሳነት” ትልቅ ወይም ትንሽ ደረጃን ለመለየት ይጠቅማል።

ፍቺ 4. የዘፈቀደ ተለዋዋጭ X kurtosis ብዛት ነው።

የአጋጣሚ ተለዋዋጭ Kurtosis Xበተለመደው የዘፈቀደ ተለዋዋጭ በ 4 ኛ ቅደም ተከተል የመጀመሪያ እና ማዕከላዊ አፍታዎች መካከል ካለው ልዩነት እና ከቁጥር 3 ጋር እኩል ነው ፣ ማለትም። . ይህንን እናሳይ፡-

የአጋጣሚ ተለዋዋጭ Kurtosis Xከአጋጣሚ ተለዋዋጭ kurtosis ጋር እኩል ነው።

ዋይ = α X + β.

የመደበኛ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ kurtosisን እንፈልግ X.

ከሆነ X~ኤን(ሀ,s), ከዚያም ~ (0,1).

ስለዚህ፣ በተለምዶ የተከፋፈለ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ kurtosis ከ 0 ጋር እኩል ነው። የስርጭት እፍጋቱ አንድ እና ተመሳሳይ ልዩነት ካለው ከተለመደው የስርጭት ጥግግት የበለጠ “ከፍተኛ” ከሆነ፣ ከዚያም g( X) > 0፣ በተመሳሳዩ ሁኔታዎች ስር “ከፍ ያለ” ከሆነ፣ ከዚያ g( X) < 0.

የትልቅ ቁጥሮች ህግ

የብዙ ቁጥሮች ህግ የዘፈቀደ ተለዋዋጮች የሂሳብ አማካኝ ከሂሳብ የሚጠበቁ የሂሳብ አማካኝ ጋር እንዲጣመሩ ሁኔታዎችን ያስቀምጣል።

ፍቺ 1. የዘፈቀደ ተለዋዋጮች ቅደም ተከተል በፕሮባቢሊቲ p ወደ ቁጥሩ convergent ይባላልለ፣ ከሆነ

.

በዚህ እኩልነት ውስጥ ወደ ገደቡ እናልፋ እና እናገኝ

.

የጊዜ ክፍተት ግምት

ያልታወቀ ግቤት ነጥብ ግምት ከናሙና ከተገኘ ፣ስለተገኘው ግምት እንደ እውነተኛ ግቤት ማውራት በጣም አደገኛ ነው። በአንዳንድ ሁኔታዎች የመለኪያ ግምቱን መስፋፋት ካገኘ በኋላ ስለ ትክክለኛው የመለኪያ ዋጋ የጊዜ ክፍተት ግምት ማውራት የበለጠ ጠቃሚ ነው። ይህንን በምሳሌ ለማስረዳት፣ ለመደበኛ ስርጭት ሒሳባዊ ጥበቃ የመተማመን ክፍተት መገንባትን እንመልከት።

መሆኑን አሳይተናል - ለሂሳብ ጥበቃ በጣም ጥሩ ግምት (ፍፁም ትክክል) ኤምኤክስ= Q, ስለዚህ ለትርጉም a = መደበኛ ስርጭት P, የት ፍጹም ትክክለኛ ግምት ነው ቲ- የላፕላስ ተግባር ነጋሪ እሴት ፣ በእሱ ላይ ኤፍ(ቲ) =, ሠ =.

1. Kolemaev V.A., Staroverov O.V., Turundaevsky V.B.የፕሮባቢሊቲ እና የሂሳብ ፅንሰ-ሀሳብ

የሂሳብ ስታቲስቲክስ. ም.፡ ሁለተኛ ደረጃ ትምህርት ቤት፣ 1991

2. Eliseeva I.I., Knyazevsky V.S., Nivorozhkina L.I., Morozova Z.A.የስታቲስቲክስ ጽንሰ-ሀሳብ ከፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ መሰረታዊ ነገሮች ጋር። መ: አንድነት, 2001.

3. ሼኬሊ ጂ.በፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ እና በሂሳብ ስታቲስቲክስ ውስጥ ያሉ ፓራዶክስ። ሚ፡ ሚር፣ 1990

4. Kremer N.Sh.ፕሮባቢሊቲ እና የሂሳብ ስታቲስቲክስ ጽንሰ-ሐሳብ. መ፡ አንድነት፣ 2001 ዓ.ም

5. ስሚርኖቭ ኤን.ቪ. ዱኒን-ባርኮቭስኪ I.V.ለቴክኒካል አፕሊኬሽኖች የፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ እና የሂሳብ ስታቲስቲክስ ኮርስ። ኤም: ናኡካ, 1969.

6. ተጨባጭ ቀመሮችን ለመገንባት የስታቲስቲክስ ዘዴዎች. ም.፡ ሁለተኛ ደረጃ ትምህርት ቤት፣ 1988 ዓ.ም.

ትምህርት 1. ፕሮባቢሊቲ ንድፈ ሃሳቦች. ታሪክ። ፕሮባብሊቲ ክላሲካል ፍቺ... 3

ትምህርት 2. የመደመር እና እድሎችን ማባዛት ንድፈ ሃሳቦች. እስታቲስቲካዊ፣ ጂኦሜትሪ የአቅም ፍቺ.. 8

ትምህርት 3. የፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ አክሲዮማቲክ ግንባታ. የኮልሞጎሮቭስ አክሲዮማቲክስ.. 14

ትምህርት 4. በዘፈቀደ ተለዋዋጭ. የማከፋፈያ ተግባር... 17

ትምህርት 5. ግልጽ የሆኑ የዘፈቀደ ተለዋዋጮች ስርጭት... 21

ትምህርት 6. ሞቪየር–ላፕላስ ኢንተግራል ቲዎረም፣ የበርኑሊ ቲዎረም.. 26

ትምህርት 7. ቀጣይነት ያለው የዘፈቀደ ተለዋዋጮች... 29

ትምህርት 8. የብዝሃ-ነሲብ ተለዋዋጭ ጽንሰ-ሀሳብ... 35

ትምህርት 9. የብዝሃ-ነሲብ ተለዋዋጭ የማከፋፈል ተግባር... 39

10 ትምህርት

ትምህርት 11. የዘፈቀደ ተለዋዋጮች ተግባራት... 48

ትምህርት 12. የሁለት የዘፈቀደ ተለዋዋጮች ድምር ጥግግት ላይ ቲዎረም.. 52

ትምህርት 13. ተማሪ፣ ፊሸር ማከፋፈያዎች፣ የቁጥር ባህሪያት በዘፈቀደ ናቸው።

በፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ ላይ ለፈተናው የተሰጡ መልሶችየመጀመሪያ ዓመት ተማሪዎች የሂሳብ ትምህርቶችን የሚያጠኑ ይረዳል። ምደባዎቹ ብዙ የንድፈ ሃሳቦችን ይሸፍናሉ, እና የመፍትሄያቸው ምክንያት ለእያንዳንዱ ተማሪ ጠቃሚ ይሆናል.

ችግር 1. ሁሉም ጠርዞች ቀለም የተቀቡ ኩብ ወደ 1000 ኩብ ተመሳሳይ መጠን ተቆርጧል. በዘፈቀደ የተሳለ ኪዩብ ሊኖረው የሚችለውን እድል ይወስኑ፡-

• ሀ) አንድ ቀለም የተቀባ ጠርዝ;
• ለ) ሁለት ጥላ ያላቸው ፊት.

ስሌቶች: አንድ ኪዩብ በተመሳሳይ መጠን ወደ ኩብ ከተቆረጠ, ሁሉም ፊቶች ወደ 100 ካሬዎች ይከፈላሉ. (በምስሉ ላይ እንደሚታየው)
በተጨማሪም ፣ እንደ ሁኔታው ​​፣ ኪዩብ አንድ ጥላ ያለው ፊት ሊኖረው ይገባል - ይህ ማለት ኩብዎቹ የውጪው ገጽ መሆን አለባቸው ነገር ግን በኩባው ጠርዝ ላይ አይተኛሉም (2 የተሸለሙ ንጣፎች) እና በማእዘኖቹ ላይ - ሶስት ጥላዎች አሏቸው ። ገጽታዎች.
ስለዚህ, የሚፈለገው መጠን ከ 6 ፊት ምርት እና በ 8 * 8 ካሬ ውስጥ ያለው የኩቦች ብዛት እኩል ነው.
6 * 8 * 8 = 384 - ባለ 1 ቀለም ወለል ያላቸው ኩቦች።
ዕድሉ ከተመቹ ክስተቶች ብዛት ጋር እኩል ነው ከጠቅላላ ቁጥራቸው P=384/1000=0.384።
ለ) ሁለት ጥላ ያላቸው ፊት የኩቤው ጫፎች ሳይኖራቸው በጠርዙ በኩል ኩብ አላቸው. በአንድ ጠርዝ ላይ 8 እንደዚህ ያሉ ኩቦች ይኖራሉ. በኩቤው ውስጥ በአጠቃላይ 12 ጠርዞች አሉ, ስለዚህ ሁለቱ የተከለሉ ፊቶች አሏቸው
8*12=96 ኪዩብ።
እና ከ 1000 ውስጥ እነሱን የማውጣት እድሉ እኩል ነው።
P=96/1000=0.096.
ይህ ተግባር ተፈትቷል እና ወደሚቀጥለው እንቀጥላለን.

ተግባር 2. A, A, A, N, N, C ፊደሎች በተመሳሳይ ካርዶች ላይ ተጽፈዋል. ካርዶቹን በዘፈቀደ በተከታታይ በማስቀመጥ አናናስ የሚለውን ቃል የምናገኝበት ዕድል ምን ያህል ነው?
ስሌቶች፡ ሁልጊዜ ከሚታወቀው ነገር ማመዛዘን አለብህ። ከ 3 ፊደሎች A, 2-H, እና 1 - C, በጠቅላላው 6 ናቸው, "አናናስ" ለሚለው ቃል ፊደላትን መምረጥ እንጀምር. የመጀመሪያው ፊደል A ነው, ከ 6 ውስጥ በ 3 መንገዶች መምረጥ እንችላለን, ምክንያቱም ከታወቁት 6 ፊደሎች A 3 ናቸው. ስለዚህ, በመጀመሪያ A የመሳል እድሉ ነው
P 1 = 3/6 = 1/2.
ሁለተኛው ፊደል H ነው, ነገር ግን A ከወጣ በኋላ, ለመምረጥ 5 ፊደሎች መኖራቸውን መዘንጋት የለብንም. ስለዚህ, ቁጥር 2 H የመሳል እድሉ እኩል ነው
P 2 = 2/5
በቀሩት 4 መካከል የሚቀጥለው ሀ ዕድል ተስሏል።
P 3 = 2/4.
በመቀጠል, H ከፕሮባቢሊቲው ሊወጣ ይችላል
P 4 = 1/3
ወደ መጨረሻው በተጠጋ መጠን እድሉ እየጨመረ ይሄዳል እና አስቀድመን A በ
P 5 = 1/2
ከዚህ በኋላ አንድ ካርድ ሲ ብቻ ይቀራል, ስለዚህ የመሳል እድሉ 100 በመቶ ወይም
P 6 = 1
ፒንኤፕሌ የሚለውን ቃል የመመስረት እድሉ ከፕሮባቢሊቲዎች ምርት ጋር እኩል ነው።
P=3/6*2/5*2/4*1/3*1/2*1=1/60=0.016(6)።
በፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ ውስጥ ተመሳሳይ ችግሮች የተመሰረቱት በዚህ ነው።

ተግባር 3. ነጋዴው በዘፈቀደ ከተመረቱ ምርቶች ውስጥ ናሙናዎችን ይመርጣል. በዘፈቀደ የሚወሰድ ምርት ከፍተኛው ክፍል የመሆን እድሉ 0.8 ነው። ከተመረጡት 3 ምርቶች መካከል ከፍተኛ ደረጃ ያላቸው ሁለት ምርቶች ሊኖሩ እንደሚችሉ ይፈልጉ?
ስሌቶች፡ ይህ ምሳሌ በበርኑሊ ቀመር አተገባበር ላይ የተመሰረተ ነው።
p=0.8; q=1-0.8=0.2.
ቀመሩን በመጠቀም እድሉን እናሰላለን

በቅንብሮች ቋንቋ ካላብራሩት, የሶስት ክስተቶችን ጥምረት ማድረግ ያስፈልግዎታል, ሁለቱ ተስማሚ እና አንዱ አይደሉም. ይህ እንደ ምርቶቹ ድምር ሊጻፍ ይችላል

ሁለቱም አማራጮች እኩል ናቸው, የመጀመሪያው ብቻ በሁሉም ተግባራት ውስጥ ሊተገበር ይችላል, ሁለተኛው ደግሞ ከታሰበው ጋር ተመሳሳይ ነው.

ችግር 4. ከአምስቱ ተኳሾች ሁለቱ ዒላማውን በ0.6 እና ሦስቱ በ0.4 ዕድል ይመታሉ። የበለጠ ምን ሊሆን ይችላል፡ በዘፈቀደ የተመረጠ ተኳሽ ኢላማውን ይመታል ወይስ አልመታም?
ስሌቶች፡ አጠቃላይ የይሁንታ ቀመር በመጠቀም ተኳሹ የመምታቱን እድል እንወስናለን።
P=2/5*0.6+3/5*0.4=0.24+0.24=0.48.
ከፒ<0,5 , следовательно вероятнее что наугад выбранный стрелок не попадет в цель.
ያለመምታት እድሉ ነው።

ወይም
P=2/5*(1-0.6)+3/5*(1-0.4)=0.16+0.36=0.52።

ችግር 5. ወደ ፈተና ከመጡ 20 ተማሪዎች ጋር 10 ሙሉ በሙሉ ተዘጋጅተዋል (ሁሉንም ጥያቄዎች ያውቁ ነበር)፣ 7 በደንብ ተዘጋጅተዋል (እያንዳንዳቸው 35 ጥያቄዎችን ያውቁ ነበር) እና 3 በደንብ ያልተዘጋጁ (10 ጥያቄዎች)። ፕሮግራሙ 40 ጥያቄዎችን ይዟል። በዘፈቀደ የተጠራ ተማሪ በቲኬቱ ላይ ሶስት ጥያቄዎችን መለሰ። እሱ የተዘጋጀበት ዕድል ምንድነው?

• ሀ) በጣም ጥሩ;
• ለ) መጥፎ.

ስሌቶች: የችግሩ ዋና ነገር ተማሪው በቲኬቱ ላይ ሶስት ጥያቄዎችን ማለትም የተጠየቀውን ሁሉ መልስ መስጠቱ ነው, አሁን ግን የማግኘት እድሉ ምን እንደሆነ እናሰላለን.
ተማሪው ሶስት ጥያቄዎችን በትክክል የመለሰበትን እድል እንፈልግ። ይህ የተማሪዎች ብዛት ከቡድኑ ጋር ያለው ጥምርታ ከሁሉም በሚችሉት መካከል በሚያውቁት ትኬቶችን የመሳል እድሉ ተባዝቶ ይሆናል።

አሁን አንድ ተማሪ "በጥሩ ሁኔታ" የተዘጋጀ ቡድን ውስጥ የመሆን እድልን እናገኝ። ይህ ከመጀመሪያው የቅድሚያ ዕድል እና የዕድል እድሎች ጋር እኩል ነው

አንድ ተማሪ በደንብ ባልተዘጋጀ ቡድን ውስጥ የመሆን እድሉ በጣም ትንሽ እና ከ 0.00216 ጋር እኩል ነው።

ይህ ተግባር ተጠናቅቋል። በጥያቄዎች እና በፈተናዎች ላይ የተለመደ ስለሆነ በደንብ ተረዱት እና እንዴት እንደሚሰላ አስታውሱ።

ችግር 6. ሳንቲም 5 ጊዜ ይጣላል. የክንድ ቀሚስ ከ 3 ጊዜ ያነሰ የመታየት እድል ይፈልጉ?
ስሌቶች: ክንዶች ወይም ጅራት ኮት የመሳል እድሉ እኩል እና ከ 0.5 ጋር እኩል ነው. ከ 3 ጊዜ ያነሰ ማለት የክንድ ቀሚስ 0, 1 ወይም 2 ጊዜ ሊታይ ይችላል. "ወይም" ሁልጊዜም በመደመር በኦፕሬሽኖች ውስጥ በአጋጣሚ ይገለጻል።
የበርኑሊ ቀመርን በመጠቀም ዕድሎችን እናገኛለን

ከ p=q=0.5 ጀምሮ፣ ያኔ እድሉ ነው።

እድሉ 0.5 ነው።

ችግር 7. የብረት ተርሚናሎችን በማተም በአማካይ 90% ደረጃውን የጠበቀ ነው. ከ900 ተርሚናሎች መካከል ቢያንስ 790 እና ቢበዛ 820 ተርሚናሎች መደበኛ ሊሆኑ የሚችሉበትን ዕድል ይፈልጉ።

ስሌቶች: ስሌቶች መከናወን አለባቸው

ፕሮባቢሊቲ እና የሂሳብ ስታቲስቲክስ ጽንሰ-ሐሳብ

1. የፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ ርዕሰ ጉዳይ እና ኢኮኖሚያዊ እና ቴክኒካዊ ችግሮችን ለመፍታት ያለው ጠቀሜታ. ፕሮባቢሊቲ እና ፍቺው

ለረጅም ጊዜ የሰው ልጅ ለድርጊቶቹ ቆራጥነት የሚባሉትን ብቻ አጥንቶ ይጠቀም ነበር። ነገር ግን፣ የዘፈቀደ ክስተቶች ያለእኛ ፍላጎት ወደ ህይወታችን ውስጥ ገብተው በየጊዜው ስለሚከብቡን እና ከዚህም በላይ በተፈጥሮ ውስጥ ሁሉም ማለት ይቻላል የተፈጥሮ ክስተቶች በዘፈቀደ ስለሚሆኑ እነሱን እንዴት ማጥናት እና ለዚህ ዓላማ የጥናት ዘዴዎችን ማዳበር ያስፈልጋል።

እንደ የምክንያታዊ ግንኙነቶች መገለጫ ፣ የተፈጥሮ እና የህብረተሰብ ህጎች በሁለት ክፍሎች ይከፈላሉ-ቆራጥ (የተወሰነ) እና ስታቲስቲካዊ።

ለምሳሌ, የሰለስቲያል ሜካኒክስ ህጎችን መሰረት በማድረግ በአሁኑ ጊዜ በፀሐይ ስርዓት ፕላኔቶች ላይ በሚታወቁት ቦታዎች ላይ በመመስረት, በማንኛውም ጊዜ ላይ ያላቸውን አቋም በማያሻማ ሁኔታ ሊተነብይ ይችላል, የፀሐይ እና የጨረቃ ግርዶሾችን ጨምሮ በጣም በትክክል መተንበይ ይቻላል. ይህ የመወሰኛ ህጎች ምሳሌ ነው።

ሆኖም ግን, ሁሉም ክስተቶች በትክክል መተንበይ አይችሉም. ስለዚህ, የረጅም ጊዜ የአየር ንብረት ለውጦች እና የአጭር ጊዜ የአየር ሁኔታ ለውጦች ለስኬታማ ትንበያ እቃዎች አይደሉም, ማለትም. ብዙ ሕጎች እና ቅጦች በቆራጥነት ማዕቀፍ ውስጥ በጣም ያነሰ ይስማማሉ። እነዚህ አይነት ህጎች እስታቲስቲካዊ ህጎች ይባላሉ። በነዚህ ህጎች መሰረት, የስርዓቱ የወደፊት ሁኔታ በእርግጠኝነት አይወሰንም, ነገር ግን በተወሰነ ዕድል ብቻ ነው.

የፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ፣ ልክ እንደሌሎች የሂሳብ ሳይንሶች፣ ከተግባር ፍላጎቶች ታድሶ እና አዳብሯል። በጅምላ በዘፈቀደ ክስተቶች ውስጥ ያሉትን ንድፎች ታጠናለች።

የፕሮባቢሊቲ ንድፈ ሐሳብ የተወሰኑ ሁኔታዎች ሲባዙ ብዙ ጊዜ ሊደጋገሙ የሚችሉ የጅምላ የዘፈቀደ ክስተቶችን ባህሪያት ያጠናል. የማንኛውም የዘፈቀደ ክስተት ዋና ንብረቱ፣ ባህሪው ምንም ይሁን ምን፣ የመከሰቱ መለኪያ ወይም እድል ነው።

የምንመለከታቸው ክስተቶች (ክስተቶች) በሶስት ዓይነቶች ሊከፈሉ ይችላሉ-አስተማማኝ, የማይቻል እና በዘፈቀደ.

በእርግጠኝነት ሊከሰት የሚችል ክስተት በእርግጠኝነት ይባላል. የማይቻል ነገር እንደማይሆን የምናውቀው ክስተት ነው። የዘፈቀደ ክስተት ወይ ሊከሰት ወይም ሊከሰት የሚችል ክስተት ነው።

የሁሉንም መንስኤዎች ተፅእኖ በዘፈቀደ ክስተት ላይ ግምት ውስጥ ማስገባት ስለማይቻል የፕሮባቢሊቲ ንድፈ ሀሳብ አንድ ክስተት ይከሰት ወይም አይከሰትም ብሎ የመተንበይ ስራ እራሱን አላዘጋጀም። በሌላ በኩል፣ ልዩ ተፈጥሮቸው ምንም ይሁን ምን ፣ በቂ ብዛት ያላቸው ተመሳሳይነት ያላቸው የዘፈቀደ ክስተቶች ፣ ለተወሰኑ ቅጦች ተገዢ ናቸው ፣ ማለትም ፣ ሊሆኑ የሚችሉ ቅጦች።

ስለዚህ፣ የፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ ርዕሰ ጉዳይ የጅምላ ወጥ የሆነ የዘፈቀደ ክስተቶች ፕሮባቢሊቲካል ቅጦች ጥናት ነው።

ከጅምላ የዘፈቀደ ክስተቶች ጋር የተያያዙ አንዳንድ ችግሮች በ17ኛው ክፍለ ዘመን መጀመሪያ ላይ ተገቢውን የሂሳብ መሳሪያ በመጠቀም ለመፍታት ሞክረዋል። የተለያዩ የአጋጣሚ ጨዋታዎችን ኮርስ እና ውጤቶችን በማጥናት, B. Pascal, P. Fermat እና H. Huygens በ 17 ኛው ክፍለ ዘመን አጋማሽ ላይ የክላሲካል ኦቭ ፕሮባቢሊቲ ንድፈ ሃሳብ መሰረት ጥለዋል. በስራቸው ውስጥ፣ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ የመሆን እድል እና ሒሳባዊ ጥበቃ ጽንሰ-ሀሳቦችን በተዘዋዋሪ ተጠቅመዋል። በ 18 ኛው ክፍለ ዘመን መጀመሪያ ላይ ብቻ. ጄ. በርኑሊ የፕሮባቢሊቲ ጽንሰ-ሀሳብን ይቀርፃል።

ፕሮባቢሊቲ ንድፈ ሐሳብ ለሞኢቭር፣ ላፕላስ፣ ጋውስ፣ ፖይሰን እና ሌሎች ተጨማሪ ስኬቶች አሉት።

እንደ ፒኤልኤል ያሉ የሩሲያ እና የሶቪየት የሂሳብ ሊቃውንት ለፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ እድገት ትልቅ አስተዋፅዖ አድርገዋል። Chebyshev, A.A. ማርኮቭ, ኤ.ኤም. ሊያፑኖቭ, ኤስ.ኤን. በርንስታይን ፣ ኤ.ኤን. ኮልሞጎሮቭ, አ.ያ. Khinchin, A. Prokhorov, ወዘተ.

ፕሮባቢሊቲ ንድፈ ሐሳብን ለማዳበር ልዩ ቦታ የኡዝቤክ ትምህርት ቤት ነው, ታዋቂ ወኪሎቹ የአካዳሚክ ሊቃውንት V.I. ሮማኖቭስኪ, ኤስ.ኬ. ሲራዝዲኖቭ, ቲ.ኤ. ሳሪምሳኮቭ, ቲ.ኤ. አዝላሮቭ, ሸ.ኬ. Farmanov, ፕሮፌሰር I.S. ባዳልባቭ, ኤም.ዩ. ጋፉሮቭ, ሸ.ኤ. ካሺሞቭ እና ሌሎችም።

ቀደም ሲል እንደተገለፀው ፣ የተግባር ፍላጎቶች ፣ የፕሮባቢሊቲ ፅንሰ-ሀሳብ እንዲፈጠር አስተዋጽኦ ካደረጉ ፣ እድገቱን እንደ ሳይንስ በመመገብ ፣ ብዙ እና ብዙ ቅርንጫፎች እና ክፍሎች እንዲፈጠሩ አድርጓል። የሂሳብ ስታቲስቲክስ በፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ ላይ የተመሰረተ ነው, ተግባሩ ከናሙና እንደገና መገንባት ነው, በተወሰነ ደረጃ አስተማማኝነት, በአጠቃላይ ህዝብ ውስጥ ያሉ ባህሪያት. እንደ የዘፈቀደ ሂደቶች ፅንሰ-ሀሳብ ፣የወረፋ ንድፈ ሀሳብ ፣ የመረጃ ንድፈ ሀሳብ ፣ አስተማማኝነት ንድፈ-ሀሳብ ፣ኢኮኖሚሜትሪክ ሞዴሊንግ ፣ወዘተ ያሉ የሳይንስ ቅርንጫፎች ከፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ ተለያይተዋል።

የፕሮባቢሊቲ ንድፈ ሀሳብ በጣም አስፈላጊዎቹ የትግበራ መስኮች ኢኮኖሚያዊ እና ቴክኒካል ሳይንሶችን ያካትታሉ። በአሁኑ ጊዜ በፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ ላይ የተመሰረተ ሞዴል ሳይደረግ የኢኮኖሚ እና የቴክኒካዊ ክስተቶችን ጥናት ማሰብ አስቸጋሪ ነው, የግንኙነት እና የተሃድሶ ትንተና ሞዴሎች, በቂነት እና "ስሱ" ተስማሚ ሞዴሎች.

በትራፊክ ፍሰቶች ውስጥ የተከሰቱ ክስተቶች, የመኪና አካላት አስተማማኝነት ደረጃ, የመኪና አደጋዎች በመንገዶች ላይ, በመንገድ ዲዛይን ሂደት ውስጥ ያሉ የተለያዩ ሁኔታዎች በእድላቸው ንድፈ ሃሳብ ዘዴዎች በተጠኑ ችግሮች ውስጥ ተካትተዋል.

የፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ መሰረታዊ ፅንሰ-ሀሳቦች ልምድ ወይም ሙከራ እና ክስተቶች ናቸው። በተወሰኑ ሁኔታዎች እና ሁኔታዎች ውስጥ የሚከናወኑ ድርጊቶችን ሙከራ ብለን እንጠራዋለን. እያንዳንዱ ልዩ የሙከራ ትግበራ ፈተና ይባላል።

እያንዳንዱ ሊታሰብ የሚችል የሙከራ ውጤት የመጀመሪያ ደረጃ ክስተት ተብሎ ይጠራል እና በ. የዘፈቀደ ክስተቶች የተወሰኑ የመጀመሪያ ደረጃ ክስተቶችን ያቀፉ እና በ A፣ B፣ C፣ D፣... ይወክላሉ።

እንደዚህ ያሉ የመጀመሪያ ደረጃ ክስተቶች ስብስብ

1) በሙከራ ምክንያት ከአንደኛ ደረጃ ክስተቶች አንዱ ሁልጊዜ ይከሰታል;

2) በአንድ ሙከራ ወቅት አንድ የአንደኛ ደረጃ ክስተት ብቻ ይከሰታል፣ የአንደኛ ደረጃ ክስተቶች ቦታ ተብሎ የሚጠራ እና የሚያመለክት።

ስለዚህ ማንኛውም የዘፈቀደ ክስተት የአንደኛ ደረጃ ክስተቶች ቦታ ንዑስ ስብስብ ነው። የአንደኛ ደረጃ ክስተቶች ቦታን በመግለጽ, አስተማማኝ ክስተትን ሊያመለክት ይችላል. የማይቻል ክስተት የሚገለጸው በ.

ምሳሌ 1፡ ሙት ይጣላል። ከዚህ ሙከራ ጋር የሚዛመደው የአንደኛ ደረጃ ክስተቶች ቦታ የሚከተለው ቅጽ አለው።

ምሳሌ 2. ሽንት 2 ቀይ, 3 ሰማያዊ እና 1 ነጭ, በአጠቃላይ 6 ኳሶችን ይይዝ. ሙከራው ኳሶችን በዘፈቀደ ከኡርን መሳል ያካትታል። ከዚህ ሙከራ ጋር የሚዛመደው የአንደኛ ደረጃ ክስተቶች ቦታ የሚከተለው ቅጽ አለው።

የመጀመሪያ ደረጃ ዝግጅቶች የሚከተሉት ትርጉሞች ሲኖራቸው: - ነጭ ኳስ ታየ; - ቀይ ኳስ ታየ; - ሰማያዊ ኳስ ታየ. የሚከተሉትን ክስተቶች አስቡባቸው:

ሀ - ነጭ ኳስ መልክ;

B - የቀይ ኳስ መልክ;

ሐ - ሰማያዊ ኳስ መልክ;

መ -- ባለቀለም (ነጭ ያልሆነ) ኳስ መልክ።

እዚህ እያንዳንዳቸው እነዚህ ክስተቶች አንድ ወይም ሌላ የመቻል ደረጃ እንዳላቸው እናያለን-አንዳንዶቹ - ትልቅ ፣ ሌሎች - ያነሰ። በግልጽ ለማየት እንደሚቻለው, የክስተት ቢ ዕድል መጠን ከክስተት A ይበልጣል. ክስተቶች C - ከክስተቶች B; ክስተቶች D - ከክስተቶች ሐ ይልቅ ክስተቶችን በቁጥር እርስ በርስ ለማነፃፀር እንደ እድላቸው መጠን ፣ ግልፅ ነው ፣ ከእያንዳንዱ ክስተት ጋር የተወሰነ ቁጥር ማገናኘት አስፈላጊ ነው ፣ ይህም የበለጠ ፣ ክስተቱ በተቻለ መጠን።

ይህንን ቁጥር እንገልፃለን እና የክስተት ዕድል ብለን እንጠራዋለን።

የአንደኛ ደረጃ ክስተቶች ቦታ ውሱን ስብስብ ይሁን እና ንጥረ ነገሮቹ ይሁኑ። እነሱ እኩል ሊሆኑ የሚችሉ የመጀመሪያ ደረጃ ክስተቶች ናቸው ብለን እንገምታለን, ማለትም. እያንዳንዱ የመጀመሪያ ደረጃ ክስተት ከሌሎች የበለጠ የመከሰት እድል የለውም። እንደሚታወቀው፣ እያንዳንዱ የዘፈቀደ ክስተት ሀ የአንደኛ ደረጃ ክስተቶችን እንደ ንዑስ ስብስብ ያካትታል። እነዚህ የመጀመሪያ ደረጃ ዝግጅቶች ተስማሚ ተብለው ይጠራሉ ሀ.

የክስተት A ዕድል በቀመር ይወሰናል

m ለ A ተስማሚ የአንደኛ ደረጃ ክስተቶች ብዛት ፣ n በ ውስጥ የተካተቱት ሁሉም የመጀመሪያ ደረጃ ክስተቶች ብዛት ነው።

በምሳሌ 1 ሀ የተመጣጣኝ ነጥቦች ብዛት የሚታይበትን ክስተት የሚያመለክት ከሆነ

በምሳሌ 2፣ የክስተቶች እድሎች የሚከተሉት እሴቶች አሏቸው።

የሚከተሉት ባህሪያት ከፕሮባቢሊቲ ፍቺ ይከተላሉ:

1. አስተማማኝ ክስተት የመሆን እድሉ ከአንድ ጋር እኩል ነው.

በእርግጥ, አንድ ክስተት አስተማማኝ ከሆነ, ሁሉም የመጀመሪያ ደረጃ ክስተቶች ይደግፋሉ. በዚህ ሁኔታ m = n እና ስለዚህ

2. የማይቻል ክስተት የመሆን እድሉ ዜሮ ነው።

በእርግጥ አንድ ክስተት የማይቻል ከሆነ አንድ የመጀመሪያ ደረጃ ክስተት አይደግፈውም። በዚህ ሁኔታ m=0 እና ስለዚህ

3. የዘፈቀደ ክስተት የመሆን እድሉ በዜሮ እና በአንድ መካከል ያለው አወንታዊ ቁጥር ነው።

በእርግጥ፣ ከአጠቃላይ የአንደኛ ደረጃ ክስተቶች አንድ ክፍል ብቻ የዘፈቀደ ክስተትን ይደግፋል። በዚህ ጉዳይ ላይ, እና ስለዚህ, እና ስለዚህ,

ስለዚህ የማንኛውም ክስተት ዕድል እኩልነትን ያሟላል።

የክስተቱ አንጻራዊ ድግግሞሽ ክስተቱ የተከሰተበት የሙከራዎች ብዛት እና በእውነቱ የተከናወኑ ሙከራዎች ብዛት ጥምርታ ነው።

ስለዚህ, የዝግጅቱ አንጻራዊ ድግግሞሽ በቀመር ይወሰናል

m የዝግጅቱ ክስተቶች ብዛት, n አጠቃላይ የሙከራዎች ብዛት ነው.

የፕሮባቢሊቲ እና አንጻራዊ ድግግሞሽ ፍቺዎችን በማነፃፀር እንጨርሳለን-የመሆኑን ፍቺ ፈተናዎች በትክክል እንዲከናወኑ አያስፈልግም; አንጻራዊ ድግግሞሹን መወሰን ፈተናዎቹ በትክክል እንደተከናወኑ ያስባል።

ምሳሌ 3. በዘፈቀደ ከተመረጡት 80 ተመሳሳይ ክፍሎች፣ 3 ጉድለት ያለባቸው ክፍሎች ተለይተዋል። የተበላሹ ክፍሎች አንጻራዊ ድግግሞሽ ነው

ምሳሌ 4. በዓመቱ ውስጥ 24 ፍተሻዎች በአንዱ ተቋማት ውስጥ ተካሂደዋል, እና 19 የህግ ጥሰቶች ተመዝግበዋል. የሕጉን ጥሰቶች አንጻራዊ ድግግሞሽ ነው

የረጅም ጊዜ ምልከታዎች እንደሚያሳዩት ሙከራዎች በተመሳሳይ ሁኔታዎች ውስጥ ከተከናወኑ ፣ በእያንዳንዱ ውስጥ የፈተናዎች ብዛት በጣም ትልቅ ከሆነ ፣ አንጻራዊ ድግግሞሽ በትንሹ ይቀየራል (ትንሽ ፣ ብዙ ሙከራዎች ይከናወናሉ) ፣ በተወሰነ ቋሚ ዙሪያ ይለዋወጣል። ቁጥር ይህ ቋሚ ቁጥር የክስተቱ የመከሰት እድል እንደሆነ ታወቀ።

ስለዚህ, አንጻራዊው ድግግሞሽ በሙከራ ከተመሠረተ, የተገኘው ቁጥር እንደ ግምታዊ ሊሆን ይችላል እሴት ሊወሰድ ይችላል. ይህ የፕሮባቢሊቲ እስታቲስቲካዊ ፍቺ ነው።

በማጠቃለያው የፕሮባቢሊቲ ጂኦሜትሪክ ፍቺን እንመልከት።

የአንደኛ ደረጃ ክስተቶች ቦታ በአውሮፕላን ወይም በህዋ ላይ እንደ አንድ የተወሰነ ቦታ ከተወሰደ እና ሀ እንደ ንዑስ ስብስብ ከሆነ ፣ የክስተት ዕድል ሀ የቦታዎች ወይም መጠኖች ጥምርታ ተደርጎ ይወሰዳል ፣ እና ይገኛል ። በሚከተሉት ቀመሮች መሰረት፡-

የመድገም እና የመቆጣጠር ጥያቄዎች፡-

1. የተፈጥሮ እና የህብረተሰብ ህጎች በምክንያት ግንኙነቶች መገለጫ መልክ የተከፋፈሉት በምን ዓይነት ክፍሎች ነው?

2. ምን አይነት ክስተቶች ሊከፋፈሉ ይችላሉ?

3. የፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ ርዕሰ ጉዳይ ምንድን ነው?

4. ስለ ፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ እድገት ታሪክ ምን ያውቃሉ?

5. ለኢኮኖሚያዊ እና ቴክኒካል ችግሮች የፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ ጠቀሜታ ምንድነው?

6. ሙከራ, ፈተና, የመጀመሪያ ደረጃ ክስተት እና ክስተት ምንድን ነው, እንዴት ይመደባሉ?

7. የአንደኛ ደረጃ ክስተቶች ቦታ ምን ይባላል?

8. የክስተቱ ዕድል እንዴት ይወሰናል?

9. ምን ዓይነት የመሆን ባህሪያት ያውቃሉ?

10. ስለ አንድ ክስተት አንጻራዊ ድግግሞሽ ምን ያውቃሉ?

11. የፕሮባቢሊቲ እስታቲስቲካዊ ፍቺ ምንነት ምንድን ነው?

12. የፕሮባቢሊቲ ጂኦሜትሪክ ፍቺ ምንድን ነው?

የ A.N. Kolmogorov የህይወት ታሪክ እና ስራዎች

የአንደኛ ደረጃ ፕሮባቢሊቲ ንድፈ ሐሳብ አንድ የተወሰነ የክስተቶች ብዛት ብቻ የመጋለጥ እድሎችን የሚፈታበት የፕሮባቢሊቲ ንድፈ ሐሳብ አካል ነው። ፕሮባቢሊቲ ንድፈ ሐሳብ እንደ የሂሳብ ትምህርት...

የቬክተር ቦታ. የመስመር ፕሮግራሚንግ ችግሮችን በግራፊክ መፍታት

አሁን በርካታ መስመራዊ ፕሮግራሚንግ ችግሮችን እንይ እና በግራፊክ እንፍታ። ችግር 1. ከፍተኛ Z = 1+ -,. መፍትሄ። በዚህ ችግር እኩልነት ስርዓት የተገለጹት ግማሽ አውሮፕላኖች የተለመዱ ነጥቦች እንደሌላቸው ልብ ይበሉ (ምስል 2)