የሚታወቀውን የይሁንታ ፍቺ ይስጡ። ፕሮባቢሊቲዎችን ለመጨመር ቀመሮች

የክስተቱ እድል የዚህ ክስተት የመከሰት እድል እንደ የተወሰነ የቁጥር ባህሪ ተረድቷል። ዕድልን ለመወሰን በርካታ መንገዶች አሉ።

የዝግጅቱ ዕድል ሀለዚህ ክስተት ተስማሚ የሆኑ የውጤቶች ብዛት ጥምርታ ይባላል። ስለዚህ, የዝግጅቱ ዕድል ሀበቀመርው ይወሰናል

የት ኤም- ተስማሚ የአንደኛ ደረጃ ውጤቶች ብዛት ሀ, n- የሁሉም የመጀመሪያ ደረጃ ፈተና ውጤቶች ብዛት።

ምሳሌ 3.1.ሞትን መወርወርን በሚመለከት በተደረገ ሙከራ የሁሉም ውጤቶች ብዛት nእኩል 6 እና ሁሉም እኩል ይቻላል. ክስተቱ ይሁን ሀየአንድ እኩል ቁጥር መልክ ማለት ነው። ከዚያ ለዚህ ክስተት, ጥሩ ውጤቶች የቁጥር 2, 4, 6 መልክ ይሆናሉ. ቁጥራቸው 3 ነው. ስለዚህ, የዝግጅቱ ዕድል. ሀእኩል ይሆናል

ምሳሌ 3.2.በዘፈቀደ የተመረጠ ባለ ሁለት አሃዝ ቁጥር ተመሳሳይ አሃዞች እንዲኖራቸው እድሉ ምን ያህል ነው?

ባለ ሁለት አሃዝ ቁጥሮች ከ 10 እስከ 99 ቁጥሮች ናቸው, በጠቅላላው 90 ቁጥሮች አሉ. 9 ቁጥሮች ተመሳሳይ አሃዞች አላቸው (እነዚህ ቁጥሮች 11, 22, ..., 99 ናቸው). በዚህ ጉዳይ ላይ ጀምሮ ኤም=9, n=90 እንግዲህ

የት ሀ- ክስተት፣ “ተመሳሳይ አሃዞች ያሉት ቁጥር።

ምሳሌ 3.3.በ 10 ክፍሎች ውስጥ, 7 መደበኛ ናቸው. በዘፈቀደ ከተወሰዱ ስድስት ክፍሎች መካከል 4ቱ መደበኛ የመሆኑን እድል ይፈልጉ።

የአንደኛ ደረጃ የፈተና ውጤቶች አጠቃላይ ቁጥር 6 ክፍሎች ከ 10 የሚወጡበት መንገዶች ቁጥር ጋር እኩል ነው ፣ ማለትም ፣ እያንዳንዳቸው 6 ንጥረ ነገሮች 10 ንጥረ ነገሮች ጥምረት። ለእኛ ፍላጎት ላለው ክስተት ተስማሚ የሆኑትን የውጤቶች ብዛት እንወስን ሀ(ከተወሰዱት ስድስት ክፍሎች መካከል 4 መደበኛ ክፍሎች አሉ)። አራት መደበኛ ክፍሎች ከሰባት መደበኛ ክፍሎች በተለያየ መንገድ ሊወሰዱ ይችላሉ; በተመሳሳይ ጊዜ ቀሪዎቹ 6-4=2 ክፍሎች መደበኛ ያልሆኑ መሆን አለባቸው, ነገር ግን ከ10-7=3 መደበኛ ያልሆኑ ክፍሎችን በተለያየ መንገድ ሁለት መደበኛ ያልሆኑ ክፍሎችን መውሰድ ይችላሉ. ስለዚህ, ምቹ የሆኑ ውጤቶች ብዛት እኩል ነው.

ከዚያ አስፈላጊው ዕድል እኩል ነው

የሚከተሉት ባህሪያት ከፕሮባቢሊቲ ፍቺ ይከተላሉ:

1. አስተማማኝ ክስተት የመሆን እድሉ ከአንድ ጋር እኩል ነው.

በእርግጥ, ክስተቱ አስተማማኝ ከሆነ, እያንዳንዱ የፈተና የመጀመሪያ ደረጃ ውጤት ክስተቱን ይደግፋል. በዚህ ሁኔታ m=n, ስለዚህ

2. የማይቻል ክስተት የመሆን እድሉ ዜሮ ነው።

በእርግጥ, አንድ ክስተት የማይቻል ከሆነ, ከፈተናው የመጀመሪያ ደረጃ ውጤቶች ውስጥ አንዳቸውም ክስተቱን አይደግፉም. በዚህ ጉዳይ ላይ ማለት ነው

3. የዘፈቀደ ክስተት የመሆን እድሉ በዜሮ እና በአንድ መካከል ያለው አወንታዊ ቁጥር ነው።

በእርግጥ፣ የፈተናው አጠቃላይ የአንደኛ ደረጃ ውጤቶች ክፍል ብቻ በዘፈቀደ ክስተት ተመራጭ ነው። በዚህ ጉዳይ ላይ< ኤም< n, ማለት 0 < m/n < 1፣ ማለትም 0< ፒ(ኤ) < 1. Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству

በአመክንዮ የተጠናቀቀ የፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ ግንባታ በዘፈቀደ ክስተት እና በችሎታው ላይ ባለው አክሲዮማዊ ፍቺ ላይ የተመሠረተ ነው። በ A. N. Kolmogorov የቀረበው የአክሲዮሞች ስርዓት, ያልተገለጹ ጽንሰ-ሐሳቦች የመጀመሪያ ደረጃ ክስተት እና ዕድል ናቸው. ዕድልን የሚገልጹ አክሲዮሞች እነሆ፡-

1. እያንዳንዱ ክስተት ሀአሉታዊ ያልሆነ እውነተኛ ቁጥር ተመድቧል ፒ(ኤ). ይህ ቁጥር የክስተቱ ዕድል ይባላል ሀ.

2. አስተማማኝ ክስተት የመሆን እድሉ ከአንድ ጋር እኩል ነው.

3. ከተጣመሩ የማይጣጣሙ ክስተቶች ቢያንስ አንዱ የመከሰቱ እድል የእነዚህ ክስተቶች እድሎች ድምር እኩል ነው።

በእነዚህ axioms ላይ በመመስረት, የፕሮባቢሊቲዎች ባህሪያት እና በመካከላቸው ያሉ ጥገኛዎች እንደ ቲዎሬሞች የተገኙ ናቸው.

ራስን የመፈተሽ ጥያቄዎች

1. አንድ ክስተት ሊከሰት የሚችልበት የቁጥር ባህሪ ስም ማን ይባላል?

2. የአንድ ክስተት ዕድል ምን ያህል ነው?

3. አስተማማኝ ክስተት የመሆን እድሉ ምን ያህል ነው?

4. የማይቻል ክስተት ዕድል ምን ያህል ነው?

5. የዘፈቀደ ክስተት የመሆን እድሉ ገደቦች ምን ያህል ናቸው?

6. የማንኛውም ክስተት ዕድል ገደቦች ምን ያህል ናቸው?

7. ክላሲካል ተብሎ የሚጠራው የፕሮባቢሊቲ ትርጉም ምንድን ነው?

ክላሲክ የአቅም ፍቺ።

ከላይ እንደተጠቀሰው, ከትልቅ ቁጥር ጋር n የሙከራ ድግግሞሽ P*(A)=ሜ/ nየአንድ ክስተት ክስተት ሀ የተረጋጋ ነው እና የአንድ ክስተት እድል ግምታዊ ዋጋ ይሰጣል ሀ ፣ ማለትም እ.ኤ.አ. .

ይህ ሁኔታ የአንድ ክስተትን ግምታዊ እድል በሙከራ እንድናገኝ ያስችለናል። በተግባር ይህ የክስተቱን እድል የማግኘት ዘዴ ሁልጊዜ ምቹ አይደለም. ከሁሉም በላይ, ከሙከራው በፊት እንኳን, የአንዳንድ ክስተቶችን ዕድል አስቀድመን ማወቅ አለብን. ይህ የሳይንስ ሂዩሪስቲክ ፣ ትንበያ ሚና ነው። በበርካታ አጋጣሚዎች የክስተቶች ተመጣጣኝነት (ወይም ተመጣጣኝነት) ጽንሰ-ሀሳብን በመጠቀም የዝግጅቱ እድል ከመሞከር በፊት ሊታወቅ ይችላል.

ሁለቱ ክስተቶች ተጠርተዋል እኩል ሊሆን ይችላል። (ወይም እኩል ይቻላል ), ከመካከላቸው አንዱ ከሌላው በበለጠ ብዙ ጊዜ ሊከሰት እንደሚችል ለማመን ምንም ተጨባጭ ምክንያቶች ከሌሉ.

ስለዚህ ፣ ለምሳሌ ፣ ሳንቲም በሚወረውርበት ጊዜ የጦር ቀሚስ ወይም ጽሑፍ ላይ መታየት እኩል ሊሆኑ የሚችሉ ክስተቶች ናቸው።

ሌላ ምሳሌ እንመልከት። ዳይቹን ይጣሉት. በኪዩብ ሲምሜትሪ ምክንያት, የየትኛውም ቁጥሮች ገጽታ እንደሆነ መገመት እንችላለን 1, 2, 3, 4, 5 ወይም 6 በተቻለ መጠን (በተመሳሳይ ሁኔታ)።

ክስተቶች በዚህ ሙከራ ውስጥ ይመሰረታሉ ሙሉ ቡድን , ከመካከላቸው ቢያንስ አንዱ በሙከራው ምክንያት መከሰት ካለበት. ስለዚህ, በመጨረሻው ምሳሌ, የተሟላ የክስተቶች ቡድን ስድስት ክስተቶችን ያካትታል - የቁጥሮች ገጽታ 1, 2, 3, 4, 5 እና 6.

በግልጽ ለማየት እንደሚቻለው, ማንኛውም ክስተት ሀ እና የእሱ ተቃራኒ ክስተት ሙሉ ቡድን ይመሰርታል.

ክስተት ለ ተብሎ ይጠራል ተስማሚ ክስተት ሀ , የአንድ ክስተት ክስተት ከሆነ ለ የአንድ ክስተት መከሰትን ይጨምራል ሀ . ስለዚህ, ከሆነ ሀ - ዳይስ በሚጥሉበት ጊዜ እኩል የነጥቦች ብዛት ፣ ከዚያ የቁጥሩ ገጽታ 4 አንድን ክስተት የሚደግፍ ክስተት ይወክላል ሀ.

ክስተቶች ይሁን በዚህ ሙከራ ውስጥ እኩል ሊሆኑ የሚችሉ እና ጥንድ ያልሆኑ ተኳሃኝ ያልሆኑ ክስተቶች ሙሉ ቡድን ይመሰርታሉ። እንጥራላቸው ውጤቶች ፈተናዎች. ዝግጅቱ እንደሆነ እናስብ ሀ የሙከራ ውጤቶችን ሞገስ. ከዚያ የዝግጅቱ ዕድል ሀ በዚህ ሙከራ ውስጥ አመለካከት ይባላል. ስለዚህ ወደሚከተለው ፍቺ ደርሰናል።

በአንድ የተወሰነ ሙከራ ውስጥ ያለው የክስተት ዕድል P(A) ለክስተቱ ሀ ተስማሚ የሆኑ የሙከራ ውጤቶች ብዛት ከጠቅላላ ሊሆኑ ከሚችሉ የሙከራ ውጤቶች ብዛት ጋር እኩል ሊሆኑ የሚችሉ ጥንዶች ተኳሃኝ ያልሆኑ ክስተቶች የተሟላ ቡድን ይመሰርታሉ። .

ይህ የአቅም ፍቺ ብዙ ጊዜ ይባላል ክላሲክ. ክላሲካል ፍቺው የመቻልን አክሲሞች እንደሚያረካ ማሳየት ይቻላል።

ምሳሌ 1.1.አንድ ስብስብ ከ 1000 ተሸካሚዎች. ወደዚህ ስብስብ የገባሁት በአጋጣሚ ነው። 30 መስፈርቱን የማያሟሉ ተሸካሚዎች. የመሆን እድልን ይወስኑ ፒ(ኤ) በዘፈቀደ የተወሰደ ቁርኝት ወደ መደበኛነት እንደሚቀየር።

መፍትሄ፡-የመደበኛ መሸጫዎች ብዛት ነው 1000-30=970 . እያንዳንዱ ተሸካሚ የመመረጥ እድሉ ተመሳሳይ ነው ብለን እንገምታለን። ከዚያ የተሟላ የክስተቶች ቡድን እኩል ሊሆኑ የሚችሉ ውጤቶችን ያቀፈ ነው ፣ ከእነዚህም ውስጥ ክስተቱ ሀ ሞገስ ውጤቶች. ለዛ ነው .

ምሳሌ 1.2.በሽንት ውስጥ 10 ኳሶች፡- 3 ነጭ እና 7 ጥቁር. ሁለት ኳሶች በአንድ ጊዜ ከሽንት ውስጥ ይወሰዳሉ. ምን ሊሆን ይችላል አር ሁለቱም ኳሶች ወደ ነጭነት ይለወጣሉ?

መፍትሄ፡-የሁሉም እኩል ሊሆኑ የሚችሉ የፈተና ውጤቶች ቁጥር ከየትኞቹ መንገዶች ብዛት ጋር እኩል ነው። 10 ሁለት ኳሶችን ያውጡ, ማለትም የጥምረቶች ብዛት ከ 10 ንጥረ ነገሮች በ 2 (ሙሉ የዝግጅት ቡድን)

ምቹ ውጤቶች ብዛት (አንድ ሰው በምን ያህል መንገዶች መምረጥ ይችላል) 3 ኳሶችን ይምረጡ 2) : . ስለዚህ, አስፈላጊው ዕድል .

ወደ ፊት ስንመለከት, ይህ ችግር በሌላ መንገድ ሊፈታ ይችላል.

መፍትሄ፡-በመጀመሪያው ሙከራ (ኳስ ማውጣት) ነጭ ኳስ የመሳብ እድሉ ከጠቅላላ ኳሶች ጋር እኩል ነው። 10 , ከእነርሱ 3 ነጭ). በሁለተኛው ሙከራ ወቅት ነጭ ኳስ እንደገና የመሳብ እድሉ እኩል ነው (የኳሶች አጠቃላይ ቁጥር አሁን ነው) 9, ምክንያቱም አንዱን አውጥተው ነጭ ሆነ 2, ምክንያቱም ነጩን አወጡ)። በዚህም ምክንያት ክስተቶችን የማጣመር እድሉ ከምርታቸው ውጤት ጋር እኩል ነው, ማለትም. .

ምሳሌ 1.3.በሽንት ውስጥ 2 አረንጓዴ, 7 ቀይ, 5 ቡናማ እና 10 ነጭ ኳሶች. ባለቀለም ኳስ የመታየት እድሉ ምን ያህል ነው?

መፍትሄ፡- እንደ ቅደም ተከተላቸው, አረንጓዴ, ቀይ እና ቡናማ ኳሶች የመታየት እድሎችን እናገኛለን:; ; . እየተገመቱ ያሉት ክስተቶች በግልጽ የማይጣጣሙ በመሆናቸው የመደመር አክሱምን በመጠቀም ባለቀለም ኳስ የመታየት እድሉን እናገኛለን።

ወይም በሌላ መንገድ። ነጭ ኳስ የመታየት እድሉ ነው። ከዚያም ነጭ ያልሆነ ኳስ (ማለትም ባለቀለም) የመታየት እድሉ, ማለትም. የተቃራኒው ክስተት ዕድል እኩል ነው .

የፕሮባቢሊቲ ጂኦሜትሪክ ፍቺ. የክላሲካል ትርጓሜ ፕሮባቢሊቲ ጉዳቱን ለማሸነፍ (ውጤቶች ማለቂያ በሌለው ቁጥር ሙከራዎች ላይ ተፈፃሚ አይሆንም) ፣ የጂኦሜትሪክ ፍቺ ፕሮባቢሊቲ ገብቷል - አንድ ነጥብ በክልል ውስጥ የመውደቅ እድሉ (ክፍል ፣ የአውሮፕላን አካል ፣ ወዘተ)።

ክፍሉ የክፍሉ አካል ይሁን። አንድ ነጥብ በዘፈቀደ በአንድ ክፍል ላይ ተቀምጧል, ይህም ማለት የሚከተሉት ግምቶች ተሟልተዋል-የተቀመጠው ነጥብ በክፍሉ ላይ በማንኛውም ቦታ ላይ ሊሆን ይችላል, በክፍሉ ላይ የመውደቅ ዕድሉ ከክፍሉ ርዝመት ጋር ተመጣጣኝ ነው እና አይደለም. ከክፍሉ አንጻር ባለው ቦታ ላይ ይወሰናል. በእነዚህ ግምቶች ስር አንድ ነጥብ በአንድ ክፍል ላይ የመውደቅ እድሉ የሚወሰነው በእኩልነት ነው።

መጀመሪያ ላይ፣ ስለ ዳይስ ጨዋታ የመረጃ ስብስብ እና ተጨባጭ ምልከታዎች ብቻ በመሆን፣ የይሆናልነት ፅንሰ-ሀሳብ ጥልቅ ሳይንስ ሆነ። በመጀመሪያ የሂሳብ ማዕቀፍ የሰጡት ፌርማት እና ፓስካል ናቸው።

ስለ ዘላለማዊው ከማሰብ እስከ የመሆን ጽንሰ-ሐሳብ ድረስ

የፕሮባቢሊቲ ንድፈ ሐሳብ የብዙዎቹ መሠረታዊ ቀመሮቹን፣ ብሌዝ ፓስካል እና ቶማስ ቤይስ፣ ጥልቅ ሃይማኖተኛ ሰዎች በመባል ይታወቃሉ፣ የኋለኛው ደግሞ የፕሬስባይቴሪያን አገልጋይ ናቸው። በግልጽ ለማየት እንደሚቻለው, እነዚህ ሁለት ሳይንቲስቶች ስለ አንድ የተወሰነ ፎርቹን ለተወዳጅዋ መልካም ዕድል ስለመስጠት ያላቸውን አስተያየት የተሳሳተ መሆኑን ለማረጋገጥ የነበራቸው ፍላጎት በዚህ አካባቢ ምርምር ለማድረግ አነሳስቷል. ደግሞም ፣ በእውነቱ ፣ ማንኛውም የቁማር ጨዋታ ከድል እና ኪሳራው ጋር የሂሳብ መርሆዎች ሲምፎኒ ነው።

እኩል ቁማርተኛ እና ለሳይንስ ደንታ የሌለው ሰው ለሆነው ለ Chevalier de Mere ፍቅር ምስጋና ይግባውና ፓስካል ዕድሉን የሚያሰላበትን መንገድ ለመፈለግ ተገደደ። ዴ ሜሬ ለሚከተለው ጥያቄ ፍላጎት ነበረው፡- “12 ነጥብ የማግኘት እድሉ ከ50% በላይ እንዲሆን ሁለት ዳይስ በጥንድ መወርወር ምን ያህል ጊዜ ያስፈልግዎታል?” ለዋህ ሰው ትልቅ ፍላጎት የነበረው ሁለተኛው ጥያቄ፡- “እንዴት ውርርድን ባልተጠናቀቀው ጨዋታ በተሳታፊዎች መካከል መከፋፈል ይቻላል?” እርግጥ ነው፣ ፓስካል የዴ ሜርን ሁለቱንም ጥያቄዎች በተሳካ ሁኔታ መለሰ፣ እሱም ሳያስበው የፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ እድገት ጀማሪ የሆነው። የሚገርመው የዴ ሜሬ ሰው በዚህ አካባቢ እንጂ በሥነ ጽሑፍ ውስጥ አለመታወቁ ነው።

ይህ የመገመት መፍትሄ ብቻ ነው ተብሎ ስለሚታመን ከዚህ በፊት የትኛውም የሂሳብ ሊቅ የክስተቶችን እድሎች ለማስላት ሞክሮ አያውቅም። ብሌዝ ፓስካል የክስተቱን እድል የመጀመሪያ ፍቺ ሰጥተው በሂሳብ ሊጸድቅ የሚችል የተወሰነ አሃዝ መሆኑን አሳይተዋል። ፕሮባቢሊቲ ንድፈ ሐሳብ ለስታቲስቲክስ መሠረት ሆኗል እናም በዘመናዊ ሳይንስ ውስጥ በሰፊው ጥቅም ላይ ውሏል።

የዘፈቀደነት ምንድነው?

ብዙ ጊዜ ሊደገም የሚችለውን ፈተና ካሰብን የዘፈቀደ ክስተትን መግለፅ እንችላለን። ይህ ከሙከራው ሊሆኑ ከሚችሉ ውጤቶች አንዱ ነው።

ልምድ በቋሚ ሁኔታዎች ውስጥ የተወሰኑ ድርጊቶችን መተግበር ነው.

ከሙከራው ውጤት ጋር አብሮ ለመስራት፣ ሁነቶች በአብዛኛው የሚመረጡት በ A፣ B፣ C፣ D፣ E...

የዘፈቀደ ክስተት የመሆን እድሉ

የፕሮባቢሊቲውን የሂሳብ ክፍል ለመጀመር ሁሉንም ክፍሎቹን መግለጽ አስፈላጊ ነው.

የክስተቱ እድል በተወሰነ ልምድ (A ወይም B) ሊከሰት የሚችልበትን ሁኔታ የሚያሳይ የቁጥር መለኪያ ነው። ዕድሉ እንደ P(A) ወይም P(B) ይገለጻል።

በፕሮባቢሊቲ ፅንሰ-ሀሳብ ይለያሉ-

አስተማማኝበተሞክሮ P (Ω) = 1 ምክንያት ክስተቱ እንደሚከሰት የተረጋገጠ ነው;
የማይቻልክስተቱ ፈጽሞ ሊከሰት አይችልም P (Ø) = 0;
በዘፈቀደአንድ ክስተት በአስተማማኝ እና በማይቻል መካከል ነው ፣ ማለትም ፣ የመከሰቱ እድሉ ይቻላል ፣ ግን ዋስትና አይሰጥም (የዘፈቀደ ክስተት ዕድል ሁል ጊዜ በ 0≤Р (А) ≤ 1 ክልል ውስጥ ነው።

በክስተቶች መካከል ያሉ ግንኙነቶች

ሁለቱም አንድ እና የክስተት ድምር A+B ይቆጠራሉ፣ ክስተቱ ሲቆጠር ቢያንስ አንድ አካል፣ A ወይም B፣ ወይም ሁለቱም፣ A እና B፣ ሲሞላ።

አንዳቸው ከሌላው ጋር በተያያዙ ሁኔታዎች ክስተቶች ሊሆኑ ይችላሉ-

እኩል ይቻላል.
ተስማሚ።
የማይጣጣም
ተቃራኒ (እርስ በርስ የሚጋጭ)።
ጥገኛ።

ሁለት ክስተቶች በእኩል ዕድል ሊከሰቱ የሚችሉ ከሆነ, ከዚያም እነሱ እኩል ይቻላል.

የክስተት ሀ ክስተት የ B የመከሰት እድል ወደ ዜሮ ካልቀነሰ እነሱም የሚስማማ.

ሁነቶች A እና B በአንድ ጊዜ በአንድ ጊዜ ካልተከሰቱ፣ ከዚያም ተጠርተዋል። የማይጣጣም. ሳንቲም መወርወር ጥሩ ምሳሌ ነው፡ የጭንቅላት ገጽታ በራስ-ሰር የጭንቅላት አለመታየት ነው።

የእነዚህ ተኳኋኝ ያልሆኑ ክስተቶች ድምር ዕድል የእያንዳንዱን ክስተት እድሎች ድምር ያካትታል፡-

P(A+B)=P(A)+P(B)

የአንድ ክስተት ክስተት የሌላውን ክስተት የማይቻል ካደረገ, ከዚያም ተቃራኒ ይባላሉ. ከዚያም ከመካከላቸው አንዱ እንደ A, እና ሌላኛው - Ā ("አይደለም" አንብብ). የክስተት ሀ መከሰት Ā አልተከሰተም ማለት ነው። እነዚህ ሁለት ክስተቶች ከ 1 ጋር እኩል የሆነ የፕሮባቢሊቲ ድምር ያለው ሙሉ ቡድን ይመሰርታሉ።

ጥገኞች ሁነቶች እርስ በእርሳቸው ተጽእኖ ያሳድራሉ, ይቀንሳል ወይም አንዳቸው የሌላውን እድል ይጨምራሉ.

በክስተቶች መካከል ያሉ ግንኙነቶች. ምሳሌዎች

ምሳሌዎችን በመጠቀም የፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ እና የክስተቶች ጥምረት መርሆዎችን ለመረዳት በጣም ቀላል ነው።

የሚካሄደው ሙከራ ኳሶችን ከሳጥን ውስጥ ማውጣትን ያካትታል, እና የእያንዳንዱ ሙከራ ውጤት የመጀመሪያ ደረጃ ውጤት ነው.

አንድ ክስተት ከሙከራው ውጤት ውስጥ አንዱ ነው - ቀይ ኳስ ፣ ሰማያዊ ኳስ ፣ ስድስት ቁጥር ያለው ኳስ ፣ ወዘተ.

የሙከራ ቁጥር 1 6 ኳሶች ተሳትፈዋል፣ ከእነዚህ ውስጥ ሦስቱ በላያቸው ላይ ያልተለመዱ ቁጥሮች ያላቸው ሰማያዊ ሲሆኑ የተቀሩት ሦስቱ ኳሶች እኩል ቁጥር ያላቸው ቀይ ናቸው።

የሙከራ ቁጥር 2. ከአንድ እስከ ስድስት ቁጥሮች ያላቸው 6 ሰማያዊ ኳሶች አሉ።

በዚህ ምሳሌ ላይ በመመስረት ጥምረቶችን መሰየም እንችላለን፡-

አስተማማኝ ክስተት.በስፓኒሽ ቁጥር 2 "ሰማያዊውን ኳስ አግኝ" የሚለው ክስተት አስተማማኝ ነው, ምክንያቱም የመከሰቱ እድል ከ 1 ጋር እኩል ነው, ምክንያቱም ሁሉም ኳሶች ሰማያዊ ስለሆኑ እና ምንም ማጣት ሊኖር አይችልም. “ኳሱን በቁጥር 1 ያግኙ” የሚለው ክስተት በዘፈቀደ ነው።
የማይቻል ክስተት.በስፓኒሽ ቁጥር 1 በሰማያዊ እና በቀይ ኳሶች ፣ የመከሰቱ እድሉ 0 ስለሆነ “ሐምራዊውን ኳስ ማግኘት” የማይቻል ነው ።
እኩል ሊሆኑ የሚችሉ ክስተቶች.በስፓኒሽ ቁጥር 1, ክስተቶቹ "ኳሱን ከቁጥር 2 ጋር ያግኙ" እና "ኳሱን በቁጥር 3 ያግኙ" እኩል ሊሆኑ ይችላሉ. ” የተለያዩ እድሎች አሏቸው።
ተስማሚ ክስተቶች.ዳይ እየወረወሩ ስድስት ጊዜ በተከታታይ ማግኘት ተኳሃኝ ክስተት ነው።
የማይጣጣሙ ክስተቶች.በተመሳሳይ ስፓኒሽ ቁጥር 1, ክስተቶቹ "ቀይ ኳስ ያገኛሉ" እና "ያልተለመደ ቁጥር ኳስ ያግኙ" በተመሳሳይ ልምድ ሊጣመሩ አይችሉም.
ተቃራኒ ክስተቶች.የዚህ በጣም አስደናቂው ምሳሌ የሳንቲም መወርወር ነው ፣ ጭንቅላትን መሳል ጅራትን ከመሳል ጋር እኩል ነው ፣ እና የእነሱ ዕድል ድምር ሁል ጊዜ 1 (ሙሉ ቡድን) ነው።
ጥገኛ ክስተቶች. ስለዚህ፣ በስፓኒሽ ቁጥር 1, ቀይ ኳሱን በተከታታይ ሁለት ጊዜ ለመሳል ግቡን ማዘጋጀት ይችላሉ. ለመጀመሪያ ጊዜ መውጣቱ ወይም አለመውጣቱ ለሁለተኛ ጊዜ የመመለስ እድሉ ላይ ተጽዕኖ ያሳድራል።

የመጀመሪያው ክስተት የሁለተኛውን (40% እና 60%) እድልን በእጅጉ እንደሚጎዳ ማየት ይቻላል.

የክስተት ዕድል ቀመር

ከሟርት ወደ ትክክለኛ መረጃ የሚደረግ ሽግግር ርእሱን ወደ ሂሳብ አውሮፕላን በማስተርጎም ይከሰታል። ማለትም፣ እንደ "ከፍተኛ እድል" ወይም "አነስተኛ እድል" የመሳሰሉ የዘፈቀደ ክስተት ፍርዶች ወደ ልዩ የቁጥር መረጃዎች ሊተረጎሙ ይችላሉ። እንደነዚህ ያሉትን ነገሮች የበለጠ ውስብስብ ስሌቶች ውስጥ መገምገም, ማወዳደር እና ማስገባት ቀድሞውኑ ተፈቅዷል.

ከስሌት እይታ አንፃር የአንድን ክስተት እድል መወሰን የአንደኛ ደረጃ አወንታዊ ውጤቶች ብዛት እና አንድን የተወሰነ ክስተት በሚመለከት የሁሉም ሊሆኑ የሚችሉ የልምድ ውጤቶች ጥምርታ ነው። ፕሮባቢሊቲ በ P (A) ይገለጻል, P "probabilite" የሚለውን ቃል የሚያመለክት ሲሆን እሱም ከፈረንሳይኛ እንደ "መቻል" ተተርጉሟል.

ስለዚህ የአንድ ክስተት ዕድል ቀመር የሚከተለው ነው-

m ለክስተቱ ሀ ምቹ የሆኑ ውጤቶች ቁጥር ከሆነ፣ n ለዚህ ልምድ የሚቻለው የሁሉም ውጤቶች ድምር ነው። በዚህ አጋጣሚ የክስተት እድሉ ሁልጊዜ በ0 እና 1 መካከል ነው ያለው፡-

0 ≤ ፒ(A)≤ 1.

የአንድ ክስተት ዕድል ስሌት። ለምሳሌ

ስፓኒሽ እንውሰድ። ቀደም ሲል የተገለፀው ቁጥር 1 ከኳሶች ጋር፡ 3 ሰማያዊ ኳሶች ከቁጥር 1/3/5 እና 3 ቀይ ኳሶች ከቁጥር 2/4/6 ጋር።

በዚህ ፈተና ላይ በመመርኮዝ የተለያዩ ችግሮች ሊታዩ ይችላሉ-

ሀ - ቀይ ኳስ ወድቋል። ቀይ ኳሶች 3 ሲሆኑ በድምሩ 6 አማራጮች አሉ ይህ ቀላሉ ምሳሌ የክስተት እድል P(A)=3/6=0.5 ነው።
ለ - እኩል ቁጥር ማሽከርከር። 3 እኩል ቁጥሮች (2,4,6) አሉ, እና አጠቃላይ ሊሆኑ የሚችሉ የቁጥር አማራጮች 6. የዚህ ክስተት ዕድል P (B) = 3/6=0.5 ነው.
ሐ - ከ 2 በላይ የሆነ ቁጥር መከሰት. ከጠቅላላው ውጤት ውስጥ 4 እንደዚህ ያሉ አማራጮች አሉ (3,4,5,6) 6. የክስተት C ዕድል ከ P (C) = 4 ጋር እኩል ነው. /6=0.67.

ከስሌቶቹ እንደሚታየው ክስተት C ከፍተኛ ዕድል አለው, ምክንያቱም ሊሆኑ የሚችሉ አወንታዊ ውጤቶች ቁጥር ከ A እና B የበለጠ ነው.

የማይጣጣሙ ክስተቶች

እንደዚህ ያሉ ክስተቶች በተመሳሳይ ልምድ ውስጥ በአንድ ጊዜ ሊታዩ አይችሉም. እንደ ስፓኒሽ ቁጥር 1 ሰማያዊ እና ቀይ ኳስ በአንድ ጊዜ ማግኘት አይቻልም. ያም ማለት ሰማያዊ ወይም ቀይ ኳስ ማግኘት ይችላሉ. በተመሳሳይ ሁኔታ, እኩል እና ያልተለመደ ቁጥር በአንድ ጊዜ በዳይስ ውስጥ ሊታይ አይችልም.

የሁለት ክስተቶች ዕድል እንደ ድምር ወይም ምርታቸው ዕድል ይቆጠራል። የእንደዚህ አይነት ክስተቶች ድምር A+B የክስተት A ወይም B መከሰትን ያቀፈ ክስተት ተደርጎ ይወሰዳል፣ እና የእነሱ AB ውጤት የሁለቱም መከሰት ነው። ለምሳሌ, በአንድ ውርወራ ውስጥ በሁለት ዳይስ ፊት ላይ ሁለት ስድስት በአንድ ጊዜ መታየት.

የበርካታ ክስተቶች ድምር ቢያንስ የአንዱን መከሰት አስቀድሞ የሚገምት ክስተት ነው። የበርካታ ክስተቶች ማምረት የሁሉም የጋራ ክስተት ነው.

በፕሮባቢሊቲ ንድፈ-ሐሳብ ፣ እንደ አንድ ደንብ ፣ “እና” የጥምረቱ አጠቃቀም ድምርን ያሳያል ፣ እና “ወይም” - ማባዛት። ምሳሌዎች ያላቸው ቀመሮች የመደመር እና የማባዛት አመክንዮ በፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ ውስጥ ለመረዳት ይረዳዎታል።

ተኳሃኝ ያልሆኑ ክስተቶች ድምር ዕድል

ተኳሃኝ ያልሆኑ ክስተቶች እድላቸው ከታሰበ የክስተቶች ድምር እድላቸው ከእድገታቸው መጨመር ጋር እኩል ነው።

P(A+B)=P(A)+P(B)

ለምሳሌ፡ በስፓኒሽ ያለውን ዕድል እናሰላ። ቁጥር 1 በሰማያዊ እና በቀይ ኳሶች ፣ በ 1 እና 4 መካከል ያለው ቁጥር ይታያል ። እኛ የምንሰላው በአንድ እርምጃ አይደለም ፣ ግን በአንደኛ ደረጃ አካላት እድሎች ድምር። ስለዚህ, በእንደዚህ አይነት ሙከራ ውስጥ 6 ኳሶች ወይም 6 ሊሆኑ ከሚችሉ ውጤቶች ውስጥ 6 ብቻ ናቸው. ሁኔታውን የሚያሟሉ ቁጥሮች 2 እና 3 ናቸው. ቁጥር 2 የማግኘት እድሉ 1/6 ነው, ቁጥር 3 የማግኘት እድሉ ደግሞ 1/6 ነው. በ1 እና 4 መካከል ያለው ቁጥር የማግኘት እድሉ፡-

የአንድ ሙሉ ቡድን ተኳዃኝ ያልሆኑ ክስተቶች ድምር ዕድል 1 ነው።

ስለዚህ በአንድ ኪዩብ ሙከራ ውስጥ የሁሉንም ቁጥሮች የመታየት እድሎችን ከጨመርን ውጤቱ አንድ ይሆናል።

ይህ ለተቃራኒ ክስተቶችም እውነት ነው, ለምሳሌ በሳንቲም ሙከራ ውስጥ, አንደኛው ወገን ክስተት A ነው, ሌላኛው ደግሞ ተቃራኒው ክስተት Ā ነው, እንደሚታወቀው.

P (A) + P (Ā) = 1

ተኳኋኝ ያልሆኑ ክስተቶች የመከሰታቸው ዕድል

ፕሮባቢሊቲ ማባዛት በአንድ ምልከታ ውስጥ ሁለት ወይም ከዚያ በላይ የማይጣጣሙ ክስተቶች ሲፈጠሩ ጥቅም ላይ ይውላል። ክስተቶች A እና B በአንድ ጊዜ የመታየት ዕድላቸው ከፕሮባቢሊታቸው ውጤት ጋር እኩል ነው፣ ወይም፡-

P(A*B)=P(A)*P(B)

ለምሳሌ፣ በስፓኒሽ የመሆኑ ዕድል ቁጥር 1, በሁለት ሙከራዎች ምክንያት, ሰማያዊ ኳስ ሁለት ጊዜ ይታያል, እኩል ነው

ማለትም፣ ኳሶችን ለማውጣት በተደረጉ ሁለት ሙከራዎች ምክንያት፣ ሰማያዊ ኳሶች የሚወጡት ክስተት የመከሰት እድሉ 25% ነው። በዚህ ችግር ላይ ተግባራዊ ሙከራዎችን ማድረግ እና ይህ እንደ እውነቱ ከሆነ ለማየት በጣም ቀላል ነው.

የጋራ ክስተቶች

የአንደኛው መከሰት ከሌላው ክስተት ጋር ሊገጣጠም በሚችልበት ጊዜ ክስተቶች እንደ የጋራ ይቆጠራሉ። ምንም እንኳን እነሱ የጋራ ቢሆኑም, የገለልተኛ ክስተቶች ዕድል ግምት ውስጥ ይገባል. ለምሳሌ ሁለት ዳይስ መወርወር 6 ቁጥሩ በሁለቱም ላይ ሲታይ ውጤቱን ሊሰጥ ይችላል ምንም እንኳን ዝግጅቶቹ ተገናኝተው በአንድ ጊዜ ቢታዩም እርስ በርሳቸው የተናደዱ ናቸው - አንድ ስድስት ብቻ ሊወድቅ ይችላል, ሁለተኛው ሞት የለውም. በእሱ ላይ ተጽዕኖ ያሳድራል.

የጋራ ክንውኖች እድላቸው እንደ ድምራቸው ዕድል ይቆጠራል።

የጋራ ክስተቶች ድምር ዕድል. ለምሳሌ

አንዳቸው ከሌላው ጋር በተያያዘ የተጣመሩት የA እና B ድምር እድላቸው ከክስተቱ እድሎች ድምር ጋር እኩል ነው የመከሰታቸው እድል (ማለትም የጋራ መከሰት)።

አር መገጣጠሚያ (A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)

በአንድ ምት ኢላማውን የመምታት እድሉ 0.4 ነው ብለን እናስብ። ከዚያ ክስተት A በመጀመሪያው ሙከራ ዒላማውን እየመታ ነው, B - በሁለተኛው ውስጥ. በሁለቱም የመጀመሪያ እና ሁለተኛ ጥይቶች ግቡን መምታት ስለሚቻል እነዚህ ክስተቶች የጋራ ናቸው። ነገር ግን ክስተቶች ጥገኛ አይደሉም. በሁለት ጥይቶች (ቢያንስ በአንዱ) ኢላማውን የመምታት እድሉ ምን ያህል ነው? በቀመርው መሰረት፡-

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

የጥያቄው መልስ፡- “ኢላማውን በሁለት ጥይቶች የመምታት እድሉ 64% ነው።

ይህ የክስተቱ እድል ቀመር ተኳሃኝ ባልሆኑ ክስተቶች ላይም ሊተገበር ይችላል፣የአንድ ክስተት የጋራ መከሰት እድል P(AB) = 0. ይህ ማለት ተኳሃኝ ያልሆኑ ክስተቶች ድምር እድል እንደ ልዩ ጉዳይ ሊቆጠር ይችላል። የታቀደው ቀመር.

ግልጽነት የመሆን እድል ጂኦሜትሪ

የሚገርመው ነገር, የጋራ ክንውኖች ድምር ዕድል እርስ በርስ የሚገናኙት እንደ ሁለት አካባቢዎች A እና B ሊወከል ይችላል. በሥዕሉ ላይ እንደሚታየው የኅብረታቸው ስፋት ከመገናኛው ቦታ ሲቀነስ ከጠቅላላው ስፋት ጋር እኩል ነው. ይህ የጂኦሜትሪክ ማብራሪያ ምክንያታዊ ያልሆነ የሚመስለውን ቀመር የበለጠ ለመረዳት ያደርገዋል። በፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ ውስጥ የጂኦሜትሪክ መፍትሄዎች ያልተለመዱ እንዳልሆኑ ልብ ይበሉ.

የበርካታ (ከሁለት በላይ) የጋራ ክንውኖች ድምር ዕድልን መወሰን በጣም ከባድ ነው። እሱን ለማስላት ለእነዚህ ጉዳዮች የቀረቡትን ቀመሮች መጠቀም ያስፈልግዎታል.

ጥገኛ ክስተቶች

የአንዱ (A) ክስተት የሌላው (ቢ) የመከሰት እድል ላይ ተጽዕኖ ካሳደረ ክስተቶች ጥገኛ ተብለው ይጠራሉ. ከዚህም በላይ የሁለቱም ክስተት A እና አለመከሰቱ ተጽእኖ ግምት ውስጥ ይገባል. ክስተቶች በትርጉም ጥገኞች ቢባሉም ከመካከላቸው አንዱ ብቻ ጥገኛ ነው (ለ)። የተለመደው ፕሮባቢሊቲ እንደ P(B) ወይም የገለልተኛ ክስተቶች ዕድል ተብሎ ተጠቁሟል። ጥገኛ ክስተቶች ውስጥ, አዲስ ጽንሰ አስተዋውቋል - ሁኔታዊ ፕሮባቢሊቲ P A (B), ይህም ላይ የተመካ ነው ክስተት A (መላምት) መከሰታቸው ተገዢ የሆነ ጥገኛ ክስተት, ዕድል ነው.

ግን ክስተት ሀ እንዲሁ በዘፈቀደ ነው ፣ ስለሆነም እሱ የሚያስፈልገው እና በተከናወኑት ስሌቶች ውስጥ ከግምት ውስጥ መግባት የሚችል ዕድል አለው። የሚከተለው ምሳሌ ከጥገኛ ክስተቶች እና መላምት ጋር እንዴት እንደሚሰራ ያሳያል።

የጥገኛ ክስተቶችን ዕድል የማስላት ምሳሌ

ጥገኛ የሆኑ ክስተቶችን ለማስላት ጥሩ ምሳሌ መደበኛ የካርድ ካርዶች ይሆናል.

የ 36 ካርዶችን የመርከቧን እንደ ምሳሌ በመጠቀም, ጥገኛ ክስተቶችን እንመልከት. የመጀመሪያው ካርድ የተሳለ ከሆነ ከመርከቧ ላይ የተሳለው ሁለተኛ ካርድ አልማዝ የመሆኑን እድል መወሰን አለብን፡-

ቡብኖቫያ.
የተለየ ቀለም.

በግልጽ ለማየት እንደሚቻለው የሁለተኛው ክስተት ቢ ዕድል በመጀመሪያው ሀ ላይ የተመሰረተ ነው ስለዚህ የመጀመሪያው አማራጭ እውነት ከሆነ 1 ካርድ (35) እና 1 አልማዝ (8) ከመርከቧ ውስጥ ያነሰ ነው, የክስተት ዕድል B.

አር ኤ (ቢ) = 8/35 = 0.23

ሁለተኛው አማራጭ እውነት ከሆነ ፣ የመርከቧ ወለል 35 ካርዶች አሉት ፣ እና ሙሉው የአልማዝ ቁጥር (9) አሁንም እንደቀጠለ ነው ፣ ከዚያ የሚከተለው ክስተት ለ ሊሆን ይችላል።

አር ኤ (ቢ) = 9/35 = 0.26.

ይህ ክስተት ሀ የመጀመሪያው ካርድ አልማዝ ነው እውነታ ላይ ሁኔታዊ ከሆነ, ከዚያም ክስተት B ያለውን እድል ይቀንሳል, እና በተቃራኒው እንደሆነ ሊታይ ይችላል.

ጥገኛ የሆኑ ክስተቶችን ማባዛት

ባለፈው ምዕራፍ በመመራት የመጀመሪያውን ክስተት (ሀ) እንደ እውነት እንቀበላለን, ነገር ግን በመሠረቱ, በዘፈቀደ ተፈጥሮ ነው. የዚህ ክስተት ዕድል፣ ማለትም አልማዝ ከካርዶች ወለል ላይ መሳል፣ ከሚከተሉት ጋር እኩል ነው።

P (A) = 9/36 = 1/4

ንድፈ-ሐሳቡ በራሱ የማይኖር ነገር ግን ለተግባራዊ ዓላማዎች ለማቅረብ የታሰበ ስለሆነ, ብዙውን ጊዜ የሚፈለገው ጥገኛ ክስተቶችን የማምረት እድል መሆኑን ልብ ሊባል ይገባል.

እንደ ጥገኛ ክስተቶች ፕሮባቢሊቲዎች ምርት ጽንሰ-ሀሳብ መሠረት ፣ በጋራ ጥገኛ ክስተቶች ሀ እና ቢ የመከሰት እድላቸው ከአንድ ክስተት ሀ ዕድል ጋር እኩል ነው ፣ በሁኔታዊ ክስተት ክስተት ቢ (በ A ላይ ጥገኛ) ተባዝቷል ።

P(AB) = P(A) *P A(B)

ከዚያ ፣ በመርከቧ ምሳሌ ውስጥ ፣ ሁለት ካርዶችን ከአልማዝ ልብስ ጋር የመሳል እድሉ የሚከተለው ነው-

9/36*8/35=0.0571 ወይም 5.7%

እና መጀመሪያ አልማዞችን እና ከዚያም አልማዝ የማውጣት እድሉ ከሚከተሉት ጋር እኩል ነው።

27/36*9/35=0.19 ወይም 19%

ለመጀመሪያ ጊዜ የተሳለው ካርድ ከአልማዝ ሌላ ልብስ እስካልሆነ ድረስ የክስተት ቢ የመከሰት እድላቸው ከፍ ያለ መሆኑን ማየት ይቻላል። ይህ ውጤት በጣም ምክንያታዊ እና ለመረዳት የሚቻል ነው.

የአንድ ክስተት አጠቃላይ ዕድል

በሁኔታዊ እድሎች ላይ ያለው ችግር ዘርፈ ብዙ በሚሆንበት ጊዜ, የተለመዱ ዘዴዎችን በመጠቀም ሊሰላ አይችልም. ከሁለት በላይ መላምቶች ሲኖሩ እነሱም A1፣ A2፣…፣ A n፣ ..የተሟላ የክስተቶች ቡድን ይመሰርታል፡

P(A i)>0፣ i=1፣2፣…
አ i ∩ አ j =Ø,i≠j.
Σ k A k =Ω.

ስለዚህ፣ የክስተት B አጠቃላይ ዕድል ቀመር ከተሟላ የዘፈቀደ ክስተቶች A1፣ A2፣...፣ A n ጋር እኩል ነው፡-

ስለወደፊቱ እይታ

የዘፈቀደ ክስተት እድል በብዙ የሳይንስ ዘርፎች እጅግ በጣም አስፈላጊ ነው-ኢኮኖሚክስ ፣ ስታቲስቲክስ ፣ ፊዚክስ ፣ ወዘተ አንዳንድ ሂደቶች በቆራጥነት ሊገለጹ ስለማይችሉ እነሱ ራሳቸው በተፈጥሮ ውስጥ ሊሆኑ የሚችሉ ስለሆኑ ልዩ የስራ ዘዴዎች ያስፈልጋሉ። የክስተት ፕሮባቢሊቲ ፅንሰ-ሀሳብ በማንኛውም የቴክኖሎጂ መስክ የስህተት ወይም የብልሽት እድልን ለመወሰን መንገድ መጠቀም ይቻላል።

ፕሮባቢሊቲዎችን በመገንዘብ በተወሰነ መንገድ ወደ ፊት የንድፈ ሃሳባዊ እርምጃ እንወስዳለን, በቀመር ፕሪዝም እንመለከታለን.

በጥንታዊው የችሎታ ውሳኔ ላይ ችግሮች።
የመፍትሄዎች ምሳሌዎች

በሦስተኛው ትምህርት ላይ የክላሲካል ፕሮባቢሊቲ ፍቺን ቀጥተኛ አተገባበር የሚያካትቱ የተለያዩ ችግሮችን እንመለከታለን። በዚህ ጽሑፍ ውስጥ ያሉትን ቁሳቁሶች ውጤታማ በሆነ መንገድ ለማጥናት እራስዎን ከመሠረታዊ ፅንሰ-ሀሳቦች ጋር እንዲተዋወቁ እመክራለሁ ፕሮባቢሊቲ ንድፈ ሐሳብእና የማጣመር መሰረታዊ ነገሮች. ፕሮባቢሊቲ ከአንዱ የመጠበቅ እድልን የመለየት ተግባር በራስዎ ገለልተኛ/በመቆጣጠር ስራ ላይ ይኖራል፣ ስለዚህ ለከባድ ስራ እንዘጋጅ። በዚህ ጉዳይ ላይ ምን ከባድ ነገር አለ ብለህ ልትጠይቅ ትችላለህ? ... አንድ ጥንታዊ ቀመር ብቻ። ከብልግና አስጠነቅቃችኋለሁ - ጭብጥ ተግባራት በጣም የተለያዩ ናቸው ፣ እና ብዙዎቹ በቀላሉ ሊያደናግሩዎት ይችላሉ። በዚህ ረገድ, በዋናው ትምህርት ውስጥ ከመሥራት በተጨማሪ, በአሳማ ባንክ ውስጥ ባለው ርዕስ ላይ ተጨማሪ ስራዎችን ለማጥናት ይሞክሩ. ለከፍተኛ ሒሳብ ዝግጁ የሆኑ መፍትሄዎች. የመፍትሄ ዘዴዎች የመፍትሄ ቴክኒኮች ናቸው, ነገር ግን "ጓደኞች" አሁንም "በማየት ሊታወቁ ይገባል" ምክንያቱም የበለፀገ ሀሳብ እንኳን የተገደበ እና በቂ መደበኛ ስራዎችም አሉ. ደህና, በተቻለ መጠን ብዙዎቹን በጥሩ ጥራት ለመለየት እሞክራለሁ.

የዘውግ ክላሲኮችን እናስታውስ፡-

በአንድ የተወሰነ ሙከራ ውስጥ የመከሰቱ አጋጣሚ ከሚከተለው ጥምርታ ጋር እኩል ነው።

- የሁሉም ጠቅላላ ቁጥር እኩል ይቻላል, የመጀመሪያ ደረጃየዚህ ፈተና ውጤቶች, የትኛው ቅርጽ ሙሉ የክስተቶች ቡድን;

- ብዛት የመጀመሪያ ደረጃለዝግጅቱ ተስማሚ የሆኑ ውጤቶች.

እና ወዲያውኑ የጉድጓድ ማቆሚያ. የተሰመሩባቸውን ቃላት ተረድተዋል? ይህ ማለት ግልጽ እንጂ ሊታወቅ የሚችል ግንዛቤ አይደለም። ካልሆነ ከዚያ ወደ 1 ኛ መጣጥፍ መመለስ አሁንም የተሻለ ነው። ፕሮባቢሊቲ ንድፈ ሐሳብእና ከዚያ በኋላ ብቻ ይቀጥሉ.

እባካችሁ የመጀመሪያዎቹን ምሳሌዎች አትዝለሉ - በእነሱ ውስጥ አንድ መሠረታዊ አስፈላጊ ነጥብ እደግማለሁ ፣ እንዲሁም እንዴት መፍትሄን በትክክል መቅረጽ እንደሚችሉ እና ይህ በምን መንገዶች ሊከናወን እንደሚችል እነግርዎታለሁ ።

ችግር 1

አንድ ሽንት 15 ነጭ፣ 5 ቀይ እና 10 ጥቁር ኳሶችን ይይዛል። 1 ኳስ በዘፈቀደ ይሳላል፣ የመሆን እድሉን ይፈልጉ፡- ሀ) ነጭ፣ ለ) ቀይ፣ ሐ) ጥቁር።

መፍትሄበጣም አስፈላጊው ቅድመ ሁኔታ ክላሲካል ፕሮባቢሊቲ ፍቺን ለመጠቀም ነው። አጠቃላይ የውጤቶችን ብዛት የመቁጠር ችሎታ.

በሽንት ውስጥ በድምሩ 15 + 5 + 10 = 30 ኳሶች አሉ፣ እና በእርግጥ የሚከተሉት እውነታዎች እውነት ናቸው፡

- ማንኛውንም ኳስ ማውጣትም ይቻላል (እኩል እድልውጤቶች), ውጤቶች ሳለ የመጀመሪያ ደረጃ እና ቅጽ ሙሉ የክስተቶች ቡድን (ማለትም፣ በፈተናው ምክንያት፣ ከ30 ኳሶች አንዱ በእርግጠኝነት ይወገዳል).

ስለዚህ አጠቃላይ የውጤቶች ብዛት-

ዝግጅቱን አስቡበት: - ነጭ ኳስ ከሽንኩርት ውስጥ ይወጣል. ይህ ክስተት ተወዳጅ ነው የመጀመሪያ ደረጃውጤቶች, ስለዚህ, እንደ ክላሲካል ፍቺ:
- ነጭ ኳስ ከሽንት ውስጥ የመሳብ እድሉ።

በሚያስደንቅ ሁኔታ ፣ በእንደዚህ ዓይነት ቀላል ሥራ ውስጥ እንኳን አንድ ሰው ከባድ ስህተት ሊሠራ ይችላል ፣ ይህም በመጀመሪያ ጽሑፍ ላይ ያተኮርኩት ። ፕሮባቢሊቲ ንድፈ ሐሳብ. ጥፋቱ እዚህ የት አለ? እዚህ ጋር መሟገቱ ትክክል አይደለም። "ግማሾቹ ኳሶች ነጭ ስለሆኑ ነጭ ኳስ የመሳል እድሉ» . ክላሲክ የይሁንታ ፍቺ የሚያመለክተው የመጀመሪያ ደረጃውጤቶች፣ እና ክፍልፋዩ መፃፍ አለበት!

ከሌሎች ነጥቦች ጋር፣ በተመሳሳይ፣ የሚከተሉትን ክስተቶች አስቡባቸው፡-

- ቀይ ኳስ ከሽንኩርት ውስጥ ይሳባል;
- ጥቁር ኳስ ከሽንኩርት ውስጥ ይሳባል.

አንድ ክስተት በ 5 የመጀመሪያ ደረጃ ውጤቶች የተወደደ ሲሆን አንድ ክስተት በ 10 የመጀመሪያ ደረጃ ውጤቶች ይመረጣል. ስለዚህ ተጓዳኝ እድሎች የሚከተሉት ናቸው-

የብዙ አገልጋይ ተግባራት ዓይነተኛ ፍተሻ የሚከናወነው በመጠቀም ነው። የተሟላ ቡድን መመስረት የዝግጅቶች እድሎች ድምር ጽንሰ-ሀሳቦች. በእኛ ሁኔታ, ክስተቶቹ የተሟላ ቡድን ይመሰርታሉ, ይህም ማለት ተጓዳኝ እድሎች ድምር የግድ ከአንድ ጋር እኩል መሆን አለበት.

ይህ እውነት መሆኑን እንፈትሽ፡ ማረጋገጥ የፈለግኩት ያ ነው።

መልስ:

በመርህ ደረጃ, መልሱ በበለጠ ዝርዝር ውስጥ መፃፍ ይቻላል, ነገር ግን በግሌ, እዚያ ቁጥሮችን ብቻ ማስቀመጥ ልምዳለሁ - በዚህ ምክንያት በመቶዎች እና በሺዎች የሚቆጠሩ ችግሮችን "ማተም" ሲጀምሩ, አጻጻፉን ለመቀነስ ይሞክራሉ. በተቻለ መጠን መፍትሄው. በነገራችን ላይ ስለ አጭርነት: በተግባር "ከፍተኛ ፍጥነት" የንድፍ አማራጭ የተለመደ ነው መፍትሄዎች:

ጠቅላላ: 15 + 5 + 10 = 30 ኳሶች በሽንት ውስጥ. እንደ ክላሲካል ፍቺው፡-
- ነጭ ኳስ ከሽንት ውስጥ የመሳብ እድሉ;
- ቀይ ኳስ ከሽንት ውስጥ የመሳብ እድሉ;
- ጥቁር ኳስ ከሽንት ውስጥ የመሳብ እድሉ።

መልስ:

ሆኖም ፣ በሁኔታው ውስጥ ብዙ ነጥቦች ካሉ ፣ መፍትሄውን በመጀመሪያ መንገድ ለማዘጋጀት ብዙ ጊዜ የበለጠ ምቹ ነው ፣ ይህም ትንሽ ተጨማሪ ጊዜ ይወስዳል ፣ ግን በተመሳሳይ ጊዜ “ሁሉንም ነገር በመደርደሪያዎች ላይ ያስቀምጣል” እና ቀላል ያደርገዋል። ችግሩን ለመዳሰስ.

እንሞቀው፡

ችግር 2

መደብሩ 30 ማቀዝቀዣዎችን ተቀብሏል, ከእነዚህ ውስጥ አምስቱ የማምረት ጉድለት አለባቸው. አንድ ማቀዝቀዣ በዘፈቀደ ይመረጣል. እንከን የለሽ የመሆን እድሉ ምን ያህል ነው?

ተገቢውን የንድፍ አማራጭ ይምረጡ እና ከገጹ ግርጌ ያለውን ናሙና ያረጋግጡ.

በጣም ቀላል በሆኑ ምሳሌዎች ውስጥ, የተለመዱ እና ምቹ የሆኑ ውጤቶች ብዛት በላዩ ላይ ይተኛሉ, ነገር ግን በአብዛኛዎቹ ሁኔታዎች ድንቹን እራስዎ መቆፈር አለብዎት. ስለ ረሳች ተመዝጋቢ ቀኖናዊ ተከታታይ ችግሮች፡-

ችግር 3

ስልክ ቁጥር ሲደውሉ ተመዝጋቢው የመጨረሻዎቹን ሁለት አሃዞች ረስቷል ፣ ግን አንደኛው ዜሮ እና ሌላኛው ያልተለመደ መሆኑን ያስታውሳል። ትክክለኛውን ቁጥር የመደወል እድሉን ይፈልጉ።

ማስታወሻ : ዜሮ እኩል ቁጥር ነው (ያለ ቀሪ በ 2 ይከፈላል)

መፍትሄ: በመጀመሪያ አጠቃላይ የውጤቶችን ብዛት እናገኛለን. እንደ ሁኔታው, ተመዝጋቢው ከዲጂቶቹ ውስጥ አንዱ ዜሮ መሆኑን ያስታውሳል, እና ሌላኛው አሃዝ ያልተለመደ ነው. እዚህ ላይ ከማዋሃድ እና አጠቃቀም ጋር ተንኮለኛ አለመሆን የበለጠ ምክንያታዊ ነው። የውጤቶች ቀጥተኛ ዝርዝር ዘዴ . ማለትም ፣ መፍትሄ በምንሰጥበት ጊዜ ፣ ሁሉንም ውህዶች በቀላሉ እንጽፋለን-
01, 03, 05, 07, 09
10, 30, 50, 70, 90

እና እኛ እንቆጥራቸዋለን - በአጠቃላይ: 10 ውጤቶች.

አንድ ጥሩ ውጤት ብቻ ነው ትክክለኛው ቁጥር.

እንደ ክላሲካል ፍቺው፡-
- ተመዝጋቢው ትክክለኛውን ቁጥር የመደወል እድሉ

መልስ: 0,1

የአስርዮሽ ክፍልፋዮች በፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ ውስጥ በጣም ተገቢ ይመስላሉ ፣ ግን በተለመደው ክፍልፋዮች ብቻ የሚሰሩ ባህላዊውን የ Vyshmatov ዘይቤን መከተል ይችላሉ።

ለገለልተኛ መፍትሄ የላቀ ተግባር;

ችግር 4

ተመዝጋቢው ለሲም ካርዱ የፒን ኮድ ረስቶታል, ነገር ግን ሶስት "አምስት" እንደያዘ ያስታውሳል, እና ከቁጥሮች አንዱ "ሰባት" ወይም "ስምንት" ነው. በመጀመሪያው ሙከራ የተሳካ ፍቃድ የማግኘት እድሉ ምን ያህል ነው?

እዚህ በተጨማሪ ተመዝጋቢው በፑክ ኮድ መልክ ቅጣት ሊገጥመው ይችላል የሚለውን ሀሳብ ማዳበር ይችላሉ, ግን በሚያሳዝን ሁኔታ, ምክንያቱ ከዚህ ትምህርት ወሰን በላይ ይሆናል.

መፍትሄውና መልሱ ከዚህ በታች ቀርቧል።

አንዳንድ ጊዜ ውህዶችን መዘርዘር በጣም አድካሚ ስራ ይሆናል። በተለይም ይህ በሚቀጥለው ውስጥ ነው, ምንም ያነሰ ታዋቂ ቡድን ችግሮች, የት 2 ዳይ ተንከባሎ (ብዙ ጊዜ - ብዙ መጠን):

ችግር 5

ሁለት ዳይስ በሚጥሉበት ጊዜ አጠቃላይ ቁጥሩ የሚከተለው ሊሆን የሚችልበትን ዕድል ይፈልጉ-

ሀ) አምስት ነጥቦች;
ለ) ከአራት ነጥብ ያልበለጠ;
ሐ) ከ 3 እስከ 9 ነጥቦችን ያካተተ።

መፍትሄአጠቃላይ የውጤቶችን ብዛት ያግኙ

የ 1 ኛ ሞት ጎን ሊወድቅ የሚችልባቸው መንገዶች እናየ 2 ኛው ኩብ ጎን በተለያየ መንገድ ሊወድቅ ይችላል; በ ጥምረቶችን ለማባዛት ደንብጠቅላላ: ሊሆኑ የሚችሉ ጥምሮች. በሌላ ቃል, እያንዳንዱየ 1 ኛ ኩብ ፊት ሊሆን ይችላል አዘዘጥ ን ድ ከእያንዳንዱ ጋርየ 2 ኛ ኩብ ጫፍ. እንዲህ ዓይነቱን ጥንድ በቅጹ ላይ ለመጻፍ እንስማማ, በ 1 ኛ ሞት ላይ የሚታየው ቁጥር የት ነው, እና በ 2 ኛው ሞት ላይ የሚታየው ቁጥር ነው. ለምሳሌ:

- የመጀመሪያው ዳይስ 3 ነጥብ, ሁለተኛው ዳይስ 5 ነጥብ, አጠቃላይ ነጥቦች: 3 + 5 = 8;
- የመጀመሪያው ዳይስ 6 ነጥብ, ሁለተኛው ዳይስ 1 ነጥብ, አጠቃላይ ነጥቦች: 6 + 1 = 7;
- በሁለቱም ዳይስ ላይ 2 ነጥብ ተንከባሎ፣ ድምር፡ 2 + 2 = 4።

በግልጽ ለማየት እንደሚቻለው, ትንሹ መጠን በጥንድ, እና ትልቁ በሁለት "ስድስት" ይሰጣል.

ሀ) ክስተቱን አስቡበት: - ሁለት ዳይስ ሲጥሉ 5 ነጥቦች ይታያሉ. ይህንን ክስተት የሚደግፉ የውጤቶችን ብዛት እንፃፍ እና እንቆጥረው፡-

ጠቅላላ: 4 ጥሩ ውጤቶች. እንደ ክላሲካል ፍቺው፡-
- የሚፈለገው ዕድል.

ለ) ክስተቱን አስቡበት: - ከ 4 ነጥብ በላይ አይገለበጥም. ማለትም 2፣ ወይም 3፣ ወይም 4 ነጥብ። በድጋሚ ተስማሚ የሆኑትን ጥምሮች እንዘረዝራለን እና እንቆጥራለን, በግራ በኩል የነጥቦቹን ጠቅላላ ቁጥር እጽፋለሁ, እና ከኮሎን በኋላ - ተስማሚ ጥንዶች:

ጠቅላላ: 6 ተስማሚ ጥምረት. ስለዚህም፡-
- ከ 4 ነጥብ ያልበለጠ የመንከባለል እድሉ።

ሐ) ክስተቱን አስቡበት: - ከ 3 እስከ 9 ነጥቦች ይንከባለሉ, ያካትታል. እዚህ ቀጥተኛውን መንገድ መውሰድ ይችላሉ, ግን ... በሆነ ምክንያት እርስዎ አይፈልጉም. አዎን, አንዳንድ ጥንዶች ቀደም ሲል ባሉት አንቀጾች ውስጥ ተዘርዝረዋል, ነገር ግን ገና ብዙ የሚሠራ ሥራ አለ.

ለመቀጠል ምርጡ መንገድ ምንድነው? በእንደዚህ ዓይነት ሁኔታዎች, የማዞሪያው መንገድ ምክንያታዊ ይሆናል. እስቲ እናስብ ተቃራኒ ክስተት: - 2 ወይም 10 ወይም 11 ወይም 12 ነጥቦች ይንከባለሉ.

ምን ዋጋ አለው? ተቃራኒው ክስተት በጣም ትንሽ በሆኑ ባለትዳሮች ተወዳጅ ነው-

ጠቅላላ: 7 ጥሩ ውጤቶች.

እንደ ክላሲካል ፍቺው፡-
- ከሶስት በታች ወይም ከ 9 ነጥብ በላይ የመንከባለል እድሉ።

ከቀጥታ መዘርዘር እና ውጤቶች መቁጠር በተጨማሪ የተለያዩ ጥምር ቀመሮች. እና እንደገና ስለ ሊፍቱ አንድ አስደናቂ ችግር፡-

ችግር 7

1ኛ ፎቅ ላይ ባለ ባለ 20 ፎቅ ህንፃ 3 ሰዎች ሊፍት ገቡ። እና እንሂድ. የዚያን ዕድል ይፈልጉ፡-

ሀ) በተለያየ ፎቅ ላይ ይወጣሉ
ለ) ሁለት በአንድ ወለል ላይ ይወጣሉ;
ሐ) ሁሉም ሰው በአንድ ፎቅ ላይ ይወርዳል.

አጓጊ ትምህርታችን አብቅቷል፣ እና በመጨረሻም፣ ካልፈታሁ፣ ቢያንስ እንዲረዱት በድጋሚ አጥብቄ እመክራለሁ። በጥንታዊው የችሎታ ውሳኔ ላይ ተጨማሪ ችግሮች. አስቀድሜ እንደገለጽኩት፣ “የእጅ መጨናነቅ”ም አስፈላጊ ነው!

በትምህርቱ ውስጥ ተጨማሪ- የፕሮባቢሊቲ ጂኦሜትሪክ ፍቺእና የመደመር እና የማባዛት ንድፈ ሃሳቦችእና ... በዋናው ነገር ውስጥ ዕድል!

መፍትሄዎች እና መልሶች:

ተግባር 2፡ መፍትሄ: 30 - 5 = 25 ማቀዝቀዣዎች ምንም እንከን የለባቸውም.

- በዘፈቀደ የተመረጠ ማቀዝቀዣ ጉድለት የሌለበት የመሆን እድሉ።
መልስ :

ተግባር 4፡ መፍትሄአጠቃላይ የውጤቶችን ብዛት ይፈልጉ
አጠራጣሪ ቁጥሩ የሚገኝበትን ቦታ መምረጥ የሚችሉበት መንገዶች እና በእያንዳንዱ ላይከእነዚህ 4 ቦታዎች 2 አሃዞች (ሰባት ወይም ስምንት) ሊገኙ ይችላሉ. በጥምረቶች ማባዛት ደንብ መሠረት አጠቃላይ የውጤቶች ብዛት፡- .
በአማራጭ፣ መፍትሄው ሁሉንም ውጤቶች በቀላሉ መዘርዘር ይችላል (እንደ እድል ሆኖ ከእነሱ ጥቂቶቹ ናቸው)
7555, 8555, 5755, 5855, 5575, 5585, 5557, 5558
አንድ ጥሩ ውጤት ብቻ ነው (ትክክለኛው የፒን ኮድ)።
ስለዚህ, እንደ ክላሲካል ፍቺው:
- ተመዝጋቢው በመጀመሪያው ሙከራ ላይ የመግባት እድሉ
መልስ :

ተግባር 6፡ መፍትሄአጠቃላይ የውጤቶችን ብዛት ይፈልጉ
በ 2 ዳይስ ላይ ያሉ ቁጥሮች በተለያዩ መንገዶች ሊታዩ ይችላሉ.

ሀ) ክስተቱን አስቡበት፡ - ሁለት ዳይስ ሲጥሉ የነጥቦቹ ምርት ሰባት እኩል ይሆናል። እንደ ክላሲካል የይቻላል ፍቺ መሠረት ለአንድ ክስተት ምንም ጥሩ ውጤቶች የሉም፡-
፣ ማለትም እ.ኤ.አ. ይህ ክስተት የማይቻል ነው.

ለ) ዝግጅቱን አስቡበት፡ - ሁለት ዳይስ በሚጥሉበት ጊዜ የነጥቦቹ ውጤት ቢያንስ 20 ይሆናል፡ የሚከተሉት ውጤቶች ለዚህ ክስተት ምቹ ናቸው።

ጠቅላላ፡ 8
እንደ ክላሲካል ፍቺው፡-
- የሚፈለገው ዕድል.

ሐ) ተቃራኒ ክስተቶችን ተመልከት.
- የነጥቦች ውጤት እኩል ይሆናል;
- የነጥቦች ውጤት ያልተለመደ ይሆናል።
ለዝግጅቱ ተስማሚ የሆኑትን ሁሉንም ውጤቶች እንዘርዝር፡-

ጠቅላላ: 9 ጥሩ ውጤቶች.
እንደ ክላሲካል የችሎታ ትርጓሜ፡-
ተቃራኒ ክስተቶች የተሟላ ቡድን ይመሰርታሉ፣ ስለዚህ፡-
- የሚፈለገው ዕድል.

መልስ :

ችግር 8፡ መፍትሄ: አጠቃላይ የውጤቶችን ብዛት እናሰላው 10 ሳንቲሞች በተለያየ መንገድ ሊወድቁ ይችላሉ.
ሌላ መንገድ: 1 ኛ ሳንቲም ሊወድቅ የሚችልባቸው መንገዶች እናየ 2 ኛው ሳንቲም ሊወድቅ የሚችልባቸው መንገዶች እና … እናየ 10 ኛው ሳንቲም ሊወድቅ የሚችልባቸው መንገዶች. ጥምረቶችን በማባዛት ህግ መሰረት 10 ሳንቲሞች ሊወድቁ ይችላሉ መንገዶች.
ሀ) ክስተቱን አስቡበት: - ጭንቅላቶች በሁሉም ሳንቲሞች ላይ ይታያሉ. ይህ ክስተት በነጠላ ውጤት የተወደደ ነው፣ እንደ ክላሲካል ፕሮባቢሊቲ ትርጉም፡.
ለ) ክስተቱን አስቡበት፡ – 9 ሳንቲሞች ጭንቅላትን ያርፋሉ፣ አንድ ሳንቲም ደግሞ ጅራቶችን ያርፋል።
በጭንቅላቶች ላይ የሚያርፉ ሳንቲሞች አሉ. እንደ ክላሲካል የችሎታ ትርጓሜ፡- .
ሐ) ክስተቱን አስቡበት: - ጭንቅላቶች በግማሽ ሳንቲሞች ላይ ይታያሉ.
አለ። ጭንቅላትን ሊያሳርፉ የሚችሉ አምስት ሳንቲሞች ልዩ ጥምረት። እንደ ክላሲካል የችሎታ ትርጓሜ፡-
መልስ :

የፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ መሰረታዊ ነገሮች

እቅድ፡

1. የዘፈቀደ ክስተቶች

2. ክላሲክ የችሎታ ትርጉም

3. የክስተት ፕሮባቢሊቲዎች እና ጥምር ነገሮች ስሌት

4. የጂኦሜትሪክ ዕድል

የንድፈ ሐሳብ መረጃ

የዘፈቀደ ክስተቶች።

የዘፈቀደ ክስተት- ውጤቱ በግልጽ ያልተገለጸ ክስተት. ይህ ጽንሰ-ሐሳብ በሰፊው ሊተረጎም ይችላል. ይኸውም፡- በተፈጥሮ ውስጥ ያለው ነገር ሁሉ በዘፈቀደ ነው፣ የማንኛውም ግለሰብ ገጽታ እና መወለድ የዘፈቀደ ክስተት ነው፣ በሱቅ ውስጥ ምርትን መምረጥ እንዲሁ የዘፈቀደ ክስተት ነው ፣ በፈተና ላይ ውጤት ማግኘት የዘፈቀደ ክስተት ነው ፣ ህመም እና ማገገም የዘፈቀደ ክስተቶች ናቸው ። ወዘተ.

የዘፈቀደ ክስተቶች ምሳሌዎች፡-

~ መተኮስ የሚካሄደው በተሰጠው አንግል ወደ አግድም ከተሰቀለ ሽጉጥ ነው። ዒላማውን መምታት በአጋጣሚ ነው, ነገር ግን የተወሰነውን "ሹካ" መምታቱ ንድፍ ነው. ፕሮጀክቱ የማይበርበትን ርቀት ከየትኛው እና ከየትኛው የበለጠ ርቀት መግለጽ ይችላሉ። አንድ ዓይነት “የፕሮጀክት መበታተን ሹካ” ያገኛሉ።

~ ያው አካል ብዙ ጊዜ ይመዘናል። በትክክል ለመናገር በእያንዳንዱ ጊዜ የተለያዩ ውጤቶችን ታገኛላችሁ, ምንም እንኳን ትንሽ በሆነ መጠን ቢለያዩም, ግን ይለያያሉ.

~ በተመሳሳይ መንገድ የሚበር አውሮፕላን የተወሰነ የበረራ ኮሪደር አለው አውሮፕላኑ የሚንቀሳቀስበት ነገር ግን በፍፁም ተመሳሳይ መንገድ አይኖረውም።

~ አንድ አትሌት በአንድ ጊዜ ተመሳሳይ ርቀት መሮጥ አይችልም ። ውጤቱም በተወሰነ የቁጥር ክልል ውስጥ ይሆናል።

ልምድ፣ ሙከራ፣ ምልከታ ፈተናዎች ናቸው።

ሙከራ- በተደጋጋሚ የሚከናወኑ እና በመደበኛነት የሚደጋገሙ የተወሰኑ ሁኔታዎችን ስብስብ መከታተል ወይም ማሟላት ፣ እና ሌሎች ተመሳሳይ መለኪያዎችን በማክበር።

አንድ አትሌት ኢላማ ላይ የሚተኮሰውን እናስብ። እንዲከናወንም አትሌቱን ማዘጋጀት፣ መሳሪያውን መጫን፣ ማነጣጠር፣ ወዘተ የመሳሰሉትን ሁኔታዎች ማሟላት ያስፈልጋል። "መታ" እና "ያመለጡ" - በጥይት ምክንያት ክስተቶች.

ክስተት- ከፍተኛ ጥራት ያለው የሙከራ ውጤት.

አንድ ክስተት ሊከሰትም ላይሆንም ይችላል።ክስተቶች በትላልቅ ፊደላት ይጠቁማሉ። ለምሳሌ፡ D = "ተኳሹ ኢላማውን መታ።" S="ነጭው ኳሱ ተስሏል" K = "ያሸነፍን ያለ በዘፈቀደ የተወሰደ የሎተሪ ቲኬት"።

ሳንቲም መወርወር ፈተና ነው። የእርሷ "የእጅ ልብስ" ውድቀት አንድ ክስተት ነው, የ "ዲጂታል" መውደቅ ሁለተኛው ክስተት ነው.

ማንኛውም ፈተና የበርካታ ክስተቶችን ክስተት ያካትታል. አንዳንዶቹ በተወሰነ ጊዜ ውስጥ ለተመራማሪው አስፈላጊ ሊሆኑ ይችላሉ, ሌሎች ደግሞ አስፈላጊ ላይሆኑ ይችላሉ.

ክስተቱ በዘፈቀደ ይባላል, ከሆነ, የተወሰኑ ሁኔታዎች ሲሟሉ ኤስሊከሰት ወይም ሊከሰት ይችላል. “የቅድመ ሁኔታዎቹ ስብስብ ተፈጽሟል” ከማለት ይልቅ “ፈተናው ተካሂዷል” እንላለን። ስለዚህ ክስተቱ እንደ ፈተናው ውጤት ይቆጠራል.

~ ተኳሹ በአራት ቦታዎች የተከፈለውን ኢላማ ላይ ተኩሷል። ተኩሱ ፈተና ነው። የዒላማውን የተወሰነ ቦታ መምታት ክስተት ነው።

~ በሽንት ውስጥ ባለ ቀለም ኳሶች አሉ። አንድ ኳስ በዘፈቀደ ከሽንት ውስጥ ይወሰዳል። ኳስን ከሽንት ውስጥ ሰርስሮ ማውጣት ፈተና ነው። የአንድ የተወሰነ ቀለም ኳስ ገጽታ ክስተት ነው።

የዘፈቀደ ክስተቶች ዓይነቶች

1. ክስተቶች የማይጣጣሙ ይባላሉየአንደኛው መከሰቱ በተመሳሳይ ሙከራ ውስጥ የሌሎች ክስተቶችን ክስተት ካላካተተ.

~ አንድ ክፍል በዘፈቀደ ከፓርትመንት ሳጥን ውስጥ ይወገዳል። የመደበኛ ክፍል ገጽታ መደበኛ ያልሆነውን ገጽታ ያስወግዳል. ክስተቶች € አንድ መደበኛ ክፍል ታየ" እና መደበኛ ያልሆነ ክፍል ታየ" - ተኳሃኝ ያልሆነ።

~ ሳንቲም ይጣላል። የ "ክንዶች ቀሚስ" መልክ የአጻጻፉን ገጽታ አያካትትም. ክስተቶቹ "የጦር ቀሚስ ታየ" እና "የተቀረጸ ጽሑፍ ታየ" የማይጣጣሙ ናቸው.

በርካታ ክስተቶች ይመሰርታሉ ሙሉ ቡድን ፣ከመካከላቸው ቢያንስ አንዱ በፈተናው ምክንያት ከታየ. በሌላ አነጋገር ከተጠናቀቀው ቡድን ውስጥ ቢያንስ አንዱ ክስተቶች መከሰታቸው አስተማማኝ ክስተት ነው.

በተለይም ሙሉ ቡድንን የሚመሰርቱት ሁነቶች ጥንድ ሆነው የማይጣጣሙ ከሆኑ የፈተናው ውጤት ከነዚህ ክስተቶች ውስጥ አንድ እና አንድ ብቻ ይሆናል።ይህ ልዩ ጉዳይ የበለጠ ጥቅም ላይ የሚውል በመሆኑ ለኛ የበለጠ ትኩረት የሚስብ ነው።

~ ሁለት የገንዘብ እና የልብስ ሎተሪ ቲኬቶች ተገዝተዋል። ከሚከተሉት ክስተቶች ውስጥ አንድ እና አንድ ብቻ መከሰታቸው የተረጋገጠ ነው።

1. አሸናፊዎቹ በመጀመሪያው ትኬት ላይ ወድቀዋል እና በሁለተኛው ላይ አልወደቀም ።

2. አሸናፊዎቹ በመጀመሪያው ትኬት ላይ አልወደቀም እና በሁለተኛው ላይ ወድቀዋል።

3. "በሁለቱም ትኬቶች ላይ ድሎች ወድቀዋል",

4. "ሁለቱም ቲኬቶች አላሸነፉም."

እነዚህ ክስተቶች ጥንድ ተኳዃኝ ያልሆኑ ክስተቶች ሙሉ ቡድን ይመሰርታሉ፣

~ ተኳሹ ወደ ኢላማው ተኮሰ። ከሚከተሉት ሁለት ክስተቶች አንዱ በእርግጠኝነት ይከሰታል፡ መምታት፣ ማጣት። እነዚህ ሁለት የማይጣጣሙ ክስተቶችም የተሟላ ቡድን ይመሰርታሉ።

2. ክስተቶች ተጠርተዋል እኩል ይቻላል ፣አንዳቸውም ቢሆኑ ከሌላው የበለጠ እንደማይቻሉ ለማመን የሚያስችል ምክንያት ካለ.

~ "የክንድ ኮት" መልክ እና ሳንቲም ሲወረውሩ የተቀረጸው መልክ እኩል ሊሆኑ የሚችሉ ክስተቶች ናቸው. በእርግጥም, ሳንቲም ከተዋሃዱ ነገሮች የተሰራ ነው ተብሎ ይታሰባል, መደበኛ የሲሊንደሪክ ቅርጽ አለው, እና የእንቆቅልሽ መገኘት የአንድን ወይም የሌላውን ሳንቲም ማጣት አይጎዳውም.

~ በተጣሉ ዳይስ ላይ የአንድ ወይም ሌላ የነጥብ ብዛት መታየት እኩል ሊሆኑ የሚችሉ ክስተቶች ናቸው። በእርግጥም, ዳይቱ ከተዋሃዱ ነገሮች የተሠራ ነው ተብሎ ይታሰባል, መደበኛ የ polyhedron ቅርጽ አለው, እና የነጥቦች መገኘት ምንም አይነት የፊት ገጽታን አይጎዳውም.

3. ክስተቱ ተጠርቷል አስተማማኝ ፣ሊረዳው ካልቻለ ግን ይከሰታል

4. ክስተቱ ተጠርቷል የማይታመን, ሊከሰት የማይችል ከሆነ.

5. ክስተቱ ተጠርቷል ተቃራኒየዚህ ክስተት አለመከሰትን ያካተተ ከሆነ ወደ አንዳንድ ክስተት. ተቃራኒ ክስተቶች ተኳሃኝ አይደሉም፣ ግን ከመካከላቸው አንዱ የግድ የግድ መከሰት አለበት። ተቃራኒ ክስተቶች አብዛኛውን ጊዜ እንደ ንግግሮች ይሰየማሉ, ማለትም. ሰረዝ ከደብዳቤው በላይ ተጽፏል። ተቃራኒ ክስተቶች፡ A እና Ā; U እና Ū፣ ወዘተ. .

ክላሲክ የአቅም ፍቺ

ፕሮባቢሊቲ (ፕሮባቢሊቲ) ከፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ መሰረታዊ ፅንሰ-ሀሳቦች አንዱ ነው።

የዚህ ጽንሰ-ሐሳብ በርካታ ትርጓሜዎች አሉ. ክላሲካል የሚባለውን ፍቺ እንስጥ። በመቀጠል, የዚህን ትርጉም ድክመቶች እንጠቁማለን እና የጥንታዊውን ትርጓሜ ድክመቶችን ለማሸነፍ የሚያስችሉ ሌሎች ትርጓሜዎችን እንሰጣለን.

ሁኔታውን አስቡበት፡ አንድ ሳጥን 6 ተመሳሳይ ኳሶች፣ 2 ቀይ፣ 3 ሰማያዊ እና 1 ነጭ ናቸው። በግልጽ ለማየት እንደሚቻለው, ባለቀለም (ማለትም, ቀይ ወይም ሰማያዊ) ኳስ ከሽንት ውስጥ በዘፈቀደ የመሳል እድሉ ነጭ ኳስ ከመሳል የበለጠ ነው. ይህ ዕድል በቁጥር ሊገለጽ ይችላል, እሱም የአንድ ክስተት ዕድል (ባለቀለም ኳስ መልክ) ይባላል.

ሊሆን ይችላል።- አንድ ክስተት ሊከሰት የሚችልበትን ደረጃ የሚገልጽ ቁጥር።

በሚታሰብበት ሁኔታ ውስጥ ፣ እኛ እንጠቁማለን-

ክስተት A = "ባለቀለም ኳስ ማውጣት።"

እያንዳንዱ የፈተና ሊሆኑ የሚችሉ ውጤቶች (ሙከራው ኳስን ከሽንት ውስጥ ማስወገድን ያካትታል) ይባላል የመጀመሪያ ደረጃ (ሊቻል የሚችል) ውጤት እና ክስተት.የመጀመሪያ ደረጃ ውጤቶች ከዚህ በታች ኢንዴክሶች ባላቸው ፊደሎች ሊገለጹ ይችላሉ፣ ለምሳሌ፡ k 1፣ k 2።

በእኛ ምሳሌ ውስጥ 6 ኳሶች አሉ, ስለዚህ 6 ሊሆኑ የሚችሉ ውጤቶች አሉ: ነጭ ኳስ ይታያል; ቀይ ኳስ ታየ; ሰማያዊ ኳስ ታየ, ወዘተ. እነዚህ ውጤቶች ጥንድ ጥንድ የማይጣጣሙ ክስተቶችን (አንድ ኳስ ብቻ ይታያል) እና እኩል ሊሆኑ የሚችሉ መሆናቸውን ለማየት ቀላል ነው (ኳሱ በዘፈቀደ ይሳሉ ፣ ኳሶቹ ተመሳሳይ እና በደንብ የተደባለቁ ናቸው)።

ለእኛ ፍላጎት ያለው ክስተት የሚከሰትባቸውን የመጀመሪያ ደረጃ ውጤቶችን እንጥራ ተስማሚ ውጤቶችይህ ክስተት. በእኛ ምሳሌ, ክስተቱ ተወዳጅ ነው ሀ(ባለቀለም ኳስ መልክ) የሚከተሉት 5 ውጤቶች:

ስለዚህ ዝግጅቱ ሀከአንደኛ ደረጃ ውጤቶች ውስጥ አንዱ ተስማሚ ከሆነ ይስተዋላል ሀ.ይህ ማንኛውም ባለ ቀለም ኳስ መልክ ነው, ከነዚህም ውስጥ 5 በሳጥኑ ውስጥ ይገኛሉ

ከግምት ውስጥ ባለው ምሳሌ ውስጥ 6 የመጀመሪያ ደረጃ ውጤቶች አሉ; 5ቱ ዝግጅቱን ይደግፋሉ ሀ.ስለዚህም እ.ኤ.አ. P(A)= 5/6. ይህ ቁጥር ባለቀለም ኳስ የመታየት እድሉ ምን ያህል እንደሆነ በቁጥር ግምገማ ይሰጣል።

የአቅም ፍቺ፡-

የክስተት ዕድል ኤለዚህ ክስተት ተስማሚ የሆኑ የውጤቶች ብዛት ጥምርታ ይባላል።

P(A)=m/n ወይም P(A)=m: n፣ የት፡

m ተስማሚ የአንደኛ ደረጃ ውጤቶች ብዛት ነው። አ;

ፒ- ሁሉም ሊሆኑ የሚችሉ የመጀመሪያ ደረጃ ፈተና ውጤቶች ብዛት።

እዚህ ላይ የአንደኛ ደረጃ ውጤቶቹ የማይጣጣሙ, እኩል ሊሆኑ የሚችሉ እና የተሟላ ቡድን ይመሰርታሉ ተብሎ ይታሰባል.

የሚከተሉት ባህሪያት ከፕሮባቢሊቲ ፍቺ ይከተላሉ:

1. አስተማማኝ ክስተት የመሆን እድሉ ከአንድ ጋር እኩል ነው.

በእርግጥ, ክስተቱ አስተማማኝ ከሆነ, እያንዳንዱ የፈተና የመጀመሪያ ደረጃ ውጤት ክስተቱን ይደግፋል. በዚህ ጉዳይ ላይ m = nስለዚህ p=1

2. የማይቻል ክስተት የመሆን እድሉ ዜሮ ነው።

በእርግጥ, አንድ ክስተት የማይቻል ከሆነ, ከፈተናው የመጀመሪያ ደረጃ ውጤቶች ውስጥ አንዳቸውም ክስተቱን አይደግፉም. በዚህ ሁኔታ m=0, ስለዚህ p=0.

3.የዘፈቀደ ክስተት ዕድል በዜሮ እና በአንድ መካከል ያለው አወንታዊ ቁጥር ነው። 0ቲ< n.

በሚቀጥሉት ርእሶች አንድ ሰው የአንዳንድ ክስተቶችን የታወቁ እድሎች በመጠቀም የሌሎችን ክስተቶች እድሎች እንዲያገኝ የሚያስችል ንድፈ ሃሳቦች ይሰጣሉ።

መለኪያ. በተማሪዎች ቡድን ውስጥ 6 ሴት ልጆች እና 4 ወንዶች ልጆች አሉ። በዘፈቀደ የተመረጠ ተማሪ ሴት የመሆን እድሉ ምን ያህል ነው? ወጣት ይኖራል?

p dev = 6/10 = 0.6 p yun = 4/10 = 0.4

በዘመናዊ ጥብቅ ፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ ኮርሶች ውስጥ "ይሆናል" የሚለው ጽንሰ-ሐሳብ በንድፈ-ጽንሰ-ሃሳባዊ መሰረት የተገነባ ነው. የዚህን አቀራረብ አንዳንድ ገጽታዎች እንመልከት.

በፈተናው ምክንያት ከክስተቶቹ አንድ እና አንድ ብቻ ይከሰቱ፡- ወ i(i=1, 2, .... p). ክስተቶች ወ i- ተጠርቷል የመጀመሪያ ደረጃ ክስተቶች (የመጀመሪያ ደረጃ ውጤቶች). ስለየአንደኛ ደረጃ ክስተቶች ጥንድ ሆነው የማይጣጣሙ መሆናቸውን ይከተላል። በፈተና ውስጥ ሊከሰቱ የሚችሉ የሁሉም የመጀመሪያ ደረጃ ክስተቶች ስብስብ ይባላል የአንደኛ ደረጃ ክስተቶች ቦታΩ (የግሪክ አቢይ ሆሄያት ኦሜጋ), እና የመጀመሪያ ደረጃ ክስተቶች እራሳቸው ናቸው የዚህ ቦታ ነጥቦች..

ክስተት ሀበንዑስ ስብስብ (የጠፈር Ω) ተለይቷል፣ እነዚህ ንጥረ ነገሮች የመጀመሪያ ደረጃ ውጤቶች ተስማሚ ናቸው። አ;ክስተት ውስጥንጥረ ነገሮቹ ለውጤቶች ተስማሚ የሆኑ ንዑስ ስብስብ Ω ነው። ውስጥ፣ወዘተ. ስለዚህ በፈተና ውስጥ ሊከሰቱ የሚችሉ የሁሉም ክስተቶች ስብስብ የሁሉም የ Ω. Ω እራሱ ለማንኛውም የፈተና ውጤት ይከሰታል, ስለዚህ Ω አስተማማኝ ክስተት ነው; ባዶ የቦታ ስብስብ Ω - የማይቻል ክስተት ነው (በየትኛውም የፈተና ውጤት አይከሰትም).

የመጀመሪያ ደረጃ ክስተቶች ከሁሉም አርእስት ክስተቶች ተለይተዋል፣ “እያንዳንዳቸው አንድ ንጥረ ነገር Ω ብቻ ይይዛሉ

እያንዳንዱ የመጀመሪያ ደረጃ ውጤት ወ iከአዎንታዊ ቁጥር ጋር ይዛመዳል p i- የዚህ ውጤት ዕድል, እና የሁሉም ድምር p iከ 1 ጋር እኩል ወይም ከድምር ምልክት ጋር ይህ እውነታ በአገላለጽ መልክ ይጻፋል፡-

በትርጉም ፣ ዕድል ፒ(ኤ)ክስተቶች ሀተስማሚ የአንደኛ ደረጃ ውጤቶች እድሎች ድምር ጋር እኩል ነው። ሀ.ስለዚህ, የአስተማማኝ ክስተት ዕድል ከአንድ ጋር እኩል ነው, የማይቻል ክስተት ዜሮ ነው, እና የዘፈቀደ ክስተት በዜሮ እና በአንድ መካከል ነው.

ሁሉም ውጤቶች እኩል በሚቻሉበት ጊዜ አንድ አስፈላጊ ልዩ ጉዳይን እንመልከት የውጤቶች ብዛት n, የሁሉም ውጤቶች እድሎች ድምር ከአንድ ጋር እኩል ነው; ስለዚህ, የእያንዳንዱ ውጤት ዕድል 1 / ፒ. ክስተቱ ይሁን ሀ m ውጤቶች ሞገስ.

የክስተቱ ዕድል ሀተስማሚ ከሆኑ የውጤቶች እድሎች ድምር ጋር እኩል ነው። መ፡

P(A)=1/n + 1/n+…+1/n = n 1/n=1

ክላሲካል የችሎታ ፍቺ ተገኝቷል።

በተጨማሪም አለ axiomaticወደ "ይሆናል" ጽንሰ-ሐሳብ አቀራረብ. በታቀደው axioms ሥርዓት ውስጥ. Kolmogorov A.N., ያልተገለጹ ጽንሰ-ሐሳቦች የመጀመሪያ ደረጃ ክስተት እና ዕድል ናቸው. በአመክንዮ የተጠናቀቀ የፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ ግንባታ በዘፈቀደ ክስተት እና በችሎታው ላይ ባለው አክሲዮማዊ ፍቺ ላይ የተመሠረተ ነው።

ዕድልን የሚገልጹ አክሲዮሞች እነሆ፡-

1. እያንዳንዱ ክስተት ሀአሉታዊ ያልሆነ እውነተኛ ቁጥር ተመድቧል አር (ኤ)ይህ ቁጥር የክስተቱ ዕድል ይባላል ሀ.

2. የአስተማማኝ ክስተት ዕድል ከአንድ ጋር እኩል ነው-