የግራፍ ቲዎሪ ምን ያጠናል? የግራፍ ቲዎሪ ክላሲካል ችግሮች እና መፍትሄዎቻቸው

መደበኛ ባልሆነ መልኩ፣ አንድ ግራፍ በቀስት ወይም ያለ ቀስቶች እነዚህን ነጥቦች የሚያገናኙ የነጥቦች እና የመስመሮች ስብስብ ተደርጎ ሊወሰድ ይችላል።

የመጀመሪያው የግራፍ ንድፈ ሐሳብ እንደ የሂሳብ ዲሲፕሊን እንደ የዩለር ወረቀት (1736) ይቆጠራል, እሱም የኮንንግስበርግ ድልድዮች ችግርን ይመለከታል. ኡለር ሰባቱን የከተማ ድልድዮች ማለፍ እና እያንዳንዱን ድልድይ በትክክል አንድ ጊዜ በማቋረጥ ወደ መጀመሪያው ቦታ መመለስ እንደማይቻል አሳይቷል። የግራፍ ንድፈ ሃሳብ ወደ 100 ዓመታት ገደማ በኋላ በኤሌክትሪክ ኔትወርኮች, ክሪስታሎግራፊ, ኦርጋኒክ ኬሚስትሪ እና ሌሎች ሳይንሶች ላይ ምርምር በማድረግ ቀጣዩን ተነሳሽነት አግኝቷል.

ምንም እንኳን ሳናስተውል, ሁልጊዜ ግራፎች ያጋጥሙናል. ለምሳሌ, ግራፍ የምድር ውስጥ ባቡር መስመሮች ንድፍ ነው. በላዩ ላይ ያሉት ነጠብጣቦች ጣቢያዎችን ይወክላሉ, እና መስመሮቹ የባቡር መስመሮችን ያመለክታሉ. ቅድመ አያቶቻችንን በመመርመር እና ወደ ሩቅ ቅድመ አያት በመፈለግ, የቤተሰብ ዛፍ ተብሎ የሚጠራውን እንገነባለን. እና ይህ ዛፍ ግራፍ ነው.

ግራፎች በእቃዎች መካከል ያሉ ግንኙነቶችን ለመግለጽ እንደ ምቹ መንገድ ያገለግላሉ። ከዚህ ቀደም ግራፎችን እንደ ውሱን ሁለትዮሽ ግንኙነቶችን በምስል ለማሳየት ተጠቅመናል።

ግን ግራፉ እንደ ምሳሌ ብቻ አይደለም ጥቅም ላይ የሚውለው. ለምሳሌ፣ በሰዎች አካባቢ መካከል ያለውን የመንገድ አውታር የሚያሳይ ግራፍ ግምት ውስጥ በማስገባት ከ ነጥብ ሀ እስከ ነጥብ ለ ያለውን መንገድ መወሰን ትችላለህ። ብዙ እንደዚህ ያሉ መንገዶች ካሉ፣ በተወሰነ መልኩ ጥሩውን መምረጥ ትፈልጋለህ፣ ለምሳሌ በጣም አጭር ወይም በጣም አስተማማኝ. የመምረጥ ችግርን ለመፍታት በግራፎች ላይ የተወሰኑ ስሌቶችን ማከናወን አስፈላጊ ነው. እንደነዚህ ያሉትን ችግሮች በሚፈታበት ጊዜ የአልጀብራ ቴክኒኮችን ለመጠቀም ምቹ ነው ፣ እና የግራፍ ጽንሰ-ሀሳብ መደበኛ መሆን አለበት።

የግራፍ ንድፈ-ሀሳብ ዘዴዎች በልዩ ሂሳብ ውስጥ በሰፊው ጥቅም ላይ ይውላሉ። የተለያዩ የዲስክሪት ለዋጮችን ሲመረምሩ እና ሲያዋህዱ ያለ እነርሱ ማድረግ አይቻልም-የኮምፒዩተሮች ተግባራዊ ብሎኮች ፣ የሶፍትዌር ፓኬጆች ፣ ወዘተ.

በአሁኑ ጊዜ የግራፍ ቲዎሪ ብዙ ቁሳቁሶችን ይሸፍናል እና በንቃት እያደገ ነው። ስናቀርብ እራሳችንን በውጤቶቹ ክፍል ብቻ እንወስናለን እና ዋናውን ትኩረት በመደበኛ ቋንቋዎች ፅንሰ-ሀሳብ ውስጥ ጥቅም ላይ የሚውሉ የግራፍ ትንተና ስልተ ቀመሮችን ገለፃ እና ማረጋገጫ ላይ እናደርጋለን።

• መሰረታዊ ትርጓሜዎች

  በምሳሌዎቹ ላይ ቀደም ሲል እንደተገለፀው ግራፎች በተወሰኑ ነገሮች መካከል ያለውን ግንኙነት "በማሳየት" የሚያሳዩ መንገዶች ናቸው እነዚህ ግንኙነቶች "ሊመሩ" ይችላሉ, ለምሳሌ, በቤተሰብ ዛፍ ውስጥ ወይም "ያልተመራ" (የሁለት መንገድ አውታረመረብ). መንገዶች)። በዚህ መሠረት በግራፍ ንድፈ-ሐሳብ ውስጥ ሁለት ዋና ዋና የግራፍ ዓይነቶች አሉ-የተመሩ (ወይም የተመሩ) እና ያልተመሩ።

• የአቀራረብ ዘዴዎች

  እስካሁን ድረስ, ቀጥተኛ እና ያልተመሩ ግራፎችን ገለፅን, ስዕሎችን በመጠቀም ያሳያሉ. ትርጉሙን በመከተል ግራፍን እንደ ጥንድ ስብስቦች መግለፅ ይችላሉ, ነገር ግን ይህ ዘዴ በጣም አስቸጋሪ እና ከቲዎሬቲክ ፍላጎት ይልቅ ነው. የግራፎችን ባህሪያት ለመተንተን የአልጎሪዝም አቀራረቦችን ማዘጋጀት ኮምፒተርን መጠቀምን ጨምሮ ለተግባራዊ ስሌቶች ይበልጥ ተስማሚ የሆኑትን ግራፎችን የሚገልጹ ሌሎች መንገዶችን ይጠይቃል. ግራፎችን ለመወከል ሶስቱን በጣም የተለመዱ መንገዶችን እንመልከት።

• ዛፎች

  ፍቺ 5.5. ያልተመራ ዛፍ የተገናኘ እና ሳይክሊክ ያልተመራ ግራፍ ነው። ፍቺ 5.6. ዳይሬክት የተደረገ ዛፍ ኮንቱር ያልሆነ ግራፍ ሲሆን የየትኛውም ወርድ ግማሽ ዲግሪ ከ 1 የማይበልጥ እና በትክክል አንድ ቁልቁል አለ ይህም የዛፍ ሥር ተብሎ የሚጠራ ሲሆን የግማሽ ዲግሪው 0 ነው.

• አነስተኛ ክብደት ያለው ዛፍ

  የሚከተለው ችግር በግራፍ ንድፈ ሃሳብ እንደ የስታይነር ችግር ይታወቃል: n ነጥቦች በአውሮፕላን ውስጥ ይሰጣሉ; የክፍሉ አጠቃላይ ርዝመት አነስተኛ እንዲሆን ከቀጥታ ክፍሎች ጋር ማገናኘት ያስፈልግዎታል ።

• የግራፍ ጫፎችን ስልታዊ በሆነ መንገድ ለማለፍ ዘዴዎች

  በግራፍ ንድፈ ሐሳብ ውስጥ ያሉ አስፈላጊ ችግሮች የሁለቱም ያልተመሩ እና ቀጥተኛ ግራፎች ዓለም አቀፋዊ ትንተና ችግሮች ናቸው። እነዚህ ተግባራት ለምሳሌ ዑደቶችን ወይም ቅርጾችን የማግኘት ተግባር፣ በጫፍ ጥንዶች መካከል ያሉትን የመንገዶች ርዝመት ማስላት ፣ ከተወሰኑ ንብረቶች ጋር መንገዶችን መዘርዘር ፣ ወዘተ. የአለምአቀፍ የግራፍ ትንተና ከአካባቢያዊ ትንታኔዎች መለየት አለበት, ለዚህም ምሳሌ የቀደሞቹን ስብስቦች እና የተስተካከለ ግራፍ ቋሚ ቋሚ ተተኪዎችን የመወሰን ችግር ነው.

• በክብደት በተቀመጡ ግራፎች ውስጥ የመንገድ ችግር

• ግራፍ isomorphism

  ለተመራው ግራፍ (V፣ E)፣ የ Arcs ስብስብ E እንደ የሁለትዮሽ ቀጥተኛ ተደራሽነት ግንኙነት በግራፍ ሊወሰድ ይችላል። ባልተመራው ግራፍ (V, E) ውስጥ, የጠርዝ ስብስብ ኢ ያልተደረደሩ ጥንዶች ስብስብ ነው. ለእያንዳንዱ ያልታዘዙ ጥንዶች (u፣ v) ∈ E ጫፎቹ u እና v በሲሜትሪክ ሁለትዮሽ ግንኙነት ፒ የተገናኙ መሆናቸውን መገመት እንችላለን፣ i.e. (u, v) ∈ р እና (v, u) ∈ р.

• ቶፖሎጂካል ምደባ

  ፍቺ 5.17. የተመራው አውታረ መረብ (ወይም በቀላሉ አውታረመረብ) ኮንቱር አልባ ዳይሬክት ግራፍ* ነው። አውታረ መረቡ ኮንቱር የሌለው ግራፍ ስለሆነ ከዜሮ ውጭ ዲግሪ ያላቸው የአውታረ መረብ ጫፎች (አንጓዎች) እንዲሁም ዜሮ ውስጠ-ደረጃ ያላቸው ጫፎች (ኖዶች) መኖራቸውን ማሳየት ይቻላል. የቀደሙት የኔትወርኩ መሰንጠቂያዎች ወይም ውፅዓቶች ይባላሉ፣ የኋለኛው ደግሞ የኔትወርኩ ምንጮች ወይም ግብአቶች ይባላሉ።

• የሳይክሎማቲክስ አካላት

  ጥልቀት-የመጀመሪያው የፍለጋ ስልተ-ቀመር ባልተመራው ግራፍ ውስጥ ሲወያዩ, የግራፉን መሰረታዊ ዑደቶች የሚባሉትን የመፈለግ ጥያቄ ተወስዷል. በዚህ ሁኔታ አንድ መሰረታዊ ዑደት በትክክል አንድ የተገላቢጦሽ ጠርዝ እንደያዘ ዑደት ተረድቷል እና የአንድ ለአንድ ደብዳቤ በመሠረታዊ ዑደቶች እና በተገላቢጦሽ ጠርዞች መካከል ተቋቋመ ። ያልተመራውን የግራፍ ሁሉንም ጠርዞች የዘፈቀደ ክፍፍል በሚፈጠርበት ጊዜ መሰረታዊ ዑደቶች ይነሳሉ ። ዛፎች (የመጀመሪያው ግራፍ የተወሰነ ከፍተኛውን የጫካ ጫካ ይመሰርታል) እና የተገላቢጦሽ ፣ እና በአጠቃላይ ሁኔታ ይህ ክፍልፍል ከጥልቅ-የመጀመሪያው የፍለጋ ስልተ-ቀመር ሙሉ በሙሉ ተለይቶ ሊገለጽ ይችላል። ጥልቀት-የመጀመሪያ ፍለጋ እንዲህ ዓይነቱን ክፋይ ለመተግበር አንድ መንገድ ብቻ ነው.

የግራፍ ቲዎሪ በኮምፒዩተር ሳይንስ እና ፕሮግራሚግ ፣ ኢኮኖሚክስ ፣ ሎጂስቲክስ እና ኬሚስትሪ ውስጥ ጥቅም ላይ የሚውል የሂሳብ ክፍል ነው።

ግራፍ ምንድን ነው?

ሥዕላዊ መግለጫዎች ብዙውን ጊዜ የሥርዓቶችን አወቃቀር ለመግለጽ ያገለግላሉ። በውስጣቸው ያሉ ንጥረ ነገሮች በክበቦች, ነጥቦች, ካሬዎች, ወዘተ, እና በንጥረ ነገሮች መካከል ያሉ ግንኙነቶች በመስመሮች ወይም ቀስቶች ይወከላሉ. በዚህ ሁኔታ ፣ ንጥረ ነገሮቹ እንዴት እንደሚገለጡ ወይም የመስመሮቹ ርዝመት ወይም ቅርፅ አስፈላጊ አይደሉም - የትኞቹ አካላት የተገናኙት ጉዳዮች ብቻ ናቸው ። ስለዚህ, ግራፍ የቅርጽ (A, M) ጥንድ ነው, ሀ የመጨረሻዎቹ ጫፎች, እና M የጠርዝ ስብስብ - አንዳንድ ጫፎችን የሚያገናኙ መስመሮች ናቸው.

የግራፍ ንድፈ ሃሳብ መሰረታዊ ፅንሰ-ሀሳቦች

ተኮር ግራፍ ወይም ዲግራፍ (ከዚህ በታች ያለውን ምስል ይመልከቱ) ተኮር ጠርዞች፣ አርክ የሚባሉ እና በቀስቶች የተገለጹ ናቸው። ቅስት በሚያገናኘው በተደረደሩ ጥንድ ጫፎች፣ መጀመሪያ እና መጨረሻ ሊገለጽ ይችላል።

ያልተመራ ግራፍ (ከዚህ በታች ያለውን ስእል ይመልከቱ) ያለ አቅጣጫ መስመሮች እንደ መስመሮች የተሳሉ ጠርዞች አሉት. በዚህ መሠረት በጠርዝ የተገናኙት ጥንድ ጫፎች ያልታዘዙ ናቸው. እነዚህ ሁለቱም ጫፎች የጫፍ ጫፎች ናቸው.

ጫፎች a እና b የግራፉ ጠርዝ (ወይንም የአርክ መጀመሪያ እና መጨረሻ) ጫፎች ከሆኑ፣ ጫፎቹ a እና b በዚህ ጠርዝ (አርክ) ላይ እንደተከሰቱ ይነገራል እንዲሁም ጠርዝ (አርክ) እንዲሁ እንዲሁ ነው። ከዳር እስከ ሀ እና ለ. ጫፎች a እና b የአንድ ጠርዝ ጫፎች ከሆኑ፣ እነሱ (a እና b) አጎራባች ይባላሉ።

ብዙውን ጊዜ ጠርዞቻቸው አንድ ዓይነት የሆኑ ግራፎችን እንመለከታለን - ይመራሉ ወይም አይመሩም።

ጠርዞቹ አንድ አይነት መጀመሪያ እና መጨረሻ ካላቸው, ከዚያም ብዙ ጠርዞች ይባላሉ, እና እነሱ ያሉት ግራፍ ብዙ ግራፍ ይባላል.

የግራፍ ንድፈ ሐሳብ እንዲሁ የ "loop" ጽንሰ-ሐሳብ ይጠቀማል - ወደ ውጭ የሚወጣ እና ወደ ተመሳሳይ ጫፍ የሚሄድ ጠርዝ. loops ያለው ግራፍ pseudograph ይባላል።

በጣም የተለመዱት ያልተመሩ ግራፎች ናቸው, ብዙ ጠርዞች እና ምንም ቀለበቶች የሌላቸው. እንደነዚህ ያሉት ግራፎች ተራ ተብለው ይጠራሉ. ብዙ ጠርዞች የላቸውም, ስለዚህ አንድ ጠርዝ እና ተዛማጅ ጥንድ ጫፎችን መለየት እንችላለን.

እያንዳንዱ የዲግራፍ ጫፍ በሚከተለው ተለይቶ ይታወቃል፡-

• የውጤት ግማሽ ደረጃ. ይህ ከእሱ የሚወጡት የአርኮች ቁጥር ነው.
• የአቀራረብ ግማሽ ደረጃ. ይህ በተሰጠው ጫፍ ውስጥ የሚገቡት የአርኮች ብዛት ነው.

የዲግራፍ ግቤት የግማሽ ዲግሪ ድምር, እንዲሁም የውጤቱ ግማሽ-ዲግሪ ድምር ከጠቅላላው የግራፍ ቅስቶች ብዛት ጋር እኩል ነው.

በማይመራው ግራፍ ውስጥ, እያንዳንዱ ወርድ በደረጃው ደረጃ ይገለጻል. ይህ በጠርዝ ላይ የተከሰቱት የጠርዝ ብዛት ነው። የግራፉ ጫፎች አጠቃላይ ድምር የጠርዞች ብዛት በሁለት ተባዝቷል-እያንዳንዱ ጠርዝ ከሁለት ጋር እኩል የሆነ አስተዋፅኦ ያበረክታል.

ዲግሪ 0 ያለው ወርድ ተለይቶ ይባላል።

አንጠልጣይ ወርድ 1 ዲግሪ ያለው ጫፍ ነው።

የግራፍ ቲዎሪ ምንም ጠርዞች የሌሉበት ባዶ ግራፍ ይለዋል። የተሟላ ግራፍ ማንኛውም 2 ጫፎች አጠገብ ያሉበት ተራ ግራፍ ነው።

ክብደታቸው ግራፎች የተወሰኑ ቁጥሮች የተመደቡባቸው ጫፎች ወይም ጠርዞች (አርክስ) ወይም ሁለቱም ጫፎች እና ጠርዞች (አርክስ) በአንድ ጊዜ ግራፎች ናቸው። ሚዛኖች ተብለው ይጠራሉ. ሁለተኛው አሃዝ ጠርዞቹ ክብደት ያላቸውን ያልተመራ ግራፍ ያሳያል።

ግራፎች: isomorphism

የ isomorphism ጽንሰ-ሐሳብ በሂሳብ ውስጥ ጥቅም ላይ ይውላል. በተለይም የግራፍ ንድፈ ሀሳብ እንደሚከተለው ይገልፃል-ሁለት ግራፎች U እና V በእነዚህ ግራፎች ውስጥ በአዕምሯቸው ስብስቦች መካከል ልዩነት ካለ - በ U እና በ V ውስጥ ያሉት እያንዳንዱ 2 ጫፎች በጠርዝ የተገናኙ ናቸው ። ግራፍ ቪ ተመሳሳይዎቹ በጠርዝ ጫፎች ተያይዘዋል (የተለያዩ ስሞች ሊኖሩት ይችላል)። ከዚህ በታች ያለው ምስል በሁለቱም የመጀመሪያ እና ሁለተኛ ግራፎች ውስጥ በተመሳሳይ ቀለም በተቀቡ ጫፎች መካከል ከላይ የተገለፀው ብዥታ የሚኖርባቸውን ሁለት isomorphic ግራፎች ያሳያል።

ዱካዎች እና ዑደቶች

በማይመራው ወይም በማይመራው ግራፍ ውስጥ ያለው መንገድ የዳርቻዎች ቅደም ተከተል ነው, እያንዳንዱ ቀጣይ የሚጀምረው ቀዳሚው በሚያልቅበት ጫፍ ላይ ነው. ቀላል መንገድ ምናልባት መጀመሪያ እና መጨረሻ ካልሆነ በስተቀር ሁሉም ጫፎች እና ጠርዞቹ የተለያዩ ናቸው። በዲግራፍ ውስጥ ያለ ዑደት መነሻ እና መድረሻው የተገጣጠሙ እና ቢያንስ አንድ ጠርዝን ያካተተ መንገድ ነው። ባልተመራ ግራፍ ውስጥ ያለ ዑደት ቢያንስ ሦስት የተለያዩ ጠርዞችን የያዘ መንገድ ነው። በሁለተኛው ስእል, ዑደቱ ለምሳሌ መንገዱ (3, 1), (6, 3), (1, 6) ነው.

በፕሮግራም አወጣጥ ውስጥ የግራፍ ንድፈ ሐሳብ የአልጎሪዝም ግራፍ ንድፎችን ለመሥራት ያገለግላል.

የ K. Berge መጽሐፍ በሩሲያኛ በግራፍ ንድፈ ሐሳብ ላይ የመጀመሪያው ነው. ይህ በእንዲህ እንዳለ፣ ከቅርብ ዓመታት ወዲህ፣ የንድፈ ሐሳብ ፍላጎት በሂሳብ ሊቃውንት እና በተለያዩ ዘርፎች ተወካዮች ዘንድ በከፍተኛ ሁኔታ ጨምሯል። ይህ የተገለፀው የግራፍ ንድፈ ሃሳብ ዘዴዎች በኤሌክትሪክ ዑደት ፅንሰ-ሀሳብ ውስጥ ብዙ ችግሮችን በተሳካ ሁኔታ መፍታት ፣ የትራንስፖርት ሰንሰለቶች ጽንሰ-ሀሳብ ፣ የመረጃ ፅንሰ-ሀሳብ ፣ ሳይበርኔትስ ፣ ወዘተ.
በበርጌ መጽሐፍ ውስጥ የግራፍ ቲዎሪ ከመሠረቱ ጀምሮ በቅደም ተከተል ቀርቧል። ምንም እንኳን አንዳንድ የሂሳብ ባህል ቢኖረውም አንባቢው በጣም መጠነኛ የሆነ የሂሳብ እውቀት አለው ተብሎ ይታሰባል። ጽሑፉ ብዙ፣ ብዙ ጊዜ አስቂኝ ምሳሌዎችን ያካትታል። መጽሐፉ ለግራፍ ንድፈ ሐሳብ የመጀመሪያ ጥናት ሊያገለግል ይችላል። ሙያዊ የሂሳብ ሊቃውንትም በውስጡ ብዙ አስደሳች ነገሮችን ያገኛሉ።

የዩለር ዑደትን በቀጥታ ለመለየት ስልተ ቀመር።
[Fleury]። የተገናኘውን መልቲግራፍ ጂ እንይ ፣ ሁሉም ጫፎቹ እኩል ዲግሪ አላቸው ፣ እና በግንባታው ሂደት ውስጥ ቀድሞውኑ በተሳለው የመንገዱን ክፍል ውስጥ እርማቶችን ሳናስተካክል በአንድ ምት ለመሳል እንሞክራለን። የሚከተለውን ደንብ ማክበር በቂ ነው.
1 ከዘፈቀደ ጫፍ እንወጣለን a; እያንዳንዱን ያለፈውን ጫፍ እናቋርጣለን.
2 ከእንደዚህ አይነት ጠርዝ ጋር በጭራሽ አንሄድም እና በአሁኑ ጊዜ ከግምት ውስጥ መግባት ያለበት እስትመስ (ማለትም፣ ሲወገድ፣ ባልተሻገሩ ጠርዞች የተሰራው ግራፍ እያንዳንዳቸው ቢያንስ አንድ ጠርዝ ያለው ወደ ሁለት ተያያዥ ክፍሎች ይከፈላሉ)።

ይህንን ህግ በመከተል ሁል ጊዜ ምቹ ቦታ ላይ እንሆናለን, ምክንያቱም በ x = a ላይ ስንሆን, ግራፉ (ያልተሻገሩ ጠርዞች) ሁለት የጎደለው ዲግሪ ሁለት ጫፎች አሉት: x እና a; የተገለሉ ጫፎች ከተጣሉ፣ የተገናኘ ግራፍ ይቀራል፣ እሱም በቲዎረም 1 መሰረት፣ ከ x ጀምሮ የኡለር ሰንሰለት አለው።

ይዘት
መግቢያ
ምዕራፍ 1. መሠረታዊ ትርጓሜዎች
ስብስቦች እና ባለብዙ እሴት ካርታዎች
ግራፍ መስመሮች እና መንገዶች
ወረዳዎች እና ዑደቶች
ምዕራፍ 2. የኳሲ-ሥርዓት የመጀመሪያ ደረጃ ጥናት
የኳሲ ቅደም ተከተል በግራፍ ይገለጻል።
ኢንዳክቲቭ ግራፍ እና መሰረቶች
ምዕራፍ 3. መደበኛ ተግባር እና ተግባር
Grundy ላልተወሰነ ግራፍ
ማለቂያ የሌላቸው ግራፎችን በተመለከተ አጠቃላይ ሀሳቦች
መደበኛ ተግባር
ግራንዲ ተግባራት
በግራፎች ላይ ክዋኔዎች
ምዕራፍ 4. የግራፍ ንድፈ ሐሳብ መሰረታዊ ቁጥሮች
ሳይክሎማቲክ ቁጥር
Chromatic ቁጥር
የውስጥ መረጋጋት ቁጥር
የውጭ መረጋጋት ቁጥር
ምዕራፍ 5. ግራፍ ከርነል
የመኖር እና የልዩነት ጽንሰ-ሀሳቦች
ለ Grundy ተግባራት መተግበሪያ
ምዕራፍ 6. ግራፍ ጨዋታዎች
ጨዋታ ኒም
የጨዋታው አጠቃላይ ትርጉም (ከሙሉ መረጃ ጋር)
ስልቶች
ምዕራፍ 7. አጭሩ መንገድ ችግር
ሂደቶች በደረጃ አንዳንድ አጠቃላይ መግለጫዎች
ምዕራፍ 8. የትራንስፖርት አውታሮች
ከፍተኛው የፍሰት ችግር ትንሹ ፍሰት ችግር
የዋጋ አዘጋጅ-ዋጋ የሚስማማ ፍሰት ችግር
ማለቂያ የሌላቸው የትራንስፖርት አውታሮች
ምዕራፍ 9. በግማሽ ሀይሎች ላይ ቲዎሪ
የመውጣት እና የመግባት ግማሽ ዲግሪ
ምዕራፍ 10. ቀላል ግራፍ ማዛመድ
ከፍተኛው የማዛመድ ችግር
ቀላል ግራፍ እጥረት
የሃንጋሪ አልጎሪዝም
ማጠቃለያ ወደ ማለቂያ የሌለው ጉዳይ
ወደ ማትሪክስ ንድፈ ሐሳብ ማመልከቻ
ምዕራፍ 11. ምክንያቶች
የሃሚልቶኒያ ዱካዎች እና የሃሚልቶኒያ ኮንቱር
ምክንያት ማግኘት
ከተሰጡት ግማሽ ዲግሪዎች ጋር ከፊል ግራፍ ማግኘት
ምዕራፍ 12. የግራፍ ማዕከሎች
ማዕከሎች
ራዲየስ
ምዕራፍ 13. በጥብቅ የተገናኘ ግራፍ ዲያሜትር
ያለ ዑደቶች በጥብቅ የተገናኙ ግራፎች አጠቃላይ ባህሪዎች
ዲያሜትር
ምዕራፍ 14. ግራፍ Adjacency ማትሪክስ
የተለመዱ የማትሪክስ ስራዎች አተገባበር
ችግሮች መቁጠር
መሪ ችግር
የቦሊያን ኦፕሬሽኖችን በመጠቀም
ምዕራፍ 15. የክስተት ማትሪክስ
ሙሉ ለሙሉ አንድ አይነት ማትሪክስ
ሙሉ ለሙሉ አንድ አይነት ስርዓቶች
ሳይክሎማቲክ ማትሪክስ
ምዕራፍ 16. ዛፎች እና ቅድመ አያቶች ዛፎች
ዛፎች
የትንታኔ ምርምር
Grandtrees
ምዕራፍ 17. የኡለር ችግር
የኡለር ዑደቶች የኡለር ኮንቱር
ምዕራፍ 18. የዘፈቀደ ግራፍ ማዛመድ
ተለዋጭ የወረዳ ቲዎሪ
ከተሰጡት የወርድ ዲግሪዎች ጋር ከፊል ግራፍ ማግኘት
ፍጹም ተዛማጅ
ወደ ውስጣዊ የመረጋጋት ቁጥር ማመልከቻ
ምዕራፍ 19. Factoroids
የሃሚልቶኒያ ዑደቶች እና ፋክተሮች
ለፋክቶይድ መኖር አስፈላጊ እና በቂ ሁኔታ
ምዕራፍ 20. የግራፍ ግንኙነት
የመግለጫ ነጥቦች
ያለ መግለጫዎች ግራፎች
h-የተገናኙ ግራፎች
ምዕራፍ 21. የፕላነር ግራፎች
መሰረታዊ ባህሪያት
አጠቃላይነት
ተጨማሪዎች
I. ጠፍቷል አጠቃላይ ንድፈ, ጨዋታዎች
II. ስለ መጓጓዣ ተግባራት
III. በትራንስፖርት ኔትወርኮች ውስጥ ሊሆኑ የሚችሉ ጽንሰ-ሐሳቦችን አጠቃቀም ላይ
IV. ያልተፈቱ ችግሮች እና ያልተረጋገጡ ግምቶች
V. በአንዳንድ መሰረታዊ የመቁጠር መርሆዎች (J. Riguet)
VI. ወደ ሩሲያኛ ትርጉም (ኤ.ኤ. ዚኮቭ እና ጂ.አይ. ኮዙኩኪን) ተጨማሪዎች
ስነ-ጽሁፍ
የግራፍ ቲዎሪ እና የ C. Berge መጽሐፍ (ከሩሲያኛ ትርጉም በኋላ)
የቁምፊ መረጃ ጠቋሚ
የስም መረጃ ጠቋሚ
የርዕስ ማውጫ.

ኢ-መጽሐፍን በሚመች ቅርጸት በነጻ ያውርዱ፣ ይመልከቱ እና ያንብቡ፡-
መጽሐፉን ያውርዱ ግራፍ ቲዎሪ እና አፕሊኬሽኖቹ ፣ በርጌ ኬ - fileskachat.com ፣ ፈጣን እና ነፃ አውርድ።

የግራፍ ቲዎሪ እንደ ግለሰባዊ አካላት (ቁመቶች) የተወከሉ ነገሮችን እና በመካከላቸው ያሉ ግንኙነቶችን (አርክ ፣ ጠርዞች) የሚያጠና የልዩ የሂሳብ ክፍል ነው።

የግራፍ ንድፈ ሐሳብ የመነጨው በ 1736 የታዋቂው የሂሳብ ሊቅ የኮኒግስበርግ ድልድዮች ችግር መፍትሄ ነው. ሊዮናርድ ኡለር(1707-1783: በስዊዘርላንድ የተወለደ, በሩሲያ ውስጥ ኖሯል እና ሰርቷል).

ስለ የኮንጊስበርግ ድልድዮች ችግር።

በፕሪጋል ወንዝ ላይ በምትገኘው በፕሩሺያ በኮኒግስበርግ ከተማ ሰባት ድልድዮች አሉ። እያንዳንዱን ድልድይ በትክክል አንድ ጊዜ አቋርጦ በአንድ ቦታ ተጀምሮ የሚያልቅ የእግር መንገድ ማግኘት ይቻላል?

በተመሳሳይ ጫፍ የሚጀምር እና የሚያልቅ እና በግራፉ ጠርዞች ላይ አንድ ጊዜ የሚያልፍበት መንገድ ያለበት ግራፍ ይባላል።ኡለር ግራፍ.

የሚፈለገው መንገድ የሚያልፍበት የቁመቶች ቅደም ተከተል (ምናልባትም ሊደገም ይችላል) እንዲሁም መንገዱ ራሱ ይባላል።የዩለር ዑደት .

የሶስት ቤቶች እና የሶስት ጉድጓዶች ችግር.

ሶስት ቤቶች እና ሶስት ጉድጓዶች አሉ, በሆነ መንገድ በአውሮፕላን ውስጥ ይገኛሉ. መንገዶቹ እንዳይገናኙ ከእያንዳንዱ ቤት ወደ እያንዳንዱ ጉድጓድ መንገድ ይሳሉ. ይህ ችግር በ 1930 በኩራቶቭስኪ (1896 - 1979) ተፈትቷል (ምንም መፍትሄ እንደሌለ ታይቷል).

አራት የቀለም ችግር. አውሮፕላንን ወደማይገናኙ ቦታዎች መከፋፈል ይባላል በካርድ. የካርታ ቦታዎች የጋራ ድንበር ካላቸው አጎራባች ይባላሉ. ስራው ካርታውን ቀለም መቀባት ሲሆን ምንም አይነት ሁለት ተያያዥ ቦታዎች አንድ አይነት ቀለም እንዳይቀቡ ማድረግ ነው. ከ 19 ኛው ክፍለ ዘመን መገባደጃ ጀምሮ ለዚህ አራት ቀለሞች በቂ ናቸው የሚል መላምት ታውቋል. መላምቱ ገና አልተረጋገጠም.

የታተመው የመፍትሄው ይዘት ትልቅ ነገር ግን የመጨረሻ ቁጥር (ወደ 2000 ገደማ) አይነት ሊሆኑ የሚችሉ ተቃራኒ ምሳሌዎችን ለአራት-ቀለም ቲዎሬም መሞከር እና አንድም ጉዳይ የተቃራኒ ምሳሌ አለመሆኑን ያሳያል። ይህ ፍለጋ በሺህ ሰአታት የሱፐር ኮምፒውተር ስራ በፕሮግራሙ ተጠናቀቀ።

የተገኘውን መፍትሄ "በእጅ" ማረጋገጥ አይቻልም - የመቁጠር ወሰን ከሰው አቅም በላይ ነው. ብዙ የሂሳብ ሊቃውንት ጥያቄውን ያነሳሉ-እንዲህ ዓይነቱ "የፕሮግራም ማረጋገጫ" ትክክለኛ ማረጋገጫ ተደርጎ ሊወሰድ ይችላል? ከሁሉም በላይ በፕሮግራሙ ውስጥ ስህተቶች ሊኖሩ ይችላሉ ...

ስለዚህ, በደራሲዎች የፕሮግራም ችሎታዎች ላይ ብቻ መተማመን እና ሁሉንም ነገር በትክክል እንዳደረጉ ማመን እንችላለን.

ፍቺ 7.1. መቁጠር ጂ= ጂ(ቪ, ኢ) የሁለት ውሱን ስብስቦች ስብስብ ነው-V - ይባላል ብዙ ጫፎችእና ስብስብ ኢ ጥንድ ንጥረ ነገሮች ከ V, i.e. ኢቪቪ፣ ተጠርቷል። ብዙ ጠርዞችጥንዶች ካልታዘዙ ወይም ብዙ ቅስቶች, ጥንዶቹ የታዘዙ ከሆነ.

በመጀመሪያው ሁኔታ, ግራፉ ጂ(ቪ, ኢ) ተብሎ ይጠራል ያልተስተካከለበሁለተኛው ውስጥ - ተኮር.

ለምሳሌ. V = (a,b,c) እና የጠርዝ ስብስብ ያለው ግራፍ E = ((a, b), (b, c))

ለምሳሌ. ግራፍ በ V = (a,b,c,d,e) እና E = ((a, b), (a, e), (b, e), (b, d), (b, c) (ሐ፣ መ))፣

e=(v 1፣v 2)፣ ОЕ ከሆነ ጠርዙ ሠ ነው ይላሉ። ያገናኛልጫፎች v 1 እና v 2

ሁለት ጫፎች v 1, v 2 ተጠርተዋል አጎራባች, የሚያገናኘው ጠርዝ ካለ. በዚህ ሁኔታ, እያንዳንዱ ጫፎች ተጠርተዋል ክስተት ተጓዳኝ ጠርዝ .

ሁለት የተለያዩ የጎድን አጥንቶች አጎራባች, የጋራ ወርድ ካላቸው. በዚህ ሁኔታ, እያንዳንዱ ጠርዝ ይባላል ድንገተኛ ተጓዳኝ ጫፍ .

የግራፍ ጫፎች ብዛት ጂእንጥቀስ ቁ, እና የጠርዝ ቁጥር ነው ሠ:

.

የግራፎቹ ጂኦሜትሪክ ውክልና እንደሚከተለው ነው፡-

1) የግራፉ ጫፍ በቦታ (በአውሮፕላኑ ላይ) ነጥብ ነው;

2) ያልተመራ ግራፍ ጠርዝ - አንድ ክፍል;

3) የተስተካከለ ግራፍ ቅስት - የተመራው ክፍል.

ፍቺ 7.2.በጠርዙ ውስጥ e=(v 1,v 2) v 1 = v 2 ከተከሰተ, ከዚያም ጠርዝ e ይባላል. ሉፕ. አንድ ግራፍ ቀለበቶችን የሚፈቅድ ከሆነ, ከዚያም ይባላል ግራፍ ከ loops ጋር ወይም አስመሳይ .

አንድ ግራፍ በሁለት ጫፎች መካከል ከአንድ በላይ ጠርዝ የሚፈቅድ ከሆነ, ከዚያም ይባላል መልቲግራፍ .

እያንዳንዱ የግራፍ እና/ወይም ጠርዝ ጫፍ ከተሰየመ እንዲህ ዓይነቱ ግራፍ ይባላል ምልክት የተደረገበት (ወይም ተጭኗል ). ፊደሎች ወይም ኢንቲጀር አብዛኛውን ጊዜ እንደ ማርክ ያገለግላሉ።

ፍቺ 7.3.ግራፍ ጂ (ቪ , ኢ ) ተብሎ ይጠራል ንዑስ አንቀጽ (ወይም ክፍል ) ግራፍ ጂ(ቪ,ኢ), ከሆነ ቪ ቪ, ኢ ኢ. ከሆነ ቪ = ቪ፣ ያ ጂ ተብሎ ይጠራል ሰፊ ንዑስ አንቀጽ ጂ.

ለምሳሌ 7 . 1 . ያልተመራ ግራፍ ተሰጥቷል።

ፍቺ 7.4.ግራፉ ተጠርቷል ተጠናቀቀ ፣ ከሆነ ማንኛውም ሁለቱ ጫፎች በጠርዝ ተያይዘዋል. የተሟላ ግራፍ በ nጫፎች የሚያመለክቱት በ ኬ n .

K ይቆጥራል። 2 ፣ TO 3, ለ 4 እና ኬ 5 .

ፍቺ 7.5.ግራፍ ጂ=ጂ(ቪ, ኢ) ተብሎ ይጠራል dicotyledonous ፣ ከሆነ ቪየተበታተኑ ስብስቦችን እንደ አንድነት ሊወክል ይችላል ይላሉ ቪ=ሀለ, ስለዚህ እያንዳንዱ ጠርዝ ቅጹ አለው ( ቁ እኔ , ቁ ጄ) የት ቁ እኔ ሀእና ቁ ጄ ለ.

እያንዳንዱ ጠርዝ ከ A ወደ አንድ ጫፍ ከ B ያገናኛል, ነገር ግን ከ A ወይም ሁለት ጫፎች ከ B ሁለት ጫፎች አልተገናኙም.

የሁለትዮሽ ግራፍ ይባላል የተሟላ dicotyledon መቁጠር ኬ ኤም , n፣ ከሆነ ሀይዟል ኤምጫፎች፣ ለይዟል nጫፎች እና ለእያንዳንዱ ቁ እኔ ሀ, ቁ ጄ ለእና አለነ ( ቁ እኔ , ቁ ጄ)ኢ.

ስለዚህ, ለሁሉም ሰው ቁ እኔ ሀ, እና ቁ ጄ ለየሚያገናኛቸው ጠርዝ አለ።

ክ 12 ክ 23 ክ 22 ክ 33

ለምሳሌ 7 . 2 . የተሟላ የሁለትዮሽ ግራፍ ይገንቡ ኬ 2.4 እና ሙሉ ግራፍ ኬ 4 .

ክፍል ግራፍn- ልኬት ኪዩብውስጥ n .

የግራፉ ጫፎች n-ልኬት ሁለትዮሽ ስብስቦች ናቸው። ጠርዞች በአንድ መጋጠሚያ ውስጥ የሚለያዩ ጫፎችን ያገናኛሉ።

ለምሳሌ:

ግራፎች አስደሳች፣ የሚክስ እና አስፈሪ ርዕስ ናቸው። የግራፍ ቲዎሪ - "የተማሪው አስፈሪ". ግራፍ ስልተ ቀመሮች እነሱን ያገኟቸው ሰዎች አስገራሚ አእምሮ ናቸው።

ግራፍ ምንድን ነው? ይህንን ጥያቄ ለአንባቢዎቼ ለመመለስ, ርዕሱን ትንሽ ለየት ባለ መልኩ እገልጻለሁ.
ግራፍ የነገሮች ስብስብ ነው።
በአብዛኛዎቹ ችግሮች ውስጥ እነዚህ ተመሳሳይ እቃዎች ናቸው. (ብዙ ከተማዎች፣ ወይም ብዙ ቤቶች፣ ወይም ብዙ ሰዎች፣ ወይም ሌሎች ብዙ ተመሳሳይ ነገሮች)

በእንደዚህ አይነት ስብስብ ችግሮችን ለመፍታት እያንዳንዱን ነገር ከዚህ ስብስብ እንደ አንድ ነገር መሰየም ያስፈልግዎታል. ይህንን የግራፍ ጫፎች ብሎ መጥራት በአጠቃላይ ተቀባይነት አለው።

ግራፎችን እና መሰረታዊ ፍቺዎችን በስዕሎች ለመግለጽ ምቹ ነው, ስለዚህ ይህን ገጽ ለማንበብ ስዕሎች መካተት አለባቸው.

ቀደም ብዬ እንደጻፍኩት, ግራፍ የነገሮች ስብስብ ነው. እነዚህ ነገሮች አብዛኛውን ጊዜ አንድ ዓይነት ናቸው. ምሳሌ ለመስጠት ቀላሉ መንገድ በከተሞች ውስጥ ነው። እያንዳንዳችን ከተማ ምን እንደሆነ እና መንገድ ምን እንደሆነ እናውቃለን. እያንዳንዳችን ወደ ከተማዋ የሚወስዱ መንገዶች ሊኖሩ ወይም ላይኖሩ እንደሚችሉ እናውቃለን። በአጠቃላይ, ማንኛውም የነገሮች ስብስብ እንደ ግራፍ ሊታወቅ ይችላል.

ስለ ከተማዎች ስለ ግራፍ ከተነጋገርን, በከተሞች መካከል መንገዶች ሊገነቡ ይችላሉ, ወይም የሆነ ቦታ ሊፈርስ ይችላል, አልተገነባም, ወይም ከተማዋ በአጠቃላይ በደሴት ላይ ትገኛለች, ምንም ድልድይ የለም, እና የተጠረጉ መንገዶች ብቻ ትኩረት የሚስቡ ናቸው. . ምንም እንኳን ወደዚህ ከተማ የሚወስደው መንገድ ባይኖርም, ይህች ከተማ በብዙ የተተነተኑ ነገሮች ውስጥ ሊካተት ይችላል, እና ሁሉም ነገሮች አንድ ላይ የተሰበሰቡ ነገሮች ስብስብ ወይም, በቀላል አነጋገር, ግራፍ.

በእርግጠኝነት የመማሪያ መጽሃፍትን አንብበዋል እና ይህን ማስታወሻ G(V,E) ወይም ተመሳሳይ ነገር አይተሃል። ስለዚህ፣ V ከጠቅላላው የነገሮች ስብስብ አንድ ነገር ነው። በእኛ ሁኔታ, የነገሮች ስብስብ ከተማዎች ናቸው, ስለዚህ, ቪ የተወሰነ ከተማ ነው. ነገሮች የግድ ከተማዎች ስላልሆኑ እና ዕቃ የሚለው ቃል ግራ የሚያጋባ ሊሆን ስለሚችል፣ ከስብስቡ ውስጥ ያለው ነገር ነጥብ፣ ነጥብ ወይም ሌላ ነገር ተብሎ ሊጠራ ይችላል፣ ነገር ግን አብዛኛውን ጊዜ የግራፍ ጫፍ ተብሎ የሚጠራ ሲሆን በፊደልም ይገለጻል። ቪ.
በፕሮግራም አወጣጥ ውስጥ፣ ይህ አብዛኛው ጊዜ የሁለት አቅጣጫዊ ድርድር አምድ ወይም ረድፍ ነው፣ እሱም አደራደሩ የአድጃሴንሲ ማትሪክስ ወይም የአጋጣሚ ማትሪክስ ይባላል።

በሥነ ጽሑፍ፣ በኢንተርኔት እና በአጠቃላይ ስለ ግራፎች አንድ ነገር በተጻፈበት ቦታ ሁሉ እንደ ቅስት እና ጠርዞች ያሉ ጽንሰ-ሐሳቦች ያጋጥሙዎታል። ይህ ምስል የግራፉን ጠርዞች ያሳያል. እነዚያ። እነዚህ ሶስት ጠርዞች E1, E2 እና E3 ናቸው.

ቅስት እና ጠርዝ የሚለያዩት አንድ ጠርዝ ሁለት አቅጣጫዊ ግንኙነት ነው። ፈልጎ፣ ወደ ጎረቤቱ ሄደ፣ ፈለገ፣ ከጎረቤቱ ተመለሰ። በጣም ግልጽ ካልሆነ, ቤት, አየር ማረፊያ, የሚበር አውሮፕላን እና ፓራሹቲስት መገመት ይችላሉ. ሰማይ ዳይቨር ከቤቱ ወደ አየር ማረፊያው መሄድ ይችላል ነገር ግን አየር ማረፊያው ሲደርስ እድለኛውን ፓራሹቱን እቤት ውስጥ ረስቶት ወደ ቤቱ ተመልሶ ፓራሹቱን እንደወሰደ ያስታውሳል። - ወደ ኋላና ወደ ፊት መሄድ የሚችሉበት መንገድ ጠርዝ ይባላል።
ሰማይ ዳይቨር በአውሮፕላኑ ውስጥ ሆኖ ከአውሮፕላኑ እየዘለለ ከሆነ ግን ሰማይ ዳይቨር እድለኛውን ፓራሹት በአውሮፕላኑ ላይ ማስቀመጡን ከረሳው ሰማይ ዳይቨር የረሳውን ማንሳት ይችላል? በአንድ አቅጣጫ ብቻ የሚሄድ መንገድ ቅስት ይባላል። ብዙውን ጊዜ አንድ ጠርዝ ሁለት ጫፎችን ያገናኛል እንላለን, እና ቅስት ከአንድ ጫፍ ወደ ሌላው ይሄዳል.

በዚህ ስእል, ግራፉ ቅስቶች ብቻ ነው ያለው. በግራፉ ላይ ያሉት ቀስቶች በቀስቶች ይገለጣሉ, ምክንያቱም ተደራሽው አቅጣጫ በጣም ግልጽ ነው. አንድ ግራፍ እንደዚህ ያሉ ቅስቶችን ብቻ ካቀፈ, እንዲህ ዓይነቱ ግራፍ ተመርቷል.

ብዙውን ጊዜ የተላላፊነት እና የመከሰቱ ጽንሰ-ሀሳቦች ያጋጥሙዎታል። በሥዕሉ ላይ ወደ አንድ ነጥብ የሚሄዱ ሁለት ጠርዞች በቀይ ምልክት ይደረግባቸዋል. እንደዚህ ያሉ ጠርዞች, ልክ ከላይ እንደተገለጹት ጫፎች, እንዲሁም አጎራባች ተብለው ይጠራሉ.

ብዙ አልተገለጸም፣ ግን ይህ መረጃ አንድን ሰው ሊረዳ ይችላል።