ተከታታይ ቁጥር ፣ የተከታታይ ውህደት ጽንሰ-ሀሳብ። ተከታታይ ቁጥር፡ ትርጓሜዎች፣ ንብረቶች፣ የመገጣጠም ምልክቶች፣ ምሳሌዎች፣ መፍትሄዎች

መሰረታዊ ትርጓሜዎች.

ፍቺ ማለቂያ የሌለው የቁጥር ቅደም ተከተል ውሎች ድምር ተጠርቷል። ተከታታይ ቁጥር.

በተመሳሳይ ጊዜ, ቁጥሮች
የተከታታይ አባላት ብለን እንጠራቸዋለን፣ እና ዩ n- የተከታታዩ የጋራ አባል.

ፍቺ መጠኖች
,n = 1, 2, … ተብለው ይጠራሉ የግል (ከፊል) መጠኖችረድፍ.

ስለዚህ, የተከታታይ ክፍሎችን ከፊል ድምር ቅደም ተከተሎችን ግምት ውስጥ ማስገባት ይቻላል ኤስ 1 , ኤስ 2 , …, ኤስ n , …

ፍቺ ረድፍ
ተብሎ ይጠራል convergent, የእሱ ከፊል ድምሮች ቅደም ተከተል ከተጣመረ. የተቀናጀ ተከታታይ ድምርየእሱ ከፊል ድምሮች ቅደም ተከተል ገደብ ነው.

ፍቺ የተከታታይ ከፊል ድምሮች ቅደም ተከተል ቢለያይ፣ ማለትም። ገደብ የለውም, ወይም ገደብ የለሽ ገደብ አለው, ከዚያም ተከታታዮቹ ተጠርተዋል የተለያዩእና ምንም መጠን አልተመደበለትም.

የረድፎች ባህሪያት.

1) የተከታታዩን ተከታታይ ውሎች ከቀየሩ፣ ካስወገዱ ወይም ከጨመሩ የተከታታዩ ውህደት ወይም ልዩነት አይጣስም።

2) ሁለት ረድፎችን ተመልከት
እና
, C ቋሚ ቁጥር ባለበት.

ቲዎረም. ረድፉ ከሆነ
ይሰበሰባል እና ድምር እኩል ነው።ኤስ, ከዚያም ተከታታይ
እንዲሁም ይሰበሰባል፣ እና ድምሩ ከ C ጋር እኩል ነው።ኤስ. (ሲ  0)

3) ሁለት ረድፎችን ተመልከት
እና
.መጠንወይም ልዩነትከእነዚህ ተከታታይ ውስጥ ተከታታይ ተብለው ይጠራሉ
, ንጥረ ነገሮቹ ተመሳሳይ ቁጥሮች ያላቸውን ኦርጂናል ንጥረ ነገሮች በመጨመር (በመቀነስ) የተገኙበት.

ቲዎረም. ረድፎች ከሆነ
እና
መሰብሰብ እና ድምርዎቻቸው በቅደም ተከተል እኩል ናቸውኤስእና , ከዚያም ተከታታይ
እንዲሁም ይሰበሰባል እና ድምሩ እኩል ነውኤስ +  .

የሁለት ተከታታይ ተከታታይ ልዩነት እንዲሁ የተጣመረ ተከታታይ ይሆናል.

የተቀናጀ እና ተለዋዋጭ ተከታታይ ድምር የተለያየ ተከታታይ ነው።

ስለ ሁለት የተለያዩ ተከታታይ ድምር አጠቃላይ መግለጫ መስጠት አይቻልም።

ተከታታይን በሚያጠኑበት ጊዜ በዋናነት ሁለት ችግሮችን ይፈታሉ፡ መገጣጠምን ማጥናት እና የተከታታይ ድምርን ማግኘት።

ጎበዝ መስፈርት።

(ለተከታታዩ ውህደት አስፈላጊ እና በቂ ሁኔታዎች)

በቅደም ተከተል
የተጠናከረ ነበር ፣ ለማንኛውም አስፈላጊ እና በቂ ነው።
እንደዚህ ያለ ቁጥር ነበርኤን፣ ያ በn > ኤንእና ማንኛውምገጽ> 0፣ p ኢንቲጀር ከሆነ፣ የሚከተለው አለመመጣጠን ይይዛል፡

.

ማረጋገጫ። (አስፈላጊነት)

ፍቀድ
, ከዚያ ለማንኛውም ቁጥር
አንድ ቁጥር N አለ እኩልነት

የሚሞላው n>N ሲሆን ነው። ለ n>N እና ለማንኛውም ኢንቲጀር p>0 እኩልነትም አለው።
. ሁለቱንም እኩልነቶች ከግምት ውስጥ በማስገባት የሚከተሉትን እናገኛለን-

ፍላጎቱ ተረጋግጧል. የብቃት ማረጋገጫውን አንመለከትም።

ለተከታታይ የCauchy መስፈርት እንቅረፅ።

ለተከታታይ ቅደም ተከተል
የተጠናከረ ነበር ፣ ለማንኛውም አስፈላጊ እና በቂ ነው።
ቁጥር ነበረኤንእንደ በn> ኤንእና ማንኛውምገጽ> 0 አለመመጣጠን ይቀጥላል

.

ነገር ግን, በተግባር, የ Cauchy መስፈርትን በቀጥታ መጠቀም በጣም ምቹ አይደለም. ስለዚህ ፣ እንደ አንድ ደንብ ፣ ቀለል ያሉ የመገጣጠም ሙከራዎች ጥቅም ላይ ይውላሉ

1) ረድፉ ከሆነ
ይሰበሰባል, ከዚያም የተለመደው ቃል አስፈላጊ ነው ዩ nወደ ዜሮ ያዘነበለ. ይሁን እንጂ ይህ ሁኔታ በቂ አይደለም. እኛ ማለት የምንችለው የተለመደው ቃል ወደ ዜሮ የማይሄድ ከሆነ ፣ ተከታታይ በእርግጠኝነት ይለያያል። ለምሳሌ, ሃርሞኒክ ተከታታይ የሚባሉት ምንም እንኳን የጋራ ቃሉ ወደ ዜሮ የሚሄድ ቢሆንም የተለያየ ነው።

ለምሳሌ.የተከታታዩን መገጣጠም መርምር

እናገኛለን
- ለመገጣጠም አስፈላጊው መስፈርት አልረካም ፣ ይህ ማለት ተከታታዩ ይለያያሉ።

2) ተከታታይ ከተጣመረ ፣ ከዚያ የከፊል ድምሮች ቅደም ተከተል የታሰረ ነው።

ሆኖም, ይህ ምልክት እንዲሁ በቂ አይደለም.

ለምሳሌ፣ ተከታታይ 1-1+1-1+1-1+ … +(-1) n +1 +… ይለያያሉ፣ ምክንያቱም በእሱ ምክንያት የከፊል ድምሮች ቅደም ተከተል ይለያያሉ

ሆኖም ግን, የከፊል ድምሮች ቅደም ተከተል ውስን ነው, ምክንያቱም
በማንኛውም n.

ተከታታይ አሉታዊ ያልሆኑ ቃላት።

ተከታታይ ቋሚ ምልክቶችን ስናጠና ራሳችንን እንወስናለን ተከታታይ አሉታዊ ያልሆኑ ቃላትን ግምት ውስጥ በማስገባት ነው። ከእነዚህ ተከታታይ ውስጥ በቀላሉ በ-1 ማባዛት ተከታታይ አሉታዊ ቃላትን ሊያመጣ ይችላል።

ቲዎረም. ለተከታታዩ ውህደት
ከአሉታዊ ያልሆኑ ቃላት ጋር የተከታታዩ ከፊል ድምሮች ለመገደብ አስፈላጊ እና በቂ ነው.

ተከታታይን ከአሉታዊ ቃላት ጋር ለማነጻጸር ምልክት።

ሁለት ረድፎችን ይስጡ
እና
በ ዩ n , ቁ n  0 .

ቲዎረም. ከሆነ ዩ n  ቁ nበማንኛውም n, ከዚያም ከተከታታዩ ውህደት
ተከታታይ ይሰበሰባል
, እና ከተከታታዩ ልዩነቶች
ተከታታይ ይለያያሉ
.

ማረጋገጫ። በ እንጥቀስ ኤስ n እና  nተከታታይ ከፊል ድምሮች
እና
. ምክንያቱም በቲዎሬም ሁኔታዎች መሰረት, ተከታታይ
ይሰበሰባል፣ ከዚያ የእሱ ከፊል ድምሮች የታሰሩ ናቸው፣ ማለትም. በሁሉም ሰው ፊት n n ኤም፣ M የተወሰነ ቁጥር የሆነበት። ግን ምክንያቱም ዩ n  ቁ n፣ ያ ኤስ n   nከዚያም የተከታታዩ ከፊል ድምር
እንዲሁም ውስን ናቸው, እና ይህ ለመገጣጠም በቂ ነው.

ለምሳሌ.ተከታታዩን ለመገጣጠም ይመርምሩ

ምክንያቱም
, እና harmonic ተከታታይ ይለያያሉ, ከዚያም ተከታታዮቹ ይለያያሉ
.

ለምሳሌ.

ምክንያቱም
, እና ተከታታይ
ይሰበሰባል (እንደ እየቀነሰ የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ), ከዚያም ተከታታይ
እንዲሁም ይሰበሰባል.

የሚከተለው የመገጣጠም ምልክትም ጥቅም ላይ ይውላል።

ቲዎረም. ከሆነ
እና ገደብ አለ
፣ የትሸ- ከዜሮ ሌላ ቁጥር, ከዚያም ተከታታይ
እና
ከመገጣጠም አንፃር ተመሳሳይ ባህሪን ያሳዩ።

የD'Alembert ምልክት።

(ዣን ሌሮን ዲ አልምበርት (1717 - 1783) - ፈረንሳዊ የሂሳብ ሊቅ)

ለተከታታይ ከሆነ
በአዎንታዊ ቃላት እንደዚህ ያለ ቁጥር አለቅ<1, что для всех достаточно больших nእኩልነት ይይዛል

ከዚያም ተከታታይ
ይሰበሰባል ፣ ለሁሉም በቂ ትልቅ ከሆነnሁኔታ ተሟልቷል

ከዚያም ተከታታይ
ይለያያል።

የD'Alembert ገደብ ምልክት።

የD'Alembert መገደብ መስፈርት ከላይ ያለው የD'Alembert መስፈርት ውጤት ነው።

ገደብ ካለ
, ከዚያም መቼ < 1 ряд сходится, а при  > 1 - ተለያይተዋል. ከሆነ = 1, ከዚያ የመገጣጠም ጥያቄ ሊመለስ አይችልም.

ለምሳሌ.የተከታታዩን መገጣጠም ይወስኑ .

ማጠቃለያ፡ ተከታታዩ ይሰበሰባሉ.

ለምሳሌ.የተከታታዩን መገጣጠም ይወስኑ

ማጠቃለያ፡ ተከታታዩ ይሰበሰባሉ.

የ Cauchy ምልክት. (አክራሪ ምልክት)

ለተከታታይ ከሆነ
ከአሉታዊ ያልሆኑ ቃላት ጋር እንደዚህ ያለ ቁጥር አለቅ<1, что для всех достаточно больших nእኩልነት ይይዛል

,

ከዚያም ተከታታይ
ይሰበሰባል ፣ ለሁሉም በቂ ትልቅ ከሆነnእኩልነት ይይዛል

ከዚያም ተከታታይ
ይለያያል።

መዘዝ። ገደብ ካለ
፣ ከዚያ መቼ<1 ряд сходится, а при >ረድፍ 1 ይለያያል።

ለምሳሌ.የተከታታዩን መገጣጠም ይወስኑ
.

ማጠቃለያ፡ ተከታታዩ ይሰበሰባሉ.

ለምሳሌ.የተከታታዩን መገጣጠም ይወስኑ
.

እነዚያ። የ Cauchy ፈተና የተከታታይ ውህደት ጥያቄን አይመልስም። አስፈላጊዎቹ የመገጣጠም ሁኔታዎች መሟላታቸውን እንፈትሽ። ከላይ እንደተጠቀሰው, ተከታታይ ከተጣመረ, የተከታታዩ የጋራ ቃል ወደ ዜሮ ይቀየራል.

,

ስለዚህ, ለመገጣጠም አስፈላጊው ሁኔታ አልረካም, ይህም ማለት ተከታታዮቹ ይለያያሉ.

የተቀናጀ Cauchy ሙከራ.

ከሆነ (x) በጊዜ ክፍተት እየቀነሰ ያለ ቀጣይነት ያለው አዎንታዊ ተግባር ነው።እና
ከዚያም integrals
እና
ከመገጣጠም አንፃር ተመሳሳይ ባህሪን ያሳዩ።

ተለዋጭ ተከታታይ።

ተለዋጭ ረድፎች.

ተለዋጭ ተከታታይ እንደሚከተለው ሊፃፍ ይችላል፡-

የት

የሊብኒዝ ምልክት።

የተለዋጭ ረድፍ ምልክት ከሆነ ፍጹም እሴቶችዩ እኔ እየቀነሱ ናቸው።
እና የተለመደው ቃል ወደ ዜሮ ይቀየራል
, ከዚያም ተከታታዩ ይሰበሰባሉ.

የተከታታይ ፍፁም እና ሁኔታዊ ውህደት።

አንዳንድ ተለዋጭ ተከታታዮችን እንመልከት (ከዘፈቀደ ምልክቶች ጋር)።

(1)

እና ተከታታይ (1) አባላት ፍጹም እሴቶችን ያቀፈ ነው።

(2)

ቲዎረም. ከተከታታይ (2) ውህደት የተከታታይ (1) ውህደት ይከተላል።

ማረጋገጫ። ተከታታይ (2) አሉታዊ ያልሆኑ ቃላት ያሉት ተከታታይ ነው። ተከታታዮች (2) ከተጣመሩ፣ በ Cauchy መስፈርት ለማንኛውም >0 ቁጥር N አለ ለ n>N እና ለማንኛውም ኢንቲጀር p>0 የሚከተለው አለመመጣጠን እውነት ነው።

በፍፁም እሴቶች ንብረት መሰረት፡-

ያም ማለት በካውቺ መስፈርት መሰረት ከተከታታይ (2) ተከታታይ ውህደት (1) ይከተላል.

ፍቺ ረድፍ
ተብሎ ይጠራል ፍፁም የተቀናጀ, ተከታታይ ከተጣመረ
.

ለተከታታይ ቋሚ ምልክት የመሰብሰብ እና የፍፁም ውህደት ፅንሰ-ሀሳቦች እንደሚገጣጠሙ ግልፅ ነው።

ፍቺ ረድፍ
ተብሎ ይጠራል ሁኔታዊ ተያያዥነት ያለው, ከተጣመረ እና ተከታታይ
ይለያያል።

የD'Alembert's እና Cauchy's ሙከራዎች ለተለዋጭ ተከታታይ።

ፍቀድ
- ተለዋጭ ተከታታይ.

የዲኤልምበርት ምልክት። ገደብ ካለ
፣ ከዚያ መቼ<1 ряд
ፍፁም የተጣመረ ይሆናል፣ እና መቼ>

የ Cauchy ምልክት. ገደብ ካለ
፣ ከዚያ መቼ<1 ряд
ፍፁም የተጣመረ ይሆናል፣ እና >1 ከሆነ ተከታታዩ የተለያዩ ይሆናሉ። =1 ሲሆን ምልክቱ ስለ ተከታታዩ ውህደት መልስ አይሰጥም።

ፍጹም የተጣመሩ ተከታታይ ባህሪዎች።

1) ቲዎረም. ለተከታታዩ ፍፁም ውህደት
አስፈላጊ እና በቂ ነው እንደ ሁለት convergent ተከታታይ ልዩነት አሉታዊ ያልሆኑ ቃላት ጋር መወከል ይቻላል..

መዘዝ። በሁኔታዊ የተጣመሩ ተከታታይ የሁለት የተለያዩ ተከታታዮች ልዩነት ነው አሉታዊ ያልሆኑ ቃላት ወደ ዜሮ የሚመሩ።

2) በተከታታዩ ተከታታይ ውስጥ ማንኛውም የተከታታዩ ውሎች መቧደን ቅደም ተከተላቸውን የማይለውጥ የተከታታዩን ውህደት እና መጠን ይጠብቃል።

3) ተከታታይ በፍፁም ከተጣመረ ፣በማንኛውም የቃላት ፍቺ የተገኘው ተከታታዮች ሙሉ በሙሉ ይሰባሰባሉ እና ተመሳሳይ ድምር አላቸው።

በሁኔታዊ የተጣመሩ ተከታታይ ውሎችን በማስተካከል ማንኛውም አስቀድሞ የተወሰነ ድምር ያለው፣ እና እንዲያውም የተለያየ ተከታታይ ያለው በሁኔታዊ የተጣመረ ተከታታይ ማግኘት ይችላል።

4) ቲዎረም. ለማንኛውም የፍፁም የተጠናከረ ተከታታይ አባላት ስብስብ (በዚህ ሁኔታ የቡድኖቹ ብዛት የተገደበ ወይም ያልተገደበ ሊሆን ይችላል ፣ እና በቡድን ውስጥ ያሉ የአባላቶች ብዛት ውሱን ወይም ማለቂያ የሌለው ሊሆን ይችላል) ፣ ተከታታይ ተከታታይ ተገኝቷል ፣ ድምር። ከዋናው ተከታታይ ድምር ጋር እኩል ነው።.

5) ረድፎች ከሆነ እና ሙሉ በሙሉ ይቀላቀሉ እና ድምርዎቻቸው በቅደም ተከተል እኩል ናቸው ኤስ እና ፣ ከዚያም ተከታታይ ሁሉንም የቅጹ ምርቶች ያቀፈ
በማንኛውም ቅደም ተከተል የተወሰደ ፣ እንዲሁም ሙሉ በሙሉ ይሰበሰባል እና ድምሩ እኩል ነው። ኤስ - የተባዛው ተከታታይ ድምር ውጤት።

ሁኔታዊ convergent ተከታታዮችን ካባዛችሁ፣ በውጤቱም የተለያየ ተከታታይ ልታገኙ ትችላላችሁ።

ተግባራዊ ቅደም ተከተሎች.

ፍቺ የተከታታዩ አባላት ቁጥሮች ካልሆኑ, ግን ተግባራት X, ከዚያም ተከታታይ ይባላል ተግባራዊ.

የተግባር ተከታታይ ውህደት ጥናት ከቁጥር ተከታታይ ጥናት የበለጠ የተወሳሰበ ነው. ከተመሳሳዩ ተለዋዋጭ እሴቶች ጋር ተመሳሳይ ተግባራዊ ተከታታይ ይችላል። Xመሰብሰብ, እና ከሌሎች ጋር - ልዩነት. ስለዚህ የተግባር ተከታታዮች መገጣጠም ጥያቄው እነዚያን የተለዋዋጭ እሴቶችን ለመወሰን ይወርዳል X, ተከታታይ በሚሰበሰብበት.

የእነዚህ እሴቶች ስብስብ ይባላል የመገጣጠም አካባቢ.

በተከታታዩ የመሰብሰቢያ ክልል ውስጥ የተካተተው የእያንዳንዱ ተግባር ወሰን የተወሰነ ቁጥር ስለሆነ የተግባር ቅደም ተከተል ወሰን የተወሰነ ተግባር ይሆናል።

ፍቺ ተከታይ ( ረ n (x) } ይሰበሰባልለመስራት ረ(x) በክፍሉ ላይ ለማንኛውም ቁጥር >0 እና ማንኛውም ነጥብ ከሆነ Xከግምት ውስጥ ካለው ክፍል N = N (, x) ቁጥር ​​አለ, ይህም እኩልነት

የሚሞላው n>N ሲሆን ነው።

በተመረጠው እሴት >0, እያንዳንዱ የክፍሉ ነጥብ የራሱ ቁጥር አለው, እና ስለዚህ, ከክፍሉ ሁሉም ነጥቦች ጋር የሚዛመድ ቁጥር የሌላቸው ቁጥሮች ይኖራሉ. ከእነዚህ ሁሉ ቁጥሮች ውስጥ ትልቁን ከመረጡ, ይህ ቁጥር ለሁሉም የክፍሉ ነጥቦች ተስማሚ ይሆናል, ማለትም. ለሁሉም ነጥቦች የተለመደ ይሆናል.

ፍቺ ተከታይ ( ረ n (x) } ወጥ በሆነ መልኩ ይሰበሰባልለመስራት ረ(x) በክፍሉ ላይ ፣ ለማንኛውም ቁጥር >0 ቁጥር ካለ N = N () እንደዚህ ያለ እኩልነት

ለሁሉም የክፍሉ ነጥቦች ለ n>N ተሟልቷል።

ለምሳሌ.ቅደም ተከተል አስብ

ይህ ቅደም ተከተል በጠቅላላው የቁጥር መስመር ላይ ወደ ተግባሩ ይሰበሰባል ረ(x)=0 , ምክንያቱም

የዚህን ቅደም ተከተል ግራፎች እንገንባ፡-

six

እንደሚታየው, እየጨመረ በሄደ ቁጥር nቅደም ተከተል ግራፉ ወደ ዘንግ ቀርቧል X.

ተግባራዊ ተከታታይ.

ፍቺ የግል (ከፊል) መጠኖችተግባራዊ ክልል
ተግባራት ተጠርተዋል

ፍቺ ተግባራዊ ክልል
ተብሎ ይጠራል convergentነጥብ ላይ ( x=x 0 ), የእሱ ከፊል ድምሮች ቅደም ተከተል በዚህ ነጥብ ላይ ከተጣመረ. የቅደም ተከተል ገደብ
ተብሎ ይጠራል መጠንረድፍ
ነጥብ ላይ X 0 .

ፍቺ የሁሉም እሴቶች ስብስብ X, ተከታታይ የሚሰበሰብበት
ተብሎ ይጠራል የመገጣጠም አካባቢረድፍ.

ፍቺ ረድፍ
ተብሎ ይጠራል ወጥ የሆነ የተጣጣመየዚህ ተከታታዮች ከፊል ድምሮች ቅደም ተከተል በዚህ ክፍተት ላይ አንድ ወጥ በሆነ መልኩ ከተጣመረ በጊዜ መካከል።

ቲዎረም. (ለተከታታይ ወጥነት ያለው መገጣጠም የሚታወቅ መስፈርት)

ለተከታታዩ ወጥ የሆነ ውህደት
ለማንኛውም ቁጥር አስፈላጊ እና በቂ ነው > 0 እንደዚህ ያለ ቁጥር ነበረኤን( )) በn> ኤንእና ማንኛውም ሙሉገጽ> 0 አለመመጣጠን

በጊዜ ክፍተት ላይ ለሁሉም x ይቆያል [ሀ, ለ].

ቲዎረም. (የWeierstrass ፈተና ለአንድ ወጥ ውህደት)

(ካርል ቴዎዶር ዊልሄልም ዌይርስትራስስ (1815 - 1897) - የጀርመን የሂሳብ ሊቅ)

ረድፍ
በእኩል እና በፍፁም በክፍለ ጊዜ ውስጥ ይሰበሰባል [ሀ, ለ]፣ በተመሳሳይ ክፍል ላይ ያሉት የውል ቃላቱ ከአዎንታዊ ቃላት ጋር ከተያያዙት ተከታታይ ቁጥር ቃላቶች የማይበልጡ ከሆነ፡-

እነዚያ። እኩልነት አለ;

.

በተጨማሪም በዚህ ሁኔታ ውስጥ ተግባራዊ ተከታታይ ናቸው ይላሉ
በከፍተኛ ደረጃ የተደራጀ ነው።ተከታታይ ቁጥር
.

ለምሳሌ.ተከታታዩን ለመገጣጠም ይመርምሩ
.

ምክንያቱም
ሁልጊዜ ግልጽ ነው
.

ከዚህም በላይ የአጠቃላይ harmonic ተከታታይ እንደሆነ ይታወቃል መቼ=3>1 ሲገጣጠም፣ በWeierstrass ፈተና መሰረት፣ በጥናት ላይ ያሉት ተከታታይ ክፍሎች አንድ ወጥ በሆነ መልኩ ይሰባሰባሉ እና በተጨማሪም፣ በማንኛውም ጊዜ።

ለምሳሌ.ተከታታዩን ለመገጣጠም ይመርምሩ .

በክፍተቱ [-1,1] ላይ እኩልነት ይይዛል
እነዚያ። በWeierstrass መስፈርት መሰረት፣ በጥናት ላይ ያሉት ተከታታይ ክፍሎች በዚህ ክፍል ላይ ይጣመራሉ፣ ነገር ግን በየእረፍቱ (-, -1)  (1, ) ይለያያሉ።

ወጥ የሆነ convergent ተከታታይ ባህሪያት.

1) ተከታታይ ድምር ቀጣይነት ላይ ያለው ቲዎሪ።

የተከታታዩ አባላት ከሆኑ
- በክፍል ላይ ቀጣይነት ያለው;ሀ, ለ] ተግባር እና ተከታታዩ አንድ ወጥ በሆነ መልኩ ይሰበሰባሉ፣ ከዚያም ድምርኤስ(x) በጊዜ መካከል ቀጣይነት ያለው ተግባር ነው.ሀ, ለ].

2) ተከታታይ ጊዜ-በ-ጊዜ ውህደት ላይ ቲዎሬም.

በክፍሉ ላይ ወጥ በሆነ ሁኔታ መገጣጠም [ሀ, ለ] ተከታታይ ቃላቶች ያሉት በዚህ የጊዜ ክፍተት ላይ ቃል በቃል ሊዋሃድ ይችላል፣ ማለትም. በክፍሉ ላይ ካለው የውል ውህዶች የተዋቀረ ተከታታይ [ሀ, ለ] ፣ በዚህ ክፍል ላይ ካለው የተከታታይ ድምር ውህደት ጋር ይገናኛል።.

3) ተከታታይ የቃል-ጊዜ ልዩነት ላይ ያለው ቲዎሪ.

የተከታታዩ አባላት ከሆኑ
በክፍል ላይ መገናኘት [ሀ, ለ] ተከታታይ ተዋጽኦዎች እና ተከታታይ በእነዚህ ተዋጽኦዎች የተዋቀሩ ተከታታይ ተግባራትን ይወክላሉ
በዚህ ክፍል ላይ ወጥ በሆነ መልኩ ይሰበሰባል፣ ከዚያ ይህ ተከታታይ ወጥ በሆነ መልኩ ይሰበሰባል እና በቃሉ ሊለያይ ይችላል።

የተከታታዩ ድምር የተለዋዋጭ አንዳንድ ተግባር ነው በሚለው እውነታ ላይ በመመስረት X, አንድ ተግባርን በተከታታይ መልክ (ተግባርን ወደ ተከታታይ ማስፋፋት) የመወከል ስራን ማከናወን ይችላሉ, ይህም በመዋሃድ, ልዩነት እና ሌሎች ተግባራት ውስጥ በሰፊው ጥቅም ላይ ይውላል.

በተግባር, የኃይል ተከታታይ ተግባራትን ማስፋፋት ብዙ ጊዜ ጥቅም ላይ ይውላል.

የኃይል ተከታታይ.

ፍቺ የኃይል ተከታታይየቅጹ ተከታታይ ይባላል

.

የኃይል ተከታታዮችን መገጣጠም ለማጥናት የD'Alembert ፈተናን ለመጠቀም ምቹ ነው።

ለምሳሌ.ተከታታዩን ለመገጣጠም ይመርምሩ

የአሌምበርትን ምልክት እንተገብራለን፡-

.

ይህ ተከታታይ በ ላይ እንደሚሰበሰብ እናያለን።
እና በ ላይ ይለያያሉ
.

አሁን በወሰን ነጥቦች 1 እና -1 ላይ ያለውን መጋጠሚያ እንወስናለን.

ለ x = 1፡
ተከታታዩ በሊብኒዝ መስፈርት መሰረት ይሰበሰባሉ (ተመልከት የሊብኒዝ ምልክት።).

በ x = -1፡
ተከታታይ ይለያያል (ሃርሞኒክ ተከታታይ).

የአቤል ጽንሰ-ሐሳቦች.

(ኒልስ ሄንሪክ አቤል (1802 - 1829) - የኖርዌይ የሂሳብ ሊቅ)

ቲዎረም. የኃይል ተከታታይ ከሆነ
ላይ ይሰበሰባልx = x 1 , ከዚያም ይሰበሰባል እና በተጨማሪም, ለሁሉም ሰው
.

ማረጋገጫ። በንድፈ-ሀሳቡ ሁኔታዎች መሰረት, የተከታታዩ ውሎች የተገደቡ ስለሆኑ, ከዚያ

የት ክ- የተወሰነ ቋሚ ቁጥር. የሚከተለው አለመመጣጠን እውነት ነው።

ከዚህ አለመመጣጠን ግልጽ የሚሆነው መቼ ነው x< x 1 የእኛ ተከታታዮች የቃላት አሃዛዊ እሴቶች ከዚህ በላይ በተፃፈው እኩልነት በቀኝ በኩል ካሉት ተከታታይ ተጓዳኝ ቃላቶች ያነሱ (ቢያንስ የበለጠ) ይሆናሉ ፣ ይህም የጂኦሜትሪክ እድገትን ይመሰርታል። የዚህ እድገት መነሻ እንደ ንድፈ-ሀሳቡ ሁኔታዎች, ከአንድ ያነሰ ነው, ስለዚህ, ይህ እድገት ተከታታይ ተከታታይ ነው.

ስለዚህ, በንፅፅር መስፈርት ላይ በመመስረት, ተከታታዮቹን እንጨርሳለን
ይሰበሰባል, ይህም ማለት ተከታታይ ማለት ነው
ሙሉ በሙሉ ይሰበሰባል.

ስለዚህም, የኃይል ተከታታይ ከሆነ
በአንድ ነጥብ ላይ ይሰበሰባል X 1 , ከዚያም በ 2 ርዝማኔ ክፍተት ውስጥ በማንኛውም ቦታ ላይ በፍጹም ይገናኛል በአንድ ነጥብ ላይ ያተኮረ X = 0.

መዘዝ። ከሆነ x = x 1 ተከታታዩ ይለያያሉ, ከዚያም ለሁሉም ሰው ይለያያል
.

ስለዚህ, ለእያንዳንዱ የኃይል ተከታታይ አዎንታዊ ቁጥር R አለ ይህም ለሁሉም Xለምሳሌ
ተከታታዩ ፍፁም የተዋሃደ ነው፣ እና ለሁሉም
ረድፉ ይለያያል. በዚህ ሁኔታ, ቁጥር R ይባላል የመገጣጠም ራዲየስ. ክፍተቱ (-R, R) ይባላል የመገጣጠም ክፍተት.

ይህ ክፍተት በአንድ ወይም በሁለቱም በኩል ሊዘጋ ወይም ሊዘጋ እንደማይችል ልብ ይበሉ.

የመገጣጠም ራዲየስ ቀመሩን በመጠቀም ሊገኝ ይችላል-

ለምሳሌ.የተከታታዩን መጋጠሚያ ቦታ ይፈልጉ

የመገጣጠም ራዲየስ ማግኘት
.

ስለዚህ, ይህ ተከታታይ ለማንኛውም እሴት ይሰበሰባል X. የዚህ ተከታታይ የጋራ ቃል ወደ ዜሮ ያዛባል።

ቲዎረም. የኃይል ተከታታይ ከሆነ
ለአዎንታዊ እሴት ይሰበሰባል x=x 1 , ከዚያም በውስጡ በማንኛውም ክፍተት ውስጥ አንድ ወጥ በሆነ መልኩ ይሰበሰባል
.

ከኃይል ተከታታይ ጋር እርምጃዎች.

ይህ ጽሑፍ የአካል ብቃት እንቅስቃሴዎችን እና ተግባሮችን ሲተነተን ጠቃሚ ሊሆን የሚችል የተዋቀረ እና ዝርዝር መረጃ ይሰጣል። ተከታታይ ቁጥር ያለውን ርዕስ እንመለከታለን.

ይህ ጽሑፍ በመሠረታዊ ትርጓሜዎች እና ጽንሰ-ሐሳቦች ይጀምራል. በመቀጠል መደበኛ አማራጮችን እንጠቀማለን እና መሰረታዊ ቀመሮችን እናጠናለን. ቁሳቁሱን ለማጠናከር, ጽሑፉ መሰረታዊ ምሳሌዎችን እና ተግባሮችን ያቀርባል.

Yandex.RTB R-A-339285-1

መሰረታዊ ጥቅሶች

በመጀመሪያ, ስርዓቱን እናስብ: a 1, a 2 . . . , a n,. . . , የት k ∈ R፣ k = 1, 2። . . .

ለምሳሌ እንደ፡ 6፣ 3፣ - 3 2፣ 3 4, 3 8, - 3 16, . የመሳሰሉ ቁጥሮችን እንውሰድ። . . .

ፍቺ 1

ተከታታይ ቁጥር የቃላቶች ድምር ነው ∑ a k k = 1 ∞ = a 1 + a 2 + . . . + a n + . . . .

ትርጉሙን በተሻለ ለመረዳት q = - 0 ውስጥ የተሰጠውን ጉዳይ አስቡበት። 5፡ 8 - 4 + 2 - 1 + 1 2 - 1 4 + . . = ∑ ኪ = 1 ∞ (- 16) · - 1 2 ኪ.

ፍቺ 2

a k አጠቃላይ ነው ወይም k -thተከታታይ አባል.

እንደዚህ ያለ ነገር ይመስላል - 16 · - 1 2 ኪ.

ፍቺ 3

የተከታታይ ከፊል ድምርይህን ይመስላል S n = a 1 + a 2 + . . . + a n፣ በውስጡ n- ማንኛውም ቁጥር. ኤስ n ነው። nthየተከታታዩ ድምር.

ለምሳሌ ∑ k = 1 ∞ (- 16) · - 1 2 ኪ S 4 = 8 - 4 + 2 - 1 = 5 ነው።

ኤስ 1፣ ኤስ 2፣ . . , S n,. . . ማለቂያ የሌለው የቁጥሮች ቅደም ተከተል ይፍጠሩ።

ለአንድ ረድፍ nthድምር የተገኘው በቀመር S n = a 1 · (1 - q n) 1 - q = 8 · 1 - - 1 2 n 1 - - 1 2 = 16 3 · 1 - - 1 2 n. የሚከተለውን ተከታታይ ከፊል ድምር እንጠቀማለን፡ 8፣ 4፣ 6፣ 5፣ . . . , 16 3 · 1 - - 1 2 n,. . . .

ፍቺ 4

ተከታታይ ∑ k = 1 ∞ a k ነው። convergentቅደም ተከተል ውሱን ገደብ ሲኖረው S = lim S n n → + ∞ . ምንም ገደብ ከሌለ ወይም ቅደም ተከተል ወሰን የሌለው ከሆነ, ተከታታይ ∑ k = 1 ∞ a k ይባላል. የተለያዩ.

ፍቺ 5

የአንድ ተከታታይ ድምር∑ k = 1 ∞ a k የቅደም ተከተል ገደብ ነው ∑ k = 1 ∞ a k = lim S n n → + ∞ = S .

በዚህ ምሳሌ lim S n n → + ∞ = ሊም 16 3 t → + ∞ · 1 - 1 2 n = 16 3 · lim n → + ∞ 1 - - 1 2 n = 16 3 ፣ ረድፍ ∑ k = 1 ∞ ( - 16) · - 1 2 ኪ ይሰባሰባል። ድምሩ 16 3፡ ∑ k = 1 ∞ (- 16) · - 1 2 k = 16 3 ነው።

ምሳሌ 1

የተከፋፈለ ተከታታይ ምሳሌ ከአንድ የሚበልጥ መጠን ያለው የጂኦሜትሪክ እድገት ድምር ነው፡ 1 + 2 + 4 + 8 +። . . + 2 n - 1 + . . . = ∑ ኪ = 1 ∞ 2 ኪ - 1።

n ኛ ከፊል ድምር በ S n = a 1 (1 - q n) 1 - q = 1 (1 - 2 n) 1 - 2 = 2 n - 1 የተሰጠ ሲሆን የከፊል ድምር ወሰን ገደብ የለሽ ነው፡ lim n → + ∞ S n = ሊም n → + ∞ (2 n - 1) = + ∞ .

ሌላ የተለዋዋጭ ቁጥር ተከታታይ ምሳሌ የቅጹ ድምር ነው ∑ k = 1 ∞ 5 = 5 + 5 + . . . . በዚህ ሁኔታ, nth ከፊል ድምር እንደ Sn = 5n ሊሰላ ይችላል. የከፊል ድምር ወሰን ገደብ የለሽ ሊም n → + ∞ S n = lim n → + ∞ 5 n = + ∞ ነው።

ትርጉም 6

ተመሳሳይ ቅጽ ድምር ∑ k = 1 ∞ = 1 + 1 2 + 1 3 + . . . + 1 n + . . - ይህ ሃርሞኒክተከታታይ ቁጥር.

ፍቺ 7

ድምር ∑ k = 1 ∞ 1 k s = 1 + 1 2 s + 1 3 s + . . . + 1 n ሰ + . . . ፣ የት ኤስ- እውነተኛ ቁጥር ፣ አጠቃላይ harmonic ቁጥር ተከታታይ ነው።

ከላይ የተብራሩት ትርጓሜዎች አብዛኛዎቹን ምሳሌዎች እና ችግሮችን ለመፍታት ይረዳሉ.

ፍቺዎቹን ለማጠናቀቅ የተወሰኑ እኩልታዎችን ማረጋገጥ አስፈላጊ ነው.

1. ∑ k = 1 ∞ 1 ኪ - ተለዋዋጭ.

የተገላቢጦሽ ዘዴን እንጠቀማለን. ከተጣመረ ገደቡ ውሱን ነው። እኩልቱን lim n → + ∞ S n = S እና lim n → + ∞ S 2 n = S ብለን መፃፍ እንችላለን። ከተወሰኑ ድርጊቶች በኋላ እኩልነትን እናገኛለን l i m n → + ∞ (S 2 n - S n) = 0.

በመቃወም፣

S 2 n - S n = 1 + 1 2 + 1 3 + . . . + 1 n + 1 n + 1 + 1 n + 2 + . . . + 1 2 n - - 1 + 1 2 + 1 3 + . . . + 1 n = 1 n + 1 + 1 n + 2 + . . . + 1 2 n

የሚከተሉት አለመመጣጠኖች ልክ ናቸው፡ 1 n + 1 > 1 2 n፣ 1 n + 1 > 1 2 n፣ . . . , 1 2 n - 1 > 1 2 n. ያንን S 2 n - S n = 1 n + 1 + 1 n + 2 + እናገኛለን. . . + 1 2 n > 1 2 n + 1 2 n + . . . + 1 2 n = n 2 n = 1 2 . S 2 n - S n > 1 2 የሚለው አገላለጽ ሊም n → + ∞ (S 2 n - S n) = 0 እንዳልተሳካ ያሳያል። ተከታታይነቱ የተለያየ ነው።

1. b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + . . . + b 1 q n + . . . = ∑ k = 1 ∞ b 1 q k - 1

የቁጥር ቅደም ተከተል ድምር በq ላይ እንደሚሰበሰብ ማረጋገጥ ያስፈልጋል< 1 , и расходится при q ≥ 1 .

ከላይ በተገለጹት ፍቺዎች መሠረት መጠኑ nቃላቶቹ የሚወሰኑት በቀመርው መሰረት ነው S n = b 1 · (q n - 1) q - 1 .

ከሆነ q< 1 верно

lim n → + ∞ S n = ሊም n → + ∞ b 1 · q n - 1 q - 1 = b 1 · lim n → + ∞ q n q - 1 - lim n → + ∞ 1 q - 1 = b 1 · 0 - 1 q - 1 = b 1 q - 1

ተከታታይ ቁጥር እንደሚሰበሰብ አረጋግጠናል።

ለ q = 1 b 1 + b 1 + b 1 + . . . ∑ k = 1 ∞ b 1 . ድምርዎቹ ቀመሩን S n = b 1 · n በመጠቀም ማግኘት ይቻላል፣ ገደቡ ገደብ የለሽ lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ b 1 · n = ∞ ነው። በቀረበው ስሪት ውስጥ, ተከታታዮቹ ይለያያሉ.

ከሆነ q = - 1, ከዚያም ተከታታይ b 1 - b 1 + b 1 - ይመስላል. . . = ∑ k = 1 ∞ b 1 (- 1) k + 1. ከፊል ድምር እንደ S n = b 1 ያልተለመደ ይመስላል n, እና S n = 0 ለእኩል n. ይህንን ጉዳይ ከተመለከትን, ምንም ገደብ እንደሌለ እና ተከታታይነቱ የተለያየ መሆኑን እናረጋግጣለን.

ለ q > 1፣ ሊም n → + ∞ S n = ሊም n → + ∞ b 1 · (q n - 1) q - 1 = b 1 · lim n → + ∞ q n q - 1 - ሊም n → + ∞ 1 q - 1 = = b 1 · ∞ - 1 q - 1 = ∞

ተከታታይ ቁጥር እንደሚለያይ አረጋግጠናል።

1. ተከታታዩ ∑ k = 1 ∞ 1 ኪ ሰ ከተሰበሰበ s > 1እና s ≤ 1 ከሆነ ይለያያል።

ለ s = 1∑ k = 1 ∞ 1 ኪን እናገኛለን, ተከታታዩ ይለያያሉ.

መቼ ኤስ< 1 получаем 1 k s ≥ 1 k для ኬ፣የተፈጥሮ ቁጥር. ተከታታዩ የተለያየ ስለሆነ ∑ k = 1 ∞ 1 ኪ , ምንም ገደብ የለም. ከዚህ በኋላ, ቅደም ተከተል ∑ k = 1 ∞ 1 k s ያልተገደበ ነው. የተመረጠው ተከታታዮች መቼ ይለያያሉ ብለን መደምደም እንችላለን ኤስ< 1 .

ተከታታይ ∑ k = 1 ∞ 1 ኪ ሰ እንደሚሰበሰብ ማስረጃ ማቅረብ ያስፈልጋል። s > 1.

S 2 n - 1 - S n - 1ን እናስብ።

S 2 n - 1 - S n - 1 = 1 + 1 2 s + 1 3 s + . . . + 1 (n - 1) s + 1 n s + 1 (n + 1) s + . . . + 1 (2 n - 1) s - - 1 + 1 2 s + 1 3 s + . . . + 1 (n - 1) s = 1 n s + 1 (n + 1) s + . . . + 1 (2 n - 1) ሰ

1 (n + 1) s እንደሆነ እናስብ< 1 n s , 1 (n + 2) s < 1 n s , . . . , 1 (2 n - 1) s < 1 n s , тогда S 2 n - 1 - S n - 1 = 1 n s + 1 (n + 1) s + . . . + 1 (2 n - 1) s < < 1 n s + 1 n s + . . . + 1 n s = n n s = 1 n s - 1

የቁጥሮችን እኩልነት እናስብ ተፈጥሯዊ እና እንዲያውም n = 2: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 3 - S 1 = 1 2 s + 1 3 s< 1 2 s - 1 n = 4: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 7 - S 3 = 1 4 s + 1 5 s + 1 6 s + 1 7 s < 1 4 s - 1 = 1 2 s - 1 2 n = 8: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 15 - S 7 = 1 8 s + 1 9 s + . . . + 1 15 s < 1 8 s - 1 = 1 2 s - 1 3 . . .

እናገኛለን፡-

∑ k = 1 ∞ 1 k s = 1 + 1 2 s + 1 3 s + 1 4 s + . . . + 1 7 ሰ + 1 8 ሰ + . . . + 1 15 ሰ + . . . = = 1 + S 3 - S 1 + S 7 - S 3 + S 15 + S 7 + . . .< < 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 + . . .

አገላለጹ 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 + ነው። . . የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ ድምር ነው q = 1 2 s - 1። እንደ መጀመሪያው መረጃ በ s > 1ከዚያም 0< q < 1 . Получаем, ∑ k = 1 ∞ < 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 + . . . = 1 1 - q = 1 1 - 1 2 s - 1 . Последовательность ряда при s > 1ይጨምራል እና ከ 1 1 - 1 2 ሴ - 1 በላይ የተገደበ ነው. ገደብ እንዳለ እናስብ እና ተከታታዮቹ የተጣመሩ ናቸው ∑ k = 1 ∞ 1 k s .

ትርጉም 8

ተከታታይ ∑ k = 1 ∞ a k በዚያ ሁኔታ አዎንታዊ ነውአባላቶቹ > 0 a k > 0፣ k = 1, 2, ከሆነ. . . .

ተከታታይ ∑ k = 1 ∞ b k ምልክት ሰጪ, የቁጥሮች ምልክቶች የተለያዩ ከሆኑ. ይህ ምሳሌ የቀረበው ∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ (- 1) k · a k ወይም ∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 · a k፣ የት k > 0, k = 1, 2, . . . .

ተከታታይ ∑ k = 1 ∞ b k ተለዋጭ, ብዙ ቁጥሮችን ስለያዘ, አሉታዊ እና አወንታዊ.

ሁለተኛው አማራጭ ተከታታይ የሶስተኛው አማራጭ ልዩ ጉዳይ ነው.

ለእያንዳንዱ ጉዳይ ምሳሌዎች እነኚሁና፡

6 + 3 + 3 2 + 3 4 + 3 8 + 3 16 + . . . 6 - 3 + 3 2 - 3 4 + 3 8 - 3 16 + . . . 6 + 3 - 3 2 + 3 4 + 3 8 - 3 16 + . . .

ለሦስተኛው አማራጭ፣ ፍጹም እና ሁኔታዊ ውህደትን መወሰንም ይችላሉ።

ትርጉም 9

ተለዋጭ ተከታታዮች ∑ k = 1 ∞ b k በጉዳዩ ላይ ∑ k = 1 ∞ b k እንደ convergent ተብሎ በሚታሰብበት ጊዜ ፍፁም አንድ ይሆናል።

ብዙ የተለመዱ አማራጮችን በዝርዝር እንመልከት.

ምሳሌ 2

ረድፎቹ 6 - 3 + 3 2 - 3 4 + 3 8 - 3 16 + ከሆኑ። . . እና 6 + 3 - 3 2 + 3 4 + 3 8 - 3 16 + . . . convergent ተብለው ይገለጻሉ፣ ከዚያ 6 + 3 + 3 2 + 3 4 + 3 8 + 3 16 + ብሎ ማሰብ ትክክል ነው። . .

ፍቺ 10

ተለዋጭ ተከታታይ ∑ k = 1 ∞ b k ∑ k = 1 ∞ b k ከተለያየ እንደ ሁኔታዊ convergent ይቆጠራል፣ እና ተከታታይ ∑ k = 1 ∞ b k convergent ተብሎ ይታሰባል።

ምሳሌ 3

አማራጩን በዝርዝር እንመርምር ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 k = 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + . . . . ተከታታይ ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 k = ∑ k = 1 ∞ 1 ኪ ፣ ፍፁም እሴቶችን ያቀፈ ፣ እንደ ተለዋዋጭ ይገለጻል። ለመወሰን ቀላል ስለሆነ ይህ አማራጭ እንደ ተለዋዋጭ ይቆጠራል. ከዚህ ምሳሌ የምንማረው ተከታታይ ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 k = 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + . . . በሁኔታዊ እንደተጣመረ ይቆጠራል።

የተዋሃዱ ተከታታይ ባህሪዎች

ለተወሰኑ ጉዳዮች ንብረቶቹን እንመርምር

1. ∑ k = 1 ∞ a k ከተሰበሰበ፣ ተከታታይ ∑ k = m + 1 ∞ a k እንዲሁ እንደተጣመረ ይቆጠራል። ያለ ረድፉ ልብ ሊባል ይችላል ኤምቃላቶች እንደ ተጣማሪ ይቆጠራሉ። ብዙ ቁጥሮችን ወደ ∑ k = m + 1 ∞ a k ከጨመርን ውጤቱም የተጣመረ ይሆናል።
2. ∑ k = 1 ∞ a k ከተሰበሰበ እና ድምር = ኤስ, ከዚያም ተከታታይ ∑ k = 1 ∞ A · a k , ∑ k = 1 ∞ A · a k = A · ኤስ ደግሞ ይሰበሰባል, የት ሀ- ቋሚ.
3. ∑ k = 1 ∞ a k እና ∑ k = 1 ∞ b k የሚጣመሩ ከሆነ፣ ድምሮቹ ሀእና ለበጣም፣ ከዚያም ተከታታይ ∑ k = 1 ∞ a k + b k እና ∑ k = 1 ∞ a k - b k እንዲሁ ይሰባሰባሉ። መጠኖቹ እኩል ይሆናሉ ኤ+ቢእና ሀ - ቢበቅደም ተከተል.

ምሳሌ 4

ተከታታዩ እንደሚገናኙ ይወስኑ ∑ k = 1 ∞ 2 3 k · k 3 .

∑ k = 1 ∞ 2 3 k · k 3 = ∑ k = 1 ∞ 2 3 · 1 k 4 3 የሚለውን አገላለጽ እንለውጥ። ተከታታይ ∑ k = 1 ∞ 1 k 4 3 ውህድ ነው ተብሎ የሚታሰበው ፣ ምክንያቱም ተከታታይ ∑ k = 1 ∞ 1 ኪ. s > 1. በሁለተኛው ንብረት መሰረት, ∑ k = 1 ∞ 2 3 · 1 k 4 3 .

ምሳሌ 5

ተከታታይ ∑ n = 1∞ 3 + n n 5 2 መገናኘቱን ይወስኑ።

ዋናውን እትም እንለውጠው ∑ n = 1 ∞ 3 + n n 5 2 = ∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 + n n 2 = ∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 + ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 .

ድምርን ∑ n = 1∞ 3 n 5 2 እና ∑ n = 1∞ 1 n 2 እናገኛለን። እያንዳንዱ ተከታታይ በንብረቱ መሠረት እንደ ተሰባቢ ይቆጠራል። ስለዚህ, ተከታታዩ ሲሰባሰቡ, ዋናው ስሪትም እንዲሁ.

ምሳሌ 6

ተከታታይ 1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 + ተገናኝተው እንደሆነ አስሉ። . . እና መጠኑን ያሰሉ.

ዋናውን ስሪት እናስፋፋው፡-

1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 + . . . = 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + . . . - 2 · 3 + 1 + 1 3 + 1 9 + . . = = ∑ ኪ = 1 ∞ 1 2 ኪ - 1 - 2 · ∑ ኪ = 1 ∞ 1 3 ኪ - 2

እያንዳንዱ ተከታታይ የሚሰበሰበው ከቁጥር ቅደም ተከተል አባላት አንዱ ስለሆነ ነው። በሦስተኛው ንብረት መሰረት, የመጀመሪያው ስሪት እንዲሁ የተጣመረ መሆኑን ማስላት እንችላለን. ድምርን እናሰላለን-የተከታታዩ የመጀመሪያ ቃል ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 = 1 ፣ እና መለያው = 0። 5, ይህ ይከተላል, ∑ k = 1 ∞ 1 2 ኪ - 1 = 1 1 - 0. 5 = 2 የመጀመሪያው ቃል ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2 = 3 ነው ፣ እና የወረደው የቁጥር ቅደም ተከተል መለያ = 1 3። እናገኛለን: ∑ k = 1 ∞ 1 3 ኪ - 2 = 3 1 - 1 3 = 9 2 .

ድምር 1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 + ለመወሰን ከላይ ያሉትን አባባሎች እንጠቀማለን። . . = ∑ ኪ = 1 ∞ 1 2 ኪ - 1 - 2 ∑ ኪ = 1 ∞ 1 3 ኪ - 2 = 2 - 2 9 2 = - 7

ተከታታይ convergent መሆኑን ለመወሰን አስፈላጊ ሁኔታ

ፍቺ 11

ተከታታዩ ∑ k = 1 ∞ a k convergent ከሆነ፣ ገደቡ kthቃል = 0: ሊም k → + ∞ a k = 0 .

ማንኛውንም አማራጭ ካረጋገጥን, ስለ አስፈላጊው ሁኔታ መርሳት የለብንም. ካልተሟላ, ተከታታዮቹ ይለያያሉ. lim k → + ∞ a k ≠ 0 ከሆነ፣ ተከታታይነቱ የተለያየ ነው።

ሁኔታው አስፈላጊ ነው, ግን በቂ እንዳልሆነ ግልጽ መሆን አለበት. የእኩልነት lim k → + ∞ a k = 0 ከያዘ፣ ይህ ∑ k = 1 ∞ a k convergent መሆኑን አያረጋግጥም።

አንድ ምሳሌ እንስጥ። ለሃርሞኒክ ተከታታይ ∑ k = 1 ∞ 1 k ሁኔታው ​​ረክቷል lim k → + ∞ 1 k = 0 , ግን ተከታታይ አሁንም ይለያያል.

ምሳሌ 7

መጋጠሚያውን ይወስኑ ∑ n = 1 ∞ n 2 1 + n .

ሁኔታውን ለመፈፀም ዋናውን አገላለጽ እንፈትሽ ሊም n → + ∞ n 2 1 + n = lim n → + ∞ n 2 n 2 1 n 2 + 1 n = lim n → + ∞ 1 1 n 2 + 1 n = 1 + 0 + 0 = + ∞ ≠ 0

ገደብ nthአባል ከ0 ጋር እኩል አይደለም። ይህ ተከታታይ እንደሚለያይ አረጋግጠናል።

የአዎንታዊ ተከታታይ ትስስር እንዴት እንደሚወሰን።

እነዚህን ባህሪያት ያለማቋረጥ ከተጠቀሙ, ገደቦቹን ያለማቋረጥ ማስላት ይኖርብዎታል. ይህ ክፍል ምሳሌዎችን እና ችግሮችን ሲፈቱ ችግሮችን ለማስወገድ ይረዳዎታል. የአዎንታዊ ተከታታዮች ትስስር ለመወሰን, የተወሰነ ሁኔታ አለ.

ለአዎንታዊ ምልክት ውህደት ∑ k = 1 ∞ a k ፣ k> 0∀ k = 1 ፣ 2 ፣ 3 ፣ . . . የተወሰነ የድምር ቅደም ተከተል መወሰን አስፈላጊ ነው.

ተከታታይን እንዴት ማወዳደር እንደሚቻል

ተከታታይ ማወዳደር በርካታ ምልክቶች አሉ. መገናኘታቸው እንዲታወቅ የታቀደውን ተከታታዮች መገናኘታቸው ከሚታወቅ ተከታታይ ጋር እናነፃፅራለን።

የመጀመሪያ ምልክት

∑ k = 1 ∞ a k እና ∑ k = 1 ∞ b k ተከታታይ አዎንታዊ ምልክቶች ናቸው። የ k ≤ b k አለመመጣጠን ትክክለኛ ነው። k = 1, 2, 3, ...ከዚህ በመነሳት ከተከታታዩ ∑ k = 1 ∞ b k ∑ k = 1 ∞ a k ማግኘት እንችላለን። ∑ k = 1 ∞ a k የተለያየ ስለሆነ፣ ተከታታይ ∑ k = 1 ∞ b k ልዩ ልዩ ተብሎ ሊገለጽ ይችላል።

ይህ ደንብ እኩልታዎችን ለመፍታት በቋሚነት ጥቅም ላይ ይውላል እና መገጣጠምን ለመወሰን የሚረዳ ከባድ ክርክር ነው። ችግሩ በእያንዳንዱ ጉዳይ ላይ ለንፅፅር ተስማሚ የሆነ ምሳሌ ማግኘት ባለመቻሉ ላይ ሊሆን ይችላል. ብዙውን ጊዜ, ተከታታይ የሚመረጠው ጠቋሚው በሚለው መርህ መሰረት ነው kthቃሉ የአሃዛዊውን እና የተከፋፈለውን አርቢዎች የመቀነስ ውጤት ጋር እኩል ይሆናል። kthተከታታይ አባል. አንድ k = k 2 + 3 4 k 2 + 5 እናስብ, ልዩነቱ እኩል ይሆናል. 2 – 3 = - 1 . በዚህ ጉዳይ ላይ, ተከታታይ ከ ጋር ለማነፃፀር ያንን መወሰን እንችላለን k-thቃል b k = k - 1 = 1 ኪ, እሱም harmonic ነው.

የተገኘውን ቁሳቁስ ለማጠናከር, ሁለት የተለመዱ አማራጮችን በዝርዝር እንመለከታለን.

ምሳሌ 8

ተከታታይ ∑ k = 1 ∞ 1 ኪ - 1 2 ምን እንደሆነ ይወስኑ።

ገደቡ = 0 ሊም k → + ∞ 1 ኪ - 1 2 = 0 ስለሆነ አስፈላጊውን ሁኔታ አሟልተናል. እኩልነት ፍትሃዊ ይሆናል 1 ኪ< 1 k - 1 2 для ኬ፣ተፈጥሯዊ የሆኑ. ከቀደምት አንቀጾች የተማርነው ሃርሞኒክ ተከታታይ ∑ k = 1 ∞ 1 ኪ ይለያያል። እንደ መጀመሪያው መስፈርት, ዋናው ስሪት የተለያየ መሆኑን ማረጋገጥ ይቻላል.

ምሳሌ 9

ተከታታዩ የተጣመረ ወይም የተለያየ መሆኑን ይወስኑ ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 .

በዚህ ምሳሌ ውስጥ, lim k → + ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 = 0 ጀምሮ, አስፈላጊው ሁኔታ ረክቷል. እንደ አለመመጣጠን እንወክለዋለን 1 k 3 + 3 k - 1< 1 k 3 для любого значения ክ. ተከታታይ ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 ውሑድ ነው፣ ምክንያቱም ሃርሞኒክ ተከታታይ ∑ k = 1 ∞ 1 ኪ. s > 1. በመጀመሪያው መመዘኛ መሰረት, የቁጥሮች ተከታታይ ስብስቦች ናቸው ብለን መደምደም እንችላለን.

ምሳሌ 10

ተከታታይ ∑ k = 3 ∞ 1 k ln (ln k) ምን እንደሆነ ይወስኑ። lim k → + ∞ 1 k ln (ln k) = 1 + ∞ + ∞ = 0 .

በዚህ አማራጭ ውስጥ የተፈለገውን ሁኔታ መሟላት ምልክት ማድረግ ይችላሉ. ለንፅፅር ተከታታይ ፍቺ እንስጥ። ለምሳሌ, ∑ k = 1 ∞ 1 k s. ዲግሪው ምን እንደሆነ ለማወቅ, ቅደም ተከተሎችን (ln (ln k)), k = 3, 4, 5 ግምት ውስጥ ያስገቡ. . . . የቅደም ተከተል አባላት ln (ln 3)፣ ln (ln 4)፣ ln (ln 5)፣. . . ወደ ማለቂያነት ይጨምራል. ቀመርን ከመረመርን፣ N = 1619ን እንደ እሴቱ፣ ከዚያም የቅደም ተከተል ውሎች > 2 ን መውሰድ እንችላለን። ለዚህ ቅደም ተከተል የ 1 k ln (ln k) አለመመጣጠን እውነት ይሆናል< 1 k 2 . Ряд ∑ k = N ∞ 1 k 2 сходится согласно первому признаку, так как ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k 2 тоже сходящийся. Отметим, что согласно первому признаку ряд ∑ k = N ∞ 1 k ln (ln k) сходящийся. Можно сделать вывод, что ряд ∑ k = 3 ∞ 1 k ln (ln k) также сходящийся.

ሁለተኛ ምልክት

∑ k = 1 ∞ a k እና ∑ k = 1 ∞ b k አዎንታዊ ተከታታይ ቁጥሮች እንደሆኑ እናስብ።

lim k → + ∞ a k b k ≠ ∞ ከሆነ፣ ተከታታይ ∑ k = 1 ∞ b k ይሰበሰባል፣ እና ∑ k = 1 ∞ a k ደግሞ ይሰበሰባል።

lim k →+∞ a k b k ≠ 0 ከሆነ፣ ተከታታይ ∑ k = 1 ∞ b k ስለሚለያይ፣ ከዚያም ∑ k = 1 ∞ a k ደግሞ ይለያያል።

lim k → + ∞ a k b k ≠ ∞ እና lim k → + ∞ a k b k ≠ 0 ከሆነ የተከታታይ መጣመር ወይም መለያየት ማለት የሌላው መገጣጠም ወይም መለያየት ማለት ነው።

ሁለተኛውን ምልክት በመጠቀም ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 አስቡ። ለማነፃፀር ∑ k = 1 ∞ b k ኮንቬጀንት ተከታታይ ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 እንወስዳለን. ገደቡን እንግለጽ፡ lim k → + ∞ a k b k = lim k → + ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 1 k 3 = lim k → + ∞ k 3 k 3 + 3 k - 1 = 1

በሁለተኛው መመዘኛ መሰረት ኮንቬርቴንት ተከታታይ ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 ማለት ዋናው ቅጂም ይገናኛል ማለት ነው።

ምሳሌ 11

ተከታታይ ∑ n = 1 ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5 ምን እንደሆነ ይወስኑ።

አስፈላጊውን ሁኔታ እንመርምር lim k → ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5 = 0, ይህም በዚህ ስሪት ውስጥ ረክቷል. በሁለተኛው መስፈርት መሰረት ተከታታይ ∑ k = 1 ∞ 1 ኪ. ገደቡን እየፈለግን ነው፡ lim k → + ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5 1 k = lim k → + ∞ k 3 + 3 k 4 k 3 + 5 = 1 4

ከላይ በተገለጹት ሐሳቦች መሠረት፣ የተለያዩ ተከታታይ የመጀመሪያ ተከታታይ ልዩነቶችን ያካትታል።

ሦስተኛው ምልክት

ሦስተኛውን የንጽጽር ምልክት እንመልከት።

∑ k = 1 ∞ a k እና _ ∑ k = 1 ∞ b k አዎንታዊ ተከታታይ ቁጥሮች እንደሆኑ እናስብ። ሁኔታው ለተወሰነ ቁጥር a k + 1 a k ≤ b k + 1 b k ከተሟላ፡ የዚህ ተከታታይ ∑ k = 1 ∞ b k ማለት ተከታታይ ∑ k = 1 ∞ a k ደግሞ የተጠጋጋ ነው ማለት ነው። ተለዋዋጭ ተከታታይ ∑ k = 1 ∞ a k ልዩነትን ያካትታል ∑ k = 1 ∞ b k .

የዲኤልምበርት ምልክት

∑ k = 1 ∞ a k አዎንታዊ ተከታታይ ቁጥሮች እንደሆነ እናስብ። lim k → + ∞ a k + 1 a k ከሆነ< 1 , то ряд является сходящимся, если lim k → + ∞ a k + 1 a k >1, ከዚያም የተለያየ.

ማስታወሻ 1

የD'Alembert ፈተና ገደቡ ማለቂያ የሌለው ከሆነ የሚሰራ ነው።

lim k → + ∞ a k + 1 a k = - ∞ ከሆነ ተከታታዮቹ የተጣመሩ ናቸው፡ lim k → ∞ a k + 1 a k = + ∞ ከሆነ ይለያያል።

lim k → + ∞ a k + 1 a k = 1 ከሆነ የ d'Alembert ምልክት አይረዳም እና ብዙ ተጨማሪ ጥናቶች ያስፈልጋሉ።

ምሳሌ 12

የD'Alembert ፈተናን በመጠቀም ተከታታዩ የተጣመረ ወይም ተለዋዋጭ መሆኑን ይወስኑ ∑ k = 1∞ 2 ኪ + 1 2 ኪ።

አስፈላጊው የመገጣጠም ሁኔታ መሟላቱን ማረጋገጥ አስፈላጊ ነው. የኤል ሆፒታል ህግን በመጠቀም ገደቡን እናሰላው፡ lim k → + ∞ 2 k + 1 2 k = ∞ ∞ = lim k → + ∞ 2 k + 1 " 2 k " = lim k → + ∞ 2 2 k ln 2 = 2 + ∞ ln 2 = 0

ሁኔታው እንደተሟላ ማየት እንችላለን. d'Alembert's test እንጠቀም፡ lim k → + ∞ = lim k → + ∞ 2 (k + 1) + 1 2 k + 1 2 k + 1 2 k = 1 2 lim k → + ∞ 2 k + 3 2 k + 1 = 12< 1

ተከታታዩ የተጣመሩ ናቸው.

ምሳሌ 13

ተከታታዩ የተለያዩ መሆናቸውን ይወስኑ ∑ k = 1 ∞ k k k! .

የተከታታዩን ልዩነት ለማወቅ የ d'Alembert ፈተናን እንጠቀም፡ lim k → + ∞ a k + 1 a k = lim k → + ∞ (k + 1) k + 1 (k + 1) ! k k k! = ሊም k → + ∞ (k + 1) k + 1 · k! k k · (k + 1) ! = ሊም k → + ∞ (k + 1) k + 1 k k · (k + 1) = = ሊም k → + ∞ (k + 1) k k k = lim k 1 + 1 k k = e > 1

ስለዚህ, ተከታታይነቱ የተለያየ ነው.

ራዲካል ካውቺ ምልክት

∑ k = 1 ∞ a k ተከታታይ አዎንታዊ ምልክት እንዳለው እናስብ። lim k → + ∞ a k k ከሆነ< 1 , то ряд является сходящимся, если lim k → + ∞ a k k >1, ከዚያም የተለያየ.

ማስታወሻ 2

lim k → + ∞ a k k = 1 ከሆነ ይህ ምልክት ምንም አይነት መረጃ አይሰጥም - ተጨማሪ ትንታኔ ያስፈልጋል.

ይህ ባህሪ ለመለየት ቀላል በሆኑ ምሳሌዎች ውስጥ ጥቅም ላይ ሊውል ይችላል. የቁጥር ተከታታዮች አባል ገላጭ ሃይል መግለጫ ሲሆን ጉዳዩ የተለመደ ይሆናል።

የተቀበለውን መረጃ ለማጠናከር, በርካታ የተለመዱ ምሳሌዎችን እንመልከት.

ምሳሌ 14

ተከታታይ ∑ k = 1 ∞ 1 (2 ኪ + 1) k የሚጣመሩ መሆናቸውን ይወስኑ።

lim k → + ∞ 1 (2 k + 1) k = 1 + ∞ + ∞ = 0 ስለሆነ አስፈላጊው ሁኔታ እንደረካ ይቆጠራል።

ከላይ በተገለጸው መስፈርት መሠረት lim k → + ∞ a k k = lim k → + ∞ 1 (2 k + 1) k k = lim k → + ∞ 1 2 k + 1 = 0 እናገኛለን።< 1 . Данный ряд является сходимым.

ምሳሌ 15

ተከታታይ ቁጥር ∑ k = 1∞ 1 3 k · 1 + 1 k k 2 ይቀላቀላል?

ባለፈው አንቀፅ ሊም ኪ → + ∞ 1 3 k 1 + 1 k k 2 k = 1 3 lim k → + ∞ 1 + 1 k k = e 3 ላይ የተገለጸውን ባህሪ እንጠቀማለን።< 1 , следовательно, числовой ряд сходится.

የተቀናጀ Cauchy ሙከራ

∑ k = 1∞ a k ተከታታይ አዎንታዊ ምልክት ያለው እንደሆነ እናስብ። ቀጣይነት ያለው ክርክር ተግባርን ማመልከት አስፈላጊ ነው y = f(x)ከ n = f (n) ጋር የሚስማማ። ከሆነ y = f(x)ከዜሮ በላይ, አይቋረጥም እና በ [a] ይቀንሳል; + ∞)፣ የት ≥ 1

ከዚያ፣ አግባብ ያልሆነው ውህድ ∫ a +∞ f (x) d x አንድ ላይ ከሆነ፣ ግምት ውስጥ ያለው ተከታታዮችም ይሰባሰባሉ። የሚለያይ ከሆነ፣በግምት ውስጥ ባለው ምሳሌ ውስጥ ተከታታዩም ይለያያሉ።

አንድ ተግባር እየቀነሰ ስለመሆኑ ሲፈትሹ በቀደሙት ትምህርቶች የተሸፈነውን ይዘት መጠቀም ይችላሉ።

ምሳሌ 16

ለምሳሌ ∑ k = 2∞ 1 k · ln k ለመገጣጠም አስቡ።

lim k → + ∞ 1 k · ln k = 1 + ∞ = 0 ስለሆነ ተከታታይ የመገጣጠም ሁኔታ እንደ እርካታ ይቆጠራል። y = 1 x ln xን አስቡ። ከዜሮ በላይ ነው, አይቋረጥም እና በ [2] ይቀንሳል; + ∞) የመጀመሪያዎቹ ሁለት ነጥቦች በእርግጠኝነት ይታወቃሉ, ሦስተኛው ግን የበለጠ በዝርዝር መነጋገር አለበት. ተዋጽኦውን ያግኙ፡ y "= 1 x · ln x" = x · ln x " x · ln x 2 = ln x + x · 1 x x · ln x 2 = - ln x + 1 x · ln x 2. እሱ ነው። በ [2; + ∞) ላይ ከዜሮ ያነሰ) .ይህ ተግባሩ እየቀነሰ መምጣቱን ተሲስ ያረጋግጣል.

በእውነቱ, ተግባር y = 1 x ln x ከላይ ከተመለከትነው መርህ ባህሪያት ጋር ይዛመዳል. እንጠቀምበት፡ ∫ 2 + ∞ d x x · ln x = lim A → + ∞ ∫ 2 A d (ln x) ln x = lim A → + ∞ ln (ln x) 2 A = = lim A → + ∞ (ln ( ln A) - ln (ln 2)) = ln (ln (+ ∞)) - ln (ln 2) = + ∞

በተገኘው ውጤት መሰረት, ተገቢ ያልሆነው ውህደት የተለያየ ስለሆነ ዋናው ምሳሌ ይለያያል.

ምሳሌ 17

የተከታታይ ∑ k = 1 ∞ 1 (10 ኪ - 9) (ln (5 ኪ + 8)) 3 መመጣጠን ያረጋግጡ።

ከ lim k → + ∞ 1 (10 ኪ - 9) (ln (5 ኪ + 8)) 3 = 1 + ∞ = 0, ከዚያም ሁኔታው ​​እንደ ረክቷል.

ከ k = 4 ጀምሮ ትክክለኛው አገላለጽ 1 (10 ኪ - 9) (ln (5 ኪ + 8)) 3 ነው.< 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 .

ተከታታይ ∑ k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 እንደ ተግባቢ ከተወሰደ፣ እንደ አንዱ የንፅፅር መርሆዎች፣ ተከታታይ ∑ k = 4 ∞ 1 (10) k - 9) (ln (5 ኪ + 8)) 3 ደግሞ እንደ convergent ይቆጠራል። በዚህ መንገድ የዋናው አገላለጽ ተመሳሳይነት ያለው መሆኑን ማወቅ እንችላለን።

ወደ ማስረጃው እንሂድ፡ ∑ k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 .

ተግባር y = 1 5 x + 8 (ln (5 x + 8)) 3 ከዜሮ የሚበልጥ ስለሆነ አይቋረጥም እና በ [4] ይቀንሳል; + ∞) በቀደመው አንቀጽ ላይ የተገለጸውን ባህሪ እንጠቀማለን፡-

∫ 4 + ∞ d x (5 x + 8) (l n (5 x + 8)) 3 = ሊም ሀ → + ∞ ∫ 4 A d x (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 = 1 5 ሊም A → + ∞ ∫ 4 A d (ln (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 = - 1 10 ሊም አ → + ∞ 1 (ln (5 x + 8)) 2 | 4 A = = - 1 10 ሊም A → + ∞ 1 (ln (5 A + 8)) 2 - 1 (ln (5 4 + 8)) 2 = - 1 10 1 + ∞ - 1 (ln 28) 2 = 1 10 · ln 28 2

በውጤቱ convergent ተከታታይ ∫ 4 + ∞ d x (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3፣ ∑ k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k +) መወሰን እንችላለን። 8)) 3 ደግሞ ይሰበሰባሉ.

የራብ ምልክት

∑ k = 1 ∞ a k አዎንታዊ ተከታታይ ቁጥር እንደሆነ እናስብ።

lim k →+∞ k · a k a k + 1 ከሆነ< 1 , то ряд расходится, если lim k → + ∞ k · a k a k + 1 - 1 >1, ከዚያም ይሰበሰባል.

ከላይ የተገለጹት ቴክኒኮች የሚታዩ ውጤቶችን ካልሰጡ ይህንን የመወሰን ዘዴ መጠቀም ይቻላል.

ፍፁም የመደመር ጥናት

ለጥናቱ ∑ k = 1 ∞ b k እንወስዳለን. አዎንታዊ ምልክት ∑ k = 1 ∞ b k እንጠቀማለን. ከዚህ በላይ የገለጽናቸውን ማንኛውንም ተስማሚ ባህሪያት መጠቀም እንችላለን. ተከታታዩ ∑ k = 1 ∞ b k ከተጣመሩ፣ የዋናው ተከታታዮች ፍፁም የተዋሃዱ ናቸው።

ምሳሌ 18

ተከታታይ ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 3 k 3 + 2 k - 1 convergence ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 3 k 3 + 2 k - 1 = ∑ k = 1 ∞ 1 3 ኪ መርምር። 3 + 2 ኪ - 1 .

ሁኔታው ተሟልቷል lim k → + ∞ 1 3 k 3 + 2 k - 1 = 1 + ∞ = 0 . ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 2 እንጠቀማለን እና ሁለተኛውን ምልክት፡ lim k → + ∞ 1 3 k 3 + 2 k - 1 1 k 3 2 = 1 3 እንጠቀማለን።

ተከታታይ ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 3 k 3 + 2 k - 1 converges. የመጀመሪያው ተከታታዮች እንዲሁ በፍፁም የተዋሃዱ ናቸው።

የተለዋዋጭ ተከታታዮች ልዩነት

ተከታታዮቹ ∑ k = 1 ∞ b k የተለያየ ከሆነ፣ ተጓዳኝ ተለዋጭ ተከታታይ ∑ k = 1 ∞ b k የተለያየ ወይም ሁኔታዊ በሆነ ሁኔታ የተጣመረ ነው።

ከሞዱሊው ልዩነት ∑ k = 1 ∞ b k ስለ ∑ k = 1 ∞ b k መደምደሚያ ላይ ለመድረስ የ d'Alembert ፈተና እና ራዲካል Cauchy ፈተና ብቻ ይረዳሉ። ተከታታይ ∑ k = 1 ∞ b k እንዲሁም አስፈላጊው የመገጣጠም ሁኔታ ካልተሟላ ፣ ማለትም ፣ lim k → ∞ + b k ≠ 0 ከሆነ ይለያያል።

ምሳሌ 19

ልዩነትን ያረጋግጡ 1 7, 2 7 2, - 6 7 3, 24 7 4, 120 7 5 - 720 7 6, . . . .

ሞጁል kthቃል እንደ b k = k ነው የሚወከለው! 7 ኪ.

ተከታታዩን እንመርምር ∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ k ! 7 ኪ ለ የአሌምበርት መስፈርት በመጠቀም ለማገናኘት፡ lim k → + ∞ b k + 1 b k = lim k → + ∞ (k + 1) ! 7 ኪ + 1 ኪ! 7 ኪ = 1 7 · ሊም ኪ → + ∞ (k + 1) = + ∞ .

∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ k! 7 ኪ ከዋናው ስሪት ጋር በተመሳሳይ መንገድ ይለያያል።

ምሳሌ 20

∑ k = 1 ∞ (- 1) k · k 2 + 1 ln (k + 1) convergent ነው።

አስፈላጊውን ሁኔታ እናስብ lim k → + ∞ b k = lim k → + ∞ k 2 + 1 ln (k + 1) = ∞ ∞ = lim k → + ∞ = k 2 + 1 "(ln (k + 1)) " = = ሊም ኪ → + ∞ 2 ኪ 1 ኪ + 1 = ሊም ኪ → + ∞ 2 ኪ (k + 1) = + ∞ . ሁኔታው አልተሟላም, ስለዚህ ∑ k = 1 ∞ (- 1) k · k 2 + 1 ln (k + 1) ተከታታይ የተለያየ ነው. ገደቡ የተሰላው የL'Hopital ደንብን በመጠቀም ነው።

ሁኔታዊ የመገጣጠም መስፈርቶች

የሊብኒዝ ፈተና

ፍቺ 12

የተለዋጭ ተከታታዮች ውሎች ከቀነሱ b 1 > b 2 > b 3 >። . . > . . . እና የሞዱል ገደብ = 0 እንደ k → + ∞, ከዚያም ተከታታይ ∑ k = 1 ∞ b k ይሰበሰባል.

ምሳሌ 17

ለመገጣጠም ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) አስቡ።

ተከታታዩ የሚወከለው ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) = ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 5 k (k + 1) ነው። አስፈላጊው ሁኔታ ተሟልቷል: lim k → + ∞ = 2 k + 1 5 k (k + 1) = 0 . ∑ k = 1 ∞ 1 ኪ በሁለተኛው የንጽጽር መስፈርት lim k → + ∞ 2 k + 1 5 k (k + 1) 1 k = lim k → + ∞ 2 k + 1 5 (k + 1) = 2 5 አስብ።

∑ k = 1 ∞ (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) = ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 5 k (k + 1) የሚለያይ ሆኖ አግኝተነዋል። ተከታታይ ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) በሊብኒዝ መስፈርት መሰረት ይሰበሰባል፡ ቅደም ተከተል 2 1 + 1 5 1 1 1 + 1 = 3 10, 2 2 + 1 5 · 2 · (2 ​​+ 1) = 5 30 ፣ 2 · 3 + 1 5 · 3 · 3 + 1 ፣ . . ይቀንሳል እና ሊም k → + ∞ = 2 ኪ + 1 5 ኪ (k + 1) = 0.

ተከታታዩ ሁኔታዊ በሆነ መልኩ ይገናኛሉ።

አቤል-ዲሪችሌት ፈተና

ፍቺ 13

∑ k = 1+

ምሳሌ 17

1 - 3 2 + 2 3 + 1 4 - 3 5 + 1 3 + 1 7 - 3 8 + 2 9+ አስስ። . . ለመገጣጠም.

እስቲ እናስብ

1 - 3 2 + 2 3 + 1 4 - 3 5 + 1 3 + 1 7 - 3 8 + 2 9 + . . . = 1 1 + 1 2 (- 3) + 1 3 2 + 1 4 1 + 1 5 (- 3) + 1 6 = ∑ k = 1 ∞ u k v k

የት (u k) = 1, 1 2, 1 3,. . . እየጨመረ አይደለም, እና ቅደም ተከተል (v k) = 1, - 3, 2, 1, - 3, 2, . . . የተወሰነ (S k) = 1, - 2, 0, 1, - 2, 0,. . . . ተከታታይ ይሰበሰባል.

በጽሁፉ ላይ ስህተት ካጋጠመህ እባክህ አድምቀው Ctrl+Enter ን ተጫን

1. አንድ 1 + a 2 + a 3 +…+a n +…= ከተጣመረ፣ የመጀመሪያዎቹን m ቃላት በመጣል ተከታታይ m+1 +a m+2 +a m+3 +… ይሰበሰባል. ይህ ተከታታይ ተከታታይ mth ቀሪ ይባላል። እና በተገላቢጦሽ፡ ከተከታታዩ የ mth ቀሪዎች ውህደት፣ የዚህ ተከታታይ ውህደት ይከተላል። እነዚያ። የውሎቹ ውሱን ቁጥር ከተጨመረ ወይም ከተጣለ የተከታታይ ውህደት እና ልዩነት አይጣስም።

2 . ተከታታዩ 1 + a 2 + a 3 +... ከተሰበሰበ እና ድምሩ ከኤስ ጋር እኩል ከሆነ፣ ተከታታይ Ca 1 + Ca 2 +...፣ ሲ = ደግሞ የሚሰበሰብበት እና ድምሩ ከCS ጋር እኩል ይሆናል።

3. ተከታታዩ a 1 +a 2 +... እና b 1 +b 2 +... ከተሰባሰቡ እና ድምርዎቻቸው እንደቅደም ተከተላቸው S1 እና S2 እኩል ከሆኑ ተከታታይ (a 1 +b 1)+(a 2 + b 2)+(a 3+b 3)+… እና (a 1-b 1)+(a 2-b 2)+(a 3 -b 3)+… እንዲሁም ይሰባሰባሉ። ድምራቸው በቅደም ተከተል ከ S1+S2 እና S1-S2 ጋር እኩል ነው።

4. ሀ) ተከታታይ ከተጣመረ፣ n ኛ ቃሉ ወደ 0 ነው የሚይዘው፣ n ላልተወሰነ ጊዜ ሲጨምር (ንግግሩ እውነት አይደለም)።

- አስፈላጊ ምልክት (ሁኔታ)መገጣጠም ረድፍ.

ለ) ከሆነ
ከዚያ ተከታታዩ የተለያዩ ናቸው - በቂ ሁኔታልዩነቶች ረድፍ.

የዚህ አይነት ተከታታይ ጥናት የሚካሄደው በንብረት መሰረት ብቻ ነው 4. ይህ የተለያዩረድፎች.

ምልክት-አዎንታዊ ተከታታይ።

የአዎንታዊ-ምልክቶች ተከታታይ ውህደት እና መለያየት ምልክቶች።

አዎንታዊ ተከታታዮች ሁሉም ቃላት አዎንታዊ የሆኑባቸው ተከታታይ ናቸው። እነዚህን የመገጣጠም እና የመለያየት ምልክቶች ከአዎንታዊ ምልክቶች ጋር በተከታታይ እንመለከታለን።

1. የመጀመሪያው የንፅፅር ምልክት.

ሁለት ተከታታይ አዎንታዊ ምልክት 1 + a 2 + a 3 +…+a n +…= ይስጥ (1) ወይም 1 +b 2 +b 3 +…+b n +…= (2).

የተከታታዩ አባላት ከሆኑ (1) ተጨማሪ አይደለምb n እና ተከታታይ (2) ይገናኛል፣ ከዚያ ተከታታይ (1) እንዲሁ ይሰበሰባል።

የተከታታዩ አባላት ከሆኑ (1) ያነሰ አይደለምየተከታታይ (2) ተጓዳኝ አባላት፣ i.e. እና n b n እና ረድፍ (2) ይለያያል፣ ከዚያ ተከታታይ (1) እንዲሁ ይለያያሉ።

ይህ የንጽጽር መስፈርት እኩልነት ለሁሉም n ካልረካ ነው, ነገር ግን ከአንዳንዶቹ ብቻ ይጀምራል.

2. የንፅፅር ሁለተኛ ምልክት.

ውሱን እና ዜሮ ያልሆነ ገደብ ካለ
, ከዚያም ሁለቱም ተከታታዮች በአንድ ጊዜ ይሰባሰባሉ ወይም ይለያያሉ.

- የዚህ አይነት ረድፎች መለያየትበሁለተኛው የንፅፅር መስፈርት መሰረት. እነሱ ከሃርሞኒክ ተከታታይ ጋር መወዳደር አለባቸው.

3. የዲአሌምበርት ምልክት.

ለአዎንታዊ ተከታታይ ከሆነ (a 1 + a 2 + a 3 +…+a n +…= ) አለ።
(1)፣ ከዚያ ተከታታዩ የሚሰበሰቡት q ከሆነ ነው።<1, расходится, если q>

4. የካውቺ ምልክት አክራሪ ነው።

ለአዎንታዊ ተከታታይ ገደብ ካለ
(2)፣ ከዚያ ተከታታዩ ይሰበሰባል ifq<1, расходится, если q>1. q=1 ከሆነ ጥያቄው ክፍት እንደሆነ ይቆያል።

5. የ Cauchy ፈተና ወሳኝ ነው.

ትክክል ያልሆኑ ውህዶችን እናስታውስ።

ገደብ ካለ
. ይህ ተገቢ ያልሆነ ውህደት ነው እና ይገለጻል።
.

ይህ ገደብ ውሱን ከሆነ፣ አግባብ ያልሆነው ውህደት ይሰበሰባል። ተከታታዩ፣ በቅደም ተከተል፣ ይሰበሰባሉ ወይም ይለያያሉ።

ተከታታዩ 1 + a 2 + a 3 +…+a n +…= ይሁን - አዎንታዊ ተከታታይ.

n =f(x) እንጥቀስ እና f(x) ተግባሩን እናስብ። f(x) አወንታዊ፣ ነጠላ በሆነ መልኩ እየቀነሰ እና ቀጣይነት ያለው ተግባር ከሆነ፣ ተገቢ ያልሆነው ውህድ ከተጣመረ፣ የተሰጠው ተከታታይ ይገናኛል። እና በተገላቢጦሽ: ተገቢ ያልሆነው ውህደት ከተከፋፈለ, ተከታታዩ ይለያያሉ.

ተከታታይ ውሱን ከሆነ, ከዚያም ይሰበሰባል.

ረድፎች በጣም የተለመዱ ናቸው
-Derichlet ተከታታይ. p>1 ከሆነ ይሰበሰባል፣ ይለያል p<1. Гармонический ряд является рядом Дерихле при р=1. Сходимость и расходимость данного ряда легко доказать с помощью интегрального признака Коши.

1. ተከታታይ ቁጥር: መሰረታዊ ፅንሰ ሀሳቦች, ለተከታታይ ውህደት አስፈላጊ ሁኔታዎች. የቀረው ረድፍ.

2. ተከታታይ አወንታዊ ቃላት እና የመገጣጠም ፈተናዎች፡ የንፅፅር ሙከራዎች፣ D'Alembert፣ Cauchy።

3. ተለዋጭ ተከታታይ፣ የላይብኒዝ ፈተና።

1. የቁጥር ተከታታይ ፍቺ. መገጣጠም።

በሂሳብ አተገባበር፣ እንዲሁም በኢኮኖሚክስ፣ በስታቲስቲክስ እና በሌሎች መስኮች አንዳንድ ችግሮችን በመፍታት ረገድ ማለቂያ የሌላቸው የቃላቶች ድምሮች ይታሰባሉ። እዚህ በእንደዚህ አይነት መጠኖች ምን ማለት እንደሆነ ፍቺ እንሰጣለን.

ማለቂያ የሌለው የቁጥር ቅደም ተከተል ይስጥ

ፍቺ 1.1. ተከታታይ ቁጥርወይም በቀላሉ ቅርብየቅጹ አገላለጽ (ድምር) ይባላል

. (1.1)

ቁጥሮች ተብለው ይጠራሉ የቁጥር አባላት, –አጠቃላይወይም n–mተከታታይ አባል.

ተከታታይን ለመግለጽ (1.1) ፣ የተከታታዩን ኛ ቃል በቁጥር ለማስላት የተፈጥሮ መከራከሪያውን ተግባር መግለጽ በቂ ነው።

ምሳሌ 1.1. ፍቀድ። ረድፍ

(1.2)

ተብሎ ይጠራል harmonic ተከታታይ.

ምሳሌ 1.2. ፍቀድ፣ ረድፍ

(1.3)

ተብሎ ይጠራል አጠቃላይ harmonic ተከታታይ. በተለየ ሁኔታ, ሃርሞኒክ ተከታታይ ተገኝቷል.

ምሳሌ 1.3. ይሁን =. ረድፍ

ተብሎ ይጠራል በጂኦሜትሪክ እድገት አቅራቢያ.

ከተከታታይ ውሎች (1.1) ቁጥራዊ እንፈጥራለን ከፊል ቅደም ተከተል መጠኖች የት - የተከታታዩ የመጀመሪያ ውሎች ድምር ፣ እሱም ይባላል n-ኛ ከፊል መጠን፣ ማለትም እ.ኤ.አ.

…………………………….

…………………………….

የቁጥር ቅደም ተከተል በቁጥር ያልተገደበ ጭማሪ፣ የሚከተሉትን ማድረግ ይችላል።

1) የተወሰነ ገደብ አላቸው;

2) ገደብ የለሽ ገደብ የላቸውም (ገደቡ የለም ወይም ከማይታወቅ ጋር እኩል ነው)።

ፍቺ 1.2. ተከታታይ (1.1) ይባላል የተቀናጀ ፣የእሱ ከፊል ድምሮች (1.5) ቅደም ተከተል የተወሰነ ገደብ ካለው, ማለትም.

በዚህ ሁኔታ ቁጥሩ ይባላል መጠንተከታታይ (1.1) እና ተጽፏል

ፍቺ 1.3.ተከታታይ (1.1) ይባላል የተለያየ፣የእሱ ከፊል ድምሮች ቅደም ተከተል ገደብ ከሌለው.

ለተለያዩ ተከታታዮች ምንም ድምር አልተመደበም።

ስለዚህ የአንድ ተከታታይ ድምር (1.1) ድምር የማግኘት ችግር የከፊል ድምርዎቹን ቅደም ተከተል ወሰን ለማስላት እኩል ነው።

ጥቂት ምሳሌዎችን እንመልከት።

ምሳሌ 1.4.ተከታታይ መሆኑን ያረጋግጡ

ይሰበሰባል እና ድምሩን ያግኙ።

የዚህን ተከታታዮች ቁጥር Nth ከፊል ድምርን እንፈልግ።

አጠቃላይ አባል በቅጹ ውስጥ ተከታታይን ይወክላሉ .

ከዚህ እኛ አለን: . ስለዚህ፣ ይህ ተከታታይ ይሰበሰባል እና ድምሩ ከ1 ጋር እኩል ነው።

ምሳሌ 1.5. ተከታታዩን ለመገጣጠም ይመርምሩ

ለዚህ ረድፍ

. ስለዚህ, ይህ ተከታታይ ይለያያል.

አስተያየት።ለተከታታይ (1.6) ማለቂያ የሌለው የዜሮዎች ድምር ነው እና ግልጽ በሆነ መልኩ የተጣመረ ነው።

2. የቁጥር ተከታታይ መሰረታዊ ባህሪያት

የአንድ የተወሰነ የቃላቶች ድምር ባህሪያት ከተከታታይ ባህሪያት ይለያያሉ, ማለትም, ማለቂያ የሌለው የቃላቶች ድምር. ስለዚህ, በተወሰኑ የቃላት ብዛት, በማንኛውም ቅደም ተከተል ሊመደቡ ይችላሉ, ይህ ድምርን አይለውጥም. Riemann እንዳሳየው, convergent ተከታታይ (በሁኔታዊ convergent, ክፍል 5 ውስጥ ይቆጠራል ይሆናል ይህም) አሉ. * , የቃላቶቻቸውን ቅደም ተከተል በተገቢው ሁኔታ በመለወጥ, የተከታታዩ ድምርን ከማንኛውም ቁጥር ጋር እኩል ማድረግ ይችላሉ, እና የተለያየ ተከታታይ እንኳን.

ምሳሌ 2.1.የቅጹን የተለያዩ ተከታታይ አስቡ (1.7)

አባላቱን በጥንድ በመመደብ፣ ከዜሮ ጋር እኩል የሆነ ተከታታይ ቁጥር እናገኛለን፡-

በሌላ በኩል፣ ቃላቶቹን በጥንድ በመመደብ፣ ከሁለተኛው ቃል ጀምሮ፣ እንዲሁም ተከታታይ ተከታታይ እናገኛለን፣ ነገር ግን ድምር ከአንድ ጋር እኩል ነው።

ኮንቬንቴንት ተከታታይ እንደ ውሱን ድምር አድርጎ ለማከም የሚያስችሉ የተወሰኑ ንብረቶች አሏቸው። ስለዚህ በቁጥር ሊባዙ፣ ሊጨመሩ እና ሊቀነሱ የሚችሉት ቃል በቃል ነው። ማናቸውንም ተያያዥ ቃላትን በቡድን ማዋሃድ ይችላሉ.

ቲዎረም 2.1.(የተከታታይ ውህደት አስፈላጊ ምልክት)።

ተከታታይ (1.1) ከተጣመረ፣ n ላልተወሰነ ጊዜ ሲጨምር የተለመደው ቃሉ ዜሮ ይሆናል።

የንድፈ ሃሳቡ ማረጋገጫ ከዚህ እውነታ ይከተላል , እና ከሆነ

S የተከታታይ (1.1) ድምር ነው፣ ከዚያ

ሁኔታ (2.1) ለተከታታይ ውህደት አስፈላጊ ነገር ግን በቂ ያልሆነ ሁኔታ ነው. ማለትም የተከታታዩ የጋራ ቃል በ ዜሮ ወደ ዜሮ የሚሄድ ከሆነ ይህ ማለት ተከታታዩ ይሰበሰባሉ ማለት አይደለም። ለምሳሌ፣ ለሃርሞኒክ ተከታታይ (1.2) ነገር ግን, ከታች እንደሚታየው, ይለያያል.

መልስ: ተከታታይ ይለያያሉ.

ምሳሌ ቁጥር 3

የተከታታይ $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(2)((2n+1)(2n+3))$ ድምርን አግኝ።

የማጠቃለያው ዝቅተኛ ወሰን 1 ስለሆነ የተከታታዩ የጋራ ቃል በድምር ምልክት፡ $u_n=\frac(2)((2n+1)(2n+3))$ ይጻፋል። የተከታታዩን ኒተኛውን ከፊል ድምር እናድርገው፣ ማለትም. የአንድ የተወሰነ ተከታታይ ቁጥር የመጀመሪያዎቹን $n$ ውሎች እናጠቃልል።

$$ S_n=u_1+u_2+u_3+u_4+\ldots+u_n=\frac(2)(3\cdot 5)+\frac(2)(5\cdot 7)+\frac(2)(7\cdot 9) )+\frac(2)(9\cdot 11)+\ldots+\frac(2)((2n+1)(2n+3))። $$

ለምን በትክክል $\frac(2)(3\cdot 5)$ን እፅፋለሁ እና $\frac(2)(15)$ ሳይሆን ፣ከቀጣዩ ትረካ ግልፅ ይሆናል። ነገር ግን፣ ከፊል መጠን መፃፍ አንድ ኢኦታ ወደ ግባችን አላቀረብንም። $\lim_(n\to\infty)S_n$ን ማግኘት አለብን፣ ነገር ግን ዝም ብለን ከጻፍን፦

$$ \lim_(n\to\infty)S_n=\lim_(n\to\infty)\ግራ(\frac(2)(3\cdot 5)+\frac(2)(5\cdot 7)+\ frac(2)(7\cdot 9)+\frac(2)(9\cdot 11)+\ldots+\frac(2)((2n+1)(2n+3))\ቀኝ)፣ $$

እንግዲያውስ ይህ መዝገብ፣ ፍጹም ትክክለኛ በሆነ መልኩ፣ በመሰረቱ ምንም አይሰጠንም። ገደቡን ለማግኘት የከፊል ድምር አገላለጽ መጀመሪያ ማቅለል አለበት።

ለዚህ መደበኛ ለውጥ አለ፣ እሱም ክፍልፋይ $\frac(2)((2n+1)(2n+3))$፣ የተከታታዩን አጠቃላይ ቃል ወደ አንደኛ ደረጃ ክፍልፋዮች መበስበስን ያካትታል። የተለየ ርዕስ የተመደበው ምክንያታዊ ክፍልፋዮችን ወደ አንደኛ ደረጃ መበስበስ ጉዳይ ነው (ለምሳሌ በዚህ ገጽ ላይ ለምሳሌ ቁጥር 3 ይመልከቱ)። ክፍልፋዩን $\frac(2)((2n+1)(2n+3))$ ወደ አንደኛ ደረጃ ክፍልፋዮች በማስፋፋት እኛ ይኖረናል፡

$$ \frac(2)((2n+1)(2n+3))=\frac(A)(2n+1)+\frac(B)(2n+3)=\frac(A\cdot(2n) +3)+B\cdot(2n+1))((2n+1)(2n+3))። $$

በውጤቱ እኩልነት በግራ እና በቀኝ በኩል ያሉትን ክፍልፋዮች ቁጥሮችን እናነፃፅራለን-

$$ 2=A\cdot(2n+3)+B\cdot(2n+1)። $$

የ$A$ እና $B$ እሴቶችን ለማግኘት ሁለት መንገዶች አሉ። ቅንፎችን መክፈት እና ውሎቹን ማስተካከል ይችላሉ፣ ወይም በቀላሉ ከ$n$ ይልቅ አንዳንድ ተስማሚ እሴቶችን መተካት ይችላሉ። ለልዩነት ብቻ ፣ በዚህ ምሳሌ ውስጥ የመጀመሪያውን መንገድ እንሄዳለን ፣ እና በሚቀጥለው ውስጥ የግል እሴቶችን $ n$ እንተካለን። ቅንፎችን በመክፈት እና ውሎችን እንደገና በማስተካከል የሚከተሉትን እናገኛለን

$$ 2=2An+3A+2Bn+B፤\\ 2=(2A+2B)n+3A+B። $$

በእኩልነት በግራ በኩል፣ $n$ በዜሮ ይቀድማል። ከፈለግክ፣ ግልፅ ለማድረግ፣ የእኩልነት ግራ ጎን እንደ $0\cdot n+ 2$ ሊወከል ይችላል። በግራ በኩል በ $ n$ እኩልነት በዜሮ ስለሚቀድም እና በ $ n$ በቀኝ በኩል $ 2A+2B$ ይቀድማል, የመጀመሪያው እኩልታ አለን: $2A+2B=0$. ወዲያውኑ የዚህን እኩልታ ሁለቱንም ጎኖች በ 2 እንከፋፍል, ከዚያ በኋላ $ A+B=0$ እናገኛለን.

በእኩልነት በግራ በኩል የነፃው ቃል ከ 2 ጋር እኩል ስለሆነ እና በቀኝ በኩል ደግሞ የነፃው ቃል $ 3A + B$, ከዚያም $ 3A + B=2$ እኩል ነው. ስለዚ፡ ስርዓት አለን፡

$$ \ግራ\(\ጀማሪ(የተሰለፈ) & A+B=0;\\ & 3A+B=2. \መጨረሻ(የተስተካከለ)\ቀኝ። $$

የማቲማቲካል ኢንዳክሽን ዘዴን በመጠቀም ማረጋገጫውን እናከናውናለን. በመጀመሪያ ደረጃ፣ እየተረጋገጠ ያለው እኩልነት $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ በ$n=1$ መሆኑን ማረጋገጥ አለቦት። $S_1=u_1=\frac(2)(15)$ መሆኑን እናውቃለን፣ነገር ግን $\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ የሚለው አገላለፅ $\frac() ይሰጣል። 2 )(15)$፣ በእሱ ውስጥ $n=1$ ብንተካው? እስቲ እንፈትሽ፡

$$ \frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2\cdot 1+3)=\frac(1) (3)-\frac(1)(5)=\frac(5-3)(15)=\frac(2)(15)። $$

ስለዚህ፣ ለ$n=1$ የ$S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ እኩልነት ረክቷል። ይህ የማቲማቲካል ኢንዳክሽን ዘዴን የመጀመሪያ ደረጃ ያጠናቅቃል.

ለ$n=k$ እኩልነት እንደረካ እናስብ፣ ማለትም። $S_k=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)$። ተመሳሳዩ እኩልነት በ$n=k+1$ እንደሚሟላ እናረጋግጥ። ይህንን ለማድረግ፣ $S_(k+1)$ን አስቡበት፡-

$$ S_(k+1)=S_k+u_(k+1)። $$

ከ$u_n=\frac(1)(2n+1)-\frac(1)(2n+3)$፣ከዚያ $u_(k+1)=\frac(1)(2(k+1)+ 1 -\frac(1)(2(k+1)+3)=\frac(1)(2k+3)-\frac(1)(2(k+1)+3)$። ከ$S_k=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)$ በላይ በተሰራው ግምት መሰረት፣ ስለዚህ ቀመር $S_(k+1)=S_k+u_(k+1)$ ቅጹን ይወስዳል፡-

$$ S_(k+1)=S_k+u_(k+1)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)+\frac(1)(2k+3)-\ frac(1)(2(k+1)+3)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2(k+1)+3)። $$

ማጠቃለያ፡ ቀመር $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ ለ$n=k+1$ ትክክል ነው። ስለዚህ፣ በሂሳብ ኢንዳክሽን ዘዴ መሰረት፣ ቀመር $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ ለማንኛውም $n\n በN$ ውስጥ እውነት ነው። እኩልነት ተረጋግጧል።

በከፍተኛ የሂሳብ ትምህርት መደበኛ ኮርስ፣ ምንም አይነት ማረጋገጫ ሳያስፈልጋቸው ብዙውን ጊዜ “በማቋረጥ” ቃላቶችን በመሰረዝ ይረካሉ። ስለዚህ፣ የ nኛው ከፊል ድምር አገላለጽ አግኝተናል፡ $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$። የ$\lim_(n\to\infty)S_n$: ዋጋን እናገኝ

ማጠቃለያ፡ የተሰጠው ተከታታዮች ይሰበሰባሉ እና ድምሩ $S=\frac(1)(3)$ ነው።

ለከፊል ድምር ቀመርን ለማቃለል ሁለተኛው መንገድ.

እንደ እውነቱ ከሆነ ይህንን ዘዴ እራሴ እመርጣለሁ :) ከፊል መጠኑን በአህጽሮተ ቃል እንጽፈው፡-

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)u_k=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3))። $$

ቀደም ብለን $u_k=\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)$፣ስለዚህ፡-

$$ S_n=\ ድምር\liits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3))=\ ድምር \ ገደብ_(k=1)^(n)\ግራ (\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\ቀኝ)። $$

የ$S_n$ ድምር ውሱን የቃላት ብዛት ይዟል፣ስለዚህ እንደፈለግን እንደገና ልናስተካክላቸው እንችላለን። በመጀመሪያ ሁሉንም የቅጹን ውሎች $\frac(1)(2k+1)$ ማከል እፈልጋለሁ፣ እና ከዚያ በኋላ ብቻ ወደ $\frac(1)(2k+3)$ ቅፅ ውሎች መቀጠል እፈልጋለሁ። ይህም ከፊል መጠኑን እንደሚከተለው እናቀርባለን።

$$ S_n =\frac(1)(3)-\frac(1)(5)+\frac(1)(5)-\frac(1)(7)+\frac(1)(7)-\ frac(1)(9)+\frac(1)(9)-\frac(1)(11)+\ldots+\frac(1)(2n+1)-\frac(1)(2n+3)= \\ =\frac(1)(3)+\frac(1)(5)+\frac(1)(7)+\frac(1)(9)+\ldots+\frac(1)(2n+1) -\ግራ(\frac(1)(5)+\frac(1)(7)+\frac(1)(9)+\ldots+\frac(1)(2n+3)\ቀኝ)። $$

እርግጥ ነው፣ የተስፋፋው ማስታወሻ እጅግ በጣም ምቹ አይደለም፣ ስለዚህ ከላይ ያለው እኩልነት ይበልጥ በተጨባጭ ሊጻፍ ይችላል፡-

$$ S_n=\ ድምር \liits_(k=1)^(n)\ግራ(\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\ right)=\sum\limits_( k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)። $$

አሁን $\frac(1)(2k+1)$ እና $\frac(1)(2k+3)$ን ወደ አንድ ቅፅ እንቀይር። እኔ እንደማስበው ወደ ትልቅ ክፍልፋይ መልክ ለመቀነስ አመቺ ነው (ምንም እንኳን ትንሽ መጠቀም ቢቻልም, ይህ የጣዕም ጉዳይ ነው). ከ$\frac(1)(2k+1)>\frac(1)(2k+3)$(ተከፋፋዩ ትልቁ፣ ክፍልፋዩ ትንሽ ከሆነ) ክፍልፋይ $\frac(1)(2k+) እንሰጠዋለን። 3) $ ወደ $\frac(1)(2k+1)$ ቅፅ።

አገላለጹን በክፍልፋይ $\frac(1)(2k+3)$ አካፋይ ውስጥ እንደሚከተለው አቀርባለሁ።

$$ \frac(1)(2k+3)=\frac(1)(2k+2+1)=\frac(1)(2(k+1)+1)። $$

እና ድምር $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)$ አሁን እንደሚከተለው ሊፃፍ ይችላል።

$$ \ ድምር \ ሊሚትስ_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\ ድምር\ ገደብ_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1) ))+1)=\ ድምር \ ገደብ_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)። $$

እኩልነት $\ ድምር \u003c(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+) ከሆነ 1) $ ምንም አይነት ጥያቄ አያነሳም፣ እንግዲያውስ እንቀጥል። ማንኛውም ጥያቄ ካለዎት እባክዎን ማስታወሻውን ያስፋፉ።

የተቀየረውን መጠን እንዴት አገኘን? አሳይ\ደብቅ

ተከታታይ $\ sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(2) ነበረን። k+1)+1)$ ከ$k+1$ ይልቅ አዲስ ተለዋዋጭ እናስተዋውቅ - ለምሳሌ $t$። ስለዚህ $t=k+1$።

የድሮው ተለዋዋጭ $k$ እንዴት ተለወጠ? እና ከ1 ወደ $n$ ተቀይሯል። አዲሱ ተለዋዋጭ $t$ እንዴት እንደሚቀየር እንወቅ። $k=1$ ከሆነ፣ ከዚያ $t=1+1=2$። $k=n$ ከሆነ፣ ከዚያ $t=n+1$። ስለዚህ $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)$ የሚለው አገላለጽ አሁን፡ $\sum\limits_(t=2)^(n) ይሆናል። +1)\frac(1)(2t+1)$።

$$ \ ድምር \ ሊሚትስ_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)=\sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1) (2ቲ+1) $$

ድምር $\sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1)(2t+1)$ አለን። ጥያቄ፡ በዚህ መጠን ውስጥ የትኛው ፊደል ጥቅም ላይ እንደሚውል ምንም ለውጥ የለውም? :) ከ$t$ ይልቅ $k$ን ብቻ በመጻፍ የሚከተለውን እናገኛለን።

$$ \ ድምር \ ሊሚትስ_(t=2)^(n+1)\frac(1)(2t+1)=\ ድምር\ ገደብ_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k) +1) $$

እኩልነትን የምናገኘው በዚህ መንገድ ነው $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+ 1) \frac(1)(2k+1)$

ስለዚህ, ከፊል ድምር እንደሚከተለው ሊወከል ይችላል.

$$ S_n=\ sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3) =\ ድምር \ ገደብ_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\ sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1) ). $$

ልብ ይበሉ $\ sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)$ እና $\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1) )(2k+1)$ የሚለያየው በማጠቃለያ ገደቦች ብቻ ነው። እነዚህን ገደቦች አንድ አይነት እናድርጋቸው። የመጀመሪያውን ንጥረ ነገር ከ$\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)$ ድምር ላይ "ማንሳት" ይኖረናል፡-

$$ \ ድምር \ ገደብ_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)=\frac(1)(2\cdot 1+1)+\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)=\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)። $$

የመጨረሻውን ንጥረ ነገር ከ$\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)$ ድምርን በማውጣት፣ የሚከተለውን እናገኛለን፡-

$$\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)=\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1) )+\frac(1)(2(n+1)+1)=\ ድምር\ ገደብ_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)+\frac(1)(2n+ 3) )$$

ከዚያ የከፊል ድምር መግለጫው ቅጹን ይወስዳል-

$$ S_n=\ sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k) +1)=\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\ግራ(\ ድምር\ሊሚትስ_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)+\frac(1)(2n+3)\ቀኝ)=\\ =\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^ (n) \ frac (1) (2k+1)-\ ድምር \ ገደብ_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2n+3)=\ frac (1) (3)-\frac (1) (2n+3)። $$

ሁሉንም ማብራሪያዎች ከዘለሉ ለ nth ከፊል ድምር አጭር ቀመር የማግኘት ሂደት የሚከተለውን ቅጽ ይወስዳል።

$$ S_n=\ sum\limits_(k=1)^(n)u_k =\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3)) = \sum\limits_(k=1)^(n)\ግራ(\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\right)=\\ =\sum\limits_(k) =1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\ sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3) =\frac(1)(3) +\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\ግራ(\ sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1) )+\frac(1)(2n+3)\ቀኝ)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)። $$

እስቲ ላስታውስህ የ$\frac(1)(2k+3)$ን ክፍል ወደ $\frac(1)(2k+1)$ ቅፅ የቀነስነው። እርግጥ ነው, ተቃራኒውን ማድረግ ይችላሉ, ማለትም. ክፍልፋይ $\frac(1)(2k+1)$ እንደ $\frac(1)(2k+3)$ ይወክላል። የከፊል ድምር የመጨረሻው አገላለጽ አይለወጥም. በዚህ ሁኔታ, በማስታወሻ ስር ያለውን ከፊል መጠን የማግኘት ሂደቱን እደብቃለሁ.

ወደ ሌላ ክፍልፋይ ከተለወጠ $S_n$ን እንዴት ማግኘት ይቻላል? አሳይ\ደብቅ

$$ S_n =\ ድምር \ ገደብ_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3) ) =\ ድምር \ሊሚትስ_(k=0)^(n-1)\frac(1)(2k+3)-\ sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3) =\\ =\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=1)^(n-1)\frac(1)(2k+3)-\ግራ(\sum\limits_(k=) 1)^(n-1)\frac(1)(2k+3)+\frac(1)(2n+3)\ቀኝ) =\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+ 3) ). $$

ስለዚህ፣ $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$። ገደቡን ከ$\lim_(n\to\infty)S_n$ ያግኙ።

$$ \lim_(n\to\infty)S_n=\lim_(n\to\infty)\ግራ(\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)\right)=\frac (1) (3)-0=\frac(1)(3)። $$

የተሰጠው ተከታታዮች ይሰበሰባል እና ድምሩ $S=\frac(1)(3)$።

መልስ: $S=\frac(1)(3)$።

የተከታታይ ድምርን የማግኘት ርዕስ ቀጣይነት በሁለተኛው እና በሦስተኛው ክፍል ውስጥ ይብራራል.