Аналитический способ может быть представлен, например, в следующем виде:
Графический способ представлен на рисунке 4.1. Линия являет собой графическое отображение функции спроса от цены. Она называется линией спроса.
Из графика видно, что при цене 30 рублей объем спроса равен 200 штук единиц товара. В том случае, если цена товара понижается до 20 руб., объем спроса увеличивается до 300 штук. Линия изображена в виде прямой, хотя может быть и кривой.
Экономисты различают изменение объема спроса и изменение спроса. Изменение объема спроса происходит в том случае, если изменяются цены на данный товар, при фиксированных значениях прочих факторов, определяющих объем спроса. В указанном случае имеет место движение вдоль линии спроса. Если же изменяются факторы, определяющие объем спроса, то происходит сдвиг линии спроса. В данном случае говорят, что изменился сам спрос. Этот процесс изображен на рисунке 4.2.
Q 1 Q 2 Q 3 Q 4 Q, шт.
Рис. 4.2. Изменение объема спроса и изменение спроса
Предположим, что первоначально линия спроса занимала положение Д1. При понижении цены с Р1 до P2 объем спроса увеличивается с Q 1 до Q 2. Мы движемся вдоль линии спроса Д1 из точки А в точку В . Здесь увеличивается только объем спроса. Другой случай – возросли денежные доходы населения и оно теперь желает покупать большее количество товара при каждом значении его цены. При цене Р 1 объем спроса теперь составляет не Q 1, а Q 3. При цене Р 2 – не Q 2, a Q 4. Следовательно, линия спроса сдвинулась вправо, т.е. увеличился сам спрос.
В том случае, если речь идет о потребительском товаре, то изменение спроса может произойти по следующим причинам:
1. В связи с изменением доходов населения, которые способствуют увеличению спроса на абсолютное большинство товаров. Товары, спрос на которые увеличивается в результате роста доходов, называются «нормативными». В свою очередь спрос на некоторые потребительские товары (перловая крупа, маргарин, черный хлеб) с увеличением доходов уменьшается. Их принято называть «неполноценными».
2. В результате изменения цен на другие, как правило, взаимозаменяющие, товары. Так, увеличение спроса на маргарин может произойти в результате роста цен на продукт «заменитель сливочного масла».
3. Меняются вкусы и предпочтения потребителей. Например, если некоторый вид ткани «вошел» в моду, то спрос на него может возрасти.
4. С изменением цены на дополняющие товары. Например, автомобили и бензин. Рост цены на бензин снижает спрос на автомобили и наоборот.
5. Изменения в ожидании будущих цен. Если ожидается увеличение цен, например на соль, то при прочих равных условиях линия спроса сместится вправо.
6. На спрос влияет увеличение населения.
Между ценой и объемом спроса существует обратная зависимость – при снижении цены объем спроса увеличивается и наоборот. Это закон спроса.
Известно одно исключение из этого закона, которое получило название «Парадокс Гиффена». Английский экономист Роберт Гиффен (1837–1910 гг.) обратил внимание на то, что во время голода в Ирландии в середине XIX в. объем спроса на картофель, цена которого возросла, существенно увеличился. Но это, в принципе, не отрицает закона спроса, так как повышение цены на картофель заставило их резко сократить потребление более дорогих и качественных продуктов.
Понятие «эластичность спроса» в экономическую теорию ввел А. Маршалл.
Эластичность показывает степень реакции одной величины на изменение другой. В практике наиболее широко применяемой зависимостью является изменение объема спроса в связи с изменением цены. На графиках 3 и 4 зависимостью между ценой (P ) и объемом товаров и услуг (Q ) представлены два основных вида кривых. В первом случае изменение цены от 1000 до 2000 руб. приводит к сокращению объема спроса с 10 до 6 ед., а во втором случае такое же изменение цены привело к снижению объема с 10 до 9 ед. В этих двух случаях наблюдается неодинаковая степень зависимости объема спроса от цены. В первом случае спрос эластичен (4.3), во втором – неэластичен (4.4).
Рис. 4.3. Эластичный спрос
Рис. 4.4. Неэластичный спрос
Для количественной оценки эластичности спроса необходимо сопоставить прирост объема спроса ко всему его объему и прироста цены к цене. Покажем это на примере.
Т а б л и ц а 4.2
Эластичность спроса
При эластичности спроса больше единицы снижение цены вызывает такой рост величины спроса, что общая выручка возрастает. В данном случае спрос эластичен. Общая выручка остается неизменной при эластичности спроса, равной единице. Когда же спрос неэластичен, т.е. спрос меньше единицы, снижение цены вызывает такое падение спроса, что общая выручка падает.
Таким образом, при эластичности спроса меньше единицы продавец может повышать цены на свою продукцию и увеличивать объем реализации, т.е. выручку. Но если спрос эластичен, то цены лучше не повышать, так как выручка от реализации будет снижаться.
Поведение потребителя при различной эластичности спроса можно представить в виде таблицы.
Это простые текстовые задачи из ЕГЭ по математике 2012. Впрочем, некоторые из них не такие уж и простые. Для разнообразия некоторые задачи будут решены с помощью теоремы Виета (см. урок «Теорема Виета »), другие - стандартно, через дискриминант.
Разумеется, далеко не всегда задачи B12 будут сводиться к квадратному уравнению. Там, где в задаче возникает простое линейное уравнение, никаких дискриминантов и теорем Виета не потребуется.
Задача. Для одного из предприятий-монополистов зависимость объема спроса на продукцию q (единиц в месяц) от ее цены p (тыс. руб.) задается формулой: q = 150 − 10p . Определите максимальный уровень цены p (в тыс. руб.), при котором значение выручки предприятия за месяц r = q · p составит не менее 440 тыс. руб.
Это простейшая текстовая задача. Подставим формулу спроса q = 150 − 10p в формулу выручки r = q · p . Получим: r = (150 − 10p ) · p .
По условию, выручка предприятия должна составлять хотя бы 440 тысяч рублей. Составим и решим уравнение:
(150 − 10p
) · p
= 440 - это квадратное уравнение;
150p
− 10p
2 = 440 - раскрыли скобки;
150p
− 10p
2 − 440 = 0 - собрали все в одной стороне;
p
2 − 15p
+ 44 = 0 - разделили все на коэффициент a
= −10.
Получилось приведенное квадратное уравнение. По теореме Виета:
p
1 + p
2 = −(−15) = 15;
p
1 · p
2 = 44.
Очевидно, корни: p 1 = 11; p 2 = 4.
Итак, у нас есть два кандидата на ответ: числа 11 и 4. Возвращаемся к условию задачи и смотрим на вопрос. Требуется найти максимальный уровень цены, т.е. из чисел 11 и 4 надо выбрать 11. Разумеется, эту задачу можно было решать и через дискриминант - ответ получится точно таким же.
Задача. Для одного из предприятий-монополистов зависимость объема спроса на продукцию q (единиц в месяц) от ее цены p (тыс. руб.) задается формулой: q = 75 − 5p . Определите максимальный уровень цены p (в тыс. руб.), при котором значение выручки предприятия за месяц r = q · p составит не менее 270 тыс. руб.
Задача решается аналогично предыдущей. Нас интересует выручка, равная 270. Поскольку выручка предприятия считается по формуле r = q · p , а спрос - по формуле q = 75 − 5p , составим и решим уравнение:
(75 − 5p
) · p
= 270;
75p
− 5p
2 = 270;
−5p
2 + 75p
− 270 = 0;
p
2 − 15p
+ 54 = 0.
Задача сведена к приведенному квадратному уравнению. По теореме Виета:
p
1 + p
2 = −(−15) = 15;
p
1 · p
2 = 54.
Очевидно, что корни - это числа 6 и 9. Итак, при цене 6 или 9 тысяч рублей выручка составит требуемые 270 тысяч рублей. В задаче просят указать максимальную цену, т.е. 9 тысяч рублей.
Задача. Модель камнеметательной машины выстреливает камни под определенным углом к горизонту с фиксированной начальной скоростью. Ее конструкция такова, что траектория полета камня описывается формулой y = ax 2 + bx , где a = −1/5000 (1/м), b = 1/10 - постоянные параметры. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой 8 метров надо расположить машину, чтобы камни перелетали через нее?
Итак, высота задается уравнением y = ax 2 + bx . Чтобы камни перелетали через крепостную стену, высота должна быть больше или, в крайнем случае, равна высоте этой стены. Таким образом, в указанном уравнении известно число y = 8 - это высота стены. Остальные числа указаны прямо в условии, поэтому составляем уравнение:
8 = (−1/5000) · x
2 + (1/10) · x
- довольно неслабые коэффициенты;
40 000 = −x
2 + 500x
- это уже вполне вменяемое уравнение;
x
2 − 500x
+ 40 000 = 0 - перенесли все слагаемые в одну сторону.
Получили приведенное квадратное уравнение. По теореме Виета:
x
1 + x
2 = −(−500) = 500 = 100 + 400;
x
1 · x
2 = 40 000 = 100 · 400.
Корни: 100 и 400. Нас интересует наибольшее расстояние, поэтому выбираем второй корень.
Задача. Модель камнеметательной машины выстреливает камни под определенным углом к горизонту с фиксированной начальной скоростью. Ее конструкция такова, что траектория полета камня описывается формулой y = ax 2 + bx , где a = −1/8000 (1/м), b = 1/10 - постоянные параметры. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой 15 метров надо расположить машину, чтобы камни перелетали через нее?
Задача полностью аналогична предыдущей - только числа другие. Имеем:
15 = (−1/8000) · x
2 + (1/10) · x
;
120 000 = −x
2 + 800x
- умножили обе стороны на 8000;
x
2 − 800x
+ 120 000 = 0 - собрали все элементы с одной стороны.
Это приведенное квадратное уравнение. По теореме Виета:
x
1 + x
2 = −(−800) = 800 = 200 + 600;
x
1 · x
2 = 120 000 = 200 · 600.
Отсюда корни: 200 и 600. Наибольший корень: 600.
Задача. Модель камнеметательной машины выстреливает камни под определенным углом к горизонту с фиксированной начальной скоростью. Ее конструкция такова, что траектория полета камня описывается формулой y = ax 2 + bx , где a = −1/22 500 (1/м), b = 1/25 - постоянные параметры. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой 8 метров надо расположить машину, чтобы камни перелетали через нее?
Еще одна задача с бешеными коэффициентами. Высота - 8 метров. В этот раз попробуем решить через дискриминант. Имеем:
8 = (−1/22 500) · x
2 + (1/25) · x
;
180 000 = −x
2 + 900x
- умножили все числа на 22 500;
x
2 − 900x
+ 180 000 = 0 - собрали все в одной стороне.
Дискриминант: D
= 900 2 − 4 · 1 · 180 000 = 90 000; Корень из дискриминанта: 300. Корни уравнения:
x
1 = (900 − 300) : 2 = 300;
x
2 = (900 + 300) : 2 = 600.
Наибольший корень: 600.
Задача. Модель камнеметательной машины выстреливает камни под определенным углом к горизонту с фиксированной начальной скоростью. Ее конструкция такова, что траектория полета камня описывается формулой y = ax 2 + bx , где a = −1/20 000 (1/м), b = 1/20 - постоянные параметры. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой 8 метров надо расположить машину, чтобы камни перелетали через нее?
Аналогичная задача. Высота снова 8 метров. Составим и решим уравнение:
8 = (−1/20 000) · x
2 + (1/20) · x
;
160 000 = −x
2 + 1000x
- умножили обе стороны на 20 000;
x
2 − 1000x
+ 160 000 = 0 - собрали все с одной стороны.
Дискриминант: D = 1000 2 − 4 · 1 · 160 000 = 360 000. Корень из дискриминанта: 600. Корни уравнения:
x
1 = (1000 − 600) : 2 = 200;
x
2 = (1000 + 600) : 2 = 800.
Наибольший корень: 800.
Задача. Модель камнеметательной машины выстреливает камни под определенным углом к горизонту с фиксированной начальной скоростью. Ее конструкция такова, что траектория полета камня описывается формулой y = ax 2 + bx , где a = −1/22 500 (1/м), b = 1/15 - постоянные параметры. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой 24 метра надо расположить машину, чтобы камни перелетали через нее?
Очередная задача-клон. Требуемая высота: 24 метра. Составляем уравнение:
24 = (−1/22 500) · x
2 + (1/15) · x
;
540 000 = −x
2 + 1500x
- умножили все на 22 500;
x
2 − 1500x
+ 540 000 = 0 - собрали все в одной стороне.
Получили приведенное квадратное уравнение. Решаем по теореме Виета:
x
1 + x
2 = −(−1500) = 1500 = 600 + 900;
x
1 · x
2 = 540 000 = 600 · 900.
Из разложения видно, что корни: 600 и 900. Выбираем наибольший: 900.
Задача. В боковой стенке цилиндрического бака вблизи дна закреплен кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нем меняется по закону H (t ) = 5 − 1,6t + 0,128t 2 , где t - время в минутах. В течение какого времени вода будет вытекать из бака?
Вода будет вытекать из бака до тех пор, пока высота столба жидкости будет больше нуля. Таким образом, надо выяснить, когда H (t ) = 0. Составляем и решаем уравнение:
5 − 1,6t
+ 0,128t
2 = 0;
625 − 200t
+ 16t
2 = 0 - умножили все на 125;
16t
2 − 200t
+ 625 = 0 - расположили слагаемые в нормальном порядке.
Дискриминант: D = 200 2 − 4 · 16 · 625 = 0. Значит, корень будет всего один. Найдем его:
x 1 = (200 + 0) : (2 · 16) = 6,25. Итак, через 6,25 минуты уровень воды опустится до нулевой отметки. Это и будет момент, до которого вода будет вытекать.
27956. Зависимость объема спроса q (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены p (тыс. руб.) задается формулой q = 100 – 10p. Выручка предприятия за месяц r (в тыс. руб.) вычисляется по формуле r (p ) = q ∙ p . Определите наибольшую цену p , при которой месячная выручка r (p ) составит не менее 240 тысяч рублей. Ответ приведите в тысяч рублей.
Выражение «месячная выручка r (p ) составит не менее 240 тыс. руб», означает, что она будет равна или больше указанной суммы, то есть q ∙ p ≥240 (записываем в тыс. рублях). Подставляем q и решаем неравенство, находим наименьшую цену:
Решаем неравенство:
1. Решаем квадратное уравнение p 2 –10p+24 = 0.
2. Находим корни D =96 p 1 =4 p 2 =6.
3. Подставляем в формулу a (p–p 1)(p– p 2), получаем
p 2 –10p+24 = (p–4)(p– 6)
4. Записываем неравенство (p–4)(p– 6)≤ 0
5. Определяем интервалы на числовой прямой (корни уравнения делят числовую ось на интервалы). Обратите внимание, что р величина положительная, так как это цена. Получили
6. Определяем «знаки» на этих интервалах, путём подстановки в неравенство (p–4)(p– 6)≤ 0 значений взятых из этих интервалов.
Решением будет являться интервал , значит наибольшая цена, при которой месячная выручка составит не менее 240 т. р. будет 6 тысяч рублей.
Ответ: 6
Задачи о рельсах и колодцах.
№ 6437
L 0 = 10м зазор в 4,5 мм .
L t°
Решение.
Зазор - это то расстояние, которое оставляют между рельсами, для того, чтобы они могли расширяться при нагревании. А нагревание происходит вследствие трения, возникающего при прохождении поезда по рельсам.
Выразим зазор в метрах: 4,5 мм = 4,5 · 10 -3 м.
L(t°) = L 0 + зазор - длина рельса при удлинении после нагревания на t° .
С другой стороны L(t°) = L 0 (1+α·t°) . Приравняем правые части равенств, подставим данные величины, раскроем скобки, получим:
10 + 4,5·10 -3 = 10 + 10·1,2·10 -5 ·t° --> t°·12·10 -5 = 4,5·10 -3 --> t°=450 / 12 = 37,5°.
Ответ: 37,5
№ 6439
П ри температуре 0 °C рельс имеет длину L 0 = 12,5м . При прокладке путей между рельсами оставили зазор в 6 мм .
При возрастании температуры будет происходить тепловое расширение рельса, и его длина будет меняться по закону L (t°) = L 0 (1 +αt°), где α = 1,2·10 -5 (°C) -1 — коэффициент теплового расширения, t° — температура (в градусах Цельсия). При какой минимальной температуре между рельсами исчезнет зазор? (Ответ выразите в градусах Цельсия.)
Ответ: 40.
№ 6441
П ри температуре 0 °C рельс имеет длину L 0 = 15м . При прокладке путей между рельсами оставили зазор в 6,3 мм .
При возрастании температуры будет происходить тепловое расширение рельса, и его длина будет меняться по закону L (t°) = L 0 (1 +αt°), где α = 1,2·10 -5 (°C) -1 — коэффициент теплового расширения, t° — температура (в градусах Цельсия). При какой минимальной температуре между рельсами исчезнет зазор? (Ответ выразите в градусах Цельсия.)
Ответ: 35.
№ 6459
t h = -5t 2 0,6 с больше, чем на 0,2 с? (Ответ выразите в м.)
Ответ: 1.
№ 6461
После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик определяет его, измеряя время падения t небольших камушков в колодец и рассчитывая по формуле h = -5t 2 . До дождя время падения камушков составляло 1 с . На какую минимальную высоту должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось больше, чем на 0,2 с? (Ответ выразите в м.)
Ответ: 1,8.
№ 6465
После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик определяет его, измеряя время падения t небольших камушков в колодец и рассчитывая по формуле h = -5t 2 . До дождя время падения камушков составляло 0,8 с . На какую минимальную высоту должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось больше, чем на 0,1 с? (Ответ выразите в м.)
Ответ: 0,75.
Тренировочная работа. 1 Задание В10.
Задача №1. Зависимость объема спроса q(тыс. руб .?) на продукцию предприятия-монополиста от цены p(тыс. руб.) задается формулой q=160-10p. Выручка предприятия за месяц r(в тыс. руб.) вычисляется по формуле r(p)=q*p. Определите наибольшую цену p, при которой месячная выручка r(p) составит не менее 280 тыс.руб. Ответ приведите в тыс. руб.
Вариант 9 Задание В10
Задача №2. Камень брошен вертикально вверх. Пока камень не упал, высота, на которой он находится, описывается формулой h(t)= -5t 2 +39t, где h - высота в метрах, t - время в секундах, прошедшее с момента броска. Найдите, сколько секунд камень находился на высоте не менее 28 метров.
Математика Подготовка к ЕГЭ - 2011 под редакцией Ф.Ф. Лысенко.
Вариант 11 Задание В10
Задача №3. Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени (в минутах) для некоторого прибора была получена экспериментально и на исследуемом интервале температур задается выражением T(t) = T 0 +a*t +b*t 2 , где T 0 = 296 K, a = 5K/мин, b = -1/8 K/мин 2 . Известно, что при нагреве прибора свыше 338 градусов он может выйти из строя, поэтому его нужно отключать. Определите, через какое время в минутах после начала работы нужно отключать прибор?
А.А. Быков Сборник задач по математике ГУ ВШЭ.
Часть 2 Варианты вступительных испытаний по математике
Задача №4. Доход нефтяной компании (в у. е.) равен численно произведению квадрата числа геологов на куб числа добытчиков. Наем одного геолога обходится в 4 у. е., одного добытчика - в 27 у. е. Найдите число t, равное отношению числа геологов x к числу добытчиков y, если доход заданной величины получен при наименьшем возможном расходе на наем.
Задача №5.
Предприниматель должен израсходовать 1440 у.е. на наем грузчиков (2 у.е. на каждого) и менеджеров (15 у.е. на каждого), причем ожидаемый доход (в у.е.) равен численно произведению числа грузчиков на квадрат числа менеджеров. Сколько всего сотрудников нужно нанять, чтобы получить максимальный доход?
Задача №6.
Расстояние от Парижа до Марселя (по шоссе) равно 77 лье. В Париже квартирует 9000 мушкетеров, в Марселе - 16000. На каком расстоянии (в лье) от Парижа следует расположить винокуренный завод для обслуживания мушкетеров, чтобы минимизировать транспортные издержки, если затраты на перевозку P тонн бургундского на расстояние L лье составляют P*L 3 бурбонов?
Оговорюсь, что при презентации найденных подходов к решению проблемы не предполагалось обсуждения и сравнения решений самих задач, однако, при подготовке к занятиям, участники групп рассмотрели и решения конкретных задач. Мне представляется, что сравнительный анализ подходов к их решению может быть интересен тем, что решая задачи, ученики столкнулись с широким набором дополнительных вопросов.
Решение 1 задачи. Стараемся свести задачу к известной модели и минимизировать временные и интеллектуальные затраты на её решение. Выручка предприятия от цены изделия есть квадратичная функция r(p)=(160-10p)p. Тогда мы, очевидно, должны решить неравенство (160-10p)p ? 280, p 2 - 16p + 28 ? 0. Спасибо составителям за подбор числовых значений и великому Франсуа Виету (1540-1603). За что? За его теорему, позволяющую подобрать нули квадратного трехчлена и решить квадратичное неравенство 2 ? p ? 14. Кстати, спасибо великому французскому математику намного серьезнее: ведь до него не было в математике формул, он ввел в алгебру буквенные обозначения и разработал почти всю элементарную алгебру.
Ответ на вопрос задания готов: нет сомневающихся в том, что наибольшее число на промежутке, задаваемом полученным неравенством, равно 14.
Еще раз оглянулись на условие задачи и вспомнили, в каких единицах хотят авторы видеть ответ. В тысячах рублей. Значит, все нормально, в ответ помещаем число 14.
Если бы все проблемы так легко решались!!! А была ли проблема вообще?
А попадется ли точно такая же задача на экзамене?
Что делать, если на экзамене будет ошибка в формулировке условия?
Спросить могут то же самое? Какие вопросы можно было бы сформулировать по данному условию?
А помимо успешной сдачи экзамена что может и должно нас волновать?
Кто-то думает о блистательном будущем в роли финансового аналитика?
А все ли понимают, что роль клиента - покупателя - неизбежная составляющая при жизни в условиях современного общества?
Давайте проанализируем заданную ситуацию с этих позиций.
Что означают краевые точки в удовлетворяющем нас промежутке?
Возможный ответ: выручка в 280 тыс. рублей может быть получена в двух случаях: цена изделия 2 тыс. руб. и мы продаем 140 изделий или цена изделия 14 тыс. руб. и мы продаем 20 изделий.
Давайте представим себя в роли финансового аналитика. Что вы посоветуете: реализовать много единиц товара по малой цене или небольшую партию изделий по эксклюзивной цене?
Возможные варианты ответов:
1) если найдутся богатые "Буратино", то почему бы не обуть их? Тем более, что ты являешься монополистом;
2) существуют антимонопольные законы, они должны преследовать завышение цен и получение сверхприбыли;
3) выручка еще не означает доход или прибыль, возможно, что существуют другие ограничения, которые стоит учитывать. Например, транспортные расходы, расходы на аренду помещений, расходы на наем сотрудников. Тогда можно говорить о наиболее благоприятных условиях;
4) важно ведь и кому продавать товар, скорее всего в нашей ситуации слишком простые приближения: если есть большая прибыль, то долго в состоянии монополии без сохранения секрета производства быть не удастся;
6) в этой модели естественно задать вопрос, какой может быть максимальная выручка или какой в этих условиях должна быть оптимальная цена?
Легко увидеть, что оптимальная цена для максимальной выручки равна 8 тыс. рублей, причем выручка тогда составляет 640 тыс. рублей;
7) по цене 16 тысяч рублей не удастся продать ни одного изделия;
8) на самом деле, для исследования непрерывной функции у нас нет, мы имеем в случае штучного товара дискретный набор значений. Если мы продадим одно изделие, то его цена в нашей модели будет 15,9 тыс. рублей. Больше 160 изделий продать нельзя, да и 160 можно только раздарить. Минимальная выручка возможна при продаже 159 изделий по цене 0,1 тыс рублей.
Решение задачи №2.
А здесь совсем неприятная для многих ситуация. Физическая задача, точнее задача с физическим содержанием. А кто из собравшихся учеников понимает физику? Любит физику? Кто её боится?
Давайте будем анализировать задание с точки зрения математики, забыв, что скрывается за обозначениями. h(t)<28. -5t 2 +39t < 28, 5t 2 - 39t +28>0. Спасибо составителям уже не скажем. D = 39 2 -4*5*28 = 961. Мы позиционируем себя в качестве любителей математики, умеющих решать квадратичные неравенства. Получаем 0,8 < t < 7. А что вписывать в ответ? Приходится вернуться к физическому смыслу задачи. Очевидно, разность граничных значений промежутка и есть время, когда мы находимся на высоте не менее 28 м. Ответ: 6,2 (не забываем, что в бланк ответа размерность величины входить не должна).
А какие проблемы с нашим моделированием? Что можно еще спросить? На какую максимальную высоту мы можем подняться? Можно увидеть, что время t, отвечающее максимальной высоте подъема, равно 4 с, тогда h(4) = 76 м. И время полета найти легко - оно равно 8 с. Если построить график h(t) , то на построенном графике все точки с отрицательными ординатами надо убрать. Ведь тогда по смыслу задачи мы уже не летим в воздухе, а пробираемся под землей как кроты. Пределы использования нашей модели:
Решение задачи №3.
Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени (в минутах) для некоторого прибора была получена экспериментально и на исследуемом интервале температур задается выражением T(t) = T 0 +a*t +b*t 2 , где T 0 = 296 K, a = 5K/мин, b = -1/8 K/мин 2 . Известно, что при нагреве прибора свыше 338 градусов он может выйти из строя, поэтому его нужно отключать. Определите, через какое максимальное время в минутах после начала работы нужно отключать прибор? А вот здесь физики хотят взять реванш. Они решили ввести в формулу две буковки t. Конечно, любящие физику ребята, легко составят неравенство T(t) < 338. 296+5t-t 2 /8 < 338, t 2 -40t + 336 > 0. С точки зрения математики нас устраивают значения t < 12 или t > 28. А в ответ нужно вписать одно число? Здесь стоит задуматься (на самом деле не очень глубоко) над физическим смыслом задачи. В решении нашего неравенства нет самого большого числа, из двух границ промежутков, казалось бы, 28 больше, давайте его и поместим в ответ. (К сожалению, эти рассуждения взяты из воспоминаний неудачного решения тренировочной работы сильными учащимися).
А ведь здравый смысл подсказывает: прибор должен нагреваться при включении, через 12 минут он достигает критической температуры и нуждается в выключении, в противном случае он перегорит. С точки зрения области определения функции из физического смысла задачи t. Бесполезно задавать вопрос, какой будет температура прибора в момент времени t = 28 минут, ориентируясь на имеющуюся формулу для квадратичной функции, так как пользоваться нашей моделью в этот момент времени нельзя: если мы допустим перегрев прибора, и он перегорит, то дальше он может только остывать до комнатной температуры.
Решение задачи №4.
Данная задача предлагалась в качестве одной из самых трудных (30 из 30 за 1,5 часа) в 2006 году на вступительных экзаменах в ВШЭ.
Как быстро решать подобные задачи? А надо ли их решать быстро?
Если хочешь учиться в этом вузе на бюджете, то нужно. А будешь ли ты получать удовольствие от работы, тем самым увеличивая возможность обретения счастья в жизни?
Тогда надо интересоваться делом. А хочешь ли ты быть успешным в работе? Тогда надо понимать замыслы противника (в данном случае составителя задания).
Пробуем быть просто математиками. Надо максимально быстро решить задание.
Пусть x - число геологов в компании, y- число добытчиков в компании, D - доход в компании. D = x 2 y 3 . Пусть N - расход на наем. N = 4x + 27y. Мы учились исследовать функции одной переменной. Доход - фиксированный, мы не полагаем, что он равен нулю, тогда x и y - натуральные числа. x =(D/y 3) 1/2 . N(y) = 4(D/y 3) 1/2 +27y. Строго говоря, полученная функция задана на множестве натуральных чисел, для исследования таких последовательностей у нас меньше возможностей. Давайте предположим, что y - просто действительное положительное число. Тогда мы видим две предельные ситуации: y стремится к нулю - N уходит в бесконечность, y стремится к бесконечности - N опять же бесконечно велико. У нашей непрерывной функции есть наименьшее значение.
Найдем производную N " (t)=-6(k) 1/2 y -5/2 +27. Для нахождения нулей производной решим уравнение 2(k) 1/2 y -5/2 = 9, откуда y 5 = 4D/81. При этом условии x/y = (D/y 5) 1/2 . Получаем x/y =4,5.
Какие предварительные выводы можно сделать? Наем добытчиков более затратный, затраты на наем 1 добытчика превышают затраты на наем 1 геолога в 6,75 раза. Однако доход пропорционален кубу числа добытчиков, а потому в целом оплата добытчиков обходится компании дороже, чем геологов.
Решение задачи №5.
Пусть x - число грузчиков в компании, y- число менеджеров в компании, D - доход в компании. D = xy 2 . Пусть N - расход на наем. N = 2x + 15y. N = 1440. x = 720 - 15y/2. Мы учились исследовать функции одной переменной. D = D(y) = (720 - 15y/2)y 2 . Очевидно, компания не собирается делать долги, тогда D > 0. Значит, 0< y < 96. Квадратный трехчлен будем исследовать с помощью производной. А лучше исследовать функцию g(x) = (96-y)y 2 = 96y 2 - y 3 . g"(x) =192y - 3y 2 =3y(64-y). При y =64 имеем максимальный доход. (А почему, кстати?) Тогда x = 240, а общее число работников компании равно 304.
Что общего и чем отличаются условия задач №4 и №5?
1) В задании 4 мы хотим как можно меньше тратить на наем, в задании 5 мы хотим получить как можно больший доход. А нельзя ли постараться догнать сразу двух зайцев? Что ограничивает деятельность компании? Доход компании, казалось бы, может неограниченно возрастать, если возрастает число, как грузчиков, так и менеджеров. Причем работа менеджера существеннее сказывается на доходе компании, но и наем менеджера требует больших расходов.
Спрос на продукцию компании не может быть неограниченным.
Важна структура расходов, в частности транспортные расходы.
Число работников не может быть больше числа, проживающих в том или ином регионе.
А занятия людей должны быть разносторонними, обеспечивающими разные аспекта жизни человека. Отсюда возникают проблемы городов - монополий.
2) Какие дополнительные ограничения мы должны учитывать?
По крайней мере, расход на наем должен быть меньше дохода компании.
Оплата персонала не должна быть меньше прожиточного минимума.
Понятно, что решение задачи с учетом даже лежащих на поверхности вопросов становится, хотя и много более интересным, но и явно выходящим за рамки экзаменационного задания.
Задача №6. Расстояние от Парижа до Марселя (по шоссе) равно 77 лье. В Париже квартирует 9000 мушкетеров, в Марселе - 16000. На каком расстоянии (в лье) от Парижа следует расположить винокуренный завод для обслуживания мушкетеров, чтобы минимизировать транспортные издержки, если затраты на перевозку P тонн бургундского на расстояние L лье составляют P*L 3 бурбонов?
Еще одна задача на оптимальность принимаемого решения.
Для чего "серьезные дяди" вместо пунктов А и В вводят географические уточнения, зачем нам знать название вина и валюты, используемой при оплате, а также единицу измерения длины, принятую во Франции? Нам веселее, интереснее, сложнее решать задачу, формулируемую в данных терминах?
Что меняется в условии задачи, если вместо числа мушкетеров, квартирующих в городах, мы введем число жителей городов?
Особенности математической модели, которые подразумеваются автоматически: все мушкетеры пьют, причем потребление алкоголя в столице и портовом городе одинаково; дороги во Франции одинаково хороши в любом направлении; винокуренный завод способен обеспечить любимым вином мушкетеров в неограниченном количестве.
Итак, предполагаем, что мушкетер потребляет k тонн (кг, г) вина в год (месяц, день) (k>0).
В Париж поставляется 9000k тонн (кг, г) в год (месяц, день), в Марсель, соответственно, 16000k.
Пусть расстояние до Парижа от винокуренного завода x лье, тогда до Марселя (77-x) лье.
Общие транспортные расходы производителя y(x)= 9000k*x 3 +16000k*(77-x) 3 .
Чтобы упростить задачу на нахождение минимума транспортных расходов, будем исследовать функцию g(x)=9x 3 +16(77-x) 3 .
Для исследования кубического многочлена используем производную функции g(x).
g"(x)=27x 2 - 48(77-x) 2 =3((3x+4(77-x))(3x-4(77-x)) = 3 (308-x)(7x-308). x<77. При x<44 g(x) убывает, при x>44 возрастает. Принимаем решение: Завод строим на расстоянии 44 лье от Парижа. Транспортные расходы на перевозку вина будут минимальными.
Как будущие экономисты мы понимаем: существует масса неучтенных факторов: а есть ли соответствующая инфраструктура в месте расположения заводика? А каковы транспортные расходы на перевозку сырья? Есть ли желающие трудиться на этом заводе? Каковы затраты на аренду пунктов распития напитков в двух городах?
Но если нам это интересно, то в выборе профессии есть существенное продвижение. А, значит, мы на верном пути.