- Равенство с переменной называют уравнением.
- Решить уравнение – значит найти множество его корней. Уравнение может иметь один, два, несколько, множество корней или не иметь их вовсе.
- Каждое значение переменной, при котором данное уравнение превращается в верное равенство, называется корнем уравнения.
- Уравнения, имеющие одни и те же корни, называются равносильными уравнениями.
- Любое слагаемое уравнения можно перенести из одной части равенства в другую, изменив при этом знак слагаемого на противоположный.
- Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному уравнению.
Примеры. Решить уравнение.
1. 1,5х+4 = 0,3х-2.
1,5х-0,3х = -2-4. Собрали слагаемые, содержащие переменную, в левой части равенства, а свободные члены – в правой части равенства. При этом применяли свойство:
1,2х = -6. Привели подобные слагаемые по правилу:
х = -6 : 1,2. Обе части равенства разделили на коэффициент при переменной, так как
х = -5. Делили по правилу деления десятичной дроби на десятичную дробь:
чтобы разделить число на десятичную дробь, нужно перенести запятые в делимом и делителе на столько цифр вправо, сколько их стоит после запятой в делителе, а затем выполнить деление на натуральное число:
6 : 1,2 = 60 : 12 = 5.
Ответ: 5.
2. 3∙ (2х-9) = 4∙ (х-4).
6х-27 = 4х-16. Раскрыли скобки, используя распределительный закон умножения относительно вычитания: (a-b) ∙ c = a ∙ c-b ∙ c.
6х-4х = -16+27. Собрали слагаемые, содержащие переменную, в левой части равенства, а свободные члены – в правой части равенства. При этом применяли свойство: любое слагаемое уравнения можно перенести из одной части равенства в другую, изменив при этом знак слагаемого на противоположный.
2х = 11. Привели подобные слагаемые по правилу: чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и полученный результат умножить на их общую буквенную часть (т.е. к полученному результату приписать их общую буквенную часть).
х = 11 : 2. Обе части равенства разделили на коэффициент при переменной, так как если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному уравнению.
Ответ: 5,5.
3. 7х- (3+2х)=х-9.
7х-3-2х = х-9. Раскрыли скобки по правилу раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «-»: если перед скобками стоит знак «-», то убираем скобки, знак «-» и записываем слагаемые, стоявшие в скобках, с противоположными знаками.
7х-2х-х = -9+3. Собрали слагаемые, содержащие переменную, в левой части равенства, а свободные члены – в правой части равенства. При этом применяли свойство: любое слагаемое уравнения можно перенести из одной части равенства в другую, изменив при этом знак слагаемого на противоположный.
4х = -6. Привели подобные слагаемые по правилу: чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и полученный результат умножить на их общую буквенную часть (т.е. к полученному результату приписать их общую буквенную часть).
х = -6 : 4. Обе части равенства разделили на коэффициент при переменной, так как если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному уравнению.
Ответ: -1,5.
3 ∙ (х-5) = 7 ∙ 12 — 4 ∙ (2х-11). Умножили обе части равенства на 12 – наименьший общий знаменатель для знаменателей данных дробей.
3х-15 = 84-8х+44. Раскрыли скобки, используя распределительный закон умножения относительно вычитания: чтобы разность двух чисел умножить на третье число, можно отдельно уменьшаемое и отдельно вычитаемое умножить на третье число, а затем из первого результата вычесть второй результат, т.е. (a-b) ∙ c = a ∙ c-b ∙ c.
3х+8х = 84+44+15. Собрали слагаемые, содержащие переменную, в левой части равенства, а свободные члены – в правой части равенства. При этом применяли свойство: любое слагаемое уравнения можно перенести из одной части равенства в другую, изменив при этом знак слагаемого на противоположный.
11х = 143. Привели подобные слагаемые по правилу: чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и полученный результат умножить на их общую буквенную часть (т.е. к полученному результату приписать их общую буквенную часть).
х = 143 : 11. Обе части равенства разделили на коэффициент при переменной, так как если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному уравнению.
Ответ: 13.
5. Решить самостоятельно уравнения:
а) 3-2,6х = 5х+1,48;
б) 1,6 · (х+5) = 4 · (4,5-0,6х);
в) 9х- (6х+2,5) = — (х-5,5);
5а) 0,2; 5б) 2,5; 5в) 2; 5г) -1.
Страница 1 из 1 1
УРАВНЕНИЯ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
УРАВНЕНИЕ И ЕГО КОРНИ
Решим задачу: «На двух полках 40 книг, причем на верхней полке в 8 раза больше книг, чем на нижней. Сколько книг на нижней полке?»
Обозначим буквой х число книг на нижней полке. Тогда число книг на верхней полке равно Зх . По условию задачи на обеих полках находится 40 книг. Это условие можно записать в виде равенства:
3x + x = 40.
Чтобы найти неизвестное число книг, мы составили равенство, содержащее переменную. Такие равенства называют уравнениями . Переменную в уравнении называют также неизвестным числом или просто неизвестным .
Нам надо найти число, при подстановке которого вместо х в уравнение Зх + х = 40 получается верное равенство. Такое число называют решением уравнения или корнем уравнения . Равенство Зх + х = 40 верно при х = 10 . Число 10 - корень уравнения Зх + х = 40 .
Определение . Корнем уравнения называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство .
Уравнение Зх + х = 40 имеет один корень. Можно привести примеры уравнений, которые имеют два, три и более корней или вообще не имеют корней.
Так, уравнение (х-4)(х - 5) (х-6)=0 имеет три корня: 4, б и 6. Действительно, каждое из этих чисел обращает в нуль один из множителей произведения (х-4) (х-5)(х-б), а значит, и само произведение. При любом другом значении х ни один из множителей в нуль не обращается, а значит, не обращается в нуль и произведение. Уравнение х + 2 = х не имеет корней, так как при любом значении х левая часть уравнения на 2 больше правой части.
Решить уравнение - значит найти все его корни или доказать, что их нет.
Уравнение х 2 =4 имеет два корня - числа 2 и -2. Уравнение (х-2) (х+2)=0 также имеет корни 2 и -2. Уравнения, имеющие одни и те же корни, называют равносильными уравнениями . Уравнения, не имеющие корней, также считают равносильными.
Уравнения обладают следующими свойствами:
1) если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число, то получится уравнение, равносильное данному;
2) если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.
Рассмотрим уравнение х 2 - 2 = 7. Прибавив к левой и правой частям этого уравнения число 2, получим уравнение х 2 = 9. Докажем, что уравнения х 2 - 2 = 7 и х 2 = 9 равносильны.
Пусть некоторое значение х является корнем первого уравнения, т. е. при этом значении- х уравнение х 2 -2 = 7 обращается в верное равенство. Прибавив к обеим частям этого равенства число 2, мы снова получим верное равенство. Значит, при этом значении х второе уравнение также обращается в верное равенство. Мы доказали, что каждый корень первого уравнения является корнем второго уравнения.
Допустим теперь, что некоторое значение х является корнем второго уравнения х 2 = 9, т. е. обращает его в верное равенство. После вычитания из обеих частей этого равенства числа 2 мы получим верное равенство. Значит, при этом значении х первое уравнение также обращается в верное равенство. Поэтому каждый корень второго уравнения является корнем первого.
Таким образом, уравнения х 2 - 2 = 7 и х 2 = 9 имеют одни и те же корни, т. е. являются равносильными.
Подобными рассуждениями устанавливается справедливость обоих свойств уравнений в общем случае.
3) Можно также доказать, что если в уравнении перенести слагаемое ив одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному . Например, перенеся в уравнении 5х = 2х + 9 слагаемое 2х с противоположным знаком из правой части уравнения в левую, получим уравнение 5х-2дс=9, ему равносильное.
Перенос слагаемых из одной части уравнения в другую часто применяется при решении уравнений.
ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Каждое из уравнений 5х = - 4, - 0,2х = 0, -х= -6,5 имеет вид ах = b где а и b - числа. В первом уравнении а = 5, b= - 4, во втором а= -0,2, b = 0, в третьем а= - 1, b= -6,5. Такие уравнения называют линейными уравнениями с одной переменной .
Определение . Уравнение вида ах = b, где х - переменная, а и b - числа, называется линейным уравнением с одной переменной .
Число а называется коэффициентом при переменной , а число b - свободным членом .
Рассмотрим линейное уравнение ах = b, в котором коэффициент а не равен нулю. Разделив обе части уравнения на а, получим . Значит, линейное уравнение ах=b в котором а≠ 0, имеет единственный корень
Рассмотрим теперь линейное уравнение ах = b, у которого коэффициент а равен нулю. Если а = 0 и b≠ О, то уравнение ах =b не имеет корней, так как равенство Ox = b, где b≠ 0, не является верным ни при каком x. Если а = 0 и b = О, то любое значение х является корнем уравнения, так как равенство 0х = 0 верно при любом х.
Решение многих уравнений сводится к решению линейных уравнений.
Пример . Решим уравнение
Раскроем скобки:
Перенесем слагаемое -х в левую часть уравнения, а слагаемое 28 в правую, изменив при этом их знаки:
Приведем подобные слагаемые:
Заменяя последовательно одно уравнение другим, равносильным ему, мы получили линейное уравнение, в котором коэффициент при х отличен от нуля. Разделим обе части уравнения на этот коэффициент:
Число -5 является корнем уравнения .
Может случиться, Что при решении уравнения мы придем к линейному уравнению вида 0х=b. В этом случае исходное уравнение либо не имеет корней, либо его корнем является любое число. Например, уравнение сводится к уравнению Ох = 7, и, значит, оно не имеет корней. Уравнение сводится к уравнению 0х = 0, и, значит, любое число является его корнем.
ТЕМА 2 : ЧИСЛОВЫЕ И БУКВЕННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ. ФОРМУЛЫ. УРАВНЕНИЯ И ЗАДАЧИ, РЕШАЕМЫЕ С ПОМОЩЬЮ УРАВНЕНИЙ. КОМБИНАТОРИКА.
Раздел 1: Числовые выражения
Запись, составленную из чисел, знаков арифметических действий и скобок, называют числовым выражением Например : 36:4 – 25; 84 + (67 – 37) * 4 . а) Что значит найти значение числового выражения? Это значит необходимо выполнить все действия над числами, придерживаясь общепринятых правил порядка их выполнения. Например : (327 -123) : + 86 = 137 Порядок выполнения действий: 1) 327-123 = 204; 2) = 2 * 2 = 4; 3) 204: 4 = 51 ; 4) 51 + 86 = 137 б) «Чтение» числовых выражений Числовые выражения необходимо уметь «читать», используя названия действий. Например : 5+67 – сумма чисел 5 и 67 ; 81 – 9 - разность чисел 81 и 9 ; 2 * (5 + 7) - произведение 2 и суммы чисел 5 и 7 ; 21: (7 – 4) - частное от деления 21 и разности 7 и 4 ; (35 + 7) * (35 – 7) – произведение суммы и разности чисел 35 и 7 . Запомни : Числовое выражение имеет только одно значение (правильный ответ). Раздел 2: Буквенные выражения Запись, которая состоит из чисел, букв, знаков арифметических действий и скобок, называется буквенным выражением Например: (3 + а) – 17 ; 6 + 3х; а: 3 + 5 * к. В буквенных выражениях используют те же знаки действий (+ , - , * , :) , как и у числовых,только часто не пишут знак умножить между числом и буквой. 3* х = 3х. а) Что значит найти значение буквенного выражения ? Для этого необходимо вместо буквы подставить соответствующее числовое значение и выполнить все действия в полученном числовом выражении: Пример 1 : Найти значение выражения 3х + 5 , если х = 15 Решение: если х = 15 , то 3х + 5 = 3 * 15 + 5 = 45 + 5 = 50 Пример 2 : В первом ящике лежало а яблок, а груши положили в в ящиков по 25 кг. Сколько всего яблок и груш? Вычислите значение полученного выражения при а = 30 , в = 3 . Решение: Если груши положили в в ящиков по 25 кг в каждый, то всего груш было 25в (кг) . Следовательно, всего яблок и груш было а + 25в (кг). Если а = 30 , в + 3 ,то а + 25В = 30 + 25 * 3 = 30 + 75 = 105 (кг). Запомни: Буквенное выражение имеет бесконечно много значений, которые зависят от значений букв.Изменяя значение буквы, мы получаем каждый раз новое значение буквенного выражения. Раздел 3: Формулы Иногда буквенное выражение обозначают одной буквой. Например периметр квадрата обозначили буквой Р. Тогда пишут Р = 4а. Эту запись называют формулой вычисления периметра квадрата. Известные нам формулы:№п/п
Раздел 4: Уравнения Уравнением, называется равенство, содержащее неизвестное, значение которого нужно найти. Корнем уравнения называется значение буквы, при котором уравнение становится верным числовым равенством. Решить уравнение – значит найти все его корни или убедиться,что их вообще нет. Пример1 : 0 * х = 12 . Это уравнение не имеет корней , т.к. при умножении нуля на число получают нуль, и число 12 никогда не получат. Пример 2 : 0 * х = 0 . Это уравнение имеет бесконечное множество корней, т.к. при умножении нуля на любое число мы всегда получаем нуль. а) простейшие уравнения: Чтобы найти вычитаемое , нужно из уменьшаемого вычесть разность. 346 – х = 259 х = 346 – 259 х = 87 Ответ: х = 87 чтобы найти уменьшаемое , нужно к разности прибавить вычитаемое. х – 250 = 52 х = 250 + 52 х = 302 Ответ: х = 302 Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель. 5*х = 500 х = 500: 5 х = 100 Ответ: х = 100 Чтобы найти неизвестное слагаемое , нужно от суммы вычесть известное слагаемое. 64 + х = 146 х = 146 – 64 х = 82 ответ: х = 82
Чтобы найти делитель , нужно делимое разделить на частное .240: х = 20 х = 240: 20 х = 12 Ответ: х = 12
Чтобы найти делимое , нужно частное умножить на делитель. х: 18 = 6 х = 6 * 18 х = 108 Ответ: х = 108
б) Примеры решения сложных уравнений: (х – 50) + 41 = 95 , где х -50 –слагаемоех -50 = 95 – 41х – 50 = 54 , где х - уменьшаемоех = 54 + 50х = 104Ответ: х = 104 77: (х + 10) = 7 , где х + 10 – делительх + 10 = 77: 7х + 10 = 11 , где х – слагаемоех = 11 – 10х = 1Ответ: х = 1 83 – (х – 42) = 12 , где х – 42 –вычитаемоех – 42 = 83 – 12х – 42 = 71 , где х – уменьшаемоех = 71 + 42х = 113Ответ: х = 113 (13 + х) – 58 = 126 , где 13+х -уменьшаемое13 + х = 126 + 5813 + х = 184 , где х - слагаемоех = 184 – 13х = 171ответ: х = 171
95 – (99 – х) = 8 , где 99 – х – вычитаемое99 – х = 95 – 899 – х = 87 , где х – вычитаемоех = 99 – 87х = 12ответ: х = 12
8 * (х – 14) = 56 , где х – 14 – множительх – 14 = 56: 8х – 14 = 7 , где х – уменьшаемоех = 7 + 14х = 21Ответ: х = 21
х: 8 – 6 = 49 , где х: 8 – уменьшаемоех: 8 = 49 + 6х: 8 = 55 ,где х – делимоех = 55 * 8х = 440Ответ: х = 440 52 + 72: х = 56 , где 72: х – слагаемое72: х = 56 – 5272: х = 4 , где х – делительх = 72: 4х = 18Ответ: х = 18
Раздел 5: Решение задач с помощью уравнений Типы задач: 1) Задачи с одной переменной На полке стояли книги. После того, как с полки взяли 12 книг, а поставили – 9 , на полке стало 39 книг. Сколько книг стояло на полке сначала?
Было
Решение: Пусть было Х книг, тогда (Х – 12) + 9 = 39 Х – 12 = 39 – 9 х – 12 = 30 х = 30 + 12 х = 42 (книг) – было Ответ: 42 книги. 2) Задачи с двумя одноименными величинами На двух полках стояло 72 книги. На второй полке стояло в 2 раза больше, чем на первой. Сколько книг стояло на каждой полке?Первая полка
Решение: Пусть на первой полке стояло Х книг, тогда на второй стояло (2х) книг. Всего на полках стояло 72 книги. Составим уравнение: х + 2х = 72 х (1 + 2) = 72 3х = 72 х = 72: 3 х = 24 (книг) – на 1 – й полке 2) 24 * 2 = 48 (кн.) – на 2-й полке Ответ: 24 книги, 48 книг. 3) Задачи с тремя зависимыми величинами а) За 2 кг яблок и 3 кг груш заплатили 31 руб. Сколько стоит килограмм яблок и килограмм груш, если груши дороже яблок на 2 руб.Фрукты
Решение: Пусть 1 кг яблок стоит х (руб.) , тогда 1 кг груш стоит (х + 2) руб. За 2кг яблок заплатили (2х) руб.) , а за 3 кг груш – 3* (х + 2) руб.За всю покупку заплатили 31 грн. Составим уравнение: 2х + 3 (х + 2) = 31 2х + 3х + 6 = 31 5х + 6 = 31 5х = 31 – 6 5х = 25 ; х = 25: 5 ; х = 5 (руб.) – стоит 1 кг яблок 2) 5 + 2 = 7 (руб.) – стоит 1 кг груш Ответ: 5 руб., 7 руб. б) Два велосипедиста одновременно выехали навстречу друг другу из сёл, расстояние между которыми 50 км. Встретились они через 2 часа. Первый ехал со скоростью 12 км/ч. найдите скорость второго велосипедиста.Велосипедист
Решение: Пусть скорость второго велосипедиста – х км/ч, тогда он поехал (2х) км, а первый проехал – (12 * 2) км. Общее расстояние 50 км. Составим уравнение: 2х + 12 * 2 = 50 ; 2х + 24 = 50 ; 2х = 50 – 24 2х = 26 х = 26: 2 х = 13 (км/ч) – скорость второго велосипедиста. Ответ: 13 км/ч. в) Катер прошел 51 км по течению реки и потратил на это 3 часа. Найдите скорость течения, если собственная скорость катера равна 15 км/ч.Движение
Решение: Пусть скорость течения – х км/ч, тогда скорость по течению равна (15 + х) км/ч. Расстояние катера по течению реки составляет 3 * (15 + х) км. Составим уравнение: 3 * (15 + х) = 51 15 + х = 51: 3 15 + х = 17 х = 17 – 15 х = 2 (км/ч) – скорость течения реки Ответ: 2 км/ч.ПАМЯТКА ДЛЯ УЧЕНИКА
Цели урока.
Образовательные :
- закрепление сформированных умений по решению тригонометрических уравнений;
- отработка формул тригонометрии;
- углубление понимания методов решения тригонометрических уравнений;
- подготовка к контрольной работе № 4.
Развивающие:
- формировать навык проводить анализ ситуации с последующим выбором наиболее рационального выхода из нее;
- развитие познавательного интереса учащихся.
Воспитательные:
- воспитание познавательного интереса к учебному процессу;
- формирование умения анализировать поставленную задачу;
- воспитание эмоционально-положительной направленности на практическую деятельность;
- воспитание информационной культуры учащихся.
Тип урока: урок закрепления изученного материала.
Ход урока
I. Организационный момент. Актуализация знаний.
Сегодня - последний урок по данной теме, следующий – контрольная работа. Тригонометрические формулы необходимо знать и уверенно применять для успешного решения задач по тригонометрии.
“Дороги не те знания, которые отлагаются в мозгу, как жир; дороги те, которые превращаются в умственные мышцы” - писал Г. Спесер, английский философ и социолог. Так и знания формул необходимо не для того, чтобы всю жизнь мы упрощали выражения, решали уравнения, а для того, чтобы наш мозг постоянно трудился.
На доске написаны уравнения и начала формул, которые учитель задает в качестве дополнительных заданий ученикам, ответившим у доски: Рисунок 1 .
1. Проверка домашнего задания - № 480 (а, б, в, г)
Учитель: Какими формулами вы пользовались при выполнении домашнего задания?
Ученики: Формулами двойного аргумента.
Учитель (вызвал 4 человека к доске для решения ДЗ): пока ребята записывают решение ДЗ, подумайте и скажите, какие формулы надо использовать при решении записанных на доске заданий: Приложение.
(На интерактивной доске - все задания, которые предстоит решить на следующем этапе урока. Ученики выбирают и проговаривают формулы, необходимые для решения соответствующего задания). Рисунок 2 .
№ 480 (а, б, в, г) (домашняя работа) Рисунок 3 .
2. Подготовка к контрольной работе.
(Учитель вызывает учеников к доске, они решают, отвечают на дополнительные вопросы)
1. Найти значение выражений: Рисунок 4
3. Блиц-опрос Презентация (Приложение . Слайды 4-6)
А вы сейчас попытайтесь ответить на мои вопросы: (но … очень быстро!!!)
1. Кофункция тангенса – это? (Котангенс)
2. От чего зависит значение функции? (От аргумента)
3. Мера измерения угла? (Градус, радиан)
4. Какой функции недостает: синус, косинус, котангенс? (Тангенс)
5. Значение тригонометрических функций повторяется через? (Период)
6. y = cosx – тригонометрическая… (Функция)
7. Как называется график функции y = sinx? (Синусоида)
8. (0;?) – Что это? (Ордината)
9. Он не только в земле, но и в математике? (Корень)
10. Предложение, требующее доказательства? (Теорема)
11. Число из , косинус которого равен а? (Арккосинус)
12. Отношение противолежащего катета к гипотенузе? (Синус)
13. y = sinx - нечетная функция, y = cosx -? (Четная)
14. Функции синус, косинус, тангенс и котангенс изучаются в разделе математики, который называется… (Тригонометрия)
Немного истории…
Учитель: В начале изучения темы “Тригонометрия” вы получили задание:
Подготовить сообщение или презентацию
Свойства степеней:
(1) a m ⋅ a n = a m + n
Пример:
$${a^2} \cdot {a^5} = {a^7}$$ (2) a m a n = a m − n
Пример:
$$\frac{{{a^4}}}{{{a^3}}} = {a^{4 — 3}} = {a^1} = a$$ (3) (a ⋅ b) n = a n ⋅ b n
Пример:
$${(a \cdot b)^3} = {a^3} \cdot {b^3}$$ (4) (a b) n = a n b n
Пример:
$${\left({\frac{a}{b}} \right)^8} = \frac{{{a^8}}}{{{b^8}}}$$ (5) (a m) n = a m ⋅ n
Пример:
$${({a^2})^5} = {a^{2 \cdot 5}} = {a^{10}}$$ (6) a − n = 1 a n
Примеры:
$${a^{ — 2}} = \frac{1}{{{a^2}}};\;\;\;\;{a^{ — 1}} = \frac{1}{{{a^1}}} = \frac{1}{a}.$$
Свойства квадратного корня:
(1) a b = a ⋅ b , при a ≥ 0 , b ≥ 0
Пример:
18 = 9 ⋅ 2 = 9 ⋅ 2 = 3 2
(2) a b = a b , при a ≥ 0 , b > 0
Пример:
4 81 = 4 81 = 2 9
(3) (a) 2 = a , при a ≥ 0
Пример:
(4) a 2 = | a | при любом a
Примеры:
(− 3) 2 = | − 3 | = 3 , 4 2 = | 4 | = 4 .
Рациональные и иррациональные числа
Рациональные числа – числа, которые можно представить в виде обыкновенной дроби m n где m — целое число (ℤ = 0, ± 1, ± 2, ± 3 …), n — натуральное (ℕ = 1, 2, 3, 4 …).
Примеры рациональных чисел:
1 2 ; − 9 4 ; 0,3333 … = 1 3 ; 8 ; − 1236.
Иррациональные числа – числа, которые невозможно представить в виде обыкновенной дроби m n , это бесконечные непериодические десятичные дроби.
Примеры иррациональных чисел:
e = 2,71828182845…
π = 3,1415926…
2 = 1,414213562…
3 = 1,7320508075…
Проще говоря, иррациональные числа – это числа, содержащие в своей записи знак квадратного корня. Но не всё так просто. Некоторые рациональные числа маскируются под иррациональные, например, число 4 содержит в своей записи знак квадратного корня, но мы прекрасно понимаем, что можно упростить форму записи 4 = 2 . Это означает, что число 4 есть число рациональное.
Аналогично, число 4 81 = 4 81 = 2 9 есть число рациональное.
В некоторых задачах требуется определить, какие из чисел являются рациональными, а какие иррациональными. Задание сводится к тому, чтобы понять, какие числа иррациональные, а какие под них маскируются. Для этого нужно уметь совершать операции вынесения множителя из-под знака квадратного корня и внесения множителя под знак корня.
Внесение и вынесение множителя за знак квадратного корня
При помощи вынесения множителя за знак квадратного корня можно ощутимо упростить некоторые математические выражения.
Пример:
Упростить выражение 2 8 2 .
1 способ (вынесение множителя из-под знака корня): 2 8 2 = 2 4 ⋅ 2 2 = 2 4 ⋅ 2 2 = 2 ⋅ 2 = 4
2 способ (внесение множителя под знак корня): 2 8 2 = 2 2 8 2 = 4 ⋅ 8 2 = 4 ⋅ 8 2 = 16 = 4
Формулы сокращенного умножения (ФСУ)
Квадрат суммы
(1) (a + b) 2 = a 2 + 2 a b + b 2
Пример:
(3 x + 4 y) 2 = (3 x) 2 + 2 ⋅ 3 x ⋅ 4 y + (4 y) 2 = 9 x 2 + 24 x y + 16 y 2
Квадрат разности
(2) (a − b) 2 = a 2 − 2 a b + b 2
Пример:
(5 x − 2 y) 2 = (5 x) 2 − 2 ⋅ 5 x ⋅ 2 y + (2 y) 2 = 25 x 2 − 20 x y + 4 y 2
Сумма квадратов не раскладывается на множители
a 2 + b 2 ≠
Разность квадратов
(3) a 2 − b 2 = (a − b) (a + b)
Пример:
25 x 2 − 4 y 2 = (5 x) 2 − (2 y) 2 = (5 x − 2 y) (5 x + 2 y)
Куб суммы
(4) (a + b) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
Пример:
(x + 3 y) 3 = (x) 3 + 3 ⋅ (x) 2 ⋅ (3 y) + 3 ⋅ (x) ⋅ (3 y) 2 + (3 y) 3 = x 3 + 3 ⋅ x 2 ⋅ 3 y + 3 ⋅ x ⋅ 9 y 2 + 27 y 3 = x 3 + 9 x 2 y + 27 x y 2 + 27 y 3
Куб разности
(5) (a − b) 3 = a 3 − 3 a 2 b + 3 a b 2 − b 3
Пример:
(x 2 − 2 y) 3 = (x 2) 3 − 3 ⋅ (x 2) 2 ⋅ (2 y) + 3 ⋅ (x 2) ⋅ (2 y) 2 − (2 y) 3 = x 2 ⋅ 3 − 3 ⋅ x 2 ⋅ 2 ⋅ 2 y + 3 ⋅ x 2 ⋅ 4 y 2 − 8 y 3 = x 6 − 6 x 4 y + 12 x 2 y 2 − 8 y 3
Сумма кубов
(6) a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 − a b + b 2)
Пример:
8 + x 3 = 2 3 + x 3 = (2 + x) (2 2 − 2 ⋅ x + x 2) = (x + 2) (4 − 2 x + x 2)
Разность кубов
(7) a 3 − b 3 = (a − b) (a 2 + a b + b 2)
Пример:
x 6 − 27 y 3 = (x 2) 3 − (3 y) 3 = (x 2 − 3 y) ((x 2) 2 + (x 2) (3 y) + (3 y) 2) = (x 2 − 3 y) (x 4 + 3 x 2 y + 9 y 2)
Стандартный вид числа
Для того, чтобы понять, как приводить произвольное рациональное число к стандартному виду, надо знать, что такое первая значащая цифра числа.
Первой значащей цифрой числа называют его первую слева отличную от нуля цифру.
Примеры:
2
5
;
3
,
05
;
0
,
1
43
;
0
,
00
1
2
. Красным цветом выделена первая значащая цифра.
Для того, чтобы привести число к стандартному виду, надо:
- Сдвинуть запятую так, чтобы она была сразу за первой значащей цифрой.
- Полученное число умножить на 10 n , где n — число, которое определяется следующим образом:
- n > 0 , если запятая сдвигалась влево (умножение на 10 n , указывает, что на самом деле запятая должна стоять правее);
- n < 0 , если запятая сдвигалась вправо (умножение на 10 n , указывает, что на самом деле запятая должна стоять левее);
- абсолютная величина числа n равна количеству разрядов, на которое была сдвинута запятая.
Примеры:
25 = 2 , 5 ← , = 2,5 ⋅ 10 1
Запятая сдвинулась влево на 1 разряд. Так как сдвиг запятой осуществляется влево, степень положительная.
Уже приведено к стандартному виду, делать ничего с ним не нужно. Можно записать, как 3,05 ⋅ 10 0 , но поскольку 10 0 = 1 , оставляем число в первоначальном виде.
0,143 = 0, 1 → , 43 = 1,43 ⋅ 10 − 1
Запятая сдвинулась вправо на 1 разряд. Так как сдвиг запятой осуществляется вправо, степень отрицательная.
− 0,0012 = − 0, 0 → 0 → 1 → , 2 = − 1,2 ⋅ 10 − 3
Запятая сдвинулась вправо на три разряда. Так как сдвиг запятой осуществляется вправо, степень отрицательная.