Преамбула про Ньютона : “В Рождественскую ночь 1642 года, в Англии, в семье фермера средней руки была большая сумятица. Родился мальчик такой маленький, что его можно было выкупать в пивной кружке”.
Родился в деревушке Вулсторп, отец которого умер незадолго до его рождения. Его воспитанием занималась бабушка и видела его будущим фермером. Однако мальчик не чувствовал тяги к сельскому хозяйству и окончив школу начал готовиться к поступлению в университет. Поступил и окончил кембриджский университет уже в 1665, а в 1669-1701 годах возглавлял в нём кафедру.
Его первая работа относилась к оптике. При помощи трехгранной стеклянной призмы он разложил белый свет на семь цветов (в спектр), тем самым доказав его сложность (явление дисперсии), он же изобрел первый телескоп – рефрактор, заменив в телескопе линзы на сферические зеркала. Уже в 1671 г ученый усовершенствовал второй рефрактор, что послужило поводом избрания его в члены Королевского общества.
Его работы относятся к механике, оптике, астрономии, математике, именно он открыл закон всемирного тяготения, развил корпускулярную теорию света, разработал дифференциальное и интегральное исчисление, объяснил особенности движения луны.
а) II закон Ньютона в векторной форме:
б) Связь силы и импульса:
(2)
Вектор результирующей силы равен первой производной от вектора импульса м.т. по времени.
Выражение - называют импульсом силы.
Изменение импульса м.т. зависит от продолжительности действия силы, т.е. зависит не только от величины приложенной силы, но и от времени ее действия.
ОПЫТ:
На рис.1 показано действие импульса силы:
а) время действия мало, поэтому обрывается нижняя нить, т.к. массивное тело не успевает прийти в движение;
б) время действия силы велико, поэтому обрывается верхняя нить, тело уже пришло в движение, т.е. на верхнюю нить стала действовать большая сила.
б) II закон Ньютона в координатной форме:
, (4)
где под знаком могут стоять силы:
· сила упругости (5)
· сила трения скольжения , (6)
где N – сила нормального давления.
в) аддитивность массы:
В классической физике масса тела равна арифметической сумме масс его частей, что называют аддитивностью массы , т.е..
Чтобы записать законы Ньютона в векторной форме, мы должны поучиться еще кое-чему и определить вектор ускорения. Этот вектор равен производной по времени вектора скорости, причем легко показать, что его составляющие равны вторым производным х, у и z no t:
После этого законы Ньютона можно записать таким образом: или ma = F, (11.13)
m(d 2 r/dt 2)=F (11.14)
Фиг. 11.6. Перемещение частиц за малое время t=t 2 -t 1 ,.
Теперь задача о доказательстве инвариантности законов Ньютона относительно вращений сводится к следующему: нужно доказать, что а (ускорение) есть вектор; это мы уже сделали. Затем нужно доказать, что F (сила) есть вектор; это мы предполагаем. Следовательно, если сила есть вектор, то уравнение (11.13) будет выглядеть одинаково во всех системах координат, ибо нам известно, что ускорение тоже вектор. Запись уравнений в виде, не содержащем явно х, у, z, привлекательна тем, что нам нет необходимости выписывать три уравнения каждый раз, когда мы хотим написать законы Ньютона или другие законы физики. Мы записываем то, что выглядит как один закон, хотя фактически, конечно, это три закона для каждой оси системы координат, потому что любое векторное уравнение содержит в себе утверждение, что все составляющие равны.
Тот факт, что ускорение - это скорость изменения вектора скорости, помогает найти ускорение в любых, казалось бы, трудных обстоятельствах. Предположим, например, что частица, двигаясь по какой-то сложной кривой (фиг. 11.7), имеет в момент t 1 скорость v 1 , а несколько позже, в момент t 2 , скорость v 2 . Чему равно ускорение? Ответ: ускорение равно разности скоростей, деленной на малый промежуток времени; значит, нужно знать разность скоростей. Как же найти эту разность? Чтобы найти разность двух векторов, проведем вектор через концы векторов v 2 и v 1 , иначе говоря, начертим вектор в качестве разности этих двух векторов. Верно? Нет! Мы можем поступать так только тогда, когда начала векторов расположены в одной точке! Вычитать векторы, приложенные к разным точкам, бессмысленно. Остерегайтесь этого! Чтобы вычесть векторы, нужно начертить другую схему. На фиг. 11. 8 векторы v 1 и v 2 перенесены параллельно и равны их двойникам, изображенным на фиг. 11.7.
Фиг. 11 .7. Криволинейная траектория.
Фиг. 11.8, Диаграмма для вычисления ускорения.
Теперь можно поговорить об ускорении. Ускорение, конечно, просто равно v/t. Интересно заметить, что разность скоростей можно разделить на две части: можно представить себе, что ускорение состоит из двух составляющих: v ║ - вектора, параллельного касательной к пути, и вектора v ┴ , перпендикулярного к этой касательной. Эти векторы показаны на фиг. 11.8. Касательное к пути ускорение равно, естественно, лишь изменению длины вектора, т. е. изменению величины скорости v:
a ║ =dv/dt. (11.15)
Другую, поперечную составляющую ускорения легко вычислить, взглянув на фиг. 11.7 и 11.8. За короткое время t изменение угла между v 1 и v 2 равно малому углу . Если величина скорости равна v, то
v ┴ =v, а ускорение а равно
а ┴ =v(d/dt).
Теперь нам нужно знать /t. Эту величину можно найти так: если в данный момент кривую можно приблизительно заменить окружностью радиусом R, то, поскольку за время t частица пройдет расстояние s=vt, изменение угла равно
=v(t/R) или /t=v/R.
Таким образом, как мы уже установили ранее,
Чтобы записать законы Ньютона в векторной форме, мы должны поучиться еще кое-чему и определить вектор ускорения. Этот вектор равен производной по времени вектора скорости, причем легко показать, что его составляющие равны вторым производным х, у и z no t:
После этого законы Ньютона можно записать таким образом:
Теперь задача о доказательстве инвариантности законов Ньютона относительно вращений сводится к следующему: нужно доказать, что а (ускорение) есть вектор; это мы уже сделали. Затем нужно доказать, что F (сила) есть вектор; это мы предполагаем. Следовательно, если сила есть вектор, то уравнение (11.13) будет выглядеть одинаково во всех системах координат, ибо нам известно, что ускорение тоже вектор. Запись уравнений в виде, не содержащем явно х, у, z, привлекательна тем, что нам нет необходимости выписывать три уравнения каждый раз, когда мы хотим написать законы Ньютона или другие законы физики. Мы записываем то, что выглядит как один закон, хотя фактически, конечно, это три закона для каждой оси системы координат, потому что любое векторное уравнение содержит в себе утверждение, что все составляющие равны.
Тот факт, что ускорение — это скорость изменения вектора скорости, помогает найти ускорение в любых, казалось бы, трудных обстоятельствах. Предположим, например, что частица, двигаясь по какой-то сложной кривой (фиг. 11.7), имеет в момент t 1 скорость v 1 , а несколько позже, в момент t 2 скорость v 2 . Чему равно ускорение? Ответ: ускорение равно разности скоростей, деленной на малый промежуток времени; значит, нужно знать разность скоростей. Как же найти эту разность? Чтобы найти разность двух векторов, проведем вектор через концы векторов v 2 и v 1 , иначе говоря, начертим вектор Δ в качестве разности этих двух векторов. Верно? Нет! Мы можем поступать так только тогда, когда начала векторов расположены в одной точке! Вычитать векторы, приложенные к разным точкам, бессмысленно. Остерегайтесь этого! Чтобы вычесть векторы, нужно начертить другую схему.
На фиг. 11.8 векторы v 1 и v 2 перенесены параллельно и равны их двойникам, изображенным на фиг. 11.7. Теперь можно поговорить об ускорении. Ускорение, конечно, просто равно Δv/Δt. Интересно заметить, что разность скоростей можно разделить на две части: можно представить себе, что ускорение состоит из двух составляющих; Δv || — вектора., параллельного касательной к пути, и вектора Δv _|_ , перпендикулярного к этой касательной. Эти векторы показаны на фиг. 11.8. Касательное к пути ускорение равно, естественно, лишь изменению длины вектора, т. е. изменению величины скорости v:
Другую, поперечную составляющую ускорения легко вычислить, взглянув на фиг. 11.7 и 11.8. За короткое время Δt изменение угла между v 1 и v 2 равно малому углу ΔΘ. Если величина скорости равна v, то
ускорение а равно
Теперь нам нужно знать ΔΘ/Δt. Эту величину можно найти так: если в данный момент кривую можно приблизительно заменить окружностью радиусом R, то, поскольку за время Δt частица пройдет расстояние s = vΔt, изменение угла равно
ΔΘ = v.Δt/R, или ΔΘ/Δt = v/R.
Таким образом, как мы уже установили ранее,
Чтобы записать законы Ньютона в векторной форме, мы должны поучиться еще кое-чему и определить вектор ускорения. Этот вектор равен производной по времени вектора скорости, причем легко показать, что его составляющие равны вторым производным х, у и z no t:
После этого законы Ньютона можно записать таким образом: или ma = F, (11.13)
m(d 2 r/dt 2)=F (11.14)
Фиг. 11.6. Перемещение частиц за малое время Dt=t 2 -t 1 ,.
Теперь задача о доказательстве инвариантности законов Ньютона относительно вращений сводится к следующему: нужно доказать, что а (ускорение) есть вектор; это мы уже сделали. Затем нужно доказать, что F (сила) есть вектор; это мы предполагаем. Следовательно, если сила есть вектор, то уравнение (11.13) будет выглядеть одинаково во всех системах координат, ибо нам известно, что ускорение тоже вектор. Запись уравнений в виде, не содержащем явно х, у, z, привлекательна тем, что нам нет необходимости выписывать три уравнения каждый раз, когда мы хотим написать законы Ньютона или другие законы физики. Мы записываем то, что выглядит как один закон, хотя фактически, конечно, это три закона для каждой оси системы координат, потому что любое векторное уравнение содержит в себе утверждение, что все составляющие равны.
Тот факт, что ускорение - это скорость изменения вектора скорости, помогает найти ускорение в любых, казалось бы, трудных обстоятельствах. Предположим, например, что частица, двигаясь по какой-то сложной кривой (фиг. 11.7), имеет в момент t 1 скорость v 1 , а несколько позже, в момент t 2 , скорость v 2 . Чему равно ускорение? Ответ: ускорение равно разности скоростей, деленной на малый промежуток времени; значит, нужно знать разность скоростей. Как же найти эту разность? Чтобы найти разность двух векторов, проведем вектор через концы векторов v 2 и v 1 , иначе говоря, начертим вектор D в качестве разности этих двух векторов. Верно? Нет! Мы можем поступать так только тогда, когда начала векторов расположены в одной точке! Вычитать векторы, приложенные к разным точкам, бессмысленно. Остерегайтесь этого! Чтобы вычесть векторы, нужно начертить другую схему. На фиг. 11. 8 векторы v 1 и v 2 перенесены параллельно и равны их двойникам, изображенным на фиг. 11.7.
Фиг. 11 .7. Криволинейная траектория.
Фиг. 11.8, Диаграмма для вычисления ускорения.
Теперь можно поговорить об ускорении. Ускорение, конечно, просто равно Dv/Dt. Интересно заметить, что разность скоростей можно разделить на две части: можно представить себе, что ускорение состоит из двух составляющих: Dv ║ - вектора, параллельного касательной к пути, и вектора Dv ┴ , перпендикулярного к этой касательной. Эти векторы показаны на фиг. 11.8. Касательное к пути ускорение равно, естественно, лишь изменению длины вектора, т. е. изменению величины скорости v:
a ║ =dv/dt. (11.15)
Другую, поперечную составляющую ускорения легко вычислить, взглянув на фиг. 11.7 и 11.8. За короткое время Dt изменение угла между v 1 и v 2 равно малому углу Dq. Если величина скорости равна v, то
Dv ┴ =vDq, а ускорение а равно
а ┴ =v(dq/dt).
Теперь нам нужно знать Dq/Dt. Эту величину можно найти так: если в данный момент кривую можно приблизительно заменить окружностью радиусом R, то, поскольку за время Dt частица пройдет расстояние s=vDt,изменение угла равно
Dq=v(Dt/R) или Dq/Dt=v/R.
Таким образом, как мы уже установили ранее,
Чтобы записать законы Ньютона в векторной форме, мы должны поучиться еще кое-чему и определить вектор ускорения. Этот вектор равен производной по времени вектора скорости, причем легко показать, что его составляющие равны вторым производным х, у и z no t:Теперь задача о доказательстве инвариантности законов Ньютона относительно вращений сводится к следующему: нужно доказать, что а (ускорение) есть вектор; это мы уже сделали. Затем нужно доказать, что F (сила) есть вектор; это мы предполагаем. Следовательно, если сила есть вектор, то уравнение (11.13) будет выглядеть одинаково во всех системах координат, ибо нам известно, что ускорение тоже вектор. Запись уравнений в виде, не содержащем явно х, у, z, привлекательна тем, что нам нет необходимости выписывать три уравнения каждый раз, когда мы хотим написать законы Ньютона или другие законы физики. Мы записываем то, что выглядит как один закон, хотя фактически, конечно, это три закона для каждой оси системы координат, потому что любое векторное уравнение содержит в себе утверждение, что все составляющие равны.
Тот
факт, что ускорение -
это скорость изменения вектора скорости, помогает найти ускорение в любых, казалось
бы, трудных обстоятельствах. Предположим, например, что частица, двигаясь по
какой-то сложной кривой (фиг. 11.7), имеет в момент t
1
скорость v
1
, а несколько позже, в момент
t
2
скорость v
2
. Чему равно
ускорение? Ответ: ускорение равно разности скоростей, деленной на малый
промежуток времени; значит, нужно знать разность скоростей. Как же найти эту
разность? Чтобы найти разность двух векторов, проведем вектор через концы
векторов v
2
и v
1
, иначе говоря,
начертим вектор Δ в качестве разности этих двух векторов. Верно? Нет!
Мы можем поступать так только тогда, когда начала векторов расположены в одной
точке! Вычитать векторы, приложенные к разным точкам, бессмысленно.
Остерегайтесь этого! Чтобы вычесть векторы, нужно начертить другую
схему.
На
фиг. 11.8 векторы v
1
и v
2
перенесены параллельно и равны их двойникам, изображенным на фиг. 11.7. Теперь
можно поговорить об ускорении. Ускорение, конечно, просто равно
Δv/Δt. Интересно заметить, что разность скоростей можно
разделить на две части: можно представить себе, что ускорение состоит из двух
составляющих; Δv
||
- вектора.,
параллельного касательной к пути, и вектора Δv
_|_
,
перпендикулярного к этой касательной. Эти векторы показаны на фиг. 11.8.
Касательное к пути ускорение равно, естественно, лишь изменению длины вектора,
т. е. изменению величины скорости v:
Другую, поперечную составляющую ускорения легко вычислить, взглянув на фиг. 11.7 и 11.8. За короткое время Δt изменение угла между v 1 и v 2 равно малому углу ΔΘ. Если величина скорости равна v, то
ускорение а равно
Теперь нам нужно знать ΔΘ/Δt.
Эту величину можно найти так: если в данный момент кривую можно приблизительно
заменить окружностью радиусом R, то, поскольку за время Δt частица
пройдет расстояние s = vΔt, изменение угла равно
ΔΘ
= v Δt/R, или ΔΘ/Δt =
v/R.
Таким образом, как мы уже установили ранее,