Закон симметрии кристаллов. Научная работа на тему "симметрия кристаллов"

СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ - свойство кристаллов совмещаться с собой при поворотах, отражениях, параллельных переносах либо при части или комбинации этих операций. внеш. формы (огранки) кристалла определяется симметрией его атомного строения, к-рая обусловливает также и симметрию физ. свойств кристалла.

Рис. 1. а - кристалл кварца; 3 - ось симметрии 3-го порядка, - оси 2-го порядка; б - кристалл водного метасиликата натрия; m - плоскость симметрии .

На рис. 1а изображён кристалл кварца. Внеш. его форма такова, что поворотом на 120° вокруг оси 3 он может быть совмещён сам с собой (совместимое равенство). Кристалл метасиликата натрия (рис. 1, б )преобразуется в себя отражением в плоскости симметрии m (зеркальное равенство). Если - функция, описывающая объект, напр. форму кристалла в трёхмерном пространстве или к--л. его свойство, а операция осуществляет преобразование координат всех точек объекта, то g является операцией, или преобразованием симметрии, а F - симметричным объектом, если выполняются условия:

В наиб. общей формулировке симметрия - неизменность (инвариантность) объектов и законов при нек-рых преобразованиях описывающих их переменных. Кристаллы - объекты в трёхмерном пространстве, поэтому классич. теория С. к.- теория симметричных преобразований в себя трёхмерного пространства с учётом того, что внутр. атомная структура кристаллов дискретная, трёхмерно-периодическая. При преобразованиях симметрии пространство не деформируется, а преобразуется как жёсткое целое. Такие преобразования паз. ортогональными или изометрическим и. После преобразования симметрии части объекта, находившиеся в одном месте, совпадают с частями, находящимися в др. месте. Это означает, что в симметричном объекте есть равные части (совместимые или зеркальные).

С. к. проявляется не только в их структуре и свойствах в реальном трёхмерном пространстве, но также и при описании энергетич. спектра электронов кристалла (см. Зонная теория ),при анализе процессов дифракции рентгеновских лучей, дифракции нейтронов и дифракции электронов в кристаллах с использованием обратного пространства (см. Обратная решётка )и т. п.

Группы симметрии кристаллов. Кристаллу может быть присуща не одна, а неск. . Так, кристалл кварца (рис. 1, а )совмещается с собой не только при повороте на 120° вокруг оси 3 (операция gi) , но и при повороте вокруг оси 3 на 240° (операция g 2), & также при поворотах на 180° вокруг осей 2 Х, 2 у, 2 W (операции g 3 , g 4 , g 5 ). Каждой операции симметрии может быть сопоставлен элемент симметрии - прямая, плоскость или точка, относительно к-рой производится данная операция. Напр., ось 3 или оси 2 x , 2 у, 2 w являются осями симметрии, плоскость т (рис. 1,б) - плоскостью зеркальной симметрии и т. п. Совокупность операций симметрии {g 1 , g 2 , ..., g n } данного кристалла образует группу симметрии в смысле матем. теории групп . Последоват. проведение двух операций симметрии также является операцией симметрии. В теории групп это обозначают как произведение операций:. Всегда существует операция идентичности g 0 , ничего не изменяющая в кристалле, наз. отождествлением, она геометрически соответствует неподвижности объекта или повороту его на 360° вокруг любой оси. Число операций, образующих группу G, наз. порядком группы.

Группы симметрии преобразований пространства классифицируют: по числу п измерений пространства, в к-рых они определены; по числу т измерений пространства, в к-рых объект периодичен (их соответственно обозначают), и по нек-рым др. признакам. Для описания кристаллов используют различные группы симметрии, из к-рых важнейшими являются точечные группы симметрии, описывающие внеш. форму кристаллов; их наз. также кристаллографич. классами; пространственные группы симметрии, описывающие атомную структуру кристаллов.

Точечные группы симметрии . Операциями точечной симметрии являются: повороты вокруг оси симметрии порядка N на угол, равный 360°/N (рис. 2, а); отражение в плоскости симметрии т (зеркальное отражение, рис. 2, б); инверсия (симметрия относительно точки, рис. 2, в); инверсионные повороты (комбинация поворота на угол 360°/N с одноврем. инверсией, рис. 2, г). Вместо инверсионных поворотов иногда рассматриваются эквивалентные им зеркальные повороты Геометрически возможные сочетания операций точечной симметрии определяют ту или иную точечную группу симметрии, к-рая изображается обычно в стереографич. проекции. При преобразованиях точечной симметрии по крайней мере одна точка объекта остаётся неподвижной - преобразуется сама в себя. В ней пересекаются все элементы симметрии, и она является центром стереографич. проекции. Примеры кристаллов, относящихся к различным точечным группам, даны на рис. 3.

Рис. 2. Примеры операций симметрии: а - поворот; б - отражение; в - инверсия; г - инверсионный поворот 4-го порядка; д - винтовой поворот 4-го порядка; е - скользящее отражение .

Рис. 3. Примеры кристаллов, принадлежащих к разным точечным группам (кристаллографическим классам): а - к классу m (одна плоскость симметрии); б - к классу (центр симметрии или центр инверсии); а - к классу 2 (одна ось симметрии 2-го порядка); г - к классу (одна инверсионно-поворотная ось 6-го порядка) .

Точечные преобразования симметрии описываются линейными ур-ниями

или матрицей коэффициентов

Напр., при повороте вокруг оси х 1 на угол- =360°/N матрица D имеет вид:

а при отражении в плоскости х 1 х 2 D имеет вид:

Число точечных групп бесконечно. Однако в кристаллах ввиду наличия кристаллич. решётки возможны только операции и соответственно оси симметрии до 6-го порядка (кроме 5-го; в кристаллич. решётке не может быть оси симметрии 5-го порядка, т. к. с помощью пятиугольных фигур нельзя заполнить пространство без промежутков). Операции точечной симметрии и соответствующие им элементы симметрии обозначаются символами: оси 1, 2, 3, 4, 6, инверсионные оси(центр симметрии или центр инверсии), (она же - плоскость симметрии т), (рис. 4).

Рис. 4. Графические обозначения элементов точечной симметрии: а - кружок - центр симметрии, оси симметрии, перпендикулярные плоскости чертежа; б - ось 2, параллельная плоскости чертежа; в - оси симметрии, параллельные или косо расположенные к плоскости чертежа; г - плоскость симметрии, перпендикулярная плоскости чертежа; д - плоскости симметрии, параллельные плоскости чертежа .

Для описания точечной группы симметрии достаточно задать одну или неск. порождающих её операций симметрии, остальные её операции (если они есть) возникнут в результате взаимодействия порождающих. Напр., для кварца (рис. 1, а) порождающими операциями являются 3 и одна из операций 2, а всего операций в этой группе 6. В международные обозначения групп входят символы порождающих операций симметрии. Точечные группы объединяются по точечной симметрии формы элементарной ячейки (с периодами а, Ь, с и углами) в 7 сингоний (табл. 1).

Группы, содержащие кроме гл. оси N плоскости симметрии т , обозначаются как N/m , если или Nm , если ось лежит в плоскости т . Если группа помимо гл. оси имеет неск. проходящих через неё плоскостей симметрии, то она обозначается Nmm .

Табл. 1.-Точечные группы (классы) симметрии кристаллов

Группы, содержащие лишь повороты, описывают кристаллы, состоящие только из совместимо равных частей (группы 1-го рода). Группы, содержащие отражения или инверсионные повороты, описывают кристаллы, в К-рых есть зеркально равные части (группы 2-го рода). Кристаллы, описываемые группами 1-го рода, могут кристаллизоваться в двух энантиоморфных формах («правой» и «левой», каждая из к-рых не содержит элементов симметрии 2-го рода), но зеркально-равных друг другу (см. Энантиоморфизм ).

Группы С. к. несут в себе геом. смысл: каждой из операций соответствует, напр., поворот вокруг оси симметрии, отражение в плоскости. Нек-рые точечные группы в смысле теории групп, учитывающей лишь правила взаимодействия операций в данной группе (но не их геом. смысл), оказываются одинаковыми, или изоморфными друг другу. Таковы, напр., группы 4 и, тт2 , 222. Всего имеется 18 абстрактных групп, изоморфных одной или нескольким из 32 точечных групп С. к.

Предельные группы. Ф-ции, к-рые описывают зависимость различных свойств кристалла от направления, имеют определённую точечную симметрию, однозначно связанную с группой симметрии огра-нения кристалла. Она либо совпадает с ней, либо выше неё по симметрии (Неймана принцип ).

В отношении макроскопич. свойств кристалл может описываться как однородная непрерывная среда. Поэтому многие из свойств кристаллов, принадлежащих к тем или иным точечным группам симметрии, описываются т. н. предельными точечными группами, содержащими оси симметрии бесконечного порядка, обозначаемые символом. Наличие оси означает, что объект совмещается с собой при повороте на любой, в т. ч. бесконечно малый, угол. Таких групп 7 (рис. 5). Т. о., всего имеется 32 + 7 = 39 точечных групп, описывающих симметрию свойств кристаллов. Зная группу симметрии кристаллов, можно указать возможность наличия или отсутствия в нём нек-рых физ. свойств (см. Кристаллофизика ).

Рис. 5. Стереографические проекции 32 кристаллографических и 2 икосаэдрических групп. Группы расположены в колонки по семействам, символы которых даны в верхнем ряду. В нижнем ряду указана предельная группа каждого семейства и изображены фигуры, иллюстрирующие предельную группу .

Пространственные группы симметрии . Пространственная симметрия атомной структуры кристаллов описывается пространственными группами симметрии . Они наз. также фёдоровскими в честь нашедшего их в 1890 Е. С. Фёдорова; эти группы были независимо выведены в том же году А. Шёнфлисом (A. Schoenflies). В противоположность точечным группам, к-рые были получены как обобщение закономерностей форм кристаллич. многогранников (С. И. Гессель, 1830, А. В. Гадолин, 1867), пространственные группы явились продуктом математическо-геом. теории, предвосхитившей эксперим. определения структуры кристаллов с помощью дифракции рентг. лучей.

Характерными для атомной структуры кристаллов операциями являются 3 некомпланарные трансляции а, b, с, к-рые и задают трёхмерную периодичность кристаллич. решётки. Кристаллич. решётка рассматривается как бесконечная во всех трёх измерениях. Такое матем. приближение реально, т. к. число элементарных ячеек в наблюдаемых кристаллах очень велико. Перенос структуры на векторы а, Ь, с или любой вектор где p 1 , p 2 , р 3 - любые целые числа, совмещает структуру кристалла с собой и, следовательно, является операцией симметрии (трансляционная симметрия).

Физ. дискретность кристаллич. вещества выражается в его атомном строении. Пространственные группы - это группы преобразования в себя трёхмерного однородного дискретного пространства. Дискретность заключается в том, что не все точки такого пространства симметрически равны друг другу, напр. атом одного и атом др. сорта, ядро и электроны. Условия однородности и дискретности определяет тот факт, что пространственные группы - трёхмерно периодические, т. е. любая группа содержит подгруппу трансляций Т - кристаллич. решётку.

Вследствие возможности комбинирования в решётке трансляций и операций точечной симметрии в группах кроме операций точечной симметрии возникают операции и соответствующие им элементы симметрии с трансляц. компонентой - винтовые оси различных порядков и плоскости скользящего отражения (рис. 2, д, е) .

В соответствии с точечной симметрией формы элементарной ячейки (элементарного параллелепипеда) пространственные группы, как и точечные, подразделяются на 7 кристаллографических сингоний (табл. 2). Дальнейшее их подразделение соответствует трансляц. группам и соответствующим им Враве решёткам . Решёток Браве 14, из них 7 - примитивные решётки соответствующих сингоний, они обозначаются Р (кроме ромбоэдрической R) . Другие-7 центриров. решёток: базо (боко) - центрированные А (центрируется грань bc), В (грань ас), С (аb); объёмноцентрнрованные I, гранецентрированные (по всем 3 граням) F . С учётом центрировки к оперирации трансляций t добавляются соответствующие центру центрирующие переносы t c . Если комбинировать друг с другом эти операции t + t с и с операциями точечных групп соответствующей сингоний, то получаются 73 пространственные группы, наз. симморфными.

Табл. 2.-Пространственные группы симметрии

На основе определённых правил из симморфных пространственных групп можно извлечь нетривиальные подгруппы, что даёт ещё 157 несимморфных пространственных групп. Всего пространственных групп 230. Операции симметрии при преобразовании точки х в симметрично равную ей (а значит. и всего пространства в себя) записываются в виде: , где D - точечные преобразования, - компоненты винтового переноса или скользящего отражения, - операции трансляц. группы Браве. Операции винтовой симметрии и соответствующие им элементы симметрии - винтовые оси имеют угл. компоненту (N = 2, 3, 4, 6) и трансляционную t s = tq/N , где t - трансляция решётки, поворот на происходит одновременно с трансляцией вдоль оси Ж, q - индекс винтового поворота. Общий символ винтовых осей N q (рис. 6). Винтовые оси направлены вдоль гл. осей или диагоналей элементарной ячейки. Оси 3 1 и 3 2 , 4 1 и 4 3 , 6 1 и 6 5 , 6 2 и 6 4 соответствуют попарно правым и левым винтовым поворотам. Кроме операции зеркальной симметрии в пространственных группах возможны также плоскости скользящего отражения а, Ь, с: отражение сочетается с переносом на половину соответствующего периода решётки. Переносу на половину диагонали грани ячейки соответствует т. н. клиноплоскость скольжения n, кроме того, в тетрагональных и кубич. группах возможны «алмазные» плоскости d .

Рис. 6. а - Графические обозначения винтовых осей, перпендикулярных плоскости рис.; б - винтовая ось, лежащая в плоскости рис.; в - плоскости скользящего отражения, перпендикулярные плоскости рис., где а, b, с - периоды элементарной ячейки, вдоль осей которой происходит скольжение (трансляционная компонента а/2), п - диагональная плоскость скользящего отражения [трансляционная компонента (а + b)/2], d - алмазная плоскость скольжения ; г - то же в плоскости рисунка .

В табл. 2 даны интернациональные символы всех 230 пространственных групп в соответствии с их принадлежностью к одной из 7 сингоний и классу точечной симметрии.

Трансляц. компоненты операций микросимметрии пространственных групп макроскопически в точечных группах не проявляются; напр., винтовая ось в огранке кристаллов проявляется как соответствующая по порядку простая поворотная ось. Поэтому каждая из 230 группмакроскопически сходственна (гомоморфна) с одной из 32 точечных групп. Напр., на точечную группу- ттт гомоморфно отображаются 28 пространственных групп.

Обозначения Шёнфлиса пространственных групп - это обозначение соответственной точечной группы (напр., , табл. 1), к-рому сверху приписан принятый исторически порядковый номер, напр. . В международных обозначениях указывается символ решётки Браве и порождающие операции симметрии каждой группы - и т. д. Последовательность расположения пространственных групп в табл. 2 в международных обозначениях соответствует номеру (верхнему индексу) в обозначениях Шёнфлиса.

На рис. 7 дано изображение пространств. группы - Рпта согласно Интернациональным кристаллографич. таблицам. Операции (и соответствующие им элементы) симметрии каждой пространственной группы, указываемые для элементарной ячейки, действуют на всё кристаллич. пространство, всю атомную структуру кристалла и друг на друга.

Рис. 7. Изображение группы- Рпта в Интернациональных таблицах .

Если задать внутри элементарной ячейки к--н. точку х (x 1 x 2 x 3) , то операции симметрии преобразуют её в симметрично равные ей точки во всём кристаллич. пространстве; таких точек бесконечное множество. Но достаточно описать их положение в одной элементарной ячейке, и эта совокупность уже будет размножаться трансляциями решётки. Совокупность точек, выводимых из данной операциями g i группы G - х 1 , x 2 ,...,x n-1 , наз. правильной системой точек (ПСТ). На рис. 7 справа дано расположение элементов симметрии группы, слева - изображение ПСТ общего положения этой группы. Точки общего положения - это такие точки, к-рые не расположены на элементе точечной симметрии пространственной группы. Число (кратность) таких точек равно порядку группы. Точки, расположенные на элементе (или элементах) точечной симметрии, образуют ПСТ частного положения и обладают соответственной симметрией, количество их в целое число раз меньше кратности ПСТ общего положения. На рис. 7 слева кружками указаны точки общего положения, их внутри элементарной ячейки 8, символы «+» и «-», «1/2+» и «1/2-» означают соответственно координаты +z, -z, 1/2 + z, 1/2 - z. Запятые пли их отсутствие означают попарное зеркальное равенство соответствующих точек относительно плоскостей симметрии т, имеющихся в данной группе при у = 1/4 и 3/4. Если же точка попадает на плоскость т, то она этой плоскостью не удваивается, как в случае точек общего положения, и число (кратность) таких точек частного положения 4, их симметрия -m. То же имеет место при попадании точки в центры симметрии.

Для каждой пространственной группы имеются свои совокупности ПСТ. Правильная система точек общего положения для каждой группы одна. Но нек-рые из ПСТ частного положения могут оказаться одинаковыми для различных групп. В Интернациональных таблицах указаны кратность ПСТ, их симметрия и координаты и все др. характеристики каждой пространственной группы. Важность понятия ПСТ состоит в том, что в любой кристаллич. структуре, принадлежащей данной пространственной группе, атомы или центры молекул располагаются по ПСТ (одной или нескольким). При структурном анализе распределение атомов по одной или неск. ПСТ данной пространственной группы производится с учётом хим. ф-лы кристалла и данных дифракц. эксперимента, позволяет находить координаты точек частных или общих положений, в к-рых расположены атомы. Поскольку каждая ПСТ состоит из одной или кратного числа решёток Браве, то и расположение атомов можно представлять себе как совокупность «вдвинутых друг в друга» решёток Браво. Такое представление эквивалентно тому, что пространственная группа содержит в себе как подгруппу трансляц. группу Браве.

Подгруппы групп симметрии кристаллов . Если часть операции к--л. группы сама образует группу G r (g 1 ,...,g m), , то последняя наз. подгруппой первой. Напр., подгруппами точечной группы 32 (рис. 1, а) являются группа 3 и группа 2 . Также и среди пространств. групп существует иерархия подгрупп. Пространственные группы могут иметь в качестве подгрупп точечные группы (таких пространственных групп 217) и подгруппы, к-рые являются пространственными группами более низкого порядка. Соответственно существует иерархия подгрупп.

Роль пространственных групп симметрии кристаллов . Пространственные группы симметрии кристаллов- основа теоретич. кристаллографии , дифракционных и иных методов определения атомной структуры кристаллов и описания кристаллич. структур.

Дифракционная картина, получаемая методом рентгенографии, нейтронографии или электронографии ,позволяет установить симметрийные и геом. характеристики обратной решётки кристалла, а следовательно и самой структуры кристалла. Так определяют точечную группу кристалла и элементарную ячейку; по характерным погасаниям (отсутствие определённых дифракционных рефлексов) определяют тип решётки Браве и принадлежность к той или иной пространственной группе. Размещение атомов в элементарной ячейке находят по совокупности интенсивностей дифракционных рефлексов.

Большую роль играют пространственные группы в кристаллохимии . Определено более 100 тыс. кристаллич. структур неорганич., органич. и биологич. соединений. Любой кристалл относится к одной из 230 пространственных групп. Оказалось, что почти все пространственные группы реализованы в мире кристаллов, хотя одни из них встречаются чаще, другие реже. Имеется статистика распространённости пространственных групп по различным видам хим. соединений. Пока не найдены среди исследованных структур лишь 4 группы: Рсс2, P4 2 cm, P4nc 1 , Р6тп . Теория, объясняющая распространённость тех пли иных пространственных групп, учитывает размеры составляющих структуру атомов, понятия плотной упаковки атомов или молекул, роль «упаковочных» элементов симметрии - плоскостей скольжения и винтовых осей.

В физике твёрдого тела используется теория представлений групп с помощью матриц и спец. ф-ций, для пространственных групп эти ф-ции периодичны. Так, в теории структурных фазовых переходов 2-го рода пространственная группа симметрии менее симметричной (низкотемпературной) фазы является подгруппой пространственной группы более симметричной фазы и фазовый переход связан с одним из неприводимых представлений пространственной группы высокосимметричной фазы. Теория представлений позволяет также решать задачи динамики кристаллической решётки , её электронной и магн. структур, ряда физ. свойств. В теоретич. кристаллографии пространственные группы позволяют развить теорию разбиения пространства на равные области, в частности полиэдрические.

Симметрия проекций, слоев и цепей . Проекции кристаллич. структур на плоскость описываются плоскими группами, их число - 17. Для описания трёхмерных объектов, периодических в 1 или 2 направлениях, в частности фрагментов структуры кристаллов, могут быть использованы группы - двумерно периодические и - одномерно периодические. Эти группы играют важную роль в изучении биологич. структур и молекул. Напр., группыописывают строение биологич. мембран, группы- цепных молекул (рис. 8, а) , палочкообразных вирусов, трубчатых кристаллов глобулярных белков (рис. 8, б) , в к-рых молекулы уложены согласно спиральной (винтовой) симметрии, возможной в группах (см. Биологический кристалл ).

Рис. 8. Объекты со спиральной симметрией: а - молекула ДНК; б - трубчатый кристалл белка фосфорилазы (электронно-микроскопический снимок, увеличение 220 000) .

Структура квазикристаллов . Квазикристалля (напр., А1 86 Мn 14) имеют икосаэдрич. точечную симметрию (рис. 5), к-рая невозможна в кристаллнч. решётке. Дальний порядок в квазикристаллах - квазипериодический, описываемый на основе теории почти периодич. ф-ций. Структура квазикристаллов может быть представлена как проекция на трёхмерное пространство шестимерной периодич. кубич. решётки с осями 5-го порядка. Квазикристаллы с пятимерной симметрией в высшем измерении могут иметь 3 типа решёток Браве (примитивную, объёмноцентрированную и гранецентрированную) и 11 пространственных групп. Др. возможные типы квазикристаллов - укладки в стопку двумерных сеток атомов с осями 5-, 7-, 8-, 10-, 12-го... порядков, с периодичностью вдоль третьего перпендикулярного сеткам направления.

Обобщённая симметрия . В основе определения симметрии лежит понятие равенства (1,б) при преобразовании (1,а). Однако физически (и математически) объект может быть равен себе по одним признакам и не равен по другим. Напр., распределение ядер и электронов в кристалле антиферромагнетика можно описать с помощью обычной пространственной симметрии, но если учесть распределение в нём магн. моментов (рис. 9), то «обычной», классич. симметрии уже недостаточно. К подобного рода обобщениям симметрии относятся а н т и с и м м е т р и я и цветная сниметрия.

Рис. 9. Распределение магнитных моментов (стрелки) в элементарной ячейке ферримагнитного кристалла, описываемое с помощью обобщённой симметрии .

В антисимметрии в дополнение к трём пространственным переменным х 1 , х 2 , х 3 вводится добавочная, 4-я переменная . Это можно истолковать таким образом, что при преобразовании (1,а) функция F может быть не только равна себе, как в (1,б), но и «антиравна» - изменит знак. Существует 58 групп точечной антисимметрии и 1651 пространственная группа антисимметрии(шубнпковские группы).

Если добавочная переменная приобретает не два значения, а больше (возможны 3,4,6,8, ..., 48) , то возникает т. н. цветная симметрия Белова.

Так, известна 81 точечная группа и 2942 группы . Осн. приложения обобщённой симметрии в кристаллографии - описание магн. структур.

Найдены и др. группы антисимметрии (кратной и др.). Теоретически выведены и все точечные и пространственные группы четырёхмерного пространства и более высоких измерений. На основе рассмотрения симметрии (3 + К)-мерного пространства можно также описывать несоразмерные в трёх направлениях модулиров. структуры (см. Несоразмерная структура ).

Др. обобщение симметрии - симметрия подобия, когда равенство частей фигуры заменяется их подобием (рис. 10), криволинейная симметрия, статистич. симметрия, вводимая при описании структуры разупорядоченных кристаллов, твёрдых растворов, жидких кристаллов и др.

Рис. 10. Фигура, обладающая симметрией подобия .

Лит.: Шубников А. В., К о п ц и к В. А., Симметрия в науке и искусстве, 2 изд., М., 1972; Федоров E.С., Симметрия и структура кристаллов, М., 1949; Шубников А. В., Симметрия и антисимметрия конечных фигур, М., 1951; International tables for X-ray crystallography, v. 1 - Symmetry groups, Birmingham, 1952; Ковалев О. В., Неприводимые представления пространственных групп, К., 1961; В е й л ь Г., Симметрия, пер. с англ., М., 1968; Современная кристаллография, т. 1 - Вайнштейн Б. К., Симметрия кристаллов. Методы структурной кристаллографии, М., 1979; Г а л и у л и н Р. В., Кристаллографическая геометрия, М., 1984; International tables for crystallography, v. A - Space group symmetry, Dordrecht - , 1987. Б . К. Вайнштейн .

В структуре кристаллов к конечным преобразованиям симметрии, входящим в точечную группу симметрии, добавляются еще бесконечные симметрические преобразования.

Основное бесконечное преобразование - трансляция, т.е. бесконечно повторяющийся перенос вдоль одной прямой на одно и тоже определенное расстояние называемое периодом трансляции. Сочетание трансляций с каждым из элементов симметрии генерирует новые элементы симметрии, бесконечно повторяющиеся в пространстве. Так, совокупность совместно действующих плоскости симметрии и параллельного ей переноса на величину равную половине периода трансляции вдоль плоскости - это плоскость скользящего отражения. Симметрическое преобразование плоскостью скользящего отражения можно описать, указав, как при этом изменяются координаты произвольной точки X, Y, Z. Совокупность оси симметрии и переноса вдоль этой оси, действующих совместно дает винтовую ось симметрии. Винтовые оси в кристаллическом пространстве могут быть только порядков 2,3,4 и 6. Различают левые и правые винтовые оси.

Для каждой структуры характерен ее набор элементарных трансляций или трансляционная группа, которая определяет пространственную решетку.

В зависимости от отношения величин и взаимной ориентации трех основных трансляций а, в, с получаются решетки, отличающиеся друг от друга по своей симметрии. Симметрия органичивает число возможных решеток. Все кристаллические структуры описываются 14 трансляционными группами, соответствующими 14 решеткам Бравэ. Решеткой Бравэ называется бесконечная система точек, которая образуется трансляционным повторением одной точки.

14 решеток Бравэ отличаются друг от друга по форме элементарных ячеек и по симметрии и подразделяются на 6 сингоний (см. таблицу).

Элементарные ячейки в решетках Бравэ выбираются так, чтобы 1) их симметрия соответствовала симметрии всей решетки (точнее; она должна совпадать с симметрией голоэдрического класса той системы, к которой относится кристалл), 2) число прямых углов и равных сторон было максимальным и 3) объем ячейки минимальным.

В структуре кристалла решетки Вравэ могут быть вставлены одна в другую, а в узлах различных решеток могут стоять как одинаковые, так и различные атомы, как сферически симметричные, так и имеющие реальную кристаллографическую симметрию. Все типы структур описываются 230 пространственными группами симметрии, которые образуются из сочетаний элементов симметрии бесконечных структур. (Пространственной группой симметрии называется сочетание всех возможных преобразований симметрии кристаллической структуры).

Умножение элементов симметрии структур подчиняется теоремам 1-6. Кроме того, из-за добавления бесконечных повторений появляются новые сочетания.

Теорема 7. Последовательное отражение в двух параллельных плоскостях симметрии эквивалентно трансляции на параметр t=2а, где а-расстояние между плоскостями..

Теорема 7а . Любую трансляцию t можно заменить отражением в двух параллельных плоскостях, относящихся друг от друга на расстояние T/ 2.

Теорема 8. Плоскость симметрии и перпендикулярная к ней трансляция с параметром t порождают новые "вставленные" плоскости симметрии, параллельные порождающей, аналогичные ей по типу и отстоящие от нее.

Теорема 9 . Плоскость симметрии и трансляция t, составляющая с плоскостью угол , порождают плоскость скользящего отражения, параллельную порождающей и отстоящую от нее в сторону трансляции на величину(t /2), sinвеличина скольжения вдоль порожденной плоскости равнаt*cos

Теорема 10. Ось симметрии с углом поворота и перпендикулярная к ней трансляция Т порождает такую же ось симметрии, параллельную данной, обстоящую от нее на расстояние (t/2) sin() и расположенную на линии, перпендикулярной к трансляцииt вее середине.

Теорема 11. и переносом t и перпендикулярная к ней трансляция t порождают винтовую ось с тем же углом и тем же переносом, параллельную данной, отстоящую от нее на(t/2) sin (/2) и расположенную на линии, перпендикулярной к трансляции t в ее середине.

Теорема 12 . Ось симметрии с углом поворота и трансляция t составляющая с ней угол , порождают винтовую ось симметрии.

Теорема 13. Винтовая ось симметрии с углом поворота и переносом t 1 и трансляция t, составляющая с осью угол порождает винтовую ось симметрии с тем же углом поворота.

Теорема 14 . Инверсионно- поворотная ось с углом поворота и перпендикулярная к ней трансляция порождают ту же инверсионно -поворотную ось, параллельную порождающей.

Теорема 15 . Инверсионно - поворотная ось с углом поворота и трансляция , составляющая с этой осью угол , порождают инверсионную ось с тем же поворотом параллельную данной.

ЗАДАЧИ

1. Записать матричное представление всех операций симметрии, входящих в точечную группу mmm.

2. Найти матричное представление и порядок группы симметрии низкотемпературной модификации кварца.

3. Известна теорема Эйлера: равнодействующей двух пересекающихся осей симметрии является третья ось симметрии, проходящая через точку пересечения первых двух. Пользуясь матричным представлением элементов симметрии, проиллюстрировать теорему Эйлера на примере класса 4 2 2.

4. Кристалл поворачивают на 90° с последующим отражением в центре инверсии, затем поворачивают на 180° вокруг направления, перпендикулярного оси первого поворота. Найти матричное представление операции симметрии, которая приводит к тому же результату.

5. Кристалл поворачивают на 120°, затем отражают в центре инверсии. Найти матричное представление операции симметрии, которая приводит к тому же результату. В группу какого элемента симметрии входит эта операция?

Все сведения о кристаллах, необходимые для решения задач, см. в таблицах, помещенных в конце описания.

6. Используя матричное представление элементов симметрии, найти такую операцию симметрии, действие которой давало бы тот же результат, что и действие двух осей второго порядка, пересекающихся под углом 90°.

7. Найти матричное представление операции симметрии, действие которой дает тот же результат, что и действие осей второго порядка, расположенных под углом 60° друг к другу. В группу какого элемента симметрии входит эта операция?

8. Найти матричное представление и порядок точечной группы симметрии дигидрофосфата калия (КДР) для стандартного и нестандартного (4m2) выбора кристаллофизических осей координат.

9. Найти матричное представление точечной группы симметрии 6 2 2.

10. Найти матричное представление и порядок группы 6.

11. Пользуясь матричным представлением операций симметрии, проверить справедливость теоремы ЭЙЛЕРА НА ПРИМЕРЕ точечной группы 2 2 2,

12. Убедиться в справедливости теоремы Эйлера на примере осей второго порядка, располагающихся под углом 45° друг к другу.

13. Каков порядок следующих групп симметрии: m т , 2 2 2, 4 m m, 422?

14. Записать систему генераторов для группы 4/mmm.

15. На примере точечной группы симметрии 2/m проверить, выполняются ли все групповые аксиомы.

16. Используя матричное представление операций симметрии, проверить справедливость теоремы: сочетание оси четного порядка и перпендикулярной ей плоскости дает центр симметрии.

17. Доказать, что в кристаллической решетке отсутствует ось симметрии пятого порядка.

18. Чему равно число атомов в элементарной ячейке в случае а) простой, б) объемноцентрированной и в) гранецентрированной кубических решеток?

19. Чему равно число атомов в элементарной ячейке гекcагональной плотноупакованной решетки?

20. Определить отрезки, которые отсекает на осях решетки плоскость (125).

21. Найти индексы плоскостей, проходящих через узловые точки кристаллической решетки с координатами 9 10 30, если параметры решетки а=3, b =5 и с==6.

22. Даны грани (320) и (11О). Найти символ ребраих пересечения,

23. Даны два ребра и . Найти символ грани, в которой они лежат одновременно.

24. Положение плоскостей в гексагональной системе определяется с помощью четырех индексов. Найти индекс i в плоскостях (100), (010), (110) и (211) гексагональной системы.

25. Элементарная ячейка магния принадлежит к гексагональной системе и имеет параметры a=3,20 и с=5,20.Определить векторы обратной решетки.

26. Выразить углы между векторами обратной решетки через углы прямой решетки.

27. Показать, что решетка, обратная кубической объемноцентрированной, будет кубической гранецентрированной.

28. Найти векторы обратной решетки для кристалла кальцита (СаСО 3), если a =6,36 , =46°6".

29. Доказать, что расстояние между плоскостями (hkl ) решетки кристалла равно обратной величине длины вектора r*hkl из начала координат в точку hkl обратной решетки.

30. В триклинной решетке кианита (Al 2 O 3 , SiO 2) параметры a, b, c и углы , , элементарной ячейки соответственно равны 7,09; 7,72; 5,56 и; 90°55 ; 101°2; 105°44 . Определить расстояние между плоскостями (102).

31. Чему равны расстояния между плоскостями (100), (110) и (111) в кубической решетке с параметром a

32. Определить угол между плоскостями (201) и (310) в ромбической сере с параметрами решетки a=10,437 ,b =12,845 и,С. =24,369

33. Вычислить угол между плоскостями (111) и (102) тетрагонального кристалла галлия с параметрами решетки a=4,50 ,c= 7.64 8.

34. Найти угол, образуемый гранями (100) и (010) кубического кристалла.

35. Доказать, что в кубическом кристалле любое направление перпендикулярно к плоскости (hkl ) с теми же значениями индексов Миллера.

36. Определить угол между телесной диагональю и ребром куба.

37. Определить угол между двумя направлениями и в кристалле триглицинсульфата ((NH 2 CH 2 COOH) 3 *H 2 SO 4) с параметрами элементарной ячейки a=9,42,b =12,64,c=5,73 и углом моноклинности=ПО°23 .

38. Вычислить угол между двумя прямыми и в ромбической решетке медного купороса с параметрами решетки a =4,88 ,b=6,66 и. С =8,32.

СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ

Свойство кристаллов совмещаться с собой при поворотах, отражениях, параллельных переносах либо части или комбинации этих операций. Симметрия означает возможность преобразования объекта, совмещающего его с собой. Симметрия внеш. формы (огранки) кристалла определяется симметрией его атомного строения, к-рая обусловливает также и симметрию физ. свойств кристалла.

Рис. 1. а - кристалл кварца: 3 - ось симметрии 3-го, порядка, 2х, 2у, 2w- оси 2-го порядка; б - кристалл водного мета-силиката натрия: m - плоскость симметрии.

На рис. 1, а изображён кристалл кварца. Внеш. его форма такова, что поворотом на 120° вокруг оси 3 он может быть совмещён сам с собой (совместимое равенство). Кристалл метасиликата натрия (рис. 1, 6) преобразуется в себя отражением в плоскости симметрии m (зеркальное равенство).

Если F(xlx2.x3) - функция, описывающая объект, напр. форму кристалла в трёхмерном пространстве или к.-л. его свойство, а операция g(x1, х2, х3) осуществляет преобразование координат всех точек объекта, то g является операцией или преобразованием симметрии, a F - симметричным объектом, если выполняются условия:

В наиболее общей формулировке - неизменность (инвариантность) объектов и законов при нек-рых преобразованиях описывающих их переменных. Кристаллы -объекты в трёхмерном пространстве, поэтому классич. теория С. к.- теория симметрич. преобразований в себя трёхмерного пространства с учётом того, что внутр. атомная структура кристаллов - трёхмерно-периодическая, т. е. описывается как . При преобразованиях симметрии не деформируется, а преобразуется как жёсткое целое. Такие преобразования наз. ортогональными или изометрическими. После части объекта, находившиеся в одном месте, совпадают с частями, находящимися в др. месте. Это означает, что в симметричном объекте есть равные части (совместимые или зеркальные).

С. к. проявляется не только в их структуре и свойствах в реальном трёхмерном пространстве, но также и при описании энергетич. спектра электронов кристалла (см. ЗОННАЯ ТЕОРИЯ), при анализе процессов дифракции рентг. лучей и электронов в кристаллах в обратном пространстве (см. ОБРАТНАЯ РЕШЕТКА) и т. п.

Группа симметрии кристаллов. Кристаллу может быть присуща не одна, а неск. операций симметрии. Так, кристалл кварца (рис. 1, а) совмещается с собой не только при повороте на 120° вокруг оси 3 (операция g1), но и при повороте вокруг оси 3 на 240° (операция g2), a также при поворотах на 180° вокруг осей 2х, 2у, 2w (операции g3, g4, g5). Каждой может быть сопоставлен элемент симметрии - прямая, плоскость или точка, относительно к-рой производится данная операция. Напр., ось 3 или оси 2х, 2у, 2w являются осями симметрии, плоскость m (рис. 1,6) - плоскостью зеркальной симметрии и т. п. Совокупность операций симметрии (g1, g2, . . ., gn) данного кристалла образует группу симметрии G в смысле матем. теории групп. Последоват. проведение двух операций симметрии также является операцией симметрии. Всегда существует операция идентичности g0, ничего не изменяющая в кристалле, наз. отождествлением, геометрически соответствующая неподвижности объекта или повороту его на 360° вокруг любой оси. Число операций, образующих группу G, наз. порядком группы.

Группы симметрии классифицируют: по числу n измерений пространства, в к-рых они определены; по числу m измерений пространства, в к-рых объект периодичен (их соответственно обозначают Gnm), и по нек-рым др. признакам. Для описания кристаллов используют разл. группы симметрии, из к-рых важнейшими являются . G33, описывающие атомную структуру кристаллов, и точечные группы с и м м е т р и и G30, описывающие их внешнюю форму. Последние наз. также кристаллографическими классами.

Точечные группы симметрии. Операциями точечной симметрии являются: повороты вокруг оси симметрии порядка N на угол, равный 360°/N (рис. 2, а), отражение в плоскости симметрии ( ; рис. 2, б), инверсия Т (симметрия относительно точки; рис. 2, в), инверсионные повороты N= (комбинация поворота на угол 360°/N с одновременной инверсией; рис. 2, г).

Рис. 2. Простейшие операции симметрии: а - поворот; б - отражение; в - инверсия; г - инверсионный поворот 4-го порядка; д - винтовой поворот 4-го порядка; е - скользящее отражение.

Вместо инверсионных поворотов иногда рассматривают зеркальные повороты N=. Геометрически возможные сочетания этих операций определяют ту или иную точечную группу симметрии, к-рая изображается обычно в стереографич. проекции. При преобразованиях точечной симметрии по крайней мере одна точка объекта остаётся неподвижной - преобразуется сама в себя. В ней пересекаются все симметрии, и она является центром стереографич. проекции. Примеры кристаллов, относящихся к разл. точечным группам, даны на рис. 3.

Рис. 3. Примеры кристаллов, принадлежащих к разным точечным группам (кристаллографическим классам): о - к классу m (одна плоскость симметрии); б - к классу с (центр симметрии); в - к классу 2 (одна ось симметрии 2-го порядка); г - к классу 6 (одна инверсионно-поворотная ось 6-го порядка).

Точечные преобразования симметрии g(x1, x2, х3)=х"1, х"2, х"3 описываются линейными ур-ниями:

т. е. матрицей коэфф, (aij). Напр., при повороте вокруг оси х1 на угол a=360°/N коэфф. имеет вид:

а при отражении в плоскости х1, х2 она имеет вид:

Число точечных групп Go бесконечно. Однако в кристаллах ввиду наличия крист. решётки возможны только операции и соответственно оси симметрии до 6-го порядка (кроме 5-го; в крист. решётке не может быть оси симметрии 5-го порядка, т. к. с помощью пятиугольников нельзя заполнить без промежутков), к-рые обозначаются символами: 1, 2, 3, 4, 6, а также инверсионные оси 1 (она же - центр симметрии), 2 (она же - плоскость симметрии), 3, 4, 6. Поэтому количество точечных кристаллографич. групп симметрии, описывающих внеш. форму кристаллов, ограничено, их всего 32 (см. табл.). В междунар. обозначения точечных групп входят символы порождающих их операций симметрии. Эти группы объединяются по симметрии формы элементарной ячейки (с периодами о, b, с и углами a, b, g) в 7 сингоний.

Группы, содержащие лишь повороты, описывают , состоящие только из совместимо равных частей (группы 1-го рода). Группы, содержащие отражения или инверсионные повороты, описывают кристаллы, в к-рых есть зеркально равные части (группы 2-го рода). Кристаллы, описываемые группами 1-го рода, могут кристаллизоваться в двух энантиоморфных формах («правой» и «левой», каждая из к-рых не содержит элементов симметрии 2-го рода), но зеркально равных друг другу (см. ЭНАНТИОМОРФИЗМ).

Точечные группы описывают симметрию не только кристаллов, но любых конечных фигур. В живой природе часто наблюдается запрещённая в кристаллографии симметрия с осями 5-го, 7-го порядка и выше. Напр., для описания регулярной структуры сферич. вирусов, в оболочках к-рых соблюдаются принципы плотной укладки молекул, оказалась важной икосаэдрическая 532 (см. БИОЛОГИЧЕСКИЕ КРИСТАЛЛЫ).

Предельные группы. Функции, к-рые описывают зависимость разл. свойств кристалла от направления, имеют определённую точечную симметрию, однозначно связанную с группой симметрии огранения кристалла. Она либо совпадает с ней, либо выше неё по симметрии (Неймана принцип).

Многие из свойств кристаллов, принадлежащих к определённым точечным группам симметрии, описываются т. КРИСТАЛЛОФИЗИКА).

Пространственная симметрия атомной структуры кристаллов описывается пространств. группами симметрии G33 (наз. также фёдоровскими в честь нашедшего их в 1890 Е. С. Фёдорова). Характерными для решётки операциями являются три некомпланарных а, b, с, наз. трансляциями, к-рые задают трёхмерную периодичность атомной структуры кристаллов. Сдвиг (перенос) структуры на векторы а, b, с или любой вектор t=р1a+p2b+p3c, где p1,p2, p3 - любые целые положительные или отрицательные числа, совмещает структуру кристалла с собой и, следовательно, является операцией симметрии (трансляционная симметрия).

Вследствие возможности комбинирования в решётке трансляций и операций точечной симметрии в группах G33 возникают операции и соответствующие им элементы симметрии с трансляц. компонентой - винтовые оси разл. порядков и плоскости скользящего отражения (рис. 2, д, е). Всего известно 230 пространств. групп симметрии G33, любой кристалл относится к одной из этих групп. Трансляц. элементов микросимметрии макроскопически не проявляются, напр. винтовая ось в огранке кристаллов проявляется как соответствующая по порядку простая поворотная ось. Поэтому каждая из 230 групп G33 макроскопически сходственна (гомоморфна) с одной из 32 точечных групп. Напр., на точечную группу mmm гомоморфно отображаются 28 пространств. групп. Совокупность переносов, присущих данной пространственной группе, есть её трансляционная подгруппа, или Браве решетка; таких решёток существует 14.

Симметрия слоев и цепей. Для описания объектов периодических в 1 или 2 направлениях, в частности фрагментов структуры кристаллов, могут быть использованы группы G32 - двумерно периодические m G31 - одномерно периодические в трёхмерном пространстве. Эти группы играют важную роль в изучении биол. структур и молекул. Напр., группы G| описывают строение биол. мембран, группы G31- цепных молекул (рис. 5, а) палочкообразных вирусов, трубчатых кристаллов глобулярных белков (рис. 5, б), в к-рых уложены согласно спиральной (винтовой) симметрии, возможной в группах G31 (см. БИОЛОГИЧЕСКИЕ КРИСТАЛЛЫ).

Рис. 5. Объекты со спиральной симметрией: а - ДНК; б - трубчатый кристалл белка фосфорилазы (электронно-микроскопический снимок, увеличение 220000).

Обобщённая симметрия. В основе определения симметрии лежит понятие равенства (1, б) при преобразовании (1, а). Однако физически (и математически) объект может быть равен себе по одним признакам и не равен по другим. Напр., ядер и электронов в кристалле антиферромагнетика можно описать с помощью обычной пространств. симметрии, но если учесть нём магн. моментов (рис. 6), то обычной», классич. симметрии уже недостаточно. К подобного рода обобщениям симметрии относятся антисимметрия и . В антисимметрии в дополнение к трём пространств. переменным x1, х2, x3 вводится добавочная 4-я переменная x4=±1. Это можно истолковать таким образом, что при преобразовании (1, а) ф-ция F может быть не только равна себе, как в (1, б), но и «антиравна» - изменить знак. Условно такую операцию можно изобразить изменением цвета (рис. 7).

Рис. 6. Распределение магнитных моментов (стрелки) в элементарной ячейке ферримагнитного кристалла, описываемое с помощью обобщённой симметрии.

Существует 58 групп точечной антисимметрии C30,а и 1651 пространств. антисимметрии G33,a (Ш у б н и к о в с к и х г р у п п). Если добавочная переменная приобретает не два значения, а неск. (возможны числа 3, 4, 6, 8, . . ., 48), то возникает цветная симметрия Белова. Так, известна 81 точечная группа G30,ц и 2942 группы С33,ц. Основные приложения обобщённой симметрии в кристаллографии- описание магн. структур.

Рис. 7. Фигура, описываемая точечной группой антисимметрии.

Др. обобщения симметрии: симметрия подобия, когда равенство частей фигуры заменяется их подобием (рис. 8), криволинейная симметрия, статистич. симметрия, вводимая при описании структуры разупорядоченных кристаллов, твёрдых растворов, жидких кристаллов, и др.

Физический энциклопедический словарь. - М.: Советская энциклопедия . Главный редактор А. М. Прохоров . 1983 .

СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ

Свойство кристаллов совмещаться с собойпри поворотах, отражениях, параллельных переносах либо при части или комбинацииэтих операций. Симметрия внеш. формы (огранки) кристалла определяется симметриейего атомного строения, к-рая обусловливает также и симметрию физ. свойствкристалла.

Рис. 1. а - кристалл кварца; 3 - ось симметрии 3-го порядка,- оси 2-го порядка; б - кристалл водного метасиликата натрия; m - плоскостьсимметрии.

На рис. 1 а изображён кристалл кварца. Внеш. его форма такова, б)преобразуется в себя отражением в плоскости симметрии m (зеркальноеравенство). Если - функция, описывающая объект, напр. форму кристалла в трёхмерном пространствеили к.-л. его свойство, а операция осуществляет преобразование координат всех точек объекта, то g являетсяоперацией, или преобразованием симметрии, а F - симметричным объектом,

В наиб. общей формулировке симметрия - неизменность (инвариантность)объектов и законов при нек-рых преобразованиях описывающих их переменных. С. к. проявляется не только в их структуре и свойствах в реальном трёхмерномпространстве, но также и при описании энергетич. спектра электронов кристалла(см. Зонная теория), при анализе процессов дифракции рентгеновскихлучей, дифракции нейтронов и дифракции электронов в кристаллахс использованием обратного пространства (см. Обратная решётка )ит. п.

Группы симметрии кристаллов. Кристаллу может быть присуща не одна, анеск. операций симметрии. Так, кристалл кварца (рис. 1, а )совмещаетсяс собой не только при повороте на 120° вокруг оси 3 (операция gi), нои при повороте вокруг оси 3 на 240° (операция g 2),& также при поворотах на 180° вокруг осей 2 Х, 2 у,2 W (операции g 3 , g 4 , g 5 ).Каждой операции симметрии может быть сопоставлен элемент симметрии - прямая, 3 или оси 2 x , 2 у, 2 w являютсяосями симметрии, плоскость т (рис. 1,б) - плоскостью зеркальнойсимметрии и т. п. Совокупность операций симметрии {g 1 , g 2 ,..., g n } данного кристалла образует группу симметрии в смысле матем. теории групп. Последоват. проведение двух операцийсимметрии также является операцией симметрии. В теории групп это обозначаюткак произведение операций:.Всегда существует операция идентичности g 0 , ничего неизменяющая в кристалле, наз. отождествлением, она геометрически соответствуетнеподвижности объекта или повороту его на 360° вокруг любой оси. Числоопераций, образующих группу G, наз. порядком группы.

Группы симметрии преобразований пространства классифицируют: по числу . измерений пространства, в к-рых они определены; по числу . измеренийпространства, в к-рых объект периодичен (их соответственно обозначают ),и по нек-рым др. признакам. Для описания кристаллов используют различныегруппы симметрии, из к-рых важнейшими являются ,описывающие внеш. форму кристаллов; их наз. также кристаллографич. классами;пространственные группы симметрии ,описывающие атомную структуру кристаллов.

Точечные группы симметрии. Операциями точечной симметрии являются:повороты вокруг оси симметрии порядка N на угол, равный 360°/N (рис.2, а); отражение в плоскости симметрии т (зеркальное отражение , б); инверсия (симметрия относительно точки, рис. 2, в); инверсионные повороты (комбинация поворота на угол 360°/N с одноврем. инверсией, рис.2, г). Вместо инверсионных поворотов иногда рассматриваются эквивалентныеим зеркальные повороты Геометрически возможные сочетания операций точечной симметрии определяютту или иную точечную группу симметрии, к-рая изображается обычно в стереографич.

Рис. 2. Примеры операций симметрии: а - поворот; б - отражение; в- инверсия; г - инверсионный поворот 4-го порядка; д - винтовой поворот4-го порядка; е - скользящее отражение.

Рис. 3. Примеры кристаллов, принадлежащих к разным точечным группам(кристаллографическим классам): а - к классу m (одна плоскость симметрии);б - к классу (центр симметрии или центр инверсии); а - к классу 2 (одна ось симметрии2-го порядка); г - к классу (одна инверсионно-поворотная ось 6-го порядка).

Точечные преобразования симметрии описываются линейными ур-ниями

или матрицей коэффициентов

Напр., при повороте вокруг оси х 1 на угол -=360°/N матрица D имеет вид:

а при отражении в плоскости х 1 х 2 D имеетвид:

Число точечных групп бесконечно. Однако в кристаллах ввиду наличия кристаллич. решётки возможнытолько операции и соответственно оси симметрии до 6-го порядка (кроме 5-го;в кристаллич. решётке не может быть оси симметрии 5-го порядка, т. к. спомощью пятиугольных фигур нельзя заполнить пространство без промежутков).Операции точечной симметрии и соответствующие им элементы симметрии обозначаютсясимволами: оси 1, 2, 3, 4, 6, инверсионные оси (центрсимметрии или центр инверсии), (она же - плоскость симметрии т), (рис. 4).

Рис. 4. Графические обозначения элементов точечной симметрии: а -кружок - центр симметрии, оси симметрии, перпендикулярные плоскости чертежа;б - ось 2, параллельная плоскости чертежа; в - оси симметрии, параллельныеили косо расположенные к плоскости чертежа; г - плоскость симметрии, перпендикулярнаяплоскости чертежа; д - плоскости симметрии, параллельные плоскости чертежа.

Для описания точечной группы симметрии достаточно задать одну или неск. Ь, с и углами ) в 7 сингоний (табл. 1).

Группы, содержащие кроме гл. оси N плоскости симметрии т, обозначаются как N/m, если или Nm, если ось лежит в плоскости т. Если группа помимогл. оси имеет неск. проходящих через неё плоскостей симметрии, то она обозначается Nmm.

Табл. 1.- Точечные группы (классы) симметрии кристаллов

Группы С. к. несут в себе геом. смысл: каждой из операций соответствует, напр., поворот вокруг оси симметрии, отражение в плоскости. в данной группе (но не их геом. смысл), оказываются одинаковыми, или изоморфнымидруг другу. Таковы, напр., группы 4 и , тт2, 222. Всего имеется 18 абстрактных групп, изоморфных одной илинескольким из 32 точечных групп С. к.

Точечные группы описывают симметрию не только кристаллов, но любых конечныхфигур. В живой природе часто наблюдается запрещённая в кристаллографииточечная симметрия с осями 5-го, 7-го порядка и выше. Для описания регулярнойструктуры сферич. вирусов, в оболочках к-рых соблюдаются принципы плотнойукладки молекул, и нек-рых неорганич. молекул оказались важными икосаэдрич. (см. Биологический кристалл). Икосаэдрич. симметрия наблюдаетсятакже в квазикристаллах.

Предельные группы. Ф-ции, к-рые описывают зависимость различных свойствкристалла от направления, имеют определённую точечную симметрию, однозначносвязанную с группой симметрии огра-нения кристалла. Она либо совпадаетс ней, либо выше неё по симметрии (Неймана принцип).

Рис. 5. Стереографические проекции 32 кристаллографических и 2 икосаэдрическихгрупп. Группы расположены в колонки по семействам, символы которых даныв верхнем ряду. В нижнем ряду указана предельная группа каждого семействаи изображены фигуры, иллюстрирующие предельную группу.

Пространственные группы симметрии. Пространственная симметрияатомной структуры кристаллов описывается пространственными группами симметрии . Они наз. также фёдоровскими в честь нашедшего их в 1890 Е. С. Фёдорова;эти группы были независимо выведены в том же году А. Шёнфлисом (A. Schoenflies).В противоположность точечным группам, к-рые были получены как обобщениезакономерностей форм кристаллич. многогранников (С. И. Гессель, 1830, А. Характерными для атомной структуры кристаллов операциями являются 3некомпланарные трансляции а, b, с , к-рые и задают трёхмернуюпериодичность кристаллич. решётки. Кристаллич. решётка рассматриваетсякак бесконечная во всех трёх измерениях. Такое матем. реально, а, Ь, с или любой вектор где p 1 , p 2 , р 3 - любые целые числа, Физ. дискретность кристаллич. вещества выражается в его атомном строении. - это группы преобразования в себя трёхмерного однородного дискретногопространства. Дискретность заключается в том, что не все точки такого пространствасимметрически равны друг другу, напр. одного и атом др. сорта, ядрои электроны. Условия однородности и дискретности определяет тот факт, чтопространственные группы - трёхмерно периодические, т. е. любая группа содержит подгруппу трансляций Т - кристаллич. решётку.

Вследствие возможности комбинирования в решётке трансляций и операцийточечной симметрии в группах кроме операций точечной симметрии возникают операции и соответствующиеим элементы симметрии с трансляц. компонентой - винтовые оси различныхпорядков и плоскости скользящего отражения (рис. 2, д, е).

В соответствии с точечной симметрией формы элементарной ячейки (элементарногопараллелепипеда) пространственные группы, как и точечные, подразделяютсяна 7 кристаллографических сингоний (табл. 2). Дальнейшее их подразделениесоответствует трансляц. группам и соответствующим им Враве решёткам. Решёток Браве 14, из них 7 - примитивные решётки соответствующих сингоний, Р (кроме ромбоэдрической R). Другие-7 центриров. А (центрируется грань bc),В (грань ас), С (аb); объёмноцентрнрованные I, гранецентрированные(по всем 3 граням) F. С учётом центрировки к оперирации трансляций t добавляются соответствующие центру центрирующие переносы t c . Если комбинировать друг с другом эти операции t + t с и с операциями точечных групп соответствующей сингоний, то получаются 73пространственные группы, наз. симморфными.

Табл. 2.-Пространственные группы симметрии

На основе определённых правил из симморфных пространственных групп можноизвлечь нетривиальные подгруппы, что даёт ещё 157 несимморфных пространственныхгрупп. Всего пространственных групп 230. Операции симметрии при преобразованииточки х в симметрично равную ей (а значит. и всего пространства в себя) записываются в виде:, где D - точечные преобразования,- компоненты винтового переноса или скользящего отражения,- операции трансляц. группы Браве. Операции винтовой симметрии и соответствующиеим элементы симметрии - винтовые оси имеют угл. компоненту (N = 2, 3, 4, 6) и трансляционную t s = tq/N, где t- трансляция решётки, поворот на происходит одновременно с трансляцией вдоль оси Ж, q - индексвинтового поворота. Общий символ винтовых осей N q (рис.6). Винтовые оси направлены вдоль гл. осей или диагоналей элементарнойячейки. Оси 3 1 и 3 2 , 4 1 и 4 3 ,6 1 и 6 5 , 6 2 и 6 4 соответствуютпопарно правым и левым винтовым поворотам. Кроме операции зеркальной симметриив пространственных группах возможны также плоскости скользящего отраженияа, Ь, с: отражение сочетается с переносом на половину соответствующегопериода решётки. Переносу на половину диагонали грани ячейки соответствуетт. н. клиноплоскость скольжения n, кроме того, в тетрагональных и кубич. d.

Рис. 6. а - Графические обозначения винтовых осей, перпендикулярныхплоскости рис.; б - винтовая ось, лежащая в плоскости рис.; в - плоскостискользящего отражения, перпендикулярные плоскости рис., где а, b, с - периодыэлементарной ячейки, вдоль осей которой происходит скольжение (трансляционнаякомпонента а/2), п - диагональная плоскость скользящего отражения [трансляционнаякомпонента (а + b)/2], d - алмазная плоскость скольжения ; г - то же в плоскости рисунка.

В табл. 2 даны интернациональные символы всех 230 пространственных группв соответствии с их принадлежностью к одной из 7 сингоний и классу точечнойсимметрии.

Трансляц. компоненты операций микросимметрии пространственных группмакроскопически в точечных группах не проявляются; напр., винтовая осьв огранке кристаллов проявляется как соответствующая по порядку простаяповоротная ось. Поэтому каждая из 230 групп макроскопическисходственна (гомоморфна) с одной из 32 точечных групп. Напр., на точечнуюгруппу - ттт гомоморфно отображаются 28 пространственных групп.

Обозначения Шёнфлиса пространственных групп - это обозначение соответственнойточечной группы (напр.,, табл. 1), к-рому сверху приписан принятый исторически , . В международныхобозначениях указывается символ решётки Браве и порождающие операции симметриикаждой группы -и т. д. Последовательность расположения пространственных групп в табл.2 в международных обозначениях соответствует номеру (верхнему индексу)в обозначениях Шёнфлиса.

Рис. 7. Изображение группы -Рпта в Интернациональных таблицах.

Если задать внутри элементарной ячейки к.-н. точку х (x 1 x 2 x 3), то операции симметрии преобразуют её в симметрично равные ей точкиво всём кристаллич. пространстве; таких точек бесконечное . Нодостаточно описать их положение в одной элементарной ячейке, и эта совокупностьуже будет размножаться трансляциями решётки. Совокупность точек, выводимыхиз данной операциями g i группы G - х 1 ,x 2 ,...,x n-1 , наз. правильной системой точек (ПСТ).На рис. 7 справа дано расположение элементов симметрии группы ,слева - изображение ПСТ общего положения этой группы. Точки общего положения- это такие точки, к-рые не расположены на элементе точечной симметриипространственной группы. Число (кратность) таких точек равно порядку группы. у= 1/4 и 3/4. Если же точка попадает на плоскостьт, то она этой плоскостью не удваивается, как в случае точек общего положения, Для каждой пространственной группы имеются свои совокупности ПСТ. Правильнаясистема точек общего положения для каждой группы одна. Но нек-рые из ПСТчастного положения могут оказаться одинаковыми для различных групп. В Интернациональныхтаблицах указаны кратность ПСТ, их симметрия и координаты и все др. характеристикикаждой пространственной группы. Важность понятия ПСТ состоит в том, чтов любой кристаллич. структуре, принадлежащей данной пространственной группе,

Подгруппы групп симметрии кристаллов. Если часть операции к.-л. сама образует группу G r (g 1 ,...,g m),, то последняя наз. подгруппой первой. Напр., подгруппами точечной группы32 (рис. 1, а) являются группа 3 и группа 2. Также и средипространств. групп существует иерархия подгрупп. Пространственные группымогут иметь в качестве подгрупп точечные группы (таких пространственныхгрупп 217) и подгруппы, к-рые являются пространственными группами болеенизкого порядка. Соответственно существует иерархия подгрупп.

Большинство пространственных групп симметрии кристаллов различны междусобой и как абстрактные группы; число абстрактных групп изоморфных 230пространственным группам равно 219. Абстрактно равными оказываются 11 зеркально-равных(энантиоморфных) пространственных групп - одна лишь с правыми, другие слевыми винтовыми осями. Таковы, напр., P 3 1 21 и P 3 2 21.Обе эти пространственные группы гомоморфно отображаются на точечную группу32, к к-рой принадлежит , но кварц соответственно бывает правый илевый: симметрия пространственной структуры в этом случае выражается макроскопически, Роль пространственных групп симметрии кристаллов. Пространственныегруппы симметрии кристаллов- основа теоретич. кристаллографии, дифракционныхи иных методов определения атомной структуры кристаллов и описания кристаллич. Дифракционная картина, получаемая методом рентгенографии, нейтронографии или электронографии, позволяет установить симметрийные и геом. обратной решётки кристалла, а следовательно и самойструктуры кристалла. Так определяют точечную группу кристалла и элементарнуюячейку; по характерным погасаниям (отсутствие определённых дифракционныхрефлексов) определяют тип решётки Браве и принадлежность к той или инойпространственной группе. Размещение атомов в элементарной ячейке находятпо совокупности интенсивностей дифракционных рефлексов.

Большую роль играют пространственные группы в кристаллохимии. Определеноболее 100 тыс. кристаллич. структур неорганич., органич. и биологич. соединений. Рсс2, P4 2 cm,P4nc 1 , Р6тп. Теория, объясняющая распространённость техпли иных пространственных групп, учитывает размеры составляющих структуруатомов, понятия плотной упаковки атомов или молекул, роль «упаковочных»элементов симметрии - плоскостей скольжения и винтовых осей.

В физике твёрдого тела используется теория представлений групп с помощьюматриц и спец. ф-ций, для пространственных групп эти ф-ции периодичны. структурных фазовых переходов2-го рода пространственнаягруппа симметрии менее симметричной (низкотемпературной) фазы являетсяподгруппой пространственной группы более симметричной фазы и фазовый переходсвязан с одним из неприводимых представлений пространственной группы высокосимметричнойфазы. Теория представлений позволяет также решать задачи динамики кристаллическойрешётки, её электронной и магн. структур, ряда физ. свойств. В теоретич. Симметрия проекций, слоев и цепей. Проекции кристаллич. структурна плоскость описываются плоскими группами ,их число - 17. Для описания трёхмерных объектов, периодических в 1 или2 направлениях, в частности фрагментов структуры кристаллов, могут бытьиспользованы группы - двумерно периодические и - одномерно периодические. Эти группы играют важную роль в изучении биологич. описываютстроение биологич. мембран, группы -цепных молекул (рис. 8, а), палочкообразных вирусов, трубчатых кристалловглобулярных белков (рис. 8, б), в к-рых уложены согласноспиральной (винтовой) симметрии, возможной в группах (см. Биологический кристалл).

Рис. 8. Объекты со спиральной симметрией: а - молекула ДНК; б - трубчатыйкристалл белка фосфорилазы (электронно-микроскопический снимок, увеличение220 000).

Структура квазикристаллов. Квазикристалля (напр., А1 86 Мn 14)имеют икосаэдрич. точечную симметрию (рис. 5), к-рая невозможна в кристаллнч. Обобщённая симметрия. В основе определения симметрии лежит понятиеравенства (1,б) при преобразовании (1,а). Однако физически (и математически)объект может быть равен себе по одним признакам и не равен по другим. Напр.,распределение ядер и электронов в кристалле антиферромагнетика можноописать с помощью обычной пространственной симметрии, но если учесть распределениев нём магн. моментов (рис. 9), то «обычной», классич. симметрии уже недостаточно.

Рис. 9. Распределение магнитных моментов (стрелки) в элементарнойячейке ферримагнитного кристалла, описываемое с помощью обобщённой симметрии.

В антисимметрии в дополнение к трём пространственным переменным х 1 ,х 2 , х 3 вводится добавочная, 4-я переменная . Это можно истолковать таким образом, что при преобразовании (1,а) функция F может быть не только равна себе, как в (1,б), но и «антиравна»- изменит знак. Существует 58 групп точечной антисимметрии и 1651 пространственная группа антисимметрии (шубнпковскиегруппы).

Если добавочная переменная приобретает не два значения, а больше (возможны 3,4,6,8, ..., 48), то возникает т. н. цветная симметрия Белова.

Так, известна 81 точечная группа и 2942 группы . Осн. приложения обобщённой симметрии в кристаллографии - описание магн. Найдены и др. группы антисимметрии (кратной и др.). Теоретически выведеныи все точечные и пространственные группы четырёхмерного пространства иболее высоких измерений. На основе рассмотрения симметрии (3 + К)-мерногопространства можно также описывать несоразмерные в трёх направлениях модулиров. Несоразмерная структура).

Др. обобщение симметрии - симметрия подобия, когда равенство частейфигуры заменяется их подобием (рис. 10), криволинейная симметрия, статистич. твёрдых растворов, жидких кристаллов и др.

Рис. 10. Фигура, обладающая симметрией подобия. Большой Энциклопедический словарь

Закономерность атомного строения, внешней формы и физических свойств кристаллов, заключающаяся в том, что кристалл может быть совмещён с самим собой путём поворотов, отражений, параллельных переносов (трансляций) и других преобразований симметрии … Энциклопедический словарь

Свойство кристаллов совмещаться с собой в различных положениях путём поворотов, отражений, параллельных переносов либо части или комбинации этих операций. Симметрия внешней формы (огранки) кристалла определяется симметрией его атомного… …

Закономерность атомного строения, внеш. формы и физ. свойств кристаллов, заключающаяся в том, что кристалл может быть совмещён с самим собой путём поворотов, отражений, параллельных переносов (трансляций) и др. преобразований симметрии, а также… … Естествознание. Энциклопедический словарь

Симметрия кристаллов - свойство кристаллов совмещаться с собой поворотом, отражением, параллельным переносом или комбинацией этих операций. Симметрия внешней формы (огранки) определяется симметрией его атомного строения, которая обусловливает также и … Энциклопедический словарь по металлургии

Симметрия (от греч. symmetria ‒ соразмерность) в математике, 1) симметрия (в узком смысле), или отражение (зеркальное) относительно плоскости a в пространстве (относительно прямой а на плоскости), ‒ преобразование пространства (плоскости), при… … Большая советская энциклопедия

Хар ка молекулы, определяемая совокупностью возможных операций точечной симметрии для её равновесной конфигурации. Четыре операции точечной симметрии (вращение вокруг оси на нек рый угол, меньший или равный 360°; отражение от плоскости; инверсия… … Физическая энциклопедия

I Симметрия (от греч. symmetria соразмерность) в математике, 1) симметрия (в узком смысле), или отражение (зеркальное) относительно плоскости α в пространстве (относительно прямой а на плоскости), преобразование пространства… … Большая советская энциклопедия

- (от греч. соразмерность), понятие, характеризующее переход объектов в самих себя или друг в друга при осуществлении над ними оп редел. преобразований (преобразований С.); в широком смысле свойство неизменности (инвариантности) некоторых… … Философская энциклопедия

- (от греч. symmetria соразмерность) законов физики. Если законы, устанавливающие соотношение между величинами, характеризующими физ. систему, или определяющие изменение этих величин со временем, не меняются при определённых операциях… … Физическая энциклопедия, Е.С. Федоров. В издание вошли классические работы Евграфа Степановича Фёдорова по кристаллографии. Крупнейшее достижение Е. С. Фёдорова - строгий вывод всех возможных пространственных групп (1891 год). Тем…

Внешний вид кристаллов, полученных различными методами, например выращенных из расплава или раствора, может заметно отличаться друг от друга. В то же время одним из первых открытий в кристаллографии было установление факта, что утлы между гранями кристалла одного и того же вещества неизменны. Такое постоянство углов, как теперь известно, обусловлено закономерным расположением атомов или групп атомов внутри кристалла, то есть наличием некоей симметрии в расположении атомов в кристаллическом твердом теле.

Трансляционная симметрия. Понятие трансляционной симметрии кристалла означает, что в кристалле можно выбрать некоторую наименьшую часть, называемую элементарной ячейкой, пространственным повторением которой - трансляцией - потрем направлениям (вдоль граней ячейки) образуется весь кристалл. Понятия трансляционной симметрии и элементарной ячейки кристалла явились научным обобщением того экспериментального факта, что у кристаллов одного и того же вещества можно мысленно выделить базовый геометрический элемент, из которого можно сконструировать весь кристалл. Глубокий научный смысл этих понятий был выявлен позже, с развитием методов рентгеноструктурного анализа твердых тел.

Элементарная ячейка может содержать одну или несколько молекул, атомов, ионов, пространственное расположение которых в ячейке фиксировано. Элементарная ячейка электрически нейтральна. Если повторяющуюся в кристалле элементарную ячейку представить точкой, то в результате трансляционного повторения этой точки по трем направлениям (не обязательно перпендикулярным) получится трехмерное множество точек, называемое кристаллической решеткой вещества. При этом сами точки называют узлами кристаллической решетки. Кристаллическую решетку можно охарактеризовать векторами основных трансляций а { и а 2 , как показано для двумерного случая на рис. 1.14.

Как видно на рис. 1.14, выбор векторов основных трансляций не является однозначным. Главное, чтобы положение всех эквивалентных точек кристаллической решетки можно было описать линейной комбинацией векторов основных трансляций. При этом совокупность всех векторов решетки образует решетку Браве кристалла. Концы векторов решетки определяют положение узловых точек в решетке.

Рис. 1.14. Варианты возможного выбора векторов трансляций а 1 и а 2 и примитивной решетки (варианты 1,2,3,4)

Параллелепипед, построенный на векторах основных трансляций, называют примитивной ячейкой кристалла, выбор которой в кристалле также неоднозначен. Элементарную ячейку 4 на рис. 1.14, построенную через середины векторов трансляций, называют ячейкой Вигнера - Зейтца.

Кристаллографические индексы. Если в элементарной ячейке J?двумерной кристаллической решетки, показанной на рис. 1.14, провести отрезки прямых линий, параллельные вектору а 2 и проходящие через узлы а и |3, то они разделят вектор я, на три равные части. При трансляции ячейки 3 вдоль векторов трансляций а { и а 2 кристаллическая решетка заполнится прямыми линиями, причем все узлы кристаллической решетки окажутся на этих линиях. Аналогичную операцию можно осуществить и в трехмерной кристаллической решетке, проведя через нее систему плоскостей, причем и в этом случае все узлы трехмерной кристаллической решетки окажутся на этих плоскостях. Указанные плоскости носят название кристаллографических плоскостей решетки. Очевидно, что через кристаллическую решетку можно провести множество различных семейств кристаллографических плоскостей. Очевидно также, что чем меньше расстояние между плоскостями в семействе, тем меньшая плотность попадающих на каждую плоскость (изданного семейства плоскостей) узлов кристаллической решетки.

Кристаллографические плоскости характеризуют индексами Миллера, обозначаемыми тремя числами, заключенными в круглые скобки (hkl ). Эти числа равны количеству отрезков, на которые семейство кристаллографических плоскостей делят векторы основных трансляций. Если плоскости параллельны какому-либо вектору трансляции, то значение соответствующего индекса Миллера равно нулю. Если плоскости пересекают отрицательное направление какого-либо вектора трансляции, то соответствующему индексу присваивают отрицательное значение, ставя черточку над этим индексом. Сказанное для двумерной кристаллической решетки, с приведенными семействами плоскостей (10), (01) и (12), а также плоскостью из семейства (12), хорошо проиллюстрировано на рис. 1.15.

Рис. 1.15. Кристаллографические плоскости }