Часто одно лишь упоминание дифференциальных уравнений вызывает у студентов неприятное чувство. Почему так происходит? Чаще всего потому, что при изучении основ материала возникает пробел в знаниях, из-за которого дальнейшее изучение дифуров становиться просто пыткой. Ничего не понятно, что делать, как решать, с чего начать?
Однако мы постараемся вам показать, что дифуры – это не так сложно, как кажется.
Основные понятия теории дифференциальных уравнений
Со школы нам известны простейшие уравнения, в которых нужно найти неизвестную x. По сути дифференциальные уравнения лишь чуточку отличаются от них – вместо переменной х в них нужно найти функцию y(х) , которая обратит уравнение в тождество.
Дифференциальные уравнения имеют огромное прикладное значение. Это не абстрактная математика, которая не имеет отношения к окружающему нас миру. С помощью дифференциальных уравнений описываются многие реальные природные процессы. Например, колебания струны, движение гармонического осциллятора, посредством дифференциальных уравнений в задачах механики находят скорость и ускорение тела. Также ДУ находят широкое применение в биологии, химии, экономике и многих других науках.
Дифференциальное уравнение (ДУ ) – это уравнение, содержащее производные функции y(х), саму функцию, независимые переменные и иные параметры в различных комбинациях.
Существует множество видов дифференциальных уравнений: обыкновенные дифференциальные уравнения, линейные и нелинейные, однородные и неоднородные, дифференциальные уравнения первого и высших порядков, дифуры в частных производных и так далее.
Решением дифференциального уравнения является функция, которая обращает его в тождество. Существуют общие и частные решения ДУ.
Общим решением ДУ является общее множество решений, обращающих уравнение в тождество. Частным решением дифференциального уравнения называется решение, удовлетворяющее дополнительным условиям, заданным изначально.
Порядок дифференциального уравнения определяется наивысшим порядком производных, входящих в него.
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Обыкновенные дифференциальные уравнения – это уравнения, содержащие одну независимую переменную.
Рассмотрим простейшее обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка. Оно имеет вид:
Решить такое уравнение можно, просто проинтегрировав его правую часть.
Примеры таких уравнений:
Уравнения с разделяющимися переменными
В общем виде этот тип уравнений выглядит так:
Приведем пример:
Решая такое уравнение, нужно разделить переменные, приведя его к виду:
После этого останется проинтегрировать обе части и получить решение.
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Такие уравнения имеют вид:
Здесь p(x) и q(x) – некоторые функции независимой переменной, а y=y(x) – искомая функция. Приведем пример такого уравнения:
Решая такое уравнение, чаще всего используют метод вариации произвольной постоянной либо представляют искомую функцию в виде произведения двух других функций y(x)=u(x)v(x).
Для решения таких уравнений необходима определенная подготовка и взять их “с наскока” будет довольно сложно.
Пример решения ДУ с разделяющимися переменными
Вот мы и рассмотрели простейшие типы ДУ. Теперь разберем решение одного из них. Пусть это будет уравнение с разделяющимися переменными.
Сначала перепишем производную в более привычном виде:
Затем разделим переменные, то есть в одной части уравнения соберем все "игреки", а в другой – "иксы":
Теперь осталось проинтегрировать обе части:
Интегрируем и получаем общее решение данного уравнения:
Конечно, решение дифференциальных уравнений – своего рода искусство. Нужно уметь понимать, к какому типу относится уравнение, а также научиться видеть, какие преобразования нужно с ним совершить, чтобы привести к тому или иному виду, не говоря уже просто об умении дифференцировать и интегрировать. И чтобы преуспеть в решении ДУ, нужна практика (как и во всем). А если у Вас в данный момент нет времени разбираться с тем, как решаются дифференциальные уравнения или задача Коши встала как кость в горле или вы не знаете, обратитесь к нашим авторам. В сжатые сроки мы предоставим Вам готовое и подробное решение, разобраться в подробностях которого Вы сможете в любое удобное для Вас время. А пока предлагаем посмотреть видео на тему "Как решать дифференциальные уравнения":
Дифференциальным называют уравнением, связывающее аргументх , искомую функциюу и ее производныеу ’ ,у ” , ...,у (n ) различных порядков. В общем виде дифференциальное уравнение можно записать:
F (x, y, у ’ ,у ” , ...,у (n) ) = 0 .
Порядок дифференциального уравнения определяется наивысшим порядком входящей в него производной.
Примером дифференциального уравнения является второй закон Ньютона, определяющей силу F как произведение массы телаm на приобретенное под действием силы ускорениеа: F = ma .
Учитывая, что ускорение есть первая производная от скорости v, запишем второй закон Ньютона в виде дифференциального уравнения первого порядка:
Или, поскольку ускорение является второй производной от пути S этот закон может представлен в виде дифференциального уравнения второго порядка:
Если известен конкретный характер действующей силы,то, решая уравнение (2), установим вид движения, т.е, найдем, как для данного случая путь зависит от времени: S = f(t).
Решением дифференциального уравнения является такая функция, которая обращает это уравнение в тождество.
Пример. Решить уравнение:у ’ - х = 0 (3)
Перепишем исходное уравнение в виде:
(4)
В уравнении (4) выполнено разделение переменных, состоящее в том, что искомая функция и ее дифференциал выносятся в одну часть уравнения, а аргумент и его дифференциал - в другую.
Для получения решения необходимо в уравнении (4) избавиться от дифференциалов, - поэтому произведем интегрирование его левой и правой части:
(5)
При нахождении неопределенных интегралов появляются произвольные постоянные С 1 иС 2 . Их следует объединить в одну постояннуюС . Окончательно:
Формула (6) есть общее решение дифференциального уравнения (3), содержащее столько производных постоянных, каков порядок дифференциального уравнения.
Легко доказать, что функция (6) действительно решение уравнения (3), поскольку ее подстановка в уравнении (3) обращает последнее в тождество.
Произвольная постоянная С может быть определена, если наряду с исходным дифференциальным уравнением заданы некоторые добавочные сведения - их называют начальными условиями.
Например: при х = 0 у = 1. Это начальное условия при подстановке его в общее решение (6) позволяет найти постояннуюС :
1 = 0 + С С = 1.
Тогда из общего решения (6) для данного начального условия получим частное решение уравнения (3), не содержащее произвольной постоянной:
2. Этапы решения задач при использовании дифференциальных уравнений
Дифференциальные уравнения - математический аппарат, который позволяет решать не только чисто математические или физические задачи, но и количественно описывать самые разнообразные процессы (медико-биологические, экономические, социальные и др.). Несмотря на разнообразие рассматриваемых явлений, использование аппарата дифференциальных уравнений для их исследования должно происходить в определенной общей логической последовательности.
2.1. Составление дифференциального уравнения. Этот этап наиболее сложный и ответственный. Здесь необходимо учесть все факторы, которые влияют на течение исследуемого процесса, возможно, сделать некоторые допущения, определить начальные условия. При этом исследователь должен основываться на твердо установленных экспериментальных фактах или логических посылках. Например, при создании математических моделей работы сердца их практическая полезность (получение новых сведений, позволяющих улучшить диагностику сердечно-сосудистых заболеваний и повысить эффективность их лечения) определится полнотой и корректностью математического учета физиологических данных и клинической практики.
2.2. Решение уравнения. Этот этап может считаться более простым, чем первый, поскольку он предполагает выполнение чисто математических операций. Если невозможно получить решение дифференциального уравнения в аналитическом виде, то оно может быть решено расчетным путем с применением современной вычислительной техники.
2.3. Оценка и анализ результата. Получив решение дифференциального уравнения (или системы уравнений), необходимо оценить, какова теоретическая и практическая полезность полученных результатов - установлены ли новые закономерности в протекании, например, физиологических процессов; определено ли количественно влияние выбранных факторов на,например, степень развития и характер патологии и т.п.
Кроме того, следует сопоставить полученные результаты с имеющимися установленными фактами. Если из математического описания физиологического процесса следуют неожиданные и неизвестные ранее сведения, то это может означать: 1) действительно установлено новое явление, которое впоследствии может быть подтверждено экспериментальными исследованиями; 2) полученный результат возник из-за того, что на этапе составления дифференциального уравнения не учтены все необходимые факторы или сделаны слишком грубые допущения.
Методика составления и решения прикладных задач теории обыкновенных дифференциальных уравнений
Составление дифференциального уравнения по условию задачи (механической, физической, химической или технической) состоит в определении математической зависимости между переменными величинами и их приращениями.
В ряде случаев дифференциальное уравнение получается без рассмотрения приращений - за счет их предварительного учета. Например, представляя скорость выражением , мы не привлекаем приращений ∆s и ∆t, хотя они фактически учтены в силу того, что
.
Ускорение в какой-нибудь момент времени t выражается зависимостью:
.
При составлении дифференциальных уравнений приращения сразу же заменяются соответствующими дифференциалами. Изучение любого процесса сводится:
1) к определению его отдельных моментов;
2) к установлению общего закона его хода.
Отдельный момент процесса (т. н. элементарный процесс) выражается уравнением, связывающим переменные величины процесса с их дифференциалами или производными - дифференциальным уравнением; закон общего хода процесса выражается уравнением, связывающим переменные величины процесса, но уже без дифференциалов этих величии.
Исчерпывающих правил для составления дифференциальных уравнений нет. В большинстве случаев методика решения технических задач с применением теории обыкновенных дифференциальных уравнений сводится к следующему:
1.Подробный разбор условий задачи и составление чертежа, поясняющего ее суть.
2.Составление дифференциального уравнения рассматриваемого процесса.
3.Интегрирование составленного дифференциального уравнения и определение общего решения этого уравнения.
4.Определение частного решения задачи на основании данных начальных условий.
5.Определение, по мере необходимости, вспомогательных пара
метров (например, коэффициента пропорциональности и др.),
используя для этой цели дополнительные условия задачи.
6. Вывод общего закона рассматриваемого процесса и число
вое определение искомых величии.
7. Анализ ответа и проверка исходного положения задачи.
Некоторые из этих рекомендаций в зависимости от характера
задачи могут отсутствовать.
Как и при составлении алгебраических уравнений, при решении прикладных задач по дифференциальным уравнениям многое зависит от навыков, приобретаемых упражнением. Однако здесь еще в большей степени требуется изобретательность и глубокое понимание сути изучаемых процессов.
Рассмотрим процесс решения следующих задач:
Задача 3.1.
Температура вынутого из печи хлеба в течение 20 мин. падает от 100 0 до 60 0 (рис. 3.1). Температура воздуха равна 25 0 . Через сколько времени от момента начала охлаждения температура хлеба понизится до 30 0 ?
Решение:
В силу закона Ньютона скорость охлаждения тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды. Это – процесс неравномерный. С изменением разности температур в течение процесса меняется также и скорость охлаждения тела. Дифференциальное уравнение охлаждения хлеба будет:
где Т – температура хлеба;
t – температура окружающего воздуха (в нашем случае 25 0);
k – коэффициент пропорциональности;
Скорость охлаждения хлеба.
Пусть - время охлаждения.
Тогда, разделяя переменные, получим:
или для условий данной задачи:
Виду того, что
интегрируя, получаем:
Потенцируя обе части последнего равенства, имеем:
то окончательно
Произвольную постоянную С определяем, исходя из начального условия: при мин, Т=100 о.
или С=75.
Величину определяем, исходя из данного дополнительного условия: при мин, Т=60 о.
Получаем:
и 
.
Таким образом, уравнение охлаждения хлеба при условиях нашей задачи примет вид:
. (2)
Из уравнения (2) легко определяем искомое время при температуре хлеба Т=30 о:
Или.
Окончательно находим:
мин.
Итак, после 1 часа 11 мин. Хлеб охлаждается до температуры 30 о С.
Задача 3.2. Трубопровод тепловой магистрали (диаметр 20 см) защищен изоляцией толщиной 10 см; величина коэффициента теплопроводности k=1,00017. Температура трубы 160о; температура внешнего покрова 30о (рис.8). Найти распределение температуры внутри изоляции, а также количество теплоты, отдаваемого одним погонным метром трубы.
Решение. Если тело находится в стационарном тепловом состоянии и температура Т в каждой его точке есть функция только одной координаты х, то согласно закону теплопроводности Фурье количество теплоты, испускаемое в секунду.