На данном уроке, тема которого: «Электромагнитное поле», мы обсудим понятие «электромагнитное поле», особенности его проявления и параметры этого поля.
Мы разговариваем по мобильному телефону. Как передается сигнал? Как передается сигнал от космической станции, улетевшей к Марсу? В пустоте? Да, вещества может не быть, но и это не пустота, есть нечто другое, через что передается сигнал. Это нечто назвали электромагнитным полем. Это прямо не наблюдаемый, но реально существующий объект природы.
Если звуковой сигнал - это изменение параметров вещества, например воздуха (рис. 1), то радиосигнал - это изменения параметров ЭМ-поля.
Рис. 1. Распространение звуковой волны в воздухе
Слова «электрический» и «магнитный» нам понятны, мы уже изучили отдельно электрические явления (рис. 2) и магнитные явления (рис. 3), но почему тогда мы ведем речь об электромагнитном поле? Сегодня мы в этом разберемся.
Рис. 2. Электрическое поле
Рис. 3. Магнитное поле
Примеры электромагнитных явлений.
В микроволновке создаются сильные, а главное - очень быстро изменяющиеся электромагнитные поля, которые действуют на электрический заряд. А как мы знаем, в атомах и молекулах веществ содержится электрический заряд (рис. 4). Вот на него и действует электромагнитное поле, заставляя молекулы быстрее двигаться (рис. 5) - увеличивается температура и еда нагревается. Такую же природу имеют рентгеновские лучи, ультрафиолетовые лучи, видимый свет.
Рис. 4. Молекула воды является диполем
Рис. 5. Движение молекул, имеющих электрический заряд
В микроволновке электромагнитное поле сообщает веществу энергию, которая идет на нагревание, видимый свет сообщает рецепторам глаза энергию, которая идет на активацию рецептора (рис. 6), энергия ультрафиолетовых лучей идет на образование меланина в коже (появление загара, рис. 7), а энергия рентгеновских лучей заставляет чернеть пленку, на которой вы можем увидеть изображение своего скелета (рис. 8). Электромагнитное поле во всех этих случаях имеет разные параметры, поэтому и оказывает разное воздействие.
Рис. 6. Условная схема активации рецептора глаза энергией видимого света
Рис. 7. Загар кожи
Рис. 8. Почернение пленки при рентгене
Так что с электромагнитным полем мы сталкиваемся намного чаще, чем кажется, и уже давно привыкли к явлениям, которые с ним связаны.
Итак, нам известно, что электрическое поле возникает вокруг электрических зарядов (рис. 9). Здесь всё понятно.
Рис. 9. Электрическое поле вокруг электрического заряда
Если электрический заряд движется, то вокруг него, как мы изучали, возникает магнитное поле (рис. 10). Здесь уже возникает вопрос: движется электрический заряд, вокруг него есть электрическое поле, при чем здесь магнитное поле? Еще один вопрос: мы говорим «заряд движется». Но ведь движение относительно, и он может в одной системе отсчета двигаться, а в другой - покоиться (рис. 11). Значит, в одной системе отсчета магнитное поле будет существовать, а в другой нет? Но поле не должно существовать или не существовать в зависимости от выбора системы отсчета.
Рис. 10. Магнитное поле вокруг движущегося электрического заряда
Рис. 11. Относительность движения заряда
Дело в том, что есть единое электромагнитное поле, и источник у него единый - электрический заряд. Оно имеет две составляющие. Электрическое и магнитное поля - это отдельные проявления, отдельные компоненты единого электромагнитного поля, которые проявляются по-разному в разных системах отсчета (рис. 12).
Рис. 12. Проявления электромагнитного поля
Можно выбрать систему отсчета, в которой будет проявляться только электрическое поле, или только магнитное поле, или оба сразу. Однако нельзя выбрать систему отсчета, в которой и электрическая, и магнитная составляющая будет нулевой, то есть в которой электромагнитное поле перестанет существовать.
В зависимости от системы отсчета мы видим либо одну составляющую поля, либо другую, либо их вместе. Это как движение тела по окружности: если посмотреть на такое тело сверху, увидим движение по окружности (рис. 13), если со стороны - увидим колебания вдоль отрезка (рис. 14). В каждой проекции на ось координат круговое движение - это колебания.
Рис. 13. Движение тела по окружности
Рис. 14. Колебания тела вдоль отрезка
Рис. 15. Проекция круговых движений на ось координат
Другая аналогия - проецирование пирамиды на плоскость. Ее можно спроецировать в треугольник или квадрат. На плоскости это совершенно разные фигуры, но все это - пирамида, на которую смотрят с разных сторон. Но нет такого ракурса, при взгляде с которого пирамида исчезнет совсем. Она только будет выглядеть более похожей на квадрат или треугольник (рис. 16).
Рис. 16. Проекции пирамиды на плоскость
Рассмотрим проводник с током. В нем отрицательные заряды скомпенсированы положительными, электрическое поле вокруг него равно нулю (рис. 17). Магнитное поле не равно нулю (рис. 18), возникновение магнитного поля вокруг проводника с током мы рассматривали. Выберем систему отсчета, в которой электроны, образующие электрический ток, будут неподвижны. Но в этой системе отсчета относительно электронов будут двигаться положительно заряженные ионы проводника в обратную сторону: все равно возникает магнитное поле (рис. 18).
Рис. 17. Проводник с током, у которого электрическое поле равно нулю
Рис. 18. Магнитное поле вокруг проводника с током
Если бы электроны были в вакууме, в этой системе отсчета вокруг них возникало бы электрическое поле, ведь они не скомпенсированы положительными зарядами, однако магнитного поля не было бы (рис. 19).
Рис. 19. Электрическое поле вокруг электронов, находящихся в вакууме
Рассмотрим другой пример. Возьмем постоянный магнит. Вокруг него есть магнитное поле, но электрического нет. Действительно, ведь электрическое поле протонов и электронов компенсируется (рис. 20).
Рис. 20. Магнитное поле вокруг постоянного магнита
Возьмем систему отсчета, в которой магнит движется. Вокруг движущегося постоянного магнита возникнет вихревое электрическое поле (рис. 21). Как его выявить? Поместим на пути магнита металлическое кольцо (неподвижное в данной системе отсчета). В нем возникнет ток - это хорошо нам известное явление электромагнитной индукции: при изменении магнитного потока возникает электрическое поле, приводящее к движению зарядов, к появлению тока (рис. 22). В одной системе отсчета электрического поля нет, а в другой оно проявляется.
Рис. 21. Вихревое электрическое поле вокруг движущегося постоянного магнита
Рис. 22. Явление электромагнитной индукции
Магнитное поле постоянного магнита
В любом веществе электроны, которые вращаются вокруг ядра, можно представлять как маленький электрический ток, который протекает по окружности (рис. 23). Значит, вокруг него возникает магнитное поле. Если вещество не магнитится, значит, плоскости вращения электронов направлены произвольно и магнитные поля от отдельных электронов компенсируют друг друга, так как направлены хаотично.
Рис. 23. Представление вращения электронов вокруг ядра
В магнитных веществах как раз-таки плоскости вращения электронов ориентированы примерно одинаково (рис. 24). Поэтому магнитные поля от всех электронов складываются, и получается уже ненулевое магнитное поле в масштабе целого магнита.
Рис. 24. Вращение электронов в магнитных веществах
Вокруг постоянного магнита существует магнитное поле, а точнее магнитная составляющая электромагнитного поля (рис. 25). Можем ли мы найти такую систему отсчета, в которой магнитная составляющая обнуляется и магнит теряет свои свойства? Все-таки нет. И правда, электроны вращаются в одной плоскости (смотри рис. 24), в любой момент времени скорости электронов не направлены в одну и ту же сторону (рис. 26). Так что невозможно найти систему отсчета, где они все замрут и магнитное поле пропадет.
Рис. 25. Магнитное поле вокруг постоянного магнита
Таким образом, электрическое и магнитное поля - это разные проявления единого электромагнитного поля. Нельзя сказать, что в конкретной точке пространства есть только магнитное или только электрическое поле. Там может быть и одно, и другое. Все зависит от системы отсчета, из которой мы рассматриваем эту точку.
Почему же мы до этого говорили отдельно об электрическом и о магнитном полях? Во-первых, так сложилось исторически: люди давно знают о магните, люди давно наблюдали наэлектризованный о янтарь мех, и никто не догадывался, что эти явления имеют одну природу. А во-вторых, это удобная модель. В задачах, где нас не интересует взаимосвязь электрической и магнитной составляющих, их удобно рассматривать отдельно. Два покоящихся заряда в данной системе отсчета взаимодействуют через электрическое поле - мы применяем к ним закон Кулона, нас не интересует, что эти же электроны могут в какой-то системе отсчета двигаться и создавать магнитное поле, и мы успешно решаем задачу (рис. 27).
Рис. 27. Закон Кулона
Действие магнитного поля на движущийся заряд рассматривается в другой модели, и она тоже в рамках своей применимости отлично работает при решении ряда задач (рис. 28).
Рис. 28. Правило левой руки
Постараемся понять, как взаимосвязаны составляющие электромагнитного поля.
Стоит отметить, что точная связь достаточно сложна. Ее вывел британский физик Джеймс Максвелл. Он вывел знаменитые 4 уравнения Максвелла (рис. 29), которые изучаются в вузах и требуют знания высшей математики. Мы их изучать, конечно, не будем, но в нескольких простых словах разберемся, что они означают.
Рис. 29. Уравнения Максвелла
Опирался Максвелл на работы другого физика - Фарадея (рис. 30), который просто качественно описал все явления. Он делал рисунки (рис. 31), записи, которые очень помогли Максвеллу.
Рис. 31. Рисунки Майкла Фарадея из книги «Электричество» (1852)
Фарадей открыл явление электромагнитной индукции (рис. 32). Вспомним, в чем оно заключается. Переменное магнитное поле порождает ЭДС индукции в проводнике. Иными словами, переменное магнитное поле (да, в данном случае - не электрический заряд) порождает электрическое поле. Это электрическое поле является вихревым, то есть линии его замкнуты (рис. 33).
Рис. 32. Рисунки Майкла Фарадея к опыту
Рис. 33. Возникновение ЭДС индукции в проводнике
Кроме того, мы знаем, что магнитное поле порождается движущимся электрическим зарядом. Правильнее будет сказать, что оно порождается переменным электрическим полем. При движении заряда электрическое поле в каждой точке изменяется, и это изменение порождает магнитное поле (рис. 34).
Рис. 34. Возникновение магнитного поля
Можно заметить появление магнитного поля между обкладок конденсатора. Когда он заряжается или разряжается, между пластин возникает переменное электрическое поле, что в свою очередь порождает магнитное поле. В данном случае линии магнитного поля будут лежать в плоскости, перпендикулярной линиям электрического поля (рис. 35).
Рис. 35. Появление магнитного поля между обкладок конденсатора
А теперь посмотрим на уравнения Максвелла (рис. 29), ниже дана для ознакомления небольшая их расшифровка.
Значок - дивергенция - это математический оператор, он выделяет ту составляющую поля, которая имеет источник, то есть линии поля на чем-то начинаются и заканчиваются. Посмотрите на второе уравнение: эта составляющая магнитного поля равна нулю : линии магнитного поля ни на чем не начинаются и не заканчиваются, магнитного заряда не существует. Посмотрите на первое уравнение: такая составляющая электрического поля пропорциональна плотности заряда . Электрическое поле создается электрическим зарядом .
Наиболее интересны следующих два уравнения. Значок - ротор - это математический оператор, выделяющий вихревую составляющую поля. Третье уравнение означает, что вихревое электрическое поле создается изменяющимся во времени магнитным полем ( - это производная, которая, как вы знаете из математики, означает скорость изменения магнитного поля). То есть речь идет об электромагнитной индукции.
Четвертое уравнение показывает, если не обращать внимания на коэффициенты пропорциональности: вихревое магнитное поле создается изменяющимся электрическом полем , а также электрическим током ( - плотность тока). Речь идет о том, что мы хорошо знаем: магнитное поле создается движущимся электрическим зарядом и .
Как видите, переменное магнитное поле может порождать переменное электрическое, а переменное электрическое поле в свою очередь порождает переменное магнитное и так далее (рис. 36).
Рис. 36. Переменное магнитное поле может порождать переменное электрическое, и наоборот
В результате в пространстве может образовываться электромагнитная волна (рис. 37). Эти волны имеют разные проявления - это и радиоволны, и видимый свет, ультрафиолет и так далее. Об этом поговорим на следующих уроках.
Рис. 37. Электромагнитная волна
Список литературы
- Касьянов В.А. Физика. 11 кл.: Учеб. для общеобразоват. учрежде-ний. - М.: Дрофа, 2005.
- Мякишев Г.Я. Физика: Учеб. для 11 кл. общеобразоват. учреждений. - М.: Просвещение, 2010.
- Интернет портал «studopedia.su» ()
- Интернет портал «worldofschool.ru» ()
Домашнее задание
- Можно ли обнаружить магнитное поле в системе отсчета, связанной с одним из равномерно движущихся электронов в потоке, который создается в кинескопе телевизора?
- Какое поле возникает вокруг электрона, движущегося в данной системе отсчета с постоянной скоростью?
- Какое поле можно обнаружить вокруг неподвижного янтаря, заряженного статическим электричеством? Вокруг движущегося? Ответы обоснуйте.
Научно-технический прогресс сопровождается резким увеличением мощности электромагнитных полей (ЭМП), созданных человеком, которые в отдель-ных случаях в сотни и тысячи раз выше уровня естественных полей.
Спектр электромагнитных колебаний включает волны длиной от 1000 км до 0,001 мкм и по частоте f от 3×10 2 до 3×10 20 Гц. Электромагнитное поле характеризуется совокупностью векторов электрических и магнитных со-ставляющих. Разные диапазоны электромагнитных волн имеют общую фи-зическую природу, но различаются энергией, характером распространения, поглощения, отражения и действием на среду, человека. Чем короче длина волны, тем больше энергии несет в себе квант.
Основными характеристиками ЭМП являются:
Напряженность электрического поля Е , В/м.
Напряженность магнитного поля Н , А/м.
Плотность потока энергии, переносимый электромагнитными волна-ми I , Вт/м 2 .
Связь между ними определяется зависимостью:
Связь энергии I и частоты f колебаний определяется как:
где: f = с/l, а с = 3 × 10 8 м/с (скорость распространения электромагнит-ных волн), h = 6,6 × 10 34 Вт/см 2 (постоянная Планка).
В пространстве. окружающем источник ЭМП выделяют 3 зоны (рис.9):
а) Ближняя зона (индукции), где нет распространения волны, нет переноса энергии, а следовательно электрическая и магнитная со-ставляющая ЭМП рассматриваются независимо. Граница зоны R < l/2p.
б) Промежуточная зона (дифракции), где волны накладываются друг на друга, образуя максимумы и стоячие волны. Границы зоны l/2p < R < 2pl. Основная характеристика зоны суммарная плотность потоков энергии волн.
в) Зона излучения (волновая) с границей R > 2pl. Есть распространение волны, следовательно характеристикой зоны излучения является плотность потока энергии, т.е. коли-чество энергии, падающей на единицу поверхности I (Вт/м 2).
 |
Рис. 1.9 . Зоны существования электромагнитного поля
Электромагнитное поле по мере удаления от источников излучения затухает обратно пропорционально квадрату расстояний от источника. В зоне индукции напряженность электрического поля убывает обратно пропорционально расстоянию в третьей степени, а маг-нитного поля обратно пропорционально квадрату расстояния.
По характеру воздействия на организм человека ЭМП разделяют на 5 диапазонов:
Электромагнитные поля промышленной частоты (ЭМП ПЧ): f < 10 000 Гц.
Электромагнитные излучения радиочастотного диапазона (ЭМИ РЧ) f 10 000 Гц.
Электромагнитные поля радиочастотной части спектра разбиваются на четыре поддиапазона:
1) f от 10 000 Гц до 3 000 000 Гц (3 МГц);
2) f от 3 до 30 МГц;
3) f от 30 до 300 МГц;
4) f от 300 МГц до 300 000 МГЦ (300 ГГц).
Источниками электромагнитных полей промышленной частоты являются линии электропередач высокого напряжения, открытые распре-делительные устройства, все электрические сети и приборы, питающиеся переменным током 50 Гц. Опасность воздействия линий растет с увеличе-нием напряжения вследствие возрастания заряда, сосредоточенного на фазе. Напряженность электрического поля в районах прохождения высоко-вольтных линий электропередач может достигать нескольких тысяч вольт на метр. Волны этого диапазона сильно поглощаются почвой и на удале-нии 50-100 м от линии напряженность падает до нескольких десятков вольт на метр. При систематическом воздействии ЭП наблюдаются функцио-нальные нарушения в деятельности нервной и сердечно-сосудистой систе-мы. С возрастанием напряженности поля в организме наступают стойкие функциональные изменения в ЦНС . Наряду с биологическим действием электрического поля между человеком и металлическим предметом могут возникнуть разряды, обусловленные потенциалом тела, который достигает нескольких киловольт, если человек изолирован от Земли.
Допустимые уровни напряженности электрических полей на рабочих местах устанавливаются ГОСТом 12.1.002-84 «Электрические поля промышленной частоты». Предельно до-пустимый уровень напряженности ЭМП ПЧ устанавливается в 25 кВ/м. Допустимое время пребывания в таком поле составляет 10 мин. Пребыва-ние в ЭМП ПЧ напряженностью более 25 кВ/м без средств защиты не допускает-ся, а в ЭМП ПЧ напряженностью до 5 кВ/м пребывание допускается в течение всего рабочего дня. Для расчета допустимого времени пребывания в ЭП при напряженно-сти свыше 5 до 20 кВ/м включительно используется формула Т = (50/Е ) - 2, где: Т - допустимое время пребывания в ЭМП ПЧ, (час); Е - напряженность электрической составляющей ЭМП ПЧ, (кВ/м).
Санитарные нормы СН 2.2.4.723-98 регламентируют ПДУ магнитной составляющей ЭМП ПЧ на рабочих местах. Напряженность магнитной составляющей Н не должна превышать 80 А/м при 8-ми часовом пребывании в условиях этого поля.
Напряженность электрической составляющей ЭМП ПЧ в жилой застройке и квартирах регламентируется СанПиН 2971-84 «Санитарными нормами и правилами защиты населения от воздействия электрического поля, создаваемого воздушными линиями электропередачи переменного тока промышленной частоты». Согласно этому документу, величина Е не должна превышать 0,5 кВ/м внутри жилых помещений и 1 кВ/м на территории городской застройки. Нормы ПДУ магнитной составляющей ЭМП ПЧ для жилой и городской среды в настоящее время не разработаны.
ЭМИ РЧ используются для термообработки, плавки металлов, в радио-связи, медицине. Источниками ЭМП в производственных помещениях яв-ляются ламповые генераторы, в радиотехнических установках - антенные системы, в СВЧ-печах - утечки энергии при нарушении экрана рабочей камеры.
ЭМИ РЧ придействии на организм вызывает поляризацию атомов и мо-лекул тканей, ориентацию полярных молекул, появление в тканях ионных токов, нагрев тканей за счет поглощения энергии ЭМП. Это нарушает структуру электрических потенциалов, циркуляцию жидкости в клетках ор-ганизма, биохимическую активность молекул, состав крови.
Биологический эффектЭМИ РЧ зависит от его параметров: длины вол-ны, интенсивности и режима излучения (импульсный, непрерывный, пре-рывистый), от площади облучаемой поверхности, продолжительности об-лучения. Электромагнитная энергия частично поглощается тканями и пре-вращается в тепловую, происходит локальный нагрев тканей, клеток. ЭМИ РЧ ока-зывает неблагоприятное действие на ЦНС, вызывает нарушения в нервно-эндокринной регуляции, изменения в крови, помутнение хрусталика глаз (исключительно 4 поддиапазон), нарушения обменных процессов.
Гигиеническое нормирование ЭМИ РЧ осуществляется со-гласно ГОСТ 12.1.006-84 «Электромагнитные поля радиочастот. Допусти-мые уровни на рабочих местах и требования к проведению контроля». Уровни ЭМП на рабочих местах контролируются измерением в диапа-зоне частот 60 кГц-300 МГц напряженности электрической и магнитных составляющих, а в диапазоне частот 300 МГц-300 ГГц плотности потока энергии (ППЭ) ЭМП с учетом времени пребывания в зоне облучения.
Для ЭМП радиочастот от 10 кГц до 300 МГц регламентируется напряженность электрической и магнитной составляющей поля в зависимости от диапазо-на частот: чем выше частоты, тем меньше допускаемая величина напря-женности. Например, электрическая составляющая ЭМП для частот 10 кГц - 3МГц составляет 50 В/м, а для частот 50 МГц - 300 МГц только 5 В/м. В диапазоне частоты 300 МГц - 300 ГГц регламентируется плотность потока энергии излучения и создаваемая им энергетическая нагрузка, т.е. поток энергии, проходящий через единицу облучаемой поверхности за время действия. Максимальное значение плотности потока энергии не должно превышать 1000 мкВт/см 2 . Время пребывания в таком поле не должно превышать 20 мин. Пребывание в поле в ППЭ равном 25 мкВт/см 2 допускается в течение 8-ми часовой рабочей смены.
В городской и бытовой среде нормирование ЭМИ РЧ осуществляется согласно СН 2.2.4/2.1.8-055-96 «Электромагнитные излучения радиочастотного диапазона». В жилых помещениях ППЭ ЭМИ РЧ не должна превышать 10 мкВт/см 2 .
В машиностроении широко используется магнитно-импульсная и электрогидравлическая обработка металлов низкочастотным импульсным током 5-10 кГц (резка и обжатие трубчатых заготовок, штамповка, вырубка отверстий, очистка отливок). Источниками импульсного магнитного по-ля на рабочих местах являются открытые рабочие индукторы, электроды, тоководящие шины. Импульсное магнитное поле оказывает влияние на обмен веществ в тканях головного мозга, на эндокринные системы регуляции.
Электростатическое поле (ЭСП) - это поле неподвижных электриче-ских зарядов, взаимодействующих между собой. ЭСП характеризуется на-пряженностью Е , то есть отношением силы, действующей в поле на то-чечный заряд, к величине этого заряда. Напряженность ЭСП измеряется в В/м. ЭСП возникают в энергетических установках, в электротехнологиче-ских процессах. ЭСП используется в электрогазоочистке, при нанесении лакокрасочных покрытий. ЭСП оказывает негативное влияние на ЦНС; у работающих в зоне ЭСП возникает головная боль, нарушение сна и др. В источниках ЭСП, помимо биологического воздействия, определенную опасность представляет аэроионы. Источником аэроионов является корона, возникающая на проводах при напряженности Е >50 кВ/м.
Допустимые уровни напряженности ЭСП установлены ГОСТ 12.1.045-84 «Электростатические поля. Допустимые уровни на рабочих местах и требования к проведению контроля». Допустимый уровень напряженности ЭСП устанавливается в зависимости от времени пребывания на рабочих местах. ПДУ напряженности ЭСП устанавливается равный 60 кВ/м в течение 1 часа. При напряженности ЭСП менее 20 кВ/м время пре-бывания в ЭСП не регламентируется.
Основными характеристиками лазерного излучения являются: длина волны l, (мкм), интенсивность излучения, определяемая по величине энергии или мощно-сти выходного пучка и выражаемая в джоулях (Дж) или ваттах (Вт): дли-тельность импульса (сек), частота повторения импульса (Гц). Глав-ными критериями опасности лазера являются его мощность, длина волны, длительность импульса и экспозиция облучения.
По степени опасности лазеры разделены на 4 класса: 1 - выходное излучение не опасно для глаз, 2 - опасно для глаз прямое и зеркально от-раженное излучение, 3 - опасно для глаз диффузно отраженное излуче-ние, 4 - опасно для кожи диффузно отраженное излучение.
Класс лазера по степени опасности генерируемого излучения опреде-ляется предприятием-изготовителем. При работе с лазерами персонал под-вергается воздействию вредных и опасных производственных факторов.
К группе физических вредных и опасных факторов при работе лазеров относят:
Лазерное излучение (прямое, рассеянное, зеркальное или диффузно отраженное),
Повышенное значение напряжения электропитания лазеров,
Запыленность воздуха рабочей зоны продуктами взаимодействия ла-зерного излучения с мишенью, повышенный уровень ультрафиолетовой и инфракрасной радиации,
Ионизирующие и электромагнитные излучения в рабочей зоне, по-вышенная яркость света от импульсных ламп накачки и взрывоопасность систем накачки лазеров.
На персонал, обслуживающий лазеры, действуют химически опасные и вредные факторы, как-то: озон, окислы азота и другие газы, обусловлен-ные характером производственного процесса.
Действие лазерного излучения на организм зависит от параметров излучения (мощности, длины волны, длительности импульса, частоты следования им-пульсов, времени облучения и площади облучаемой поверхности), локали-зация воздействия и особенности облучаемого объекта. Лазерное излуче-ние вызывает в облучаемых тканях органические изменения (первичные эффекты) и специфические изменения в самом организме (вторичные эф-фекты). При действии излучения происходит быстрый нагрев облучаемых тканей, т.е. термический ожог. В результате быстрого нагрева до высоких температур происходит резкое повышение давления в облучаемых тканях, что приводит к их механическому повреждению. Действия лазерного излу-чения на организм могут вызвать функциональные нарушения и даже пол-ную потерю зрения. Характер поврежденной кожи варьирует от легких до разной степени ожогов, вплоть до некрозов. Помимо изменений тканей, ла-зерное излучение вызывает функциональные сдвиги в организме.
Предельно допустимые уровни облучения регламентируются «Сани-тарными нормами и правилами устройства и эксплуатации лазеров» 2392-81. Предельно допустимые уровни облучения дифференцированы с учетом режима работы лазеров. Для каждого режима работы, участка оптического диапазона величина ПДУ определяется по специальным таблицам. Дози-метрический контроль лазерного излучения осуществляют в соответствии с ГОСТ 12.1.031-81. При контроле измеряются плотность мощности непре-рывного излучения, плотность энергии импульсного и импульсно-модулированного излучения и другие параметры.
Ультрафиолетовое излучение - это невидимое глазом электромаг-нитное излучение, занимающее промежуточное положение между светом и рентгеновским излучением. Биологически активную часть УФ-излучения делят на три части: А с длиной волны 400-315 нм, В с длиной волны 315-280 нм и С 280-200 нм. УФ-лучи обладают способностью вызывать фото-электрический эффект, люминесценцию, развитие фотохимических реак-ций, а также обладают значительной биологической активностью.
УФ-излучения характеризуется бактерицидными и эритемными свойствами. Мощность эритемного излучения - это величина, характери-зующая полезное воздействие УФ-излучений на человека. За единицу эритемного излучения принят Эр, соответствующий мощности в 1 Вт для дли-ны волны 297 нм. Единица эритемной освещенности (облученности) Эр на квадратный метр (Эр/м 2) или Вт/м 2 . Доза облучения Нэр измеря-ется в Эр×ч/м 2 , т.е. это облучение поверхности за определенное время. Бактерицидность потока УФ-излучения измеряется в бакт. Соответственно бактерицидная облученность-бакт на м 2 , а доза бакт в час на м 2 (бк×ч/м 2).
Источниками УФ-излучения на производстве являются электрическая дуга, автогенное пламя, ртутно-кварцевые горелки и другие температурные излучатели.
Естественные УФ-лучи оказывают положительное влияние на организм. При недос-татке солнечного света возникает "световое голодание", авитаминоз Д, ос-лабление иммунитета, функциональные расстройства нервной системы. Вместе с тем УФ-излучение от производственных источников может стать причиной острых и хронических профессиональных заболеваний глаз. Острое поражение глаз называется электроофтальмия. Нередко обнаружи-вается эритема кожи лица и век. К хроническим поражениям следует отне-сти хронический коньюнктивит, катаракту хрусталика, кожные поражения (дерматиты, отеки с образованием пузырей).
Нормирование УФ-излучения осуществляется согласно «Санитарные нормы ультрафиолетового излучения в производственных помещениях» 4557-88. При нормирова-нии устанавливается интенсивность излучения в Вт/м 2 . При поверхности облучения 0,2 м 2 в течение до 5 мин с перерывом 30 мин при общей про-должительности до 60 мин норма для УФ-А 50 Вт/ м 2 , для УФ-В 0,05 Вт/ м 2 и для УФ-С 0,01 Вт/ м 2 . При общей продолжительности облуче-ния 50% рабочей смены и однократном облучении 5 мин норма для УФ-А 10 Вт/ м 2 , для УФ-В 0,01 Вт/ м 2 при площади облучения 0,1 м 2 , а об-лучение УФ-С не допускается.
Инструкция
Возьмите две батарейки и соедините их изолентой. Соедините батарейки так, чтобы на их концах были разные, то есть плюс напротив минуса и наоборот. С помощью скрепок к концу каждой батарейки прикрепите провод. Далее разместите одну из скрепок на вершине батареек. Если скрепка не доходит до центра каждой , возможно, придется разогнуть до нужной длины. Закрепите конструкцию лентой. Убедитесь, что концы проводов свободны и края скрепки доходят до центра каждой батарейки. Подключите батареи сверху, то же самое проделайте с другой стороны.
Возьмите медную проволоку. Около 15 сантиметров проволоки оставьте прямыми, а затем начните оборачивать ее вокруг стеклянного стакана. Сделайте примерно 10 оборотов. Оставьте прямыми еще 15 сантиметров. Подключите один из проводов от источника питания к одному из свободных концов получившейся медной катушки. Убедитесь, что провода хорошо соединены друг с другом. При подключении цепь дает магнитное поле . Соедините другой провод источника питания с медной проволокой.
В то , когда через катушку идет ток, помещенный внутрь будет намагничиваться. Скрепки будут держаться вместе, так же части ложки или вилки, отвертки будут намагничиваться и притягивать другие металлические предметы, в то время пока на катушку воздействует ток.
Обратите внимание
Катушка может быть горячей. Убедитесь, что рядом нет горючих веществ и будьте осторожны, чтобы не обжечь кожу.
Полезный совет
Наиболее легко намагничиваемый металл - это железо. При проверке поля не выбирайте алюминий или медь.
Для того чтобы сделать электромагнитное поле, нужно заставить его источник излучать. При этом он должен производить совокупность двух полей электрического и магнитного, которые могут распространяться в пространстве, порождая друг друга. Электромагнитное поле может распространяться в пространстве в виде электромагнитной волны.
Вам понадобится
- - изолированный провод;
- - гвоздь;
- - два проводника;
- - катушка Румкорфа.
Инструкция
Возьмите изолированный провод с малым сопротивлением, лучше всего подойдет медный. Намотайте его на стальной сердечник, подойдет обычный гвоздь длиной 100 мм (сотка). Подключите провод к источнику тока, подойдет обычная батарейка. В возникнет электрическое поле , которое породит в нем электрический ток.
Направленное движение заряженных (электрический ток), породит в свою очередь магнитное поле , которое будет сосредоточено в стальном сердечнике, с намотанным на него проводом. Сердечник превращается и притягивается к себе ферромагнетики ( , никель, кобальт и др.). Образовавшееся поле можно назвать электромагнитным, поскольку электрическое поле магнитное.
Для получения классического электромагнитного поля нужно чтобы и электрическое и магнитное поле изменялись со временем, тогда электрическое поле будет порождать магнитное и наоборот. Для этого нужно чтобы движущиеся заряды получали ускорение. Проще всего это сделать, заставив их колебаться. Поэтому для получения электромагнитного поля достаточно взять проводник и включить его в обычную бытовую сеть. Но его будет настолько мала, что измерить при помощи приборов не удастся.
Для получения достаточно мощного магнитного поля сделайте вибратор Герца. Для этого возьмите два прямых идентичных проводника, закрепите их так, чтобы зазор между ними составлял 7 мм. Это буде открытого колебательного контура, с малой и электроемкостью. Присоедините каждый из проводников к зажимам Румкорфа (она позволяет получать импульсы высокого напряжения). Присоедините схему к аккумуляторной батарее. В искровом промежутке между проводниками начнутся разряды, а сам вибратор станет источником электромагнитного поля.
Видео по теме
Внедрение новых технологий и повсеместное использование электричества привело к появлению искусственных электромагнитных полей, которые чаще всего вредно воздействуют на человека и окружающую среду. Эти физические поля возникают там, где имеются движущиеся заряды.
Природа электромагнитного поля
Электромагнитное поле представляет собой особый вид материи. Оно возникает вокруг проводников, по которым движутся электрические заряды. Состоит силовое поле из двух самостоятельных полей – магнитного и электрического, которые не могут существовать в отрыве одно от другого. Электрическое поле при возникновении и изменении неизменно порождает магнитное.
Одним из первых природу переменных полей в середине XIX века стал исследовать Джеймс Максвелл, которому и принадлежит заслуга создания теории электромагнитного поля. Ученый показал, что движущиеся с ускорением электрические заряды создают электрическое поле. Изменение его порождает поле магнитных сил.
Источником переменного магнитного поля может стать магнит, если привести его в движение, а также электрический заряд, который колеблется или движется с ускорением. Если заряд перемещается с постоянной скоростью, то по проводнику течет постоянный ток, для которого характерно постоянное магнитное поле. Распространяясь в пространстве, электромагнитное поле переносит энергию, которая зависит от величины тока в проводнике и частоты излучаемых волн.
Воздействие электромагнитного поля на человека
Уровень всех электромагнитных излучений, которые создают сконструированные человеком технические системы, во много раз превышает естественное излучение планеты. Это тепловым эффектом, что может привести к перегреву тканей организма и необратимым последствиям. К примеру, длительное пользование мобильным телефоном, который является источником излучения, может привести к повышению температуры головного мозга и хрусталика глаза.
Электромагнитные поля, возникающие при использовании бытовой техники, могут стать причиной появления злокачественных новообразований. В особенности это относится к детскому организму. Длительное нахождение человека вблизи источника электромагнитных волн снижает эффективность работы иммунной системы, ведет к заболеваниям сердца и сосудов.
Конечно, полностью отказаться от использования технических средств, которые являются источником электромагнитного поля, нельзя. Но можно применять самые простые меры профилактики, например, использовать телефон только с гарнитурой, не оставлять шнуры приборов в электрических розетках после использования техники. В быту рекомендуется применять удлинители и кабели, имеющие защитное экранирование.
Источники электромагнитных полей (ЭМП) чрезвычайно разнообразны - это системы передачи и распределения электроэнергии (линии электропередачи - ЛЭП, трансформаторные и распределительные подстанции) и приборы, потребляющие электроэнергию (электродвигатели, электроплиты, электронагреватели, холодильники, телевизоры, видеодисплейные терминалы и др.).
К источникам, генерирующим и транслирующим электромагнитную энергию, относятся радио- и телевизионные вещательные станции, радиолокационные установки и системы радиосвязи, самые разнообразные технологические установки в промышленности, медицинские приборы и аппаратура (аппараты для диатермии и индуктотермии, УВЧ-терапии, приборы для микроволновой терапии и др.).
Работающий контингент и население может подвергаться воздействию изолированной электрической или магнитной составляющих поля или их сочетанию. В зависимости от отношения облучаемого лица к источнику облучения, принято различать несколько видов облучения - профессиональное, непрофессиональное, облучение в быту и облучение, осуществляемое в лечебных целях. Профессиональное облучение характеризуется многообразием режимов генерации и вариантов воздействия электромагнитных полей (облучение в ближней зоне, в зоне индукции, общее и местное, сочетающееся с действием других неблагоприятных факторов производственной среды). В условиях непрофессионального облучения наиболее типичным является общее облучение, в большинстве случаев в волновой зоне.
Электромагнитные поля, генерируемые теми или иными источниками, могут воздействовать на все тело работающего человека (общее облучение) или отдельной части тела (местное облучение). При этом, облучение может носить характер изолированного (от одного источника ЭМП), сочетанного (от двух и более источников ЭМП одного частотного диапазона), смешанного (от двух и более источников ЭМП различных частотных диапазонов), а также комбинированного (в условиях одновременного воздействия ЭМП и других неблагоприятных физических факторов производственной среды) воздействия.
Электромагнитная волна - это колебательный процесс, связанный с изменяющимися в пространстве и во времени взаимосвязанными электрическими и магнитными полями.
Электромагнитное поле - это область распространения электромагнитных
Характеристика электромагнитных волн. Электромагнитное поле характеризуется частотой излучения f, измеряемой в герцах, или длиной волны X, измеряемой в метрах. Электромагнитная волна распространяется в вакууме со скоростью света (3 108 м/с), и связь между длиной и частотой электромагнитной волны определяется зависимостью
где с - скорость света.
Скорость распространения волн в воздухе близка к скорости их распространения в вакууме.
Электромагнитное поле обладает энергией, а электромагнитная волна, распространяясь в пространстве, переносит эту энергию. Электромагнитное поле имеет электрическую и магнитную составляющие (Таблица № 35).
Напряженность электрического поля Е - это характеристика электрической составляющей ЭМП, единицей измерения которой является В/м.
Напряженность магнитного поля Н (А/м) - это характеристика магнитной составляющей ЭМП.
Плотность потока энергии (ППЭ) - это энергия электромагнитной волны, переносимой электромагнитной волной в единицу времени через единичную площадь. Единицей измерения ППЭ является Вт/м.
Таблица № 35. Единицы измерения интенсивности ЭМП в Международной системе единиц (СИ)
|
Для отдельных диапазонов электромагнитных излучений - ЭМИ (световой диапазон, лазерное излучение) введены другие характеристики.
Классификация электромагнитных полей. Частотный диапазон и длина электромагнитной волны позволяют классифицировать электромагнитное поле на видимый свет (световые волны), инфракрасное (тепловое) и ультрафиолетовое излучение, физическую основу которых составляют электромагнитные волны. Эти виды коротковолнового излучения оказывают на человека специфическое воздействие.
Физическую основу ионизирующего излучения также составляют электромагнитные волны очень высоких частот, обладающие высокой энергией, достаточной для того, чтобы ионизировать молекулы вещества в котором распространяется волна (Таблица № 36).
Радиочастотный диапазон электромагнитного спектра делится на четыре частотных диапазона: низкие частоты (НЧ) - менее 30 кГц, высокие частоты (ВЧ) - 30 кГц...30 МГц, ультравысокие частоты (УВЧ) - 30...300 МГц, сверхвысокие частоты (СВЧ) - 300 МГц.750 ГГц.
Особой разновидностью электромагнитных излучений (ЭМИ) является лазерное излучение (ЛИ), генерируемое в диапазоне длин волн 0,1...1000 мкм. Особенностью ЛИ является его монохроматичность (строго одна длина волны), когерентность (все источники излучения испускают волны в одной фазе), острая направленность луча (малое расхождение луча).
Условно к неионизирующим излучениям (полям) можно отнести электростатические поля (ЭСП) и магнитные поля (МП).
Электростатическое поле - это поле неподвижных электрических зарядов, осуществляющее взаимодействие между ними.
Статическое электричество - совокупность явлений, связанных с возникновением, сохранением и релаксацией свободного электрического заряда на поверхности или в объеме диэлектриков или на изолированных проводниках.
Магнитное поле может быть постоянным, импульсным, переменным.
В зависимости от источников образования электростатические поля могут существовать в виде собственно электростатического поля, образующегося в разного рода энергетических установках и при электротехнических процессах. В промышленности ЭСП широко используются для электрогазоочистки, электростатической сепарации руд и материалов, электростатического нанесения лакокрасочных и полимерных материалов. Изготовление, испытание,
транспортировка и хранение полупроводниковых приборов и интегральных схем, шлифовка и полировка футляров радиотелевизионных приемников,
технологические процессы, связанные с использование диэлектрических
материалов, а также помещения вычислительных центров, где сосредоточена множительная вычислительная техника характеризуются образованием
электростатических полей. Электростатические заряды и создаваемые ими электростатические поля могут возникать при движении диэлектрических жидкостей и некоторых сыпучих материалов по трубопроводам, переливании жидкостей-диэлектриков, скатывании пленки или бумаги в рулон.
Таблица № 36. Международная классификация электромагнитных волн
|
Электромагниты, соленоиды, установки конденсаторного типа, литые и металлокерамические магниты сопровождаются возникновением магнитных полей.
В электромагнитных полях выделяют три зоны, которые формируются на различных расстояниях от источника электромагнитных излучений.
Зона индукции (ближняя зона) - охватывает промежуток от источника излучения до расстояния, равного примерно У2п ~ У6. В этой зоне электромагнитная волна еще не сформирована и поэтому электрическое и магнитное поля не взаимосвязаны и действуют независимо (первая зона).
Зона интерференции (промежуточная зона) - располагается на расстояниях примерно от У2п до 2лХ. В этой зоне происходит формирование ЭМВ и на человека действует электрическое и магнитное поля, а также оказывается энергетическое воздействие (вторая зона).
Волновая зона (дальня зона) - располагается на расстояниях свыше 2лХ. В этой зоне электромагнитная волна сформирована, электрическое и магнитное поля взаимосвязаны. На человека в этой зоне воздействует энергия волны (третья зона).
Действие электромагнитного поля на организм. Биологический и патофизиологический эффект воздействия электромагнитных полей на организм зависит от диапазона частот, интенсивности воздействующего фактора, продолжительности облучения, характера излучения и режима облучения. Действие ЭМП на организм зависит от закономерности распространения радиоволн в материальных средах, где поглощение энергии электромагнитной волны определяется частотой электромагнитных колебаний, электрических и магнитных свойств среды.
Как известно, ведущим показателем, характеризующим электрические свойства тканей организма, являются их диэлектрическая и магнитная проницаемость. В свою очередь, различия электрических свойств тканей (диэлектрической и магнитной проницаемости, удельного сопротивления) связаны с содержанием в них свободной и связанной воды. Все биологические ткани, по диэлектрической проницаемости, подразделяются на две группы: ткани с высоким содержанием воды - свыше 80% (кровь, мышцы, кожа, ткань мозга, ткань печени и селезенки) и ткани с относительно низким содержанием воды (жировая, костная). Коэффициент поглощения в тканях с высоким содержанием воды, при одинаковых значениях напряженности поля, в 60 раз выше, чем в тканях с низким содержанием воды. Поэтому глубина проникновения электромагнитных волн в ткани с низким содержанием воды в 10 раз больше, чем в ткани с ее высоким содержанием.
Тепловой и атермический эффект лежат в основе механизмов биологического действия электромагнитных волн. Тепловое действие ЭМП характеризуется избирательным нагревом отдельных органов и тканей, повышением общей температуры тела. Интенсивное облучение ЭМП может вызывать деструктивные изменения в тканях и органах, однако острые формы поражения встречаются крайне редко и их возникновение чаще всего связано с аварийными ситуациями при нарушении техники безопасности.
Хронические формы радиоволновых поражений, их симптомы и течение не имеют строго специфических проявлений. Тем не менее, для них характерно развитие астенических состояний и вегетативных расстройств, главным образом со
стороны сердечно-сосудистой системы. Наряду с общей астенизацией, сопровождающейся слабостью, повышенной утомляемостью, беспокойным сном, у больных появляются головная боль, головокружение, психоэмоциональная лабильность, боли в области сердца, повышенная потливость, снижение аппетита. Развиваются признаки акроцианоза, регионарный гипергидроз, похолодание кистей и стоп, тремор пальцев рук, лабильность пульса и артериального давления с наклонностью к брадикардии и гипотонии; дисфункция в системе гипофиз - кора надпочечников приводит к изменениям секреции гормонов щитовидной и половых желез.
Одним из немногих специфических поражений, вызываемых воздействием электромагнитных излучений радиочастотного диапазона, является развитие катаракты. Помимо катаракты, при воздействии электромагнитных волн высоких частот, могут развиваться кератиты и повреждения стромы роговицы.
Инфракрасное (тепловое) излучение, световое излучение при высоких энергиях, а также ультрафиолетовое излучение большого уровня, при остром воздействии, могут приводить к расширению капилляров, ожогам кожи и органов зрения. Хроническое облучение сопровождается изменением пигментации кожи, развитием хронического конъюнктивита и помутнением хрусталика глаза. Ультрафиолетовое излучение небольших уровней полезно и необходимо для человека, так как способствует усилению обменных процессов в организме и синтезу биологически активной формы витамина D.
Эффект воздействия лазерного излучение на человека зависит от интенсивности излучения, длины волны, характера излучения и времени воздействия. При этом выделяют локальное и общее повреждение тех или иных тканей организма человека. Органом-мишенью при этом служит глаз, который легко повреждается, нарушается прозрачность роговицы и хрусталика, возможно повреждение сетчатки глаза. Лазерное изучение, особенно инфракрасного диапазона, способно проникать через ткани на значительную глубину, поражая внутренние органы. Длительное воздействие лазерного излучения даже небольшой интенсивности может привести к различным функциональным нарушениям нервной, сердечно-сосудистой систем, желез внутренней секреции, артериального давления, повышению утомляемости, снижению работоспособности.
Гигиеническое нормирование электромагнитных полей. Согласно нормативным документам: СанПиН «Санитарно-эпидемиологические требования к эксплуатации радиоэлектронных средств с условиями работы с источниками электромагнитного излучения» № 225 от 10.04.2007 г. МЗ РК; СанПиН «Санитарные правила и нормы защиты населения от воздействия электромагнитных полей, создаваемых радиотехническими объектами» № 3.01.002-96 МЗ РК; МУ
«Методические указания по осуществлению государственного санитарного надзора за объектами с источниками электромагнитных полей (ЭМП) неионизирующей части спектра» № 1.02.018/у-94 МЗ РК; МУ «Методические рекомендации по проведению лабораторного контроля за источниками электромагнитных полей неионизирующей части спектра (ЭМП) при осуществлении государственного санитарного надзора» № 1.02.019/р-94 МЗ РК регламентируется интенсивность электромагнитных полей радиочастот на рабочих местах персонала,
осуществляющего работы с источниками ЭМП и требования к проведению контроля, а также регламентируется облучение электрическим полем, как по величине напряженности, так и продолжительности действия.
Частотный диапазон радиочастот электромагнитных полей (60 кГц - 300 МГц) оценивается напряженностью электрической и магнитной составляющих поля; в диапазоне частот 300 МГц - 300 ГГц - поверхностной плотностью потока энергии излучения и создаваемой им энергетической нагрузкой (ЭН). Суммарный поток энергии, проходящий через единицу облучаемой поверхности за время действия (Т), и выражающийся произведением ППЭ Т представляет собой энергетическую нагрузку.
На рабочих местах персонала напряженность ЭМП в диапазоне частот 60 кГц - 300 МГц в течение рабочего дня не должна превышать установленных предельно допустимых уровней (ПДУ):
В случаях, когда время воздействия ЭМП на персонал не превышает 50% продолжительности рабочего времени, допускаются уровни выше указанных, но не более чем в 2 раза.
Нормирование и гигиеническая оценка постоянных магнитных полей (ПМП) в производственных помещениях и на рабочих местах (Таблица №37) осуществляется дифференцировано, в зависимости от времени воздействия на работника в течение рабочей смены и учетом условий общего или локального облучения.
| Таблица № 37. ПДУ воздействия ПМП на работающих. |
Достаточно широко используются также гигиенические нормативы ПМП (Таблица № 38), разработанные Международным комитетом по неионизирующим излучениям, которое функционирует при Международной ассоциации радиационной защиты.
Шмелев В.Е., Сбитнев С.А.
"ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ"
"ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ"
Глава 1. Основные понятия теории электромагнитного поля
§ 1.1. Определение электромагнитного поля и его
физических величин.
Математический аппарат теории
электромагнитного поля
Электромагнитным полем (ЭМП) называется вид материи, оказывающий на заряженные частицы силовое воздействие и определяемый во всех точках двумя парами векторных величин, которые характеризуют две его стороны - электрическое и магнитное поля.
Электрическое поле - это составляющая ЭМП, которая характеризуется воздействием на электрически заряженную частицу с силой, пропорциональной заряду частицы и не зависящей от ее скорости.
Магнитное поле - это составляющая ЭМП, которая характеризуется воздействием на движущуюся частицу с силой, пропорциональной заряду частицы и ее скорости.
Изучаемые в курсе теоретических основ электротехники основные свойства и методы расчета ЭМП предполагают качественное и количественное исследование ЭМП, встречающихся в электротехнических, радиоэлектронных и биомедицинских устройствах. Для этого наиболее пригодны уравнения электродинамики в интегральной и дифференциальной формах.
Математический аппарат теории электромагнитного поля (ТЭМП) базируется на теории скалярного поля, векторном и тензорном анализе, а также дифференциальном и интегральном исчислении.
Контрольные вопросы
1. Что такое электромагнитное поле?
2. Что называют электрическим и магнитным полем?
3. На чём базируется математический аппарат теории электромагнитного поля?
§ 1.2. Физические величины, характеризующие ЭМП
Вектором напряженности электрического поля в точке Q называется вектор силы, действующей на электрически заряженную неподвижную частицу, помещенную в точку Q , если эта частица имеет единичный положительный заряд.
В соответствии с этим определением электрическая сила, действующая на точечный заряд q равна:
где E измеряется в В/м.
Магнитное поле характеризуется вектором магнитной индукции . Магнитная индукция в некоторой точке наблюдения Q - это векторная величина, модуль которой равен магнитной силе, действующей на заряженную частицу, находящуюся в точке Q , имеющую единичный заряд и движущуюся с единичной скоростью, причем векторы силы, скорости, магнитной индукции, а также заряд частицы удовлетворяют условию
.
Магнитная сила, действующая на криволинейный проводник с током может быть определена по формуле
.
На прямолинейный проводник, если он находится в однородном поле, действует следующая магнитная сила
.
Во всех последних формулах B - магнитная индукция, которая измеряется в теслах (Тл).
1 Тл - это такая магнитная индукция, при которой на прямолинейный проводник с током 1А действует магнитная сила, равная 1Н, если линии магнитной индукции направлены перпендикулярно проводнику с током, и если длина проводника равна 1м.
Кроме напряженности электрического поля и магнитной индукции в теории электромагнитного поля рассматриваются следующие векторные величины:
1) электрическая индукция D (электрическое смещение), которая измеряется в Кл/м 2 ,
Векторы ЭМП являются функциями пространства и времени:
где Q - точка наблюдения, t - момент времени.
Если точка наблюдения Q находится в вакууме, то между соответствующими парами векторных величин имеют место следующие соотношения
где - абсолютная диэлектрическая проницаемость вакуума (основная электрическая постоянная), =8,85419*10 -12 ;
Абсолютная магнитная проницаемость вакуума (основная магнитная постоянная); = 4π*10 -7 .
Контрольные вопросы
1. Что такое напряжённость электрического поля?
2. Что называют магнитной индукцией?
3. Чему равна магнитная сила, действующая на движущуюся заряженную частицу?
4. Чему равна магнитная сила, действующая на проводник с током?
5. Какими векторными величинами характеризуется электрическое поле?
6. Какими векторными величинами характеризуется магнитное поле?
§ 1.3. Источники электромагнитного поля
Источниками ЭМП являются электрические заряды, электрические диполи, движущиеся электрические заряды, электрические токи, магнитные диполи.
Понятия электрического заряда и электрического тока даны в курсе физики. Электрические токи бывают трех типов:
1. Токи проводимости.
2. Токи смещения.
3. Токи переноса.
Ток проводимости - скорость прохождения подвижных зарядов электропроводящего тела через некоторую поверхность.
Ток смещения - скорость изменения потока вектора электрического смещения через некоторую поверхность.
.
Ток переноса характеризуется следующим выражением
где v - скорость переноса тел через поверхность S ; n - вектор единичной нормали к поверхности; - линейная плотность заряда тел, пролетающих через поверхность, в направлении нормали; ρ - объемная плотность электрического заряда; ρv - плотность тока переноса.
Электрическим диполем называется пара точечных зарядов +q и - q , находящихся на расстоянии l друг от друга (рис. 1).
Точечный электрический диполь характеризуется вектором электрического дипольного момента:
Магнитным диполем называется плоский контур с электрическим током I. Магнитный диполь характеризуется вектором магнитного дипольного момента
где S - вектор площади плоской поверхности, натянутой на контур с током. Вектор S направлен перпендикулярно этой плоской поверхности, причем, если смотреть из конца вектора S , то движение по контуру в направлении, совпадающим с направлением тока, будет происходить против часовой стрелки. Это означает, что направление вектора дипольного магнитного момента связано с направлением тока по правилу правого винта.
Атомы и молекулы вещества представляют собой электрические и магнитные диполи, поэтому каждую точку вещественного типа в ЭМП можно характеризовать объемной плотностью электрического и магнитного дипольного момента:
P - электрическая поляризованность вещества:
M - намагниченность вещества:
Электрическая поляризованность вещества - это векторная величина, равная объемной плотности электрического дипольного момента в некоторой точке вещественного тела.
Намагниченность вещества - это векторная величина, равная объемной плотности магнитного дипольного момента в некоторой точке вещественного тела.
Электрическое смещение - это векторная величина, которая для любой точки наблюдения вне зависимости от того, находится ли она в вакууме или в веществе, определяется из соотношения:
(для вакуума или вещества),
(только для вакуума).
Напряженность магнитного поля - векторная величина, которая для любой точки наблюдения вне зависимости от того находится ли она в вакууме или в веществе определяется из соотношения:
,
где напряженность магнитного поля измеряется в А/м.
Кроме поляризованности и намагниченности существуют другие объемно-распределенные источники ЭМП:
- объемная плотность электрического заряда ; ,
где объемная плотность электрического заряда измеряется в Кл/м 3 ;
- вектор плотности электрического тока , нормальная составляющая которого равна
В более общем случае ток, протекающий через незамкнутую поверхность S , равен потоку вектора плотности тока через эту поверхность:
где вектор плотности электрического тока измеряется в А/м 2 .
Контрольные вопросы
1. Что является источниками электромагнитного поля?
2. Что такое ток проводимости?
3. Что такое ток смещения?
4. Что такое ток переноса?
5. Что такое электрический диполь и электрический дипольный момент?
6. Что такое магнитный диполь и магнитный дипольный момент?
7. Что называют электрической поляризованностью и намагниченностью вещества?
8. Что называется электрическим смещением?
9. Что называется напряжённостью магнитного поля?
10. Что такое объёмная плотность электрического заряда и плотность тока?
Пример применения MATLAB
Задача .
Дано : Контур с электрическим током I в пространстве представляет собой периметр треугольника, декартовы координаты вершин которого заданы: x 1 , x 2 , x 3 , y 1 , y 2 , y 3 , z 1 , z 2 , z 3 . Здесь нижние индексы - номера вершин. Вершины пронумерованы в направлении протекания электрического тока.
Требуется составить функцию MATLAB, вычисляющую вектор дипольного магнитного момента контура. При составлении m-файла можно предполагать, что пространственные координаты измеряются в метрах, а ток - в амперах. Допускается произвольная организация входных и выходных параметров.
Решение
% m_dip_moment - вычисление магнитного дипольного момента треугольного контура с током в пространстве
% pm = m_dip_moment(tok,nodes)
% ВХОДНЫЕ ПАРАМЕТРЫ
% tok - ток в контуре;
% nodes - квадратная матрица вида ." , в каждой строке которой записаны координаты соответствующей вершины.
% ВЫХОДНОЙ ПАРАМЕТР
% pm - матрица-строка декартовых компонентов вектора магнитного дипольного момента.
function pm = m_dip_moment(tok,nodes);
pm=tok*)]) det()]) det()])]/2;
% В последнем операторе вектор площади треугольника умножается на ток
>> nodes=10*rand(3)
9.5013 4.8598 4.5647
2.3114 8.913 0.18504
6.0684 7.621 8.2141
>> pm=m_dip_moment(1,nodes)
13.442 20.637 -2.9692
В данном случае получилось P M = (13.442*1 x + 20.637*1 y - 2.9692*1 z ) А*м 2 , если ток в контуре равен 1 А.
§ 1.4. Пространственные дифференциальные операторы в теории электромагнитного поля
Градиентом скалярного поля Φ(Q ) = Φ(x, y, z ) называется векторное поле, определяемое формулой:
,
где V 1 - область, содержащая точку Q ; S 1 - замкнутая поверхность, ограничивающая область V 1 , Q 1 - точка, принадлежащая поверхности S 1 ; δ - наибольшее расстояние от точки Q до точек на поверхности S 1 (max| Q Q 1 |).
Дивергенцией векторного поля F (Q )=F (x, y, z ) называется скалярное поле, определяемое по формуле:
Ротором (вихрем) векторного поля F (Q )=F (x, y, z ) называется векторное поле, определяемое по формуле:
rot F
= 
Оператор набла - это векторный дифференциальный оператор, который в декартовых координатах определяется формулой:
Представим grad, div и rot через оператор набла:
Запишем эти операторы в декартовых координатах:
; 
;
Оператор Лапласа в декартовых координатах определяется формулой:
Дифференциальные операторы второго порядка:
Интегральные теоремы
Теорема о градиенте 
;
Теорема о дивергенции 
Теорема о роторе 
В теории ЭМП применяется также ещё одна из интегральных теорем:
.
Контрольные вопросы
1. Что называется градиентом скалярного поля?
2. Что называется дивергенцией векторного поля?
3. Что называется ротором векторного поля?
4. Что такое оператор набла и как через него выражаются дифференциальные операторы первого порядка?
5. Какие интегральные теоремы справедливы для скалярных и векторных полей?
Пример применения MATLAB
Задача .
Дано : В объёме тетраэдра скалярное и векторное поля изменяются по линейному закону. Координаты вершин тетраэдра заданы матрицей вида [x 1 , y 1 , z 1 ; x 2 , y 2 , z 2 ; x 3 , y 3 , z 3 ; x 4 , y 4 , z 4 ]. Значения скалярного поля в вершинах заданы матрицей [Ф 1 ; Ф 2 ; Ф 3 ; Ф 4 ]. Декартовы компоненты векторного поля в вершинах заданы матрицей [F 1 x , F 1y , F 1z ; F 2x , F 2y , F 2z ; F 3x , F 3y , F 3z ; F 4x , F 4y , F 4z ].
Определить в объёме тетраэдра градиент скалярного поля, а также дивергенцию и ротор векторного поля. Составить для этого функцию MATLAB.
Решение . Ниже приведён текст m-функции.
% grad_div_rot - Вычисление градиента, дивергенции и ротора... в объёме тетраэдра
% =grad_div_rot(nodes,scalar,vector)
% ВХОДНЫЕ ПАРАМЕТРЫ
% nodes - матрица координат вершин тетраэдра:
% строкам соответствуют вершины, столбцам - координаты;
% scalar - столбцовая матрица значений скалярного поля в вершинах;
% vector - матрица компонентов векторного поля в вершинах:
% ВЫХОДНЫЕ ПАРАМЕТРЫ
% grad - матрица-строка декартовых компонентов градиента скалярного поля;
% div - значение дивергенции векторного поля в объёме тетраэдра;
% rot - матрица-строка декартовых компонентов ротора векторного поля.
% При вычислениях предполагается, что в объёме тетраэдра
% векторное и скалярное поля изменяются в пространстве по линейному закону.
function =grad_div_rot(nodes,scalar,vector);
a=inv(); % Матрица коэффициентов линейной интерполяции
grad=(a(2:end,:)*scalar)."; % Компоненты градиента скалярного поля
div=*vector(:); % Дивергенция векторного поля
rot=sum(cross(a(2:end,:),vector."),2).";
Пример запуска разработанной m-функции:
>> nodes=10*rand(4,3)
3.5287 2.0277 1.9881
8.1317 1.9872 0.15274
0.098613 6.0379 7.4679
1.3889 2.7219 4.451
>> scalar=rand(4,1)
>> vector=rand(4,3)
0.52515 0.01964 0.50281
0.20265 0.68128 0.70947
0.67214 0.37948 0.42889
0.83812 0.8318 0.30462
>> =grad_div_rot(nodes,scalar,vector)
0.16983 -0.03922 -0.17125
0.91808 0.20057 0.78844
Если предположить, что пространственные координаты измеряются в метрах, а векторное и скалярное поля - безразмерные, то в данном примере получилось:
grad Ф = (-0.16983*1 x - 0.03922*1 y - 0.17125*1 z ) м -1 ;
div F = -1.0112 м -1 ;
rot F = (-0.91808*1 x + 0.20057*1 y + 0.78844*1 z ) м -1 .
§ 1.5. Основные законы теории электромагнитного поля
Уравнения ЭМП в интегральной форме
Закон полного тока:
или 
Циркуляция вектора напряженности магнитного поля вдоль контура l равна полному электрическому току, протекающему через поверхность S , натянутую на контур l , если направление тока образуют с направлением обхода контура правовинтовую систему.
Закон электромагнитной индукции:
,
где E c - напряженность стороннего электрического поля.
ЭДС электромагнитной индукции e и в контуре l равна скорости изменения магнитного потока через поверхность S , натянутую на контур l , причем направление скорости изменения магнитного потока образует с направлением e и левовинтовую систему.
Теорема Гаусса в интегральной форме:
Поток вектора электрического смещения через замкнутую поверхность S равен сумме свободных электрических зарядов в объёме, ограниченном поверхностью S .
Закон непрерывности линий магнитной индукции:
Магнитный поток через любую замкнутую поверхность равен нулю.
Непосредственное применение уравнений в интегральной форме позволяет производить расчет простейших электромагнитных полей. Для расчета электромагнитных полей более сложной формы применяют уравнения в дифференциальной форме. Эти уравнения называются уравнениями Максвелла.
Уравнения Максвелла для неподвижных сред
Эти уравнения непосредственно следуют из соответствующих уравнений в интегральной форме и из математических определений пространственных дифференциальных операторов.
Закон полного тока в дифференциальной форме:
,
Плотность полного электрического тока,
Плотность стороннего электрического тока,
Плотность тока проводимости,
Плотность тока смещения: ,
Плотность тока переноса: .
Это означает, что электрический ток является вихревым источником векторного поля напряженности магнитного поля.
Закон электромагнитной индукции в дифференциальной форме:
Это означает, что переменное магнитное поле является вихревым источником для пространственного распределения вектора напряженности электрического поля.
Уравнение непрерывности линий магнитной индукции:
Это означает, что поле вектора магнитной индукции не имеет истоков, т.е. в природе не существует магнитных зарядов (магнитных монополей).
Теорема Гаусса в дифференциальной форме:
Это означает, что истоками векторного поля электрического смещения являются электрические заряды.
Для обеспечения единственности решения задачи анализа ЭМП необходимо дополнить уравнения Максвелла уравнениями материальной связи между векторами E и D , а также B и H .
Соотношения между векторами поля и электрофизическими свойствами среды
Известно, что
| (1) |
Все диэлектрики поляризуются под действием электрического поля. Все магнетики намагничиваются под действием магнитного поля. Статические диэлектрические свойства вещества могут быть полностью описаны функциональной зависимостью вектора поляризованности P от вектора напряженности электрического поля E (P =P (E )). Статические магнитные свойства вещества могут быть полностью описаны функциональной зависимостью вектора намагниченности M от вектора напряженности магнитного поля H (M =M (H )). В общем случае такие зависимости носят неоднозначный (гистерезисный) характер. Это означает, что вектор поляризованности или намагниченности в точке Q определяется не только значением вектора E или H в этой точке, но и предысторией изменения вектора E или H в этой точке. Экспериментально исследовать и моделировать эти зависимости чрезвычайно сложно. Поэтому на практике часто предполагают, что векторы P и E , а также M и H коллинеарны, и электрофизические свойства вещества описывают скалярными гистерезисными функциями (|P |=|P |(|E |), |M |=|M |(|H |). Если гистерезисными характеристиками вышеназванных функций можно пренебречь, то электрофизические свойства описывают однозначными функциями P =P (E ), M =M (H ).
Во многих случаях эти функции приближенно можно считать линейными, т.е.
Тогда с учетом соотношения (1) можно записать следующее
| , | (4) |
Соответственно относительная диэлектрическая и магнитная проницаемости вещества:
Абсолютная диэлектрическая проницаемость вещества:
Абсолютная магнитная проницаемость вещества:
Соотношения (2), (3), (4) характеризуют диэлектрические и магнитные свойства вещества. Электропроводящие свойства вещества могут быть описаны законом Ома в дифференциальной форме
где - удельная электрическая проводимость вещества, измеряемая в См/м.
В более общем случае зависимость между плотностью тока проводимости и вектором напряженности электрического поля носит нелинейный векторно-гистерезисный характер.
Энергия электромагнитного поля
Объемная плотность энергии электрического поля равна
,
где W э измеряется в Дж/м 3 .
Объемная плотность энергии магнитного поля равна
,
где W м измеряется в Дж/м 3 .
Объемная плотность энергии электромагнитного поля равна
В случае линейных электрических и магнитных свойств вещества объемная плотность энергии ЭМП равна
Это выражение справедливо для мгновенных значений удельной энергии и векторов ЭМП.
Удельная мощность тепловых потерь от токов проводимости
Удельная мощность сторонних источников
Контрольные вопросы
1. Как формулируется закон полного тока в интегральной форме?
2. Как формулируется закон электромагнитной индукции в интегральной форме?
3. Как формулируется теорема Гаусса и закон непрерывности магнитного потока в интегральной форме?
4. Как формулируется закон полного тока в дифференциальной форме?
5. Как формулируется закон электромагнитной индукции в дифференциальной форме?
6. Как формулируется теорема Гаусса и закон непрерывности линий магнитной индукции в интегральной форме?
7. Какими соотношениями описываются электрофизические свойства вещества?
8. Как выражается энергия электромагнитного поля через векторные величины, его определяющие?
9. Как определяется удельная мощность тепловых потерь и удельная мощность сторонних источников?
Примеры применения MATLAB
Задача 1 .
Дано : Внутри объёма тетраэдра магнитная индукция и намагниченность вещества изменяются по линейному закону. Координаты вершин тетраэдра заданы, значения векторов магнитной индукции и намагниченности вещества в вершинах также заданы.
Вычислить плотность электрического тока в объёме тетраэдра, используя m-функцию, составленную при решении задачи в предыдущем параграфе. Вычисление выполнить в командном окне MATLAB, предполагая, что пространственные координаты измеряются в миллиметрах, магнитная индукция - в теслах, напряжённость магнитного поля и намагниченность - в кА/м.
Решение .
Зададим исходные данные в формате, совместимом с m-функцией grad_div_rot:
>> nodes=5*rand(4,3)
0.94827 2.7084 4.3001
0.96716 0.75436 4.2683
3.4111 3.4895 2.9678
1.5138 1.8919 2.4828
>> B=rand(4,3)*2.6-1.3
1.0394 0.41659 0.088605
0.83624 -0.41088 0.59049
0.37677 -0.54671 -0.49585
0.82673 -0.4129 0.88009
>> mu0=4e-4*pi % абcолютная магнитная проницаемоcть вакуума, мкГн/мм
>> M=rand(4,3)*1800-900
122.53 -99.216 822.32
233.26 350.22 40.663
364.93 218.36 684.26
83.828 530.68 -588.68
>> =grad_div_rot(nodes,ones(4,1),B/mu0-M)
0 -3.0358e-017 0
914.2 527.76 -340.67
В данном примере вектор полной плотности тока в рассматриваемом объёме получился равным (-914.2*1 x + 527.76*1 y - 340.67*1 z ) А/мм 2 . Чтобы определить модуль плотности тока, выполним следующий оператор:
>> cur_d=sqrt(cur_dens*cur_dens.")
Вычисленное значение плотности тока не может быть получено в сильно намагниченных средах в реальных технических устройствах. Данный пример - чисто учебный. А теперь проверим корректность задания распределения магнитной индукции в объёме тетраэдра. Для этого выполним следующий оператор:
>> =grad_div_rot(nodes,ones(4,1),B)
0 -3.0358e-017 0
0.38115 0.37114 -0.55567
Здесь мы получили значение div B = -0.34415 Тл/мм, чего не может быть в соответствии с законом непрерывности линий магнитной индукции в дифференциальной форме. Из этого следует, что распределение магнитной индукции в объёме тетраэдра задано некорректно.
Задача 2 .
Пусть тетраэдр, координаты вершин которого заданы, находится в воздухе (единицы измерения - метры). Пусть заданы значения вектора напряжённости электрического поля в его вершинах (единицы измерения - кВ/м).
Требуется вычислить объёмную плотность электрического заряда внутри тетраэдра.
Решение можно выполнить аналогично:
>> nodes=3*rand(4,3)
2.9392 2.2119 0.59741
0.81434 0.40956 0.89617
0.75699 0.03527 1.9843
2.6272 2.6817 0.85323
>> eps0=8.854e-3 % абсолютная диэлектрическая проницаемость вакуума, нФ/м
>> E=20*rand(4,3)
9.3845 8.4699 4.519
1.2956 10.31 11.596
19.767 6.679 15.207
11.656 8.6581 10.596
>> =grad_div_rot(nodes,ones(4,1),E*eps0)
0.076467 0.21709 -0.015323
В данном примере объёмная плотность заряда получилась равной 0.10685 мкКл/м 3 .
§ 1.6. Граничные условия для векторов ЭМП.
Закон сохранения заряда. Теорема Умова-Пойнтинга
или 
Здесь обозначено: H 1 - вектор напряжённости магнитного поля на поверхности раздела сред в среде №1; H 2 - то же в среде №2; H 1t - тангенциальная (касательная) составляющая вектора напряжённости магнитного поля на поверхности раздела сред в среде №1; H 2t - то же в среде №2; E 1 вектор полной напряжённости электрического поля на поверхности раздела сред в среде №1; E 2 - то же в среде №2; E 1 c - сторонняя составляющая вектора напряжённости электрического поля на поверхности раздела сред в среде №1; E 2с - то же в среде №2; E 1t - тангенциальная составляющая вектора напряжённости электрического поля на поверхности раздела сред в среде №1; E 2t - то же в среде №2; E 1сt - тангенциальная сторонняя составляющая вектора напряжённости электрического поля на поверхности раздела сред в среде №1; E 2t - то же в среде №2; B 1 - вектор магнитной индукции на поверхности раздела сред в среде №1; B 2 - то же в среде №2; B 1n - нормальная составляющая вектора магнитной индукции на поверхности раздела сред в среде №1; B 2n - то же в среде №2; D 1 - вектор электрического смещения на поверхности раздела сред в среде №1; D 2 - то же в среде №2; D 1n - нормальная составляющая вектора электрического смещения на поверхности раздела сред в среде №1; D 2n - то же в среде №2; σ - поверхностная плотность электрического заряда на границе раздела сред, измеряемая в Кл/м 2 .
Закон сохранения заряда
Если отсутствуют сторонние источники тока, то
,
а в общем случае , т. е. вектор плотности полного тока не имеет истоков, т. е. линии полного тока всегда замкнуты
Теорема Умова-ПойнтингаОбъёмная плотность мощности, потребляемой материальной точкой в ЭМП, равна
В соответствии с тождеством (1)
Это и есть уравнение баланса мощностей для объема V . В общем случае в соответствии с равенством (3) электромагнитная мощность, генерируемая источниками внутри объема V , идет на тепловые потери, на накопление энергии ЭМП и на излучение в окружающее пространство через замкнутую поверхность, ограничивающую этот объем.
Подынтегральное выражение в интеграле (2) называется вектором Пойнтинга:
,
где П измеряется в Вт/м 2 .
Этот вектор равен плотности потока электромагнитной мощности в некоторой точке наблюдения. Равенство (3) - есть математическое выражение теоремы Умова-Пойнтинга.
Электромагнитная мощность, излучаемая областью V в окружающее пространство равна потоку вектора Пойнтинга через замкнутую поверхность S , ограничивающую область V .
Контрольные вопросы
1. Какими выражениями описываются граничные условия для векторов электромагнитного поля на поверхностях раздела сред?
2. Как формулируется закон сохранения заряда в дифференциальной форме?
3. Как формулируется закон сохранения заряда в интегральной форме?
4. Какими выражениями описываются граничные условия для плотности тока на поверхностях раздела сред?
5. Чему равна объемная плотность мощности, потребляемой материальной точкой в электромагнитном поле?
6. Как записывается уравнение баланса электромагнитной мощности для некоторого объёма?
7. Что такое вектор Пойнтинга?
8. Как формулируется теорема Умова-Пойнтинга?
Пример применения MATLAB
Задача .
Дано : Имеется треугольная поверхность в пространстве. Координаты вершин заданы. Значения векторов напряжённости электрического и магнитного поля в вершинах также заданы. Сторонняя составляющая напряжённости электрического поля равна нулю.
Требуется вычислить электромагнитную мощность, проходящую через эту треугольную поверхность. Составить функцию MATLAB, выполняющую это вычисление. При вычислениях считать, что вектор положительной нормали направлен так, что если смотреть из его конца, то движение в порядке возрастания номеров вершин будет происходить против часовой стрелки.
Решение . Ниже приведён текст m-функции.
% em_power_tri - вычисление электромагнитной мощности, проходящей через
% треугольную поверхность в пространстве
% P=em_power_tri(nodes,E,H)
% ВХОДНЫЕ ПАРАМЕТРЫ
% nodes - квадратная матрица вида ." ,
% в каждой строке которой записаны координаты соответствующей вершины.
% E - матрица компонентов вектора напряжённости электрического поля в вершинах:
% строкам соответствуют вершины, столбцам - декартовы компоненты.
% H - матрица компонентов вектора напряжённости магнитного поля в вершинах.
% ВЫХОДНОЙ ПАРАМЕТР
% P - электромагнитная мощность, проходящая через треугольник
% При вычислениях предполагается, что на треугольнике
% векторы напряжённости поля изменяются в пространстве по линейному закону.
function P=em_power_tri(nodes,E,H);
% Вычисляем вектор двойной площади треугольника
S=)]) det()]) det()])];
P=sum(cross(E,(ones(3,3)+eye(3))*H,2))*S."/24;
Пример запуска разработанной m-функции:
>> nodes=2*rand(3,3)
0.90151 0.5462 0.4647
1.4318 0.50954 1.6097
1.7857 1.7312 1.8168
>> E=2*rand(3,3)
0.46379 0.15677 1.6877
0.47863 1.2816 0.3478
0.099509 0.38177 0.34159
>> H=2*rand(3,3)
1.9886 0.62843 1.1831
0.87958 0.73016 0.23949
0.6801 0.78648 0.076258
>> P=em_power_tri(nodes,E,H)
Если предположить, что пространственные координаты измеряются в метрах, вектор напряжённости электрического поля - в вольтах на метр, вектор напряжённости магнитного поля - в амперах на метр, то в данном примере электромагнитная мощность, проходящая через треугольник, получилась равной 0.18221 Вт.