Матрица поворот применяется для вращения системы координат или объекта, сцены.

Матрицы поворота вокруг основных осей.

Матрица поворота вокруг произвольной оси.

Обобщённая матрица поворота.

Хочется задавать положение объекта в пространстве однозначно. Достаточно очевидно что любое положение однозначно определяется 3 поворотами вокруг разных осей. Но встаёт вопрос в каком порядке вращать и как выбрать оси?

Обобщённую матрица поворота можно задать по разному. С одной стороны мы можем вращать объект вокруг неподвижных осей. С другой вокруг осей связанных с объектом ещё их называют локальными. Стоит вспомнить что операции умножения матриц не коммутативна поэтому для однозначного определения положения нужно знать не только 3 угла, но и схему умножения матриц.

Можно выделить 2 популярные схемы.
1) Матрица поворота через углы Эйлера.
2) Матрица поворота через углы летательного аппарата (ЛА): рыскание, тангаж и крен(yaw, pitch и roll).
В виду того что первая требует большого числа вычислений, то на практике обычно применяют вторую.

Матрица поворота через углы Эйлера.

Углы Эйлера - три угла однозначно определяющие ориентацию твёрдого тела, определяющие переход от неподвижной системы координат к подвижной.
Подвижная система координат это система координат привязанная к телу. Иногда говорят в мороженная в тело. Прежде чем дать определения углов нам понадобиться ещё одно. Линия узлов ON - линия пересечение плоскости OXY и Oxy

α (или φ) это угол между осью Оx и осью ON. Диапазон значений ={ a 3 y } т [x 1 ] , или , (3.2)

где - матрица, транспонированная к матрице , описывающей поворот системы CXYZ вокруг третьей координатной оси СZ на угол дифферента y,

; (3.3)

2) от системы к системе (рис. 3.4)

x 1 = x 2 + 0 + 0 ,

y 1 = 0 + y 2 - z 2 , (3.4)

z 1 = 0 + y 2 + z 2 ,

или в матричной форме

[x 1 ] = [x 2 ] , или , (3.5)

где – матрица, транспонированная к матрице , задающей преобразование поворота от осей системы к осям системы вокруг первой из координатных осей на угол крена , при этом = ,

; (3.6)

3) от системы координат к системе Cxyz (рис. 3.5)

x 2 = x cos j + 0 + z sin j,

y 2 = 0 + y + 0 , (3.7)

z 2 = -x sin j + 0 + z cos j,

или в матричной форме [x 2 ]= [x ], или

. (3.8)

Причем поворотная матрица {a 2 j } т – это матрица, транспонированная к матрице { a 2 j }, задающей преобразование поворота от осей системы к осям системы Cxyz на угол рысканияjвокруг второй из координатных осей = , имеет вид

. (3.9)

Для любой точки М тела с координатами x , y , z в подвижной системе координат, жестко связанной с ним, и с ее же координатами X , Y , Z – в неподвижной системе координат можно установить взаимосвязь проекций вектора точки на оси двух систем координат,

, (3.10)

или в матричном виде

или , (3.11)

где углы Крылова являются некоторыми функциями времени: угол дифферента ,угол крена ,угол рыскания .

Матрица транспонирована к матрице направляющих косинусов , задающей преобразование поворота от осей неподвижной системы CXYZ к осям подвижной системы Cxyz , неизменно связанной с кораблем. Очевидно, что при движении тела координаты x , y , z остаются постоянными в отличие от координат X , Y , Z.

Подставляя в (3.2) соотношения (3.5) и (3.8), получаем:

Сравнивая (3.11) и (3.12), находим, что искомая матрица является произведением трех поворотных матриц

=

=

.(3.13)

Подставляя в (3.2) соотношение (3.5), получаем промежуточное соотношение, которое может понадобиться в дальнейшем, [X ] = [x 2 ]. Промежуточная поворотная матрица = находится как произведение двух матриц поворота:

=

= (3.13a )

Углы Эйлера

В тех случаях, когда угловая скорость вращения в одном направлении значительно больше, чем в двух других (генераторы, моторы, турбины, гироскопы), для определения положения тела в качестве трех независимых параметров выбирают три угла Эйлера: угол прецессии y (t ),угол нутацииq (t ) иугол ротации (собственного вращения) j (t ). Их названия заимствованы из астрономии.

Чтобы задать эти углы, рассмотрим вращение твердого тела вокруг неподвижной точки О . Пусть даны некоторая система отсчета и связанная с ней неподвижная система координат ОXYZ , относительно которой движется твердое тело, и связанная с твердым телом система координат Оxyz , которая движется относительно первой (рис. 3.6 … 3.8). Это означает, что первая и вторая системы координат имеют общее начало O , а углы, образуемые осями Оxyz с осями ОXYZ , изменяются, т.е. система Оxyz
поворачивается вместе с твердым телом вокруг неподвижной точки О (рис. 3.5 … 3.8).

Рис. 3.6