Вычитание векторов по координатам примеры. Операции с векторами

Определение

Сложение векторов иосуществляется поправилу треугольника .

Суммой двух векторов иназывают такой третий вектор, начало которого совпадает с началом, а конец - с концомпри условии, что конец вектораи начало векторасовпадают (рис. 1).

Для сложения векторов применяется также правило параллелограмма.

Определение

Правило параллелограмма - если два неколлинеарных вектора ипривести к общему началу, то векторсовпадает с диагональю параллелограмма, построенного на векторахи(рис. 2). Причем начало векторасовпадает с началом заданных векторов.

Определение

Вектор называетсяпротивоположным вектором к вектору , если онколлинеарен вектору , равен ему по длине, но направлен в противоположную сторону вектору.

Операция сложения векторов обладает следующими свойствами:

Определение

Разностью векторов иназывается вектортакой, что выполняется условие:(рис. 3).

Умножение вектора на число

Определение

Произведением вектора на число называется вектор, удовлетворяющий условиям:

Свойства умножения вектора на число:

Здесь и- произвольные векторы,,- произвольные числа.

Евкли́дово простра́нство (также Эвкли́дово простра́нство ) - в изначальном смысле, пространство, свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии . В этом случае предполагается, что пространство имеет размерность равную 3.

В современном понимании, в более общем смысле, может обозначать один из сходных и тесно связанных объектов: конечномерное вещественное векторное пространство с введённым на нём положительно определённымскалярным произведением , либо метрическое пространство , соответствующее такому векторному пространству. В этой статье за исходное будет взято первое определение.

Мерное евклидово пространство обозначается также часто используется обозначение(если из контекста ясно, что пространство обладает евклидовой структурой).

Для определения евклидова пространства проще всего взять в качестве основного понятие скалярного произведения . Евклидово векторное пространство определяется как конечномерное векторное пространство над полем вещественных чисел , на векторах которого задана вещественнозначная функция обладающая следующими тремя свойствами:

Аффинное пространство , соответствующее такому векторному пространству, называется евклидовым аффинным пространством, или просто евклидовым пространством .

Пример евклидова пространства - координатное пространство состоящее из всевозможныхn -ок вещественных чисел скалярное произведение в котором определяется формулой

Базис и координаты вектора

Ба́зис (др.-греч. βασις, основа) - множество таких векторов в векторном пространстве , что любой вектор этого пространства может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов из этого множества - базисных векторов .

В случае, когда базис бесконечен, понятие «линейная комбинация» требует уточнения. Это ведёт к двум основным разновидностям определения:

Базис Га́меля , в определении которого рассматриваются только конечные линейные комбинации. Базис Гамеля применяется в основном в абстрактной алгебре (в частности в линейной алгебре).

Базис Ша́удера , в определении которого рассматриваются и бесконечные линейные комбинации, а именно - разложение в ряды . Это определение применяется в основном в функциональном анализе, в частности для гильбертова пространства ,

В конечномерных пространствах обе разновидности базиса совпадают.

Координа́ты ве́ктора ― коэффициенты единственно возможной линейной комбинации базисных векторов в выбранной системе координат , равной данному вектору.

где - координаты вектора.

Скалярное произведение.

операция над двумя векторами , результатом которой является число [когда рассматриваются векторы, числа часто называют скалярами ], не зависящее от системы координат и характеризующее длины векторов-сомножителей и угол между ними. Данной операции соответствует умножение длины вектора x на проекцию вектора y на вектор x . Эта операция обычно рассматривается как коммутативная и линейная по каждому сомножителю.

Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений их соответствующих координат:

Векторное произведение

это псевдовектор , перпендикулярный плоскости, построенной по двум сомножителям, являющийся результатом бинарной операции «векторное умножение» над векторами в трёхмерном евклидовом пространстве . Векторное произведение не обладает свойствами коммутативности и ассоциативности (является антикоммутативным ) и, в отличие от скалярного произведения векторов , является вектором. Широко используется во многих технических и физических приложениях. Например, момент импульса и сила Лоренца математически записываются в виде векторного произведения. Векторное произведение полезно для «измерения» перпендикулярности векторов - модуль векторного произведения двух векторов равен произведению их модулей, если они перпендикулярны, и уменьшается до нуля, если векторы параллельны либо антипараллельны.

Векторное произведение двух векторов можно вычислить с помощью определителя матрицы

Смешанное произведение

Сме́шанное произведе́ние векторов -скалярное произведение вектора навекторное произведение векторов и:

Иногда его называют тройным скалярным произведением векторов, по всей видимости из-за того, что результатом является скаляр (точнее - псевдоскаляр ).

Геометрический смысл: Модуль смешанного произведения численно равен объёму параллелепипеда , образованного векторами .смешанное произведение трех векторов можно найти через определитель

Плоскость в пространстве

Плоскость - алгебраическая поверхность первого порядка: в декартовой системе координат плоскость может быть задана уравнением первой степени.

Некоторые характеристические свойства плоскости

Плоскость - поверхность , содержащая полностью каждую прямую , соединяющую любые её точки ;

Две плоскости являются либо параллельными, либо пересекаются по прямой.

Прямая либо параллельна плоскости, либо пересекает ее в одной точке, либо находится на плоскости.

Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны друг другу.

Две плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны друг другу.

Аналогично отрезку и интервалу , плоскость, не включающую крайние точки, можно назвать интервальной плоскостью, или открытой плоскостью.

Общее уравнение (полное) плоскости

где и- постоянные, причёмиодновременно не равны нулю; ввекторной форме:

где - радиус-вектор точки, векторперпендикулярен к плоскости (нормальный вектор).Направляющие косинусы вектора :

Скаляры можно складывать, умножать и делить так же, как обычные числа.

Поскольку вектор характеризуется не только числовым значение, но и направлением, сложение векторов не подчиняется правилам сложения чисел. Например, пусть длины векторов a = 3 м, b = 4 м, тогда a + b = 3 м + 4 м = 7 м. Но длина вектора \(\vec c = \vec a + \vec b\) не будет равна 7 м (рис. 1).

Рис. 1.

Для того, чтобы построить вектор \(\vec c = \vec a + \vec b\) (рис. 2), применяются специальные правила сложения векторов.

Рис. 2.

А длину вектора суммы \(\vec c = \vec a + \vec b\) определяют по теореме косинусов \(c = \sqrt{a^2+b^2-2a\cdot b\cdot \cos \alpha}\), где \(\alpha\,\) – угол между векторами \(\vec a\) и \(\vec b\).

Правило треугольника

В зарубежной литературе этот метод называют «хвост к голове».

Для того чтобы сложить два вектора \(\vec a\) и \(\vec b\) (рис. 3, а) нужно переместить вектор \(\vec b\) параллельно самому себе так, чтобы его начало совпадало с концом вектора \(\vec a\) (рис. 3, б). Тогда их суммой будет вектор \(\vec c\), начало которого совпадает с началом вектора \(\vec a\), а конец - с концом вектора \(\vec b\) (рис. 3, в).

а б в Рис. 3.

Результат не поменяется, если перемещать вместо вектора \(\vec b\) вектор \(\vec a\) (рис. 4), т.е. \(\vec b + \vec a = \vec a + \vec b\) (свойство коммутативности векторов ).

а б в Рис. 4. vector-treug-1.swf "Правило треугольников" Пример 1 Увеличить Flash vector-treug-2.swf "Правило треугольников" Пример 2 Увеличить Flash Рис. 5.

При помощи правила треугольника можно сложить два параллельных вектора \(\vec a\) и \(\vec b\) (рис. 6, а) и \(\vec a\) и \(\vec d\) (рис. 7, а). Суммы этих векторов \(\vec c = \vec a + \vec b\) и \(\vec f = \vec a + \vec d\) изображены на рис. 6, б и 7, б. Причем, модули векторов \(c = a + b\) и \(f=\left|a-d\right|\).

а б Рис. 6. а б Рис. 7.

Правило треугольника можно применять при сложении трех и более векторов. Например, \(\vec c = \vec a_1 + \vec a_2 +\vec a_3 +\vec a_4\) (рис. 8).

Рис. 8.

Правило параллелограмма

Для того чтобы сложить два вектора \(\vec a\) и \(\vec b\) (рис. 9, а) нужно переместить их параллельно самим себе так, чтобы начала векторов \(\vec a\) и \(\vec b\) находились в одной точке (рис. 9, б). Затем построить параллелограмм, сторонами которого будут эти вектора (рис. 9, в). Тогда суммой \(\vec a+ \vec b\) будет вектор \(\vec c\), начало которого совпадает с общим началом векторов, а конец - с противоположной вершиной параллелограмма (рис. 9, г).

а б в г Рис. 9. vector-paral-1.swf "Правило параллепипеда" Увеличить Flash Рис. 10.

Вычитание векторов

Для того чтобы найти разность двух векторов \(\vec a\) и \(\vec b\) (рис. 11) нужно найти вектор \(\vec c = \vec a + \left(-\vec b \right)\) (см.

Вектор - это математический объект, который характеризуется величиной и направлением (например, ускорение, перемещение), чем и отливается от скаляров, у которых направления нет (например, расстояние, энергия). Скаляры можно складывать, сложив их значения (например, 5 кДж работы плюс 6 кДж работы равно 11 кДж работы), а вот векторы складывать и вычитать не так просто.

Шаги

Сложение и вычитание векторов с известными компонентами

Так как векторы имеют величину и направление, то их можно разложить на компоненты, основываясь на размерностях х, у и/или z. Они, как правило, обозначаются так же, как точки в системе координат (например, <х,у,z>). Если компоненты известны, то сложить/вычесть векторы так же просто, как сложить/вычесть координаты x, y, z.

• Обратите внимание, что векторы могут быть одномерными, двумерными или трехмерными. Таким образом, векторы могут иметь компонент «х», компоненты «х» и «у» или компоненты «х», «у», «z». Ниже рассмотрены трехмерные векторы, но процесс аналогичен для одномерных и двумерных векторов.
• Предположим, что вам даны два трехмерных вектора - вектор А и вектор B. Запишите эти векторы в векторной форме: А = и B = , где a1 и а2 - компоненты «х», b1 и b2 - компоненты «у», c1 и c2 - компоненты «z».

1. Для сложения двух векторов сложите их соответствующие компоненты. Другими словами, сложите компонент «х» первого вектора с компонентом «х» второго вектора (и так далее). В результате вы получите компоненты х, у, z результирующего вектора.

   • A+B = .
   • Сложим векторы A и B. A = <5, 9, -10> и B = <17, -3, -2>. A + B = <5+17, 9+-3, -10+-2>, или <22, 6, -12> .

2. Для вычитания одного вектора из другого необходимо вычесть соответствующие компоненты. Как будет показано ниже, вычитание можно заменить сложением одного вектора и вектора, обратного другому. Если компоненты двух векторов известны, вычтите соответствующие компоненты одного вектора из компонентов другого.

   • A-B =
   • Вычтем векторы A и B. A = <18, 5, 3> и B = <-10, 9, -10>. A - B = <18--10, 5-9, 3--10>, or <28, -4, 13> .

   Графическое сложение и вычитание

   1. Так как векторы имеют величину и направление, то у них есть начало и конец (начальная точка и конечная точка, расстояние между которыми равно значению вектора). При графическом отображении вектора он рисуется в виде стрелки, у которой наконечник - конец вектора, а противоположная точка - начало вектора.

      • При графическом отображении векторов стройте все углы очень точно; в противном случае вы получите неправильный ответ.

   2. Для сложения векторов нарисуйте их так, чтобы конец каждого предыдущего вектора соединялся с началом следующего вектора. Если вы складываете только два вектора, то это все, что вам нужно сделать, прежде чем найти результирующий вектор.

      • Обратите внимание, что порядок соединения векторов не важен, то есть вектор А + вектор B = вектор B + вектор А.

   3. Для вычитания вектора просто прибавьте обратный вектор, то есть измените направление вычитаемого вектора, а затем соедините его начало с концом другого вектора. Другими словами, чтобы вычесть вектор, поверните его на 180 o (вокруг точки начала) и сложите его с другим вектором.

      Если вы складываете или вычитаете насколько (больше двух) векторов, то последовательно соедините их концы и начала. Порядок, в котором вы соединяете векторы, не имеет значения. Этот метод можно использовать для любого числа векторов.

   4. Нарисуйте новый вектор, начиная от начала первого вектора и заканчивая концом последнего вектора (при этом число складываемых векторов не важно). Вы получите результирующий вектор, равный сумме всех складываемых векторов. Обратите внимание, что этот вектор совпадает с вектором, полученным путем сложения компонентов «х», «у», «z» всех векторов.

      • Если вы нарисовали длины векторов и углы между ними очень точно, то вы можете найти значение результирующего вектора, просто измерив его длину. Кроме того, вы можете измерить угол (между результирующим вектором и другим указанным вектором или горизонтальной/вертикальной прямыми), чтобы найти направление результирующего вектора.
      • Если вы нарисовали длины векторов и углы между ними очень точно, то вы можете найти значение результирующего вектора при помощи тригонометрии, а именно теоремы синусов или теоремы косинусов. Если вы складываете несколько векторов (более двух), сначала сложите два вектора, затем сложите результирующий вектор и третий вектор и так далее. Смотрите следующий раздел для получения дополнительной информации.

   5. Представьте результирующий вектор, обозначив его значение и направление. Как отмечалось выше, если вы нарисовали длины складываемых векторов и углы между ними очень точно, то значение результирующего вектора равно его длине, а направление - это угол между ним и вертикальной или горизонтальной прямой. К значению вектора не забудьте приписать единицы измерения, в которых даны складываемые/вычитаемые вектора.

      • Например, если вы складываете векторы скорости, измеряемые в м/с, то и к значению результирующего вектора припишите «м/с», а также укажите угол результирующего вектора в формате « o к горизонтальной прямой».

   Сложение и вычитание векторов через нахождение значений их компонентов

   1. Чтобы найти значения компонентов векторов необходимо знать значения самих векторов и их направление (угол относительно горизонтальной или вертикальной прямой). Рассмотрим двумерный вектор. Сделайте его гипотенузой прямоугольного треугольника, тогда катетами (параллельными осям Х и Y) этого треугольника будут компоненты вектора. Эти компоненты можно рассматривать как соединенные два вектора, которые при сложении дают исходный вектор.

      • Длины (значения) двух компонентов (компонентов «х» и «у») исходного вектора можно вычислить при помощи тригонометрии. Если «х» - это значение (модуль) исходного вектора, то компонент вектора, прилежащий к углу исходного вектора, равен xcosθ, а компонент вектора, противолежащий углу исходного вектора, равен xsinθ.
      • Важно отметить направление компонентов. Если компонент направлен противоположно направлению одной из осей, то его значение будет отрицательным, например, если на двумерной плоскости координат компонент направлен влево или вниз.
      • Например, дан вектор с модулем (значением) 3 и направлением 135 o (по отношению к горизонтали). Тогда компонент «х» равен 3cos 135 = -2,12, а компонент «у» равен 3sin135 = 2,12.

   2. После того, как вы нашли компоненты всех складываемых векторов, просто сложите их значения и найдете значения компонентов результирующего вектора. Сначала сложите значения всех горизонтальных компонентов (то есть компонентов, параллельных оси Х). Затем сложите значения всех вертикальных компонентов (то есть компонентов, параллельных оси Y). Если значение компонента отрицательное, то оно вычитается, а не прибавляется.

      • Например, сложим вектор <-2,12, 2,12> и вектор <5,78, -9>. Результирующий вектор будет таким <-2,12 + 5,78, 2,12-9> или <3,66, -6,88>.

   3. Вычислите длину (значение) результирующего вектора, используя теорему Пифагора: c 2 =a 2 +b 2 (так как треугольник, образованный исходным вектором и его компонентами является прямоугольным). В этом случае катетами являются компоненты «х» и «у» результирующего вектора, а гипотенузой - сам результирующий вектор.

      • Например, если в нашем примере вы складывали силу, измеряемую в Ньютонах, то ответ запишите так: 7,79 Н под углом -61,99 o (к горизонтальной оси).
   • Не путайте векторы с их модулями (значениями).
   • Векторы, у которых одно направление, можно складывать или вычитать, просто сложив или отняв их значения. Если складываются два противоположно направленных вектора, то их значения вычитаются, а не складываются.
   • Векторы, которые представлены в виде xi + yj + zk можно сложить или вычесть, просто сложив или вычтя соответствующие коэффициенты. Ответ также запишите в виде i,j,k.
   • Значение вектора в трехмерном пространстве можно найти с помощью формулы a 2 =b 2 +c 2 +d 2 , где a - значение вектора, b, c, и d - компоненты вектора.
   • Векторы-столбцы можно складывать/вычитать, сложив/вычтя соответствующие значения в каждой строке.

В этой статье мы рассмотрим операции, которые можно производить с векторами на плоскости и в пространстве. Далее мы перечислим свойства операций над векторами и обоснуем их с помощью геометрических простроений. Также покажем применение свойств операций над векторами при упрощении выражений, содержащих векторы.

Для более качественного усвоения материала рекомендуем освежить в памяти понятия, данные в статье векторы - основные определения .

Навигация по странице.

Операция сложения двух векторов - правило треугольника.

Покажем как происходит сложение двух векторов .

Сложение векторов и происходит так: от произвольной точки A откладывается вектор , равный , далее от точки B откладываеься вектор , равный , и вектор представляет собой сумму векторов и . Такой способ сложения двух векторов называется правилом треугольника .

Проиллюстрируем сложение не коллинеарных векторов на плоскости по правилу треугольника.

А на чертеже ниже показано сложение сонаправленных и противоположно направленных векторов.

Сложение нескольких векторов - правило многоугольника.

Основываясь на рассмотренной операции сложения двух векторов, мы можем сложить три вектора и более. В этом случае складываются первые два вектора, к полученному результату прибавляется третий вектор, к получившемуся прибавляется четвертый и так далее.

Сложение нескольких векторов выполняется следующим построением. От произвольной точки А плоскости или пространства откладывается вектор, равный первому слагаемому, от его конца откладывается вектор, равный второму слагаемому, от его конца откладывается третье слагаемое, и так далее. Пусть точка B - это конец последнего отложенного вектора. Суммой всех этих векторов будет вектор .

Сложение нескольких векторов на плоскости таким способом называется правилом многоугольника . Приведем иллюстрацию правила многоугольника.

Абсолютно аналогично производится сложение нескольких векторов в пространстве.

Операция умножения вектора на число.

Сейчас разберемся как происходит умножение вектора на число .

Умножение вектора на число k соответствует растяжению вектора в k раз при k > 1 или сжатию в раз при 0 < k < 1 , при k = 1 вектор остается прежним (для отрицательных k еще изменяется направление на противоположное). Если произвольный вектор умножить на ноль, то получим нулевой вектор. Произведение нулевого вектора и произвольного числа есть нулевой вектор.

К примеру, при умножении вектора на число 2 нам следует вдвое увеличить его длину и сохранить направление, а при умножении вектора на минус одну треть следует уменьшить его длину втрое и изменить направление на противоположное. Приведем для наглядности иллюстрацию этого случая.

Свойства операций над векторами.

Итак, мы определили операцию сложения векторов и операцию умножения вектора на число. При этом для любых векторов и произвольных действительных чисел можно при помощи геометрических построений обосновать следующие свойства операций над векторами . Некоторые из них очевидны.

Рассмотренные свойства дают нам возможность преобразовывать векторные выражения.

Свойства коммутативности и ассоциативности операции сложения векторов позволяют складывать векторы в произвольном порядке.

Операции вычитания векторов как таковой нет, так как разность векторов и есть сумма векторов и .

Учитывая рассмотренные свойства операций над векторами, мы можем в выражениях, содержащих суммы, разности векторов и произведения векторов на числа, выполнять преобразования так же как и в числовых выражениях.

Разберем на примере.

Рассмотрим вектор v с начальной точкой в начале координат в любой координатной системе x-y и с конечной точкой в (a,b). Мы говорим, что вектор находится в стандартном положении и ссылаемся на него как на радиус-вектор. Обратите внимание, что пара точек определяет этот вектор. Таким образом, мы можем использовать это для обозначения вектора. Чтобы подчеркнуть, что мы имеем в виду вектор, и, чтобы избежать путаницы, как правило, пишут:
v = .

Координата a есть скаляром горизонтальной компоненты вектора, и координата b есть скаляром вертикальной компоненты вектора. Под скаляром мы подразумеваем численное количество, а не векторную величину. Таким образом, это рассматривается как компонентная форма v. Обратите внимание, что a и b НЕ вектора и их не надо путать с определением компонента вектора.

Теперь рассмотрим с A = (x 1 , y 1) и C = (x 2 , y 2). Давайте рассмотрим, как найти радиус вектор, эквивалентный . Как Вы видите на рисунке внизу, начальная точка A перемещена в начало координат (0, 0). Координаты P находятся вычитанием координат A из координат C. Таким образом, P = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1) и радиус вектор есть .


Можно показать, что и имеют одну и ту же величину и направление, и поэтому эквивалентны. Таким образом, = = .

Компонентная форма с A = (x 1 , y 1) и C = (x 2 , y 2) есть
= .

Пример 1 Найдите компонентную форму если C = (- 4, - 3) и F = (1, 5).

Решение Мы имеем
= = .

Обратите внимание, что вектор есть равным радиус-вектору , как показано на рисунке вверху.

Теперь, когда мы знаем, как записать вектор в компонентной форме, давайте изложим некоторые определения.
Длину вектора v легко определить, когда известны компоненты вектора. Для v = , мы имеем
|v| 2 = v 2 1 + v 2 2 Используя теорему Пифагора
|v| = √v 2 1 + v 2 2 .

Длина , или величина ветктора v = находится как |v| = √v 2 1 + v 2 2 .

Два вектора равны или эквивалентны, если они имеют одну и ту же величину и одно и то же направление.

Пусть u = и v = . Tогда
= только если u 1 = v 1 and u 2 = v 2 .

Операции с векторами

Чтобы умножить вектор V на положительное число, мы умножаем его длину на это число. Его направление остается прежним. Когда вектор V умножается на 2, например, его длина увеличивается в два раза, но его направление не изменяется. Когда вектор умножается на 1,6, его длина увеличивается на 60%, а направление остается прежним. Чтобы умножить вектор V на отрицательное действительное число, умножаем его длину на это число и изменяем направление на противоположное. Например, Когда вектор умножается на (-2), его длина увеличивается в два раза и его направление изменяется на противоположное. Так как действительные числа работают как скалярные множители в умножении векторов, мы называем их скаляры и произведение kv называется скалярные кратные v.

Для действительного числа k и вектора v = , скалярное произведение k и v есть
kv = k. = .
Вектор kv есть скалярным кратным вектора v.

Пример 2 Пусть u = и w = . Найдите - 7w, 3u и - 1w.

Решение
- 7w = - 7. = ,
3u = 3. = ,
- 1w = - 1. = .

Теперь мы можем сложить два вектора, используя компоненты. Чтобы сложить два вектора в компонентной форме, мы складываем соответствующие компоненты. Пусть u = и v = . Тогда
u + v =

Например, если v = и w = , тогда
v + w = =

Если u = и v = , тогда
u + v = .

Перед тем, как мы определим вычитание векторов нам нужно дать определение - v. Противоположный вектору v = , изображенному внизу, есть
- v = (- 1).v = (- 1) =

Вычитание векторов, такое как u - v вовлекает вычитание соответствующих компонент. Мы покажем это представлением u - v как u + (- v). Если u = и v = , тогда
u - v = u + (- v) = + = =

Мы можем проиллюстрировать вычитание векторов с помощью параллелограмма, как мы это делали для сложения векторов.

Вычитание векторов

Если u = и v = , тогда
u - v = .

Интересно сравнить суммы двух векторов с разницей тех же двух векторов в одном параллелограмме. Векторы u + v и u - v есть диагоналями параллелограмма.

Пример 3 Сделайте следующие вычисления, где u = и v = .
a) u + v
b) u - 6v
c)3u + 4v
d)|5v - 2u|

Решение
a) u + v = + = = ;
b)u - 6v = - 6. = - = ;
c) 3u + 4v = 3. + 4. = + = ;
d) |5v - 2u| = |5. - 2.| = | - | = || = √(- 29) 2 + 21 2 = √1282 ≈ 35,8

Прежде чем сформулировать свойства векторного сложения и умножения, мы должны дать определение еще одному специальному вектору - нулевому вектору. Вектор, чья начальная точка совпадает с конечной точкой, называется нулевым вектором , обозначается O, или. Его величина равна 0. В сложении векторов:
v + O = v. + =
Операции над векторами обладают те же самыми свойствами, что и операции над вещественными числами.

Свойства векторного сложения и умножения

Для всех векторов u, v, и w, и для всех скаляров b и c:
1. u + v = v + u.
2. u + (v + w) = (u + v) + w.
3. v + O = v.
4 1.v = v; 0.v = O.
5. v + (- v) = O.
6. b(cv) = (bc)v.
7. (b + c)v = bv + cv.
8. b(u + v) = bu + bv.

Орты

Вектор величиной, или длиной 1 называется орт . Вектор v = есть орт, потому что
|v| = || = √(- 3/5) 2 + (4/5) 2 = √9/25 + 16/25 = √25/25 = √1 = 1.

Пример 4 Найдите орт, который имеет то же самое направление, что и вектор w = .

Решение Найдем сначала длину w:
|w| = √(- 3) 2 + 5 2 = √34 . Таким образом, мы ищем вектор, с длиной 1/√34 от w и с таким же самым направлением, что и вектор w. Этот вектор есть
u = w/√34 = /√34 = 34, 5/√34 >.
Вектор u есть орт, потому что
|u| = |w/√34 | = = √9/34 + 25/34 = √34/34 = √1 = 1.

Если v есть вектор и v ≠ O, тогда
(1/|v|). v, or v/|v|,
есть орт в направлении v.

Хотя орты могут иметь любое направление, орты, параллельные осям x и y особенно полезны. Они определяются как
i = and j = .

Любой вектор может быть выражен как линейная комбинация орта i и j. Например, пусть v = . Tогда
v = = + = v 1 + v 2 = v 1 i + v 2 j.

Пример 5 Выразите вектор r = как линейную комбинацию i и j.

Решение
r = = 2i + (- 6)j = 2i - 6j.

Пример 6 Запишите вектор q = - i + 7j в компонентной форме.

Решение q = - i + 7j = -1i + 7j =

Векторные операции могут быть также выполнены, когда векторы записаны как линейные i и j.

Пример 7 Если a = 5i - 2j и b = -i + 8j, найдите 3a - b.

Решение
3a - b = 3(5i - 2j) - (- i + 8j) = 15i - 6j + i - 8j = 16i - 14j.

Углы обзора

Конечная точка P орты в стандартной позиции есть точкой на единичной окружности, определенной (cosθ, sinθ). Таким образом, орт может быть выражен в компонентной форме,
u = ,
или как линейная комбинация орт i и j,
u = (cosθ)i + (sinθ)j,
где компоненты u есть функциями угла обзора θ измеряемого против часовой стрелки от оси x к этому вектору. Так как θ изменяется от 0 до 2π, точка P отслеживает круг x 2 + y 2 = 1. Это охватывает все возможные направления ортов и тогда уравнение u = (cosθ)i + (sinθ)j описывает каждый возможный орт на плоскости.

Пример 8 Вычислите и сделайте эскиз орта u = (cosθ)i + (sinθ)j для θ = 2π/3. Изобразите единичную окружность на эскизе.

Решение
u = (cos(2π/3))i + (sin(2π/3))j = (- 1/2)i + (√3 /2)j

Пусть v = с углом обзора θ. Используя определение функции тангенса, мы можем определить угол обзора их компонент v:

Пример 9 Определите угол обзора θ вектора w = - 4i - 3j.

Решение Мы знаем, что
w = - 4i - 3j = .
Таким образом, имеем
tanθ = (- 3)/(- 4) = 3/4 и θ = tan - 1 (3/4).
Так как w находится в третьем квадранте, мы знаем, что θ есть углом третьего квадранта. Соответствующий угол есть
tan - 1 (3/4) ≈ 37°, и θ ≈ 180° + 37°, или 217°.

Это удобно для работы с прикладными задачами, а в последующих курсах, чтобы иметь способ выразить вектор так, чтобы его величина и направление могли быть легко определены или прочитаны. Пусть v это вектор. Тогда v/|v| есть орт в том же самом направлении, что и v. Таким образом, мы имеем
v/|v| = (cosθ)i + (sinθ)j
v = |v|[(cosθ)i + (sinθ)j] Умножая на |v|
v = |v|(cosθ)i + |v|(sinθ)j.

Углы между векторами

Когда вектор умножается на скаляр, результатом есть вектор. Когда складываются два вектора, результатом также есть вектор. Таким образом, мы могли бы ожидать, что произведение двух векторов есть вектор, но это не так. Скалярное произведение двух векторов есть действительное число или скаляр. Этот результат полезен в нахождении угла между двумя векторами и в определении, являются ли два вектора перпендикулярными.

Скалярное произведение двух векторов u = и v = is
u . v = u 1 .v 1 + u 2 .v 2
(Обратите внимание, что u 1 v 1 + u 2 v 2 есть скаляром , а не вектором.)

Пример 10 Найдите скалярное произведение, когда
u = , v = и w = .
a)u . w
b)w . v

Решение
a) u . w = 2(- 3) + (- 5)1 = - 6 - 5 = - 11;
b) w . v = (- 3)0 + 1(4) = 0 + 4 = 4.

Скалярное произведение может быть использовано для нахождения угла между двумя векторами. Угол между двумя векторами это самый маленький положительный угол, образованный двумя направленными отрезками. Таким образом, θ между u и v это тот же самый угол, что и между v и u, и 0 ≤ θ ≤ π.

Если θ есть углом между двумя ненулевыми векторами u и v, тогда
cosθ = (u . v)/|u||v|.

Пример 11 Найдите угол между u = и v = .

Решение Начнем с нахождения u . v, |u|, и |v|:
u . v = 3(- 4) + 7(2) = 2,
|u| = √3 2 + 7 2 = √58 , and
|v| = √(- 4) 2 + 2 2 = √20 .
Tогда
cosα = (u . v)/|u||v| = 2/√58 .√20
α = cos - 1 (2/√58 .√20 )
α ≈ 86,6°.

Равновесие сил

Когда несколько сил действуют на одну и ту же точку на объекте, их векторная сумма должна быть равна нуля, для того, чтобы был баланс. Когда есть баланс сил, то объект является стационарным или движется по прямой линии, без ускорения. Тот факт, что векторная сумма должна быть равна нулю вывода для получения баланса, и наоборот, позволяет решать нам многие прикладные задачи с участием сил.

Пример 12 Подвесной блок 350- фунтовый блок подвешен с помощью двух кабелей. осталось. В точке А есть три силы, действующие так: W блок тянет вниз, а R и S (два кабеля) тянут вверх и наружу. Найдите нагрузку каждого кабеля.

Решение Нарисуем диаграмму с начальными точками каждого вектора в начале кооординат. Для баланса, сумма векторов должна быть равна О:

R + S + W = О.
Мы можем выразить каждый вектор через его величину и угол обзора:
R = |R|[(cos125°)i + (sin125°)j],
S = |S|[(cos37°)i + (sin37°)j], и
W = |W|[(cos270°)i + (sin270°)j]
= 350(cos270°)i + 350(sin270°)j
= -350j cos270° = 0; sin270° = - 1.
Заменяя R, S, и W in R + S + W + O, мы имеем
[|R|(cos125°) + |S|(cos37°)]i + [|R|(sin125°) + |S|(sin37°) - 350]j = 0i + 0j.
Это дает нам систему уравнений:
|R|(cos125°) + |S|(cos37°) = 0,
|R|(sin125°) + |S|(sin37°) - 350 = 0.
Решая эту систему, мы получаем
|R| ≈ 280 и |S| ≈ 201.
Таким образом, нагрузка на кабели 280 фунтов и 201 фунт.