Определители четвертого и старших порядков возможно вычислять по упрощенным схемам, которые заключаются в разложении по элементам строк или столбцов или сведении к треугольному виду. Оба метода для наглядности будут рассмотрены на матрицах 4-го порядка.
Метод разложения по элементам строк или столбцов
Первый пример мы рассмотрим с подробными объяснениями всех промежуточных действий.
Пример 1.
Вычислить определитель методом разложения.
Решение.
Для упрощения вычислений разложим определитель четвертого порядка по элементам первой строки (содержит нулевой элемент). Они образуются умножением элементов на соответствующие им дополнения (образуются вычеркивания строк и столбцов на пересечении элемента, для которого исчисляются - выделено красным)
В результате вычисления сведутся к отысканию трех определителей третьего порядка, которые находим по правилу треугольников
Найденные значения подставляем в выходной детерминант
Результат легко проверить с помощью матричного калькулятора YukhymCALC . Для этого в калькуляторе выбираем пункт Матрицы-Определитель матрицы, размер матрицы устанавливаем 4*4.
Результаты совпадают, следовательно вычисления проведены верно.
Пример 2. Вычислить определитель матрицы четвертого порядка.
Как и в предыдущем задании осуществим вычисления методом разложения. Для этого выберем элементы первого столбца. Упрощенно определитель можно подать через сумму четырех детерминант третьего порядка в виде
Вычисления не слишком сложные, главное не напутать со знаками и треугольниками. Найденные величины подставляем в главный определитель и суммируем
Постановка задачи
Задание подразумевает знакомство пользователя с основными понятиями численных методов, такими как определитель и обратная матрица , и различными способами их вычислений. В данном теоретическом отчете простым и доступным языком сначала вводятся основные понятия и определения, на основании которых проводится дальнейшее исследование. Пользователь может не иметь специальных знаний в области численных методов и линейной алгебры , но с легкостью сможет воспользоваться результатами данной работы. Для наглядности приведена программа вычисления определителя матрицы несколькими методами, написанная на языке программирования C++. Программа используется как лабораторный стенд для создания иллюстраций к отчету. А также проводится исследование методов для решения систем линейных алгебраических уравнений . Доказывается бесполезность вычисления обратной матрицы, поэтому в работе приводится более оптимальные способы решения уравнений не вычисляя ее. Рассказывается почему существует такое количество различных методов вычисления определителей и обратных матриц и разбираются их недостатки. Также рассматриваются погрешности при вычислении определителя и оценивается достигнутая точность. Помимо русских терминов в работе используются и их английские эквиваленты для понимания, под какими названиями искать численные процедуры в библиотеках и что означают их параметры.
Основные определения и простейшие свойства
Определитель
Введем определение определителя квадратной матрицы любого порядка. Это определение будет рекуррентным , то есть чтобы установить, что такое определитель матрицы порядка , нужно уже знать, что такое определитель матрицы порядка . Отметим также, что определитель существует только у квадратных матриц.
Определитель квадратной матрицы будем обозначать или det .
Определение 1.
Определителем
квадратной матрицы 
второго порядка называется число 
.
Определителем 
квадратной матрицы порядка , называется число 
где - определитель матрицы порядка , полученной из матрицы вычеркиванием первой строки и столбца с номером .
Для наглядности запишем, как можно вычислить определитель матрицы четвертого порядка: 
Замечание. Реальное вычисление определителей для матриц выше третьего порядка на основе определения используется в исключительных случаях. Как правило, вычисление ведется по другим алгоритмам, которые будут рассмотрены позже и которые требуют меньше вычислительной работы.
Замечание. В определении 1 было бы точнее сказать, что определитель есть функция, определенная на множестве квадратных матриц порядка и принимающая значения в множестве чисел.
Замечание. В литературе вместо термина "определитель" используется также термин "детерминант", имеющий тот же самый смысл. От слова "детерминант" и появилось обозначение det .
Рассмотрим некоторые свойства определителей, которые сформулируем в виде утверждений.
Утверждение 1. При транспонировании матрицы определитель не меняется, то есть .
Утверждение 2. Определитель произведения квадратных матриц равен произведению определителей сомножителей, то есть .
Утверждение 3. Если в матрице поменять местами две строки, то ее определитель сменит знак.
Утверждение 4. Если матрица имеет две одинаковые строки, то ее определитель равен нулю.
В дальнейшем нам потребуется складывать строки и умножать строку на число. Эти действия над строками (столбцами) мы будем выполнять так же, как действия над матрицами-строками (матрицами-столбцами), то есть поэлементно. Результатом будет служить строка (столбец), как правило, не совпадающая со строками исходной матрицы. При наличии операций сложения строк (столбцов) и умножения их на число мы можем говорить и о линейных комбинациях строк (столбцов), то есть суммах с числовыми коэффициентами.
Утверждение 5. Если строку матрицы умножить на число , то ее определитель умножится на это число.
Утверждение 6. Если матрица содержит нулевую строку, то ее определитель равен нулю.
Утверждение 7. Если одна из строк матрицы равна другой, умноженной на число (строки пропорциональны), то определитель матрицы равен нулю.
Утверждение 8. Пусть в матрице i-ая строка имеет вид . Тогда , где матрица получается из матрицы заменой i-ой строки на строку , а матрица - заменой i-ой строки на строку .
Утверждение 9. Если к одной из строк матрицы добавить другую, умноженную на число, то определитель матрицы не изменится.
Утверждение 10. Если одна из строк матрицы является линейной комбинацией других ее строк, то определитель матрицы равен нулю.
Определение 2. Алгебраическим дополнением к элементу матрицы называется число, равное , где - определитель матрицы, полученной из матрицы вычеркиванием i-ой строки и j-ого столбца. Алгебраическое дополнение к элементу матрицы обозначается .
Пример.
Пусть 
.
Тогда 
Замечание.
Используя алгебраические дополнения, определение 1 определителя можно записать так: 
Утверждение 11. Разложение определителя по произвольной строке.
Для определителя матрицы справедлива формула 
Пример.
Вычислите 
.
Решение.
Воспользуемся разложением по третьей строке, так выгоднее, поскольку в третьей строке два числа из трех - нули. Получим 
Утверждение 12.
Для квадратной матрицы порядка при выполнено соотношение 
.
Утверждение 13.
Все свойства определителя, сформулированные для строк (утверждения 1 - 11), справедливы и для столбцов, в частности, справедливо разложение определителя по j-ому столбцу 
и равенство 
при .
Утверждение 14. Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов ее главной диагонали.
Следствие. Определитель единичной матрицы равен единице, .
Вывод. Перечисленные выше свойства позволяют находить определители матриц достаточно высоких порядков при сравнительно небольшом объеме вычислений. Алгоритм вычислений следующий.
Алгоритм создания нулей в столбце. Пусть требуется вычислить определитель порядка . Если , то поменяем местами первую строку и любую другую, в которой первый элемент не нуль. В результате определитель , будет равен определителю новой матрицы с противоположным знаком. Если же первый элемент каждой строки равен нулю, то матрица имеет нулевой столбец и по утверждениям 1, 13 ее определитель равен нулю.
Итак, считаем, что уже в исходной матрице . Первую строку оставляем без изменений. Прибавим ко второй строке первую строку, умноженную на число . Тогда первый элемент второй строки будет равен 
.
Остальные элементы новой второй строки обозначим , . Определитель новой матрицы по утверждению 9 равен .
Первую строку умножим на число и прибавим к третьей. Первый элемент новой третьей строки будет равен 
Остальные элементы новой третьей строки обозначим , . Определитель новой матрицы по утверждению 9 равен .
Процесс получения нулей вместо первых элементов строк продолжим дальше. Наконец, первую строку умножим на число и прибавим к последней строке. В результате получается матрица, обозначим ее , которая имеет вид 
причем . Для вычисления определителя матрицы используем разложение по первому столбцу
Так как , то 
В правой части стоит определитель матрицы порядка . К нему применим тот же алгоритм, и вычисление определителя матрицы сведется к вычислению определителя матрицы порядка . Процесс повторяем до тех пор, пока не дойдем до определителя второго порядка, который вычисляется по определению.
Если матрица не обладает какими-то специфическими свойствами, то заметно уменьшить объем вычислений по сравнению с предложенным алгоритмом не удается. Еще одна хорошая сторона этого алгоритма - по нему легко составить программу для компьютера для вычисления определителей матриц больших порядков. В стандартных программах вычисления определителей используется этот алгоритм с не принципиальными изменениями, связанными с минимизацией влияния ошибок округления и погрешностей входных данных при вычислениях компьютера.
Пример.
Вычислите определитель матрицы 
.
Решение. Первую строку оставляем без изменения. Ко второй строке прибавляем первую, умноженную на число :
Определитель не меняется. К третьей строке прибавляем первую, умноженную на число :
Определитель не меняется. К четвертой строке прибавляем первую, умноженную на число :
Определитель не меняется. В результате получаем 
По тому же алгоритму считаем определитель матрицы порядка 3, стоящий справа. Первую строку оставляем без изменений, ко второй строке прибавляем первую, умноженную на число 
:
К третьей строке прибавляем первую, умноженную на число 
:
В результате получаем 
Ответ. .
Замечание. Хотя при вычислениях использовались дроби, результат оказался целым числом. Действительно, используя свойства определителей и то, что исходные числа - целые, операций с дробями можно было бы избежать. Но в инженерной практике числа крайне редко бывают целыми. Поэтому, как правило, элементы определителя будут десятичными дробями и применять какие-то ухищрения для упрощения вычислений нецелесообразно.
Обратная матрица
Определение 3. Матрица называется обратной матрицей для квадратной матрицы , если .
Из определения следует, что обратная матрица будет квадратной матрицей того же порядка, что и матрица (иначе одно из произведений или было бы не определено).
Обратная матрица для матрицы обозначается . Таким образом, если существует, то .
Из определения обратной матрицы следует, что матрица является обратной для матрицы , то есть . Про матрицы и можно говорить, что они обратны друг другу или взаимно обратны.
Если определитель матрицы равен нулю, то обратная к ней не существует.
Так как для нахождения обратной матрицы важно, равен ли определитель марицы нулю или нет, то введем следующие определения.
Определение 4. Квадратную матрицу назовем вырожденной или особенной матрицей , если , и невырожденной или неособенной матрицей , если .
Утверждение. Если обратная матрица существует, то она единственна.
Утверждение.
Если квадратная матрица является невырожденной, то обратная для нее существует и 
(1)
где - алгебраические дополнения к элементам .
Теорема. Обратная матрица для квадратной матрицы существует тогда и только тогда, когда матрица - невырожденная, обратная матрица единственна, и справедлива формула (1).
Замечание. Следует обратить особое внимание на места, занимаемые алгебраическими дополнениями в формуле обратной матрицы: первый индекс показывает номер столбца , а второй - номер строки , в которые нужно записать вычисленное алгебраическое дополнение.
Пример.
.
Решение. Находим определитель
Так как , то матрица - невырожденная, и обратная для нее существует.
Находим алгебраические дополнения: 
Составляем обратную матрицу, размещая найденные алгебраические дополнения так, чтобы первый индекс соответствовал столбцу, а второй - строке: 
(2)
Полученная матрица (2) и служит ответом к задаче.
Замечание.
В предыдущем примере было бы точнее ответ записать так: 
(3)
Однако запись (2) более компактна и с ней удобнее проводить дальнейшие вычисления, если таковые потребуются. Поэтому запись ответа в виде (2) предпочтительнее, если элементы матриц - целые числа. И наоборот, если элементы матрицы - десятичные дроби, то обратную матрицу лучше записать без множителя впереди.
Замечание. При нахождении обратной матрицы приходится выполнять довольно много вычислений и необычно правило расстановки алгебраических дополнений в итоговой матрице. Поэтому велика вероятность ошибки. Чтобы избежать ошибок следует делать проверку: вычислить произведение исходной матрицы на итоговую в том или ином порядке. Если в результате получится единичная матрица, то обратная матрица найдена правильно. В противном случае нужно искать ошибку.
Пример.
Найдите обратную матрицу для матрицы 
.
Решение.
- существует.
Ответ:
.
Вывод. Нахождение обратной матрицы по формуле (1) требует слишком много вычислений. Для матриц четвертого порядка и выше это неприемлемо. Реальный алгоритм нахождения обратной матрицы будет приведен позже.
Вычисление определителя и обратной матрицы с помощью метода Гаусса
Метод Гаусса можно использовать для нахождения определителя и обратной матрицы .
Именно, определитель матрицы равен det .
Обратная матрица находится решением систем линейных уравнений методом исключения Гаусса:
Где есть j-тый столбец единичной матрицы , - искомый вектор.
Полученные векторы решений - образуют, очевидно, столбцов матрицы , поскольку .
Формулы для определителя
1. Если матрица невырожденная, то и (произведение ведущих элементов).
Методы их вычисления
Определение . Выражение
называется определителем четвертого порядка. Этот определитель можно записать в виде:
где - минор элемента, стоящего на пересечении i-ой строки и j-го столбца, -алгебраическое дополнение этого элемента.
Формулу (6) можно записать с помощью значка суммирования :
, (7)
где i=1,2,3,4.
Формула (7) называется разложением определителя по элементам
i-ой строки. Можно записать и разложение определителя по элементам j-го столбца:
(8)
где j=1,2,3,4.
Метод понижения порядка определителя основан на обращении всех, кроме одного, элементов строки или столбца определителя в нуль с помощью свойств определителей.
Пример 11. Вычислить определитель
.
Решение . Прибавим элементы первой строки к элементам второй строки:
.
Элементы первой строки умножим на (-2) и прибавим к элементам третьей строки:
.
Элементы первой строки умножим на (-1) и прибавим к элементам четвертой строки:
.
Разложим полученный определитель по элементам первого столбца
Переставим первые две строки, при этом знак определителя изменится на противоположный, одновременно вынесем общий множитель 3 элементов третьего столбца за знак определителя:
.
Умножим элементы первой строки на (-2) и прибавим к элементам второй строки:
.
Полученный определитель разложим по элементам второй строки
Пример 12.
Вычислить определитель 
.
Решение . Поменяем местами первую и вторую строки, при этом по свойству 2 знак определителя изменится на противоположный:
.
Сначала элементы первой строки умножим на (-2) и прибавим к элементам второй и четвертой строк, а затем элементы первой строки умножим на (-3) и прибавим к элементам третьей строки, получим:
.
Элементы второй строки прибавим к элементам четвертой строки:
.
Элементы третьей строки умножим на (-1) и прибавим к элементам четвертой строки:
.
Получим определитель треугольного вида, значение которого равно произведению элементов главной диагонали .
Пример 13 . Вычислить определитель
.
Решение. Разложим определитель по элементам третьей строки
Полученные определители третьего порядка вычислим по правилу треугольника
Задания для самостоятельного решения.
1.Вычислить определители:
2. Решить уравнения:
3. Решить неравенства:
4. Вычислить определители:
Ответы: 1. а)7; б)26; в)0; г)0; д)30. 2 . а)5; б)2; в)2;
г) 
3
. а) 
б) 
в) 
г)[-1;7]. 4
. а)-24; б)-40; в)-9; г)57; д)-5; е)1; ж)1; з)55; и)30; к)48; л)0; м)-1004; н)150.
Матрицы
Основные понятия
Определение . Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк одинаковой длины и n столбцов одинаковой длины, которая записывается в виде
(9)
или, сокращенно, 
, где 
, (т.е. 
) – номер строки, 
(т.е. 
) – номер столбца, числа называются элементами матрицы. Матрицу называют матрицей размера и пишут . Например. 
, .
Определение
. Две матрицы и 
равны между собой, если их размеры совпадают, а их соответствующие элементы равны, т.е. , если 
, где 
.
Например. Так как размеры матриц совпадают и соответствующие элементы равны, поэтому матрицы и равны, т.е.
Определение . Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной. Квадратную матрицу размера называют матрицей n-го порядка.
Например. 
т.е. дана матрица второго порядка.
Определение . Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю, называются диагональной.
Матрица 
- диагональная.
Определение . Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен единице, называется единичной. Обозначается буквой .
или 
.
Определение . Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные над главной диагональю (или под главной диагональю), равны нулю.
или 
- треугольные матрицы.
Важной характеристикой квадратной матрицы порядка n является ее определитель (или детерминант), который обозначается или . 
.
Определение.
Квадратная матрица, у которой определитель отличен от нуля, т.е. 
, называется невырожденной. В противном случае матрица называется вырожденной.
Например, 
Матрица А – вырожденная.
Матрица В – невырожденная.
Определение . Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается буквой О.
В матричном исчисление матрицы О и Е играют роль чисел 0 и 1 в арифметике.
Определение . Матрица, содержащая одну строку, называется матрицей-строкой
Матрица размера , состоящая из одного числа, отождествляется с этим числом, т.е. есть 3.
Определение . Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется матрицей транспонированной к данной. Обозначается .
Если 
, то 
, если 
, то 
.
Транспонированная матрица обладает следующим свойством: 
.
В ходе решения задач по высшей математике очень часто возникает необходимость вычислить определитель матрицы . Определитель матрицы фигурирует в линейной алгебре, аналитической геометрии, математическом анализе и других разделах высшей математики. Таким образом, без навыка решения определителей просто не обойтись. Также для самопроверки Вы можете бесплатно скачать калькулятор определителей , он сам по себе не научит решать определители, но очень удобен, поскольку всегда выгодно заранее знать правильный ответ!
Я не буду давать строгое математическое определение определителя, и, вообще, буду стараться минимизировать математическую терминологию, большинству читателей легче от этого не станет. Задача данной статьи – научить Вас решать определители второго, третьего и четвертого порядка. Весь материал изложен в простой и доступной форме, и даже полный (пустой) чайник в высшей математике после внимательного изучения материала сможет правильно решать определители.
На практике чаще всего можно встретить определитель второго порядка, например: , и определитель третьего порядка, например: 
.
Определитель четвертого порядка 
тоже не антиквариат, и к нему мы подойдём в конце урока.
Надеюсь, всем понятно следующее: Числа внутри определителя живут сами по себе, и ни о каком вычитании речи не идет! Менять местами числа нельзя!
(Как частность, можно осуществлять парные перестановки строк или столбцов определителя со сменой его знака, но часто в этом нет никакой необходимости – см. следующий урок Свойства определителя и понижение его порядка)
Таким образом, если дан какой-либо определитель, то ничего внутри него не трогаем!
Обозначения
: Если дана матрица 
, то ее определитель обозначают . Также очень часто определитель обозначают латинской буквой или греческой .
1) Что значит решить (найти, раскрыть) определитель? Вычислить определитель – это значит НАЙТИ ЧИСЛО. Знаки вопроса в вышерассмотренных примерах – это совершенно обыкновенные числа.
2) Теперь осталось разобраться в том, КАК найти это число? Для этого нужно применить определенные правила, формулы и алгоритмы, о чём сейчас и пойдет речь.
Начнем с определителя «два» на «два» :
ЭТО НУЖНО ЗАПОМНИТЬ, по крайне мере на время изучения высшей математики в ВУЗе.
Сразу рассмотрим пример:
Готово. Самое главное, НЕ ЗАПУТАТЬСЯ В ЗНАКАХ.
Определитель матрицы «три на три» можно раскрыть 8 способами, 2 из них простые и 6 - нормальные.
Начнем с двух простых способов
Аналогично определителю «два на два», определитель «три на три» можно раскрыть с помощью формулы:
Формула длинная и допустить ошибку по невнимательности проще простого. Как избежать досадных промахов? Для этого придуман второй способ вычисления определителя, который фактически совпадает с первым. Называется он способом Саррюса или способом «параллельных полосок».
Суть состоит в том, что справа от определителя приписывают первый и второй столбец и аккуратно карандашом проводят линии:
Множители, находящиеся на «красных» диагоналях входят в формулу со знаком «плюс».
Множители, находящиеся на «синих» диагоналях входят в формулу со знаком минус:
Пример:
Сравните два решения. Нетрудно заметить, что это ОДНО И ТО ЖЕ, просто во втором случае немного переставлены множители формулы, и, самое главное, вероятность допустить ошибку значительно меньше.
Теперь рассмотрим шесть нормальных способов для вычисления определителя
Почему нормальных? Потому что в подавляющем большинстве случаев определители требуется раскрывать именно так.
Как Вы заметили, у определителя «три на три» три столбца и три строки.
Решить определитель можно, раскрыв его по любой строке или по любому столбцу
.
Таким образом, получается 6 способов, при этом во всех случаях используется однотипный
алгоритм.
Определитель матрицы равен сумме произведений элементов строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения. Страшно? Все намного проще, будем использовать ненаучный, но понятный подход, доступный даже для человека, далекого от математики.
В следующем примере будем раскрывать определитель по первой строке
.
Для этого нам понадобится матрица знаков: . Легко заметить, что знаки расположены в шахматном порядке.
Внимание! Матрица знаков – это мое собственное изобретение. Данное понятие не научное, его не нужно использовать в чистовом оформлении заданий, оно лишь помогает Вам понять алгоритм вычисления определителя.
Сначала я приведу полное решение. Снова берем наш подопытный определитель и проводим вычисления:
И главный вопрос: КАК из определителя «три на три» получить вот это вот:
?
Итак, определитель «три на три» сводится к решению трёх маленьких определителей, или как их еще называют, МИНОРОВ . Термин рекомендую запомнить, тем более, он запоминающийся: минор – маленький.
Коль скоро выбран способ разложения определителя по первой строке
, очевидно, что всё вращается вокруг неё:
Элементы обычно рассматривают слева направо (или сверху вниз, если был бы выбран столбец)
Поехали, сначала разбираемся с первым элементом строки, то есть с единицей:
1) Из матрицы знаков выписываем соответствующий знак:
2) Затем записываем сам элемент:
3) МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит первый элемент:
Оставшиеся четыре числа и образуют определитель «два на два», который называется МИНОРОМ
данного элемента (единицы).
Переходим ко второму элементу строки.
4) Из матрицы знаков выписываем соответствующий знак:
5) Затем записываем второй элемент:
6) МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит второй элемент:
Ну и третий элемент первой строки. Никакой оригинальности:
7) Из матрицы знаков выписываем соответствующий знак:
8) Записываем третий элемент:
9) МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит третий элемент:
Оставшиеся четыре числа записываем в маленький определитель.
Остальные действия не представляют трудностей, поскольку определители «два на два» мы считать уже умеем. НЕ ПУТАЕМСЯ В ЗНАКАХ!
Аналогично определитель можно разложить по любой строке или по любому столбцу. Естественно, во всех шести случаях ответ получается одинаковым.
Определитель «четыре на четыре» можно вычислить, используя этот же алгоритм.
При этом матрица знаков у нас увеличится:
В следующем примере я раскрыл определитель по четвертому столбцу :
А как это получилось, попробуйте разобраться самостоятельно. Дополнительная информация будет позже. Если кто захочет прорешать определитель до конца, правильный ответ: 18. Для тренировки лучше раскрыть определитель по какому-нибудь другому столбцу или другой строке.
Потренироваться, раскрыть, провести расчёты – это очень хорошо и полезно. Но сколько времени вы потратите на большой определитель? Нельзя ли как-нибудь быстрее и надёжнее? Предлагаю ознакомиться с эффективными методами вычисления определителей на втором уроке – Свойства определителя. Понижение порядка определителя .
БУДЬТЕ ВНИМАТЕЛЬНЫ!