Самоподобные множества с необычными свойствами в математике
Начиная с конца XIX века, в математике появляются примеры самоподобных объектов с патологическими с точки зрения классического анализа свойствами. К ним можно отнести следующие:
- множество Кантора - нигде не плотное несчётное совершенное множество. Модифицировав процедуру, можно также получить нигде не плотное множество положительной длины;
- треугольник Серпинского («скатерть») и ковёр Серпинского - аналоги множества Кантора на плоскости;
- губка Менгера - аналог множества Кантора в трёхмерном пространстве;
- примеры Вейерштрасса и Ван дер Вардена нигде не дифференцируемой непрерывной функции ;
- кривая Коха - несамопересекающаяся непрерывная кривая бесконечной длины, не имеющая касательной ни в одной точке;
- кривая Пеано - непрерывная кривая, проходящая через все точки квадрата;
- траектория броуновской частицы также с вероятностью 1 нигде не дифференцируема. Её хаусдорфова размерность равна двум [ ] .
Рекурсивная процедура получения фрактальных кривых
Фракталы как неподвижные точки сжимающих отображений
Свойство самоподобия можно математически строго выразить следующим образом. Пусть - сжимающие отображения плоскости. Рассмотрим следующее отображение на множестве всех компактных (замкнутых и ограниченных) подмножеств плоскости: Ψ : K ↦ ∪ i = 1 n ψ i (K) {\displaystyle \Psi \colon K\mapsto \cup _{i=1}^{n}\psi _{i}(K)}
Можно показать, что отображение Ψ {\displaystyle \Psi } является сжимающим отображением на множестве компактов с метрикой Хаусдорфа . Следовательно, по теореме Банаха , это отображение имеет единственную неподвижную точку. Эта неподвижная точка и будет нашим фракталом.
Рекурсивная процедура получения фрактальных кривых, описанная выше, является частным случаем данной конструкции. В ней все отображения ψ i , i = 1 , … , n {\displaystyle \psi _{i},\,i=1,\dots ,n} - отображения подобия, а n {\displaystyle n} - число звеньев генератора.
Популярно создание красивых графических образов на основе комплексной динамики путём раскрашивания точек плоскости в зависимости от поведения соответствующих динамических систем. Например, для дополнения множества Мандельброта можно раскрасить точки в зависимости от скорости стремления z n {\displaystyle z_{n}} к бесконечности (определяемой, скажем, как наименьший номер n {\displaystyle n} , при котором | z n | {\displaystyle |z_{n}|} превысит фиксированную большую величину A {\displaystyle A} ).
Биоморфы - фракталы, построенные на основе комплексной динамики и напоминающие живые организмы.
Стохастические фракталы
Природные объекты часто имеют фрактальную форму. Для их моделирования могут применяться стохастические (случайные) фракталы. Примеры стохастических фракталов:
- траектория броуновского движения на плоскости и в пространстве;
- граница траектории броуновского движения на плоскости. В 2001 году Лоулер, Шрамм и Вернер доказали предположение Мандельброта о том, что её размерность равна 4/3.
- эволюции Шрамма-Лёвнера - конформно-инвариантные фрактальные кривые, возникающие в критических двумерных моделях статистической механики , например, в модели Изинга и перколяции .
- различные виды рандомизированных фракталов, то есть фракталов, полученных с помощью рекурсивной процедуры, в которую на каждом шаге введён случайный параметр. Плазма - пример использования такого фрактала в компьютерной графике.
Природные объекты, обладающие фрактальными свойствами
Природные объекты (квазифракталы ) отличаются от идеальных абстрактных фракталов неполнотой и неточностью повторений структуры. Большинство встречающихся в природе фракталоподобных структур (границы облаков, линия берега, деревья, листья растений, кораллы , …) являются квазифракталами, поскольку на некотором малом масштабе фрактальная структура исчезает. Природные структуры не могут быть идеальными фракталами из-за ограничений, накладываемых размерами живой клетки и, в конечном итоге, размерами молекул .
- В живой природе:
- Морские звезды и ежи
- Цветы и растения (брокколи , капуста)
- Кроны деревьев и листья растений
- Плоды (ананас)
- Система кровообращения и бронхи людей и животных
- В неживой природе:
- Границы географических объектов (стран, областей, городов)
- Морозные узоры на оконных стёклах
- Сталактиты , сталагмиты , геликтиты .
Применение
Естественные науки
В физике фракталы естественным образом возникают при моделировании нелинейных процессов, таких как турбулентное течение жидкости, сложные процессы диффузии -адсорбции , пламя, облака и тому подобное. Фракталы используются при моделировании пористых материалов, например, в нефтехимии. В биологии они применяются для моделирования популяций и для описания систем внутренних органов (система кровеносных сосудов). После создания кривой Коха было предложено использовать её при вычислении протяжённости береговой линии.
Радиотехника
Фрактальные антенны
Использование фрактальной геометрии при проектировании
Зачастую гениальные открытия, совершенные в науке, способны кардинально изменять нашу жизнь. Так, например, изобретение вакцины может спасти множество людей, а создание нового вооружения приводит к убийству. Буквально вчера (в масштабе истории) человек «укротил» электричество, а сегодня уже не может представить свою жизнь без него. Однако существуют и такие открытия, которые, что называется, остаются в тени, причем несмотря на то, что они также оказывают то или иное влияние на нашу жизнь. Одним из таких открытий стал фрактал. Большинство людей даже не слышали о таком понятии и не смогут объяснить его значение. В этой статье мы попробуем разобраться с вопросом о том, что такое фрактал, рассмотрим значение этого термина с позиции науки и природы.
Порядок в хаосе
Для того чтобы понять, что такое фрактал, следовало бы начать разбор полетов с позиции математики, однако прежде чем углубляться в мы немного пофилософствуем. Каждому человеку присуща природная любознательность, благодаря которой он и познает окружающий мир. Зачастую в своем стремлении познания он старается оперировать логикой в суждениях. Так, анализируя процессы, которые происходят вокруг, он пытается вычислить взаимосвязи и вывести определенные закономерности. Самые большие умы планеты заняты решением этих задач. Грубо говоря, наши ученые ищут закономерности там, где их нет, да и быть не должно. И тем не менее даже в хаосе есть связь между теми или иными событиями. Вот этой связью и выступает фрактал. В качестве примера рассмотрим сломанную ветку, валяющуюся на дороге. Если внимательно к ней присмотреться, то мы увидим, что она со всеми своими ответвлениями и сучками сама похожа на дерево. Вот эта схожесть отдельной части с единым целым свидетельствует о так называемом принципе рекурсивного самоподобия. Фракталы в природе можно найти сплошь и рядом, ведь многие неорганические и органические формы формируются аналогично. Это и облака, и морские раковины, и раковины улиток, и кроны деревьев, и даже кровеносная система. Данный список можно продолжать до бесконечности. Все эти случайные формы с легкостью описывает фрактальный алгоритм. Вот мы подошли к тому, чтобы рассмотреть, что такое фрактал с позиции точных наук.
Немного сухих фактов
Само слово «фрактал» с латыни переводится как "частичный", "разделенный", "раздробленный", а что касается содержания этого термина, то формулировки как таковой не существует. Обычно его трактуют как самоподобное множество, часть целого, которая повторяется своей структурой на микроуровне. Этот термин придумал в семидесятых годах ХХ века Бенуа Мандельброт, который признан отцом Сегодня под понятием фрактала подразумевают графическое изображение некой структуры, которая при увеличенном масштабе будет подобна сама себе. Однако математическая база для создания этой теории была заложена еще до рождения самого Мандельброта, а вот развиваться она не могла, пока не появились электронные вычислительные машины.
Историческая справка, или Как все начиналось
На рубеже 19-20 веков изучение природы фракталов носило эпизодический характер. Это объясняется тем, что математики предпочитали изучать объекты, поддающиеся исследованию, на основе общих теорий и методов. В 1872 году немецким математиком К. Вейерштрассом был построен пример непрерывной функции, нигде не дифференцируемой. Однако это построение оказалась целиком абстрактным и трудным для восприятия. Дальше пошел швед Хельге фон Кох, который в 1904 году построил непрерывную кривую, не имеющую нигде касательной. Ее довольно легко нарисовать, и, как оказалось, она характеризуется фрактальными свойствами. Один из вариантов данной кривой назвали в честь ее автора - «снежинка Коха». Далее идею самоподобия фигур развивал будущий наставник Б. Мандельброта француз Поль Леви. В 1938 году он опубликовал статью «Плоские и пространственные кривые и поверхности, состоящие из частей, подобных целому». В ней он описал новый вид - С-кривую Леви. Все вышеперечисленные фигуры условно относятся к такому виду, как геометрические фракталы.
Динамические, или алгебраические фракталы
К данному классу относится множество Мандельброта. Первыми исследователями этого направления стали французские математики Пьер Фату и Гастон Жюлиа. В 1918 году Жюлиа опубликовал работу, в основе которой лежало изучение итераций рациональных комплексных функций. Здесь он описал семейство фракталов, которые близко связаны с множеством Мандельброта. Невзирая на то что данная работа прославила автора среди математиков, о ней быстро забыли. И только спустя полвека благодаря компьютерам труд Жюлиа получил вторую жизнь. ЭВМ позволили сделать видимым для каждого человека ту красоту и богатство мира фракталов, которые могли «видеть» математики, отображая их через функции. Мандельброт стал первым, кто использовал компьютер для проведения вычислений (вручную такой объем невозможно провести), позволивших построить изображение этих фигур.
Человек с пространственным воображением
Мандельброт начинал свою научную карьеру в исследовательском центре IBM. Изучая возможности передачи данных на большие расстояния, ученые столкнулись с фактом больших потерь, которые возникали из-за шумовых помех. Бенуа искал пути решения этой проблемы. Просматривая результаты измерений, он обратил внимание на странную закономерность, а именно: графики шумов выглядели одинаково в разном масштабе времени.
Аналогичная картина наблюдалась как для периода в один день, так и для семи дней или для часа. Сам Бенуа Мандельброт часто повторял, что он работает не с формулами, а играет с картинками. Этот ученый отличался образным мышлением, любую алгебраическую задачу он переводил в геометрическую область, где правильный ответ очевиден. Так что неудивительно, отличающийся богатым и стал отцом фрактальной геометрии. Ведь осознание данной фигуры может прийти только тогда, когда изучаешь рисунки и вдумываешься в смысл этих странных завихрений, образующих узор. Фрактальные рисунки не имеют идентичных элементов, однако обладают подобностью при любом масштабе.
Жюлиа - Мандельброт
Одним из первых рисунков этой фигуры была графическая интерпретация множества, которая родилась благодаря работам Гастона Жюлиа и была доработана Мандельбротом. Гастон пытался представить, как выглядит множество, построенное на базе простой формулы, которая проитерирована циклом обратной связи. Попробуем сказанное объяснить человеческим языком, так сказать, на пальцах. Для конкретного числового значения с помощью формулы находим новое значение. Подставляем его в формулу и находим следующее. В результате получается большая Для представления такого множества требуется проделать эту операцию огромное количество раз: сотни, тысячи, миллионы. Это и проделал Бенуа. Он обработал последовательность и перенес результаты в графическую форму. Впоследствии он раскрасил полученную фигуру (каждый цвет соответствует определенному числу итераций). Данное графическое изображение получило имя «фрактал Мандельброта».
Л. Карпентер: искусство, созданное природой
Теория фракталов довольно быстро нашла практическое применение. Так как она весьма тесно связана с визуализацией самоподобных образов, то первыми, кто взял на вооружение принципы и алгоритмы построения этих необычных форм, стали художники. Первым из них стал будущий основатель студии Pixar Лорен Карпентер. Работая над презентацией прототипов самолетов, ему в голову пришла идея в качестве фона использовать изображение гор. Сегодня с такой задачей сможет справиться практически каждый пользователь компьютера, а в семидесятых годах прошлого века ЭВМ были не в состоянии выполнять такие процессы, ведь графических редакторов и приложений для трехмерной графики на тот момент еще не было. И вот Лорену попалась книга Мандельброта «Фракталы: форма, случайность и размерность». В ней Бенуа приводил множество примеров, показывая, что существуют фракталы в природе (фыва), он описывал их разнообразную форму и доказывал, что они легко описываются математическими выражениями. Данную аналогию математик приводил в качестве аргумента полезности разрабатываемой им теории в ответ на шквал критики от своих коллег. Они утверждали, что фрактал - это всего лишь красивая картинка, не имеющая никакой ценности, являющаяся побочным результатом работы электронных машин. Карпентер решил опробовать этот метод на практике. Внимательно изучив книгу, будущий аниматор стал искать способ реализации фрактальной геометрии в компьютерной графике. Ему понадобилось всего три дня, чтобы визуализировать вполне реалистичное изображение горного ландшафта на своем компьютере. И сегодня этот принцип широко используется. Как оказалось, создание фракталов не занимает много времени и сил.
Решение Карпентера
Принцип, использованный Лореном, оказался прост. Он состоит в том, чтобы разделить более крупные на мелкие элементы, а те - на аналогичные меньшего размера, и так далее. Карпентер, используя крупные треугольники, дробил их на 4 мелких, и так далее, до тех пор, пока у него не получился реалистичный горный пейзаж. Таким образом, он стал первым художником, который применил фрактальный алгоритм в компьютерной графике для построения требуемого изображения. Сегодня этот принцип используется для имитации различных реалистичных природных форм.
Первая 3D-визуализация на фрактальном алгоритме
Уже через несколько лет Лорен применил свои наработки в масштабном проекте - анимационном ролике Vol Libre, показанном на Siggraph в 1980 году. Это видео потрясло многих, и его создатель был приглашен работать в Lucasfilm. Здесь аниматор смог реализоваться в полной мере, он создал трехмерные ландшафты (целую планету) для полнометражного фильма "Star Trek". Любая современная программа («Фракталы») или приложение для создания трехмерной графики (Terragen, Vue, Bryce) использует все тот же алгоритм для моделирования текстур и поверхностей.
Том Беддард
В прошлом лазерный физик, а ныне цифровых дел мастер и художник, Беддард создал ряд весьма интригующих геометрических фигур, которые назвал фракталы Фаберже. Внешне они напоминают декоративные яйца русского ювелира, на них такой же блестящий замысловатый узор. Беддард использовал шаблонный метод для создания своих цифровых визуализаций моделей. Полученные изделия поражают своей красотой. Хоть многие отказываются сравнивать продукт ручной работы с компьютерной программой, однако следует признать, что полученные формы необычайно красивы. Изюминка заключается в том, что построить такой фрактал сможет любой желающий, воспользовавшись программной библиотекой WebGL. Она позволяет исследовать в реальном времени различные фрактальные структуры.
Фракталы в природе
Мало кто обращает внимание, но эти удивительные фигуры присутствуют повсюду. Природа создана из самоподобных фигур, просто мы этого не замечаем. Достаточно посмотреть через увеличительное стекло на нашу кожу или листок дерева, и мы увидим фракталы. Или взять, к примеру, ананас или даже хвост павлина - они состоят из подобных фигур. А сорт капусты брокколи Романеску вообще поражает своим видом, ведь это поистине можно назвать чудом природы.
Музыкальная пауза
Оказывается, фракталы - это не только геометрические фигуры, они могут быть и звуками. Так, музыкант Джонатан Колтон пишет музыку с помощью фрактальных алгоритмов. Он утверждает, соответствует природной гармонии. Композитор все свои произведения публикует под лицензией CreativeCommons Attribution-Noncommercial, которая предусматривает свободное распространение, копирование, передачу произведений другими лицами.
Индикатор-фрактал
Данная методика нашла весьма неожиданное применение. На ее основе создан инструмент для анализа рынка фондовой биржи, и, как следствие, его начали применять на рынке «Форекс». Сейчас индикатор-фрактал находится на всех торговых платформах и применяется в торговой технике, которую называют ценовым прорывом. Разработал эту методику Билл Вильямс. Как комментирует свое изобретение автор, данный алгоритм является сочетанием нескольких «свечей», в котором центральная отражает максимальную либо, наоборот, минимальную экстремальную точку.
В заключение
Вот мы и рассмотрели, что такое фрактал. Оказывается, в хаосе, который окружает нас, на самом деле существуют идеальные формы. Природа является лучшим архитектором, идеальным строителем и инженером. Она устроена весьма логично, и если мы не можем найти закономерность, это не значит, что ее нет. Может быть, нужно искать в ином масштабе. С уверенностью можно сказать, что фракталы хранят еще немало секретов, которые нам только предстоит открыть.
Для чтобы представить все многообразие фракталов удобно прибегнуть к их общепринятой классификации .
2.1 Геометрические фракталы
Фракталы этого класса самые наглядные. В двухмерном случае их получают с помощью некоторой ломаной (или поверхности в трехмерном случае), называемой генератором . За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную, заменяется на ломаную-генератор, в соответствующем масштабе. В результате бесконечного повторения этой процедуры, получается геометрический фрактал.
Рис 1. Построение триадной кривой Кох.
Рассмотрим один из таких фрактальных объектов - триадную кривую Кох . Построение кривой начинается с отрезка единичной длины (рис.1) - это 0-е поколение кривой Кох. Далее каждое звено (в нулевом поколении один отрезок) заменяется на образующий элемент , обозначенный на рис.1 через n=1 . В результате такой замены получается следующее поколение кривой Кох. В 1-ом поколении - это кривая из четырех прямолинейных звеньев, каждое длиной по 1/3 . Для получения 3-го поколения проделываются те же действия - каждое звено заменяется на уменьшенный образующий элемент. Итак, для получения каждого последующего поколения, все звенья предыдущего поколения необходимо заменить уменьшенным образующим элементом. Кривая n -го поколения при любом конечном n называется предфракталом . На рис.1 представлены пять поколений кривой. При n стремящемся к бесконечности кривая Кох становится фрактальным обьектом .
Рис 2. Построение "дракона" Хартера-Хейтуэя.
Для получения другого фрактального объекта нужно изменить правила построения. Пусть образующим элементом будут два равных отрезка, соединенных под прямым углом. В нулевом поколении заменим единичный отрезок на этот образующий элемент так, чтобы угол был сверху. Можно сказать, что при такой замене происходит смещение середины звена. При построении следующих поколений выполняется правило: самое первое слева звено заменяется на образующий элемент так, чтобы середина звена смещалась влево от направления движения, а при замене следующих звеньев, направления смещения середин отрезков должны чередоваться. На рис.2 представлены несколько первых поколений и 11-е поколение кривой, построенной по вышеописанному принципу. Предельная фрактальная кривая (при n стремящемся к бесконечности) называется драконом Хартера-Хейтуэя .
В машинной графике использование геометрических фракталов необходимо при получении изображений деревьев, кустов, береговой линии. Двухмерные геометрические фракталы используются для создания объемных текстур (рисунка на поверхности обьекта) .
2.2 Алгебраические фракталы
Это самая крупная группа фракталов. Получают их с помощью нелинейных процессов в n -мерных пространствах. Наиболее изучены двухмерные процессы. Интерпретируя нелинейный итерационный процесс, как дискретную динамическую систему, можно пользоватся терминологией теории этих систем: фазовый портрет , установившийся процесс , аттрактор и т.д.
Известно, что нелинейные динамические системы обладают несолькими устойчивыми состояниями. То состояние, в котором оказалась динамическая система после некоторого числа итераций, зависит от ее начального состояния. Поэтому каждое устойчивое состояние (или как говорят - аттрактор) обладает некоторой областью начальных состояний, из которых система обязательно попадет в рассматриваемые конечные состояния. Таким образом фазовое пространство системы разбивается на области притяжения аттракторов. Если фазовым является двухмерное пространство, то окрашивая области притяжения различными цветами, можно получить цветовой фазовый портрет этой системы (итерационного процесса). Меняя алгоритм выбора цвета, можно получить сложные фрактальные картины с причудливыми многоцветными узорами. Неожиданностью для математиков стала возможность с помощью примитивных алгоритмов порождать очень сложные нетривиальные структуры.
Рис 3. Множество Мандельброта.
В качестве примера рассмотрим множество Мандельброта (см. pис.3 и рис.4). Алгоритм его построения достаточно прост и основан на простом итеративном выражении:
Z = Z [i] * Z [i] + C ,
где Z i и C - комплексные переменные. Итерации выполняются для каждой стартовой точки C прямоугольной или квадратной области - подмножестве комплексной плоскости. Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока Z [i] не выйдет за пределы окружности радиуса 2, центр которой лежит в точке (0,0), (это означает, что аттрактор динамической системы находится в бесконечности), или после достаточно большого числа итераций (например 200-500) Z [i] сойдется к какой-нибудь точке окружности. В зависимости от количества итераций, в течении которых Z [i] оставалась внутри окружности, можно установить цвет точки C (если Z [i] остается внутри окружности в течение достаточно большого количества итераций, итерационный процесс прекращается и эта точка растра окрашивается в черный цвет).
Рис 4. Участок границы множества Мандельброта,
увеличенный в 200 pаз.
Вышеописанный алгоритм дает приближение к так называемому множеству Мандельброта. Множеству Мандельброта принадлежат точки, которые в течение бесконечного числа итераций не уходят в бесконечность (точки имеющие черный цвет). Точки принадлежащие границе множества (именно там возникает сложные структуры) уходят в бесконечность за конечное число итераций, а точки лежащие за пределами множества, уходят в бесконечность через несколько итераций (белый фон).
2.3 Стохастические фракталы
Еще одним известным классом фракталов являются стохастические фракталы, которые получаются в том случае, если в итерационном процессе случайным образом менять какие-либо его параметры. При этом получаются объекты очень похожие на природные - несимметричные деревья, изрезанные береговые линии и т.д. Двумерные стохастические фракталы используются при моделировании рельефа местности и поверхности моря .
Существуют и другие классификации фракталов, например деление фракталов на детерминированные (алгебраические и геометрические) и недетерминированные (стохастические).
МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
ИРКУТСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ЭКОНОМИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ
КАФЕДРА ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ
По экономико-математическим моделям и методам
ТЕОРИЯ ФРАКТАЛОВ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ
Подготовили: Руководитель:
Погодаева Е. А. Толстикова Т.В.
Четвериков С.В.
ИРКУТСК 1997
Все образы схожи, и
Все же ни один на дру
Гой не похож; Хоры их
На тайный закон указу-
Ют, на святую загадку...
И. В. Гете.
Метаморфоз растений.
ПОЧЕМУ МЫ ЗАГОВОРИЛИ О ФРАКТАЛАХ?
Во второй половине нашего века в естествознании произошли
фундаментальные изменения, породившие так называемую теорию
самоорганизации, или синергетику. Она родилась внезапно, как бы на
скрещении нескольких линий научного исследования. Один из решающих
начальных импульсов был предан ей российскими учеными на рубеже
пятидесятых - шестидесятых годов. В пятидесятых годах ученый
химик-аналитик Б. П. Белоусов открыл окислительно-восстановительную
химическую реакцию. Открытие и изучение автоколебаний и автоволн в ходе
реакции Белоусова
С. Э. Шнолем, А. М. Жаботинским, В.И. Кринским, А. Н. Заикиным, Г. Р.
Иваницким- едва ли не самая блестящая страница фундаментальной
российской науки в послевоенный период. Быстрое и успешное изучение
реакции Белоусова - Жаботинского сработало в науке как спусковой
крючок: сразу вспомнили, что и раньше были известны процессы подобного
рода и что многие природные явления, начиная от образования галактик
до смерчей, циклонов и игры света на отражающих поверхностях(так
называемых каустиках), - по сути дела процессы самоорганизации. Они
могут иметь самую различную природу: химическую, механическую,
оптическую, электрическую и тому подобное. Более того, оказалось, что
уже давно была готова и прекрасно разработана математическая теория
самоорганизации. Ее основу заложили работы А. Пуанкаре и А. А.
Ляпунова еще в конце прошлого века. Диссертация "Об устойчивости
движения" написана Ляпуновым в 1892 году.
Математическая теория самоорганизации заставляет нас по-новому
взглянуть на окружающий нас мир. Объясним, чем она отличается от
классического мировоззрения, так как нам это будет необходимо знать при
изучении фрактальных объектов.
"Классическое однозначно - детерминистическое мировоззрение
может символизироваться ровной гладкой поверхностью, на которой
соударяются шары, получившие определенный количества движения.
Будущая судьба каждого такого тела однозначно определена его
"прошлым" в предыдущий момент времени (количеством движения, зарядом) и
взаимодействием с другими телами. Никакой целостностью такая система
не обладает." (Л. Белоусов. Посланники живой грозы. \\ Знание- сила. N
2. 1996. - с.32). Таким образом, классическая наука верила, что будущее
такой системы жестко и однозначно определено ее прошлым и, при условии
знания прошлого, неограниченно предсказуемо.
Современная математика показала, что в некоторых случаях это не
так: например, если шары ударяются о выпуклую стенку, то ничтожно малые
различия в их траекториях будут неограниченно нарастать, так что
поведение системы становиться в определенный момент непредсказуемым.
Тем самым позиции однозначного детерминизма оказались подорванными даже
в сравнительно простых ситуациях.
Мировоззрение, основанное на теории самоорганизации,
символизируется образом горной страны с долинами, по которым текут реки,
и хребтами-водоразделами. В этой стране действуют мощные обратные связи
- как отрицательные, так и положительные. Если тело скатывается вниз
по склону, то между его скоростью и положением существует положительная
обратная связь, если оно пытается взобраться вверх, то отрицательная.
Нелинейные (достаточно сильные) обратные связи – непременное условие
самоорганизации. Нелинейность в мировоззренческом смысле означает
многовариантность путей эволюции, наличие выбора из альтернативных путей
и определенного темпа эволюции, а также необратимость эволюционных
процессов. Например, рассмотрим взаимодействие двух тел: А и В. В –
упругий древесный ствол, А – горный поток в нашей стране. Поток сгибает
ствол по направлению движения воды, но по достижении некоторого
изгиба ствол под действием упругой силы может распрямиться, отталкивая
частицы воды обратно. То есть мы видим альтернативу взаимодействия
двух тел А и В. Причем, это взаимодействие происходит таким образом,
что связь А-В - положительна, а В-А - отрицательна. Соблюдается условие
нелинейности.
Более того, в теории самоорганизации мы можем заставить нашу
горную страну "жить", то есть изменяться во времени. При этом важно
выделить переменные различного порядка. Такая иерархия переменных по
времени является необходимым условием упорядочения самоорганизации.
Нарушьте ее, "смешайте" времена- наступит хаос(пример- землетрясение,
когда сдвиги геологического порядка происходят за считанные минуты, а
должны- за несколько тысячелетий).Впрочем, как выявляется, живые
системы не так уж и боятся хаоса: они все время живут на его пределе,
иногда даже впадая в него, но все же умеют, когда надо, из него
выбираться. При этом самыми важными оказываются наиболее медленные по
времени переменные (их называют параметрами). Именно значения параметров
определяют, каким набором устойчивых решений будет обладать система и,
таким образом, какие структуры могут быть в ней вообще реализованы. В
то же время более быстрые
(динамические) переменные отвечают за конкретный выбор реализуемых
устойчивых состояний из числа возможных.
Принципы нелинейности и альтернативы выбора развития любого
процесса, развития системы реализуется и при построении фракталов.
Как стало ясно в последние десятилетия (в связи с развитием теории
самоорганизации), самоподобие встречается в самых разных предметах и
явлениях. Например, самоподобие можно наблюдать в ветках деревьев и
кустарников, при делении оплодотворенной зиготы, снежинках, кристаллах
льда, при развитии экономических систем (волны Кондратьева), строении
горных систем, в строении облаков. Все перечисленные объекты и другие,
подобные им по своей структуре, называются фрактальными. То есть они
обладают свойствами самоподобия, или масштабной инвариантности. А это
значит, что некоторые фрагменты их структуры строго повторяются через
определенные пространственные промежутки. Очевидно, что эти объекты
могут иметь любую природу, причем их вид и форма остаются неизменными
независимо от масштаба.
Таким образом, можно сказать, что фракталы как модели применяются в том
случае, когда реальный объект нельзя представить в виде классических
моделей. А это значит, что мы имеем дело с нелинейными связями и
недетерминированной природой данных. Нелинейность в мировоззренческом
смысле означает многовариантность путей развития, наличие выбора из
альтернатив путей и определенного темпа эволюции, а также необратимость
эволюционных процессов. Нелинейность в математическом смысле означает,
определенный вид математических уравнений (нелинейные дифференциальные
уравнения), содержащих искомые величины в степенях, больше единицы или
коэффициенты, зависящие от свойств среды. То есть, когда мы применяем
классические модели (например, трендовые, регрессионные и т. д.), мы
говорим, что будущее объекта однозначно детерминированное. И мы можем
предсказать его, зная прошлое объекта(исходные данные для
моделирования). А фракталы применяются в том случае, когда объект имеет
несколько вариантов развития и состояние системы определяется
положением, в котором она находится на данный момент. То есть мы
пытаемся смоделировать хаотичное развитие.
Что же нам дает применение фракталов?
Они позволяют намного упростить сложные процессы и объекты, что очень
важно для моделирования. Позволяют описать нестабильные системы и
процессы и, самое главное, предсказать будущее таких объектов.
ТЕОРИЯ ФРАКТАЛОВ
ПРЕДПОСЫЛКИ ВОЗНИКНОВЕНИЯ
Теория фракталов имеет совсем небольшой возраст. Она появилась в
конце шестидесятых годов на стыке математики, информатики, лингвистики
и биологии. В то время компьютеры все больше проникали в жизнь
людей, ученые начинали применять их в своих исследованиях, росло число
пользователей вычислительных машин. Для массового использования
компьютеров необходимо стало облегчить процесс общения человека с
машиной. Если в самом начале компьютерной эры немногочисленные
программисты-пользователи самоотверженно вводили команды в машинных
кодах и получали результаты в виде бесконечных лент бумаги, то при
массовом и загруженном режиме использования компьютеров возникла
необходимость в изобретении такого языка программирования, который был
бы понятен для машины, и в то же время, был бы прост в изучении и
применении. То есть пользователю требовалось бы ввести только одну
команду, а компьютер разложил бы ее на более простые, и выполнил
бы уже их. Чтобы облегчить написание трансляторов, на стыке информатики
и лингвистики возникла теория фракталов, позволяющая строго задавать
взаимоотношения между алгоритмическими языками. А датский математик и
биолог А. Линденмеер придумал в 1968 году одну такую грамматику,
названную им L-системой, которая, как он полагал, моделирует также рост
живых организмов, в особенности образование кустов и веток у растений.
Вот как выглядит его модель. Задают алфавит - произвольный набор
символов. Выделяют одно, начальное слово, называемое аксиомой, - можно
считать, что оно соответствует исходному состоянию организма – зародышу.
А потом описывают правила замены каждого символа алфавита определенным
набором символов, то есть задают закон развития зародыша. Действуют
правила так: прочитываем по порядку каждый символ аксиомы и заменяем
его на слово, указанное в правиле замены.
Таким образом, прочитав аксиому один раз, мы получаем новую строку
символов, к которой снова применяем ту же процедуру. Шаг за шагом
возникает все более длинная строка – каждый из таких шагов можно
считать одной из последовательных стадий развития «организма».
Ограничив число шагов, определяют, когда развития считается законченным.
ВОЗНИКНОВЕНИЕ ТЕОРИИ ФРАКТАЛОВ
Отцом фракталов по праву можно считать Бенуа Мандельброта.
Мандельброт является изобретателем термина «фрактал». Мандельброт
писал: « Я придумал слово «фрактал», взяв за основу латинское
прилагательное «fractus», означающее нерегулярный, рекурсивный,
фрагментный». Первое определение фракталам также дал Б. Мандельброт:
Фрактал – самоподобная структура, чье изображение не зависит от
масштаба. Это рекурсивная модель, каждая часть которой повторяет в своем
развитии развитие всей модели в целом.
На сегодняшний день существует много различных математических моделей
фракталов. Отличительная особенность каждой из них является то, что в
их основе лежит какая-либо рекурсивная функция, например: xi=f(xi-1).
С применением ЭВМ у исследователей появилась возможность получать
графические изображения фракталов. Простейшие модели не требуют больших
вычислений и их можно реализовать прямо на уроке информатики, тогда как
иные модели настолько требовательны к мощности компьютера, что их
реализация осуществляется с применением суперЭВМ. Кстати, в США
изучением фрактальных моделей занимается Национальных Центр Приложений
для Суперкомпьютеров (NCSA). В данной работе мы хотим показать только
несколько моделей фракталов, которые нам удалось получить.
Модель Мандельброта.
Бенуа Мандельброт предложил модель фрактала, которая уже стала
классической и часто используется для демонстрации как типичного
примера самого фрактала, так и для демонстрации красоты фракталов,
которая также привлекает исследователей, художников, просто
интересующихся людей.
Математическое описание модели следующее: на комплексной плоскости в
неком интервале для каждой точки с вычисляется рекурсивная функция
Z=Z2+c. Казалось бы, что такого особенного в этой функции? Но после N
повторений данной процедуры вычисления координат точек, на
комплексной плоскости появляется удивительно красивая фигура, чем-то
напоминающая грушу.
В модели Мандельброта изменяющимся фактором является начальная точка
с, а параметр z, является зависимым. Поэтому для построения фрактала
Мандельброта существует правило: начальное значение z равно нулю (z=0)!
Это ограничение вводится для того, чтобы первая производная от функции
z в начальной точке была равна нулю. А это означает, что в начальной
точке функция имеет минимум, и в дальнейшем она будет принимать только
большие значения.
Мы хотим заметить, что если рекурсивная формула фрактала имеет другой
вид, то тогда следует выбирать другое значение начальной точки для
параметра Z. Например, если формула имеет вид z=z2+z+c, то начальная
точка будет равна:
2*z+1=0 ???z= -1/2.
В данной работе мы имеем возможность привести изображения фракталов,
которые были построены в NCSA. Мы получили файлы с изображениями через
сеть Internet.
Рис.1 Фрактал Мандельброта
Вам уже известна математическая модель фрактала Мандельброта. Теперь мы
покажем, как она реализуется графически. Начальная точка модели
равна нулю. Графически она соответствует центру тела “груши”. Через N
шагов заполнятся все тело груши и в том месте, где закончилась
последняя итерация, начинает образовываться «голова» фрактала.
«Голова» фрактала будет ровно в четыре раза меньше тела, так как
математическая формула фрактала представляет из себя квадратный
полином. Затем опять через N итераций у «тела» начинает образовываться
«почка» (справа и слева от «тела»). И так далее. Чем больше задано
числе итераций N, тем более детальным получится изображение фрактала,
тем больше будет у него различных отростков. Схематическое изображение
стадий роста фрактала Мандельброта представлено на рис.2:
Рис.2 Схема образования фрактала Мандельброта
Из рисунков 1 и 2 видно, что каждое последующее образование на «теле»
точно повторяет в своем строении само тело. Это и есть отличительная
черта того, что данная модель является фракталом.
На следующих рисунках показано, как будет изменяться положение точки,
соответствующей параметру z, при различном начальном положении точки
c.
А) Начальная точка в «теле» Б) Начальная
точка в «голове»
В) Начальная точка в «почке» Г) Начальная точка в
«почке» второго уровня
Д) Начальная точка в «почке» третьего уровня
Из рисунков А - Д хорошо видно, как с каждым шагом все более
усложняется структура фрактала и у параметра z все более сложная
траектория.
Ограничения на модель Мандельброта: существует доказательство, что в
модели Мандельброта |z|
Модель Джулии (Julia set)
Модель фрактала Джулии имеет то же уравнение, что и модель
Мандельброта: Z=Z2+c, только здесь переменным параметром является
не c, a z.
Соответственно, меняется вся структура фрактала, так как теперь на
начальное положение не накладывается никаких ограничений. Между
моделями Мандельброта и Джулии существует такое различие: если модель
Мандельброта является статической (так как z начальное всегда равно
нулю), то модель Джулии является динамической моделью фрактала. На
рис. 4 показано графическое представление фрактала Джулии.
Рис. 4 Модель Джулии
Как видно из рисунка фрактала, он симметричную относительно центральной
точки форму, тогда как фрактал Мандельброта имеет форму, симметричную
относительно оси.
Ковер Серпинского
Ковер Серпинского считается еще одной моделью фрактала. Строится он
следующим образом: берется квадрат, делится на девять квадратов,
вырезается центральный квадрат. Затем с каждым из восьми оставшихся
квадратов проделывается подобная процедура. И так до бесконечности. В
результате вместо целого квадрата мы получаем ковер со своеобразным
симметричным рисунком. Впервые данную модель предложил математик
Серпинский, в честь которого он и получил свое название. Пример ковра
Серпинского можно увидеть на рис. 4d.
Рис.4 Построение ковра Серпинского
4. Кривая Коха
В начале ХХ века математики искали такие кривые, которые ни в одной
точке не имеют касательной. Это означало, что кривая резко меняет свое
направление, и притом с колоссально большой скоростью (производная
равна бесконечности). Поиски данных кривых были вызваны не просто
праздным интересом математиков. Дело в том, что в начале ХХ века очень
бурно развивалась квантовая механика. Исследователь М.Броун
зарисовал траекторию движения взвешенных частиц в воде и объяснил это
явление так: беспорядочно движущиеся атомы жидкости ударяются о
взвешенные частицы и тем самым приводят их в движение. После такого
объяснения броуновского движения перед учеными встала задача найти такую
кривую, которая бы наилучшим образом аппроксимировала движение
броуновских частиц. Для этого кривая должна была отвечать следующим
свойствам: не иметь касательной ни в одной точке. Математик Кох
предложил одну такую кривую. Мы не будем вдаваться в объяснения
правила ее построения, а просто приведем ее изображение, из которого все
станет ясно (рис.5).
Рис.5 Этапы построения кривой Коха
Кривая Коха является еще одним примером фрактала, так как каждая ее
часть является уменьшенным изображением всей кривой.
6. Графические изображения различных фракталов
В данном пункте мы решили поместить графические изображения различных
фракталов, которые мы получили из сети Internet. К сожалению, мы не
смогли найти математическое описание этих фракталов, но для того,
чтобы понять их красоту, достаточно только рисунков.
Рис. 6 Примеры графического представления фракталов
II РАЗДЕЛ
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ФРАКТАЛОВ В ЭКОНОМИКЕ
ТЕХНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФИНАНСОВЫХ РЫНКОВ
Финансовый рынок в развитых странах мира существует уже не одну сотню
лет. На протяжении веков люди продавали и покупали ценные бумаги.
Данный вид сделок с ценными бумагами приносил участникам рынка доход
из-за того, что цены на акции и облигации все время варьировали,
постоянно менялись. В течение веков люди покупали ценные бумаги по
одной цене и продавали, когда они становились дороже. Но иногда
ожидания покупателя не сбывались и цены на купленные бумаги начинали
падать, таким образом, он не только не получал доход, а еще и терпел
убытки. Очень долгое время никто не задумывался, почему так происходит:
цена то растет, то падает. Люди просто видели результат действия и не
задумывались о причинно-следственном механизме, его порождающем.
Так происходило до тех пор, пока американский финансист, один из
издателей известной газеты «Financial Times”, Чарльз Доу не
опубликовал ряд статей, в которых он излагал свои взгляды на
функционирование финансового рынка. Доу заметил, что цены на акции
подвержены циклическим колебаниям: после продолжительного роста следует
продолжительное падение, потом опять рост и падение. Таким образом,
Чарльз Доу впервые заметил, что можно прогнозировать дальнейшее
поведение цены на акции, если известно ее направление за какой-то
последний период.
Рис.1 Поведение цены по Ч.Доу
Впоследствии на основе сделанных Ч.Доу открытий была разработана целая
теория технического анализа финансового рынка, которая получила
название Теория Доу. Эта теория ведет свое начало с девяностых годов
девятнадцатого века, когда Ч.Доу опубликовал свои статьи.
Технический анализ рынков - это методы прогнозирования дальнейшего
поведения тренда цены, основанные на знании предыстории его поведения.
Технический анализ для прогнозирования использует математические
свойства трендов, а не экономические показатели ценных бумаг.
В середине века двадцатого, когда весь научный мир увлекался только
что появившейся теорией фракталов, другой известный американский
финансист Ральф Эллиот предложил свою теорию поведения цен на акции,
которая была основана на использовании теории фракталов.
Эллиот исходил из того, что геометрия фракталов имеет место быть не
только в живой природе, но и в общественных процессах. К общественным
процессам он относил и торговлю акциями на бирже.
ВОЛНОВАЯ ТЕОРИЯ ЭЛЛИОТА
Волновая Теория Эллиота – одна из старейших теорий технического
анализа. Со времени ее создания никто из пользователей не вносил в нее
каких-либо заметных новшеств. Наоборот, все усилия были направлены на
то, чтобы принципы сформулированные Эллиотом, вырисовывались более и
более четко. Результат – налицо. С помощью теории Эллиота были сделаны
самые лучшие прогнозы движения американского индекса Доу-Джонса.
Основой теории служит так называемая волновая диаграмма. Волна – это
различимое ценовое движение. Следуя правилам развития массового
психологического поведения, все движения цен разбиваются на пять волн в
направлении более сильного тренда, и на три волны – в обратном
направлении. Например, в случае доминирующего тренда мы увидим пять
волн при движении цены вверх и три – при движении (коррекции) вниз.
Для обозначения пятиволнового тренда используют цифры а для
противоположного трехволнового – буквы. Каждое из пятиволновых движений
называют импульсным, а каждое из трехвоновых - коррективным. Поэтому
каждая из волн 1,3,5,А и С является импульсной, а 2,4,и В -
коррективной.
Рис. 7 Волновая диаграмма Эллиота
Эллиот был одним из первых, кто четко определил действие Геометрии
Фракталов в природе, в данном случае - в ценовом графике. Он
предположил, что в каждая из только что показанных импульсных и
коррективных волн также представляет собой волновую диаграмму Эллиота.
В свою очередь, те волны тоже можно разложить на составляющие и так
далее. Таким образом Эллиот применил теорию фракталов для разложения
тренда на более мелкие и понятные части. Знание этих частей в более
мелком масштабе, чем самая большая волновая диаграмма, важно потому,
что трейдеры (участники финансового рынка), зная, в какой части
диаграммы они находятся, могут уверенно продавать ценные бумаги, когда
начинается коррективная волна, и должны покупать их, когда начинается
импульсная волна.
Рис.8 Фрактальная структура диаграммы Эллиота
ЧИСЛА ФИБОНАЧЧИ И ХАРАКТЕРИСТИКИ ВОЛН
Ральф Эллиот первым подал идею использовать числовую последовательность
Фибоначчи для составления прогнозов в рамках технического анализа. С
помощью чисел и коэффициентов Фибоначчи можно прогнозировать длину
каждой волны и время ее завершения. Не затрагивая вопроса времени,
обратимся к наиболее часто применяемым правилам определения длины
Эллиотовских волн. Под длиной в данном случае имеется в виду ее
повышение или понижение по шкале цен.
Импульсные волны.
Волна 3 обычно имеет длину, составляющую 1,618 волны 1, реже – равную
ей.
Две из импульсных волн часто бывают равны по длине, обычно это волны 5
и 1. Обычно это происходит, если длина волны 3 меньше, чем 1,618
длины волны 1.
Часто встречается соотношение, при котором длина волны 5 равна 0,382
или 0,618 расстояния, пройденного ценой от начала волны 1 до конце
волны 3.
Коррекции
Длины корректирующих волн составляют определенный коэффициент
Фибоначчи от длины предшествующей импульсной волны. В соответствии с
правилом чередования волны 2 и 4 должны чередоваться в процентном
соотношении. Наиболее распространенным примером является следующий:
волна 2 составила 61,8% волны 1, при этом волна 4 может составлять
только 38,2% или 50% от волны 3.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В нашей работе приведены далеко не все области человеческих знаний,
где нашла свое применение теория фракталов. Хотим только сказать, что
со времени возникновения теории прошло не более трети века, но за это
время фракталы для многих исследователей стали внезапным ярким светом
в ночи, которые озарил неведомые доселе факты и закономерности в
конкретных областях данных. С помощью теории фракталов стали объяснять
эволюцию галактик и развитие клетки, возникновение гор и образование
облаков, движение цен на бирже и развитие общества и семьи. Может
быть, в первое время данное увлечение фракталами было даже слишком
бурным и попытки все объяснять с помощью теории фракталов были
неоправданными. Но, без сомнения, данная теория имеет право на
существование, и мы сожалеем, что в последнее время она как-то забылась
и осталась уделом избранным. При подготовке данной работы нам было
очень интересно находить применения ТЕОРИИ на ПРАКТИКЕ. Потому что
очень часто возникает такое ощущение, что теоретические знания стоят в
стороне от жизненной реальности.
В завершение нашей работы, мы хотим привести восторженные слова
крестного отца теории фракталов Бенуа Мандельброта: «Геометрия природы
фрактальна!». В наше время это звучит также дерзко и абсурдно, как
знаменитое восклицание Г. Галилея: «А все-таки она вертится!» в XVI
веке.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
Шейпак И.А. Фракталы, графталы, кусты… //Химия и жизнь. 1996 №6
Постижение хаоса //Химия и жизнь. 1992 №8
Эрлих А. Технический анализ товарных и фондовых рынков, М: Инфра-М, 1996
Материалы из сети Internet.
Последовательность Фибоначчи – последовательность, предложенная в 1202
г. средневековым математиком Леонардо Фибоначчи. Относится к виду
возвратных последовательностей. a1=1, а2=1, аi=ai-1+ai-2.
Коэффициенты Фибоначчи – частное от деления двух соседних членов
последовательности Фибоначчи: K1=ai/ai-1=1.618,
K2=ai-1/ai=0.618. Эти коэффициенты представляют собой так называемое
“золотое сечение”.
Цена акции
График поведения цены акции
Что общего у дерева, берега моря, облака или кровеносных сосудов у нас в руке? На первый взгляд может показаться, что все эти объекты ничто не объединяет. Однако на самом деле существует одно свойство структуры, присущее всем перечисленным предметам: они самоподобны. От ветки, как и от ствола дерева, отходят отростки поменьше, от них — еще меньшие, и т. д. , то есть ветка подобна всему дереву. Подобным же образом устроена и кровеносная система: от артерий отходят артериолы, а от них — мельчайшие капилляры, по которым кислород поступает в органы и ткани. Посмотрим на космические снимки морского побережья: мы увидим заливы и полуострова; взглянем на него же, но с высоты птичьего полета: нам будут видны бухты и мысы; теперь представим себе, что мы стоим на пляже и смотрим себе под ноги: всегда найдутся камешки, которые дальше выдаются в воду, чем остальные. То есть береговая линия при увеличении масштаба остается похожей на саму себя. Это свойство объектов американский (правда, выросший во Франции) математик Бенуа Мандельброт назвал фрактальностью, а сами такие объекты — фракталами (от латинского fractus — изломанный).
У этого понятия нет строгого определения. Поэтому слово «фрактал» не является математическим термином. Обычно фракталом называют геометрическую фигуру, которая удовлетворяет одному или нескольким из следующих свойств: Обладает сложной структурой при любом увеличении масштаба (в отличие от, например, прямой, любая часть которой является простейшей геометрической фигурой — отрезком). Является (приближенно) самоподобной. Обладает дробной хаусдорфовой (фрактальной) размерностью, которая больше топологической. Может быть построена рекурсивными процедурами.
Геометрия и алгебра
Изучение фракталов на рубеже XIX и XX веков носило скорее эпизодический, нежели систематический характер, потому что раньше математики в основном изучали «хорошие» объекты, которые поддавались исследованию при помощи общих методов и теорий. В 1872 году немецкий математик Карл Вейерштрасс строит пример непрерывной функции, которая нигде не дифференцируема. Однако его построение было целиком абстрактно и трудно для восприятия. Поэтому в 1904 году швед Хельге фон Кох придумал непрерывную кривую, которая нигде не имеет касательной, причем ее довольно просто нарисовать. Оказалось, что она обладает свойствами фрактала. Один из вариантов этой кривой носит название «снежинка Коха».
Идеи самоподобия фигур подхватил француз Поль Пьер Леви, будущий наставник Бенуа Мандельброта. В 1938 году вышла его статья «Плоские и пространственные кривые и поверхности, состоящие из частей, подобных целому», в которой описан еще один фрактал — С-кривая Леви. Все эти вышеперечисленные фракталы можно условно отнести к одному классу конструктивных (геометрических) фракталов.
Другой класс — динамические (алгебраические) фракталы, к которым относится и множество Мандельброта. Первые исследования в этом направлении начались в начале XX века и связаны с именами французских математиков Гастона Жулиа и Пьера Фату. В 1918 году вышел почти двухсотстраничный мемуар Жулиа, посвященный итерациям комплексных рациональных функций, в котором описаны множества Жулиа — целое семейство фракталов, близко связанных с множеством Мандельброта. Этот труд был удостоен приза Французской академии, однако в нем не содержалось ни одной иллюстрации, так что оценить красоту открытых объектов было невозможно. Несмотря на то что это работа прославила Жулиа среди математиков того времени, о ней довольно быстро забыли. Вновь внимание к ней обратилось лишь полвека спустя с появлением компьютеров: именно они сделали видимыми богатство и красоту мира фракталов.
Фрактальные размерности
Как известно, размерность (число измерений) геометрической фигуры — это число координат, необходимых для определения положения лежащей на этой фигуре точки.
Например, положение точки на кривой определяется одной координатой, на поверхности (не обязательно плоскости) двумя координатами, в трёхмерном пространстве тремя координатами.
С более общей математической точки зрения, можно определить размерность таким образом: увеличение линейных размеров, скажем, в два раза, для одномерных (с топологической точки зрения) объектов (отрезок) приводит к увеличению размера (длины) в два раза, для двумерных (квадрат) такое же увеличение линейных размеров приводит к увеличению размера (площади) в 4 раза, для трехмерных (куб) — в 8 раз. То есть «реальную» (т.н. Хаусдорфову) размерность можно подсчитать в виде отношения логарифма увеличения «размера» объекта к логарифму увеличения его линейного размера. То есть для отрезка D=log (2)/log (2)=1, для плоскости D=log (4)/log (2)=2, для объема D=log (8)/log (2)=3.
Подсчитаем теперь размерность кривой Коха, для построения которой единичный отрезок делят на три равные части и заменяют средний интервал равносторонним треугольником без этого сегмента. При увеличении линейных размеров минимального отрезка в три раза длина кривой Коха возрастает в log (4)/log (3)~1,26. То есть размерность кривой Коха — дробная!
Наука и искусство
В 1982 году вышла книга Мандельброта «Фрактальная геометрия природы», в которой автор собрал и систематизировал практически всю имевшуюся на тот момент информацию о фракталах и в легкой и доступной манере изложил ее. Основной упор в своем изложении Мандельброт сделал не на тяжеловесные формулы и математические конструкции, а на геометрическую интуицию читателей. Благодаря иллюстрациям, полученным при помощи компьютера, и историческим байкам, которыми автор умело разбавил научную составляющую монографии, книга стала бестселлером, а фракталы стали известны широкой публике. Их успех среди нематематиков во многом обусловлен тем, что с помощью весьма простых конструкций и формул, которые способен понять и старшеклассник, получаются удивительные по сложности и красоте изображения. Когда персональные компьютеры стали достаточно мощными, появилось даже целое направление в искусстве — фрактальная живопись, причем заниматься ею мог практически любой владелец компьютера. Сейчас в интернете можно легко найти множество сайтов, посвященных этой теме.
Схема получения кривой Коха
Война и мир
Как уже отмечалось выше, один из природных объектов, имеющих фрактальные свойства, — это береговая линия. С ним, а точнее, с попыткой измерить его длину, связана одна интересная история, которая легла в основу научной статьи Мандельброта, а также описана в его книге «Фрактальная геометрия природы». Речь идет об эксперименте, который поставил Льюис Ричардсон — весьма талантливый и эксцентричный математик, физик и метеоролог. Одним из направлений его исследований была попытка найти математическое описание причин и вероятности возникновения вооруженного конфликта между двумя странами. В числе параметров, которые он учитывал, была протяженность общей границы двух враждующих стран. Когда он собирал данные для численных экспериментов, то обнаружил, что в разных источниках данные об общей границе Испании и Португалии сильно отличаются. Это натолкнуло его на следующее открытие: длина границ страны зависит от линейки, которой мы их измеряем. Чем меньше масштаб, тем длиннее получается граница. Это происходит из-за того, что при большем увеличении становится возможным учитывать все новые и новые изгибы берега, которые раньше игнорировались из-за грубости измерений. И если при каждом увеличении масштаба будут открываться ранее не учтенные изгибы линий, то получится, что длина границ бесконечна! Правда, на самом деле этого не происходит — у точности наших измерений есть конечный предел. Этот парадокс называется эффектом Ричардсона.
Конструктивные (геометрические) фракталы
Алгоритм построения конструктивного фрактала в общем случае таков. Прежде всего нам нужны две подходящие геометрические фигуры, назовем их основой и фрагментом. На первом этапе изображается основа будущего фрактала. Затем некоторые ее части заменяются фрагментом, взятым в подходящем масштабе, — это первая итерация построения. Затем у полученной фигуры снова некоторые части меняются на фигуры, подобные фрагменту, и т. д. Если продолжить этот процесс до бесконечности, то в пределе получится фрактал.
Рассмотрим этот процесс на примере кривой Коха (см. врезку на предыдущей странице). За основу кривой Коха можно взять любую кривую (для «снежинки Коха» это треугольник). Но мы ограничимся простейшим случаем — отрезком. Фрагмент — ломаная, изображенная сверху на рисунке. После первой итерации алгоритма в данном случае исходный отрезок совпадет с фрагментом, затем каждый из составляющих его отрезков сам заменится на ломаную, подобную фрагменту, и т. д. На рисунке показаны первые четыре шага этого процесса.
Языком математики: динамические (алгебраические) фракталы
Фракталы этого типа возникают при исследовании нелинейных динамических систем (отсюда и название). Поведение такой системы можно описать комплексной нелинейной функцией (многочленом) f (z). Возьмем какую-нибудь начальную точку z0 на комплексной плоскости (см. врезку). Теперь рассмотрим такую бесконечную последовательность чисел на комплексной плоскости, каждое следующее из которых получается из предыдущего: z0, z1=f (z0), z2=f (z1), … zn+1=f (zn). В зависимости от начальной точки z0 такая последовательность может вести себя по‑разному: стремиться к бесконечности при n -> ∞; сходиться к какой-то конечной точке; циклически принимать ряд фиксированных значений; возможны и более сложные варианты.
Комплексные числа
Комплексное число — это число, состоящее из двух частей — действительной и мнимой, то есть формальная сумма x + iy (x и y здесь — вещественные числа). i — это т.н. мнимая единица, то есть то есть число, удовлетворяющее уравнению i^ 2 = -1. Над комплексными числами определены основные математические операции — сложение, умножение, деление, вычитание (не определена только операция сравнения). Для отображения комплексных чисел часто используется геометрическое представление — на плоскости (ее называют комплексной) по оси абсцисс откладывают действительную часть, а по оси ординат — мнимую, при этом комплексному числу будет соответствовать точка с декартовыми координатами x и y.
Таким образом, любая точка z комплексной плоскости имеет свой характер поведения при итерациях функции f (z), а вся плоскость делится на части. При этом точки, лежащие на границах этих частей, обладают таким свойством: при сколь угодно малом смещении характер их поведения резко меняется (такие точки называют точками бифуркации). Так вот, оказывается, что множества точек, имеющих один конкретный тип поведения, а также множества бифуркационных точек часто имеют фрактальные свойства. Это и есть множества Жулиа для функции f (z).
Семейство драконов
Варьируя основу и фрагмент, можно получить потрясающее разнообразие конструктивных фракталов.
Более того, подобные операции можно производить и в трехмерном пространстве. Примерами объемных фракталов могут служить «губка Менгера», «пирамида Серпинского» и другие.
К конструктивным фракталам относят и семейство драконов. Иногда их называют по имени первооткрывателей «драконами Хейвея-Хартера» (своей формой они напоминают китайских драконов). Существует несколько способов построения этой кривой. Самый простой и наглядный из них такой: нужно взять достаточно длинную полоску бумаги (чем тоньше бумага, тем лучше), и согнуть ее пополам. Затем снова согнуть ее вдвое в том же направлении, что и в первый раз. После нескольких повторений (обычно через пять-шесть складываний полоска становится слишком толстой, чтобы ее можно было аккуратно гнуть дальше) нужно разогнуть полоску обратно, причем стараться, чтобы в местах сгибов образовались углы в 90˚. Тогда в профиль получится кривая дракона. Разумеется, это будет лишь приближение, как и все наши попытки изобразить фрактальные объекты. Компьютер позволяет изобразить гораздо больше шагов этого процесса, и в результате получается очень красивая фигура.
Множество Мандельброта строится несколько иначе. Рассмотрим функцию fc (z) = z 2 +с, где c — комплексное число. Построим последовательность этой функции с z0=0, в зависимости от параметра с она может расходиться к бесконечности или оставаться ограниченной. При этом все значения с, при которых эта последовательность ограничена, как раз и образуют множество Мандельброта. Оно было детально изучено самим Мандельбротом и другими математиками, которые открыли немало интересных свойств этого множества.
Видно, что определения множеств Жулиа и Мандельброта похожи друг на друга. На самом деле эти два множества тесно связаны. А именно, множество Мандельброта — это все значения комплексного параметра c, при которых множество Жулиа fc (z) связно (множество называется связным, если его нельзя разбить на две непересекающиеся части, с некоторыми дополнительными условиями).
Фракталы и жизнь
В наши дни теория фракталов находит широкое применение в различных областях человеческой деятельности. Помимо чисто научного объекта для исследований и уже упоминавшейся фрактальной живописи, фракталы используются в теории информации для сжатия графических данных (здесь в основном применяется свойство самоподобия фракталов — ведь чтобы запомнить небольшой фрагмент рисунка и преобразования, с помощью которых можно получить остальные части, требуется гораздо меньше памяти, чем для хранения всего файла). Добавляя в формулы, задающие фрактал, случайные возмущения, можно получить стохастические фракталы, которые весьма правдоподобно передают некоторые реальные объекты — элементы рельефа, поверхность водоемов, некоторые растения, что с успехом применяется в физике, географии и компьютерной графике для достижения большего сходства моделируемых предметов с настоящими. В радиоэлектронике в последнее десятилетие начали выпускать антенны, имеющие фрактальную форму. Занимая мало места, они обеспечивают вполне качественный прием сигнала. Экономисты используют фракталы для описания кривых колебания курсов валют (это свойство было открыто Мандельбротом более 30 лет назад). На этом мы завершим эту небольшую экскурсию в удивительный по красоте и разнообразию мир фракталов.