КИРХГОФА ПРАВИЛА (законы Кирхгофа), устанавливают соотношения для сил токов и напряжений в разветвлённых электрических цепях постоянного тока. Сформулированы Г. Р. Кирхгофом в 1847.
Первое Кирхгофа правило: алгебраическая сумма сил токов Ik, сходящихся в точке разветвления (узле) цепи (рис. а), равна нулю:
где I - число токов, сходящихся в узле. Силы токов, входящих в узел и исходящих из него, считаются величинами разных знаков; например, первые - положительными, вторые - отрицательными, или наоборот. Первое Кирхгофа правило является следствием закона сохранения электрического заряда.
Второе Кирхгофа правило: в любом замкнутом контуре, выделенном в сложной электрической цепи проводников (рис. б), алгебраическая сумма падений напряжений I k R k на отдельных участках контура (R k - сопротивление k-го участка) равна алгебраической сумме эдс E k в этом контуре:
где n - число участков в замкнутом контуре (на рисунке б n = 3, Е 2 = 0). Знаки величин I к и Е к считаются положительными, если направление тока совпадает с условно выбранным направлением обхода контура, а эдс повышает разность потенциалов (напряжение) в направлении этого обхода, отрицательными - при противоположном направлении. Второе Кирхгофа правило является следствием Ома закона и потенциальности электростатического поля.
Кирхгофа правило используются для расчёта сложных электрических цепей, применяемых в электро и радиотехнике; они позволяют определить силу тока и его направление в любой части разветвлённой электрической цепи, если известны сопротивления и эдс всех её участков. Для электрической цепи из m проводников, образующих r узлов, составляются m уравнений, из которых r - 1 уравнений для узлов составляются на основе первого Кирхгофа правила и m-(r- 1) уравнений для независимых замкнутых контуров - на основе второго Кирхгофа правила. При составлении уравнений необходимо учитывать направления токов в проводниках, которые заранее неизвестны и выбираются произвольно. Если при решении уравнений для какой-либо силы тока получается отрицательная величина, то это означает, что его направление противоположно выбранному.
Лит.: Тамм И. Е. Основы теории электричества. 11-е изд. М., 2003; Парселл Э. Электричество и магнетизм. 4-е изд. СПб. и др., 2005; Сивухин Д. В. Общий курс физики. 5-е изд. М., 2006. Т. 3: Электричество.
Очень часто электрическая цепь включает несколько источников тока и сопротивлений, которые соединены разными способами. Такую цепь называют сложной разветвленной электрической цепью. Значимыми для составления систем уравнений, позволяющих провести расчеты в сети постоянного тока, являются ее узлы и замкнутые контуры. Расчеты любой сети можно проводить, используя закон Ома и закон сохранения заряда. Но использование специальных правил, которые называют правилами Кирхгофа (иногда законами Кирхгофа) позволяют упростить процедуру составления уравнений для вычислений. Всего выделяют два правила Кирхгофа.
Первое правило Кирхгофа
Довольно часто в электрической цепи в одной точке сходятся более двух проводников, по которым текут токи. Такие точки в цепи называют узлами или разветвлениями. В любом узле, если ток в цепи постоянен, полное изменение заряда за некоторый промежуток времени равно:
где суммирование проводят с учетом знаков силы тока. Если мы имеем дело с постоянным током в цепи, то потенциалы всех ее точек остаются неизменными. Значит, в узлах не может накапливаться заряд. Поэтому рассматривая силу тока, как алгебраическую величину запишем:
где N - число токов, которые сходятся в узле. Выражение (2) носит название первого правила Кирхгофа (правило узлов): сумма токов, текущих через сопротивления в цепи постоянного тока, с учетом их знака, сходящихся в узле, равна нулю.
Знак у тока (плюс или минус) выбирают произвольно, но при этом следует считать, что все входящие в узел токи имеют одинаковые знаки, а все исходящие из узла токи имеют противоположные входящим, знаки. Допустим, все входящие токи мы примем за положительные, тогда все исходящие их этого узла токи будут отрицательными.
Первое правило Кирхгофа дает возможность составить независимое уравнение, если в цепи k узлов.
Второе правило Кирхгофа
Во втором правиле Кирхгофа рассматривают замкнутые контуры, поэтому оно называется правилом контуров. Формулируется это правило Кирхгофа следующим образом: Суммы произведений алгебраических величин сил тока на внешние и внутренние сопротивления всех участков замкнутого контура равны алгебраической сумме величин сторонних ЭДС (), которые входят в рассматриваемый контур. В математическом виде второй закон Кирхгофа записывают как:
Величины называют падениями напряжения. Прежде, чем применять второй закон Кирхгофа определяются с направлением положительного обхода контура. Выбирается направление произвольно, либо по часовой стрелке, либо против нее. Если направление обхода совпадает с направлением течения тока в рассматриваемом элементе контура, то падение напряжения в формулу второго закона для данного контура входит с положительным знаком. ЭДС считают положительной, если при движении по контуру (в избранном направлении) первым встречается отрицательный полюс источника. Более правильно было бы сказать, сто ЭДС считают положительной, если работа сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда на рассматриваемом участке цепи в заданном направлении обхода контура является положительной величиной.
Второе правило Кирхгофа является следствием закона Ома.
Примеры решения задач
ПРИМЕР 1
| Задание | Источники ЭДС соединены в соответствии со схемой рис.1. Величины этих ЭДС равны и . Сопротивление имеет величину R. Внутренние сопротивления источников равны между собой и равны r каждое. Какова сила тока в резисторе?
|
| Решение | Направления токов на рис.1 задаем произвольно. Будем считать положительными токи, которые входят в узел. Для точки С запишем первое правило Кирхгофа:
За направление обхода контуров примем движение по часовой стрелке. Рассмотрим контур ABDCA. Запишем для него второе правило Кирхгофа: Рассмотрим контур CDFEC. Для него уравнение, составленное при помощи второго правила Кирхгофа будет: Мы получили систему из трех линейных, независимых уравнение с тремя неизвестными:
Из этой системы уравнений найдем силу тока I. Она получается равной:
Получено отрицательное значение силы тока, это означает, что когда мы произвольно задавали направления токов в элементах цепи, то не угадали и выбрали направление течения тока в противоположную сторону. |
| Ответ |
ПРИМЕР 2
| Задание | Найдите силы токов для схемы рис.1, которые текут через источники ЭДС. |
| Решение | Для решения задачи можно использовать систему уравнении, которую мы получили применяя правила Кирхгофа:
Зная выражение для силы тока, который течет через сопротивление R:
|
Пример решения задачи
Первый закон Кирхгофа
- второй закон Кирхгофа
Составляем уравнения по законам Кирхгофа для данной схемы
Пример решения задачи:
E 1 = 24 B
E 2 = 18 B
R i 1 = 0, Ом
R i 2 = 0, Ом
R 1 = 1,5Ом
R 2 = 1,8Ом
R 3 = 2 Ом
Найти: I 1-3 - ?
Подставляя исходные данные
Сокращаем коэффициенты в уравнениях
Выражаем I 1 из первого уравнения и подставляем во второе
I 1 =I 3 -I 2
3=I 3 -I 2 -I 2 =I 3 -2I 2
Совместно записываем второе и третье уравнение и вычитаем почленно
3=I 3 -2I 2
9=I 3 +I 2
_-----------------------
-6=-3I 2
Подставляем найденные I 2 =2A в третье уравнение
9= I 2 +I 3 =2+I 3
I 3 =9-2=7A
Подставляем I 2 и I 3 в первое уравнение
I 1 = I 3 -I 2 =7-2=5A
Оба источника работают в режиме генератора, так как ток и ЭДС совпадают по направлению
Тестовые задания:
МЕТОД КОНТУРНЫХ ТОКОВ
Этот метод позволяет уменьшать количество уравнений в системе.
Порядок расчёта:
1. Выбираем производное направление контурного тока;
2. Составляем уравнение по второму закону Кирхгофа для контурных токов. При записи учитываем падение напряжения от собственного контурного тока и контурных токов соседних контуров;
3. Решаем полученную систему уравнений и определяем контурные токи;
4. Рассчитываем действительные токи ветвей по правилу:
если в ветви течёт один контурный ток, то действительный ток равен этому контурному; если течет несколько, то действительный равен алгебраической сумме.
- второй закон Кирхгофа
-E 1 - E 2 = I 1 к ∙(R 4 + R i1 + R 1 + R i2 + R 2) - I 2 к ∙(R 2 + R i2)
E 2 - E 3 = I 2 к ∙(R 2 + R i2 + R 3 + R i3) - I 1 к ∙(R 2 + R i2)
Пусть при решении получилось
I 1к =3A I 2к =2A
Пример решения задачи
E 1 = 24 B
E 2 = 18 B
R i 1 = 0,5 Ом
R i 2 = 0,2 Ом
R 1 = 1,5 Ом
R 2 = 1,8 Ом
R 3 = 2 Ом
Найти: I 1-3 -?
30=6I 1 к 6=4∙5-2I 2 к
I 1 к =5A I 2 к =7A
_______________
I 3= I 2 к =7A
I 1 = I 1 к =5A
I 2 = I 2 к - I 1 к =7-5=2A
Тестовые задания:
МЕТОД ДВУХ УЗЛОВ
1.Обозначим узлы (А;В)
Под узлом А обозначим узел, к которому направлено больше ЭДС
2.Все токи направляем к узлу А
3. Рассчитываем проводимость каждой ветви по формуле единица разделить на сумму всех сопротивлений ветви.
G 1 = 
См
G 2 = См
G 3 = См
G 4 = См
4) Определяем напряжение между двумя узлами, в эту формулу Е входит со знаком "плюс" если она направлена к узлу А и со знаком "минус" , если от узла
∙
5) Записываем токи ветвей
I 1 =(E 1 -U AB)∙G 1
I 2 =(E 1 -U AB)∙G 2
I 3 =(-E 3 -U AB)∙G 3
I 4 =(-U AB)∙G 4
6) Меняем направлен отрицательных токов (I 3 , I 4)
Пример решения задачи
E 1 =120 В
E 8 =128 В
R i 1 =1 Ом
R 1 =10 Ом
R 2 =19 Ом
R 3 =40 Ом
R 4 =3 Ом
R 5 =20 Ом
Найти: I 1-5 =?
G 1 
G 2 
G 3 
U AB = 
I 1 =(E 1 -U АВ)∙G 1 =(120-108)∙ = = =0,8A
I 2 =(E 2 -U АВ)∙G 2 =(128-108)∙ =1A
I 3 =- U АВ ∙G 3 =(-108)∙
I 3 " =1,8A
Ответ:I 1 = I i1 =0,8A
I 2 =1A
I 3 =I 5 =1,8A
Тестовые задания:
МЕТОД ЭКВИВАЛЕНТНОГО ГЕНЕРАТОРА
Этим методом удобно рассчитывать ток в одной ветви, особенно, если сопротивление этой ветви меняется.
Цель называется активной, если она содержит внутри себя источники или усилительные элементы и пассивной, если нет (R, L, C).
Согласно теории об эквивалентном генераторе любой активный двухполюсник можно заменить эквивалентным ЭДС с эквивалентным внутренним сопротивлением.
Схема с активным двухполюсником из нее следует
Чтобы найти Е э надо разомкнуть ветвь АВ и найти напряжение на зажимах разомкнутой ветви.
Пример решения задачи методом эквивалентного генератора.
U АВ = U хх = Е э
E 1 = 15 B
E 2 = 5 B
R 1 = 3 Ом
R 2 = 5 Ом
R 3 = 19,6 Ом
R i = 1 Ом
Обходим контур, который замыкается через U AB по второму закону Кирхгофа.
E 2 = - I xx ∙(R 2 + R i2) + U AB
5 = - 6 + U AB
U AB = 11 B
U AB =Eэ = 11 В
Чтобы найти R э надо разомкнуть ветвь АВ, исключить все ЭДС, оставив их внутренне сопротивление и рассчитать входное сопротивление цепи по отношению к зажимам разомкнутой ветви.
R i 1 , 1 =R i 1 +R 1 =1+3=4 ОМ
R i 2,2 =R i 2 +R 2 =1+5=6 Ом
I 3 = 
A
E 1 =150B
E 2 =10 B
E 3 = 80B
R i1 =R i2 = R i3 =1Ом
R 1 =10 Ом
R 2 =118 Ом
R 3 =29 Ом
R 4 =80 Ом
R 5 =20 Ом
Пример решения задачи.
E 3 -E 2 =-I xx (R i3 +R 2 +R i2)+U AB
80-10=-0,5∙120+U AB
U AB =130B
E э =U AB =130B
R i1,1-3 =R 1 +R i1 +R 3 =10+1+29=40Ом
R i 2,2-3 =1+118+1=120Ом
I 5 = 
ОПЕРАЦИОННЫЙ УСИЛИТЕЛЬ
Активные элементы - это источники и усилительные элементы.
Пассивные - резисторы, катушки индуктивности и конденсаторы.
Операционный усилитель - активный резистивный элемент, который выполняет в технике связи основной усилительный эффект. Представляет собой то или иное число транзисторов (до 20) и резисторов. Выполняется в виде интегральных микросхем.
Схемное изображение операционного усилителя:
Операционный усилитель имеет 8 выводов: 2 входных, 1 выходной, 1 заземлённый и 2 для регулировки, 2 источника питания. Напряжение питания 12-15 В .
Достоинства:
1) очень высокий коэффициент усиления μ = 10 4 - 10 5 ;
2) очень высокое входное сопротивление R вх = 10 5 и выше;
3) маленькое выходное сопротивление R вых = единицы Ом.
Неинвертируемый (положительный) вход операционного усилителя - это такой вход, при подаче на который напряжения одной полярности на выходе получается напряжение той же полярности.
Инвертируемый (отрицательный) вход операционного усилителя - это такой вход, при подаче на который напряжения одной полярности на выходе получается напряжение другой полярности.
Работа операционного усилителя сводится к тому, что напряжение источника питания преобразуется по закону входного напряжения, но напряжение на выходе не может быть больше, чем напряжение источника питания. Поэтому, если операционный усилитель работает без обратной связи, то на его выходе всегда будет сигнал прямоугольной формы, равный напряжению источника питания.
Схема включения операционного усилителя без обратной связи:
Понятие об обратной связи
Обратная связь - это цепи, через которые часть напряжения с выхода четырёхполюсника снова подаётся на вход того же четырехполюсника.
ООС - отрицательная обратная связь - это когда выходное напряжение подаётся на вход со знаком противоположным знаку входного.
ПОС - когда выходное напряжение подаётся на вход с тем же знаком, что и знак входного напряжения.
Операционный усилитель всегда работает с глубокой отрицательной обратной связью. Поэтому его коэффициент передачи уменьшается, но зато улучшаются его другие свойства (стабильность, полоса пропускания).
Схема операционного усилителя с обратной связью:
R вх = R 1
R обр.св. = R 2
Тестовые задания:
МЕТОД НАЛОЖЕНИЯ
Удивительно не то, как просто всё рассчитывается, когда знаешь два понятных всем правила расчёта — первый и второй Законы Кирхгофа, а то, как гениально это было придумано.
Ведь не было тогда бытовой электрической сети. Куда просто вкрутил лампочку, нажал выключатель, и всё — заработало напряжение, побежал ток, разогрелась спираль лампочки и засиял свет. Вот она, понятная работа электричества. Её нам сейчас ничуть не труднее осознать, чем бурчание воды в отоплении или гудение воздуха в инструменте трубача.
Закон Ома — первый кит электротехники
А когда Георг Симон Ом, изучая гальванические, как тогда называли, цепи, вывел своё простейшее соотношение , этого понять не мог никто, кроме немногих посвящённых. Просто потому, что обыденный мозг тогда сразу упирался в нечто невообразимое, а значит, непреодолимое: что это за течение такое, ток частиц, которых не то что пощупать, но и представить нельзя ввиду абсолютно исчезающей малости. Да ещё «текущих» в металле, твёрдом предмете. Уж не то, что попытаться составлять какие-либо точные формулы.
Теперь это соотношение кажется простым и ясным, как удар молнии. Видимо, он сумел почувствовать это явление — электрическое напряжение. Если цепь разомкнута, то тока ещё никакого нет, ничего не нагревается и не пузырится (как вода под током), а напряжение вот оно — попробуй, тронь! Видимо, как-то сумел гений потрогать и попробовать.
Собственно, вся любая электрическая цепь и описана законом Ома . Источник, дающий напряжение и нагрузка, подставляющая напряжению своё тело, отчего получается электрический ток. Соотношение простейшее — чем больше напряжение, тем больше ток. А конкретно каким он получится, определяет пропускная способность нагрузки, G, или проводимость.
I=U*G
Удобнее и нагляднее оказалось вместо проводимости пользоваться понятием сопротивления, R, величиной обратной проводимости (R=1/G) .
И обозначения на первой электросхеме самые простейшие: прямоугольничек — нагрузка, две линии поперёк тока - батарейка.
Самая первая электрическая схема
Видимо, и подключали поначалу что-то одно к чему-то одному. Но вот и эта схема «под напором реальности» усложняется. Во-первых, сама батарейка имеет сопротивление.
Как это изобразить, вот так? 
Некрасиво.
Лучше располагать рядом так:
Есть искушение поставить этот прямоугольничек на другую сторону, рядом с нагрузкой, а нельзя, всё-таки батарейка и её внутреннее сопротивление — одно нераздельное физическое устройство.
Чтобы видеть действие тока, лучше в качестве нагрузки использовать лампочку . Понятно, с выключателем.
Мы получили последовательную цепочку.
Ток во всех её частях обязан быть одним и тем же, то есть одинаковый везде.
Это логично, и если включить выключатель, лампочка сразу загорится.
При этом никто и не задумывается, что если у нас через лампочку течёт ток всего в один ампер, то это значит, что каждую секунду через неё пробегает:
6 квинтиллионов 241 квадриллион 509 триллионов 125 миллиардов 493 миллиона 690 тысяч с небольшим электронов.
И все они вышли из небольшой батареечки и в неё же и вернутся с другой стороны.
Если поставить вместо одной лампочки две одинаковых, то они загорятся вполнакала, то есть ток I , протекающей последовательно из батарейки через выключатель сначала в лампочку Л1, потом в лампочку Л2 и снова в батарейку, станет меньше, чем был, когда стояла одна лампочка.
Это значит, что сопротивление стало больше: было R у одной лампочки, стало R+R, то есть 2R .
Токи и напряжения в сети
(1) А если оставить в формуле сопротивление только одной лампочки, то, зная, что ток у нас везде один и тот же, можно вычислить напряжение Uл конкретно для этого потребителя, лампочки.
Это напряжение, которое падает именно на нашу лампочку, так и называется «падение напряжения» . Оно примерно вдвое меньше нашего напряжения питания U . Примерно — потому что в формуле (1) среди сопротивлений есть ещё небольшой довесок в виде r , внутреннего сопротивления нашей батареи. Что делать, она не идеальна, и вместе со всеми остальными потребляет энергию (свою же собственную) и даже греется от этого. Хотя сопротивление её достаточно малое.
А теперь взглянем на нашу цепь как на единый контур, который можно обходить по часовой или против часовой стрелки. Ток наш идёт, как нарисовано, против часовой стрелки. Двинемся по этому направлению с любого места и пройдём всё, складываем падения напряжения на всех попадающихся по дороге приборах.
Для токов — узлы, для напряжений — контуры
Получится:
Последним напряжением добавлено то, которое вырабатывается батареей, только со знаком минус, так как оно работает не на потребление, а наоборот, вырабатывается и поставляется в сеть нашей героической батареей. И что у нас получилось?
Правило Кирхгофа для напряжений (2й закон)
А получилось ровно 0. Потому что вся энергия от батареи потребляется лампочками + внутреннее сопротивление батареи. И понятно, это есть высшая справедливость природы. То есть второй закон Кирхгофа в действии.
И вдруг у нас случился… прорыв.
Правило Кирхгофа для токов (1й закон)
К нам в двух точках — А и B — подключились неизвестные, скорее всего, инопланетяне.
И начали качать от нас энергию. И теперь мы знаем, что ток I3 и ток I4 — не наши, они инопланетянские . И наша схема может быть безнадёжно испорчена.
А обойдём ка мы контур снова. Может быть, не всё ещё потеряно. И вот:
И, наконец:
U=Uг+Uл1+Uл2 .
Потому что I1=I2+I3. И I1=I2+I4.
То есть сколько току вытекло в качестве тока I3 в точке А, столько его и вернулось к нам в точке B в виде тока I4. Высшая справедливость всё-таки восторжествовала. А помогло нам при этом здравое рассуждение, о том, что в любой точке цепи, где электрическая сеть разветвляется, общее количество тока, вытекающего из узла, то есть этой точки, равно количеству тока, втекающего в этот узел. Поэтому смело рисуем схему, зная, что нам помог уже первый, а не второй закон Кирхгофа:
Почему-то оказалось, что токи I3 и I4 оказались точно равными -I1, и значит… наши лампочки загорелись полным накалом.
Ох уж эти выдумки инопланетянские! С нашей стороны осталось только в схеме поставить стрелочки токов (и ЭДС у источника ЭДС Eин) в противоположное направление . Потому что мы сначала подумали, что инопланетяне плохие, а они оказались хорошими.
Расчёт цепи по законам Кирхгофа интуитивно понятен — правила позволяют рассчитывать электрические цепи, то есть определять все неизвестные параметры — токи, напряжения — любой, сколь угодно замысловатой цепи.
Применение законов Кирхгофа для расчёта сложных цепей
Цепь состоит из ветвей, соединяющихся в узлах. Ветвь — это несколько последовательно соединённых электрических приборов. В узлах могут соединяться три и более ветвей. Это значит, что через узел проходят токи, выходящие из ветвей, которые в нём соединяются.
Ну и теперь, вооружившись проверенными нами базовыми законами электротехники , решим пример, зная, что всё и для любой электрической цепи решаемо.
Смело решаем задачу.
Путь таков:
- Составляются уравнения для токов в узлах — работает первый закон Кирхгофа. Составляются уравнения для падений напряжений по всем независимым контурам — дело второго закона Кирхгофа.
- Уравнения сводятся в систему и решаются методами математики для системы из N линейных уравнений с N неизвестными.
- Делается проверка решения другим способом, например, подсчётом общей мощности сети
Составляем уравнения для токов, втекающих/вытекающих в узлы. Узлов сего три, значит, уравнений будет 3-1, то есть два.
Теперь составляем уравнения для контуров и падений напряжения в них . Контуров у нас независимых три (в которых в каждом есть хотя бы одна ветвь, не встречающаяся в других).
Вот и получается три уравнения по второму закону Кирхгофа: Собрав все пять уравнений вместе, получаем систему из пяти уравнений с пятью неизвестными.
Остальное — дело королевы наук, то есть математики
. Такие системы она щёлкает не глядя.
И получаются вполне похожие на правду ответы: 
А мы знаем, хорош тот ответ, который поддаётся проверке.
Сделаем-ка мы расчёт мощности, выделяемой на всех устройствах данной схемы при полученной нами картине токов и напряжений двумя способами, пользуясь немного разными определениями для мощности:
- мощность как произведение тока на напряжение
- мощность, как квадрат силы тока, умноженный на сопротивление
Как видим, всё у нас правильно, задача нашего непростого примера решена.
Решение задач на расчет сложных цепей основывается на применении первого и второго законов Кирхгофа, которые наряду с законом Ома являются основными законами электрической цепи.
Законы Кирхгофа определяют распределение токов и напряжений в электрических цепях любой конфигурации.
Первый закон Кирхгофа
Рассматривая разветвленные электрические цепи, состоящие из нескольких контуров, нам необходимо установить соотношения между токами, приходящими к любому узлу, и токами, уходящими от него. Из физической сущности электрического тока следует, что общее количество носителей тока, притекающее к узлу в течении некоторого промежутка времени, равно количеству носителей, утекающему от узла за тоже время. Если предположить, что это положение не выполняется, то в узловой точке должно происходить накопление зарядов или убыль - утечка зарядов.
На практике эти явления не наблюдаются, следовательно, мы можем утверждать, что сумма величин токов, притекающих к точке разветвления, равна сумме величин токов, утекающих от нее.
Это положение и является формулировкой первого закона Кирхгофа.
Математическое выражение первого закона Кирхгофа применительно к узлу А:
Условимся токи, притекающие к точке разветвления, считать положительными, а токи, утекающие от нее, - отрицательными и сформулируем окончательно первый закон Кирхгофа:
Алгебраическая сумма величин токов в точке разветвления равна нулю.
Пример
На рисунке изображена узловая точка и указаны направления и величины в пяти ветвях.
Требуется определить величину и направление тока в шестой ветви.
Решение.
Предположим, что ток в шестой ветви притекает к точке А. Используя первый закон Кирхгофа, составим уравнение ∑I=0
Знак минус означает, что принятое нами направление тока в шестой ветви неправильное, В действительности ток в этой ветви вытекает из точки А.
Второй закон Кирхгофа связывает между собой э. д. с., действующие в любом замкнутом контуре, и падения напряжения на сопротивлениях, входящих в данный контур.
Исходя из принципа электрического равновесия, можно сделать логический вывод, что в установившемся режиме, когда токи в контуре не изменяются, все э. д. с. уравновешиваются падениями напряжения.
В самом деле, если предположить, что сумма э. д. с. превышает сумму падений напряжения, то ток в цепи должен возрасти. Наоборот, если сумма падений напряжения превышает сумму э. д. с., то ток должен уменьшиться.
Таким образом, алгебраическая сумма э. д. с., действующих в любом замкнутом контуре, равна алгебраической сумме падений напряжения на всех участках этого контура.
это и есть формулировка второго закона Кирхгофа.
Математически второй закон Кирхгофа выражается формулой:
При составлении уравнения второго закона Кирхгофа необходимо учитывать направления токов и э.д.с. для этого выбирают какое либо направление обхода контура (обычно направление движения часовой стрелки) и считают положительными э. д. с, которые создают токи в направлении, совпадающем с направлением обхода и падения напряжения, создаваемые токами, направление которых совпадает с направлением обхода.Так например, на рисунке, обходя контур ABCDA в направлении часовой стрелки, будем считать E 1 ,U 1 ,U 3 положительными, а E 2 и U 2 отрицательными.
Следовательно, уравнение второго закона Кирхгофа для этого контура запишется так
Применение законов Кирхгофа для расчета сложных цепей
Для каждой сложной цепи, пользуясь законами Кирхгофа, можно составить строго определенное число независимых друг от друга уравнений. Как будет показано ниже, это число всегда равно числу неизвестных токов в цепи.
Число уравнений находится в зависимости от числа ветвей (n
) и числа узлов (k
). Любая ветвь цепи характеризуется величиной э. д. с. (Е
) действующей в ней, сопротивлением (R
) и величиной тока (I
).
Если в данной ветви действуют несколько э. д. с. и имеется несколько сопротивлений, то она характеризуется алгебраической суммой всех э. д. с. и суммой всех сопротивлений, т.е. опять-таки определенной (одной) э. д. с. и определенным (одним) сопротивлением.
Следовательно, сложная цепь, имеющая n
ветвей, будет характеризоваться n-э. д. с
., n-сопротивлениями
и n-токами
.
Используя первый закон Кирхгофа, можно составить (k-1 ) уравнений, связывающих между собой величины токов в ветвях. Таким образом, число уравнений на одно меньше, чем число всех узлов цепи. Это объясняется тем, что все токи, входящие в уравнение для узла k , уже вошли в предыдущие уравнения. На схеме в узле А сходятся токи I 1 , I 2 , I 3 ; в узле В —I 2 , I 3 , I 4 , I 5 ; в узле С — I 4 , I 5 , I 1 .
Уравнения первого закона Кирхгофа для узлов А и В являются независимыми. В то же время уравнение для узла С. Дает нам зависимость, которая может быть получена на основании уравнений, составленных для первых двух узлов.
В самом деле, на основании первого закона Кирхгофа получим:
— для узла А
I 1 -I 2 -I 3 =0
; (1)
— для узла В
I 2 +I 3 +I 5 -I 4 =0
; (2)
— для узла С
I 4 -I 1 -I 5 =0
. (3)
Но последнее уравнение не является независимым, так как может быть получено на основании двух первых.
Действительно, складывая (1) и (2), получим
I 1 -I 4 +I 5 =0 ,
А умножив обе части равенства на -1 , будем иметь
I 4 -I 1 -I 5 =0
Определим теперь число уравнений, которое можно составить, используя второй закон Кирхгофа. Для того чтобы эти уравнения были независимы друг от друга, достаточно чтобы контуры, для которых они пишутся, отличались хотя бы одной ветвью, входящей в их состав.
Математически доказано, что число независимых уравнений m
, которое можно составить для любой сложной цепи по второму закону Кирхгофа будет равно
m = n-k + 1 ,
Где m
—число независимых уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа;
n
— число ветвей;
к
— число узлов.
При выборе контуров стараются по возможности подобрать такие, которые содержат меньшее число ветвей и э. д. с.
Общее число уравнений, составляемых по первому и второму законам Кирхгофа для сложной цепи, состоящей из ветвей и узлов, будет равно числу ветвей.
Складывая число уравнений, составленных на основании первого закона Кирхгофа (k—1
), с числом уравнений, составленных на основании второго закона Кирхгофа (m
), получим
k — 1 + m = k— 1 + n — k + 1 = n .
Итак, если задана цепь из n
ветвей и известны все э. д. с. и сопротивления, всегда можно составить n
уравнений по числу неизвестных токов в ветвях.
Для решения задачи на расчет сложной цепи необходимо:
1. По схеме цепи установить числа n
и k
, для чего пронумеровать все ветви и узлы данной сложной цепи
2. Показать на схеме направления (предположительные) токов в каждой из ветвей.
3. Определить, для каких (k—1 ) узлов нужно составить уравнение первого закона Кирхгофа и для каких контуров нужно составить уравнение второго закона Кирхгофа.
4. Для выбранных узловых точек схемы составить (k — 1 ) уравнений по первому закону Кирхгофа:
Суммирование токов производится обязательно с учетом знака.
5. Для выбранных замкнутых контуров составить m уравнений по второму закону Кирхгофа:
При составлении этих уравнений э. д. с. суммируются с учетом знака, а падения напряжения берутся со знаком плюс, если направление тока совпадает с направлением обхода контура, и наоборот.
6. Решить систему полученных уравнений, в результате чего определяются величины токов во всех ветвях цепи. Если при решении та или иная величина тока получается со знаком минус, то это значит, что фактическое направление тока в данной ветви обратно тому, которое было принято предварительно.
Для закрепления рассматриваемого порядка расчета сложной цепи с использованием законов Кирхгофа решим пример.
I
Пример. Дана сложная цепь, изображенная на рисунке. Зная Е 1 , Е 2 , Е 3 , r 1 r 2 и r 3 , необходимо определить токи в ветвях I 1 , I 2 и I 3 .
Решение.
1. Анализируя данную схему, устанавливаем, что в ней число ветвей n
равно трем, а число узлов k
равно двум.
2. Обозначим направление токов в ветвях. Это не значит, что они будут именно такими, как мы предположили. Истинное направление токов определится в ходе решения задачи.
3. Уравнения первого закона Кирхгофа необходимо составить для
(k-1
) узлов, или 2-1= 1.
Количество уравнений второго закона Кирхгофа, которое надо составить для решения задачи будет равно
m = n-(k- 1) = 3 - (2 - 1) = 3 - 1=2 .
4. Составим одно уравнение по первому закону Кирхгофа для узла А:
5. Приняв направление обхода контуров против часовой стрелки, составим m-2
уравнений для замкнутых контуров по второму закону Кирхгофа:
— для контура № 1:
Е 1 - Е 2 = I 1 r 1 + I 2 r 2 (5)
— для контура № 2:
Е 2 -E 3 = - I 2 r 2 - I З г 3 . (6)
6. Решаем систему из трех уравнений.
Из уравнения, составленного по первому закону Кирхгофа (4),
имеем
I 1 =I 2 -I 3
Подставим полученное значение тока в уравнение (5)
E 1 -E 2 =(I 2 -I 3) r 1 +I 2 r 2
Подставим числовые значения и уравнения (5) и (6).
40 -20 = (I 2 -I 3)*2 +I 2 *3
; (7)
20-15=-I 2 *3-I 3 *4
. (8)
Упростим эти уравнения и решим их методом подстановки:
20=5*I 2 -2I 3
;
5=-3*I 2 -4I 3
Умножим уравнение (7) на 2 и вычтем из полученного результата уравнение (8)
5= -3*2,7-4I 3 ; 4I 3 = -13,1
;
I 3 = -13,1/4=-3,3A
.
Теперь из уравнения (6) находим ток I 1 :
I 1 =I 2 -I 3 =2,7-(-3,3)=6A .
В результате решения токи I 2
и I 1
имеют положительное, а ток I 3
—
отрицательное значение, следовательно, фактическое направление токов I 2
и I 1
совпадает с принятым, а тока I 3
— обратно принятому в начале решения задачи.