Виды степенной функции. Степенная функция, ее свойства и график

Степенная функция - это функция вида y = x p , где p - заданное действительное число.

Свойства степенной функции

1. Если показатель p = 2n - четное натуральное число:
   • область определения - все действительные числа, т. е. множество R;
   • множество значений - неотрицательные числа, т. е. y ≥ 0;
   • функция четная;
   • функция является убывающей на промежутке x ≤ 0 и возрастающей на промежутке x ≥ 0.
   Пример функции с показателем p = 2n: y = x 4 .


2. Если показатель p = 2n - 1 - нечетное натуральное число:
   • область определения - множество R;
   • множество значений - множество R;
   • функция нечетная;
   • функция является возрастающей на всей действительной оси.
   Пример функции с показателем p = 2n - 1: y = x 5 .


3. Если показатель p = -2n , где n - натуральное число:
   • множество значений - положительные числа y > 0;
   • функция четная;
   • функция является возрастающей на промежутке x 0.
   Пример функции с показателем p = -2n: y = 1/x 2 .


4. Если показатель p = -(2n - 1) , где n - натуральное число:
   • область определения - множество R, кроме x = 0;
   • множество значений - множество R, кроме y = 0;
   • функция нечетная;
   • функция является убывающей на промежутках x 0.
   Пример функции с показателем p = -(2n - 1): y = 1/x 3 .


5. Если показатель p - положительное действительное нецелое число:
   • область определения - неотрицательные числа x ≥ 0;
   • множество значений - неотрицательные числа y ≥ 0;
   • функция является возрастающей на промежутке x ≥ 0.
   Пример функции с показателем p, где p - положительное действительное нецелое число: y = x 4/3 .


6. Если показатель p - отрицательное действительное нецелое число:
   • область определения - положительные числа x > 0;
   • множество значений - положительные числа y > 0;
   • функция является убывающей на промежутке x > 0.
   Пример функции с показателем p, где p - отрицательное действительное нецелое число: y = x -1/3 .

10 класс

СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ

Степенной называется функция, заданная формулой где , p – некоторое действительное число.

I . Показатель - чётное натуральное число. Тогда степенная функция где n

D ( y )= (−; +).

2) Область значений функции – множество неотрицательных чисел, если:

множество неположительных чисел, если:

3) ) . Значит, функция Oy .

4) Если, то функция убывает при х (- ; 0] и возрастает при х и убывает при х }