Этот математический калькулятор онлайн поможет вам если нужно вычислить предел функции . Программа решения пределов не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями , т.е. отображает процесс вычисления предела.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Введите выражение функции

Вычислить предел

Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.
Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.

У вас в браузере отключено выполнение JavaScript.
Чтобы решение появилось нужно включить JavaScript.
Вот инструкции, как включить JavaScript в вашем браузере .

Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь.
Через несколько секунд решение появится ниже.
Пожалуйста подождите сек...

Если вы заметили ошибку в решении , то об этом вы можете написать в Форме обратной связи .
Не забудте указать какую задачу вы решаете и что вводите в поля .

Наши игры, головоломки, эмуляторы:

Немного теории.

Предел функции при х->х 0

Пусть функция f(x) определена на некотором множестве X и пусть точка \(x_0 \in X \) или \(x_0 \notin X \)

Возьмем из X последовательность точек, отличных от х 0:
x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n , ... (1)
сходящуюся к х*. Значения функции в точках этой последовательности также образуют числовую последовательность
f(x 1), f(x 2), f(x 3), ..., f(x n), ... (2)
и можно ставить вопрос о существовании ее предела.

Определение . Число А называется пределом функции f(х) в точке х = х 0 (или при х -> x 0), если для любой сходящейся к x 0 последовательности (1) значений аргумента x, отличных от x 0 соответствующая последовательность (2) значений функции сходится к числу A.

$$ \lim_{x\to x_0}{ f(x)} = A $$

Функция f(x) может иметь в точке x 0 только один предел. Это следует из того, что последовательность
{f(x n)} имеет только один предел.

Существует другое определение предела функции.

Определение Число А называется пределом функции f(x) в точке х = x 0 , если для любого числа \(\varepsilon > 0 \) существует число \(\delta > 0 \) такое, что для всех \(x \in X, \; x \neq x_0 \), удовлетворяющих неравенству \(|x-x_0| Используя логические символы, это определение можно записать в виде
\((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x \in X, \; x \neq x_0, \; |x-x_0| Отметим, что неравенства \(x \neq x_0, \; |x-x_0| Первое определение основано на понятии предела числовой последовательности, поэтому его часто называют определением «на языке последовательностей». Второе определение называют определением «на языке \(\varepsilon - \delta \)».
Эти два определения предела функции эквивалентны и можно использовать любое из них в зависимости от того, какое более удобно при решении той или иной задачи.

Заметим, что определение предела функции «на языке последовательностей» называют также определением предела функции по Гейне, а определение предела функции «на языке \(\varepsilon - \delta \)» - определением предела функции по Коши.

Предел функции при x->x 0 - и при x->x 0 +

В дальнейшем будут использованы понятия односторонних пределов функции, которые определяются следующим образом.

Определение Число А называется правым (левым) пределом функции f(x) в точке x 0 , если для любой сходящейся к x 0 последовательности (1), элементы x n которой больше (меньше) x 0 , соответствующая последовательность (2) сходится к А.

Символически это записывается так:
$$ \lim_{x \to x_0+} f(x) = A \; \left(\lim_{x \to x_0-} f(x) = A \right) $$

Можно дать равносильное определение односторонних пределов функции «на языке \(\varepsilon - \delta \)»:

Определение число А называется правым (левым) пределом функции f(х) в точке x 0 , если для любого \(\varepsilon > 0 \) существует \(\delta > 0 \) такое, что для всех x, удовлетворяющих неравенствам \(x_0 Символические записи:

\((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x, \; x_0

При вычислении пределов следует учитывать следующие основные правила :

1. Предел суммы (разности) функций равен сумме (разности) пределов слагаемых:

2. Предел произведения функций равен произведению пределов сомножителей:

3. Предел отношения двух функций равен отношению пределов этих функций:

.

4. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

.

5. Предел постоянной равен самой постоянной:

6. Для непрерывных функций символы предела и функции можно поменять местами:

.

Нахождение предела функции следует начинать с подстановки значения в выражение для функции. При этом если получается числовое значение 0 или ¥, то искомый предел найден.

Пример 2.1. Вычислить предел .

Решение.

.

Выражения вида , , , , , называются неопределённостями .

Если получается неопределенность вида , то для нахождения предела нужно преобразовать функцию так, чтобы раскрыть эту неопределенность.

Неопределенность вида обычно получается, когда задан предел отношения двух многочленов. В этом случае, для вычисления предела рекомендуется разложить многочлены на множители и сократить на общий множитель. Этот множитель равен нулю при предельном значении х .

Пример 2.2. Вычислить предел .

Решение.

Подставляя , получим неопределенность:

.

Разложим числитель и знаменатель на множители:

;

Сократим на общий множитель и получим

Неопределенность вида получается, когда задан предел отношения двух многочленов при . В этом случае для вычисления рекомендуется разделить оба многочлена на х в старшей степени.

Пример 2.3. Вычислить предел .

Решение. При подстановке ∞ получается неопределенность вида , поэтому разделим все члены выражения на x 3 .

.

Здесь учитывается, что .

При вычислении пределов функции, содержащей корни, рекомендуется умножить и разделить функцию на сопряженное выражение.

Пример 2.4. Вычислить предел

Решение.

При вычислении пределов для раскрытия неопределенности вида или (1) ∞ часто используются первый и второй замечательные пределы:

Ко второму замечательному пределу приводят многие задачи, связанные с непрерывным ростом какой-либо величины.

Рассмотрим пример Я. И. Перельмана, дающий интерпретацию числа e в задаче о сложных процентах. В сбербанках процентные деньги присоединяются к основному капиталу ежегодно. Если присоединение совершается чаще, то капитал растет быстрее, так как в образовании процентов участвует большая сумма. Возьмем чисто теоретический, весьма упрощенный пример.

Пусть в банк положено 100 ден. ед. из расчета 100 % годовых. Если процентные деньги будут присоединены к основному капиталу лишь по истечении года, то к этому сроку 100 ден. ед. превратятся в 200 ден.ед.

Посмотрим теперь, во что превратятся 100 ден. ед., если процентные деньги присоединять к основному капиталу каждые полгода. По истечении полугодия 100 ден. ед. вырастут в 100 × 1,5 = 150, а еще через полгода - в 150 × 1,5 = 225 (ден. ед.). Если присоединение делать каждые 1/3 года, то по истечении года 100 ден. ед. превратятся в 100 × (1 +1/3) 3 »237 (ден. ед.).

Будем учащать сроки присоединения процентных денег до 0,1 года, до 0,01 года, до 0,001 года и т.д. Тогда из 100 ден. ед. спустя год получится:

100 × (1 +1/10) 10 » 259 (ден. ед.),

100 × (1+1/100) 100 » 270 (ден. ед.),

100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (ден. ед.).

При безграничном сокращении сроков присоединения процентов наращенный капитал не растет беспредельно, а приближается к некоторому пределу, равному приблизительно 271. Более чем в 2,71 раз капитал, положенный под 100% годовых, увеличиться не может, даже если бы наросшие проценты присоединялись к капиталу каждую секунду, потому что

Пример 2.5. Вычислить предел функции

Решение.

Пример 2.6. Вычислить предел функции .

Решение. Подставляя получим неопределенность:

.

Используя тригонометрическую формулу, преобразуем числитель в произведение:

В результате получаем

Здесь учитывается второй замечательный предел .

Пример 2.7. Вычислить предел функции

Решение.

.

Для раскрытия неопределенности вида или можно использовать правило Лопиталя, которое основано на следующей теореме.

Теорема. Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных

Заметим, что это правило можно применять несколько раз подряд.

Пример 2.8. Найти

Решение. При подстановке , имеем неопределенность вида . Применяя правило Лопиталя, получим

Непрерывность функции

Важным свойством функции является непрерывность.

Определение. Функция считается непрерывной , если малое изменение значения аргумента влечет за собой малое изменение значения функции.

Математически это записывается так: при

Под и понимается приращение переменных, то есть разность между последующим и предыдущим значениями: , (рисунок 2.3)

Рисунок 2.3 – Приращение переменных

Из определения функции , непрерывной в точке , следует, что . Это равенство означает выполнение трех условий:

Решение. Для функции точка является подозрительной на разрыв, проверим это, найдем односторонние пределы

Следовательно, , значит - точка устранимого разрыва

Производная функции

Теория пределов – это один из разделов математического анализа. Вопрос решения пределов является достаточно обширным, поскольку существуют десятки приемов решений пределов различных видов. Существуют десятки нюансов и хитростей, позволяющих решить тот или иной предел. Тем не менее, мы все-таки попробуем разобраться в основных типах пределов, которые наиболее часто встречаются на практике.

Начнем с самого понятия предела. Но сначала краткая историческая справка. Жил-был в 19 веке француз Огюстен Луи Коши, который заложил основы математического анализа и дал строгие определения, определение предела, в частности. Надо сказать, этот самый Коши снился, снится и будет сниться в кошмарных снах всем студентам физико-математических факультетов, так как доказал огромное количество теорем математического анализа, причем одна теорема отвратительнее другой. В этой связи мы не будем рассматривать строгое определение предела, а попытаемся сделать две вещи:

1. Понять, что такое предел.
2. Научиться решать основные типы пределов.

Прошу прощения за некоторую ненаучность объяснений, важно чтобы материал был понятен даже чайнику, что, собственно, и является задачей проекта.

Итак, что же такое предел?

А сразу пример, чего бабушку лохматить….

Любой предел состоит из трех частей :

1) Всем известного значка предела .
2) Записи под значком предела, в данном случае . Запись читается «икс стремится к единице». Чаще всего – именно , хотя вместо «икса» на практике встречаются и другие переменные. В практических заданиях на месте единицы может находиться совершенно любое число, а также бесконечность ().
3) Функции под знаком предела, в данном случае .

Сама запись читается так: «предел функции при икс стремящемся к единице».

Разберем следующий важный вопрос – а что значит выражение «икс стремится к единице»? И что вообще такое «стремится»?
Понятие предела – это понятие, если так можно сказать, динамическое . Построим последовательность: сначала , затем , , …, , ….
То есть выражение «икс стремится к единице» следует понимать так – «икс» последовательно принимает значения, которые бесконечно близко приближаются к единице и практически с ней совпадают .

Как решить вышерассмотренный пример? Исходя из вышесказанного, нужно просто подставить единицу в функцию, стоящую под знаком предела:

Итак, первое правило: Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию .

Мы рассмотрели простейший предел, но и такие встречаются на практике, причем, не так уж редко!

Пример с бесконечностью:

Разбираемся, что такое ? Это тот случай, когда неограниченно возрастает, то есть: сначала , потом , потом , затем и так далее до бесконечности.

А что в это время происходит с функцией ?
, , , …

Итак: если , то функция стремится к минус бесконечности :

Грубо говоря, согласно нашему первому правилу, мы вместо «икса» подставляем в функцию бесконечность и получаем ответ .

Еще один пример с бесконечностью:

Опять начинаем увеличивать до бесконечности, и смотрим на поведение функции:

Вывод: при функция неограниченно возрастает :

И еще серия примеров:

Пожалуйста, попытайтесь самостоятельно мысленно проанализировать нижеследующее и запомните простейшие виды пределов:

, , , , , , , , ,
Если где-нибудь есть сомнения, то можете взять в руки калькулятор и немного потренироваться.
В том случае, если , попробуйте построить последовательность , , . Если , то , , .

Примечание: строго говоря, такой подход с построением последовательностей из нескольких чисел некорректен, но для понимания простейших примеров вполне подойдет.

Также обратите внимание на следующую вещь. Даже если дан предел с большим числом вверху, да хоть с миллионом: , то все равно , так как рано или поздно «икс» примет такие гигантские значения, что миллион по сравнению с ними будет самым настоящим микробом .

Что нужно запомнить и понять из вышесказанного?

1) Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию.

2) Вы должны понимать и сразу решать простейшие пределы, такие как , , и т.д.

Сейчас мы рассмотрим группу пределов, когда , а функция представляет собой дробь, в числителе и знаменателе которой находятся многочлены

Пример:

Вычислить предел

Согласно нашему правилу попытаемся подставить бесконечность в функцию. Что у нас получается вверху? Бесконечность. А что получается внизу? Тоже бесконечность. Таким образом, у нас есть так называемая неопределенность вида . Можно было бы подумать, что , и ответ готов, но в общем случае это вовсе не так, и нужно применить некоторый прием решения, который мы сейчас и рассмотрим.

Как решать пределы данного типа?

Сначала мы смотрим на числитель и находим в старшей степени:

Старшая степень в числителе равна двум.

Теперь смотрим на знаменатель и тоже находим в старшей степени:

Старшая степень знаменателя равна двум.

Затем мы выбираем самую старшую степень числителя и знаменателя: в данном примере они совпадают и равны двойке.

Итак, метод решения следующий: для того, чтобы раскрыть неопределенность необходимо разделить числитель и знаменатель на в старшей степени .

Вот оно как, ответ , а вовсе не бесконечность.

Что принципиально важно в оформлении решения?

Во-первых, указываем неопределенность, если она есть.

Во-вторых, желательно прервать решение для промежуточных объяснений. Я обычно использую знак , он не несет никакого математического смысла, а обозначает, что решение прервано для промежуточного объяснения.

В-третьих, в пределе желательно помечать, что и куда стремится. Когда работа оформляется от руки, удобнее это сделать так:

Для пометок лучше использовать простой карандаш.

Конечно, можно ничего этого не делать, но тогда, возможно, преподаватель отметит недочеты в решении либо начнет задавать дополнительные вопросы по заданию. А оно Вам надо?

Пример 2

Найти предел
Снова в числителе и знаменателе находим в старшей степени:

Максимальная степень в числителе: 3
Максимальная степень в знаменателе: 4
Выбираем наибольшее значение, в данном случае четверку.
Согласно нашему алгоритму, для раскрытия неопределенности делим числитель и знаменатель на .
Полное оформление задания может выглядеть так:

Разделим числитель и знаменатель на

Пример 3

Найти предел
Максимальная степень «икса» в числителе: 2
Максимальная степень «икса» в знаменателе: 1 ( можно записать как )
Для раскрытия неопределенности необходимо разделить числитель и знаменатель на . Чистовой вариант решения может выглядеть так:

Разделим числитель и знаменатель на

Под записью подразумевается не деление на ноль (делить на ноль нельзя), а деление на бесконечно малое число.

Таким образом, при раскрытии неопределенности вида у нас может получиться конечное число , ноль или бесконечность.

Пределы с неопределенностью вида и метод их решения

Следующая группа пределов чем-то похожа на только что рассмотренные пределы: в числителе и знаменателе находятся многочлены, но «икс» стремится уже не к бесконечности, а к конечному числу .

Пример 4

Решить предел
Сначала попробуем подставить -1 в дробь:

В данном случае получена так называемая неопределенность .

Общее правило : если в числителе и знаменателе находятся многочлены, и имеется неопределенности вида , то для ее раскрытия нужно разложить числитель и знаменатель на множители .

Для этого чаще всего нужно решить квадратное уравнение и (или) использовать формулы сокращенного умножения. Если данные вещи позабылись, тогда посетите страницу Математические формулы и таблицы и ознакомьтесь с методическим материалом Горячие формулы школьного курса математики . Кстати его лучше всего распечатать, требуется очень часто, да и информация с бумаги усваивается лучше.

Итак, решаем наш предел

Разложим числитель и знаменатель на множители

Для того чтобы разложить числитель на множители, нужно решить квадратное уравнение:

Сначала находим дискриминант:

И квадратный корень из него: .

В случае если дискриминант большой, например 361, используем калькулятор, функция извлечения квадратного корня есть на самом простом калькуляторе.

! Если корень не извлекается нацело (получается дробное число с запятой), очень вероятно, что дискриминант вычислен неверно либо в задании опечатка.

Далее находим корни:

Таким образом:

Всё. Числитель на множители разложен.

Знаменатель. Знаменатель уже является простейшим множителем, и упростить его никак нельзя.

Очевидно, что можно сократить на :

Теперь и подставляем -1 в выражение, которое осталось под знаком предела:

Естественно, в контрольной работе, на зачете, экзамене так подробно решение никогда не расписывают. В чистовом варианте оформление должно выглядеть примерно так:

Разложим числитель на множители.

Пример 5

Вычислить предел

Сначала «чистовой» вариант решения

Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель:
Знаменатель:



,

Что важного в данном примере?
Во-первых, Вы должны хорошо понимать, как раскрыт числитель, сначала мы вынесли за скобку 2, а затем использовали формулу разности квадратов. Уж эту-то формулу нужно знать и видеть.

Существует в математике такое понятие, как предел функции. Чтобы понимать, как находить пределы, нужно помнить определение предела функции: функция f (x) имеет предел L в точке x = a, если для каждой последовательности значений х, сходящейся к точке a, последовательность значений у приближается к:

• L lim f(x) = L

Понятие и свойства пределов

Что такое предел, можно понять из примера. Предположим, мы имеем функцию у=1/х. Если мы будем последовательно увеличивать значение х и смотреть, чему равен у, то получим всё уменьшающиеся значения: при х=10000 у=1/10000; при х=1000000 у=1/1000000. Т.е. чем больше х, тем меньше у. Если х=∞, у будет настолько мал, что его можно будет считать равным 0. Таким образом, предел функции у=1/х при х стремящемся к ∞ равен 0. Записывается это так:

• lim1/х=0

Предел функции имеет несколько свойств, которые нужно помнить: это существенно облегчит решение задач на нахождение пределов:

• Предел суммы равен сумме пределов: lim(x+y)=lim x+lim y
• Предел произведения равен произведению пределов: lim(xy)=lim x*lim y
• Предел частного равен частному от пределов: lim(x/y)=lim x/lim y
• Постоянный множитель выносят за знак предела: lim(Cx)=C lim x

У функции у=1 /x, в которой x →∞, предел равен нулю, при x→0, предел равен ∞.

• lim (sin x)/x=1 x→0

Продолжаем разбирать готовые ответы по теории пределов и сегодня остановимся только на случае, когда переменная в функции или номер в последовательности стремится к бесконечности. Инструкция по вычислению предела при переменной стремящейся к бесконечности приведена ранее, здесь только остановимся на отдельных случаях, которые не являются всем очевидными и простыми.

Пример 35. Имеем последовательность в виде дроби, где в числителе и знаменателе находятся корневые функции.
Нужно найти предел при номере стремящемся к бесконечности.
Здесь раскрывать иррациональности в числителе не нужно, а только внимательно проанализировать корни и найти где содержится более высокая степень номера.
В первом корни числителя имеем множителем n^4 , то есть n^2 можем вынести за скобки.
Тоже самое проделаем со знаменателем.
Далее оцениваем значение подкоренных выражений при предельном переходе.

Получили деления на ноль, что является неправильно в школьном курсе, но в предельном переходе это допустимо.
Только с поправкой, "чтобы оценить куда стремится функция".
Поэтому приведенную запись не все преподаватели могут трактовать правильной, хотя и понимают, что результирующий преде от этого не изменится.
Давайте рассмотрим ответ, составленный по требованиям преподавателей согласно теорией.
Для упрощения оценим только главные доданки под корнем

Далее в числителе степень равен 2, в знаменателе 2/3 , следовательно числитель быстрее растет, а значит предел стремится к бесконечности.
Его знак зависит от множителей при n^2, n^(2/3) , поэтому он положительный.

Пример 36. Рассмотрим пример предела на деление показательных функций. Таких примеров на практических рассматривается мало, поэтому не все студенты с легкостью видят, как раскрывать неопределенности, что возникают.
Максимальный множитель для числителя и знаменателя равен 8^n , на него и упрощаем

Далее оцениваем вклад каждого слагаемого
Слагаемые 3/8 стремятся к нулю при переменной направляюейся к бесконечности, поскольку 3/8<1 (свойство степенно-показательной функции).

Пример 37. Предел последовательности с факториалами раскрывается розписанням факториала к наибольшему общему множителю для числителя и знаменателя.
Далее на него сокращаем и оцениваем лимит по значению показателей номера в числителе и знаменателе.
В нашем примере знаменатель быстрее растет, поэтому предел равен нулю.


Здесь использована следующее

свойство факториала.

Пример 38. Не применяя правила Лопиталя сравниваем максимальные показатели переменной в числителе и знаменателе дроби.
Так как знаменатель содержит старший показатель переменной 4>2 то и растет он быстрее.
Отсюда делаем вывод, что предел функции стремится к нулю.

Пример 39. Раскрываем особенность вида бесконечность разделить на бесконечность методом вынесения x^4 с числителя и знаменателя дроби.
В результате предельного перехода получим бесконечность.

Пример 40. Имеем деление полиномов, нужно определить предел при переменной стремящейся к бесконечности.
Старший степень переменной в числителе и знаменателе равен 3, это значит что граница существует и равна сталой.
Вынесем x^3 и выполним предельный переход

Пример 41. Имеем особенность типа единица в степени бесконечность.
А это значит, что выражение в скобках и сам показатель надо свести под вторую важную границу.
Распишем числитель, чтобы выделить в нем выражение идентичное знаменателе.
Далее переходим к выражению, содержащем единицу плюс слагаемое.
В степени нужно выделить множителем 1/(слагаемое).
Таким образом получим экспоненту в степени предела дробной функции.

Для раскрития особенности использовали второй предел:

Пример 42. Имеем особенность типа единица в степени бесконечность.
Для ее раскрытия следует свести функцию под второй замечатеьный предел.
Как это сделать подробно показано в приведенной далее формуле


Подобных задач Вы можете найти очень много. Их суть в том, чтобы в показателе получить нужный степень, а он равен обратному значению слагаемого в скобках при единицы.
Таким методом получаем экспоненту. Дальнейшее вычисление сводится к вичислению предела степени экспоненты.
Здесь экспоненциальная функция стремится к бесконечности , поскольку значение больше единицы e=2.72>1.

Пример 43 В знаменателе дроби имеем неопределенность типа бесконечность минус бесконечность, фактически равное делению на ноль.
Чтобы избавиться корня домножим на сопряженное выражение, а дальше по формуле разности квадратов перепишем знаменатель.
Получим неопределенность бесконечность разделить на бесконечность, поэтому выносим переменную в наибольшей степени и сокращаем на нее.
Далее оцениваем вклад каждого слагаемого и находим предел функции на бесконечности