Формулы для вычисления вероятности событий
1.3.1. Последовательность независимых испытаний (схема Бернулли)
Предположим, что некоторый эксперимент можно проводить неоднократно при одних и тех же условиях. Пусть этот опыт производится n раз, т. е. проводится последовательность из n испытаний.
Определение. Последовательность n испытаний называют взаимно независимой , если любое событие, связанное с данным испытанием, не зависит от любых событий, относящихся к остальным испытаниям.
Допустим, что некоторое событие A может произойти с вероятностью p в результате одного испытания или не произойти с вероятностью q = 1- p .
Определение . Последовательность из n испытаний образует схему Бернулли, если выполняются следующие условия:
последовательность n испытаний взаимно независима,
2) вероятность события A не изменяется от испытания к испытанию и не зависит от результата в других испытаниях.
Событие A называют “ успехом” испытания, а противоположное событие - “неудачей”. Рассмотрим событие
={
в n
испытаниях произошло ровно m
“успехов”}.
Для вычисления вероятности этого события справедлива формула Бернулли
p
(
)
=
, m
= 1, 2, …, n
, (1.6)
где
- число сочетаний из n
элементов по m
:
=
=
.
Пример 1.16. Три раза подбрасывают кубик. Найти:
а) вероятность того, что 6 очков выпадет два раза;
б) вероятность того, что число шестерок не появится более двух раз.
Решение . “Успехом” испытания будем считать выпадение на кубике грани с изображением 6 очков.
а)
Общее число испытаний – n
=3,
число “успехов” – m
=
2. Вероятность “успеха” - p
=
,
а вероятность “неудачи” - q
=
1 -
=.
Тогда по формуле Бернулли вероятность
того, что результате трехразового
бросания кубика два раза выпадет сторона
с шестью очками, будет равна
.
б)
Обозначим через А
событие, которое заключается в том, что
грань с числом очков 6 появится не более
двух раз. Тогда событие можно представить
в виде суммы
трех несовместных
событий А=
,
где В 3 0 – событие, когда интересующая грань ни разу не появится,
В 3 1 - событие, когда интересующая грань появится один раз,
В 3 2 - событие, когда интересующая грань появится два раза.
По формуле Бернулли (1.6) найдем
p
(А
)
=
р (
)
=
p
(
)=
+
+
=
=
.
1.3.2. Условная вероятность события
Условная вероятность отражает влияние одного события на вероятность другого. Изменение условий, в которых проводится эксперимент, также влияет
на вероятность появления интересующего события.
Определение. Пусть A и B – некоторые события, и вероятность p (B )> 0.
Условной вероятностью события A при условии, что “событие B уже произошло” называется отношение вероятности произведения данных событий к вероятности события, которое произошло раньше, чем событие, вероятность которого требуется найти. Условная вероятность обозначается как p (A B ). Тогда по определению
p
(A
B
)
=
.
(1.7)
Пример 1.17. Подбрасывают два кубика. Пространство элементарных событий состоит из упорядоченных пар чисел
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6).
В примере 1.16 было установлено, что событие A ={число очков на первом кубике > 4} и событие C ={сумма очков равна 8} зависимы. Составим отношение
.
Это отношение можно интерпретировать следующим образом. Допустим, что о результате первого бросания известно, что число очков на первом кубике > 4. Отсюда следует, что бросание второго кубика может привести к одному из 12 исходов, составляющих событие A :
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) .
При
этом событию C
могут соответствовать только два из
них (5,3) (6,2). В этом случае вероятность
события C
будет
равна
.
Таким образом, информация о наступлении
событияA
оказала влияние на вероятность события
C
.
Вероятность произведения событий
Теорема умножения
Вероятность произведения событий A 1 A 2 A n определяется формулой
p (A 1 A 2 A n ) = p (A 1) p (A 2 A 1)) p (A n A 1 A 2 A n- 1). (1.8)
Для произведения двух событий отсюда следует, что
p (AB ) = p (A B) p {B ) = p (B A ) p {A ). (1.9)
Пример 1.18. В партии из 25 изделий 5 изделий бракованных. Последовательно наугад выбирают 3 изделия. Определить вероятность того, что все выбранные изделия бракованные.
Решение. Обозначим события:
A 1 = {первое изделие бракованное},
A 2 = {второе изделие бракованное},
A 3 = {третье изделие бракованное},
A = {все изделия бракованные}.
Событие А есть произведение трех событий A = A 1 A 2 A 3 .
Из теоремы умножения (1.6) получим
p (A ) = р( A 1 A 2 A 3 ) = p (A 1) p (A 2 A 1))p (A 3 A 1 A 2).
Классическое определение вероятности позволяет найти p (A 1) – это отношение числа бракованных изделий к общему количеству изделий:
p
(A
1)=
;
p (A 2) – это отношение числа бракованных изделий, оставшихся после изъятия одного, к общему числу оставшихся изделий:
p
(A
2
A
1))=
;
p (A 3) – это отношение числа бракованных изделий, оставшихся после изъятия двух бракованных, к общему числу оставшихся изделий:
p
(A
3
A
1 A
2)=
.
Тогда вероятность события A будет равна
p
(A
)
=
=
.
"Случайности не случайны"... Звучит так, словно сказал философ, но на деле изучать случайности удел великой науки математики. В математике случайностями занимается теория вероятности. Формулы и примеры заданий, а также основные определения этой науки будут представлены в статье.
Что такое теория вероятности?
Теория вероятности - это одна из математических дисциплин, которая изучает случайные события.
Чтобы было немного понятнее, приведем небольшой пример: если подкинуть вверх монету, она может упасть «орлом» или «решкой». Пока монета находится в воздухе, обе эти вероятности возможны. То есть вероятность возможных последствий соотносится 1:1. Если из колоды с 36-ю картами вытащить одну, тогда вероятность будет обозначаться как 1:36. Казалось бы, что здесь нечего исследовать и предугадывать, тем более при помощи математических формул. Тем не менее, если повторять определенное действие много раз, то можно выявить некую закономерность и на ее основе спрогнозировать исход событий в других условиях.
Если обобщить все вышесказанное, теория вероятности в классическом понимании изучает возможность возникновения одного из возможных событий в числовом значении.
Со страниц истории
Теория вероятности, формулы и примеры первых заданий появились еще в далеком Средневековье, когда впервые возникли попытки спрогнозировать исход карточных игр.
Изначально теория вероятности не имела ничего общего с математикой. Она обосновывалась эмпирическими фактами или свойствами события, которое можно было воспроизвести на практике. Первые работы в этой сфере как в математической дисциплине появились в XVII веке. Родоначальниками стали Блез Паскаль и Пьер Ферма. Длительное время они изучали азартные игры и увидели определенные закономерности, о которых и решили рассказать обществу.
Такую же методику изобрел Христиан Гюйгенс, хотя он не был знаком с результатами исследований Паскаля и Ферма. Понятие «теория вероятности», формулы и примеры, что считаются первыми в истории дисциплины, были введены именно им.
Немаловажное значение имеют и работы Якоба Бернулли, теоремы Лапласа и Пуассона. Они сделали теорию вероятности больше похожей на математическую дисциплину. Свой теперешний вид теория вероятностей, формулы и примеры основных заданий получили благодаря аксиомам Колмогорова. В результате всех изменений теория вероятности стала одним из математических разделов.
Базовые понятия теории вероятностей. События
Главным понятием этой дисциплины является "событие". События бывают трех видов:
- Достоверные. Те, которые произойдут в любом случае (монета упадет).
- Невозможные. События, что не произойдут ни при каком раскладе (монета останется висеть в воздухе).
- Случайные. Те, что произойдут или не произойдут. На них могут повлиять разные факторы, которые предугадать очень трудно. Если говорить о монете, то случайные факторы, что могут повлиять на результат: физические характеристики монеты, ее форма, исходное положение, сила броска и т. д.
Все события в примерах обозначаются заглавными латинскими буквами, за исключением Р, которой отведена другая роль. Например:
- А = «студенты пришли на лекцию».
- Ā = «студенты не пришли на лекцию».
В практических заданиях события принято записывать словами.
Одна из важнейших характеристик событий - их равновозможность. То есть, если подбросить монету, все варианты исходного падения возможны, пока она не упала. Но также события бывают и не равновозможными. Это происходит, когда кто-то специально воздействует на исход. Например, «меченые» игральные карты или игральные кости, в которых смещен центр тяжести.
Еще события бывают совместимыми и несовместимыми. Совместимые события не исключают появления друг друга. Например:
- А = «студентка пришла на лекцию».
- В = «студент пришел на лекцию».
Эти события независимы друг от друга, и появление одного из них не влияет на появление другого. Несовместимые события определяются тем, что появление одного исключает появление другого. Если говорить о той же монете, то выпадение «решки» делает невозможным появление «орла» в этом же эксперименте.
Действия над событиями
События можно умножать и складывать, соответственно, в дисциплине вводятся логические связки «И» и «ИЛИ».
Сумма определяется тем, что может появиться или событие А, или В, или два одновременно. В случае когда они несовместимы, последний вариант невозможен, выпадет или А, или В.
Умножение событий заключается в появлении А и В одновременно.
Теперь можно привести несколько примеров, чтобы лучше запомнились основы, теория вероятности и формулы. Примеры решения задач далее.
Задание 1 : Фирма принимает участие в конкурсе на получение контрактов на три разновидности работы. Возможные события, которые могут произойти:
- А = «фирма получит первый контракт».
- А 1 = «фирма не получит первый контракт».
- В = «фирма получит второй контракт».
- В 1 = «фирма не получит второй контракт»
- С = «фирма получит третий контракт».
- С 1 = «фирма не получит третий контракт».
С помощью действий над событиями попробуем выразить следующие ситуации:
- К = «фирма получит все контракты».
В математическом виде уравнение будет иметь следующий вид: К = АВС.
- М = «фирма не получит ни одного контракта».
М = А 1 В 1 С 1 .
Усложняем задание: H = «фирма получит один контракт». Поскольку не известно, какой именно контракт получит фирма (первый, второй или третий), необходимо записать весь ряд возможных событий:
Н = А 1 ВС 1 υ АВ 1 С 1 υ А 1 В 1 С.
А 1 ВС 1 - это ряд событий, где фирма не получает первый и третий контракт, но получает второй. Соответственным методом записаны и другие возможные события. Символ υ в дисциплине обозначает связку «ИЛИ». Если перевести приведенный пример на человеческий язык, то фирма получит или третий контракт, или второй, или первый. Подобным образом можно записывать и другие условия в дисциплине «Теория вероятности». Формулы и примеры решения задач, представленные выше, помогут сделать это самостоятельно.
Собственно, вероятность
Пожалуй, в этой математической дисциплине вероятность события - это центральное понятие. Существует 3 определения вероятности:
- классическое;
- статистическое;
- геометрическое.
Каждое имеет свое место в изучении вероятностей. Теория вероятности, формулы и примеры (9 класс) в основном используют классическое определение, которое звучит так:
- Вероятность ситуации А равняется отношению числа исходов, что благоприятствуют ее появлению, к числу всех возможных исходов.
Формула выглядит так: Р(А)=m/n.
А - собственно, событие. Если появляется случай, противоположный А, его можно записывать как Ā или А 1 .
m - количество возможных благоприятных случаев.
n - все события, которые могут произойти.
Например, А = «вытащить карту червовой масти». В стандартной колоде 36 карт, 9 из них червовой масти. Соответственно, формула решения задания будет иметь вид:
Р(А)=9/36=0,25.
В итоге вероятность того, что из колоды вытянут карту червовой масти, составит 0,25.
К высшей математике
Теперь стало немного известно, что такое теория вероятности, формулы и примеры решения заданий, которые попадаются в школьной программе. Однако теория вероятностей встречается и в высшей математике, которая преподается в вузах. Чаще всего там оперируют геометрическими и статистическими определениями теории и сложными формулами.
Очень интересна теория вероятности. Формулы и примеры (высшая математика) лучше начинать изучать с малого - со статистического (или частотного) определения вероятности.
Статистический подход не противоречит классическому, а немного расширяет его. Если в первом случае нужно было определить, с какой долей вероятности произойдет событие, то в этом методе необходимо указать, как часто оно будет происходить. Здесь вводится новое понятие «относительная частота», которую можно обозначить W n (A). Формула ничем не отличается от классической:
Если классическая формула вычисляется для прогнозирования, то статистическая - согласно результатам эксперимента. Возьмем, к примеру, небольшое задание.
Отдел технологического контроля проверяет изделия на качество. Среди 100 изделий нашли 3 некачественных. Как найти вероятность частоты качественного товара?
А = «появление качественного товара».
W n (A)=97/100=0,97
Таким образом, частота качественного товара составляет 0,97. Откуда взяли 97? Из 100 товаров, которые проверили, 3 оказались некачественными. От 100 отнимаем 3, получаем 97, это количество качественного товара.
Немного о комбинаторике
Еще один метод теории вероятности называют комбинаторикой. Его основной принцип состоит в том, что если определенный выбор А можно осуществить m разными способами, а выбор В - n разными способами, то выбор А и В можно осуществить путем умножения.
Например, из города А в город В ведет 5 дорог. Из города В в город С ведет 4 пути. Сколькими способами можно доехать из города А в город С?
Все просто: 5х4=20, то есть двадцатью разными способами можно добраться из точки А в точку С.
Усложним задание. Сколько существует способов раскладывания карт в пасьянсе? В колоде 36 карт - это исходная точка. Чтобы узнать количество способов, нужно от исходной точки «отнимать» по одной карте и умножать.
То есть 36х35х34х33х32…х2х1= результат не вмещается на экран калькулятора, поэтому его можно просто обозначить 36!. Знак «!» возле числа указывает на то, что весь ряд чисел перемножается между собой.
В комбинаторике присутствуют такие понятия, как перестановка, размещение и сочетание. Каждое из них имеет свою формулу.
Упорядоченный набор элементов множества называют размещением. Размещения могут быть с повторениями, то есть один элемент можно использовать несколько раз. И без повторений, когда элементы не повторяются. n - это все элементы, m - элементы, которые участвуют в размещении. Формула для размещения без повторений будет иметь вид:
A n m =n!/(n-m)!
Соединения из n элементов, которые отличаются только порядком размещения, называют перестановкой. В математике это имеет вид: Р n = n!
Сочетаниями из n элементов по m называют такие соединения, в которых важно, какие это были элементы и каково их общее количество. Формула будет иметь вид:
A n m =n!/m!(n-m)!
Формула Бернулли
В теории вероятности, так же как и в каждой дисциплине, имеются труды выдающихся в своей области исследователей, которые вывели ее на новый уровень. Один из таких трудов - формула Бернулли, что позволяет определять вероятность появления определенного события при независимых условиях. Это говорит о том, что появление А в эксперименте не зависит от появления или не появления того же события в ранее проведенных или последующих испытаниях.
Уравнение Бернулли:
P n (m) = C n m ×p m ×q n-m .
Вероятность (р) появления события (А) неизменна для каждого испытания. Вероятность того, что ситуация произойдет ровно m раз в n количестве экспериментов, будет вычисляться формулой, что представлена выше. Соответственно, возникает вопрос о том, как узнать число q.
Если событие А наступает р количество раз, соответственно, оно может и не наступить. Единица - это число, которым принято обозначать все исходы ситуации в дисциплине. Поэтому q - число, которое обозначает возможность ненаступления события.
Теперь вам известна формула Бернулли (теория вероятности). Примеры решения задач (первый уровень) рассмотрим далее.
Задание 2: Посетитель магазина сделает покупку с вероятностью 0,2. В магазин зашли независимым образом 6 посетителей. Какова вероятность того, что посетитель сделает покупку?
Решение: Поскольку неизвестно, сколько посетителей должны сделать покупку, один или все шесть, необходимо просчитать все возможные вероятности, пользуясь формулой Бернулли.
А = «посетитель совершит покупку».
В этом случае: р = 0,2 (как указано в задании). Соответственно, q=1-0,2 = 0,8.
n = 6 (поскольку в магазине 6 посетителей). Число m будет меняться от 0 (ни один покупатель не совершит покупку) до 6 (все посетители магазина что-то приобретут). В итоге получим решение:
P 6 (0) = C 0 6 ×p 0 ×q 6 =q 6 = (0,8) 6 = 0,2621.
Ни один из покупателей не совершит покупку с вероятностью 0,2621.
Как еще используется формула Бернулли (теория вероятности)? Примеры решения задач (второй уровень) далее.
После вышеприведенного примера возникают вопросы о том, куда делись С и р. Относительно р число в степени 0 будет равно единице. Что касается С, то его можно найти формулой:
C n m = n! / m!(n-m)!
Поскольку в первом примере m = 0, соответственно, С=1, что в принципе не влияет на результат. Используя новую формулу, попробуем узнать, какова вероятность покупки товаров двумя посетителями.
P 6 (2) = C 6 2 ×p 2 ×q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0,2) 2 × (0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.
Не так уж и сложна теория вероятности. Формула Бернулли, примеры которой представлены выше, прямое тому доказательство.
Формула Пуассона
Уравнение Пуассона используется для вычисления маловероятных случайных ситуаций.
Основная формула:
P n (m)=λ m /m! × e (-λ) .
При этом λ = n х p. Вот такая несложная формула Пуассона (теория вероятности). Примеры решения задач рассмотрим далее.
Задание 3 : На заводе изготовили детали в количестве 100000 штук. Появление бракованной детали = 0,0001. Какова вероятность, что в партии будет 5 бракованных деталей?
Как видим, брак - это маловероятное событие, в связи с чем для вычисления используется формула Пуассона (теория вероятности). Примеры решения задач подобного рода ничем не отличаются от других заданий дисциплины, в приведенную формулу подставляем необходимые данные:
А = «случайно выбранная деталь будет бракованной».
р = 0,0001 (согласно условию задания).
n = 100000 (количество деталей).
m = 5 (бракованные детали). Подставляем данные в формулу и получаем:
Р 100000 (5) = 10 5 /5! Х е -10 = 0,0375.
Так же как и формула Бернулли (теория вероятности), примеры решений с помощью которой написаны выше, уравнение Пуассона имеет неизвестное е. По сути его можно найти формулой:
е -λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n .
Однако есть специальные таблицы, в которых находятся практически все значения е.
Теорема Муавра-Лапласа
Если в схеме Бернулли количество испытаний достаточно велико, а вероятность появления события А во всех схемах одинакова, то вероятность появления события А определенное количество раз в серии испытаний можно найти формулой Лапласа:
Р n (m)= 1/√npq x ϕ(X m).
X m = m-np/√npq.
Чтобы лучше запомнилась формула Лапласа (теория вероятности), примеры задач в помощь ниже.
Сначала найдем X m , подставляем данные (они все указаны выше) в формулу и получим 0,025. При помощи таблиц находим число ϕ(0,025), значение которого 0,3988. Теперь можно подставлять все данные в формулу:
Р 800 (267) = 1/√(800 х 1/3 х 2/3) х 0,3988 = 3/40 х 0,3988 = 0,03.
Таким образом, вероятность того, что рекламная листовка сработает ровно 267 раз, составляет 0,03.
Формула Байеса
Формула Байеса (теория вероятности), примеры решения заданий с помощью которой будут приведены ниже, представляет собой уравнение, которое описывает вероятность события, опираясь на обстоятельства, которые могли быть связаны с ним. Основная формула имеет следующий вид:
Р (А|B) = Р (В|А) х Р (А) / Р (В).
А и В являются определенными событиями.
Р(А|B) - условная вероятность, то есть может произойти событие А при условии, что событие В истинно.
Р (В|А) - условная вероятность события В.
Итак, заключительная часть небольшого курса «Теория вероятности» - формула Байеса, примеры решений задач с которой ниже.
Задание 5 : На склад привезли телефоны от трех компаний. При этом часть телефонов, которые изготавливаются на первом заводе, составляет 25%, на втором - 60%, на третьем - 15%. Известно также, что средний процент бракованных изделий у первой фабрики составляет 2%, у второй - 4%, и у третьей - 1%. Необходимо найти вероятность того, что случайно выбранный телефон окажется бракованным.
А = «случайно взятый телефон».
В 1 - телефон, который изготовила первая фабрика. Соответственно, появятся вводные В 2 и В 3 (для второй и третьей фабрик).
В итоге получим:
Р (В 1) = 25%/100% = 0,25; Р(В 2) = 0,6; Р (В 3) = 0,15 - таким образом мы нашли вероятность каждого варианта.
Теперь нужно найти условные вероятности искомого события, то есть вероятность бракованной продукции в фирмах:
Р (А/В 1) = 2%/100% = 0,02;
Р(А/В 2) = 0,04;
Р (А/В 3) = 0,01.
Теперь подставим данные в формулу Байеса и получим:
Р (А) = 0,25 х 0,2 + 0,6 х 0,4 + 0,15 х 0,01= 0,0305.
В статье представлена теория вероятности, формулы и примеры решения задач, но это только вершина айсберга обширной дисциплины. И после всего написанного логично будет задаться вопросом о том, нужна ли теория вероятности в жизни. Простому человеку сложно ответить, лучше спросить об этом у того, кто с ее помощью не единожды срывал джек-пот.
Теория вероятности - довольно обширный самостоятельный раздел математики. В школьном курсе теория вероятности рассматривается очень поверхностно, однако в ЕГЭ и ГИА имеются задачи на данную тему. Впрочем, решать задачи школьного курса не так уж сложно (по крайней мере то, что касается арифметических операций) - здесь не нужно считать производные, брать интегралы и решать сложные тригонометрические преобразования - главное, уметь обращаться с простыми числами и дробями.
Теория вероятности - основные термины
Главные термины теории вероятности - испытание, исход и случайное событие. Испытанием в теории вероятности называют эксперимент - подбросить монету, вытянуть карту, провести жеребьевку - все это испытания. Результат испытания, как вы уже догадались, называется исходом.
А что же такое случайность события? В теории вероятности предполагается, что испытание проводится ни один раз и исходов много. Случайным событием называют множество исходов испытания. Например, если вы бросаете монету, может произойти два случайных события - выпадет орел или решка.
Не путайте понятия исход и случайное событие. Исход - это один результат одного испытания. Случайное событие - это множество возможных исходов. Существует, кстати, и такой термин, как невозможное событие. Например, событие "выпало число 8" на стандартном игровом кубике является невозможным.
Как найти вероятность?
Все мы примерно понимаем, что такое вероятность, и довольно часто используем данное слово в своем лексиконе. Кроме того, мы можем даже делать некоторые выводы относительно вероятности того или иного события, например, если за окном снег, мы с большой вероятностью можем сказать, что сейчас не лето. Однако как выразить данное предположение численно?
Для того чтобы ввести формулу для нахождения вероятности, введем еще одно понятие - благоприятные исход, т. е. исход, который является благоприятным для того или иного события. Определение довольно двусмысленное, конечно, однако по условию задачи всегда понятно, какой из исходов благоприятный.
Например: В классе 25 человек, трое из них Кати. Учитель назначает дежурной Олю, и ей нужен напарник. Какова вероятность того, что напарником станет Катя?
В данном примере благоприятный исход - напарник Катя. Чуть позже мы решим эту задачу. Но сначала введем с помощью дополнительного определения формулу для нахождения вероятности.
- Р = А/N, где P - вероятность, A - число благоприятных исходов, N - общее количество исходов.
Все школьные задачи крутятся вокруг одной этой формулы, и главная трудность обычно заключается в нахождении исходов. Иногда их найти просто, иногда - не очень.
Как решать задачи на вероятность?
Задача 1
Итак, теперь давайте решим поставленную выше задачу.
Число благоприятных исходов (учитель выберет Катю) равно трем, ведь Кать в классе три, а общих исходов - 24 (25-1, ведь Оля уже выбрана). Тогда вероятность равна: P = 3/24=1/8=0,125. Таким образом, вероятность того, что напарником Оли окажется Катя, составляет 12,5%. Несложно, правда? Давайте разберем кое-что посложней.
Задача 2
Монету бросили два раза, какова вероятность выпадения комбинации: один орел и одна решка?
Итак, считаем общие исходы. Как могут выпасть монеты - орел/орел, решка/решка, орел/решка, решка/орел? Значит, общее число исходов - 4. Сколько благоприятных исходов? Два - орел/решка и решка/орел. Таким образом, вероятность выпадения комбинации орел/решка равна:
- P = 2/4=0,5 или 50 процентов.
А теперь рассмотрим такую задачу. У Маши в кармане 6 монет: две - номиналом 5 рублей и четыре - номиналом 10 рублей. Маша переложила 3 монеты в другой карман. Какова вероятность того, что 5-рублевые монеты окажутся в разных карманах?
Для простоты обозначим монеты цифрами - 1,2 - пятирублевые монеты, 3,4,5,6 - десятирублевые монеты. Итак, как могут лежать монеты в кармане? Всего есть 20 комбинаций:
- 123, 124, 125, 126, 134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256, 345, 346, 356, 456.
На первый взгляд может показаться, что некоторые комбинации пропали, например, 231, однако в нашем случае комбинации 123, 231 и 321 равнозначны.
Теперь считаем, сколько у нас благоприятных исходов. За них берем те комбинации, в которых есть либо цифра 1, либо цифра 2: 134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256. Их 12. Таким образом, вероятность равна:
- P = 12/20 = 0,6 или 60%.
Задачи по теории вероятности, представленные здесь, довольно простые, однако не думайте, что теория вероятности - это простой раздел математики. Если вы решите продолжать образование в вузе (за исключением гуманитарных специальностей), у вас обязательно будут пары по высшей математике, на которых вас ознакомят с более сложными терминами данной теории, и задачи там будут куда сложнее.
Это отношение количества тех наблюдений, при которых рассматриваемое событие наступило, к общему количеству наблюдений. Такая трактовка допустима в случае достаточно большого количества наблюдений или опытов. Например, если среди встреченных на улице людей примерно половина - женщины, то можно говорить, что вероятность того, что встреченный на улице человек окажется женщиной, равна 1/2. Другими словами, оценкой вероятности события может служить частота его наступления в длительной серии независимых повторений случайного эксперимента .
Вероятность в математике
В современном математическом подходе классическая (то есть не квантовая) вероятность задаётся аксиоматикой Колмогорова . Вероятностью называется мера P , которая задаётся на множестве X , называемом вероятностным пространством . Эта мера должна обладать следующими свойствами:
Из указанных условий следует, что вероятностная мера P также обладает свойством аддитивности : если множества A 1 и A 2 не пересекаются, то . Для доказательства нужно положить все A 3 , A 4 , … равными пустому множеству и применить свойство счётной аддитивности.
Вероятностная мера может быть определена не для всех подмножеств множества X . Достаточно определить её на сигма-алгебре , состоящей из некоторых подмножеств множества X . При этом случайные события определяются как измеримые подмножества пространства X , то есть как элементы сигма-алгебры .
Вероятность смысле
Когда мы находим, что основания для того, чтобы какой-нибудь возможный факт произошел в действительности, перевешивают противоположные основания, мы считаем этот факт вероятным , в противном случае - невероятным . Этот перевес положительных оснований над отрицательными, и наоборот, может представлять неопределённое множество степеней, вследствие чего вероятность (и невероятность ) бывает большею или меньшею .
Сложные единичные факты не допускают точного вычисления степеней своей вероятности, но и здесь важно бывает установить некоторые крупные подразделения. Так, например, в области юридической , когда подлежащий суду личный факт устанавливается на основании свидетельских показаний, он всегда остаётся, строго говоря, лишь вероятным, и необходимо знать, насколько эта вероятность значительна; в римском праве здесь принималось четверное деление: probatio plena (где вероятность практически переходит в достоверность ), далее - probatio minus plena , затем - probatio semiplena major и, наконец, probatio semiplena minor .
Кроме вопроса о вероятности дела, может возникать, как в области права, так и в области нравственной (при известной этической точке зрения) вопрос о том, насколько вероятно, что данный частный факт составляет нарушение общего закона. Этот вопрос, служащий основным мотивом в религиозной юриспруденции Талмуда , вызвал и в римско-католическом нравственном богословии (особенно с конца XVI века) весьма сложные систематические построения и огромную литературу, догматическую и полемическую (см. Пробабилизм) .
Понятие вероятности допускает определенное численное выражение в применении лишь к таким фактам, которые входят в состав определенных однородных рядов. Так (в самом простом примере), когда кто-нибудь бросает сто раз кряду монету, мы находим здесь один общий или большой ряд (сумма всех падений монеты), слагающийся из двух частных или меньших, в данном случае численно равных, рядов (падения «орлом» и падения «решкой»); Вероятность, что в данный раз монета упадет решкой, то есть что этот новый член общего ряда будет принадлежать к этому из двух меньших рядов, равняется дроби, выражающей численное отношение между этим малым рядом и большим, именно 1/2, то есть одинаковая вероятность принадлежит к тому или другому из двух частных рядов. В менее простых примерах заключение не может быть выведено прямо из данных самой задачи, а требует предварительной индукции . Так, например, спрашивается: какая вероятность существует для данного новорожденного дожить до 80 лет? Здесь должно составить общий, или большой, ряд из известного числа людей, рожденных в подобных же условиях и умирающих в различном возрасте (это число должно быть достаточно велико, чтобы устранить случайные отклонения, и достаточно мало, чтобы сохранялась однородность ряда, ибо для человека, рождённого, например, в Санкт-Петербурге в обеспеченном культурном семействе, всё миллионное население города, значительная часть которого состоит из лиц разнообразных групп, могущих умереть раньше времени - солдат, журналистов, рабочих опасных профессий, - представляет группу слишком разнородную для настоящего определения вероятности); пусть этот общий ряд состоит из десяти тысяч человеческих жизней; в него входят меньшие ряды, представляющие число доживающих до того или другого возраста; один из этих меньших рядов представляет число доживающих до 80 лет. Но определить численность этого меньшего ряда (как и всех других) невозможно a priori ; это делается чисто индуктивным путем, посредством статистики . Положим, статистические исследования установили, что из 10000 петербуржцев среднего класса до 80 лет доживают только 45; таким образом, этот меньший ряд относится к большому, как 45 к 10000, и вероятность для данного лица принадлежать к этому меньшему ряду, то есть дожить до 80 лет, выражается дробью 0,0045. Исследование вероятности с математической точки зрения составляет особую дисциплину - теорию вероятностей .
См. также
Примечания
Литература
- Альфред Реньи. Письма о вероятности / пер. с венг. Д.Сааса и А.Крамли под ред. Б. В. Гнеденко. М.: Мир. 1970
- Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. М., 2007. 42 с.
- Купцов В. И. Детерминизм и вероятность. М., 1976. 256 с.
Wikimedia Foundation . 2010 .
Синонимы :Антонимы :
Смотреть что такое "Вероятность" в других словарях:
Общенаучная и филос. категория, обозначающая количественную степень возможности появления массовых случайных событий при фиксированных условиях наблюдения, характеризующую устойчивость их относительных частот. В логике семантическая степень… … Философская энциклопедия
ВЕРОЯТНОСТЬ, число в интервале от нуля до единицы включительно, представляющее возможность свершения данного события. Вероятность события определяется как отношение числа шансов того, что событие может произойти, к общему количеству возможных… … Научно-технический энциклопедический словарь
По всей вероятности.. Словарь русских синонимов и сходных по смыслу выражений. под. ред. Н. Абрамова, М.: Русские словари, 1999. вероятность возможность, вероятие, шанс, объективная возможность, маза, допустимость, риск. Ant. невозможность… … Словарь синонимов
вероятность - Мера того, что событие может произойти. Примечание Математическое определение вероятности: «действительное число в интервале от 0 до 1, относящееся к случайному событию». Число может отражать относительную частоту в серии наблюдений… … Справочник технического переводчика
Вероятность - «математическая, числовая характеристика степени возможности появления какого либо события в тех или иных определенных, могущих повторяться неограниченное число раз условиях». Если исходить из этого классического… … Экономико-математический словарь
- (probability) Возможность наступления какого либо события или определенного результата. Может быть представлена в виде шкалы с делениями от 0 до 1. При нулевой вероятности события его наступление невозможно. При вероятности, равной 1, наступление … Словарь бизнес-терминов
Знать, как оценить вероятность того или иного события на основе коэффициентов, крайне важно для выбора правильной ставки. Если вы не понимаете, как перевести букмекерский коэффициент в вероятность, то никогда не сможете определить, как соотносится букмекерский коэффициент с реальными шансами того, что событие состоится. Следует понимать, если вероятность события по версии букмекеров ниже, чем вероятность этого же события по вашей собственной версии, ставка на это событие будет ценной. Сравнить коэффициенты на разные события можно на сайте Odds.ru .
1.1. Типы коэффициентов
Букмекерские конторы, как правило, предлагают три типа коэффициентов – десятичный, дробный и американский. Разберем каждую из разновидностей.
1.2. Десятичные коэффициенты
Десятичные коэффициенты при умножении на размер ставки позволяют рассчитать всю сумму, которую вы получите на руки в случае выигрыша. К примеру, если вы поставили 1 доллар на коэффициент 1,80, в случае выигрыша вы получите 1 доллар 80 центов (1 доллар – возвращенная сумма ставки, 0,80 – выигрыш по ставке, он же ваша чистая прибыль).
То есть вероятность исхода, по версии букмекеров, составляет 55%.
1.3. Дробные коэффициенты
Дробные коэффициенты – наиболее традиционный вид коэффициентов. В числителе показана потенциальная сумма чистого выигрыша. В знаменателе – сумма ставки, которую нужно сделать, чтобы этот самый выигрыш получить. К примеру, коэффициент 7/2 означает, что для того, чтобы получить чистый выигрыш в размере 7 долларов, вам необходимо поставить 2 доллара.
Для того чтобы рассчитать вероятность события на основе десятичного коэффициента, следует провести простые вычисления – знаменатель разделить на сумму числителя и знаменателя. Для вышеобозначенного коэффициента 7/2 расчет будет таким:
2 / (7+2) = 2 / 9 = 0,22
То есть вероятность исхода, по версии букмекеров, составляет 22%.
1.4. Американские коэффициенты
Данный вид коэффициентов популярен в Северной Америке. На первый взгляд, они кажутся довольно сложными и непонятными, но не стоит пугаться. Понимание американских коэффициентов может вам пригодиться, например, при игре в американских казино, для понимания котировок, демонстрируемых в североамериканских спортивных трансляциях. Разберем, как оценить вероятность исхода на основе американских коэффициентов.
В первую очередь надо понимать, что американские коэффициенты бывают положительными и отрицательными. Отрицательный американский коэффициент всегда идет в формате, к примеру, «-150». Это означает, что для того, чтобы получить 100 долларов чистой прибыли (выигрыш), необходимо поставить 150 долларов.
Положительный американский коэффициент рассчитывается наоборот. К примеру, у нас есть коэффициент «+120». Это означает, что для того, чтобы получить 120 долларов чистой прибыли (выигрыш), вам необходимо поставить 100 долларов.
Расчет вероятности на основе отрицательных американских коэффициентов делается по следующей формуле:
(-(отрицательный американский коэффициент)) / ((-(отрицательный американский коэффициент)) + 100)
(-(-150)) / ((-(-150)) + 100) = 150 / (150 + 100) = 150 / 250 = 0,6
То есть вероятность события, на которое дается отрицательный американский коэффициент «-150», составляет 60%.
Теперь рассмотрим аналогичные вычисления для положительного американского коэффициента. Вероятность в этом случае рассчитывается по следующей формуле:
100 / (положительный американский коэффициент + 100)
100 / (120 + 100) = 100 / 220 = 0.45
То есть вероятность события, на которое дается положительный американский коэффициент «+120», составляет 45%.
1.5. Как переводить коэффициенты из одного формата в другой?
Умение переводить коэффициенты из одного формата в другой может впоследствии сослужить вам хорошую службу. Как ни странно, до сих пор есть конторы, в которых коэффициенты не конвертируются и показаны лишь в одном, непривычном для нас формате. Рассмотрим на примерах, как это делать. Но для начала нам надо научиться вычислять вероятность исхода на основе данного нам коэффициента.
1.6. Как на основе вероятности рассчитать десятичный коэффициент?
Здесь все очень просто. Необходимо 100 разделить на вероятность события в процентном отношении. То есть, если предполагаемая вероятность события составляет 60%, вам надо:
При предполагаемой вероятности события в 60% десятичный коэффициент будет составлять 1,66.
1.7. Как на основе вероятности рассчитать дробный коэффициент?
В данном случае необходимо 100 разделить на вероятность события и от полученного результата отнять единицу. К примеру, вероятность события составляет 40%:
(100 / 40) — 1 = 2,5 — 1 = 1,5
То есть мы получаем дробный коэффициент 1,5/1 или, для удобства счета, – 3/2.
1.8. Как на основе вероятного исхода рассчитать американский коэффициент?
Здесь многое будет зависеть от вероятности события – будет ли она более 50% или менее. Если вероятность события более 50%, то расчет будет производиться по такой формуле:
— ((вероятность) / (100 — вероятность)) * 100
Например, если вероятность события составляет 80%, то:
— (80 / (100 — 80)) * 100 = — (80 / 20) * 100 = -4 * 100 = (-400)
При предполагаемой вероятности события в 80% мы получили отрицательный американский коэффициент «-400».
Если вероятность события менее 50 процентов, то формула будет следующей:
((100 — вероятность) / вероятность) * 100
Например, если вероятность события составляет 40%, то:
((100-40) / 40) * 100 = (60 / 40) * 100 = 1,5 * 100 = 150
При предполагаемой вероятности события в 40% мы получили положительный американский коэффициент «+150».
Эти вычисления помогут вам лучше понять концепцию ставок и коэффициентов, научиться оценивать истинную стоимость той или иной ставки.