В данной статье мы расскажем:
- что такое коллинеарные векторы;
- какие существуют условия коллинеарности векторов;
- какие существуют свойства коллинеарных векторов;
- что такое линейная зависимость коллинеарных векторов.
Коллинеарные векторы - это векторы, которые являются параллелями одной прямой или лежат на одной прямой.
Пример 1
Условия коллинеарности векторов
Два векторы являются коллинеарными, если выполняется любое из следующих условий:
- условие 1 . Векторы a и b коллинеарны при наличии такого числа λ , что a = λ b ;
- условие 2 . Векторы a и b коллинеарны при равном отношении координат:
a = (a 1 ; a 2) , b = (b 1 ; b 2) ⇒ a ∥ b ⇔ a 1 b 1 = a 2 b 2
- условие 3 . Векторы a и b коллинеарны при условии равенства векторного произведения и нулевого вектора:
a ∥ b ⇔ a , b = 0
Замечание 1
Условие 2 неприменимо, если одна из координат вектора равна нулю.
Замечание 2
Условие 3 применимо только к тем векторам, которые заданы в пространстве.
Примеры задач на исследование коллинеарности векторов
Пример 1Исследуем векторы а = (1 ; 3) и b = (2 ; 1) на коллинеарность.
Как решить?
В данном случае необходимо воспользоваться 2-м условием коллинеарности. Для заданных векторов оно выглядит так:
Равенство неверное. Отсюда можно сделать вывод, что векторы a и b неколлинеарны.
Ответ : a | | b
Пример 2
Какое значение m вектора a = (1 ; 2) и b = (- 1 ; m) необходимо для коллинеарности векторов?
Как решить?
Используя второе условие коллинераности, векторы будут коллинеарными, если их координаты будут пропорциональными:
Отсюда видно, что m = - 2 .
Ответ: m = - 2 .
Критерии линейной зависимости и линейной независимости систем векторов
ТеоремаСистема векторов векторного пространства линейно зависима только в том случае, когда один из векторов системы можно выразить через остальные векторы данной системы.
Доказательство
Пусть система e 1 , e 2 , . . . , e n является линейно зависимой. Запишем линейную комбинацию этой системы равную нулевому вектору:
a 1 e 1 + a 2 e 2 + . . . + a n e n = 0
в которой хотя бы один из коэффициентов комбинации не равен нулю.
Пусть a k ≠ 0 k ∈ 1 , 2 , . . . , n .
Делим обе части равенства на ненулевой коэффициент:
a k - 1 (a k - 1 a 1) e 1 + (a k - 1 a k) e k + . . . + (a k - 1 a n) e n = 0
Обозначим:
A k - 1 a m , где m ∈ 1 , 2 , . . . , k - 1 , k + 1 , n
В таком случае:
β 1 e 1 + . . . + β k - 1 e k - 1 + β k + 1 e k + 1 + . . . + β n e n = 0
или e k = (- β 1) e 1 + . . . + (- β k - 1) e k - 1 + (- β k + 1) e k + 1 + . . . + (- β n) e n
Отсюда следует, что один из векторов системы выражается через все остальные векторы системы. Что и требовалось доказать (ч.т.д.).
Достаточность
Пусть один из векторов можно линейно выразить через все остальные векторы системы:
e k = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n
Переносим вектор e k в правую часть этого равенства:
0 = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 - e k + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n
Поскольку коэффициент вектора e k равен - 1 ≠ 0 , у нас получается нетривиальное представление нуля системой векторов e 1 , e 2 , . . . , e n , а это, в свою очередь, означает, что данная система векторов линейно зависима. Что и требовалось доказать (ч.т.д.).
Следствие:
- Система векторов является линейно независимой, когда ни один из ее векторов нельзя выразить через все остальные векторы системы.
- Система векторов, которая содержит нулевой вектор или два равных вектора, линейно зависима.
Свойства линейно зависимых векторов
- Для 2-х и 3-х мерных векторов выполняется условие: два линейно зависимых вектора - коллинеарны. Два коллинеарных вектора - линейно зависимы.
- Для 3-х мерных векторов выполняется условие: три линейно зависимые вектора - компланарны. (3 компланарных вектора - линейно зависимы).
- Для n-мерных векторов выполняется условие: n + 1 вектор всегда линейно зависимы.
Примеры решения задач на линейную зависимость или линейную независимость векторов
Пример 3Проверим векторы a = 3 , 4 , 5 , b = - 3 , 0 , 5 , c = 4 , 4 , 4 , d = 3 , 4 , 0 на линейную независимость.
Решение. Векторы являются линейно зависимыми, поскольку размерность векторов меньше количества векторов.
Пример 4
Проверим векторы a = 1 , 1 , 1 , b = 1 , 2 , 0 , c = 0 , - 1 , 1 на линейную независимость.
Решение. Находим значения коэффициентов, при которых линейная комбинация будет равняться нулевому вектору:
x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0
Записываем векторное уравнение в виде линейного:
x 1 + x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0 x 1 + x 3 = 0
Решаем эту систему при помощи метода Гаусса:
1 1 0 | 0 1 2 - 1 | 0 1 0 1 | 0 ~
Из 2-ой строки вычитаем 1-ю, из 3-ей - 1-ю:
~ 1 1 0 | 0 1 - 1 2 - 1 - 1 - 0 | 0 - 0 1 - 1 0 - 1 1 - 0 | 0 - 0 ~ 1 1 0 | 0 0 1 - 1 | 0 0 - 1 1 | 0 ~
Из 1-й строки вычитаем 2-ю, к 3-ей прибавляем 2-ю:
~ 1 - 0 1 - 1 0 - (- 1) | 0 - 0 0 1 - 1 | 0 0 + 0 - 1 + 1 1 + (- 1) | 0 + 0 ~ 0 1 0 | 1 0 1 - 1 | 0 0 0 0 | 0
Из решения следует, что у системы множество решений. Это значит, что существует ненулевая комбинация значения таких чисел x 1 , x 2 , x 3 , при которых линейная комбинация a , b , c равняется нулевому вектору. Следовательно, векторы a , b , c являются линейно зависимыми.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Определение 1
. Линейной
комбинацией векторовназывается сумма произведений этих
векторов на скаляры
:
Определение 2
. Система
векторов
называется линейно зависимой системой,
если линейная комбинация их (2.8) обращается
в нуль:
причем среди чисел
существует хотя бы одно, отличное от
нуля.
Определение 3
. Векторы
называются линейно независимыми, если
их линейная комбинация (2.8) обращается
в нуль лишь в случае, когда все числа.
Из этих определений можно получить следующие следствия.
Следствие 1 . В линейно зависимой системе векторов хотя бы один вектор может быть выражен как линейная комбинация остальных.
Доказательство
. Пусть
выполнено (2.9) и пусть для определенности,
коэффициент
.
Имеем тогда:
.
Заметим, что справедливо и обратное
утверждение.
Следствие 2.
Если система
векторов
содержит нулевой вектор, то эта система
(обязательно) линейно зависима –
доказательство очевидно.
Следствие 3
. Если средиn
векторов
какие либоk
(
)
векторов линейно зависимы, то и всеn
векторов линейно зависимы (опустим
доказательство).
2 0 . Линейные комбинации двух, трех и четырех векторов . Рассмотрим вопросы линейной зависимости и независимости векторов на прямой, плоскости и в пространстве. Приведем соответствующие теоремы.
Теорема 1 . Для того чтобы два вектора были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы они были коллинеарны.
Необходимость
. Пусть векторы
и
линейно зависимы. Это означает, что их
линейная комбинация
=0
и (ради определенности)
.
Отсюда следует равенство
,
и (по определению умножения вектора на
число) векторы
и
коллинеарны.
Достаточность
. Пусть векторы
и
коллинеарны (
║
)
(предполагаем, что они отличны от нулевого
вектора; иначе их линейная зависимость
очевидна).
По теореме (2.7)
(см. §2.1,п.2 0) тогда
такое, что
,
или
– линейная комбинация равна нулю, причем
коэффициент при
равен 1 – векторы
и
линейно зависимы.
Из этой теоремы вытекает следующее следствие.
Следствие
. Если векторы
и
не коллинеарны, то они линейно независимы.
Теорема 2 . Для того чтобы три вектора были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы они были компланарны.
Необходимость
. Пусть векторы
,
и
линейно зависимы. Покажем, что они
компланарны.
Из определения
линейной зависимости векторов следует
существование чисел
и
таких, что линейная комбинация
,
и при этом (для определенности)
.
Тогда из этого равенства можно выразить
вектор
:
=
,
то есть вектор
равен диагонали параллелограмма,
построенного на векторах, стоящих в
правой части этого равенства (рис.2.6).
Это означает, что векторы
,
и
лежат в одной плоскости.
Достаточность
. Пусть векторы
,
и
компланарны. Покажем, что они линейно
зависимы.
Исключим случай коллинеарности какой либо пары векторов (ибо тогда эта пара линейно зависима и по следствию 3 (см.п.1 0) все три вектора линейно зависимы). Заметим, что такое предположение исключает также существование нулевого вектора среди указанных трех.
Перенесем три компланарных
вектора в одну плоскость и приведем их
к общему началу. Через конец вектора
проведем прямые, параллельные векторам
и
;
получим при этом векторы
и
(рис.2.7) – их существование обеспечено
тем, что векторы
и
не коллинеарные по предположению
векторы. Отсюда следует, что вектор
=
+
.
Переписав это равенство в виде
(–1)
+
+
=0,
заключаем, что векторы
,
и
линейно зависимы.
Из доказанной теоремы вытекает два следствия.
Следствие 1
. Пусть
и
не коллинеарные векторы, вектор
– произвольный, лежащий в плоскости,
определяемой векторами
и
,
вектор. Существуют тогда числа
и
такие, что
=
+
.
(2.10)
Следствие 2
. Если векторы
,
и
не компланарны, то они линейно независимы.
Теорема 3 . Любые четыре вектора линейно зависимы.
Доказательство опустим; с некоторыми изменениями оно копирует доказательство теоремы 2. Приведем следствие из этой теоремы.
Следствие
. Для любых
некомпланарных векторов
,
,
и любого вектора
и
такие, что
.
(2.11)
Замечание . Для векторов в (трехмерном) пространстве понятия линейной зависимости и независимости имеют, как это следует из приведенных выше теорем 1-3, простой геометрический смысл.
Пусть имеются два линейно
зависимых вектора
и
.
В таком случае один из них является
линейной комбинацией второго, то есть
просто отличается от него численным
множителем (например,
).
Геометрически это означает, что оба
вектора находятся на общей прямой; они
могут иметь одинаковое или противоположное
направления (рис.2.8 хх).
Если же два вектора расположены
под углом друг к другу (рис.2.9 хх), то в
этом случае нельзя получить один из них
умножением другого на число – такие
векторы линейно независимы. Следовательно,
линейная независимость двух векторов
и
означает, что эти векторы не могут быть
уложены на одну прямую.
Выясним геометрический смысл линейной зависимости и независимости трех векторов.
Пусть векторы
,
и
линейно зависимы и пусть (для определенности)
вектор
является линейной комбинацией векторов
и
,
то есть расположен в плоскости, содержащей
векторы
и
.
Это означает, что векторы
,
и
лежат в одной плоскости. Справедливо и
обратное утверждение: если векторы
,
и
лежат в одной плоскости, то они линейно
зависимы.
Таким образом,
векторы
,
и
линейно независимы в том и только в том
случае, если они не лежат в одной
плоскости.
3 0 . Понятие базиса . Одним из важнейших понятий линейной и векторной алгебры является понятие базиса. Введем определения.
Определение 1 . Пара векторов называется упорядоченной, если указано, какой вектор этой пары считается первым, а какой вторым.
Определение 2.
Упорядоченная
пара
,
неколлинеарных векторов называется
базисом на плоскости, определяемой
заданными векторами.
Теорема 1
. Всякий вектор
на плоскости может быть представлен
как линейная комбинация базисной системы
векторов
,
:
(2.12)
и это представление единственно.
Доказательство
. Пусть
векторы
и
образуют базис. Тогда любой вектор
можно представить в виде
.
Для доказательства единственности
предположим, что имеется еще одно
разложение
.
Имеем тогда=0,
причем хотя бы одна из разностей отлична
от нуля. Последнее означает, что векторы
и
линейно зависимы, то есть коллинеарны;
это противоречит утверждению, что они
образуют базис.
Но тогда – разложение единственно.
Определение 3 . Тройка векторов называется упорядоченной, если указано, какой вектор ее считается первым, какой вторым, а какой третьим.
Определение 4 . Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется базисом в пространстве.
Здесь также справедлива теорема разложения и единственности.
Теорема 2
. Любой вектор
может быть представлен как линейная
комбинация базисной системы векторов
,
,
:
(2.13)
и это представление единственно (опустим доказательство теоремы).
В разложениях (2.12) и (2.13) величины
называются координатами вектора
в заданном базисе (точнее, аффинными
координатами).
При фиксированном базисе
и
можно писать
.
Например, если задан базис
и дано, что
,
то это означает, что имеет место
представление (разложение)
.
4 0 . Линейные операции над векторами в координатной форме . Введение базиса позволяет линейные операции над векторами заменить обычными линейными операциями над числами – координатами этих векторов.
Пусть задан некоторый базис
.
Очевидно, задание координат вектора в
этом базисе полностью определяет сам
вектор. Имеют место следующие предложения:
а) два вектора
и
равны тогда и только тогда, когда равны
их соответственные координаты:
б) при умножении вектора
на число
его координаты умножаются на это число:
;
(2.15)
в) при сложении векторов складываются их соответственные координаты:
Доказательства этих свойств опустим; докажем лишь для примера свойство б). Имеем
==
Замечание . В пространстве (на плоскости) можно выбрать бесконечно много базисов.
Приведем пример перехода от одного базиса к другому, установим соотношения между координатами вектора в различных базисах.
Пример 1
. В базисной системе
заданы три вектора:
,
и
.
В базисе
,
,
вектор
имеет разложение.
Найти координаты вектора
в базисе
.
Решение
. Имеем разложения:
,
,
;
следовательно,
=
+2
+
=
=
,
то есть
в базисе
.
Пример 2
. Пусть в некотором
базисе
четыре вектора заданы своими координатами:
,
,
и
.
Выяснить,
образуют ли векторы
базис; в случае положительного ответа
найти разложение вектора
в этом базисе.
Решение
. 1) векторы образуют
базис, если они линейно независимы.
Составим линейную комбинацию векторов
(
)
и выясним, при каких
и
она обращается в нуль:
=0.
Имеем:
=
+
+
=
По определению
равенства векторов в координатной форме
получим следующую систему (линейных
однородных алгебраических) уравнений:
;
;
,
определитель которой
=1
,
то есть система имеет (лишь) тривиальное
решение
.
Это означает линейную независимость
векторов
и, следовательно, они образуют базис.
2) разложим вектор
в этом базисе. Имеем:
=
или в координатной форме.
Переходя к
равенству векторов в координатной
форме, получим систему линейных
неоднородных алгебраических уравнений:
;
;
.
Решая ее (например, по правилу Крамера),
получим:
,
,
и (
)
.
Имеем разложение вектора
в базисе
:
=.
5
0
. Проекция
вектора на ось. Свойства проекций.
Пусть
имеется некоторая осьl
,
то есть прямая с выбранным на ней
направлением и пусть задан некоторый
вектор
.Определим
понятие проекции вектора
на осьl
.
Определение
. Проекцией
вектора
на осьl
называется
произведение модуля этого вектора на
косинус угла между осьюl
и вектором (рис.2.10):
.
(2.17)
Следствием этого определения является утверждение о том, что равные векторы имеют равные проекции (на одну и ту же ось).
Отметим свойства проекций.
1) проекция суммы векторов на некоторую ось l равна сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось:
2) проекция произведения скаляра на вектор равна произведению этого скаляра на проекцию вектора на ту же ось:
=
.
(2.19)
Следствие . Проекция линейной комбинации векторов на ось равна линейной комбинации их проекций:
Доказательства свойств опустим.
6
0
. Прямоугольная
декартова система координат в пространстве
.Разложение вектора по ортам осей.
Пусть в качестве базиса выбраны три
взаимно перпендикулярных орта; для них
вводим специальные обозначения
.
Поместив их начала в точкуO
,
направим по ним (в соответствии с ортами
)
координатные осиOx
,Oy
иOz
(ось с выбранным на ней положительным
направлением, началом отсчета и единицей
длины называется координатной осью).
Определение . Упорядоченная система трех взаимно перпендикулярных координатных осей с общим началом и общей единицей длины называется прямоугольной декартовой системой координат в пространстве.
Ось Ox называется осью абсцисс,Oy – осью ординат иOz – осью аппликат.
Займемся
разложением произвольного вектора по
базису
.
Из теоремы (см.§2.2,п.3 0 , (2.13)) следует,
что
может быть и единственным образом
разложен по базису
(здесь вместо обозначения координат
употребляют
):
.
(2.21)
В (2.21)
суть (декартовы прямоугольные) координаты
вектора
.
Смысл декартовых координат устанавливает
следующая теорема.
Теорема
. Декартовы
прямоугольные координаты
вектора
являются проекциями этого вектора
соответственно на осиOx
,Oy
иOz
.
Доказательство.
Поместим
вектор
в начало системы координат – точкуO
.
Тогда его конец будет совпадать с
некоторой точкой
.
Проведем через
точку
три плоскости, параллельные координатным
плоскостямOyz
,Oxz
иOxy
(рис.2.11 хх). Получим
тогда:
.
(2.22)
В (2.22) векторы
и
называются составляющими вектора
по осямOx
,Oy
иOz
.
Пусть через
и
обозначены соответственно углы,
образованные вектором
с ортами
.
Тогда для составляющих получим следующие
формулы:
=
=
,
=
=
,
=
=
(2.23)
Из (2.21), (2.22) (2.23) находим:
=
=
;
=
=
;
=
=
(2.23)
– координаты
вектора
есть проекции этого вектора на координатные
осиOx
,Oy
иOz
соответственно.
Замечание
. Числа
называются направляющими косинусами
вектора
.
Модуль вектора
(диагональ прямоугольного параллелепипеда)
вычисляется по формуле:
.
(2.24)
Из формул (2.23) и (2.24) следует, что направляющие косинусы могут быть вычислены по формулам:
=
;
=
;
=
.
(2.25)
Возводя обе части каждого из равенств в (2.25) и складывая почленно левые и правые части полученных равенств, придем к формуле:
– не любые три угла образуют некоторое направление в пространстве, но лишь те, косинусы которых связаны соотношением (2.26).
7 0 . Радиус-вектор и координаты точки .Определение вектора по его началу и концу . Введем определение.
Определение
. Радиусом-вектором
(обозначается
)
называется вектор, соединяющий начало
координатO
с этой
точкой (рис.2.12 хх):
.
(2.27)
Любой точке пространства соответствует определенный радиус-вектор (и обратно). Таким образом, точки пространства представляются в векторной алгебре их радиус-векторами.
Очевидно, координаты
точкиM
являются
проекциями ее радиус-вектора
на координатные оси:
(2.28’)
и, таким образом,
(2.28)
– радиус-вектор точки есть
вектор, проекции которого на оси координат
равны координатам этой точки. Отсюда
следует две записи:
и
.
Получим формулы для вычисления
проекций вектора
по координатам его начала – точке
и конца – точке
.
Проведем радиус-векторы
и вектор
(рис.2.13). Получим, что
=
=(2.29)
– проекции вектора на координатные орты равны разностям соответствующих координат конца и начала вектора.
8 0 . Некоторые задачи на декартовы координаты .
1)
условия коллинеарности
векторов
. Из теоремы (см.§2.1,п.2 0 ,
формула (2.7)) следует, что для коллинеарности
векторов
и
необходимо и достаточно, чтобы выполнялось
соотношение:
=
.
Из этого векторного равенства получаем
три в координатной форме равенства:,
откуда следует условие коллинеарности
векторов в координатной форме:
(2.30)
– для коллинеарности векторов
и
необходимо и достаточно, чтобы их
соответствующие координаты были
пропорциональны.
2)
расстояние между
точками
. Из представления (2.29)
следует, что расстояние
между точками
и
определяется формулой
=
=.
(2.31)
3)
деление отрезка в
данном отношении
. Пусть даны точки
и
и отношение
.
Нужно найти
– координаты точкиM
(рис.2.14).
Имеем из условия коллинеарности
векторов:
,
откуда
и
.
(2.32)
Из (2.32) получим в координатной форме:
Из формул (2.32’) можно получить
формулы для вычисления координат
середины отрезка
,
полагая
:
Замечание
. Будем считать
отрезки
и
положительными или отрицательными в
зависимости от того, совпадает их
направление с направлением от начала
отрезка к концу
,
или не совпадает. Тогда по формулам
(2.32) – (2.32”) можно находить координат
точки, делящей отрезок
внешним образом, то есть так, что делящая
точкаM
находится на
продолжении отрезка
,
а не внутри его. При этом конечно,
.
4)
уравнение сферической
поверхности
.
Составим уравнение
сферической поверхности – геометрического
места точек
,
равноудаленных на расстояние
от некоторого фиксированного центра –
точки
.
Очевидно, что в данном случае
и с учетом формулы (2.31)
Уравнение (2.33) и есть уравнение искомой сферической поверхности.
Определение 1. Система векторов называется линейно зависимой, если один из векторов системы можно представить в виде линейной комбинации остальных векторов системы, и линейно независимой - в противном случае.
Определение 1´. Система векторов называется линейно зависимой, если найдутся числа с 1 , с 2 , …, с k , не все равные нулю, такие, что линейная комбинация векторов с данными коэффициентами равна нулевому вектору: = , в противном случае система называется линейно независимой.
Покажем, что эти определения эквивалентны.
Пусть выполняется определение 1, т.е. один из векторов системы равен линейной комбинации остальных:
Линейная комбинация системы векторов равна нулевому вектору, причем не все коэффициенты этой комбинации равны нулю, т.е. выполняется определение 1´.
Пусть выполняется определение 1´. Линейная комбинация системы векторов равна , причем не все коэффициенты комбинации равны нулю, например, коэффициенты при векторе .
Один из векторов системы мы представили в виде линейной комбинации остальных, т.е. выполняется определение 1.
Определение 2. Единичным вектором, или ортом, называется n-мерный вектор , у которого i -я координата равна единице, а остальные - нулевые.
. (1, 0, 0, …, 0),
(0, 1, 0, …, 0),
(0, 0, 0, …, 1).
Теорема 1. Различные единичные векторы n -мерного пространства линейно независимы.
Доказательство. Пусть линейная комбинация этих векторов с произвольными коэффициентами равна нулевому вектору.
Из этого равенства следует, что все коэффициенты равны нулю. Получили противоречие.
Каждый вектор n -мерного пространства ā (а 1 , а 2 , ..., а n ) может быть представлен в виде линейной комбинации единичных векторов с коэффициентами, равными координатам вектора
Теорема 2. Если системы векторов содержит нулевой вектор, то она линейно зависима.
Доказательство. Пусть дана система векторов и один из векторов является нулевым, например = . Тогда с векторами данной системы можно составить линейную комбинацию, равную нулевому вектору, причем не все коэффициенты будут нулевыми:
Следовательно, система линейно зависима.
Теорема 3. Если некоторая подсистема системы векторов линейно зависима, то и вся система линейно зависима.
Доказательство. Дана система векторов . Предположим, что система линейно зависима, т.е. найдутся числа с 1 , с 2 , …, с r , не все равные нулю, такие, что = . Тогда
Получилось, что линейная комбинация векторов всей системы равна , причем не все коэффициенты этой комбинации равны нулю. Следовательно, система векторов линейно зависима.
Следствие. Если система векторов линейно независима, то и любая ее подсистема также линейно независима.
Доказательство.
Предположим противное, т.е. некоторая подсистема линейно зависима. Из теоремы следует, что вся система линейно зависима. Мы пришли к противоречию.
Теорема 4 (теорема Штейница). Если каждый из векторов является линейной комбинацией векторов и m >n , то система векторов линейно зависима.
Следствие. В любой системе n -мерных векторов не может быть больше чем n линейно независимых.
Доказательство. Каждый n -мерный вектор выражается в виде линейной комбинации n единичных векторов. Поэтому, если система содержит m векторов и m >n , то, по теореме, данная система линейно зависима.
Определение. Линейной комбинацией векторов a 1 , ..., a n с коэффициентами x 1 , ..., x n называется вектор
x 1 a 1 + ... + x n a n .
тривиальной , если все коэффициенты x 1 , ..., x n равны нулю.
Определение. Линейная комбинация x 1 a 1 + ... + x n a n называется нетривиальной , если хотябы один из коэффициентов x 1 , ..., x n не равен нулю.
линейно независимыми , если не существует нетривиальной комбинации этих векторов равной нулевому вектору .
Тоесть вектора a 1 , ..., a n линейно независимы если x 1 a 1 + ... + x n a n = 0 тогда и только тогда, когда x 1 = 0, ..., x n = 0.
Определение. Вектора a 1 , ..., a n называются линейно зависимыми , если существует нетривиальная комбинация этих векторов равная нулевому вектору .
Свойства линейно зависимых векторов:
Для n -мерных векторов.
n + 1 вектор всегда линейно зависимы.
Для 2-х и 3-х мерных векторов.
Два линейно зависимые вектора - коллинеарные. (Коллинеарные вектора - линейно зависимы.) .
Для 3-х мерных векторов.
Три линейно зависимые вектора - компланарные. (Три компланарные вектора - линейно зависимы.)
Примеры задач на линейную зависимость и линейную независимость векторов:
Пример 1. Проверить будут ли вектора a = {3; 4; 5}, b = {-3; 0; 5}, c = {4; 4; 4}, d = {3; 4; 0} линейно независимыми.
Решение:
Вектора будут линейно зависимыми, так как размерность векторов меньше количества векторов.
Пример 2. Проверить будут ли вектора a = {1; 1; 1}, b = {1; 2; 0}, c = {0; -1; 1} линейно независимыми.
Решение:
| x 1 + x 2 = 0 | |
| x 1 + 2x 2 - x 3 = 0 | |
| x 1 + x 3 = 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | ||
| 1 | 2 | -1 | 0 | |||
| 1 | 0 | 1 | 0 |
| ~ | 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | ||||
| 1 - 1 | 2 - 1 | -1 - 0 | 0 - 0 | 0 | 1 | -1 | 0 | |||||||
| 1 - 1 | 0 - 1 | 1 - 0 | 0 - 0 | 0 | -1 | 1 | 0 |
из первой строки вычтем вторую; к третей строке добавим вторую:
| ~ | 1 - 0 | 1 - 1 | 0 - (-1) | 0 - 0 | ~ | 1 | 0 | 1 | 0 | ||||
| 0 | 1 | -1 | 0 | 0 | 1 | -1 | 0 | ||||||
| 0 + 0 | -1 + 1 | 1 + (-1) | 0 + 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Данное решение показывает, что система имеет множество решений, то есть существует не нулевая комбинация значений чисел x 1 , x 2 , x 3 таких, что линейная комбинация векторов a , b , c равна нулевому вектору, например:
A + b + c = 0
а это значит вектора a , b , c линейно зависимы.
Ответ: вектора a , b , c линейно зависимы.
Пример 3. Проверить будут ли вектора a = {1; 1; 1}, b = {1; 2; 0}, c = {0; -1; 2} линейно независимыми.
Решение: Найдем значения коэффициентов при котором линейная комбинация этих векторов будет равна нулевому вектору.
x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0Это векторное уравнение можно записать в виде системы линейных уравнений
| x 1 + x 2 = 0 | |
| x 1 + 2x 2 - x 3 = 0 | |
| x 1 + 2x 3 = 0 |
Решим эту систему используя метод Гаусса
| 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | ||
| 1 | 2 | -1 | 0 | |||
| 1 | 0 | 2 | 0 |
из второй строки вычтем первую; из третей строки вычтем первую:
| ~ | 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | ||||
| 1 - 1 | 2 - 1 | -1 - 0 | 0 - 0 | 0 | 1 | -1 | 0 | |||||||
| 1 - 1 | 0 - 1 | 2 - 0 | 0 - 0 | 0 | -1 | 2 | 0 |
из первой строки вычтем вторую; к третей строке добавим вторую.
Выражение вида называется линейной комбинацией векторов A 1 , A 2 ,...,A n с коэффициентами λ 1, λ 2 ,...,λ n .
Определение линейной зависимости системы векторов
Система векторов A 1 , A 2 ,...,A n называется линейно зависимой , если существует ненулевой набор чисел λ 1, λ 2 ,...,λ n , при котором линейная комбинация векторов λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A n равна нулевому вектору , то есть система уравнений: имеет ненулевое решение.
Набор чисел λ 1, λ 2 ,...,λ n является ненулевым, если хотя бы одно из чисел λ 1, λ 2 ,...,λ n отлично от нуля.
Определение линейной независимости системы векторов
Пример 29.1Система векторов A 1 , A 2 ,...,A n называется линейно независимой , если линейная комбинация этих векторов λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A n равна нулевому вектору только при нулевом наборе чисел λ 1, λ 2 ,...,λ n , то есть система уравнений: A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ имеет единственное нулевое решение.
Проверить, является ли линейно зависимой система векторов
Решение :
1. Составляем систему уравнений :
2. Решаем ее методом Гаусса . Преобразования Жордано системы приведены в таблице 29.1. При расчете правые части системы не записываются так как они равны нулю и при преобразованиях Жордана не изменяются.
3. Из последних трех строк таблицы записываем разрешенную систему, равносильную исходной системе:
4. Получаем общее решение системы :
5. Задав по своему усмотрению значение свободной переменной x 3 =1, получаем частное ненулевое решение X=(-3,2,1).
Ответ: Таким образом, при ненулевом наборе чисел (-3,2,1) линейная комбинация векторов равняется нулевому вектору -3A 1 +2A 2 +1A 3 =Θ. Следовательно, система векторов линейно зависимая .
Свойства систем векторов
Свойство (1)
Если система векторов линейно зависимая, то хотя бы один из векторов разлагается по остальным и, наоборот, если хотя бы один из векторов системы разлагается по остальным, то система векторов линейно зависимая.
Свойство (2)
Если какая-либо подсистема векторов линейно зависимая, то и вся система линейно зависимая.
Свойство (3)
Если система векторов линейно независимая, то любая ее подсистема линейно независимая.
Свойство (4)
Любая система векторов, содержащая нулевой вектор, линейно зависимая.
Свойство (5)
Система m-мерных векторов всегда является линейно зависимой, если число векторов n больше их размерности (n>m)
Базис системы векторов
Базисом системы векторов A 1 , A 2 ,..., A n называется такая подсистема B 1 , B 2 ,...,B r (каждый из векторов B 1 ,B 2 ,...,B r является одним из векторов A 1 , A 2 ,..., A n) , которая удовлетворяет следующим условиям:
1. B 1 ,B 2 ,...,B r линейно независимая система векторов;
2. любой вектор A j системы A 1 , A 2 ,..., A n линейно выражается через векторы B 1 ,B 2 ,...,B rr — число векторов входящих в базис.
Теорема 29.1 О единичном базисе системы векторов.Если система m-мерных векторов содержит m различных единичных векторов E 1 E 2 ,..., E m , то они образуют базис системы.
Алгоритм нахождения базиса системы векторов
Для того, чтобы найти базис системы векторов A 1 ,A 2 ,...,A n необходимо:
- Составить соответствующую системе векторов однородную систему уравнений A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ
- Привести эту систему