Вариационный ряд характеризует. Анализ вариационных рядов

В результате освоения дайной главы студент должен: знать

показатели вариации и их взаимосвязь;
основные законы распределения признаков;
сущность критериев согласия; уметь
рассчитывать показатели вариации и критерии согласия;
определять характеристики распределений;
оценивать основные числовые характеристики статистических рядов распределения;

владеть

методами статистического анализа рядов распределения;
основами дисперсионного анализа;
приемами проверки статистических рядов распределения на соответствие основным законам распределения.

Показатели вариации

При статистическом исследовании признаков различных статистических совокупностей большой интерес представляет изучение вариации признака отдельных статистических единиц совокупности, а также характера распределения единиц по данному признаку. Вариация - это различия индивидуальных значений признака у единиц изучаемой совокупности. Исследование вариации имеет большое практическое значение. По степени вариации можно судить о границах вариации признака, однородности совокупности по данному признаку, типичности средней, взаимосвязи факторов, определяющих вариацию. Показатели вариации используются для характеристики и упорядочения статистических совокупностей.

Результаты сводки и группировки материалов статистического наблюдения, оформленные в виде статистических рядов распределения, представляют собой упорядоченное распределение единиц изучаемой совокупности на группы по группировочному (варьирующему) признаку. Если за основу группировки взят качественный признак, то такой ряд распределения называют атрибутивным (распределение по профессии, по полу, по цвету и т.д.). Если ряд распределения построен по количественному признаку, то такой ряд называют вариационным (распределение по росту, весу, по размеру заработной платы и т.д.). Построить вариационный ряд - значит упорядочить количественное распределение единиц совокупности по значениям признака, подсчитать число единиц совокупности с этими значениями (частоту), результаты оформить в таблицу.

Вместо частоты варианта возможно применение ее отношения к общему объему наблюдений, которое называется частостью (относительной частотой).

Выделяют два вида вариационного ряда: дискретный и интервальный. Дискретный ряд - это такой вариационный ряд, в основу построения которого положены признаки с прерывным изменением (дискретные признаки). К последним можно отнести число работников на предприятии, тарифный разряд, количество детей в семье и т.д. Дискретный вариационный ряд представляет таблицу, которая состоит из двух граф. В первой графе указывается конкретное значение признака, а во второй - число единиц совокупности с определенным значением признака. Если признак имеет непрерывное изменение (размер дохода, стаж работы, стоимость основных фондов предприятия и т.д., которые в определенных границах могут принимать любые значения), то для этого признака возможно построение интервального вариационного ряда. Таблица при построении интервального вариационного ряда также имеет две графы. В первой указывается значение признака в интервале «от - до» (варианты), во второй - число единиц, входящих в интервал (частота). Частота (частота повторения) - число повторений отдельного варианта значений признака. Интервалы могут быть закрытые и открытые. Закрытые интервалы ограничены с обеих сторон, т.е. имеют границу как нижнюю («от»), так и верхнюю («до»). Открытые интервалы имеют какую-либо одну границу: либо верхнюю, либо нижнюю. Если варианты расположены по возрастанию или убыванию, то ряды называются ранжированными.

Для вариационных рядов существует два типа вариантов частотных характеристик: накопленная частота и накопленная частость. Накопленная частота показывает, в скольких наблюдениях величина признака приняла значения меньше заданного. Накопленная частота определяется путем суммирования значений частоты признака по данной группе со всеми частотами предшествующих групп. Накопленная частость характеризует удельный вес единиц наблюдения, у которых значения признака не превосходят верхнюю границу дайной группы. Таким образом, накопленная частость показывает удельный вес вариант в совокупности, имеющих значение не больше данного. Частота, частость, абсолютная и относительная плотности, накопленные частота и частость являются характеристиками величины варианта.

Вариации признака статистических единиц совокупности, а также характер распределения изучаются с помощью показателей и характеристик вариационного ряда, к числу которых относятся средний уровень ряда, среднее линейное отклонение, среднее квадратическое отклонение, дисперсия, коэффициенты осцилляции, вариации, асимметрии, эксцесса и др.

Для характеристики центра распределения применяются средние величины. Средняя представляет собой обобщающую статистическую характеристику, в которой получает количественное выражение типичный уровень признака, которым обладают члены изучаемой совокупности. Однако возможны случаи совпадения средних арифметических при разном характере распределения, поэтому в качестве статистических характеристик вариационных рядов рассчитываются так называемые структурные средние - мода, медиана, а также квантили, которые делят ряд распределения на равные части (квартили, децили, перцентили и т.д.).

Мода - это значение признака, которое встречается в ряду распределения чаще, чем другие его значения. Для дискретных рядов - это варианта, имеющая наибольшую частоту. В интервальных вариационных рядах с целью определения моды необходимо определить прежде всего интервал, в котором она находится, так называемый модальный интервал. В вариационном ряду с равными интервалами модальный интервал определяется по наибольшей частоте, в рядах с неравными интервалами - но наибольшей плотности распределения. Затем для определения моды в рядах с равными интервалами применяют формулу

где Мо - значение моды; х Мо - нижняя граница модального интервала; h - ширина модального интервала; / Мо - частота модального интервала; / Mo j - частота домодального интер- вала; / Мо+1 - частота послемодального интервала, а для ряда с неравными интервалами в данной формуле расчета вместо частот / Мо, / Мо, / Мо следует использовать плотности распределения Ум 0 _| , Ум 0> УМо+"

Если имеется единственная мода, то распределение вероятностей случайной величины называется унимодальным; если имеется более чем одна мода, оно называется многомодальным (полимодальным, мультимодальным), в случае двух мод - бимодальным. Как правило, многомодальность указывает, что исследуемое распределение не подчиняется закону нормального распределения. Для однородных совокупностей, как правило, характерны одновершинные распределения. Многовершинность свидетельствует также о неоднородности изучаемой совокупности. Появление двух и более вершин делает необходимой перегруппировку данных с целью выделения более однородных групп.

В интервальном вариационном ряду моду можно определить графически с помощью гистограммы. Для этого из верхних точек самого высокого столбца гистограммы до верхних точек двух смежных столбцов проводят две пересекающиеся линии. Затем из точки их пересечения опускают перпендикуляр на ось абсцисс. Значение признака на оси абсцисс, соответствующее перпендикуляру, является модой. Во многих случаях при характеристике совокупности в качестве обобщенного показателя отдается предпочтение моде, а не средней арифметической.

Медиана - это центральное значение признака, им обладает центральный член ранжированного ряда распределения. В дискретных рядах, чтобы найти значение медианы, сначала определяется ее порядковый номер. Для этого при нечетном числе единиц к сумме всех частот прибавляется единица, число делится на два. При четном числе единиц в ряду будет две медианные единицы, поэтому в этом случае медиана определяется как средняя из значений двух медианных единиц. Таким образом, медианой в дискретном вариационном ряду является значение, которое делит ряд на две части, содержащие одинаковое число вариантов.

В интервальных рядах после определения порядкового номера медианы отыскивается медиальный интервал по накопленным частотам (частостям), а затем при помощи формулы расчета медианы определяется значение самой медианы:

где Me - значение медианы; х Ме - нижняя граница медианного интервала; h - ширина медианного интервала; - сумма частот ряда распределения; /Д - накопленная частота домедианного интервала; / Ме - частота медианного интервала.

Медиану можно отыскать графически с помощью куму- ляты. Для этого на шкале накопленных частот (частостей) кумуляты из точки, соответствующей порядковому номеру медианы, проводится прямая, параллельная оси абсцисс, до пересечения с кумулятой. Далее из точки пересечения указанной прямой с кумулятой опускается перпендикуляр на ось абсцисс. Значение признака на оси абсцисс, соответствующее проведенной ординате (перпендикуляру), является медианой.

Медиана характеризуется следующими свойствами.

1. Она не зависит от тех значений признака, которые расположены по обе стороны от нее.
2. Она имеет свойство минимальности, которое заключается в том, что сумма абсолютных отклонений значений признака от медианы представляет собой минимальную величину по сравнению с отклонением значений признака от любой другой величины.
3. При объединении двух распределений с известными медианами невозможно заранее предсказать величину медианы нового распределения.

Эти свойства медианы широко используются при проектировании расположения пунктов массового обслуживания - школ, поликлиник, автозаправочных станций, водозаборных колонок и т.д. Например, если в определенном квартале города предполагается построить поликлинику, то расположить ее целесообразнее в такой точке квартала, которая делит пополам не длину квартала, а число жителей.

Соотношение моды, медианы и средней арифметической указывает на характер распределения признака в совокупности, позволяет оценить симметричность распределения. Если х Me то имеет место правосторонняя асимметрия ряда. При нормальном распределении х - Me - Мо.

К. Пирсон на основе выравнивания различных типов кривых определил, что для умеренно асимметричных распределений справедливы такие приближенные соотношения между средней арифметической, медианой и модой:

где Me - значение медианы; Мо - значение моды; х арифм - значение средней арифметической.

Если возникает необходимость изучить структуру вариационного ряда более подробно, то вычисляют значения признака, аналогичные медиане. Такие значения признака делят все единицы распределения на равные численности, их называют квантилями или градиентами. Квантили подразделяются на квартили, децили, перцентили и т.п.

Квартили делят совокупность на четыре равные части. Первую квартиль вычисляют аналогично медиане по формуле расчета первой квартили, предварительно определив первый квартальный интервал:

где Qi - значение первой квартили; x Q ^ - нижняя граница первого квартильного интервала; h - ширина первого квартального интервала; /, - частоты интервального ряда;

Накопленная частота в интервале, предшествующем первому квартильиому интервалу; Jq { - частота первого квартильного интервала.

Первая квартиль показывает, что 25% единиц совокупности меньше ее значения, а 75% - больше. Вторая квартиль равна медиане, т.е. Q 2 = Me.

По аналогии рассчитывают третью квартиль, предварительно отыскав третий квартальный интервал:

где - нижняя граница третьего квартильного интервала; h - ширина третьего квартильного интервала; /, - частоты интервального ряда; /X" - накопленная частота в интервале, предшествующем

третьему квартильиому интервалу; Jq - частота третьего квартильного интервала.

Третья квартиль показывает, что 75% единиц совокупности меньше ее значения, а 25% - больше.

Разность между третьей и первой квартилями представляет собой межквартильный интервал:

где Aq - значение межквартильного интервала; Q 3 - значение третьей квартили; Q, - значение первой квартили.

Децили делят совокупность на 10 равных частей. Дециль - это такое значение признака в ряду распределения, которому соответствуют десятые доли численности совокупности. По аналогии с квартилями первый дециль показывает, что 10% единиц совокупности меньше его значения, а 90% - больше, а девятый дециль выявляет, что 90% единиц совокупности меньше его значения, а 10% - больше. Соотношение девятого и первого децилей, т.е. децильный коэффициент, широко применяется при изучении дифференциации доходов для измерения соотношения уровней доходов 10% наиболее обеспеченного и 10% наименее обеспеченного населения. Перцентили делят ранжированную совокупность на 100 равных частей. Расчет, значение и применение перцентилей аналогичны децилям.

Квартили, децили и другие структурные характеристики можно определить графически по аналогии с медианой с помощью кумуляты.

Для измерения размера вариации используются следующие показатели: размах вариации, среднее линейное отклонение, среднее квадратическое отклонение, дисперсия. Величина размаха вариации целиком зависит от случайности распределения крайних членов ряда. Этот показатель представляет интерес в тех случаях, когда важно знать, какова амплитуда колебаний значений признака:

где R - значение размаха вариации; х тах - максимальное значение признака; х тт - минимальное значение признака.

При расчете размаха вариации значение подавляющего большинства членов ряда не учитывается, в то время как вариация связана с каждым значением члена ряда. Этого недостатка лишены показатели, представляющие собой средние, полученные из отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины: среднее линейное отклонение и среднее квадратическое отклонение. Между индивидуальными отклонениями от средней и колеблемостью конкретного признака существует прямая зависимость. Чем сильнее колеблемость, тем больше абсолютные размеры отклонений от средней.

Среднее линейное отклонение представляет собой среднюю арифметическую из абсолютных величин отклонений отдельных вариантов от их средней величины.

Среднее линейное отклонение для несгруппированных данных

где / пр - значение среднего линейного отклонения; х,- - значение признака; х - п - число единиц совокупности.

Среднее линейное отклонение сгруппированного ряда

где / вз - значение среднего линейного отклонения; х, - значение признака; х - среднее значение признака для изучаемой совокупности; / - число единиц совокупности в отдельной группе.

Знаки отклонений в данном случае игнорируются, в противном случае сумма всех отклонений будет равна нулю. Среднее линейное отклонение в зависимости от группировки анализируемых данных рассчитывается по различным формулам: для сгруппированных и несгруниированных данных. Среднее линейное отклонение в силу его условности отдельно от других показателей вариации применяется на практике сравнительно редко (в частности, для характеристики выполнения договорных обязательств по равномерности поставки; в анализе оборота внешней торговли, состава работающих, ритмичности производства, качества продукции с учетом технологических особенностей производства и т.п.).

Среднее квадратическое отклонение характеризует, на сколько в среднем отклоняются индивидуальные значения изучаемого признака от среднего значения по совокупности, и выражается в единицах измерения изучаемого признака. Среднее квадратическое отклонение, являясь одной из основных мер вариации, широко используется при оценке границ вариации признака в однородной совокупности, при определении значений ординат кривой нормального распределения, а также в расчетах, связанных с организацией выборочного наблюдения и установлением точности выборочных характеристик. Среднее квадратическое отклонение но несгруипированным данным исчисляется по следующему алгоритму: каждое отклонение от средней возводится в квадрат, все квадраты суммируются, после чего сумма квадратов делится на число членов ряда и из частного извлекается квадратный корень:

где a Iip - значение среднего квадратического отклонения; Xj - значение признака; х - среднее значение признака для изучаемой совокупности; п - число единиц совокупности.

Для сгруппированных анализируемых данных среднее квадратическое отклонение данных рассчитывается по взвешенной формуле

где - значение среднего квадратического отклонения; Xj - значение признака; х - среднее значение признака для изучаемой совокупности; f x - число единиц совокупности в отдельной группе.

Выражение под корнем в обоих случаях носит название дисперсии. Таким образом, дисперсия вычисляется как средний квадрат отклонений значений признака от их средней величины. Для невзвешенных (простых) значений признака дисперсия определяется следующим образом:

Для взвешенных значений признака

Существует также специальный упрощенный способ расчета дисперсии: в общем виде

для невзвешенных (простых) значений признака для взвешенных значений признака
с использованием метода отсчета от условного нуля

где а 2 - значение дисперсии; х,- - значение признака; х - среднее значение признака, h - величина группового интервала, т 1 - веса (А =

Дисперсия имеет самостоятельное выражение в статистике и относится к числу важнейших показателей вариации. Она измеряется в единицах, соответствующих квадрату единиц измерения изучаемого признака.

Дисперсия имеет следующие свойства.

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю.
2. Уменьшение всех значений признака на одну и ту же величину Л не меняет величины дисперсии. Это означает, что средний квадрат отклонений можно вычислить не по заданным значениям признака, а по отклонениям их от какого-то постоянного числа.
3. Уменьшение веех значений признака в k раз уменьшает дисперсию в k 2 раз, а среднее квадратическое отклонение - в k раз, т.е. все значения признака можно разделить на какое-то постоянное число (скажем, на величину интервала ряда), исчислить среднее квадратическое отклонение, а затем умножить его на постоянное число.
4. Если исчислить средний квадрат отклонений от любой величины А у в той или иной степени отличающейся от средней арифметической, то он всегда будет больше среднего квадрата отклонений, исчисленного от средней арифметической. Средний квадрат отклонений при этом будет больше на вполне определенную величину - на квадрат разности средней и этой условно взятой величины.

Вариация альтернативного признака заключается в наличии или отсутствии изучаемого свойства у единиц совокупности. Количественно вариация альтернативного признака выражается двумя значениями: наличие у единицы изучаемого свойства обозначается единицей (1), а его отсутствие - нулем (0). Долю единиц, обладающих изучаемым свойством, обозначают через Р, а долю единиц, не обладающих этим свойством, - через G. Таким образом, дисперсия альтернативного признака равна произведению доли единиц, обладающих данным свойством (Р), на долю единиц, данным свойством не обладающих (G). Наибольшая вариация совокупности достигается в случаях, когда часть совокупности, составляющая 50% от всего объема совокупности, обладает признаком, а другая часть совокупности, также равная 50%, не обладает данным признаком, при этом дисперсия достигает максимального значения, равного 0,25, т.е. Р = 0,5, G = 1 - Р = 1 - 0,5 = 0,5 и о 2 = 0,5 0,5 = 0,25. Нижняя граница этого показателя равна нулю, что соответствует ситуации, при которой в совокупности отсутствует вариация. Практическое применение дисперсии альтернативного признака состоит в построении доверительных интервалов при проведении выборочного наблюдения.

Чем меньше значение дисперсии и среднего квадратического отклонения, тем однороднее совокупность и тем более типичной будет средняя величина. В практике статистики часто возникает необходимость сравнения вариаций различных признаков. Например, интересным является сравнение вариаций возраста рабочих и их квалификации, стажа работы и размера заработной платы, себестоимости и прибыли, стажа работы и производительности труда и т.д. Для таких сопоставлений показатели абсолютной колеблемости признаков непригодны: нельзя сравнивать колеблемость стажа работы, выраженного в годах, с вариацией заработной платы, выраженной в рублях. Для осуществления таких сравнений, а также сравнений колеблемости одного и того же признака в нескольких совокупностях с разными средними арифметическими используются показатели вариации - коэффициент осцилляции, линейный коэффициент вариации и коэффициент вариации, которые показывают меру колебаний крайних значений вокруг средней.

Коэффициент осцилляции :

где V R - значение коэффициента осцилляции; R - значение размаха вариации; х -

Линейный коэффициент вариации".

где Vj - значение линейного коэффициента вариации; I - значение среднего линейного отклонения; х - среднее значение признака для изучаемой совокупности.

Коэффициент вариации :

где V a - значение коэффициента вариации; а - значение среднего квадратического отклонения; х - среднее значение признака для изучаемой совокупности.

Коэффициент осцилляции - это процентное отношение размаха вариации к среднему значению изучаемого признака, а линейный коэффициент вариации - это отношение среднего линейного отклонения к среднему значению изучаемого признака, выраженное в процентах. Коэффициент вариации представляет собой процентное отношение среднего квадратического отклонения к среднему значению изучаемого признака. Как величина относительная, выраженная в процентах, коэффициент вариации применяется для сравнения степени вариации различных признаков. С помощью коэффициента вариации оценивается однородность статистической совокупности. Если коэффициент вариации меньше 33%, то исследуемая совокупность является однородной, а вариация слабой. Если коэффициент вариации больше 33%, то исследуемая совокупность является неоднородной, вариация сильной, а средняя величина - нетипичной и ее нельзя использовать как обобщающий показатель этой совокупности. Кроме того, коэффициенты вариации используются для сравнения колеблемости одного признака в различных совокупностях. Например, для оценки вариации стажа работы работников на двух предприятиях. Чем больше значение коэффициента, тем вариация признака существеннее.

На основе рассчитанных квартилей имеется возможность рассчитать также относительный показатель квартальной вариации по формуле

где Q2 и

Межквартильный размах определяется по формуле

Квартильное отклонение применяется вместо размаха вариации, чтобы избежать недостатков, связанных с использованием крайних значений:

Для неравноинтервальпых вариационных рядов рассчитывается также плотность распределения. Она определяется как частное от деления соответствующей частоты или частости на величину интервала. В неравноинтервальных рядах используются абсолютная и относительная плотности распределения. Абсолютная плотность распределения - это частота, приходящаяся на единицу длины интервала. Относительная плотность распределения - частость, приходящаяся на единицу длины интервала.

Все вышеотмеченное справедливо для рядов распределения, закон распределения которых хорошо описывается нормальным законом распределения или близок к нему.

Понятие вариационного ряда. Первым шагом систематизации материалов статистического наблюдения является подсчет числа единиц, обладающих тем или иным признаком. Расположив единицы в порядке возрастания или убывания их количественного признака и подсчитав число единиц с конкретным значением признака, получаем вариационный ряд. Вариационный ряд характеризует распределение единиц определенной статистической совокупности по какому–либо количественному признаку.

Вариационный ряд представляет собой две колонки, в левой колонке приводятся значения варьирующего признака, именуемые вариантами и обозначаемые (x), а в правой – абсолютные числа, показывающие, сколько раз встречается каждый вариант. Показатели этой колонки называются частотами и обозначаются (f).

Схематично вариационный ряд можно представить в виде табл.5.1:

Таблица 5.1

Вид вариационного ряда

Варианты (x)	Частоты (f)

В правой колонке могут использоваться и относительные показатели, характеризующие долю частоты отдельных вариантов в общей сумме частот. Эти относительные показатели именуют частостями и условно обозначают через , т.е. . Сумма всех частостей равна единице. Частости могут быть выражены и в процентах, и тогда их сумма будет равна 100%.

Варьирующие признаки могут носить разный характер. Варианты одних признаков выражаются в целых числах, например, число комнат в квартире, число изданных книг и т.д. Эти признаки именуют прерывными, или дискретными. Варианты других признаков могут принимать любые значения в определенных пределах, как, например, выполнение плановых заданий, заработная плата и др. Эти признаки называют непрерывными.

Дискретный вариационный ряд. Если варианты вариационного ряда выражены в виде дискретных величин, то такой вариационный ряд называют дискретным, его внешний вид представлен в табл. 5.2:

Таблица 5.2

Распределение студентов по оценкам, полученным на экзамене

Оценки (х)	Количество студентов (f)	В % к итогу ()

Характер распределения в дискретных рядах изображается графически в виде полигона распределения, рис.5.1.

Рис. 5.1. Распределение студентов по оценкам, полученным на экзамене.

Интервальный вариационный ряд. Для непрерывных признаков вариационные ряды строятся интервальные, т.е. значения признака в них выражаются в виде интервалов «от и до». При этом минимальное значение признака в таком интервале именуют нижней границей интервала, а максимальное – верхней границей интервала.

Интервальные вариационные ряды строят как для прерывных признаков (дискретных), так и для варьирующих в большом диапазоне. Интервальные ряды могут быть с равными и неравными интервалами. В экономической практике в большинстве своем применяются неравные интервалы, прогрессивно возрастающие или убывающие. Такая необходимость возникает особенно в тех случаях, когда колеблемость признака осуществляется неравномерно и в больших пределах.

Рассмотрим вид интервального ряда с равными интервалами, табл. 5.3:

Таблица 5.3

Распределение рабочих по выработке

Выработка, т.р. (х)	Число рабочих (f)	Кумулятивная частота (f´)

Интервальный ряд распределения графически изображается в виде гистограммы, рис.5.2.

Рис.5.2. Распределение рабочих по выработке

Накопленная (кумулятивная) частота. В практике возникает потребность в преобразовании рядов распределения в кумулятивные ряды, строящиеся по накопленным частотам. С их помощью можно определить структурные средние, которые облегчают анализ данных ряда распределения.

Накопленные частоты определяются путем последовательного прибавления к частотам (или частостям) первой группы этих показателей последующих групп ряда распределения. Для иллюстрации рядов распределения используются кумуляты и огивы. Для их построения на оси абсцисс отмечаются значения дискретного признака (или концы интервалов), а на оси ординат – нарастающие итоги частот (кумулята), рис.5.3.

Рис. 5.3. Кумулята распределения рабочих по выработке

Если шкалы частот и вариантов поменять местами, т.е. на оси абсцисс отражать накопленные частоты, а на оси ординат – значения вариантов, то кривая, характеризующая изменение частот от группы к группе, будет носит название огивы распределения, рис.5.4.

Рис. 5.4. Огива распределения рабочих по выработке

Вариационные ряды с равными интервалами обеспечивают одно из важнейших требований, предъявляемых к статистическим рядам распределения, обеспечение сравнимости их во времени и пространстве.

Плотность распределения. Однако частоты отдельных неравных интервалов в названных рядах непосредственно не сопоставимы. В подобных случаях для обеспечения необходимой сравнимости исчисляют плотность распределения, т.е. определяют, сколько единиц в каждой группе приходится на единицу величины интервала.

При построении графика распределения вариационного ряда с неравными интервалами высоту прямоугольников определяют пропорционально не частотам, а показателям плотности распределения значений изучаемого признака в соответствующих интервалах.

Составление вариационного ряда и его графическое изображение является первым шагом обработки исходных данных и первой ступенью анализа изучаемой совокупности. Следующим шагом в анализе вариационных рядов является определение основных обобщающих показателей, именуемых характеристиками ряда. Эти характеристики должны дать представление о среднем значении признака у единиц совокупности.

Средняя величина . Средняя величина представляет собой обобщенную характеристику изучаемого признака в исследуемой совокупности, отражающая ее типический уровень в расчете на единицу совокупности в конкретных условиях места и времени.

Средняя величина всегда именованная, имеет ту же размерность, что и признак у отдельных единиц совокупности.

Перед вычислением средних величин необходимо произвести группировку единиц исследуемой совокупности, выделив качественно однородные группы.

Средняя, рассчитанная по совокупности в целом называется общей средней, а для каждой группы – групповыми средними.

Существуют две разновидности средних величин: степенные (средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя геометрическая, средняя квадратическая); структурные (мода, медиана, квартили, децили).

Выбор средней для расчета зависит от цели.

Виды степенных средних и методы их расчета. В практике статистической обработки собранного материала возникают различные задачи, для решения которых требуются различные средние.

Математическая статистика выводит различные средние из формул степенной средней:

где средняя величина; x – отдельные варианты (значения признаков); z – показатель степени (при z = 1 – средняя арифметическая, z = 0 средняя геометрическая, z = - 1 – средняя гармоническая, z = 2 – средняя квадратическая).

Однако вопрос о том, какой вид средней необходимо применить в каждом отдельном случае, разрешается путем конкретного анализа изучаемой совокупности.

Наиболее часто встречающимся в статистике видом средних величин является средняя арифметическая . Она исчисляется в тех случаях, когда объем осредняемого признака образуется как сумма его значений у отдельных единиц изучаемой статистической совокупности.

В зависимости от характера исходных данных средняя арифметическая определяется различными способами:

Если данные несгруппированные, то расчет ведется по формуле простой средней величины

Расчет средней арифметической в дискретном ряду происходит по формуле 3.4.

Расчет средней арифметической в интервальном ряду. В интервальном вариационном ряду, где за величину признака в каждой группе условно принимается середина интервала, средняя арифметическая может отличаться от средней, рассчитанной по несгруппированным данным. Причем, чем больше величина интервала в группах, тем больше возможные отклонения средней, вычисленной по сгруппированным данным, от средней, рассчитанной по несгруппированным данным.

При расчете средней по интервальному вариационному ряду для выполнения необходимых вычислений от интервалов переходят к их серединам. А затем рассчитывают среднюю величину по формуле средней арифметической взвешенной.

Свойства средней арифметической. Средняя арифметическая обладает некоторыми свойствами, которые позволяют упрощать вычисления, рассмотрим их.

1. Средняя арифметическая из постоянных чисел равна этому постоянному числу.

Если х = а. Тогда .

2. Если веса всех вариантов пропорционально изменить, т.е. увеличить или уменьшить в одно и то же число раз, то средняя арифметическая нового ряда от этого не изменится.

Если все веса f уменьшить в k раз, то .

3. Сумма положительных и отрицательных отклонений отдельных вариантов от средней, умноженных на веса, равна нулю, т.е.

Если , то . Отсюда .

Если все варианты уменьшить или увеличить на какое- либо число, то средняя арифметическая нового ряда уменьшится или увеличится на столько же.

Уменьшим все варианты x на a , т.е. x ´ = x – a.

Тогда

Среднюю арифметическую первоначального ряда можно получить, прибавляя к уменьшенной средней ранее вычтенное из вариантов числа a , т.е. .

5. Если все варианты уменьшить или увеличить в k раз, то средняя арифметическая нового ряда уменьшится или увеличится во столько же, т.е. в k раз.

Пусть , тогда .

Отсюда , т.е. для получения средней первоначального ряда среднюю арифметическую нового ряда (с уменьшенными вариантами) надо увеличить в k раз.

Средняя гармоническая. Средняя гармоническая это величина обратная средней арифметической. Ее используют, когда статистическая информация не содержит частот по отдельным вариантам совокупности, а представлена как их произведение (М= xf). Средняя гармоническая будет рассчитываться по формуле 3.5

Практическое применение средней гармонической – для расчета некоторых индексов, в частности, индекса цен.

Средняя геометрическая. При применении средней геометрической индивидуальные значения признака представляют собой, как правило, относительные величины динамики, построенные в виде цепных величин, как отношение к предыдущему уровню каждого уровня в ряду динамики. Средняя характеризует, таким образом, средний коэффициент роста.

Средняя геометрическая величина используется также для определения равноудаленной величины от максимального и минимального значений признака. Например, страховая компания заключает договоры на оказание услуг автострахования. В зависимости конкретного страхового случая страховая выплата может колебаться от 10000 до 100000 долл. в год. Средняя сумма выплат по страховке составит долл.

Средняя геометрическая это величина, используемая как средняя из отношений или в рядах распределения, представленных в виде геометрической прогрессии, когда z = 0. Этой средней удобно пользоваться, когда уделяется внимание не абсолютным разностям, а отношениям двух чисел.

Формулы для расчета следующие

где – варианты осредняемого признака; – произведение вариантов; f – частота вариантов.

Средняя геометрическая используется в расчетах среднегодовых темпов роста.

Средняя квадратическая. Формула средней квадратической используется для измерения степени колеблемости индивидуальных значений признака вокруг средней арифметической в рядах распределения. Так, при расчете показателей вариации среднюю вычисляют из квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической величины.

Средняя квадратическая величина рассчитывается по формуле

В экономических исследованиях средняя квадратическая в измененном виде широко используется при расчете показателей вариации признака, таких как дисперсия, среднее квадратическое отклонение.

Правило мажорантности. Между степенными средними существует следующая зависимость – чем больше показатель степени, тем больше значение средней, табл.5.4:

Таблица 5.4

Соотношение между средними величинами

Значение z
Соотношение между средними

Это соотношение называется правилом мажорантности.

Структурные средние величины. Для характеристики структуры совокупности применяются особые показатели, которые можно назвать структурными средними. К таким показателям относятся мода, медиана, квартили и децили.

Мода. Модой (Мо) называется наиболее часто встречающееся значение признака у единиц совокупности. Модой называется то значение признака, которое соответствует максимальной точке теоретической кривой распределения.

Мода широко используется в коммерческой практике при изучении покупательского спроса (при определении размеров одежды и обуви, которые пользуются широким спросом), регистрации цен. Мод в совокупности может быть несколько.

Расчет моды в дискретном ряду. В дискретном ряду мода – это варианта с наибольшей частотой. Рассмотрим нахождение моды в дискретном ряду.

Расчет моды в интервальном ряду. В интервальном вариационном ряду модой приближенно считают центральный вариант модального интервала, т.е. того интервала, который имеет наибольшую частоту (частость). В пределах интервала надо найти то значение признака, которое является модой. Для интервального ряда мода будет определяться формулой

где – нижняя граница модального интервала; – величина модального интервала; – частота, соответствующая модальному интервалу; – частота, предшествующая модальному интервалу; – частота интервала, следующего за модальным.

Медиана. Медианой () называется значение признака у средней единицы ранжированного ряда. Ранжированный ряд – это ряд, у которого значения признака записаны в порядке возрастания или убывания. Или медиана это величина, которая делит численность упорядоченного вариационного ряда на две равные части: одна часть имеет значение варьирующего признака меньшие, чем средний вариант, а другая – большие.

Чтобы найти медиану, сначала определяется ее порядковый номер. Для этого при нечетном числе единиц к сумме всех частот прибавляется единица и все делится на два. При четном числе единиц медиана отыскивается как значение признака у единицы, порядковый номер который определяется по общей сумме частот, деленной на два. Зная порядковый номер медианы, легко по накопленным частотам найти ее значение.

Расчет медианы в дискретном ряду. По данным выборочного обследования получены данные о распределении семей по числу детей, табл. 5.5. Для определения медианы сначала определим ее порядковый номер

В этих семьях количество детей равно 2, следовательно, = 2. Таким образом, в 50% семей число детей не превышает 2.

–частота накопленная, предшествующая медианному интервалу;

С одной стороны, это весьма положительное свойство т.к. в этом случае учитывается действие всех причин, воздействующих на все единицы изучаемой совокупности. С другой стороны, даже одно наблюдение, попавшее в исходные данные случайно, может существенным образом исказить представление об уровне развития изучаемого признака в рассматриваемой совокупности (особенно в коротких рядах).

Квартили и децили. По аналогии с нахождением медианы в вариационных рядах можно отыскать значение признака у любой по порядку единицы ранжированного ряда. Так, в частности, можно найти значение признака у единиц, делящих ряд на 4 равные части, на 10 и т.п.

Квартили. Варианты, которые делят ранжированный ряд на четыре равные части, называют квартилями.

При этом различают: нижний (или первый) квартиль (Q1) – значение признака у единицы ранжированного ряда, делящей совокупность в соотношении ¼ к ¾ и верхний (или третий) квартиль(Q3) – значение признака у единицы ранжированного ряда, делящий совокупность в соотношении ¾ к ¼.

– частоты квартильных интервалов (нижнего и верхнего)

Интервалы, в которых содержатся Q1 и Q3 определяют по накопленным частотам (или частостям).

Децили. Кроме квартилей рассчитывают децили – варианты, делящие ранжированный ряд на 10 равных частей.

Обозначаются они через D, первый дециль D1 делит ряд в соотношении 1/10 и 9/10, второй D2 – 2/10 и 8/10 и т.д. Вычисляются они по той же схеме, что и медиана и квартили.

И медиана, и квартили, и децили принадлежат к так называемым порядковым статистикам, под которым понимают вариант, занимающий определенное порядковое место в ранжированном ряду.

Особое место в статистическом анализе принадлежит определению среднего уровня изучаемого признака или явления. Средний уровень признака измеряют средними величинами.

Средняя величина характеризует общий количественный уровень изучаемого признака и является групповым свойством статистической совокупности. Она нивелирует, ослабляет случайные отклонения индивидуальных наблюдений в ту или иную сторону и выдвигает на первый план основное, типичное свойство изучаемого признака.

Средние величины широко используются:

1. Для оценки состояния здоровья населения: характеристики физического развития (рост, вес, окружность грудной клетки и пр.), выявления распространенности и длительности различных заболеваний, анализа демографических показателей (естественного движения населения, средней продолжительности предстоящей жизни, воспроизводства населения, средней численности населения и др.).

2. Для изучения деятельности лечебно-профилактических учреждений, медицинских кадров и оценки качества их работы, планирования и определения потребности населения в различных видах медицинской помощи (среднее число обращений или посещений на одного жителя в год, средняя длительность пребывания больного в стационаре, средняя продолжительность обследования больного, средняя обеспеченность врачами, койками и пр.).

3. Для характеристики санитарно-эпидемиологического состояния (средняя запыленность воздуха в цехе, средняя площадь на одного человека, средние нормы потребления белков, жиров и углеводов и т. д.).

4. Для определения медико-физиологических показателей в норме и патологии, при обработке лабораторных данных, для установления достоверности результатов выборочного исследования в социально-гигиенических, клинических, экспериментальных исследованиях.

Вычисление средних величин выполняется на основе вариационных рядов. Вариационный ряд – это однородная в качественном отношении статистическая совокупность, отдельные единицы которой характеризуют количественные различия изучаемого признака или явления.

Количественная вариация может быть двух типов: прерывная (дискретная) и непрерывная.

Прерывный (дискретный) признак выражается только целым числом и не может иметь никаких промежуточных значений (например, число посещений, численность населения участка, число детей в семье, степень тяжести болезни в баллах и др.).

Непрерывный признак может принимать любые значения в определенных пределах, в том числе и дробные, и выражается лишь приближенно (например, вес – для взрослых можно ограничиться килограммами, а для новорожденных – граммами; рост, артериальное давление, время, потраченное на прием больного, и т. д.).

Цифровое значение каждого отдельного признака или явления, входящего в вариационный ряд, называется вариантой и обозначается буквой V . В математической литературе встречаются и другие обозначения, например x или y.

Вариационный ряд, где каждая варианта указана один раз, называется простым. Такие ряды используются в большинстве статистических задач в случае компьютерной обработки данных.

При увеличении числа наблюдений, как правило, встречаются повторяющиеся значения вариант. В этом случае создается сгруппированный вариационный ряд , где указывается число повторений (частота, обозначается буквой «р »).

Ранжированный вариационный ряд состоит из вариант, расположенных в порядке возрастания или убывания. Как простой, так и сгруппированный ряды могут быть составлены с ранжированием.

Интервальный вариационный ряд составляют с целью упрощения последующих вычислений, выполняемых без использования компьютера, при очень большом числе единиц наблюдения (более 1000).

Непрерывный вариационный ряд включает значения вариант, которые могут выражаться любыми значениями.

Если в вариационном ряде значения признака (варианты) заданы в виде отдельных конкретных чисел, то такой ряд называют дискретным .

Общими характеристиками значений признака, отражаемого в вариационном ряду, являются средние величины. Среди них наиболее применяемые: средняя арифметическая величина М, мода Мо и медиана Me. Каждая из этих характеристик своеобразна. Они не могут подменить друг друга и лишь в совокупности достаточно полно и в сжатой форме представляют собой особенности вариационного ряда.

Модой (Мо) называют значение наиболее часто встречающейся варианты.

Медиана (Me) – это значение варианты, делящей ранжированный вариационный ряд пополам (с каждой стороны медианы находится половина вариант). В редких случаях, когда имеется симметричный вариационный ряд, мода и медиана равны между собой и совпадают со значением средней арифметической.

Наиболее типичной характеристикой значений вариант является средняя арифметическая величина(М ). В математической литературе она обозначается .

Средняя арифметическая величина (M, ) – это общая количественная характеристика определенного признака изучаемых явлений, составляющих качественно однородную статистическую совокупность. Различают среднюю арифметическую простую и взвешенную. Средняя арифметическая простая вычисляется для простого вариационного ряда путем суммирования всех вариант и делением этой суммы на общее количество вариант, входящих в данный вариационный ряд. Вычисления проводятся по формуле:

где: М - средняя арифметическая простая;

ΣV - сумма вариант;

n - число наблюдений.

В сгруппированном вариационном ряду определяют взвешенную среднюю арифметическую. Формула ее вычисления:

где: М - средняя арифметическая взвешенная;

ΣVp - сумма произведений вариант на их частоты;

n - число наблюдений.

При большом числе наблюдений в случае ручных вычислений может применяться способ моментов.

Средняя арифметическая имеет следующие свойства:

· сумма отклонений вариант от средней (Σd ) равна нулю (см. табл. 15);

· при умножении (делении) всех вариант на один и тот же множитель (делитель) средняя арифметическая умножается (делится) на тот же множитель (делитель);

· если прибавить (вычесть) ко всем вариантам одно и то же число, средняя арифметическая увеличивается (уменьшается) на это же число.

Средние арифметические величины, взятые сами по себе, без учета вариабельности рядов, из которых они вычислены, могут не в полной мере отражать свойства вариационного ряда, в особенности когда необходимо сопоставление с другими средними. Близкие по значению средние могут быть получены из рядов с различной степенью рассеяния. Чем ближе друг к другу отдельные варианты по своей количественной характеристике, тем меньше рассеяние (колеблемость, вариабельность) ряда, тем типичнее его средняя.

Основными параметрами, которые позволяют оценить вариабельность признака, являются:

· Размах;

· Амплитуда;

· Среднее квадратическое отклонение;

· Коэффициент вариации.

Приблизительно о колеблемости признака можно судить по размаху и амплитуде вариационного ряда. Размах указывает на максимальную (V max) и минимальную (V min) варианты в ряду. Амплитуда (A m) является разностью этих вариант: A m = V max - V min .

Основной, общепринятой мерой колеблемости вариационного ряда являются дисперсия (D ). Но наиболее часто применяется более удобный параметр, вычисляемый на основе дисперсии - среднее квадратическое отклонение (σ ). Оно учитывает величину отклонения (d ) каждой варианты вариационного ряда от его средней арифметической (d=V - M ).

Поскольку отклонения вариант от средней могут быть положительными и отрицательными, то при суммировании они дают значение «0» (Sd=0 ). Чтобы избежать этого, величины отклонения (d ) возводятся во вторую степень и усредняются. Таким образом, дисперсия вариационного ряда является средним квадратом отклонений вариант от средней арифметической и вычисляется по формуле:

Она является важнейшей характеристикой вариабельности и применяется для вычисления многих статистических критериев.

Поскольку дисперсия выражается квадратом отклонений, ее величина не может использоваться в сопоставлении со средней арифметической. Для этих целей применяется среднее квадратическое отклонение , которое обозначается знаком «Сигма» (σ ). Оно характеризует среднее отклонение всех вариант вариационного ряда от средней арифметической величины в тех же единицах, что и сама средняя величина, поэтому они могут использоваться совместно.

Среднее квадратическое отклонение определяют по формуле:

Указанная формула применяется при числе наблюдений (n ) больше 30. При меньшем числе n значение среднего квадратического отклонения будет иметь погрешность, связанную с математическим смещением (n - 1). В связи с этим, более точный результат может быть получен с помощью учета такого смещения в формуле расчета стандартного отклонения:

стандартное отклонение (s ) – это оценка среднеквадратического отклонения случайной величины Х относительно её математического ожидания на основе несмещённой оценки её дисперсии.

При значениях n > 30 среднее квадратическое отклонение (σ ) и стандартное отклонение (s ) будут одинаковыми (σ =s ). Поэтому в большинстве практических пособий эти критерии рассматриваются как разнозначные. В программе Excel вычисление стандартного отклонения может быть выполнено функцией =СТАНДОТКЛОН(диапазон). А с целью расчета среднего квадратического отклонения требуется создать соответствующую формулу.

Среднее квадратическое или стандартное отклонение позволяет определить, насколько значения признака могут отличаться от среднего значения. Предположим, существуют два города с одинаковой средней дневной температурой в летний период. Один их этих городов расположен на побережье, а другой на континенте. Известно, что в городах, расположенных на побережье, различия дневных температур меньше, чем у городов, расположенных внутри континента. Поэтому среднее квадратическое отклонение дневных температур у прибрежного города будет меньше, чем у второго города. На практике это означает, что средняя температура воздуха каждого конкретного дня в городе, расположенного на континенте будет сильнее отличаться от среднего значения, чем в городе на побережье. Кроме того стандартное отклонение позволяет оценить возможные отклонения температуры от средней с требуемым уровнем вероятности.

Согласно теории вероятности, в явлениях, подчиняющихся нормальному закону распределения, между значениями средней арифметической, среднего квадратического отклонения и вариантами существует строгая зависимость (правило трех сигм ). Например, 68,3% значений варьирующего признака находятся в пределах М ± 1σ , 95,5% - в пределах М ± 2σ и 99,7% - в пределах М ± 3σ .

Величина среднего квадратического отклонения позволяет судить о характере однородности вариационного ряда и исследуемой группы. Если величина среднего квадратического отклонения небольшая, то это свидетельствует о достаточно высокой однородности изучаемого явления. Среднюю арифметическую в таком случае следует признать вполне характерной для данного вариационного ряда. Однако слишком малая величина сигмы заставляет думать об искусственном подборе наблюдений. При очень большой сигме средняя арифметическая в меньшей степени характеризует вариационный ряд, что говорит о значительной вариабельности изучаемого признака или явления или о неоднородности исследуемой группы. Однако сопоставление величины среднего квадратического отклонения возможно только для признаков одинаковой размерности. Действительно, если сравнивать разнообразие веса новорожденных детей и взрослых, мы всегда получим более высокие значения сигмы у взрослых.

Сравнение вариабельности признаков различной размерности может быть выполнено с помощью коэффициента вариации . Он выражает разнообразие в процентах от средней величины, что позволяет производить сравнение различных признаков. Коэффициент вариации в медицинской литературе обозначается знаком «С », а в математической «v » и вычисляемого по формуле:

Значения коэффициента вариации менее 10% свидетельствует о малом рассеянии, от 10 до 20% – о среднем, более 20% – о сильном рассеянии вариант вокруг средней арифметической.

Средняя арифметическая величина, как правило, вычисляется на основе данных выборочной совокупности. При повторных исследованиях под влиянием случайных явлений средняя арифметическая может изменяться. Это обусловлено тем, что исследуется, как правило, только часть возможных единиц наблюдения, то есть выборочная совокупность. Информация обо всех возможных единицах, представляющих изучаемое явление, может быть получена при изучении всей генеральной совокупности, что не всегда возможно. В то же время с целью обобщения данных эксперимента представляет интерес величина средней в генеральной совокупности. Поэтому для формулировки общего вывода об изучаемом явлении, результаты, полученные на основе выборочной совокупности, должны быть, перенесены на генеральную совокупность статистическими методами.

Чтобы определить степень совпадения выборочного исследования и генеральной совокупности, необходимо оценить величину ошибки, которая неизбежно возникает при выборочном наблюдении. Такая ошибка называется «Ошибкой репрезентативности » или «Средней ошибкой средней арифметической». Она фактически является разностью между средними, полученными при выборочном статистическом наблюдении, и аналогичными величинами, которые были бы получены при сплошном исследовании того же объекта, т.е. при изучении генеральной совокупности. Поскольку выборочная средняя является случайной величиной, такой прогноз выполняется с приемлемым для исследователя уровнем вероятности. В медицинских исследованиях он составляет не менее 95%.

Ошибку репрезентативности нельзя смешивать с ошибками регистрации или ошибками внимания (описки, просчеты, опечатки и др.), которые должны быть сведены до минимума адекватной методикой и инструментами, применяемыми при проведении эксперимента.

Величина ошибки репрезентативности зависит как от объема выборки, так и от вариабельности признака. Чем больше число наблюдений, тем ближе выборка к генеральной совокупности и тем меньше ошибка. Чем более изменчив признак, тем больше величина статистической ошибки.

На практике для определения ошибки репрезентативности в вариационных рядах пользуются следующей формулой:

где: m – ошибка репрезентативности;

σ – среднее квадратическое отклонение;

n – число наблюдений в выборке.

Из формулы видно, что размер средней ошибки прямо пропорционален среднему квадратическому отклонению, т. е. вариабельности изучаемого признака, и обратно пропорционален корню квадратному из числа наблюдений.

При выполнении статистического анализа на основе вычисления относительных величин построение вариационного ряда не является обязательным. При этом определение средней ошибки для относительных показателей может выполняться по упрощенной формуле:

где: Р – величина относительного показателя, выраженного в процентах, промилле и т.д.;

q – величина, обратная Р и выраженная как (1-Р), (100-Р), (1000-Р) и т. д., в зависимости от основания, на которое рассчитан показатель;

n – число наблюдений в выборочной совокупности.

Однако, указанная формула вычисления ошибки репрезентативности для относительных величин может применяться только в том случае, когда значение показателя меньше его основания. В ряде случаев расчета интенсивных показателей такое условие не соблюдается, и показатель может выражаться числом более 100% или 1000%о. В такой ситуации выполняется построение вариационного ряда и вычисление ошибки репрезентативности по формуле для средних величин на основе среднего квадратического отклонения.

Прогнозирование величины средней арифметической в генеральной совокупности выполняется с указанием двух значений – минимального и максимального. Эти крайние значения возможных отклонений, в пределах которых может колебаться искомая средняя величина генеральной совокупности, называются «Доверительные границы ».

Постулатами теории вероятностей доказано, что при нормальном распределении признака с вероятностью 99,7%, крайние значения отклонений средней будут не больше величины утроенной ошибки репрезентативности (М ± 3m ); в 95,5% – не больше величины удвоенной средней ошибки средней величины (М ± 2m ); в 68,3% – не больше величины одной средней ошибки (М ± 1m ) (рис. 9).

Рис. 9. Плотность вероятностей нормального распределения.

Отметим, что приведенное выше утверждение справедливо только для признака, который подчиняется нормальному закону распределения Гаусса.

Большинство экспериментальных исследований, в том числе и в области медицины, связано с измерениями, результаты которых могут принимать практически любые значения в заданном интервале, поэтому, как правило, описываются моделью непрерывных случайных величин. В связи с этим в большинстве статистических методов рассматриваются непрерывные распределения. Одним из таких распределений, имеющим основополагающую роль в математической статистике, является нормальное, или гауссово, распределение .

Это объясняется целым рядом причин.

1. Прежде всего, многие экспериментальные наблюдения можно успешно описать с помощью нормального распределения. Следует сразу же отметить, что не существует распределений эмпирических данных, которые были бы в точности нормальными, поскольку нормально распределенная случайная величина находится в пределах от до , чего никогда не встречается на практике. Однако нормальное распределение очень часто хорошо подходит как приближение.

Проводятся ли измерения веса, роста и других физиологических параметров организма человека - везде на результаты оказывает влияние очень большое число случайных факторов (естественные причины и ошибки измерения). Причем, как правило, действие каждого из этих факторов незначительно. Опыт показывает, что результаты именно в таких случаях будут распределены приближенно нормально.

2. Многие распределения, связанные со случайной выборкой, при увеличении объема последней переходят в нормальное.

3. Нормальное распределение хорошо подходит в качестве приближенного описания других непрерывных распределений (например, асимметричных).

4. Нормальное распределение обладает рядом благоприятных математических свойств, во многом обеспечивших его широкое применение в статистике.

В то же время следует отметить, что в медицинских данных встречается много экспериментальных распределений, описание которых моделью нормального распределения невозможно. Для этого в статистке разработаны методы, которые принято называть «Непараметрическими».

Выбор статистического метода, который подходит для обработки данных конкретного эксперимента, должен производиться в зависимости от принадлежности полученных данных к нормальному закону распределения. Проверка гипотезы на подчинение признака нормальному закону распределения выполняется с помощью гистограммы распределения частот (графика), а также ряда статистических критериев. Среди них:

Критерий асимметрии (b );

Критерий проверки на эксцесс (g );

Критерий Шапиро – Уилкса (W ) .

Анализ характера распределения данных (его еще называют проверкой на нормальность распределения) осуществляется по каждому параметру. Чтобы уверенно судить о соответствии распределения параметра нормальному закону, необходимо достаточно большое число единиц наблюдения (не менее 30 значений).

Для нормального распределения критерии асимметрии и эксцесса принимают значение 0. Если распределение смещено вправо b > 0 (положительная асимметрия), при b < 0 - график распределения смещен влево (отрицательная асимметрия). Критерий асимметрии проверяет форму кривой распределения. В случае нормального закона g =0. При g > 0 кривая распределения острее, если g < 0 пик более сглаженный, чем функция нормального распределения.

Для проверки на нормальность по критерию Шапиро – Уилкса требуется найти значение этого критерия по статистическим таблицам при необходимом уровне значимости и в зависимости от числа единиц наблюдения (степеней свободы). Приложение 1. Гипотеза о нормальности отвергается при малых значениях этого критерия, как правило, при w <0,8.

Пример решения контрольной работы по математической статистике

Задача 1

Исходные данные : студенты некоторой группы, состоящей из 30 человек сдали экзамен по курсу «Информатика». Полученные студентами оценки образуют следующий ряд чисел:

I. Составим вариационный ряд

	m x	w x	m x нак	w x нак




Итого:

II. Графическое представление статистических сведений.

III. Числовые характеристики выборки.

1. Среднее арифметическое

2. Среднее геометрическое

3. Мода

4. Медиана

222222333333333 | 3 34444444445555

5. Выборочная дисперсия

7. Коэффициент вариации

8. Ассиметрия

9. Коэффициент ассиметрии

10. Эксцесс

11. Коэффициент эксцесса

Задача 2

Исходные данные : студенты некоторой группы написали выпускную контрольную работу. Группа состоит из 30 человек. Набранные студентами баллы образуют следующий ряд чисел

Решение

I. Так как признак принимает много различных значений, то для него построим интервальный вариационный ряд. Для этого сначала зададим величину интервала h . Воспользуемся формулой Стэрджера

Составим шкалу интервалов. При этом за верхнюю границу первого интервала примем величину, определяемую по формуле:

Верхние границы последующих интервалов определим по следующей рекуррентной формуле:

, тогда

Построение шкалы интервалов заканчиваем, так как верхняя граница очередного интервала стала больше или равна максимальному значению выборки
.

II. Графическое отображение интервального вариационного ряда

III. Числовые характеристики выборки

Для определения числовых характеристик выборки составим вспомогательную таблицу
































Сумма :

1. Среднее арифметическое

2. Среднее геометрическое

3. Мода

4. Медиана

10 11 12 12 13 13 13 13 14 14 14 14 15 15 15 |15 15 15 16 16 16 16 16 17 17 18 19 19 20 20

5. Выборочная дисперсия

6. Выборочное стандартное отклонение

7. Коэффициент вариации

8. Ассиметрия

9. Коэффициент ассиметрии

10. Эксцесс

11. Коэффициент эксцесса

Задача 3

Условие : цена деления шкалы амперметра равна 0,1 А. Показания округляют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка, превышающая 0,02 А.

Решение.

Ошибку округления отсчета можно рассматривать как случайную величину Х , которая распределена равномерно в интервале между двумя соседними целыми делениями. Плотность равномерного распределения

где
- длина интервала, в котором заключены возможные значения Х ; вне этого интервала
В данной задаче длина интервала, в котором заключены возможные значения Х , равна 0,1, поэтому

Ошибка отсчета превысит 0,02 если она будет заключена в интервале (0,02; 0,08). Тогда

Ответ: р =0,6

Задача 4

Исходные данные: математическое ожидание и стандартное отклонение нормально распределенного признака Х соответственно равны 10 и 2. Найти вероятность того, чтов результате испытания Х примет значение, заключенное в интервале (12, 14).

Решение.

Воспользуемся формулой

И теоретическими частотами

Решение

Для Х ее математическое ожидание M(X) и дисперсию D(X). Решение . Найдем функцию распределения F(x) случайной величины... ошибка выборки). Составим вариационный ряд Ширина интервала составит : Для каждого значения ряда подсчитаем, какое количество...

Решение: уравнение с разделяющимися переменными

Решение

В виде Для нахождения частного решения неоднородного уравнения составим систему Решим полученную систему... ; +47; +61; +10; -8. Построить интервальный вариационный ряд . Дать статистические оценки среднего значения...

Решение: Проведем расчет цепных и базисных абсолютных приростов, темпов роста, темпов прироста. Полученные значения сведем в таблицу 1

Решение

Объем производства продукции. Решение : Средняя арифметическая интервального вариационного ряда вычисляется следующим образом: за... Предельная ошибка выборки с вероятностью 0,954 (t=2) составит : Δ w = t*μ = 2*0,0146 = 0,02927 Определим границы...

Решение. Признак

Решение

О трудовом стаже которых и составили выборку. Средний по выборке стаж... рабочего дня этих сотрудников и составили выборку. Средняя по выборке продолжительность... 1,16, уровень значимости α = 0,05. Решение . Вариационный ряд данной выборки имеет вид: 0,71 ...

Рабочая учебная программа по биологии для 10-11 классов Составитель: Поликарпова С. В

Рабочая учебная программа

Простейших схем скрещивания» 5 Л.р. «Решение элементарных генетических задач» 6 Л.р. «Решение элементарных генетических задач» 7 Л.р. « ... , 110, 115, 112, 110. Составьте вариационный ряд , начертите вариационную кривую, найдите среднюю величину признака...