Достаточно широко и свободно. Такой формальный перенос значений из естественных наук в гуманитарные нередко приводит к подмене понятий. Между тем этот довольно-таки специфический термин имеет особый смысл, который, впрочем, может быть интерпретирован в зависимости от контекста.

Слово «бифуркация» происходит от латинского термина, обозначавшего раздвоенность. Его используют в естественных , когда хотят описать качественную перестройку того или иного объекта и связанные с ней метаморфозы.

Когда система эволюционным образом, ее состояние зависит от одного или нескольких параметров, которые могут изменяться плавно. Но иногда одна из характеристик обретает критическое значение, а система при этом входит в стадию кардинального качественного изменения.

Тот самый момент, при котором режим изменений в системе перестраивается, и называется точкой бифуркации. А под бифуркацией при этом понимают саму перестройку системы.

Что происходит, если система изменяется непрерывно? В этом случае наблюдаются так называемые каскады бифуркаций, которые последовательно друг друга сменяют.

Описание этих системных изменений представляет собой один из сценариев перехода от простого к сложному, от упорядоченного движения к хаотическому.

Точка бифуркации как момент истины

Описывая систему в качестве последовательности бифуркаций, сменяющих одна другую, можно создать модель развития любой более или менее сложной системы, к какой бы области знания она ни относилась.

Точки бифуркации можно наблюдать не только в биологических и физических, но также в экономических и социальных системах.

С точки зрения обыденности переход системы через точку бифуркации можно сравнить с поведением человека или живого организма в ситуации, где возможен лишь один из множества вариантов выбора. Ярким примером здесь может служить витязь на распутье, который остановился в задумчивости перед камнем с надписями.

Перед задумчивым воином открывается два или даже три пути, каждый из которых имеет для путника равноценное значение. То, какую дорогу выберет витязь, зависит от какого-то

Что изучает теория бифуркаций .

Бифуркация

Бифуркация (от лат. Bifurcus — раздвоенный) представляет собой процесс качественного перехода от состояния равновесия к хаосу через последовательное очень малое изменение (например, удвоение Фейгенбаума при бифуркации удвоения) периодических точек.

Обязательно необходимо отметить, что происходит качественное изменение свойств системы, т.н. катастрофический скачок. Момент прыжка (раздвоение при бифуркации удвоения) происходит в точке бифуркации.

Хаос может возникнуть через бифуркацию, что показал Митчел Фейгенбаум (Feigenbaum). При создании собственной Фейгенбаум, в основном, анализировал логистическое уравнение:

Xn+1=CXn — С(Хn) 2 ,

где С — внешний параметр.

Откуда вывод, что при некоторых ограничениях во всех подобных уравнениях происходит переход от равновесного состояния к хаосу.

Пример бифуркации

Ниже рассмотрен классический биологический пример этого уравнения.

Например, изолированно живет популяция особей нормированной численностью Xn . Через год появляется потомство численностью Xn +1 . Рост популяции описывается первым членом правой части уравнения (СХn) , где коэффициент С определяет скорость роста и является определяющим параметром. Ущерб животных (за счет перенаселенности, недостатка пищи и т.п.) определяется вторым, нелинейным членом С(Хn) 2 .

Результатом расчетов являются следующие выводы:

1. При С<1 популяция с ростом n вымирает;
2. В области 1<С<3 численность популяции приближается к постоянному значению Х0=1-1/С , что является областью стационарных, фиксированных решений. При значении C=3 точка бифуркации становится отталкивающей фиксированной точкой. С этого момента функция уже никогда не сходится к одной точке. До этого точка была притягивающая фиксированная;
3. В диапазоне 3 <С
4. При C> 3.57 происходит перекрывание областей различных решений (они как бы закрашиваются) и поведение системы становится хаотическим.

Отсюда вывод — заключительным состоянием физических систем, эволюционируют, является состояние динамического хаоса .

Зависимость численности популяции от параметра С приведена на следующем рисунке.

Рисунок 1 — Переход к хаосу через бифуркации, начальная стадия уравнения Xn+1=CXn — С(Хn) 2

Динамические переменные Xn принимают значения, сильно зависят от начальных условий. При проведенных на компьютере расчетах даже для очень близких начальных значений С итоговые значения могут резко отличаться. Более того, расчеты становятся некорректными, так как начинают зависеть от случайных процессов в самом компьютере (скачки напряжения и т.п.).

Таким образом, состояние системы в момент бифуркации является крайне неустойчивым и бесконечно малое воздействие может привести к выбору дальнейшего пути движения, а это, как мы уже знаем, является главным признаком хаотической системы (существенная зависимость от начальных условий).

Фейгенбаум установил универсальные закономерности перехода к динамическому хаосу при удвоении периода, которые были экспериментально подтверждены для широкого класса механических, гидродинамических, химических и других систем. Результатом исследований Фейгенбаум стало т.н. «».

Рисунок 2 — Дерево Фейгенбаума (расчет на основе измененной лог. формулы)

Обозначим через значение параметра, при которых происходили удвоения периода. В 1971 г. американский ученый М. Фейгенбаум установил любопытную закономерность: последовательность образует возрастающую последовательность, быстро сходится с точкой накопления 3,5699 … Разница значений, соответствующих двум последовательным бифуркация, уменьшается каждый раз примерно с одинаковым коэффициентом:

Знаменатель прогрессии =4,6692 теперь называется постоянной Фейгенбаума .

Понятие бифуркации

Что же такое бифуркации в обыденности. Как мы знаем из определения, бифуркации возникают при переходе системы от состояния видимой стабильности и равновесия к хаосу. Примерами таких переходов являются дым, вода и много других самых обычных природных явлений. Так, что поднимается вверх дым сначала выглядит как упорядоченный столб.

Дым как пример возникновения бифуркации при переходе системы от состояния видимой стабильности и равновесия к хаосу

Однако через некоторое время он начинает претерпевать изменения, сначала кажутся упорядоченными, однако затем становятся хаотически непредсказуемыми. Фактически первый переход от стабильности к некоторой форме видимой упорядоченности, но уже изменчивости, происходит в первой точке бифуркации. Далее количество бифуркаций увеличивается, достигая огромных величин. С каждой бифуркацией функция турбулентности дыма приближается к хаосу.

С помощью теории бифуркаций можно предсказать характер движения, возникающего при переходе системы в качественно иное состояние, а также область существования системы и оценить ее устойчивость.

К сожалению, само существование теории хаоса трудно совместимо с классической наукой. Конечно научные идеи проверяются на основании предсказаний и их сверки с реальными результатами. Однако, как мы уже знаем, хаос непредсказуем, когда изучаешь хаотическую систему, то можно прогнозировать только модель ее поведения. Поэтому с помощью хаоса не только нельзя построить точный прогноз, но и, соответственно, проверить его. Однако это не должно говорить о неверности теории хаоса, подтвержденной как в математических расчетах, так и в жизни.

На настоящий момент еще не существует математически точного аппарата применения теории хаоса для исследования рыночных цен, поэтому спешить с применением знаний о хаосе нельзя. Вместе с тем, это действительно самый перспективный современное направление математики с точки зрения прикладных исследований финансовых рынков.

«Странность» хаотического аттрактора заключается не столько в необычном виде, сколько в тех новых свойствах, которыми он владеет. Странный аттрактор — это прежде всего притягательная область для траекторий из окрестных областей. При этом все траектории внутри странного аттрактора динамически неустойчивы.

Иными словами, если представить предельную множество как «клубок» в фазовом пространстве, то точка, характеризующая состояние системы, принадлежать этому «клубке» и не пойдет в другую область фазового пространства. Однако мы не можем сказать, в каком месте клубка находиться точка в данный момент времени.

Положительный ляпуновский показатель

Одним из таких парадоксальных свойств является чувствительность к начальным данным. Проиллюстрируем это. Выберем две близкие точки х"(0) и х»(0), принадлежащих траектории аттрактору, и посмотрим, как меняется расстояние d(t) = |x"(t) — x»(t) | со временем. Если аттрактором является особая точка, то d(t) = 0. Если аттрактор — предельный цикл, то d (t) будет периодической функцией времени. Величина лямба называется ляпуновским показателем . Положительный ляпуновский показатель характеризует среднюю скорость разгона бесконечно близких траекторий.

Положительные значения ляпуновского показателя и чувствительность системы к начальным данных позволили совершенно иначе взглянуть на проблему прогноза. Ранее предполагалось, что прогноз поведения детерминированных систем, в отличие от стохастических, может быть дан на любое желаемое время.

Однако исследования последних десятилетий показали, что есть класс детерминированных систем (даже сравнительно простых), поведение которых можно предусмотреть лишь на ограниченный период времени. В странного аттрактора через время две сначала близкие траектории перестают быть близкими. Сколько угодно малая неточность в определении начального состояния нарастает со временем, и мы в принципе не можем дать «долгосрочный прогноз». Таким образом, существует горизонт прогноза, что ограничивает наши способности предвидеть.

Фрактальная структура

Другой интересной характеристикой хаотического режима является фрактальная структура . Геометрическая структура странного аттрактора не может быть представлена в виде кривых или плоскостей, или геометрических элементов целой размерности. Размерность странного аттрактора является дробной, или, как принято говорить, фрактальной.

Точка бифуркации - смена установившегося режима работы системы. Термин из неравновесной термодинамики и синергетики .

Точка бифуркации - критическое состояние системы, при котором система становится неустойчивой относительно флуктуаций и возникает неопределённость: станет ли состояние системы хаотическим или она перейдёт на новый, более дифференцированный и высокий уровень упорядоченности. Термин из теории самоорганизации.

Свойства точки бифуркации

1. Непредсказуемость. Обычно точка бифуркации имеет несколько веточек аттрактора (устойчивых режимов работы), по одному из которых пойдёт система. Однако заранее невозможно предсказать, какой новый аттрактор займёт система.
2. Точка бифуркации носит кратковременный характер и разделяет более длительные устойчивые режимы системы.
3. Лавинный эффект хеш-функций предусматривает запланированные точки бифуркации, преднамеренно вносящие непредсказуемые для наблюдателя изменения конечного вида хеш-строки при изменении даже единого символа в исходной строке.

См. также

Напишите отзыв о статье "Точка бифуркации"

Литература

• // Лебедев С. А. Философия науки: Словарь основных терминов. - М.: Академический Проект, 2004. - 320 с. - (Серия «Gaudeamus»).

Отрывок, характеризующий Точка бифуркации

– Cette pauvre armee, – сказал он вдруг, – elle a bien diminue depuis Smolensk. La fortune est une franche courtisane, Rapp; je le disais toujours, et je commence a l"eprouver. Mais la garde, Rapp, la garde est intacte? [Бедная армия! она очень уменьшилась от Смоленска. Фортуна настоящая распутница, Рапп. Я всегда это говорил и начинаю испытывать. Но гвардия, Рапп, гвардия цела?] – вопросительно сказал он.
– Oui, Sire, [Да, государь.] – отвечал Рапп.
Наполеон взял пастильку, положил ее в рот и посмотрел на часы. Спать ему не хотелось, до утра было еще далеко; а чтобы убить время, распоряжений никаких нельзя уже было делать, потому что все были сделаны и приводились теперь в исполнение.
– A t on distribue les biscuits et le riz aux regiments de la garde? [Роздали ли сухари и рис гвардейцам?] – строго спросил Наполеон.
– Oui, Sire. [Да, государь.]
– Mais le riz? [Но рис?]
Рапп отвечал, что он передал приказанья государя о рисе, но Наполеон недовольно покачал головой, как будто он не верил, чтобы приказание его было исполнено. Слуга вошел с пуншем. Наполеон велел подать другой стакан Раппу и молча отпивал глотки из своего.
– У меня нет ни вкуса, ни обоняния, – сказал он, принюхиваясь к стакану. – Этот насморк надоел мне. Они толкуют про медицину. Какая медицина, когда они не могут вылечить насморка? Корвизар дал мне эти пастильки, но они ничего не помогают. Что они могут лечить? Лечить нельзя. Notre corps est une machine a vivre. Il est organise pour cela, c"est sa nature; laissez y la vie a son aise, qu"elle s"y defende elle meme: elle fera plus que si vous la paralysiez en l"encombrant de remedes. Notre corps est comme une montre parfaite qui doit aller un certain temps; l"horloger n"a pas la faculte de l"ouvrir, il ne peut la manier qu"a tatons et les yeux bandes. Notre corps est une machine a vivre, voila tout. [Наше тело есть машина для жизни. Оно для этого устроено. Оставьте в нем жизнь в покое, пускай она сама защищается, она больше сделает одна, чем когда вы ей будете мешать лекарствами. Наше тело подобно часам, которые должны идти известное время; часовщик не может открыть их и только ощупью и с завязанными глазами может управлять ими. Наше тело есть машина для жизни. Вот и все.] – И как будто вступив на путь определений, definitions, которые любил Наполеон, он неожиданно сделал новое определение. – Вы знаете ли, Рапп, что такое военное искусство? – спросил он. – Искусство быть сильнее неприятеля в известный момент. Voila tout. [Вот и все.]

Диссипативные открытые системы. Точка бифуркации.

Открытые системы, в которых наблюдается прирост энтропии, называют диссипативными. В таких системах энергия упорядоченного движения переходит в энергию неупорядоченного хаотического движения, в тепло. Если замкнутая система (гамильтонова система), выведенная из состояния равновесия, всегда стремится вновь придти к максимуму энтропии, то в открытой системе отток энтропии может уравновесить ее рост в самой системе и есть вероятность возникновения стационарного состояния. Если же отток энтропии превысит ее внутренний рост, то возникают и разрастаются до макроскопического уровня крупномасштабные флюктуации, а при определенных условиях в системе начинают происходить самоорганизационные процессы, создание упорядоченных структур.
При изучении систем, их часто описывают системой дифференциальных уравнений. Представление решения этих уравнений как движения некоторой точки в пространстве с размерностью, равной числу переменных называют фазовыми траекториями системы. Поведение фазовой траектории в смысле устойчивости показывает, что существует несколько основных его типов, когда все решения системы в конечном счете сосредотачиваются на некотором подмножестве. Такое подмножество называется аттрактором . Аттрактор имеет область притяжения, множество начальных точек, таких, что при увеличении времени все фазовые траектории, начавшиеся в них стремятся именно к этому аттрактору.
Основными типами аттракторов являются:

· устойчивые предельные точки

· устойчивые циклы (траектория стремится к некоторой замкнутой кривой)

· торы (к поверхности которых приближается траектория)

Движение точки в таких случаях имеет периодический или квазипериодический характер. Существуют также характерные только для диссипативных систем так называемые странные аттракторы, которые, в отличие от обычных не являются подмногообразиями фазового пространства (точка, цикл, тор, гипертор - являются) и движение точки на них является неустойчивым, любые две траектории на нем всегда расходятся, малое изменение начальных данных приводит к различным путям развития. Иными словами, динамика систем со странными аттракторами является хаотической .
Уравнения, обладающие странными аттракторами вовсе не являются экзотическими. В качестве примера такой системы можно назвать систему Лоренца, полученную из уравнений гидродинамики в задаче о термоконвекции подогреваемого снизу слоя жидкости.
Замечательным является строение странных аттракторов. Их уникальным свойством является скейлинговая структура или масштабная самоповторяемость . Это означает, что увеличивая участок аттрактора, содержащий бесконечное количество кривых, можно убедиться в его подобии крупномасштабному представлению части аттрактора. Для объектов, обладающих способностью бесконечно повторять собственную структуру на микроуровне существует специальное название - фракталы.
Для динамических систем, зависящих от некоторого параметра, характерно, как правило, плавное изменение характера поведения при изменении параметра. Однако для параметра может иметься некоторое критическое (бифуркационное) значение, при переходе через которое аттрактор претерпевает качественную перестройку и, соответственно, резко меняется динамика системы, например, теряется устойчивость. Потеря устойчивости происходит, как правило, переходом от точки устойчивости к устойчивому циклу (мягкая потеря устойчивости), выход траектории с устойчивого положения (жесткая потеря устойчивости), рождение циклов с удвоенным периодом. При дальнейшем изменении параметра возможно возникновение торов и далее странных аттракторов, то есть хаотических процессов.
Здесь надо оговорить, что в специальном смысле этого слова хаос означает нерегулярное движение, описываемое детерминистическими уравнениями . Нерегулярное движение подразумевает невозможность его описания суммой гармонических движений.

Точка бифуркации - одно из наиболее значимых понятий теории самоорганизации. Это такой период или момент в истории системы, когда она превращается из одной системной определенности в другую. Ее качественные характеристики после выхода на точку бифуркации обречены на принципиальное изменение, приводящее к изменению сущности самой системы. Механизм трансформации системы, работающий в такие моменты, связан с ветвлением системной траектории, определяемый наличием конкуренции аттракторов.

Точки бифуркации - особые моменты в развитии живых и неживых систем, когда устойчивое развитие, способность гасить случайные отклонения от основного направления сменяются неустойчивостью. Устойчивыми становятся два или несколько (вместо одного) новых состояний. Выбор между ними определяется случаем, в явлениях общественной жизни - волевым решением. После осуществления выбора механизмы саморегулирования поддерживают систему в одном состоянии (на одной траектории), переход на другую траекторию становится затруднительным. Например, эволюция живых организмов и возникновение новых видов полностью укладываются в эту схему. По мере изменения условий, вид, ранее хорошо приспособленный, теряет устойчивость, и в итоге бифуркации дает два новых вида, отличающихся от прежнего, и в еще большей степени - друг от друга. Примеры точек бифуркации: замерзание переохлажденной воды; изменение политического устройства государства посредством революции.

Точка бифуркации - такой период в развитии системы, когда прежний устойчивый, линейный и предсказуемый путь развития системы становится невозможным, это точка критической неустойчивости развития, в которой система перестраивается, выбирает один из возможных путей дальнейшего развития, то есть происходит некий фазовый переход.

Примерами бифуркации в различных системах могут служить следующие: бифуркация рек - разделение русла реки и её долины на две ветви, которые в дальнейшем не сливаются и впадают в различные бассейны; в медицине - разделение трубчатого органа (сосуда или бронха) на 2 ветви одинакового калибра, отходящие в стороны под одинаковыми углами; механическая бифуркация - приобретение нового качества в движениях динамической системы при малом изменении её параметров; в системе образования - разделение старших классов учебного заведения на два отделения; бифуркация времени-пространства (в научной фантастике) - разделение времени на несколько потоков, в каждом из которых происходят свои события. В параллельном времени-пространстве у героев бывают разные жизни.