Уравнение цилиндра. Основные поверхности пространства и их построение

Определение 1. Цилиндрической поверхностью называется поверхность, образованная параллельными между собой прямыми, называемыми ее образующими .

Если какая-нибудь плоскость, пересекающая все образующие цилиндрические поверхности, пересекает ее по линии Р , то эта линия называется направляющей этой цилиндрической поверхности.

Теорема . Если в пространстве введена декартова система координат и уравнение в плоскостихОу является уравнением некоторой линии Р , то это уравнение в пространстве есть уравнение цилиндрической поверхности L с направляющей линией Р , а образующие параллельны оси Oz (рис.3.19, а).

Доказательство . Точка
лежит на цилиндрической поверхностиL тогда и только тогда, когда проекция
точкиМ на плоскость хОу параллельно оси Oz лежит на линии Р , т.е. тогда и только тогда, когда выполняется уравнение
.

Аналогичные заключения имеют место для уравнений вида
(рис. 3.19, б) и
(рис.3.19, в).

Определение 2 . Цилиндрические поверхности, направляющими которых есть линии второго порядка, называются цилиндрическими поверхностями второго порядка .

Существуют три типа цилиндров второго порядка: эллиптический (рис.3.20)

, (5.42)

гиперболический (рис.3.21)

, (5.43)

параболический (рис.3.22)

. (5.44)

Рис. 3.20 Рис. 3.21 Рис. 3.22

Для цилиндров, заданных уравнениями (5.42), (5.43) и (5.44), направляющими линиями являются соответственно эллипс

гипербола

парабола

а образующие параллельны оси Oz .

Замечание . Как мы видели, конические и цилиндрические поверхности второго порядка имеют прямолинейные образующие, причем каждая из этих поверхностей может быть образована движением прямой в пространстве.

Оказывается, что среди всех поверхностей второго порядка, кроме цилиндра и конуса, прямолинейными образующими обладают еще однополостный гиперболоид и гиперболический параболоид, причем, так же, как и в случае цилиндра и конуса, обе эти поверхности могут быть образованы движением прямой в пространстве (см. специальную литературу).

§4. Приведение общего уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду

В общем уравнении поверхности второго порядка

а) квадратичная форма

где
;

б) линейная форма

где
;

в) свободный член .

Чтобы привести уравнение (5.45) к каноническому виду, необходимо, в первую очередь, осуществить такое преобразование координат
, а, следовательно, и связанный с ней ортонормированный базис
, которое преобразует квадратичную форму (5.46) к каноническому виду (см. кн.2, гл.8, §3, п.3.1).

Матрица этой квадратичной формы имеет вид

где , т.е. матрицаА – симметрическая. Обозначим через
собственные числа, а через
ортонормированный базис, составленный из собственных векторов матрицыА. Пусть

–

матрица перехода от базиса
к базису
, а
– связанная с этим базисом новая система координат.

Тогда при преобразовании координат

(5.48)

квадратичная форма (5.46) примет канонический вид

где
.

Теперь, применяя преобразование координат (5.48) к линейной форме (5.47), получим

где
,
– новые коэффициенты формы (5.47).

Таким образом, уравнением (5.45) принимает вид

Это уравнение может быть приведено к канонической форме с помощью параллельного переноса системы координат по формулам

или (5.49)

После осуществления преобразования системы координат путем параллельного переноса (5.49), общее уравнение поверхности второго порядка (5.45) относительно декартовой системы координат
будет выражать одну из следующих семнадцати поверхностей:

1) эллипсоид

2) мнимый эллипсоид

3) однополостный гиперболоид

4) двуполостной гиперболоид

5) конус

6) мнимый конус

7) эллиптический параболоид

8) гиперболический параболоид

9) эллиптический цилиндр

10) мнимый эллиптический цилиндр

11) две мнимые пересекающиеся плоскости

12) гиперболический цилиндр

13) две пересекающиеся плоскости

14) параболический цилиндр

15) две параллельные плоскости

16) две мнимые параллельные плоскости

17) две совпадающие плоскости

Пример. Определить вид и расположение поверхности, заданной относительно декартовой прямоугольной системы координат
и связанным с ней ортонормированным базисом
уравнением

Приведем квадратичную форму

(5.51)

к каноническому виду. Матрица этой формы имеет вид

Определим собственные числа этой матрицы из характеристического уравнения

Отсюда  1 = 2,  2 = 0,  3 = 3.

Теперь находим собственные векторы матрицы А : 1) пусть
, тогда из уравнения
или в координатной форме

находим , где
– любое число, и, следовательно,
, а
. Из всего множества коллинеарных вектороввыбираем вектор
, модуль которого
, т.е. нормируем вектор.

2) для
имеем

Отсюда
, где
– любое число. Тогда
, а
. Нормируя вектор, находим единичный вектор:

где
.

3)
, тогда для компонент
вектораимеем систему

Откуда , где
– любое число, и, следовательно,
, а
. Нормируя вектор, находим единичный вектордля направления, задаваемого вектором:

где
.

Перейдем теперь от ортонормированного базиса
к ортонормированному базису
, составленного из собственных векторов матрицыА и свяжем с последним базисом новую декартову прямоугольную систему координат
. Матрица перехода для такого преобразования имеет вид

а координаты преобразуются по формулам

(5.52)

Применяя данное преобразование координат к квадратичной форме (5.51), приведем ее к каноническому виду

, где
.

Определим теперь, какой вид имеет линейная формула

, где
,

если координаты преобразуются по формулам (5.52). Имеем

Таким образом, если систему координат
преобразовать по формулам (5.52), то относительно новой системы координат
рассматриваемая поверхность второго порядка задается уравнением

Уравнение (5.53) приводим к канонической форме с помощью параллельного переноса системы координат по формулам

после чего, уравнение поверхности относительно системы координат
принимает вид

или

Это уравнение выражает эллиптический цилиндр, направляющий эллипс которого расположен в координатной плоскости
, а образующие прямые параллельны оси

Замечание . Схема приведения общего уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду, изложенная в этом параграфе, может быть примененена и к приведению общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду.

Эллиптическое уравнение:

Частным случаем эллиптического цилиндра является круговой цилиндр , его уравнение x 2 + y 2 = R 2 . Уравнение x 2 =2pz определяет в пространстве параболический цилиндр .

Уравнение: определяет в пространстве гиперболический цилиндр .

Все эти поверхности называются цилиндрами второго порядка , так как их уравнения есть уравнения второй степени относительно текущих координат x, y, z.

18.Действительные числа, комплексные числа Действия над комплексными числами. Комплексные числа. Формулы Муавра.
Комплексным числом назыв. выражение вида z=x+iy, где xи y - действительные числа, а i– так назыв. мнимая единица, . Если x=0, то число 0+iy=iyназыв. числом мнимым; если y=0, то число x+i0=xотождествляется с действительным числом х, а это означает, что множество Rвсех действит. чисел явл. подмножеством множества С всех комплексных чисел, т.е. .Число х назыв. действительной частью z, .Два комплексных числа и называются равными (z1=z2) тогда и только тогда, когда равны их действительные части и равны их мнимые части: x1=x2, y1=y2. В частности, комплексное число Z=x+iyравно нулю тогда и только тогда, когда x=y=0. Понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не вводятся. Два комплексных числа z=x+iyи , отличающиеся лишь знаком мнимой части, называются сопряженными.

Геометрическое изображение комплексных чисел.

Всякое комплексное число z=x+iy можно изобразить точкой M(x,y) плоскости Oxyтакой, что x=Rez, y=Imz. И, наоборот, каждую точку M(x;y) координатной плоскости можно рассматривать как образ комплексного числа z=x+iy. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью, т.к. на ней лежат действительные числа z=x+0i=x. Ось ординат называется мнимой осью, так как на ней лежат чисто мнимые комплексные числа z=0+iy. Комплексное число Z=x+iyможно задать с помощью радиус-вектора r=OM=(x,y). Длина вектора r, изображающего комплексное число z, называется модулем этого числа и обозначается |z| или r. Величина угла между положит. Направлением действительной оси и вектором r, изображающим комплексное число, называется аргументом этого комплексного числа, обозначается Argzили .Аргумент комплексного числа Z=0 не определен. Аргумент комплексного числа - величина многозначная и определяется с точностью до слагаемого гдеargz - главное значение аргумента, заключенное в промежутке (), т.е. - (иногда в кач-ве главного значения аргумента берут величину, принадлежащую промежутку (0; )).

Запись числа zв виде z=x+iyназывают алгебраической формой комплексного числа.

С тем отличием, что вместо «плоских» графиков мы рассмотрим наиболее распространенные пространственные поверхности, а также научимся грамотно их строить от руки. Я довольно долго подбирал программные средства для построения трёхмерных чертежей и нашёл пару неплохих приложений, но, несмотря на всё удобство использования, эти программы плохо решают важный практический вопрос. Дело в том, что в обозримом историческом будущем студенты по-прежнему будут вооружены линейкой с карандашом, и, даже располагая качественным «машинным» чертежом, многие не смогут корректно перенести его на клетчатую бумагу. Поэтому в методичке особое внимание уделено технике ручного построения, и значительная часть иллюстраций страницы представляет собой handmade-продукт.

Чем отличается этот справочный материал от аналогов?

Обладая приличным практическим опытом, я очень хорошо знаю, с какими поверхностями чаще всего приходится иметь дело в реальных задачах высшей математики, и надеюсь, что эта статья поможет вам в кратчайшие сроки пополнить свой багаж соответствующими знаниями и прикладными навыками, которых в 90-95% случаев должно хватить.

Что нужно уметь на данный момент?

Самое элементарное:

Во-первых, необходимо уметь правильно строить пространственную декартову систему координат (см. начало статьи Графики и свойства функций ) .

Что вы приобретёте после прочтения этой статьи?

Бутылку После освоения материалов урока вы научитесь быстро определять тип поверхности по её функции и/или уравнению, представлять, как она расположена в пространстве, и, конечно же, выполнять чертежи. Ничего страшного, если не всё уложится в голове с 1-го прочтения – к любому параграфу по мере надобности всегда можно вернуться позже.

Информация по силам каждому – для её освоения не нужно каких-то сверхзнаний, особого художественного таланта и пространственного зрения.

Начинаем!

На практике пространственная поверхность обычно задаётся функцией двух переменных или уравнением вида (константа правой части чаще всего равна нулю либо единице) . Первое обозначение больше характерно для математического анализа, второе – для аналитической геометрии . Уравнение , по существу, является неявно заданной функцией 2 переменных, которую в типовых случаях легко привести к виду . Напоминаю простейший пример c :

– уравнение плоскости вида .

– функция плоскости в явном виде .

Давайте с неё и начнём:

Распространенные уравнения плоскостей

Типовые варианты расположения плоскостей в прямоугольной системе координат детально рассмотрены в самом начале статьи Уравнение плоскости . Тем не менее, ещё раз остановимся на уравнениях, которые имеют огромное значение для практики.

Прежде всего, вы должны на полном автомате узнавать уравнения плоскостей, которые параллельны координатным плоскостям . Фрагменты плоскостей стандартно изображают прямоугольниками, которые в последних двух случаях выглядят, как параллелограммы. По умолчанию размеры можно выбрать любые (в разумных пределах, конечно), при этом желательно, чтобы точка, в которой координатная ось «протыкает» плоскость являлась центром симметрии:

Строго говоря, координатные оси местами следовало изобразить пунктиром, но во избежание путаницы будем пренебрегать данным нюансом.

– (левый чертёж) неравенство задаёт дальнее от нас полупространство, исключая саму плоскость ;

– (средний чертёж) неравенство задаёт правое полупространство, включая плоскость ;

– (правый чертёж) двойное неравенство задаёт «слой», расположенный между плоскостями , включая обе плоскости.

Для самостоятельной разминки:

Пример 1

Изобразить тело, ограниченное плоскостями
Составить систему неравенств, определяющих данное тело.

Из-под грифеля вашего карандаша должен выйти старый знакомый прямоугольный параллелепипед . Не забывайте, что невидимые рёбра и грани нужно прочертить пунктиром. Готовый чертёж в конце урока.

Пожалуйста, НЕ ПРЕНЕБРЕГАЙТЕ учебными задачами, даже если они кажутся слишком простыми. А то может статься, раз пропустили, два пропустили, а затем потратили битый час, вымучивая трёхмерный чертёж в каком-нибудь реальном примере. Кроме того, механическая работа поможет гораздо эффективнее усвоить материал и развить интеллект! Не случайно в детском саду и начальной школе детей загружают рисованием, лепкой, конструкторами и другими заданиями на мелкую моторику пальцев. Простите за отступление, не пропадать же двум моим тетрадям по возрастной психологии =)

Следующую группу плоскостей условно назовём «прямыми пропорциональностями» – это плоскости, проходящие через координатные оси:

2) уравнение вида задаёт плоскость, проходящую через ось ;

3) уравнение вида задаёт плоскость, проходящую через ось .

Хотя формальный признак очевиден (какая переменная отсутствует в уравнении – через ту ось и проходит плоскость) , всегда полезно понимать суть происходящих событий:

Пример 2

Построить плоскость

Как лучше осуществить построение? Предлагаю следующий алгоритм:

Сначала перепишем уравнение в виде , из которого хорошо видно, что «игрек» может принимать любые значения. Зафиксируем значение , то есть, будем рассматривать координатную плоскость . Уравнения задают пространственную прямую , лежащую в данной координатной плоскости. Изобразим эту линию на чертеже. Прямая проходит через начало координат, поэтому для её построения достаточно найти одну точку. Пусть . Откладываем точку и проводим прямую.

Теперь возвращаемся к уравнению плоскости . Поскольку «игрек» принимает любые значения, то построенная в плоскости прямая непрерывно «тиражируется» влево и вправо. Именно так и образуется наша плоскость , проходящая через ось . Чтобы завершить чертёж, слева и справа от прямой откладываем две параллельные линии и поперечными горизонтальными отрезками «замыкаем» символический параллелограмм:

Так как условие не накладывало дополнительных ограничений, то фрагмент плоскости можно было изобразить чуть меньших или чуть бОльших размеров.

Ещё раз повторим смысл пространственного линейного неравенства на примере . Как определить полупространство, которое оно задаёт? Берём какую-нибудь точку, не принадлежащую плоскости , например, точку из ближнего к нам полупространства и подставляем её координаты в неравенство:

Получено верное неравенство , значит, неравенство задаёт нижнее (относительно плоскости ) полупространство, при этом сама плоскость не входит в решение.

Пример 3

Построить плоскости
а) ;
б) .

Это задания для самостоятельного построения, в случае затруднений используйте аналогичные рассуждения. Краткие указания и чертежи в конце урока.

На практике особенно распространены плоскости, параллельные оси . Частный случай, когда плоскость проходит через ось, только что был в пункте «бэ», и сейчас мы разберём более общую задачу:

Пример 4

Построить плоскость

Решение : в уравнение в явном виде не участвует переменная «зет», а значит, плоскость параллельна оси аппликат. Применим ту же технику, что и в предыдущих примерах.

Перепишем уравнение плоскости в виде из которого понятно, что «зет» может принимать любые значения. Зафиксируем и в «родной» плоскости начертим обычную «плоскую» прямую . Для её построения удобно взять опорные точки .

Поскольку «зет» принимает все значения, то построенная прямая непрерывно «размножается» вверх и вниз, образуя тем самым искомую плоскость . Аккуратно оформляем параллелограмм разумной величины:

Готово.

Уравнение плоскости в отрезках

Важнейшая прикладная разновидность. Если все коэффициенты общего уравнения плоскости отличны от нуля , то оно представимо в виде , который называется уравнением плоскости в отрезках . Очевидно, что плоскость пересекает координатные оси в точках , и большое преимущество такого уравнения состоит в лёгкости построения чертежа:

Пример 5

Построить плоскость

Решение : сначала составим уравнение плоскости в отрезках. Перебросим свободный член направо и разделим обе части на 12:

Нет, здесь не опечатка и все дела происходят именно в пространстве! Исследуем предложенную поверхность тем же методом, что недавно использовали для плоскостей. Перепишем уравнение в виде , из которого следует, что «зет» принимает любые значения. Зафиксируем и построим в плоскости эллипс . Так как «зет» принимает все значения, то построенный эллипс непрерывно «тиражируется» вверх и вниз. Легко понять, что поверхность бесконечна :

Данная поверхность называется эллиптическим цилиндром . Эллипс (на любой высоте) называется направляющей цилиндра, а параллельные прямые, проходящие через каждую точку эллипса называются образующими цилиндра (которые в прямом смысле слова его и образуют). Ось является осью симметрии поверхности (но не её частью!).

Координаты любой точки, принадлежащей данной поверхности, обязательно удовлетворяют уравнению .

Пространственное неравенство задаёт «внутренность» бесконечной «трубы», включая саму цилиндрическую поверхность, и, соответственно, противоположное неравенство определяет множество точек вне цилиндра.

В практических задачах наиболее популярен частный случай, когда направляющей цилиндра является окружность :

Пример 8

Построить поверхность, заданную уравнением

Бесконечную «трубу» изобразить невозможно, поэтому художества ограничиваются, как правило, «обрезком».

Сначала удобно построить окружность радиуса в плоскости , а затем ещё пару окружностей сверху и снизу. Полученные окружности (направляющие цилиндра) аккуратно соединяем четырьмя параллельными прямыми (образующими цилиндра):

Не забываем использовать пунктир для невидимых нам линий.

Координаты любой точки, принадлежащей данному цилиндру, удовлетворяют уравнению . Координаты любой точки, лежащей строго внутри «трубы», удовлетворяют неравенству , а неравенство задаёт множество точек внешней части. Для лучшего понимания рекомендую рассмотреть несколько конкретных точек пространства и убедиться в этом самостоятельно.

Пример 9

Построить поверхность и найти её проекцию на плоскость

Перепишем уравнение в виде из которого следует, что «икс» принимает любые значения. Зафиксируем и в плоскости изобразим окружность – с центром в начале координат, единичного радиуса. Так как «икс» непрерывно принимает все значения, то построенная окружность порождает круговой цилиндр с осью симметрии . Рисуем ещё одну окружность (направляющую цилиндра) и аккуратно соединяем их прямыми (образующими цилиндра). Местами получились накладки, но что делать, такой уж наклон:

На этот раз я ограничился кусочком цилиндра на промежутке и это не случайно. На практике зачастую и требуется изобразить лишь небольшой фрагмент поверхности.

Тут, к слову, получилось 6 образующих – две дополнительные прямые «закрывают» поверхность с левого верхнего и правого нижнего углов.

Теперь разбираемся с проекцией цилиндра на плоскость . Многие читатели понимают, что такое проекция, но, тем не менее, проведём очередную физкульт-пятиминутку. Пожалуйста, встаньте и склоните голову над чертежом так, чтобы остриё оси смотрело перпендикулярно вам в лоб. То, чем с этого ракурса кажется цилиндр – и есть его проекция на плоскость . А кажется он бесконечной полосой, заключенным между прямыми , включая сами прямые. Данная проекция – это в точности область определения функций (верхний «жёлоб» цилиндра), (нижний «жёлоб»).

Давайте, кстати, проясним ситуацию и с проекциями на другие координатные плоскости. Пусть лучи солнца светят на цилиндр со стороны острия и вдоль оси . Тенью (проекцией) цилиндра на плоскость является аналогичная бесконечная полоса – часть плоскости , ограниченная прямыми ( – любое), включая сами прямые.

А вот проекция на плоскость несколько иная. Если смотреть на цилиндр из острия оси , то он спроецируется в окружность единичного радиуса , с которой мы начинали построение.

Пример 10

Построить поверхность и найти её проекции на координатные плоскости

Это задача для самостоятельного решения. Если условие не очень понятно, возведите обе части в квадрат и проанализируйте результат; выясните, какую именно часть цилиндра задаёт функция . Используйте методику построения, неоднократно применявшуюся выше. Краткое решение, чертёж и комментарии в конце урока.

Эллиптические и другие цилиндрические поверхности могут быть смещены относительно координатных осей, например:

(по знакомым мотивам статьи о линиях 2-го порядка ) – цилиндр единичного радиуса с линией симметрии, проходящей через точку параллельно оси . Однако на практике подобные цилиндры попадаются довольно редко, и совсем уж невероятно встретить «косую» относительно координатных осей цилиндрическую поверхность.

Параболические цилиндры

Как следует из названия, направляющей такого цилиндра является парабола .

Пример 11

Построить поверхность и найти её проекции на координатные плоскости.

Не мог удержаться от этого примера =)

Решение : идём проторенной тропой. Перепишем уравнение в виде , из которого следует, что «зет» может принимать любые значения. Зафиксируем и построим обычную параболу на плоскости , предварительно отметив тривиальные опорные точки . Поскольку «зет» принимает все значения, то построенная парабола непрерывно «тиражируется» вверх и вниз до бесконечности. Откладываем такую же параболу, скажем, на высоте (в плоскости) и аккуратно соединяем их параллельными прямыми (образующими цилиндра ):

Напоминаю полезный технический приём : если изначально нет уверенности в качестве чертежа, то линии сначала лучше прочертить тонко-тонко карандашом. Затем оцениваем качество эскиза, выясняем участки, где поверхность скрыта от наших глаз, и только потом придаём нажим грифелю.

Проекции.

1) Проекцией цилиндра на плоскость является парабола . Следует отметить, что в данном случае нельзя рассуждать об области определения функции двух переменных – по той причине, что уравнение цилиндра не приводимо к функциональному виду .

2) Проекция цилиндра на плоскость представляет собой полуплоскость , включая ось

3) И, наконец, проекцией цилиндра на плоскость является вся плоскость .

Пример 12

Построить параболические цилиндры:

а) , ограничиться фрагментом поверхности в ближнем полупространстве;

б) на промежутке

В случае затруднений не спешим и рассуждаем по аналогии с предыдущими примерами, благо, технология досконально отработана. Не критично, если поверхности будут получаться немного корявыми – важно правильно отобразить принципиальную картину. Я и сам особо не заморачиваюсь над красотой линий, если получился сносный чертёж «на троечку», обычно не переделываю. В образце решения, кстати, использован ещё один приём, позволяющий улучшить качество чертежа;-)

Гиперболические цилиндры

Направляющими таких цилиндров являются гиперболы . Этот тип поверхностей, по моим наблюдениям, встречается значительно реже, чем предыдущие виды, поэтому я ограничусь единственным схематическим чертежом гиперболического цилиндра :

Принцип рассуждения здесь точно такой же – обычная школьная гипербола из плоскости непрерывно «размножается» вверх и вниз до бесконечности.

Рассмотренные цилиндры относятся к так называемым поверхностям 2-го порядка , и сейчас мы продолжим знакомиться с другими представителями этой группы:

Эллипсоид. Сфера и шар

Каноническое уравнение эллипсоида в прямоугольной системе координат имеет вид , где – положительные числа (полуоси эллипсоида), которые в общем случае различны . Эллипсоидом называют как поверхность , так и тело , ограниченное данной поверхностью. Тело, как многие догадались, задаётся неравенством и координаты любой внутренней точки (а также любой точки поверхности) обязательно удовлетворяют этому неравенству. Конструкция симметрична относительно координатных осей и координатных плоскостей:

Происхождение термина «эллипсоид» тоже очевидно: если поверхность «разрезать» координатными плоскостями, то в сечениях получатся три различных (в общем случае)