Управление клапейрона менделеева. Уравнение Менделеева-Клапейрона - О'Пять пО физике

Каждый школьник, учащийся в десятом классе, на одном из уроков физики изучает закон Клапейрона-Менделеева, его формулу, формулировку, учится применению при решении задач. В технических университетах эта тема тоже входит в курс лекций и практических работ, причем в нескольких дисциплинах, а не только на физике. Закон Клапейрона-Менделеева активно используется в термодинамике при составлении уравнений состояния идеально газа.

Термодинамика, термодинамические состояния и процессы

Термодинамика представляет собой раздел физики, который посвящен изучению общих свойств тел и тепловых явлений в этих телах без учета их молекулярного строения. Давление, объем и температура являются основными величинами, учитывающимися при описании тепловых процессов в телах. Термодинамическим процессом называется изменение состояния системы, т. е. изменение ее основных величин (давление, объем, температура). В зависимости от того, происходят ли изменения основных величин, системы бывают равновесными и неравновесными. Процессы тепловые (термодинамические) можно так классифицировать. То есть если система переходит из одного равновесного состояния в другое, то такие процессы называются, соответственно, равновесными. Неравновесные процессы, в свою очередь, характеризуются переходами неравновесных состояний, то есть основные величины претерпевают изменения. Однако можно их (процессы) разделить на обратимые (возможен обратный переход через те же состояния) и необратимые. Все состояния системы можно описать определенными уравнениями. Для упрощения расчетов в термодинамике вводится такое понятие, как идеальный газ - некая абстракция, которая характеризуется отсутствием взаимодействия на расстоянии между молекулами, размерами которых можно пренебречь ввиду их малого размера. Основные газовые законы и уравнение Менделеева-Клапейрона тесно взаимосвязаны - все законы вытекают из уравнения. Они описывают изопроцессы в системах, то есть такие процессы, в результате которых один из основных параметров остается неизменным (изохорный процесс - не изменяется объем, изотермический - постоянна температура, изобарный - происходит изменение температуры и объема при постоянстве давления). Закон Клапейрона-Менделеева стоит разобрать подробнее.

Уравнение состояния идеального газа

Закон Клапейрона-Менделеева выражает зависимость между давлением, объемом, температурой, количеством вещества именно идеального газа. Можно так же выразить зависимость только между основными параметрами, то есть абсолютной температурой, молярным объемом и давлением. Суть не изменяется, так как молярный объем равен отношению объема к количеству вещества.

Закон Менделеева-Клапейрона: формула

Уравнение состояния идеального газа записывается в виде произведения давления на молярный объем, приравненного к произведению универсальной газовой постоянной и абсолютной температуры. Универсальная газовая постоянная - коэффициент пропорциональности, константа (неизменная величина), выражающая работу расширения моля в процессе увеличения значения температуры на 1 Кельвин в условиях изобарного процесса. Ее величина составляет (приблизительно) 8,314 Дж/(моль*К). Если выразить молярный объем, то получится уравнение вида: р*V=(m/М)*R*Т. Или можно привести к виду: р=nkT, где n - концентрация атомов, к - постоянная Больцмана (R/N А).

Решение задач

Закон Менделеева-Клапейрона, решение задач с его помощью значительно облегчают расчетную часть при проектировании оборудования. Закон при решении задач применяется в двух случаях: задано одно состояние газа и его масса и при неизвестности величины массы газа известен факт ее изменения. Необходимо учитывать, что в случае многокомпонентных систем (смеси газов) записывается уравнение состояния для каждого компонента, т. е. для каждого газа в отдельности. Для установления связи между давлением смеси и давлениями компонентов используется закон Дальтона. Также стоит помнить, что для каждого состояния газа описывается отдельным уравнением, далее решается уже полученная система уравнений. И, наконец, необходимо всегда помнить, что в случае уравнения состояния идеального газа температура является абсолютной величиной, ее значение обязательно берется в Кельвинах. Если в условиях задачи температура измеряется в градусах Цельсия или в каких-либо других, то необходимо произвести перевод в градусы Кельвина.

Термодинамика, термодинамические состояния и процессы

Уравнение состояния идеального газа

Закон Менделеева-Клапейрона: формула

Решение задач

В этом разделе мы знакомимся с уравнением состояния идеального газа.

Эксперименты показали, что при условиях не слишком отличающихся от нормальных (температура порядка сотен кельвинов, давление порядка одной атмосферы) свойства реальных газов близки к свойствам идеального газа.

Пример. На примере водяного пара покажем, что при обычных условиях свойства реальных газов близки к свойствам идеального. По таблице Менделеева можно определить массу моля Н 2 0 :

Плотность воды в жидком состоянии

Отсюда можно найти объем одного моля воды:

Один моль любого вещества содержит одно и то же число молекул (число Авогадро):

Получаем отсюда объем V 1 , приходящийся на одну молекулу воды:

В конденсированном состоянии молекулы располагаются вплотную друг к другу, то есть в сущности V 1 есть объем молекулы воды, откуда следует оценка ее линейного размера (диаметра):

С другой стороны, известно, что объем V m одного моля любого газа при нормальных условиях равен

Поэтому на одну молекулу водяного пара приходится объем

Это значит, что газ можно нарезать мысленно на кубики с длиной ребра

и в каждом таком кубике окажется одна молекула. Иными словами, L - среднее расстояние между молекулами водяного пара. Мы видим, что L на порядок превосходит размер D молекулы. Аналогичные оценки получаются и для других газов, так что с хорошей точностью можно считать, что молекулы не взаимодействуют друг с другом, и при нормальных условиях газ идеален.

Как уже говорилось, уравнение состояния, имеющее вид, позволяет выразить один термодинамический параметр через два других. Конкретный вид этого уравнения зависит от того, какое вещество и в каком агрегатном состоянии рассматривается. Уравнение состояния идеального газа объединяет ряд экспериментально установленных частных газовых законов. Каждый из них описывает поведение газа при условии, что изменяются лишь два параметра.

1. Закон Бойля - Мариотта . Описывает процесс в идеальном газе при постоянной температуре.

Изотермический процесс - это термодинамический процесс, протекающий при постоянной температуре.

Закон Бойля - Мариотта гласит:

Для данной массы газа при постоянной температуре Т = const произведение давления газа на занимаемый им объем является постоянной величиной

Графически изотермический процесс в различных координатах изображен на рис. 1.7.

Рис.1.7. Изотермический процесс в идеальном газе: 1 - в координатах p – V ; 2 - в координатах p - T ; 3 - в координатах T – V

Показанные на рис. 1.7-1 кривые представляют собой гиперболы

располагающиеся тем выше, чем выше температура газа.

Экспериментальное исследование закона Бойля - Мариотта можно выполнить с помощью установки, показанной на рис. 1.8. В цилиндре, находящемся при постоянной температуре (что видно из показаний термометра), при перемещении поршня изменяется объем газа. Давление газа измеряется с помощью манометра. Результаты измерений давления и объема газа представляются на диаграмме p = p (V ) .

Рис. 1.8. Экспериментальное изучение изотермического процесса в газе

2. Закон Гей-Люссака. Описывает тепловое расширение идеального газа при постоянном давлении.

Закон Гей-Люссака гласит:

Объем данной массы определенного газа при постоянном давлении пропорционален его абсолютной температуре

Графически изобарный процесс в различных координатах показан на рис. 1.9.

Рис. 1.9. Изобарный процесс в газе: 1 - в координатах p – V; 2 - в координатах V – T; 3 - в координатах P – T

Экспериментальное изучение закона Гей-Люссака можно выполнить с помощью установки, показанной на рис. 1.10. В цилиндре газ нагревается с помощью горелки. Давление газа в процессе нагревания остается неизменным, что видно из показаний манометра. Температура газа измеряется с помощью термометра. Результаты измерений давления и температуры газа представляются на диаграмме V = V(Т) .

Рис. 1.10. Экспериментальное изучение изобарного процесса в газе

3. Закон Шарля. Описывает изменение давления идеального газа с ростом температуры при постоянном объеме.

Изохорный процесс - это процесс, протекающий при постоянном объеме.

Закон Шарля гласит:

Давление данной массы определенного газа при постоянном объеме пропорционально термодинамической температуре

Графически изохорный процесс в различных координатах показан на рис. 1.11.

Рис.1.11. Изохорный процесс в газе: 1 - в координатах p – V; 2 - в координатах p – T; 3 - в координатах V – T

Экспериментальное исследование закона Шарля можно выполнить с помощью установки, показанной на рис. 1.12. В цилиндре газ занимает постоянный объем (поршень неподвижен). При нагревании давление газа увеличивается, а при охлаждении уменьшается. Величина давления измеряется с помощью манометра, а температура газа - с помощью термометра. Результаты измерений давления и температуры газа представляются на диаграмме p=p(Т) .

Рис. 1.12. Экспериментальное изучение изохорного процесса в газе

Если объединить рассмотренные частные газовые законы, то получим уравнение состояния идеального газа (для одного моля)

(1.5)

в которое входит универсальная газовая постоянная R = 8,31 Дж/(моль· К). При одних и тех же значениях объема и температуры системы давление газа пропорционально числу молей вещества

Поэтому для произвольной массы газа m уравнение состояния идеального газа (1.6) примет вид

(1.6)

Это уравнение называют уравнением Клапейрона - Менделеева.

Дополнительная информация:

http://www.plib.ru/library/book/14222.html - Яворский Б.М., Детлаф А.А. Справочник по физике, Наука, 1977 г. – стр. 162–166, - сводная таблица свойств всевозможных изопроцессов с идеальным газом;

http://kvant.mirror1.mccme.ru/1990/08/gazovye_zakony_i_mehanicheskoe.htm - журнал Квант, 1990 г. № 8, стр. 73–76, Д. Александров, Газовые законы и механическое равновесие;

http://www.alleng.ru/d/phys/phys62.htm - Тульчинский М.Е. Качественные задачи по физике, Изд. Просвещение, 1972 г.; задачи № 489, 522, 551 на законы идеального газа;

http://marklv.narod.ru/mkt/str4.htm - школьный урок с картинками по модели идеального газа;

http://marklv.narod.ru/mkt/str7.htm - школьный урок с картинками по изопроцессам с идеальным газом.

Как уже указывалось, состояние некоторой массы газа определяется тремя термодинамическими параметрами: давлением р , объемом V и температурой Т . Между этими параметрами существует определенная связь, называемая уравнением состояния, которое в общем виде дается выражением

f (p , V , T ) = 0 ,

где каждая из переменных является функцией двух других.

Французский физик и инженер Б. Клапейрон (1799-1864) вывел уравнение состояния идеального газа, объединив законы Бойля - Мариотта и Гей-Люссака. Пусть некоторая масса газа занимает объем V 1 , имеет давление p 1 и находится при температуре Т 1 . Эта же масса газа в другом произвольном состоянии характеризуется параметрами p 2 , V 2 , Т 2 (рис.63). Переход из состояния 1 в состояние 2 осуществляется в виде двух процессов:

1) изотермического (изотерма 1 - 1 /),

2) изохорного (изохора 1 / - 2).

В соответствии с законами Бойля - Мариотта (41.1) и Гей-Люссака (41.5) запишем:

(42.1)

(42.2)

Исключив из уравнений (42.1) и (42.2) , получим

Так как состояния 1 и 2 были выбраны произвольно, то для данной массы газа

. (42.3)

Выражение (42.3) является уравнением Клапейрона , в котором В - газовая постоянная, различная для разных газов.

Русский ученый Д. И. Менделеев (1834-1907) объединил уравнение Клапейрона с законом Авогадро, отнеся уравнение (42.3) к одному молю, использовав молярный объем V m . Согласно закону Авогадро, при одинаковых р и Т моли всех газов занимают одинаковый молярный объем V m , поэтому постоянная В будет одинаковой для всех газов. Эта общая для всех газов постоянная обозначается R и называется молярной газовой постоянной . Уравнению

(42.4)

удовлетворяет лишь идеальный газ, и оно является уравнением состояния идеального газа , называемым также уравнением Клапейрона - Менделеева .

Числовое значение молярной газовой постоянной определим из формулы (42.4), полагая, что моль газа находится при нормальных условиях ( = 1,013×10 5 Па, = 273,15 K, = 22,41×10 -3 м 3 /моль): R = 8,31 Дж/(моль×К).

От уравнения (42.4) для моля газа можно перейти к уравнению Клапейрона - Менделеева для произвольной массы газа. Если при некоторых заданных давлении и температуре один моль газа занимает молярный объем V m , то при тех же условиях масса m газа займет объем V = (m/M) V m , где М - молярная масса (масса одного моля вещества). Единица молярной массы - килограмм на моль (кг/моль). Уравнение Клапейрона - Менделеева для массы m газа

(42.5)

где = m/M - количество вещества.

Часто пользуются несколько иной формой уравнения состояния идеального газа, вводя постоянную Больцмана : = 1,38×10 -23 Дж/К.

Исходя из этого, уравнение состояния (42.4) запишем в виде

где - концентрация молекул (число молекул в единице объема). Таким образом, из уравнения

следует, что давление идеального газа при данной температуре прямо пропорционально концентрации его молекул (или плотности газа). При одинаковых температуре и давлении все газы содержат в единице объема одинаковое число молекул. Число молекул, содержащихся в 1 м 3 газа при нормальных условиях, называется числом Лошмидта (И. Лошмидт (1821-1895) - австрийский химик и физик): 2,68×10 25 м -3 .

§2 Уравнение Менделеева-Клапейрона

Всякая система может находиться в различных состояниях, отличающихся температурой, давлением, объёмом и т.д.

Величины p , V , T и др. характеризующие состояние системы, называются параметрами состояния.

Если какой-либо из параметров меняется внутри системы от точки к точке, то такое состояние называется неравновесным . Если параметры системы во всех точках одинаковы при неизменных внешних условиях, то такое состояние называется равновесным .

Всякий процесс, т.е. переход системы из одного состояния в другое связанно с нарушением равновесия системы. Однако бесконечно медленный процесс будет состоять из последовательности равновесных состояний. Такой процесс называется равновесным . При достаточно медленном протекании реальные процессы могут приближаться к равновесному. Равновесный процесс является обратимым, т.е. система переходит из состояния 1 в состояние 2 и обратно 2 - 1, пр о ходя через одни и те же промежуточные состояния.

Процесс, при котором система, пройдя ряд промежуточных состояний, возвращается в исходное состояние, называется круговым процессом или циклом : процесс 1-2-3-4-1 на рисунке.

Связь между параметрами состояния называется уравнением состояния : f (p , V , T )=0

Клапейрон, используя законы Бойля-Мариотта и Шарля вывел уравнение состояния идеального газа.

1 - 1’: T = const - закон Бойля - Мариотта: p 1 V 1 = p 1 ’ V 2 ;

1’ - 2: V = const - закон Шарля:

т.к. состояния 1и 2 выбраны произвольно, то для данной массы газа величина остается постоянной

- уравнение Клапейрона

В- газовая постоянная, различая для различных газов.

Менделеев объединил уравнение Клапейрона с законом Авогадро

() V m - молярный объём

Уравнение Менделеева-Клапейрона

R - универсальная (молярная) газовая постоянная.

p = const; ;

Физический смысл R : численно равна работе, совершаемой газом при изобарическом ( p = const ) нагревании одного моля газа () на один Кельвин (?Т=1 К)

Введем постоянную Больцмана

тогда

p = n k T

p - давление идеального газа при данной температуре прямо пропорционально концентрации его молекул (или плотности газа). При одинаковых p и T все газы содержат в единице объёма одинаковое число молекул.

n - концентрация молекул (число молекул в единице объёма). Число молекул, содержащихся при нормальных условиях в 1 м 3 называется числом Лошмидта

§3 Основное уравнение молекулярно-кинетической теории (м.к.т.) газов.

При беспорядочном движении частицы газа сталкиваются между собой и со стенками сосуда. Механическое действие этих ударов о стенки сосуда воспринимается как давление на стенки. Выделим на стенке сосуда некую элементарную площадку ΔS и найдем давление, оказываемое на эту площадку.

Импульс, получаемый рассматриваемой стенкой, в результате удара одной молекулы будет равен

m 0 - масса одной молекулы